二项式定理典型例题

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(完整版)二项式定理典型例题解析

二项式定理概念篇

【例1】求二项式(a －2b )4的展开式. 分析：直接利用二项式定理展开.

解：根据二项式定理得(a －2b )4=C 04a 4+C 14a 3(－2b )+C 24a 2(－2b )2+C 34a (－2b )3

+C 44(－

2b )4

=a 4－8a 3b +24a 2b 2－32ab 3+16b 4.

说明：运用二项式定理时要注意对号入座，本题易误把－2b 中的符号“－”忽略.

【例2】展开(2x －

223x

. 分析一：直接用二项式定理展开式.

解法一：(2x －223x )5=C 05(2x )5+C 15(2x )4(－223x )+C 25(2x )3(－223x )2+C 35(2x )2(－2

23x )3+ C 4

5 (2x )(－223x )4+C 55(－2

23x

)5 =32x 5－120x 2+x 180－4135x

+78405

x －10

32243x . 分析二：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开.

解法二：(2x －223x

)5=105

332)34(x x

=10321x

［C 05(4x 3)5+C 15(4x 3)4(－3)+C 25(4x 3)3(－3)2+C 35(4x 3)2(－3)3+C 45(4x 3)(－3)4+ C 55(－3)5

］

321

(1024x 15－3840x 12+5760x 9－4320x 6+1620x 3－243) =32x 5－120x 2+x 180－4135x

+78405

x －10

32243x . 说明：记准、记熟二项式(a +b )n 的展开式是解答好与二项式定理有关问题的前提条件.对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便.

二项式定理典型例题(含解答)复习课程

解：二项式的展开式的通项公式为:

‘ 2n 3r

c r

丄 >r~4~ C n r X 2

前三项的r 0,1,2.得系数为: t 1 1,t 2

2 2n,t

3 c ：

2 2

8n(n 1)，

由已知：2t 2 t 1 t 3 n 1

1)，

••• n 8

16 3r

通项公式为

P 「

01,2

8,T r 1为有理项，故16

3r 是4的倍数,

1 2 1 2

C g -

8 x

x • 28

256

说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了 r 的取值，得到了有理项.类

• r 0,4,8.依次得到有理项为T i

,T 5 C 8^4X ^^X ,T 9 2 8 似地，(■： 2 3 3)100的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中

r 的取值，得到共有

典型例题四

1 6

例4( 1 )求(1 X) (1 X)展开式中X 的系数；(2)求(X 2)展开式中的常数项.

分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，视为两个二项展开式相乘；

(2)可以经过代数式变形转化为二项式.

(1)可以

解：(1) (1 x)3(1 x)10展开式中的X 5可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项:

用(1 X)3

展开式中的常数项乘以 (1 X)10

展开式中的 X 5

项，可以得到

C 10X 5 ；用 (1 x)3展开式中的一次项乘以(1 X)10展开式中的X 4项可得到(3x)(C ：o X 4)

3C 4°X 5 ；

用(1 X)中的X 乘以(1 X)展开式中的

3 2 x 可得到3x

二次项定理典型例题

典型例题一

例1在二项式i \

的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所

I 2如丿

有有理项.

分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决. 解：二项式的展开式的通项公式为：

前三项的r =0,1,2.

得系数为：t 1 = 1, t 2 = C ； — = — n,上3 = C ：—二一n(n -1),

2 2

4 8

1 由已知：2t

2 =匕 t

3 n=1 n(n-1), 8

n = 8

通项公式为

彳 16 J3r

人1二=0,1,2…8,T r 1为有理项，故16-3r 是4的倍数,

.r = 0,4,8.

依次得到有理项为「= x 4,T 5

= C ；丄4 x =色x,T g = c 8斗x ，

一 x 2.

24 8 28

256

说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了 r 的取值，得到了有理项.类似地，C ，2 33)100的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中 r 的取值，得到共有

17项.

典型例题二

分析：本题仍然属于抓通项公式解决特定项的问题，但是系数的绝对值的最大值或系数的最大值，需要对所有项的系数的变化规律进行研究. 由于系数的绝对值都是正数，我们

可以用作商来研究系数绝对值的变化情况，另外各项系数正负交替，又便于用系数绝对值的

大小变化抓系数的最大值.

