随机变量的重要分布

Y+Z服从B (m+n , p)。
证明：用到B (1, p)与B (m, p)及B (n, p) 的关系。
当X1、X2、 、Xm 、Xm+1、Xm+2、 、
Xm+n相互独立且都服从B (1, p)时，
Y= X1+X2+ +Xm服从 B (m , p)， Z= Xm+1+Xm+2+ +Xm+n服从 B (n , p)，
P{|
X n
p
| } 1
n
此定律说明了频率的稳定性，即n充分大 时，频率在概率p的附近摆动，是用频率 作为概率的理论根据。
② B (1 , p)与B (n , p): 当X1、X2、 、Xn
相互独立且都服从B (1, p)时，
Y=X1+X2+ +Xn服从B (n , p)。
③ 可加性: 当 Y 与 Z 相互独立且依次服从 B (m , p)及B (n , p)时，
1
2
2
x1 1
1
x2 2
2
x2 2
2
2
p( x)
(2
)
m 2
1 2
•
exp
1(x 2
)'
1(x
)
m 2时, p( x1, x2 )
1
2 1 2
1 2
•
e xp
2(1
1
2
)
x1
1
1
2
2
x1 1
1
x2 2
2
x2 2
2
2
还可以证明：若 (X1, X2, …, Xm)’ 服从正态分布，则
1 2
x
1
1
2
y
2
2
2
6. 多维连续型随机变量的重要分布
正态分布：当多维连续型随机变量X=(X1,X2,…,Xm)’ 的分布密度p(x)=
(2
)
m 2
1 2
•
exp
1(x 2
)'
1(x
)
时，称X服从m维的正态分布 N m ( ,)
p( x)
(2
)
m 2
1 2
•
exp
1(x 2
E(
1 n
i
X
i
)
=E(X)，D(
1 n
i
X
i
)
=
1 D(X)，且
n
n 时，
1 n
i
X
i
～N (E(X)，1 D(X))，标准化随机变量
1
ni
Xi
n
E(X)
～N
(0，1)。
1 D( X )
n
与正态分布有关的结论:
推论: 当随机变量X1、X2、 相互独立且都服从B(1, p)
分布，p 和1-p 都不太接近于0 ，E(X i )=p , D(X i )=
分布密度 p(x)
分布函数 F (x)
xo x
当x>2.99时，F 0,1 (x)≈1；
当- x< 0时，F 0,1 (- x)=1- F 0,1 (x)。
当X～N
(
,
2)
时，Y
X
~
N (0,1)
当X～N ( , 2 ) 时，数字特征
E(X ) , D(X ) 2 ;
当X～N ( 0,1 ) 时，数字特征
且依次服从B (m ,p1 , p2)及B (n , p1 , p2)时， (Y1,Y2)+(Z1,Z2) ～ B (m+n , p1 , p2)。
4. 多维离散型随机变量的重要分布 1）多维零-壹分布： 当多维离散型随机变量 (X1, X2, …, Xm) 取值
(0,0, …,0), (1,0, …,0), (0,1, …,0), …, (0,0, …,1)
且0≤p1≤1，0≤p2≤1，…，0≤pm≤1 时， 若(X1, X2, …, Xm)的分布律为
(X1,X2,…,Xm)
P
(0,0, …,0)
1-(p1+p2+…+ pm)
(1,0, …,0)
p1
(0,1, …,0)
p2
(0,0, …,1)
pm
则称 (X1,X2,…,Xm) 服从参数为p1、p2、…、pm的 零-壹分布，记作(X1, X2, …, Xm)～B(1, p1 , p2,…,pm)。
若(X1,X2)的分布律为P{(X1,X2)= (k1,k2)}
=
n! k1!k2!(n k1 k2 )!
p1k1
p2k2
[1
(
p1
n p2 )]
(k1
k2 )
，
式中的 =
n!
