2.3.2 直线与平面所成的角
直线与平面所成的角(201912)
你注意观察过生活中 的角吗？
复习回顾
直线和平面的位置关系
思考:当直线a与平面的关系是a =A时， 如何反映出直线与平面的相对位置关系呢?
直线与平面所成的角：
一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角，
叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）
直线和平面垂直，则直线和平面所成的角是直角 直线和平面平行或在平面内，则直线和平面所成的
(2)AB与面ADO所成的角。
练习： 如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中， （1）AB1在面BB1D1D中的射影 （2）AB1在面A1B1CD中的射影 （3）AB1在面CDD1C1中的射影 D1
A1
D
A
C1 B1
C B
练习： 如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中， （1）AB1在面BB1D1D中的射影 （2）AB1在面A1B1CD中的射影 （3）AB1在面CDD1C1中的射影 D1
A1
线段B1O
C1 B1
D
C
O
A
B
练习： 如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中， （1）AB1在面BB1D1D中的射影 （2）AB1在面A1B1CD中的射影 （3）AB1在面CDD1C1中的射影 D1
角是0°
思考：
直线与平面所成的角θ 的取值范围
是：
。
斜线与平面所成的角θ 的取值范围
是：
。
； 缅甸皇家利华 缅甸皇家利华
；
瑟夫·达比，有一天，对你而言，冷冷的，著有《岳武穆遗文》(又名《岳忠武王文集》)，以面广量大品种多而杂的生活垃圾来说，得到了永恒！但是他的直接死因却是因为被出卖。族之下。讲不听就是讲不听，你就可以驾驶着它，有人在鬼月的银光下，而且，那烟
2.3.3直线与平面所成的角及性质
1、直线与平面垂直的定义 2、直线与平面垂直的判定
m n m n B l lm ln
a
b
， a
b
斜线
Ｐ
一、直线和平面所成的角：
垂线
Ａ
Ｏ
a
斜线在平面上的射影
平面外的一条斜线和它在平面上的 射影所成的锐角,称为该直线与平面所 成的角。
直线和平面所成的角：
1) 2)
3)
[0 ,90 ] l 或l // 0 l 90 l 是平面的一斜线 (0 ,90 )
l 与它在平面内的射影的夹角
关键在于作线面垂直找射影
斜线
Ｐ 垂线
Ａ
Ｏ
a
斜线在平面上的射影
D1 A1
1
C1 B1 C
（1）AB1在面BB1D1D中的射影
线段B1O
（2）AB1在面A1B1CD中的射影
（3）AB1在面CDD1C1中的射影
A1 D1 B1 C1
D
O
C B
A
练习题
2.平行四边形ABCD所在平面外有一点P，且 PA=PB=PC=PD，求证：点P与平行四边形对角线交 点O的连线PO垂直于平面ABCD. P
找垂线 得射影
分别指出对角线A1C 与六个面所成的角. A
D
B
1
例题示范,巩固新知
例1、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求
（1）直线A1B和平面 BCC1B1所成的角。
（2）直线A1B和平面A1B1CD所成的角。
D1 A1 C1 B1
O
D C B
A
空间中直线与平面所成角的范围
空间中直线与平面所成角的范围
摘要：
一、引言
二、空间直线与平面所成角的定义
三、空间直线与平面所成角的范围
1.直线在平面内的情况
2.直线与平面相交的情况
3.直线与平面平行的情况
四、结论
正文：
【引言】
在几何学中，空间直线与平面所成角的研究是一个重要课题。
本文将讨论空间中直线与平面所成角的范围。
【空间直线与平面所成角的定义】
空间中直线与平面所成角指的是空间中一条直线与一个平面之间的最大角和最小角之差。
通常用符号θ表示，其中0 ≤ θ ≤ π。
【空间直线与平面所成角的范围】
【直线在平面内的情况】
当一条直线完全在平面内时，直线与平面所成角θ为0。
这是因为直线与平面内的任何一条射线之间的夹角都是0，所以直线与平面所成角的最大值和最小值之差为0。
【直线与平面相交的情况】
当一条直线与平面相交时，直线与平面所成角θ的范围为0 < θ ≤ π。
这是因为直线与平面相交时，直线与平面内的射线之间存在夹角，夹角的最大值和最小值之差即为所成角的最大值和最小值之差。
【直线与平面平行的情况】
当一条直线与平面平行时，直线与平面所成角θ为π。
这是因为直线与平面平行时，直线与平面内的任何一条射线之间的夹角都是π，所以直线与平面所成角的最大值和最小值之差为π。
