基于微分方程与博弈论的打假策略分析

经济与管理
基于微分方程与博弈论的打假策略分析
李龙杰
（华南师范大学数学科学学院，广东广州510631）
摘要：打击假货，是政府维护社会经济秩序的责任，也是企业维护自身利益的行为。

然而，打假应投入多少才合理、何时应改变打假的力度、怎么样的打假策略最佳等等问题直接关系到政府与企业的工作效益与经济收益。

本文通过建立微分方程模型，以及通过打假者-制造者之间的博弈，找出达到纳什均衡的条件等等的方式，从而得出假货产生与增长的规律，同时为打假提出若干意见。

关键词：假冒伪劣；微分方程；纳什均衡；打假策略
中图分类号：O225；O175文献标志码：A 文章编号：1672-6138（2014）01-0038-05
DOI：10.3969/j.issn.1672-6138.2014.01.009
收稿日期：2013-09-08
作者简介：李龙杰（1990—），男，广东佛山人，华南师范大学硕士研究生，研究方向：数理金融、计量统计。

1已有研究与问题提出
假冒伪劣产品严重地侵害了消费者与被假冒
企业的合法权益。

而因为生产假冒伪劣品的巨大经济利益驱动以及消费者对低价品的需求巨大，假冒品依然在市场上占有不少的份额。

打击假冒伪劣产品，不仅仅是政府维系经济秩序的责任，更是企业维护自身品牌的必要举措。

然而，打假要怎么打？具体投入多少人力物力才能达到最好的经济效益、采取何种打假策略才合理等等的问题引起了关注。

谢识予[1]通过经济博弈论的分析，认为即使不发生假冒伪劣行为，但只要存在假冒伪劣潜在的威胁，就可能对市场效率造成损害。

而且假冒伪劣现象长期存在，并且具有稳定性。

项保华[2]通过建立数学模型，从边际效率递减等等的角度出发，发现加重刑罚可以收到急剧减少造假行为。

而王晓东[3]通过消费者-造假者、管理者-造假者这两组博弈，发现造假的根本原因是大量低收入者的存在，而政府的寻租行为以及监管能力低下则是更深层次的原因。

本文基于前人的研究，引入微分方程，考虑时间因素在打假策略中的影响。

再同时建立假货制造者-监管者的博弈，为企业打假提供建议与意见。

为此，本文建立两种模型拟解决以下问题：
1）名牌厂商每年为维护其知识产权，投入不少经费进行调查打假，建立相关的模型，判断投入多大的打假力度才相对合理；2）何时改变打假力度，以谋求更高经济效率的最佳时间；3）对于更新换代较快的产品，应该采取何种打假策略；4）在打假过程中，采取什么样的打假方式更为有效？（行政查处和刑事查处）
2模型一基于微分方程的打假策略分析
设N （t ）为t 时刻，市场上的假货数量；Nm 为市
场达到饱和，能容纳最多的假货数量；ɑ为单位时间内假货的增长数量，即增长率；b 为打假的力度；
c 为1/Nm 。

（所有变量均大于0）
2.1
模型假设
假设一：在t =0时，即产品刚刚推出市场，市场上不存在假货。

38
假设二：因为有限的资源、激烈的竞争、有限的需求等等原因，假货在市场上存在一个最大的数量Nm 。

假货数量达到了Nm 后，我们称为假货市场饱和了，假货数量不再增长。

假设三：每一个单位时间内，假货增加的数量是一定的。

常数ɑ表示为假货的增长率。

假设四：每一个单位时间内，一定的打击力度b 下，打掉的假说数量与该时间的假货数量正相关。

变量bN （t ）表示为假货的减少率。

2.2
对企业总体而言——模型的建立与结论对于企业总体而言，从企业成立到发展的过程中，如果不加控制，市场上存在的假货数量N （t ）会随着企业的发展壮大而增多。

假货的数量将会影响到企业产品的销售盈利。

以下将通过建立微分方程，讨论公司成立时间t 、公司打假力度b （先假设打假力度恒定不变）以及市场上的假货数量N （t ）之间的关系。

2.2.1
模型的建立
根据假设三以及假设四，可以知道：单位时间△t 内，如果市场上的假货不受竞争、用户数量等等的限制，那么假货的增加ɑ△t ，减少b N （t ）△t ，即增加可以表示为：（ɑ-b N （t ））△t ，增长率记为（ɑ-b N （t ））。