=
k1!k2!(n k1 k2 )!
k Cn
1 C nk
2
k
，
1
则称(X1,X2)服从参数为p1和p2的三项分布，记作
1 2
x
1
1
2
，
Y的分布密度 p2( y)= 这说明二维正态分布
1
2 2
exp
1 2
y
2
2
2
。
并不是两个一维正态分布的简单的合二而一。
③ X与Y相互独立的充要条件是第五个参数 =0，
这时(X,Y)的分布密度
= p1( x) p2( y)
p(x , y) =
1
2 1 2
• exp
2） 多项分布： 当n个m维离散型随机变量( Xi1, Xi2 , , Xim)相互独立
且都服从B(1, p1 , p2,…,pm)时，称 ( Xi1, Xi2 , , Xim )
服从参数为p1、p2、…、pm的多项分i 布，记作
( Xi1, Xi2 , , Xim )～B(n, p1 , p2 , …, pm)。 i
§1.2 随机变量的重要分布
1. 一维离散型随机变量的重要分布
（1）零-壹分布：如果一维离散型随机变量
X只取数值0和1，分布律为
P{X=0}=1-p, P{X=1}=p, 式中的0<p<1，
则称X服从参数为p的零-壹分布，记作
X～B (1 , p)。 数字特征E(X)=p，D(X)=p(1-p)。
注意： B (1 , p)的分布律又可记作 P{X=x}= p x（1-p）1-x, 式中的x=0或1。
(X,Y)～N( 1 , 2 , 12, 22, ) 。
可以推出结论：
若(X,Y)～N( 1
,
2
,
2 1
,
22,
)，则
① cov (X,Y)= 1 2， (X,Y)= ,
COV(X,Y)=
2 1
1
2
1
2 2
2
,
CORR
(X,Y)=
1
1
② X的分布密度 p1( x)=
1
2
1
exp
E( Xi ) =nE(X)，D( Xi ) =nD(X)，且 n 时，
i
i
Xi～N (nE(X)，nD(X))，标准化随机变量
i
X i nE( X )
i
～N (0，1)。
nD( X )
与正态分布有关的结论:
3）中心极限定理: 当随机变量X1、X2、 独立同分布，
数 学 期 望 为 有 限 数 E(X) ， 方 差 为 非 零 有 限 数 D(X) ，
① 每一个X i ( i=1至m)都服从一维正态分布；
② 任意k个( k=1至m-1)所组成的k维随机变量
(X1, X2, …, Xk)’ 都服从k 维正态分布。
7. max分布与min分布
当随机变量X1、X2、…、Xn相互独立，其分布函数依
次为F1(x1)、F2(x2)、…、Fn(xn)时，Y= max X i的分
1Cnk
2
k
1
k Cn
m (k
1
k
2
k m 1)
,
所以，( Xi1, Xi2 , , Xim ) 的分布律为
i
P{ ( Xi1, Xi2 , , Xim ) =( k 1, k 2,…, k m) }
i
k
=Cn
1Cnk
2
k1
k Cn
m (k
1
k 2
km
1)
•
p1k1 p2k2
[1 ( p1
p(1-p
),
E(
1 n
i
X
)
i
=
p，D(
1 n
i
X
i
)
=1
n
p(1-p
)，且 n
时，1
ni
Xi
～N ( p，1
1
ni
Xi
n
p(1-p ) )，标准化随机变量
p
～N (0，1)。
1 p(1 p)
n
3. 二维离散型随机变量的重要分布 1)二维零-壹分布：当二维离散型随机变量(X1,X2)取 值 (0,0) , (1,0) 和 (0,1) 且0≤p1≤1，0≤p2≤1时，若 (X1,X2)的分布律为
p2
pm
n )]
(
k1
k2
km ),
k Cn
1Cnk
2
k
1
k Cn
m (k
1
k
2
km
1)
n!
,
k1!k2! (n k1 k2 km )!
式中的k1, k2, …, km为非负整数且k 1+ k 2+…+ k m≤n。
5. 二维连续型随机变量的重要分布
正态分布：当二维连续型随机变量(X,Y)的
Y与Z相互独立，Y+Z服从B (m+n , p)。
2. 一维连续型随机变量的重要分布
正态分布：如果连续型随机变量X的分布密度
p(x)
1
2
exp{
1 2
x
2 },
0
时，称X服从参数为 及 2 的正态分布，
记作 X～N ( , 2 ) 。
当 0, 21 时称X服从标准正态分布，记作
X～N (0,1) 。这时X的分布密度
很显然，当n=1时，参数为p的二项分布便 是参数为p的零-壹分布。
数字特征E(X)=np，D(X)=np(1-p)。
与二项分布有关的结论:
① Bernoulli大数定律: 当X是n次重复独立试 验中某事件出现的次数，p是该事件出现的 概率时，X服从二项分布B（n，p）。
对于任意给定的正数ε，总有
lim
与正态分布有关的结论:
1）背景：当某一随机变量取值的概率受到很多作用都 比较微小的、独立的随机因素的影响时，它的分布或者
是正态分布或者与正态分布相接近。
2）中心极限定理: 当随机变量X1、X2、 独立同分布，
数 学 期 望 为 有 限 数 E(X) ， 方 差 为 非 零 有 限 数 D(X) ，
（2）二项分布：如果一维离散型随机变量 X 的分布律为P{X x} n! p x (1 p)n x , x!(n x)!