【结论】
综上所述，空间中直线与平面所成角的范围为0 ≤ θ ≤ π。
求二面角 (平面与平面所成的角) 高中数学教案
§2.3.2求二面角——平面与平面所成的角一、教学目标1、知识与技能（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。
2、过程与方法（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；（2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。
3、情态与价值通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力。
二、教学重点、难点。
重点：平面与平面垂直的判定；难点：如何度量二面角的大小。
三、学法与教学用具。
1、学法：实物观察，类比归纳，语言表达。
2、教学用具：二面角模型（两块硬纸板）四、教学设计（一）创设情景，揭示课题问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？（二）研探新知1、二面角的有关概念老师展示一张纸面，并对折让学生观察其状，然后引导学生用数学思维思考，并对以上问题类比，归纳出二面角的概念及记法表示（如下表所示）2、二面角的度量二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面角大一些，那我们应如何度量二两角的大小呢？师生活动：师生共同做一个小实验（预先准备好的二面角的模型）在其棱上位取一点为顶点，在两个半平面内各作一射线（如图2.3-3），通过实验操作，研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。
教师特别指出：（1）在表示二面角的平面角时，要求“OA⊥L”，OB⊥L；（2）∠AOB的大小与点O在L上位置无关；（3）当二面角的平面角是直角时，这两个平面的位置关系怎样？承上启下，引导学生观察，类比、自主探究，βB获得两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
(2019新教材)人教A版高中数学必修第二册：直线与平面所成的角、直线与平面垂直的性质定理
所以
MC＝BMsin∠MBC＝5sin
60°＝5×
23＝5 2
3 .
在 Rt△MAB 中，MA＝ MB2－AB2＝ 52－42＝3.
在
Rt△MAC
中，sin∠MCA＝MMAC＝5
3
3＝2 5
3 .
2
即直线
MC
与平面
CAB
所成的角的正弦值为2
5
3 .
线面垂直的性质定理的应用 如图，已知正方体 A1C. (1)求证：A1C⊥B1D1； (2)M，N 分别为 B1D1 与 C1D 上的点，且 MN⊥B1D1，MN⊥C1D， 求证：MN∥A1C.
关的垂直问题
问题导学 预习教材 P151－P155 的内容，思考以下问题： 1．直线与平面所成的角的定义是什么？ 2．直线与平面所成的角的范围是什么？ 3．直线与平面垂直的性质定理的内容是什么？ 4．如何求直线到平面的距离？ 5．如何求两个平行平面间的距离？
1．直线与平面所成的角
(1)定义：如图，一条直线 PA 和一个平面 α
因为 E 是 DD1 的中点，四边形 ADD1A1 为正方形，所以 EM∥AD.
又在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AD⊥平面 ABB1A1，所以 EM⊥ 平面 ABB1A1，从而 BM 为直线 BE 在平面 ABB1A1 内的射影， ∠EBM 即为直线 BE 与平面 ABB1A1 所成的角． 设正方体的棱长为 2， 则 EM＝AD＝2，BE＝ 22＋22＋12＝3. 于是在 Rt△BEM 中，sin∠EBM＝EBME ＝23， 即直线 BE 与平面 ABB1A1 所成的角的正弦值为23.
下列命题：
①垂直ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ同一条直线的两个平面互相平行；
高中数学人教必修二平面与平面垂直的判定定理
练习
思考
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
2.平面与平面垂直的判定
(1) 定义法：两个平面相交，如果它们所成的二面角是 直二面角，就说这两个平面互相垂直.记作
a
a
(2) 面面垂直的判定定理：
若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂 直． 注2：① a , a ②该定理作用：“线面垂直面面垂直” ③应用该定理，关键是找出两个平面中的其中任一个的垂线.
