等腰三角形直角三角形勾股定理
直角三角形的性质与判定
直角三角形的性质与判定直角三角形是几何学中的一种特殊三角形，具有独特的性质和判定条件。
本文将从不同角度介绍直角三角形的性质和判定方法。
一、性质：1. 直角三角形的定义：直角三角形是指其中一角为90度的三角形。
直角三角形的边长关系与三边之间的关系表现出独特的特点，从而衍生出一系列其他性质。
2. 勾股定理：勾股定理是指在一个直角三角形中，直角边的平方等于其他两个边平方的和。
这一定理由毕达哥拉斯学派于公元前6世纪提出，并成为直角三角形性质的基础。
例如，一个直角三角形的两直角边分别为a和b，斜边长度为c，则有勾股定理的表达式为：a² + b² = c²。
这一定理被广泛应用于解决与直角三角形相关的问题，包括测量和计算。
3. 等腰直角三角形的性质：等腰直角三角形是指两个直角边相等的直角三角形。
这种特殊的直角三角形具有以下性质：a) 具有一个90度角和两个45度角；b) 两个直角边的边长相等；c) 两个直角边的平分线也是等腰直角三角形的高；d) 等腰直角三角形还有一系列与勾股定理相关的性质。
二、判定方法：1. 通过边长判定：判定一个三角形是否为直角三角形的一种方法是根据其边长关系。
如果一个三角形的边长满足a² + b² = c²，其中a、b、c分别为三角形的三条边长，那么这个三角形就是一个直角三角形。
例如，如果一个三角形的边长分别为3、4和5，则满足条件：3² + 4² = 5²，因此这是一个直角三角形。
2. 通过角度判定：另一种判定直角三角形的方法是通过角度关系。
如果一个三角形中存在一个90度角，那么这个三角形就是一个直角三角形。
这种方法可以通过测量角度的工具来进行，如角度量规或直角仪。
三、应用实例：直角三角形的性质和判定方法在实际问题中有着广泛的应用。
以下是一些实际应用的例子：1. 测量和计算：直角三角形的特性使其成为测量和计算距离、高度和角度的有用工具。
新人教版初中数学——等腰三角形与直角三角形-知识点归纳及典型题解析
新人教版初中数学——等腰三角形与直角三角形知识点归纳与典型题解析一、等腰三角形1．等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°．2．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．二、等边三角形1．定义：三条边都相等的三角形是等边三角形．2．性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．3．判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．三、直角三角形与勾股定理1．直角三角形定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．性质：（1）直角三角形两锐角互余；（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．判定：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形；（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．2．勾股定理及逆定理（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方，即：a 2+b 2=c 2． （2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a 、b 、c 有关系：a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形．考向一 等腰三角形的性质1．等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴． 2．等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°．3．等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）． 4．等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b<a ． 5．等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A =180°-2∠B ，∠B =∠C =2180A∠-︒．典例1 等腰三角形的一个内角为40°，则其余两个内角的度数分别为（ ） A ．40°，100° B ．70°，70°C ．60°，80°D ．40°，100°或70°，70°【答案】D【解析】①若等腰三角形的顶角为40°时，另外两个内角=（180°–40°）÷2=70°； ②若等腰三角形的底角为40°时，它的另外一个底角为40°，顶角为180°–40°–40°=100°． 所以另外两个内角的度数分别为：40°、100°或70°、70°．故选D ．【名师点睛】考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和为180o ，解题关键是分情况进行讨论①已知角为顶角时；②已知角为底角时．典例2 如图，在ABC ∆中，AB =AC ，D 是BC 的中点，下列结论不正确的是（ ）A．AD BC B．∠B=∠CC．AB=2BD D．AD平分∠BAC【答案】C【解析】因为△ABC中，AB=AC，D是BC中点，根据等腰三角形的三线合一性质可得，A．AD⊥BC，故A选项正确；B．∠B=∠C，故B选项正确；C．无法得到AB=2BD，故C选项错误；D．AD平分∠BAC，故D选项正确．故选C．【名师点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，本题关键熟练运用等腰三角形的三线合一性质.1．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的底边为__________cm.考向二等腰三角形的判定1．等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据．2．底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．典例3 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，E是AB上的一点，EF∥AD交CA的延长线于F．求证：△AEF是等腰三角形．【解析】∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD．又∵AD∥EF，∴∠F=∠CAD，∠FEA=∠BAD，∴∠FEA=∠F，∴△AEF是等腰三角形．2．已知在△ABC中，AB=5，BC=2，且AC的长为奇数．（1）求△ABC的周长；（2）判断△ABC的形状．考向三等边三角形的性质1．等边三角形具有等腰三角形的一切性质．2．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴．3．等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合．典例4 如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，点D为AB边的中点，DE⊥BC于E，若BE=1，则AC 的长为__________．【答案】4【解析】∵DE ⊥BC ，∠B =∠C =60°， ∴∠BDE =30°，∴BD =2BE =2，∵点D 为AB 边的中点，∴AB =2BD =4， ∵∠B =∠C =60°，∴△ABC 为等边三角形， ∴AC =AB =4，故答案为：4．【名师点睛】本题主要考查直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，利用直角三角形的性质求得AB =2BD 是解题的关键.3．如图，ABC ∆是等边三角形，点D 在AC 上，以BD 为一边作等边BDE ∆，连接CE ． （1）说明ABD CBE ∆≅∆的理由； （2）若080BEC ∠=，求DBC ∠的度数．考向四 等边三角形的判定在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形．典例5 下列推理中，错误的是A ．∵∠A =∠B =∠C ，∴△ABC 是等边三角形 B ．∵AB =AC ，且∠B =∠C ，∴△ABC 是等边三角形 C ．∵∠A =60°，∠B =60°，∴△ABC 是等边三角形D ．∵AB =AC ，∠B =60°，∴△ABC 是等边三角形 【答案】B【解析】A，∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形，故正确；B，条件重复且条件不足，故不正确；C，∵∠A=60°，∠B=60°，∴∠C=60°，∴△ABC是等边三角形60°，故正确；D，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可以得到，故正确．故选B．4．如图，已知OA=5，P是射线ON上的一个动点，∠AON=60°．当OP=__________时，△AOP为等边三角形．