1990年全国数学联赛试卷

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高中数学联赛真题分类排列组合(原卷版)

】
现安排 7 名同学去参加 5 个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个
项
目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为
(用数字
作答).
9.【2008 高中数学联赛（第 01 试）
】
将 24 个志愿者名额分配给 3 个学校，则每校至少有 1 个名额且各校名额互
不相同的分配方法共有
】
三边均为整数，且最大边长为 11 的三角形，共有
个.
优质模拟题强化训练
1．乒乓球集训队有 10 名队员，每两人组成一对练球，其不同的组对方式共有（
A．972
B．945
C．864
）种．
D．891
2．已知�= 1,2, ⋅⋅⋅ , 216 , � ⊆ �.若集合�中任两个元素的和都不能被 6 整除，则集合�中元素的个数最多为
种.
10.【2007 高中数学联赛（第 01 试）
】
将 2 个 a 和 2 个 b 共 4 个字母填在如图所示的 16 个小方格内，每个小方格
内至多填 1 个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有
种(用数字作答)
11．【2001 高中数学联赛（第 01 试）
】
在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物(如图)，要求同一场块中种同一
盒子中.一种放法称为"好的",如果 1 号盒子中的卡片数多于其他每个盒子中的卡片数.则"好的"放法共有
种.
5. 【2019 高中数学联赛 A 卷（第 01 试）
】
将 6 个数 2、0、1、9、20、19 按任意次序排成一行，拼成一个 8 位
数
(首位不为 0)，则产生的不同的 8 位数的个数为

1990高考数学全国卷及标准答案理

(２2）本小题考查三角公式以及三角函数式的恒等变形和运算能力.
解法一:由已知得
解法二:如图,不妨设0≤α≤β<2π,且点A的坐标是（ｃosα,
siｎα）,点Ｂ的坐标是(cosβ，sinβ)，则点A,B在单位圆x2+y2=1上．连结
连结OC,于是OC⊥ＡB,若设点D的坐标是(1,０)，再连结OA,OB,则有
ﻩ∴∠ＡCS＝30°.
又已知DE⊥SC,所以∠EDC＝６0°,即所求的二面角等于６０°.
解法二:由于SB＝BC,且Ｅ是SC的中点,因此ＢＥ是等腰三角形SＢC的底边SC的中线,所以SＣ⊥BＥ.
又已知SC⊥DE,BＥ∩DＥ＝E∴SC⊥面BＤE,
∴SC⊥BD．
由于SA⊥底面ＡＢC,且A是垂足,所以AC是SC在平面ＡBC上的射影.由三垂线定理的逆定理得ＢD⊥AＣ;又因E∈SＣ,AC是ＳＣ在平面ABC上的射影,所以E在平面ABC上的射影在AC上,由于Ｄ∈AC,所以DE在平面ＡBC上的射影也在AC上,根据三垂线定理又得BＤ⊥DE.
ﻩ
解法三:由题设得4(ｓiｎα+sinβ）＝3(cosα+ｃosβ）．
ﻩ ﻩ
将②式代入①式，可得sｉｎ(α-）=ｓｉn(-β).
于是α-＝（2k+1)π-(-β)(k∈Z),
或α－=2kπ+(-β)（ｋ∈Z).
若α-＝(2ｋ+1)π-(-β）(k∈Z)，则α=β+(2k+1)π(k∈Z).
于是ｓiｎα=－sinβ,即sｉnα＋sinβ=0.
∴SC⊥面BDE,
∴SＣ⊥BＤ.
又∵SA⊥底面ＡBC,BＤ在底面ＡBC上，
∴ＳA⊥BＤ.
而SC∩SA＝S，∴BD⊥面SＡＣ.
∵DE＝面ＳAC∩面BDE，DC=面SAC∩面BＤC,

1990年全国初中数学联赛试题(含答案)

一九九○年第一试一、选择题本题共有8个小题，每小题都给出了(A)、(B)、(C)、(D)四个结论，其中只有一个是正确的，请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内。

答（） 4．恰有35个连续自然数的算术平方根的整数部分相同，那么这个相同整数是（A ）17 （B ）18 （C ）35 （D ）36答（） 5．△ABC 中，22=AB ，2=AC，2=BC，设P 为BC 边上任一点，则（A ）PBPA<2·PC （B ）PBPA =2·PC（C ）PB PA >2·PC（D ）PBPA与2·PC 的大小关系并不确定答（）6．若六边形的周长等于20，各边长都是整数，且以它的任意三条边为边都不能构成三角形，那么，这样的六边形（A ）不存在（B ）只有一个（C ）有有限个，但不只一个（D ）有无穷多个答（）7．若balog 的尾数是零，且2loglog1logab bbaa>>，那么下列四个结论：（1）21abb>>（2）0loglog=+a b ba（3）10<<<b a （3）01=-ab 中，正确的结论的个数是（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4答（）8．如图，点P ，Q ，R 分别在△ABC 的边上AB 、BC 、CA 上，且1====RCQRPQBP ，那么，△ABC面积的最大值是（A ）3 （B ）2 （C ）5（D ）3答（）二、填空题1．已知82121=+-xx ，则xx12+=2．2223,2,1，…，1234567892的和的个位数的数字是3．方程01)8)((=---x a x，有两个整数根，则=a4．△ABC 中，2==ACAB，BC边有100个不同的点1P ，2P ，…，100P ，记i iiBP AP m +=2·CP i (=i 1，2，…，100) 则++21m m …100m +=第二试一、已知在凸五边形ABCDE 中，∠BAE = 3α，BC=CD=DE ，且∠BCD=∠CDE=180°－2α，求证：∠BAC=∠CAD=∠DAE二、[]x 表示不超过实数x 的最大整数，令{}[]x x x -=（1）找出一个实数x ，满足{}11=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+x x （2）证明：满足上述等式的x ，都不是有理数三、设有n n 22⨯个正方形方格棋盘，在其中任意的n 3个方格中各有一枚棋子。

