湖南省永州市高一下学期期末考试数学试题

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2022-2023学年湖南省永州市高一下学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年湖南省永州市高一下学期期末数学试题一、单选题1．若复数z 满足(1i)2i z +=（其中i 为虚数单位），则z =（）A ．1i -B ．1i +C ．1i 2-D ．1i2+【答案】B【分析】根据复数的除法，求出复数z 即可.【详解】复数z 满足()1i 2i z +=，()()()()2i 1i 2i 1i 2i1i 1i 1i 1i 2z --∴====+++-，故选:B.2．若向量a ，b 满足1a = ，2b = ，1a b ⋅= ，则a 与b 的夹角为（）A ．π4B ．π3C ．2π3D ．3π4【答案】A【分析】根据向量的夹角公式，即可求解.【详解】12cos ,212a b a b a b ⋅===⨯，且[],0,π∈ a b ，所以π,4a b =.故选：A3．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a =，7c =，7cos 4B =，则b =（）A ．3B ．2C ．23D ．4【答案】B【分析】根据余弦定理，即可求解.【详解】根据余弦定理可知，22272cos 4722744b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=,则2b =.故选：B4．袋中有大小质地完全相同的5个球，其中红球3个，黄球2个，从袋中任意取2个球，则取出的2个球都是红球的概率为（）A ．110B ．25C ．310D ．35【答案】C【分析】利用古典概型公式，结合列举法，即可求解.【详解】设3个红球为123,,a a a ，2个黄球为12,b b ，则从袋子中任取2个球包含，()()()()12131112,,,,,,,a a a a a b a b ，()()()232122,,,,,a a a b a b ，()()()313212,,,,,a b a b b b ，共10个基本事件，其中两个都是红球，包含()()1213,,,a a a a ，()23,a a ，共3个基本事件，则取出的2个球都是红球的概率310P =.故选：C5．在长方体1111ABCD A B C D -中，23AB AD ==，12AA =，则异面直线1AD 与11A C 所成角的余弦值为（）A ．24B ．34C ．54D ．64【答案】D【分析】根据题意，将异面直线夹角转化为1AD 与AC 所成的角，再由余弦定理，即可得到结果.【详解】如图连接1,AC CD ，在长方体1111ABCD A B C D -中，因为11//A C AC ，所以直线1AD 与11AC 所成角等于1AD 与AC 所成的角；在1ACD △中，26AC =，114AD CD ==，由余弦定理可得，()222222111142646cos 242264D A CA D C D AC AC AD +-+-∠===⋅⨯⨯.故选：D6．图1是宋代五大名窑中汝窑制造的双耳罐，它装物的有效部分可近似看成由两个圆台拼接而成（如图2所示）在图2中，已知下底面圆的直径是6，中间圆的直径是10，上底面圆的直径是4，上下底面圆的距离是5，且上、下两圆台的高之比是2:3，若不考虑罐壁的厚度，则该汝窑双耳罐的容积为（）A ．69πB ．72πC ．75πD ．78π【答案】C【分析】由图可知，双耳罐是由两个圆台组成，上面圆台底面半径分别为2,5；下面圆台底面半径分别为53，，分别求出两个圆台的高，再利用圆台的体积公式可求得结果．【详解】由图可知，双耳罐是由两个圆台组成，上面圆台底面直径分别为4,10，所以圆台底面半径分别为2,5；下面圆台底面直径分别为10,6，所以圆台底面半径分别为53，；又因为容器上下底面圆的距离是5，且上、下两圆台的高之比是2:3，所以上面圆台的高2，下面圆台的高是3，故该汝窑双耳罐的体积为：,()()112425+10π3925+15π75π33⨯⨯++⨯⨯+=．故选：C ．7．已知OA ，OB ，OC 均为单位向量，220OA OB OC ++=，则BA BC ⋅ 的值为（）A ．38B ．58C ．78D ．158【答案】D【分析】由220OA OB OC ++=得出22OB OC OA +=- ，可得出()224OB OCOA += ，可计算出OB OC⋅ 的值，同理求得,OA OC OA OB ⋅⋅，再根据()()BA BC OA OB OC OB ⋅=-⋅- 结合数量积的运算律即可得解.【详解】由于OA 、OB 、OC均为单位向量，则1OA OB OC === ，由220OA OB OC ++=可得22OB OC OA +=- ，所以()224OB OCOA += ，即()22421OB OC OB OC ++⋅= ，所以78OB OC ⋅=- ，由220OA OB OC ++=，可得22OA OC OB +=- ，所以()2224OA OCOB += ，即22444OA OC OA OC ++⋅= ，所以14OA OC ⋅=- ，由220OA OB OC ++=，可得22OA OB OC +=- ，所以()2224OA OBOC += ，即22444OA OB OA OB ++⋅= ，所以14OA OB ⋅=- ，则()()2BA BC OA OB OC OB OA OC OA OB OC OB OB⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+ 1171514488=-+++=.故选：D.【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：（1）利用定义：（2）利用向量的坐标运算；（3）利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．8．在ABC 中，BD 平分ABC ∠，且BD 交AC 于D ，若1BD =，1cos 3ABC ∠=，则22411AB BC AB BC+++的最小值为（）A ．25612B ．29612C ．31612D ．35612【答案】D【分析】设2ABC θ∠=，得到ABD DBC θ∠=∠=，根据ABC ABD BCD S S S =+ ，列出方程，求得11263BC AB +=，化简224112643AB BC AB BC AB BC +++=++，结合基本不等式，求得4AB BC +的最小值，即可求解.【详解】在ABC 中，设2ABC θ∠=，则ABD DBC θ∠=∠=，因为1cos 203θ=>，所以222sin 21cos (2)3θθ=-=，且1cos 23sin 23θθ-==，又因为ABC ABD BCD S S S =+ ，所以111sin 2sin sin 222AB BC AB BD BD BC θθθ⨯=⨯+⨯，整理得11263BC AB +=，所以224111126443AB BC AB BC AB BC AB BC AB BC +++=+++=++，由1134339644)594262626AB BC AB BC AB BC BC AB BC AB ⎛⎫⎛⎫+=++⨯=++⨯≥⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（，当且仅当4AB BC BC AB =，即3624BC AB ==时，4AB BC +取得最小值，所以22411AB BC AB BC +++的最小值为96263564312+=．故选：D.9．分别抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件A =“第一枚出现点数为奇数”，事件B =“第二枚出现点数为偶数”，则下列结论正确的是（）A ．1()2P A =B ．1()2P AB =C ．事件A 与B 互斥D ．事件A 与B 相互独立【答案】AD【分析】根据古典摡型的概率计算公式，互斥事件的定义，以及相互独立事件的判定方法，逐项判定，即可求解.【详解】分别抛掷两枚质地均匀的骰子，其中基本事件的总数为36种，事件A =“第一枚出现点数为奇数”，共有1863=⨯种，所以1()2P A =，所以A 正确；由事件B =“第二枚出现点数为偶数”，所以331()364P AB ⨯==，所以B 不正确；当第一枚抛出1点，第二枚抛出2点时，此时事件A 与事件B 同时发生，所以A 与B 不互斥，所以C 不正确；由631()362P B ⨯==，可得()()()P AB P A P B =，所以事件A 与事件B 相互独立，所以D 正确.故选：AD.二、多选题10．下列说法中正确的是（）A ．若复数12z i =-，则复数z 在复平面内所对应的点在第四象限B ．若两个复数的积是实数，则它们一定互为共轭复数C ．若向量(,3)a x = ，(2,1)b =-的夹角为锐角，则实数x 的取值范围为3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．若(,)OA xOB yOC x y =+∈R，且1x y +=，则A ，B ，C 三点共线【答案】ACD【分析】A 选项，根据复数的几何意义进行判断；B 选项，利用纯虚数可以举出反例；C 选项，根据向量的夹角公式进行计算；D 选项，根据向量的共线定理进行判断.【详解】A 选项，若12z i =-，根据复数的几何意义，则复数z 在复平面内所对应的点为(1,2)-，该点在第四象限，A 选项正确；B 选项，i i 1⨯=-∈R ，但i,i 并不是互为共轭复数，B 选项错误；C 选项，若,a b共线，则(1)32x ⨯-=⨯，解得6x =-，此时(6,3)3a b =-=- ，,a b 的夹角为π，故,a b 成锐角时，230a b x ⋅=-> ，解得3,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，C 选项正确；D 选项，1x y +=时，(1)()OA xOB yOC xOB x OC x OB OC OC =+=+-=-+，故()CA OA OC x OB OC xCB =-=-=，根据向量的共线定理，,,A B C 三点共线，D 选项正确.故选：ACD11．在直三棱柱111ABC A B C -中，点D 是1BB 的中点，14AA AB ==，2AC =，60BAC ∠=︒，点P 为侧面11AAC C （含边界）上一点，//BP 平面1ADC ，则下列结论正确的是（）A ．1BC AC ⊥B ．点1A 到平面1AC D 的距离是5C ．直线BC 与平面1ACD 所成角的正弦值是14D ．线段BP 长的最小值是855【答案】ACD【分析】由底面条件分析得BC AC ⊥，再结合直棱柱的性质可得BC ⊥平面11AAC C ，从而1BC AC ⊥，选项A 正确；由等体积法可求点1A 到平面1AC D 的距离，选项B 错误；找到点E 为直线BC 与平面1AC D 的交点，求出CE 和点C 到平面1AC D 的距离，从而求出直线BC 与平面1AC D 所成角的正弦值是，判断选项C 正确；先找到点P 的轨迹，从而找到BP 的最小值，判断选项D.【详解】在ABC 中，4AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，由余弦定理，2222cos 12BC AC AB AC AB BAC =+-=，则222BC AC AB +=，90ACB ∠= ，即BC AC ⊥，又由直三棱柱111ABC A B C -，得1AA ⊥平面ABC ，所以1AA BC ⊥，又由1AA AC ⊂、平面11AAC C ，1AA AC A = ，可得，BC ⊥平面11AAC C ，而1AC ⊂平面11AAC C ，所以1BC AC ⊥，选项A 正确；设点1A 到平面1AC D 的距离为d ，1AC D △中，2214225AD AC ==+=，212124C D =+=，所以12214(25)282AC D S =-= ，由1111A AC D D AA C V V --=三棱锥三棱锥，即1111133AC D AA C S d S BC ×=× ，所以11112423238AA C AC D S BC d S ×=== ，选项B错误；如图，连结1AC ，交1AC 与点O ，延长1CB C D 、交于点E ，点E 为直线BC 与平面1AC D 的交点，因为112BD CC =，1BD CC ∥，所以B 为CE 得中点，即43CE =，又因为1A C 平面1AC D O =，且1AO CO =，所以点C 到平面1AC D 的距离等于点1A 到平面1AC D 的距离，由选项B 可知为3，所以直线BC 与平面1AC D 所成角的正弦值是31443=，选项C 正确；如图，取1AC CC 、中点H G 、，连结BH HG BG 、、，由于1BG C D ∥，所以BG ∥平面1AC D ，1HG AC ∥，所以HG ∥平面1AC D ，又BG HG G ⋂=，BG HG Ì、平面BHG ，所以平面BHG ∥平面1AC D ，则当P HG ∈时，//BP 平面1ADC ，且当BP GH ⊥时，BP 长的最小，在BHG 中，13,5,4BH GH BG ===，由余弦定理可得，2225cos 25BG HG BH BGH BG HG +-Ð==×，所以25sin 5BGH Ð=，则线段BP 长的最小值为85sin 5BG BGH Ð=，故选项D 正确.故选：ACD【点睛】方法点睛：求线面角的常用方法：（1）确定斜足、垂足，从而找到线面角求解;（2）直接找到直线上一点到平面的垂线段和斜线段的长度的比值，即为线面角的正弦值；（3）利用空间向量法.12．在ABC 中，2AB =，2BC =，10AC =，BM MC = ，2BN NC =，则（）A ．线段AN 的长度为573B ．143AN BC ⋅=C ．π4AMB ACB ∠+∠=D ．存在点P 在线段AB 的延长线上，使得CPM ∠的最大值为π4【答案】BCD【分析】首先利用基底表示1233AN AB AC =+ ，再利用余弦定理求cos BAC ∠，再结合数量积公式，即可判断AB ；首先利用余弦定理求得3π4ABC ∠=，再利用相似三角形，将角转化，表示为AMB ACB ∠+∠AMB MAB =∠+∠，即可判断C ；首先讨论点P 的位置，分三种情况讨论CPM ∠的大小，即可判断D.【详解】对于A 选项，22225cos 25AB AC BC BAC AB AC +-∠==⨯，cos 4AB AC AB AC BAC ⋅=⨯∠=uuu r uuu r uuu r uuu r212333AN AB BC AB AC =+=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，2221214458339993AN AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=+=++⋅=⎪⎝⎭uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，故A 错误.对于B 选项，AN BC ⋅=uuu r uuu r ()1214333AB AC AC AB ⎛⎫+⋅-= ⎪⎝⎭uuur uuu r uuu r uuu r ，故B 正确.对于C 选项，24102cos 2222ABC +-∠=⨯⨯=-,又由于()0,πABC ∠∈所以3π4ABC ∠=因为ABM CBA ∠=∠，AB BMBC AB=，得MBA ABC ，得MAB ACB ∠=∠所以AMB ACB ∠+∠ππ4AMB MAB ABC =∠+∠=-∠=，故C 正确.对于D 选项，如图，过点M 和点C 分别作AB 延长线的垂线，垂足分别为D ，H ①当点P 与点H 重合时，MH =MB ，π4CPM ∴∠=；②当点P 在BH 的延长线上时，设,CPH MPD αβ∠=∠=,设(2)B x x P =>，则222tan ,tan 222x x αβ==--，()2222222221222tan tan CPM x x x x αβ-∴∠=-=--+⨯--222214232442322232x x x x x x x==≤=-++-⋅-，当2x =时，等号成立，所以tan 1CPM ∠<故π4CPM ∠<③当点P 在HB 线段上时，点P 在以CH 为直径的圆外，易知π4CPM ∠<综上所述，存在点P ，使得CPM ∠的最大值为π4，故D 正确.故选：BCD三、填空题13．某学校为了解高一学生每天阅读时长，从高一男生和女生中采用分层抽样的方法抽取部分学生进行调查分析．