2015年北京市各区高三模拟数学试题(文科)分类汇编----数列

合集下载

2015年高考模拟试题三模试题_北京市东城区2015年高考第二次模拟考试数学试题 (文科)

( C． )
为 10 ，那么椭圆的离心率等于 A．
3 5
B．
4 5
5 4）D．3 4开始8．执行如图的程序框图，输出的 T = （ A．30 B．25 C．20
S 0,T 0,n0
D．12
x 2 y 8 9．若变量 x ， y 满足约束条件 0 x 4 ， 0 y 3
x
） D． 0 , 1 , 2 ）
C． 1 , 2
2．若函数 y f ( x) 是函数 y 2 的反函数，则 f (2) （ A． 1 B． 2 C． 1
D． 0 3．已知点 A(1,1) ， B (4, 2) 和向量 a (2 , ) ，若 a// AB ，则实数的值为（ A．

)

2
2
)
B． y sin( 2 x D． y cos( x

2
3
3
) )
1 正视图 2 1 2 1 侧视图
2
6．已知某几何体的三视图如上图所示，则该几何体的体积为 ( )
俯视图
-1-
A．
1 2
B． 1
C．
3 2
D． 3
7．已知椭圆与双曲线
x2 y 2 1 的焦点相同，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和 4 12
）
2 3
B．
3 2
C．
2 3
D．
3 2
）
4．已知数列 {an } 为等差数列，且 a1 2 ， a2 a3 13 ，则 a4 a5 a6 （ A．45 B．43 C． 40 ） D．42
5．下列函数中周期为且为偶函数的是（ A． y cos( 2 x C． y sin( x

北京市西城区2015届高三二模数学文试题 Word版含答案-推荐下载

下列命题中真命题是（）
（A） p q
（C） (p) (q)
4．执行如图所示的程序框图，若输入的 n {1, 2,3} ，则输出的 s 属于（）（A）{1, 2} （B）{1, 3} （C）{2, 3}
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置2试时32卷，3各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并25工且52作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

2015年北京市高考数学试卷(文科)(解析版)

C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
在抽取的样本中，青年教师有 320 人，则该样本的老年教师人数为（）
7．（5 分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）
类别
人数
老年教师
900
中年教师
1800
青年教师
1600
合计
4300
A．90
B．100
C．180
5．（5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 k 值为（
2．（5 分）圆心为（1，1）且过原点的圆的标准方程是（）
A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=1
B．（x+1）2+（y+1）2=1
C．（x+1）2+（y+1）2=2
D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2
【考点】J1：圆的标准方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5B：直线与圆．【分析】利用两点间距离公式求出半径，由此能求出圆的方程．【解答】解：由题意知圆半径 r= ， ∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．故选：D．【点评】本题考查圆的方程的求法，解题时要认真审题，注意圆的方程的求法，是基础题．
（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？
19．（13 分）设函数 f（x）= ﹣klnx，k＞0．（1）求 f（x）的单调区间和极值；（2）证明：若 f（x）存在零点，则 f（x）在区间（1， ]上仅有一个零点．
20．（14 分）已知椭圆 C：x2+3y2=3，过点 D（1，0）且不过点 E（2，1）的直线与椭圆 C 交于 A， B 两点，直线 AE 与直线 x=3 交于点 M．

2015年高考模拟试题三模试题_北京市东城区2015年高考第三次模拟考试数学文科试题

2.下列函数在其定义域内为偶函数的是 (A) y 3
x
(B) y sin 2 x
2
(C) y
x
(D) y cos 2 x
3.命题“ x0 N , x0 x0 2 ”的否定是 (A) x0 N , x0 x0 2
2
(B) x0 N , x0 x0 2
2 2
ABC 面积的最大值是
(A) 2 (B) 4 (C) 3 (D) 2 3
9.某物流公司运费计算框图如图所示，其中 d 为按运送里程给运费打的折扣，n 为运送物品的件数．现有顾客办理 A、B 两件物品递送，其中 A 物品运送单价为 p1=0.02 元/ 千克•千米，重量为 w1=5 千克，运送里程为 s1=250 千米；B 物品运送单价为 p2=0.03 元/ 千克•千米，重量为 w2=6 千克，运送里程为 s2=500 千米．则按运费计算框图算出该顾客应付运费 sum＝ (A) 94.5 元 (C) 103.5 元 (B) 97 元 (D) 106 元
[30,35) 内的概率。
19. 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，平面 PAD 平面 ABCD ，
2
(C) x0 N , x0 x0 2
2
(D) x0 N , x0 x0 2
2
4.设 a log 0.6 0.5, b log 2 (log 3 8) ，则 (A) a 1 b (B) a b 1 (C) b 1 a (D) 1 b a
2
则椭圆 C 的长轴长的最小值为
·2·
15. 某学科考试共有 100 道单项选择题，有甲、乙两种计分法。若某学生有道题答对，道题答错，道题未作答，则甲计分法的得分为 X a 科考试，现有如下结论： ①同一学生的 X 分数不可能大于 Y 分数； ②任意两个学生 X 分数之差的绝对值不可能大于 Y 分数之差的绝对值；③用 X 分数将全班排名次的结果与用 Y 分数将全班排次的结果是完全相同的；④ X 分数与 Y 分数是正相关的。其中正确的有（写出所有正确的结论的序号）三、解答题 16.已知向量 m (cos x,sin(

2015年北京市东城区高三二模数学(文)试卷答案及解析

m2 m 0 m 0 ，解得： m 1 ，选 C
3．【答案】C 【解析】把圆的一般方程 x 2 y 2 2 x 6 y 1 0 进行配方可得：
( x 1)2 ( y 3)2 9 ，所以圆心坐标为： (1,3) ，选 C
4．【答案】A 【解析】先考察充分性：
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 a1 = , 整理得 (n 1)(n 14) 0 ，解得 1 n 14 . 故满足 Tn 1 0 的最大正整数为 13 . 19．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）由已知可得 a c 2 ， b 2 3 ，又 b2 a 2 c 2 12 ，解得 a 4 .
有图可知，可行域均在 y 轴及其左侧，所以， x 0 所以， z 2 x y ，转化为斜截式得： y 2 x z
第二届“易题库杯”命题大赛进行 ing
~2~
版权所有@ 易题库
由图可知，使得 z 取得最大值的最优解为： A(2, 1) 所以，
zmax 3 ，选 B
8．【答案】A 【解析】易证四边形 EMFN 为菱形，过点 M 作 MH DD1 于 H ，所以
AM AE 1 . MC ED 2 PF AM 1 因为 FM P AP ，所以 . FC MC 2 1 所以 . 3
因为 EM P CD ，所以（Ⅱ）因为 AP 2, AE 1, PAD 60o , 所以 PE 3 . 所以 PE AD . 又平面 PAD 平面 ABCD ，且平面 PAD I 平面 ABCD AD ,
记 ( x , y) 为一次摸球的结果，则一切可能的结果有：
(a1 , a2 ) ， (a1 , a3 ) ， (a1 , b1 ) ， (a1 , b2 ) ， (a1 , b3 ) ， (a2 , a3 ) ， (a2 , b1 ) ， (a2 , b2 ) ， (a2 , b3 ) ， (a3 , b1 ) ， (a3 , b2 ) ， (a3 , b3 ) ， (b1 , b2 ) ， (b1 , b3 ) ， (b2 , b3 ) ，共 15 种.

