26.2_实际问题与反比例函数(1)用
反比例函数的实际应用、 实际问题与反比例函数(教案)
26.2 实际问题与反比例函数第1课时反比例函数的实际应用（1）【知识与技能】进一步运用反比例函数的知识解决实际问题.【过程与方法】经历“实际问题一建立模型一问题解决”的过程，发展学生分析问题，解决问题的能力.【情感态度】运用反比例函数知识解决实际应用问题的过程中，感受数学的应用价值，提高学习兴趣.【教学重点】运用反比例函数的意义和性质解决实际问题.【教学难点】用反比例函数的思想方法分析、解决实际应用问题.一、情境导入，初步认识问题我们知道，确定一个一次函数y = kx+b的表达式需要两个独立的条件，而确定一个反比例函数表达式，则只需一个独立条件即可，如点A(2，3)是一个反比例函数图象上的点，则此反比例函数的表达式是，当x=4时，y的值为，而当y=13时，相应的x的值为，用反比例函数可以反映很多实际问题中两个变量之间的关系，你能举出一个反比例函数的实例吗？二、典例精析，掌握新知例1 市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室.(1)储存室的底面积S(单位：m2 )与其深度 d(单位:m)有怎样的函数关系？(2 )公司决定把储存室的底面积定为 500m2，施工队施工时应该向地下掘进多深？(3)当施工队按（2)中的计划掘进到地下15m时，碰到坚硬的岩石，为了节约建设资金，公司临时改变计划，把储存室的深改为15m，相应地，储存室的底面积应改为多少才能满足需要(精确到0.01m2)？【分析】已知圆柱体体积公式V=S • d,通过变形可得S=Vd，当V—定时，圆柱体的底面积S是圆柱体的高（深）d的反比例函数，而当S= 500m2时，就可得到d的值，从而解决问题（2)，同样地，当d= 15m —定时，代入S = Vd可求得S，这样问题（3)获解.例2 码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物，装载完毕恰好用了8天时间.(1)轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度V(单位：吨/天）与卸货时间t 单位：天）之间有怎样的函数关系？(2)由于遇到紧急情况，船上的货物必须在不超过5天内卸载完毕，那么平均每天至少要卸多货？【分析】由装货速度×装货时间=装货总量，可知轮船装载的货物总量为240吨；再根据卸货速度=卸货总量÷卸货时间，可得V与t的函数关系式为V=240t，获得问题（1)的解；在(2)中，若把t=5代入关系式，可得V=48，即每天至少要卸载48吨，则可保证在5天内卸货完毕.此处，若由V=240t得到t=240V，由t≤5，得240V≤5，从而V≥48，即每天至少要卸货48吨，才能在不超过5天内卸货完毕.【教学说明】例2仍可由学生自主探究，得到结论.鼓励学生多角度出发，对问题（2)发表自己的见解，在学生交流过程中，教师可参与他们的讨论，帮助学生寻求解决问题的方法，对有困难的学生及时给予点拨，使不同层次的学生在学习中都有所收获.例3如图所示是某一蓄水池每1h的排水量V(m3/h)与排完水池中的水所用时间t(h)之间的函数图象.(1) 请你根据图象提供的信息求出此蓄水的蓄水量.(2) 写出此函数的函数关系式.(3) 若要6h排完水池的水，那么每1h的排水量应该是多少？(4) 如果每1h排水量是5m3，那么水池中【分析】解此题关键是从图象中获取有关信息，会根据图象回答.解：(1)由图象知：当每1h排水4m3时，需12h排完水池中的水，∴蓄水量为4×12 = 48（m3 )(2)由图象V与t成反比例，设V=kt(k≠0).把V=4,t=12代入得k=48，∴V =48t(t＞0).(3)当t=6时，486V== 8，即每1h排水量是8m3⑷当V=5时,5 = 48t,485t∴== 9.6(h)，即水池中的水需要用9.6h排完.【教学说明】例3相比前面两例，难度增加，教师在讲解本题时，要辅导学生从图象中获取信息，会根据图象回答问题.三、运用新知，深化理解1.某玻璃器皿公司要挑选一种容积为1升 (1升=1立方分米）的圆锥形漏斗.(1)漏斗口的面积S与漏斗的深d有怎样的函数关系？(2)如果漏斗口的面积为100厘米2，则漏斗的深为多少？2.市政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为106m3，某运输公司承办了这项工程运送土石方的任务.(1)运输公司平均每天的工作量V(单位：m3/天）与完成运送任务所需的时间t （单位：天）之间具有怎样的函数关系？(2)这个运输公司共有100辆卡车，每天一共可运送土石方104m3.则公司完成全部运输任务需要多长时间？【教学说明】以上两题让学生相互交流，共同探讨，获得结果，使学生通过对上述问题的思考，巩固所学知识，增强运用反比例函数解决问题的能力.在完成上述题目后，教师引导学生完成创优作业中本课时的“名师导学”部分.【答案】1.解：（1)13Sd=1，S =3d(d＞0)(2)100cm2 = 1dm2，当S = 1dm2时，3d=1,d=3dm.2.解:(1)661010,(Vt V tt==＞0) .(2)t=662410101010V== .即完成任务需要100天.四、师生互动，课堂小结谈谈这节课的收获和体会，与同伴交流.1.布置作业：从教材“习题26. 2”中选取.2.完成创优作业中本课时的“课时作业”部分.本节课是用函数的观点处理实际问题，其中蕴含着体积、面积这样的实际问题.而解决这些问题的关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题，将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新解释这是什么，可以是什么，从而逐步形成考察实际问题的能力.