考向五直角三角形在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，这个性质常常用于计算三角形的边长，也是证明一边（30°角所对的直角边）等于另一边（斜边）的一半的重要依据．当题目中已知的条件或结论倾向于该性质时，我们可运用转化思想，将线段或角转化，构造直角三角形，从而将陌生的问题转化为熟悉的问题．典例6 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若∠B=30°，BD=6，则CD 的长为__________．【答案】3【解析】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°．又AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=30°，∴∠BAD=∠B=30°，∴AD=BD=6，∴CD=12AD=3，故答案为：3．5．已知直角三角形的两条边分别是5和12，则斜边上的中线的长度为__________．考向六 勾股定理1．应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a 2+b 2=c 2时，斜边只能是c ．若b 为斜边，则关系式是a 2+c 2=b 2；若a 为斜边，则关系式是b 2+c 2=a 2．2．如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解．典例7 cm cm ，则这个直角三角形的周长为__________.【答案】【解析】∵直角边长为cm cm ，∴斜边（cm ），∴周长cm ）.故答案为:【名师点睛】本题考查了二次根式与三角形边长，面积的综合运用.熟练掌握勾股定理的计算解出斜边是关键6．如图所示，在ABC ∆中，90B ∠=︒，3AB =，5AC =，D 为BC 边上的中点.（1）求BD 、AD 的长度；（2）将ABC ∆折叠，使A 与D 重合，得折痕EF ；求AE 、BE 的长度.1．直角三角形两直角边长分别为6和8，则此直角三角形斜边上的中线长是 A ．3B ．4C ．7D ．52．如图，ABC △是等边三角形，0,20BC BD BAD =∠=，则BCD ∠的度数为A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°3．如图是“人字形”钢架，其中斜梁AB =AC ，顶角∠BAC =120°，跨度BC =10m ，AD 为支柱（即底边BC 的中线），两根支撑架DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，则DE +DF 等于A ．10mB ．5mC ．2.5mD ．9.5m4．如图，ABC ∆是边长为1的等边三角形，BDC ∆为顶角120BDC ∠=︒的等腰三角形，点M 、N 分别在AB 、AC 上，且60MDN ∠=︒，则AMN ∆的周长为A．2 B．3 C．1.5 D．2.55．如图，△ABC中，D、E两点分别在AC、BC上，AB=AC，CD=DE．若∠A=40°，∠ABD：∠DBC=3：4，则∠BDE=A．24°B．25°C．30°D．35°6．已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为A．22 B．17C．17或22 D．267．如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D在BC上，且AD平分∠BAC，则AD的长为A．6 B．5C．4 D．38．如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件是点C共有A ．8个B ．9个C ．10个D ．11个9．如图，Rt △ABC 中，∠B =90〬，AB =9，BC =6，，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段AN 的长等于A ．5B ．6C ．4D ．310．将一个有45°角的三角尺的直角顶点C 放在一张宽为3 cm 的纸带边沿上，另一个顶点A 在纸带的另一边沿上，测得三角尺的一边AC 与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角尺的最长边的长为A ．6B ．C ．D ．11．三角形的三边a ，b ，c （b ﹣c ）2=0；则三角形是_____三角形. 12．如图，等腰△ABC 中，AB =AC =13cm ，BC =10cm ，△ABC 的面积=________．13．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为35°，则这个等腰三角形顶角的度数为__________. 14．若一个等腰三角形的周长为26，一边长为6，则它的腰长为__________．15．如图，在ABC △中，AB AC =，D 、E 分别是BC 、AC 上一点，且AD AE =，12EDC ∠=︒，则BAD ∠=__________．16．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠EFD=__________°．17．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E是AD上的一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰好落在∠BCD的平分线上时，CA1的长为__________．18．如图，在Rt△ABC中，点E在AB上，把△ABC沿CE折叠后，点B恰好与斜边AC的中点D 重合.（1）求证：△ACE为等腰三角形；（2）若AB=6，求AE的长.19．如图，一架2.5 m 长的梯子斜立在竖直的墙上，此时梯足B 距底端O 为0.7 m ．（1）求OA 的长度；（2）如果梯子顶端下滑0.4米，则梯子将滑出多少米？20．ABC ∆与DCE ∆有公共顶点C （顶点均按逆时针排列），AB AC =，DC DE =，180BAC CDE ∠+∠=︒，//DE BC ，点G 是BE 的中点，连接DG 并延长交直线BC 于点F ，连接,AF AD .（1）如图，当90BAC ∠=︒时， 求证：①BF CD =； ②AFD ∆是等腰直角三角形.（2）当60BAC ∠=︒时，画出相应的图形（画一个即可），并直接指出AFD ∆是何种特殊三角形.21．已知：如图，有人在岸上点C 的地方，用绳子拉船靠岸，开始时，绳长CB =10米，CA ⊥AB ，且CA =6米，拉动绳子将船从点B 沿BA 方向行驶到点D 后，绳长CD （1）试判定△ACD 的形状，并说明理由； （2）求船体移动距离BD 的长度．1．如图，在OAB △和OCD △中，,,,40OA OB OC OD OA OC AOB COD ==>∠=∠=︒，连接,AC BD 交于点M ，连接OM ．下列结论：①AC BD =；②40AMB ∠=︒；③OM 平分BOC ∠；④MO 平分BMC ∠．其中正确的个数为A ．4B ．3C ．2D ．12．在△ABC 中，AB =AC ，∠A =40°，则∠B =__________．3．如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D ，E 都在边BC 上，∠BAD =∠CAE ，若BD =9，则CE 的长为__________．4．如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，连接AC ，BD ．若90ACB ∠=︒，AC BC =，AB BD =，则ADC ∠=__________︒．5．腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为__________．6．若等腰三角形的一个底角为72︒，则这个等腰三角形的顶角为__________．7．如图，△ABC 中，AB =BC ，∠ABC =90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE =CF ，若∠BAE =25°，则∠ACF =__________度．8．如图，ABC △中，点E 在BC 边上，AE AB =，将线段AC 绕点A 旋转到AF 的位置，使得CAF BAE ∠=∠，连接EF ，EF 与AC 交于点G ．（1）求证：EF BC =；（2）若65ABC ∠=︒，28ACB ∠=︒，求FGC ∠的度数．9．如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ．（1）若∠C =42°，求∠BAD 的度数；（2）若点E 在边AB 上，EF ∥AC 交AD 的延长线于点F ．求证：AE =FE ．10．如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 分别在AB 、AC 上，BD =CE ，BE 、CD 相交于点O ．求证：（1）DBC ECB △≌△； （2）OB OC =．11．如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 边上的中点，连结AD ，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，过点E 作EF ∥BC 交AB 于点F ． （1）若∠C =36°，求∠BAD 的度数．