高考数学一轮复习配餐作业18 定积分与微积分基本定理(含解析)理

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1-定积分与微积分基本定理(理)含答案版

1-定积分与微积分基本定理(理)含答案版本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March定积分与微积分基本定理(理)基础巩固强化1.求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )d xB ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d xC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )d yD ．S ＝⎠⎛01(y－y )d y[答案] B[分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数．[解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x .2．如图，阴影部分面积等于( )A ．2 3B ．2－3[答案]C[解析] 图中阴影部分面积为S ＝⎠⎛-31(3－x 2－2x )d x ＝(3x －13x 3－x 2)|1－3＝323. 4－x 2d x ＝( ) A ．4π B ．2π C ．π[答案] C[解析] 令y ＝4－x 2，则x 2＋y 2＝4(y ≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，∴S ＝14×π×22＝π.4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( )A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面B ．在t 1时刻，甲车在乙车后面C ．在t 0时刻，两车的位置相同D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面 [答案] A[解析] 判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t 0，t 1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分，即速度函数v (t )的图象与t 轴以及时间段围成区域的面积．从图象知：在t 0时刻，v甲的图象与t轴和t＝0，t＝t0围成区域的面积大于v乙的图象与t 轴和t＝0，t＝t0围成区域的面积，因此，在t0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C，D错误；同样，在t1时刻，v甲的图象与t轴和t＝t1围成区域的面积，仍然大于v乙的图象与t轴和t＝t1围成区域的面积，所以，可以断定：在t1时刻，甲车还是在乙车的前面．所以选A.5．向平面区域Ω＝{(x，y)|－π4≤x≤π4，0≤y≤1}内随机投掷一点，该点落在曲线y＝cos2x下方的概率是()－1[答案]D[解析]平面区域Ω是矩形区域，其面积是π2，在这个区6．的值是()A．0C．2D．－2 [答案]D[解析]2(cos sin)2x xππ---＝2(cos sin)2x xππ---＝－2.7．⎠⎛02(2－|1－x |)d x ＝________.[答案] 3[解析] ∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 0≤x ≤13－x 1<x ≤2，∴⎠⎛02(2－|1－x |)d x ＝⎠⎛01(1＋x )d x ＋⎠⎛12(3－x )d x＝(x ＋12x 2)|10＋(3x －12x 2)|21＝32＋32＝3. 9．已知a ＝20(sin cos )x x dx π+⎰，则二项式(a x －1x)6的展开式中含x 2项的系数是________．[答案] －192[解析] 由已知得a ＝20(sin cos )x x dx π+⎰＝(－cos x ＋sin x )|π20＝(sin π2－cos π2)－(sin0－cos0)＝2，(2x －1x)6的展开式中第r ＋1项是T r ＋1＝(－1)r ×C r 6×26－r ×x 3－r，令3－r ＝2得，r ＝1，故其系数为(－1)1×C 16×25＝－192.10．有一条直线与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，线段AB 与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段AB 的中点P 的轨迹方程．[解析] 设直线与抛物线的两个交点分别为A (a ，a 2)，B (b ，b 2)，不妨设a <b ，则直线AB 的方程为y －a 2＝b 2－a2b －a(x －a )，即y ＝(a ＋b )x －ab .则直线AB 与抛物线围成图形的面积为S ＝⎠⎛ab [(a ＋b )x －ab －x 2]d x ＝(a ＋b 2x 2－abx －x 33)|ba ＝16(b －a )3，∴16(b －a )3＝43，解得b －a ＝2.设线段AB 的中点坐标为P (x ，y )，其中⎩⎨⎧x ＝a ＋b 2，y ＝a 2＋b22.将b －a ＝2代入得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋1，y ＝a 2＋2a ＋2. 消去a 得y ＝x 2＋1.∴线段AB 的中点P 的轨迹方程为y ＝x 2＋1.能力拓展提升11.等比数列{a n }中，a 3＝6，前三项和S 3＝⎠⎛034x d x ，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12 D ．－1或－12[答案] C[解析] 因为S 3＝⎠⎛034x d x ＝2x 2|30＝18，所以6q ＋6q 2＋6＝18，化简得2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12，故选C.12．已知(x ln x )′＝ln x ＋1，则⎠⎛1e ln x d x ＝( )A ．1B ．eC ．e －1D ．e ＋1[答案]A[解析] 由(x ln x )′＝ln x ＋1，联想到(x ln x －x )′＝(ln x ＋1)－1＝ln x ，于是⎠⎛1e ln x d x ＝(x ln x －x )|e 1＝(e ln e －e )－(1×ln1－1)＝1.13．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________．[答案] 18[解析] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝4－x ，解得两交点A (2,2)、B (8，－4)，选y 作为积分变量x ＝y 22、x ＝4－y ，∴S ＝⎠⎛-42 [(4－y )－y 22]dy ＝(4y －y 22－y36)|2－4＝18.14.已知函数f (x )＝e x －1，直线l 1：x ＝1，l 2：y ＝e t －1(t 为常数，且0≤t ≤1)．直线l 1，l 2与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示，其面积用S 2表示．直线l 2，y 轴与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示，其面积用S 1表示．当t 变化时，阴影部分的面积的最小值为________．[答案] (e －1)2[解析] 由题意得S 1＋S 2＝⎠⎛0t (e t －1－e x ＋1)d x ＋⎠⎛t1(e x －1－e t ＋1)d x ＝⎠⎛0t (e t －e x )d x ＋⎠⎛t1(e x －e t )d x ＝(xe t －e x )|t 0＋(e x －xe t )|1t ＝(2t －3)et＋e ＋1，令g (t )＝(2t －3)e t ＋e ＋1(0≤t ≤1)，则g ′(t )＝2e t ＋(2t －3)e t ＝(2t －1)e t，令g ′(t )＝0，得t ＝12，∴当t ∈[0，12)时，g ′(t )<0，g (t )是减函数，当t ∈(12，1]时，g ′(t )>0，g (t )是增函数，因此g (t )的最小值为g (12)＝e ＋1－2e 12＝(e －1)2.故阴影部分的面积的最小值为(e －1)2.15．求下列定积分．(1)⎠⎛1－1|x |d x; (2)⎠⎛0πcos 2x2d x ；(3)∫e ＋121x －1d x . [解析] (1)⎠⎛1－1|x |d x ＝2⎠⎛01x d x ＝2×12x 2|10＝1.(2)⎠⎛0πcos 2x 2d x ＝⎠⎛0π1＋cos x 2d x ＝12x |π0＋12sin x |π0＝π2. (3)∫e ＋121x －1d x ＝ln(x －1)|e ＋12＝1. 16．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，求a 的值．[解析] f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，∵f ′(0)＝0，∴b ＝0， ∴f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a <0)． ∴S 阴影＝⎠⎛a0[0－(－x 3＋ax 2)]d x＝(14x 4－13ax 3)|0a ＝112a 4＝112， ∵a <0，∴a＝－1.1．已知函数f (x )＝sin 5x ＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求22()f x dx ππ-⎰的值，结果是( )＋π2 B ．π C ．1 D ．0 [答案] B[解析] 22()f x dx ππ-⎰＝22ππ-⎰sin 5x d x ＋22ππ-⎰1d x ，由于函数y ＝sin 5x 是奇函数，所以22ππ-⎰sin 5x d x ＝0，而22ππ-⎰1d x ＝x |π2－π2＝π，故选B.2．若函数f (x )＝⎩⎨⎧－x －1 －1≤x <0，cos x 0≤x <π2，的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为a ，则a 的值为( )C ．1[答案] D[解析] 由图可知a ＝12＋⎠⎜⎜⎛0π2cos x d x ＝12＋sin x |π20＝32.3．对任意非零实数a 、b ，若a ⊗b的运算原理如图所示，则2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝________.[答案] 22[解析] ∵⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x |π0＝2>2，∴2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝2⊗2＝2－12＝22.4．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．[答案] 33[解析] ⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝(ax 33＋cx )|10＝a 3＋c ，故a 3＋c ＝ax 2＋c ，即ax 20＝a 3，又a ≠0，所以x 20＝13，又0≤x 0≤1，所以x 0＝33.故填33.5．设n ＝⎠⎛12(3x 2－2)d x ，则(x －2x )n展开式中含x 2项的系数是________．[答案] 40[解析] ∵(x 3－2x )′＝3x 2－2， ∴n ＝⎠⎛12(3x 2－2)d x ＝(x 3－2x )|21＝(23－2×2)－(1－2)＝5.∴(x －2x )5的通项公式为T r ＋1＝C r 5x 5－r(－2x)r＝(－2)r C r 5x5－3r 2，令5－3r2＝2，得r ＝2， ∴x 2项的系数是(－2)2C 25＝40.。