在解决问题时，应充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想.学生已经有了反比例函数的概念及其图象与性质这些知识作为基础，另外在小学也学过反比例，并且上学期已经学习了正比例函数、一次函数，学生已经有了一定的知识准备.因此，本节课教师可从身边事物入手，使学生真正体会到数学知识来源于生活，有一种亲切感.在学习中要让学生经历实践、思考、表达与交流的过程，给学生留下充足的时间来进行交流活动，不断引导学生利用数学知识来解决实际问题.26.2 实际问题与反比例函数第1课时实际问题与反比例函数（1）——面积问题与装卸货物问题一、新课导入1.课题导入前面我们结合实际问题讨论了反比例函数，看到了反比例函数在分析和解决问题中所起的作用.这节课我们进一步探讨如何利用反比例函数解决实际问题.2.学习目标(1)掌握常见几何图形的面积（体积）公式.(2)能利用工作总量、工作效率和工作时间的关系列反比例函数解析式.(3)从实际问题中抽象出数学问题，建立函数模型，运用所学的数学知识解决实际问题.3.学习重、难点重点：面积问题与装卸货物问题.难点：分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式.二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：教材P12例1.（2）自学时间：8分钟.（3）自学指导：抓住问题的本质和关键，寻求实际问题中某些变量之间的关系.（4）自学参考提纲：①圆柱的体积=底面积×高，教材P12例1中，圆柱的高即是d，故底面积410Sd .②P12例1的第(2)问实际是已知S=500，求d.③例1的第(3)问实际是已知d=15，求S.④如图，科技小组准备用材料围建一个面积为60 m2的矩形科技园ABCD，其中一边AB靠墙，墙长为12 m，设AD的长为x m，DC的长为y m.a.求y与x之间的函数关系式；60 yx ⎛=⎫ ⎪⎝⎭b.若围成矩形科技园ABCD的三边材料总长不超过26 m，材料AD和DC 的长都是整米数，求出满足条件的所有围建方案.(AD=5 m,DC=12 m;AD=6m,DC=10 m;AD=10 m,DC=6 m.)2.自学：学生可结合自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生是否掌握利用面积（体积）公式列反比例函数关系式.②差异指导：辅导关注学困生.（2）生助生：同桌之间、小组内交流、研讨.4.强化(1)教材例1的解题思路和解答过程.(2)面积公式与体积公式中的反比例关系.(3)练习：已知某矩形的面积为20 cm2.①写出其长y与宽x之间的函数表达式；②当矩形的长为12 cm时，宽为多少?当矩形的宽为4 cm，长为多少?③如果要求矩形的长不小于8 cm，其宽最多是多少？答案：①20yx=②53cm;5 cm③52cm1.自学指导（1）自学内容：教材P13例2.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：认真分析例题，积极思考，结合自学参考提纲自学.（4）自学参考提纲：①工作总量、工作时间和工作效率（或速度）之间的关系是怎样的？②教材例2中这艘船共装载货物240吨，卸货速度v（吨/天）与卸货时间t（天）的关系是240 vt =.③如果列不等式求“平均每天至少要卸载多少吨”，你会怎样做？写出你的解答过程.④一司机驾汽车从甲地去乙地，以80千米/小时的平均速度用6小时到达目的地.a.当他按原路匀速返回时，汽车速度v（千米/小时）与时间t（小时）有怎样的函数关系？480 vt⎛=⎫ ⎪⎝⎭b.如果该司机必须在4小时之内返回甲地，则返程时的速度不得低于多少？(120千米/小时)c.若返回时，司机全程走高速公路，且匀速行驶，根据规定：最高车速不得超过120千米/小时，最低车速不得低于60千米/小时，试问返程所用时间的范围是多少？（4~8小时）2.自学：学生可结合自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生是否会列函数关系式，是否会根据反比例函数关系解决实际问题.②差异指导：指导学生从形式和自变量的取值范围两个方面对比正比例函数理解反比例函数.（2）生助生：同桌之间、小组内交流、研讨.4.强化（1）教材例2的解题思路和解答过程.（2）练习：某学校食堂为方便学生就餐，同时又节约成本，常根据学生多少决定开放多少售饭窗口，假定每个窗口平均每分钟可以售饭给3个学生，开放10个窗口时，需1小时才能对全部学生售饭完毕.①共有多少学生就餐？②设开放x 个窗口时，需要y 小时才能让当天就餐的同学全部买上饭，试求出y 与x 之间的函数关系式；③已知该学校最多可以同时开放20个窗口，那么最少多长时间可以让当天就餐的学生全部买上饭？答案：①1800个；②10y x=;③30分钟. 三、评价1.学生自我评价.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价；（2）纸笔评价（评价检测）.3.教师的自我评价（教学反思）.函数是初中数学的难点之一，当函数遇到实际应用，可谓是难上加难，但也使解题多了几种途径.对于这些实际问题，要善于运用函数的观点去处理.因此在教学过程要注意培养学生的审题能力，理解文字中隐藏的已知条件，合理地建立函数模型，然后根据模型找出实际生活中的数据与模型中的哪些量相对应.将实际问题置于已有的知识背景中，用数学知识重新解释这是什么，可以是什么，逐步培养解决实际问题的能力.一、基础巩固（70分）1.