「精品」高考数学第一章空间几何体1.3.2球的体积和表面积课时作业新人教A版必修2

合集下载

高中数学第一章空间几何体1.3.2球的体积和表面积新人教A版必修

3
3
解析:设球半径为 R cm,
根据已知条件知正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为 4 cm, 球心到截面圆圆心的距离为(R-2)cm, 所以由 42+(R-2)2=R2,得 R=5.
所以球的体积为 V= 4 πR3= 4 π×53= 500π cm3.故选 A.
3
3
3
题型二由与球相关的三视图计算表面积与体积
3
3
3
所以 V 圆柱∶V ∶ 圆锥 V 球=3∶1∶2. (2)S 圆柱=2πr·2r+2πr2=6πr2, S 圆锥=πr· 4r2 r2 +πr2=( 5 +1)πr2, S 球=4πr2, 所以 S 圆柱∶S 圆锥∶S 球=6∶( 5 +1)∶4.
题后反思球的表面积和体积仅与球半径有关,因此求球的表面积和体积的问题可转化为求球半径的问题解决.
【例 2】 (1)某器物的三视图如图所示,根据图中数据可知该器物的体积为( )
(A) 4 π 3
(B) 15 π 3
(C) 4 π- 15 π
3
3
(D) 4 π+ 15 π
3
3
(2)(2013 高考陕西卷)某几何体的三视图如图所示,
则其表面积为
.
解析:(1)由三视图可知,该几何体由一个球和一个圆锥组合而成,则该器物的体积
1.3.2 球的体积和表面积
自主预习课堂的表面积和体积计算公式. 2.会求与球有关的简单组合体的体积和表面积.
知识梳理
1.半径是
R
的球的体积为
V=
4 3
πR3
.
2.半径是R的球的表面积为S= 4πR2 .

2019_2020学年高中数学第一章空间几何体1.3.2球的体积和表面积课时作业(含解析)新人教A版必修2

1.3.2 球的体积和表面积[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知两个球的半径之比为1：3，那么这两个球的表面积之比为( ) A ．1：9 B ．1：27 C ．1：3 D ．1：1解析：设两球的半径分别为r 1，r 2，表面积分别为S 1，S 2， ∵r 1：r 2＝1：3，∴S 1：S 2＝4πr 21：4πr 22＝r 21：r 22＝1：9.故选A.答案：A2．[2019·安徽省合肥市检测]平面α截球O 所得截面圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( )A.6π B ．43π C ．46π D．63π 解析：球的半径R ＝12＋22＝3，所以球的体积V ＝43π×(3)3＝43π.答案：B3．两球的体积之和是12π，它们的大圆周长之和是6π，则大球与小球的半径之差是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：设大球半径为R ，小球半径为r ，所以⎩⎪⎨⎪⎧43πR 3＋43πr 3＝12π，2πR ＋2πr ＝6π，得⎩⎪⎨⎪⎧R ＝2r ＝1，所以R －r ＝2－1＝1.答案：A4．已知一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是( ) A ．8π B．6π C ．4π D．π解析：设该正方体的棱长为a ，内切球的半径为r ，则a 3＝8，∴a ＝2，∴正方体的内切球直径为2，r ＝1，∴内切球的表面积S ＝4πr 2＝4π.答案：C5．半径为336π的球的体积与一个长、宽分别为6,4的长方体的体积相等，则长方体的表面积为( )A ．44B ．54C ．88D ．108解析：由题意知，球的半径R ＝336π，故球的体积为43πR 3＝43π·36π＝48，则长方体的高为48÷6÷4＝2，故长方体的表面积为2×(6×4＋4×2＋6×2)＝88.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，PA ＝3，底面ABC 是边长为2的正三角形，三棱锥P －ABC 的体积为________．解析：依题意有，三棱锥P －ABC 的体积V ＝13S △ABC ·|PA |＝13×34×22×3＝ 3. 答案： 37．把直径分别为6 cm,8 cm,10 cm 的三个铁球熔成一个大铁球，则这个大铁球的半径为________ cm.解析：设大铁球的半径为R cm ，由43πR 3＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫623＋43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫823＋43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫1023，得R 3＝216，得R ＝6.答案：68．湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为6 cm ，深为1 cm 的空穴，则该球半径是________ cm ，表面积是________ cm 2.解析：设球心为O ，OC 是与冰面垂直的一条球半径，冰面截球得到的小圆圆心为D ，AB 为小圆D 的一条直径，设球的半径为R ，则OD ＝(R －1) cm ，则(R －1)2＋32＝R 2，解之得R ＝5 cm ，所以该球表面积为S ＝4πR 2＝4π×52＝100π(cm 2)．答案：5 100π三、解答题(每小题10分，共20分)9．若三个球的表面积之比为1：4：9，求这三个球的体积之比．解析：设三个球的半径分别为R 1，R 2，R 3， ∵三个球的表面积之比为1：4：9，∴4πR 21：4πR 22：4πR 23＝1：4：9，即R 21：R 22：R 23＝1：4：9，∴R 1：R 2：R 3＝1：2：3， ∴V 1：V 2：V 3＝43πR 31：43πR 32：43πR 33＝R 31：R 32：R 33＝1：8：27.10．已知球心O 到过球面上三点A ，B ，C 的截面的距离等于球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝3 cm ，求球的体积．解析：如图所示，设过A ，B ，C 三点的截面为圆O ′，连接OO ′，AO ，AO ′，因为AB ＝BC ＝CA ＝3 cm ，所以O ′为正三角形ABC 的中心，且AO ′＝33AB ＝ 3 cm. 设球的半径为R ，则OO ′＝12R .由球的截面性质，知△OO ′A 为直角三角形，所以AO ′＝OA 2－OO ′2＝R 2－14R 2＝32R ，所以R ＝2 cm. 所以V 球＝43πR 3＝323π (cm 3)．[能力提升](20分钟，40分)11．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A ．πB.3π4C.π2 D.π4解析：设圆柱的底面半径为r ，球的半径为R ，且R ＝1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r ，R 及圆柱的高的一半构成直角三角形．∴r ＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32.∴圆柱的体积为V ＝πr 2h ＝34π×1＝3π4.故选B. 答案：B12．长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3、5、15，则它的外接球的表面积为________．解析：设长方体的有公共顶点的三条棱的长分别为x 、y 、z ，则由已知得⎩⎨⎧xy ＝3，yz ＝5，zx ＝15，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1，z ＝5所以球的半径R ＝12x 2＋y 2＋z 2＝32.所以S 球＝4πR 2＝9π.答案：9π13．有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．解析：设正方体棱长为a ，三个球的半径依次为R 1，R 2，R 3，则有2R 1＝a ，R 1＝a2，2a＝2R 2，R 2＝22a ，3a ＝2R 3，R 3＝32a ，所以R 1：R 2：R 3＝1：2： 3.所以S 1：S 2：S 3＝R 21：R 22：R 23＝1：2：3. 即这三个球的表面积之比为1：2：3.14．一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥内又有一个内切球．求： (1)圆锥的侧面积； (2)圆锥内切球的体积．解析：(1)如图所示，作出轴截面，则等腰三角形SAB 内接于圆O ，而圆O 1内切于△SAB . 设圆O 的半径为R ，则有43πR 3＝972π，所以R 3＝729，R ＝9，所以SE ＝18.又因为SD ＝16，所以ED ＝2. 连接AE ，因为SE 是直径，所以SA ⊥AE ，SA 2＝SD ·SE ＝16×18＝288，所以SA ＝12 2.因为AB ⊥SD ，所以AD 2＝SD ·DE ＝16×2＝32，AD ＝4 2. 所以S 圆锥侧＝π×42×122＝96π. (2)设内切球O 1的半径为r ，因为△SAB 的周长为2×(122＋42)＝322，所以S △SAB ＝12r ×322＝12×82×16，所以r ＝4.所以内切球O 1的体积V 球＝43πr 3＝2563π.。

