平面向量的正交分解极坐标表示、运算
高考数学复习 专题07 平面向量 平面向量的正交分解和坐标表示记及运算考点剖析
平面向量的正交分解和坐标表示及运算 主标题：平面向量的正交分解和坐标表示及运算副标题：为学生详细的分析平面向量的正交分解，坐标表示，及坐标运算的高考考点、命题方向以及规律总结。
关键词：平面向量，正交分解，坐标运算，知识总结难度：3重要程度：5考点剖析：本考点包括平面向量的正交分解，坐标表示及坐标运算，考纲明确要求学生要理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算，会根据向量的坐标，判断向量是否共线。
命题方向：1.平面向量的坐标运算，利用向量的坐标形式的加减，数乘运算，是近几年高考的热点．2.利用坐标表示的平面向量共线的条件，求参数的取值也是难点，同时考查分类讨论思想和数形结合思想．3.题型以选择题和填空题为主，都是基础题.规律总结：1.平面向量的正交分解和坐标表示及运算规律总结一个概念正交分解：把一个向量分解成两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。
两个防范(1) 要区分点的坐标和向量坐标的不同，向量的坐标等于表示向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标，向量中既有大小的信息，又有方向的信息。
(2)若()()1122,,,a x y b x y ==r r ，则a r ∥b r 的充要条件不能表示成1122x y x y =，因为22,x y 有可能等于0，所以应表示为12210x y x y -=．三个运算公式若()()1122,,,a x y b x y ==r r ，则()1212,a b x x y y +=++r r ；()1212,a b x x y y -=--r r ；()11,a x y λλλ=r .平面向量的坐标表示 (1)在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j r r 作为基底，对于平面内的一个向量a r ，有且只有一对实数x ，y ，使a xi y j =+r r r ，把有序数对(x ，y)叫做ar 的坐标，记作a r ＝(x ，y)，其中x 叫a r 在x 轴上的坐标，y 叫a r 在y 轴上的坐标。
6平面向量的正交分解及坐标表示、坐标运算
B
4 3 2
j -1 o i A
a
A1
1
-4
-3
-2
1
2
3
4
x
-1 -2
c
-3 -4
-5
d
练习 2：判断下列说法是否正确 （1）对于 a ，有且仅有一对实数 ( x, y ) 与之对应； （
） ）
（2）相等的向量的坐标相等；两个向量坐标相同则这两个向量相等； （
（3）从原点引出的向量 OA 的坐标 ( x, y ) 就是点 A 的坐标；反过来点 A 的坐标 ( x, y ) 也就
D.(7，-1)
6.已知平行四边形 ABCD 中， AD =(3,7), AB =(-2,3),对角线 AC、BD 交于 O，则 CO 的 坐标是( )
1 A.(- 2 ，5)
1 B.(- 2 ， -5)
1 C.( 2 )，-5)
3
1 D.( 2 ，5)
7. OM =（1，2）则 M 点坐标为
8. a b =（1,3） ， a b =（5，7）,则 a = 9.已知 a＝(3,2),b＝(0,-1)，则 3a-2b＝
.
13.已知 a＝(1,-1),b＝(3,0),c＝(1,7). (1)求：m＝a+b+c; (2)用 a、b 为基底来表示 m.
AC 为一组基底来表示 AD + BD + CD . 14.已知 A(1， -2)， B(2， 1)， C(3， 2)和 D(-2， 3)， 以 AB 、
4
课题 学习 目标
平面向量的正交分解及坐标表示、 坐标运算 1、理解平面向量的坐标的概念； 2、掌握平面向量的坐标运算； 教学过程与内容
平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量的坐标运算 课件
(3)坐标表示：a＝(x，y)就叫做向量的坐标表示． (4)特殊向量的坐标：i＝_(1_,_0_)_，j＝_(_0_,1_)，0＝_(_0_,0_)_．
3．向量与坐标的关系
设
→ OA
＝xi＋yi，则向量
→ OA
的坐标_(_x_，__y_) _就是终点A的坐
标；反过来，终点A的__坐__标___就是向量
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R)，则有下表：
文字描述
符号表示
两个向量和的坐
加法
标分别等于这两 a＋b＝_(x_1_＋__x_2，__y_1_＋__y_2)__
个向量相应这两个向量相应坐标的
_差____
__(x_1_－__x_2，__y_1_－__y_2)___
平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算
1．平面向量的正交分解 垂直
把一个平面向量分解为两个互相________的向量，叫做平
面向量的正交分解．
2．平面向量的坐标表示 (1)基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向 __相__同___的两个_单__位__向量i，j作为__基__底__． (2)坐标：对于平面内的一个向量a，_有__且__只__有__一___对实数 x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序实数对_(_x_，__y_) _叫做向量a的 坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做向量a在 x 轴上的坐标，y叫 做向量a在 y轴上的坐标．
→ OA
的坐标(x，y)．因
此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序
实数对唯一表示．即以原点为起点的向量与实数对是
__一__一__对__应___的．
[破疑点]向量的坐标和这个向量终点的坐标不一定相 同．当且仅当向量的起点是原点时，向量的坐标和这个向量 终点的坐标才相同．
高中数学必修4平面向量常考题型：平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量的坐标运算
平面向量的正交分解及坐标表示、坐标运算【知识梳理】1．平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 2．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底．对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y 使得a ＝xi ＋yj ，则(x ，y )叫做a 的坐标，记作a ＝(x ，y )，此式叫做向量的坐标表示．3．向量i ，j ，0的坐标表示 i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，0＝(0,0)． 4．平面向量的坐标运算题型一、平面向量的坐标表示【例1】 已知边长为1的正方形ABCD 中，AB 与x 轴正半轴成30°角．求点B 和点D 的坐标和AB 与AD的坐标．[解] 由题知B 、D 分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点． 设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)． 由三角函数的定义，得 x 1＝cos 30°＝32，y 1＝sin 30°＝12，∴B ⎝⎛⎭⎫32，12.x 2＝cos 120°＝－12，y 2＝sin 120°＝32，∴D ⎝⎛⎭⎫－12，32.∴AB ＝⎝⎛⎭⎫32，12，AD ＝⎝⎛⎭⎫－12，32. 【类题通法】求点和向量坐标的常用方法(1)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．(2)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标． 【对点训练】已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA|＝43，∠xOA ＝60°，(1)求向量OA的坐标；(2)若B (3，－1)，求BA的坐标．解：(1)设点A (x ，y )，则x ＝43cos 60°＝23，y ＝43sin 60°＝6，即A (23，6)，OA ＝(23，6)． (2)BA＝(23，6)－(3，－1)＝(3，7).题型二、平面向量的坐标运算【例2】 (1)已知三点A (2，－1)，B (3,4)，C (－2,0)，则向量3AB＋2CA ＝________，BC －2AB＝________.(2)已知向量a ，b 的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求a ＋b ，a －b,3a,2a ＋3b 的坐标． (1)[解析] ∵A (2，－1)，B (3,4)，C (－2,0)，∴AB＝(1,5)，CA ＝(4，－1)， BC＝(－5，－4)．