(10分)某轮船装载货物300吨，到港后，要求船上货物必须不超过5日卸载完毕，则平均每天至少要卸载（B ）A.50吨B.60吨C.70吨D.80吨2.(10分) 用规格为50 cm×50 cm 的地板砖密铺客厅恰好需要60块．如果改用规格为a cm×a cm 的地板砖y 块也恰好能密铺该客厅，那么y 与a 之间的关系为（A ） A.2150000y a = B.150000y a = C.y=150000a 2 D.y=150000a3.(10分) 如果以12 m 3/h 的速度向水箱注水，5 h 可以注满.为了赶时间，现增加进水管，使进水速度达到Q （m 3/h ），那么此时注满水箱所需要的时间t （h ）与Q （m3/h）之间的函数关系为（A）A.60tQ= B.t=60QC.6012tQ=- D.6012tQ=+4.(10分) 如果等腰三角形的底边长为x，底边上的高为y，当它的面积为10时，x与y 的函数关系式为（D）A.10yx= B.5yx= C.20xy= D.20yx=5.(10分) 已知圆锥的体积V＝13Sh（其中S表示圆锥的底面积，h表示圆锥的高）．若圆锥的体积不变，当h为10 cm时，底面积为30 cm2，则h关于S的函数解析式为300 hS =.6.(10分)小艳家用购电卡购买了1000度电，那么这些电能够使用的天数m 与小艳家平均每天的用电度数n有怎样的函数关系？如果平均每天用电4度，这些电可以用多长时间？解：1000mn=;250天.7.(10分)某农业大学计划修建一块面积为2×106 m2的长方形试验田.（1）试验田的长y（单位：m）关于宽x（单位：m）的函数关系式是什么？（2）如果试验田的长与宽的比为2∶1，则试验田的长与宽分别是多少？解：（1）6210yx⨯=;(2)长：2×103 m，宽：103 m.二、综合应用（20分）8. (10分)某地计划用120~180天（含120天与180天）的时间建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万立方米.（1）写出运输公司完成任务所需的时间y（单位：天）与平均每天的工作量x（单位：万立方米）之间的函数关系式，并给出自变量x的取值范围；（2）由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石方比原计划多5000立方米，工期比原计划减少了24天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万立方米？解：（1）360yx=(2≤x≤3);（2）设原计划每天运送土石方x万立方米，实际每天运送土石方（x+0.5）万立方米.则360360240.5x x+=+（）.解得x=2.5.因此，原计划每天运送土石方2.5万立方米，实际每天运送土石方3万立方米.9.(10分)正在新建中的住宅楼主体工程已经竣工，只剩下楼体外表面需要贴瓷砖，已知楼体外表面的面积为5×103 m2.(1)所需瓷砖的块数n与每块瓷砖的面积S有怎样的函数关系？(2)为了使住宅楼的外观更漂亮，开发商决定采用灰、白和蓝三种颜色的瓷砖，每块砖的面积都是80 cm2，灰、白、蓝瓷砖使用比例为2∶2∶1，则需三种瓷砖各多少块？解：（1）n=5×103S；（2）设需灰、白、蓝三种瓷砖分别为2x、2x、x块.（2x+2x+x）·80=5×103×104x=1.25×105因此，需灰、白、蓝三种瓷砖分别为2.5×105块、2.5×105块、1.25×105块.三、拓展延伸（10分）10.(10分) 水产公司有一种海产品共2104千克，为寻求合适的销售价格，进行了8天试销，试销情况如下：观察表中数据，发现这种海产品每天的销售量y（千克）是销售价格x（元/千克）的函数，且这种函数是反比例函数、一次函数中的一种.（1）请你选择一种合适的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外一种函数的理由；（2）在试销8天后，公司决定将这种海产品的销售价格定为150元/千克，并且以后每天都按这个价格销售，那么余下的这些海产品预计再用多少天可以全部售出？（3）在按（2）中定价继续销售15天后，公司发现剩余的这些海产品必须在不超过2天内全部售出，此时需要重新确定一个销售价格，使后面两天都按新的价格销售，那么新确定的价格最高不超过每千克多少元才能完成销售任务？解：（1）12000y x；不选一次函数是因为y 与x 之间不成正比例关系. （2）30+40+48+12000240+60+80+96+100=504(千克)， （2104-504）÷12000150=20（天）. （3）（20-15）×12000150÷2=200（千克），12000÷200=60（元/千克）.。
九年级数学下册 第26章 反比例函数 26.2 实际问题与反
三、应用步骤，解决ຫໍສະໝຸດ 题四、巩固新知，学以致用26.2 实际问题与反比 例函数（1）
学习目 标
1.数学抽象目标：通过对实际问题中不同量之间的关系 探讨，抽象得出反比例函数关系， 进而运用反比例函数知识解决简单的实际问题.（重点） 2.数学建模目标：经历“实际问题—建立模型—解决问 题”的过程，归纳出应用反比例函数解决实际问题的一 般步骤，感受到数学的应用价值．（难点）
一、复习提问，引入新课
回顾一次函数和二次函数的学习过程，在学习了 反比例函数的有关概念和性质后，接下来应该研 究什么？如何研究？
建立反比例函数模型，解决实际问题
二、引导探究，归纳步骤
二、引导探究，归纳步骤
应用反比例函数解决实际问题的一般步骤： ①仔细审题，确定变量和常量； ②适当方法，得到函数解析式； ③根据已知，代入求出未知量； ④结合所求，写出实际问题答案.