高考数学一轮复习定积分与微积分基本定理练习含答案

第3讲定积分与微积分基本定理一、选择题1.(2017·西安调研)定积分⎠⎛01(2x ＋e x )d x 的值为( ) A.e ＋2 B.e ＋1C.eD.e －1 解析 ⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )⎪⎪⎪10)＝1＋e 1－1＝e.故选C. 答案 C2.若⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2(a >1)，则a 的值是( ) A.2 B.3C.4D.6 解析 ⎠⎛1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )⎪⎪⎪a 1＝a 2＋ln a －1， ∴a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，则a ＝2.答案 A3.从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt (g 为常数)，则电视塔高为( )A.12gB.gC.32gD.2g解析电视塔高h ＝⎠⎛12gt d t ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12gt 221＝32g . 答案 C4.如图所示，曲线y ＝x 2－1，x ＝2，x ＝0，y ＝0围成的阴影部分的面积为( )A.⎠⎛02|x 2－1|d x B.⎪⎪⎪⎪⎠⎛02（x 2－1）d x C.⎠⎛02(x 2－1)d x D.⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(1－x 2)d x解析由曲线y ＝|x 2－1|的对称性知，所求阴影部分的面积与如下图形的面积相等，即⎠⎛02|x 2－1|d x .答案 A5.若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A.S 1<S 2<S 3B.S 2<S 1<S 3C.S 2<S 3<S 1D.S 3<S 2<S 1 解析S 2＝⎠⎛121x d x ＝ln 2，S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e 2－e ， ∵e 2－e ＝e(e －1)＞e ＞73＞ln 2， ∴S 2＜S 1＜S 3.答案 B二、填空题6.已知t >0，若⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8，则t ＝________. 解析由⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8得，(x 2－2x ) ⎪⎪⎪t0＝t 2－2t ＝8，解得t ＝4或t ＝－2(舍去). 答案 47.已知二次函数y ＝f (x )的图像如图所示，则它与x 轴所围成的面积为________.解析根据f (x )的图像可设f (x )＝a (x ＋1)·(x －1)(a <0).因为f (x )的图像过(0，1)点，所以－a ＝1，即a ＝－1. 所以f (x )＝－(x ＋1)(x －1)＝1－x 2.所以S ＝⎠⎛－11(1－x 2)d x ＝2⎠⎛01(1－x 2)d x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3⎪⎪⎪10＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝43. 答案 438.(2017·合肥模拟)设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.解析封闭图形如图所示，则⎠⎛0a x d x ＝＝23a 32－0＝a 2，解得a ＝49.答案 49三、解答题9.计算下列定积分：(1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫x －1x d x ； (2)⎠⎛02－x 2＋2x d x ； (3)2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4d x ； (4)⎠⎛－11(x 2tan x ＋x 3＋1)d x ； (5)⎠⎛－22|x 2－2x |d x . 解 (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－ln x ⎪⎪⎪21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×22－ln 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－ln 1＝32－ln 2； (2)由定积分的几何意义知，所求定积分是由x ＝0，x ＝2，y ＝－x 2＋2x ，以及x 轴围成的图像的面积，即圆(x －1)2＋y 2＝1的面积的一半，∴⎠⎛02－x 2＋2x＝π2； (3)原式＝ (sin x ＋cos x )d x ＝(－cos x ＋sin x ) ＝⎝⎛⎭⎪⎫－cos π2＋sin π2－ (－cos 0＋sin 0)＝2；(4)原式＝⎠⎛－11(x 2tan x ＋x 3)d x ＋⎠⎛－111d x ＝0＋x ⎪⎪⎪1-1＝2； (5)∵|x 2－2x |＝⎩⎨⎧x 2－2x ，－2≤x <0，－x 2＋2x ，0≤x ≤2，∴⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝⎠⎛－20(x 2－2x )d x ＋⎠⎛02(－x 2＋2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2⎪⎪⎪0-2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋x 2⎪⎪⎪20＝8.10.求曲线y ＝x 2，直线y ＝x ，y ＝3x 围成的图形的面积.解作出曲线y ＝x 2，直线y ＝x ，y ＝3x 的图像，所求面积为图中阴影部分的面积.解方程组⎩⎨⎧y ＝x 2，y ＝x ，得交点(1，1)，解方程组⎩⎨⎧y ＝x 2，y ＝3x ，得交点(3，9)，因此，所求图形的面积为S ＝⎠⎛01(3x －x )d x ＋⎠⎛13(3x －x 2)d x ＝⎠⎛012x d x ＋⎠⎛13(3x －x 2)d x ＝x 2⎪⎪⎪10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2－13x 3⎪⎪⎪31 ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32×32－13×33－⎝ ⎛⎭⎪⎫32×12－13×13＝133. 11.若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( ) A.－1B.－13C.13D.1解析由题意知f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，设m ＝⎠⎛01f (x )d x ，∴f (x )＝x 2＋2m ， ⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋2m )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2mx ⎪⎪⎪10 ＝13＋2m ＝m ，∴m ＝－13.答案 B12.一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A.1＋25ln 5B.8＋25ln 113C.4＋25ln 5D.4＋50ln 2解析令v (t )＝0，得t ＝4或t ＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋25ln （1＋t ）⎪⎪⎪40＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5(m).答案 C13.(2017·郑州调研)⎠⎛－11(1－x 2＋e x －1)d x ＝________. 解析 ⎠⎛－11(1－x 2＋e x －1)d x ＝⎠⎛－111－x 2d x ＋⎠⎛－11(e x －1)d x . 因为⎠⎛－111－x 2d x 表示单位圆的上半部分的面积，则⎠⎛－111－x 2d x ＝π2，又⎠⎛－11(e x －1)d x ＝(e x －x )|1－1 ＝(e 1－1)－(e －1＋1)＝e －1e －2，所以⎠⎛－11(1－x 2＋e x－1)d x ＝π2＋e －1e －2. 答案 π2＋e －1e －214.在区间[0，1]上给定曲线y ＝x 2.试在此区间内确定点t 的值，使图中的阴影部分的面积S 1与S 2之和最小，并求最小值. 解 S 1面积等于边长分别为t 与t 2的矩形面积去掉曲线y ＝x 2与x 轴、直线x ＝t 所围成的面积，即S 1＝t ·t 2－⎠⎛0t x 2d x ＝23t 3. S 2的面积等于曲线y ＝x 2与x 轴，x ＝t ，x ＝1围成的面积去掉矩形边长分别为t 2，1－t 的面积，即S 2＝⎠⎛t1x 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋13. 所以阴影部分的面积S (t )＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1).令S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12＝0，得t ＝0或t ＝12. t ＝0时，S (t )＝13；t ＝12时，S (t )＝14；t ＝1时，S (t )＝23.所以当t ＝12时，S (t )最小，且最小值为14.。