∴3AB＋2CA ＝3(1,5)＋2(4，－1)＝(3＋8,15－2) ＝(11,13)．BC －2AB＝(－5，－4)－2(1,5)＝(－5－2，－4－10) ＝(－7，－14)．[答案] (11,13) (－7，－14)(2)[解] a ＋b ＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)， a －b ＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)， 3a ＝3(－1,2)＝(－3,6)， 2a ＋3b ＝2(－1,2)＋3(3，－5) ＝(－2,4)＋(9，－15) ＝(7，－11)． 【类题通法】平面向量的坐标运算技巧在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算(直角坐标运算法则即两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差，数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积)．【对点训练】若向量BA＝(2,3)，CA ＝(4,7)，则BC ＝( )A ．(－2，－4)B ．(3,4)C ．(6,10)D ．(－6，－10)解析：选A BC ＝BA －CA＝(2,3)－(4,7)＝(－2，－4).题型三、由向量相等求坐标【例3】 (1)若a ＝(－1,2)，b ＝(1，－1)，c ＝(3，－2)，且c ＝pa ＋qb ，则p ＝________，q ＝________.(2)已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，且CM ＝3CA ，CN ＝2CB ，求M ，N 及MN的坐标．(1)[解析] ∵a ＝(－1,2)，b ＝(1，－1)，c ＝(3，－2)， ∴pa ＋qb ＝p (－1,2)＋q (1，－1)＝(－p ＋q,2p －q )． ∵c ＝pa ＋qb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －p ＋q ＝3，2p －q ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，q ＝4.故所求p ，q 的值分别为1,4. [答案] 1 4(2)[解] 法一：由A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，可得CA＝(－2,4)－(－3，－4)＝(1,8)，CB＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6,3)，所以CM ＝3CA＝3(1,8)＝(3,24)， CN ＝2CB＝2(6,3)＝(12,6)．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则CM＝(x 1＋3，y 1＋4)＝(3,24)，x 1＝0，y 1＝20； CN＝(x 2＋3，y 2＋4)＝(12,6)，x 2＝9，y 2＝2，所以M (0,20)，N (9,2)，MN＝(9,2)－(0,20)＝(9，－18)．法二：设点O 为坐标原点，则由CM ＝3CA ，CN ＝2CB，可得OM －OC ＝3(OA －OC )，ON －OC ＝2(OB －OC )，从而OM ＝3OA －2OC ，ON ＝2OB －OC ，所以OM＝3(－2,4)－2(－3，－4)＝(0,20)， ON＝2(3，－1)－(－3，－4)＝(9,2)，即点M (0,20)，N (9,2)，故MN＝(9,2)－(0,20)＝(9，－18)．【类题通法】坐标形式下向量相等的条件及其应用(1)坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量．(2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可求某些参数的值． 【对点训练】已知a ＝AB，B 点坐标为(1,0)，b ＝(－3,4)，c ＝(－1,1)，且a ＝3b －2c ，求点A 的坐标．解：∵b ＝(－3,4)，c ＝(－1,1)，∴3b －2c ＝3(－3,4)－2(－1,1)＝(－9,12)－(－2,2)＝(－7,10)，即a ＝(－7,10)＝AB.又B (1,0)，设A 点坐标为(x ，y )，则AB＝(1－x,0－y )＝(－7,10)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x ＝－7，0－y ＝10⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝－10，即A 点坐标为(8，－10)．【练习反馈】1．已知AB＝(－2,4)，则下面说法正确的是( )A ．A 点的坐标是(－2,4)B ．B 点的坐标是(－2,4)C ．当B 是原点时，A 点的坐标是(－2,4)D ．当A 是原点时，B 点的坐标是(－2,4)解析：选D 由任一向量的坐标的定义可知．当A 点是原点时，B 点的坐标是(－2,4)． 2．设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，则a －2b ＝( ) A ．(6,3) B ．(7,3) C ．(2,1)D ．(7,2)解析：选B ∵a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，∴a －2b ＝(3,5)－2(－2,1)＝(3,5)－(－4,2)＝(7,3)．3．若A (2，－1)，B (4,2)，C (1,5)，则AB＋2BC ＝________.解析：∵A (2，－1)，B (4,2)，C (1,5)，∴AB＝(2,3)，BC ＝(－3,3)．∴AB＋2BC ＝(2,3)＋2(－3,3)＝(2,3)＋(－6,6)＝(－4,9)．答案：(－4,9)4．已知a ＝(3,4)，点A (1，－3)，若AB＝2a ，则点B 的坐标为________．解析：设点B 的坐标为(x ，y )，则AB＝(x －1，y ＋3)，2a ＝(6,8)， 若AB ＝2a ，则⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝6，y ＋3＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝5.答案：(7,5)5．已知点A (2,3)，B (5,4)，C (7,10)，若AP ＝AB＋λAC (λ∈R)，试求λ为何值时，(1)点P 在第一、三象限角平分线上？ (2)点P 在第三象限内？ 解：设点P 的坐标为(x ，y )，则AP＝(x ，y )－(2,3)＝(x －2，y －3)，AB＋λAC ＝(5－2,4－3)＋λ[(7,10)－(2,3)]＝(3＋5λ，1＋7λ)．∵AP ＝AB＋λAC (λ∈R)，∴(x －2，y －3)＝(3＋5λ，1＋7λ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3＋5λ，y －3＝1＋7λ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋5λ，y ＝4＋7λ，∴P (5＋5λ，4＋7λ)． (1)若点P 在第一、三象限角平分线上， 则5＋5λ＝4＋7λ，故λ＝12.(2)若点P 在第三象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧5＋5λ<0，4＋7λ<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ<－1，λ<－47， 故λ<－1，即只要λ<－1，点P 在第三象限内．。
平面向量的正交分解及坐标表示
b
a
思考3：把一个向量分解为两个互相垂直
的向量，叫做把向量正交分解.如图，向 量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量 a与i的夹角是30°，且|a|=4，以向量i、 j为基底，向量a如何表示？
B
P
a 2 3坐标系中，分别取与x轴、
y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，
CD 2i 3 j
探究:平面向量的正交分解及坐标表示
思考1：不共线的向量有不同的方向，对 于两个非零向量a和b，作OA a，OB b， 如图.为了反映这两个向量的位置关系， 称∠AOB为向量a与b的夹角.你认为向量 的夹角的取值范围应如何约定为宜？
ab
B
b [0°，180°]
O aA
思考2：如果向量a与b的夹角是90°，则 称向量a与b垂直，记作a⊥b. 互相垂直 的两个向量能否作为平面内所有向量的 一组基底？
3.向量的坐标表示是一种向量与坐标 的对应关系，它使得向量具有代数意义. 将向量的起点平移到坐标原点，则平移 后向量的终点坐标就是向量的坐标.
