常数项级数概念的微课教学设计_冯颖
常数项级数概念的微课教学设计
第20卷第3期2017年5月高等数学研究STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICSVol. 20，No. 3May, 2017doi ： 10. 3969/j. issn. 1008-1399. 2017. 03. 008常数项级数概念的微课教学设计冯颖(西南交通大学数学学院，四川成都611756)摘要研究常数项级数概念的微课教学设计.基于微课的教学特点，通过创设情景、剖析概念、应用概念、拓展应用等教学环节，调动学生学习的积极性，引导学生自主学习，提高学生分析问题、解决问题的能力.关键词常数项级数；微课；教学设计中图分类号0173文献标识码A文章编号1008 -1399(2017)03 - 0017 - 03Micro Lecture Design for Concept of Series of Constant TermsFENG Ying(School of M a th em atics,S o u th w est Jiaotong U n iv e rsity,C hengdu 611756 ,C hina)Abstract The micro lecture design for the concept of series of constant terms is studied in this paper. Based on the characteristics of the micro lecture,making use of situation creation,concept analyzing and applying,and application expanding,we mobilize students^enthusiasm,guide students to study independently,improve students!ability of analyzing and problem solving.Keywords series of constant terms,micro lecture,teaching design微课作为现代信息技术与传统教学相融合的新兴教学方式在最近几年已成为教育信息化的热点和亮点.与传统的课堂教学相比，微课具有主题突出、针对性强、精致紧凑、资源丰富、可反复观看等优点.将微课融人大学高等数学课程的教学中能有效分解课程学习的难度，切片化教学内容，生动 形象地展现知识，从而有效提升课程的整体教学效果.在“常数项级数的概念”微课教学设计中注重创设情景导人问题，剖析概念揭示本质，设计应用拓展概念，力求把枯燥的概念生动形象化，并富于 思考与启发，有利于引导学生自主学习，提高学习 的积极性与探索性.本节微课的教学过程主要包括：新课导人、概 念学习、应用举例、应用拓展、总结思考等五个环收稿日期=2016 -05 - 26 修改日期=2017 - 03 -27基金项目：中国高等教育学会高等教育科学研究“十三五”规划课题(16YB1Q7);西南交通大学本科教学研究与改革项目(1504074,1501008,201704007)作者筒介：冯颖（1979 —），女，博士，讲师，主要从事Banach格与正算 子理论研究，Email: fengying@home, swjtu. edu. cn 节，教学时长约16分钟.1创设情景导入新课(1)引例介绍芝诺悖论一A chilles追赶乌龟的故事.假设Achilles在乌龟后面1000 m，他们分别以10 m/s 和1m/s的速度勻速前进，问A chilles能否追上乌 龟？芝诺认为当A chilles用时100 s跑完1000 m 时，乌龟向前爬行了 1〇〇m，则他们之间的距离缩短 为100 m.而当Achilles用时10 s跑完刚才所相距 的100 m时，乌龟又向前爬行了 10 m.Achilles继续 跑完10 m，乌龟又前进了 1m.尽管两者的距离在不 断缩短，但Achilles总是在重复乌龟所爬行的每一段 路程，所以芝诺认为Achilles永远也追不上乌龟.提问：这样的解释是否合理？设计意图通过精心设计的F lash动画生动演 示“追”与“赶”的过程，使学生直观理解悖论所描述的数学问题，吸引学生的注意力，激发学生解决问题的积极性.