2015年高三一模数学(文)北京市朝阳区试题Word版带解析

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷（文史类）2015．4一、选择题：（1）已知全集{,,,}U a b c d =，集合{,},{,}A a b B b c ==，则()UA B 等于（）A ．{}bB ．{}dC ．{,,}a c dD ．{,,}a b c【难度】1【考点】集合的运算【答案】B 【解析】由题意得：{},,A B a b c =，所以{}()U A B d =故选B（2）已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（）A ．:p ⌝x ∀∈R ，sin 1x ≥B ．:p ⌝x ∀∈R , sin 1x >C ．:p ⌝0x ∃∈R , 0sin 1x ≥D ．:p ⌝ 0x ∃∈R ，0sin 1x > 【难度】1【考点】全称量词与存在性量词【答案】D 【解析】全称命题的否定是存在性命题，所以命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤的否定为：:p ⌝ 0x ∃∈R ，0sin 1x >故选D（3）若抛物线22(0)y px p =>的焦点与双曲线222x y -=的右焦点重合，则p 的值为（）A B ．2 C ．4 D ．【难度】1 【考点】抛物线【答案】C 【解析】由题意得：抛物线22(0)y px p =>的焦点为(,0)2p双曲线222x y -=的右焦点为(2,0) 所以，4p = 故选C（4）如图所示的程序框图表示的算法功能是（）A ．计算123456S =⨯⨯⨯⨯⨯的值B ．计算12345S =⨯⨯⨯⨯的值C ．计算1234S =⨯⨯⨯的值D ．计算1357S =⨯⨯⨯的值【难度】2【考点】算法和程序框图【答案】B 【解析】程序执行过程如下：1,2S t ==，符合条件100S ≤，进入循环体； 122,3S t =⨯==，符合条件100S ≤，进入循环体； 236,4S t =⨯==，符合条件100S ≤，进入循环体； 6424,5S t =⨯==，符合条件100S ≤，进入循环体； 245120,6S t =⨯==，不符合条件100S ≤，跳出循环体；输出120S =；所以该程序是计算12345S =⨯⨯⨯⨯的值，故选B （5）已知113log 2x =，1222x -=，3x 满足3331()log 3x x =，则（）A ．123x x x <<B ．132x x x <<C ．213x x x <<D ．312x x x << 【难度】2【考点】零点与方程【答案】A 【解析】分别作出13log y x =，2x y =，1()3x y =，3log y x =的图象有图可知：110x -<<，201x <<，312x << 所以，123x x x << 故选A（6）函数ππ()2sin()cos()66f x x x =--图象的一条对称轴方程是（）A ．π6x =B. π3x =C. 5π12x =D. 2π3x = 【难度】2【考点】三角函数的图像与性质【答案】C 【解析】把选项依次代入函数ππ()2sin()cos()66f x x x=--只有C选项得到的值为1故选C（7）已知实数x，y满足20,20,0,x yx yy t+≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩其中0t>．若3z x y=+的最大值为5，则z的最小值为（）A．52B．1C．0D．1-【难度】2【考点】线性规划【答案】D【解析】作出可行域如下图：由题意可知当z取最大值时，目标函数为：35y x=-+联立235y xy x=⎧⎨=-+⎩得：(1,2)；所以2t=联立22y xy=-⎧⎨=⎩得：(1,2)-，代入目标函数可求得：min1z=-故选D（8）已知边长为3的正方形ABCD与正方形CDEF所在的平面互相垂直，M为线段CD上的动点（不含端点），过M作//MH DE交CE于H，作//MG AD交BD于G，连结GH．设CM x=(03)x<<，则下面四个图象中大致描绘了三棱锥C GHM-的体积y与变量x变化关系的是（）【难度】3 【考点】函数综合【答案】A【解析】如图所示：由题意得：CM MH x ==,3DM GM x ==-;11(3)22GMH S GM MH x x ∆=⋅=-231111(3)(3)3326C MGH GMH V S CM x x x x x -∆=⋅=⋅-⋅=-1()(2)2V x x x '=-，所以x(0,2) 2 (2,3)3()f x '+-()f x(0)0f =单增单减(3)0f =故选A 二、填空题：（9）i 为虚数单位，计算1i1i+-= ．【难度】1【考点】复数综合运算【答案】i【解析】1i (1i)(1+i)21i (1i)(1+i)2ii ++===-- 故答案为i（10）已知平面向量a ，b 满足1==a b ，a 与b 的夹角为60︒，则()⋅+=a a b ．【难度】1【考点】数量积的应用【答案】32【解析】2()cos ,a a b a a b a a b a b ⋅+=+⋅=+⋅⋅<>1311122=+⨯⨯= 故答案为32（11）圆22:(2)(2)8C x y -+-=与y 轴相交于,A B 两点，则弦AB 所对的圆心角的大小为．【难度】2【考点】直线与圆的位置关系【答案】90 【解析】由题意得：令0y =，解得：0x =或4x =即(0,0)A ，(4,0)B ，4AB =，又CA CB ==所以，ABC ∆为等腰直角三角形，其中90BCA ∠= 故答案为90（12）一个四棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为正三角形，则该四棱锥的体积是，四棱锥侧面中最大侧面的面积是．【难度】2【考点】空间几何体的三视图与直观图【答案】36；74【解析】由三视图可知，该几何体是一个四棱锥，直观图如下：其中底面是边长为1的正方形，高为32 PH=其体积为13311326V=⨯⨯⨯=;由直观图可知，四个侧面分别为：,,,PAB PBC PCD PDA∆∆∆∆这四个三角形均可看成以P为顶点的三角形，显然，PBC∆的高PE是四个三角形最长的高，所以2113711222PBCS BC PE∆⎛⎫==⨯+=⎪⎪⎝⎭37（13）稿酬所得以个人每次取得的收入，定额或定率减除规定费用后的余额为应纳税所得额，每次收入不超过4000元，定额减除费用800元；每次收入在4000元以上的，定率减除20%的费用.适用20%的比例税率，并按规定对应纳税额减征30%，计算公式为：（1）每次收入不超过4000元的：应纳税额=（每次收入额－800）×20%×（1－30%）（2）每次收入在4000元以上的：应纳税额=每次收入额×（1－20%）×20%×（1－30%）. 已知某人出版一份书稿，共纳税280元，这个人应得稿费(扣税前．．．)为元．【难度】3 【考点】函数综合【答案】2800 【解析】由题意得：设此人应得稿费(扣税前．．．)为x 元先假设此人一份书稿稿费(扣税前．．．)符合条件（1），即4000x ≤ 则：280(800)20%(130%)x =-⨯⨯-，解得：28004000x =≤，符合条件（1）再假设此人一份书稿稿费(扣税前．．．)符合条件（2），即4000x > 则：280(120%)20%(130%)x =⋅-⨯⨯-，解得：25004000x =≤，不符合条件（2）故答案为2800（14）记12x x -为区间12[,]x x 的长度．已知函数2xy =，x ∈[]2,a -(0a ≥)，其值域为[],m n ，则区间[],m n 的长度的最小值是．【难度】3【考点】函数的定义域与值域【答案】3 【解析】由题意得，函数2xy =的图像如图所示：当01a ≤≤时，函数2xy =的值域为[1,4]，此时[],m n 的长度为3；当1a >时，函数2xy =的值域为[1,()]f a ，此时[],m n 的长度大于3；故答案为3 三、解答题：（15）在ABC ∆中，π3A =，6cos 3B =，6BC =．（Ⅰ）求AC 的长；（Ⅱ）求ABC ∆的面积．【难度】3【考点】解斜三角形【答案】见解析【解析】（Ⅰ）因为6cos 3B =，(0,)B ∈π，又22sin cos 1B B +=，所以3sin 3B =.由正弦定理得，sin sin AC BC B A =.33=. 所以4AC =.（Ⅱ）在ABC ∆中，sin sin(60)C B =+sin cos60cos sin 60B B =+13sin 2B B ==133623+32.所以1sin 2ABC S AC BC C ∆=⋅=1462⨯⨯⨯3+32=23+62. （16）某次考试结束后，为了解甲、乙两所学校学生的数学考试情况，随机抽取甲、乙两校各10名学生的考试成绩，得茎叶图如图所示（部分数据不清晰）：（Ⅰ）请根据茎叶图判断哪个学校的数学成绩平均水平较高（直接写出结果）；（Ⅱ）若在抽到的这20名学生中，分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的学生，求抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率．【难度】3 【考点】概率综合【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）从茎叶图可以看出，乙校10名学生的考试成绩的平均分高于甲校10名学生的考试成绩平均分，故乙校的数学成绩整体水平较高．（Ⅱ）设事件M ：分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的同学，抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩．由茎叶图可知，甲校成绩不低于90分的同学有2人，从小到大依次记为12,A A ；乙校成绩不低于90分的同学有5人，从小到大依次记为12345,,,,B B B B B ．其中121234592,93,90,91,95,96,98.A A B B B B B分别从甲、乙两校各随机抽取1名成绩不低于90分的同学共有11121314152122232425,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B 这10种可能．其中满足“抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩”共有11122122,,,A B A B A B A B 这4种可能．所以42()105P M ==．即分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的同学，抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率为25. （17）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，各个侧面均是边长为2的正方形，D 为线段AC 的中点．（Ⅰ）求证：BD ⊥平面11A ACC ；（Ⅱ）求证：直线1AB ∥平面D BC 1；（Ⅲ）设M 为线段1BC 上任意一点，在D BC 1内的平面区域（包括边界）是否存在点E ，使CE ⊥DM ，并说明理由．【难度】3【考点】立体几何综合【答案】见解析【解析】（Ⅰ）证明：因为三棱柱的侧面是正方形，所以11,CC BC CC AC ,BC AC C . 所以1CC 底面ABC ．因为BD 底面ABC ，所以1CC BD ．由已知可得，底面ABC 为正三角形．因为D 是AC 中点，所以BDAC ．因为1AC CC C ，所以BD平面11ACC A ．（Ⅱ）证明：如图，连接1B C 交1BC 于点O ，连接OD ．显然点O 为1B C 的中点．因为D 是AC 中点，所以1//AB OD ．又因为OD平面1BC D ，1AB 平面1BC D ，所以直线1//AB 平面1BC D ．（Ⅲ）在D BC 1内的平面区域（包括边界）存在一点E ，使CE ⊥DM ．此时点E 是在线段1C D 上.证明如下：过C 作1CE C D ⊥交线段1C D 于E ，由（Ⅰ）可知BD平面11ACC A ，而CE ⊂平面11ACC A ，所以BD CE ．又1CE C D ⊥，1BDC D D ，所以CE 平面D BC 1．又DM ⊂平面D BC 1，所以CE ⊥DM ．（18）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a =，1n n a S +=，n *∈N .（Ⅰ）写出2a ，3a ，4a 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）已知等差数列{}n b 中，有22b a =， 33b a =，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T ．【难度】3【考点】数列综合应用【答案】见解析【解析】（Ⅰ）解：因为14a =，1n n a S +=，所以2114a S a ===，3212448a S a a ==+=+=，4312344816a S a a a ==++=++=．（Ⅱ）当2n ≥时，11222n n n n n n a S S +-=-=-=．又当1n =时，114a S ==．所以4,1,2, 2.n n n a n =⎧=⎨≥⎩（Ⅲ）依题意，224b a ==，338b a ==.则由11428b d b d +=⎧⎨+=⎩得，10b =，4d =,则4(1)n b n =-. 所以20,1,(1)2, 2.n n n n a b n n +=⎧⋅=⎨-≥⎩所以2(1)2(*)n n n a b n n +⋅=-∈N .因为n T =1122334411...n n n n a b a b a b a b a b a b --++++++456120122232...(2)2(1)2n n n n ++=+⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯，所以567232122232...(2)2(1)2n n n T n n ++=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯.所以4567232222...2(1)2n n n T n ++-=+++++--⨯41332(12)(1)216(2)212n n n n n -++-=--⨯=---⨯- . 所以316(2)2n n T n +=+-⨯.（19）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点分别为12(2,0),(2,0)F F -2F 的直线l （斜率不为0）与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 的中点为D ，O 为坐标原点，直线OD 交椭圆于,M N 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当四边形12MF NF 为矩形时，求直线l 的方程．【难度】4【考点】圆锥曲线综合【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）由题意可得2222,,3,c c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得a =b =故椭圆的方程为22162x y +=．（Ⅱ）由题意可知直线l 斜率存在，设其方程为(2)y k x =-，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)M x y ，33(,)N x y --，由221,62(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(13)121260k x k x k +-+-=，所以21221213k x x k +=+．因为121224(4)13k y y k x x k-+=+-=+，所以AB 中点22262(,)1313k k D k k-++．因此直线OD 方程为30x ky +=0k ．由2230,1,62x ky x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得232213y k =+，333x ky =-．因为四边形12MF NF 为矩形，所以220F M F N ⋅=，即3333(2,)(2,)0x y x y -⋅---=．所以223340x y --=．所以222(91)4013k k+-=+．解得k =．故直线l的方程为2)y x =-．（20）已知函数()()e xa f x x x =+，a ∈R ．（Ⅰ）当0a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）当1a =-时，求证：()f x 在(0,)+∞上为增函数；（Ⅲ）若()f x 在区间(0,1)上有且只有一个极值点，求a 的取值范围．【难度】4【考点】导数的综合运用【答案】见解析【解析】解：函数()f x 定义域为{0}x x ≠，322()e x x x ax a f x x++-'=. （Ⅰ）当0a =时，()e x f x x =⋅，()f x '=(1)e x x +.所以(1)e,(1)2e f f '==.所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是e 2e(1)y x -=-，即2e e =0x y --.（Ⅱ）当1a =-时，()f x '=3221e x x x x x +-+. 设()g x =321x x x +-+，则2()321(31)(1)g x x x x x '=+-=-+.令()(31)(1)0g x x x '=-+>得，13x >或1x <-，注意到0x >，所以13x >. 令()(31)(1)0g x x x '=-+<得，注意到0x >，得103x <<. 所以函数()g x 在1(0,)3上是减函数，在1(,)3+∞上是增函数. 所以函数()g x 在13x =时取得最小值，且122()0327g =>. 所以()g x 在(0,)+∞上恒大于零.于是，当(0,)x ∈+∞，()f x '=3221e 0x x x x x+-+>恒成立. 所以当1a =-时，函数()f x 在()0,+∞上为增函数.（Ⅱ）问另一方法提示：当1a =-时，()f x '=3221e x x x x x +-+. 由于3210x x x +-+>在()0,+∞上成立，即可证明函数()f x 在()0,+∞上为增函数.（Ⅲ）（Ⅱ）322()e ()xx x ax a f x x ++-'=. 设()h x =32x x ax a ++-，2()32h x x x a '=++.(1) 当0a >时，()0h x '>在(0,)+∞上恒成立，即函数()h x 在(0,)+∞上为增函数.而(0)0h a =-<，(1)20h =>，则函数()h x 在区间()0,1上有且只有一个零点0x ，使0()0f x '=,且在0(0,)x 上，()0f x ，在0,1x 上，()0f x ，故0x 为函数()f x 在区间()0,1上唯一的极小值点;（2）当0a =时，当x ()0,1时，2()320h x x x '=+>成立，函数()h x 在区间()0,1上为增函数，又此时(0)0h =，所以函数()0h x >在区间()0,1恒成立，即()0f x ，故函数()f x 在区间()0,1为单调递增函数，所以()f x 在区间()0,1上无极值；（3）当0a <时，()h x =3232(1)x x ax a x x a x ++-=++-. 当()0,1x ∈时，总有()0h x >成立，即()0f x '>成立，故函数()f x 在区间()0,1上为单调递增函数，所以()f x 在区间()0,1上无极值.综上所述0a >.。

