毕沙定律2

o
a

P
x
一段载流直导线的磁场:
0 I B (cos 1 cos 2 ) 4 a
无限长载流直导线的磁场: (因为 1 0 2 ) 半无限长载流直导线的磁场: (因为 1

2
0 I B 2 a
0 I B 4 a
B0
0
2 )
直导线延长线上一点的磁场:
1 2 0
1 / 2 2 0
B μ 0nI
1 B μ0nI 2
亥 姆 霍 兹 线 圈
I
I
例题7 ：
普通物理学教案
在太阳黑子上观察到光谱线的塞曼效应，证实 存在有 0.4 T 的强磁场。假设该磁场是由一个半径 为107m的等离子体构成的盘形体以 3×10-2 rad / s 的角速率旋转激发的。求等离子体密度、旋转盘的 等效电流。 解：场源的物理模型是旋转的均匀带电圆盘 将其分割成一圈圈的微分电流环 dq 2 rdr 则 dI rdr T 2 / 2 r dI 0 利用圆电流在轴线上一 点的磁感应强度表达式
ˆ) dB 0 qv sin(v , r B1 dN 4 r2
─运动电荷产生的磁场
ˆ 0 qv r B 2 4 r
若 q0， B 与 v r 同向

B 与v r 反向 若 q0 ，
B
r
θ

B
r
q
θ
v
q
v
3. 平面载流线圈的磁矩（磁偶极子） magnetic (dipole) moment
定义载流 I 的刚性平面线圈 S 的磁矩为
pm IS
— S 为线圈的面积 — I 为刚性平面线圈通过的电流 图中， n 为线圈平面的 法向，它也是磁矩的方向。
pm
n
I
n 与电流的方向成右手 螺旋关系。
4. 由毕奥－萨伐尔定律计算稳恒电流的磁场分布
解题步骤
① 选取合适的电流元 （根据已知电流的分布与待求场点的位置） ② 选取合适的坐标系 要根据电流的分布与磁场分布的的特点来选取 坐标系，其目的是要使数学运算简单； ③ 写出电流元产生的磁感应强度
Idl
sin R R2 x 2
2( R x )
B
讨论
0 IR 2
2( R x )
2 2 3 2
I
B
方向：右手螺旋法则
①将圆电流在轴线上的磁感应强度用磁矩表示
B

μ0 IR 2
2( R x )
2 2 3 2

μ0 I R 2
2 ( R x )
2 2 3 2
μ0 IS
dB 2(r x )
2 2 3 2
x
dB
0 dIr 2
2(r x )
2 2 3 2
dI rdr
R
Bo = 0.4 T R = 107m ω = 3×10-2 rad / s 代入本题的条件 得：σ＝2 C / m2
n
B dB
μ0
2
(r
0
r3
2
x2 )
1 o 2 4 107 ( N / A2 ) oc
2.运动电荷的磁场 电流 电荷定向运动

q
v
I
S
电流元 Idl
ˆ 0 Idl r dB 4 r 2
载流子总数：
dl
其中
I qnvS
dN nSdl
电荷 密度 速率 截面积
ˆ 0 qv r 得： B 4 r 2
对一段载流导线，按叠加原理
ˆ 0 Idl r B dB 2 4 r L
矢量叉乘，正是 电流磁效应横向 性的反应。
ˆ 0 Idl r dB 2 4 r
I
Idl
I
r
dB
讨论
毕奥-萨伐尔定律
①该定律仅适用于稳恒电流元。
②该定律为实验定律，是由实验数据归纳得出。
③该式中电流元不能在它自身方向上激发磁场。 ④其中μ0 为真空磁导率。
dB
α
Idl
I
o
R
ˆ r
dB
dB
P
x
x
μ0 Idl sinα Bx dBx 4 r2
Bx dBx