已知该学校高一学生中男生和女生的比例是4:3，在抽取的学生中男生比女生多24人，则被抽取的学生人数是．【答案】168【分析】根据分层抽样的概念列式求解．【详解】设抽取的学生中男生人数为a ，女生人数为b ，则43a b =，且24a b -=，解得a ＝96，b ＝72，则被抽取的学生人数是96＋72＝168．故答案为：168．14．已知向量(2,3)a = ，(1,2)b =- ，则a 在b方向上的投影向量的坐标为．【答案】48,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】根据投影向量公式，即可求解.【详解】a 在b 方向上的投影向量为()21324555a b b b b b b⨯-+⨯⋅⋅=⋅=⨯ ，所以投影向量的坐标为()4481,2,555⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.故答案为：48,55⎛⎫- ⎪⎝⎭15．一个人骑自行车由A 地出发向东骑行了6km 到达B 地，由B 地向南东30︒方向骑行了6km 到达C 地，从C 地向北偏东60︒骑行了23km 到达D 地，则A ，D 两地的距离是km ．【答案】239【分析】结合题意建立直角坐标系，利用向量的坐标运算求出AD ，从而求出AD 即可.【详解】以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，如图，则(0,0),(6,0)A B ，(66sin 30,6cos30)C +︒-︒，即(9,33)C -，(923sin 60,3323cos 60)D +︒-+︒，即(12,23)D -，所以(12,23)AD =- ，故2212(23)239AD =+-= .所以A ，D 两地距离为239km .故答案为：239.16．在矩形ABCD 中，1AB =，2BC =，点E ，F 分别为BC ，AD 的中点，点H 为AE 的中点，将ABE 沿直线AE 翻折至1AB E △的位置，当145B HF ∠=︒时，三棱锥1B AED -的外接球的体积是．【答案】6π【分析】首先利用几何关系，找到球的球心，再根据球的半径求三棱锥外接球的体积.【详解】因为在矩形ABCD 中，1AB =，2BC =，点E ，F 分别为BC ，AD 的中点，所以ABE ，AED △为等腰直角三角形，如图，由题可知点F 为AED △的外心，过点F 作直线l ，使l ⊥平面ABCD ．又H 点为Rt 1AB E △的外心，过H 点作l '⊥平面1AEB ．l '交l 于O 点，则点O 为球心，设球的半径为R ，易知45FHO ∠= ，则22OF =，在Rt FOD △中：2262R OD OF FD ==+=．所以球的体积为34π6π3V R ==．故答案为：6π四、解答题17．已知向量(2,1)a = ，(1,2)b = ，(3,5)c =r ．(1)若()a b b λ+⊥ ，求λ的值；(2)若ma nb + 与c 共线，求n m的值．【答案】(1)45λ=-(2)7【分析】（1）利用向量垂直，可知()0a λb b +⋅=u u r r r，再代入数量积公式，即可求解；（2）代入向量共线的坐标表示，即可求解.【详解】（1）(2,1)(1,2)a b +=+r r λλ(2,12)λλ=++由(+)a λb u u r r ⊥b ，得()0a λb b +⋅=u u r r r 即22(12)0λλ+++=解得45λ=-（2）(2,1)(1,2)ma nb m n +=+r r (2,2)m n m n =++由+ma nb r r 与c 共线，得5(2)3(2)0m n m n +-+=化简得7m n=故7n m=18．锦绣潇湘·大美永州，据统计，零陵古城在今年“五一”当天吸引游客达12万人次，同比大幅增长．当地旅游主管部门为了更好的为游客服务，在景区随机发放评分调查问卷100份，并将问卷评分数据分成6组：[)70,75，[)75,80，，[)80,85，[)85,90，[)90,95，[]95,100，绘制如图所示频率分布直方图．(1)已知样本中分数在[)80,85的游客为15人，求样本中分数小于80的人数，并估计第75百分位数；(2)已知样本中男游客与女游客比例为3:2，男游客样本的平均值为90，方差为10，女游客样本平均值为85，方差为12，由样本估计总体，求总体的方差．参考公式：分层抽样中两组数据x ，y 的抽样比例是n m ，则总样本方差()()22222y x n S S z x S y n m n m m z ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦++，其中z 为总样本平均数．【答案】(1)样本中分数小于80的人数为10人，第75百分位数约为94(2)845【分析】（1）由频率分布直方图求得分数在[]85,100内的频率为0.75，进而求得分数小于80分的人数，设第75百分位数为x ，得到900.250.25x -=，即可求解；（2）根据分层抽样的平均数和方差的计算公式，即可求解.【详解】（1）解：由频率分布直方图，可得分数在[]85,100内的频率为(0.060.050.04)50.75++⨯=，所以分数在[]85,100内的人数为1000.7575⨯=，所以分数小于80分的人数为100751510--=，由题意可设第75百分位数为x ，其中[)90,95x ∈，则900.250.25x -=，解得94x =，故样本中分数小于80的人数为10人，第75百分位数约为94.（2）解：由已知可得总样本平均值为329085882323n m z x y m n m n =+=⨯+⨯=++++，又由()()22222x y n m S S z x S z y n m n m ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦++223242428410(8890)12(8885)2323555⎡⎤⎡⎤=+-++-=+=⎣⎦⎣⎦++，所以用样本估计总体，总体的方差约为845.19．如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，点O 为BD 的中点．(1)证明：AO BC ⊥；(2)若OCD 是边长为4的等边三角形，点E 为AD 中点，且二面角E BC D --的大小为30︒，求三棱锥A BOC -的体积．【答案】(1)证明见解析(2)8【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可证明AO ⊥平面BCD ，进而得出结论；（2）过点E 作EF ∥AO 交BD 于点F ，过点F 作FM ⊥BC ，则EF ⊥平面BCD ，进而得BC ⊥平面EFM ，可知二面角E BC D --的平面角为EMF ∠，且30EMF ∠=︒，BCD △为直角三角形，求出AO ，利用锥体体积公式可得解.【详解】（1） AB ＝AD ，点O 为BD 中点，∴AO ⊥BD ，又平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD 平面BCD =BD ,AO ⊂平面ABD ，∴AO ⊥平面BCD ，又 BC ⊂平面BCD ，∴AO ⊥BC ；（2）过点E 作EF ∥AO 交BD 于点F ，过点F 作FM ⊥BC ，垂足为M ，连接EM ，AO ⊥平面BCD ，EF ∥AO ，∴EF ⊥平面BCD ，又 BC ⊂平面BCD ，∴EF ⊥BC ，FM ⊥BC ，FM EF F =I ，EF 、FM 在面EFM 内，∴BC ⊥平面EFM ，又 EM ⊂平面EFM ，∴BC ⊥EM ，∴二面角E BC D --的平面角为EMF ∠，且30EMF ∠=︒，BO OD =,OCD 为正三角形，∴BCD △为直角三角形，90BCD ∠=︒，∴FM ∥CD ，点F 为BD 的靠近点D 四等分点，334344FM CD ∴==⨯=，∴3tan 30333EF FM =︒=⨯=，∴223AO EF ==，AO ⊥Q 平面BCD ，1113442383322A BOC BOC V S AO -∴=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=△.20．一位外地游客到永州市旅游，其游览阳明山、九疑山、舜皇山这3个著名景点的概率分别为0.5，0.5，0.6，且该游客是否游览哪个景点互不影响．设C 表示该游客对上述3个景点游览的景点数与没有游览的景点数的差．(1)记“1C =”为事件A ，求()P A 的值．(2)记“函数()C f x x x=+，在区间[)1,+∞上单调递增”为事件B ，求()P B 的值．（函数的单调性只需判断，不要求证明）【答案】(1)0.75(2)0.85【分析】（1）根据当1=C 时，表示的事件为该游客游览了两个景点，有一个景点没有游览，当1C =-时，表示的事件为该游客游览了一个景点，有两个景点没有游览，利用独立事件与互斥事件概率公式求解即可；（2）先判断当1C =-，3C =-，1=C 时，()f x 在[)1,∞+上单调递增，当3C =时，()f x 在[)1,∞+上不是单调递增，利用独立事件与对立事件的概率公式求解即可.【详解】（1）由条件可知C 的取值为3-，1-，1，3当1=C 时，表示的事件为该游客游览了两个景点，有一个景点没有游览其概率为(1)0.50.50.40.50.60.520.4P C ==⨯⨯+⨯⨯⨯=当1C =-时，表示的事件为该游客游览了一个景点，有两个景点没有游览其概率为(1)0.50.50.40.50.50.40.50.50.60.35P C =-=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=故()(1)(1)0.40.350.75P A P C P C ==+=-=+=（2）当1C =-时，1()f x x x =-在[)1,∞+上单调递增当3C =-时，3()f x x x =-在[)1,∞+上单调递增当1=C 时，1()f x x x =+在[)1,∞+上单调递增当3C =时，3()f x x x=+在[)1,∞+上不是单调递增(3)0.50.50.60.15P C ==⨯⨯=故()1(3)10.150.85P B P C =-==-=21．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，正方形ABCD 的边长为2，E 是PA 的中点．(1)求证：//PC 平面BDE ；(2)若4PD =，线段PC 上是否存在一点F ，使AF ⊥平面BDE ？若存在，求出PF 的长度；若不存在，请说明理由．（用坐标法解答不给分）【答案】(1)证明见解析(2)存在，655PF =【分析】（1）根据线面平行的判断定理，转化为证明线线平行，通过中点，构造中位线，即可证明；（2）利用垂直关系，转化为证明AF OE ⊥，AF BD ⊥，即可说明存在点F ，再根据等面积法求PF 的长度.【详解】（1）证明：连接AC 交BD 于点O ，连接OE四边形ABCD 是正方形，∴点O 是AC 的中点又点E 是PA 的中点，∴//OE PCOE ⊂平面BDE ，PC ⊄平面BDE∴//PC 平面BDE（2）存在理由如下：过点A 作AF ⊥PC ，垂足为点F ，由（1）可知//OE PC∴AF OE⊥ PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD∴PA BD⊥ 四边形ABCD 为正方形∴BD AC⊥又 PA ⊂平面ACP ，AC ⊂平面ACP ，PA AC A= ∴BD ⊥平面ACP又 AF ⊂平面ACP∴BD AF⊥又 BD ⊂平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，BD OE O ⋂=，∴AF ⊥平面BDE 2223AP PD AD =-=，22AC =，2225PC AP AC =+=，∴在Rt PAC △中，由等面积法可得2322230525AP AC AF PC ⨯⨯===∴()2222230652355PF AP AF ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭∴存在点F ，使得AF ⊥平面BDE ，655PF =22．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2b c ==，3sin cos a b C C c++=，点D ，P 为平面内两动点，1CD = ，点N 是BC 的中点，DN 与AC 相交于点M （点M 异于点A ，C ），点O 为ABC 内切圆圆心，且13PO =．(1)求角A 和222PA PB PC ++ 的值；(2)设(01)CM tCA t =<< ，()NM g t ND= ，求()g t 的最小值．【答案】(1)3A π=，222PA PB PC ++ 的值为133(2)233-【分析】（1）根据题意，利用正弦定理取得3sin cos 1B B =+，进而得到π3B =，得出ABC 是等边三角形，以O 点为原点建立如图所示平面坐标系xOy ，设11(cos ,sin )33P θθ，分别取得向量,,PA PB PC 的坐标，结合向量的坐标运算，即可求解.（2）设NM ND =uuuu r uuu r λ，()NM g t ND==uuuu r uuu r λ，根据向量的运算法则，得到242122t t t λ-+=-，结合基本不等式，即可求解.【详解】（1）解：由3sin cos a b C C c++=，2b c ==，根据正弦定理得sin sin 3sin cos sin a c A C C C b B+++==，可得3sin sin cos sin sin()sin C B C B B C C+=++即3sin sin cos sin sin cos cos sin sin C B C B B C B C C+=++所以3sin sin cos sin sin C B B C C =+，因为(0,π)C ∈，可得sin 0C ≠，所以3sin cos 1B B =+，则π2sin()16B -=，解得ππ66B -=或π5π66B -=，即π3B =或B π=，又(0,π)B ∈，故π3B =，则π3C B ==，ππ3A B C =--=，所以ABC 是等边三角形，故ABC 内切圆圆心为ABC 的中心，以O 点为原点建立如图所示平面坐标系xOy ，设11(cos ,sin )33P θθ，由23(0,)3A 3(1,)3B -，3(1,)3C --，所以1231cos ,sin 333PA ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭uur θθ，1311cos ,sin 333PB ⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭uur θθ，1311cos ,sin 333PC ⎛⎫=---- ⎪ ⎪⎝⎭uuu r θθ则22222212311cos sin 1cos 3333PA PB PC θθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭uur uur uuu r 2223113113sin 1cos sin 333333θθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--+--+--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故π3A =，222PA PB PC ++ 的值为133.（2）解：设NM ND =uuuu r uuu r λ，()NM g t ND==uuuu r uuu r λ，则()CM CN CD CN -=-uuur uuu r uuu r uuu r λ，即(1)tCA CD CN =+-uur uuu r uuu r λλ，则(1)CD tCA CN =--uuu r uur uuu r λλ，所以2222222(1)(1)CD t CA t CA CN CN =--⋅+-uuu r uur uur uuu r uuu r λλλ，可得222142(1)2(1)2t t λλλ=--⋅⨯+-，可得2242114(1)6(1)3134(1)6222121t t t t t t t t λ-+---+⎡⎤==⋅=-+-⎢⎥---⎣⎦233≥-，当且仅当34(1)1t t -=-即312t =-时取等号，故()g t 的最小值为233-.。