高考数学一轮复习课时作业18定积分与微积分基本定理理(含解析)新人教版

高考数学一轮复习课时作业18定积分与微积分基本定理理（含解析）新人教版课时作业18 定积分与微积分基本定理一、选择题1．定积分⎠⎛01(3x ＋e x)d x 的值为( D )A ．e ＋1B ．eC ．e －12D ．e ＋12解析：⎠⎛01(3x ＋e x)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋e x |10＝32＋e －1＝e ＋12. 2．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋sin x ，－1≤x ≤1，3，1<x ≤2，则⎠⎛2－1f (x )d x ＝( D )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：⎠⎛-12f (x )d x ＝⎠⎛-11 (x 3＋sin x )d x ＋⎠⎛123d x ＝0＋3x|21＝6－3＝3.3．已知a ＝2－13 ，b ＝(2log 23) －12 ，c ＝14⎠⎛0πsin x d x ，则实数a ，b ，c 的大小关系是( C )A ．a >c >bB ．b >a >cC ．a >b >cD ．c >b >a解析：依题意得，a ＝2－13 ，b ＝3－12 ，c ＝－14cos x|π0＝12，所以a 6＝2－2＝14，b 6＝3－3＝127，c 6＝(12)6＝164，则a >b >c .选C. 4．若⎠⎛01(x 2＋mx )d x ＝0，则实数m 的值为( B )A ．－13B ．－23C ．－1D ．－2解析：由题意知0(x 2＋mx )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33＋mx 22|10＝13＋m2＝0，解得m ＝－23.5．由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( C ) A.103 B ．4 C.163D ．6 解析：作出曲线y ＝x 和直线y ＝x －2的草图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积．由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝x －2得交点A (4,2)．因此y ＝x 与y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为⎠⎛04 [x －(x －2)]d x ＝⎠⎛04 (x －x＋2)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23x 32 －12x 2＋2x |40＝23×8－12×16＋2×4＝163. 6．抛物线y ＝－x 2＋2x 与x 轴围成的封闭图形的面积是( C ) A.34 B ．1 C.43 D.54解析：令－x 2＋2x ＝0，得x ＝0或x ＝2，所以抛物线y ＝－x 2＋2x 与x 轴围成的封闭图形的面积S ＝⎠⎛02 (－x 2＋2x )d x ＝(－13x 3＋x 2)|20＝－83＋4＝43.故选C.7．若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( B )A ．－1B ．－13C.13D ．1解析：设m ＝⎠⎛01f (x )d x ，则f (x )＝x 2＋2m ，⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋2m )d x ＝(13x 3＋2mx )|10 ＝13＋2m ＝m ，所以m ＝－13.故选B. 8．已知f (x )为偶函数且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛-66f (x )d x 等于( D )A ．0B ．4C ．8D ．16解析：⎠⎛-66f (x )d x ＝⎠⎛-66f (x )d x ＋⎠⎛06f (x )d x ，因为f (x )为偶函数，所以f (x )的图象关于y 轴对称，故⎠⎛-66f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝2×8＝16.故选D.二、填空题9．若函数f (x )＝x ＋1x ，则⎠⎛1e f (x )d x ＝12e 2＋12.解析：⎠⎛1e f (x )d x ＝⎠⎛1e ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋ln x |e 1＝12e 2＋12.10．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x >2(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为36J.解析：由题意知，力F (x )所做的功为W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛025d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝5x 20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋4x |42＝5×2＋⎣⎢⎡32×42＋4×4－⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32×22＋4×2＝36(J)． 11．(2019·安徽二模)计算：⎠⎛01(2x －x 2－x )d x ＝π－24.解析：由定积分的几何意义知⎠⎛012x －x 2d x 是由y ＝2x －x 2与直线x ＝0，x ＝1所围成的图形的面积，即是以(1,0)为圆心，以1为半径的圆的面积的14，故⎠⎛012x －x 2d x ＝π4，⎠⎛01 (－x )d x ＝－12x 210＝－12，∴⎠⎛01 (2x －x 2－x )d x ＝π－24.12．已知直线AB ：x ＋y －6＝0(A ，B 为直线与x 轴、y 轴的交点)与抛物线y ＝x 2及x 轴正半轴围成的图形为Ω，若从Rt △AOB 区域内任取一点M (x ，y )，则点M 取自图形Ω的概率为1627.解析：由定积分可求得阴影部分图形Ω的面积为S＝⎠⎛2x 2d x＋⎠⎛26(6－x)d x＝323.又Rt △AOB的面积为12×6×6＝18，所以P＝32318＝1627.13．若直线y＝1与函数f(x)＝2sin2x的图象相交于点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且|x1－x2|＝2π3，则线段PQ与函数f(x)的图象所围成的图形面积是( A )A.2π3＋ 3 B.π3＋ 3C.2π3＋3－2 D.π3＋3－2解析：如图，分别画出直线y＝1与函数f(x)＝2sin2x的图象，不妨令P在Q的左边，由|x1－x2|＝2π3可得满足题意的两个交点为P(5π12，1)，Q(13π12，1)，将线段PQ与函数f(x)的图象所围成的图形面积的问题转化为定积分的问题，即S＝ (1－2sin2x)d x＝(x＋cos2x) ＝(13π12＋cos13π6)－(5π12＋cos5π6)＝2π3＋ 3.故选A.14．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，若f (f (1))≥1，则实数a 的取值范围是( D )A ．a ≤－1B ．a ≥－1C ．a ≤1D ．a ≥1解析：由题知，f (1)＝0，f (f (1))＝f (0)＝⎠⎛0a 3t 2d t ＝t 3a0＝a 3，所以f (f (1))≥1，即a 3≥1，解得a ≥1.故选D.尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．(2019·长沙模拟)设a ＝⎠⎛01cos x d x ，b ＝⎠⎛01sin x d x ，则下列关系式成立的是( A )A ．a >bB ．a ＋b <1C ．a <bD ．a ＋b ＝1解析：∵(sin x )′＝cos x ，∴a ＝⎠⎛01cos x d x ＝sin x|10＝sin1.∵(－cos x )′＝sin x ，∴b＝⎠⎛01sin x d x ＝(－cos x )|10＝1－cos1.∵sin1＋cos1>1，∴sin1>1－cos1，即a >b .故选A.16．设M ，m 分别是f (x )在区间[a ，b ]上的最大值和最小值，则m (b －a )≤⎠⎛ab f (x )d x ≤M (b－a )．根据上述估值定理可知定积分⎠⎛-122－x2d x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤316，3. 解析：因为当－1≤x ≤2时，0≤x 2≤4，所以116≤2－x2≤1.根据估值定理得116×[2－(－1)]≤⎠⎛-122－x 2d x ≤1×[2－(－1)]，即316≤⎠⎛-122－x2d x ≤3.。

高考数学一轮总复习 2.13定积分与微积分基本定理

【答案】 D
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【名师点评】定积分的主要应用是求曲边形的面积，一般地，由曲线 y＝f(x)，y＝g(x)，直线 x＝a，x＝b(a<b)所围成的曲边形的面积 S＝b|f(x)－g(x)|dx，被积函数中的绝对值是不可少的，
a
在具体解题中就是根据两个函数 y＝f(x)，y＝g(x)图象位置的高低，用分段的形式将面积表示出来．
S＝1
0
x＋13xdx＋132－x＋13xdx
＝23x
3 2
＋16x201
＋2x－13x231
＝23＋16＋43＝163.
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考点三定积分在物理中的应用
【例 3】物体 A 以 v＝3t2＋1(m/s)的速度在一直线 l 上运动，
物体 B 在直线 l 上，且在物体 A 的正前方 5 m 处，同时以 v＝10t(m/s)
A．S＝1(x2－x)dx 0
B．S＝1(x－x2)dx 0
C．S＝1(y2－y)dy 0
D．S＝1(y－ y)dy 0
答案 B
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3.1 －x2＋2xdx＝________. 0 ppt课件
解析 1 －x2＋2x dx表示y＝－x2＋2x 与x＝0，x＝1及y＝0所围 0
成的图形的面积．
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J 基础回扣·自主学习
理教材夯基础厚积薄发
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知识点一 (1)定积分的定义
知识梳理定积分的定义及几何意义
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如果函数f(x)在区间[a，b]上连续
，当n→∞时，和式
n
i＝1
b－n af(ξi)无限接近
某个常数
，
这个常数叫做函数f(x)在区