2019年高中数学第一章空间几何体1.3.2球的体积和表面积课时作业(含解析)新人教A版

1.3.2 球的体积和表面积1.两个球的表面积之差为48π,它们的大圆周长之和为12π,这两个球的半径之差为( C )(A)4 (B)3 (C)2 (D)1解析:令S球1=4πR2,S球2=4πr2,由题可知4πR2-4πr2=48π,①又2πR+2πr=12π,②得R-r=2.2.长方体ABCD A 1B1C1D1的八个顶点落在球O的表面上,已知AB=3,AD=4,BB1=5,那么球O的表面积为( D )(A)25π (B)200π(C)100π (D)50π解析:由长方体的体对角线为外接球的直径,设球半径为r,则2r==5,则r=,4πr2=4×()2π=50π.3.某几何体的三视图如图所示,它的体积为( C )(A)72π (B)48π (C)30π (D)24π解析:由三视图可知,该几何体的上方是一个以3为半径的半球,下方是以3为底面半径,以5为母线长的圆锥,所以其体积V=×π×33+ ×π×32×=18π+12π=30π.4.若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为S1,S2,则S1∶S2等于( C )(A)1∶1 (B)2∶1 (C)3∶2 (D)4∶1解析:由题意可得圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,设球的半径为1,则S1=6π,S2=4π.所以S1∶S2=3∶2,故选C.5.已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球,某学生画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形,如图所示,则( C )(A)以上四个图形都是正确的(B)只有(2)(4)是正确的(C)只有(4)是错误的(D)只有(1)(2)是正确的解析:正三棱锥内接于球,故其各个顶点在球面上.如果过球心的截面恰好截得三棱锥的面为三角形,则根据其顶点是否在截面圆上,有如下讨论:①当用过球心且平行于三棱锥某底面的平面去截球时,三个点都不在截面圆上,则截面近似图(1);②当截面是过球心和三棱锥两个顶点的平面时,它交对棱于中点,中点不在球上,也就不在截面圆上,则该截面近似图(2);③当截面是过三棱锥一顶点和球心的平面时,截得的面除了图(2)的情况外,大都是如图(3)的情况,即另两点不在截面圆上;④当三棱锥的三个顶点都是截面圆上时,截面不过球心,与题意矛盾.故选C.6.已知直三棱柱ABC A 1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3, AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的半径为( C )(A) (B)2(C) (D)3解析:如图所示,由球心作平面ABC的垂线,则垂足为BC的中点M.又AM=BC=,OM=AA1=6,所以球O的半径为R=OA==.故选C.7.一平面截一球得到直径是 6 cm的圆面,球心到这个圆面的距离是 4 cm,则该球的体积是( C )(A) cm3 (B) cm3(C) cm3 (D) cm3解析:根据球的截面的性质,得球的半径R==5(cm),所以V球=πR3=(cm3).故选C.8.圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径是cm.解析:设圆柱底面半径是r,则πr2×8=πr2×6r-πr3×3,所以r=4.答案:49.边长为4的正方形ABCD的四个顶点在半径为5的球O的表面上,则四棱锥O ABCD的体积是.解析:因为ABCD外接圆的半径r==4,又因为球的半径为5,所以球心O到平面ABCD的距离d==3,所以=×(4)2×3=32.答案:3210.已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体,如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为2的正方形,则该球的表面积是.解析:依题意得,该多面体是球的一个内接正方体,且棱长为2.设该球的直径为2R,则2R==2,即R=,所以该球的表面积为4πR2=4π()2=12π.答案:12π11.如图,半径为2的半球内有一个内接正六棱锥 P ABCDEF,则此正六棱锥的侧面积是.解析:显然正六棱锥P ABCDEF的底面的外接圆是球的一个大圆,由已知,可得大圆的半径为2. 易得其内接正六边形的边长为2.又正六棱锥P ABCDEF的高为2,则斜高为=,所以该正六棱锥的侧面积为6××2×=6.答案:612.如图所示(单位:cm)四边形ABCD是直角梯形,求图中阴影部分绕AB旋转一周所成几何体的表面积和体积.解:S球=×4π×22=8π(cm2),S圆台侧=π(2+5)=35π(cm2),S圆台下底=π×52=25π(cm2),即该几何体的表面积为8π+35π+25π=68π(cm2).又V圆台=×(22+2×5+52)×4=52π(cm3),V半球=××23=(cm3).所以该几何体的体积为V圆台-V半球=52π-=(cm3).13.已知球心到过球面上A,B,C三点的截面的距离等于球的半径的一半,且AC=BC=6,AB=4,求球的表面积和体积.解:如图,设球心为O,球的半径为R,作OO1垂直平面ABC于点O1,由于OA=OB=OC=R,则O1是△ABC的外心,即O1A=O1B=O1C.设M是AB的中点,连接CM,由于AC=BC,则O1在CM上,设O1M=x,易知O1M⊥AB,则O1A=,O1C=CM-O1M=4-x.又O1A=O1C,所以=4-x,解得x=,则O1A=O1B=O1C=.在Rt△OO1A中,O1O=,∠OO1A=90°,OA=R.由勾股定理得()2+()2=R2,解得R=.故S球=4πR2=54π,V球=πR3=27π.14.已知正三棱锥S ABC的所有棱长均为a,求S ABC的外接球的体积.解:设S在底面ABC上的射影为O1,球心为O,显然O在SO1上,连接AO1,OA,则AO1=·a·sin 60°= a.所以SO1=== a.设球的半径为R,在Rt△OO1A中,OA2=O+A,即R2=(a-R)2+(a)2,得R= a.所以外接球的体积V=πR3=πa3.15.在封闭的直三棱柱ABC A 1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是( B )(A)4π(B) (C)6π(D)解析:由题意可得若V最大,则球与直三棱柱的部分面相切,若与三个侧面都相切,可求得球的半径为2,球的直径为4,超过直三棱柱的高,所以这个球放不进去,则球可与上、下底面相切,此时球的半径R=,该球的体积最大,V max=πR3=×=.故选B.16.已知三棱锥S ABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为1的正三角形,SC为球O 的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为( A )(A) (B) (C) (D)解析:因为△ABC是边长为1的正三角形,所以△ABC的外接圆的半径r=,因为点O到面ABC的距离d==,SC为球O的直径,所以点S到面ABC的距离为2d=,所以棱锥的体积为V=S△ABC×2d=××=,故选A.17.已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为.解析:设球的半径为R,则球的表面积为4πR2,设圆锥的底面半径为r,则圆锥的底面面积为πr2,由已知得πr2=×4πR2,所以r2=R2,由几何体的特征知,球心到圆锥底面的距离、球的半径以及圆锥底面的半径可以构成一个直角三角形,由此可以求得球心到圆锥底面的距离h==R,所以两个圆锥的高分别为h1=R-h=R-R=R,h2=R+h=R.所以这两个圆锥中,体积较小者的高为R,体积较大者的高为R,故所求比值为.答案:18.如图所示,半径为4的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时,球的表面积与该圆柱的侧面积之差是.解析:由球的半径为4,可知球的表面积为64π.设内接圆柱底面半径为r,高为2h,则r2+h2=16.圆柱侧面积为2πr·2h=4πr·h=4π·=4π·=4π≤32π,故所求球的表面积与内接圆柱的侧面积之差的最大值为32π.答案:32π19.将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体(四面体的每个面都是正三角形)的容器里,求这个正四面体的高的最小值.名师点拨:四个小球在正四面体内一定是两两相切的,球心连起来构成一个正四面体.解:由题意,如图所示,在正四面体S ABC的底面上放三个钢球,上面再放一个钢球时,正四面体的高最小.且连接小钢球的球心又得到一个棱长为2的小正四面体M NEF,且两个正四面体的中心重合于点O,取△NEF的中心O1,连接NO1,则NO1=,MO1==.由正四面体的性质知其中心O与O1的距离OO1=MO1=.从而OO2=OO1+1=+1.故正四面体的高的最小值为4OO2=+4.。

高中数学第一章空间几何体1.3.2球的体积和表面积课时作业含解析新人教A版必修20622230

高中数学第一章空间几何体1.3.2球的体积和表面积课时作业含解析新人教A版必修206222301.3.2 球的体积和表面积1.两个球的表面积之差为48π,它们的大圆周长之和为12π,这两个球的半径之差为( C )(A)4 (B)3 (C)2 (D)1解析:令S球1=4πR2,S球2=4πr2,由题可知4πR2-4πr2=48π,①又2πR+2πr=12π,②得R-r=2.2.长方体ABCD A1B1C1D1的八个顶点落在球O的表面上,已知AB=3,AD=4,BB1=5,那么球O的表面积为( D )(A)25π (B)200π(C)100π (D)50π解析:由长方体的体对角线为外接球的直径,设球半径为r,则2r==5,则r=,4πr2=4×()2π=50π.3.某几何体的三视图如图所示,它的体积为( C )(A)72π (B)48π (C)30π (D)24π解析:由三视图可知,该几何体的上方是一个以3为半径的半球,下方是以3为底面半径,以5为母线长的圆锥,所以其体积V=×π×33+ ×π×32×=18π+12π=30π.4.若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为S1,S2,则S1∶S2等于( C )(A)1∶1 (B)2∶1 (C)3∶2 (D)4∶1解析:由题意可得圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,设球的半径为1,则S1=6π,S2=4π.所以S1∶S2=3∶2,故选C.5.已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球,某学生画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形,如图所示,则( C )(A)以上四个图形都是正确的(B)只有(2)(4)是正确的(C)只有(4)是错误的(D)只有(1)(2)是正确的解析:正三棱锥内接于球,故其各个顶点在球面上.如果过球心的截面恰好截得三棱锥的面为三角形,则根据其顶点是否在截面圆上,有如下讨论:①当用过球心且平行于三棱锥某底面的平面去截球时,三个点都不在截面圆上,则截面近似图(1);②当截面是过球心和三棱锥两个顶点的平面时,它交对棱于中点,中点不在球上,也就不在截面圆上,则该截面近似图(2);③当截面是过三棱锥一顶点和球心的平面时,截得的面除了图(2)的情况外,大都是如图(3)的情况,即另两点不在截面圆上;④当三棱锥的三个顶点都是截面圆上时,截面不过球心,与题意矛盾.故选C.6.已知直三棱柱ABC A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3, AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的半径为( C )(A) (B)2(C) (D)3解析:如图所示,由球心作平面ABC的垂线,则垂足为BC的中点M.又AM=BC=,OM=AA1=6,所以球O的半径为R=OA==.故选C.7.一平面截一球得到直径是 6 cm的圆面,球心到这个圆面的距离是 4 cm,则该球的体积是( C )(A) cm3 (B) cm3(C) cm3 (D) cm3解析:根据球的截面的性质,得球的半径R==5(cm),所以V球=πR3=(cm3).故选C.8.圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径是cm.解析:设圆柱底面半径是r,则πr2×8=πr2×6r-πr3×3,所以r=4.答案:49.边长为4的正方形ABCD的四个顶点在半径为5的球O的表面上,则四棱锥O ABCD的体积是.解析:因为ABCD外接圆的半径r==4,又因为球的半径为5,所以球心O到平面ABCD的距离d==3,所以=×(4)2×3=32.答案:3210.已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体,如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为2的正方形,则该球的表面积是.解析:依题意得,该多面体是球的一个内接正方体,且棱长为2.设该球的直径为2R,则2R==2,即R=,所以该球的表面积为4πR2=4π()2=12π.答案:12π11.如图,半径为2的半球内有一个内接正六棱锥 P ABCDEF,则此正六棱锥的侧面积是.解析:显然正六棱锥P ABCDEF的底面的外接圆是球的一个大圆,由已知,可得大圆的半径为2. 易得其内接正六边形的边长为2.又正六棱锥P ABCDEF的高为2,则斜高为=,所以该正六棱锥的侧面积为6××2×=6.答案:612.如图所示(单位:cm)四边形ABCD是直角梯形,求图中阴影部分绕AB旋转一周所成几何体的表面积和体积.解:S球=×4π×22=8π(cm2),S圆台侧=π(2+5)=35π(cm2),S圆台下底=π×52=25π(cm2),即该几何体的表面积为8π+35π+25π=68π(cm2).又V圆台=×(22+2×5+52)×4=52π(cm3),V半球=××23=(cm3).所以该几何体的体积为V圆台-V半球=52π-=(cm3).13.已知球心到过球面上A,B,C三点的截面的距离等于球的半径的一半,且AC=BC=6,AB=4,求球的表面积和体积.解:如图,设球心为O,球的半径为R,作OO1垂直平面ABC于点O1,由于OA=OB=OC=R,则O1是△ABC的外心,即O1A=O1B=O1C.设M是AB的中点,连接CM,由于AC=BC,则O1在CM上,设O1M=x,易知O1M⊥AB,则O1A=,O1C=CM-O1M=4-x.又O1A=O1C,所以=4-x,解得x=,则O1A=O1B=O1C=.在Rt△OO1A中,O1O=,∠OO1A=90°,OA=R.由勾股定理得()2+()2=R2,解得R=.故S球=4πR2=54π,V球=πR3=27π.14.已知正三棱锥S ABC的所有棱长均为a,求S ABC的外接球的体积.解:设S在底面ABC上的射影为O1,球心为O,显然O在SO1上,连接AO1,OA,则AO1=·a·sin60°= a.所以SO1=== a.设球的半径为R,在Rt△OO1A中,OA2=O+A,即R2=(a-R)2+(a)2,得R= a.所以外接球的体积V=πR3=πa3.15.在封闭的直三棱柱ABC A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是( B )(A)4π(B) (C)6π(D)解析:由题意可得若V最大,则球与直三棱柱的部分面相切,若与三个侧面都相切,可求得球的半径为2,球的直径为4,超过直三棱柱的高,所以这个球放不进去,则球可与上、下底面相切,此时球的半径R=,该球的体积最大,V max=πR3=×=.故选B.16.已知三棱锥S ABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为1的正三角形,SC为球O 的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为( A )(A) (B) (C) (D)解析:因为△ABC是边长为1的正三角形,所以△ABC的外接圆的半径r=,因为点O到面ABC的距离d==,SC为球O的直径,所以点S到面ABC的距离为2d=,所以棱锥的体积为V=S△ABC×2d=××=,故选A.17.已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为.解析:设球的半径为R,则球的表面积为4πR2,设圆锥的底面半径为r,则圆锥的底面面积为πr2,由已知得πr2=×4πR2,所以r2=R2,由几何体的特征知,球心到圆锥底面的距离、球的半径以及圆锥底面的半径可以构成一个直角三角形,由此可以求得球心到圆锥底面的距离h==R,所以两个圆锥的高分别为h1=R-h=R-R=R,h2=R+h=R.所以这两个圆锥中,体积较小者的高为R,体积较大者的高为R,故所求比值为.答案:18.如图所示,半径为4的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时,球的表面积与该圆柱的侧面积之差是.解析:由球的半径为4,可知球的表面积为64π.设内接圆柱底面半径为r,高为2h,则r2+h2=16.圆柱侧面积为2πr·2h=4πr·h=4π·=4π·=4π≤32π,故所求球的表面积与内接圆柱的侧面积之差的最大值为32π.答案:32π19.将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体(四面体的每个面都是正三角形)的容器里,求这个正四面体的高的最小值.名师点拨:四个小球在正四面体内一定是两两相切的,球心连起来构成一个正四面体.解:由题意,如图所示,在正四面体S ABC的底面上放三个钢球,上面再放一个钢球时,正四面体的高最小.且连接小钢球的球心又得到一个棱长为2的小正四面体M NEF,且两个正四面体的中心重合于点O,取△NEF的中心O1,连接NO1,则NO1=,MO1==.由正四面体的性质知其中心O与O1的距离OO1=MO1=.从而OO2=OO1+1=+1.故正四面体的高的最小值为4OO2=+4.。