湖南省永州市2022-学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)

A. 丁申年B. 丙寅年C. 丁酉年D. 戊辰年
【答案】C
【解析】
【分析】
天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，按照这个规律进行推理，即可得到结果．
【详解】由题意，天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，1994年是甲戌年，那么1777的天干为丁，地支为酉，应选：C．
【详解】由题意，记，又由，
那么
，
又为△ABC的三边长，
所以，所以，
另一方面，
由于，所以，
又，
所以，
不妨设，且为的三边长，所以．
令，那么，
当时，可得，从而，
当且仅当时取等号．
应选：B．
【点睛】此题主要考查了解三角形，综合了函数和不等式的综合应用，以及根本不等式和导数的应用，属于综合性较强的题，难度较大，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于难题．
故答案 3．
【点睛】此题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求〞，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于根底题．
15.在正数数列中，，且点在直线上，那么前项和等于__．
【答案】
【解析】
对于②：令，可得；
∴ 在区间上是增函数，所以②正确；
对于③：的图象关于轴对称，即关于轴对称的点是，
可得，所以③正确；
对于④：设函数，
当时，，
，，
∴ ，所以④正确．
故答案为：②③④
【点睛】此题主要考查了三角函数的图象和性质，其中解答中利用三角函数公式将函数进行化简是解决此题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．

2024届湖南省永州市祁阳县第一中学数学高一下期末达标检测模拟试题含解析

2024届湖南省永州市祁阳县第一中学数学高一下期末达标检测模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知平面//α平面β，直线m α⊂，直线n β⊂，则直线m ，n 的位置关系为（） A ．平行或相交 B ．相交或异面C ．平行或异面D ．平行､相交或异面2．已知ππ042βα<<<<，且5sin cos 5αα-=，π4sin 45β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()sin αβ+=（）A ．1010B ．1010-C ．31010D ．31010-3．执行如图所示的程序框图，则输出的s 的值为（）A ．34B ．45C ．56D ．674．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若2a =，1b =，3A π=，则ABC解的个数是（） A ．0B ．1C ．2D ．不确定5．已知函数()()2sin 10,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=++>≤ ⎪⎝⎭，其图象与直线1y =-相邻两个交点的距离为π，若()1f x >对于任意的,123x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭恒成立，则ϕ的取值范围是( ) A ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．,62ππ⎛⎤⎥⎝⎦ 6．一个平面截一球得到直径为6的圆面，球心到这个圆面的距离为4，则这个球的体积为( ) A ．1003πB ．2083πC ．5003πD ．41633π7．已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0>ω,π2ϕ<)的部分图像如图所示，则,ωϕ的值分别是( )A ．π2,6B ．π2,3 C ．π1,6D ．π1,38．设等差数列{a n }的前n 项的和S n ，若a 2+a 8＝6，则S 9＝（） A ．3B ．6C ．27D ．549．某高级中学共有学生3000人,其中高二年级有学生800人,高三年级有学生1200人,为了调查学生的课外阅读时长,现用分层抽样的方法从所有学生中抽取75人进行问卷调查，则高一年级被抽取的人数为（） A ．20B ．25C ．30D ．3510．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若7a =，43b =，13c =，则ABC 的最小角为（）A ．6π B ．3π C ．12πD ．4π 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

永州市2020年下期高一期末质量监测试卷数学参考答案及评分标准

永州市2020年下期高一期末质量监测试卷数学参考答案及评分标准一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）,有多项符三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．2 14．51315． 3{2}2x x x <->或 16四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 解：（1）{2}A B x x =≥ …………………………………… 4分（注：若在数轴上画对了已知集合的范围，则酌情给分）（2）{|}M N x x M x N -=∈∉且，∴有{|}A B x x A x B -=∈∉且235x x x x ⎧≥⎫⎧⎪⎪=⎨⎨⎬≤>⎪⎪⎩⎩⎭或 ……………………………………7分 {235}x x x =≤≤>或 ……………………………………10分18. 解：（1）因为1a =，解不等式2203x x +<-，得12x <<，所以实数x 的取值范围为(1,2) . …………………………………5分（2）由2220(03)x x a a a +<>-，得2a x a <<， …………………………………8分若选择①：因为p 是q 的充分不必要条件，则223a a ≥⎧⎨≤⎩，此不等式组无解，所以实数a 的值不存在； …………………………12分若选择②：因为p 是q 的必要不充分条件，则223a a ≤⎧⎨>⎩，解得322a <≤，所以实数a 的取值范围为3(,2]2.……………………………………12分19. 解：（1）依题意，35P y =，单位圆半径1r = ，由三角函数定义可得，3sin 15P y α==， ……………………………………5分（2）由三角函数定义可得，4sin 5β=， ……………………………………6分 α，β为锐角，∴4cos 5α=，3cos 5β=． ……………………………………8分4343cos()cos cos sin sin 05555αβαβαβ∴+=-=⨯-⨯=…10分α，β为锐角，0∴<+<αβπ．2παβ∴+=． ……………………………………12分20. 解：（1）因为44()cos 2sin cos sin f x x x x x m =--+2222(cos sin )(cos sin )sin 2x x x x x m =+--+ ……………………………………2分cos2sin2x x m =-+ ……………………………………3分)4x mπ=-+……………………………………5分（若化成())4f x x m π=++同样给分）所以22T ππ==. ……………………………………6分（2）因为02x π≤≤，所以32444x πππ-≤-≤， ……………………………………7分所以sin(2)14x π≤-≤，故()1m f x m +≤≤+，………………………………9分又因为()f x 在区间[0,]2π上的最大值为1，所以11m +=，即0m =，故())4f x x π=-， ………………………………10分又因为()0f x ≥，即)04x π-≥，sin(2)04x π∴-≤，由222,4k x k k Z ππππ-+≤-≤∈，得3,88k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，………………11分故[0,]2x π∈时，使()0f x ≥成立时自变量x 的集合为[0,]8π. ………………12分21．解：（1）设每瓶饮料的售价为a 元，依题意，有[9(14)0.5]149a a --⨯≥⨯，………………………………………………2分整理得2322520a a -+≤，解得1418a ≤≤，…………………………………………4分故，要使月销售收入不低于原来的月销售收入，每瓶饮料售价最多为18元．……5分（2）设该饮料的月销售量为t 万瓶，每瓶售价x 元， ……………………………6分则2114922tx x ≥⨯++…………………………………………………………8分211282128162tx x x t x ≥+⇒≥+≥= ……………………………………………10分当且仅当1282xx =，即16x =时，等号成立． ………………………………………11分故月销售量t 的最小值为16万瓶，此时每瓶饮料的售价16元． ………………12分22．解：（1）()ln()2021x x g x e e -=++的定义域为R , ……………………………1分且()ln()2021()x x g x e e g x --=++=， ……………………………3分 ∴函数()g x 在R 上为偶函数． ……………………………4分（2）12x x x xe e e e -+=+≥，当且仅当0x =时取等号， ………………………6分由题意1(0,)x ∀∈+∞，2x R ∃∈，使得112(2)()()0f x mf x g x +->成立即1(0,)x ∀∈+∞，112ln 22021x x e me +>+恒成立， ………………………………8分 ∴11ln 22021x x m e e +>-对于1(0,)x ∀∈+∞恒成立， ………………………………9分令1,1x t e t =>,则ln 22021m t t+>-, 设ln 22021()(1)h t t t t +=->，易知12ln 22021,y y t t+==-在(1,)+∞为减函数， ∴()h t 在(1,)+∞为减函数，则()(1)ln 22020h t h <=+,………………………………10分 ∴ln22020m ≥+． ……………………………………………………………………12分。