全国高中数学联赛1981-1990年

全国高中数学联赛历届真题1981第一届全国高中数学联赛试题部分一、选择题下面7个题目各提出四个答案，将你认为正确的答案的英文字母代号填写在题后的括号内. 1．条件甲：两个三角形的面积和二条边对应相等.条件乙两个三角形全等.(A)甲是乙的充分必要条件 (B)甲是乙的必要条件(C)甲是乙的充分条件 (D)甲不是乙的必要条件,也不是充分条件答( ) 2.条件甲:a =.条件乙: sincos22a θθ+=.(A)甲是乙的充分必要条件 (B)甲是乙的必要条件(C)甲是乙的充分条件 (D)甲不是乙的必要条件,也不是充分条件答( ) 3.设(0,1,2,...)2k a k π≠=±±,sin tan cos 9cot a a T a a+=+. (A)T 取负值 (B)T 取非负值(C)T 取正值 (D)T 取值可正可负答( )4.下面四个图形中,哪一个面积最大?(A)00:60,45,ABC A B AC ∠=∠== (B)梯形:夹角为075(C)圆:半径为1(D)正方形:对解线的长度为2.5答( ) 5.给出长方体''''ABCD A B C D -,下列十二条直线:',',',',',',',',,,'',''AB BA CD DC AD DA BC CB AC BD A C B D 中有多少对异面直线?(A)30对 (B)60对(C)24对 (D)48对答( )BA'C'6.在坐标平面上有两个区域M 和N.M 是由0,y y x ≥≤,和2y x ≤-这三个不等式确定的.N 是随t 变化的区域,它由不等式1t x t ≤≤+所确定的,t 的取值范围是01t ≤≤.设M 和N 的公共面积是函数()f t .则()f t 为:(A)212t t -++(B)222t t -+ (D)2112t - (D)21(2)2t -BPQ n ∠=答( ) 7.对方程||0x x px q ++=进行讨论,下面的结论中,哪能个是错误的?(A)至多有三个实根 (B)至少有一个实根(C)仅当240p q -≥才有实根 (D)当0p <和0q >时,有三个实根答( )三、在圆O 内，弦CD 平行于弦EF ，且与直径AB 交成045角.若CD 与EF 分别交直径AB于P 和Q,且圆O 的半径长为1.求证:2PC QE PD QF ⋅+⋅<.四、组装甲、乙、丙三种产品，需用A ，B ，C 三种零件.每件甲需用A,B 各2个;每件乙需用B,C 各1个;每件丙需用2个A 和1个C.用库存的A,B,C 三种零件,如组装成p 件甲产品、q 件乙产品和r 件丙产品,则剩下2个A 和1个B,但C 恰好用完.试证:无论臬改变产品甲、乙、丙的件数,也不能把库存的A,B,C 三种零件都恰好用完.五、一张台球桌开头是正六边形ABCDEF.一个球从AB 的中点P 击出,击中BC 边上的某点Q,并且依次碰击CD,DE,EF,FA 各边,最后击中AB 边上的某一点,设BPQ θ∠=,求θ的取值范围.提示:利用入射角等于反射角的原理1982 试题部分一、选择题本题共有8个小题，每一小题都有（A ）、（B ）、（C ）、（D ）四个答案供选择，其中有一个且只有一个答案是正确的，请把你认为正确的那个答案前的代号写在题后的括号内. 1．如果凸n 边形(4)F n ≥所有对角线都相等，那么（A ）{}F ∈四边形（B ）{}F ∈五边形（C ）{}{}F ∈⋃四边形五边形（D ）{}{}F ∈⋃各边相等的多边形内角相等的多边形答（） 2．极坐标方程11cos sin θθ-+所确定的曲线是（A ）圆（B ）椭圆（C ）双曲线（D ）抛物线答（） 3．如果21231351523511(1)11(1)11(1)0og og og x og og og y og og og z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，那么（A ）z x y << （B ）x y z << （C ）y z x << （D ）z y x << 答（） 4．由方程|1||1|1x y -+-=确定的曲线所围成的图形的面积是（A ）1 （B ）2 （C ）π （D ）4答（） 5．对任何(0,)2πϕ∈，都有：（A ）sin sin cos cos ϕϕ<<cos ϕ （B ）sin sin cos cos ϕϕ>>cos ϕ （C ）sin cos cos cos ϕϕ>>sin ϕ （D ）sin cos cos cos ϕϕ<<sin ϕ 答（）6．已知12,x x 是方程22(2)(35)0x k x k k --+++=()k 为实数的两个实数根，2212x x +的最大值是（A ）19 （B ）18 （C ）559（D ）不存在答（） 7．设{}(,):||1,0M x y xy x ==>，{}(,):arctan arctan N x y x y π=+=，那么（A ）{}(,):||1M N x y xy ⋃== （B ）M N M ⋃= （C ）M N N ⋃=（D ）{}(,):||1,,M N x y xy x y ⋃==且不同时为负数答（）8.当,a b 是两个不相等的正数时,下列三个代数式:甲:11()()a ba b ++, 乙:2 丙:22()2a b a b+++. 答( ) 中间,值最大的一个(A)必定是甲 (B)必定是乙(C)必定是丙 (D)一般并不确定,而与,a b 的取值有关答( )二、已知四面体SABC 中,,(),(0)222ASB ASC BSC πππαθαββ∠=∠=<<∠=<<,以SC 为棱的二面角的平面角为θ. 求证: arccos(cot cot )θπαβ=-.三、已知: (1)半圆的直径AB 长为2r ;(2)半圆外的直线L 与BA 的延长线垂直,垂足为点T,||2(2)2rAT a a =<;(3)半圆上有相异两点M ，N ，它们与直线l 的距离||||MP NQ 、满足条件||||1||||MP NQ AM AN ==.求证:||||||AM AN AB +=.四、已知边长为4的正三角形ABC.D,E,F 分别是BC,CA,AB 上的点,且||||||1AE BF CD ===,连接AD,BE,CF,交成RQS .P 点在RQS 内及其边上移动,P 点到ABC 三边的距离分别记作,,x y z .(1)求证:当P 点在RQS 的顶点位置时,乘积xyz 有极小值; (2)求上述乘积xyz 的最小值.五、已知圆222(x y r r +=为奇数),交x 轴于(,0),(,0)A r B r -,交y 轴于(0,),(0,),(,)C r D r P u υ-是圆周上的点,,(,m n u p q p q υ==都是质数,,m n 都是自然数)且u υ>.点P 在x 轴和y 轴上的射影分别是M,N. 求证:|AM|、|BM|、|CN|、|DN|分别是1，9，8，2.1983试题部分第一试一、选择题本题共8个小题.每一小题都有代号（A ）、（B ）、（C ）、（D ）四个答案供选择，其中有一个且只有一个答案是正确的，请把你认为正确的那个答案前的代号写在题后的括号内.1.设,p q 是自然数,条件甲:33p q -是偶数;条件乙:p q +是偶数,那么,(A) 甲是乙的充分而非必要条件 (B) 甲是乙的必要而非充分条件 (C) 甲是乙的充要条件(D) 甲即不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答( ) 2.112511111133x og og =+的值是属于区间(A)(2,1)-- (B)(1,2) (C)(3,2)-- (D)(2,3)答( )3.已知等腰ABC 的底边BC 及高AD 的长都是整数,那么sin A 和cos A 中, (A) 一个是有理数,另一个是无理数 (B) 两个都是有理数 (C) 两个都是无理数(D) 是有理数还是无理数要根据BC 和AD 的数值来确定答( )4.已知{}{}222(,)|,(,)|()1M x y y x N x y x y a =≥=+-≤.那么,使M N N ⋂=成立的充要条件是:(A)114a ≥ (B)114a = (C)1a ≥ (D)01a <<答( ) 5.已知函数2()f x ax c =-满足:4(1)1,1(2)5f f -≤≤--≤≤.那么,(3)f 应满足:(A)7(3)26f ≤≤ (B)4(3)15-≤≤ (C)1(3)20f -≤≤ (D)2835(3)33f -≤≤ 答( ) 6.设,,,,,a b c d m n 都是正实数.P Q ==那么: (A)P Q ≥(B)P Q ≤ (C)P Q <(D),P Q 间的大小关系不确定,而与,m n 的大小有关答( ) 7.在正方形ABCD 所在平面上有点P,使,,,PAB PBC PCD PDA 都是等腰三角形.那么,具有这样性质的P 点个数共有:(A)9个 (B)17个 (C )1个 (D)5个答( ) 8.任间ABC ,设它周长、外接圆半径长与内切圆半径长分别为,l R 与r ，那么：（A ）l R r >+ （B ）l R r ≤+ （C ）166R r l <+< （D ）()()()A B C 三种关系都不对答（）二、填空题1．在ABC 中，35sin ,cos 513A B ==，那么，cos C 的值等于____________. 2．三边均为整数,且最大边长为11的三角形,共有_____________个.3．一个六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a 的正三角形,这样两个多面体的内切球的半径之比是一个既约分数mn.那么,积m n ⋅是______________________. 第二试一、求证：arcsin arccos 2x x π+=，其中[]1,1x ∈-.二、函数()f x 在[]0,1上有定义,(0)(1)f f =,如果对于任意不同的[]12,0,1x x ∈,都有2121|()()|||f x f x x x -<-.求证:211|()()|2f x f x -<. 三、如图,在四边形ABCD 中,,,ABD BCD ABC 的面积比是3:4:1,点M,N 分别在AC,CD 上,满足AM:AC=CN:CD,并且B,M,N 三点共线. 求证:M 与N 分别是AC 与CD 的中点.四、在六条棱分别为2，3，3，4，5，5的所有四面体中，最大的体积是多少？证明你的结论.M EB ADNC五、函数22()|cos 2sin cos sin |F x x x x x Ax B =+-++在302x π≤≤上的最大值M 与参数A,B 有关.问A,B 取什么值时M 为最小?证明你的结论.. 1984试题部分第一试一选择题本题共有8个小题每一小题都给出代号为(A)、(B)、(C)、(D)的四个结论，其中有结论是正确的，请把正确结论的代号定在题后的圆括号内.1. 集合{}2|arg ,S z z a a R ==∈在复平面的图形是(A)射线arg 2z a = (B)射线arg 2z a =- (C)射线arg z a =- (D)上述答案都不对答( ) 2. 下列四个图的阴影部分(不包括边界)满足不等式2log (log )0x x y >的是答( )3. 对所有满足15n m ≤≤≤的,m n ,极坐标方程11cos nm C ρθ=-表示的不同双曲线条数是(A)15 (B)10 (C)7 (D)6答( ) 4. 方程sin lg x x =的实根是(A)1 (B)2(C )3 (D)大于3答( ) 5. 若0,1,()a a F x >≠是奇函数,则11()()()12x G x F x a =+-是 (A) 奇函数 (B) 偶函数(C) 不是奇函数也不是偶函数 (D) 奇偶性与a 的具体数值有关答( )6. 若1()1xF x x-=+,则下列等式中正确的是 (A)(2)2()F x F x --=-- (B)1()()1xF x F x--=+ (C)1()()F x F x -= (D)(()F F x x =-答( ) 7. 若动点(,)P x y 以等角速度ω在单位圆上逆时针运动,则点22(2,)Q xy y x --的运动方程是(A) 以角速度ω在单位圆上顺时针运动 (B) 以角速度ω在单位圆上逆时针运动 (C) 以角速度2ω在单位圆上顺时针运动 (D) 以角速度2ω在单位圆上逆时针运动答( ) 8.若四面体的条棱长是x ,其余棱长都是1,体积是()F x ,则函数()F x 在其定义域上 (A)是增函数但无最大值 (B)是增函数且有最大值 (C)不是增函数且无最大值 (D)不是增函数但有最大值答( ) 二、填空题1．如图，AB 是单位圆的直径，在AB 上任取一点D ，作DC A B ⊥，交圆周于C ，若D 点的坐标为(,0)x ，则当(,)x ∈时，线段AD ，BD ，CD 可构成三角形.2.方程cos cos 4xx =的通解是( ),在(0,24)π内,不相同的解有( ).第二试一、下列命题是否正确？若正确，请给予证明.1．若P ，Q 是直线l 同侧的两个不同点，则必存在两个不同的圆，通过点P ，Q 且和直线l 相切. 2．若0,0a b >>且1,1a b ≠≠,则log log 2a b b a +≥.3．设A,B 是坐标平面上的两个点集,{}222(,)|r C x y x y r =+≤.若对任何0r ≥都有r r C A C B ⋃⊆⋃,则必有A B ⊆.二、已知两条异面直线,a b 所成的角为θ,它们的公垂线'A A 的长度为d ,在直线,ab上分别取点E,F,设',A E m AF n ==,求.('EF A a 在直线上,A 在直线b 上) 三、如图,在ABC 中,P 为边BC 上任意一点,//,//PE BA PF CA .若1ABC S = ,证明,B P F P C E S SPEAF 和S ,中至少有一个不小于49.(S 表示图形的面积)四,设n a 是22212...n +++的个位数字,1,2,3,...n =试证120.......n a a a 是有理数.五.设12,,...,n x x x 都是正数,求证:222211212231......n n n n x x x x x x x x x x x -++++≥+++.1985试题部分第一试一、选择题本题共有8个小题每一小题都给出代号为(A)、(B)、(C)、(D)的四个结论，其中有结论是正确的，请把正确结论的代号定在题后的圆括号内. 1. 假如有两个命题:甲:221(0,0)mx ny m n +=≠≠a 是大于零的实数;乙:a b >且11a b -->,那么(A) 甲是乙的充分而不必要条件 (B) 甲是乙的必要而不充分条件 (C) 甲是乙的充分必要条件(D) 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答( )2. PQ 为经过抛物线22y px =焦点的任意一条弦,MN 为PQ 的准线l 上的射影,PQ 线l 转一周所得的旋转面面积为1S ,以MN 为直径的球面面积为2S ,则下面的结论中,正确是 (A)12S S > (B)12S S <(C)12S S ≥ (D)有时12S S >,有时12S S =,有时12S S <答( )3. 已知方程44arccosarccos()arcsin 55x --=,则 (A)2425x = (B)2425x =- (C)0x = (D)这样的x 不存在答( )4. 在下列四个图形中,已知有一个是方程20mx ny +=与221(0,0)mx ny m n +=≠≠在同一坐标系中的示意图,它应是CEPBFA答( )5. 设,,Z W λ为复数，||1λ≠，关于Z 的方程Z Z W λ-=下面有四个结论：I.21||W WZ N λ+=-是这个方程的解；II.这个方程只有一个解;III.这个方程有两个解;IV .这个方程有无穷多解.则(A)只有I 和II 是正确的 (B)只有I 和III 是正确的(C)只有I 和IV 是正确的 (D)以上(A)、(B)、(C)都不正确答（） 6. 设01a <<,若112123,,,...,...n x x x n x a x a x a x a -====则数列{}n x(A)是递增的 (B)是递减的(C)奇数项是递增的,偶数项是递减的 (D)偶数项是递增的,奇数项是递减的答( ) 二、填空题1. 在ABC ∆中,角A,B,C 的对边分别为,,a b c .若角A,B,C 的大小成等比数列,且22b a ac -=,则角B 的孤度数等于____________________.2. 方程1234567891023x x x x x x x x x x +++++++++=的非负整数解共有_________组.3. 在已知数列1,4,8,10,16,19,21,25,30,43中,相领若干数之各能被11整除的数组共有_______. 4. 对任意实数,x y ,定义运算*x γ为*x ax b cx γγγ=++ ,其中, ,,a b c 为常数,等式右端中的运算是通常的实数加法、乘法运算,现已知1*23,2*34==，并且有一个非零实数d ，使得对于任意实数x 都有*x d x =，则d =_____________________.第二试一、在直角坐标系x ογ中,点11(,)A x γ和22(,)B x γ的坐标均为一位正整数, A ο与x 轴正方向的夹角大于45o , B ο与x 轴正方向的夹角小于45o ,B 在x 轴上的射影为',B A 在γ轴上的射影为'A ,'OB B ∆的面积比'OA A ∆的面积大33.5,1D A由1122,,,x x γγ组成四位数,并写出求解过程.二、如图,在正方体1111ABCD A BC D -中,E 是BC 的中点,F 在1AA 上,且1:1:2AF FA =,求平面1B EF 与底面1111A B C D 所成的二面角.三、某足球邀请赛有十六个城市参加,每市派出甲、乙两个队.根据比赛规则,每两队之间至多赛一场,并且同一城市的两队之间不进行比赛;比赛若干天后进行统计,发现除A 市甲队外,其它各队已比赛过的场数各不相同.