【2019-2020年度】人教B版高中数学-选修4-4教学案-第一章圆的极坐标方程(Word)

【2019-2020年度】人教B版高中数学-选修4-4教学案-第一章圆的极坐标方程（Word）
[读教材·填要点]
圆的极坐标方程(1)圆心在极轴上的点(a,0)处，且圆过极点O，则圆的极坐标方
程为ρ＝2acos θ，－≤θ≤.
(2)圆心在点处，且过极点的圆的极坐标方程为ρ＝2asin_θ，
0≤θ≤π.
[小问题·大思维]
相等的圆在同一极坐标中，极坐标方程是否相同？
提示：不一定．相等的圆只要在极坐标系中圆心的位置不同，极
坐标方程就不一样．
[例1]
为直角坐标方程．
[思路点拨] 结合题意作出图形，设出动点M(ρ，θ)，根据条件建立ρ，θ的关系式化简可求．
[精解详析] 如图，设M(ρ，θ)为圆上除O，
B外的任意一点，连接OM，MB，则有|OB|＝4，|OM|
＝ρ，∠MOB＝θ－，∠BMO＝，
从而△BOM为直角三角形，
所以有|OM|＝|OB|cos∠MOB，
即ρ＝4cos＝－4sin θ，
故所求圆的极坐标方程为ρ＝－4sin θ，
∴x2＋y2＝－4y，
即x2＋(y＋2)2＝4为所求圆的直角坐标方程．
(1)圆的极坐标方程是曲线的极坐标方程的一种特殊情况，其求解过程同曲线的极坐标方程的求法相同．
(2)用代入法求极坐标方程，设出要求轨迹的点的极坐标和与之相关的点的坐标，用相关点的坐标表示要求点的坐标，然后代入相关点坐标所满足的关系式即可求得要求点的轨迹方程．
1．在极坐标系中，已知圆C的圆心为，半径为3，Q点在圆周上运动．
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)若P是OQ的中点，求P的轨迹．
解：(1)如图，设Q(ρ，θ)为圆上任意一点，连接DQ，OQ，则|OD|＝6，∠DOQ＝－θ，
或∠DOQ＝θ－，∠DQO＝.
在Rt△ODQ中，|OQ|＝|OD|cos，
即ρ＝6cos.
(2)若P的极坐标为(ρ，θ)，则Q点的极坐标为(2ρ，θ)．
∴2ρ＝6cos.所以ρ＝3cos.
∴P的轨迹是圆．
[例和直线l：ρsin＝.
(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．
[思路点拨] 本题考查极坐标与直角坐标的互化及直线极坐标方程的求法．解答本题需要先求出圆与直线的一般方程，然后化一般
方程为极坐标方程即可．
[精解详析] (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，
即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，
圆O 的直角坐标方程为：x2＋y2＝x ＋y ，
即x2＋y2－x －y ＝0.
直线l ：ρsin ＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1，
则直线l 的直角坐标方程为：y －x ＝1，
即x －y ＋1＝0.
(2)由得⎩⎨⎧ x ＝0，y ＝1，
故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为.
解答此类问题应先将已知条件中的极坐标方程化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下研究所要求解的问题，最后将直角坐标方程转化为极坐标方程即可．
2．在极坐标系中，直线ρsin ＝2被圆ρ＝4截得的弦长为( )
A ．2
B ．23
C ．4
D ．43
解析：选D 直线ρsin ＝2可化为x ＋y －2＝0，圆ρ＝4可化为x2＋y2＝16，由圆中的弦长公式得
2＝2 ＝4.
[对应学生用书P12]
一、选择题
1．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( )
A.
B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，－π2 C ．(1,0)
D ．(1，π)
解析：选B 该圆的直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，即x2＋(y ＋1)2＝1，故圆心的直角坐标为(0，－1)，化为极坐标为，故选B.
2．极坐标方程ρ＝cos所表示的曲线是( )
A．双曲线B．椭圆
C．抛物线D．圆
解析：选D ∵ρ＝cos＝cos θ＋sin θ，
ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，
∴x2＋y2＝x＋y，这个方程表示一个圆．
3．在极坐标方程中，曲线C的方程是ρ＝4sin θ，过点作曲线C的切线，则切线长为( )
A．4 B.7
C．2 D．23
解析：选C ρ＝4sin θ化为普通方程为x2＋(y－2)2＝4，点化为直角坐标为(2，2)，切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形．由勾股定理：切线长为＝2.