北京市西城区2015届高三下学期一模考试数学(文)试题含解析

北京市西城区2015年高三一模试卷数学(文科）第Ⅰ卷(共60分）一、选择题:本大题共8个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1。

设集合0,1{}A =，集合{|}B x x a =>，若A B =∅，则实数a 的范围是（）（A)1a ≤ （B ）1a ≥ （C)0a ≥（D ）0a ≤ 【答案】B 【解析】试题分析:因为A B =∅，所以0{|}x x a ∉>，且1{|}x x a ∉>，即0a ≥且1a ≥,从而1a ≥,选B.考点：集合的运算。

2.复数z 满足i 3i z ⋅=-,则在复平面内,复数z 对应的点位于( ）（A ）第一象限（B)第二象限 (C)第三象限（D ）第四象限【答案】C 【解析】试题分析：由i 3i z ⋅=-得3i13iz i -==--，对应点为(1,3)--，位于第三象限，选C 。

考点：复数运算3。

关于函数3()log ()f x x =-和()3xg x -=，下列说法中正确的是( ）（A ）都是奇函数 (B)都是偶函数（C ）函数()f x 的值域为R （D)函数()g x 的值域为R 【答案】C 【解析】试题分析：3()log ()f x x =-的定义域为(0)-∞，，所以()f x 为非奇非偶函数，()f x 在定义域上为单调减函数，值域为R ;()3xg x -=的定义域为(+)-∞∞，，且()3(),x g x g x -=≠±，所以()g x 为非奇非偶函数，()g x 在定义域上为单调减函数,值域为(0,).+∞；因此选C 。

考点：函数性质4.执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为3,则输出的n 的值为______。

(A ）4（B ）5 (C)6 （D ）7【答案】B 【解析】试题分析：第一次循环：9,2;x n ==第二次循环：27,3;x n ==第三次循环：81,4;x n ==第四次循环:243100,5;x n =>=结束循环，输出5,n =选B 。