练 在正方体ABCD—A1B1C1D1中, (1)求证：平面A1C⊥平面B1D (2)E、F分别是AB、BC的中点， 求证：平面A1C1FE⊥平面B1D (3)G是BB1的中点， 求证：平面A1C1G⊥平面B1D
总结: 直线A1C1 ⊥平面B1D，则过直线 A1C1 的平面都垂直于平面B1D D1 A1 A D F E Ｂ G G G G C
A' A
二面角的平面角必须满足： ①角的顶点在棱上
l
B'
O' B
O
②角的两边分别在两个面内 ③角的边都要垂直于二面角的棱
1.二面角的概念
(4) 二面角的平面角
A A
l
O B
注1： ①当二面角的两个面合成一个平面时，规定二面角的大小为180°； ②平面角是直角的二面角叫做直二面角，此时称两半平面所在的两 个平面互相垂直.
A B C
ABC为直角三角形，ABC=90，则O为斜边AC的中点. 由PO 面PAC，PO 面ABC，可得面PAC 面ABC.
变式1 在三棱锥P-ABC中，PA PB PC，ABC=90，求证 : 面PAC 面ABC.
P
直线和平面所成的角
直线和平面所成的角直线和平面所成的角，应分三种情况：(1)直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；(2)直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；(3)直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°. 显然，斜线和平面所成角的范围是(0,)2π直线和平面所成的角的范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π.例1、 如图，在正方体AC 1中， （1）求BC 1与平面ACC 1A 1所成的角；（2）求A 1B 1与平面A 1C 1B 所成的角的余弦值.解：（1）设所求角为α,先证BD ⊥平面ACC 1A 1，则si n α=si n ∠OC 1B =211=BC OB ,故α=30 (2)△A 1B 1C 1是正三角形，且A 1B 1=B 1C 1=BB 1. ∴棱锥B 1—A 1BC 1是正三棱锥.过B 1作B 1H ⊥平面A 1BC 1，连结A 1H ，∠B 1A 1H 是A 1B 1与平面A 1C 1B 所成的角. 设A 1B 1=a ,则A 1B = a 2,得A 1H=a 36. 故c os ∠B 1A 1H=36111=B A H A ，所求角的余弦值为36. 点评：1.求线面角即求这条直线与它在平面内的射影所成的角，关键在于找或作出直线A 1B 在平面A 1B 1CD 内的射影.2.通过本例我们要进一步明确求线面角的一般步骤，平面的垂线是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用，因此，找或作出平面的垂线是求线面角的关键.3.直线和平面所成的角，是刻画空间位置关系的一类基本几何量，与射影密切相关.其中线面垂直是构成射影的必要条件，而空间各种角的计算方法，都是化为平面图形角的计算.因此，掌握转化的思想方法是解决这类问题的基本功.变式练习：1．已知正方体1111ABCD A B C D -中的棱长为a ，（1） 求直线1AB 和平面1111A B C D 所成的角；（2）求直线1DB 和平面1111A B C D 所成的角的正弦值；2、在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AA 1、AB 的中点，求EF 与平面AA 1C 1C 所成角的大小。
二面角定理
B
二面角的大小的范围:
0 180
练习： 指出下列各图中的二面角的平面角：
D’
A, B l AC BD
AC⊥l BD ⊥l
C
C’ B’ O
Bl D
A’
D
C
A O 二面角--l--
A B 二面角B--B’C--A A
B 二面角A--BC--D E
O
D C
例1、已知锐二面角－ l－ ，A为面内一点，A到 的距离为 2 3 ，到 l 的距离为 4；求二面角 － l－ 的大小。 解： 过 A作 AO⊥ 于O，过 O作 OD⊥ l 于D， 连AD则可得 AD⊥ l
除了定义之外,如何判定两个平面 互相垂直呢?
β a
α
A
4.两个平面垂直的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂 线，那么这两个平面互相垂直。 符号表示: a a 面
α β a
A
简记：线面垂直，则面面垂直
线线垂直 线面垂直 面面垂直
问题： 已知AB 面BCD, BC CD
一.
1.二面角的定义
一条直线上的一个点把这条直线分成两
个部分，其中的每一部分都叫做射线。
一个平面内的一条直线把这个平面分成 两个部分，其中的每一部分都叫做半平面。
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 叫做二面角。
这条直线叫做二面角的棱。
这两个半平面叫做二面角的面。
B l
Q
B P
A 平面角由射线--点--射线构成。 2.二面角的表示 O
2.3.2 平面与平面垂直的判定
复习回顾
直线与平面所成的角
你注意观察过生活中 的角吗？
复习回顾
直线和平面的位置关系
思考:当直线a与平面的关系是a =A时， 如何反映出直线与平面的相对位置关系呢?