(2)分析悖论设Achilles 在追赶乌龟的过程中跑过的每段路18高等数学研究2017年5月程用时为 L s ，则 f i =100 s ，^2 = 10 s ，^ = l s ，…， 丨是一个公比为〇. 1的等比数列.如果把所有的 L 加起来会得到什么样的结果？是否为一个有限的 数？如果是.则说明A chilles 在有限的时间内一定 能追赶上乌龟.继续提问：无限多个数应该如何相加？这样的 相加有意义吗？设计意图在解决悖论前分析问题，帮助学生思考解决问题的关键之处与方法途径，为新课的学 习做好铺垫.2概念学习揭示本质(1) 介绍常数项无穷级数的定义指出定义只是形式上的表示，还需要确切的数 学解释.(2) 剖析无穷级数敛散性的概念基本思路：借助已知的“有限和”推广到“无穷 和先将无穷级数“截断”•讨论其部分和.再由部 分和数列的敛散性定义无穷级数的敛散性•并指出 只有当级数收敛时计算无穷和才有意义.给出无穷级数敛散性概念的注释：① 无穷级数敛散性问题的本质是部分和数列 的收敛性.②无穷级数是利用极限来讨论的.但它不是极限的简单重复.而是一种新的极限形式.这种形式 在函数表示、近似计算等方面都有着广泛的应用.设计意图在讨论常数项无穷级数敛散性概念时，注重用已知的有限和与数列极限的知识为铺垫， 逐步推广到未知的无穷和的讨论，新旧知识联系，思 路清晰、自然，易被学生接受.对概念的深入剖析帮助 学生抓住问题的实质，为后续应用打好基础.3应用举例巩固概念例 1讨论级数1 + 2 + 3 +---h « +…的敛散性.例2讨论等比级数D a g " =a +ag +ag2H ----h« = 0aq " H (a # 1)的敛散性.推导等比级数敛散性的判定结论.强调其在讨 论级数敛散性问题中的重要性.并利用此判定结论 彻底解决芝诺悖论.设计意图作为概念的应用，选择了简单而具有代表性的两个例子，其中对于在理论与实际应用中都十分重要的等比级数的讨论，采用板书推导，严格给出解答步骤，培养学生规范解题与书写的能力.利用等比级数敛散性的判定解决悖论问题.给 出严谨的数学解释，整堂课前后呼应，有问有答，让 学生从理论认识上升到实际应用，加深对课程内容 的理解.感受数学的理性美.4应用拓展丰富教学(1)介绍科赫雪花曲线的由来科赫雪花曲线是瑞典数学家海里格•科赫在 1904年的论文《关于一条连续而无切线.可由初等 几何够作的曲线》中提出的.是分形几何学中经典 的例子.其具体构造方法是任意画一个正三角形， 并把每一条边三等分.以三等分后中间的一段为边 向外作正三角形，并去掉中间这一小段.重复上面 的步骤，画出更多、更小的正三角形.反复操作，直 到无穷•得到的就是科赫雪花曲线(图1).利用 P P T 动画演示其具体的形成过程.(2)计算每次操作后的边数、总边长和面积增 加的情况设正三角形的边长为《，面积结合动画分步展示科赫雪花曲线前三次操作后边数、总 边长和面积增加的数量情况（表1).表1科赫雪花曲线的边数、总边长和面积增加情况操作次数边数（W 总边长（&)增加的面积（SJ n = 1^ =12= —^~ab \ = 4aSl =3. (|)\71=2b 2 =46i = 481 7 16 a 2 = = j a S :=12 • ( j )4S 。
常数项级数的基本概念和性质学习教案
去掉前 k 项, 证
新级数
un
n1
n
和为
n ukl Skn Sk
l 1
同敛散，
的部分
有限项不影响 级数的敛散性
故新旧级
数敛散性相同.
收敛时, 其和
σ S Sk .
第16页/共31页
第十七页，共31页。
性质
收敛级数(jíshù)加括弧后
所成的级数仍收敛于
(xìngz
hì)4 原级数(jíshù)的和.
(1)
un与 cun 敛散性相同(xiānɡtónɡ)
n1
n1
(2) 收敛级数(jíshù)可以逐项相加，
（c 0）；
(3) 级数 (4) 收敛级数加括弧后
有限项,
仍收敛于原级数的和.
不影响其敛散性.
(5) 级数收敛的
: 一般项的极限为零
第30页/共31页
第三十一页，共31页。
0,
不存在 ,
因此级数发散.
a
qn
n0
等比 级数
结论：
等比级数
时收敛,
q 1
时发散 .
q 1
第8页/共31页
第九页，共31页。
例2
判别(pànbié)级数
的敛散性.