作业： P102习题2.3B组：3，4.
对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定
理知，有且只有一对实数x、y，使得 a＝
xi＋yj.我们把有序数对（x，y）叫做向量a
的坐标，记作a＝(x，y).其中x叫做a在x轴上
的坐标，y叫做a在y轴 上的坐标，上式叫做向量 y
的坐标表示.那么x、y的
ya
几何意义如何？
j
x
Oi
x
平面向量的坐标表示
y 如图，i，j是分别与x轴，y轴方向相
D a
同的单位向量，若以i，j为基底，则
C
A
对于该平面内的任一向量a,
课件6：2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示~2.3.3 平面向量的坐标运算
题型 2 平面向量的坐标运算 例 2 已知 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)且 C→M＝ 3C→A，C→N＝2C→B，求 M，N 的坐标和M→N.
解：C→A＝(1,8)，C→B＝(6,3)， →CM＝3C→A＝(3,24)， C→N＝2C→B＝(12,6)． 设 M(x，y)，则C→M＝(x＋3，y＋4)， ∴xy＋＋34＝＝32，4， 解得xy＝＝02，0. ∴M(0,20)． 同理可得 N(9,2)．∴M→N＝(9－0,2－20)＝(9，－18)．
典例精析 题型 1 向量的坐标表示 例 1 已知 O 是坐标原点，点 A 在第一象限，|O→A|＝ 4 3，∠xOA＝60°，求向量O→A的坐标．
解：设点 A(x，y)，则 x＝|O→A|cos 60°＝4 3×12＝2 3， y＝|O→A|sin 60°＝4 3·23＝6，即 A(2 3，6)． ∴O→A＝(2 3，6)．
B．x>0，y<0
C．x<0，y＞0
D．x<0，y<0
【答案】C 4．已知m＝(2,7)，n＝(x＋2,7)，若m＝n，则x＝ ________. 【答案】0
规律总结
1．向量的坐标表示 在直角坐标系中，点 A 的位置被点 A 的位置向量O→A
所唯一确定，向量O→A的坐标(x，y)也就是点 A 的坐标； 反之，点 A 的坐标就是点 A 相对于坐标原点的位置向量 O→A的坐标．因此，在直角坐标系内，每一个平面向量都 可以用一个有序实数对唯一表示．
归纳点评 本题是从纯向量运算的角度来思考的，通过点 P 对应向量坐标的讨论来考查 t 的可能取值，而对于是否构成 平行四边形则可从构成平行四边形的条件来进行思考．实际 上，如果换个角度，就会发现，点 A，P，B 三点共线，
2.3.3平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算
2.3.3平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算．3.2&2.3.3 平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算预习课本P94～98，思考并完成以下问题怎样分解一个向量才为正交分解？如何由a，b的坐标求a＋b，a－b，λa的坐标？[新知初探]．平面向量正交分解的定义把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量．．平面向量的坐标表示基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．坐标：对于平面内的一个向量a，有且仅有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则有序实数对叫做向量a的坐标．坐标表示：a＝．特殊向量的坐标：i＝，j＝，0＝．[点睛] 平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式，只是两个基向量e1和e2互相垂直．由向量坐标的定义，知两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等，即a＝b⇔x1＝x2且y1＝y2，其中a＝，b＝．．平面向量的坐标运算设向量a＝，b＝，λ∈R，则有下表：文字描述符号表示加法两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和a＋b＝减法两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差a－b＝数乘实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标λa＝重要结论一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标已知A，B，则＝[点睛] 向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变．[小试身手]．判断下列命题是否正确．相等向量的坐标相同与向量的起点、终点无关．当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．两向量差的坐标与两向量的顺序无关．点的坐标与向量的坐标相同．答案：√√××．若a＝，b＝，则3a＋2b的坐标是A．B．c．D．答案：c．若向量＝，＝，则＝A．B．c．D．答案：A．若点，点N，用坐标表示向量＝______.答案：平面向量的坐标表示[典例]如图，在边长为1的正方形ABcD中，AB与x轴正半轴成30°角．求点B和点D的坐标和与的坐标．[解] 由题知B，D分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点．设B，D．由三角函数的定义，得x1＝cos30°＝32，y1＝sin30°＝12，∴B32，12.x2＝cos120°＝－12，y2＝sin120°＝32，∴D－12，32.∴＝32，12，＝－12，32.求点和向量坐标的常用方法求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．[活学活用]已知o是坐标原点，点A在象限，||＝43，∠xoA＝60°，求向量的坐标；若B，求的坐标．解：设点A，则x＝43cos60°＝23，y＝43sin60°＝6，即A，＝．＝－＝.平面向量的坐标运算[典例] 已知三点A，B，c，则向量3＋2＝________，－2＝________.已知向量a，b的坐标分别是，，求a＋b，a－b,3a,2a ＋3b的坐标．[解析] ∵A，B，c，∴＝，＝，＝．∴3＋2＝3＋2＝＝．－2＝－2＝＝．[答案]解：a＋b＝＋＝，a－b＝－＝，a＝3＝，a＋3b＝2＋3＝＋＝．平面向量坐标运算的技巧若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．[活学活用]．设平面向量a＝，b＝，则a－2b＝A．B．c．D．解析：选A ∵2b＝2＝，∴a－2b＝－＝．．已知，N，＝12，则P点坐标为______．解析：设P，＝，＝，∴＝12＝12＝－4，12，∴x－3＝－4，y＋2＝12.