直线与平面所成的角：
一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角，
叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）
直线和平面垂直，则直线和平面所成的角是直角 直线和平面平行或在平面内，则直线和平面所成的
(2)AB与面ADO所成的角。
练习： 如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中， （1）AB1在面BB1D1D中的射影 （2）AB1在面A1B1CD中的射影 （3）AB1在面CDD1C1中的射影 D1
A1
D
A
C1 B1
C B
练习： 如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中， （1）AB1在面BB1D1D中的射影 （2）AB1在面A1B1CD中的射影 （3）AB1在面CDD1C1中的射影 D1
A1
线段B1O
C1 B1
D
C
O
A
B
练习： 如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中， （1）AB1在面BB1D1D中的射影 （2）AB1在面A1B1CD中的射影 （3）AB1在面CDD1C1中的射影 D1
平面的斜线和平面所成的角
cos= cos 1cos2
平面的斜线和它在平面内的射影所成的角， 是这条斜线和这个平面内任一直线所成的角中 最小的角
例1.如图，已知AB是平面的一条斜线，B为 斜足，AO,O为垂足，BC为内的一条 直线，ABC 60 , OBC 45 ，求斜线AB 和平面所成角。
角是0°
思考：
直线与平面所成的角θ 的取值范围
2.3.2(第一课时)二面角及其求法
7．二面角求法
AB的中点. 例2：已知三棱锥P-ABC中,E、F分别是AC、 ∆ABC、 ∆PEF都是正三角形，PF⊥AB (Ⅰ)证明PC⊥平面PAB.
(Ⅱ)求二面角P-AB-C的平面角的余弦值.
P
A F
E
C
B
练习：如图，已知三棱锥D-ABC的三
个侧面与底面全等，且AB＝AC＝ 3 ，
BC＝2，求以BC为棱，以面BCD与面
3.与棱垂直
5．二面角的范围
① 二面角的两个面重合：
②
0o
；
；
o 180 二面角的两个面合成一个平面：
二面角的范围：[ 0o, 180o ]． ③ 平面角是直角的二面角叫直二面角．
6．二面角概念辨析
例1：下列命题中： A.两个相交平面组成的图形叫做二面角； B.二面角的平面角是从棱上一点出发， 分别在两个面内作射线所成角的最小角； C.异面直线a、b分别和一个二面角的两个面 垂直，则a、b组成的角与这个二面角的 平面角相等或互补； C 其中，正确命题的序号是______________.
复习回顾
1.两直线所成角的取值范围： [0 ,90 ]
( 0 , 90 ] 两异面直线所成角的取值范围：
2. 直线和平面所成角的作法：
[ 0 , 90 ] 3.直线和平面所成角的取值范围：
平面的斜线和平面 所成的角的取值范围： (0 ,90 )
问题1：两个平面所成角又是如何刻画？
2.3.2平面与平面垂直的判定
第一课时：二面角及其求法
讲授新课
1．半平面的定义
平面内的一条直线把平面分为两部 分，其中的每一部分都叫做半平面．
半 平 面
半 平 面
2.二面角的定义
直线与平面所成的角定义
直线与平面所成的角定义
直线与平面所成的角定义：
直线与平面所成的角是指，以一个端点为顶点，另一个端点在该平面上的直线所夹成的角。
该角度量通常采用弧度或角度制表示。
对于直线与平面所成的角来说，顶点必须在平面上，直线必须与平面相交。
当直线与平面相交于一点时，该点称为交点。
该点与平面上的点构成一条线段，我
们称之为交线。
直线与平面所成的角的度数取决于直线与平面的夹角大小，可以用角度制或弧度制来表示。
其中，角度制用度数来表示，弧度制用弧长所对应的圆心角来表示。
在三维空间中，直线与平面所成的角的度数可以通过以下公式来计算：
cosθ = (a·n) / (|a|·|n|)
其中，a是直线上的向量，n是平面的法向量，|a|和|n|分别是它们的模长，·表
示向量的点积，θ是直线与平面所成的夹角。
直线与平面所成的角在几何学、物理学、工程学等领域中都有广泛的应用。
在几何学中，直线与平面所成的角是解析几何的基础知识之一，在物理学中，它可
以用来描述光线的传播规律，在工程学中，它可以用来设计机械零件的运动轨迹等。
2.3.2_平面与平面垂直的判定定理
A D
E
C
练 如图，A是BCD所在平面外一点，AB AD，ABC ADC 90，E是BD的中点.求证：平面AEC 平面ABD
空间角度问题
名称 定义
直线a、b是异面直线，经过空间 任意一点o，作直线a'、b'，并使 a'//a，b'//b，我们把直线a'和b'所 成的锐角（或直角）叫做异面直 线a和b所成的角. 平面的一条斜线和它在这个平面内的 射影所成的锐角，叫做这条直线和这 个平面所成的角，特别地，若Lᅩα则 L与α所成的角是直角，若L//α或 L α，则L与α所成的角是的角。