解
部分(bùf en)和
ln
n
1
n1 n
Sn
ln 2 1
ln 3 2
ln 4 3
ln n 1 n
拆项相消
(ln 2 ln1) (ln 3 ln 2) ln(n 1) ln n
…
1 9
1
1246
1 16
1 16
1, 2
23 8 项
关于常数项无穷级数的教学设计-最新教育文档
关于常数项无穷级数的教学设计-最新教育文档关于常数项无穷级数的教学设计引言高等数学教学改革中一项重要内容就是教学内容与方法的改革，既应有引进、吸收他人先进经验的一面，也要有根植于教学实践的创新. 教材[1]是国内应用最广的教材，堪称经典的优秀教材.也是我校长期选用的教材. 在长期的教学实践中，我们对教材的处理有一些自己的感悟与设计. 这里仅就常数项无穷级数的课堂教学设计介绍我们的观点与做法，并求教于同仁和广大同学.在长期教学中我们发现，有部分学生在无穷级数学习初始阶段，对无穷级数的概念与性质理解有难度、对相关性质难以把握、运用. 针对这种情况，我们在常数项级数引入、常数项无穷级数性质的安排次序等方面给出了改进，使得学生更容易接受、获得启发，从而提高教学效果.一、课前布置预习。
由于这部分主要利用数列及其极限的知识，所以在授课前布置学生预习相关的预备知识：复习数列极限及其性质，包括“数列收敛数列一定有界”；有界数列未必收敛；“单调有界数列一定收敛”等知识.二、关于无穷级数的引入。
利用更为初等、熟悉的例子来说明级数概念引入的必要性，对于一般问题的研究，某些量也经常用级数表示并且方便应用. 进一步地，常数项级数还是学习函数项级数的基础，而函数项级数是表示函数的重要工具.这个例子说明，即使在小学阶段表示像这样简单有理数的小数形式时就实际上应用了无穷级数的形式，而理解无理数那更是离不开无穷级数了（利用圆内接多边形逼近圆的面积（可以让学生自学教材[1]例子）.例2 早在2300多年前，庄子《天下》篇中有一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”. 若利用数学模型描述这句话，就可以用无穷级数表示为因此可以说无穷级数是认识问题、表示关系的基本模型，因此也就成为高等数学中的基本内容. 这个例子简单但文化上的意义不小，江泽民主席访美在哈佛大学讲演时就曾引用过这句话.三、关于核心概念的处理与评注级数un收敛与发散的概念即级数部分和数列S = u 收敛与发散. 无穷级数实际是数列极限概念的应用，但其形式正如引例展示的那样，比数列形式更自然、具体、方便，所以应用广泛.在收敛与发散的讨论中，注意指明三点：1）在无穷级数的讨论中收敛性讨论是基本问题，因为有关级数的讨论几乎都与收敛、发散相关，所以收敛与发散是级数理论的重点概念.2）关于级数收敛的概念在后面还要讨论，即进一步区分收敛的类型（绝对收敛与条件收敛）.3）最简单的一类级数是所谓正项级数，因其部分和是单调增加的.易知正项级数部分和有界是正项级数收敛的充要条件. 正项级数收敛性判别成为下一节的主要研究对象. 不过对于一般级数而言，收敛性就不易给出充要条件了，。
“常数项级数的概念和性质”教学设计
“常数项级数的概念和性质”教学设计作者：关文吉来源：《学习周报·教与学》2020年第22期摘要：介绍了“常数项级数的概念和性质”教学过程，帮助学生更好地理解常数项级数的概念和性质，为后续课程的学习打下坚实基础。
关键词：无穷级数;常数项级数;教学设计一、教材分析高等数学是理工科各专业的重要基础理论课。
通过该课程的学习，学生获得一元函数微积分及其应用、多元函数微积分及其应用、无穷级数与常微分方程等方面的基本概念、基本理论、基本方法和运算技能，为今后学习各类后续课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。
在传授知识的同时，要努力培养学生进行抽象思维和逻辑推理的思维能力、综合运用所学知识分析问题解决问题的能力和较强的自主学习能力，逐步培养学生的创新精神和创新能力。
无穷级数是表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的最有力的工具，同时也是后续数学课程的理论基础，因而在实际问题和理论研究中有着广泛的应用.二、教学目标（一）知识与技能目标1.使学生深刻理解常数项级数敛散性的概念，会用定义判别一些级数的敛散性，熟知等比级数及其敛散性的条件。
2.使学生熟练掌握级数的基本性质。
（二）过程与方法目标1.培养学生的观察、比较、类比、分析、总结和抽象概括的能力和数学思维方法，使学生掌握常数项级数的概念与性质。
2.提高学生提出问题、分析问题和解决问题的能力。
（三）情感与态度目标1.通过解决圆的面积这个实际问题，激发学生的求知欲，进而激发学生的学习兴趣，提高学生的学习热情。
2.培养学生自主学习的能力，提高学生的创新意识和勇于探索的精神。
三、教学重点、难点（一）教学重点：常数项级数的概念及性质。
（二）教学难点：用常数项级数的定义法求级数的和。
四、学情分析常数项级数是无穷级数的一个重要组成部分，它的判敛在实际问题中有广泛的应用。
学生已经学习了数列求和及数列求极限的方法，学会了运用有限去探求无限的方法，已经具备了进行“翻转课堂教学法”的知识储备和分析抽象的思维能力。
常数项级数的概念及性质ppt课件
n
1 0，
n
n n2 n n 2
所以级数 ( n2 n n)发散.
