基于数学形态学的图像处理方法_段汕_中南民族大学学报_2003_30

第22卷第4期 中南民族大学学报(自然科学版) V o l.22N o.4 2003年12月 Journal of South2Central U niversity fo r N ati onalities(N at.Sci.Editi on) D ec.2003α基于数学形态学的图像处理方法段　汕　梅建新(武汉大学测绘遥感信息工程国家重点实验室)摘　要　从图像的描述方法出发,在二值形态变换的基础上,通过引入图像的阀集合和本影,导出了多值形态学基本形态变换建立的方法,并揭示了二值形态学与多值形态学在结构算法上的相互联系.在图像处理的形态学方法上,提出了基于形态变换的图像边缘提取、多种形态梯度、形态骨架表示方法,以及具有去噪和形态平滑功能的开、闭形态变换在图像分析中的应用.关键词　形态梯度;形态骨架;形态变换中图分类号　TN919.81　文献标识码　A　文章编号　167224321(2003)0420067204 随着计算机技术的发展,图像及信号处理技术越来越为大众所需求.经典的信号处理方法主要是基于线性系统的理论、传统的信号与系统的概念及Fou rier分析,并广泛地运用于不同的科学与技术领域中.然而,对于图像的形态特征和几何结构等非线性因素的分析和描述却由于系统的线性特征而受到限制.[1]从理论和方法上弥补了这一缺憾.数学形态学不仅提供了描述和分析图像几何及形状特征的多种技术和方法,同时它对于经典的信号处理技术也产生了极大的影响并扩展了原有的技术.基于数学形态学的图像处理技术是一种采用集合的概念表示图像、非线性叠加方式描述图像的非线性系统技术,称之为形态系统[2],它广泛地应用于生物医学和电子显微镜图像的分析以及数字图像处理和计算机视觉等领域,并已发展成为一种新型的图像处理方法和理论.用于图像处理的形态系统,具有完备的结构和理论体系,是进行非线性性态分析和描述的有力工具.1　图像的表示方法如同信号处理中线性时不变系统的建立和描述基于信号的多频表示一样,形态系统的描述和分析方法的建立则是基于图像的集合表示以及相应的集合变换.用R和Z分别表示实数集合和整数集合,E =R d或Z d(d=1,2,…)分别表示连续的或离散的d 维空间,则一个d维图像可表示为E上的一个函数,其取值范围为R或Z.如果函数仅取两个不同的值,则图像可用E中的集合表示.如二值图像可表示为取值为1和0的函数f(x),图像的前景可表示为X={x:f(x)=1},背景可表为余集X c={x:f (x)=0},或简单地用X的特征函数来表示.对于多值(灰值)图像f(x)可以通过阀值变换[1,2]获得其二值图像,采用阀值的方法还可以实现对于灰值图像的集合表示.为此,若引入图像f(x)的阀集:T a(f)={x:f(x)≥a},-∞≤a≤+∞.这里幅值a取值于R或Z,取决于f(x)是模拟还是数字图像.利用阀集T a(f)可重构图像f(x)=sup {a:x∈T a(f)}.如果引入T a(f)的特征函数f a(x)=1,x∈T a(f)0,x|T a(f),则f a(x)即给出了一个二值图像,并且有f(x)=sup{a:f a(x)=1}.对于多值图像f(x)的描述还可以运用其本影[1,2]表示.d维图像f(x)的本影(Um b ra)定义为(d+1)2维空间中的集合:U(f)={(x,y):y≤f(x)},并且有:f(x)=sup{y:(x,y)∈U(f)},Πx.由此可见,任何一个多维图像都可以以集合为基元,通过非线性运算的方式加以描述.α收稿日期　2003205205作者简介　段　汕(19622),女,武汉大学博士研究生,现为中南民族大学计算机科学学院副教授,研究方向:图像处理和模式识别,武汉430074基金项目　中南民族大学自然科学基金资助项目(YZY01004)2　基本的形态变换经典的信号分析中卷积是其主要的线性变换工具,其原因在于音频信号可以通过不同频率的谐波线性叠加而成.然而,视觉信号不能运用线性分解的方法加以描述,但可以通过某种偏序的引入建立它的数学模型.因此,在图像的集合表示方式下,建立基于集合理论的图像算子是合情合理的.数学形态学有4种基本的形态运算,即腐蚀(E ro si on)、膨胀(D ilati on)及开(Op en ing)、闭(C lo sing)运算,基于这4种基本的形态运算可以建立具有各种功能的形态变换和实用算法,它们构成了数学形态学应用的基础.在E空间的代数结构下,引入集合XΑE的平移:X b={x+b:x∈X}.对于二值图像X及具有简单形状和小尺寸的紧集B(如d维球体),将:X(B=∪b∈B X b,X B=∩b∈BX-b.(1)分别称为B对X的腐蚀和膨胀,集合B则称为结构元素(Structu ring E lem en t),将腐蚀和膨胀的复合运算:X.B=(X(B) B,X・B=(X B)(B.(2)分别称为B对X的开、闭运算.以上基于二值图像的运算称为二值形态变换或二值形态滤波.