式中的 0<p<1，x=0,1,2, , n，则称X服从参
数为 p 的二项分布，记作 X～B (n , p)。
二项分布是 Bernoulli 研究重复独立试验所 引出的一个很重要的分布。
p(x)
1
e
x2 2
,
x
,
2
X的分布函数
F 0,1(x)
x
1
e
x2 2
dx
,
2
为应用方便起见，在统计用表中有F 0,1 (x) 的数值表。
分布密度 p(x)
分布函数 F (x)
xo x
当X～N (0,1)时，它的分布密度是偶函数， 曲线 y=p(x) 关于y 轴对称。
在 比 较 简 略 的 统 计 用 表 中 只 有 x=0 至 x=2.99所对应的F 0,1 (x)的数值。
(X1,X2)～B(n, p1 , p2)。
可以推出结论：
可以推出结论：① B (1 , p1 , p2)与B (n , p1 , p2): 当随机变量(X11,X12)、(X21,X22)、…、(Xn1,Xn2)相互 独立且都服从B (1 , p1 , p2)时，
(X11,X12)+(X21,X22)+…+(Xn1,Xn2)～B (n , p1 , p2)。 ②可加性: 当随机变量(Y1,Y2)与(Z1,Z2)相互独立
分布密度 p(x , y) =
1
2 1 2 1 2
•
exp
2 (1
1
2)
x
1
1
2
2
x
1
1
y
2
2
y
2
2
2
Fra Baidu bibliotek
,
1 , 2 , 1 0 , 2 0, 1 1,
x , y 时，称(X,Y)服从参数为 1、
2、 1、 2及 的正态分布，记作
(X1,X2) P (0,0) 1-(p1+p2) (1,0) p1
(0,1) p2 则称(X1,X2)服从参数为p1和p2的零-壹分布，记作
(X1,X2)～B(1, p1 , p2)。
2）三项分布：当二维离散型随机变量(X1,X2)=(k1,k2) ,
k1和k2为非负整数且k1+k2≤n，0≤p1≤1，0≤p2≤1时，
因为n个m维离散型随机变量( Xi1, Xi2 , , Xim)相互
独立且都服从B(1, p1 , p2,…,pm)时，其中有
k 1个取(1,0, …,0)，k 2个取(0,1,…,0)，…，Km个取
(0,0, …,1)，n-( k 1+ k 2+…+ k m)个取(0,0, …,0)
的组合数为
k Cn
2
2
p( x)
(2
)
m 2
1 2
•
exp
1(x 2
)'
1(x
)
式中的 x ( x1, x2 ), , (1, 2 ), ,
COV
(X1,
X2)
2 1
1
2
1
2 2
2
时,
m
2,
(2
)
m 2
1
,
1 2
1
,
2
12
2 2
(1
2
)
( x )' 1 ( x )
(1
1
2
)
x1
1
)'
1(x
)
式中的 x ( x1, x2 , , xm ), , (1, 2 , , m ), ,
COV( X1, X 2 , , Xm )
p(x)
1
2
exp{
1 2
x
2
}
p( x, y)
1
2 1 2 1 2
•
exp
2(1
1
2)
x
1
1
2
2
x
1
1
y
2
2
y
2
E(X ) 0, D(X ) 1
计算如下：
E(
X
)
x
p(
x)
dx
1
xe
x2 2
dx 0;
2
E( X 2 ) x2 p(x) dx 1
x
2
e
x2 2
dx
2
1
(
x)
d
e
x2 2
0
1
e
x2 2
dx 1,
2
2
D( X ) E( X 2 ) (EX )2 1 02 1