湖南省永州市高一下学期数学期末考试试卷

湖南省永州市高一下学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）(2018·佛山模拟) 函数的最小正周期和振幅分别是（）A .B .C .D .2. （2分）已知向量,若,则x=（）A .B .C .D .3. （2分）某射手射击一次，命中的环数可能为0，1，2，…10共11种，设事件A：“命中环数大于8”，事件B：“命中环数大于5”，事件C：“命中环数小于4”，事件D：“命中环数小于6”，由事件A、B、C、D中，互斥事件有（）A . 1对B . 2对C . 3对D . 4对4. （2分） (2017高一上·龙海期末) △ABC中，tan（A﹣B﹣π）= ，tan（3π﹣B）= ，则2A﹣B=（）A .B .C . -D . 或5. （2分）与圆x2+(y-2)2=1相切，且在每坐标轴上截距相等的距离有（）A . 2条B . 3条C . 4条D . 6条6. （2分）已知函数，（其中），其部分图象如图所示，则（）A .B .C .D .7. （2分）根据某组调查数据制作的频率分布直方图如图所示，则该组数据中的数位于区间（60，70）内的频率是（）A . 0.004B . 0.04C . 0.4 4D . 48. （2分）将函数的图像向右平移个单位，再向上平移1个单位，所得到函数的图像对应的解析式为（）A .B .C .D .9. （2分）已知，且sinθ＜0，则tanθ的值为（）A . -B .C . -D .10. （2分）从一副扑克牌（54张）中抽到牌“K”的概率是（）A .B .C .D .二、多选题 (共3题；共9分)11. （3分）(2020·淮北模拟) 关于函数，下列说法正确的是（）A . 函数以为周期且在处取得最大值B . 函数以为周期且在区间单调递增C . 函数是偶函数且在区间单调递减D . 将的图像向右平移1个单位得到12. （3分）(2020·日照模拟) 某大学进行自主招生测试，需要对逻辑思维和阅读表达进行能力测试.学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名.其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示，下列叙述正确的是（）A . 甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前B . 乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前C . 甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前D . 甲同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前13. （3分） (2019高一下·中山期末) 已知向量，是平面α内的一组基向量，O为α内的定点，对于α内任意一点P，当＝x +y 时，则称有序实数对（x，y）为点P的广义坐标．若点A、B的广义坐标分别为（x1 ， y1）（x2 ， y2），关于下列命题正确的是：（）A . 线段A，B的中点的广义坐标为（）；B . A，B两点间的距离为；C . 向量平行于向量的充要条件是x1y2＝x2y1；D . 向量垂直于的充要条件是x1y2+x2y1＝0三、填空题 (共4题；共4分)14. （1分）某单位有员工90人，其中女员工有36人，为做某项调查，拟采用分层抽样抽取容量为15的样本，则男员工应选取的人数是________15. （1分） (2016高三上·浦东期中) 已知一组数据7、8、9、x、y的平均数是8，则这组数据的中位数是________．16. （1分） (2018高二下·陆川月考) 设，则中点到C的距离________.17. （1分）四边形ABCD中，∠BAC=90°，BD+CD=2，则它的面积最大值等于________．四、解答题 (共6题；共60分)18. （10分）（1）计算：（﹣）0+lne﹣++log62+log63；（2）已知向量=（sinθ，cosθ），=（﹣2，1），满足∥，其中θ∈（，π），求cosθ的值．19. （10分） (2015高一下·城中开学考) 已知α∈（，π），tanα=﹣2（1）求的值；（2）求的值．20. （10分）(2012·广东) 某班50位学生期中考试数学成绩的频率直方分布图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中x的值；（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ，求ξ的数学期望．21. （10分）在一次考试中，5名同学的数学、物理成绩如表所示：学生A B C D E数学（x分）8991939597物理（y分）8789899293（1）根据表中数据，求物理分y关于数学分x的回归方程；（2）试估计某同学数学考100分时，他的物理得分；（3）要从4名数学成绩在90分以上的同学中选出2名参加一项活动，以X表示选中的同学中物理成绩高于90分的人数，试解决下列问题：①求至少选中1名物理成绩在90分以下的同学的概率；②求随机变变量X的分布列及数学期望E（X）．22. （10分）已知函数f（x）=2cosxsinx+2cos2x求；23. （10分）(2018高二上·黑龙江期末) 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，左顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点．（1）求椭圆的方程；（2）已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有，若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由；（3）若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、多选题 (共3题；共9分)11-1、12-1、13-1、三、填空题 (共4题；共4分)14-1、15-1、16-1、17-1、四、解答题 (共6题；共60分)18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、23-1、23-2、23-3、。

湖南省永州市高一下学期数学期末考试试卷

湖南省永州市高一下学期数学期末考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、单选题 (共 10 题；共 20 分)1. （2 分） (2020·定远模拟) 已知抛物线：线交于率为（）两点，且直线与圆的焦点为，过点的直线与抛物交于两点.若，则直线的斜A.B. C.D. 2. （2 分）已知向量 =（1，m）， =（2，﹣3），且 ∥ ，则 m=（）A.B.﹣C.D.﹣3. （2 分）已知直线与圆相切，且与直线A.B.或C.D.或4. （2 分） (2020·海南模拟) 设点是的重心，且满足第 1 页共 11 页平行，则直线的方程是（），则（）A.B. C.D. 5. （2 分）直线 l1：（3+a）x+4y=5﹣3a 和直线 l2：2x+（5+a）y=8 平行，则 a=（） A . ﹣7 或﹣1 B . ﹣7 C . 7或1 D . -16. （2 分） (2019·十堰模拟) 定义在不等式的解集为（）上的奇函数，当时，A.B.C.D.7. （2 分）已知等差数列{an}满足 a1+a2=5，a2+a3=7，则 a2016=（）A . 2016B . 2017C . 2018第 2 页共 11 页，则D . 20198. （2 分）已知圆 O 的半径为 2，A、B 是圆上两点,， MN 是圆 O 的一条直径，点 C 在圆内且满足，则的最小值为（）A . －2 B . －1 C . －3 D . －4 9. （2 分）设数列{an}的通项公式为：an=n2+kn（n∈N+），若数列{an}是单调递增数列，则实数 k 的取值范围是（） A . [﹣2，+∞） B . （﹣2，+∞） C . [﹣3，+∞） D . （﹣3，+∞）10. （2 分） (2019 高三上·丽水月考) 在△ABC 中，已知线段 AB 上的点，且 A.1 B.2 C.3 D.4的最大值为（）第 3 页共 11 页，P 为二、双空题 (共 4 题；共 4 分)11. （1 分） (2020·郑州模拟) 已知直角梯形，，是腰上的动点，则的最小值为________．．，，12. （1 分）已知钝角△ABC 的面积为， AB=1，BC= ，则角 B=________ AC=________ 13. （1 分）若 x，y 满足约束条件{,则 z=2x+y 的最大值为________ 。

湖南省永州市高一下学期期末数学试卷(理科)

湖南省永州市高一下学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）运行如图所示的程序，最后输出的结果是（）A . 3B . 1C . c=3D . c=12. （2分）角的终边经过点，则的可能取值为（）A .B .C .D .3. （2分） (2015高二下·泉州期中) 下列说法：①一组数据不可能有两个众数；②一组数据的方差必为正数，且方差越大，数据的离散程度越大；③将一组数据中的每个数都加上同一个常数后，方差恒不变；④在频率分布直方图中，每个长方形的面积等于相应小组的频率．其中错误的个数有（）A . 0B . 1C . 2D . 34. （2分）一次函数f(x)的图像过点A(-1,0)和B(2,3)，则下列各点在函数f(x)的图像上的是（）A . (2,1)B . （-1，1）C . (1,2)D . (3,2)5. （2分） (2016高一下·邯郸期中) 假设吉利公司生产的“远景”、“金刚”、“自由舰”三种型号的轿车产量分别是1600辆、6000辆和2000辆，为检验公司的产品质量，现从这三种型号的轿车中抽取48辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取（）A . 16，16，16B . 8，30，10C . 4，33，11D . 12，27，96. （2分）学校为了了解高二年级教学情况，对全省班、实验班、普通班、中加班的学生做分层抽样调查．假设我校高二年级总人数为N，其中全省班有学生96人．若在全省班、实验班、普通班、中加班抽取的人数分别为12,21,25,43，则总人数N为（）A . 801；B . 808；C . 853；D . 912.7. （2分） (2016高一下·天津期末) 某算法的流程图如图所示，运行相应程序，输出S的值是（）A . 60B . 61C . 62D . 638. （2分）在平面内，，若，则的取值范围是（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高一下·南平期末) 已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，则下列判断错误的是（）A . A=2B . ω=2C . f（0）=1D . φ=10. （2分）若A（﹣2，3），B（1，0），C（﹣1，m）三点在同一直线上，则m=（）A . -2B . -1C . 1D . 211. （2分） (2016高一下·仁化期中) 已知函数y=f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2﹣2x+3，则当x＜0时，f（x）的解析式（）A . f（x）=﹣x2+2x﹣3B . f（x）=﹣x2﹣2x﹣3C . f（x）=x2﹣2x+3D . f（x）=﹣x2﹣2x+312. （2分） (2015高一上·霍邱期末) 设x，y∈R，向量 =（x，1）， =（1，y）， =（2，﹣4），且⊥ ，∥ ，则| + |=（）A .B .C .D . 10二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高一下·上海月考) 已知，则的值为________.14. （1分）将1440°化为弧度，结果是________15. （1分） (2017高一下·盐城期末) 在Rt△ABC中，，AB=4，AC=3，则 =________．16. （1分）(2017·杨浦模拟) 已知函数f（x）= 的最小值为a+1，则实数a的取值范围为________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2017高一下·芮城期末) 已知向量（1）若，求；（2）若，求向量在方向上的投影.18. （15分） (2016高一下·滑县期末) 某车间为了规定工时定额，需要确定加工某零件所花费的时间，为此做了四次实验，得到的数据如表：零件的个数x（个）2345加工的时间y（小时） 2.534 4.5（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）求出y关于x的线性回归方程y= x+ ，并在坐标系中画出回归直线；（3）试预测加工6个零件需要多少时间？（注： = ， = ﹣）19. （10分）(2017·南京模拟) 已知向量为实数．（1）若，求t的值；（2）若t=1，且，求的值．20. （10分） (2016高二上·浦城期中) 已知集合{（x，y）|x∈[0，2]，y∈[﹣1，1]}（1）若x，y∈Z，求x+y≥0的概率；（2）若x，y∈R，求x+y≥0的概率．21. （10分） (2016高一下·华亭期中) 函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的一段图象如图所示（1）求f（x）的解析式；（2）把f（x）的图象向左至少平移多少个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？22. （5分）(2017·湖北模拟) 已知函数，且函数y=f（x）图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为．（Ⅰ）求ω的值及f（x）的对称柚方程；（Ⅱ）在△ABC，中，角A，B，C的对边分別为a，b，c．若，求b的值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1、答案：略2、答案：略3、答案：略4、答案：略5、答案：略6、答案：略7、答案：略8、答案：略9、答案：略10、答案：略11、答案：略12、答案：略二、填空题 (共4题；共4分)13、答案：略14-1、15、答案：略16、答案：略三、解答题 (共6题；共60分)17、答案：略18-1、18-2、18-3、19、答案：略20、答案：略21、答案：略22、答案：略。