（2）若点E 在边AB 上，EF ∥AC 叫AD 的延长线于点F ．求证：FB =FE ．12．在ABC △中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥于点D ．（1）如图1，点M ，N 分别在AD ，AB 上，且90BMN ∠=︒，当30AMN =︒∠，2AB =时，求线段AM 的长；（2）如图2，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且90EDF ∠=︒，求证：BE AF =； （3）如图3，点M 在AD 的延长线上，点N 在AC 上，且90BMN ∠=︒，求证：AB AN +=．1．【答案】4cm 或5cm【解析】当长是4cm 的边是底边时，腰长是12（13–4）=4.5， 三边长为4cm ，4.5cm ，4.5cm ，等腰三角形成立；当长是4cm 的边是腰时，底边长是：13–4–4=5cm ，等腰三角形成立． 故底边长是：4cm 或5cm ．故答案是：4cm 或5cm【名师点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 2．【解析】（1）由题意得：5−2<AB <5+2，即：3<AB <7，∵AB 为奇数，∴AB =5， ∴△ABC 的周长为5+5+2=12． （2）∵AB =AC =5， ∴△ABC 是等腰三角形． 3．【答案】（1）见解析；（2）20°.【解析】（1）由060ABC DBE ∠=∠=，得ABD CBE ∠=∠，由,AB BC BD BE ==， 得ABD CBE ∆≅∆（SAS ）；（2）由ABD CBE ∆≅∆，得060BCE A ∠=∠=，所以00000180180806040CBE BEC BCE ∠=-∠-∠=--=， 所以000060604020DBC CBE ∠=-∠=-=.【名师点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及三角形内角和定理，先证明三角形全等是解决本题的突破口． 4．【答案】5【解析】已知∠AON =60°，当OP =OA =5时，根据有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，可得△AOP 为等边三角形．故答案为：5． 5．【答案】6或6.5【解析】分两种情况：①5和12是两条直角边，根据勾股定理求得斜边为13，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得斜边上的中线的长度为6.5；②5是直角边，12为斜边，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得斜边上的中线的长度为6，故答案为：6或6.5．6．【答案】（1）BD =2，AD =2）136AE =，56BE = 【解析】（1）∵在ABC ∆中，90B ∠=︒，3AB =，5AC =， ∴在Rt ABC ∆中，222225316BC AC AB =-=-=， ∴4BC =，又∵D 为BC 边上的中点， ∴122BD DC BC ===， ∴在Rt ABD ∆中，222222133AD AB BD =+=+=，∴AD =（2）ABC ∆折叠后如图所示，EF 为折痕，连接DE ，设AE x =，则DE x =，3BE x =-，在Rt BDE ∆中，222BE BD DE +=，即()22232x x -+=，解得：136x =， ∴136AE =， ∴135366BE =-=． 【名师点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，也考查了折叠的性质.是常见中考题型.1．【答案】D【解析】∵两直角边分别为6和8，∴斜边10=， ∴斜边上的中线=12×10=5，故选D ． 【名师点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质以及勾股定理的应用，熟记性质是解题的关键． 2．【答案】A 【解析】ABC △是等边三角形，AC AB BC ∴==，又BC BD =，AB BD ∴=，∴20BAD BDA ∠=∠=︒0180CBD BAD BDA ABC ∴∠=-∠-∠-∠0000018020206080=---=，BC BD =，∴11(180)(18080)5022BCD CBD ∠=⨯︒-∠=⨯︒-︒=︒，故选A ．【名师点睛】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质、等边对等角以及三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是正确解答本题的关键. 3．【答案】B【解析】∵AB =AC ，∠BAC =120°，∴∠B =∠C =30°， ∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足为E ，F ，∴DE =12BD ，DF =12DC ， ∴DE +DF =12BD +12DC =12（BD +DC ）=12B C ．∴DE +DF =12BC =12×10=5m ．故选B ． 【名师点睛】本题考查等腰三角形和直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题关键. 4．【答案】A【解析】如图所示，延长AC 到E ，使CE =BM ，连接DE ，∵BD =DC ，∠BDC =120°，∴∠CBD =∠BCD =30°， ∵∠ABC =∠ACB =60°，∴∠ABD =∠ACD =∠DCE =90°，在△BMD 和△CED 中，90BD CDDBM DCE BM CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△BMD ≌△CED （SAS ），∴∠BDM =∠CDE ，DM =DE ， 又∵∠MDN =60°，∴∠BDM +∠NDC =60°， ∴∠EDC +∠NDC =∠NDE =60°=∠NDM ， 在△MDN 和△EDN 中，DM DEMDN NDE DN DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MDN ≌△EDN （SAS ）， ∴MN =NE =NC +CE =NC +BM ，所以△AMN 周长=AM +AN +MN =AM +AN +NC +BM =AB +AC =2. 故选A.【名师点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，做辅助线构造全等三角形，利用等边三角形的性质得到全等条件是解决本题的关键.5．【答案】C【解析】∵AB=AC，CD=DE，∴∠C=∠DEC=∠ABC，∴AB∥DE，∵∠A=40°，∴∠C=∠DEC=∠ABC=18040702，∵∠ABD：∠DBC=3：4，∴设∠ABD为3x，∠DBC为4x，∴3x+4x=70°，∴x=10°，∴∠ABD=30°，∵AB∥DE，∴∠BDE=∠ABD=30°，故答案为C．【名师点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质：等边对等角和三角形内角和定理求解，难度适中．6．【答案】A【解析】分两种情况：①当腰为4时，4+4<9，所以不能构成三角形；②当腰为9时，9+9>4，9-9<4，所以能构成三角形，周长是：9+9+4=22．故选A．7．【答案】C【解析】∵AB=AC=5，AD平分∠BAC，BC=6，∴BD=CD=3，∠ADB=90°，∴AD=4．故选C．8．【答案】B【解析】如图，①点C以点A为标准，AB为底边，符合点C的有5个；②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有4个．所以符合条件的点C共有9个．故选B．9．【答案】A【解析】设AN=x，由翻折的性质可知DN=AN=x，则BN=9-x．∵D是BC的中点，∴BD=1632⨯=．在Rt△BDN中，由勾股定理得:ND2=NB2+BD2，即x2=（9-x）2+32，解得x=5，AN=5，故选A．10．【答案】D【解析】如图，作AH⊥CH，在Rt △ACH 中，∵AH =3，∠AHC =90°，∠ACH =30°，∴AC =2AH =6，在Rt △ABC 中，AB ==D ．11．【答案】等边【解析】三角形的三边a ，b ，c 2()0b c -=，20,()0b c =-=，0,0a b b c ∴-=-=，解得：,a b b c ==，即a b c ==，则该三角形是等边三角形.故答案为：等边.【名师点睛】本题是一道比较好的综合题，考查了算术平方根的非负性、平方数的非负性、等边三角形的定义. 12．【答案】60cm 2．【解析】过点A 作AD ⊥BC 交BC 于点D ， ∵AB =AC =13cm ，BC =10cm ， ∴BD =CD =5cm ，AD ⊥BC ，由勾股定理得：AD （cm ）， ∴△ABC 的面积=12×BC ×AD =12×10×12=60（cm 2）．【名师点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及勾股定理，能根据等腰三角形的“三线合一”正确的添加辅助线是关键. 