4．点M，N分别是曲线ρsin θ＝2和ρ＝2cos θ上的动点，则|MN|的最小值是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A ρsin θ＝2化为普通方程为y＝2，
ρ＝2cos θ化为普通方程为x2＋y2－2x＝0，
即(x－1)2＋y2＝1，
圆(x－1)2＋y2＝1上的点到直线上点的距离的最小值为圆心(1,0)到直线y＝2的距离减去半径，即为2－1＝1，故选A.
二、填空题
5．极坐标方程ρ＝sin θ＋2cos θ能表示的曲线的直角坐标方程为________________．
解析：由ρ＝sin θ＋2cos θ，得ρ2＝ρsin θ＋2ρcos θ，∴x2＋y2－2x－y＝0.
答案：x2＋y2－2x－y＝0
6．在极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ＝2sin θ过极点，一条直线l与圆相交于O，A两点，且∠AOx＝45°，则OA＝________.
解析：圆C的直角坐标方程为：x2＋(y－1)2＝1，
圆心(0,1)到直线OA：y＝x的距离为，
则弦长OA＝.
答案：2
7．在极坐标系中，已知圆C的圆心坐标为C，半径R＝，则圆C 的极坐标方程为________．
解析：将圆心C(2，)化成直角坐标为(1，)，
半径R＝，故圆C的方程为(x－1)2＋(y－)2＝5.
再将圆C的方程化成极坐标方程，
得(ρcos θ－1)2＋(ρsin θ－)2＝5.
化简，得ρ2－4ρcos－1＝0，即为所求的圆C的极坐标方程．答案：ρ2－4ρcos－1＝0
8．若直线3x＋4y＋m＝0与曲线ρ2－2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0没有公共点，则实数m的取值范围是_________________________________________________．解析：曲线ρ2－2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0的直角坐标方程是x2＋y2－2x＋4y＋4＝0，
即(x－1)2＋(y＋2)2＝1.
要使直线3x＋4y＋m＝0与该曲线没有公共点，
只要圆心(1，－2)到直线3x＋4y＋m＝0的距离大于圆的半径即可，
即>1，|m－5|>5，
解得m<0或m>10.
答案：(－∞，0)∪(10，＋∞)
三、解答题
9.如图，在圆心极坐标为A(4,0)，半径为4的圆中，
求过极点O的弦的中点轨迹的极坐标方程，并将其化为
直角坐标方程．
解：设M(ρ，θ)是轨迹上任意一点，连接OM并延长交圆A于点P(ρ0，θ0)，则有θ0＝θ，ρ0＝2ρ.
由圆心为(4,0)，半径为4的圆的极坐标方程为ρ＝8cos θ得
ρ0＝8cos θ0，所以2ρ＝8cos θ，即ρ＝4cos θ.
故所求轨迹方程是ρ＝4cos θ.
因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，由ρ＝4cos θ
得ρ2＝4ρcos θ，所以x2＋y2＝4x，即x2＋y2－4x＝0为轨迹的直角坐标方程．
10．已知圆的极坐标方程为：ρ2－4ρcos＋6＝0.
(1)将极坐标方程化为普通方程；
(2)若点P(x，y)在该圆上，求x＋y的最大值和最小值．
解：(1)原方程变形为：ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0，化成普通方程为x2＋y2－4x－4y＋6＝0.
(2)圆的参数方程为(α为参数)，
所以x＋y＝4＋2sin.
那么x ＋y 的最大值为6，最小值为2.
11．圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－sin θ.
(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)求经过圆O1，圆O2两个交点的直线的直角坐标方程． 解：(1)∵x＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，
由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ.
所以x2＋y2＝4x.
即x2＋y2－4x ＝0为圆O1的直角坐标方程．
同理x2＋y2＋y ＝0为圆O2的直角坐标方程．
(2)由⎩⎨⎧ x2＋y2－4x ＝0，x2＋y2＋y ＝0，
相减得过交点的直线的直角坐标方程为4x ＋y ＝0.。