∴x＝－1，y＝－32.答案：－1，－32向量坐标运算的综合应用[典例] 已知点o，A，B及＝＋t，t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？[解] 因为＝＋t＝＋t＝，若点P在x轴上，则2＋3t＝0，所以t＝－23.若点P在y轴上，则1＋3t＝0，所以t＝－13.若点P在第二象限，则1＋3t＜0，2＋3t＞0，所以－23＜t＜－13.[一题多变]．[变条件]本例中条件“点P在x轴上，点P在y轴上，点P在第二象限”若换为“B为线段AP的中点”试求t的值．解：由典例知P，则1＋1＋3t2＝4，2＋2＋3t2＝5，解得t＝2.．[变设问]本例条件不变，试问四边形oABP能为平行四边形吗？若能，求出t值；若不能，说明理由．解：＝，＝．若四边形oABP为平行四边形，则＝，所以3－3t＝1，3－3t＝2，该方程组无解．故四边形oABP不能成为平行四边形．向量中含参数问题的求解向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果横或纵坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之改变．解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件的含参数的方程，解这个方程，就能达到解题的目的．层级一学业水平达标．如果用i，j分别表示x轴和y轴方向上的单位向量，且A，B，则可以表示为A．2i＋3jB．4i＋2jc．2i－jD．－2i＋j解析：选c 记o为坐标原点，则＝2i＋3j，＝4i＋2j，所以＝－＝2i－．已知＝a，且A12，4，B14，2，又λ＝12，则λa等于A．－18，－1B．14，3c．18，1D．－14，－3解析：选A ∵a＝＝14，2－12，4＝－14，－2，∴λa＝12a＝－18，－1.．已知向量a＝，2a＋b＝，则b＝A．B．c．D．解析：选A b＝－2a＝－＝．．在平行四边形ABcD中，Ac为一条对角线，＝，＝，则＝A．B．c．D．解析：选c ＝－＝－＝－＝．．已知，N，点P是线段N上的点，且＝－2，则P点的坐标为A．B．c．D．解析：选D 设P，则＝，＝，由＝－2得10－x＝4＋2x，－2－y＝－14＋2y，所以x ＝2，y＝4.．已知向量a＝，b＝，若a＋nb＝，则－n的值为________．解析：∵a＋nb＝＝，∴2＋n＝9，－2n＝－8，∴＝2，n＝5，∴－n＝2－5＝－3.答案：－3．若A，B，c，则＋2＝________.解析：∵A，B，c，∴＝，＝．∴＋2＝＋2＝＋＝．答案：．已知o是坐标原点，点A在第二象限，||＝6，∠xoA ＝150°，向量的坐标为________．解析：设点A，则x＝||cos150°＝6cos150°＝－33，y＝||sin150°＝6sin150°＝3，即A，所以＝．答案：．已知a＝，B点坐标为，b＝，c＝，且a＝3b－2c，求点A的坐标．解：∵b＝，c＝，∴3b－2c＝3－2＝－＝，即a＝＝.又B，设A点坐标为，则＝＝，∴1－x＝－7，0－y＝10⇒x＝8，y＝－10，即A点坐标为．0．已知向量＝，＝，点A．求线段BD的中点的坐标．若点P满足＝λ，求λ与y的值．解：设B，因为＝，A，所以＝，所以x1＋1＝4，y1＋2＝3，所以x1＝3，y1＝1，所以B．同理可得D，设BD的中点，则x2＝3－42＝－12，y2＝1－32＝－1，所以－12，－1.由＝－＝，＝－＝，又＝λ，所以＝λ＝，所以1＝－7λ，1－y＝－4λ，所以λ＝－17，y＝37. 层级二应试能力达标．已知向量＝，＝，则12＝A．B．c．D．解析：选D 12＝12＝12＝，故选D.．已知向量a＝，b＝，c＝，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为A．－2,1B．1，－2c．2，－1D．－1,2解析：选D ∵c＝λ1a＋λ2b，∴＝λ1＋λ2＝，∴λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4，解得λ1＝－1，λ2＝2.．已知四边形ABcD的三个顶点A，B，c，且＝2，则顶点D的坐标为A．2，72B．2，－12c．D．解析：选A 设点D，则由题意得＝2＝，故2＝4，2n －4＝3，解得＝2，n＝72，即点D2，72，故选A.．对于任意的两个向量＝，n nn＝．设f f f等于A．B．c．D．解析：选B 由⊗f＝，得p－2q＝5，2p＋q＝0，解得p＝1，q＝－2，所以f f．已知向量i＝，j＝，对坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论：①存在唯一的一对实数x，y，使得a＝；②若x1，x2，y1，y2∈R，a＝≠，则x1≠x2，且y1≠y2；③若x，y∈R，a＝，且a≠0，则a的起点是原点o；④若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是，则a＝．其中，正确结论有________个．解析：由平面向量基本定理，可知①正确；例如，a＝≠，但1＝1，故②错误；因为向量可以平移，所以a＝与a 的起点是不是原点无关，故③错误；当a的终点坐标是时，a＝是以a的起点是原点为前提的，故④错误．答案：1．已知A，B，o为坐标原点，点c在∠AoB内，|oc|＝22，且∠Aoc＝π4.设＝λ＋，则λ＝________.解析：过c作cE⊥x轴于点E，由∠Aoc＝π4知，|oE|＝|cE|＝2，所以＝＋＝λ＋，即＝λ，所以＝λ，故λ＝23.答案：23．在△ABc中，已知A，B，c，，N，D分别是AB，Ac，Bc的中点，且N与AD交于点F，求的坐标．解：∵A，B，c，∴＝＝，＝＝．∵D是Bc的中点，∴＝12＝12＝12＝－72，－4.∵，N分别为AB，Ac的中点，∴F为AD的中点．∴＝－＝－12＝－12－72，－4＝74，2.．在直角坐标系xoy中，已知点A，B，c，若＋＋＝0，求的坐标．若＝＋n，且点P在函数y＝x＋1的图象上，求－n. 解：设点P的坐标为，因为＋＋＝0，又＋＋＝＋＋＝．所以6－3x＝0，6－3y＝0，解得x＝2，y＝2.所以点P的坐标为，故＝．设点P的坐标为，因为A，B，c，所以＝－＝，＝－＝，因为＝＋n，所以＝＋n＝，所以x0＝＋2n，y0＝2＋n，两式相减得－n＝y0－x0，又因为点P在函数y＝x＋1的图象上，所以y0－x0＝1，所以－n＝1.。
平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量的坐标运算 课件
3．在基底确定的条件下，给定一个向量．它的坐标是 唯一的一对实数，给定一对实数，它表示的向量是否唯一？
提示：不唯一，以这对实数为坐标的向量有无穷多个， 这些向量都是相等向量．
4．向量可以平移，平移前后它的坐标发生变化吗？ 提示：不发生变化。向量确定以后，它的坐标就被唯 一确定，所以向量在平移前后，其坐标不变．
(2)设 c＝(x，y)，则 f(c)＝(y,2y－x)＝(4,5)， ∴y2＝y－4，x＝5， 解得xy＝＝43，， 即 c＝(3,4).