13．【答案】55°或125°【解析】如图，分两种情况进行讨论：如图1，当高在三角形内部时，则∠ABD =35°，∴∠BAD =90°–35°=55°； 如图2，当高在三角形外部时，则∠ABD =35°，∴∠BAD =90°–35°=55°； ∴∠CAB =180°–55°=125°， 故答案为55°或125°．【名师点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键. 14．【答案】10【解析】①当6为腰长时，则腰长为6，底边=26-6-6=14，因为14>6+6，所以不能构成三角形； ②当6为底边时，则腰长=（26-6）÷2=10，因为6-6<10<6+6，所以能构成三角形，故腰长为10．故答案为：10． 15．【答案】24︒【解析】∵ADC ∠是三角形ABD 的外角，AED ∠是三角形DEC 的一个外角，CDE x ∠=︒， ∴ADC BAD B ADE EDC ∠=∠+∠=∠+∠，AED EDC C ∠=∠+∠，B BAD ADE x ∠+∠=∠+︒，AEDC x ∠=∠+︒，∵AB AC =，D 、E 分别在BC 、AC 上，AD AE =，CDE x ∠=︒，∴B C ∠=∠，20ADE AED C ∠=∠=∠+︒，∴C BAD C x x ∠+∠=∠︒++︒，∵12EDC ∠=︒，∴24BAD ∠=︒，故答案为：24︒．16．【答案】15【解析】∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB =60°，∠ACD =120°， ∵CG =CD ，∴∠CDG =30°，∠FDE =150°， ∵DF =DE ，∴∠E =15°．故答案为：15．17．【答案】【解析】如图，过点A 1作A 1M ⊥BC 于点M ．∵点A 的对应点A 1恰落在∠BCD 的平分线上，∠BCD =90°，∴∠A 1CM =45°，即△AMC 是等腰直角三角形，∴设CM =A 1M =x ，则BM =7-x ．又由折叠的性质知AB =A 1B =5，∴在直角△A 1MB 中，由勾股定理得A 1M 2=A 1B 2-BM 2=25-（7-x ）2，∴25-（7-x ）2=x 2，解得x 1=3，x 2=4，∵在等腰Rt △A 1CM 中，CA 1A 1M ，∴CA 1．故答案为：18．【答案】（1）见解析；（2）4.【解析】（1）∵把△ABC 沿CE 折叠后，点B 恰好与斜边AC 的中点D 重合， ∴CD =CB ，∠CDE =∠B =90°，AD =CD ，在△ADE 和△CDE 中，90AD CDADE CDE ED ED =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△CDE （SAS ）， ∴EA=EC ，∴△ACE 为等腰三角形； （2）由折叠的性质知：∠BEC =∠DEC ， ∵△ADE ≌△CDE ，∴∠AED =∠DEC ， ∴∠AED =∠DEC =∠BEC =60°，∴∠BCE =30°，∴12BE CE =， 又∵EA=EC ，∴11223BE AE AB ===，∴AE=4.【名师点睛】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的定义和30°角的直角三角形的性质，属于常考题型，熟练掌握上述图形的性质是解题关键. 19．【解析】在直角△ABO 中，已知AB =2.5 m ，BO =0.7 m ，则AO ， ∵AO =AA ′+OA ′，∴OA ′=2 m ，∵在直角△A ′B ′O 中，AB =A ′B ′，且A ′B ′为斜边， ∴OB ′=1.5 m ，∴BB ′=OB ′-OB =1.5 m -0.7 m=0.8 m ． 答：梯足向外移动了0.8 m ．20．【答案】（1）①详见解析；②详见解析；（2）详见解析；【解析】（1）证明：①∵//DE BC ，∴GBF GED ∠=∠. 又,BG EG FGB DGE =∠=∠， ∴(ASA)GBF GED ∆∆≌，∴BF ED =. 又CD ED =，∴BF CD =；②当90BAC ∠=︒时，45ABC ACB ∠=∠=︒， ∵180BAC CDE ︒∠+∠=，∴90CDE ︒∠=.∵//DE BC ，∴90,45BCD CDE ACD ︒︒∠=∠=∠=，∴ABF ACD ∠=∠；又,AB AC BF CD ==，∴()ABF ACD SAS ∆∆≌， ∴,AF AD BAF CAD =∠=∠， ∴BAF FAC CAD FAC ∠+∠=∠+∠ 即90BAC FAD ∠=∠=︒，∴AFD ∆是等腰直角三角形.（2）所画图形如图1或图②，此时AFD ∆是等边三角形.图1 图2 与（1）同理，可证ABF ACD ∆∆≌， ∴AF =AD ，60BAC FAD ∠=∠=︒， ∴△AFD 是等边三角形.【名师点睛】本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，以及全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是正确找到证明三角形全等的条件，利用全等三角形的性质得到边的关系，角的关系.21．【解析】（1）由题意可得：AC =6 m ，DCm ，∠CAD =90°，可得AD（m ）， 故△ACD 是等腰直角三角形．（2）∵AC =6 m ，BC =10 m ，∠CAD =90°， ∴AB（m ）， 则BD =AB -AD =8-6=2（m ）． 答：船体移动距离BD 的长度为2 m ．1．【答案】B【解析】∵40AOB COD ∠=∠=︒，∴AOB AOD COD AOD ∠+∠=∠+∠，即AOC BOD ∠=∠，在AOC △和BOD △中，OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AOC BOD △≌△，∴OCA ODB AC BD ∠=∠=，，①正确；∴OAC OBD ∠=∠，由三角形的外角性质得：AMB OAC AOB OBD ∠+∠=∠+∠， ∴40AMB AOB ∠=∠=°，②正确；作OG MC ⊥于G ，OH MB ⊥于H ，如图所示：则90OGC OHD ∠=∠=°，在OCG △和ODH △中，OCA ODBOGC OHD OC OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴OCG ODH △≌△，∴OG OH =，∴MO平分BMC ∠，④正确，正确的个数有3个，故选B ． 2．【答案】70°【解析】∵AB =AC ，∴∠B =∠C ， ∵∠A +∠B +∠C =180°，∴∠B =12（180°-40°）=70°．故答案为：70°． 3．【答案】9【解析】∵AB =AC ，∴∠B =∠C ，在△BAD 和△CAE 中，BAD CAE AB ACB C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BAD ≌△CAE ， ∴BD =CE =9，故答案为：9． 4．【答案】105【解析】作DE AB ⊥于E ，CF AB ⊥于F ，如图所示，则DE CF =，∵CF AB ⊥，90ACB ∠=︒，AC BC =，∴12CF AF BF AB ===， ∵AB BD =，∴1122DE CF AB BD ===，BAD BDA ∠=∠， ∴30ABD ∠=︒，∴75BAD BDA ∠=∠=︒，∵AB CD ∥，∴180ADC BAD ∠+∠=︒，∴105ADC ∠=︒，故答案为：105．5．【答案】6或【解析】①如图1，当5AB AC ==，4AD =，则3BD CD ==，∴底边长为6； ②如图2，当5AB AC ==，4CD =时，则3AD =，∴2BD =，∴BC == ③如图3，当5AB AC ==，4CD =时，则3AD ==，∴8BD =，∴BC =∴此时底边长为6或【名师点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是分三种情况分类讨论． 6．【答案】36°【解析】∵等腰三角形的一个底角为72︒，∴等腰三角形的顶角180727236=︒-︒-︒=︒， 故答案为：36︒．【名师点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 7．【答案】70【解析】∵∠ABC =90°，AB =AC ，∴∠CBF =180°–∠ABC =90°，∠ACB =45°， 在Rt △ABE 和Rt △CBF 中，AB CBAE CF=⎧⎨=⎩，∴Rt △ABE ≌Rt △CBF ，∴∠BCF =∠BAE =25°，∴∠ACF =∠ACB +∠BCF =45°+25°=70°，故答案为：70．【名师点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 8．【解析】（1）∵CAF BAE ∠=∠，∴BAC EAF ∠=∠，∵AE AB AC AF ==，， ∴BAC EAF △≌△， ∴EF BC =．（2）∵65AB AE ABC =∠=︒，， ∴18065250BAE ∠=︒-︒⨯=︒， ∴50FAG ∠=︒， ∵BAC EAF △≌△， ∴28F C ∠=∠=︒， ∴502878FGC ∠=︒+︒=︒．