30-5r

解：展开式的通项公式为：

T r ■! =C ；0(-1)r 2”

求v'x

>10

23：

的展开式中，系数绝对值最大的项以及系数最大的项.

系数的绝对值为 C ；o 2 -，记为t r d . 用前后两项系数的绝对值作商得：

二项式定理典型例题

二项式定理典型例题--

典型例题一

例1 在二项式n

x x ⎪⎭⎫ ⎝

⎛

21的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项．

分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决．

解：二项式的展开式的通项公式为：

324

121C 21)(C r

n r r n r

r n r n r x x x T --+=⎪⎭

⎫ ⎝⎛=

前三项的.2,1,0=r 得系数为：)1(8

141C ,2121C ,123121-=====n n t n t t n n ，由已知：)1(8

12312-+=+=n n n t t t ，

∴8=n 通项公式为

3168

1,82,1,02

1C +-

+==r r

r r r T r x T 为有理项，故r 316-是4的倍数，

∴.8,4,0=r

依次得到有理项为22

888944

541256

121C ,83521C ,x x T x x T x T =====-．说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r 的取值，得到了有理项．类

似地，100

3)32(+的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r 的取值，得到共有

17页

系数和为n 3．

典型例题四

例4 （1）求10

3)1()1(x x +-展开式中5

x 的系数；（2）求6)21

(++

x 展开式中的常数项．

分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式．

解：（1）10

3)1()1(x x +-展开式中的5

二次项定理10大典型例题

( 1 )知识点的梳理

1．二项式定理：

(a b)n C n0a n C n1a n 1b L C n r a n r b r L C n n b n(n N ) ，

2．基本概念：

①二项式展开式：右边的多项式叫做(a b)n的二项展开式

②二项式系数:展开式中各项的系数C n r (r 0,1,2, ,n).

③项数：共(r 1)项，是关于a与b的齐次多项式

1 项 C n r a n r b r叫做二项式展开式的通项。用

④通项：展开式中的第 r

T r 1 C n r a n r b r表示。

3 ．注意关键点：

①项数：展开式中总共有(n 1)项。

②顺序：注意正确选择a,b,其顺序不能更改。(a b)n与(b a)n是不同的。

③指数：a的指数从n逐项减到0,是降幕排列。b的指数从0逐项减到n，是升

幂排列。各项的次数和等于 n.

④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是

c0,c；,c2, C, ,C；.项的系数是a与b的系数(包括二项式系数)。

4．常用的结论：

令 a 1,b x, (1 x)n C n0C n1x C n2x2L C n r x r L C n n x n (n N )

令 a 1,b x, (1 x)n C n0C n1x C n2x2L C n r x r L ( 1)n C n n x n(n N )

5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即

C n k

③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令 a 1,b 1，则 C c n Cn C 3 L ( 1)n c ：

二项式定理典型例题举例

2 t3 C10 22
45 210 105 4 , t5 C10 24 . 4 16 8
5
105 3 所以，系数最大的项为第 5 项， t5 x ． 8
例3 已知 (1 2 x) 7 a0 a1 x a2 x 2 a7 x 7 ，
求：（1） a1 a 2 a3 a 7 ；（2） a1 a3 a5 a7 ；（3） a0 a2 a4 a6 ．分析：本题是有关展开式系数和的问题，通过对等式中字母的赋值，往往会得到此类问题的结果．字母经常取的值有 0、1、－1 等．解：（1）取 x 0 可得 a0 1 ，取 x 1 得 a0 a1 a7 ( 1) 7 1 ． ∴ a1 a2 a3 a7 2 . （2）取 x 1 得 a0 a1 a2 a3 a6 a7 37 ，记 A a0 a2 a4 a6 , B a1 a3 a5 a7 ． ∴ A B 1, A B 3 ．
10 r 8 1 得： r 2(r 1) 3
即 r 0 、1、2 时，上述不等式成立．
所以，系数的绝对值从第 1 项到第 4 项增加，以后逐项减小．系数绝对值最大的项为第 4 项， T4 C10 ( 1) 2 x 2 15 x 2 ．
4 3 3 5 5
从系数绝对值的变化情况及系数的正负交替，只要比较第 3 项与第 5 项的系数，