北京市西城区2015届高三下学期一模考试数学(文)试题

北京市西城区2015年高三一模试卷数学（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合0,1{}A =，集合{|}B x x a =>，若AB =∅，则实数a 的范围是（）（A ）1a ≤ （B ）1a ≥ （C ）0a ≥ （D ）0a ≤ 【答案】B 【解析】试题分析：因为AB =∅，所以0{|}x x a ∉>，且1{|}x x a ∉>，即0a ≥且1a ≥，从而1a ≥，选B.考点：集合的运算.2.复数z 满足i 3i z ⋅=-，则在复平面内，复数z 对应的点位于（）（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限【答案】C 【解析】试题分析：由i 3i z ⋅=-得3i13iz i -==--，对应点为(1,3)--，位于第三象限，选C. 考点：复数运算3.关于函数3()log ()f x x =-和()3x g x -=，下列说法中正确的是（）（A ）都是奇函数（B ）都是偶函数（C ）函数()f x 的值域为R （D ）函数()g x 的值域为R 【答案】C 【解析】试题分析：3()log ()f x x =-的定义域为(0)-∞，，所以()f x 为非奇非偶函数，()f x 在定义域上为单调减函数，值域为R ；()3x g x -=的定义域为(+)-∞∞，，且()3(),x g x g x -=≠±，所以()g x 为非奇非偶函数，()g x 在定义域上为单调减函数，值域为(0,).+∞；因此选C.考点：函数性质4.执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为3，则输出的n 的值为______. （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7【答案】B 【解析】试题分析：第一次循环：9,2;x n ==第二次循环：27,3;x n ==第三次循环：81,4;x n ==第四次循环：243100,5;x n =>=结束循环，输出5,n =选B. 考点：循环结构流程图5.设,P Q 分别为直线0x y -=和圆22(6)2x y +-=上的点，则||PQ 的最小值为（）（A）（B）（C）（D ）4 【答案】A 【解析】试题分析：设圆心为C ，直线:0l x y -=，则||||C l PQ PC r d r -≥-≥-以选A.考点：直线与圆位置关系6.设函数()f x 的定义域为R ，则“x ∀∈R ，(1)()f x f x +>”是“函数()f x 为增函数”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】试题分析：由增函数定义知：若函数()f x 为增函数，则x ∀∈R ，(1)()f x f x +>，必要性成立；反之充分性不成立，如非单调函数()=[x]f x （取整函数），满足x ∀∈R ，(1)()f x f x +>，所以选B. 考点：充要关系7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是（）（A ）7 （B ）152 （C ）233 （D ）476【答案】D 【解析】试题分析：几何体为一个正方体截去一个角（三棱锥），所以体积为321147211326-⨯⨯⨯=，选D.考点：三视图8.已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是（）（A ）2枝玫瑰的价格高（B ）3枝康乃馨的价格高（C ）价格相同（D ）不确定【答案】A 【解析】试题分析：设1枝玫瑰与1枝康乃馨的价格分别为,x y 元，则侧(左)视图正(主)视图俯视图6324,442028,5x y x y x y x y +>+<⇒+>+< ，因此235(2)8()58850x y x y x y -=+-+>⨯-⨯=，因此2枝玫瑰的价格高，选A.考点：不等式比较大小第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.已知平面向量,a b 满足(1,1)=-a ，()()+⊥-a b a b ，那么|b |= ____.【解析】试题分析：22()()()()0||+⊥-⇒+⋅-=⇒=⇒=a b a b a b a b a b b |a |= 考点：向量运算10.函数22()sin cos f x x x =-的最小正周期是____. 【答案】π 【解析】试题分析：因为22()sin cos cos2f x x x x =-=-，所以其最小正周期是2=π.2π考点：三角函数周期11.在区间[2,1]-上随机取一个实数x ，则x 使不等式1|1|x -≤成立的概率为____. 【答案】13【解析】试题分析：102|1|x x ⇒≤≤-≤，又[2,1]x ∈-，所以[0,1]x ∈，因为测度为长度，所以所求概率为101.1(2)3-=--考点：几何概型概率12.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点是抛物线28y x =的焦点，且双曲线 C 的离心率为2，那么双曲线C 的方程为____；渐近线方程是____.【答案】2213y x -=,y =【解析】试题分析：抛物线28y x =的焦点为(2,0)，所以2c =，又双曲线 C 的离心率为2，所以1,a b =因此双曲线C 的方程为2213y x -=，渐近线方程是2203y x -=，即y =考点：双曲线方程及渐近线13.设函数20,1,()4,0.x x x f x x x x -⎧+>⎪=⎨⎪-<⎩则[(1)]f f -=____；函数()f x 的极小值是____. 【答案】103,2 【解析】试题分析：110[(1)](14)(3)333f f f f -=-+==+=，当0x >时，211()()1f x x f x x x'=+=-，，，由()0f x '=得1x =，（负值舍去），因此当0,1)(x ∈时，()0f x '<；当1,)(x +∞∈时，()0f x '>；从而函数()f x 在1x =取极小值为2；当0x <时，2()4x f x x -=-，，因此当2,0)(x ∈-时，()f x 单调递减；当(,2)x ∈-∞-时，()f x 单调递增；从而函数()f x 在2x =-取极大值为4；从而函数()f x 的极小值是2 考点：分段函数求值，函数极值14.某赛事组委会要为获奖者定做某工艺品作为奖品，其中一等奖奖品3件，二等奖奖品6件.制作一等奖和二等奖奖品所用原料完全相同，但工艺不同，故价格有所差异. 现有甲、乙两家工厂可以制作奖品（一等奖、二等奖奖品均符合要求)，甲厂收费便宜，但原料有限，最多只能制作4件奖品，乙厂原料充足，但收费较贵，其具体收费情况如下表：则组委会定做该工艺品的费用总和最低为元. 【答案】4900 【解析】试题分析：设在甲厂做一等奖奖品x 件，二等奖奖品y 件，则[0,3],[0,6],4,,x y x y x y N ∈∈+≤∈,组委会定做该工艺品的费用总和为500400800(3)600(6)100(6032)z x y x y x y =++-+-=--，可行域为一个直角梯形OABC 内整数点（包含边界）,其中(0,0),(3,0),(3,1),(0,4).O A B C 当直线100(6032)z x y =--过点(3,1)B 时费用总和取最小值：4900考点：线性规划求最值三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分13分）如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，且4AD DC =.（Ⅰ）求BD 的长；（Ⅱ）求sin CBD ∠的值.【答案】（Ⅰ）5104=BD（Ⅱ）sin CDB ∠=【解析】试题分析：（Ⅰ）在直角三角形ABC 中，易得5=AC ，从而有1=DC ，在BCD ∆中，由余弦定理，可得2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅223323123155=+-⨯⨯⨯=，即5104=BD （Ⅱ）在BCD ∆中，由正弦定理，得sin sin CD BD CBD C =∠，所以sin CDB ∠=试题解析：（Ⅰ）解：因为 90=∠ABC ，4=AB ，3=BC ，所以3cos 5C =，4sin 5C =，5=AC ， ..................... 3分又因为DC AD 4=，所以4=AD ，1=DC . (4)分在BCD ∆中，由余弦定理，B CAD得2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅ ………………… 7分223323123155=+-⨯⨯⨯=，所以 5104=BD . (9)分（Ⅱ）在BCD ∆中，由正弦定理，得sin sin CD BDCBD C=∠，所以154sin 5CBD=∠， ………………… 12分所以sin CDB ∠=………………… 13分考点：正余弦定理 16.（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足32a =，57S a =．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a 及n S ；（Ⅱ）若444,,m n a a a ++（*,m n ∈N ）成等比数列，求n 的最小值．【答案】（Ⅰ）24n a n =-,23n S n n =-（Ⅱ）6．【解析】试题分析：（Ⅰ）求等差数列{}n a 的通项公式，一般利用待定系数法，即设公差为d ，则可得方程组11122,15546,2a d a d a d +=⎧⎪⎨+⨯⨯=+⎪⎩解得12a =-，2d =，所以2(1)224n a n n =-+-⨯=-，212(1)232n S n n n n n =-+-⨯=-（Ⅱ）因为444,,m n a a a ++成等比数列，可得等量关系2(24)4(24)m n +=+，可看做二次函数21(2)22n m =+-，根据对称轴及正整数限制条件可得当2m =时，n 有最小值6．试题解析：（Ⅰ）解：设公差为d ，由题意，得11122,15546,2a d a d a d +=⎧⎪⎨+⨯⨯=+⎪⎩ ………………… 4分解得12a =-，2d =，…………………5分所以2(1)224n a n n =-+-⨯=-， ………………… 6分212(1)232n S n n n n n =-+-⨯=-． ………………… 7分（Ⅱ）解：因为444,,m n a a a ++成等比数列，所以2444m n a a a ++=， ………………… 9分即2(24)4(24)m n +=+， ………………… 10分化简，得21(2)22n m =+-， ………………… 11分考察函数21()(2)22f x x =+-，知()f x 在(0,)+∞上单调递增，又因为5(1)2f =，(2)6f =，*n ∈N ，所以当2m =时，n 有最小值6． ………………… 13分考点：等差数列的通项及和项 17.（本小题满分14分）如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为正方形，//EF AD ，平面ADEF ⊥平面ABCD ，且2BC EF =,AE AF =，点G 是EF 的中点. （Ⅰ）证明：AG ⊥CD ；（Ⅱ）若点M 在线段AC 上，且13AM MC=，求证：GM //平面ABF ；（Ⅲ）已知空间中有一点O 到,,,,A B C D G 五点的距离相等，请指出点O 的位置. (只需写出结论)FCA DBG EFCADBG EMN【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）点O 为线段GC 的中点. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由面面垂直性质定理，可得线面垂直：AG ⊥平面ABCD ，再由线面垂直性质定理可得AG ⊥CD .