高中数学第一章空间几何体 1.3.2 球的体积和表面积课时作业新人教A版必修2

1.3.2 球的体积和表面积基础巩固1.两个球的半径之比为2∶3,那么这两个球的表面积之比为( B )(A)2∶3 (B)4∶9 (C)∶(D)8∶27解析:设两球的半径分别为r1,r2,表面积分别为S1,S2,则===.故选B.2.(2015德阳市中江县龙台中学高二(上)期中)设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( B )(A)3πa2(B)6πa2(C)12πa2(D)24πa2解析:根据题意球的半径R满足(2R)2=6a2,所以S球=4πR2=6πa2,故选B.3.(2014南安一中高一期末)如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是( D )(A)9π(B)10π (C)11π (D)12π解析:由几何体的三视图可知此几何体是圆柱体与球体的组合体,其表面积S=4πR2+2πr2+2πr·h,代入数据得S=4π+2π+2π×3=12π.故选D.4.(2015唐山市玉田县林南仓中学高二(上)期中)若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为S1、S2,则S1∶S2等于( C )(A)1∶1 (B)2∶1 (C)3∶2 (D)4∶1解析:由题意可得圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,设球的半径为1,则S1=6π,S2=4π.所以S1∶S2=3∶2,故选C.5.(2015吕梁学院附中高二(上)月考)若各顶点都在一个球面上的长方体的高为4,底面边长都为2,则这个球的表面积是.解析:长方体的体对角线长为=2,球的直径是2R=2,所以R=,所以这个球的表面积S=4π()2=24π.答案:24π6.(2015河源市高二(上)期中)湖面上漂着一个小球,湖水结冰后将球取出,冰面上留下了一个直径为6 cm,深为1 cm的空穴,则该球半径是 cm,表面积是 cm2.解析:设球心为O,OC是与冰面垂直的一条球半径,冰面截球得到的小圆圆心为D,AB为小圆D的一条直径,设球的半径为R,则OD=R-1,则(R-1)2+32=R2,解之得R=5 cm,所以该球表面积为S=4πR2=4π×52=100π(cm2).答案:5 100π7.(2015大同一中高二(上)月考)如图所示(单位:cm)四边形ABCD是直角梯形,求图中阴影部分绕AB旋转一周所成几何体的表面积和体积.解:S球=×4π×22=8π(cm2),S圆台侧=π(2+5)=35π(cm2),S圆台下底=π×52=25π(cm2),即该几何体的表面积为8π+35π+25π=68π(cm2).又V圆台=×(22+2×5+52)×4=52π(cm3),V半球=××23=(cm3).所以该几何体的体积为V圆台-V半球=52π-=(cm3).能力提升8.(2014景德镇高二期末)已知三棱柱ABC A 1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的表面积为( C )(A)153π(B)160π(C)169π(D)360π解析:如图,由题意得BC=5,O1A=BC=,OO1=AA1=6,则球半径r=OA===,S球=4πr2=169π.故选C.9.(2015吕梁学院附中高二(上)月考)各棱长都相等的四面体的内切球和外接球的体积之比为( A )(A)1∶27 (B)1∶9 (C)1∶3 (D)9∶1解析:设四面体的内切球半径为r,外接球半径为R,四面体各面面积为S,则4×Sr=S(R+r),解得R=3r,所以四面体的内切球和外接球的体积之比为1∶27.故选A.10.(2015河源市高二(上)期中)轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球,若圆锥的底面半径为2,求球的体积.解:如图所示,作出轴截面,因为△ABC是正三角形,所以CD=AC=2,所以AC=4,AD=×4=2,因为Rt△AOE∽Rt△ACD,所以=.设OE=R,则AO=2-R,所以=,所以R=.所以V球=πR3=π·=.所以球的体积等于探究创新11.一个半径为1的球体经过切割后,剩余部分几何体的三视图如图所示,求剩余几何体的体积和表面积.解:如图,该几何体是把球的上半部分平均分为4份后,切去相对的两部分后剩余的几何体,体积V=π-π×=π,=.。