μ0 Idl sinα 2 l 4 r

x
μ0 I sinα dl 2 4 r
μ0 I sinα 2 R 2 4 r

0 IR
2
2 2 3 2
a
y
α2
y a cot( ) a cot I
dy a csc d
2
Idl
α
α1 r
0 B dB 4
Idy sin 2 r L
0 I a csc2 sin d 2 2 4 a / sin L
dB
0 I 4
2
sin d 0 I (cos 1 cos 2 ) a 4 a 1
普通物理学教案
μ0 Idl sin 解： dB 4 r2
y
Idl
R
r 2 R2 x 2 2 Rx cos
R x cos sin cos( ) r dl Rd
r

x
dB

μ0 B 4 0
2
I ( x R cos ) Rd ( R2 x 2 2 Rx cos )
由于电流磁效应的横向性，可考虑下面的实验 方案，测量直线电流对电流元的作用、电流元间的 作用。 毕奥 − 沙伐尔做了第 一组实验，总结出磁感应 强度与 I 成正比、与 r2 成 反比； 安培做了第二组实验
两个结果拼在一起， 构成了毕 − 沙定律。
电场分布的一般计算方法
磁场分布的一般计算方法
Idl
Bo
μ0 I
2R
用磁矩来表达圆电流的磁感应强度
μ0 I R 2 μ0 pm Bo 2 2 R3 2 R R
③一段载流圆弧在圆心处的磁场：
圆心角θ
B
θ
I
0 I B ( ) 2 R 2
例题3：
普通物理学教案
按玻尔理论，氢原子核外的电子绕核旋 转，求轨道中心的磁感应强度。 解： 由
α2
I
Idl
α
α1 r
0 Idl sin 大小 dB 2 4 r
方向 由 Idl r 决定
dB
o
a

P
x
所有电流元在P 点的 磁场方向全同，因而可作 标量叠加
μ0 B dB 4
Idl sinα 2 r L
y
I
Idl
0
z
r
dB
x
a r sin( ) sin
0 Idl sin (因为在 dB 4 r2
中
)
例题2 ：
普通物理学教案
求均匀载流圆环轴线上的磁感应强度分布。 解：建立轴极坐标系ox 任取电流元 Idl P 点的元磁场 μ0 Idl 大小 dB 4 r 2 方向由 Idl r 决定 分析对称性、写出投影式
B dB 0
15.3
毕奥-沙伐尔定律
（Biot−Savart Law）
又称毕奥−沙伐尔−拉普拉斯定律，简称毕−沙定律 这是由毕奥 − 沙伐尔经大量的间接实验归纳、 总结、在拉普拉斯的帮助下进行严格的数学推理给 出的，由电流元激发的磁场的实验规律。其地位相 当于静电场中的库仑定律。一般空间分布电流激发 的磁场， 原则上由毕−沙定律给出的结果按矢量叠 加得到。 由于稳恒电流必定是闭合的，实验中不可能提 供稳恒的电流元，这种实验只能是间接推理性的。
（根据毕奥－萨伐尔定律）
④ 根据叠加原理计算磁感应强度的分布
（矢量叠加）
一般说来，需要将磁感应强度的矢量积分变 为标量积分，并选取合适的积分变量，来统 一积分变量。
例题1 ：
普通物理学教案
已知真空中 I 、1 、 2，求载流直导 线的磁场 y 解：建立坐标系xoy
任取电流元 Idl
各电流元在 P 点激发的磁场
2 2 3 2
................... β1 β2 R p
dB
0 dIR
2
2 3 2
x
dI nIdx
x R cot
dx
2( R x )
2 2 2
0 R 2 nIdx
2( R x )
2 2 3 2
n - 单位长度上的匝数
0 R 2 nIR csc 2 d 2( R R cot )
I
dq dE 2 1/ r
比例系数 k
E dE
1 4 0
Idl 2 dB 1/ r sin 0 比例系数 k 4
B dB
1.稳恒电流的磁场 取电流元 Idl （current element）
I
0 Idl sin dB 4 r2
2 ( R x )
2 2 3 2

μ0 pm
2 ( R x )
2 2 3 2
当x >>R 时 μ0 pm B 2 x 3
问题：若地磁场（Bo）可看成置于中心的环电 流形成，其 pm = ?
B
0 IR 2
2( R x )
2 2 3 2
②载流圆环环心的磁场： (因为 x 0 )
7 μ 4 π 10 T m/A 0

Idl
.P
r
dB
方向判断：