【2020创新设计一轮复习数学学案】第十章 第6节 离散型随机变量的均值与方差

第6节 离散型随机变量的均值与方差

考试要求 1.了解离散型随机变量的均值与方差的概念；2.会求离散型随机变量的均值与方差；3.会求两点分布与二项分布的均值与方差.

知 识 梳 理

1.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X 的分布列为

(1)均值

称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平. (2)方差

称D (X )＝∑n

i ＝1

__(x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度，其算术平方根D （X ）为随机变量X 的标准差. 2.均值与方差的性质 (1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b .

(2)D (aX ＋b )＝a 2D (X )(a ，b 为常数). 3.两点分布与二项分布的均值、方差

(1)若X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝p (1－p ). (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p ). [常用结论与易错提醒]

1.已知随机变量X 的均值、方差，求X 的线性函数Y ＝aX ＋b 的均值、方差和标准差，可用均值、方差的性质求解；

2.如能分析所给随机变量服从常用的分布(如二项分布)，可直接利用它们的均值、

方差公式求解.

基础自测

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)期望值就是算术平均数，与概率无关.()

(2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量.()

(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小.()

(4)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事.()

解析均值即期望值刻画了离散型随机变量取值的平均水平，而方差刻画了离散型随机变量的取值偏离期望值的平均程度，因此它们不是一回事，故(1)(4)均不正确.

答案(1)×(2)√(3)√(4)×

2.(选修2－3P68T1改编)已知X的分布列为

设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为()

A.7

3 B.4

C.－1

D.1

解析E(X)＝－1

2＋

1

6＝－

1

3，

E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－2

3＋3＝

7

3.

答案 A

3.(2019·宁波十校适应性考试)随机变量ξ的分布列如下：

则其数学期望E(ξ)＝()

A.－13

B.－16

C.16

D.13

解析 由分布列得a ＝1－12－13＝16，则E (ξ)＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－1

3，故选A. 答案 A

4.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D (X )＝________. 解析 有放回地抽取，是一个二项分布模型，则X ～ B (100，0.02)，所以D (X )＝np (1－p )＝100×0.02×0.98＝1.96. 答案 1.96

5.设非零常数d 是等差数列x 1，x 2，x 3，…，x 19的公差，随机变量ξ等可能地取值x 1，x 2，x 3，…，x 19，则方差D (ξ)＝________.

解析 E (ξ)＝x 10，D (ξ)＝d 219(92

＋82＋…＋12＋02＋12＋…＋92)＝30d 2. 答案 30d 2

6.(2019·金华十校调研)已知口袋中装有n (n >1)个红球和2个黄球，从中任取2个球(取到每个球是等可能的)，随机变量X 表示取到黄球的个数，X 的分布列为________.

则随机变量X 的数学期望为________，方差为________.

解析 由已知得C 12C 1n C 2n ＋2

＝23，且n >1，解得n ＝2，所以C 22

C 24＝b ，即b ＝16，由a ＋23＋16

＝1得a ＝16，则随机变量X 的数学期望E (X )＝0×16＋1×23＋2×1

6＝1，方差D (X )＝(0－1)2×16＋(1－1)2×23＋(2－1)2×16＝1

3. 答案 1 1

3

考点一 一般分布列的均值与方差

【例1】 (1)(2019·杭州二中仿真考试)已知甲盒子中有m 个红球，n 个蓝球，乙盒子中有m －1个红球，n ＋1个蓝球(m ≥3，n ≥3)，同时从甲、乙两个盒子中各取出i (i ＝1，2)个球进行交换，(a)交换后，从甲盒子中取1个球是红球的概率记为p i (i ＝1，2).(b)交换后，乙盒子中含有红球的个数记为ξi (i ＝1，2)，则( ) A.p 1>p 2，E (ξ1)E (ξ2) C.p 1>p 2，E (ξ1)>E (ξ2)

D.p 1

(2)(2018·学军中学模拟)已知A ，B 两个不透明盒中各有形状、大小都相同的红球、白球若干个.A 盒中有m 个红球与10－m 个白球，B 盒中有10－m 个红球与m 个白球(0

D.9

解析 (1)因为m ≥3，n ≥3，则不妨取m ＝3，n ＝3，则从两个盒子中取出1个球进行交换，交换后甲盒中红球个数为2的概率为36×46＝1

3

；甲盒中红球个数为3

的概率为36×26＋36×46＝12；甲盒中红球个数为4的概率为36×26＝16，所以p 1＝26×1

3＋36×12＋46×16＝1736，同理可得p 2＝16×225＋26×2675＋36×3175＋46×1175＋56×175＝49，所

以p 1>p 2.同上述易得ξ1的可能取值为1，2，3，且P (ξ1＝1)＝16，P (ξ1＝2)＝1

2，P (ξ1

＝3)＝13，则E (ξ1)＝1×16＋2×12＋3×13＝13

6，ξ2的可能取值为0，1，2，3，4，且

P (ξ2＝0)＝175，P (ξ2＝1)＝1175，P (ξ2＝2)＝3175，P (ξ2＝3)＝2675，P (ξ2＝4)＝2

25，则E (ξ2)

＝0×175＋1×1175＋2×3175＋3×2675＋4×225＝7

3，则E (ξ1)

(2)由题意得ξ的可能取值为0，1，2，且P (ξ＝0)＝10－m 10×m 10＝10m －m 2

100，P (ξ＝

1)＝10－m 10×10－m 10＋m 10×m 10＝100－20m ＋2m 2100

，P (ξ＝2)＝m 10×10－m 10＝10m －m 2

100，