n1
30
实际上 un 0. 的速度越快， un 收敛的可能性越大
n1
例8：判断级数
n ln
n1
n n1
的敛散性.
解答：由于 lim n ln n lim ln（ n ）n
n n 1 n n 1
1 lim ln
n1
但若二级数都发散 ,
不一定发散.
例如, 取 un (1)2n , vn (1)2n1 ,
即 收敛+收敛=收敛，收敛+发散=发散， 发散+发散就不一定发散
如 求级数 ( 5 1 )的和.
n1 n(n 1) 2n
5
1
,
n1 n(n 1)
2n 19
n1
例 6
求级数
n1
5 n(n
1 1. 1 x x2 xn
1 x
( x ＜1)
2. 3 3 3 3 1
10 100 1000
10n
3
1
0.33333
第九章 无穷级数
主要研究无限个量相加的问题，包括 无限个数和无限个函数相加的问题 。
常数项级数 无穷级数
幂级数
3
第一节
第九章
常数项级数的概念和性质
乘以常数 c 所得级数
也收敛 , 其和为 c s .
n
n
证:
令
S n
u, k
则 n
c
u k
c
S n
,
k 1
k 1
lim n n
cs
这说明
c
u n
第一部分常数项级数的概念与质教学课件
n1
其中第 n项 un 称为级数的一般项。
可从极限思想出发来理解无穷多个数相加的含义。
2、级数的收敛和发散
定义1：作级数
u
n
的前
n
项和
n 1
Sn u1 u2 un
称其为级数 un 的部分和。显然，可得到一个新数列
n 1
{S n }
，称为级数 un 的部分和数列。 n 1
分条件。可考察级数
n1
ln(1
1 n
)
例4 判断级数 ( n2 n n)的敛散性。
n1
解：因为
lim ( n2 n n) lim
n
n
所以级数 ( n2 n n)发散。 n1
n
1 0
n2 n n 2
1 n(n 1)
(1 1 ) (1 1) ( 1 1 ) 1 1
2 23
n n1
n 1
从而
lim
n
Sn
lim (1
n
1) n 1
1,
所以级数收敛于1。
例3
判断级数 n1
ln(1
1 n
)
的敛散性。
解：级数的部分和为
Sn
ln
2 ln
第一节 常数项级数的概念与性质
一、常数项级数的概念 二、常数项级数的性质
一、常数项级数的概念
1、定义
给定一个无穷数列u1, u2 ,, un ,，则由这个数 列构成的表达式
u1 u2 un
称为常数项无穷级数，简称级数，记作 un ，即
《高等数学(下)》—教学教案第八章常数项级数的概念与性质
第八章 常数项级数的概念与性质授课序号01)，将数列){}n u 中的各项用加号连接的形式n u ++常数项无穷级数，简称级数，记为1nn u∞=∑，其中是求和记号，称为下标变量，第对数列123,,,,n u u u u ，取它的前1nn i i u u =+=∑，n 项之和）.若级数的部分和数列{}n S()0n aq a ++≠()1++1n n +⎪⎭⎫ ⎝⎛+11n 的敛散性. 11n++ 的和.授课序号02n u ++，其中()n u 为任意实数，那么该级数叫做∑∞=1||nu也收敛，则称级数n 绝对收敛；2,)，则有)； 则交错级数收敛，且收敛和1s u ≤.nu收敛，则任意项级数);11(1)n n-+-+是收敛的.114n nn -⋅的敛散性.授课序号03()()1n n n u x u x ∞=++=∑()01nn u x ∞=∑就是常数项级数. 的收敛点，收敛点的全体组成的数集称为()u x ∞∑的收敛域()0nn a x x +-+nn a x∞=∑，因此不失一般性，我们仅讨论这个形，则幂级数称为一个常数项级数a ∞∑n n a x ++，n n b x ++22,)R R -，其和函数分别为11(,),x R R ∈-0110(),(,).n n n n a b a b a b x x R R -+++++∈-（和函数的连续性）设幂级数0nn n a x∞=∑的收敛域为区间I ，则它的和函数授课序号04,cos ,sin ,nx nx该三角函数系中的任何不同的两个函数的乘积的在[]π,π-上的积分等于零.1,2,n =就叫做的傅里叶级数.1,2,，，即只含有正弦项的傅里叶级数；，余弦级数，即只含有常数项及余弦项的傅里叶级数Dirichlet）充分条件），1,2,.的周期函数，它在。
常数项级数的概念和性质解析ppt课件
1 (1 1 ), 2 2n 1
lim
n
sn
lim 1 (1 n 2
1) 2n 1
1, 2
级数收敛, 和为 1 . 2
例4. 讨论等比级数 (又称几何级数)
( q 称为公比 ) 的敛散性.