若向量|a|＝|b|＝1，且a＋b＝(1,0)，求a与b的坐标．
[解] 法一：设 a＝(m，n)，b＝(p，q)，则有
m2＋n2＝1， p2＋q2＝1， m＋p＝1， n＋q＝0，
[通一类] 1．已知 O 是坐标原点，点 A 在第一象限，|OA|＝4 3，
∠xOA＝60°， (1)求向量OA的坐标； (2)若 B( 3，－1)，求 BA的坐标． 解：(1)设点 A(x，y)，则 x＝4 3cos 60°＝2 3， y＝4 3sin 60°＝6，即 A(2 3，6)，OA＝(2 3，6)． (2) BA＝(2 3，6)－( 3，－1)＝( 3，7).
[点评] 法一利用模的概念和向量的坐标运算，通 过解方程组来求解，思路自然严谨；法二利用了“三角换 元”，借助三角公式简化了运算；法三利用了数形结合， 解法直观，简洁明了．
[小问题·大思维] 1．与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点？ 提示：与x轴平行的向量的纵坐标为0，即a＝(x,0)；与y 轴平行的向量的横坐标为0，即b＝(0，y)． 2．已知向量 OM ＝(－1，－2)，M点的坐标与 OM 的 坐标有什么关系？ 提示：坐标相同但写法不同；OM ＝(－1，－2)，而 M(－1，－2)．
平面向量的正交分解坐标表示及坐标运算
变式练习： 变式练习 a + b = (−4,−3), a − b = (2,1), 求a, b.
探究三： 探究三：点的坐标与向量坐标的关系
2.如图 如图， 例r 如图，已知 A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) uuu 这是一个重要结论！ 这是一个重要结论！ 的坐标。 求 AB 的坐标。 y uuu uuu uuu r r r 解：
r r a = b ⇔ x1 = x2且y1 = y2
r r a + b = ( x1 + x 2 , y 1 + y 2 ) r r a − b = ( x1 − x 2 , y 1 − y 2 )
2 加、减法法则 减法法则.
3 实数与向量积的运算法则 实数与向量积的运算法则： λa =λ(x +y )=（λx，λy ） i j（ 4 向量坐标 向量坐标.
BD = BA + BC = (−2 − (−1),1 − 3) + (3 − (−1), 4 − 3) = (3, −1)
D A O x
而 uuur uuu uuu r r OD = OB + BD = (−1,3) + (3, −1) = (2, 2) 所以顶点D的坐标为 ， ） 的坐标为（ 所以顶点 的坐标为（2，2）
思考1: 思考1:
分别与x 轴方向相同的两单位向量i 分别与 轴、y 轴方向相同的两单位向量 、j 能否作为平面向量的基底? 能否作为平面向量的基底
y a j O x
任一向量a ，用这组基底 任一向量 能不能表示? 能不能表示
i
探究一、平面向量的坐标表示 探究一、平面向量的坐标表示: r r r y a = xi +y j
平面向量的正交分解及坐标表示(运算)
正交分解
（1）当 90 时，把一个向量分解为两个 互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。
F
F1
' 1
F
F1'' F2''
F2'
F2 G
（2）当两向量互相垂直并且长度为1时， 我们可以构造出一组特殊的基底—— i , j
j
i
问题二： 在平面直角坐标系中，每一个点都可 以用有序实数对来表示，即A( x, y) 。
人 教 A 版 数 学
求它们的坐标。 a 2i 3 j , a (2,3)
b 2i 3 j , b (2,3)
c 2i 3 j , c (2, 3)
b2 b3)
如图，已知 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )，求 AB 的坐标。
平面向量基本定理的内容是什么？
如果 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平 ，有且只有一对实数 ，使： 面内的任一向量
问题一： 已知一个光滑斜坡上放着一个重为 G的物体，如图：
G F1 F2 叫做把重力分解。
a 1e1 2e2 我们也可看做把 a 分解。 所以，
人 教 A 版 数 学
第二章
平面向量
2．平面向量的坐标表示
如图所示，在平面直角坐标系内，分别取与x 轴、y轴 方向相同的两个单位向量 i，j 作为基底，对于平面内任意 一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数 x、y，使得a＝xi＋yj.这样，平面内的任一向量a都可由 有序数对(x，y) x、y 唯一确定，我们把 叫做向量a 的坐标，记作a＝(x，y)，x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在 y轴上的坐标．
高中数学平面向量的正交分解及坐标表示
高中数学平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算一、内容解析通过建立直角坐标系，可以将平面内任一向量用一个有序实数对来表示；反之，任一有序实数对就表示一个向量，这样就给出了向量的另一种表示——坐标表示，向量的加法、减法及实数与向量的积都可以用坐标来进行运算，使得向量的运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样许多几何问题的解决，就可以转化为数量运算，从而简化了思维过程。
1、 平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。
2、 平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量j i ,作为基底，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y 使j y i x a +=，则称有序实数对（x ，y ）为向量a 的坐标，记作a =（x ，y ），其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标。
3、 平面向量的坐标运算（1）若),(),,(2211y x b y x a ==，则),,(2121y y x x b a ++=+ ),(2121y y x x b a --=-即两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）；（2）若),(y x a =)(),,(R y x a ∈=λλλλ即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标；（3）若A(x 1,y 1) , B(x 2,y 2) ，则AB = (x 2-x 1 , y 2-y 1)即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。
二、目标解析1、认知目标：理解平面向量坐标的概念，掌握平面向量的正交分解、坐标表示及坐标运算，会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。
2、能力目标：培养阅读概括、观察猜想、归纳类比、分析综合等思维能力，化归与转化、分类讨论思想的应用及从特殊到一般的研究方法。
3、情感目标：激发学生学习兴趣，体验数学发现和创造历程，培养自主研究，勇于探索、讨论交流、阅读自学等优秀学习品质。
平面向量的正交分解和坐标表示及运算
学习导航：
平面向量基本定理告诉我们，平面内所有向量可以用 平面的一组基底表示出来，那么恰当的选择基底（尽
可能特殊化的基底），将带来更加便利的向量 表示及运算。我非常期待,你们呢？……
课题： 平面向量的正交分解及坐标表示
高一数学
刘利
F1 G F2
重力 G产生两个效果，一是木块受平行于 斜面的力的作用F1，沿斜面下滑；一是木块产 生垂直于斜面的压力 F2.也就是说，重力G 的
效果等价于F1和F2 得合力效果，即 G F1 F2.