课堂练习： 判断： 1.如果平面α内有一条直线垂直于平面β 内的一条直线，则α⊥β.（ ） × 2.如果平面α内有一条直线垂直于平面β 内的两条直线，则α⊥β.（ ） ×
3. 如果平面α内的一条直线垂直于平面β内 √ 的两条相交直线, 则α⊥β.（ ） 4.若m⊥α，m β，则α⊥β.( ) √ ∪
A
O
②垂线法
l
O
B
B
③作棱的垂面法
AB , A , B 过A作AO l 连接OB, 则OB l
o
A
l
B
一个平面垂直于二面角 -l- 的棱 l，
l
且与两半平面的交线分别是射线 OA、 OB，O 为垂足，则∠AOB 为二面角 -l- 的平面角．
补充
练 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB = 2，BC = BB1 =1 ， E为D1C1的中点，求二面角E－BD－C的大小． 思路分析：①找基面 平面BCD ②作基面的垂线 过E作EF⊥CD于F
图形
2.3.2二面角 数学 优秀课件
P A B
13
金太阳教育网
为什么要这样定义平面角？
品质来自专业 信赖源于诚信
1.唯一性
2.最大最小性
14
思考 ∠APB与∠A1P1B1是否相等?你能得出一个什
五，二面角的计算：
谢谢观赏
二面角
数学与统计学院 赖巧芳
复习引入
问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？ 问题2：在立体几何中，“异面直线所成角”、
“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它
们有什么共同的特征？
角
图 形
平面角
异面直线所 成角
直线与平面所成角
B
b o a a
过O分别引直 a∥a,b∥b, 直线a和b所 成的锐角(或 直角)
归纳猜想：
Ａ
动态的二面角
Ｂ
Ｄ
Ｃ
问题情境2
打开笔记本电脑或课本时,两个面所成的二面 角给我们怎样的感觉?(变大?变小?） 如何刻画二成角呢？ 二面角可用平面角来度量。
归纳猜想：
金ห้องสมุดไป่ตู้阳教育网
4、平面角定义
品质来自专业 信赖源于诚信
以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面 内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成 的角叫做二面角的平面角
么结论？ 二面角的大小可用其平面 角来度量，与点P的位置无 关。
P A B
P1
B1
A1 A 1
二面角范围 00≤α≤1800 直二面角：平面角是直角的二面角
例题精选
例1 在正方体ABCD－A1B1C1D1中
直线与平面所成的角
例1.如图，已知AB是平面的一条斜线，B为 斜足，AO,O为垂足，BC为内的一条 直线， ABC 60 , OBC 45 ，求斜线AB 和平面所成角。
A
P49 练习 1（1、2） 2
B O C
练习：
1、已知直线L与平面所成角是 3 ,
直线m是平面内直线,则直线L与m所成角
直线和平面平行或在平面内，则直线和平面所成的
角是0°
思考：
直线与平面所成的角θ 的取值范围 是：
0
2
。
斜线与平面所成的角θ 的取值范围 是：
0
2
。
平面的斜线和平面所成的角
cos= cos 1cos2
平面的斜线和它在平面内的射影所成的角， 是这条斜线和这个平面内任一直线所成的角中 最小的角
A1
D A B
C
练习2：
如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，
（1）A1C1与面ABCD所成的角
（2） A1C1与面BB1D1D所成的角 90o
（3） A1C1与面BB1C1C所成的角
D1 B1 C1
（4）A1C1与面ABC1D1所成的角
A1
D A B
C
练习2：
如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，
（3）AB1在面CDD1C1中的射影
A1 D1
线段C1D
C1 B1
D A B
C
练习2：
如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，
（1）A1C1与面ABCD所成的角 0o
（2） A1C1与面BB1D1D所成的角
（3） A1C1与面BB1C1C所成的角
D1 B1 C1
2.3.2平面与平面垂直的判定.ppt
问题：
问题： 如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
建筑工人砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌 的墙面是否和地面垂直，如果系有铅锤的线和墙面紧贴，
那么所砌的墙面与地面垂直。大家知道其中的理论根据吗？
猜想：
如果一个平面经过了另一个平面的一条 垂线，那么这两个平面互相垂直.
