高等代数课件--第三章线性方程组§3.5 线性方程组有解判别定理

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5
6
5.5重因式
5.6多项式的根，多项式函数，复数域上的不
可约多项式
第五章一元多项式环
第五章一元多项式环
0 1 阅读材料1拉格朗日（Lagrange）插值公式
0 2 5.7实数域上的不可约多项式
0 3 5.8有理数域上的不可约多项式
04
5.9模m剩余类环，域，域的特征
0 5 阅读材料2一元分式域
补充题七
10 第八章具有度量的线性空间
第八章具有度量的线性空间
8.1实线性空间的内积，
1
实内积空间的度量概念
8.2标准正交基，正交矩
阵
2
8.3正交补，实内积空间
3
的保距同构
8.4正交变换 4
8.5对称变换，实对称矩
5
阵的对角化
阅读材料6二次曲线的类
型，二次曲线的不变量
6
第八章具有度量的线性
空间
01 阅读材料 7二次曲面 02 8 .6 酉空间
的类型
03
04 8 . 7 酉变换， H e r m i t e 变
8.8*线性变换的伴随
换，Hermite型
变换，正规变换
05 8 .9 * 正交空间与辛空 06 补充题八
间
11 第九章n元多项式环
第九章n元多项式环
9.1n元多项式环的概念和通用性质 9.2对称多项式，数域K上一元多项式的判别式 9.3结式
09 第七章双线性函数，二次型
第七章双线性函数，二次型
7.1双线性函数的表达式
1
和性质
7.2对称和斜对称双线性
函数
2
7.3双线性函数空间，

北大高等代数第三章线性方程组

由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的（证明），故这三种变换是同解变换．
8
初等变换的作用：求解一般线性方程组．
对于线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21x1
a22 x2 a2n xn
b2
as1x1 as2 x2 asn xn bs
其中cii 0，i 1,2, , n.
这时（1）有唯一解；
17
方程组（1）由系数和常数项确定，所以（1）还可以表为
a11 A a21
as1
a12 a1n
a22 a2n
as2 asn
a11 a12 B ( A | b) a21 a22
as1 as2
2x1 x2 4x1 2x2
3x3 5x3
1 4
2x1 x2 4x3 1
（2）
42xx1 12xx22
3x3 5x3
1 4
2x1 x2 4x3 0
答案：（1） x2 2c 7, x3 2, x1 c.
（2）无解
20
将上述非奇次线性方程组的理论应用于齐次线性方程组可有如下结论：
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a22 x2 a2n xn b2
as2 x2 asn xn bs
其中
aij
aij
ai1 a11
a1j
i 2,3, ,s;
j 2,3, ,n
bi
bi
ai1 a11
b1
i 2,3, ,s;
（2）
10
若我们能够求解如下方程组
（II）如果dr1 0，方程组（1）有无穷多组解.

高等代数课件北大版第三章线性方程组

定义：将线性方程组中的每一行进行加减、倍乘等操作，使得方程组简化
作用：将增广矩阵化为阶梯形矩阵，便于求解线性方程组
步骤：对增广矩阵进行初等行变换，得到阶梯形矩阵
注意事项：变换过程中需保持矩阵的行列式不变，避免出现错误结果
矩阵的逆法
定义：如果矩阵A存在逆矩阵，则称A为可逆矩阵性质：可逆矩阵的行列式不为0 计算方法：通过行初等变换将矩阵变为单位矩阵，得到逆矩阵应用：解线性方程组的重要工具之一
束优化问题等。
线性方程组在其他领域的应用
物理学中的应用：描述物理现象和规律，如牛顿第二定律、万有引力定律等。经济学中的应用：分析经济问题，如供需关系、生产成本等。计算机科学中的应用：解决优化问题、机器学习算法等。统计学中的应用：处理数据分析和预测问题，如回归分析、主成分分析等。
线性方程组的扩展知识
添加标题
逆矩阵的计算方法：通过高斯消元法或拉普拉斯展开式等方法计算行列式|A|，然后通过|A|*|A^(1)|=1计算逆矩阵A^(-1)。
添加标题
逆矩阵的应用：在解线性方程组、求矩阵的秩、计算行列式、求向量空间的一组基等方面都有应用。
线性方程组的通解与特解的关系
通解与特解的定义
通解与特解的关系
通解与特解的求解方法
线性方程组在计算机科学中的应用
线性方程组在计算机图形学中的应用：用于计算光照、纹理映射和渲染等。