二项式定理典型例题(含解答)

二项式定理典型例题

典型例题一

例1 在二项式n

x x ⎪⎭

⎫ ⎝

⎛+421的展开式中前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项．

分析：典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决．

解：二项式的展开式的通项公式为：4324

121C 21)(C r

n r r n r

r n r n r x x x T --+=⎪⎭

⎫ ⎝⎛= 前三项的.2,1,0=r 得系数为：)1(8

1C ,2

1C ,123121-=====n n t n t t n

n ，由已知：)1(8

12312-+

=+=n n n t

t t ，∴8=n 通项公式为14

3168

,82,1,02

1C +-

+==r r

r r

r T r x T 为有理项，故r 316-是4的倍数，

∴.8,4,0=r 依次得到有理项为22

888944

541256

121C ,83521C ,x x T x x T x T =====-．说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r 的取值，得到了有理项．类似地，100

32(+的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r 的取值，得到共有

典型例题四

例4（1）求10

)1()1(x x +-展开式中5x 的系数；（2）求6)21

(++

x 展开式中的常数项．分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式．

解：（1）10

3)1()1(x x +-展开式中的5x 可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：

二项式定理典型例题

1. 在二项式n

x x ⎪⎭⎫ ⎝

⎛

21的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项．分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公

式解决．

解：二项式的展开式的通项公式为：

324

121C 21)(C r

n r r n r

r n r n r x x x T --+=⎪⎭

⎫ ⎝⎛=

前三项的.2,1,0=r 得系数为：)1(8

141C ,2121C ,123121-=====n n t n t t n n ，由已知：)1(8

12312-+=+=n n n t t t ，

∴8=n 通项公式为

3168

1,82,1,02

1C +-

+==r r

r r r T r x T 为有理项，故r 316-是4的倍数，

∴.8,4,0=r

依次得到有理项为22

888944

541256

121C ,83521C ,x x T x x T x T =====-．说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r 的取值，得到了有理项．类

似地，100

3)32(+的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r 的取值，得到共有

系数和为n 3．

2.（1）求10

)1()1(x x +-展开式中5x 的系数；（2）求6)21

(++

x 展开式中的常数项．

解：（1）10

3)1()1(x x +-展开式中的5x 可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：用3)1(x -展开式中的常数项乘以10)1(x +展开式中的5x 项，可以得到5

二项式定理典型例题

二项式定理典型例题--

典型例题一

（1 <

例1在二项式Jx十一^ 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有

< 2仮丿

理项.

分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决.

解：二项式的展开式的通项公式为：

前三项的r =0,1,2.

1 1 1

2 1 1

得系数为：t1=1, t2= C n— = — n,t3 = C n— = —n(n -1),

2 2 4 8

1 由已知：2t^t1t3n=1 n(n—1),

n = 8

通项公式为

1 16 J3r

T r^c8-r x^r =0,1,2…8,T r 1为有理项，故16-3r是4的倍数, 2r

••• r =0,4,8.

依次得到有理项为「=X4,T5二c8■丄x二色乂忑二c81x‘1

X2.

248 28256 说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r的取值，得到了有理项.类

100

似地，C.2 3）的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r的取值，得到共有17页

系数和为3n.

典型例题四

例4 （1 ）求（1 -X）3（1 - x）10展开式中X5的系数；（2）求（X - 2）6展开式中的常

数项.

分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以

视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式.