运用阀值或本影的方法,在二值形态变换[1,3]的基础上可以获得多值图像的形态变换.运用结构元素B对多值图像f(x)的所有阀集合T a(f)进行膨胀产生集合簇T a(f) B,以此作为阀集合所确定的函数称为结构元素B对多值图像f(x)的膨胀:(f B)(x)=sup{a:x∈T a(f) B}.(3)其等价表示为:(f B)(x)=supy∈B{f(x-y)}.(4)类似地,结构元素B对多值图像f(x)的腐蚀是以T a(f)(B为阀集合的函数:(f(B)(x)=sup{a:x∈T a(f)(B}.(5)其等价表示为:(f(B)(x)=infy∈B{f(x+y)}.(6)这样定义的(f B)(x),(f(B)(x),可以理解为多值图像f(x)在点x的B窗口内的局部最大值和局部最小值,结构元素B还可以理解为一个控制器,控制对图像进行膨胀或腐蚀的范围.以(3)式和(5)式为基础可以引入结构元素B对多值图像f(x)的开、闭运算:f.B=(f(B) B,f・B=(f B)(B.运用多值图像g(x)作为结构元的多值形态运算可以通过本影的方法加以表示,即:(f g)(x)=sup{a:(x,a)∈U(f) U(g)},(f(g)(x)=sup{a:(x,a)∈U(f)(U(g)}.它们的等价形式为:(f g)(x)=supy{f(y)+g(x-y)},(f(g)(x)=infy{f(y)-g(y-x)}.特别地,当g(x)≡0,x∈sp t(g)为平坦结构元时,则有:(f g)(x)=supy∈sp t(g)+x{f(y)},(f(g)(x)=infy∈sp t(g)+x{f(y)}.类似地,可以引入基于多值图像的形态开、闭运算:f.g=(f(g) g,f・g=(f g)(g.综上所述,基于阀集合和本影的多值形态变换是以结构元或其紧支集为窗口的局部极大和极小运算,它是一种非线性运算,也是形态学的基本运算.在图像分析中,极大和极小运算对应于结构元关于图像的最大和最小相关程度的一种描述.3　图像分析中的形态学方法对于图像的形状分析和描述是图像处理中较为困难但又非常重要的问题.对视觉系统而言,几何形状是图像的基本内在特性,利用它能够推导出诸如图像边缘等许多其他信息.数学形态学是研究图像整体形状特征的有效方法,它在图像处理中的主要应用包括特征提取、形状表示和形状描述等等.3.1　基于形态梯度的边缘检测和提取在对图像f(x)的形态变换中,结构元的选取将导致不同的处理效果.如果以尺寸较小的圆盘作为结构元W,则由于它的对称性及各向同性的特点,不仅可以减少图像边缘对方向的敏感性并且具有低通滤波的效果.利用W作膨胀或腐蚀可以扩大或缩小图像,调节W的半径则可以控制图像的收缩程度.因此,一种各向同性的边缘检测可以通过形态梯度算子的作用来完成.具有不同检测效果的形态梯度算子有:腐蚀梯度E g(f)=f (f(W),膨胀梯度D g(f)=(f W) f和形态梯度G(f)=(f W) (f(W).如果选择一个具有方向特征的结构元W,则可以通过以上3种方式实现具有不同方向性的边缘检测.在实际的边缘检测过程中,为了消除边缘像素的冗余,可进一步细化图像边缘.为此可采用一递减的尺度参数或尺度递减的结构元对于图像进行多86 中南民族大学学报(自然科学版)第22卷结构元的形态梯度变换,具体方法可修改为:E g r (f )=f (f (r W ),D g r (f )=(f r W ) f ,G r (f )=(f r W ) (f (r W ).在这种算法下,可通过对参数r 的调试提取较为理想的图像边缘.在理想的情况下,可以获得图像的准确边界:li m r →0E g r (f )=li m r →0D g r(f )=5(f ).图1给出了对于L enna 图像基于形态梯度、腐蚀梯度和膨胀梯度的边缘提取测试,采用的是42邻接结构元,图像的边缘轮廓效果非常明显,其中腐蚀形态梯度具有较为细化的轮廓特征.图1　L enna 图像的形态梯度、腐蚀梯度和膨胀梯度3.2　基于开、闭变换的图像平滑、峰谷检测从代数结构上可看出,开变换能够删除图像中那些在尺度上小于结构元的几何结构,从而能起到光滑图像的外凸边缘得到低通滤波的效果.利用变换P (f )=f -(f .W )对图像进行高通滤波,可获得图像的峰值,起到检测的作用.闭变换与开变换具有对偶关系,它具有填充图像中那些比结构元素小的断裂或凹入部分的功能,同时对于图像外部的滤波作用,使得闭变换能够对于图像的内凸部分起到光滑的作用.运用变换V (f )=(f ・W )-f 可获得图像的谷,并起到检测的作用.利用开、闭变换的上述特点,还可以实现对于噪声污染图像的滤波,如可以利用开变换消除背景中的噪声,利用闭变换消除图像内部的砂眼噪声,从而达到恢复图像的目的.图2给出了L enna 图像的形态峰与形态谷.图2　L enna 图像的形态峰与形态谷3.3　基于形态骨架的形状表示图像的骨架化,即中轴变换(M A T )[1～3]是一种重要的几何描述方法,它可以通过形态腐蚀和形态开变换获得.