26.2 实际问题与反比例函数
k2 8 解得 10
k2 80
x0
1.6 x 80 x 50
x
问题： 实际问题中的反比例函数的图象与 纯数学问题中反比例函数图象有何异同？ 原因何在？
实际问题中的反比例函数图象一般只是一 个分支或一个分支的一部分，而纯数学问 题是双曲线，原因是它们的自变量取值发 生了变化。
制作一种产品，需先将材料加热到达 60℃后，再进行操 作．设该材料温度为 y（℃），从加热开始计算的时间为 x （分钟）．据了解，设该材料加热时，温度y与时间x完成 一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反 比例关系（如图所示）．已知该材料在操作加工前的温度 为15℃，加热5分钟后温度达到60℃．
（1）分别求出将材料加热和停止 加热进行操作时，y与x的函数关 系式； （2）根据工艺要求，当材料的温 度低于15℃时，须停止操作，那 么从开始加热到停止操作，共经 历了多少时间？
（1）将材料加热时的关系式为：y=9x+15 （0≤x≤5 ），停止加热进行操作时的关系式为y= 300
x
（x>5）；
（2）20分钟．
F 已知压力F,压强p,受力面积之间的关系是 p S
对于同一个物体，F的值不变，则 p是S的（）函数 答案：反比例函数
寒假期间，小明正与几个同伴在结冰的河面上溜冰， 突然发现前面有一处冰出现了裂痕，小明立即告诉 同伴分散趴在冰面上，匍匐离开了危险区，你能解 释一下小明这样做的道理吗？ 在开始的引入问题中，F,S分别指的什么？你能说 明小明那样做的道理了吗？
F是指小明和同伴的重量，S表示每一个人与冰面 的接触面积，一个人的重量不变，当他与冰面的 接触面积增大时，压强p会减小，压强减小了，危 险就小了。
人教版数学九年级下册26.2《实际问题与反比例函数》教学设计
人教版数学九年级下册26.2《实际问题与反比例函数》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级下册第26.2节《实际问题与反比例函数》是本册教材中的一个重要内容。
本节内容主要让学生了解反比例函数在实际问题中的应用，通过解决实际问题，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
教材通过丰富的实例，引导学生认识反比例函数的实际意义，感受数学与生活的紧密联系。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了反比例函数的基本知识，对反比例函数的定义、性质有一定的了解。
但学生在解决实际问题时，往往不能将数学知识与实际问题有效结合，对反比例函数在实际问题中的应用还不够熟练。
因此，在教学本节内容时，要注重培养学生的实际问题解决能力，引导学生运用反比例函数解决实际问题。
三. 教学目标1.了解反比例函数在实际问题中的应用，感受数学与生活的紧密联系。
2.能够运用反比例函数解决实际问题，提高学生的实际问题解决能力。
3.培养学生的合作交流能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.反比例函数在实际问题中的应用。
2.如何将实际问题转化为反比例函数问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中发现数学规律。
2.利用合作交流的方式，让学生在讨论中解决问题，提高学生的合作能力。
3.通过实例讲解，让学生感受反比例函数在实际问题中的应用。
六. 教学准备1.准备与反比例函数实际问题相关的实例。
2.准备多媒体教学设备，如投影仪、计算机等。
3.准备学生分组讨论所需的学习材料。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用一个实际问题引入本节课的内容，如“一辆汽车以60km/h的速度行驶，行驶1小时，行驶的路程是多少？”引导学生思考实际问题与反比例函数的关系。
2.呈现（10分钟）呈现几个与反比例函数实际问题相关的实例，如“一个长方形的面积是24cm²，长是8cm，求宽是多少？”让学生尝试解决这些问题，体会反比例函数在实际问题中的应用。
26.2实际问题与反比例函数(1)
t
例 1: 码头工人以每天30吨的速度往一 艘轮船上装载货物,把轮船装载完毕恰 好用了8天时间.
(2)由于遇到紧急情况,船上的货物必须在 5日内卸载完毕,那么平均每天要卸多少吨货物？
例 1: 码头工人以每天30吨的速度往 一艘轮船上装载货物,把轮船装载完 毕恰好用了8天时间. (2)由于遇到紧急情况,船上的 货物必须在5日内卸载完毕, 那么平均每天要卸多少吨货物?