高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解

1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题.2. 理解微积分的基本定理，并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题. 二、知识要点分析1. 定积分的概念：函数)(x f 在区间［a ，b ］上的定积分表示为：⎰badx x f )(2. 定积分的几何意义：（1）当函数f （x ）在区间[a ，b]上恒为正时，定积分⎰badx x f )(的几何意义是：y=f （x ）与x=a ，x=b 及x轴围成的曲边梯形面积，在一般情形下.⎰badx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f （x ）的图象、以及直线x=a ，x=b 之间的各部分的面积代数和，在x 轴上方的面积取正号，x 轴下方的面积取负号.在图（1）中：0s dx )x (f ba>=⎰，在图（2）中：0s dx )x (f ba<=⎰，在图（3）中：dx )x (f ba⎰表示函数y=f （x ）图象及直线x=a ，x=b 、x 轴围成的面积的代数和.注：函数y=f （x ）图象与x 轴及直线x=a ，x=b 围成的面积不一定等于⎰badx x f )(，仅当在区间[a ，b]上f （x ）恒正时，其面积才等于⎰badx x f )(.3. 定积分的性质，（设函数f （x ），g （x ）在区间［a ，b ］上可积）（1）⎰⎰⎰±=±bababadx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [（2）⎰⎰=baba dx x f k dx x kf )()(，（k 为常数）（3）⎰⎰⎰+=bcbac adx x f dx x f dx x f )()()(（4）若在区间［a ，b ］上，⎰≥≥badx x f x f 0)(,0)(则推论：（1）若在区间［a ，b ］上，⎰⎰≤≤babadx x g dx x f x g x f )()(),()(则（2）⎰⎰≤babadx x f dx x f |)(||)(|（3）若f （x ）是偶函数，则⎰⎰=-a aadx x f dx x f 0)(2)(，若f （x ）是奇函数，则0)(=⎰-aadx x f4. 微积分基本定理：一般地，若)()()(],[)(),()('a Fb F dx x f b a x f x f x F ba-==⎰上可积，则在且注：（1）若)()('x f x F =则F （x ）叫函数f （x ）在区间［a ，b ］上的一个原函数，根据导数定义知：F （x ）+C 也是f （x ）的原函数，求定积分⎰badx x f )(的关键是求f （x ）的原函数，可以利用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向求F （x ）.（2）求导运算与求原函数的运算互为逆运算.【典型例题】知识点一：定积分的几何意义例1．根据⎰=π200sin xdx 推断：求直线x=0，x=π2，y=0和正弦曲线y=sinx 所围成的曲边梯形面积下列结论正确的是（）A ．面积为0B ．曲边梯形在x 轴上方的面积大于在x 轴下方的面积C ．曲边梯形在x 轴上方的面积小于在x 轴下方的面积D ．曲边梯形在x 轴上方的面积等于在x 轴下方的面积题意分析：本题考查定积分的几何意义，注意dx x ⎰π20sin 与y=sinx 及直线x=a ，x=b 和x 轴围成的面积的区别.思路分析：作出函数y=sinx 在区间[0，π2]内的图象及积分的几何意义及函数的对称性可判断. 解：对于（A ）：由于直线x=0，x=π2，y=0和正弦曲线y=sinx 所围成的曲边梯形面积为正可判断A 错.对于（B ），（C ）根据y=sinx 在[0，π2]内关于（)0,π对称知两个答案都是错误的. 根据函数y=sinx 的图象及定积分的几何意义可知：答案（D ）是正确的.解题后的思考：本题主要考查定积分的几何意义，体现了数与形结合的思想的应用，易错点是混淆函数y=sinx 与x 轴、直线x=0，x=π2围成的面积等于⎰π20)(dx x f .例2．利用定积分的几何意义，说明下列等式的合理性（1）121=⎰xdx（2）⎰=-1241πdx x .题意分析：本题主要考查定积分的几何意义：在区间[0，1]上函数y=2x ，及y=21x -恒为正时，定积分⎰12xdx表示函数y=2x 图象与x=0，x=1围成的图形的面积，dx x ⎰-121表示函数y=21x -图象与x=0，x=1围成的图形的面积.思路分析：分别作出函数y=2x 及y=21x -的图象，求此图象与直线x=0，x=1围成的面积.解：（1）在同一坐标系中画出函数y=2x 的图象及直线x=0，x=1（如图），它们围成的图形是直角三角形.其面积∆S =11221=⨯⨯.由于在区间[0，1]内f （x ）恒为正，故1210=⎰xdx .（2）由]1,0[,11222∈=+⇒-=x y x x y ，故函数y 21x -=（]1,0[∈x 的图象如图所示，所以函数y 21x -=与直线x=0，x=1围成的图形面积是圆122=+y x 面积的四分之一，又y 21x -=在区间［0，1］上恒为正.⎰=-1241πdx x解题后的思考：本题主要考查利用定积分的几何意义来验证函数y=2x 及函数y=21x -在区间［0，1］上的定积分的值，体现了数与形结合的思想的应用，易错点是画函数图象的不准确造成错误的结果.例3．利用定积分的几何意义求⎰-+-4|)3||1(|dx x x 的值.题意分析：本题考查定积分的几何意义，⎰-+-4|)3||1(|dx x x 的值是函数|3||1|-+-=x x y 的图象与直线x=0，x=4所围成图形的面积.思路分析：首先把区间［0，4］分割为［0，1］，［1，3］，［3，4］，在每个区间上讨论x －1，x －3的符号，把函数|3||1|-+-=x x y 化为分段函数，再根据定积分的几何意义求⎰-+-4|)3||1(|dx x x 的值.解：函数|3||1|-+-=x x y 化为⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈∈+-=]4,3[(,42]3,1[(,2]1,0[(,42x x x x x y由于函数⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈∈+-=]4,3[(,42]3,1[(,2]1,0[(,42x x x x x y 在区间［0，1］，［1，3］，［3，4］都恒为正.设函数y=－2x+4的图象与直线x=0，x=1围成的面积为S 1 函数y=2的图象与直线x=1，x=3围成的面积是S 2 函数y=2x －4的图象与直线x=3，x=4围成的面积是S 3 由图知：S 1=S 3=,31)24(21=⨯+S 2=422=⨯ 由定积分的几何意义知：⎰-+-4|)3||1(|dx x x =10231=++S S S解题后的思考：本题考查的知识点是定积分的几何意义，利用其几何意义求定积分⎰-+-4|)3||1(|dx x x 的值，体现了等价转化的数学思想（把区间［0，4］分割，把函数y=|x －1|+|x －3|化成分段函数）、数与形结合的思想的应用.易错点是：区间［0，4］分割不当及画函数图象不准确，造成错误的结果.当被积函数含有绝对值时，常采用分割区间把函数化为分段函数的方法求定积分的值.小结：本题主要考查定积分的几何意义，要分清在区间［a ，b ］上f （x ）恒为正时，f （x ）在区间[a ，b]上定积分值才等于函数图象与直线x=a ，x=b 围成的面积.在画函数图象时注意x 的取值区间.当被积函数含有绝对值时，恰当的分割区间把函数画为分段函数再求定积分的值.高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解一、选择题1．(2010·山东日照模考)a ＝⎠⎛02x d x ，b ＝⎠⎛02e x d x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．c <b <aD ．c <a <b2．(2010·山东理，7)由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A.112B.14C.13D.712(2010·湖南师大附中)设点P 在曲线y ＝x 2上从原点到A (2,4)移动，如果把由直线OP ，直线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记作S 1，S 2.如图所示，当S 1＝S 2时，点P 的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫43，169B.⎝⎛⎭⎫45，169 C.⎝⎛⎭⎫43，157D.⎝⎛⎭⎫45，1373．由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的图形的面积为( ) A ．4B.43C.185D ．64．(2010·湖南省考试院调研)⎠⎛1－1(sin x ＋1)d x 的值为( )A ．0B ．2C ．2＋2cos1D ．2－2cos15．曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积是( ) A ．2π B ．3π C.3π2D ．π6．函数F (x )＝⎠⎛0x t (t －4)d t 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值7．已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋n ，函数f (x )＝⎠⎛1x 1td t ，若f (x )<a 3，则x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫36，＋∞ B ．(0，e 21) C ．(e －11，e )D ．(0，e 11)8．(2010·福建厦门一中)如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )A.1πB.2πC.3πD.π49．(2010·吉林质检)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2(－2≤x <0)2cos x (0≤x ≤π2)的图象与x 轴所围成的图形面积S 为( ) A.32B ．1C ．4D.1210．(2010·沈阳二十中)设函数f (x )＝x －[x ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.2]＝－2，[1.2]＝1，[1]＝1.又函数g (x )＝－x3，f (x )在区间(0,2)上零点的个数记为m ，f (x )与g (x )的图象交点的个数记为n ，则⎠⎛mn g (x )d x 的值是( )A ．－52B ．－43C ．－54D ．－7611．(2010·江苏盐城调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b ，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c (b 、c 可以相等)，若关于x 的方程x 2＋2bx ＋c ＝0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为( )A.13B.23C.12D.3412．(2010·吉林省调研)已知正方形四个顶点分别为O (0,0)，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，曲线y ＝x 2(x ≥0)与x 轴，直线x ＝1构成区域M ，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域M 内的概率是( )A.12B.14C.13D.25二、填空题13．(2010·芜湖十二中)已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛1－1f (x )d x ＝2f (a )成立，则a＝________.14．已知a ＝∫π20(sin x ＋cos x )d x ，则二项式(a x －1x )6的展开式中含x 2项的系数是________．15．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________．16．(2010·安徽合肥质检)抛物线y 2＝ax (a >0)与直线x ＝1围成的封闭图形的面积为43，若直线l 与抛物线相切且平行于直线2x －y ＋6＝0，则l 的方程为______．17．(2010·福建福州市)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为________．三、解答题18．如图所示，在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2，试在此区间内确定t 的值，使图中阴影部分的面积S 1＋S 2最小．。

高考一轮作业：3-3定积分与微积分基本定理(理)(含答案)