线性方程组在计算机视觉中的应用：用于图像处理、特征提
取和目标检测等。
线性方程组在机器学习中的应用：用于训练和优化模型，如线性回归和逻辑回归。
线性方程组在人工智能领域的应用：用于优化算法、求解约
通解与特解的应用
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§3.4 2021/2/9 矩阵的秩
数学与计算科学学院
所以方程组 x11 x22 xrr 0 只有零解.
即 a11 x1 a21 x 2
a12
x1
a22 x2
a1n x1 a2n x2
ar1xr 0 ar2 xr 0 arn xr 0
（2）
只有零解. 由引理，方程组（2）的系数矩阵
也线性无关．
于是矩阵A的列秩
r1
r
．
A的列向量
同理可证 r1 r. 所以 r1 r ．
§3.4 2021/2/9 矩阵的秩
数学与计算科学学院
定义矩阵的行秩与矩阵的列秩统称为矩阵的秩，
记作秩A 或 rank( A)、R( A).
注 ① 若 A 0 ，则 R( A) 0.
②
设 A
aij
，则 R( A) min(s,n).
§3.4 2021/2/9 矩阵的秩
数学与计算科学学院
证： " " R( A) n, A 的 n 个行向量线性相关. 若 n ＝ 1，则A只有一个一维行向量0，从而A＝0， A 0 0. 若 n ＞ 1，则A的行向量中至少有一个能由其余
行向量线性表出，从而在行列式 A 中，用这一行
于是方程组(1)与方程组(1')是同解的.
a11 x1 a12 x 2
a21
x1
a22
x2
ar1 x1 ar 2 x2
a1n xn 0 a2n xn 0
0 arn xn 0
（1'）
在(1')中 r n, 所以(1')有非零解，从而(1)有非零解.
§3.4 2021/2/9 矩阵的秩

线性方程组有解的判别定理

§3－5 线性方程组有解的判别定理
用向量和矩阵的理论分析讨论线性方程组是否有解的问题
设非齐次线性方程组
a11x1 a12x2 a1n xn b1
a2
1x1
a2
2x2
a2n xn

b2
(2)
as1x1 as2x2 asnxn bs

b2
as1 x1 as2 x2 asn xn bs
中, 如果方程式的个数大于未知元的个数
方程组是否无解？
2.对齐次线性方程组你能得到什么结论？
思考题答案
• 1.方程式的个数不能决定系数矩阵和增广矩阵的秩，不能由此得到有关解的结论.
• 2.齐次线性方程组恒有解,当系数矩阵的秩小于未知元的个数时,线性方程组有无穷多组解(非零解).
0
dr1

0 0 0 0
当dr1 0 时 R(A) R(A)线性方程组有解；当dr1 0 时 R(A) R(A)线性方程组没有解。当R(A) R(A)＝r 时，线性方程组1（）独立方程式的个数为 r，不妨设线性方程组1）（同解与线性方程组
a11x1 a12x2 a1n xn b1
量方程
x1 1 x 2 2 x n n ,
则线性方程组有解的充
分必要条件是
向量可以表示成向量组线性组合。