2022-2023学年湖南省永州市高一(下)期末数学试卷【答案版】

2022-2023学年湖南省永州市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足z （1+i ）＝2i ，则z 等于（） A ．1+iB ．﹣1+iC ．1﹣iD ．﹣1﹣i2．若向量a →，b →满足|a →|=1，|b →|=√2，a →⋅b →=1，则a →与b →的夹角为（） A ．π4B ．π3C ．2π3D ．3π43．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，c =√7，cosB =√74，则b ＝（）A ．√3B ．2C ．2√3D ．44．袋中有大小质地完全相同的5个球，其中红球3个，黄球2个，从袋中任意取2个球，则取出的2个球都是红球的概率为（） A ．110B ．25C ．310D ．355．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB =AD =2√3，AA 1＝2，则异面直线AD 1与A 1C 1所成角的余弦值为（） A ．√24B ．√34C ．√54D ．√646．图1是宋代五大名窑中汝窑制造的双耳罐，它装物的有效部分可近似看成由两个圆台拼接而成（如图2所示）在图2中，已知下底面圆的直径是6，中间圆的直径是10，上底面圆的直径是4，上下底面圆的距离是5，且上、下两圆台的高之比是2：3，若不考虑罐壁的厚度，则该汝窑双耳罐的容积为（）A ．69πB ．72πC ．75πD ．78π7．已知OA →，OB →，OC →均为单位向量，OA →+2OB →+2OC →=0→，则BA →⋅BC →的值为（） A ．38B ．58C ．78D ．1588．在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，且BD 交AC 于D ，若BD ＝1，cos ∠ABC =13，则4AB 2+1AB +BC 2+1BC的最小值为（） A ．25√612B ．29√612C ．31√612D ．35√612二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．分别抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件A ＝“第一枚出现点数为奇数”，事件B ＝“第二枚出现点数为偶数”，则下列结论正确的是（） A ．P(A)=12 B ．P(AB)=12 C ．事件A 与B 互斥D ．事件A 与B 相互独立10．下列说法中正确的是（）A ．若复数z ＝1﹣2i ，则复数z 在复平面内所对应的点在第四象限B ．若两个复数的积是实数，则它们一定互为共轭复数C ．若向量a →=(x ，3)，b →=(2，−1)的夹角为锐角，则实数x 的取值范围为(32，+∞) D ．若OA →=xOB →+yOC →(x ，y ∈R)，且x +y ＝1，则A ，B ，C 三点共线11．在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，点D 是BB 1的中点，AA 1＝AB ＝4，AC ＝2，∠BAC ＝60°，点P 为侧面AA 1C 1C （含边界）上一点，BP ∥平面ADC 1，则下列结论正确的是（）A ．BC ⊥AC 1B ．点A 1到平面AC 1D 的距离是√5C ．直线BC 与平面AC 1D 所成角的正弦值是14D ．线段BP 长的最小值是8√5512．在△ABC 中，AB =√2，BC ＝2，AC =√10，BM →=MC →，BN →=2NC →，则（） A ．线段AN 的长度为√573B ．AN →⋅BC →=143C ．∠AMB +∠ACB =π4D ．存在点P 在线段AB 的延长线上，使得∠CPM 的最大值为π4三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．某学校为了解高一学生每天阅读时长，从高一男生和女生中采用分层抽样的方法抽取部分学生进行调查分析．已知该学校高一学生中男生和女生的比例是4：3，在抽取的学生中男生比女生多24人，则被抽取的学生人数是．14．已知向量a →=(2，3)，b →=(−1，2)，则a →在b →方向上的投影向量的坐标为．15．一个人骑自行车由A 地出发向东骑行了6km 到达B 地，由B 地向南东30°方向骑行了6km 到达C 地，从C 地向北偏东60°骑行了2√3km 到达D 地，则A ，D 两地的距离是 km ．16．在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，点E ，F 分别为BC ，AD 的中点，点H 为AE 的中点，将△ABE 沿直线AE 翻折至△AB 1E 的位置，当∠B 1HF ＝45°时，三棱锥B 1﹣AED 的外接球的体积是．四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知向量a →=(2，1)，b →=(1，2)，c →=(3，5)．（1）若(a →+λb →)⊥b →，求λ的值；（2）若ma →+nb →与c →共线，求nm的值．18．（12分）锦绣潇湘•大美永州，据统计，零陵古城在今年“五一”当天吸引游客达12万人次，同比大幅增长．当地旅游主管部门为了更好的为游客服务，在景区随机发放评分调查问卷100份，并将问卷评分数据分成6组：[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]，绘制如图所示频率分布直方图．（1）已知样本中分数在[80，85）的游客为15人，求样本中分数小于80的人数，并估计第75百分位数；（2）已知样本中男游客与女游客比例为3：2，男游客样本的平均值为90，方差为10，女游客样本平均值为85，方差为12，由样本估计总体，求总体的方差．参考公式：分层抽样中两组数据x ，y 的抽样比例是n m，则总样本方差S 2=n n+m[S x 2+(z −x)2]+mn+m [S y2+(z −y)2]，其中z 为总样本平均数．19．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，点O为BD的中点．（1）证明：AO⊥BC；（2）若△OCD是边长为4的等边三角形，点E为AD中点，且二面角E﹣BC﹣D的大小为30°，求三棱锥A﹣BOC的体积．20．（12分）一位外地游客到永州市旅游，其游览阳明山、九疑山、舜皇山这3个著名景点的概率分别为0.5，0.5，0.6，且该游客是否游览哪个景点互不影响．设C表示该游客对上述3个景点游览的景点数与没有游览的景点数的差．（1）记“|C|＝1”为事件A，求P（A）的值．（2）记“函数f(x)=x+Cx，在区间[1，+∞）上单调递增”为事件B，求P（B）的值．（函数的单调性只需判断，不要求证明）21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，E是P A的中点．（1）求证：PC∥平面BDE；（2）若PD＝4，线段PC上是否存在一点F，使AF⊥平面BDE？若存在，求出PF的长度；若不存在，请说明理由．（用坐标法解答不给分）22．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝c＝2，√3sinC+cosC=a+bc，点D，P 为平面内两动点，|CD →|=1，点N 是BC 的中点，DN 与AC 相交于点M （点M 异于点A ，C ），点O 为△ABC 内切圆圆心，且|PO →|=13．（1）求角A 和PA →2+PB →2+PC →2的值；（2）设CM →=tCA →(0＜t ＜1)，g(t)=|NM →||ND →|，求g （t ）的最小值．2022-2023学年湖南省永州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足z （1+i ）＝2i ，则z 等于（） A ．1+iB ．﹣1+iC ．1﹣iD ．﹣1﹣i解：∵复数z 满足z （1+i ）＝2i ，∴z =2i 1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=2i−2i 22=1+i ．故选：A ．2．若向量a →，b →满足|a →|=1，|b →|=√2，a →⋅b →=1，则a →与b →的夹角为（） A ．π4B ．π3C ．2π3D ．3π4解：|a →|=1，|b →|=√2，a →⋅b →=1，则cos〈a →，b →〉=a →⋅b→|a →||b →|=11×√2=√22，且〈a →，b →〉∈[0，π]，所以〈a →，b →〉=π4．故选：A ．3．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，c =√7，cosB =√74，则b ＝（）A ．√3B ．2C ．2√3D ．4解：b 2=a 2+c 2−2accosB =4+7−2×2×√7×√74=4，则b ＝2．故选：B ．4．袋中有大小质地完全相同的5个球，其中红球3个，黄球2个，从袋中任意取2个球，则取出的2个球都是红球的概率为（） A ．110B ．25C ．310D ．35解：根据题意，从袋中任取5个球共有C 52=10种取法，若取出的是红球共有C 32=3种可能，故取出的2个球都是红球的概率为310．故选：C ．5．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB =AD =2√3，AA 1＝2，则异面直线AD 1与A 1C 1所成角的余弦值为（）A ．√24B ．√34C ．√54D ．√64解：如图连接AC ，CD 1，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，因为A 1C 1∥AC ，所以直线AD 1与A 1C 1所成角等于AD 1与AC 所成的角，在△ACD 1中，AC =2√6，AD 1＝CD 1＝4，由余弦定理可得，cos ∠D 1AC =D 1A 2+CA 2−D 1C 22AC⋅AD 1=42+(26)2−422×26×4=√64．故选：D ．6．图1是宋代五大名窑中汝窑制造的双耳罐，它装物的有效部分可近似看成由两个圆台拼接而成（如图2所示）在图2中，已知下底面圆的直径是6，中间圆的直径是10，上底面圆的直径是4，上下底面圆的距离是5，且上、下两圆台的高之比是2：3，若不考虑罐壁的厚度，则该汝窑双耳罐的容积为（）A ．69πB ．72πC ．75πD ．78π解：由图可知，双耳罐是由两个圆台组成，上面圆台底面直径分别为4，10，所以圆台底面半径分别为2，5；下面圆台底面直径分别为10，6，所以圆台底面半径分别为5，3；又因为容器上下底面圆的距离是5，且上、下两圆台的高之比是2：3，所以上面圆台的高2，下面圆台的高是3，故该汝窑双耳罐的体积为：13×2×(4+25+10)π+13×3×(9+25+15)π=75π．故选：C ．7．已知OA →，OB →，OC →均为单位向量，OA →+2OB →+2OC →=0→，则BA →⋅BC →的值为（）A ．38B ．58C ．78D ．158解：由于OA →、OB →、OC →均为单位向量，则|OA →|=|OB →|=|OC →|=1，由OA →+2OB →+2OC →=0→可得2OB →+2OC →=−OA →，所以4(OB →+OC →)2=OA →2，即4(OB →2+OC →2+2OB →⋅OC →)=1，所以OB →⋅OC →=−78，由OA →+2OB →+2OC →=0→，可得OA →+2OC →=−2OB →，所以(OA →+2OC →)2=4OB →2，即OA →2+4OC →2+4OA →⋅OC →=4，所以OA →⋅OC →=−14，由OA →+2OB →+2OC →=0→，可得OA →+2OB →=−2OC →，所以(OA →+2OB →)2=4OC →2，即OA →2+4OB →2+4OA →⋅OB →=4，所以OA →⋅OB →=−14，则BA →⋅BC →=(OA →−OB →)⋅(OC →−OB →)=OA →⋅OC →−OA →⋅OB →−OC →⋅OB →+OB →2=−14+14+78+1=158．故选：D ．8．在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，且BD 交AC 于D ，若BD ＝1，cos ∠ABC =13，则4AB 2+1AB +BC 2+1BC的最小值为（） A ．25√612B ．29√612C ．31√612D ．35√612解：因为BD 平分∠ABC ，cos ∠ABC =13，所以∠ABD ＝∠CBD =∠ABC2，BD ＝1，所以cos ∠ABD ＝cos ∠CBD =√1+cos∠ABC 2=√1+132=√63，可得sin ∠ABC =2√23，sin ∠ABD ＝sin ∠CBD =√33，S △ABC =12AB •BC •sin ∠ABC =12AB •BD •sin ∠ABD +12BC •BD •sin ∠CBD ，即AB •BC •2√23=AB •√33+BC •√33，可得AB •BC •2√2=√3（AB +BC ），即1AB +1BC =2√63，因为4AB 2+1AB+BC 2+1BC=4AB +BC +（1AB+1BC）＝4AB +BC +2√63=√64（4AB +BC ）（1AB +1BC ）+2√63=√64（5+4AB BC +BC AB ）+2√63≥√64（5+2√4AB BC ⋅BC AB ）+2√63=35√612．当且仅当4AB BC=BC AB，即BC ＝2AB 时取等号，所以4AB 2+1AB+BC 2+1BC的最小值为35√612．故选：D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．分别抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件A ＝“第一枚出现点数为奇数”，事件B ＝“第二枚出现点数为偶数”，则下列结论正确的是（） A ．P(A)=12B ．P(AB)=12C ．事件A 与B 互斥D ．事件A 与B 相互独立解：分别抛掷两枚质地均匀的骰子，其中基本事件的总数为36种，事件A ＝“第一枚出现点数为奇数”，共有3×6＝18种，所以P(A)=12，所以A 正确；由事件B ＝“第二枚出现点数为偶数”，所以P(AB)=3×336=14，所以B 不正确；当第一枚抛出1点，第二枚抛出2点时，此时事件A 与事件B 同时发生，所以A 与B 不互斥，所以C 不正确；由P(B)=6×336=12，可得P （AB ）＝P （A ）P （B ），所以事件A 与事件B 相互独立，所以D 正确．故选：AD ．10．下列说法中正确的是（）A ．若复数z ＝1﹣2i ，则复数z 在复平面内所对应的点在第四象限B ．若两个复数的积是实数，则它们一定互为共轭复数C ．若向量a →=(x ，3)，b →=(2，−1)的夹角为锐角，则实数x 的取值范围为(32，+∞) D ．若OA →=xOB →+yOC →(x ，y ∈R)，且x +y ＝1，则A ，B ，C 三点共线解：A 选项，若z ＝1﹣2i ，根据复数的几何意义，则复数z 在复平面内所对应的点为（1，﹣2），该点在第四象限，A 选项正确；B 选项，i ×i ＝﹣1∈R ，但i ，i 并不是互为共轭复数，B 选项错误；C 选项，若a →，b →共线，则x ×（﹣1）＝3×2，解得x ＝﹣6，此时a →=(−6，3)=−3b →，a →，b →的夹角为π，故a →，b →成锐角时，a →⋅b →=2x −3＞0，解得x ∈(32，+∞)，C 选项正确； D 选项，x +y ＝1时，OA →=xOB →+yOC →=xOB →+(1−x)OC →=x(OB →−OC →)+OC →，故CA →=OA →−OC →=x(OB →−OC →)=xCB →，根据向量的共线定理，A ，B ，C 三点共线，D 选项正确．故选：ACD ．11．在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，点D 是BB 1的中点，AA 1＝AB ＝4，AC ＝2，∠BAC ＝60°，点P 为侧面AA 1C 1C （含边界）上一点，BP ∥平面ADC 1，则下列结论正确的是（）A ．BC ⊥AC 1B ．点A 1到平面AC 1D 的距离是√5C ．直线BC 与平面AC 1D 所成角的正弦值是14D ．