【名师点睛】本题主要考查全等三角形证明与性质，等腰三角形性质，旋转性质等知识点，比较简单，基础知识扎实是解题关键． 9．【解析】（1）∵AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ，∴∠BAD =∠CAD ，∠ADC =90°，又∠C =42°，∴∠BAD =∠CAD =90°-42°=48°． （2）∵AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ， ∴∠BAD =∠CAD ， ∵EF ∥AC ， ∴∠F =∠CAD ， ∴∠BAD =∠F ，∴AE =FE ．10．【解析】（1）∵AB =AC ，∴∠ECB =∠DBC ，在DBC △与ECB △中，BD CE DBC ECB BC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴DBC △≌ECB △．（2）由（1）DBC △≌ECB △， ∴∠DCB =∠EBC ， ∴OB =OC ．11．【解析】（1）∵AB AC =，∴C ABC ∠=∠，∵36C ∠=︒， ∴36ABC ∠=︒，∵D 为BC 的中点，∴AD BC ⊥，∴90903654BAD ABC ∠=-∠=-︒=︒︒︒． （2）∵BE 平分ABC ∠，∴ABE EBC ∠=∠， 又∵EF BC ∥，∴EBC BEF ∠=∠， ∴EBF FEB ∠=∠， ∴BF EF =．【名师点睛】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12．【解析】（1）∵90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥，∴AD BD DC ==，45ABC ACB ∠=∠=︒，45BAD CAD ∠=∠=︒， ∵2AB =，∴AD BD DC ===，∵30AMN ∠=︒，∴180903060BMD ∠=︒-︒-︒=︒， ∴30BMD ∠=︒，∴2BM DM =，由勾股定理得，222BM DM BD -=，即222(2)DM DM -=，解得DM =∴AM AD DM =-=（2）∵AD BC ⊥，90EDF ∠=︒，∴BDE ADF ∠=∠，在BDE △和ADF △中，B DAF DB DA BDE ADF ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴BDE ADF △≌△， ∴BE AF =．（3）如图，过点M 作//ME BC 交AB 的延长线于E ，∴90AME ∠=︒，则AE =，45E ∠=︒，∴ME MA =，∵90AME ∠=︒，90BMN ∠=︒， ∴BME AMN ∠=∠，在BME △和AMN △中，E MAN ME MA BME AMN ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴BME AMN △≌△，∴BE AN =，∴AB AN AB BE AE +=+==．【名师点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形 的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．。
直角三角形的三边关系
直角三角形的三边关系直角三角形是指其中一个角为直角（90度）的三角形。
在直角三角形中，三边之间存在着特殊的关系，这些关系对于数学和实际应用领域都具有重要意义。
一、勾股定理直角三角形的最重要的定理就是勾股定理，它描述了直角三角形的三边之间的关系。
勾股定理表达式如下：c^2 = a^2 + b^2其中，a和b是直角三角形的两个直角边，c是斜边（斜边是直角三角形中与直角不相邻的边）。
这个定理意味着，如果我们知道了直角三角形的两个直角边的长度，我们就可以计算出斜边的长度。
也就是说，勾股定理提供了计算直角三角形边长的方法。
二、三角函数在直角三角形中，三角函数被广泛应用来描述三边之间的关系。
常见的三角函数有正弦、余弦和正切。
1. 正弦函数（sin）：定义为直角三角形中斜边与斜边上的对边的比值。
sinA = 对边/斜边2. 余弦函数（cos）：定义为直角三角形中斜边与斜边上的邻边的比值。
cosA = 邻边/斜边3. 正切函数（tan）：定义为直角三角形中对边与邻边的比值。
tanA = 对边/邻边通过三角函数，我们可以在直角三角形中计算出任意一个角的大小。
反之，如果我们知道了三角形的某个角度和任意两个边的长度，我们也可以通过三角函数计算出第三边的长度。
三、特殊的三边关系除了勾股定理和三角函数之外，直角三角形还有一些特殊的三边关系。
1. 等腰直角三角形：当直角三角形的两个直角边相等时，称为等腰直角三角形。
在等腰直角三角形中，斜边的长度等于直角边的开根号2倍。
2. 等边直角三角形：当直角三角形的三边都相等时，称为等边直角三角形。
在等边直角三角形中，三个角都是45度。
3. 30-60-90三角形：当直角三角形的两个锐角分别为30度和60度时，称为30-60-90三角形。
在这种三角形中，边的比例关系为1:√3:2。
斜边的长度等于短直角边的开根号3倍。
4. 45-45-90三角形：当直角三角形的两个锐角都为45度时，称为45-45-90三角形。
直角三角形的勾股定理 → 等腰三角形的勾股定理
直角三角形的勾股定理→ 等腰三角形的
勾股定理
直角三角形的勾股定理是一个数学定理，用来计算直角三角形的边长关系。
根据这个定理，直角三角形的斜边的平方等于两个直角边的平方之和。
定理表述如下：
对于一个直角三角形，设直角边的长度分别为 a 和 b，斜边的长度为 c，则有
c^2 = a^2 + b^2
这个定理可以帮助我们计算直角三角形的边长，只要知道两个直角边的长度，就可以求出斜边的长度。
另外，当直角三角形的两个直角边长度相等时，我们就可以得到等腰直角三角形的勾股定理。
对于一个等腰直角三角形，设直角边的长度为 a，斜边的长度
为 c，则有
c^2 = 2*a^2
等腰直角三角形的勾股定理可以帮助我们计算等腰直角三角形
的斜边长度，只要知道直角边的长度，就可以求出斜边的长度。
这两个定理是数学中非常重要的基本定理，广泛应用于各个领域，特别是几何学和物理学中。
总结起来，直角三角形的勾股定理是用来计算直角三角形的边
长关系，而等腰三角形的勾股定理是直角三角形的一种特殊情况。
掌握这些定理可以帮助我们更好地理解和解决与三角形相关的问题。
参考资料：。
勾股定理及直角三角形的判定
勾股定理及直角三角形的判定知识要点分析1、勾股定理如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
2、勾股定理的验证勾股定理的证明方法很多，其中大多数是利用面积拼补的方法证明的。
我们也可将勾股定理理解为：以两条直角边分别为边长的两个正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。
因此，证明勾股定理的关键是想办法把以两条直角边分别为边长的两个正方形作等面积变形，使它能拼成以斜边为边长的正方形。
另外，用拼图的方法，并利用两种方法表示同一个图形的面积也常用来验证勾股定理。
3、如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，此结论是勾股定理的逆定理（它与勾股定理的条件和结论正好相反）。
其作用是利用边的数量关系判定直角三角形，运用时必须在已知三角形三条边长的情况下。
我们还可以理解为：如果三角形两条短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形，并且两条短边是直角边，最长边是斜边。
4、勾股数满足条件a2+b2=c2的三个正整数a、b、c称为勾股数。
友情提示：（1）3，4，5是勾股数，又是三个连续正整数，并不是所有三个连续正整数都是勾股数；（2）每组勾股数的相同倍数也是勾股数。
【典型例题】考点一：勾股定理例1：在△ABC中，∠C=90°，（1）若a=3，b=4，则c=__________；（2）若a=6，c=10，则b=__________；（3）若c=34，a：b=8：15，则a=________，b=_________.例2：已知三角形的两边长分别是3、4，如果这个三角形是直角三角形，求第三边的长。
解：考点二：勾股定理的验证例3：如图所示，图（1）是用硬纸板做成的两个直角三角形，两直角边的长分别是a和b，斜边长为c，图（2）是以c为直角边的等腰三角形。
请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。
勾股定理等腰直角三角形公式
勾股定理等腰直角三角形公式等腰三角形勾股定理公式是a²+b²=c²但由于等腰三角形的两个腰相等，a等于b，因此可以写成a²+b²=c²。
勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理等腰直角三角形公式a²+b²=c²勾股定理，是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。
等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质：稳定性，两直角边相等直角边夹一直角锐角45°，斜边上中线角平分线垂线三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径r，那么设内切圆的半径r为1，则外接圆的半径r就为√2+1，所以r:r=1:（√2+1）。