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫 做把向量正交分解.
如图，向量 e1 , e2是两个互相垂直且长度分
别为2，1的向量，向量 a 与 e1的夹角是30°，
且 a 4，以向量 e1 , e2 为基底，向量 a如何表
示？
B
P
e2
a
O
e1
A
若该题中的基底e1, e2的长度都为1，a表示的结果是什么? 有何优越性？
解法2：由平行四边形法则可得
BD BA BC
y B
(2 (1),1 3) (3 (1), 4 3) A
(3, 1)
O
C D
x
而OD OB BD
(1,3) (3, 1) (2, 2)
？你能比较一下两种
所以顶点D的坐标为（2，2）
解法在思想方法上的异同 点吗
小结1 :平面向量的坐标表示
谢谢大家！
y
D
a
C
如图，i, j 是分别与x轴、y轴正方向相同 A
的单位向量，若以 i, j为基底，则
j
x
o iB
对于该平面内的任一向量 a，
有且只有一对实数x、y，可使
平面向量的正交分解及坐标表示
复习:
1.向量旳数乘运算:实数λ与向量a旳积是一种向 量，记作λa， 它旳长度和方向要求如下：
(1) |λa|=|λ| |a|
(2) 当λ>0时,λa旳方向与a方向相同； 当λ<0时,λa旳方向与a方向相反；
尤其地，当λ=0或a=0时, λa=0
设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有： ①λ(μa)=(λμ) a ②(λ+μ) a=λa+μa ③λ(a+b)=λa+λb
则
a b (x1 x2 , y1 y2 )
，
a b (x1 x2 , y1 y2 )
两个向量和与差旳坐标分别等于这 两个向量相应坐标旳和与差
（2） 若 A(x1, y1 ) B(x2 , y2 )
则 AB x2 x1, y2 y1
一种向量旳坐标等于表达此向量旳 有向线段旳终点坐标减去始点旳坐 标
（3）若 a (x, y) 和实数
则 a (x, y)
实数与向量旳积旳坐标等于用这个实 数乘原来向量旳相应坐标
例5.已知 a=(2，1)，
b =(例-354，．4)已，知求例6a b
3a 4b 旳坐标.
ab
作业P101习题A1,B1,3,4 P118A3,4B4
尤其地:
()a (a) (a)
(a b) a b
向量 b 与非零向量 a 共线当且仅当 有且只有一种实数λ，使得 b=λa
新课讲解
设e1、e2是同一平面内旳两个不共
线旳向量，a 是这一平面内旳任历来量，
我们研究 a 与 e1、e2之间旳关系.
e1
a
研究
e2
OC = OM + ON = 1OA + 2OB
平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算
•它们的坐标.
•A2
•解：如图可知
•同理
•A
•A1
•平面向量的坐标运算
•思考：已知
•
的坐标吗？
，你能得出
•由向量线性运算的结合律和分配律可得
•即 •同理可得 • 两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相 应坐标的和（差）.
•实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的坐标.
•例2.如图，已知 •解：
•4
•如图， 是分别与x轴、y轴方向相同
•3 •5
•的单位向量，若以 为基底，则
• 这样，平面内的任一向量 都可 •由x、y唯一确定，我们把有序数对 •（x,y）叫做向量 的坐标，记作
•① •其中，x叫做 在x轴上的坐标，y叫做 在y轴上的坐标， •①式叫做向量的坐标表示.
•显然，
•y •A
•O
（4）相等的向量坐标一定相同
A．1
B．2
C．3
D．4
•则点B的坐标为•_（__5_，__4__）_.
•3.已知：点A(2，3)、B(5，4)、C(7，10)若 ，试求λ为何值时, •（1）点P在一、三象限角平分线上? •（2）点P在第三象限内?
•，
•，
•，
•.
• （1）若点P在一、三象限角平分线上,则 5+5λ=4+7λ，
•（2）若点P在第三象限内，
•则
•， •，• ∴
•， •．
•∴λ＜-1,即只要λ＜-1,点P就在第三象限内.
平面向量的正交分解及坐标 表示平面向量的坐标运算
•1.掌握平面向量的坐标表示，会进行平面向量的正交分解; •2.了解平面内的任何一个向量都可以用两个不共线的向量 来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法； •3.能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够 用基底来表达. •4.会用坐标表示平面向量的加、减及数乘运算.