高中数学第一章空间几何体1.3.2球的体积和表面积课时作业新人教A版必修20222522

1.3.2 球的体积和表面积【选题明细表】1.两个球的表面积之差为48π,它们的大圆周长之和为12π,这两个球的半径之差为( C )(A)4 (B)3 (C)2 (D)1解析:令S球1=4πR2,S球2=4πr2,由题可知4πR2-4πr2=48π, ①又2πR+2πr=12π, ②得R-r=2.2.长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点落在球O的表面上,已知AB=3, AD=4,BB1=5,那么球O的表面积为( D )(A)25π (B)200π(C)100π(D)50π解析:由长方体的体对角线为外接球的直径,设球半径为r,则2r==5,则r=,4πr2=4×()2π=50π.3.(2018·湖南师大附中高一测试)某几何体的三视图如图所示,它的体积为( C )(A)72π (B)48π (C)30π (D)24π解析:由三视图可知,该几何体的上方是一个以3为半径的半球,下方是以3为底面半径,以5为母线长的圆锥,所以其体积V=×π×33+×π×32×=18π+12π=30π.4.若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为S1、S2,则S1∶S2等于( C )(A)1∶1 (B)2∶1 (C)3∶2 (D)4∶1解析:由题意可得圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,设球的半径为1,则S1=6π,S2=4π.所以S1∶S2=3∶2,故选C.5.将一钢球放入底面半径为 3 cm的圆柱形玻璃容器中,水面升高 4 cm,则钢球的半径是.解析:圆柱形玻璃容器中水面升高了4 cm,则钢球的体积为V=π×32×4=36π,即有πR3=36π,所以R=3.答案:3 cm6.(2018·黑龙江伊春高一测试)边长为4的正方形ABCD的四个顶点在半径为5的球O的表面上,则四棱锥O-ABCD的体积是.解析:因为ABCD外接圆的半径r==4,又因为球的半径为5,所以球心O到平面ABCD的距离d==3,所以=×(4)2×3=32.答案:327.如图所示(单位:cm)四边形ABCD是直角梯形,求图中阴影部分绕AB旋转一周所成几何体的表面积和体积.解:S球=×4π×22=8π(cm2),S圆台侧=π(2+5)=35π(cm2),S圆台下底=π×52=25π(cm2),即该几何体的表面积为8π+35π+25π=68π(cm2).又V圆台=×(22+2×5+52)×4=52π(cm3),V半球=××23=(cm3).所以该几何体的体积为V圆台-V半球=52π-=(cm3).能力提升8.如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍,则圆锥的侧面面积和球的表面积之比为( C )(A)4∶3 (B)3∶1 (C)3∶2 (D)9∶4解析:作轴截面如图,则PO=2OD,∠CPB=30°,CB=PC=r,PB=2r,圆锥侧面积S1=6πr2,球的面积S2=4πr2,S1∶S2=3∶2.故选C.9.圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图),则球的半径是( D )(A) cm(B)2 cm(C)3 cm(D)4 cm解析:设球的半径为r,则V水=8πr2,V球=4πr3,加入小球后,液面高度为6r,所以πr2·6r=8πr2+4πr3,解得r=4.故选D.10.(2018·陕西咸阳二模)已知一个三棱锥的所有棱长均为,求该三棱锥的内切球的体积.解:如图,AE⊥平面BCD,设O为正四面体A-BCD内切球的球心,则OE为内切球的半径,设OA=OB=R,又正四面体A BCD的棱长为,在等边△BCD中,BE=,所以AE==.由OB2=OE2+BE2,得R2=(-R)2+,解得R=,所以OE=AE-R=,即内切球的半径是,所以内切球的体积为π×()3=π.探究创新11.将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体(四面体的每个面都是正三角形)的容器里,求这个正四面体的高的最小值.名师点拨:四个小球在正四面体内一定是两两相切的,球心连起来构成一个正四面体.解:由题意,如图所示,在正四面体S-ABC的底面上放三个钢球,上面再放一个钢球时,正四面体的高最小.且连接小钢球的球心又得到一个棱长为2的小正四面体M-NEF,且两个正四面体的中心重合于点O,取△NEF的中心O1,连接NO1,则NO1=,MO1==.由正四面体的性质知其中心O与O1的距离OO1=MO1=.从而OO2=OO1+1=+1.故正四面体的高的最小值为4OO2=+4.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

高中数学 1.3 空间几何体的表面积与体积 1.3.2 球的体

第一章 1.3 1.3.2 球的体积和表面积A 级基础巩固一、选择题1．如果三个球的半径之比是1︰2︰3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的 ( B )A ．59倍 B ．95倍 C ．2倍D ．3倍[解析] 设小球半径为1，则大球的表面积S 大＝36π，S 小＋S 中＝20π，36π20π＝95.2．若两球的体积之和是12π，经过两球球心的截面圆周长之和为6π，则两球的半径之差为 ( A )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 设两球的半径分别为R 、r (R >r )，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4π3R 3＋4π3r 3＝12π2πR ＋2πr ＝6π，解得⎩⎪⎨⎪⎧R ＝2r ＝1.故R －r ＝1.3．一个正方体表面积与一个球表面积相等，那么它们的体积比是 ( A ) A ．6π6B ．π2C ．2π2 D ．3π2π[解析] 由6a 2＝4πR 2得aR＝2π3，∴V 1V 2＝a 343πR 3＝34π⎝⎛⎭⎪⎫2π33＝6π6. 4．球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是 ( C ) A ．π3B ．π4C ．π2D ．π[解析] 设正方体的棱长为a ，球半径为R ，则3a 2＝4R 2，∴a 2＝43R 2，球的表面积S 1＝4πR 2，正方体的表面积 S 2＝6a 2＝6×43R 2＝8R 2，∴S 1︰S 2＝π2.5．正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( C ) A ．1︰ 3B ．1︰3C ．1︰3 3D ．1︰9[解析] 设正方体的棱长为a ，则它的内切球的半径为12a ，它的外接球的半径为32a ，故所求体积之比为1︰3 3.6．若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r 、R ，则球的表面积为 ( C ) A ．4π(r ＋R )2B ．4πr 2R2C ．4πRrD ．π(R ＋r )2[解析] 解法一：如图，设球的半径为r 1，则在Rt △CDE 中，DE ＝2r 1，CE ＝R －r ，DC ＝R ＋r .由勾股定理得4r 21＝(R ＋r )2－(R －r )2，解得r 1＝Rr .故球的表面积为D 球＝4πr 21＝4πRr .解法二：如图，设球心为O ，球的半径为r 1，连接OA 、OB ，则在Rt △AOB 中，OF 是斜边AB 上的高．由相似三角形的性质得OF 2＝BF ·AF ＝Rr ，即r 21＝Rr ，故r 1＝Rr ，故球的表面积为S 球＝4πRr .二、填空题7．(2017·天津理，10)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为__9π2__.[解析] 设正方体的棱长为a ，则6a 2＝18， ∴a ＝ 3.设球的半径为R ，则由题意知2R ＝a 2＋a 2＋a 2＝3， ∴R ＝32.故球的体积V ＝43πR 3＝43π×(32)3＝9π2.8．已知棱长为2的正方体的体积与球O 的体积相等，则球O 的半径为__36π__.[解析] 设球O 的半径为r ，则43πr 3＝23，解得r ＝36π.三、解答题9．体积相等的正方体、球、等边圆柱(轴截面为正方形)的全面积分别是S 1、S 2、S 3，试比较它们的大小.[解析] 设正方体的棱长为a ，球的半径为R ，等边圆柱的底面半径为r ，则S 1＝6a 2，S 2＝4πR 2，S 3＝6πr 2.由题意知，43πR 3＝a 3＝πr 2·2r ，∴R ＝334πa ，r ＝312πa ， ∴S 2＝4π⎝ ⎛⎭⎪⎫334πa 2＝4π·3916π2a 2＝336πa 2， S 3＝6π⎝ ⎛⎭⎪⎫312πa 2＝6π·314π2a 2＝354πa 2， ∴S 2<S 3.又6a 2>332πa 2＝354πa 2，即S 1>S 3. ∴S 1、S 2、S 3的大小关系是S 2<S 3<S 1.10．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r ＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积.[解析] 该组合体的表面积S ＝4πr 2＋2πrl ＝4π×12＋2π×1×3＝10π. 该组合体的体积V ＝43πr 3＋πr 2l ＝43π×13＋π×12×3＝13π3.B 级素养提升一、选择题1．用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是 ( B )[解析] 选项D 为主视图或者侧视图，俯视图中显然应有一个被遮挡的圆，所以内圆是虚线，故选B ．2．若一个球的外切正方体的表面积等于6 cm 2，则此球的体积为 ( A ) A ．π6cm 3B ．6π8cm 3C ．4π3cm 3D ．6π6cm 3[解析] 设球的半径为R ，正方体的棱长为a ， ∴6a 2＝6，∴a ＝1.∴2R ＝1，∴R ＝12.∴球的体积V ＝43πR 3＝43π×(12)3＝π6.3．一个球与一个上、下底面为正三角形，侧面为矩形的棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为32π3，那么这个正三棱柱的体积是 ( D ) A ．96 3B ．16 3C ．24 3D ．48 3[解析] 由题意可知正三棱柱的高等于球的直径，从棱柱中间截得球的大圆内切于正三角形，正三角形与棱柱底的三角形全等，设三角形边长为a ，球半径为r ，由V 球＝43×πr3＝32π3解r ＝2.S 底＝12×a ×a 2－a 24＝12a ·r ×3，得a ＝23r ＝43，所以V 柱＝S 底·2r ＝48 3.4．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为 ( C )A ．2π3＋12B ．4π3＋16C ．2π6＋16D ．2π3＋12[解析] 由已知的三视图可知原几何体的上方是三棱锥，下方是半球，∴V ＝13×(12×1×1)×1＋[4π3×(22)3]×12＝16＋2π6，故选C ．二、填空题5．一个半径为2的球体经过切割后，剩余部分几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为__16π__.[解析] 该几何体是从一个球体中挖去14个球体后剩余的部分，所以该几何体的表面积为34×(4π×22)＋2×π×222＝16π. 6．圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是__4__cm.[解析] 设球的半径为r ，则圆柱形容器的高为6r ，容积为πr 2×6r ＝6πr 3，高度为8 cm 的水的体积为8πr 2,3个球的体积和为3×43πr 3＝4πr 3，由题意得6πr 3－8πr 2＝4πr 3，解得r ＝4(cm)．C 级能力拔高1．盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm ，两个直径为5 cm 的玻璃小球都浸没于水中，若取出这两个小球，则水面将下降多少？[解析] 设取出小球后，容器中水面下降h cm ，两个小球的体积为V 球＝2[4π3×(52)3]＝125π3(cm 3)，此体积即等于它们的容器中排开水的体积V ＝π×52×h ，所以125π3＝π×52×h ，所以h ＝53，即若取出这两个小球，则水面将下降53cm.2．已知四面体的各面都是棱长为a 的正三角形，求它外接球的体积及内切球的半径. [解析] 如图，设SO 1是四面体S －ABC 的高，则外接球的球心O 在SO 1上．设外接球半径为R .∵四面体的棱长为a ，O 1为正△ABC 中心， ∴AO 1＝23×32a ＝33a ，SO 1＝SA 2－AO 21＝a 2－13a 2＝63a ，在Rt △OO 1A 中，R 2＝AO 21＋OO 21＝AO 21＋(SO 1－R )2，即R 2＝(33a )2＋(63a －R )2，解得R ＝64a ， ∴所求外接球体积V 球＝43πR 3＝68πa 3.∴OO 1即为内切球的半径，OO 1＝63a －64a ＝612a ， ∴内切球的半径为612a .。