，
1

2

，

的
n
记系数矩阵为
a11 a12 a1n
A

a 21

a

s1
a 22 a 2n
a s 2 a sn

高等代数3.5 线性方程组有解判别定理

1 , 2 , …, r 也是 1 , 2 , …, r , 的一个级大线性无关组，因此向量可以经 1 , 2 , …, r 线性表出，它当然可以经1 , 2 , …, n 线性表出.
因此，方程组 (1) 有解.
证毕
这个判别条件与消元法的关系
三、一般线性方程组的解法
同解.
当 r = n 时，由克拉默法则，方程组(4)有唯一
解，也就是方程组 (1) 有唯一解.
当 r < n 时，将方程组 (4) 改写为
a11x1 a1r xr b1 a1,r1xr1 a1nxn ,
a21x1 a2r xr
b2 a x 2,r1 r1 a2nxn ,
程组的增广矩阵化为行阶梯形
1 1 1 1 1 0
A

2

3 1
2 3 1
1 0 2
0 1 1 初等行变换
1 1
2 0
1 1

1 1 1 1 1 0 0 0 3 2 1 1

0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
00
因为系数矩阵和增广矩阵的秩均为 2 ，所以方
a11 a12 a1n
A

a21 as1
a22 as2

a2n
asn

与增广矩阵
a11 a12 a1n b1
A

a21 as1
a22 as2

a2n asn
b2
bs

有相同的秩.
证明先证必要性. 设线性方程组 (1) 有解,
就是说，可以经向量组 1 , 2 , …, n 线性表出. 由此立即推出，向量组1 , 2 , …, n 与1 , 2 , …, n , 等价，因而有相同的秩. 这两个向量组分别

第3章线性方程组 3PPT课件

4 3x5 2
方程组中首项非零元是: x1,x3,x4 自由变量是: x2 , x5
14
例3 用高斯消元法解线性方程组
x 2 y 2z 1 3 x y 2z 7 5 x 3 y 4z 2
解首先用高斯消元法将方程组化简，
x 2y 2z 1 x2y2z1 x2y2z1 3x y 2z 7 7y11z107y11z10
返8回
1.高斯消元法
3x14x26x34
例1 用高斯消元程法组解 x1线 2x2性 4x3方 1
x12x27x30
99
3x1 4x2 6x3 4
x1 2x2 4x3 1
解:
x1
2x2
4x3
1
r 1 r23x1 4x2 6x3 4
x1 2x2 7x3 0
x1 2x2 7x3 0
注: 对于m个方程n个变量（m＜n）的方程组，不可能取得惟一解，这是因为当m＜n时，化简后不可能得到三角形方程组，只能化成梯形方程组，因此结果或是无解，或是具有自由变量而有无穷多组解.
16
对线性方程组增广矩阵进行初等变换与对方程组进行初等变换是相互对应的，因此当用高斯消元法来求解线性方程组时可以应用矩阵的初等变换进行.
5x 3y 4z 2
7y11z7
0y0z3
这是一个梯形方程组，最后一个方程 0y+0z=3 是一个退化方程，该方程无解，所以该方程组无解.
15 15
定理3.2.1 任一线性方程组必满足以下三项中之一项：（1）有惟一解；（2）无解；（3）有无穷组解.
实际上，用高斯消元法可将方程组化为梯形方程组，即可判断出无解的情形; 当方程有解时，如果化简后的方程组中没有自由变量，即为三角形方程组，则方程组有惟一解；若方程组中有自由变量，则方程组有无穷解.