解: 1) 若
则部分和
因此级数收敛
,
其和为
a 1q
;
因此级数发散 .
aa qn 1q
从而 lim Sn
一、常数项级数的概念 二、收敛级数的基本性质
一、常数项级数的概念
引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.
依次作圆内接正 内接正三角形面积, ak 表示边数 增加时增加的面积, 则圆内接正
边形, 设 a0 表示
这个和逼近于圆的面积 A . 即
引例2. 计算棒长.
一尺之棰,日取其半, 万世不竭. 棰长形成一个无穷数列
1 1
1
的收敛性.
13 35
(2n 1) (2n 1)
解
un
(2n
1 1)(2n
1)
1( 1 2 2n
1
1 2n
), 1
sn
1 1
1
13 35
(2n 1) (2n 1)
1 (1 1) 1 (1 1) 1 ( 1 1 )
2 3 23 5
2 2n 1 2n 1
[(
1 9
)n1
A1
]}
A1
3
1 9
A1
3 4 (1)2 9
A1
3 4n2
(
1 9
)n1
A1
A1{1
[
1 3
1(4) 39
1 (4)2 39
常数项级数概念的微课教学设计
常数项级数概念的微课教学设计
冯颖
【期刊名称】《高等数学研究》
【年(卷),期】2017(020)003
【摘要】研究常数项级数概念的微课教学设计.基于微课的教学特点,通过创设情景、剖析概念、应用概念、拓展应用等教学环节,调动学生学习的积极性,引导学生自主
学习,提高学生分析问题、解决问题的能力.
【总页数】3页(P17-19)
【作者】冯颖
【作者单位】西南交通大学数学学院,四川成都611756
【正文语种】中文
【中图分类】O173
【相关文献】
1.常数项级数概念引入的一种教学设计 [J], 邱宏
2."微课"视角下的"高等数学"教学改革研究r——基于常数项级数的实例式教学案
例 [J], 张丽
3.关于常数项级数的教学设计 [J], 刘玉霞
4.基于数学概念生成性的教学设计r——以常数项级数的概念为例 [J], 郑雪静;陈
清华
5.课程思政理念下数学史驱动的常数项级数教学设计 [J], 叶建兵
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
01-第1讲常数项级数的概念
关于调和级数： 当n越来越大时，调和级数的项变得越来越小，然 而，慢慢地——非常慢慢地——它的和将增大并超过任 何一个有限值。调和级数的这种特性使一代又一代的数 学家困惑并为之着迷。 下面的数字将有助于我们更好地理解这个级数。这 个级数的前1000项相加约为7.485；前100万项相加约为 14.357；前10亿项相加约为21；前一万亿项相加约为 28，……。更有学者估计，为了使调和级数的和等于 100，必须把10的43次方项加起来，如果我们试图在一 个很长的纸带上写下这个级数，知道它的和超过100， 即使每一项只占1mm长的纸带，也必须使用10的43次方 mm长的纸带。 调和级数是发散的，这是一个令人困惑的事情，事 实上调和级数以令人不耐烦地慢向无穷大靠近，我们可 以很容易的看到这个事实，因为S2n-Sn>1/2,而调和级数 的第一项是1，也就是说调和级数的和要想达到51它需 要有2的100次方那么多项才OK。而2的100次方这个项是 一个大到我们能够处理范围以外的数字，在计算机科学 领域，这属于一个不可解的数。
例 讨论级数
解
1
n
n11 a
(a 0) 的敛散性
如果 0 < a 1 , 则由
n
lim an lim
1
n
1 , 0 a 1
1 , a 1 2
发散
1
n 1 a
1
n
n11 a
如果 a > 1 , 则由
1 n 及 ( ) 收敛 , 据比较判别法知 n 收敛 n 11 a n1 a
n
lim un 0,
故该级数发散.