注意写全定理条件（Ⅱ）证明线面平行，一般利用其判定定理，即从线线平行出发，利用平几知识，可过点M 作MN //BC ，且交AB 于点N ，从而可推出GF //MN ，GF MN =.即四边形GFNM 是平行四边形. 所以 //GM FN .（Ⅲ）利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，可找出满足条件的点O 为GC 的中点. 试题解析：（Ⅰ）证明：因为AE AF =，点G是EF 的中点，所以 AG EF ⊥. …………………1分又因为 //EF AD ，所以 AG AD ⊥.…………………2分因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF 平面ABCD AD =，AG ⊂平面ADEF ，所以 AG ⊥平面ABCD . …………………4分因为 CD ⊂平面ABCD ，所以 AG ⊥CD . …………………5分（Ⅱ）证明：如图，过点M 作MN //BC ，且交AB 于点N ，连结NF ，因为13AM MC=，所以14MN AM BCAC==， …………………6分因为 2BC EF =，点G 是EF 的中点，所以 4BC GF =，又因为 //EF AD ，四边形ABCD 为正方形，所以 GF //MN ，GF MN =. 所以四边形GFNM 是平行四边形.所以 //GM FN . ……………8分又因为GM ⊄平面ABF ，FN ⊂平面ABF ，所以 GM //平面ABF . …………………11分（Ⅲ）解：点O 为线段GC 的中点. …………………14分考点：面面垂直性质定理，线面平行判定定理 18.（本小题满分13分）2014年12月28日开始，北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价. 具体如下表.（不考虑公交卡折扣情况）已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过5元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选出120人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示．（Ⅰ）如果从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中任选1人，试估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率；（Ⅱ）已知选出的120人中有6名学生，且这6人乘坐地铁的票价情形恰好与按票价．．．从．这．120人中．．分层．．抽样．．所选的结果相同，现从这6人中随机选出2人，求这2人的票价和恰好为8元的概率；（Ⅲ）小李乘坐地铁从A 地到陶然亭的票价是5元，返程时，小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是5元，假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s 公里，试写出s 的取值范围．(只需写出结论)【答案】（Ⅰ）56（Ⅱ）415（Ⅲ）(20,22]s ∈【解析】试题分析：（Ⅰ）由票价统计图知120人中票价为3元、4元、5元的人数分别为60，40，20（人），所以票价小于5元的有6040100+=（人）．从而根据古典概型概率计算得56（Ⅱ）先根据分层抽样，确定6名学生中票价为3元、4元、5元的人数分别为3，2，1（人）.再根据枚举法列出基本事件，最后确定2人的票价和恰好为8元基本事件包含数，求出其概率（Ⅲ）由题意得乘坐地铁12公里至22公里（含）5元，所以(12,22]s ∈,乘公共电汽车10公里（含）内2元；10公里以上部分，每增加1元可乘坐5公里（含）.因此5元乘公里数必大于10+52=20⨯，所以(20,22]s ∈试题解析：（Ⅰ）解：记事件A 为“此人乘坐地铁的票价小于5元”， …………………1分由统计图可知，得120人中票价为3元、4元、5元的人数分别为60，40，20（人）. 所以票价小于5元的有6040100+=（人）． …………………2分故120人中票价小于5元的频率是10051206=．所以估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率5()=6P A ． …………………4分（Ⅱ）解：记事件B 为“这2人的票价和恰好为8元”， …………………5分由统计图，得120人中票价为3元、4元、5元的人数比为60:40:203:2:1=，则6名学生中票价为3元、4元、5元的人数分别为3，2，1（人）. …………6分记票价为3元的同学为,,a b c ，票价为4元的同学为,d e ，票价为5元的同学为f ，从这6人中随机选出2人，所有可能的选出结果共有15种，它们是：(,),(,)c a b a ， (,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)d e f c d e f d e f e a a a b b b b c c c d , (,),(,)f f d e . …………………8分其中事件B 的结果有4种，它们是： (,),(,),(,),(,)f f f e a b c d . …………9分所以这2人的票价和恰好为8元的概率为4()15P B =. ………………… 10分（Ⅲ）解：(20,22]s ∈． …………………13分考点：古典概型概率，分层抽样 19.（本小题满分14分）设点F 为椭圆2222 1(0)x y E a b a b+=>>：的右焦点，点3(1,)2P 在椭圆E 上，已知椭圆E 的离心率为12.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设过右焦点F 的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，记ABP ∆三条边所在直线的斜率的乘积为t ，求t 的最大值.【答案】（Ⅰ）22143x y +=（Ⅱ）964【解析】试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，一般需列出两个独立条件：21=a c 及点)23,1(P 在椭圆上，解方程组得椭圆方程为 22143x y +=. （Ⅱ）由题意得需根据直线l 斜率表示ABP ∆三条边所在直线的斜率的乘积，由直线与椭圆联立方程组解得2221438k k x x +=+，212241234k x x k -=+，从而PA PB t k k k =⨯⨯1212332211y y k x x --=⨯⨯--12121233[(1)][(1)]22()1k x k x k x x x x --⨯--=⨯-++122121239(2)24[]()1k x x k k x x x x -+-+=+⨯-++233()44k k k k =--⨯=--，再根据二次函数求出其最大值.试题解析：（Ⅰ）解：设22b ac -=，由题意，得21=a c ，所以 2a c =，b =. …………………2分则椭圆方程为 2222143x y c c+=，又点)23,1(P 在椭圆上，所以2213144c c+=，解得21c =，故椭圆方程为 22143x y +=. ………………… 5分（Ⅱ）解：由题意，直线l 的斜率存在，右焦点(1,0)F ， ………………… 6分设直线l 的方程为(1)y k x =-，与椭圆的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)， ……… 7分由 22(1),1,43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，得 2222(34)84120k x k x k +-+-=. ………………… 8分由题意，可知0>∆，则有 2221438kk x x +=+，212241234k x x k -=+， ………… 9分所以直线PA 的斜率11321PAy k x -=-，直线PB 的斜率22321PB y k x -=-， …………… 10分所以PA PB t k k k =⨯⨯1212332211y y k x x --=⨯⨯--12121233[(1)][(1)]22()1k x k x k x x x x --⨯--=⨯-++2121212121239[()1](2)24()1k x x x x k x x k x x x x -++-+-+=⨯-++122121239(2)24[]()1k x x k k x x x x -+-+=+⨯-++233()44k k k k =--⨯=--. ………………… 12分即 22339()4864t k k k =--=-++，所以当38k =-时，ABP ∆三条边所在直线的斜率的乘积t 有最大值964. ………14分考点：椭圆方程，直线与椭圆位置关系 20.（本小题满分13分）设*n ∈N ，函数ln ()n x f x x =，函数e ()xn g x x=，(0,)x ∈+∞.（Ⅰ）判断函数()f x 在区间(0,)+∞上是否为单调函数，并说明理由；（Ⅱ）若当1n =时，对任意的12,(0,)x x ∈+∞，都有12()()g x f x t ≤≤成立，求实数t 的取值范围；（Ⅲ）当2n >时，若存在直线l y t =：（t ∈R ），使得曲线()y f x =与曲线()y g x =分别位于直线l 的两侧，写出n 的所有可能取值. (只需写出结论) 【答案】（Ⅰ）不是单调函数（Ⅱ）1e et ≤≤（Ⅲ）{3,4} 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据导数研究函数单调性，先求导数：11ln ()n n xf x x +-'=，再求导函数零点1e nx =，列表分析得函数()f x 在区间1(0,e )n上为单调递增，区间1(e ,)n+∞上为单调递减.即函数()f x 在区间(0,)+∞上不是单调函数. （Ⅱ）先转化条件为：当(0,)x ∈+∞时，max min ()()g f x t x ≤≤，因此求实数t 的取值范围，就是分别求max min ()()g f x x ，，这可利用导数求函数最值（Ⅲ）由题意得：直线l 为曲线()y f x =与曲线()y g x =分割线，由（Ⅱ）得1()()ng f e n ≤，因此n 的所有可能取值为{3,4}试题解析：（Ⅰ）解：结论：函数()f x 在区间(0,)+∞上不是单调函数. …………………1分求导，得 11ln ()n n xf x x +-'=， …………………2分令 ()0f x '=，解得1e n x =.当x 变化时，()f x '与()f x 的变化如下表所示：所以函数()f x 在区间1(0,e )n上为单调递增，区间1(e ,)n+∞上为单调递减. 所以函数()f x 在区间(0,)+∞上不是单调函数. …………………4分（Ⅱ）解：当1n =时，函数ln ()x f x x =，e ()xg x x=，0x >.由题意，若对任意的12,(0,)x x ∈+∞，都有12()()g x f x t ≤≤恒成立，只需当(0,)x ∈+∞时，max min ()()g f x t x ≤≤. …………………5分因为 21ln ()xf x x-'=. 令()0f x '=，解得e x =.当x 变化时，()f x '与()f x 的变化如下表所示：所以max ()(e)ef x f ==. …………………7分又因为2e (1)()x x g x x-'=. 令 ()0g x '=，解得1x =.当x 变化时，()g x '与()g x 的变化如下表所示：所以min ()(1)e g x g ==. …………………9分综上所述，得1e et ≤≤. …………………10分（Ⅲ）解：满足条件的n 的取值集合为{3,4}. …………………13分考点：利用导数研究函数单调性，利用导数研究函数最值。