问A 市乙队已赛过多少场?请证明你的结论.四、平面上任给五个相异的点,它们之间的最大距离与最小距离之比记为λ,求证:2sin 54o λ≥,并讨论等号成立的充要条件.1986试题部分第一试一、选择题本题共有6个小题,每个小题都给出了代号为(A)、(B)、(C)、(D)的四个结论，其中有结论是正确的，请把正确结论的代号定在题后的圆括号内.1. 设10,arcsin a a θ-<<=,那么不等式sin x a <的解集为(A) {}|2(21),x n x n n Z πθπθ+<+-∈(B) {}|2(21),x n x n n Z πθπθ-<++∈(C) {}|(21)2,x n x n n Z πθπθ-+<<-∈(D) {}|(21)2,x n x n n Z πθπθ--<<+∈答( )2. 为Z 为复数, {}22|(1)|1|M Z Z Z =-=-,那么(A) {}M =纯虚数 (B) {}M =实数(C) {}{}M ⊂⊂实数复数 (D) {}M =复数答( )3. 设实数,,a b c 满足{222870660a bc a b c bc a --+=++-+=,那么a 的取值范围是 (A) (,)-∞+∞ (B) [](,1)9,-∞⋃+∞(C) (0,7) (D) []1,9答( )4. 如果四面体的每一个面都不是等腰三角形,那么其长度不等的棱的条数最少为(A)3 (B)4 (C)5 (D)6答( )5. 平面上有一个点集M 和七个不同的圆127,,...C C C ,其中圆7C 恰好经过M 中的7个点,圆6C 恰好经过M 中的6个点,……,圆1C 恰好经过M 中的1个点,那么M 中的点数最少为(A)11 (B)12 (C)21 (D)28答( )6. 边长为,,a b c 的三角形,其面积等于14,而外接圆半径为1,若 111s t a b c==++,则s 与t 的大小关系是 (A) s t > (B) s t = (C) s t < (D)不确定答( )二、填空题本题共有4个小题,每个小题的答案都是000~999的某一个整数,请把你认为正确的答案填在( )上.1.在底面半径为6的圆柱内,有两个半径也为6的球面,其球心距为13.若作一平面与这二球面相切,且与圆柱面相交成一椭圆,则这个椭圆的长轴与短轴长之和是( ).2.已知[]()|12|,0,1f x x x =-∈那么方程1((()))2f f f x x =的解的个数是( ). 3．设4()42x x f x =+,那么和式1231000...1001100110011001f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值等于( ).4.设,,x y z 为非负实数,且满足方程682560-⨯+=,那么x y z ++的最大值与最小值的乘积等于( ).第二试一、已知数列012,,,...a a a 满足01a a ≠且112(1,2,3...)i i i a a a i -++==,求证:对于任何自然数0121011,()(1)(1)...(1)n n n n n n n n n n n n p x a C x a C x a C x a C x ---=-+-++-+是x 的一次多项式.二、已知锐角三角形ABC 的外接圆半径是R,点D,E,F 分别在边BC,CA,AB 上,求证:AD,BE,CF 是ABC 的三条高的充要条件是()2R S EF FD DE =++,式中S 是三角形ABC 的面积.三、平面直角坐标系中,纵、横坐标都是整数的点称为整点.请设计一种方法将所有的整点染色,每一个整点染成白色、红色或黑色中的一种颜色，使得（1）三种颜色的点出现在无穷多条平行于横轴的直线上无穷多次；（2）对任意白点A 、红点B 和黑点C ，总可以找到一个红点D ，使得ABCD 为一平行四边形.证明你设计的方法符合上述要求.1988试题部分第一试一选择题本题共有5题,每个小题都给出了代号为(A)、(B)、(C)、(D)的四个结论，其中有结论是正确的，请把正确结论的代号定在题后的圆括号内.1. 有三个函数,第一个是()y x ϕ=,它的反函数就是第二个函数,而第三个函数的图像与第二个函数的图像关于直线0x y +=对称,那么第三个函数是(A)()y x ϕ=- (B)()y x ϕ=--(C)1()y x ϕ-=- (D)1()y x ϕ-=--答( )2. 已知原点在椭圆22224210k x y kx ky k +-++-=的内部,那么参数k 的取值范围是(A)||1k > (B)||1k ≠(C)11k -<< (D)0||1k <<答( ) 3. 平面上有三个点集M,N,P:{}(,)||||1M x y x y =∣+<,(,N x y ⎧⎪=<⎨⎪⎩, {}(,)||1,||1,||1P x y x y x y =∣+<<<.则(A)M P N ⊂⊂ (B)M N P ⊂⊂(C)P N M ⊂⊂ (D)(A)、（B ）、（C ）都不成立答（）4. 已知三个平面,,αβγ,每两个平面之间的夹角都是θ,且,,a b c αββγγα⋂=⋂=⋂=.若有命题甲:3πθ>;命题乙:,,a b c 相交于一点.则(A) 甲是乙的充分条件但不必要(B) 甲是乙的必要条件但不充分(C) 甲是乙的充分必要条件(D) (A)、（B ）、（C ）都不对答( )5. 在坐标平面上,纵横坐标都是整数的点叫做整点,我们有I 表示所有直线的集合,M 表示恰好通过一个数点的直线的集合,N 表示不通过任何整点的直线的集合,P 表示通过无穷多个整点的直线的集合,那么表达式(1)M N P I ⋃⋃=; (3)N ≠Φ;(2)N ≠Φ; (4)P ≠Φ.中正确的个数是(A)1 (B)2(C)3 (D)4答( )二、填空题1.设x y ≠,且两数列123,,,,x a a a y 和1234,,,,b x b b b 均为等差数列,那么4321b b a a --=____________.2.212)n +的展开式中,x 的整数次幂的各项系数之和为____________________.3.ABC 中,已知,,A a CD BE ∠=分别是AB,AC 上的高,则DE BC=_____________. 4.甲、乙两队各出7名队员按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，……直到有一方队员全被淘汰为止,另一方获胜,形成一种比赛过程,那么所有可能出现的比赛过程的种数为______________________.宽为1的矩形,以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周,求得到的旋转体体积.四、复平面上动点1z 的轨迹方程为1010||||,z z z z -=为定点,00z ≠,另一个动点z 满足11z z =-,求点z 的轨迹,指出它在复平面上的形状和位置.五、已知,a b 为正数,且111a b+=,试证:对每一个21,()22n n n n n n N a b a b +∈+--≥-. 第二试一、已QB AP R C111221153,1,2,,n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a +++++-⎧===⎨-⎩ 为偶数时;为奇数时.试证:对一切10,1,2,3,...n n k k n +≥=,0,n n n N a a ∈≠不是4的倍数.二、如图,在ABC 中,P,Q,R 将其周长三等分,且P,Q 在AB 边上,求证:29PQRABC S S > . 三、在坐标平面上,是否存在一个含有无穷多直线12,,...,,...n l l l 的直线族,它满足条件:(1)点(1,1),1,2,3,...;n l n ∈=(2)1n n n k a b +≥-,其中1n k +是1n l +的斜率,n a 和n b 分别是n l 在x 轴和y 轴上的截距,1,2,3,...;n =(3)10,1,2,3,...n n k k n +≥=.并证明你的结论.1989试题部分第一试一选择题本题共有6,每个小题都给出了代号为(A)、(B)、(C)、(D)的四个结论，其中有结论是正确的，请把正确结论的代号定在题后的圆括号内.1. 若A,B 是锐角ABC 的两个内角,则复数(cos sin )(sin cos )z B A i B A =-+-在复平面内所对应的点位于(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限答( )2. 函数1()arctan arcsin 2f x x x =+的值域是 (A)(,)ππ- (B)33,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ (C)33,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ (D),22ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 答( )3. 对任意的函数()y f x =,在同一个直角坐标系中,函数(1)y f x=-与函数(1)y f x =-+的图像恒(A)关于x 轴对称 (B)关于直线1x =对称(C)关于直线1x =-对称 (D)关于y 轴对称答( )4. 以长方体8个顶点中的任意3个为顶点的所有三角形中,锐角三角形的个数为(A)0 (B)6 (C)8 (D)24答( )5. 若1|,,1,01t t M z z i t R t t t t +⎧⎫==+∈≠-≠⎨⎬+⎩⎭, ]{}|cos(arcsin )cos(arccos ),,||1N z z t i t t R t ==+∈≤,则M N ⋂中元素的个数为(A)0 (B)1 (C)2 (D)4答( )6. 集合{}|1284,,,M u u m n l m n l Z ==++∈其中, {}|201612,,,N u u p q r p q r Z ==++∈其中的关系为(A)M=N (B),M N N M 刎(C)M N ⊂ (D)M N ⊃答( )二、填空题1.若log 1a <,则a 的取值范围是________________________.2.已知直线:210l x y +=,过点(10,0)-作直线'l l ⊥,则'l 与l 的交点坐标为____________.3.设函数00021()||,()|()1|,()|()2|f x x f x f x f x f x ==-=-,则函数2()y f x =的图像与x 轴所围成图形中的封闭部分的面积是_____________________.4.一个正数,若其小数部分、整数部分和其自身成等比数列，则该数为______________.5.如果从数1,2,…,14中,按由小到大的顺序取出123,,a a a ,使同时满足213a a -≥与323a a -≥,那么所有符合上述要求的不同取法有__________种.6.当s 和t 取遍所有实数时,则22(53|cos |)(2|sin |)s t s t +-+-所能达到的最小值是______________.三、已知12,,...,n a a a 是n 个正数,满足12...1n a a a = .求证:12(2)(2)...(2)3n n a a a +++≥.四、已知正三棱锥S ABC -的高3SO =,底面边长为6,过A点向它所对的侧面SBC 作垂线,垂足为'O ,在'AO 上取一点P,使8'AP PO =,求经过P 点且平行于底面的截面的面积. O B S CA五、已知对任意的n N ∈,有0n a >,且3211()n nj j j j a a ===∑∑. 求证:n a n =.第二试一、在ABC 中,AB>AC,A ∠的一个外角的平分线交ABC 的外接圆于点E,过E 作EF AB ⊥,垂足为F,求证:2AF AB AC =-.二、已知(1,2,...,;2)i x R i n n ∈=≥满足11||1,0n n i i i i x x ====∑∑.求证:111||22n i n i x i =≤-∑. 三、有(4)n n n ⨯≤的一张空白方格表,在它的每一个方格内任意地填入+1与1-两数中的一个,现将表内n 个两两既不同行(横)又不同列(竖)的方格中的数的乘积称为一个基本项.试证:按上述方式所填成的每一个方格表,它的全部基本项之和总能被4整除(即总能表成4k 的形式,其中k Z ∈).1990试题部分第一试一选择题本题共有6,每个小题都给出了代号为(A)、(B)、(C)、(D)的四个结论，其中有结论是正确的，请把正确结论的代号定在题后的圆括号内.1. 设,42a ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭,则cos cos sin (cos ),(sin ),(cos )a a a a a a 的大小顺序是 (A)cos cos sin (cos )(sin )(cos )a a a a a a << (B)cos sin cos (cos )(cos )(sin )a a a a a a <<; (C)cos cos sin (sin )(cos )(cos )a a a a a a <<(D)sin cos cos (cos )(cos )(sin )aa a a a a << 答( )2. 设()f x 是定义在实数集上的周期为2的周期函数,且是偶函数,已知当[]2,3x ∈时,()f x x =,则当[]2,0x ∈-时,()f x 的解析式是(A)()4f x x =+ (B)()2f x x =-(C)()3|1|f x x =-+ (D)()2|1|f x x =++答( )3. 设双曲线的左右焦点是12,F F ,左右顶点是M,N,若12PF F 的顶点P 在双曲线上,则12PF F 的内切圆与边12F F 的切点位置是(A) 在线段MN 内部(B) 在线段1F M 内部或线段2NF 内部(C) 点M 或点N(D) 不能确定的答( )4. 点集3311(,)lg()lg lg 39x y x y x y ⎧⎫∣++=+⎨⎬⎩⎭中元素的个数为 (A)0 (B)1 (C)2 (D)多于2答( )5. 设非零数复数,x y 满足220x xy y ++=,则代数式19901990()()x y x y x y +++的值是 (A)19902-(B)1-(C)1(D)以上答案都不对答( )6. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>通过点(2,1),则这些椭圆上满足||1y >的点的集合用阴影表示是下面图中的答( )二、填空题1.设n 为自然数,a 、b 为正实数，且满足11990n i i C ==∑2a b +=，则1111n na b +++的最小值是________.2.设(2,0)A 为平面上的一定点,(sin(60),cos(260))o o P it t --为动点,则当t 由15o 变到45o 时,线段AP 所扫过的图形的面积是________________.3.设n 是自然数,对任意实数,,x y z 恒有222444()()x y z n x y z ++≤++成立,则n 的最小值是___________________.4.在坐标平面上,横坐标和纵坐标均为整数的点称为整点,对任意自然数n ,连结原点O 与点(,3)n A n n +,用()f n 表示线段n OA 上除端点外的整点个数,则(1)(2)...(1990)f f f +++=_______________.5.设1990n =,则22436994198899519901(1333...33)2n n n n n n C C C C C -+-++-=___________. 6.8个女孩和25个男孩围成一圈,任意两个女孩之间至少站两个男孩,那么,共有__________种不同的排列方法(只要把圈旋转一下就重合的排法认为是相同的).三、已知,a b 均为正整数,且222,sin ab a b a b θ>=+(其中02πθ<<),22()sin n n A a b θ=+.求证对一切自然数n ,n A 均为整数.四、2(4)n n ≥个正数排成n 行n 列, 11a 12a 13a 14a ... 1n a21a 22a 23a 24a … 2n a31a 32a 33a 34a … 3n a41a 42a 43a 44a … 4n a…1n a 2n a 3n a 4n a … nn a其中每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,并且所有公比相等,已知244243131,,816a a a ===,求11223344...nn a a a a a +++++. 5.设棱锥M ABCD -的底面是正方形,且,MA MD MA AB =⊥,如果AMD 的面积为1,试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.第二试一、四边形ABCD 内接于圆O,对角线AC 与BD 相交于P,设三角形ABP,BCP,CDP 和DAP 的外接圆圆心分别是1234,,,O O O O .求证:1324,,OP OO O O 三直线共点.二、设{}{}1231001,2,3,...,200,,,,...,E G a a a a E ==⊂,且G 具有下列两条性质:(I) 对任何1100i j ≤≤≤,恒有201i j a a +≠;(II) 100110080i i a==∑.试证:G 中的奇数的个数是4的倍数,且G 中所有数字的平方和为一个定数.三、某市有n 所中学,第i 所中学派出i C 名学生(139,1)i C i n ≤≤≤≤来到体育馆观看球赛,全部学生总数为11990n i i C==∑.看台上每一横排有199年座位.要求同一学校的学生必须坐在同一横排,问体育馆最少要安排多少个横排才能够保证全部学生都能坐下?。