例6
证明调和级数是发散的: 1 1 1 1 n 1 2 3 n . n 1
常数项级数课程设计
常数项级数课程设计一、课程目标知识目标：1. 掌握常数项级数的概念，理解其构成要素及特点；2. 学会运用常数项级数的性质，进行级数求和及收敛性判断；3. 了解常数项级数在实际问题中的应用，如数列极限、幂级数等。
技能目标：1. 能够正确表示常数项级数，并进行简化；2. 熟练运用比较判别法、比值判别法等判断常数项级数的收敛性；3. 能够运用常数项级数的性质解决实际问题，提高数学建模能力。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对数学学科的兴趣，激发学习热情；2. 培养学生严谨、细致的学习态度，提高数学素养；3. 培养学生的团队协作意识，学会与他人分享、交流学术观点。
本课程针对高中年级学生，结合常数项级数的知识特点，注重理论联系实际，提高学生的数学思维能力和实际问题解决能力。
课程目标具体、可衡量，有助于学生和教师明确课程预期成果，为教学设计和评估提供依据。
在教学过程中，教师需关注学生的个体差异，因材施教，使学生在掌握知识的同时，提高综合素质。
二、教学内容本章节教学内容主要包括以下三个方面：1. 常数项级数的概念与性质- 级数的定义及构成要素；- 常数项级数的收敛与发散概念；- 常数项级数的性质，如交换律、结合律等。
2. 常数项级数的求和与收敛性判断- 级数求和的方法，如错位相减法、部分和法等；- 比较判别法、比值判别法的应用；- 收敛性判断的其他方法，如积分判别法等。
3. 常数项级数在实际问题中的应用- 数列极限与级数的关系；- 幂级数的概念及其收敛半径；- 常数项级数在物理、经济等领域的应用实例。
教学内容参考教材相关章节，结合课程目标进行合理安排和进度调整。
在教学过程中，注重引导学生掌握级数的基本概念和性质，培养学生的收敛性判断能力，以及将常数项级数应用于解决实际问题的能力。
同时，关注学生对知识点的掌握情况，及时调整教学方法和进度，确保教学内容科学、系统、高效。
三、教学方法针对常数项级数的教学内容，采用以下多样化的教学方法，以激发学生的学习兴趣和主动性：1. 讲授法：以教师为主导，系统地讲解常数项级数的基本概念、性质和求和判断方法。
高等数学(下册)第7章第1讲常数项级数的概念与性质
2)
1
1 n
n
lim
3
lim 1
1 n
1
0,
n (n 1)(n 2) n n e
所以级数发散.
必要条件的 逆否命题
14
高等数学（下册）
学海无涯，祝你成功！
如果收敛,
求出其和．
P8 同步习题7.1 提高题1(1)
解
因为
n1
1 3n
(1) n1
3 2n1
1 3n
n1
(1) n1
n1
3 2 n1
,
而级数
1 与 (1) n1
3
分别为公比为 1 和 1 的等比级数,
n1 3n
n 1
2 n1
32
1
所以原级数收敛.
其和为
1
3
1
3 1 1
5 .
12
二、收敛级数的基本性质
定理7.1
如果级数 un 收敛,
n 1
则
lim
n
un
0．
注
(1)
逆否命题成立：若
lim
n
un
0
,
则级数 un
n1
发散．
例如 级数 2n 3 , lim 2n 3 2 0， 2n 3 发散.
n1 n 1
n n 1
n1 n 1
(2) 条件必要而不充分, 即逆命题不成立.
例如
调和级数
n1
1 n
满足 lim n
un
lim 1 n n
0,
但 1 是发散的. n1 n
13
二、收敛级数的基本性质
例 3 判别级数
3