北京市西城区2015届高三一模考试数学文试题--答案

北京市西城区2015年高三一模试卷参考答案及评分标准高三数学（文科） 2015.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．C 3．C 4．B 5．A 6．B 7．D 8．A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．2 10．π11．13 12．2213y x -= 3y x =±13．1032 14．4900 注：第12，13题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为90=∠ABC ，4=AB ，3=BC ，所以3cos 5C =，4sin 5C =，5=AC ， ………………… 3分又因为DC AD 4=，所以4=AD ，1=DC . ………………… 4分在BCD ∆中，由余弦定理，得2222cos BD BC CD BC CD C=+-⋅ ………………… 7分223323123155=+-⨯⨯⨯=，所以 5104=BD . ………………… 9分（Ⅱ）在BCD ∆中，由正弦定理，得sin sin CD BDCBD C=∠，所以 410154sin 5CBD=∠， ………………… 12分所以 10sin 10CDB ∠=. ………………… 13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设公差为d ，由题意，得11122,15546,2a d a d a d +=⎧⎪⎨+⨯⨯=+⎪⎩………………… 4分解得12a =-，2d =， …………………5分所以2(1)224n a n n =-+-⨯=-， ………………… 6分212(1)232n S n n n n n =-+-⨯=-． ………………… 7分（Ⅱ）解：因为444,,m n a a a ++成等比数列，所以2444m n a a a ++=， ………………… 9分即2(24)4(24)m n +=+， ………………… 10分化简，得21(2)22n m =+-， ………………… 11分考察函数21()(2)22f x x =+-，知()f x 在(0,)+∞上单调递增，又因为5(1)2f =，(2)6f =，*n ∈N ，所以当2m =时，n 有最小值6． ………………… 13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为AE AF =，点G 是EF 的中点，所以 AG EF ⊥. …………………1分又因为 //EF AD ，所以 AG AD ⊥. …………………2分因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF 平面ABCD AD =，AG ⊂平面ADEF ，所以 AG ⊥平面ABCD . …………………4分FCA DBG EMN 因为 CD ⊂平面ABCD ，所以 AG ⊥CD . …………………5分（Ⅱ）证明：如图，过点M 作MN //BC ，且交AB 于点N ，连结NF ，因为13AM MC=，所以14MN AM BCAC==， …………………6分因为 2BC EF =，点G 是EF 的中点，所以 4BC GF =，又因为 //EF AD ，四边形ABCD 为正方形，所以 GF //MN ，GF MN =. 所以四边形GFNM 是平行四边形.所以 //GM FN . ……………8分又因为GM ⊄平面ABF ，FN ⊂平面ABF ，所以 GM //平面ABF . …………………11分（Ⅲ）解：点O 为线段GC 的中点. …………………14分18．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：记事件A 为“此人乘坐地铁的票价小于5元”， …………………1分由统计图可知，得120人中票价为3元、4元、5元的人数分别为60，40，20（人）.所以票价小于5元的有6040100+=（人）． …………………2分故120人中票价小于5元的频率是10051206=．所以估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率5()=6P A ． …………………4分（Ⅱ）解：记事件B 为“这2人的票价和恰好为8元”， …………………5分由统计图，得120人中票价为3元、4元、5元的人数比为60:40:203:2:1=，则6名学生中票价为3元、4元、5元的人数分别为3，2，1（人）. …………6分记票价为3元的同学为,,a b c ，票价为4元的同学为,d e ，票价为5元的同学为f ，从这6人中随机选出2人，所有可能的选出结果共有15种，它们是：(,),(,)c a b a ， (,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,(,)d e f c d e f d e f ea a ab b b bc c cd ,(,),(,)f f d e . …………………8分其中事件B 的结果有4种，它们是： (,),(,),(,),(,)f f f e a b c d . …………9分所以这2人的票价和恰好为8元的概率为4()15P B =. ………………… 10分（Ⅲ）解：(20,22]s ∈． …………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：设22b a c -=，由题意，得21=a c ，所以 2a c =，3b c =. …………………2分则椭圆方程为2222143x y c c +=，又点)23,1(P 在椭圆上，所以2213144c c+=，解得21c =，故椭圆方程为 22143x y +=. ………………… 5分（Ⅱ）解：由题意，直线l 的斜率存在，右焦点(1,0)F ， ………………… 6分设直线l 的方程为(1)y k x =-，与椭圆的交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ……… 7分由 22(1),1,43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，得 2222(34)84120k x k x k +-+-=. ………………… 8分由题意，可知0>∆，则有 2221438kk x x +=+，212241234k x x k -=+， ………… 9分所以直线PA 的斜率11321PAy kx -=-，直线PB 的斜率22321PB y k x -=-， …………… 10分所以PA PB t k k k =⨯⨯1212332211y y k x x --=⨯⨯-- 12121233[(1)][(1)]22()1k x k x k x x x x --⨯--=⨯-++2121212121239[()1](2)24()1k x x x x k x x k x x x x -++-+-+=⨯-++122121239(2)24[]()1k x x k k x x x x -+-+=+⨯-++ 233()44k k k k =--⨯=--. ………………… 12分即 22339()4864t k k k =--=-++，所以当38k =-时，ABP ∆三条边所在直线的斜率的乘积t 有最大值964. ………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：结论：函数()f x 在区间(0,)+∞上不是单调函数. …………………1分求导，得 11ln ()n n xf x x+-'=， …………………2分令 ()0f x '=，解得1e nx =.当x 变化时，()f x '与()f x 的变化如下表所示：x1(0,e )n1e n1(e ,)n+∞()f x ' +0 -()f x↗↘所以函数()f x 在区间1(0,e )n上为单调递增，区间1(e ,)n+∞上为单调递减.所以函数()f x 在区间(0,)+∞上不是单调函数. …………………4分（Ⅱ）解：当1n =时，函数ln ()xf x x =，e ()xg x x=，0x >.由题意，若对任意的12,(0,)x x ∈+∞，都有12()()g x f x t ≤≤恒成立，只需当(0,)x ∈+∞时，max min ()()g f x t x ≤≤. …………………5分因为 21ln ()xf x x -'=. 令()0f x '=，解得e x =.当x 变化时，()f x '与()f x 的变化如下表所示：x(0,e) e(e,)+∞()f x '+0 -()f x↗↘所以max 1()(e)ef x f ==. …………………7分又因为2e (1)()x x g x x -'=.令 ()0g x '=，解得1x =.当x 变化时，()g x '与()g x 的变化如下表所示：x(0,1)1(1,)+∞()g x '-0 +()g x↘↗所以min ()(1)e g x g ==. …………………9分综上所述，得1e et ≤≤. …………………10分（Ⅲ）解：满足条件的n 的取值集合为{3,4}. …………………13分。

2015年高三二模数学(文)北京市西城区试题Word版带解析

北京市西城区2015年高三二模文科数学试卷2015.5第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|10}A x x =->，集合3{|}B x x =≤，则A B =（）（A ）(1,3)- （B ）(1,3] （C ）[1,3) （D ）[1,3]- 【考点】集合的运算【难度】1 【答案】B 【解析】因为{|1}A x x => ，所以{|13}AB x x =<≤。

故选B 。

2．已知平面向量,,a b c 满足(1,1)=-a ，(2,3)=b ，(2,)k =-c ，若()//+a b c ，则实数k =（）（A ）4 （B ）4- （C ）8（D ）8-【考点】平面向量的线性运算，平面向量的坐标运算【难度】1 【答案】D 【解析】由已知条件有(1,4)a b +=，因(2,)k =-c 为 ()//a b c +所以有214k-= ，故选D 3. 设命题p ：函数1()e x f x -=在R 上为增函数；命题q ：函数()cos 2f x x =为奇函数. 则下列命题中真命题是（）（A ）p q ∧ （B ）()p q ⌝∨ （C ）()()p q ⌝∧⌝ （D ）()p q ∧⌝ 【考点】简单的逻辑联结词【难度】1 【答案】D 【解析】因1()x f x e -=在R 上是增函数，故p 命题为真；而()cos(2)cos2()f x x x f x -=-==,所以()f x 为偶函数，故q 命题为假，则q ⌝为真，从而()p q ∧⌝为真命题，选D.4．执行如图所示的程序框图，若输入的{1,2,3}n ∈，则输出的s 属于（）（A ）{1,2} （B ）{1,3} （C ）{2,3} （D ）{1,3,9}【考点】算法和程序框图【难度】1 【答案】A 【解析】当n=1时，经过判断后重新赋值得到n=3，所以输出的s=1；当n=2时经过判断后重新赋值得n=9，此时输出s=2；当n=3时，判断为是，直接输出s=1，所以s 的集合为｛1，2｝.选A5. 一个几何体的三视图中，正（主）视图和侧(左)视图如图所示，则俯视图不可能为（）（A ）（B ）（C ）（D ）【考点】空间几何体的三视图【难度】1 【答案】C 【解析】结合正视图和侧视图，且注意到正视图中间为虚线，可知应选C 6. 某生产厂商更新设备，已知在未来x 年内，此设备所花费的各种费用总和y （万元）与x 满足函数关系2464y x =+，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x为（）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【考点】均值定理的应用【难度】1 【答案】B 【解析】设年平均花费为t ，则2464164()32y x t x x x x+===+≥（当且仅当16x x=时，即x=4时，取等号）。

数学_2015年北京市东城区普通示范校高考数学模拟试卷(文科)(含答案)