时间：45分钟满分：100分班级：________ 姓名：________ 学号：________ 得分：________ 一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(2018·南京调研)给出如下①⎠⎛b a dx ＝⎠⎛ab dt ＝b －a(a ，b 为常数且a ＜b)；③曲线y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与直线y ＝0围成的两个封闭区域的面积之和为2. 其中正确 A ．0B ．1C ．2D ．3解析：由定积分的性质知①错；对于②，两个积分都表示14个单位圆的面积，答案：B2．(2018·浙江五校联考)已知函数y ＝x 2与y ＝kx(k ＞0)的图象所围成的阴影部分的面积为92，则k 等于( )A ．2B ．1C ．3D ．4解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2y ＝kx ，消去y 得x 2－kx ＝0，所以x ＝0或x ＝k ，则阴影部分的面积为⎠⎛0k (kx －x 2)dx ＝(12kx 2－13x 3)| k0＝92.即12k 3－13k 3＝92，解得k ＝3.故选C. 答案：C3．(2018·广州综合测试)函数F(x)＝⎠⎛0x t(t －4)dt 在[－1，5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0，最小值－323C ．有最大值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值解析：F(x)＝(13t 3－2t 2)| x 0＝13x 3－2x 2，F′(x)＝x 2－4x ，令F′(x)＝0，得x ＝0或x ＝4， ∵F(－1)＝－13－2＝－73，F(0)＝0，F(4)＝－323，F(5)＝－253，∴F(x)的最大值为0，最小值为－323.故选B.答案：B4．(2018·福建莆田高三质检)如图，由函数f(x)＝e x－e 的图象，直线x ＝2及x 轴所围成的阴影部分面积等于( )A ．e 2－2e －1 B ．e 2－2e C.e 2－e 2D ．e 2－2e ＋1解析：面积S ＝⎠⎛12f(x)dx ＝⎠⎛12(e x－e)dx ＝(e x－ex)|21＝(e 2－2e)－(e 1－e)＝e 2－2e.答案：B5．(2018·山东淄博模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝⎠⎛03(1＋2x)dx ，S 20＝17，则S 30为( )A ．15B ．20C ．25D ．30解析：S 10＝⎠⎛03(1＋2x)dx ＝(x ＋x 2)| 30＝12.因为S n 是等差数列{a n }的前n 项和，所以S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列，即12,5，S 30－17成等差数列，易得S 30＝15.答案：A6．(2018·广州海珠区测试)用max{a ，b}表示a ，b 两个数中的最大数，设f(x)＝max{x 2，x }(x≥14)．那么由函数y ＝f(x)的图象、x 轴、直线x ＝14和直线x ＝2所围成的封闭图形的面积是( )A.3512B.5924C.578D.9112答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)7．(2018·山东模拟)设a ＞0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.答案：498．(2018·江西模拟)计算定积分＝__________.答案：239．(2018·中山一模)设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2dt ，x≤0，若f[f(1)]＝1，则a ＝________. 解析：∵f(1)＝lg 1＝0，∴f[f(1)]＝f(0)＝0＋⎠⎛0a 3t 2dt ＝t 3| a0＝a 3，∴a 3＝1得a ＝1. 答案：110．(2018·上海模拟)已知函数y ＝f(x)的图像是折线段ABC ，其中A(0,0)、B(12，5)、C(1,0)．函数y ＝xf(x)(0≤x≤1)的图像与x 轴围成的图形的面积为________．解析：写出函数解析式，再利用定积分求曲边形的面积．由题意可得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧10x ，0≤x≤1210－10x ，12<x≤1，所以y ＝xf(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧10x 2，0≤x≤1210x －10x 2，12<x≤1，与x 轴围成图形的面积为答案：54三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤) 11．(2018·浙江宁波十校联考)求定积分⎠⎛12(x ＋1x －1x 2)dx.解：⎠⎛12(x ＋1x －1x 2)dx＝⎠⎛12xdx ＋⎠⎛121x dx －⎠⎛121x2dx ＝12x 2| 21＋ln x | 21＋1x | 21 ＝12×(4－1)＋ln 2＋(12－1) ＝1＋ln 2.12．(2018·北京东城期末)已知经过原点的直线l 平分抛物线f(x)＝x 2－6x 与x 轴所围成的封闭区域的面积．(1)求抛物线f(x)与x 轴所围成的封闭区域的面积S ； (2)求直线l 的方程．解：(1)由f(x)＝0得x ＝0或x ＝6， ∴S ＝－⎠⎛06(x 2－6x)dx ，令F(x)＝13x 3－3x 2，则F′(x)＝x 2－6x ，∴S ＝－F(6)＋F(0)＝36. (2)设直线l ：y ＝kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝x 2－6x ，得x 2－(k ＋6)x ＝0，∴x ＝0或x ＝6＋k.∵直线l 平分抛物线f(x)＝x 2－6x 与x 轴所围成的封闭区域的面积， ∴∫k ＋60[kx －(x 2－6x)]dx ＝∫k ＋60[－x 2＋(k ＋6)x]dx ＝18，令G(x)＝－13x 3＋k ＋62x 2，则G′(x)＝－x 2＋(k ＋6)x ，∴－13(k ＋6)3＋12(k ＋6)3＝18，∴k ＝334－6，∴直线l 的方程为y ＝(334－6)x.13．(2018·山东聊城外国语学校二模)已知f(x)＝x 2＋ax ＋a(a≤2，x ∈R)，g(x)＝e －x，φ(x)＝f(x)·g(x)． (1)当a ＝1时，求φ(x)的单调区间；(2)求g(x)在点(0,1)处的切线与直线x ＝1及曲线g(x)所围成的封闭图形的面积．解：(1)当a ＝1时，φ(x)＝(x 2＋x ＋1)e －x， φ′(x)＝e －x(－x 2＋x)．当φ′(x)>0时，0<x<1；当φ′(x)<0时，x>1或x<0.∴φ(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(－∞，0)，(1，＋∞)． (2)切线的斜率为k ＝g′(0)＝－e －x|x ＝0＝－1， ∴切线方程为y ＝－x ＋1. ∴所求封闭图形的面积为S ＝⎠⎛01[e －x－(－x ＋1)]dx ＝⎠⎛01(e －x＋x －1)dx＝(－e －x ＋12x 2－x) |10＝12－1e .。

一轮复习--定积分与微积分基本定理PPT课件

0
5
所以5
－5
(3x3＋4sin
x)dx＝0－5
(3x3＋4sin
x)dx
＋
0
(3x3
＋
4sin x)dx＝0.
[方法技巧] 1．利用定积分几何意义求定积分的策略当被积函数的原函数不易求，而被积函数的图象与直线x＝a，x＝b，y＝0所围成的曲边梯形的面积易求时，利用定积分的几何意义求定积分． 2．两个常用结论设函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则由定积分的几何意义和奇、偶函数图象的对称性可得两个结论： (1)若f(x)是偶函数，则a－af(x)dx＝2af(x)dx；
图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积．
由yy＝＝x－x，2 得交点A(4,2)．
因此 y＝ x与 y＝x－2 及 y 轴所围成的图形的面积为
＝
4
0
x－x＋2dx
＝
2 3x
3 2
－12x2＋2x
4 0
＝23×8－12×16＋2×4＝136.
[答案] C
[方法技巧] 利用定积分求平面图形面积的步骤
3.在区间[0,1]上给定曲线 y＝x2，试在此区间内确定点 t 的值，使图 4－5－4 中阴影部分的面积 S1 与 S2之和最小．
图 4－5－4
解：S1 面积等于边长为 t 与 t2 的矩形面积去掉曲线 y＝x2 与 x 轴、直线 x＝t 所围成的面积，即
t
S1＝t·t2－ 0
x2dx＝23t3.
当 t＝12时，S 最小，
∴最小值为 S12＝14.
kbf(x)dx
(1)bkf(x)dx＝___a______ (k 为常数)；
a
bf1(x)dx±bf2(x)dx

2018届高考数学一轮复习配餐作业18定积分与微积分基本定理(含解析)理

配餐作业(十八) 定积分与微积分基本定理(时间：40分钟)一、选择题1.⎠⎛24(x 2＋x 3－30)d x ＝( )A ．56B ．28 C.563D ．14解析 ⎠⎛24(x 2＋x 3－30)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋14x 4－30x |42＝13(43－23)＋14(44－24)－30(4－2)＝563。

故选C 。

答案 C 2． (1＋cos x )d x 等于( )A ．πB ．2C ．π－2D ．π＋2解析 (1＋cos x )d x ＝2(1＋cos x )d x ＝2(x ＋sin x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋1＝π＋2。

故选D 。

答案 D3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－2≤x ≤0，x ＋1，0＜x ≤2，则f (x )d x 的值为( )A.43 B ．4 C ．6D.203解析＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋83＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12×4＋2－0＝203。

故选D 。

答案 D4．如图所示，曲线y ＝x 2－1，x ＝2，x ＝0，y ＝0围成的阴影部分的面积为( )解析由曲线y ＝|x 2－1|的对称性，所求阴影部分的面积与如下图形的面积相等，即|x 2－1|d x ，故选A 。

答案 A5．若函数f (x )＝x 2＋2x ＋m (m ，x ∈R )的最小值为－1，则⎠⎛12f (x )d x 等于( )A ．2 B.163C ．6D ．7解析 f (x )＝(x ＋1)2＋m －1，∵f (x )的最小值为－1， ∴m －1＝－1，即m ＝0。

∴f (x )＝x 2＋2x 。

∴⎠⎛12f (x )d x ＝⎠⎛12(x 2＋2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2|21＝13×23＋22－13－1＝163。