1990年高考全国卷数学试卷与答案

1990年高考试题（理工农医类）一、选择题 :在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 ,把所选项前的字母填在题后括号内 .【】【】(3)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于【】(4)方程 sin2x=sinx在区间 (0,2π )内的解的个数是(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 【】(5) 【】【】(A){-2,4} (B){-2,0,4}(C){-2,0,2,4} (D){-4,-2,0,4}(7)如果直线 y=ax＋2与直线 y=3x－ b关于直线 y＝x对称 ,那么【】(C)a=3,b=-2 (D)a=3,b=6【】(A) 圆(B) 椭圆(C)双曲线的一支(D) 抛物线【】(B){(2,3)}(C)(2,3) (D){(x,y) │ y=x+1}【】(11)如图 ,正三棱锥 S- ABC 的侧棱与底面边长相等 ,如果 E、F分别为 SC、AB 的中点 ,那么异面直线 EF与SA所成的角等于【】(A)90° (B)60° (C)45° (D)30°(12)已知 h>0.设命题甲为 :两个实数 a,b满足│ a－b│<2h;命题乙为 : 两个实数 a,b满足│ a－ 1│ <h且│ b-1 │ <h.那么【】(A)甲是乙的充分条件 ,但不是乙的必要条件(B)甲是乙的必要条件 ,但不是乙的充分条件(C)甲是乙的充分条件(D)甲不是乙的充分条件 ,也不是乙的必要条件(13)A,B,C,D,E 五人并排站成一排 ,如果 B必须站在 A 的右边（ A,B 可以不相邻） , 那么不同的排法共有【】(A)24种 (B)60种 (C)90种 (D)120种(14)以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有【】(A)70个 (B)64个 (C)58个 (D)52个(15)设函数 y=arctgx的图象沿 x轴正方向平移 2个单位所得到的图象为C.又设图象 C＇与 C关于原点对称 ,那么 C＇所对应的函数是【】(A)y=-arctg(x-2) (B)y=arctg(x-2)(C)y=-arctg(x+2) (D)y=arctg(x+2)二、填空题 :把答案填在题中横线上 .第2 页(18)已知 { an} 是公差不为零的等差数列 , 如果 Sn 是 { an} 的前 n 项的和 , 那(19)函数 y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是.(20)如图 ,三棱柱 ABC －A 1B1C1中,若E、 F分别为 AB 、AC的中点 ,平面 EB1C1F将三棱柱分成体积为 V 1、V 2的两部分 ,那么V1:V 2＝.三、解答题 .(21)有四个数 ,其中前三个数成等差数列 ,后三个数成等比数列 ,并且第一个数与第四个数的和是 16,第二个数与第三个数的和是 12.求这四个数 .(23)如图 ,在三棱锥 S- ABC 中,SA⊥底面 ABC,AB ⊥BC．DE垂直平分 SC,且分别交AC、 SC于 D、E.又 SA＝AB,SB ＝ BC.求以 BD 为棱 ,以BDE 与BDC 为面的二面角的度数 .(24)设 a≥ 0,在复数集 C中解方程 z2+2│ z│＝ a.n≥2.(Ⅰ)如果 f(x) 当x ∈(-∞ ,1]时有意义 ,求a的取值范围 ; (Ⅱ)如果 a∈(0,1],证明 2f(x)<f(2x) 当 x≠ 0时成立 .1990年试题（理工农医类）答案一、选择题 :本题考查基本知识和基本运算.(1)A (2)B (3)D (4)C (5)C (6)B(7)A(8)D(9)B(10)D (11)C (12)B (13)B (14)C (15)D二、填空题 :本题考查基本知识和基本运算.三、解答题 .(21)本小题考查等差数列、等比数列的概念和运用方程（组）解决问题的能力. 解法一 :①由②式得d=12-2a. ③整理得a2-13a+36=0解得a1=4,a2=9.代入③式得 d1=4,d2=-6.从而得所求四个数为 0,4,8,16或 15,9,3,1.解法二 :设四个数依次为 x,y,12-y,16-x ①由①式得x=3y-12. ③将③式代入②式得y(16-3y+12)=(12-y) 2,整理得y2-13y+36=0.解得y1=4,y2=9.代入③式得 x1=0,x2=15.从而得所求四个数为 0,4,8,16或 15,9,3,1.(22)本小题考查三角公式以及三角函数式的恒等变形和运算能力.解法一 :由已知得解法二 :如图 ,不妨设 0≤α≤β＜ 2π ,且点 A 的坐标是（ cosα,sin α） , 点 B 的坐标是（ cosβ ,sin β） , 则点 A,B 在单位圆 x2+y2=1 上 . 连结连结 OC,于是 OC⊥AB, 若设点 D的坐标是（ 1,0）,再连结 OA,OB,则有解法三 :由题设得4(sinα +sinβ)=3(cosα +cosβ).将②式代入①式 ,可得sin(α-)=sin(-β ).于是α－＝ (2k+1)π -(-β)(k ∈Z),或α-=2kπ +(-β )(k∈Z).若α-=(2k+1) π-(-β )(k∈Z), 则α ＝β＋ (2k+1)π(k ∈Z).于是sinα =-sinβ ,即sinα+sinβ =0.由此可知α-=2kπ+(-β)(k ∈Z),即α＋β ＝2+2kπ(k∈Z).所以(23)本小题考查直线和平面 ,直线和直线的位置关系 ,二面角等基本知识 ,以及逻辑推理能力和空间想象能力 .解法一 :由于 SB＝BC,且 E是 SC的中点 ,因此 BE 是等腰三角形 SBC的底边 SC的中线,所以 SC⊥BE.又已知SC⊥DE,BE ∩DE＝E,∴SC⊥面 BDE,∴SC⊥ BD.又∵SA⊥底面 ABC,BD 在底面 ABC 上,∴SA⊥BD.而SC∩ SA＝ S,∴BD ⊥面 SAC.∵DE＝面 SAC∩面 BDE,DC ＝面 SAC∩面 BDC,∴BD ⊥DE,BD ⊥DC.∴∠ EDC是所求的二面角的平面角.∵SA⊥底面 ABC, ∴SA⊥AB,SA ⊥AC.设SA＝ a,又因为 AB ⊥ BC,∴∠ ACS＝30° .又已知 DE⊥SC,所以∠ EDC＝60° ,即所求的二面角等于 60°.解法二 :由于 SB＝BC,且 E是 SC的中点 ,因此 BE 是等腰三角形 SBC的底边 SC的中线,所以 SC⊥BE.又已知 SC⊥DE,BE∩DE＝E∴SC⊥面 BDE,∴SC⊥ BD.由于 SA⊥底面 ABC, 且A 是垂足 ,所以 AC 是SC在平面 ABC 上的射影 .由三垂线定理的逆定理得 BD ⊥AC; 又因 E∈SC,AC是SC在平面 ABC 上的射影 ,所以E在平面 ABC 上的射影在 AC上 ,由于 D∈AC, 所以 DE在平面 ABC 上的射影也在 AC 上,根据三垂线定理又得 BD ⊥DE.∵DE 面 BDE,DC 面BDC,∴∠ EDC是所求的二面角的平面角.以下同解法一 .(24)本小题考查复数与解方程等基本知识以及综合分析能力.解法一 :设z＝x+yi, 代入原方程得于是原方程等价于方程组由②式得 y=0或x=0.由此可见 ,若原方程有解 ,则其解或为实数 ,或为纯虚数 .下面分别加以讨论 .情形 1.若y=0,即求原方程的实数解 z=x.此时 ,①式化为x2+2│x│=a. ③(Ⅰ)令 x>0,方程③变为 x2＋2x=a. ④.由此可知 :当a=0时 ,方程④无正根 ;(Ⅱ)令 x<0,方程③变为 x2-2x=a. ⑤.由此可知 :当a=0时 ,方程⑤无负根 ;当a>0时,方程⑤有负根第12 页(Ⅲ)令 x=0,方程③变为 0=a.由此可知 :当a=0时 ,方程⑥有零解 x=0;当a>0时,方程⑥无零解 .所以 ,原方程的实数解是 :当a=0时,z=0;.情形 2.若x=0,由于 y=0的情形前已讨论 ,现在只需考查 y≠ 0的情形 ,即求原方程的纯虚数解 z=yi(y ≠0).此时 ,①式化为-y2+2│ y│ =a. ⑦(Ⅰ)令 y>0,方程⑦变为 -y2+2y=a,即(y-1) 2=1-a. ⑧由此可知 :当a>1时 ,方程⑧无实根 .当a≤ 1时解方程⑧得y=1±,从而 , 当a=0时 ,方程⑧有正根 y=2;当0<a≤1时,方程⑧有正根y=1±.(Ⅱ)令 y<0,方程⑦变为 -y2-2y=a,即 (y+1)2=1-a. ⑨由此可知 :当a>1时 ,方程⑨无实根 .当a≤ 1时解方程⑨得y=-1±,从而 ,当 a=0时,方程⑨有负根 y=-2;当 0<a≤1时,方程⑨有负根y=-1±所以 ,原方程的纯虚数解是 :当 a=0时,z=±2i;当 0<a≤1时, z=±(1+ )i,z= ±(1- )i.而当 a>1时,原方程无纯虚数解 .解法二 :设z=x+yi 代入原方程得于是原方程等价于方程组由②式得 y=0或x=0.由此可见 ,若原方程有解 ,则其解或为实数 ,或为纯虚数 .下面分别加以讨论 .情形 1.若y=0,即求原方程的实数解 z=x.此时 ,①式化为 x2+2│x│=a.即| x |2+2│ x│ =a. ③解方程③得,所以 ,原方程的实数解是.情形 2.若x=0,由于 y=0的情形前已讨论 ,现在只需考查 y≠ 0的情形 ,即求原方程的纯虚数解 z=yi(y ≠0).此时 ,①式化为-y2+2│y│=a.即-│y│2 +2│ y│=a.④当a=0时,因 y≠0,解方程④得│ y│=2,即当 a=0时,原方程的纯虚数解是 z=±2i.当0<a≤1时,解方程④得,即当 0<a≤1时,原方程的纯虚数解是.而当 a>1时,方程④无实根 ,所以这时原方程无纯虚数解 .解法三 :因为 z2=-2│z│+a是实数 ,所以若原方程有解 ,则其解或为实数 ,或为纯虚数 ,即z=x或 z=yi(y ≠0).情形 1.若z=x.以下同解法一或解法二中的情形 1.情形 2.若z=yi(y ≠0).以下同解法一或解法二中的情形 2.解法四 :设z=r(cosθ+isinθ),其中 r≥0,0≤θ<2π.代入原方程得r2cos2θ＋ 2r+ir2sin2θ＝a.于是原方程等价于方程组情形 1.若r=0.①式变成0=a. ③由此可知 :当a=0时 ,r=0是方程③的解 .当a>0时,方程③无解 .所以 , 当a=0时 ,原方程有解 z=0;当a>0时,原方程无零解 .考查 r>0的情形 .(Ⅰ)当 k=0,2时,对应的复数是 z=±r.因cos2θ =1,故①式.由此可知 :当a=0时 ,方程④无正根 ;当 a>0时,方程④有正根.所以 ,当 a>0时,原方程有解.(Ⅱ)当 k=1,3时,对应的复数是 z=±ri.因cos2θ=-1,故①式化为-r2+2r=a,即 (r-1)2=1-a, ⑤由此可知 :当a>1时 ,方程⑤无实根 ,从而无正根 ;.从而 , 当a=0时 ,方程⑤有正根 r=2;.所以 , 当a=0时 ,原方程有解 z=±2i;当0<a≤1时,原方程有解当a>1时,原方程无纯虚数解 .(25)本小题考查椭圆的性质,距离公式 ,最大值知识以及分析问题的能力. 解法一 :根据题设条件 ,可取椭圆的参数方程是其中 a>b>0待定 ,0≤θ<2π.设椭圆上的点 (x,y) 到点 P的距离为 d,则大值 ,由题设得,因此必有,由此可得b=1,a=2.所求椭圆的参数方程是.解法二 :设所求椭圆的直角坐标方程是其中 a>b>0待定 .,设椭圆上的点 (x,y) 到点 P的距离为 d,则第16 页其中-byb.由此得,由此可得b=1,a=2.所求椭圆的直角坐标方程是(26)本题考查对数函数 ,指数函数 ,数学归纳法 ,不等式的知识以及综合运用有关知识解决问题的能力 .(Ⅰ)解 :f(x) 当 x∈ (-∞ ,1]时有意义的条件是1+2x+⋯(n-1)x+nxa>0 x∈(-∞,1],n≥2,上都是增函数 ,在 (-∞ ,1]上也是增函数 ,从而它在 x=1时取得最大值也就是 a的取值范围为(Ⅱ)证法一 :2f(x)<f(2x) a∈(0,1],x ≠ 0.即[1+2x +⋯ +(n-1)x+nxa]2<n[1+22x+⋯ +(n-1)2x+n2x a] a∈(0,1],x ≠0.②现用数学归纳法证明②式.（A）先证明当 n=2时②式成立 .假如 0<a<1,x≠ 0,则(1+2x a)2=1+22 2xa+22xa2≤ 2(1+22x)<2(1+22xa). 假如 a=1,x≠0,因为 1≠ 2x,所以因而当 n=2时②式成立 .（ B）假如当 n=k(k≥2)时②式成立 ,即有[1+2x +⋯ +(k-1)x+kxa]2<k[1+2 2x+⋯ +(k-1)2xa]a∈(0,1],x ≠0, 那么 ,当 a∈(0,1],x ≠0时[(1+2x +⋯+kx )+(k+1) xa]2=(1+2x+⋯+kx)2+2(1+2x +⋯ +kx)(k+1)xa+(k+1)2xa2 <k(1+22x+⋯ +k2x)+2(1+2x +⋯+kx )(k+1)xa+(k+1) 2xa2 =k(1+22x+⋯ +k2x)+[2212 (k+1)x a+22 2x(k+1)xa+⋯+2kx(k+1)xa]+(k+1) 2xa2<k(1+22x+⋯+k2x)+{[1+(k+1) 2xa2]+[2 2x+(k+1)2xa2]+⋯+[k2x+(k+1)2xa2]}+(k+1) 2xa2]=(k+1)[1+2 2x+⋯ +k2x+(k+1) 2xa2]≤(k+1)[1+2 2x+⋯+k2x+(k+1)2x a],这就是说 ,当n=k+1时②式也成立 .根据 (A),(B) 可知 ,②式对任何 n≥2(n∈N) 都成立 .即有2f(x)<f(2x) a∈(0,1],x ≠0.证法二 :只需证明 n≥2时第18 页--完整版学习资料分享----因为其中等号当且仅当 a1=a2=⋯ =an时成立 .利用上面结果知 ,当a=1,x≠0时,因1≠2x,所以有[1+2x +⋯ +(n-1)x+nx] 2<n[1+22x+⋯+(n-1)2x+n2x].当0<a<1,x≠0时,因a2<a,所以有[1+2x+⋯+(n-1) x+nxa]2≤n[1+22x+⋯ +(n-1)2x+n2xa2]<n[1+2 2x+⋯+(n-1)2x+n2xa]. 即有2f(x)<f(2x) a∈ (0,1),x≠0.第19 页--完整版学习资料分享----。