（2 ） t
由图象得 当2 ≤ t ≤3时， 100≤v≤150
O
100 150
200
v(km/h)
4、制作一种产品，需先将材料加热，达到60℃后，再 进行操作，据了解，该材料加热时，温度y℃与时间x （min）成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度 y℃与时间x（min）成反比例关系，如图所示，已知该材 料在操作加工前的温度为15℃，加热5min后温度达到60 y ℃。 （1）分别求出将材料加热 60 9 x 15（ 0≤x≤5） 50 和停止加热进行操作时y与 y 300 40 （x>5） x的函数关系式； 30 x 20 （2）根据工艺要求，当材料 10 温度低于15 ℃时，必须停止操 x 5 10 15 20 25 作，那么从开始加热到停止操 作，共经历了多少时间？ 20min
26.2 实际问题与反比例函数(1)
例 1: 码头工人以每天30吨的速度往 一艘轮船上装载货物,把轮船装载完 毕恰好用了8天时间. (1)轮船到达目的地后开始卸货, 卸货速度v(单位:吨/天)与卸货时间 t (单位:天)之间有怎样的函数关系？
分析：根据装货速度×装货时间＝货物的总量，可以 求出轮船装载货物的的总量；再根据卸货速度＝货物 总量÷卸货时间，得到ｖ与ｔ的函数式。
人教版九年级数学下册：26.2《实际问题与反比例函数》说课稿1
人教版九年级数学下册：26.2 《实际问题与反比例函数》说课稿1一. 教材分析人教版九年级数学下册第26.2节《实际问题与反比例函数》是本册教材中的重要内容。
本节内容通过引入实际问题，让学生了解反比例函数的定义，掌握反比例函数的性质，并能够运用反比例函数解决实际问题。
本节内容分为两个部分：一是反比例函数的定义及其性质；二是反比例函数在实际问题中的应用。
在第一部分中，学生需要理解反比例函数的定义，掌握反比例函数的性质，包括图像、单调性、奇偶性等。
在第二部分中，学生需要能够将实际问题转化为反比例函数问题，并运用反比例函数解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了函数的基本概念和性质，具备了一定的函数知识基础。
但是，对于反比例函数的理解和应用，学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要通过生动的实例和实际问题，引导学生理解反比例函数的定义和性质，并能够运用反比例函数解决实际问题。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解反比例函数的定义，掌握反比例函数的性质，包括图像、单调性、奇偶性等；学生能够将实际问题转化为反比例函数问题，并运用反比例函数解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过实际问题的引入和解决，培养学生的观察能力、思考能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣和好奇心，培养学生的团队合作意识和克服困难的勇气。
四. 说教学重难点1.教学重点：反比例函数的定义及其性质，反比例函数在实际问题中的应用。
2.教学难点：反比例函数的性质的理解和应用，将实际问题转化为反比例函数问题的方法的掌握。
五. 说教学方法与手段本节课采用讲授法、引导法、讨论法、实例教学法等教学方法。
同时，利用多媒体教学手段，如PPT、教学软件等，展示反比例函数的图像和实际问题的数据，帮助学生更好地理解和掌握反比例函数的性质和应用。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引导学生思考反比例函数的概念。
26.2.1 实际问题中的反比例函数课件(共20张PPT)
26.2.1 反比例函数在实际生活中的应用 例2 码头工人每天往一艘轮船上装载 30 吨货物，装载完毕恰好用了 8 天时间.
26.2.1 反比例函数在实际生活中的应用
(1) 轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度 v (单位：吨/天) 与卸货天 数 t 之间有怎样的函数关系? 分析：根据“平均装货速度 × 装货天数 = 货物总量”，可以求出轮船装 载货物的总量；再根据“平均卸货速度 = 货物的总量 ÷ 卸货天数”，得 到 v 关于 t 的函数解析式.
多少？
方法二：解：把 t = 4 代入 v 480 ，得 v 480 120.
t
t
从结果可以看出，如果该司机恰好 4小时回到甲地，返程时的平均速度为 120km/h. 对于函数 v 480 ，当t＞0时，t 越小，v 越大. .这样若该司机必
t 须在 4h 之内回到甲地，那么返程时的平均速度不能小于120km/h.
解：设轮船上的货物总量为 k 吨，根据已知条件得 k = 30 × 8 = 240，
所以 v 关于 t 的函数解析式为 v 240 . t
26.2.1 反比例函数在实际生活中的应用
(2) 由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过 5 天卸载完毕，那么平
均每天至少要卸载多少吨?
小于或等于
大于或等于
方法一：解：因为 v 240 ，所以 t 240 .
26.2.1 反比例函数在实际生活中的应用
5.红星粮库需要把晾晒场上的1200t玉米入库封存． (1)求人库所需时间d（单位：天）与入库平均速度v（单位：t/天)有怎样 的函数关系？ 解： d 1200 (v > 0)
v (2)已知粮库有职工60名，每天最多可入库300t玉米，预计玉米入库最快 可在几天内完成？
26.2_实际问题与反比例函数(1)
（2）由于遇到紧急情况，船上的货物必须在不 超过5日内卸完，那么平均每天至少要卸多少吨 货物？
分析：（1）根据装货速度×装货时间＝货物的总量， 可以求出轮船装载货物的的总量；
（2）再根据卸货速度＝货物总量÷卸货时间， 得到ｖ与d=15代入 ,得： d
4
10 s
15
4
解得： S≈666.67 答:当储存室的深为15m时,储存室的底面积应改为
666.67 m 才能满足需要.
2
随堂练习 1
(1)已知某矩形的面积为20cm2,写出其长y与宽x之间 的函数表达式;
(1) y
20 x
( x 0)
(2)当矩形的长为12cm是,求宽为多少?当矩形的 宽为4cm,其长为多少 ?
5 ( 2) cm,5cm. 3
(3)如果要求矩形的长不小于8cm,其宽至多要多少?
5 ( 3) cm 2
例2：码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船 装载货物，把轮船装载完毕恰好用了8天时间.
（1）轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度v （单位：吨／天）与卸货时间t （单位：天） 之间有怎样的关系？
(2)公司决定把储存室的底面积S定为500 m2 ,施工 队施工时应该向下掘进多深?
10 解: (2)把S=500代入 S
500 10 d
解得： d
4
4
d
,得：
20
答:如果把储存室的底面积定为500 应向地下掘进20m深.
m ,施工时
2
(3)当施工队按(2)中的计划掘进到地下15m时,碰上 了坚硬的岩石.为了节约建设资金,储存室的底面积 应改为多少才能满足需要(保留两位小数)?