2018-2019学年高中数学第一章空间几何体 1.3.2 球的体积和表面积练习(含解析)新人教A版必修2

1.3.2球的体积和表面积A组1.若一个球的体积扩大到原来的27倍,则它的表面积扩大到原来的()A.3倍B.3倍C.9倍D.9倍答案:C2.一个正方体内接于表面积为4π的球,则正方体的表面积等于()A.4B.8C.8D.8解析:设正方体棱长为x,球半径为R,则S球=4πR2=4π,解得R=1.因为正方体内接于球,所以x=2R=2,所以x=,故S正=6x2=6×=8.答案:B3.一个各棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上,则该球的表面积为()A.3πB.4πC.3πD.6π解析:以四面体的棱为正方体的面对角线构造正方体,则四面体的外接球就是正方体的外接球,且正方体的棱长为1,设球半径为R,所以2R=,所以S球=4πR2=3π.答案:A4.右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是()A.9πB.10πC.11πD.12π解析:该几何体的上部是一个球,其表面积是4π×12=4π;下部是一个圆柱,其表面积是2π×1×3+2π×12=8π,则该几何体的表面积是4π+8π=12π.答案:D5.用与球心距离为1的平面去截球,所得截面面积为π,则球的体积为()A.B.C.8πD.解析:设球的半径为R,截面圆的半径为r,所得截面圆的半径为r=1,因此球的半径R=,球的体积为πR3=.答案:D6.用过球心的平面将一个球平均分成两个半球,则两个半球的表面积是原来整球表面积的倍.解析:设球半径为R,则球表面积为S1=4πR2,两个半球的表面积为S2=2(2πR2+πR2)=6πR2,∴S2∶S1=6∶4=3∶2.答案:7.将一钢球放入底面半径为3 cm的圆柱形玻璃容器中,水面升高4 cm,则钢球的半径是.解析:设钢球半径为r cm,则r3=π×32×4,即r=3.答案:3 cm8.球的一个内接圆锥满足:球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半,则该圆锥的体积和此球体积的比值为.解析:如图,设球半径为r,则球心到该圆锥底面的距离是,于是圆锥的底面半径为.因为圆锥的高为,所以圆锥的体积为×π×r3,球的体积为r3,所以该圆锥的体积和此球体积的比值为.答案:9.某组合体的直观图如图,它的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,若图中r=1,l=3,试求该组合体的表面积和体积.解:该组合体的表面积S=4πr2+2πrl=4π×12+2π×1×3=10π,该组合体的体积V=πr3+πr2l=π×13+π×12×3=.10.三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,且各顶点都在同一球面上.若AB=AC=AA1=2,∠BAC=120°,求此球的表面积.解:设球心为O,球半径为R,△ABC外接圆的圆心为M,则O在底面ABC上的射影就是点M.如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=120°,∴∠MAC=60°.又MA=MC,∴MA=MC=AC=2.∴R2=22+=5.∴此球的表面积为S=4πR2=20π.B组1.一个体积为1 cm3的正方体的顶点都在球面上,则球的表面积是()A.π cm2B.3π cm2C.9π cm2D.12π cm2解析:体积为1 cm3的正方体的棱长为1 cm,所以球的半径为 cm,表面积为3π cm2.答案:B2.有一个球与棱长为a的正方体的12条棱都相切,则这个球的体积应为()A.a3B.a3C.a3D.a3解析:由题意可知正方体的面对角线是球的直径,设球的半径为r,则r=a,故V=a3.答案:C3.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为() A. cm3 B. cm3C. cm3D. cm3解析:设球半径为R,由题可知R,R-2,正方体棱长一半可构成直角三角形,即△OBA为直角三角形,如图.BC=2,BA=4,OB=R-2,OA=R,由R2=(R-2)2+42,得R=5,所以球的体积为π53=π(cm3),故选A.答案:A4.圆柱形容器内盛有高度为8的水,若放入3个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图),则球的半径是.解析:设球的半径为r,则圆柱形容器的水高为6r(放置球后),容积为πr2×6r=6πr3,高度为8的水的体积为8πr2,3个球的体积和为3×πr3=4πr3,由题意得6πr3-8πr2=4πr3,解得r=4.答案:45.已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的体积为.解析:由题意得,该正四棱柱的底面边长为2,外接球的直径就是该正四棱柱的对角线,所以外接球的半径为,所以该球的体积为)3=8π.答案:8π6.如图,球O的半径为5,一个内接圆台的两底面半径分别为3和4(球心O在圆台的两底面之间),则圆台的体积为.解析:作经过球心的截面(如图),O1A=3,O2B=4,OA=OB=5,则OO1=4,OO2=3,O1O2=7,V=×7=.答案:7.据说阿基米德死后,敌军将领给他建了一块墓碑,在墓碑上刻了一个图案(如图),图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等,圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心,圆锥的底面是圆柱的下底面.试计算出图形中圆锥、球、圆柱的体积比.解:设圆柱的底面半径为r,高为h,则V圆柱=πr2h,由题意,圆锥的底面半径为r,高为h,∴V圆锥=πr2h.球的半径为r,∴V球=πr3.又h=2r,∴V圆锥∶V球∶V圆柱=∶(πr2h)=∶(2πr3)=1∶2∶3.8.在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为3的正方形,且各侧棱长均为2.求该四棱锥外接球的表面积.解:取正方形ABCD的中心O1,连接SO1并延长交球面于点E.连接CO1,CE,如图.则球心O在SE上,即SE为球的直径,且SC⊥EC.∵AB=3,∴O1C=3.在Rt△SO1C中,SC=2,∴SO1=.在Rt△SCE中,Rt△SCE∽Rt△SO1C,∴SC2=SO1·SE,∴SE==4.∴球半径R=2.∴球的表面积为S=4πR2=4π·(2)2=48π.9.某几何体的三视图如图所示(单位:m).(1)求该几何体的表面积S(结果保留π);(2)求该几何体的体积V(结果保留π).解:由三视图可知,该几何体的下半部分是棱长为2 m的正方体,上半部分是半径为1 m的半球.(1)几何体的表面积S=×4π×12+6×22-π×12=24+π(m2).(2)几何体的体积V=23+×π×13=8+(m3).。

