二项式定理典型例题

二项式定理典型例题--
例1 在二项式n
x x ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+421的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项．
分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决．
解：二项式的展开式的通项公式为： 4324121C 21)(C r n r r n r r n r
n r x x x T --+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=
前三项的.2,1,0=r 得系数为：)1(8141C ,2121C ,1231
21-=====n n t n t t n n
， 由已知：)1(8
1123
12-+=+=n n n t t t ， ∴8=n
通项公式为
1431681,82,1,021C +-
+==r r r r
r T r x T 为有理项，故r 316-是4的倍数， ∴.8,4,0=r 依次得到有理项为228889448541256
121C ,83521C ,x x T x x T x T =====-．
例2 求62)1(x x -+展开式中5x 的系数．
分析：62)1(x x -+不是二项式，我们可以通过22)1(1x x x x -+=-+或)(12x x -+把它看成二项式展开．
解：方法一：[]6
262)1()1(x x x x -+=-+
-+++-+=4
4256)1(15)1(6)1(x x x x x 其中含5x 的项为55145355566C 15C 6C x x x x =+-． 含5
x 项的系数为6．
例3 求证：（1）1212C C 2C -⋅=+++n n n n n n n ；
（2）)12(1
1C 11C 31C 21C 1210
-+=++++++n n n n n n n n ． 分析：二项式系数的性质实际上是组合数的性质，我们可以用二项式系数的性质来证明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值．解决这两个小题的关键是通过组合数公式将等式左边各项变化的等数固定下来，从而使用二项式系数性质
n n n n n n 2C C C C 210
=++++ ．
解：（1）11C )!()!1()!1()!()!1(!)!(!!C --=+--⋅=--=-⋅
=k n k n n k n k n n k n k n k n k n k k ∴左边111101C C C ----+++=n n n n n n n
=⋅=+++=-----11111012)C C C (n n n n n n n 右边．
（2）)!
()!1(!)!(!!11C 11k n k n k n k n k k k n --=-⋅+=+ 11C 1
1)!()!1()!1(11+++=-++⋅+=k
n n k n k n n ． ∴左边112111C 1
1C 11C 11++++++++++=
n
n n n n n n =-+=++++=+++++)12(11)C C (C 111112111n n n n n n n 右边． 例4 展开5
2232⎪⎭⎫ ⎝
⎛-x x ． 例5 若将10)(z y x ++展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（ ）．
A ．11
B ．33
C ．55
D ．66
分析：10)(z y x ++看作二项式10])[(z y x ++展开．
解：我们把z y x ++看成z y x ++)(，按二项式展开，共有11“项”，即
∑=-⋅+=++=++100101010
10)(])[()(k k k k z y x C z y x z y x ． 这时，由于“和”中各项z 的指数各不相同，因此再将各个二项式k y x -+10)(展开，
不同的乘积k k k z y x C ⋅+-1010)
(（10,,1,0 =k ）展开后，都不会出现同类项． 下面，再分别考虑每一个乘积k k k z y x C ⋅+-1010)(（10,,1,0 =k ）．
其中每一个乘积展开后的项数由k y x -+10)(决定，
而且各项中x 和y 的指数都不相同，也不会出现同类项．
故原式展开后的总项数为66191011=++++ ，
∴应选D ．
例6 若n
x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+21的展开式的常数项为20-，求n ． 例7 1031⎪⎭⎫ ⎝
⎛+x x 的展开式的第3项小于第4项，则x 的取值范围是______________． 分析：首先运用通项公式写出展开式的第3项和第4项，再根据题设列出不等式即可．
解：使1031⎪⎭⎫ ⎝
⎛+x x 有意义，必须0>x ； 依题意，有43T T <，即3
373102382101)(1)(⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛x x C x x C ． ∴31123891012910x
x ⨯⨯⨯⨯⨯<⨯⨯（∵0>x ）． 解得56489
80<<x ． ∴x 的取值范围是⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
<<5648980x x ． ∴应填：5648980<<x ． 例8 n
x )21(+的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．
分析：根据已知条件可求出n ，再根据n 的奇偶性；确定二项式系数最大的项．
解：556)2(x C T n =，667)2(x C T n =，依题意有
8226655=⇒=n C C n n ．
∴8)21(x +的展开式中，二项式系数最大的项为444851120)2(x x C T ==． 设第1+r 项系数最大，则有
652
22211881188≤≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧⋅≥⋅⋅≥⋅++--r C C C C r r r r r r r r ． ∴5=r 或6=r （∵{}8,,2,1,0 ∈r ）．
∴系娄最大的项为：561792x T =，671792x T =．。