第二十六章 反比例函数
例1：市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3 的
九年级数学下册26.2 实际问题与反比例函数
t
(2)不能.理由如下：10－7.5＝2.5，当t＝2.5时，v＝
300 2.5
＝120＞100，
∴汽车上午7：30从公司出发，不能在上午10：00之前到达风景区.
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(3)若汽车到达风景区的行驶时间t满足3.5≤t≤4，求平均速度v的取值范围. 当3.5≤t≤4时，平均速度v的取值范围是75≤v≤6700 .
a
a
(2)当a＝0.08时，s＝ 70 ＝875.答：该轿车可以行驶875千米.
0.08
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知识点二 反比例函数与学科综合
5.某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例.如图
是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，则用电阻R表示电流I的函
数解析式为( C )
A.I＝ 2
x
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(2)问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为多少小时？ 解：血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持 续时间为6小时.
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12.某公司将土特产运往风景区销售，记汽车行驶时间为t小时，平均速度为 v千米/时(汽车行驶速度不超过100千米/时).根据经验，v，t的一组对应 值如下表：
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8.(课本P14例3改编)几位同学玩撬石头的游戏，已知阻力和阻力臂不变，分别 是1200牛顿和0.5米，设动力为F，动力臂为l. (1)动力F与动力臂l有怎样的函数关系？ (2)小刚选取了动力臂为2米的撬棍，你能得出他撬动石头至少需要多大的力吗？ 解：(1)动力F与动力臂l的函数解析式为F＝ 600 (l>0).
A.F＝ 1200
l
B.F＝ 600
l
C.F＝ 500
人教版数学九年级下册 26.2 实际问题与反比例函数(1) 课件
（2）设经营此卡的销售利润为元，求与之间的函数关系式.若规定售
价最高不能超过10元/个，求出当日的销售单价定为多少时，才能获得最大日销
售利润？
分析：（2） 日利润=每件利润×日销售量
= −2 ×
= −2 ×
60
= 60 −
120
（0 < ≤ 10）
（1）根据题目中的数量关系建立反比例函数模型，求出反比例函数的
解析式；
（2）确定自变量的取值范围；
（3）根据反比例函数的图象和性质解决问题.
典例精讲
【例题1】某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现，销售单价
元与日销售量个之间有如下的关系：
（1）确定与之间的函数关系；
（2）设经营此卡的销售利润为元，求与之间的函数关系式.若规定售
3000
(
所以售价应定为150元.
解得 = 3000 .，
> 0).
（2） 由题意，得 ( − 80) = 1400,
解得 = 150.
蓄水池中的水需要多长时间才能排完？
分析：（3） 求出当 = 5000时，函数的值即可.
典例精讲
解： （3） 当 = 5000时， = 48000 = 9.6.
5000
所以如果每小时的排水量是50003 ，那么蓄水池中
的水需要9.6h才能排完.
典例精讲
【例题3】工匠制作某种金属工具时要进行材料煅烧（此时材料温度(°)
实际问题与反比例函数（1）
知识导入
问题
完成某项任务可以获得 500 元的报酬，参加完成这项任务的人数为 （人），
人均报酬为（元），那么与之间有什么样的函数关系呢？
26.2 实际问题与反比例函数
26.2 实际问题与反比例函数《262 实际问题与反比例函数》在我们的日常生活和学习中，数学知识无处不在，反比例函数就是其中一个重要的数学工具。
它不仅存在于课本中的数学问题里，更与我们实际生活中的许多现象和问题紧密相连。
让我们先从一个简单的实际问题说起。
假设有一项工作，总量固定为 100 个单位。
如果一个人单独完成这项工作需要 20 小时，那么每小时他能完成的工作量就是5 个单位。
现在假设增加到5 个人一起工作，那么完成工作所需的时间就会相应减少。
因为工作总量不变，而参与工作的人数增加，所以每个人每小时完成的工作量与所需的时间之间就存在反比例关系。
再来看一个关于压力和受力面积的例子。
当我们在雪地上行走时，如果穿上面积较大的雪地鞋，对雪地产生的压强就会较小，我们就不容易陷入雪中。
这是因为压力（人的体重）是固定的，而受力面积越大，压强就越小。
这里的压强和受力面积之间就构成了反比例函数关系。
反比例函数在物理学中也有广泛的应用。
比如，在电学中，电压一定时，电流与电阻成反比例关系。
我们都知道，通过一个导体的电流强度等于电压除以电阻。
当电压不变时，如果电阻增大，电流就会减小；反之，如果电阻减小，电流就会增大。
在工程问题中，反比例函数同样发挥着重要作用。
例如，修建一条公路，工程总量是固定的。
如果每天投入的工人数量增加，那么完成工程所需的天数就会减少；反之，如果工人数量减少，完成工程所需的天数就会增加。
还有一个常见的例子是汽车行驶问题。
假设汽车油箱的油量是固定的，汽车的耗油量与行驶的里程之间就存在反比例关系。
当汽车的耗油量增大时，能够行驶的里程就会减少；而当汽车耗油量降低时，行驶的里程就会增加。
在经济学中，反比例函数也有体现。
比如成本和产量之间的关系。
在总成本一定的情况下，单位产品的成本与产量成反比例关系。
产量越高，单位产品分担的固定成本就越低；产量越低，单位产品分担的固定成本就越高。
反比例函数还可以用来解决资源分配问题。
26.2 实际问题与反比例函数(1)
三、巩固与应用
1、矩形的面积是2cm2，设长为ycm，宽为xcm，则y与x的 函数关系式是 。
2、某厂现有300吨煤，这些煤能燃烧的天数y与平均每天 烧煤的吨数x之间的函数关系式是 .