线段BP 长的最小值是8√55解：在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，C 1C ⊥BC ，在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝2，∠BAC ＝60°，则BC 2＝AB 2+AC 2﹣2AB •AC •cos60°＝16+4﹣2×4×2×12=12， ∵AC 2+BC 2＝AB 2，∴AC ⊥BC ，又AC ∩C 1C ＝C ，∴BC ⊥平面AA 1C 1C ，得BC ⊥AC 1，故A 正确；已知A 1C 1＝AC ＝2，AA 1＝4，D 到平面AA 1C 1的距离等于BC =2√3， ∴V D−AA 1C 1=13×12×2×4×2√3=8√33， AD =√16+4=2√5，AC 1=√16+4=2√5，DC 1=√4+12=4， ∴S △AC 1D =12×4×√20−4=8，设A 1到平面AC 1D 的距离为h ， ∴13×8×ℎ=8√33，即h =√3，故B 错误；取C 1C 的中点G ，连接DG ，则DG ∥BC ，∴直线BC 与平面AC 1D 所成角即为DC 与平面AC 1D 所成角，又G 到平面AC 1D 的距离等于C 到平面AC 1D 的距离的一半，也就是A 1到平面AC 1D 的距离的一半，等于√32，则直线BC 与平面AC 1D 所成角的正弦值是√322√3=14，故C 正确；取AC 的中点H ，连接BG ，GH ，可得BG ∥DC 1，GH ∥AC 1，又BG ⊄平面AC 1D ，DC 1⊂平面AC 1D ，∴BG ∥平面AC 1D ，同理GH ∥平面AC 1D ，又BG ∩GH ＝G ，∴平面BGH ∥∥平面AC 1D ，可得BP ∥平面AC 1D ， ∴P 点的轨迹为线段GH ，∵BH =√12+1=√13，GH =√4+1=√5，BG =√12+4=4， ∴cos ∠BHG =2×√13×√5=√6565，可得sin ∠BHG =√1−165=8√6565．∴S △BGH =12×√13×√5×8√6565=4，设B 到GH 的距离为d ，由等面积法可得：12×√5d =4，即d =8√55，可得线段BP 长的最小值是8√55，故D 正确．故选：ACD ．12．在△ABC 中，AB =√2，BC ＝2，AC =√10，BM →=MC →，BN →=2NC →，则（） A ．线段AN 的长度为√573B ．AN →⋅BC →=143C ．∠AMB +∠ACB =π4D ．存在点P 在线段AB 的延长线上，使得∠CPM 的最大值为π4解：由余弦定理可得，cos ∠BAC =AB 2+AC 2−BC 22AB×AC =2√55，则AB →⋅AC →=|AB →|×|AC →|cos∠BAC =4，又AN →=AB →+23BC →=13AB →+23AC →，则|AN →|=√(13AB →+23AC →)2=√583，故A 错误．AN →⋅BC →=(13AB →+23AC →)⋅(AC →−AB →)=−13AB →2−13AB →⋅AC →+23AC →2=−13×2−13×4+23×10=143，故B 正确．由余弦定理可得，cos ∠ABC =2+4−102×2×2=−√22，又由于∠ABC ∈（0，π），所以∠ABC =3π4，因为∠ABM ＝∠CBA ，AB BC=BM AB，得△MBA ∽△ABC ，得∠MAB ＝∠ACB ，所以∠AMB +∠ACB =∠AMB +∠MAB =π−∠ABC =π4，故C 正确．如图，过点M 和点C 分别作AB 延长线的垂线，垂足分别为D ，H ，①当点P 在HB 线段上时，易知∠CPM ＜π4， ②当点P 与点H 重合时，MH ＝MB ， ∴∠CPM =π4；③当点P 在BH 的延长线上时，设∠CPH ＝α，∠MPD ＝β，设 PB =x(x ＞√2)，则tanα=√2x−√2tanβ=√22x−22，∴tan ∠CPM =tan(α−β)=√2x−2−√22x−221+√2x−√2×√22x−√22=√2x2x 2−32x+4=√22x+4x −321，故∠CPM ＜π4；综上所述，存在点P ，使得∠CPM 的最大值为π4，故D 正确．故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．某学校为了解高一学生每天阅读时长，从高一男生和女生中采用分层抽样的方法抽取部分学生进行调查分析．已知该学校高一学生中男生和女生的比例是4：3，在抽取的学生中男生比女生多24人，则被抽取的学生人数是 168 ．解；设抽取的学生中男生人数为a ，女生人数为b ，则ab=43，且a ﹣b ＝24，解得a ＝96，b ＝72，则被抽取的学生人数是96+72＝168．故答案为：168．14．已知向量a →=(2，3)，b →=(−1，2)，则a →在b →方向上的投影向量的坐标为 (−45，85) ．解：∵a →=(2，3)，b →=(−1，2)，∴a →在b →方向上的投影向量的坐标为：a →⋅b →|b →|⋅b→|b →|=45(−1，2)=(−45，85)．故答案为：(−45，85)．15．一个人骑自行车由A 地出发向东骑行了6km 到达B 地，由B 地向南东30°方向骑行了6km 到达C 地，从C 地向北偏东60°骑行了2√3km 到达D 地，则A ，D 两地的距离是 2√39 km ．解：建立以A 为原点的平面直角坐标系，如图所示：则A （0，0），B （6，0），C （6+6sin30°，﹣6cos30°），即C(9，−3√3)， D(9+2√3sin60°，−3√3+2√3cos60°)，即D(12，−2√3)， ∴AD →=(12，−2√3)，故|AD →|=√122+(−2√3)2=2√39， ∴A ，D 两地距离为2√39km ．故答案为：2√39．16．在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，点E ，F 分别为BC ，AD 的中点，点H 为AE 的中点，将△ABE 沿直线AE 翻折至△AB 1E 的位置，当∠B 1HF ＝45°时，三棱锥B 1﹣AED 的外接球的体积是 √6π ．解：在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，点E ，F 分别为BC ，AD 的中点， ∴△ABE ，△AED 为等腰直角三角形，由题可知点F 为△AED 的外心，过点F 作直线l ，使l ⊥平面ABCD ，又H 点为Rt △AB 1E 的外心，过H 点作l ′⊥平面AEB 1，如图所示：l ′交l 于O 点，则点O 为球心，设球的半径为R ，则∠FHO ＝45°，则OF =√22，在Rt △FOD 中，R =OD =√OF 2+FD 2=√62， ∴三棱锥B 1﹣AED 的外接球的体积是V =43πR 3=√6π．故答案为：√6π．四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知向量a →=(2，1)，b →=(1，2)，c →=(3，5)．（1）若(a →+λb →)⊥b →，求λ的值；（2）若ma →+nb →与c →共线，求nm的值．解：（1）a →+λb →=(2，1)+λ(1，2)=（2+λ，1+2λ），由(a →+λb →)⊥b →，则2+λ+2（1+2λ）＝0，解得λ=−45，（2）ma →+nb →=m(2，1)+n(1，2)＝（2m +n ，m +2n ），由ma →+nb →与c →共线，得5（2m +n ）﹣3（m +2n ）＝0，化简得7m ＝n ，故n m=7．18．（12分）锦绣潇湘•大美永州，据统计，零陵古城在今年“五一”当天吸引游客达12万人次，同比大幅增长．当地旅游主管部门为了更好的为游客服务，在景区随机发放评分调查问卷100份，并将问卷评分数据分成6组：[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]，绘制如图所示频率分布直方图．（1）已知样本中分数在[80，85）的游客为15人，求样本中分数小于80的人数，并估计第75百分位数；（2）已知样本中男游客与女游客比例为3：2，男游客样本的平均值为90，方差为10，女游客样本平均值为85，方差为12，由样本估计总体，求总体的方差．参考公式：分层抽样中两组数据x ，y 的抽样比例是n m，则总样本方差S 2=n n+m[S x 2+(z −x)2]+mn+m [S y2+(z −y)2]，其中z 为总样本平均数．解：（1）易知分数在[85，100]内的频率为5（0.06+0.05+0.04）×5＝0.75，所以分数在[85，100]内的人数为100×0.75＝75（人），则分数小于85分的人数为100﹣75＝25（人），因为分数在[80，85）的游客为15人，所以分数小于80分的人数为25﹣15＝10（人），不妨设第75百分位数为x ，x ∈[90，95），此时x−905=0.20.25，解得x ＝94，故样本中分数小于80的人数为10人，第75百分位数约为94；（2）因为男游客与女游客比例为3：2，男游客样本的平均值为90，方差为10，女游客样本平均值为85，方差为12，而总样本平均值z =nm+n x +mm+n y =32+3×90+22+3×85=88，则S 2=n n+m [S x 2+（z −x ）2]+m n+m[S y 2+（z −y ）2] =32+3[10+(88−90)2]+22+3[12+(88−85)2]=425+425=845，故总体的方差约为845．19．（12分）如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB ＝AD ，点O 为BD 的中点．（1）证明：AO ⊥BC ；（2）若△OCD 是边长为4的等边三角形，点E 为AD 中点，且二面角E ﹣BC ﹣D 的大小为30°，求三棱锥A﹣BOC的体积．解：（1）证明：∵AB＝AD，点O为BD中点，∴AO⊥BD，又∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AO⊂平面ABD，∴AO⊥平面BCD，又∵BC⊂平面BCD，∴AO⊥BC；（2）过点E作EF∥AO交BD于点F，过点F作FM⊥BC，垂足为M，连接EM，∵AO⊥平面BCD，EF∥AO，∴EF⊥平面BCD，又∵BC⊂平面BCD，∴EF⊥BC，∵FM⊥BC，FM∩EF＝F，EF、FM在面EFM内，∴BC⊥平面EFM，又∵EM⊂平面EFM，∴BC⊥EM，∴二面角E﹣BC﹣D的平面角为∠EMF，且∠EMF＝30°，∵BO＝OD，△OCD为正三角形，∴△BCD为直角三角形，∠BCD＝90°，∴FM∥CD，点F为BD的靠近点D四等分点，∴FM=34CD=34×4=3，∴EF=FMtan30°=3×√33=√3，∴AO=2EF=2√3，∵AO⊥平面BCD，∴V A−BOC=13S△BOC×AO=13×12×4×4×√32×2√3=8．20．（12分）一位外地游客到永州市旅游，其游览阳明山、九疑山、舜皇山这3个著名景点的概率分别为0.5，0.5，0.6，且该游客是否游览哪个景点互不影响．设C表示该游客对上述3个景点游览的景点数与没有游览的景点数的差．（1）记“|C|＝1”为事件A，求P（A）的值．（2）记“函数f(x)=x+Cx，在区间[1，+∞）上单调递增”为事件B，求P（B）的值．（函数的单调性只需判断，不要求证明）解：（1）由条件可知C的取值为﹣3，﹣1，1，3，当C＝1时，表示的事件为该游客游览了两个景点，有一个景点没有游览，其概率为P（C＝1）＝0.5×0.5×0.4+0.5×0.6×0.5×2＝0.4，当C＝﹣1时，表示的事件为该游客游览了一个景点，有两个景点没有游览，其概率为P（C＝﹣1）＝0.5×0.5×0.4+0.5×0.5×0.4+0.5×0.5×0.6＝0.35，故P（A）＝P（C＝1）+P（C＝﹣1）＝0.4+0.35＝0.75；（2）当C＝﹣1时，f(x)=x−1x在[1，+∞）上单调递增，当C＝﹣3时，f(x)=x−3x在[1，+∞）上单调递增，当C＝1时，f(x)=x+1x在[1，+∞）上单调递增，当C＝3时，f(x)=x+3x在[1，+∞）上不是单调递增，P（C＝3）＝0.5×0.5×0.6＝0.15，故P（B）＝1﹣P（C＝3）＝1﹣0.15＝0.85．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，E是P A的中点．（1）求证：PC∥平面BDE；（2）若PD＝4，线段PC上是否存在一点F，使AF⊥平面BDE？若存在，求出PF的长度；若不存在，请说明理由．（用坐标法解答不给分）（1）证明：如图，连接AC，设AC∩BD＝O，连接OE，∵四边形ABCD 是正方形，∴点O 是AC 的中点，又∵点E 是P A 的中点，∴OE ∥PC ， ∵OE ⊂平面BDE ，PC ⊄平面BDE ， ∴PC ∥平面BDE ．（2）解：存在，理由如下：过点A 作AF ⊥PC ，垂足为点F ，由（1）可知OE ∥PC ， ∴AF ⊥OE ，∵P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴P A ⊥BD ，∵四边形ABCD 为正方形， ∴BD ⊥AC ，又∵P A ⊂平面ACP ，AC ⊂平面ACP ，P A ∩AC ＝A ， ∴BD ⊥平面ACP ，又∵AF ⊂平面ACP ∴BD ⊥AF ，又∵BD ⊂平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，BD ∩OE ＝O ， ∴AF ⊥平面BDE ，∵AP =√PD 2−AD 2=2√3，AC =2√2，PC =√AP 2+AC 2=2√5， ∴在Rt △P AC 中，由等面积法可得AF =AP×AC PC =2√3×2√22√5=2√305， ∴PF =√AP 2−AF 2=√(2√3)2−(2305)2=6√55， ∴存在点F ，使得AF ⊥平面BDE ，PF =6√55．22．（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b ＝c ＝2，√3sinC +cosC =a+bc ，点D ，P 为平面内两动点，|CD →|=1，点N 是BC 的中点，DN 与AC 相交于点M （点M 异于点A ，C ），点O为△ABC 内切圆圆心，且|PO →|=13．（1）求角A 和PA →2+PB →2+PC →2的值；（2）设CM →=tCA →(0＜t ＜1)，g(t)=|NM →||ND →|，求g （t ）的最小值．解：（1）由√3sinC +cosC =a+bc ，b ＝c ＝2，根据正弦定理得√3sinC +cosC =a+cb =sinA+sinCsinB，可得√3sin C sin B +cos C sin B ＝sin （B +C ）+sin C ，即√3sin C sin B +cos C sin B ＝sin B cos C +cos B sin C +sin C ，所以√3sinCsinB =cosBsinC +sinC ，因为C ∈（0，π），可得sin C ≠0，所以√3sinB =cosB +1，则2sin(B −π6)=1，解得B −π6=π6或B −π6=5π6，即B =π3或B ＝π，又B ∈（0，π ），故B =π3，则C =B =π3，A =π−B −C =π3，所以△ABC 是等边三角形，故△ABC 内切圆圆心为△ABC 的中心，以O 点为原点，建立如图所示的平面坐标系xOy ，设P(13cosθ，13sinθ)，易知A(0，2√33)，B(1，−√33)，C(−1，−√33)，则PA →=(−13cosθ，2√33−13sinθ)，PB →=(1−13cosθ，−√33−13sinθ)，PC →=(−1−13cosθ，−√33−13sinθ)，所以PA →2+PB →2+PC →2=(−13cosθ)2+(2√33−13sinθ)2+(1−13cosθ)2 +(−√33−13sinθ)2+(−1−13cosθ)2+(−√33−13sinθ)=133，故A =π3，PA →2+PB →2+PC →2的值为133．（2）设NM →=λND →，λ=|NM →||ND →|=g(t)，则CM →−CN →=λ(CD →−CN →)，即tCA →=λCD →+(1−λ)CN →，则λCD →=tCA →−(1−λ)CN →，所以λ2CD →2=t 2CA →2−2t(1−λ)CA →⋅CN →+(1−λ)2CN →2，则λ2=4t 2−2t(1−λ)⋅2×12+(1−λ)2，则λ=4t 2−2t+12−2t =12⋅4(1−t)2−6(1−t)+31−t =12[4(1−t)+31−t−6] ＞2√3−3，当且仅当4(1−t)=31−t ，即t =1−√32时取等号，故g （t ）的最小值为2√3−3．。