高等代数课件(北大版)第三章线性方程组§3-3

8）向量组线性相关的基本性质定理定理2 设 1 , 2 ,, r 与 1 , 2 ,, s 为两个向量组，若 i) 向量组 1 , 2 ,, r 可经 1 , 2 ,, s 线性表出； ii) r s. 则向量组 1 , 2 ,, r必线性相关.
相关，则向量组 1 , 2 , , s 也线性相关. 注：向量组 1 , 2 ,, s 常称为向量组 1 , 2 , , s 的延伸组；而 1 , 2 , , s 称为 1 , 2 ,, s
的缩短组.
§3.3 线性相关性
2013-8-8 数学与计算科学学院
§3.3 线性相关性
2013-8-8 数学与计算科学学院
（1）
对方程组(1)的增广矩阵作初等行变换化阶梯阵
1 2 A 3 1
5 5 12 11
1 3 6 3
1 2 1 0 0 3 0 4
5 3 0 0
1 1 0 0
2 1 0 2 1 3 3 1 1 0 1 3 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
证明： 1 , 2 , 3 线性无关.
证：设 x11 x2 2 x3 3 0, 即
( x1 x3 )1 ( x1 x2 ) 2 ( x2 x3 ) 3 0
x1 x3 0 由于 1 , 2 , 3 线性无关，于是有 x1 x2 0 x2 x3 0 解之得 x1 x2 x3 0.
§3.3 线性相关性
2013-8-8 数学与计算科学学院
2、性质
向量组之间的等价关系具有：
1) 反身性 2) 对称性 3) 传递性
§3.3 线性相关性
2013-8-8

高等代数线性方程组

1 , 2 ,, s 线性无关。
线性方程组
判断向量组
§3 线性相关性
1 (a11 , a21 ,, as1 ), 2 (a12 , a22 ,, as 2 ), , n (a1n , a2n ,, asn )
是否线性相关的方法： (1) 设
k11 k2 2 kn n O
a11k1 a12 k 2 a1n k n 0 a k a k a k 0 21 1 22 2 2n n as1k1 as 2 k 2 asn k n 0
(2) 将其按分量写出
(3) 若该奇次方程组有非零解，则原向量组线性相关，反之则线性无关。
中，如果 s < n，那它必有非零解。
例3、解齐次线性方程组
5 x1 x2 2 x3 x4 0 2 x1 x2 4 x3 2 x4 0 x 3x 6 x 5 x 0 2 3 4 1
线性方程组
§2 n维向量空间
§成的有序数组(a1 , a2 ,, an ) 称为数域P上的n维向量，其中ai称为该向量的第i个分量。
● 向量相等
如果两个n维向量
(a1, a2 ,, an ),
的对应分量都相等，即
(b1, b2 ,, bn )
ai bi , (i 1, 2, , n)
线性方程组
第三章线性方程组
线性方程组
主要内容：
消元法
n 维向量空间
线性相关性矩阵的秩线性方程组有解的判断定理线性方程组有解的结构
线性方程组
§1 消元法
§1 消元法
考虑一般的线性方程组

线性方程组有解

⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎝ ⎛1 ⎜ 0 ( −1) r4 + r3 ⎜ → ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎝
0 0 1 0 0 0
0 0 1 1 0 0
0 0 1 0 0 1 0 0
−2 5 ⎞ ⎛1 r + ⎟ (2−21) rr21+ r3 ⎜ 0 1 1 ⎟ ( −2) r2 + r4 ⎜ 1 −2 ⎟ → ⎜ 0 ⎜ ⎟ 2 −5 ⎟ ⎜0 ⎜0 ⎟ ⎝ 0 0⎠ ⎛1 0 0 7 ⎞ ⎟ r2 ↔ r3 ⎜ 0 1 1 1 ⎟ r3 ↔ r4 ⎜ 0 4 ⎟ → ⎜0 0 ⎜ ⎟ ⎜0 0 0 −7 ⎟ ⎜0 0 ⎟ ⎝ 0 0 ⎠
故秩A=秩 A 。
第三章线性方程组
充分性。若秩A=秩 A, 于是向量组 α 1 , α 2 , , α n 与向量组 α 1 , α 2 , , α n , β 有相同的秩，设为 r。不妨设 α 1 , α 2 , , α r 是 α 1 , α 2 , , α n 的一个极大线性无关组。显然 α 1 , α 2 , , α r 也是
, amn )′, β = ( b1 , b2 , + xnα n = β
, bm )′ 是增广矩阵
—（3.5.2）
于是方程组（3.5.1）可表为：的列向量，
x1α 1 + x2α 2 +
必要性。若方程组（3.5.1）有解，由（3.5.2）知β可由
α 1 , α 2 , , α n 线性表示，因此向量组 α 1 , α 2 , , α n 与向量组 α 1 , α 2 , , α n , β 等价。 α 1 , α 2 , , α n 是A的列向量组， 1 , α 2 , α , α n , β 是 A 的列向量组，由于等价的向量组有相同的秩，