1990年全国初中数学联赛试题及答案

1990年全国初中数学联赛试题第一试一、选择题本题共有8个小题，每小题都给出了(A)、(B)、(C)、(D)四个结论，其中只有一个是正确的，请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内。

1．31231131144++-++的值是（A ）1 （B ）－1 （C ）2 （D ）－2答（）2．在△ABC 中,AD 是高,且AD 2 = BD ·CD ，那么∠BAC 的度数是（A ）小于90° （B ）等于90° （C ）大于90° （D ）不确定答（） 3．方程k k k x k x (02)13(722=--++-是实数)有两个实根α、β，且0＜α＜1，1＜β＜2，那么k 的取值范围是（A ）3＜k ＜4 （B ）－2＜k ＜－1；（C ）3＜k ＜4或－2＜k ＜－1 （D ）无解答（） 4．恰有35个连续自然数的算术平方根的整数部分相同，那么这个相同整数是（A ）17 （B ）18 （C ）35 （D ）36答（） 5．△ABC 中，22=AB ，2=AC ，2=BC ，设P 为BC 边上任一点，则（A ）PB PA <2·PC （B ）PB PA =2·PC（C ）PB PA >2·PC（D ）PB PA 与2·PC 的大小关系并不确定答（）6．若六边形的周长等于20，各边长都是整数，且以它的任意三条边为边都不能构成三角形，那么，这样的六边形（A ）不存在（B ）只有一个（C ）有有限个，但不只一个（D ）有无穷多个答（）7．若b a log 的尾数是零，且2log log 1log a b b b aa>>，那么下列四个结论：中，正确的结论的个数是（1）21a b b>> （2）0log log =+a b b a（3）10<<<b a （3）01=-ab（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4答（）8．如图，点P ，Q ，R 分别在△ABC 的边上AB 、BC 、CA 上，且1====RC QR PQ BP ，那么，△ABC 面积的最大值是（A ）3 （B ）2 （C ）5 （D ）3答（）二、填空题 1．已知82121=+-xx，则xx 12+=2．2223,2,1，…，1234567892的和的个位数的数字是 3．方程01)8)((=---x a x ，有两个整数根，则=a 4．△ABC 中，2==AC AB ，BC 边有100个不同的点1P ，2P ，…，100P ，记i i i BP AP m +=2·C Pi ( =i 1，2，…，100) 则 ++21m m …100m +=第二试一、已知在凸五边形ABCDE 中，∠BAE = 3α，BC=CD=DE ，且∠BCD=∠CDE=180°－2α，求证：∠BAC=∠CAD=∠DAE二、[]x 表示不超过实数x 的最大整数，令{}[]x x x -=（1）找出一个实数x ，满足{}11=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+x x（2）证明：满足上述等式的x ，都不是有理数三、设有n n 22⨯个正方形方格棋盘，在其中任意的n 3个方格中各有一枚棋子。

1990年小学数学奥林匹克竞赛初赛、决赛

1990年全国小学数学奥林匹克竞赛初赛试卷1.计算：2.如果时针现在表示的时间是18点整，那么分针旋转1990圈之后是__________点钟．3.钱袋中有1分、2分和5分3种硬币，甲从袋中取出3枚，乙从袋中取出两枚，取出的5枚硬币仅有两种面值，并且甲取出的3枚硬币的和比乙取出的两枚硬币的和少3分，那么取出的钱数的总和最多是_________分．4.六年级有四个班，不算甲班，其余3个班的总人数是131人，不算丁班，其余3个班的总人数是134人，乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人．4个班的总人数是_________人．5.从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11和12至多能选出__________个数，使得在选出的数中，每一个数都不是另一个数的2倍．6.计算：7.有一个算式，左边方框里都是整数，右边答案只写出了四舍五入的近似值，，那么算式左边3个方框中的整数从左至右依次是__________．8.从1、1、3、3、5、5、7、7、9、9中取出5个数，其中至少有4个数不重复并且它们的乘积的个位数字是1，那么这5个数的和是____________．9.有30个数1.64，1.64＋，1.64＋，…，1.64＋，1.64＋，如果取每个数的整数部分（例如1.64的整数部分是1，1.64＋的整数部分是2），并将这些整数相加，那么，其和等于____________．10.有一批文章共15篇，各篇文章的页数分别是1页，2页，3页，…，14页和15页稿纸，如果将这些论文按某种次序装订成册，并统一编上页码．那么每篇文章的第一页是奇数页码的论文最多有____________篇．11.一个水池子，甲、乙两管同时开，5小时灌满，乙、丙两管同时开，4小时灌满．如果乙管先开6小时，还需要甲、丙两管同时开2小时才能灌满（这时乙管关闭）那么乙管单独灌满水池需要____________小时．12.任取一个4位数乘3456，用A来表示积的数字和，用B表示A的数字和，C 表示B的数字和，那么C＝____________．13.在一根长100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一个红点，同时自右向左每隔6厘米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐级锯开，那么长度是4厘米的短木棍有____________根．14.有一个6位数，它的个位数字是6，如果将6移至第一位前面时所得到的新的六位数是原数的4倍．那么这个6位数是____________．15. 在黑板上任意写一个自然数，在不是它的约数中，找出最小的自然数，擦去原数，写上找到的这个最小的自然数，例如，写的数是12，不是12的约数中，最小的自然数是5，擦去12，写上5．这样继续做下去，直到黑板上出现2为止，对于任意一个自然数，最多擦____________次，黑板上就可以出现2．1990小学数学奥林匹克试题决赛1. 计算：2. 如果10个互不相同的两位奇数之和等于898，那么这10个数中最小的一个是__________．3. 在直线上两个相距一寸的点A和B上各有一只青蛙．A点的青蛙沿直线跳往关于B点的对称点，而B点的青蛙沿直线跳往关于A点的对称点．然后，点的青蛙沿直线跳往关于点的对称点，点的青蛙沿直线跳往关于点的对称点，如此跳下去．两只青蛙各跳了7次以后，原来在A点的青蛙跳到的位置距离B点有__________寸．4. 小萌在邮局寄了3种信：平信每封8分钱，航空信每封1角钱，挂号信每封2角钱．她共用了1元2角2分钱，那么小萌寄的3种信的总和最少是_____________封．5. 图中的每个小正方形的面积都是1，那么图中这只狗所占的图形的面积是__________．6. 3种动物赛跑，已知狐狸的速度是兔子的，兔子的速度是松鼠的2倍，一分钟松鼠比狐狸少跑14米，那么半分钟兔子比狐狸多跑__________米．7. 甲、乙两人对一根3米长的木棍涂色，首先甲从木棍端点开始涂黑5厘米，间隔5厘米不涂色，接着再涂黑5厘米，这样交替做到底．然后，乙从木棍同一端开始留出6厘米不涂色，接着涂黑6厘米，再间隔6厘米不涂色，交替做到底．最后，木棍上没有被涂黑部分的长度总和为____________厘米．8. 小明每分钟吹一次肥皂泡，每次恰好吹出100个．肥皂泡吹出之后，经过1分钟有一半破了，经过2分钟还有没破，经过2分半钟全部肥皂泡都破了．小明在第20次吹出100个新的肥皂泡的时候，没有破的肥皂泡共有__________个．9. 如图是一个6×6的方格棋盘，现将部分1×1的小方格涂成红色．如果随意划掉3行3列，都要使得剩下的小方格中一定有一个是红色的，那么至少要涂__________个小方格．10. 有一电话号码是6位数，其中左边3位数字相同，右边3位数字是3个连续的自然数，6个数之和恰好等于末尾的两位数．这个电话号码是__________．11. 某水池的容量是100立方米，它有甲、乙两个进水管和一个排水管．甲、乙两管单独灌满水池分别需要10小时和15小时．水池中原有一些水，如果甲、乙两管同时进水而排水管排水，需6小时将池中水放完；如果甲管进水而排水管放水，需要2小时将池中水放完．那么池中原有水__________立方米．12. 我们把3和5，33和55这样的两个数都叫做两个连续的奇数，已知自然数1111155555是两个连续奇数的乘积，那么这两个连续奇数的和是__________．13. 一次象棋比赛共有10名选手参加，他们分别来自甲、乙、丙三个队，每个人都与其余9名选手各赛一盘，每盘棋的胜者都得1分，负者都得0分，平局各得0.5 分．结果，甲队选手平均得4.5分，乙队选手平均得3.6分，丙队选手平均得9分，那么甲、乙、丙3队参赛选手的人数依次是__________．14.用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9各数字组成质数，如果每个数都要用到，并且只能用一次，那么这9个数最多能组成__________个质数．15.在23×23方格纸中，将1—9这9个数填入每个小方格如图所示，并对所有形如此图的“十”字图形中的5个数字求和，和数相等的“十”字图形至少有__________个．预赛：1.【解】原式＝＝＝方框内应填的教是12.【解】最小的一个是898－(99＋97＋95＋…＋83)＝79．3.【解】如果取出的硬币没有5分的，那么乙的两枚至多4分，而甲的三枚至少3分，不可能比乙的少3分，所以取出的硬币必有5分的。

1990-2011全国高中数学联赛代数分类试题答案

11990——2011年全国数学竞赛试题分类代数部分一、填空题 1、已知82121=+-xx ，则xx12+=_____62________. （90年） 2、2223,2,1，…，1234567892的和的个位数的数字是 __5__. （90年）3、方程01)8)((=---x a x ，有两个整数根，则=a ____8__. （90年）4、已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么=+ac b 32____6__.（91年）5、设m ，n ，p ，q 为非负数，且对一切x >０，qpn m xx x x )1(1)1(+=-+恒成立，则=++q p n m 22)2(__9__.（91年）6、若0≠x ,则xxx x 44211+-++的最大值是（92年）7、若b a ,都是正实数，且0111=+--ba b a ，则=+33)()(b a a b （92年） 8、当x 变化时,分式15632212++++x x x x 的最小值是_____2______.（93年）9、放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有____7__个小球. （93年）10、若方程k x x =--)4)(1(22有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则k =_____7/4_______.（93年）11、若在关于 x 的恒等式b x c a x x x N Mx --+=-++222 中，2x 2-++x x NM 为最简分式，且有a ＞b ，a+b=c 则N=____-8__. （94年）12、在12，22，32…，952这95个数中，十位数字为奇数的数共有____19________个. （95年）13、已知 a 是方程 x 2 + x - 41 = 0 的根，则 234531a a a a a --+-的值等于__20___.（95年）14、设 x 为正实数，则 y = x 2 - x +x1的最小值是__1_____.（95年） 15、实数x,y 同时满足y=x1及y=|x|+1，则x+y=_____．（96年）16、当a 取遍0到5的所有实数值时,满足3b=a(3a-8)的整数b 的个数是____13_____.（97年） 17、若a,b 满足3a +5|b|=7,则S=22-3|b|的取值范围是_215⎡⎢⎣_______.（97年） 18、若正整数x,y 满足x 2+y 2=1997,则x+y 等于_____63__.（97年） 19、已知方程()015132832222=+-+--a a x a a x a （其中a 是非负整数），至少有一个整数根，那么a =___1,3,5________。

1990年全国高中数学联合竞赛试题及解答

D. (cos )
sin
cos
(cos ) cos (cos ) sin
(cos ) cos (sin ) cos
◆答案：D ★解析： ∴ (cos )
cos
, 得 0 cos sin 1 ， 4 2 (sin ) cos ； (cos ) sin (cos ) cos ；选 D
0
0
0
6
★解析：点 P 在单位圆上， sin( 2t 60 ) cos(150 2t ) ， cos( 2t 60 ) sin(150 2t ) .当 t 由
0
0
0
0
1 3 1 3 运动到 , 150 变到 450 时，点 P 沿单位圆从 , 2 2 2 2 ．线段 AP 扫过的面积等于扇形面积
2 2 k 2 2 k