湖南省永州市高一下学期数学期末考试试卷

湖南省永州市高一下学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）若向量=（2,3），=（4,7），则=（）A . （-2,-4）B . (2,4)C . (6,10)D . (-6,-10)2. （2分）已知为锐角，且，，则的值是（）A .B .C .D .3. （2分）已知向量则（）A . （8，1）B .C .D .4. （2分） (2017高一下·哈尔滨期末) 若，则直线必不经过（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限5. （2分） (2016高三上·湖北期中) 已知非零向量 = ， = ，且BC⊥OA，C为垂足，若=λ （λ≠0），则实数λ等于（）A .B .C .D .6. （2分）某地区高中分三类，A类学校共有学生2000人，B类学校共有学生3000人，C类学校共有学生4000人，若采取分层抽样的方法抽取900人，则A类学校中应抽学生人数是（）A . 300B . 200C . 150D . 1007. （2分） (2018高一下·开州期末) 袋中装有红球个、白球个、黑球个，从中随机摸出个球，则与事件“至少有个白球”互斥但不对立的事件是（）A . 没有白球B . 个白球C . 红、黑球各个D . 至少有个红球8. （2分）(2017·鞍山模拟) 执行如图的程序框图，若输出的，则输入的整数p的值为（）A . 6B . 5C . 4D . 39. （2分） 10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为,中位数为,众数为，则有（）A .B .C .D .10. （2分） (2016高一下·吉林期中) 已知tanθ=2，则 =（）A . 2B . ﹣2C . 0D .11. （2分） (2020高一上·苏州期末) 如图，四边形 ABCD 中，，E为线段 AC 上的一点，若，则实数的值等于（）A .B .C .D .12. （2分）为了得到函数的图像，只需将函数的图像（）A . 向右平移个单位B . 向右平移个单位C . 向左平移个单位D . 向左平移个单位二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）tan1860° 的值是________．14. （1分） (2020高三上·黄浦期末) 母线长为3、底面半径为1的圆锥的侧面展开图的圆心角的弧度数为________.15. （1分） (2016高三上·吉安期中) 在平面直角坐标系中，已知三个点列{An}、{Bn}、{Cn}，其中An（n，an）、Bn（n，bn）、Cn（n﹣1，0），满足向量与向量共线，且bn+1﹣bn=6，a1=b1=0，则an=________（用n表示）16. （1分）已知θ∈（，2π），且cos（θ﹣）= ，则tan（θ+ ）=________．三、解答题 (共6题；共45分)17. （5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以O为顶点，x轴的非负半轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A，B两点．已知A，B的横坐标分别为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求α+β的大小．18. （10分）(2013·江苏理) 已知 =（cosα，sinα）， =（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π．（1）若| ﹣ |= ，求证：⊥ ；（2）设 =（0，1），若 + = ，求α，β的值．19. （5分） (2017高一下·拉萨期末) 为了考查某厂2000名工人的生产技能情况，随机抽查了该厂n名工人某天的产量（单位：件），整理后得到如下的频率分布直方图（产品数量的分组区间为[10，15），[15，20），[20，25），[25，30），[30，35]），其中产量在[20，25）的工人有6名．（Ⅰ）求这一天产量不小于25的工人人数；（Ⅱ）工厂规定从产量低于20件的工人中随机的选取2名工人进行培训，求这2名工人不在同一组的概率．20. （10分） (2017高二上·陆川开学考) 已知．（1）若，求的坐标；（2）若与的夹角为120°，求．21. （10分） (2018高一下·四川期末) 已知，且 .（1）求的值；（2）求的值.22. （5分） (2017高一下·淮北期末) 设函数，是其函数图象的一条对称轴．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若f（x）的定义域为，值域为[﹣1，5]，求a，b的值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共45分)17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、第11 页共11 页。

湖南省永州市2023-2024学年高一下学期7月期末质量监测数学试卷(含答案)

永州市2023-2024学年高一下学期7月期末质量监测数学注意事项：1.本试卷共150分，考试时量120分钟.2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.3.考试结束后，只交答题卡.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A =“第一枚硬币正面朝上”，事件B =“第二枚硬币反面朝上”，则A 与B 的关系为（）A. 互斥B. 相互对立C. 相互独立D. 相等3. 在杭州亚运会期间，共有1.8万多名赛会志愿者参与服务，据统计某高校共有本科生4400人，硕士生400人，博士生200人参与志愿者服务.现用分层抽样方法从该高校志愿者中抽取部分学生了解服务心得，其中博士生抽取了10人，则本科生抽取的人数为（）A. 250B. 220C. 30D. 204. 在中，若，则（）A. B. C.D. 5. 已知，，与夹角为，则在上的投影向量是（）A. B. C. D. 6. 若数据的平均数为3，方差为4，则下列说法错误的是（）A. 数据的平均数为13B. 数据的方差为12C. D. 的的12i -ABC V sin :sin :sin 2:3:4A B C =cos A =7878-1414-2= a 3b = a b 120︒b a 32a 32a -34a 34a - 1210,,,x x x 121041,41,,41x x x +++ 12103,3,,3x x x 10130i i x==∑1021130i i x==∑7. 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标为（）A. B. C. D. 8. 已知正方体的棱长为2，P 为底面ABCD 内一动点，直线与平面ABCD 所成角为，为正方形的中心，点为线段上一动点，则的最小值为（）A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知复数，，则下列说法正确是（）A. B. 存在实数，使得为实数C. 若为纯虚数，则 D. 10. 如图，连接正方体各个面的中心得到一个每个面都是正三角形的八面体，如果四边形是边长为2的正方形，则（）A. 异面直线与所成角的大小为B. 二面角的平面角的余弦值为C. 平面平面D. 此八面体的外接球表面积为11. 已知点在所在的平面内，则下列命题正确的是（）A. 若为的垂心，且，则B. 若，则的面积与的面积之比为的(),AB x y = AB θ(cos sin ,sin cos )AP x y x y θθθθ=-+ B A θP (0,1)A B -B A π4P P (3,1)--(3,0)-(1,2)--(1,3)--1111ABCD A B C D -1D P π4E 11A ADD M 1D B MP ME +12i z a =-+24i()z a a =-∈R 12z z <a 12z z 12z z +2a =()221212z z z z +=+ABCD AE DF π3A EBC --13AEC ⊥BFDE8πP ABC V P ABC V 3AB AC ⋅=u u u r u u u r 3AP AC ⋅= 230PA PB PC ++=ABC V ABP V 3:1C. 若，则动点的轨迹经过的外心D. 若E ，F ，G 分别为，，的中点，且，，则的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知事件与事件发生的概率分别为，，且，则______.13. 已知某圆台的上底面和下底面的面积之比为，轴截面面积为6倍，则该圆台的体积为______.14. 在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若，则的最大值是______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 某市高一年级36000名学生参加了一次数学竞赛，为了解本次竞赛情况，随机抽取了500名学生成绩，并根据这500名学生成绩，绘制频率分布直方图如图所示.（1）求a 的值，并估计该市高一年级的及格（60分以上）人数；（2）估计该市高一年级学生成绩的分位数.16. 已知向量，.（1）若，求的值；（2）若，求最小值.17. 甲、乙两人进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响.有两种比赛方案供选择，方案一：三局两胜制（先胜2局者获胜，比赛结束）；方案二：五局三胜制（先胜3局者获胜，比赛结束）.的的111122cos cos AP AB AC AB B AC C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P ABC V AB BC AC 2AC BG ==0PA PC ⋅= PE PF ⋅ 154A B ()0.3P A =()0.5P B =()0.1P A B = ()P A B = 1:4ABC V 2sin c b A =b a71%(1,2)a = (3,1)b =- ()()a b a kb +⊥-k R t ∈a tb - 3525（1）用抛掷骰子的方式决定比赛方案，抛掷两枚质地均匀的骰子，观察两枚骰子向上的点数，若两枚骰子向上的点数之差的绝对值不大于1，则选择方案一，否则选择方案二.试判断哪种方案被选择的可能性更大，并说明理由；（2）若选择方案一，求甲获胜的概率.18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，且，，，点E ，F 分别为棱，的中点.（1）若平面平面，①求证：；②求三棱锥的体积；（2）若，请作出四棱锥过点，，三点的截面，并求出截面的周长.19. 当的三个内角均小于时，使得的点为的“费马点”；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为的“费马点”.已知在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，P 是的“费马点”.（1）若，，.①求；②设的周长为，求的值；（2）若，，求实数的最小值.P ABCD -ABCD //AD BC 2AD BC =8PA PB AD ===5CD =PD AD PAB ⊥ABCD PB AD ⊥P ABE -8PC =P ABCD -B E F ABC V 120︒120AMB BMC CMA ∠=∠=∠=︒M ABC V ABC V 120︒ABC V ABC V ABC V cos sin 0a C C b c --=a =B C <A ABC V 6+PA PB PC ++ 222cos cos cos 1B C A +-=PB PC t PA += t永州市2023-2024学年高一下学期7月期末质量监测数学答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】B二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】AC【10题答案】【答案】ACD【11题答案】【答案】ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】0.7##【13题答案】【答案】【14题答案】##四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）；（2）【16题答案】【答案】（1）（2【17题答案】【答案】（1）方案二被选择的可能性更大，理由略（2）【18题答案】【答案】（1）①证明略.（2）【19题答案】【答案】（1）①；②（2）71014π31+10.006a =324008549k =81125232+π3A =2+。