等腰直角三角形的判定方法方法一：根据定义，有一个角是直角的等腰三角形，或两条边相等的直角三角形是等腰直角三角形。
方法二：三边比例为的三角形是等腰直角三角形。
证明：勾股定理的逆定理可知该三角形是直角三角形，并且有两条边相等，满足等腰直角三角形的定义。
方法三：底角为45°的等腰三角形是等腰直角三角形。
证明：用三角形内角和定理求出角度分别为45°、45°、90°，满足等腰直角三角形的定义。
方法四：有一个锐角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。
勾股定理的公式基本公式在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。
如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么勾股定理的公式为a2+b2=c2。
完全公式a=m，b=(m^2/k-k)/2，c=(m^2/k+k)/2①其中m≥3(1)当m确定为任意一个≥3的奇数时，k={1，m^2的所有小于m的因子}(2)当m确定为任意一个≥4的偶数时，k={m^2/2的所有小于m的偶数因子}。
第四章 第三节 等腰三角形与直角三角形
(2)性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离
_____． 相等 (3) 判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的_______ _____上． 垂直平
分线
考点一等腰三角形的性质与判定 命题角度❶
(5年2考)
等腰三角形的性质与判定
例1 (2017·昌乐一模)在正方形网格中，网格线的
交点称为格点．如图是3×3的正方形网格，已知A， B是两格点，在网格中找一点C，使得△ABC为等腰直 角三角形，则这样的点C有( A．6个 B．7个 ) D．9个
第三节 等腰三角形与 直角三角形
知识点一 等腰三角形 1．等腰三角形：有_______相等的三角形叫做等腰三角形． 两条边
2．等腰三角形性质 (1)等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形的对称轴是底边 的___________． 垂直平分线 (2)等腰三角形的底边上的___、底边上的中线及顶角的_____ 高 平分 ___重合． 线 等腰三角形的两个底角_____． (3) 相等
则BC的长为____________．
17
【分析】 首先由旋转变换的性质得CD＝CB，运用勾股定理 求出AB的长度；再次运用勾股定理列出关于CB的方程，求 出CB即可．
【自主解答】 由题意得CD＝CB， 在Rt△ABD中，AB＝
2 2 BD AD 在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2＋AD2＝DC2，
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点B为 圆心，以相同的长(大于 1 AB)为半径作弧，两弧相交于点M
2 D，交BC于点E.若AC＝3，AB＝ 和点N，作直线MN交AB于点
5，则DE＝____ 15 ．
8
，AD＝
考点三 例4
直角三角形的性质
9.等腰三角形、直角三角形、勾股定理
9、等腰三角形直角三角形与勾股定理（八上ch16、八下ch19）(专题21、22)一 . 等腰三角形1、性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简写：等边对等角）两个推论：推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边，并且垂直于底边.推论2：等边三角形各角都相等，并且每一个角都等于60o .2、判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.（简写：等角对等边） 三个推论：推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形.推论2：有一个角等于60o 的等腰三角形是等边三角形推论3：直角三角形中，若有一个锐角等于30o ，则它所对的直角边等于斜边的一半.3、三角形中的不等关系： 定理：三角形中，若两条边不等，则它们所对角也不等，大边所对的角较大（简写：大边对大角） 逆定理：三角形中，若两个角不等，则它们所对边也不等，大角所对边较大.（简写：大角对大边）二、直角三角形1、直角三角形的概念2、直角三角形的性质（1）直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半 ；（2）直角三角形中，若一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对锐角等于30°；（3）直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.重要结论：（1）S Rt △ABC =21ch=21ab,其中a ，b 为两直角边，c 为斜边，h 为斜边上的高； 3、直角三角形的判定（1）两个内角互余的三角形是直角三角形；（2）一边上的中线等于这边一半的三角形是直角三角形.4、勾股定理及逆定理定理:如果直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么a 2+b 2=c 2.变式：（1）a 2=c 2-b 2；（2）b 2=c 2-a 2；（3）a=22b c-；（4）b=22a c -；（5）c=22b a + 逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形.。
等腰三角形边长公式
等腰三角形边长公式
等腰三角形边长公式：在△ABC中,a2=b2+c2-2bc×cosA此定理可以变形为：cosA=（b2+c2-a2）÷2bc。
解直角三角形（斜三角形特殊情况）：
勾股定理，只适用于直角三角形（外国叫“毕达哥拉斯定理”） a^2+b^2=c^2,其中a 和b分别为直角三角形两直角边，c为斜边。
勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数。
比如：3，4，5。
他们分别是3，4和5的倍数。
常见的勾股弦数有：3，4，5；6，8，10；5,12,13;10,24,26;等等。
斜三角形的解法：
已知条件定理应用一般解法
一边和两角（如a、B、C）正弦定理由A+B+C=180?，求角A，由正弦定理求出b与c，在有解时有一解。
两边和夹角如a、b、c 余弦定理由余弦定理求第三边c，由正弦定理求出小边所对的角，再由A+B+C=180?求出另一角，在有解时有一解。
三边如a、b、c 余弦定理由余弦定理求出角A、B，再利用A+B+C=180?，求出角C 在有解时只有一解。
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
数学：直角三角形和勾股定理
特殊直角三角形
添加标题
等腰直角三角形：两腰相等，角度为45°和45°，面积计算公式为(a^2)/2，其中a为腰 长。
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30°-60°-90°直角三角形：有一个30°角和两个60°角，三边之比为1:√3:2，面积计算公式为 (a×√3)/2，其中a为较短的直角边。
桥梁建设：利用勾股定理计算桥墩之间的距离 航海定位：通过直角三角形和勾股定理确定船只位置 地震监测：利用直角三角形和勾股定理计算地震波传播距离 建筑测量：在建筑设计中利用直角三角形和勾股定理进行精确测量
经典例题解析
题目：一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，求斜边长。 题目：已知一个直角三角形的斜边长为5，一条直角边长为3，求另一条直角边长。 题目：一个等腰直角三角形的斜边长为6，求腰长。 题目：一个直角三角形的斜边长为√5，一条直角边长为1，求另一条直角边长。
航空航天：在航空航天领域，利用直角三角形和勾股定理计算飞行器的飞行轨迹和姿态，以 确保飞行器的安全和稳定运行。
航海：在航海领域，利用勾股定理计算船只的航行方向和速度，以确保船只能够准确到达目 的地。
在科学实验中的应用
测量地球半径：利用勾股定理计算地球半径 卫星轨道：通过勾股定理计算卫星轨道参数 天文观测：利用直角三角形和勾股定理计算天体距离 桥梁设计：利用勾股定理验证桥梁结构的稳定性
添加标题
30°-45°-90°直角三角形：有一个30°角和两个45°角，三边之比为1:1:√2，面积计算公式为 (a^2)/2，其中a为直角边。
添加标题
60°-30°-90°直角三角形：有一个60°角和两个30°角，三边之比为1:√3:2，面积计算公式为 (a×√3)/2，其中a为较短的直角边。
等腰直角三角形的性质
等腰直角三角形的性质
等腰直角三角形的性质：稳定性，两直角边相等，斜边上中线、角平分线、垂线三线合一等。
等腰直角三角形符合勾股定理、正弦定理、余弦定理、角平分线定理、中线定理。