基于假设二，因为假货数量的增加收到竞争、用户数量等等的限制，当假货数量达到一定程度时，假货的增长数量会放缓。

所以，合理的增长率可以记为（1-c N （t ））（ɑ-b N （t ）），即单位时间内△t ，假货数量增加为：（1-c N （t ））（ɑ-b N （t ））△t 。

单位时间Δt 时间内，假货的增加量可以表示成：
（
）（）（１（））（（））ＮｔｔＮｔｃＮｔａｂＮｔｔ+D -=--D （1）Δt 趋向于0，可以得到微分方程：
（）（１（））（（））
ｄＮｔｃＮｔａｂＮｔｄｔ
=--（2）
求解以上微分方程，可以得到：
１１（）（（））（）（１（））（（））ｄｃＮｔｂａｃｄｔ
ａｃｃＮｔｃＮｔｂ
--=---（3）两边取积分，常数k 1取决于初值条件。

可以得到：
１
１
（）ｌｎ（）（）ｃＮｔｂａｃｔｋａｃｃＮｔｂ
-=-+-（4）
常数k 取决于初值条件，变换方程（4），可以得到最终解：
（）
１（）（）ｂａｃｔｂａｃ
Ｎｔａｂｋｅ
ｃ--=--（5）
其中k 取决于初值条件，可以表示为
＇
ｂａｃ
ｋ
ｃａｂＮ-=+-，其中N '为t =0时假货的数量。

有假设条件，可以知道k =b /ɑ。

由式（5），已经可以得到公司成立时间t 、公司打假力度b 以及市场上的假货数量N （t ）之间的关系。

对式（5）求导，可得：
２
（）（）２（）＇（），（）ｂａｃｔ
ｂａ
ｃｔｂａｃｂＮｔｋｅｋｋｅｃａ
---==-（6）
由式（6），可见，无论如何，当打假力度恒定时，假货数量一定会随着时间的增长而增长。

对式（5），t 取向正无穷，可得：
1）当b -ɑc <0时，当t 趋向于正无穷，有N 达到1/c （即为Nm 值）。

2）当b -ɑc =0时，由L'Hospital 法则6可得，
N （t ）=bt /（c （1+bt ））。

即当t 趋向于正无穷，有N 达
到1/c （即为Nm 值）。

3）当b -ɑc >0时，当t 趋向于正无穷，有N 达到ɑ/b 。

（显然有ɑ/b 小于1/c ，即小于Nm ）2.2.2
结论
在恒定的打击力度之下，N'（t ）恒大于0。

即N （t ）随着t 单调递增。

于是可以得到：
结论一：在给定任意的打击力度之下，假货的数量都将不断地增长。

而当打击力度达不大于一定程度时（即b ≤ɑc ），无论打击力度是多少，最终假货的数量都会达到市场饱和状态下的最大值。

但当b 越大，假货数量增长越慢，达到市场饱和需要越多时间。

结论二：当打击力度大于一定程度时（即b >
ɑc ），虽然假货的数量会随时间增加而增加，但最
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39
第1期顺德职业技术学院学报第12卷
终假货的数量都不会达到市场饱和状态下的最大值，而会稳定在ɑ/b 。

也就是说，当打击力度越大时，假货总数量可达到的最大值就越小。

2.3
对企业总体而言——模型的优化与结论对于企业总体而言，从企业成立到发展的过程中，打击的力度一般不会一直保持在一定程度，也就是说打击的力度一般来说是会变化的。

以下将讨论打击力度变化，对市场上假货数量的影响，以及讨论相对于打假力度恒定，改变力度会有什么样不同的效果。

针对这种影响，本文将给与企业关于何时改变打假力度的建议。

为了简化这个过程，假设企业的打假力度只会变化一次，企业在t 0提高打击力度。

提高前打假力度记为b 1，提高后记为b 2。

2.3.1
模型的优化
在t 0提高打击力度，记［0，t 0］中，打击力度为b 1。

而t 0以后打击力度为b 2。

由式（5），改变初值条件，可以得到以下模型：
１
２
０１０（）１１
２０（）（）２
（１，（）１（），ｂａｃｔｂａｃｔｔｂａｃａｔｔｂｂｅａｃＮｔ
ｂａｃａｔｔｂｋｅｃ---- -£ - = - -> - （7）
上述，有
１０
２１
（）２１１
＝＝（１）＇ｂａｃｔｂａｃｂａｃａｋｃＮ＇ａｂＮｂｂｅａｃ---+---，。

