2020年1月北京初一数学期末测试新定义题汇编

2020年1月期末测试新定义题汇编

海淀27．给定一个十进制下的自然数x ，对于x 每个数位上的数，求出它除以2的余数，再把

每一个余数按照原来的数位顺序排列，得到一个新的数，定义这个新数为原数x 的“模二数”，记为2()M x ．如2(735)111M =，2(561)101M =．对于“模二数”的加法规定如下：将两数末位对齐，从右往左依次将相应数位上的数分别相加，规定：0与0相加得0；0与1相加得1；1与1相加得0，并向左边一位进1．如735、561的“模二数”111、101相加的运算过程如右图所示．

根据以上材料，解决下列问题：

（1）2(9653)M 的值为 ，22(58)(9653)M M +的值为 ；

（2）如果两个自然数的和的“模二数”与它们的“模二数”的和相等，则称这两个数“模二相

加不变”． 如2(124)100M =，2(630)010M =， 因为22(124)+(630)110M M =，2(124630)110M +=,

所以222(124+630)(124)+(630)M M M =，即124与630满足“模二相加不变”． ①判断12，65，97这三个数中哪些与23“模二相加不变”，并说明理由；

①与23“模二相加不变”的两位数有 个．

1111011100

+

西城

对于平面内给定射线OA ，射线OB 及∠MON ，给出如下定义：若由射线OA ，OB 组成的∠AOB 的平分线OT 落在∠MON 的内部或边OM ，ON 上，则称射线OA 与射线OB 关于∠MON 内含对称．例如，图1中射线OA 与射线OB 关于∠MON 内含对称．

已知：如图2，在平面内，∠AOM=10°, ∠MON=20°．

（1）若有两条射线OB 1，OB 2的位置如图3所示，且∠B 1OM=30°，∠B 2OM=15°，则在这两条射线中，与射线OA 关于∠MON 内含对称的射线是 ；

图2 图3 图4

（2）射线OC 是平面上绕点O 旋转的一条动射线，若射线OA 与射线OC 关于∠MON 内含对称，设

∠COM=x °,求x 的取值范围；

（3）如图4，∠AOE=∠EOH=2∠FOH =20°．现将射线OH 绕点O 以每秒1°的速度顺时针旋转，同时将

射线OE 和OF 绕点O 都以每秒3°的速度顺时针旋转．设旋转的时间为t 秒，且0

3东城

25.一般情况下,对于数a 和b ,

(""2424a b a b ++≠≠+不等号），但是对于某些特殊的数a 和b ,=.

2424

a b a b

+++我们把这些特殊的数a 和b ,称为“理想数对”,记作a b ， .例如当1,4a b ==-时，有1-41+(-4)

2424

+=+，那么1,-4就是“理想数对”.

（1）3-12-2,4，，可以称为“理想数对”的是 ； （2）如果2x ，是“理想数对”，那么x = ；

（3）若,m n 是“理想数对”，求7

3(94)8()4126n m n m m ⎡

⎤-----⎢⎥⎣

⎦

的值.

4石景山

28．对数轴上的点P 进行如下操作：先把点P 表示的数乘以()0m m ≠，再把所得数对应的点沿数轴向右

平移n 个单位长度，得到点P '．称这样的操作为点P 的“倍移”，对数轴上的点A ，B ， C ，D 进行“倍移”操作得到的点分别为A '，B '，C '，D '． （1）当1

2

m =

，1n =时， ①若点A 表示的数为4-，则它的对应点A '表示的数为 ． 若点B '表示的数是3，则点B 表示的数为 ；

②数轴上的点M 表示的数为1，若3CM C M '=，则点C 表示的数为 ； （2）当3n =时，若点D 表示的数为2，点D '表示的数为5-，则m 的值为 ； （3）若线段2A B AB ''=，请写出你能由此得到的结论． 5延庆

27．（4分）对于任意有理数a ，b ，我们规定：

当a b ≥时，都有2a b a b ⊗=+；当a b <时，都有2a b a b ⊗=-． 例如：21221224⊗=+⨯=+=． 根据上述规定解决下列问题：

（1）计算：23⊗= ；1()(1)2

-⊗-= ． （2）若(3)(3)6x x +⊗-=，求x 的值．

6门头沟

25．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常用小石子摆成各种形状来研究数学问题．

如图1，由于这些三角形是由1个，3个，6个，10个，… 小石子摆成的，所以他们称1，3，6，10，…，这些数为三边形数；

类似的，如图2，他们称1，4，9，16，…，这样的数为四边形数．

…

1 3 6 10

图1

…

1 4 9 16

图2

（1）既是三边形数，又是四边形数，且大于1的最小正整数是 ； （2）如果记第n 个k 边形小石子的个数为(),M n k （k ≥3），

那么易得()1,3=1M ，()2,3=3M ，()2,4=4M ．

① ()3,3=M ；()9,4=M ； ② (),3=M n ；(),4=M n ； ③ 如果(),3=55M n ，那么n = ；

（3）如果进一步研究发现()23,5=2n n M n -，()2242,6==22

n n M n n n --，…，

那么()10,24=M ．

7、密云

28.在数轴上，若A 、B 、C 三点满足AC=2CB ，则称C 是线段AB 的相关点.当点C 在线段AB 上时，称C 为线段AB 的内相关点，当点C 在线段AB 延长线上时，称C 为线段AB 的外相关点.

如图1，当A 对应的数为5，B 对应的数为2时，则表示数3的点C 是线段AB 的内相关点，表示数-1的点D 是线段AB 的外相关点.

（1）如图2，A 、B 表示的数分别为5和-1，则线段AB 的内相关点表示的数为______,线段AB 的外相关点表示的数为________.

（2）在（1）的条件下，点P 、点Q 分别从A 点、B 点同时出发，点P 、点Q 分别以3个单位/秒和2个单位/秒的速度向右运动，运动时间为t 秒. ①当PQ=7时，求t 值.

②设线段PQ 的内相关点为M ，外相关点为N.直接写出M 、N 所对应的数为相反数时t 的取值.

3

4

D

C

B A -3-2-163

2107

54-4-5图2

图1

-5457

01

236-1-2