故选B 。

答案 B6.e |x |d x 值等于( )A ．e 2－e －2B ．2e 2C ．2e 2－2D ．e 2＋e －2－2解析＝－1＋e 2＋e 2－1 ＝2e 2－2。

第六节定积分与微积分基本定理高考数学课标版理数一轮复习课件+讲义+体能作业

第六节定积分与微积分基本定理(1)了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念.(2)了解微积分基本定理的含义.1.定积分的定义如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点a=x 0<x 1<…<x i-1<x i <…<x n =b 将区间[a,b]等分成n 个小区间,在每个小区间[x i-1,x i ]上任取一点ξi (i=1,2,…,n),作和式∑i=1nf(ξi )Δx=∑i=1n b -a nf(ξi ),当n →∞时,上述和式无限接近某个常数,那么这个常数叫做函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作① ∫ ba f(x)dx,即∫ b a f(x)dx=lim n ∑∑∑i=1nb -an f(ξi ).这里,a 和b 分别叫做积分下限和积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函数,x 叫做积分变量, f(x)dx 叫做被积式. 2.定积分的运算性质(1)∫ ba kf(x)dx=② k ∫ ba f(x)dx (k 是不为0的常数). (2)∫ ba [f 1(x)±f 2(x)]dx=③ ∫ ba f 1(x)dx±∫ ba f 2(x)dx . (3)∫ ba f(x)dx=④ ∫ ca f(x)dx+∫ bc f(x)dx (a<c<b). 3.微积分基本定理一般地,如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且F'(x)=f(x),那么∫ ba f(x)dx=⑤ F(b)-F(a) ,这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿-莱布尼茨公式.可以把F(b)-F(a)记为F(x) ab ,即∫ ba f(x)dx=F(x) ab =⑥ F(b)-F(a) .4.常见被积函数的原函数 (1)∫ ba cdx=cx ab ;(2)∫ b a x n dx=x n+1n+1a b (n ≠-1);(3)∫ b a sin xdx=-cos x a b ; (4)∫ b a cos xdx=sin x a b ; (5)∫ b a 1|x|dx=ln|x| a b ; (6)∫ ba e x dx=e x ab .1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”). (1)定积分一定是曲边梯形的面积.( )(2)若f(x)是偶函数,在闭区间[-a,a]上连续,则∫f a -a (x)dx =2∫ a0f(x)dx.( ) (3)若f(x)是奇函数,在闭区间[-a,a]上连续,则∫f a-a (x)dx =0.( ) (4)曲线y=x 2与直线y=x 所围成的区域的面积是∫10x -x 2)dx.( )(5)若∫f ba (x)dx <0,则由y =f(x),x =a,x =b 的图象以及x 轴所围成的图形一定在x 轴下方.( ) 答案 (1)✕ (2)√ (3)√ (4)√ (5)✕ 2.∫ π2-π2(1+cos x)dx 等于( ) A.π B.2C.π-2D.π+2答案D3.直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A.2√2B.4√2C.2D.4答案D4.若s1=∫21x2dx,s2=∫211xdx,s3=∫21e x dx,则s1,s2,s3的大小关系为()A.s1<s2<s3B.s2<s1<s3C.s2<s2<s1D.s3<s2<s1答案B5.若∫a1(2x+1x)dx=3+ln2(a>1),则a的值是.答案26.∫10(√1-x2+12x)dx=.答案π+14解析∫1(√1-x 2+12x)dx=∫1√1-x2dx+∫112xdx,∫112xdx=14,∫1√1-x2dx表示四分之一单位圆的面积,即π4,所以结果是π+14.7.汽车以36km/h的速度行驶,到某处需要减速停车,设汽车以减速度a=2m/s2刹车,则从开始刹车到停车,汽车走的距离是m.答案25解析 t=0时,v 0=36 km/h=10 m/s,刹车后,汽车减速行驶,速度为v(t)=v 0-at=10-2t,由v(t)=0得t=5s,所以从刹车到停车,汽车所走过的路程为∫v 50(t)dt =∫5010-2t)dt =(10t -t 2)| 05=25(m).定积分的计算典例1 计算下列定积分: (1)∫10x 2+2x)dx;(2)∫ π0(sinx -cosx)dx; (3)∫21(e 2x +1x )dx; (4)∫π20√1-sin2xdx; (5)∫10√1-(x -1)2dx; (6)∫1-1x 2tanx +x 3+1)dx;(7)若f(x)=x+2∫f 10(t)dt,求f(x).解析 (1)∫10x 2+2x)dx =∫10x 2)dx +∫210dx =(-13x 3)| 01+x 2| 01=-13+1=23.(2)∫ π0(sinx -cosx)dx=∫ π0sinxdx -∫ π0cosxdx =(-cosx)| π0-sinx| π0=2. (3)∫21(e 2x +1x )dx=∫21e 2x dx +∫211xdx =12e 2x | 12+lnx| 12=12e 4-12e 2+ln2-ln1=12e 4-12e 2+ln2.(4)∫π2√1-sin2xdx =∫π20sinx -cosx|dx =∫π4cosx -sinx)dx +∫π2π4sinx -cosx)dx=(sinx +cosx)| 0π4+(-cosx -sinx)| π4π2=√2-1+(-1+√2)=2√2-2.(5)根据定积分的几何意义,可知∫10√1-(x -1)2dx 表示的是如图所示的阴影部分的面积,即圆(x-1)2+y 2=1的面积的14,故∫ 10√1-(x -1)2dx=π4. (6)∵f(x)=x 2tan x+x 3是奇函数, ∴∫1-1x 2tanx +x 3+1)dx =0+∫11-1dx=x| -11=2.(7)记a =∫f 10(t)dt,则f(x)=x +2a,故∫f 10(x)dx =∫1x +2a)dx=(12x 2+2ax)| 01=12+2a,所以a=12+2a,a=-12,故f(x)=x-1. 方法技巧计算定积分的解题步骤(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数的和或差. (2)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数.(3)利用微积分基本定理求出各个定积分的值,然后求其代数和. 1-1 ∫ 5-5(3x 3+4sin x)dx= .答案 01-2∫21-x|dx=.答案1解析∫21-x|dx=∫11-x)dx+∫21x-1)dx=(x -12x2)01+(12x2-x)12=1-12-0+(12×22-2)-(12×12-1)=1.利用定积分计算平面图形的面积典例2由曲线y=x2与y=√x围成的封闭图形的面积为()A.16B.13C.23D.1答案B解析由{y=x2,y=√x解得x=0或x=1,所以曲线y=x2与y=√x所围成的封闭图形的面积S=∫1(√x-x2)dx=(23x32-13x3)01=13,故选B.◆探究若本例中“y=x2”变为“y=-x+2”,试求曲线y=√x与直线y=-x+2及y=0所围成的图形的面积.解析如图所示,由y=√x及y=-x+2可得两图象的交点的横坐标为x=1.由定积分的几何意义可知,由曲线y=√x,直线y=-x+2及x轴所围成的封闭图形的面积为∫1√x dx+∫21(-x+2)dx=23x32|1+(2x-x22)|12=76.典例3 如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(如图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 .答案 65解析建立平面直角坐标系,如图.过B 作BE ⊥x 轴于点E,∵∠BAE=45°,BE=2,∴AE=2,又OE=5,∴A(3,0),B(5,2).