2015年北京市东城区普通示范校高考数学模拟试卷（文科）一、选择题．（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1. 已知集合A＝{x∈R|−3<x<2}，B＝{x∈R|x2−4x+3≥0}，则A∩B＝（）A (−3, 1]B (−3, 1)C [1, 2)D (−∞, 2)∪[3, +∞)2. 已知复数z1＝a+2i，z2＝1−2i，若z1z2是纯虚数，则实数a的值为（）A −2B 1C 2D 43. “α=π3”是“cosα=12”的（）A 必要不充分条件B 充分不必要条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件4. 如图是一算法的程序框图，若此程序运行结果为s＝55，则在判断框中应填入关于k的判断条件是（）A k≤11B k≤10C k≤9D k≤85. 已知一个棱锥的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个棱锥的侧面积是（）A 4cm2B 12cm2C 8+4√2cm2D 4+4√2+2√3cm26. 已知f(x)＝2|x|+x2+a有唯一的零点，则实数a的值为（）A −3B −2C −1D 07. 已知直线y＝x−2与圆x2+y2−4x+3＝0及抛物线y2＝8x的四个交点从上到下依次为A、B、C、D四点，则|AB|+|CD|＝（）A 12B 14C 16D 188. 已知f(x)={x 2−4x+3,x≤0−x2−2x+3,x>0，不等式f(x+a)>f(2a−x)在[a, a+1]上恒成立，则实数a的取值范围是（）A (−∞, −2)B (−∞, 0)C (0, 2)D (−2, 0)二、填空题．（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9. 不等式组{x −y +1≥0x +y ≥1x ≤1表示的平面区域的面积为________．10. 设平面向量a →=(1, 2)，b →=(−2, y)，若a →⊥b →，则|2a →−b →|＝________．11. 在等差数列{a n }中，a 1=3，a 4=2，则a 4+a 7+...a 3n+1等于________．12. 直线x −√3y −4=0被圆(x −2)2+y 2=4截得的弦长为________．13. 已知0<x <π，且sin2x =−725，则sin(π4−x)的值为________． 14. 已知数集A ＝{a 1, a 2, a 3, a 4, a 5}(0≤a 1<a 2<a 3<a 4<a 5)具有性质p ：对任意i ，j ∈Z ，其中1≤i ≤j ≤5，均有(a j −a i )∈A ，若a 5＝60，则a 3＝________．三、解答题．（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n −1(n ＝1, 2,…)．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)若数列{b n }满足b n+1＝a n +b n (n ＝1, 2,…)，b 1＝2，求数列{b n }的通项公式．16. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，满足c ＝1，cosBsinC −(a −sinB)cosC ＝0．（1）求C 的大小；（2）求a 2+b 2的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的值．17. 如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 把△ABD 折起，使A 点移到A 1点，且A 1在平面BCD 上的射影O 恰好在CD 上．(Ⅰ)求证：BC ⊥A 1D ；(Ⅱ)求证：平面A 1CD ⊥平面A 1BC ；(Ⅲ)若AB ＝10，BC ＝6，求三棱锥A 1−BCD 的体积．18. 设a ∈R ，已知函数f(x)＝ax 3−3x 2．(Ⅰ)当a ＝1时，求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)若对任意的x ∈[1, 3]，有f(x)+f′(x)≤0恒成立，求实数a 的取值范围．19. 已知椭圆W:x 22m+10+y 2m 2−2=1的左焦点为F(m, 0)，过点M(−3, 0)作一条斜率大于0的直线l 与W 交于不同的两点A 、B ，延长BF 交W 于点C ．(Ⅰ)求椭圆W 的离心率；(Ⅱ)求证：点A 与点C 关于x 轴对称．20. 已知定义在(1, +∞)上的函数f(x)＝x −lnx −2，g(x)＝xlnx +x ．（1）求证：f(x)存在唯一的零点，且零点属于(3, 4)；（2）若k∈Z，且g(x)>k(x−1)对任意的x>1恒成立，求k的最大值．2015年北京市东城区普通示范校高考数学模拟试卷（文科）答案1. A2. D3. B4. B5. D6. C7. B8. A9. 110. 511. n(5−n)212. 2√313. −4514. 3015.(I)因为S n＝2a n−1(n＝1, 2,…)，则S n−1＝2a n−1−1(n＝2, 3,…)，所以当n≥2时，a n＝S n−S n−1＝2a n−2a n−1，整理得a n＝2a n−1，由S n＝2a n−1，令n＝1，得a1＝2a1−1，解得a1＝1．所以{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，可得a n=2n−1(II)因为a n=2n−1，由b n+1＝a n+b n(n＝1, 2,…)，得b n+1−b n=2n−1，由累加得b n＝b1+(b2−b1)+(b3−b2)+...+(b n−b n−1)=2+1−2n−11−2=2n−1+1,(n≥2)，当n＝1时也满足，所以b n=2n−1+1．16. cosBsinC−(a−sinB)cosC＝0，即有sinBcosC+cosBsinC＝acosC，即sin(B+C)＝acosC，即sinA＝acosC．由正弦定理可知：asinA =csinC=1cosC，由于c＝1，则sinC＝cosC，即tanC＝1，C是三角形内角，∴ C=π4．由余弦定理可知：c2＝a2+b2−2abcosC，得1＝a2+b2−√2ab，又ab≤a 2+b22，∴ (1−√22)(a2+b2)≤1，即a2+b2≤2+√2．当且仅当a＝b即A＝B=3π8时，a2+b2取到最大值为2+√2．17.(I)证明：因为A1在平面BCD上的射影O在CD上，所以A1O⊥平面BCD．又BC⊂平面BCD，所以BC⊥A1O．又BC⊥CO，CO∩A1O＝O，CO⊂平面A1CD，A1O⊂平面A1CD，所以BC⊥平面A1CD．又A1D⊂平面A1CD，所以BC⊥A1D．(II)证明：因为矩形ABCD，所以A1D⊥A1B．由(I)知BC⊥A1D．又BC∩A1B＝B，BC⊂平面A1BC，A1B⊂平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC．又A1D⊂平面A1CD，所以平面A1BC⊥平面A1CD．(III)因为A1D⊥平面A1BC，所以A1D⊥A1C．因为CD＝10，A1D＝6，所以A1C＝8．所以V A1−BCD =V D−A1BC=13×12×6×8×6=48．18.(I)当a＝1时，f(x)＝x3−3x2，则f′(x)＝3x2−6x，由f′(x)>0，得x<0，或x>2，由f′(x)<0，得0<x<2，所以f(x)的单调递增区间为(−∞, 0)，(2, +∞)，单调递减区间为(0, 2)．(II)依题意，对∀x∈[1, 3]，ax3−3x2+3ax2−6x≤0，这等价于，不等式a≤3x 2+6xx3+3x2=3x+6x2+3x对x∈[1, 3]恒成立．令ℎ(x)=3x+6x2+3x(x∈[1,3])，则ℎ(x)=3(x 2+4x+6)(x2+3x)2=−3[(x+2)2+2](x2+3x)2<0，所以ℎ(x)在区间[1, 3]上是减函数，所以ℎ(x)的最小值为ℎ(3)=56．所以a ≤56，即实数a 的取值范围为(−∞,56]． 19.(I)由题意(2m +10)−(m 2−2)＝m 2(m <0)，解得m ＝−2．所以椭圆W:x 26+y 22=1．离心率e =ca =2√6=√63．(II)设直线l 的方程为y ＝k(x +3)．联立{y =k(x +3)x 26+y 22=1得(1+3k 2)x 2+18k 2x +27k 2−6＝0．由直线l 与椭圆W 交于A 、B 两点，可知△＝(18k 2)2−4(1+3k 2)(27k 2−6)>0，解得k 2<23．设点A ，B 的坐标分别为(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，则x 1+x 2=−18k 21+3k 2，x 1x 2=27k 2−61+3k 2，y 1＝k(x 1+3)，y 2＝k(x 2+3)．因为F(−2, 0)，设点A 关于x 轴的对称点为C′，则C′(x 1, −y 1)，所以FC ′→=(x 1+2,−y 1)，FB →=(x 2+2,y 2)．又因为(x 1+2)y 2−(x 2+2)(−y 1)＝(x 1+2)k(x 2+3)+(x 2+2)k(x 1+3)＝k[2x 1x 2+5(x 1+x 2)+12]=k[54k 2−121+3k 2+−90k 21+3k 2+12]=k(54k 2−12−90k 2+12+36k 2)1+3k 2=0，所以B ，F ，C′共线，从而C 与C′重合，故点A 与点C 关于x 轴对称．20. 证明：令f(x)＝0，得：x −2＝lnx ，画出函数y ＝x −2，y ＝lnx 的图象，如图示：∴ f(x)存在唯一的零点，又f(3)＝1−ln3<0，f(4)＝2−ln4＝2(1−ln2)>0，∴ 零点属于(3, 4)；由g(x)>k(x −1)对任意的x >1恒成立，得：k <xlnx+xx−1，(x >1)，令ℎ(x)=xlnx+xx−1，(x >1)，则ℎ′(x)=x−lnx−2(x−1)2=f(x)(x−1)2，设f(x0)＝0，则由（1）得：3<x0<4，∴ ℎ(x)在(1, x0)递减，在(x0, +∞)递增，而3<ℎ(3)=31n3+32<4，83<ℎ(4)=41n4+43<4，∴ ℎ(x0)<4，∴ k的最大值是3．。

2015北京高考数学模拟题二(文科)