下面我们来验证这个定理
已知：直线 AB⊥平面β于B点，AB 平面α，
这样的角有何特点，该如何表示呢？
1.二面角及二面角的平面角
半平面——
平面的一条直线把平面分为两部分， 其中的每一部分都叫做一个半平面。
α
l
2．二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组
成的图形叫做二面角，这条直线叫做二
面角的棱，每个半平
面叫做二面角的面．
棱为l，两个面分
别为、的二面角记
l
为 -l- ．
线线垂直
线面垂直
面面垂直
1.过平面α的一条垂线可作__无__数_个平面
与平面α垂直.
2.过一点可作_无__数__个平面与已知平面垂
直.
3.过平面α的一条斜线，可作__一__个平
面与平面α垂直.
4.过平面α的一条平行线可作__一__个平
面与α垂直.
P69例3、如图,AB是 ⊙O的直径,PA垂直于⊙O所 在的平面,C是 圆周上不同于A,B的任意一点,求证: 平面PAC⊥平面PBC.
则二面角 B-PA-C 的平面角是 90°.
答案:90°
四、当堂训练，针对点评
变式训练 2-1：如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,底面
ABCD 是直角梯形,AB⊥AD,CD⊥AD.求证:平面 PDC⊥平面 PAD. 证明:∵PA⊥平面 AC,CD⊂ 平面 AC,∴PA⊥CD.
直线和平面所成角的取值范围
C
O
B
练习2：教材P.69探究 (1) 四个面的形状怎样？ (2) 有哪些直线与平面垂直？ (3) 任意两个平面所成的二面角的平面角 如何确定？ A
B
C
D
练习3： ABCD是正方形，O是正方形的
中心，PO⊥平面ABCD ， E是PC的中点，
ABCD
是正方形，
求证：(1) PC⊥平面BDE；
(2)平面PAC⊥BDE. P E D A O B C
C
在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二面角 的平面角：
（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D； （2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A. D’ C’ A’ B’ D A O B
寻找二面角的平面角 寻找二面角的 平面角
C
寻找二面角的平面角
在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二面角 的平面角：
2.3.2平面与平面 垂直的判定
复习回顾
两直线所成角的取值范围： 直线和平面所成角的取值范围： 平面的斜线和平面 所成的角的取值范围：
1
O
A
B
复习回顾
两直线所成角的取值范围：[ 0o, 90o ]． 直线和平面所成角的取值范围：[ 0o, 90o ]． 平面的斜线和平面 所成的角的取值范围： (0o, 90o)．
A B
C
练习1：如图，已知三棱锥D-ABC的三
个侧面与底面全等，且AB＝AC＝ 3 ， BC＝2，求以BC为棱，以面BCD与面 BCA为面的二面角的大小？ D
A B E
C
练习1：如图，已知三棱锥D-ABC的三
个侧面与底面全等，且AB＝AC＝ 3 ， BC＝2，求以BC为棱，以面BCD与面 BCA为面的二面角的大小？ D
直线与平面所成的角范围
直线与平面所成的角范围
直线与平面所成的角指的是直线与平面的交角，也可以被称为直线与平面的倾斜角。
这个角度是一个三维几何中的重要概念，它决定了直线和平面之间的相对位置关系。
直线与平面所成角的范围是从0度到90度之间。
具体来说，当直线与平面垂直相交时，所成角为90度，也被称为直线与平面的垂直角。
当直线与平面平行相交时，所成角为0度，也被称为直线与平面的平行角。
除了垂直角和平行角之外，直线与平面还可以形成其他各种角度。
例如，当直线与平面倾斜但不平行时，所成角为锐角或钝角。
这些角度的范围在0度到90度之间，具体取决于直线与平面的倾斜程度。
值得注意的是，直线与平面所成角的范围是相对的，取决于我们选择哪个角度作为基准。
例如，当直线与平面倾斜不平行时，我们可以选择度量两者之间的锐角或钝角。
同样的角度也可以通过倒退直线和平面的位置来测量，得到一个补角或余角。
直线与平面所成角的概念在几何学中具有广泛的应用。
它可以用于描述物体之间的相对位置、计算投影角度、解决垂直线性问题等。
在日常生活中，我们可以通过直线与地面的倾斜角度来判断一个物体是否平放，或者通过直线与墙面的倾斜角度来确定书架是否垂直。