设抛物线的方程为x 2=2py(p>0),将点B 的坐标代入,得p=254,故抛物线的方程为y=225x 2,从而曲边三角形OEB的面积为∫ 50225x 2dx=2x 37505=103.又S △ABE =12×2×2=2,故曲边三角形OAB 的面积为43, 从而图中阴影部分的面积为83. 又易知等腰梯形ABCD 的面积为6+102×2=16,则原始的最大流量与当前最大流量的比值为1616-83=65.方法技巧利用定积分求平面图形面积的四个步骤2-1曲线y=x2+2x与直线y=x所围成的封闭图形的面积为()A.16B.13C.56D.23答案A由{y=x2+2x,y=x,可得{x=-1,y=-1或{x=0,y=0,所以曲线y=x2+2x与直线y=x所围成的封闭图形如图中阴影部分所示,所以面积为∫0-1(x-2x-x2)dx=(-12x2-13x3)-10=16.2-2设a>0,若曲线y=√x与直线x=a,y=0所围成的封闭图形的面积为a2,则a=.答案49解析围成的封闭图形如图中阴影部分所示,则由题意得∫a0√xdx=23x320a=23a32-0=a2,解得a=49.定积分在物理中的应用典例4一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v(t)=7-3t+251+t(t 的单位:s,v的单位:m/s)行驶至停止,则在此期间汽车行驶的路程(单位:m)是()A.1+25ln5B.8+25ln113C.4+25ln5D.4+50ln2答案C解析由v(t)=7-3t+251+t =0,可得t=4(t=-83舍去),因此汽车从刹车到停止一共行驶了4s,此期间汽车行驶的路程为∫v 4 0(t)dt=∫4(7-3t+25)dt=[7t-32t2+25ln(1+t)]|04=4+25ln5 (m).方法技巧定积分在物理中的两个应用(1)求变速直线运动的路程:如果物体做变速直线运动的速度v=v(t),那么从时刻t=a到t=b 物体所经过的路程s=∫v ba(t)dt.(2)变力做功:一物体在变力F(x)的作用下,沿着与F(x)相同的方向从x=a移动到x=b,则力F(x)所做的功是W=∫baF(x)dx.3-1物体A以速度(单位:米/秒)v=3t2+1在一直线l上运动,物体B也在直线l上,且在物体A的正前方5m处,同时以速度(单位:米/秒)v=10t与A同向运动,出发后,物体A追上物体B所用的时间t(单位:秒)为()A.3B.4C.5D.6答案C因为物体A在t秒内行驶的路程为∫t(3t2+1)dt,物体B在t秒内行驶的路程为∫t010tdt,(t3+t-5t2)'=3t2+1-10t,所以∫t(3t2+1-10t)dt=(t3+t-5t2)0t=t3+t-5t2=5,整理得(t-5)(t2+1)=0,解得t=5.A组基础题组1.∫1e x dx的值等于()A.eB.1-eC.e-1D.12(e-1)答案C2.若∫10(x2+mx)dx=0,则实数m的值为()A.-13 B .-23 C .-1 D.-2答案 B3.以40 m/s 的初速度竖直向上抛一物体,t s 时物体的速度v=(40-10t 2)(m/s),则此物体达到最高时的高度为( ) A.1603m B .803 m C.403 m D.203 m答案 A 令v=40-10t 2=0,得t 2=4,t=2(舍去负值),所以所求高度 h=∫240-10t 2)dt =(40t -103t 3) 02=80-803=1603(m).4.曲线y=2x 与直线y=x-1及直线x=4所围成的封闭图形的面积为( ) A.2ln 2 B.2-ln 2C.4-ln 2D.4-2ln 2答案 D 由曲线y=2x 与直线y=x-1及直线x=4所围成的封闭图形如图中阴影部分所示,故所求图形的面积为S=∫42(x -1-2x )dx=(12x 2-x -2lnx) 24=4-2ln 2. 5.定积分∫1√x(2-x)dx 的值为( )A.π4 B.π2 C.π D.2π答案 A 令y=√x(2-x),则(x-1)2+y 2=1(y ≥0),由定积分的几何意义知, ∫1√x(2-x)dx 的值为区域{(x -1)2+y 2=1(y ≥0),0≤x ≤1的面积,即为π4. 6.设f(x)={x 2,x ∑[0,1],1x,x ∑(1,e],其中e 为自然对数的底数,则∫ e 0f(x)dx 的值为( ) A.43 B.1π C.12 D.π-2π答案 A7.已知f(x)为偶函数,且∫ 60f(x)dx=8,则∫ 6-6f(x)dx 等于( )A.0B.4C.8D.16答案 D 原式=∫f 0-6(x)dx +∫f 60(x)dx,因为原函数f(x)为偶函数,所以f(x)在y 轴两侧的图象关于y 轴对称,所以对应的面积相等,所以∫f 6-6(x)dx =2∫f 60(x)dx =2×8=16.8.一物体A 以速度v(t)=t 2-t+6作直线运动,则当时间由t=1变化到t=4时,物体A 运动的路程是( )A.26.5B.53C.31.5D.63 答案 C 由题意可得,在t=1到t=4这段时间内物体A 运动的路程是s=∫ 41(t 2-t+6)dt=(13t 3-12t 2+6t) 14 =643-8+24-(13-12+6)=31.5.9.∫ 3-3x 3cos xdx= .答案 010.如图,由两条曲线y=-x 2,y=-14x 2及直线y=-1所围成的平面图形(图中阴影部分)的面积为 .答案 43解析由{y =-x 2,y =-1,得交点A(-1,-1),B(1,-1). 由{y =-14x 2,y =-1,得交点C(-2,-1),D(2,-1), 所以所求面积S=2[∫10(-14x 2+x 2)dx +∫21(-14x 2+1)dx]=43. 11.如图,圆O:x 2+y 2=π2内的正弦曲线y=sin x 与x 轴围成的区域记为M(图中阴影部分),随机向圆O 内投一个点A,则点A 落在区域M 内的概率为 .答案 4π3 解析由题意知,阴影部分的面积为2∫ π0sinxdx =2(-cosx)| π0=4,圆的面积为π3,所以点A 落在区域M 内的概率是4π3.B 组提升题组1.若a=∫x 10dx,b =∫10√1-xdx,c =∫10√1-x 2dx,则a,b,c 从小到大排列的顺序为( )A.a<b<c B .b<c<aC.c<b<a D .a<c<b答案 A 易知a=∫x 10dx =∫ 10(1-x)dx.当0<x<1时,1-x<√1-x <√1-x 2,所以在区间(0,1)上,三个函数y=1-x,y=√1-x ,y=√1-x 2的图象从低到高排列,在x=0,x=1处三个函数的图象重合,根据定积分的几何意义得a<b<c.2.∫ 1-1e |x|dx 的值为 .答案 2e-2解析 ∫1-1e |x|dx =∫0-1e -x dx +∫10e x dx=-e -x -10+e x 01=-e 0-(-e)+e-e 0=-1+e+e-1=2e-2.3.已知曲线y=x 2与直线y=kx(k>0)所围成的曲边图形的面积为43,则k= . 答案 2解析由{y =x 2,y =kx,得{x =0,y =0或{x =k,y =k 2,则曲线y=x 2与直线y=kx(k>0)所围成的曲边图形的面积为∫ k 0(kx-x 2)dx=(k 2x 2-13x 3)0k =k 32-13k 3=43,即k 3=8,所以k=2. 4.函数y=∫ t 0(sinx +12sin2x)dx 的最大值是 .答案 2解析 y=∫ t 0(sinx +12sin2x)dx=(-cosx -14cos2x)|0t =-cos t-14cos 2t+54=-cos t-14(2cos 2t-1)+54=-12(cos t+1)2+2,当cos t=-1时,y max =2.5.如图,在曲线C:y=x 2,x ∈[0,1]上取点P(t,t 2),过点P 作x 轴的平行线l.曲线C 与直线x=0,x=1及直线l 围成的图形包括两部分(图中阴影部分),面积分别记为S 1,S 2.当S 1=S 2时,求t 的值.解析根据题意,直线l 的方程是y=t 2,且0<t<1. 结合题图,得交点分别是A(0,0),P(t,t 2),B(1,1), ∴S 1=∫ t 0(t 2-x 2)dx=(t 2x -13x 3)|0t=t 3-13t 3=23t 3,0<t<1.S 2=∫ 1t (x 2-t 2)dx=(13x 3-t 2x)|t 1=13-t 2-(13t 3-t 3)=23t 3-t 2+13,0<t<1.由S 1=S 2,得23t 3=23t 3-t 2+13,∴t 2=13,又0<t<1,∴t=√33,∴当t=√33时,S 1=S 2.。