2015北京高考模拟二（文科）数学第Ｉ卷（共50分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知,,i ∈a b R 是虚数单位．若i a +＝2i b -，则2(i)a b +=（）（A ）34i - （B ）34i + （C ）43i - （D ）43i +（2）设集合2{|20},{|14}A x x x B x x =-<=≤≤，则A B =（）（A ）(0,2]（B ）(1,2)（C ）[1,2)（D ）(1,4)（3）函数()f x =）（A ）(0,2)（B ）(0,2]（C ）(2,)+∞（D ）[2,)+∞（4）用反证法证明命题：“设,a b 为实数，则方程30x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是（）（A ）方程30x ax b ++=没有实根（B ）方程30x ax b ++=至多有一个实根（C ）方程30x ax b ++=至多有两个实根（D ）方程30x ax b ++=恰好有两个实根（5）已知实数,x y 满足(01)x ya a a <<<，则下列关系式恒成立的是（）（A ）33x y >（B ）sin sin x y >（C ）22ln(1)ln(1)x y +>+（D ）221111x y >++（6）已知函数log ()(,0,1)a y x c a c a a =+>≠为常数，其中的图象如右图，则下列结论成立的是（）（A ）0,1a c >>（B ）1,01a c ><<（C ）01,1a c <<> （D ）01,01a c <<<<（7）已知向量(3,)m ==a b ．若向量,a b 的夹角为π6，则实数m =（）（A ）（B（C ）0（D ）（8）对于函数()f x ，若存在常数0a ≠，使得x 取定义域内的每一个值，都有()(2)f x f a x =-，则称()f x 为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是（）（A ）()f x =（B ）3()f x x = （C ）()tan f x x =（D ）()cos(1)f x x =+二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共25分．9.如图，在边长为1的正方形中，随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为___________10.函数22cos y x x =+的最小正周期为．11.一个六棱锥的体积为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为．12.圆心在直线20x y -=上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为C 的标准方程为．13.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且||FA c =，则双曲线的渐近线方程为．14.已知,x y 满足约束条件10,230,x y x y --≤⎧⎨--≥⎩当目标函数z ax by =+(0,0)a b >>在该约束条件下取到最小值22a b +的最小值为________________三、解答题：本大题共6小题，共75分． 15.（本小题满分13分）海关对同时从A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如右表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．（Ｉ）求这6件样品中来自（II ）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ．已知π3,cos 2a A B A ===+．（Ｉ）求b 的值；（II ）求ABC △的面积．如图，四棱锥P ABCD -中，1,,,,2AP PCD AD BC AB BC AD E F ⊥==平面∥分别为线段,AD PC 的中点．（Ｉ）求证：AP BEF ∥平面；（II ）求证：BE PAC ⊥平面．FEPDCBA在等差数列{}n a 中，已知公差12a =，2a 是1a 与4a 的等比中项．（Ｉ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设(1)2n n n b a +=，记1234(1)n n nT b b b b b =-+-+-+-…，求n T ．设函数1()ln 1x f x a x x -=++ ，其中a 为常数．（Ｉ）若0a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（II ）讨论函数()f x 的单调性．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，直线y x =被椭圆C截得的线段长为5．（Ｉ）求椭圆C 的方程；（II ）过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点（A ，B 不是椭圆C 的顶点）．点D 在椭圆C 上，且AD AB ⊥，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点．（i ）设直线BD ，AM 的斜率分别为12,k k ，证明存在常数λ使得12k k λ=，并求出λ的值；（ii ）求OMN △面积的最大值．文科数学参考答案1、A2、C3、C4、A5、A6、C7、B8、D 19.0.1810、π 11、12 12、()()22214x y -+-=13.【解析】解：10230x y x y --≤⎧⎨--≥⎩求得交点为()2,1，则2a b +=即圆心()0,0到直线20a b +-=的距离的平方2224==，14、y x =±14、【解析】解：由已知得2P b ==，抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为,2P c ⎛⎫⎪⎝⎭，即(),c b -代入双曲线方程为22221c b a b-=得222c a =，1ba ∴=∴渐近线方程为y x =±．故答案为y x =±．15．（Ⅰ）各地区抽取商品的比例为：::50:150:1001:3:2A B C == 按照分层抽样，各地区抽取商品数为：132:61,:63,:62,666A B C ⨯=⨯=⨯= （Ⅱ）设各地的商品数为：12312,,,,,A B B B C C 基本事件空间为：()()()()()()()123121213,,,,,,,,,,,,A B A B A B A C A C B B B B ()()()111223,,,,,B C B C B B ,()()()()()2122313212,,,,,,,,,,B C B C B C B C C C 共15个．样本事件空间为：()()()()12132312,B ,,,,,,B B B B B C C所以这两件商品来自同一地区的概率为：()415P A =16．（Ⅰ）由题意知：sin 3A ==sinB sin(A )sinAcos cos sin cos 222A A πππ=+=+==又正弦定理得：sinBsin sin sin a b a b A B A=∴==（Ⅱ）由余弦定理得：2222cos 902b c a A c bc +-==⇒-+=，12c c ∴==又因为2B A π=+为钝角，所以b c >，c =所以1sin 2ABCSab B ==17．（Ⅰ）连接AC 交BE 于点O ，连接OF ，不妨设1AB BC ==，则2AD =，,,AB BC AD BC =∴∥四边形ABCE 为菱形又O F ，分别为中点，OF AP ∴∥OF ∴⊆平面BEF,AP ∥平面BEF（Ⅱ）,CD AP PCD ⊥∴⊥面⊆面PCD,AP CD,,BC ED BC ED BCDE =∴∥为平行四边形，,BE CD BE PA ∴∴⊥∥又ABCE BE AC ∴⊥为菱形，又,,PA AC A PA AC PAC =∴⊥∩⊆平面PAC,BE 平面18．（Ⅰ）由题意知{}n a 为等差数列，设1(n 1)d,n a a =+-2a 为1a 与4a 的等比中项()()22214111103,a a a a a d a a d ∴=⨯≠⇒+=+且2d =解得：12a =()2122n a n n ∴=+-⨯=（Ⅱ）由（1）知：()()122,1n n n n a n b a n n +∴===+①当n 为偶数时：()()()()()()()()()()2122334+1213435+11224262+22246+222222n T n n n n n n n nn n n =-⨯+⨯-⨯++=⨯-++-++--++⎡⎤⎣⎦=⨯+⨯+⨯+⨯=⨯++++⋅+=⨯=……………………②当n 为奇数时：()()()()()()()()()()()()()21223341213435+(1)21224262+(1)212246+111212122122n T n n n n n n n n n n n n n n n n n n n =-⨯+⨯-⨯++=⨯-++-++---+-+⎡⎤⎣⎦=⨯+⨯+⨯+-⨯-+=⨯+++--+-+-⋅++=⨯-+=-……-………………综上：2221,222n n n n T n n n ⎧++-⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为奇数，为偶数 19．（Ⅰ）当0a =时()()()'212,11x f x f x x x -==++ ()1'1,2f =又()10f =，故直线过点()1,01122y x ∴=- （Ⅱ）()()()22'01a f x x x x =+>+①当0a =时，()()22'1f x x =+恒大于0，()f x 在定义域上单调递增．②当0a >时，()()()()222122'011a x x a f x x x x x ++=+=>++．()f x 在定义域上单调递增． ③当0a <时，()2222244840,a a a a ∆=+--=+≤即12a ≤- 开口向下，()f x 在定义域上单调递减．当102a -<<时，()1,2220.2a x a -+±∆>== 对称轴方程为221102a x a a+=-=-->且1210x x =>()f x ∴在⎛ ⎝⎭单调递减，⎝⎭单调递增1a a ⎛⎫--++∞ ⎪ ⎪⎝⎭单调递减．综上所述， 0a ≥时，()f x 在定义域上单调递增； 12a -≤时，()f x 在定义域上单调递减；102a -<<时，()f x 在⎛ ⎝⎭单调递减，11a a a a ⎛----+ ⎝⎭单调递增，1,a a ⎛⎫--++∞ ⎪ ⎪⎝⎭单调递减．20．（Ⅰ）2c e a ==，设,2c a n ==，则b n =，椭圆方程为2224x y n +=设y x =与椭圆在第一象限的交点为()00,A x y 则00x y =005x y ⎧=⎪⎪=∴⎨⎪=⎪⎩将A 代入椭圆得1n =，2214x y ∴+=（Ⅱ）方法一：（ⅰ）设AB l ：y kx =22,44y kx A B x y =⎛⎫⎛⎫⎧⇒⎨+=⎩ AD l：2211k y x y x k k +⎛⎫=-+⇒=-- ⎝2222222244224248240211414x yk k k k k x x k k k k k y x k ⎧+=⎛⎫++ ⎪⎪+⎪⎝⎭⇒++-=+⎨++⎪=-⎪⎩222216164D D k xx k +=⇒=+ 3D y =3124kk∴== BD l :4k y x ⎛⎫= ⎝ 令0y =m x M ⎛⎫⇒=⇒⎪⎭22kk ∴==-1211,22k k λ∴=-∴=-（ⅱ）⎛⎫⎪⎭，对BD l:4k y x ⎛⎫= ⎝令0x =得3Nky =319121224OMNkS k k∴==⨯+△ 11442k k k +=±≥当且仅当时取等号 []max 919248OMN S ∴=⨯=△方法二：（ⅰ）设()()1122,y ,D ,B x x y 则()11,A x y -- 1212y AD y k x x +=+221122221414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ()()()()12121212y y y y 04x x x x +-++-=即12121212y y y y 14x x x x -+⋅=--+114AD k k ∴⋅=-又AB AD ⊥1AB AD K K ∴⋅=- 14AB K K ∴=()111:y y BD L k x x -=-令0,y =111y x x k =-+ 令0x =，111y y k x =-()111111y ,0,0,y M x N k x k ⎛⎫∴-+- ⎪⎝⎭111211111111y y 2y y 11222ABAB x k k k k x k k x k ====--⋅--⋅1212k k ∴=-12λ∴=-（ⅱ）()111111y 1,0y 2OMNSx k x k ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭111y 4k x =11999y 888OMNSx ∴==== []max 98OMN S ∴=△当且仅当1x =“=”成立．。