湖南省永州市高一下学期数学期末考试试卷

湖南省永州市高一下学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高一上·定远期中) 若函数y=f（x）的定义域为M={x|﹣2≤x≤2}，值域为N={y|0≤y≤2}，则函数y=f（x）的图象可能是（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高二下·顺德期末) 从某企业生产的某种产品中随机抽取件，测量这些产品的一项质量指标，其频率分布表如下：质量指标分组频率则可估计这批产品的质量指标的众数、中位数为（）A . ，B . ，C . ，D . ，3. （2分） (2019高二上·齐齐哈尔月考) A，B两名同学在5次数学考试中的成绩统计如下面的茎叶图所示，若A，B两人的平均成绩分别是，，观察茎叶图，下列结论正确的是A . ，B比A成绩稳定B . ，B比A成绩稳定C . ，A比B成绩稳定D . ，A比B成绩稳定4. （2分）学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图，其中支出在[50，60）的同学有30人，若想在这n人中抽取50人，则在[50，60）之间应抽取的人数为（）A . 10人B . 15人C . 25人D . 30人5. （2分） (2016高二上·自贡期中) 设α，β，γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列四个命题，其中真命题有（）①若m⊂α，n⊂β，α⊥β，则m⊥n；②若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；③若α∥β，l⊂α，则l∥β；④若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，l∥γ，则m∥n．A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个6. （2分） (2019高一下·大庆月考) 在△ABC中，A＝60°，a＝，则等于（）A .B .C .D .7. （2分）已知直线x+ay﹣1=0是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的对称轴，过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（）A . 2B . 6C . 4D . 28. （2分）已知圆的弦过点，当弦长最短时，该弦所在直线方程为（）A .B .C .D .9. （2分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=， AA1=，则异面直线BD1与CC1所成的角等于（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 90°10. （2分） (2016高二上·河北开学考) 若直线ax+by=1与圆x2+y2=1有两个公共点，则点P（a，b）与圆的位置关系是（）A . 在圆上B . 在圆外C . 在圆内D . 以上皆有可能11. （2分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为（）A .B . 2C .D . 312. （2分）设A、B、C是圆O：x2+y2=1上不同的三个点，|+|=||，若存在实数λ、μ满足=λ+μ，则点P（λ，μ）与圆O的位置关系是（）A . 点P在圆内B . 点P在圆上C . 点P在圆外D . 不确定二、填空题 (共5题；共14分)13. （1分）以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的体积为________14. （1分） (2017高一上·武邑月考) 直线绕其与轴交点旋转90°的直线方程是________．15. （1分） (2018高二下·晋江期末) 已知某运动员每次投篮命中的概率等于.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0，表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________．16. （1分）已知钝角△ABC的面积为2， AB=2，BC=4，则该三角形的外接圆半径为________17. （10分） (2016高一下·普宁期中) 某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？三、解答题 (共5题；共50分)18. （10分） (2016高二下·海南期末) 设甲、乙、丙三人进行围棋比赛，每局两人参加，没有平局．在一局比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为．比赛顺序为：首先由甲和乙进行第一局的比赛，再由获胜者与未参加比赛的选手进行第二局的比赛，依此类推，在比赛中，有选手获胜满两局就取得比赛的胜利，比赛结束．（1）求只进行了三局比赛，比赛就结束的概率；（2）记从比赛开始到比赛结束所需比赛的局数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望Eξ．19. （10分） (2016高一下·义乌期末) 已知△ABC三个顶点坐标分别为：A（1，0），B（1，4），C（3，2），直线l经过点（0，4）．（1）求△ABC外接圆⊙M的方程；（2）若直线l与⊙M相交于P，Q两点，且|PQ|=2 ，求直线l的方程．20. （10分） (2016高二上·潮阳期中) 在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c．已知sinA+sinC=psinB （p∈R）．且ac= b2 ．（Ⅰ）当p= ，b=1时，求a，c的值；（Ⅱ）若角B为锐角，求p的取值范围．21. （10分） (2020高二上·黄陵期末) 如图，在Rt△ABC中，AB＝BC＝4，点E在线段AB上．过点E作EF∥BC 交AC于点F，将△AEF沿EF折起到△PEF的位置(点A与P重合)，使得∠PEB＝60°.（1）求证：EF⊥PB．（2）试问：当点E在线段AB上移动时，二面角PFCB的平面角的余弦值是否为定值？若是，求出其定值；若不是，说明理由．22. （10分） (2018高二下·中山月考) 我们知道：圆的任意一弦（非直径）的中点和圆心的连线与该弦垂直；那么，若椭圆的一弦（非过原点的弦）中点与原点的连线及弦所在直线的斜率均存在，你能得到什么结论？请予以证明．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共5题；共14分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、17-2、17-3、三、解答题 (共5题；共50分) 18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、第11 页共13 页21-2、第12 页共13 页22-1、第13 页共13 页。

湖南省永州市2022-2023学年高一下学期期末质量监测数学

高一期末质量监测试题数学考生注意：1. 全卷满分150分,时量120分钟．2. 考生务必将选择题和填空题地结果填入答卷相应地答题栏内．一，选择题：（本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合要求地,请将正确选项地代号填入答题卷内.）1．下面各角中与1°角终边相同地是（）A ．360°B,361°C ．362°D ．363°2．有关x 地不等式()()110x x -+≤地解集是（）A ．()1,1-B ．[)1,1-C ．(]1,1-D ．[]1,1-3．设,,a b c R ∈,且a b >,则下面不等式成立地是（）A ．22a b >B ．ac bc>C ．a c b c+>+D ．11a b<4．在四边形ABCD 中,AB DC = ,且AB BC =,那么四边形ABCD 为（）A ．平行四边形B ．菱形C ．长方形D ．正方形5．已知函数()cos3f x x =地图象向右平移12π个单位长度得到函数()g x 地图象,则函数()g x 地思路式为（）A ．()cos 312g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()cos 34g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()cos 312g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．()cos 34g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭6．下面函数中,最小正周期是π,且在区间,2n π⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数地是（）A ．sin 2y x=B ．sin y x=C ．tan2xy =D ．cos 2y x=7．已知实数x ,y 满足约束款件2602000x y x y x y --≤⎧⎪-+⎪⎨⎪⎪⎩≥≥≥,则z x y =+地最大值为（）A ．0B ．18C ．2D ．38．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一格问题：“一百二十六里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见每日行数里,请公仔细算相还”,其意思为：“有一个人要去126里外地地方,第一天健步行走,从第二天起因脚痛每天走地路程为前一天地一半,走了6天后到达目地地”,请问第一天走了（）A ．64里B ．32里C ．16里D ．8里9．已知等差数列{}n a 地前n 项和为n S ,若452a a +=,则8S 等于（）A ．8B ．9C ．10D ．1110．已知正方形ABCD 地边长为2,点P 在线段CD 上运动,则AP AB ⋅地取值范围为（）A．2⎡⎤⎣⎦B．4⎤⎦C ．[]0,4D．⎡⎣11．ABC △地内角,,A B C 地对边分别是,,a b c ,若sin cos sin A B C <,则ABC △一定为（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形12．ABC △地内角,,A B C 地对边分别是,,c a b ,(),m a c b =+,(),n a c b =-+,若m n ⊥,则()2sin 22tan A B -地取值范围为（）A．(0,5-B ．[)2,0-C．2,5⎡--⎣D ．()2,0-二，填空题：（本大题共4小题,每小题5分,共20分,请将结果填在答题卷中对应题号后地横线上．）13．已知O 为坐标原点,()1,2OA = ,()1,3AC =-,则OC = ______．14．若有关x 地不等式4x xm +≥对任意()0,x ∈+∞恒成立,则实数m 地取值范围是 ______．15．已知函数()sin f x x =,[]0,x π∈,实数[)0,1k ∈,则有关x 地方程()f x k =所有根之和为 ______．16．已知数列：1, 1, 2, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 8, 1, 2, 4, 8,16,…其中第一项是1,接下来地两项是1,2,再接下来地三项是1,2,4,依此类推．若该数列地前n 项和是2 地整数次幂,且3100n <<,则n 地所有取值地和为 ______．三，解答题：（本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）17．已知等差数列{}n a ,等比数列{}n b 满足：113a b ==,4212a b ==．（1）求数列{}n a 与{}n b 地通项公式。

2018-2019学年湖南省永州市高一下学期期末考试：数学

，
，
D
，
12. 设，，为 A
中的三边长，且 B
，则 C
的取值范围是（）。 D
填空题 13. 若向量
与
平行，则 _____。
14. 已知，满足约束条件
，则
的最大值为_____。
-2-
2018-2019学年湖南省永州市高一下学期期末考试：数学
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15. 在正数数列 _____。
中，
所以
（
），或
（
），
即
或
所以①项结论错误。 ②项，令
得
（
当
时，
得到的单调增区间为
（
），
（），
），
，
因为
，
所以在故②项结论正确。 ③项，因为
上是增函数，
所以的图象和故③项结论正确。 ④项，
的图象关于轴对称，，
当
时，
，
所以
故④项结论正确。故本题正确答案为②③④。
，，
，，
计算题
17. 【答案】（1）
年是干支纪年法中的（）。
A 丁申年
B 丙寅年
C 丁酉年
D 戊辰年
11. 正六边形
的边长为，以顶点为起点，其他顶点为终点的向量分别为，，，，
；以顶点为起点，其他顶点为终点的向量分别为，，，，。若，分别为
的最小值、最大值，其中
则下列对，的描述正确的是（）。
A
，
B
，
C
，
时，由于趋向于正无穷时，递增数列的和趋于相等，
所以和趋于相等，
而
，