3 10 5

解：（1）（1-X）（1 X）展开式中的X可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项:

彳门

庄

用(1 -X )展开式中的常数项乘以 (1 X )展开式中的 X 5

二项式定理经典例题

二项式定理典型例题

例1 在二项式n

x x ⎪⎭⎫ ⎝

⎛+421的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项．例2 求10321⎪⎭⎫ ⎝

⎛-x x 的展开式中，系数绝对值最大的项以及系数最大的项．例3 已知7722107)21(x a x a x a a x ++++=- ，求：（1）7321a a a a ++++ ；（2）

7531a a a a +++；

（3）6420a a a a +++．例4 （1）求103)1()1(x x +-展开式中5x 的系数；（2）求6)21(++

x x 展开式中的常数项．例5 求62)1(x x -+展开式中5x 的系数．

例6 求证：（1）1212

C C 2C -⋅=+++n n n n n n n ；（2）)12(1

1C 11C 31C 21C 1210-+=++++++n n n n n n n n ．例7 利用二项式定理证明：98322--+n n 是64的倍数．

例8 展开5

2232⎪⎭⎫ ⎝

⎛-x x ．例9 若将10)(z y x ++展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（）．

A ．11

B ．33

C ．55

D ．66 例10 若n

x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+21的展开式的常数项为20-，求n ．例11 1031⎪⎭⎫ ⎝

⎛+x x 的展开式的第3项小于第4项，则x 的取值范围是______________．例12 已知n x x )1(2log +的展开式中有连续三项的系数之比为321

∶∶，这三项是第几项？若展开式的倒数第二项为112，求x 的值．

二项式定理十大典型问题及例题

学科教师辅导讲义

学员编号：年级：高二课时数： 3 学员姓名：辅导科目：数学学科教师：

教学内容

1．二项式定理：

011

()()n n n r n r r

n n

n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=++

+∈，

2．基本概念：

①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。

②二项式系数:展开式中各项的系数r

C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式

④通项：展开式中的第1r +项r n r r

n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n

T C a b -+=表示。 3．注意关键点：

①项数：展开式中总共有(1)n +项。

②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。

③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。各项的次数和等于n .

④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数

（包括二项式系数）。

4．常用的结论：

令1,,a b x == 0122(1)()n r r

n n

n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈ 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-

二次项定理典型例题

典型例题一

例1 在二项式n

x x ⎪⎭⎫ ⎝

⎛

21的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项．

分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决．

解：二项式的展开式的通项公式为：

324

121C 21)(C r

n r r n r

r n r n r x x x T --+=⎪⎭

⎫ ⎝⎛=

前三项的.2,1,0=r 得系数为：)1(8

141C ,2121C ,123121-=====n n t n t t n n ，由已知：)1(8

12312-+=+=n n n t t t ，

∴8=n 通项公式为

143168

1,82,1,02

1C +-

+==r r

r r r T r x T Λ为有理项，故r 316-是4的倍数，

∴.8,4,0=r

依次得到有理项为22

888944

541256

121C ,83521C ,x x T x x T x T =====-．说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r 的取值，得到了有理项．类

似地，100

3)32(+的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r 的取值，得到共有

17项．

典型例题二

例2 求10

21⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-x x 的展开式中，系数绝对值最大的项以及系数最大的项．分析：本题仍然属于抓通项公式解决特定项的问题，但是系数的绝对值的最大值或系数的最大值，需要对所有项的系数的变化规律进行研究．由于系数的绝对值都是正数，我们可以用作商来研究系数绝对值的变化情况，另外各项系数正负交替，又便于用系数绝对值的大小变化抓系数的最大值．

(完整版)二项式定理十大典型例题纯版(最新整理)

系数分别
为
A1,
A2 ,,
An1 ，设第 r
1
项系数最大，应有
Ar
1
Ar1
Ar Ar 2
，从而解出 r
来。
专题一
题型一：二项式定理的逆用；
例： Cn1 Cn2 6 Cn3 62 Cnn 6n1
.
解： (1 6)n Cn0 Cn1 6 Cn2 62 Cn3 63 Cnn 6n 与已知的有一些差距，
它的系数为 C51C44 243 240 。
解法②：
(x2 3x 2)5 (x 1)5 (x 2)5 (C50 x5 C51x4 C55 )(C50 x5 C51x4 2 C55 25 )
故展开式中含 x 的项为 C54 xC55 25 C54 x24 240x ，故展开式中 x 的系数为 240.
有题意得， 2n1 256 28 ， n 9 。
练：若 ( 3 1 5 1 )n 的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024 ，求它的中间项。 x x2
解：Cn0 Cn2 Cn4 Cn2r Cn1 Cn3 Cn2r1 2n1 ， 2n1 1024 ，解得 n 11
(a
1)n
(偶数项的系数和)
n
⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数 n 是偶数时，则中间一项的二项式系数 Cn2 取
得最大值。
n1

二项式定理典型例题

二项式定理典型例题--

典型例题一

（ 1 <

例1在二项式仮十^ 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有

< 2血.丿理项.