2

2
则 Ak 1 ( a b )
2
2 k 1
sin k 1 (a 2 b 2 ) k 1 sin k cos cos k sin Ak B1 A1 Bk 为整数．
Bk 1 (a 2 b 2 ) k 1 cosk 1 (a 2 b 2 ) k 1 cos k cos sin k sin Bk B1 A1 Ak 也为整数．
1990*2、设 f ( x ) 是定义在实数集上的周期为 2 的函数，且是偶函数，已知当 x 2,3时， f ( x ) x ，则当 x 2,0 时， f ( x ) 的解析式是（ A. f ( x ) x 4 ◆答案：C ★解析：设 x 2,1 ,则 x 4 2,3 ,于是 f ( x 4) x 4 ，所以 f ( x ) f ( x 4) x 4 ，又设 x 1,0 ，则 x 0,1 ,故 f ( x ) x 2 ，由 f ( x ) f ( x ) x 2 . 综上可得： f ( x ) 3 x 1 故选 C． 1990*3、设双曲线的左右焦点是 F1 , F2 ，左右顶点是 M , N ，若 PF1 F2 的顶点 P 在双曲线上，则） PF1 F2 的内切圆与边 F1 F2 的切点位置是（ A.在线段 MN 内部 B. 在线段 F1M 内部或线段 NF2 内部 C.点 M 或点 N D.不能确定的 ◆答案：C ★解析：设内切圆在三边上切点分别为 D, E , F ，当 P 在右支上时， PF1 PF2 2a ．又 PF1 PF2 DF1 DF2 2a ，即 D 与 N 重合；当 P 在左支上时，同理 D 与 M 重合．故选 C． 1990*4、点集 ( x, y ) | lg x A. 0 ◆答案：B B. f ( x ) 2 x ） C. f ( x ) 3 x 1 D. f ( x ) 2 x 1

1990年全国高中数学联赛试卷+解析

1990年全国高中数学联赛第一试(10月14日上午8∶00—10∶00)一．选择题(本题满分30分，每小题5分)1．设α∈(π4，π2),则(cos α)cos α，(sin α)cos α，(cos α)sin α的大小顺序是A ．(cos α)cos α<(sin α)cos α<(cos α)sin αB ．(cos α)cos α<(cos α)sin α <(sin α)cos αC ．(sin α)cos α<(cos α)cos α<(cos α)sin αD ．(cos α)sin α <(cos α)cos α<(sin α)cos α 2．设f (x )是定义在实数集上的周期为2的函数，且是偶函数，已知当x ∈[2,3]时，f (x )=x ，则当x ∈[－2,0]时，f (x )的解析式是( )A ．f (x )=x +4B ． f (x )=2-xC ． f (x )=3－|x +1|D ． f (x )=2+|x +1| 3．设双曲线的左右焦点是F 1、F 2，左右顶点是M 、N ，若△PF 1F 2的顶点P 在双曲线上，则△PF 1F 2的内切圆与边F 1F 2的切点位置是( )A ．在线段MN 内部B ．在线段F 1M 内部或在线段NF 2内部C ．点M 或点ND ．不能确定的4．点集{(x ，y )|lg(x 3+13y 3+19)=lg x +lg y }中元素个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．多于2 5．设非零复数x 、y 满足x 2+xy +y 2=0，则代数式⎝⎛⎭⎫x x +y 1990+⎝⎛⎭⎫y x +y 1990的值是( ) A ．2－1989B ．－1C ．1D ．以上答案都不对6．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)通过点(2，1)，所有这些椭圆上满足|y |>1的点的集合用阴影表示是下面图中的( )二．填空题(本题满分30分，每小题5分)1．设n 为自然数，a 、b 为正实数，且满足a +b=2，则11+a n +11+b n的最小值是． 2．设A (2，0)为平面上一定点，P (sin(2t －60°)，cos(2t －60°))为动点，则当t 由15°变到45°时，线段AP 扫过的面积是．3．设n 为自然数，对于任意实数x ，y ，z ，恒有(x 2+y 2+z 2)2≤n (x 4+y 4+z 4)成立，则n 的最小值是．4．对任意正整数n ，连结原点O 与点A n (n ，n +3)，用f (n )表示线段OA n 上的整点个数(不计端点)，试求f (1)+f (2)+…+f (1990)．0)D.C.B.A.0)5．设n=1990，则12n (1－3C 2n +32C 4n －33C 6n +…+3994C 1998n －3995C 1990n = ． 6．8个女孩与25个男孩围成一圈，任何两个女孩之间至少站两个男孩，则共有种不同和排列方法．(只要把圆旋转一下就能重合的排法认为是相同的)．三．(本题满分20分)已知a ，b 均为正整数，且a >b ，sin θ=2ab a 2+b 2，(其中0<θ<π2)，A n =(a 2+b 2)n sin nθ．求证：对于一切自然数n ，A n 均为整数．四．n 2个正数排成n 行n 列其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等．已知a 24=1，a 42=18，a 43=316，求a 11+a 22+……+a nn ．五．设棱锥M —ABCD 的底面为正方形，且MA=MD ，MA ⊥AB ，如果△AMD 的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径．a 11 a 12 a 13 a 14 ……a 1na 21 a 22 a 23 a 24 ……a 2n a 31 a 32 a 33 a 34 ……a 3n a 41 a 42 a 43 a 44 ……a 4n …………………………………… a n 1 a n 2 a n 3 a n 4 ……a nnACBMD第二试(10月14日上午10∶30—12∶30)一．(本题满分35分)四边形ABCD 内接于圆O ，对角线AC 与BD 相交于P ，设三角形ABP 、BCP 、CDP 和DAP 的外接圆圆心分别是O 1、O 2、O 3、O 4．求证OP 、O 1O 3、O 2O 4三直线共点．二．(本题满分35分)设 E={1，2，3，……，200}，G={a 1，a 2，……，a 100}⊂≠E ．且G 具有下列两条性质： ⑴ 对任何1≤i <j ≤100，恒有 a i +a j ≠201； ⑵100Σi=1a i=10080．试证明：G 中的奇数的个数是4的倍数．且G 中所有数字的平方和为一个定数．三．(本题满分35分) 某市有n 所中学，第i 所中学派出C i 名代表(1≤C i ≤39，1≤i ≤n )来到体育馆观看球赛，全部学生总数为nΣi=1C i=1990．看台上每一横排有199个座位，要求同一学校的学生必须坐在同一横排，问体育馆最少要安排多少横排才能够保证全部学生都能坐下．O OABC D P1 O O O 234 F1990年全国高中数学联赛(解答)第一试一．选择题(本题满分30分，每小题5分)1．设α∈(π4，π2),则(cos α)cos α，(sin α)cos α，(cos α)sin α的大小顺序是A ．(cos α)cos α<(sin α)cos α<(cos α)sin αB ．(cos α)cos α<(cos α)sin α <(sin α)cos αC ．(sin α)cos α<(cos α)cos α<(cos α)sin αD ．(cos α)sin α <(cos α)cos α<(sin α)cos α (1990年全国高中数学联赛) 解：α∈(π4，π2)⇒0<cos α<sin α<1，∴ (cos α)cos α<(sin α)cos α；(cos α)sin α<(cos α)cos α；选D ． 2．设f (x )是定义在实数集上的周期为2的函数，且是偶函数，已知当x ∈[2,3]时，f (x )=x ，则当x ∈[－2,0]时，f (x )的解析式是( )A ．f (x )=x +4B ． f (x )=2-xC ． f (x )=3－|x +1|D ． f (x )=2+|x +1| 解设x ∈[－2,－1],则x +4∈[2,3],于是f (x+4)=x +4，但f (x )= f (x +4)=x +4 (x ∈[－2,－1])，又设x ∈[－1,0)，则－x ∈(0,1],故f (－x )=－x +2，由f (x )= f (－x )=－x +2 (x ∈[－1，0).f (x )=3－|x +1|=⎩⎨⎧3－(－x －1)=x +4 (x ∈[－2，－1])，3－(x +1)=－x +2 (x ∈(－1，0))．故选C ．3．设双曲线的左右焦点是F 1、F 2，左右顶点是M 、N ，若△PF 1F 2的顶点P 在双曲线上，则△PF 1F 2的内切圆与边F 1F 2的切点位置是( )A ．在线段MN 内部B ．在线段F 1M 内部或在线段NF 2内部C ．点M 或点ND ．不能确定的解：设内切圆在三边上切点分别为D 、E 、F ，当P 在右支上时，PF 1－PF 2=2a ．但PF 1－PF 2=F 1D －F 2D=2a ，即D 与N 重合，当P 在左支上时，D 与M 重合．故选C ．4．点集{(x ，y )|lg(x 3+13y 3+19)=lg x +lg y }中元素个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．多于2 解：x 3+13y 3+19=xy >0．但x 3+13y 3+19≥33x 3·13y 3·19 =xy ，等号当且仅当x 3=13y 3=19时，即x=33 3 ，y=393时成立．故选B ．5．设非零复数x 、y 满足x 2+xy +y 2=0，则代数式⎝⎛⎭⎫x x +y 1990+⎝⎛⎭⎫y x +y 1990的值是( )A ．2－1989B ．－1C ．1D ．以上答案都不对解：xy=ω或ω2，其中ω=cos120°+i sin120°．1+ω+ω2=0．且ω3=1．若x y =ω，则得(ω1+ω)1990+(1ω+1)1990=－1．若x y =ω2，则得(ω21+ω2)1990+(1ω2+1)1990=－1．选B ．6．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)通过点(2，1)，所有这些椭圆上满足|y |>1的点的集合用阴影表示是下面图中的( )解：4a 2+1b 2=1，由a 2>b 2，故得1b 2<1<4b 2+1b 2=5b 2，1<b <5．4a 2+1b 2=1 5a 2<1，a 2>5．故选C ．二．填空题(本题满分30分，每小题5分)1．设n 为自然数，a 、b 为正实数，且满足a +b=2，则11+a n +11+b n 的最小值是．解：ab ≤(a+b 2)2=1，从而a n b n ≤1，故11+a n +11+b n = 1+a n +1+b n 1+a n +b n +a n b n≥1．等号当且仅当a=b=1时成立．即所求最小值=1．2．设A (2，0)为平面上一定点，P (sin(2t －60°)，cos(2t －60°))为动点，则当t 由15°变到45°时，线段AP 扫过的面积是．