平面向量的正交分解及坐标表示 和坐标运算
§2.3.2-2.3.3平面向量的正交分解及坐标表示 和坐标运算一 学习目标1 .理解平面向量的正交分解及坐标表示2 .理解掌握坐标运算二 学习过程1. 预习新知(1) 正交分解：把一个向量分解成 的向量，叫做把向量正交分解（2） 向量的坐标表示： 平面直角坐标系中，分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个----------i,j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x,y ，使得a= ,我们把有序数对 叫向量a 的坐标(3) 已知a =(1x ,1y ) b =(2x ,2y ),则a = , a -b = ,m a = . .2 合作探究例1 已知A （1x ,1y ）,B(2x ,2y ),求AB 的坐标变式 你能在图中标出坐标为(2x -1x ,2y -1y )的点吗?例2 已知a =(2,1), b =(-3,4)求a +b ,a -b ,3a +4b 的坐标例3 已知平行四边形的三个顶点的坐标分别A(-2,1),B(-1,3),C(3,4)为，求顶点D 的坐标.三.总结与疑惑四.达标检测1．已知A (3,1)，B (2，－1)，则BA →的坐标是( )．A ．(－2，－1)B ．(2,1)C ．(1,2)D ．(－1，－2)2．若a ＝(2,1)，b ＝(1,0)，则3a ＋2b 的坐标是( )．A ．(5,3)B ．(4,3)C ．(8,3)D ．(0，－1)3．已知向量a ＝(－2,3)，b ＝(2，－3)，则下列结论正确的是( )．A ．向量a 的终点坐标为(－2,3)B ．向量a 的起点坐标为(－2,3)C ．向量a 与b 互为相反向量D ．向量a 与b 关于原点对称4．已知AB →＝(2，－1)，AC →＝(－4,1)则BC →＝________.5．已知a ＝(－1,1)且a ＝x i ＋y j ，则x ＝________，y ＝________.6．已知A (2,0)，a ＝(x ＋3，x －3y －5)，O 为原点，若a ＝OA →，求x ，y 的值．7．给出下面几种说法：①相等向量的坐标相同；②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；③一个坐标对应于唯一的一个向量；④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．其中正确说法的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．48．已知向量OA →＝(3，－2)，OB →＝(－5，－1)，则向量12AB →的坐标是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－12 C ．(－8,1) D ．(8,1)9．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，MP →＝12MN →，则P 点的坐标为________．10．(2012·洛阳高一检测)设m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，规定两向量之间的一个运算为m ⊗n ＝(ac －bd ，ad ＋bc )，若已知p ＝(1,2)，p ⊗q ＝(－4，－3)，则q ＝________.11．如图，已知四边形ABCD 为平行四边形，O 为对角线AC ，BD 的交点，AD →＝(3,7)，AB →＝(－2,1)．求OB →的坐标．12．已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)及OP →＝OA →＋t ·AB →，求：(1)t 为何值时，点P 在x 轴上？在y 轴上？在第二象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值？若不能，请说明理由．。
平面向量的正交分解及坐标表示平面向量加、减运算的坐标表示平面向量数乘运算的坐标表示
数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数 若a=(x,y),λ∈R,则λa=⑩(λx,λy) 乘原来向量的相应坐标
向量 一个向量的坐标等于表示此向量的有向 的 线段的终点的坐标减去起点的坐标 坐标
若A(x1,y1),B(x2,y2),则
=(x2-x1,y2-y1)
平面向量共线的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,向量a,b共线的充要条件是
4.已知向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),若a∥b,则 = . ( ✕ ) 5.向量a=(1,2)与b=(-3,-6)共线且同向. ( ✕ ) 提示：b=(-3,-6)=-3(1,2)=-3a,所以a与b共线且反向.
平面向量的正交分解及坐标表示平面 向量加 、减运 算的坐 标表示 平面向 量数乘 运算的 坐标表 示（公 开课课 件）
1.两个向量的终点不同,则这两个向量的坐标一定不同. ( ✕ ) 提示：两个向量的终点不同,但这两个向量可能相等,即坐标有可能相同. 2.向量的坐标就是向量终点的坐标. ( ✕ ) 提示：只有以坐标原点O为起点的向量的坐标才是其终点的坐标. 3.在平面直角坐标系中,两个相等向量的坐标相同. ( √ )
平面向量的正交分解及坐标表示平面 向量加 、减运 算的坐 标表示 平面向 量数乘 运算的 坐标表 示（公 开,DC∥AB,AD=DC=2,AB=4,E,F分别为AB,BC的中点,点 P在以A为圆心,AD为半径的圆弧 上运动(如图所示).若 =λ +μ ,其中λ, μ∈R,则2λ-μ的取值范围是 ( A )
=(3,1).
平面向量的正交分解及坐标表示平面 向量加 、减运 算的坐 标表示 平面向 量数乘 运算的 坐标表 示（公 开课课 件）
∴2cos α=-2λ+3μ,2sin α=2λ+μ, ∴λ= (3sin α-cos α),μ= (cos α+sin α),
平面向量的正交分解和坐标表示及运算.