分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决.

解：二项式的展开式的通项公式为：

前三项的r =0,1,2.

1 1

2 1 1

得系数为：t 1 =1, t 2 = C n — = — n,t 3 = C n — = — n(n -1),

2 2 4 8

1 由已知：2t^t 1 t 3 n=1 n(n —1), 8

n = 8

通项公式为

1 16 J3r

T r 1 =c 8-r xFr =0,1,r 8,T r 1 为有理项，故 16-3r 是 4 的倍数, 2r ••• r =0,4,8.

依次得到有理项为「=X 4,T 5二C ；丄X 二色乂忑二c 81x‘

X 2.

24 8 28

256

说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了 r 的取值，得到了有理项.类似地，C-.2 3 3）100的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中 r 的取值，得到共有

17页

系数和为3n .

典型例题四

例4 （1 ）求（1 -X ）3（1 - x ）10展开式中X 5的系数；（2）求（X - 2）6展开式中的

常

数项.

分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以

视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式.

解：（1）（1-X ）（1 X ）展开式中的X 可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：

二项式定理典型例题

二项式定理典型例题一

1．求特定项问题

1003)32(+的展开式中，无理数项的个数是

（ A ）

A ．84

B ．85

C ．86

D ．87 2．已知=++++++++=-||||||||,)31(72107722107a a a a x a x a x a a x 则

47 .

3、赋值法求项系数之和

求（2x-1）5的展开式中（1）各项系数之和；（2）各项的二项式系数之和；（3）偶数项的二项式系数之和；（4）各项系数的绝对值之和；（5）奇次项系数之和

243)3(,1)4(1622

1)3(322)2(;

11)12()1(5543210555351555515055105

522105-=-=-+-+--==⨯=

++==++=+++=++++=-a a a a a a x C C C C C C a a a x x a x a x a a x 则令和偶数项的二项式系数之各项的二项式系数之和得各项系数之和令设

1222

24312)()()5(5210510531=+=-++--+++=++a a a a a a a a a a 4、展开式中系数最大的项的求法.

已知(n x +的展开式中前三项的系数成等差数列

（1）求n 的值；

（2）求展开式中系数最大的项.

解（1）8n =

（2）2,3r

=2625387T C x x ==

，73532487T C x x ==

二次项定理典型例题

典型例题一

例1 在二项式n

x x ⎪⎭⎫ ⎝

⎛

21的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项．

分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决．

解：二项式的展开式的通项公式为：

324121C 21)

(C r

n r r n r

n r n

r x

x x T --+=⎪⎭

⎫

⎝⎛=

前三项的.2,1,0=r 得系数为：)1(8

141C ,2121C ,123121-=====n n t n t t n n ，由已知：)1(8

12312-+=+=n n n t t t ，

∴8=n 通项公式为

3168

1,82,1,02

1C +-

+==r r

r r r T r x T 为有理项，故r 316-是4的倍数，

∴.8,4,0=r

依次得到有理项为22

888944

541256

121C ,83521C ,x x T x x T x T =====-．说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r 的取值，得到了有理项．类

似地，100

3)32(+的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r 的取值，得到共有

17项．

典型例题二

例2 求10

21⎪⎭

⎫ ⎝⎛

-x x 的展开式中，系数绝对值最大的项以及系数最大的项．分析：本题仍然属于抓通项公式解决特定项的问题，但是系数的绝对值的最大值或系

数的最大值，需要对所有项的系数的变化规律进行研究．由于系数的绝对值都是正数，我们可以用作商来研究系数绝对值的变化情况，另外各项系数正负交替，又便于用系数绝对值的大小变化抓系数的最大值．