高等代数课件第三章-线性方程组

as1 x1 as2 x2 L asn xn bs
（1'）
设 (c1,c2 ,L ,cn )是方程组（1）的任一解，则
§3.1 2020/3/29 消元法
数学与计算科学学院
a11c1 a12c2 L a1ncn b1
aaL2s11ccL11 LaaL2s22ccL22
L a2ncn LLLLL L asncn
L
b2 bs
(1)
先检查(1)中 x1 的系数，若a11,a21,L ,as1 全为零，则 x1没有任何限制，即x1 可取任意值，从而方程组
(1)可以看作是 x2 ,L , xn的方程组来解．
§3.1 2020/3/29 消元法
数学与计算科学学院
如果 x1的系数不全为零，不妨设，a11 0. 分别把第一个方程 ai1 的倍加到第i个方程 (i 2,L , ．s)
L
b2 bs
(1)
简便起见，不妨设把第二个方程的k倍加到第一个方程得到新方程组（1'）．
(a11 ka21 ) x1 (a12 ka22 ) x2 L (a1n ka2n )xn b1 kb2
a21 x1 a22 x2 L a2n xn b2 LLLLLLLLLLL
2．方程组的解
设 k1, k2 ,L , kn 是 n 个数，如果x1, x2 ,L , xn 分别用 k1, k2 ,L , kn 代入后，(1)中每一个式子都变成恒等式, 则称有序数组 (k1, k2 ,L , kn ) 是（1）的一个解.
(1)的解的全体所成集合称为它的解集合．解集合是空集时就称方程组（1）无解．
A
a21 L
a22 L
L L
as1 as2 L

高等代数与解析几何课件

•
b定义为一个
a • b | a || b | cos a,b .
量讨论内积、向量的长度、两个向量的夹角的关系.
代
a
b
数
b0
第
命题6.3 向量a与b垂直的充分必要条件是：ab 0.
一章 a,
b,
定理6.4 向量的内积有下列性质：对任意的向量
c以及实数k , 有 (IP1)对称性质a
要条件是：
a
b
c
0.
章
C
向
A
B
量
例1.2用向量方法证明：对角线互相平分的四边形
代是平行四边形 . D
O
C
数
A
B
第
向量的标量乘法
一
定义1.3 实数k与向量a的标量乘积ka是一个向量，它的长度是a的长度的| k | 倍，当k 0时它的方向与a
章向
相同，当k 0时方向与a相反.
（对M任1）意k的(m向a量 ) a(,kbm以)a及; 实数 k有：
（3）推广到有限个点线性流形.
量
（4）线性流形的基本特征.
（5）单纯形的概念.
代
例2.2 证明线性流形LM（A1，A2，，An )中任意
数两点M1，M 2一定包含在这个线性流形内.
第
思考题：线性流形的基本特征.
（1）“直”、“平”，（2）是否包含零向量.
一
例2.3 设a和b是两个非零向量.试证由它们的线性
数
第
问题：（1）讨论两个非零向量共线的性质；
一
（2）讨论三个点共线的条件；（3）讨论三个向量共面的性质；
章（4）讨论四个点共面的条件.
（5）将以上问题推广或一般化.

