几何证明题集-R10-2

1k AA '、

。又作一平面2πα ，使它们相距2k AA '①。 （1）完备性：在探求已知：111PO k AA '=，222K O k AA '=

1122,P P ππ∴∈∈。

（2）纯粹性：在平面1π上任取一点1P ，连1AP D α'= ，1BP C α'= 。

AB α ，

AB C D ''∴ 作AA α⊥于A '，11PO α⊥于1O ，则11PO =1R AA '。 又111:PO AA k D C '''==()D C AB ''=+，

:()()DC DC AB D C D C AB ''''∴+==+，因而D C DC ''=。

由此可见，1P 合条件即平面1π上任一点合条件。 同理可证得平面2π上任一点2P 合条件。

由（1）、（2）所证得：1P 点的轨迹是一平面1π，2P 点的轨迹是平面2π。 讨论：若AB CD =，则2P 点无轨迹。在理论上，2π在无穷远处。 注：若是AB CD =-，则题解中1P 与2P 性质应互换。 4.45

设形状和大小固定的三角形的顶点在一平面上变动，底边在另一给定平行

平面上变动，求重心的轨迹。

探求：平面α 平面β，A α∈，

A ∴点到平面β的距离AA '一定（就是α与β的距离）。

设AG BC M = （G 为∆重心）则:1:3MG MA =，因此G 点到平面β的距离GG =

1

3

AA '（定长）。 由此可见，G 点的轨迹很可能是一平行平面

αβ、的平面π，平面π与β的距离等于平面αβ

、间的距离 1

3

。 证明：在平面αβ、之间，作一平面πβ 且距离为

3

d

，d 是α与β的距离。 （1）完备性：AA β'⊥作于A '，

GG G β''⊥于。

:1:3MG MA = ，:1:3GG AA ''∴=。

①若2k 是负值，则表示2P 与A 在α的异则。

题图 4-45

因此33

AA d

GG ''=

=，G ∴∈平面π。 （2）纯粹性：设BC a =，CA b =，AB c =。

在平面π上任取一点G ，过G 在平面π上任一线段B C ''，使1

3GB GC a ''==。在

平面

α上求一点A ，使23B A C '=，23

C A b '=。连AG M α= ，AB B α'= ，

AC C α'= ，则B M C 、、共线，BC B C '' 。

1

3B G GC a ''== ，

1

2

BM MC a ∴==。

又::1:3MG MA GG AA ''== ， G ∴为ABC ∆的重心。

再2BC BM a == ，32CA AC b '=

=，3

2

AB AB c '==， G ∴是合条件的ABC ∆的重心。

因此平面，π上任取一点符合条件。

综合（1）、（2）得：G 点的轨迹就是一平面π。

讨论：设ABC ∆的BC 边上高为h ，αβ与相距d ，（1）若h ≥d ，则轨迹是一平面；

（2）h d <，则无轨迹。

注：假若题中不限定哪一边为底，则G 的轨迹一般可能是三个平面。 4.46

求形状和大小固定的三角形的顶点的轨迹，已知它的底在一定平面上变

动，重心在与之平行的另一定平面上变动。

题设：点G 是形状和大小固定的ABC ∆的重心，平面αβ、是两定平行平面，BC 在β上变动，G 在α上变动。

探求：连AG BC = I ，作AA A α''⊥于，GG '⊥G ααβ'于。设平面、相距为d ，则GG d

'=（定长）。

::1:3GG AA IG IA ''== ， 33AA GG d ''∴==（定长）。

由此可见，A 点的轨迹可能是与αβ在同一侧且平行于β的一平面π，πβ在相距为3d 。

证明：（1）完备性：在探求中已知A ∈平面π。

（2）纯粹性：在平面π上任取一点0A ，作0()A AB 与β的交线B ' ，球

0()A AC β与的交线C ' ，又作一线段00B C ，使00B C BC =且0B ∈ B '，0C C '∈ 。

000A B C ∆则≌ABC ∆，又易得00A B ∆0C 的重心0G 在平面α上，由此可见，平面π上任取

一点0A 符合条件。

根据（1）、（2）知，A 点的轨迹是平面π 讨论：设G 到BC 的距离为h 。 （1）若h ≥d ，则轨迹是一平面； （2）若h d <，则无轨迹。 注：如题中不限定哪一边为底，则A 点的轨迹一般可能是三个平行平面。

4.47

由直径为d 的定球面上的定点A 任引一弦AP ，并在其延长线上取点M 使

AP AM ⋅=d ，求点M 的轨迹。

探求：设定球为()2

d O ，连()2d

AO O B = 球，则

AB d =。

2:AP AM AB ∴=，因此AP ::AB AB AM =。

PAB BAM ∠=∠ ， PAB BAM ∴∆∆∽。

因而90MBA BPA ∠=∠=︒。

M B BA ∴⊥。

由此可知：M 点的轨迹也许就是垂直AB 于B 的一平面π。

证明：（1）完备性：在探求中，已见M ∈平面π。

（2）纯粹性：在平面π上任取一点M ，连MA 交球()2

d

O 于P ，又连BP BM 、，则

AB BM ⊥（AB π⊥，AM π⊂得），90APB ∠=︒。

∴在PAB ∆和BAM ∆中有90MBA BPA ∠=∠=︒，PAB ∠=BAM ∠。

因此PAB BAM ∆∆∽。

::AP AB AB AM ∴=故22AP AM AB d ==⋅，因知M 点满足条件。

由（1）、（2）得，M 点的轨迹就是平面π。

题图

4-47