高中数学第一章空间几何体1.3.2球的体积和表面积学案含解析新人教A版必修2

1.3.2 球的体积和知识导图学法指导1.球心和球的半径是球的灵魂，抓住了球心就抓住了球的位置，知道了球的半径就可求出球的体积和表面积．2．在许多有关球的问题中，要画出实际空间图形比较困难，但我们可以通过构造多面体或取球的截面，把球的问题转化为多面体或平面图形的问题来解决．高考导航高考考查球的题型有： (1)计算球的表面积或体积；(2)求球与其他简单几何体的组合体的表面积或体积．常以选择题或填空题的形式出现，难度较低，分值5分.知识点球的表面积与体积公式1.一个关键掌握好球的表面积公式S 球＝4πR 2，球的体积公式V 球＝43πR 3是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件．掌握好公式，球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了．2．两个结论(1)两个球的体积之比等于这两个球的半径之比的立方． (2)两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方．[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个球的半径之比为：3，则其表面积之比为：9.( )(2)经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径．( )答案：(1)√ (2)√ 2．如果两个球的体积之比为：27，那么两个球的表面积之比为( )A ．：27B ．：3C ．：9 D ．：9解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫43πr 3：⎝ ⎛⎭⎪⎫43πR 3＝：27，∴r ：R ＝：3，∴S 1：S 2＝：9.答案：C3．一条直线被一个半径为13的球截得的线段长为24，则球心到直线的距离为( ) A ．13 B ．12 C ．5 D ．24解析：如图所示，d ＝132－122＝5.答案：C4．一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为________．解析：长方体外接球直径长等于长方体对角线长，即2R ＝12＋22＋32＝14，所以球的表面积S ＝4πR 2＝14π.答案：14π类型一球的体积与表面积例1 (1)球的体积是32π3，则此球的表面积是( )A ．12πB ．16π C.16π3 D.64π3(2)圆柱形玻璃容器内盛有高度为12 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.【解析】 (1)设球的半径为R ，则由已知得43πR 3＝32π3，解得R ＝2.故球的表面积S 表＝4πR 2＝16π.(2)设球半径为r cm ，则由3V 球＋V 水＝V 圆柱可得3×43πr 3＋πr 2×12＝πr 2×6r ，解得r＝6.故球的半径是6 cm.【答案】(1)B (2)6,利用球的体积公式先求半径R，再利用球的表面积公式求解．方法归纳计算球的表面积和体积的关键都是确定球的半径，注意把握表面积公式S 球＝4πR 2中系数的特征及半径的平方．必要时需逆用表面积公式得到球的半径关于表面积的关系式．同时还应注意体积公式V 球＝43πR 3中系数的特征及半径的立方．注意：计算与球有关的组合体的表面积与体积时要恰当地分割与拼接，避免重叠．,跟踪训练1 (1)把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大为原来的( ) A ．2倍 B ．22倍 C.2倍 D ．32倍 (2)一个半球的表面积为1，则相对应的此球的半径应为( ) A.13π B.3π C.3π3π D.33π3π解析：(1)设改变前、后球的半径分别是r ，r ′，则由条件可知4πr ′2＝2×4πr 2. ∴r ′＝2r ，V ′＝4πr ′33＝22×4πr 33.(2)S 表＝πr 2＋2πr 2＝1，∴r ＝3π3π. 答案：(1)B (2)C先根据球的表面积的关系，得出半径之比，再求出体积之比．类型二球的截面问题例2 (1)一平面截一球得到直径为2 5 cm 的圆面，球心到这个圆面的距离是2 cm ，则该球的体积是( )A ．12π cm 3B ．36π cm 3C ．646π cm 3D ．108π cm 3(2)已知球的两平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且距离为1，则这个球的表面积为________．【解析】 (1)设球心为O ，截面圆的圆心为O 1，如图所示，连接OO 1，则OO 1垂直于截面圆O 1.在Rt△OO 1A 中，O 1A ＝ 5 cm ，OO 1＝2 cm ， ∴球的半径R ＝OA ＝22＋52＝3 (cm)，∴球的体积V ＝43×π×33＝36π (cm 3)．(2)如图所示，设以r 1为半径，O 1为圆心的截面圆的面积为5π，以r 2为半径，O 2为圆心的截面圆的面积为8π，球的半径为R ，OO 2＝x ，则O 1O 2＝1.在Rt△OO 2A 中，OA ＝R ，OO 2＝x ，O 2A ＝r 2，则r 22＝R 2－x 2，∴πr 22＝π(R 2－x 2)＝8π，即R 2－x 2＝8 ①.在Rt△OO 1B 中，OB ＝R ，OO 1＝x ＋1，O 1B ＝r 1，则r 21＝R 2－(x ＋1)2，∴πr 21＝π[R 2－(x ＋1)2]＝5π，即R 2－(x ＋1)2＝5 ②.由①②得x ＝1，R ＝3.∴球的表面积为S ＝4πR 2＝4π×32＝36π. 【答案】 (1)B (2)36π(1)作经过球心和截面圆圆心的轴截面；(2)作截面图时，注意两个截面在圆心的同一侧，构成两个直角三角形，再求解．方法归纳球的截面问题的解题方法对于球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将空间几何问题转化为平面中圆的有关问题解决．球的半径R ，球心到截面的距离d ，截面圆的半径r 恰好构成直角三角形，利用三个量之间的关系d 2＝R 2－r 2，可知二求一．跟踪训练2 球面上有三个点A ，B ，C ，其中AB ＝18，BC ＝24，AC ＝30，且球心到平面ABC 的距离为球半径的一半，那么这个球的半径为( )A ．20B ．30C ．10 3D ．15 3解析：平面ABC 截球所得的截面是一个圆面，A ，B ，C 三点在这个圆面的圆上，∵AB ＝18，BC ＝24，AC ＝30，∴AC 2＝AB 2＋BC 2，∴AC 为这个圆的直径．设AC 的中点为M ，球心为O ，球的半径为R ，则M 为截面圆的圆心，MA 为其半径，在Rt△OMA 中，∠OMA ＝90°，OM ＝12R ，MA ＝12AC ＝12×30＝15，OA ＝R ，由勾股定理得(12R )2＋152＝R 2，解得R ＝10 3.答案：C先证明三角形ABC 是直角三角形，AC 是斜边，设AC 的中点为M ，则M 为截面圆的圆心，MA 为其半径，求出MA ，找到OM 与球半径的关系，利用勾股定理求出球半径即可．,类型三内切球与外接球问题例3 已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O －ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π【解析】如图，设球的半径为R ，因为∠AOB ＝90°，所以S △AOB ＝12R 2.因为V O －ABC ＝V C －AOB ，而△AOB 面积为定值，所以当点C 到平面AOB 的距离最大时，V O －ABC 最大，所以当C 为与球的大圆面AOB 垂直的直径的端点时，体积V O －ABC 最大为13×12R 2×R ＝36，所以R ＝6.所以球O 的表面积S ＝4πR 2＝4π×62＝144π.故选C. 【答案】 C解题时要认真分析图形，明确切点、接点的位置，作出合适的辅助图形，确定有关元素间的位置和数量关系．方法归纳(1)处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系．一般情况下，由于球的对称性，球心总在几何体的特殊位置，比如中心、对角线的中点等．(2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”或“接点”作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算．跟踪训练3 已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A ．π B.3π4 C.π2 D.π4解析：如图所示，由题可知球心在圆柱的中心处，球的半径R ＝1，圆柱的高h ＝1，则圆柱上、下底面圆的半径r ＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32，则圆柱的体积V ＝πr 2h ＝3π4.故选B.答案：B先确定圆柱上、下底面圆的半径，然后再求该圆柱的体积. 1.3.2[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．已知两个球的半径之比为：3，那么这两个球的表面积之比为( )A ．：9B ．：27C ．：3 D ．：1解析：设两球的半径分别为r 1，r 2，表面积分别为S 1，S 2， ∵r 1：r 2＝：3，∴S 1：S 2＝4πr 21：4πr 22＝r 21：r 22＝：9.故选A.答案：A2．[2019·安徽省合肥市检测]平面α截球O 所得截面圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( )A.6π B ．43π C ．46π D ．63π 解析：球的半径R ＝12＋22＝3，所以球的体积V ＝43π×(3)3＝43π.答案：B3．两球的体积之和是12π，它们的大圆周长之和是6π，则大球与小球的半径之差是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：设大球半径为R ，小球半径为r ，所以⎩⎪⎨⎪⎧43πR 3＋43πr 3＝12π，2πR ＋2πr ＝6π，得⎩⎪⎨⎪⎧R ＝2r ＝1，所以R －r ＝2－1＝1.答案：A4．已知一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是( ) A ．8π B ．6π C ．4π D ．π解析：设该正方体的棱长为a ，内切球的半径为r ，则a 3＝8，∴a ＝2，∴正方体的内切球直径为2，r ＝1，∴内切球的表面积S ＝4πr 2＝4π.答案：C5．半径为336π的球的体积与一个长、宽分别为6,4的长方体的体积相等，则长方体的表面积为( )A ．44B ．54C ．88D ．108解析：由题意知，球的半径R ＝336π，故球的体积为43πR 3＝43π·36π＝48，则长方体的高为48÷6÷4＝2，故长方体的表面积为2×(6×4＋4×2＋6×2)＝88.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，PA ＝3，底面ABC 是边长为2的正三角形，三棱锥P －ABC 的体积为________．解析：依题意有，三棱锥P －ABC 的体积V ＝13S △ABC ·|PA |＝13×34×22×3＝ 3. 答案： 37．把直径分别为6 cm,8 cm,10 cm 的三个铁球熔成一个大铁球，则这个大铁球的半径为________ cm.解析：设大铁球的半径为R cm ，由43πR 3＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫623＋43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫823＋43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫1023，得R 3＝216，得R ＝6.答案：68．湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为6 cm ，深为1 cm 的空穴，则该球半径是________ cm ，表面积是________ cm 2.解析：设球心为O ，OC 是与冰面垂直的一条球半径，冰面截球得到的小圆圆心为D ，AB 为小圆D 的一条直径，设球的半径为R ，则OD ＝(R －1) cm ，则(R －1)2＋32＝R 2，解之得R ＝5 cm ，所以该球表面积为S ＝4πR 2＝4π×52＝100π(cm 2)．答案：5 100π三、解答题(每小题10分，共20分) 9．若三个球的表面积之比为：：9，求这三个球的体积之比．解析：设三个球的半径分别为R 1，R 2，R 3， ∵三个球的表面积之比为：：9， ∴4πR 21：4πR 22：4πR 23＝：：9，即R 21：R 22：R 23＝：：9，∴R 1：R 2：R 3＝：：3， ∴V 1：V 2：V 3＝43πR 31：43πR 32：43πR 33＝R 31：R 32：R 33＝：：27.10．已知球心O 到过球面上三点A ，B ，C 的截面的距离等于球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝3 cm ，求球的体积．解析：如图所示，设过A ，B ，C 三点的截面为圆O ′，连接OO ′，AO ，AO ′，因为AB ＝BC ＝CA ＝3 cm ，所以O ′为正三角形ABC 的中心，且AO ′＝33AB ＝ 3 cm. 设球的半径为R ，则OO ′＝12R .由球的截面性质，知△OO ′A 为直角三角形，所以AO ′＝OA 2－OO ′2＝R 2－14R 2＝32R ，所以R ＝2 cm. 所以V 球＝43πR 3＝323π (cm 3)．[能力提升](20分钟，40分)11．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A ．π B.3π4C.π2 D.π4解析：设圆柱的底面半径为r ，球的半径为R ，且R ＝1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r ，R 及圆柱的高的一半构成直角三角形．∴r ＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32.∴圆柱的体积为V ＝πr 2h ＝34π×1＝3π4.故选B. 答案：B12．长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3、5、15，则它的外接球的表面积为________．解析：设长方体的有公共顶点的三条棱的长分别为x 、y 、z ，则由已知得⎩⎨⎧xy ＝3，yz ＝5，zx ＝15，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1，z ＝5所以球的半径R ＝12x 2＋y 2＋z 2＝32.所以S 球＝4πR 2＝9π.答案：9π13．有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．解析：设正方体棱长为a ，三个球的半径依次为R 1，R 2，R 3，则有2R 1＝a ，R 1＝a2，2a＝2R 2，R 2＝22a ，3a ＝2R 3，R 3＝32a ，所以R 1：R 2：R 3＝：2： 3.所以S 1：S 2：S 3＝R 21：R 22：R 23＝：：3.即这三个球的表面积之比为：：3.14．一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥内又有一个内切球．求： (1)圆锥的侧面积；- 11 - (2)圆锥内切球的体积．解析：(1)如图所示，作出轴截面，则等腰三角形SAB 内接于圆O ，而圆O 1内切于△SAB . 设圆O 的半径为R ，则有43πR 3＝972π，所以R 3＝729，R ＝9，所以SE ＝18.又因为SD ＝16，所以ED ＝2.连接AE ，因为SE 是直径，所以SA ⊥AE ，SA 2＝SD ·SE ＝16×18＝288，所以SA ＝12 2.因为AB ⊥SD ，所以AD 2＝SD ·DE ＝16×2＝32，AD ＝4 2.所以S 圆锥侧＝π×42×122＝96π.(2)设内切球O 1的半径为r ，因为△SAB 的周长为2×(122＋42)＝322，所以S △SAB ＝12r ×322＝12×82×16，所以r ＝4.所以内切球O 1的体积V 球＝43πr 3＝2563π.。