高等代数课件PPT之第3章线性方程组

该方程组的一个解；而该方程组的解的全体称为
它的解集合；
若两个方程组有相同的解集合，称它们是同解的.
第3章线性方程组
消元法 n 维向量空间向量组的线性相关性矩阵的秩线性方程组有解判别定理线性方程组解的结构
§3.1 高斯消元法
高斯消元法是中学所讲的用消元法解二元、三元线性方程组的发展. 基本思想是：逐次把方程组中一部分方程变成含未知量较少的方程，直到得到一个一元一次方程，进而求出方程组的解.
a11 a12 a1n b1
a21
a22
a2n
b2
as1
as2
asn
bs
消元法解方程组的过程就是对数表中的行作变换的过程；一个方程组对应着一张数表
2. 矩阵及其初等变换
(1)矩阵的定义数域P上的s×n个数排成的s行(横的)
n列(纵的)的数表
a11
a12
a1n
a21
a22
a2
第3章线性方程组
上一章利用行列式理论解决了一类特殊的线性方程组 (方程个数与未知量个数相等且系数行列式不为零)的求解问题.本章讨论一般的线性方程组，即形如
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21x1a22 as1 x1 as2
x2 x2
a2n xn asn xn
a21c1
a22c2
a2ncn b2
as1c1
as2c2
asncn bs
可见(c1 ,c2,…,cn)也为(**)的解；同理可证(**)的任
一解也为也为(*)的解.因此(**)与(*)同解. 由引例可见,对方程组施行初等变换,只是系数和
常数项在变,与未知量x1 ,x2,…,xn无关. 因此可以擦去未知量，只写出其系数和常数项——一张数表：

高等代数课件--第三章线性方程组§3.1 消元法

增广矩阵
a11 a 21 A a s1
a12 a 22 as 2

a1 n b1 a 2 n b2 a sn bs
二、消元法
1．引例解线性方程组
2 x1 x 2 3 x 3 1 4 x1 2 x 2 5 x 3 4 2x x 2x 5 1 2 3
三、齐次线性方程组的解
定理1 在齐次线性方程组
a11 x1 a12 x 2 a1 n x n 0 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n 0 a s1 x1 a s 2 x 2 a sn x n 0
第三章线性方程组
——解决一般的线性方程组的解的相关问题，解的结构问题
§3.1 消元法
一、一般线性方程组
1．一般线性方程组是指形式为
a11 x1 a12 x 2 a1 n x n b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 a s1 x1 a s 2 x 2 a sn x n bs
成恒等式，则称有序数组(k1, k2,…, kn)是(1)的
一个解．
解集合方程组(1)的解的全体所成集合称为它的解集合．
解集合是空集时就称方程组(1)无解．
3．同解方程组
如果两个线性方程组有相同的解集合，则称它们是同解的
4．方程组的系数矩阵与增广矩阵
系数矩阵
a11 a 21 A a s1 a12 a 22 as 2 a1 n a2 n a sn
方程．于是(1)就变成
a11 x1 a12 x 2 a1 n x n b1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 a s 2 x 2 a sn x n bs

高等代数课件--第三章线性方程组§3.6线性方程组解的结构

......................................arrxr ar,r1xr1 第五页，共16页。
arnxn
我们知道自由未知量的任意一组值都确定了方程组(1)的一个解。
用组数 (1,0,…,0), (0,1,…,0),…,(0,0,…,0)
第二页，共16页。
2 ．基础解系
定义齐次线性方程组(1)的一组解
1,2,…,r，若满足
1) 1,2,…,r线性无关；
2) 齐次线性方程组(1)的任意一解都可由
1,2,…,r线性表出；
则称1,2,…,r为齐次线性方程组(1) 的一个
基础解系；
第三页，共16页。
4 ．基础解系存在性
定理在齐次线性方程组(1)有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解向量的个数等于nr, 其中r 为方程组
系数矩阵的秩。
第四页，共16页。
证：若r=n, 方程组只有零解，不存在基础解系
a11 a12? … a1r
若R(A) =r<n，不妨设
a21 a22? … a2r ………………
0,
则(1)可写成
a r1 ar2? … arr
a11x1a12x2 a1rxr a1,r1xr1 a1nxn
a21x1a22x2 a2rxr a2,r1xr1 a2nxn
来代替自由未知量(xr+1,…,xn), 就得到(2)的解，也就是(1)的nr个解:
1 (c11,c12, ,c1r,1， 0，， 0）
2 (c21,c22, ,c2r， 0， 1，， 0）
(3)
nr (cnr,1,cnr,2,第六页，共1,6页c。nr,r， 0， 0，， 1）