在二值图像的情形下,对于给定的包含原点的结构元B 和非负整数n ,图像X 关于结构元B 的n 级骨架是集合:S n (X )=(X (nB ) [(X (nB ).B ],n =0,1,…,N .这里N =m ax {n :X (nB ≠ }, 表示空集.利用图像X 关于结构元B 的n 级骨架可以重构图像X 关于结构元B 的开变换:X .kB =∪k ≤n ≤NS n (X ) nB ,0≤k ≤N .若取k =0,X .kB =X ,由此可获得图像X 基于骨架的完全重构:X =∪0≤n ≤N S n (X ) nB ,若1≤k ≤N ,则可以获得由X .kB 所给出的图像X 的光滑部分重构.通过k 的不同取值,可以获得图像X 在不同尺度及不同形状基元S n (X )下的光滑部分重构.进一步地,如果选择不同形状和方向特征的结构元,则可提取图像X 不同的结构信息.96第4期 段　汕等:基于数学形态学的图像处理方法 二值图像的骨架变换可推广到多值图像的情形.图像f (x )关于二值结构元B 的n 级骨架成份是非负函数:S n (f )=(f (nB ) [(f (nB ).B ],n =0,1,…,N .这里N =m ax {n :X (nB ≠ }.图像f (x )的骨架则定义为其n 级骨架成份的分段和:S K (f )=∑Nn =0Sn(f ).图像f (x )的阀值二值图像f a (x )的二值骨架S K (f a )与S K (f )之间具有关系式:S K (f )=∑aS K (fa).图3给出了L enna 图像的一级骨架、二级骨架及二级重构图像,多级骨架的融合,则可较好地重建原始图像.图3　L enna 图像的一级骨架、二级骨架及二级重构图像参　考　文　献[1]　H enk J A M H eij m ans .M o rpho logical I m age Opera 2to rs [M ].Bo ston :A cadem ic P ress ,1994[2]　M arago s P .M o rpho logical system s fo r m ultidi m en 2si onal signal p rocessing [J ].P roc IEEE ,1990,78:690～710[3]　John Goutsias .M o rpho logical rep resentati on of dis 2crete and binary i m ages [J ].IEEE T rans onsignal p ro 2cessing ,1991,39(6):1369～1378I mage Processi ng Ba sed on M a thema tica l M orphologyD uan S han M ei J ianx inAbstract B ase on the b inary m o rpho logical tran sfo r m s ,th resho ld sets and um b ra of grey i m ages ,w e study the m ethod of bu ilding the m u lti 2values m o rpho logical tran sfo r m ,and exp lo ring the in terrelati on s of b inary and grayscale m o rpho logy .In the m o rpho logical app roach of i m age p rocessing ,w e p ropo se edgefeatu re ex tracti on ,m o rpho logical gradien t ,the rep resen tati on of m o rp ho logical skeleton ,and the app lica 2ti on of the op en and clo se m o rpho logical tran sfo r m s in i m age p rocessing such as i m age peak ,valley detec 2ti on .Keywords m o rpho logy gradien t ;m o rpho logical skeleton ;m o rpho logical tran sfo r mD uan Shan A ssoc P rof ,Co llege of Computer Science ,SCU FN ,W uhan 430074;D r .Candidate ,N ati onal L abo rato ry fo r Info r m ati on Engineering in Surveying M app ing and R emo te Sensing ,W uhan U niversity ,W uhan 430079,Ch ina07 中南民族大学学报(自然科学版)第22卷。