高中数学第一章空间几何体 1.31.3.2 球的体积和表面积练习新人教A版必修2

1.3 空间几体的表面积与体积 1.3.2 球的体积和表面积A 级基础巩固一、选择题1．若一个球的体积扩大到原来的27倍，则它的表面积扩大到原来的( ) A ．3倍 B ．3 3 倍 C ．9倍D ．9 3 倍解析：由V ′＝27 V ，得R ′＝3R ，R ′R＝3 则球的表面积比S ′∶S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫R ′R 2＝9. 答案：C2．把3个半径为R 的铁球熔成一个底面半径为R 的圆柱，则圆柱的高为( ) A ．R B ．2R C ．3R D ．4R 解析：设圆柱的高为h ，则πR 2h ＝3×43πR 3，所以h ＝4R . 答案：D3．如图所示，是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．9π＋42B ．36π＋18 C.92π＋12 D.92π＋18 解析：由三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积V ＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫323＋3×3×2＝92π＋18.答案：D4．设长方体的长、宽、高分别为2a ，a ，a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．3πa 2B ．6πa 2C ．12πa 2D ．24πa 2解析：设该球的半径为R ，所以(2R )2＝(2a )2＋a 2＋a 2＝6a 2，即4R 2＝6a 2.所以球的表面积为S ＝4πR 2＝6πa 2. 答案：B5．(2015·课标全国Ⅰ卷 )圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：由题设与三视图可知，该几何体是由半个圆柱和半球组合而成．其表面积S 表＝πr 2＋2πr 2＋4r 2＋2πr 2＝20π＋16 解之得r ＝2. 答案：B 二、填空题6．将一钢球放入底面半径为3 cm 的圆柱形玻璃容器中，水面升高4 cm ，则钢球的半径是________．解析：圆柱形玻璃容器中水面升高4cm ，则钢球的体积为V ＝π×32×4＝36π，即有43πR3＝36π，所以R ＝3.答案：3 cm7．两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，则这两个球的半径之差为________．解析：由题意设两球半径分别为R 、r (R ＞r )，则：⎩⎪⎨⎪⎧4πR 2－4πr 2＝48π2πR ＋2πr ＝12π即⎩⎪⎨⎪⎧R 2－r 2＝12R ＋r ＝6.，所以R －r ＝2. 答案：28．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：由三视图可知几何体为组合体，上方是半径为1的球，下方是长方体，其底面是边长为2的正方形，侧棱长为4，故其体积V ＝43×π×13＋2×2×4＝16＋4π3.答案：16＋4π3三、解答题9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r ＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积．解：组合体的表面积S ＝4πr 2＋2πrl ＝4π×12＋2π×1×3＝10π. 因为圆柱的体积V 圆柱＝πr 2l ＝π×12×3＝3π，又两个半球的体积2V 半球＝43πr 3＝43π，因此组合体的体积V ＝3π＋43π＝133π.10．一个正六棱柱的顶点都在同一球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，求这个球的体积．解：由题意可知，外接球的球心为六棱柱的中心，直径为六棱柱的体对角线，设六棱柱的底面边长为x ，则6x ＝3，x ＝12.设六棱柱的高为h ，又V ＝98，所以98＝6×34×⎝ ⎛⎭⎪⎫122h ，则h ＝3，则球的直径为2R ＝（3）2＋1＝2，R ＝1，故该球的体积V 球＝43πR 3＝4π3.B 级能力提升1．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为( ) A.8π3 B.82π3 C ．82π D.32π3解析：截面面积为π，则该小圆的半径为1，设球的半径为R ，则R 2＝12＋12＝2，所以R ＝2，V ＝43πR 3＝82π3.答案：B2.已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是________．解析：依题意得，该几何体是球的一个内接正方体，且该正方体的棱长为2，设该球的直径为2R ，则2R ＝22＋22＋22＝2 3.所以该几何体的表面积为4πR 2＝4π(3)2＝12π.答案：12π3．体积相等的正方体、球、等边圆柱(轴截面为正方形的圆柱)的表面积分别是S 1，S 2，S 3，试比较它们的大小．解：设正方体的棱长为a ，球的半径为R ，等边圆柱的底面半径为r ，则S 1＝6a 2，S 2＝4πR 2，S 3＝6πr 2. 由题意知，43πR 3＝a 3＝πr 2·2r ，所以R ＝334πa ，r ＝312πa ，所以S 2＝4π⎝ ⎛⎭⎪⎫334πa 2＝4π·3916π2a 2＝336πa 2， S 3＝6π⎝ ⎛⎭⎪⎫312πa 2＝6π·314π2a 2＝354πa 2，所以S2＜S3.又6a2＞3312πa2＝354πa2，即S1＞S3.所以S1，S2，S3的大小关系是S2＜S3＜S1.。

高中数学第一章空间几何体1.3空间几何体的表面积与体积1.3.2球的体积和表面积优化练习新人教A版

2017-2018学年高中数学第一章空间几何体1.3 空间几何体的表面积与体积1.3.2 球的体积和表面积优化练习新人教A版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第一章空间几何体1.3 空间几何体的表面积与体积1.3.2 球的体积和表面积优化练习新人教A 版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2017-2018学年高中数学第一章空间几何体1.3 空间几何体的表面积与体积1.3.2 球的体积和表面积优化练习新人教A版必修2的全部内容。

1.3。

2 球的体积和表面积[课时作业]［A组基础巩固]1．如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的体积是其余两个球的体积之和的（）A．1倍B．2倍C．3倍D．4倍解析：设三球的半径分别为r、2r、3r，则最大球的体积为V＝错误!π(3r）3＝36πr3。

其余两球的体积和为V′＝错误!π［r3＋（2r)3]＝12πr3,∴V＝3V′.答案：C2．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为（)A。

错误! B．错误! C．8π D．错误!解析：设截面圆的半径为r，球的半径为R，由题意得错误!解得R＝错误!.∴S球＝4πR2＝8π。

答案:C3．某几何体的三视图如图所示,它的体积为( )A．72πB．48πC．30πD．24π解析:由三视图可知几何体由一个半球和倒立的圆锥组成的组合体．V＝13π×32×4＋错误!×错误!π×33＝30π。

答案:C4．等体积的球和正方体的表面积S球与S正方体的大小关系是( )A．S正方体〉S球B．S正方体〈S球C．S正方体＝S球D．无法确定解析：设正方体的棱长为a,球的半径为R，由题意,得V＝错误!πR3＝a3,∴a＝错误!，R＝错误!，∴S正方体＝6a2＝6错误!＝错误!，S球＝4πR2＝错误!〈错误!。

高中数学第一章空间几何体 1.3 空间几何体的表面积与体积 2 球的体积和表面积教案新人教A版

高中数学第一章空间几何体1.3 空间几何体的表面积与体积2 球的体积和表面积教案新人教A版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章空间几何体1.3 空间几何体的表面积与体积2 球的体积和表面积教案新人教A版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第一章空间几何体1.3 空间几何体的表面积与体积2 球的体积和表面积教案新人教A版必修2的全部内容。

《1。

3.2球的体积和表面积》一、教学目标知识目标：1、掌握球的体积公式343V R π=、表面积公式24S R π=。

2、会用球的表面积公式、体积公式解决相关问题，培养学生应用数学的能力．3、能解决与球的截面有关的计算问题及球的“内接”与“外切"的几何体问题．能力目标:通过类比、归纳、猜想等合情推理培养学生勇于探索的精神。

提高学生分析、综合、抽象概括等逻辑推理能力情感目标：通过寻求如何研究球的内切与外接的方法,培养学生将数学知识和生活实际相联系的意识,对学生进行“事物具有多面性”的辩证唯物主义思想教育.二、教学重点、难点重点:球的体积和表面积的计算公式的应用。

难点：解决与球相关的“内接"与“外切”的几何体问题三、教学方法采用试验探索，启发式的教学方法.教辅手段：圆柱、圆锥、半球容积比实物模型;一盆水;多媒体。

四、教学过程2 球的表面积：（以后讲）11221(3)i i V h S h S h S ≈⋅∆+⋅∆++⋅∆+ 又∵i h R ≈，且S =12i S S S ∆+∆+++∆ ∴可得13V R S ≈⋅，又∵343V R π=，∴13R S ⋅343R π=， ∴24S R π=即为球的表面积公式小结：球的体积公式343V R π=、表面积公式24S R π=都是以R 为自变量的函数.教师讲解，学生感悟分割、近似、极限等思想渗透微积分思想。