2022版高考数学一轮复习练案18理第二章函数导数及其应用第十三讲定积分与微积分基本定理理练习含解析

[练案18理]第十三讲定积分与微积分基本定理(理)A 组基础巩固一、选择题 1.⎠⎜⎛10e x d x ＝( C )A ．eB ．1－eC ．e －1D ．12(e －1)[解析]⎠⎜⎛10e x d x ＝e x |10＝e －1，选C.2．(2020·西北工大附中期中)若函数f (x )＝x 2＋2x ＋m (m ，x ∈R )的最小值为－1，则⎠⎜⎛12f (x )d x ＝( B )A ．2B ．163C ．6D ．7[解析]f (x )＝(x ＋1)2＋m －1，∵f (x )的最小值为－1，∴m －1＝－1，即m ＝0，∴f (x )＝x 2＋2x .∴⎠⎜⎛12f (x )d x ＝⎠⎜⎛12(x 2＋2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2⎪⎪⎪⎪21＝13×23＋22－13－1＝163.故选B.3．⎠⎜⎜⎛-π2π2(1＋cos x )d x 等于(D )A ．πB ．2C ．π－2D ．π＋2[解析]⎠⎜⎜⎛-π2π2(1＋cos x)d x＝2⎠⎜⎜⎛π2(1＋cos x)d x＝2(x＋sin x)错误!＝2错误!＝π＋2.4．一质点运动时速度与时间的关系为v(t)＝t2－t＋2，质点做直线运动，则此质点在时间[1,2]内运行的路程为( A )A.176B．143C.136D．116[解析]质点在时间[1,2]内的位移为⎠⎜⎛12(t2－t＋2)d t＝⎝⎛⎭⎪⎫13t3－12t2＋2t⎪⎪⎪⎪21＝176.5．(2020·某某某某适应性测试)如图，函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1的图象相交，形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是( B )A．1 B．43C.3D．2[解析]由⎩⎪⎨⎪⎧y＝－x2＋2x＋1，y＝1，得x1＝0，x2＝2，所以闭合图形的面积S＝⎠⎜⎛2(－x2＋2x＋1－1)d x＝⎠⎜⎛2(－x2＋2x)d x＝⎝⎛⎭⎪⎫－x33＋x2⎪⎪⎪⎪2＝－83＋4＝43.6．如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数y＝1x(x>0)图象下方的阴影部分区域，则阴影部分E 的面积为( D )A ．ln 2B ．1－ln 2C ．2－ln 2D ．1＋ln 2[解析]由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，y ＝1x ，得x ＝12.∴S 阴影＝12×2＋⎠⎜⎜⎛1211x d x ＝1＋ln ⎪⎪⎪⎪112＝1－ln 12＝1＋ln 2.故选D.7．若函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 2＋2f ′(2)x ＋3，则⎠⎜⎛03f (x )d x 等于( D )A ．16B ．54C ．－24D ．－18[解析]由已知得到f ′(x )＝2x ＋2f ′(2)，令x ＝2，则f ′(2)＝4＋2f ′(2)，解得f ′(2)＝－4，所以f (x )＝x 2－8x ＋3.所以⎠⎜⎛03f (x )d x ＝⎠⎜⎛03(x 2－8x ＋3)d x ＝(13x 3－4x 2＋3x )⎪⎪⎪⎪30＝－18.故选D.8．(2021·某某某某调研)已知f (x )为偶函数且⎠⎜⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎜⎛-66f (x )d x ＝( D )A ．0B ．4C ．8D ．16[解析]因为函数f (x )为偶函数，所以⎠⎜⎛-66f (x )d x ＝2⎠⎜⎛06f (x )d x ＝2×8＝16.故选D.9．(2021·某某某某十校联考)M ＝⎠⎜⎛011－x 2d x ，T ＝⎠⎜⎛0M sin 2x d x ，则T ＝( A )A.12B ．－12 C ．－1 D ．1 [解析]由题意得M ＝⎠⎜⎛011－x 2d x 表示单位圆面积的四分之一，且圆的面积为π，∴M＝π4，∴T ＝⎠⎜⎜⎛0π4sin 2x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12cos 2x ⎪⎪⎪⎪π40＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π2－1＝12，故选A.10．(2020·某某某某六校期中联考)a ＝⎠⎜⎛01x d x ，b ＝⎠⎜⎛01sin x d x ，c ＝⎠⎜⎛01(e x －1)d x ，则a ，b ，c 的大小关系( B )A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <b <aD ．b <c <a [解析]a ＝⎠⎜⎛01x d x ＝12x2⎪⎪⎪⎪10＝12，b ＝⎠⎜⎛01sin x d x ＝－cos x ⎪⎪⎪⎪10＝1－cos 1<1－cosπ3＝12，c ＝⎠⎜⎛01(e x －1)d x ＝(e x －x )⎪⎪⎪⎪10＝e －2>12，∴a ，b ，c 的大小关系是b <a <c .二、填空题11．(2021·某某模拟)曲线y ＝x 2和曲线y 2＝x围成的图形面积是13.[解析]由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y 2＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，则所求面积为⎠⎜⎛01(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－13x 3⎪⎪⎪⎪10＝13.故填13.12．(2021·某某某某摸底)⎠⎛1－1(|x |＋sin x )d x ＝__1__.[解析]⎠⎜⎛-11(|x |＋sin x )d x ＝⎠⎜⎛-11|x |d x ＋⎠⎜⎛-11sin x d x .根据定积分的几何意义可知，函数y ＝|x |在[－1,1]上的图象与x 轴，直线x ＝－1，x ＝1围成的曲线图形的面积为1.y ＝sin x 为奇函数，根据定积分的几何意义，⎠⎜⎛-11sin x d x ＝0，所以⎠⎜⎛-11(|x |＋sin x )d x ＝1.13．(2021·某某七校联考)⎠⎜⎛02 (4－x 2＋x )d x 的值等于__π＋2__.[解析]⎠⎜⎛02 (4－x 2＋x )d x ＝⎠⎜⎛024－x 2d x ＋⎠⎜⎛02x d x ，其中⎠⎜⎛024－x 2d x 表示半径为2的圆的面积的14，⎠⎜⎛024－x 2d x ＝14π×22＝π，⎠⎜⎛02x d x ＝12x2⎪⎪⎪⎪20＝2，因此原式等于π＋2.14．(2020·某某师大附中期中，13)若f (x )＋⎠⎜⎛01f (x )d x ＝x ，则⎠⎜⎛01f (x )d x ＝14. [解析]⎠⎜⎛01f (x )d x 是一个常数，设为c ，则有f (x )＝x －c ，所以x －c ＋⎠⎜⎛01(x －c )d x ＝x ，解得c ＝14.故⎠⎜⎛01f (x )d x ＝14.B 组能力提升1．求曲线y ＝x 2＋2与直线y ＝x ＋2所围成的封闭图形的面积，其中正确的是( B ) A ．S ＝⎠⎜⎛01(x 2－x )d x B ．S ＝⎠⎜⎛01(x －x 2)d xC ．S＝⎠⎜⎛01(y 2－y )d y D ．S ＝⎠⎜⎛01(y －y )d y[解析]依题意，在同一坐标系下画出曲线y ＝x 2＋2与直线y ＝x ＋2的图象(图略)，注意到它们的交点坐标分别为(0,2)与(1,3)，结合图形及定积分的几何意义可知，所围成的封闭图形的面积可用定积分表示为⎠⎜⎛01 (x －x 2)d x ，故选B.2．下列积分值为1的是( B ) A.⎠⎜⎛05(2x 2－4)d x B ．⎠⎜⎛0π12sin x d x C.⎠⎜⎛131x d x D ．⎠⎜⎜⎛0π22cos x d x[解析]⎠⎜⎛05(2x 2－4)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 3－4x ⎪⎪⎪⎪50＝23×125－20≠1，⎠⎜⎛0π12sin x d x ＝－12cos x ⎪⎪⎪⎪π0＝－12×(－1－1)＝1，⎠⎜⎛131x d x ＝ln x ⎪⎪⎪⎪31＝ln 3≠1，⎠⎜⎜⎛0π22cos x d x ＝2sin x ⎪⎪⎪⎪π20＝2.故选B.3．(2020·皖中名校第二次联考，5)二次函数f (x )＝x 2－nx ＋m (n ，m ∈R )的图象如图所示，则定积分⎠⎜⎛01f (x )d x ＝( B )A.23B ．56 C ．2 D ．3[解析]由图象可知，n＝3，m＝2.所以⎠⎜⎛1f(x)d x＝⎠⎜⎛1(x2－3x＋2)d x＝⎝⎛⎭⎪⎫13x3－32x2＋2x ⎪⎪⎪⎪1＝56.4．(2020·某某省福清市华侨中学期中，8)如图所示，正弦曲线y＝sin x，余弦曲线y ＝cos x与两直线x＝0，x＝π所围成的阴影部分的面积为( D )A．1 B． 2C．2 D．2 2[解析]∵y＝sin x与y＝cos x的图象在(0，π)内的交点为(π4，22)，∴阴影部分面积为⎠⎜⎜⎛π4(cos x－sin x)d x＋⎠⎜⎜⎛ππ4(sin x－cos x)d x＝(sin x＋cos x)⎪⎪⎪⎪π4＋(－cos x－sin x)⎪⎪⎪⎪ππ4＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫22＋22－1＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋22＋22＝22，故选D.5．(2019·某某某某一中期中)若f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f x－5，x>0，2x＋⎠⎜⎜⎛π6cos 3t d t，x≤0，则f(2019)＝( C )A.13B．16C.56D ．12[解析]f (2019)＝f (2019－5×403)＝f (4)＝f (4－5)＝f (－1)＝2－1＋⎠⎜⎜⎛0π6cos 3t d t .因为⎝ ⎛⎭⎪⎫13sin 3t ′＝cos 3t ，所以⎠⎜⎜⎛0π6cos 3t d t ＝13sin 3t ⎪⎪⎪⎪π6＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2－sin 0＝13，所以f (2019)＝2－1＋13＝56.故选C.。