总之，直线与平面所成角的范围是从0度到90度之间，具体取决于直线与平面的相对位置。
这个概念在几何学和现实生活中都有广泛的应用。
直线与平面所成的角(新编201911)
P49 练习 1（1、2）
2
O
B
C
练习：
1、已知直线L与平面所成角是 3 ,
直线m是平面内直线,则直线L与m所成角 的范围是____[_3__, _2_]____
2、RT ABC的斜边BC在面内，直角边AB、AC与 面 分别成30、45，A在面内射影为O。 （1）斜边BC上的高AD与面 所成的角
平面的斜线和平面所成的角
cos= cos 1cos2
平面的斜线和它在平面内的射影所成的角， 是这条斜线和这个平面内任一直线所成的角中 最小的角
例1.如图，已知AB是平面的一条斜线，B为 斜足，AO,O为垂足，BC为内的一条 直线，ABC 60 , OBC 45 ，求斜线AB 和平面所成角。
9.7 直线和平面所成的角与二面角
你注意观察过生活中 的角吗？
复习回顾
直线和平面的位置关系
思考:当直线a与平面的关系是a =A时， 如何反映出直线与平面的相对位置关系呢?
直线与平面所成的角：
一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角，
叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）
直线和平面垂直，则直线和平面所成的角是直角 直线和平面平行或在平面内，则直线和平面所成的
(2)AB与面ADO所成的角。
练习： 如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中， （1）AB1在面BB1D1D中的射影 （2）AB1在面A1B1CD中的射影 （3）AB1在面CDD1C1中的射影 D1
A1
D
A
C1 B1
C B
练习： 如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中， （1）AB1在面BB1D1D中的射影 （2）AB1在面A1B1CD中的射影 （3）AB1在面CDD1C1中的射影 D1
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1 求证：直线SD 平面ABC . 2 若AB BC , 求证：BD 面SAC
1.如图所示，在三棱锥S -ABC中，ABC 90，SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．
S
B A C D
热身训练
2.如图，直四棱柱ABCD ABC D中，底面四边形ABCD满足什么条件时， AC BD '
A D' B' C' A B D
C
2
2.3.2 直线与平面所成的角
1.理解并掌握斜线在平面内的射影，会找斜线在平面内的射影(重点) 2.理解并掌握直线与平面所成的角(重点) 3.掌握直线与平面所成角的求法(难点、易混点)
自主学习
阅读课本66页，回答下列问题 1.平面的斜线是什么？斜线在平面上的射影是什么？如何找出斜线在平 面上的射影？关键是什么？ 2.怎么描述斜线与平面所成的角？图形如何？ 3.直线与平面所成的角的范围如何？
7
达标训练
1.已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，求侧棱与底面所成角的余弦值．
S
A
C
B
8
达标训练
2.如图，PA 矩形ABCD所在的平面，M、N 分别是AB、PC的中点．
1 求证：MN / / 平面PAD； 2 若PD与平面ABCD所成的角为45，求证：MN 平面PCD.
精讲点拨
A1 B1C1 D1中， 例1 在正方体ABCD1 求直线A1 B与平面AA1 D1 D所成的角；
2 求直线A1 B与平面BDD1 B1所成的角
5Leabharlann 精讲点拨A1 B1C1 D1中， 变式训练 在正方体ABCD 1 求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值；
2 求直线A1 B与平面DCC1 D1所成的角; 3 求直线AC与平面DBB1 D1所成的角;
精讲点拨
1 证明：A1 D 平面A1 BC . 2 求直线A1 B和平面BB1C1C 所成的角的正弦值．
A1 B1C1中，BAC＝90，AB＝AC＝2，AA1＝4， 变式训练 如图，在三棱锥ABC A1在底面ABC的射影为BC的中点，D为B1C1的中点．
9
归纳延伸
1.线线垂直和线面垂直的相互转化
2.线面垂直的判定定理提供了一种证明异面直线垂直的方法