解：点P 在单位圆上，sin(2t －60°)=cos(150°－2t )，cos(2t －60°)=sin(150°－2t ).当t 由15°变到45°时，点P 沿单位圆从(－12，32)运动到(12,32)．线段AP 扫过的面积=扇形面积=16π．3．设n 为自然数，对于任意实数x ，y ，z ，恒有(x 2+y 2+z 2)2≤n (x 4+y 4+z 4)成立，则n 的最小值是．解：(x 2+y 2+z 2)2=x 4+y 4+z 4+2x 2y 2+2y 2z 2+2z 2x 2≤x 4+y 4+z 4+(x 4+y 4)+(y 4+z 4)+(z 4+x 4)=3(x 4+y 4+z 4)．等号当且仅当x=y=z 时成立．故n=3．4．对任意正整数n ，连结原点O 与点A n (n ，n +3)，用f (n )表示线段OA n 上的整点个数(不计端点)，试求f (1)+f (2)+…+f (1990)．解线段OA n 的方程为y=n +3nx (0≤x ≤n )，故f (n )等于该线段内的格点数．若n=3k (k ∈N +)，则得y=k +1k x (0≤x ≤n )(k ∈N *)，其内有两个整点(k ，k +1)，(2k ，2k +2)，此时f (n )=2；若n=3k ±1(k ∈N +)时，则由于n 与n +3互质，故OA n 内没有格点，此时f (n )=0．∴ f (1)+f (2)+…+f (1990)=2[19903]=1326．5．设n=1990，则12n (1－3C 2n +32C 4n －33C 6n +…+3994C 1998n －3995C 1990n = ．0)D.C.B.A.0)解：取(－12+32i )1990展开的实部即为此式．而(－12+32i )1990=－12+32i ．故原式=－12．6．8个女孩与25个男孩围成一圈，任何两个女孩之间至少站两个男孩，则共有种不同和排列方法．(只要把圆旋转一下就能重合的排法认为是相同的)．解：每个女孩与其后的两个男孩组成一组，共8组，与余下9个男孩进行排列，某个女孩始终站第一个位子，其余7组在8+9－1个位子中选择7个位子，得C 78+9－1=C 716种选法．7个女孩可任意换位，25个男孩也可任意换位，故共得C 716∙7!∙25!种排列方法．三．(本题满分20分)已知a ，b 均为正整数，且a >b ，sin θ=2ab a 2+b 2，(其中0<θ<π2)，A n =(a 2+b 2)n sin nθ．求证：对于一切自然数n ，A n 均为整数．证明：由sin θ=2aba 2+b 2，得cos θ=a 2－b 2a 2+b2．记A n =(a 2+b 2)n cos nθ．当a 、b 均为正整数时，A 1=2ab 、B 1=a 2－b 2均为整数．A 2=4ab (a 2－b 2)，B 2=2(a 2－b 2)2－(a 2+b 2)2也为整数．若A k =(a 2+b 2)k sin kθ、B k =(a 2+b 2)k cos kθ均为整数，则A k +1=(a 2+b 2)k +1sin(k +1)θ=(a 2+b 2)k +1sin kθcos θ+(a 2+b 2)cos kθsin θ=A k ∙B 1+A 1B k 为整数． B k +1=(a 2+b 2)k +1cos(k +1)θ=(a 2+b 2)k +1cos kθcos θ－(a 2+b 2)k +1sin kθsin θ=B k B 1－A k A 1为整数．由数学归纳原理知对于一切n ∈N *，A n 、B n 为整数．四．n 2个正数排成n 行n 列其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等．已知a 24=1，a 42=18，a 43=316，求a 11+a 22+……+a nn ．(1990年全国高中数学联赛)分析由a 42、a 43或求a 44，由a 24，a 44可求公比．解设第一行等差数列的公差为d ，各列的公比为q ．∴ a 44=2a 43－a 42=14．由a 44=a 24∙q 2，得，q=12. ∴ a 12=a 42∙q －3=1．∴ d=a 14_x001F_－a 124－2= 12，a 11 a 12 a 13 a 14 ……a 1na 21 a 22 a 23 a 24 ……a 2n a 31 a 32 a 33 a 34 ……a 3n a 41 a 42 a 43 a 44 ……a 4n …………………………………… a n 1 a n 2 a n 3 a n 4 ……a nn∴ a 1k =a 12+(k －2)d=12k (k=1，2，3，…，n )∴ a kk =a 1k q k －1=12k ·(12)k －1=(12)k ·k ．令S n = a 11+a 22+…+a nn ．则 S －12S=n Σk=1k 2k －n +1Σk=2k －12k =12+nΣk=212k －n2n +1=12 +12 －12n －n 2n +1 =1－n +22n +1.∴ S=2－n +22n ．五．设棱锥M —ABCD 的底面为正方形，且MA=MD ，MA ⊥AB ，如果△AMD 的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径．解：取AD 、BC 中点E 、F ，则ME ⊥AD ，AB ⊥MA ，AB ⊥AD ， AB⊥平面MAD ， ∴ 平面MAD ⊥平面ABC ． ∴ ME ⊥平面ABC ． ∴ 平面MEF ⊥平面ABC ．∵ EF ∥AB ，故EF ⊥平面MAD ，∴ 平面MEF ⊥平面MAD ．∵ BC ⊥EF ，BC ⊥ME ，∴ BC ⊥平面MEF ， ∴平面MEF ⊥平面MBC ．设AB=a ，则ME= 2a，MF=a 2+4a 2．a +2a≥22，a 2+4a2≥2．取△MEF 的内切圆圆心O ，作OP ⊥EF 、OQ ⊥ME ，OR ⊥MF ，由于平面MEF 与平面MAD 、ABC 、MBC 均垂直，则OP 、OQ 、OR 分别与平面ABC 、MAD 、MBC 垂直．从而以此内切圆半径为半径的球与平面MAD 、ABC 、MBC 都相切，设此球的半径为r ，则∴ r=12(a +2a－a 2+4a 2)≤2a +2a +a 2+4a2≤12+1=2－1．等号当且仅当a=2a ，即a=2时成立．作QH ⊥MA ，由于OQ ∥AB ，故OQ ∥平面MAB ，故球心O 与平面MAB 的距离=QH ，当AB=2，ME=2，MA=102，MQ=2－(2－1)=1． ∵ △MQH ∽△MAE ，∴QH MQ =AE MA ，QH=MQ ·AE MA =1·22102=55>2－1．即O 与平面MAB 的距离>r ，同理O 与平面MCD 的距离>r ．故球O 是放入此棱锥的最大球．∴ 所求的最大球半径=2－1．HDE F M O Q P RBC A第二试(10月14日上午10∶30—12∶30)一．(本题满分35分)四边形ABCD 内接于圆O ，对角线AC 与BD 相交于P ，设三角形ABP 、BCP 、CDP 和DAP 的外接圆圆心分别是O 1、O 2、O 3、O 4．求证OP 、O 1O 3、O 2O 4三直线共点．证明 ∵O 为⊿ABC 的外心，∴ OA=OB ． ∵ O 1为⊿P AB 的外心，∴O 1A=O 1B ． ∴ OO 1⊥AB ．作⊿PCD 的外接圆⊙O 3，延长PO 3与所作圆交于点E ，并与AB 交于点F ，连DE ，则∠1=∠2=∠3，∠EPD=∠BPF ，∴ ∠PFB=∠EDP=90︒． ∴ PO 3⊥AB ，即OO 1∥PO 3．同理，OO 3∥PO 1．即OO 1PO 3是平行四边形．∴ O 1O 3与PO 互相平分，即O 1O 3过PO 的中点．同理，O 2O 4过PO 中点． ∴ OP 、O 1O 3、O 2O 4三直线共点．二．(本题满分35分)设 E={1，2，3，……，200}，G={a 1，a 2，……，a 100}⊂≠E ．且G 具有下列两条性质： ⑴ 对任何1≤i <j ≤100，恒有 a i +a j ≠201； ⑵100Σi=1a i=10080．试证明：G 中的奇数的个数是4的倍数．且G 中所有数字的平方和为一个定数．证明：⑴取100个集合：{a i ，b i }：a i =i ，b i =201－i (i=1，2，…，100)，于是每个集合中至多能取出1个数．于是至多可以选出00个数．现要求选出100个数，故每个集合恰选出1个数．把这100个集合分成两类：① {4k +1，200－4k }；② {4k －1，202－4k }．每类都有50个集合．设第①类选出m 个奇数，50－m 个偶数，第②类中选出n 个奇数，50－n 个偶数．于是1∙m +0∙(50－m )+(－1)∙n +2∙(50－n )≡10080≡0(mod 4)．即m －3n ≡0(mod 4)，即m +n ≡0(mod 4)∴ G 中的奇数的个数是4的倍数． ⑵ 设选出的100个数为x 1，x 2，…，x 100，于是未选出的100个数为201－x 1，201－x 2，…，201－x 100．故x 1+x 2+…+x 100=10080．∴ x 12+x 22+…+x 1002+(201－x 1)2+(201－x 2)2+…+(201－x 100)2=2(x 12+x 22+...+x 1002)－2×201×(x 1+x 2+...+x 100)+100×2012 =2(x 12+x 22+...+x 1002)－2×201×10080+100×2012 =12+22+32+ (2002)O OA BCDP 1O O O 234EF123∴ x 12+x 22+…+x 1002=12[(12+22+32+…+2002)+2×201×10080－100×2012]=12[16×200×201×401+201×20160－20100×201] =12×[100×67×401+201×60]=1349380．为定值．三．(本题满分35分) 某市有n 所中学，第i 所中学派出C i 名代表(1≤C i ≤39，1≤i ≤n )来到体育馆观看球赛，全部学生总数为nΣi=1C i=1990．看台上每一横排有199个座位，要求同一学校的学生必须坐在同一横排，问体育馆最少要安排多少横排才能够保证全部学生都能坐下．解：首先，199>39×5，故每排至少可坐5所学校的学生．1990=199×10，故如果没有“同一学校的学生必须坐在同一横排”的限制，则全部学生只要坐在10排就够了．现让这些学生先按学校顺序入坐，从第一排坐起，一个学校的学生全部坐好后，另一个学校的学生接下去坐，如果在某一行不够坐，则余下的学生坐到下一行．这样一个空位都不留，则坐10排，这些学生就全部坐完．这时，有些学校的学生可能分坐在两行，让这些学校的学生全部从原坐处起来，坐到第11、12排去．由于，这种情况只可能在第一行末尾与第二行开头、第二行末尾与第三行开头、……第九行末尾与第十行开头这9处发生，故需要调整的学校不超过10所，于是第11、12行至多各坐5所学校的学生，就可全部坐完．这说明12行保证够坐．其次证明，11行不能保证就此学生按条件全部入坐：199=6×33+1．1990=34×58+18．取59所学校，其中58所学校34人，1所学校18人．则对前58所学校的学生，每排只能坐5所学校而不能坐6所学校．故11排只能坐其中55所学校的学生．即11排不够坐．综上可知，最少要安排12横排才能保证全部学生都能坐下．。