扬州大学高等代数课件北大三版--第三章线性方程组-PPT课件

→
2 4 2

3
把第1个方程分别乘以（-2）、（-1）加到第2个、3个方程
把第1行分别乘以（-2）、（-1）加到第2、3行
线性方程组
2 x1 x 2 3 x 3 1 4 x2 x3 2 x2 x3 5
→
2 0 0
1 4 1
3 1 1
1 2 5
课件
4
高等代数
把第3个方程分别乘以（-4）、 1加到第2个、1个方程
把第3行分别乘以（-4）、 1加到第2、1行
2 x1
2 x3 6 3 x3 18 x 2 x3 5
→
2 0 0 2 0 0
—（1）
3
线性方程组
当m=n，且系数行列式 D 0 时，我们知方程组（1）有唯一解，其解由Gramer法则给出。但是若此时D=0，我们无法知道此时方程组是有解，还是无解。同时，当 m n 时，我们也没有解此方程组（1）的有效方法。因此我们有必要对一般线性方程
课件 3
高等代数
性方程组
用一个数乘矩阵的某一行加到另一行上；用一个非零数乘矩阵的某一行；
课件 6
互换两行的位置。这三种变换被称为矩阵的初等行变换。从上面可以看出，解线性方程组的问题可以转化成对由方程组的未知量系数和常数项所排成的一个“数表”进行相应的“变换”，从而得到方程组的解。这个数表就称为矩阵。抛开具体的背景，下面引进矩阵的定义和它的初等变换。定义1（矩阵）：数域 F 上 mn 个元素排成形如下数表 a1n a11 a12 a a a 22 2n 21 3 称为数域 F 上的m行n列 amn a m1 a m 2 线矩阵，简称 mn阶矩阵，记为 A 或 a ij m n 。 a i j 称为矩阵的 mn 性元素，i称为元素 a i j 所在行的行下标，j称为元素 a i j 所在列的方 n n 矩阵亦称为方阵。列下标。当m=n时，

线性方程组有解判别定理-最全资料PPT

9a
a 1
0
第三章线性方程组
当a=1时，方程组无解。
当 a 1 时，原方程的解为
线性表示，可见方程组（3. 线性表示，可见方程组（3. 则当r=n（n为方程中未知量个数）时，则当r=n（n为方程中未知量个数）时，由于等价的向量组有相同的秩， 1）有解的充要条件是它的系数矩阵A与增广矩阵当a=1时，方程组无解。由于等价的向量组有相同的秩，当r=n时，方程组有唯一解：
a1n a2n
amn 0 1
0 0
0
b1
b2
bn
0 c1r 1
0 c2r 1
1 crr 1 00
00
c1n d1
c1n
d2
crn
dr
B
0
d
rHale Waihona Puke 10 0 A 的前n列所成的矩阵是A，设 B 的前n列所成的矩阵为B。
1. 若秩A=秩 A ，则由定理3.4.4知，秩B=秩 B 故d r1 0. 因此原方程组有解。
A和增广矩阵 A 有相同的秩r。
第三章线性方程组
则当r=n（n为方程中未知量个数）时，方程组有唯一解；
当r<n时，方程组有无穷多解。证：当秩A=秩 A =r时，
（为方便计，这里假设A的左上角r阶子式不为零）。
这时线性方程组的增广矩阵 A 经行变换可化为如下阶梯形：
第三章线性方程组
1 0
5
1
0
0 2
5
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0
0
a1 0
0 1 0
1 0 0
2 0 1
5
4
a 1