三、巩固与应用 3、甲乙两地相距100千米，汽车从甲地开往乙地的速度 y(千米/时)与时间t(小时)的函数关系式是什么？如果 速度增加10千米/时，则时间少用多少？
26.2 实际问题例函数解决一些实际问题； 2、能综合利用几何、方程、反比例函数的知识解决 一些实际问题； 3、经历分析实际问题中变量间的关系，建立反比例 函数模型，进而解决问题。
学习重点
用反比例函数解决实际问题。
学习难点
构建反比例函数的数学模型。
一、课前准备（预习课本第12页至第13页，完成下列问题） 1、三角形中，当面积S一定时，高h与相应的底边长a关 系 。 已知一个三角形的面积是6，它的底边是x，底边上的 高是y，则y与x的函数关系式是_________；若x=3，则 y=_________,若y=6则x=___________。
三、巩固与应用
4、如图，已知直线 与双曲线 交于A，B两点，且点 A的横坐标为4． （1）求k的值； （2）根据图象写出正比例函数的值大于反比例函 数的值时，x的取值范围． （3）若双曲线 上一点C的纵坐标为8， 求△AOC的面积． k y (k 0) 于P，Q两点（P点 （4）过原点O的另一条直线l交双曲线 x 在第一象限），若由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积 为24，求点P的坐标。
2、矩形中，当面积S一定时，长a与宽b关系 。 一个矩形的面积为20cm2，相邻的两条边长分别为xcm2 和ycm2。那么变量y是变量x的函数关系式是 。
一、课前准备（预习课本第12页至第13页，完成下列问题）
26.2 实际问题与反比例函数-九年级数学下册(人教版)
26.2 实际问题与反比例函数-九年级数学下册（人教版）一、实际问题中的反比例关系在实际生活中，有很多问题可以通过反比例函数来描述和解决。
反比例函数是数学中的一种函数关系，可以表示为 y = k/x，其中 k 是常数。
例如，汽车行驶的速度与所用时间的关系就是一个典型的反比例关系。
当我们行驶的速度越快，所用的时间就越短；反之，当我们行驶的速度越慢，所用的时间就越长。
这种情况下，速度和时间之间的关系可以用反比例函数来描述。
在解决实际问题时，我们可以使用反比例函数来建立模型，从而帮助我们更好地理解和解决问题。
下面我们将通过几个实例来说明如何应用反比例函数来解决实际问题。
二、实例1：水果摊位上的价格假设在水果摊位上，某种水果的价格与购买的重量之间存在着反比例关系。
也就是说，购买的水果重量越多，每公斤的价格就越低；反之，购买的水果重量越少，每公斤的价格就越高。
现在我们想要买 5 公斤水果，而摊位上标价是每公斤 10 元。
那么我们需要支付多少钱呢？解决这个问题的关键是要建立水果价格与购买重量之间的反比例函数。
假设购买重量为 x 公斤，价格为 y 元。
根据反比例函数的定义，可以得到 y = k/x。
根据题意，我们可以得到 x = 5，y = 10。
将这些值代入反比例函数，我们可以求解得到常数 k 的值。
最后，根据反比例函数，我们可以计算出需要支付的金额。
具体计算步骤如下：1.建立反比例函数：y = k/x2.将 x = 5，y = 10 代入反比例函数得到：10 = k/53.解方程得到 k = 504.根据反比例函数，当购买 5 公斤水果时，需要支付的金额为：y = 50/5 = 10 元所以，我们需要支付 10 元。
三、实例2：工人完成工作的时间假设一项工作需要若干名工人共同完成，工人的数量与完成工作所需的时间之间存在着反比例关系。
也就是说，工人的数量越多，完成工作所需的时间就越短；反之，工人的数量越少，完成工作所需的时间就越长。
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480 v t
（3）如果该司机必须在5小时内回到甲地，则返程 时的平均速度不能低于多少？ 96千米/时 （4）已知汽车的平均速度最大可达120千米／时， 那么它从甲地到乙地最快需要多长时间？ 4小时
5、某农业大学计划修建一块面积为2×106平方米的 矩形试验田。 （1）试验田的长y（m）与宽x（m）的涵数解析式 是什么？ （1）如果把试验田的长与宽的比定为2:1，则试验 田的长与宽分别是多少？
6、红星粮库需要把晾晒场上的1200吨玉米入库封存。 （1）入库所需时间d（天）与入库速度v（吨/天）有怎样的 函数关系？ （2）粮库有职工60名，每天最多可入库300吨玉米，预计玉 米入库最快可在几日内完成？ （3）粮库的职工连续工作了两天后，天气预报说未来的几天 很可能会下雨，粮库决定次日把剩余的玉米全部入库，至少 需要增加多少职工？
2、已知甲、乙两地相距s（km），汽车从甲地匀速行驶到乙 地，则汽车行驶的时间t（h）与行驶速度v（km/h）的函数关 系图象大致是（ C ）
A
B
C
D
3、如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种 容积为1升(1L＝1dm2)的圆锥形漏斗． (1) 漏斗口的面积 S 与漏斗的深 d 有怎样的函数 关系? (2) 如果漏斗口的面积为 100cm2 ，则漏斗的深 为多少?
k2 8 解得 10
k2 80
x0
1.6 x 80 x 50
x
你能谈谈学习这节内容 的收获和体会吗？
小结
1、通过本节课的学习,你有哪些收获?