对N （t ）求导，可以得到：
１
１
２
０２
０２（）１１（）２１２（）（）２（）（）２（）（）＇（）（），（）ｂａｃｔ０ｂａｃｔｂａｃｔｔ０ｂａｃｔｔｂｂａｃｅｔｔｂａｅｃＮｔａｂａｃｋｅｔ＞ｔｋｅｃ------ -£ -= - -
，（8）
2.3.2结论
当b 1较小（小于ɑc ），t 0时刻加大打击力度，但
b 2依然较小（小于ɑ
c ），则依然有t 趋向于正无穷
时，N 达到Nm 。

结论三：改变前，打击力度较小，改变后打击力度依然不大，那么对最终假货数量依然会达到市场饱和。

这种改变没有意义。

当N '较大，则t >t 0时，会有N'（t ）小于0。

即当假货增加到一定数量（大于ɑ/b 2），再加大打击力
度时，N （t ）会随着时间的减少而减少，最终达到稳定（稳定时数量为ɑ/b 2）。

结论四：假货数量多到一定数量时，厂商才意识到增大打击力度。

较大幅度增加打击力度后，从长远来看，的确能达到较少假货数量的效果。

但这种效果并不是立竿见影的，市场需要一定时间去调整。

而这段调整的时期，很可能会使得企业受到较大损失。

2.4
对单个产品而言——模型的再优化
现实中，当iphone5推出的时候，苹果公司已经不需要为iphone1的打假投入资源了，因为5代推出的时候1代已经不再具有市场了。

可见，对于像手机这一类更新换代快的产品，因为同一产品本身在市场上没有长时间的需求，所以对同一产品并不需要持续长时间的打假投入。

由式（5）可以知道，这类更新换代快的产品在仿冒品数量逼近1/c 前也许已经没有多大的市场，因此一定时间后，就可以减少打假力度，甚至不需要对打假行为。

所以，对于更新换代快的产品，只需要在一定时间内，将假货的数量控制在一定范围即可。

也就是说，如果iphone5推出到iphone7推出这个时间内，需要投入资源打击5代的假货，我们需要找出多大的打击力度。

可见，在一定时间内控制假货数量应该采取多大的打假力度，是一个值得探讨的问题。

这里，假设产品推出时，市场上没有假货，此产品在［0，t'］收到市场欢迎，t'后此产品在市场上就不再吃香了。

需要在这个时间段内控制假货的数量，同时，假货数量达到yNm 是可以接受的（y 为小于1，大于0的常数）。

那么，有：
（）＇
（＇）
（１）ｂａｃｔｙａｂａｃ
Ｎｔｃｂｂｅａｃ
--==--（9）
这里，得到市场的具体数据后，可以通过二分法以及计算机模拟的计算b 的近似解。

3模型二基于博弈论的打假策略分析
设P 为制造者生产假货所获得的利润；P'为制造
40
者生产正货所获得的利润；I 为制造者造假的重置成本；F 1为行政查处给打假者的打击；F 2为刑事查处给打假者的打击；M 为监管者的打击动力，包括奖励、失职成本、职业道德等；C 为打击假货的成本；
R 为政府监管部门寻租收益。

（所有变量均大于0）
3.1
模型的建立
建立打假者和制假者的博弈，如表1所列。

因为一般情况下，有P -R >P'，所以（生产正货，不打击）不可能为纳什均衡。

需要使得（生产假货，不打击）不为纳什均衡，且使得（生产正货，打击）为纳什均衡，需要满足以下条件：
１２＇ＭＣＲ
Ｐ
ＰＩＦＦ->
>--- （10）
3.2模型分析
1）由M -C >R ，得到：
分析一：只有上述不等式成立，监管部门才会
选择打击。