2021_2022学年高中数学第一章空间几何体1.3.2球的体积和表面积学案新人教A版必修2

第一章空间几何体1.3.2 球的体积和表面积学习目标核心素养1.了解并掌握球的体积和表面积公式．2.会用球的体积与表面积公式解决实际问题．(重点)3.会解决球的组合体及三视图中球的有关问题．(难点、易混点)1.通过对球的概念的学习，培养直观想象的数学核心素养．2.通过学习球的表面积、体积公式，培养逻辑推理、直观想象和数学运算的数学核心素养．1．球的体积和表面积设球的半径为R，则球的体积V V＝43πR3球的表面积S S＝4πR2球的表面积等于它的大圆面积的4倍．思考：球有底面吗？球面能展开成平面图形吗？[提示]球没有底面，球的表面不能展开成平面图形．1．若球的过球心的圆面的周长是C，则这个球的表面积是( )A．C24πB．C22πC．C2πD．2πC2C[由2πR＝C，得R＝C2π，所以S球面＝4πR2＝C2π.]2．设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是( )A ．4π3B ．8π3C ．43π D ．323πC [设正方体的棱长为a ，则6a 2＝24，解得a ＝2.∴正方体的体对角线为l ＝2 3.由2R＝l 得R ＝3.∴正方体的外接球体积为V 球＝43×(3)3π＝43π.]3．表面积为4π的球的半径是________．1 [设球的半径为R ，则S ＝4πR 2＝4π，得R ＝1.]4．两个半径为1的实心铁球，熔化成一个球，这个大球的半径是________． 32 [设大球的半径为R ，则有43πR 3＝2×43π×13，R 3＝2，∴R ＝32.]球的表面积与体积【例1】 (1)已知球的表面积为64π，求它的体积； (2)已知球的体积为5003π，求它的表面积．[解] (1)设球的半径为r ，则由已知得 4πr 2＝64π，r ＝4.所以球的体积：V ＝43×π×r 3＝2563π.(2)设球的半径为R ，由已知得 43πR 3＝5003π，所以R ＝5，所以球的表面积为：S ＝4πR 2＝4π×52＝100π.求球的表面积与体积的一个关键和两个结论(1)关键：把握住球的表面积公式S 球＝4πR 2，球的体积公式V 球＝43πR 3是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件．把握住公式，球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了．(2)两个结论：①两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方； ②两个球的体积之比等于这两个球的半径比的立方．[跟进训练]1．如果两个球的体积之比为8∶27，那么两个球的表面积之比为________．4∶9 [根据球的体积及表面积公式可知，两个球的体积之比等于半径之比的立方，表面积的比等于半径之比的平方，因为两个球的体积之比为8∶27，所以两个球的半径之比为2∶3，所以两个球的表面积的比为4∶9. ]球的截面问题【例2】 (1)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1. 球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( )A ．6π B ．43π C ．46π D ．63πB [如图，设截面圆的圆心为O ′，M 为截面圆上任一点，则OO ′＝2，O ′M ＝1，∴OM ＝（2） 2＋1＝3，即球的半径为3，∴V ＝43π(3)3＝43π.](2)已知半径为5的球的两个平行截面圆的周长分别为6π和8π，则这两个截面间的距离为________．1或7 [若两个平行截面在球心同侧，如图①，则两个截面间的距离为52－32－52－42＝1；若两个平行截面在球心异侧，如图②，则两个截面间的距离为52－32＋52－42＝7.]①②1．有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决．2．注意一个直角三角形，即由球心距(球心到截面圆心的距离)、截面圆的半径、球的半径围成一个直角三角形，满足勾股定理．[跟进训练]2．已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M. 若圆M的面积为3π，则球O的表面积等于________．16π[如图，圆M面积为3π，则圆M半径MB为3，OA＝2，则球O的表面积等于4π×22＝16π.]与球有关的切、接问题[探究问题]1．若长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则其外接球半径R与三条棱长有何关系？[提示]2R＝a2＋b2＋c2.2．棱长为a的正方体的外接球，其半径R与棱长a有何数量关系？其内切球呢？[提示] 外接球半径R ＝32a ；内切球半径R ＝12a .3．若一球与正方体的12条棱相切，则球半径R 与棱长a 有何数量关系？ [提示] R ＝22a .【例3】 (1)一球与棱长为2的正方体的各个面相切，则该球的体积为________. (2)正方体的全面积是a 2，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是________． (1)43π (2)πa 22 [(1)由题意可知球是正方体的内切球，因此球的半径为1，其体积为43π. (2)正方体内接于球，则由球及正方体都是中心对称图形知，它们的中心重合．可见，正方体的体对角线是球的直径．设球的半径是r ，则正方体的体对角线长是2r .依题意，2r ＝3·a 26，即r 2＝18a 2，所以S 球＝4πr 2＝4π·18a 2＝πa 22. ]1．将本例(1)变为：长方体的一个顶点处的三条棱长分别是3，3，6，这个长方体它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是( )A ．12π B. 18π C ．36π D. 6πA [由题意可知，该长方体的体对角线即为球的直径，其长度为23，从而球的半径为3，球表面积为12π.]2．将本例(1)变为：圆柱内接于球，圆柱的底面半径为3，高为8，则球的表面积为________． 100π [如图，由条件知，O 1A ＝3，OO 1＝4，所以OA ＝5，所以球的表面积为100π.]常见的几何体与球的切、接问题的解决策略(1)处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心总在几何体的特殊位置，比如中心、对角线的中点等．(2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算．1．球的表面积、体积基本性质是解决有关问题的重要依据，它的轴截面图形，球半径、截面圆半径、球心到截面的距离所构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要方法．2．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．1．若将气球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积增大到原来的( ) A ．2倍 B ．4倍 C ．8倍 D ．16倍C [设气球原来的半径为r ，体积为V ，则V ＝43πr 3，当气球的半径扩大到原来的2倍后，其体积变为原来的23＝8倍．]2．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．3π [由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面面积的和，即12×4π＋π＝3π.]3．一个正方体的八个顶点都在体积为43π的球面上，则正方体的表面积为________．8 [设球的半径为R ，正方体的棱长为a ，则43πR 3＝43π，故R ＝1，由3a ＝2R ＝2，所以a ＝23，所以正方体的表面积为S ＝6a 2＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232＝8.] 4．(1)已知球的直径为2，求它的表面积和体积； (2)已知圆锥的高为3，底面半径为3，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，求这个球的体积．[解] (1)由R ＝1，所以S 球＝4πR 2＝4π，V ＝43πR 3＝43π. (2)设该圆锥的外接球的半径为R ，依题意得，R 2＝(3－R )2＋(3)2，解得R ＝2，所以所求球的体积V ＝43πR 3＝43π×23＝323π.。

2019_2020学年高中数学第一章空间几何体1.3.2球的体积和表面积限时规范训练新人教A版必修2

1.3.2 球的体积和表面积【基础练习】1．设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是( ) A ．43π B ．8π3C ．43πD ．323π【答案】C【解析】由题意可知6a 2＝24，∴a ＝2.设正方体外接球的半径为R ，则3a ＝2R ，∴R ＝3，∴V 球＝43πR 3＝43π.2．已知底面边长为1，高为2的正六棱柱的顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( ) A ．4π B ．8π C ．82π3D ．42π3【答案】B【解析】∵正六棱柱的底面边长为1，高为2，∴正六棱柱体对角线的长为22＋22＝2 2.又正六棱柱的顶点在同一球面上，∴正六棱柱体对角线恰好是球的直径，得球半径R ＝2，则球的表面积为S ＝4πR 2＝8π.故选B ．3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A ．8＋43πB ．8＋23πC ．4＋43πD ．4＋23π【答案】B【解析】由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱柱与半球的组合体，故体积V ＝1×2×4＋12×43π＝8＋23π，故选B ．4．正方体的内切球与其外接球的体积之比为( )A ．1∶ 3B ．1∶3C ．1∶3 3D ．1∶9【答案】C【解析】设正方体的棱长为a ，则它的内切球的半径为12a ，它的外接球的半径为32a ，故所求的比为1∶3 3.5．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为9π2，则正方体的棱长为________．【答案】 3【解析】设正方体棱长为a ，球半径为R ，则43πR 3＝92π，∴R ＝32，∴3a ＝3，∴a ＝ 3.6．(2019年贵州贵阳适应性考试)某零件的正(主)视图与侧(左)视图均是如图所示的图形(实线组成半径为2 cm 的半圆，虚线是等腰三角形的两腰)，俯视图是一个半径为2 cm 的圆(包括圆心)，则该零件的体积是________cm 3.【答案】4π【解析】零件可视为从一个半球中挖去一个小圆锥所剩余的几何体，其体积为12×4π3×23－13×π×22×1＝4π(cm 3)． 7．盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm ，两个直径为5 cm 的玻璃小球都浸没于水中，若取出这两个小球，则水面将下降多少？【解析】设取出小球后，容器中水面下降h cm ，两个小球的体积为V 球＝2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π3×⎝ ⎛⎭⎪⎫523＝125π3(cm 3)，此体积即等于它们在容器中排开水的体积V ＝π×52×h ，所以125π3＝π×52×h ，解得h ＝53，即若取出这两个小球，则水面将下降53cm.8．在球面上有四个点P ，A ，B ，C ，如果PA ，PB ，PC 两两垂直且PA ＝PB ＝PC ＝a ，求这个球的体积．【解析】设这个球的半径为R .∵PA ，PB ，PC 两两垂直，PA ＝PB ＝PC ＝a ， ∴以PA ，PB ，PC 为相邻三条棱可以构造正方体．又P ，A ，B ，C 四点是球面上四点，∴球是正方体的外接球，正方体的体对角线是球的直径．∴2R ＝3a ，R ＝32a . ∴所求体积为43πR 3＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 3＝32πa 3.【能力提升】9．在四面体ABCD 中，共顶点A 的三条棱两两相互垂直，且其长分别为2,3,4.若四面体ABCD 的四个顶点在同一个球面上，则这个球的表面积为( )A ．23πB ．25πC ．27πD ．29π【答案】D【解析】依题意知原几何体是一个三棱锥，这个几何体可以看作是长、宽、高分别为4,2,3的长方体的一部分，则其外接球的半径为R ＝1242＋22＋32＝292，故这个球的表面积为S ＝4πR 2＝4π⎝⎛⎭⎪⎫2922＝29π. 10．一块石材表示的几何体的三视图如图所示．将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】由三视图可知该几何体是一个直三棱柱，如图所示．由题意知，当打磨成的球的大圆恰好与三棱柱底面直角三角形的内切圆相同时，该球的半径最大，故其半径r ＝12×(6＋8－10)＝2.故选B ．11．(2019年浙江嘉兴模拟)若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为________．【答案】3π【解析】过圆锥的高作轴截面，得截面△ABC 及其内切圆⊙O 1和外接圆⊙O 2，且两圆同圆心，即△ABC 的内心与外心重合，易得△ABC 为正三角形，由题意知⊙O 1的半径为r ＝1，∴△ABC 的边长为23，圆锥的底面半径为3，高为3，∴V ＝13×π×3×3＝3π.12. 如图所示，半径为R 的半圆内的阴影部分以直径AB 所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积．(其中∠BAC ＝30°)【解析】如图所示，过C 作CO 1⊥AB 于O 1.在半圆中可得∠BCA ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝2R ， ∴AC ＝3R ，BC ＝R ，CO 1＝32R . ∴S 球＝4πR 2，S 圆锥AO 1侧＝π×32R ×3R ＝32πR 2， S 圆锥BO 1侧＝π×32R ×R ＝32πR 2. ∴S 几何体表＝S 球＋S 圆锥AO 1侧＋S 圆锥BO 1侧＝112πR 2＋32πR 2＝11＋32πR 2.11＋32πR2.故旋转所得几何体的表面积为。