等腰直角三角形的性质：稳定性，两直角边相等，斜边上中线、角平分线、垂线三线合一等。
等腰直角三角形符合勾股定理、正弦定理、余弦定理、角平分线定理、中线定理。
性质是什么
等腰直角三角形是特殊的等腰三角形〔有一个角是直角〕，也是特殊的直角三角形〔两条直角边等〕，因此等腰直角三角形具有等腰三角形和直角三角形的所有性质〔如三线合一、勾股定理、直角三角形斜边中线定理等〕。
当然，等腰直角三角形同样具有一般三角形的性质，如正弦定理、余弦定理、角平分线定理、中线定理等。
等腰直角三角形三边比例为1：1：√2。
等腰直角三角形斜边长
利用勾股定理。
两条直角边的平方和=斜边的平方。
假如直角三角形的两直角边长分别为a,b，斜边长为c，那么
a2+b2=c2。
还有就是可以利用在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边一半，利用所对的那个直角边也可以求出来。
等腰三角形,直角三角形和勾股定理
【励智教育】VIP 专属一对一个性化专业辅导（教案）学员姓名 年 级 授课科目 授课教师授课日期授课时段教学课题 等腰三角形、直角三角形、勾股定理教学目标 1、等腰三角形的性质和判定，线段垂直平分线、角平分线的性质定理和逆定理 2、直角三角形，勾股定理及逆定理教学重点 等腰三角形的性质和判定、直角三角形的性质教学难点线段垂直平分线、角平分线的性质和逆定理；勾股定理及逆定理教学过程及内容：§3.3 等腰三角形一、知识要点等腰三角形的性质和判定，线段垂直平分线、角平分线的性质定理和逆定理.二、课前演练1．等腰三角形的一边长为10，另一边长为5，则它的周长是 .2．如图1，在△ABC 中，AB=AC=32cm ，DE 是AB 的垂直平分线， 分别交AB 、AC 于点D 、E.(1)若∠C=700，则∠CBE= °，∠BEC= °. (2)若BC=21cm ，则△BCE 的周长是 cm.3. 如右图，在△ABC 中，D ，E 分别是边AC 、AB 的中点，连接BD ．若BD 平分∠ABC，则下列结论错误的是( )A ．BC=2BEB ．∠A =∠EDAC ．BC=2AD D ．BD⊥AC 4．如右图，已知△ABC ，求作一点P ，使P 到∠A 的两边的距离相等，且PA=PB ．下列确定P 点的方法正确的是( ) A ．P 为∠A 、∠B 两角平分线的交点B ．P 为∠A 的角平分线与AB 的垂直平分线的交点C ．P 为AC 、AB 两边上的高的交点D ．P 为AC 、AB 两边的垂直平分线的交点 三、例题分析例1 如图，△ABC 中，AB=AC ，角平分线BD 、CE 相交于点O. （1）OB 与OC 相等吗？请说明你的理由；（2）若连接AO ，并延长AO 交BC 于点F.你有哪些发现？请写出两条，并就其中的一条发现写出你的发现过程.AB C DE(第2题图) C AD BE (第3题图) A B C P (第4题图) OAB CDE例2 (2011日照)如图，已知点D 为等腰直角△ABC 内一点， ∠CAD=∠CBD=15°，E 为AD 延长线上的一点，且CE=CA ． （1）求证：DE 平分∠BDC ；（2）若点M 在DE 上，且DC=DM ，求证：ME=BD ．四、巩固练习1. 在△ABC 中，∠C=90，AC 的垂直平分线交AB 于点D ，AD=2，则BD= . 2．如图1,∠A=90°,BD 是△ABC 的角平分线,AC=10,DC=6.则D 到BC 的距离为___ .3．如图2，△ABP 与△CDP 是两个全等的等边三角形，且PA ⊥PD.有下列四个结论： (1)∠PBC=15°；(2)AD ∥BC ；(3)直线PC 与AB 垂直；(4)四边形ABCD 是轴对称图形. 其中正确结论个数是（ ）A ． 1 B. 2 C. 3 D. 44．如图，在下列三角形中，若AB=AC ，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（ ）A.(1)(2)(3)B. (1)(2)(4)C. (2)(3) (4)D. (1)(3)(4) 5．(2011乐山)如图，在直角△ABC 中，∠C=90°,∠CAB 的平分线AD 交BC 于点D ，若DE 垂直平分AB ，求∠B 的度数．900B •A C1080 B •AC B •B •AC360A C45(1) (2)(3)(4)M EDBAC图1 图2PDAB CE DBAC6. 如图，AD 是△ABC 的中线，且∠ADC=60°，BC=4. 把△ADC 沿直线AD 折叠后，点C 落在C ′的位置上，求BC ′的长.§3.4 直角三角形和勾股定理一、 知识要点直角三角形的性质；勾股定理和勾股定理的逆定理及其应用。
等腰直角三角形斜边450mm
等腰直角三角形斜边450mm
等腰直角三角形是指一个三角形有两条边相等，并且其中一个角为直角的三角形。
在这个问题中，我们需要找到一个等腰直角三角形，其中斜边的长度为450mm。
为了解决这个问题，我们可以使用勾股定理。
勾股定理是一个基本的几何定理，它描述了直角三角形中各边之间的关系。
根据勾股定理，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
我们需要确定两条直角边的长度。
由于这是一个等腰直角三角形，两条直角边相等。
假设每条直角边的长度为x mm。
根据勾股定理，我们可以得到以下方程：
x^2 + x^2 = 450^2
简化方程：
2x^2 = 202500
继续简化方程：
x^2 = 101250
解方程得到：
x ≈ 318.198 mm
每条直角边的长度约为318.198 mm。
接下来，我们可以计算出斜边的长度。
根据勾股定理，斜边的平方等于两条直角边平方和。
斜边长度≈ √(318.198^2 + 318.198^2)
斜边长度≈ √(101250 + 101250)
斜边长度≈ √202500
斜边长度≈ 450 mm
等腰直角三角形的斜边长度为450 mm。
总结：
根据勾股定理，我们可以找到一个等腰直角三角形，其中斜边的长度为450 mm。
每条直角边的长度约为318.198 mm。
通过解方程和计算平方根，我们得出这个结果。
三角形 勾股定理
勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
具体来说，如果直角三角形的两条直角边长度分别为a和b，斜边长度为c，则勾股定理可以表示为：a² + b² = c²。
在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。
而在西方，最早提出并证明此定理的是公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。
勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
此外，勾股定理在数学、工程和物理等领域有着广泛的应用，例如用于测量、计算和解决与直角三角形有关的各种问题。
以上信息仅供参考，如需了解更多信息，建议查阅相关书籍或咨询数学专业人士。
直角三角形面积的公式
直角三角形面积的公式直角三角形是一个常见的几何形状，它由三条线构成，每条线都有一个直角，因此又称为“直角三角形”。
它有很多应用，本文将介绍用直角三角形计算面积的公式。
首先，说明直角三角形。
它由三条线构成，每条线都有一个直角，元素为a，b和c。
a和b是两个直角，而c是对角线。
接下来了解直角三角形的公式。
直角三角形的面积是用一个被称为勾股定理的公式来计算的。
勾股定理是这样的：a+b=c。
可以用这个公式来计算直角三角形的面积：面积=1/2abc。
计算平方：平方是将一个数字乘以它自身的操作。
如果要计算a，只需要将a乘以它自身，即a*a=a。
同样的，b=b*b，c=c*c。
计算面积：面积=1/2abc。
只需要将三角形的三条边的长度分别相乘，然后将结果乘以1/2.直角三角形的面积有时也用下面的等腰三角形公式来计算：面积=1/2l*h，其中l是底边的长度，h是直角边的长度。
综上所述，计算直角三角形面积的公式是勾股定理（a+b=c），也可以用等腰三角形公式（1/2l*h）来计算。
直角三角形面积的计算是一个常见的几何概念，它在机械工程、土木工程、水文学（江河中形状计算）、地质、影像处理等领域有广泛的应用。
例如，它能够用来测量建筑物的大小，以及用来计算地图坐标的距离。
在学习几何时，直角三角形面积的公式是值得学习和记忆的，它作为几何学的基础。
掌握了它的计算，可以让我们深入了解其他几何问题，从而掌握几何的一般数学知识。
直角三角形作为基本几何形状，有多种应用，理解公式将有助于我们深入探讨它的应用，解决实际中遇到的多种几何问题。
通过本文的学习，可以了解直角三角形面积的公式，从而帮助我们学习更多的几何数学知识并解决实际问题。
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那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理
互逆命题
如果直角三角形两直角边分别为a，b，
斜边为c，那么 a2 + b2 = c2
开启 智慧 定理与逆定理
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它 是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个 定理称另一个定理的逆定理.