M 是一个很难衡量的量，而因为涉及到搜索低下造假窝点等等的工作，打击的成本一般会很高，C 一般很大。

执法者自身如果在打假的过程中会会损害到自身的利益，反而不会打假而会护假。

C 以及R 都是相对稳定的量，要使得M -C >R
成立，就需要使得M 维持在较大的水平。

2）由P'>P -I -F 1-F 2，得到：
分析二：只有上述成立，制造者不会造假。

I 一般而言是极低的，被打击后的制造者可以花很小的成本就重置继续造假的活动，而I 远远小于F 1+F 2。

而对于F 1，行政处罚的方式有警告、通报批评、没收非法财物、勒令停产等等，这跟I 有点类似，无论是何种方式的处罚，对违法者来说，只需要非常低的违法成本。

被处罚后，制造者甚至只需要以缴出价值比重置成本还低的造假机器即可。

行政处罚不可能从根本上起作用。

所以，这个时候，F 2的取值就显得尤其关键了。

4打假策略及其建议
1）结合结论一、二，对于一个企业的长期发展
与长期的打假工作而言，一定范围内较弱的打假力度与不打假事实上都是一样的。

企业应该结合自身需要，将打假的力度维持在相对较强的水平。

2）结合结论三、四，对于长期而言，通过改变打假力度，的确可以降低假货的数量。

但是改变力度后，作用并不是立竿见影的，降低数量需要一段时间的调整。

而这一段时间内，企业需要面对较大的损失（如新产品销售受阻等等）。

因此，从企业的整体发展而言，建议企业一直维持较强的打假力度，不要等到出问题了再着手思考解决问题的方法。

3）结合式（9），对于更新周期较快的产品，不同的市场需求、不同的更新换代时间，可能会有不同的最优打假策略。

对于单个产品的打假策略，可以用式（9）计算其最佳的打假力度。

4）结合分析一，对于执法者，加大对失职、渎
职者的处罚力度，加大对打假成绩优异者的奖励。

同时，提高监管者的道德水平。

5）结合分析二，刑事处罚效果远优于行政处罚。

为了维护社会经济秩序，对于法律制定者，要加强对造假者的法律威慑。

保证对造假者的刑事处罚力度。

参考文献：
［1］谢识予.假冒伪劣现象的经济学分析［J ］.经济研究，
1997（8）：71-74，27.
［2］项保华.法制措施对制售假冒伪劣商品行为的经济效应
分析模型［J ］.系统工程理论与实践，1996（5）：42-46.［3］王晓东.假冒伪劣的经济学分析［J ］.经济理论与经济管
理，2004（5）：16-20.
［4］王高雄，周之铭，朱思铭，等.常微分方程［M ］.北京：高
等教育出版社，2011：5-9.
［5］平新桥，郝朝耀.假冒伪劣与市场结构［J ］.经济学，
2002，1（2）：357-376.
［6］周志刚，周明磊，蒋文.正规企业制假的机理及政策选
择［J ］.管理创新，2010（11）：104-107.
［7］余惠芬，夏兴园.假冒伪劣商品存在的多维分析［J ］.湖
北大学学报：哲学社会科学版，2004，31（2）：168-173.
李龙杰：基于微分方程与博弈论的打假策略分析
表1
制造者与打假者的博弈分析
制
造者
生产假货生产正货
打击
（P -I -F 1-F 2，M -C ）
（P'，M -C ）
不打击（P -R ，R ）（P'，0）
打假者
注：上表（X ,Y ）X 代表制造者采取相应策略的收益，而Y 代表打假者收益。

（下转第52页）
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第1期顺德职业技术学院学报第12卷
（上接第41页）
[责任编辑:钟艳华]
On the Quality Education of Higher Vocational Colleges
in the Perspective of Social Participation
YANG Jiaozhen
（Teaching Department of Ideological and Political Theory,Guangdong Polytechnic,Guangzhou Guangdong 510091,China ）
Abstract:There exists a close relationship between students'quality and their social participation.Thus,discussing the
quality education of higher vocational colleges in the perspective of social participation matches the connotation of high-er vocational education and higher vocational college students'characteristics.It will help to expand and improve the quality education of higher vocational colleges,and guide students to improve their quality effectively.Pointing out the realistic shortcomings of the quality education of higher vocational colleges,this paper analyzes the connotation and val-ue orientation of higher vocational education,sorts out the meaning of social participation in the higher vocational educa-tion,and puts forward some appropriate ways to improve the quality education of higher vocational colleges.
Key words:social participation;quality;quality education of higher vocational colleges
[责任编辑:吴卓]
Analysis of the Strategy of Crackdown on Counterfeits Based on
Differential Equation and Game Theory
LI Longjie
（School of Mathematical Sciences,South China Normal University,Guangzhou Guangdong 510631,China ）
Abstract:To crack down on counterfeits is the responsibility of the government to maintain social and economic order,
and it also benefits the enterprise to maintain its own interests.However,anti-counterfeiting has the problems of cost control,intensity alternation and strategy employment,all of which are directly related to the work efficiency and eco-nomic benefits of the government and the enterprise.By establishing the differential equation model,and the game be-tween the entities who crack down and produce counterfeits,this paper finds out the conditions of reaching the Nash equilibrium,and draws up the law of the appearance and growth of fake goods.Meanwhile,it gives some advises on the basis of the findings.
Key words:fake and shoddy goods;differential equation;Nash equilibrium;strategy of crackdown on counterfeits
52。