2、利用反比例函数解决实际问题的关键: 建立反比例函数模型.
4、为预防“手足口病”，某校对教室进行“药熏消毒”．已知 药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时 间x（分钟）成正比例；燃烧后，室内每立方米空气中的含药量y （mg）与燃烧时间x（分钟）成反比例（如图所示）．现测得药 物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为8mg．据以上 信息解答下列问题： （1）求药物燃烧时y与x的函数关系式． （2）求药物燃烧后y与x的函数关系式． （3）当每立方米空气中含药量低于 1.6mg时，对人体方能无毒害作用，那么 从消毒开始，经多长时间学生才可以回 教室？
分析：（1）根据装货速度×装货天数＝货物的总量， 可以求出轮船装载货物的总量； （2）再根据卸货速度＝货物总量÷卸货天数， 得到ｖ与ｔ的函数解析式.
（1）设轮船上的货物总量为k吨，则根据已知条 解： 240 件有 k=30×8=240所以v与t的函数式为 v 240 t （2）把t=5代入 v ， t
得v=240÷5=48（吨）
如果全部货物恰好用5天卸载完，那么平均每 天卸载48吨. v(吨/天)
240 （ 2） 对于函数v ，当t>0时， 60 t 50
t越小，v越大.这样若货物
48
40
30
不超过5天卸载完，则平均
每天至少要卸载48吨.
20
10 O
240 v (t 0) t
5 10 15 20 25
实际 问题
建立数学模型
运用数学知识解决
实际问题
反比例 函数
S 10 d （ 数学模型）
当S=500 m2时求d 当d=15 m时求S
4
1、已知矩形的面积为24，则它的长y与宽x 之间的关系用图像大致可表示为（ A ）
3、上题中，当矩形的长为12cm时，宽为 6cm _______ 2cm ，当矩形的宽为4cm，其长为________. 如果要求矩形的长不小于8cm，其宽至多要 3cm ________.
s 10 15
4
d
解得
S≈666.67
当储存室的深为15m时,储存室的底面积应 改为666.67 m2 才能满足需要.
例2：码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船装 载货物，把轮船装载完毕恰好用了8天时间. （1）轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度v （单位：吨／天）与卸货时间t （单位：天） 之间有怎样的关系？ （2）由于遇到紧急情况，船上的货物必须在不 超过5日内卸载完毕，那么平均每天至少要卸多 少吨货物？
探究活动1: 市煤气公司要在地下修建一个容 积为104m3 的圆柱形煤气储存室. (1)储存室的底面积S(单位: m2 )与 其深度d(单位:m)有怎样的函数关系？
解：(1)根据圆柱体的体积公式,我们有 s×d= 变形得 S
10
4
10
d
4
即储存室的底面积S是其深度d的反比例函数.
探究活动1:
解：(1)容积一定，漏斗口的面积S与 漏斗的深d是反比例函数关系 V=1时， (2)1升=1立方分米=1 000立方厘米， (厘米).
，
4、一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米／ 时的平均速度用6小时达到目的地. （1）甲、乙两地相距多少千米？ 80×6=480 （2）当他按原路匀速返回时，汽车的速度v 与时间t有怎样的函数关系？
解：（1）设药物燃烧阶段函数解析式为 y k1 x(k1 0) ，由题意得：
．
8 10k1 解得
4 k1 5
此阶段函数解析式为
k2 (k2 0) ，由题意得： （2）设药物燃烧结束后的函数解析式为 y x
4 y x 5
80 此阶段函数解析式为 y x （3）当 y 1.6 时，得 80 1.6
y k x
y
k x
。 增大而增大 。
增大而减小
探究活动1: 市煤气公司要在地下修建一个容 积为104m3 的圆柱形煤气储存室. (1)储存室的底面积S(单位: m2 )与 其深度d(单位:m)有怎样的函数关系？
(2)公司决定把储存室的底面积S定为500 m2, 施工队施工时应该向下掘进多深？ (3)当施工队按(2)中的计划掘进到地下15m时, 碰上了坚硬的岩石.为了节约建设资金,储存室的底 面积应改为多少才能满足需要(保留两位小数)?
1.一般地，形如 （K为常数，k 0 ） 的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是 函数，自变量x的取值范围是 。 2.反比例函数的三种形式：① -1 xy k y kx ② ③ 3.反比例函数的图像是： 当k﹥0时，图像位于 一、三 象限；y随x的 当k﹥0时，图像位于 二、四 象限；y随x的
(2)公司决定把储存室的底面积S定为500 m2, 施工队施工时应该向下掘进多深？
解: 把S=500代入 S 10 ,得
500 10 d
4
4
d
解得 d=20 如果把储存室的底面积定为500 m2 ，施工 时应向地下掘进20m深.
探究活动1:
(3)当施工队按(2)中的计划掘进到地下15m时, 碰上了坚硬的岩石.为了节约建设资金,储存室的底 面积应改为多少才能满足需要(保留两位小数)? 4 解: 根据题意,把d=15代入 S 10 ,得