2.3.2—§2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算教学目的：（1）理解平面向量的坐标的概念； （2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线. 教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性. 教学过程： 一、复习引入：1．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a，1e ，2e 唯一确定的数量二、讲解新课：同学们，我们知道，向量的概念是从物理中抽象出来的，人们最初对向量的研究是从几何的的角度来进行的，但是随着问题的不断深入，我们发现用图形来研究向量有一些不便之处，那么，有没有一种更简洁的方式可以来表示向量呢？我国著名数学家华罗庚先生说过：“数无形，少直观；形无数，难入微。
”图形关系往往与某些数量关系密切联系在一起，数与形是互相依赖的，所以我们想到了用数来表示向量.思路一：用一个数能否表示向量？（请学生回答） （不能，因为向量既有大小，又有方向）思路二：用两个数能否表示向量？（引导学生思考）在平面直角坐标系内，一个点和一对有序实数对之间有一一对应的关系，那么，向量是否也能找到与之对应的实数呢？让我们先来探讨这样一个问题：探究一：如图，,i j 为互相垂直的单位向量，请用,i j 表示图中的向量,,,.a b c d请学生动手完成并回答：根据向量加法的几何意义，我们只要把a 分解在,i j 的方向上，就可得到：33a i j =+，同理可得2b i j =-+ 33c i j =+ 42d i j =-我们用,i j 来表示a 的这种形式是否唯一？根据是什么？（提问学生）由此复习平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数12λλ，，使1122=a e e λλ+，其中的1e ，2e 称为平面的一组基底.强调：基底不唯一，只要不共线，就可作为基底，而一旦基底选定，任一向量在基底方向的分解形式就是唯一的.二、理解概念，加深认识.根据平面向量基本定理，我们知道，在选定基底的情况下，所给,,,.a b c d 四个向量在基底方向的分解形式是唯一的，也就是说，这几个向量用基底i 、j 来表示的形式是唯一的，每个向量对应的这对实数对我们就将其称之为向量的坐标.推广到平面内的任意向量，我们怎样来定义向量的坐标？（引导学生思考，请学生尝试给出定义）如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得a xi yj =+…………○1 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作 (,)a x y =…………○2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y轴上的坐标，123 4bacd－i j○2式叫做向量的坐标表示 在定义中，要注意a xi yj =+(,)x y =定义实际上给出了求向量坐标的方法：写出向量在正交基底,i j 方向的分解形式，就得到了向量的坐标；反过来，知道了一个向量的坐标，就相当于知道了它在i 、j 方向的分解形式.结合定义，指导学生求出向量i 、j 、0，OP 的坐标.（多媒体演示）在坐标系中观察，向量,i j 及OP 的坐标与其终点坐标有何关系？这几个向量在坐标系中的位置有什么共同点？什么样的向量其坐标就是终点坐标？通过这样的问题引导让学生得到结论：起点在原点的向量其坐标就是其终点的坐标.类比点的坐标，提出：向量平移后具体位置发生了改变，其坐标是否会发生变化？结合向量坐标的定义，将平移前后的向量分别分解在基底,i j 的方向上，所得四边形是全等的，因此，这两个向量的坐标相同.也可这样理解，通过动画演示，指出：平移前后的向量是相等向量，通过平移，可以使它们的起点平移到坐标原点处，则其终点必然重合，此时，它们的坐标都对应着这个终点的坐标，由此得到：相等向量的坐标相同，坐标相同的向量是相等向量. 三、自主探索，推导法则.前面所学的向量的加法、减法、实数与向量的积这几种运算的结果是向量，因此，引入向量后，这些运算的结果也能用坐标表示，1122(,),(,),,(,),a x y b x y a b a b a x y a λλ==+-=探究二： (1)已知 求 的坐标. (2)已知和实数求 的坐标.请学生以四人小组为单位，自己讨论推导，再将推导方法及所得结论在班上进行交流，最后，教师再来归纳整理，由此得出平面向量的坐标运算法则：（1）两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差：),(2121y y x x b a ±±=±→→（其中),(),,(2211y x b y x a ==→→）（2）实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标： 若),(y x a =→，则),(y x a λλλ=→；(2,1),(3,4),,,34a b a b a b a b ==-+-+练习1 .已知求 的坐标.探究三：通过前面的学习，我们知道，起点在原点的向量的坐标就是其终点坐标，那么，对于起点不在原点的向量，又该如何来确定其坐标？若已知其起点坐标和终点坐标，如何求出此向量的坐标？先来看一个具体的例子：求出图中的向量a 的坐标，并观察其坐标与其起点坐标、终点坐标之间有何关系？（引导学生从特殊到一般，归纳猜想） 学生不难发现：其坐标等于向量的终点坐标减去起点坐标.再将A,B 的坐标推广到一般的),(),,(2211y x y x ，可得相应结论。
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( x2 , y2 ) ( x1 , y1 )
( x2 x1 , y2 y1 )
A
B
小结：一个向量的坐标 等于表示此向量的有 向线段的终点的坐标 减去起点的坐标。
O
x
例3.已知 a (2,1), b (3, 4)，求 a b, a b,3a 4b 的坐标。
解： a b ( 2,1) ( 3,4) ( 1,5) a b ( 2,1) ( 3,4) (5,3) 3a 4b 3( 2,1) 4( 3,4) (6,3) ( 12,16) ( 6,19)
例4.如图，已知 ABCD 的三个顶点A、B、C的坐标分别是 （-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标。 解法１：设点D的坐标为（x,y） AB (1,3) (2,1) (1, 2) DC (3, 4) ( x, y ) (3 x, 4 y) 且 AB DC
两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标 的和（差）
a ( x1 , y1 )
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的坐标
例2.如图，已知 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ，求 AB 的坐标。
解： AB OB OA
x
所以顶点D的坐标为（2，2）
已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7). 设 OA i, OB j，填空：
y
7
NB
C
j o iA
方法总结
x
5
3
（3）向量 CD 能否由 i, j 表示出来？可以的话，如何表示？
CD 2 i 3 j
BD BA BC (3, 1)
y B D A O
C
(2 ( 1),1 3) (3 ( 1), 4 3)
而 OD OB BD ( 1,3) (3, 1) (2, 2)
y B D A O x C
(1, 2) (3 x, 4 y) 1 3 x
2 4 y
解得 x=2,y=2
所以顶点D的坐标为（2，2）
例4.如图，已知 ABCD 的三个顶点A、B、C的坐标分别是 （-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标。 解法2：由平行四边形法则可得
j o i B
x
这里，我们把（x,y）叫做向量 a 的坐标，记作
a ( x, y )
①
其中，x叫做 a 在x轴上的坐标，y叫做 a 在y轴上的坐标， ①式叫做向量的坐标表示。
思考：如图，在直角坐标系中，
j | ______, 1 1 （1）| i | _____,| | OC | ______; 5 uuur （2）若用 i, j 来表示 OC 则： uuur 3 i 4 j . OC ( 3,4) OC ________
例题解析
a xi +y j
OA xi +y j
y
a
y
A( x , y )
OA ( x, y )
j
O
i
x
x
返回
例1.如图，分别用基底 i ，j 表示向量 a 、 c、 d ，并求出 b、
它们的坐标。
A2
解：如图可知
§2.3.3 平面向量的正交分解及坐标表示
思考：已知 a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ) ，你能得出 a b, a b, a
的坐标吗？
平面向量的坐标运算：
a b ( x1 x2 , y1 y2 ) a b ( x1 x2 , y1 y2 )
a (2,3)
同理
a AA1 AA2 2i 3 j
A
A1
b 2i 3 j (2,3); c 2i 3 j (2, 3); d 2i 3 j (2, 3).
§2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解
平面向量的坐标表示
如图，i, j 是分别与x轴、y轴方向相同 的单位向量，若以 i, j 为基底，则 对于该平面内的任一向量 a ，
y
C
A
a
D
有且只有一对实数x、y，可使 a xi + y j