我们已经学习了一些互逆的定理,如: 勾股定理及其逆定理, 两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行.
驶向胜利 的彼岸
三、基本练习 ㈠填空题
1. 等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长 分为15，8两部分，则它的底边长为__3______.
2、“同角的余角相等”的逆命题是 如__果_两__个__角__相_等__，__那__么_这__两. 个角是同一个角的余角
3、等腰三角形的一个内角为70º，它一腰上的
PD⊥OA，若PC=4，则PD=___2____.
B
A
MC
8、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠Ａ＝１5°,
AB的垂直平分线交AC于M，则MC：MA=___3_:_2__.
边在上△A的B中C线中，，底AB边=上A的C,高点互D相在重BC合上A
1、∵AD ⊥ BC
∴∠ 1 = ∠2 ，B__D__= DC 。
2、∵AD是中线，
B1
∴ AD⊥BC ，∠ 1=∠ 2 。
3、∵AD是角平分线，
11 22 C
D
∴AD ⊥BC ，BD=DC 。
1、求有关等腰三角形
等 等边对等角 的问题，作顶角平分
性质２：等腰三角形的顶角的平分 线，底边上的中线，底边上的高互 相重合。（简称“三线合一” A）
Ａ
11 22
B
C
B
C
D
用符号语言表示为：
性质1:等腰三角形的两底角相等
在△ABC中，
∵ AC=AB（ 已知）
Ａ
∴ ∠B=∠C （ ） 等边对等角
1
C B
用符号语言表示为：
性质2:等腰三角形的顶角的平分线，底
九年级总复习之
等腰三角形、直角三角形
有两条边相等的三角形叫做等腰三
角形. A
等腰三角形中，
顶 相等的两边都叫做腰，
角
腰腰Βιβλιοθήκη 另一边叫做底边，底角
B
底角 C 两腰的夹角叫做顶角，
底边
腰和底边的夹角叫做底角.
※等腰三角形是轴对称图形， 对称轴是顶角平分线所在的直线。
性质1：等腰三角形的两底角相等。 （简写成“等边对等角” ）
直角三角形斜边上的中线等 于斜边的一半.
A
B
o
D
C
在直角三角形中，有一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的 一半.
在直角三角 A
B
形中，如果有一
直角边等于斜边
o
的一半， 那么
它所对的锐角等
于30°；
D
C
勾股定理 (毕达哥拉斯定理)
直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方.
c弦
b
股
(B) 两条边彼此相等的两个直角三角形全等
(C) 有一高对应相等的等边三角形全等
(D) 有一条边彼此相等的等腰直角三角形全等
2. 等腰三角形的一个内角为98 º ，那么一腰上的高 线与底边的夹角为（A ）。 (A) 49º (B) 41º (C) 36º (D) 8º
3. 下列条件：①已知两腰；②已知底边和顶角；③ 已知顶角与底边；④已知底边和底边上的高；⑤ 已知腰和腰上的高线。其中能确定一个等腰三角 形的条件B是（ ）。
6.已知直角三角形的两条直角边为3和4，那
么
该直角三角形1斜2/5边上
7的.如高图线，长若为直角__三__角_形__A_B_C_.的周长 D
A
为62+ ，
E
斜边上的中线长为l，那么这个
直角三角形的面积是_1_/_2______.
B
C
三、基本练习 ㈡ 选择题
1. 下列命题中，正确的是（C ）。 (A) 两腰对应相等的两个等腰三角形全等
┏
a勾
a2+b2=c2
⒈ 勾股定理是几何中最重要的定理之 一，它揭示了直角三角形三边之间的 数量关系. ⒉勾股定理： 直角三角形两直角边a、b 平方和， 等于斜边c平方
a2+b2 =c2
⒊勾股定理的主要作用是 在直角三角形 中,已知任意两边求第三边的长
勾股定理的逆命题
如果三角形的三边长a、b、c满足
简写成：等角对等边
一条线段的垂直平分线上的 点到这条线段两个端点距离相等
到线段两个端点距离 相等的点在这条线段的垂 直平分线上
等腰三角形的性 质定理和判定定 理 互为逆命题
一般三角形
等边三角形
⒈ 三个角都相等的三角形是等边三角形.
等腰三角形
等边三角形
⒉ 有一个角是60°的等腰三角形是等边 三角形.
(A)①②③ (B)②③④ (C)②④⑤ (D) ③④⑤
三、基本练习
4.如果三角形的三条边上的高线的交点在此三角形的
一个顶点上，那么这个三角形为（ B ）。
(A) 锐角三角形
(B) 直角三角形
(C) 钝角三角形
(D) 等腰三角形
5.某区在旧城改造中要将一块如图所示的三角形空地 上种植草皮，已知这种草皮每平方米售价为10元， 则购买这种草皮至少要（ C）。 (A) 4500元 (B) 2250元
腰
线、底边中线，底边
三
的高是常用的辅助线；
角 形 的
2、熟练掌握求解等腰 等腰三角形 三角形的顶角、底角
性 质
三线合一 的度数； 3、掌握等腰三角形三
线合一的应用。
1、等腰三角形的性质定理: 等腰三角形的两个底角相等。 （可以简称：等边对等角）
2.等腰三角形的判定定理:
如果一个三角形有两个角相等 那么这个三角形是等腰三角形。
高与底边所夹的度数为3_5_º_或__2_0_º__.
4.如图,已知在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AC的
垂直平分线EF交AC于点E,交BC于点F.
G
A
则BF与CF的数量关系为_B_F_=_1 2 ____C_F
E
B
F
C
三、基本练习
5.在△ABC中， ∠A， ∠B， ∠C的度数值之比 为1:2:3，且AB=6cm，则AB边上的中线长为 ___3_____cm.
150º
(C) 1500元 (D) 3000元
6.若△ABC的三条边 a，b，c 满足(a-b)(a2+b2-c2)=0,
则△ABC是（ D ）。 (A) 等腰三角形 (B)直角三角形 (C)等腰直角三角形
(D) 等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形
7、如图， ∠AOP= ∠BOP= １5°，PC∥OA，