1990年全国卷高考理科数学真题及答案

1990年全国卷高考理科数学真题及答案一、选择题（共15小题，每小题4分，满分60分）1．（4分）方程=的解是（）A．x=B．x=C．x =D．x=92．（4分）把复数1+i 对应的向量按顺时针方向旋转所得到的向量对应的复数是（）A．B．iC．D．3．（4分）如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S，那么圆柱的体积等于（）A．B．C．D．4．（4分）方程sin2x=sinx在区间（0，2π）内的解的个数是（）A．1B．2C．3D．45．（4分）已知如图是函数y=2sin（ωx+φ）（|φ|＜）的图象，那么（）A．ϖ=，φ=B．ϖ=，φ=﹣C．ϖ=2，φ=D．ϖ=2，φ=﹣6．（4分）函数的值域是（）A．{﹣2，4} B．{﹣2，0，4} C．{﹣2，0，2，4} D．{﹣4，﹣2，0，4}7．（4分）如果直线y=ax+2与直线y=3x﹣b关于直线y=x对称，那么（）A．a=，b=6 B．a=，b=﹣6C．a=3，b=﹣2 D．a=3，b=68．（4分）极坐标方程4sinθ=5ρ表示的曲线是（）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线9．（4分）设全集I={（x ，y ）|x ，y ∈R}，集合M={（x ，y ）|=1}，N=（x ，y ）|y ≠x+1．那么等于（）A ．B ． {（2，3）}C ．（2，3）D ． {（x ，y ）|y=x+1}10．（4分）（2010•建德市模拟）若实数x 、y 满足（x+2）2+y 2=3，则的最大值为（） A ．B ．C ．D ．11．（4分）如图，正三棱锥SABC 的侧棱与底面边长相等，如果E 、F 分别为SC 、AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（）A ． 90°B ． 60°C ． 45°D ． 30° 12．（4分）已知h ＞0．设命题甲为：两个实数a ，b 满足|a ﹣b|＜2h ；命题乙为：两个实数a ，b 满足|a ﹣1|＜h 且|b ﹣1|＜h ．那么（） A ．甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件 B ．甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件 C ．甲是乙的充分条件 D ．甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 13．（4分）A ，B ，C ，D ，E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（A ，B 可以不相邻），那么不同的排法共有（） A ． 24种 B ． 60种 C ． 90种 D ． 120种 14．（4分）以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有（） A ． 70个 B ． 64个 C ． 58个 D ． 52个 15．（4分）设函数y=arctgx 的图象沿x 轴正方向平移2个单位所得到的图象为C ．又设图象C'与C 关于原点对称，那么C'所对应的函数是（） A ． y =﹣arctg （x ﹣2） B ． y =arctg （x ﹣2） C ． y =﹣arctg （x+2） D ． y =arctg （x+2）二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）16．（5分）双曲线的准线方程是_________ ．17．（5分）（x﹣1）﹣（x﹣1）2+（x﹣1）3﹣（x﹣1）4+（x﹣1）5的展开式中，x2的系数等于_________ ．18．（5分）（2011•上海模拟）已知{a n}是公差不为零的等差数列，如果s n是{a n}的前n项的和，那么等于_________ ．19．（5分）函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是_________ ．20．（5分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1：V2= _________ ．三、解答题（共6小题，满分65分）21．（10分）有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．22．（10分）已知sina+sinB=，cosa+cosB=，求tg（a+B）的值．23．（10分）如图，在三棱锥SABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC．DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E．又SA=AB，SB=BC．求以BD为棱，以BDE与BDC为面的二面角的度数．24．（11分）设a为实数，在复数集C中解方程：z2+2|z|=a．25．（12分）设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=，已知点P（0）到这个椭圆上的点最远距离是．求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标．26．（12分）f（x）=lg，其中a是实数，n是任意自然数且n≥2．（Ⅰ）如果f（x）当x∈（﹣∞，1]时有意义，求a的取值范围；（Ⅱ）如果a∈（0，1]，证明2f（x）＜f（2x）当x≠0时成立．参考答案一、选择题（共15小题，每小题4分，满分60分）1．考点：对数的运算性质；指数式与对数式的互化．分析：根据指数式与对数式的互化可知，⇔，进而得到答案．解答：解：∵∴∴故选A．点评：本题主要考查指数式与对数式的相互转化．2．考点：复数代数形式的混合运算．分析：把复数1+i乘以cos（﹣）+isin（﹣），化简为代数形式即可．解答：解：复数1+i对应的向量按顺时针方向旋转所得到的向量：（1+i）[cos（﹣）+isin（﹣）]=（1+i）=，故选D．点评：复数旋转，实际上复数乘以一个模为1的辅角为﹣复数三角形式，注意旋转方向，本题是基础题．3．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：设圆柱高为h，推出底面半径，求出圆柱的侧面积，然后求出圆柱的体积即可得到选项．解答：解：设圆柱高为h，则底面半径为．由题意知，S=πh2，∴h=，∴V=π（）2•h=．故选D．点评：本题是基础题，考查圆柱的侧面积、体积的计算及其关系，考查计算能力，常考题型．4．考点：正弦函数的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：通过二倍角公式化简的2sinxcosx=sinx，进而推断sinx=0或cosx=，进而求出x的值．解答：解：sin2x=2sinxcosx=sinx∴sinx=0或cosx=∵x∈（0，2π）∴x=π或或故选C点评：本题主要考查了三角函数的二倍角公式．属基础题．5．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；数形结合法．分析：由图象过（0，1）及|φ|＜，求出ψ的值，函数图象过点（，0），据五点法作图的过程知ω•+=2π，求出ω．解答：解：因为函数图象过（0，1），所以，1=2sinφ，∴sinφ=，∵|φ|＜，∴φ=，故函数y=2sin（ωx+），又∵函数图象过点（，0），∴0=2sin（ω•+），由五点法作图的过程知，ω•+=2π，∴ω=2，综上，φ=，ω=2，故选C．点评：本题考查五点法作图的方法，在本题图中的一个完整的标准周期内，图象上的五个关键点的横坐标分别为：0，，π，，2π．6．考点：函数的值域；三角函数的化简求值．专题：计算题；分类讨论．分析：根据正切和余切的定义求出函数的定义域，分四种情况由三角函数值的符号，去掉绝对值求解．解答：解：由题意知，函数的定义域是{x|x≠，k∈Z}，下由各个象限中三角函数值的符号来确定在各个象限中函数的值当x是第一象限角时，因所有三角函数值大于零，故y=4；当x是第二象限角时，因为只有正弦值大于零，故y=1﹣1﹣1﹣1=﹣2；当x是第三象限角时，因为正切值和余切值大于零，故y=﹣1﹣1+1+1=0；当x是第四象限角时，因为只有余弦值大于零，故y=﹣2；所以函数的值域是{﹣2，0，4}．故选B．点评：本题主要考查了三角函数的定义以及符号，根据定义求出函数的定义域，由三角函数值的符号进行化简求值．7．考点：反函数．分析：本题考查对互为反函数的两个函数图象之间的关系、反函数的求法等相关知识；本题可有两种方法，其一，求出y=ax+2的反函数令其与y=3x﹣b的对应系数相等获得，其二由互为反函数图象上的点之间的对称关系，通过在图象上取特殊点求解．解答：解：法一：由题意，函数y=3x﹣b的反函数为y=，与y=ax+2对照可得a=，b=6；法二：在y=ax+2上取点（0，2），则点（2，0）在y=3x﹣b上，故得b=6；又y=3x﹣6上有点（0，﹣6），则点（﹣6，0）在y=ax+2上，代入得a=，由此可得a=，b=6答案：a=，b=6点评：本题解题思路清晰，方向明确，运算量也小，属于容易题目．这里提供了两种方法，比较可见各有特点，直接求反函数过程简捷，较为简单，特值代入，小巧易行，过程稍繁．8．考点：简单曲线的极坐标方程．分析：先在极坐标方程4sinθ=5ρ的两边同乘以ρ，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得直角坐标系，再利用直角坐标方程即可进行判断．解答：解：将方程4sinθ=5ρ两边都乘以p得：4ρsinθ=5ρ2，化成直角坐标方程为5x2+5y2﹣4y=0．它表示一个圆．故选A．点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．9．考点：交、并、补集的混合运算．分析：先化简集合M，再计算．解答：解：∵M={（x，y）|y=x+1或（x，y）≠（2，3）}，∴，又∵．∴．故答案选B．点评：本题主要考查了集合间的交，并，补混合运算，注意弄清各集合中的元素．10．考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：先判断出方程表示的图形，再给赋与几何意义，作出图象，结合图判断出当直线与圆相切时斜率最大求出最大值．解答：解：（x+2）2+y2=3，表示以（﹣2，0）为圆心，以为半径的圆表示圆上的点与（0，0）连线的斜率，设为k则y=kx由图知，当过原点的直线与圆相切时斜率最大故有解得或由图知，故选A点评：本题考查圆的标准方程、两点连线斜率公式的形式、数形结合求最值．11．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；压轴题．分析：先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点AC的中点D，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，再利用余弦定理求出此角即可．解答：解：如图，取AC的中点D，连接DE、DF，∠DEF为异面直线EF与SA所成的角设棱长为2，则DE=1，DF=1，根据SA⊥BC，则ED⊥DF∴∠DEF=45°，故选C．点评：本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．12．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：巧妙运用绝对值不等式|a|+|b|≥|a+b|及必要、充分条件，可以解答本题．解答：解：由|a﹣1|＜h且|b﹣1|＜h 得|a﹣b|=|a﹣1+1﹣b|≤|a﹣1|+|1﹣b|＜2h，所以甲是乙的必要条件；不妨令h=1，a=0.5，b=﹣0.3，|a﹣1|=0.5＜1，而|b﹣1|=1.3＞1，因而甲不是乙的充分条件．故选B点评：|a|+|b|≥|a+b|的合理运用，以及巧妙运用|a﹣1|+|1﹣b|的使用，是解答甲是乙的必要条件的一个关键；充分条件的推导用的是特殊值否定法．13．考点：排列、组合的实际应用．专题：转化思想．分析：根据题意，首先计算五人并排站成一排的情况数目，进而分析可得，B站在A的左边与B站在A的右边是等可能的，使用倍分法，计算可得答案．解答：解：根据题意，使用倍分法，五人并排站成一排，有A55种情况，而其中B站在A的左边与B站在A的右边是等可能的，则其情况数目是相等的，则B站在A的右边的情况数目为×A55=60，故选B．点评：本题考查排列、组合的应用，注意使用倍分法时，注意必须保证其各种情况是等可能的．考点：棱锥的结构特征．专题：压轴题；分类讨论．分析：以一个正方体的顶点为顶点中任意选4个除去在同一个平面上的点，可得四面体的个数．解答：解：正方体的8个顶点中任取4个共有C84=70个不能组成四面体的4个顶点有，已有的6个面，对角面有6个所以以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有：70﹣12=58个故选C．点评：本题考查棱锥的结构特征，考查逻辑思维能力，是中档题．15．考点：函数的图象与图象变化．专题：压轴题．分析：根据平移变换和对称变换引起的解析式变化规律依次求出C、C'对应的解析式即可．解答：解：将函数y=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位所得到的图象为C则C对应的解析式为y=arctg（x﹣2）又∵图象C'与C关于原点对称则C'对应的解析式为y=﹣arctg（﹣x﹣2）=arctg（x+2）故选D点评：平移变换的口决是“左加右减，上加下减”对称变换的口决是“关于Y轴负里面，关于X轴负外面，关于原点，既负里面，又负外面”二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）16．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：由焦点在y轴的双曲线的准线方程公式进行求解．解答：解：∵a=4，b=3，则c=5，双曲线的准线方程是，故答案是．点评：本题比较简单，解题时要注意双曲线的焦点在y轴上．17．考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：多项式展开式的含x2项的系数等于各个二项式展开式的系数和，利用二项展开式的通项公式求出各个系数．解答：解：展开式中含x2项的系数为﹣1﹣C32﹣C42﹣C52=﹣1﹣3﹣6﹣10=﹣20故答案为﹣20点评：本题考查等价转化能力及二项展开式的通项公式的应用．18．考点：等差数列的性质；极限及其运算；等差数列的前n项和．分析：设a n=a1+（n﹣1）d，s n=na1+d，代入求出极限即可．解答：解：设a n=a1+（n﹣1）d，s n=na1+d，代入得===2故答案为2点评：考查学生运用等差数列性质的能力，运用等差数列求和公式的能力，会求极限及运算极限的能力．19．考点：三角函数的最值．专题：计算题；压轴题．分析：利用sinx与cosx的平方关系，令sinx+cosx=t，通过换元，将三角函数转化为二次函数，求出对称轴，利用二次函数的单调性求出最值．解答：解：令t=sinx+cosx=则∴sinxcosx=∴y==（）对称轴t=﹣1∴当t=时，y有最大值故答案为点评：本题考查三角函数中利用平方关系sinx+cosx与2sinxcosx两者是可以相互转化的、二次函数的最值的求法．20．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；压轴题．分析：设AEF面积为s1，ABC和A1B1C1的面积为s，三棱柱高位h；V AEF﹣A1B1C1=V1；V BCFE﹣B1C1=V2；总体积为：V，根据棱台体积公式求V1；V2=V﹣V1以及面积关系，求出体积之比．解答：解：由题：设AEF面积为s1，ABC和A1B1C1的面积为s，三棱柱高位h；V AEF﹣A1B1C1=V1；V BCFE﹣B1C1=V2；总体积为：V计算体积：V 1=h（s1+s+）①V=sh ②V2=V﹣V1③由题意可知，s1=④根据①②③④解方程可得：V1=sh，V2=sh；则故答案为：点评：本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查计算能力，转化思想，考查空间想象能力，是基础题．三、解答题（共6小题，满分65分）21．考点：数列的应用．专题：计算题．分析：设四个数依次为x，y，12﹣y，16﹣x．根据等差数列和等比数列的性质知，由此能求出这四个数．解答：解：设四个数依次为x，y，12﹣y，16﹣x．依题意，有由①式得x=3y﹣12．③将③式代入②式得y（16﹣3y+12）=（12﹣y）2，整理得y2﹣13y+36=0．解得y1=4，y2=9．代入③式得x1=0，x2=15．从而得所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1．点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用．22．考点：两角和与差的正弦函数；同角三角函数基本关系的运用．分析：和差化积，两已知等式出现相同的因式，两式相除，约分得角的正切，用二倍角公式代入即求的结果，注意二倍角公式的符号．解答：解法一：由已知得sinα+sinβ=2sin cos=，cos，两式相除得tan=，tan（α+β）==点评：数学课本中常见的三角函数恒等式的变换，既是重点，又是难点．其主要难于三角公式多，难记忆，角度变化、函数名称变化，运算符号复杂、难掌握，解题时抓住题目本质，熟记公式，才不会出错．23．考点：平面与平面之间的位置关系．专题：计算题．分析：欲证BD⊥DE，BD⊥DC，先证BD⊥面SAC，从而得到∠EDC是所求的二面角的平面角，利用Rt△SAC与Rt△EDC相似求出∠EDC即可．解答：解：由于SB=BC，且E是SC的中点，因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线，所以SC⊥BE．又已知SC⊥DE，BE∩DE=E，∴SC⊥面BDE，∴SC⊥BD．又∵SA⊥底面ABC，BD在底面ABC上，∴SA⊥BD．而SC∩SA=S，∴BD⊥面SAC．∵DE=面SAC∩面BDE，DC=面SAC∩面BDC，∴BD⊥DE，BD⊥DC．∴∠EDC是所求的二面角的平面角．∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥AB，SA⊥AC．设SA=a，则AB=a，BC=SB= a∵AB⊥BC，∴AC=，在Rt△SAC中tan∠ACS=∴∠ACS=30°．又已知DE⊥SC，所以∠EDC=60°，即所求的二面角等于60°．点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．24．考点：复数的基本概念；复数相等的充要条件．专题：压轴题；分类讨论．分析：由于z2=a﹣2|z|为实数，故z为纯虚数或实数，因而需分情况进行讨论．当z是实数时，本题是一个关于z的一元二次方程组，解方程组即可；当z是一个纯虚数时，按照实数方程求解得到z的虚部，写出纯虚数即可．解答：解：设|z|=r．若a＜0，则z2=a﹣2|z|＜0，于是z为纯虚数，从而r2=2r﹣a．由于z2=a﹣2|z|为实数，故z为纯虚数或实数，因而需分情况进行讨论．解得r=（r=＜0，不合，舍去）．故z=±（）i．若a≥0，对r作如下讨论：（1）若r≤a，则z2=a﹣2|z|≥0，于是z为实数．解方程r2=a﹣2r，得r=（r=＜0，不合，舍去）．故z=±（）．（2）若r＞a，则z2=a﹣2|z|＜0，于是z为纯虚数．解方程r2=2r﹣a，得r=或r=（a≤1）．故z=±（）i（a≤1）．综上所述，原方程的解的情况如下：当a＜0时，解为：z=±（）i；当0≤a≤1时，解为：z=±（），z=±（）i；当a＞1时，解为：z=±（）．点评：本题还可以令z=x+yi（x、y∈R）代入原方程后，由复数相等的条件将复数方程化归为关于x，y的实系数的二元方程组来求解．25．考点：椭圆的应用．专题：计算题；压轴题．分析：由题设条件取椭圆的参数方程，其中0≤θ＜2π，根据已知条件和椭圆的性质能够推出b=1，a=2．从而求出这个椭圆的方程和椭圆上到点P的距离等于的点的坐标．解答：解：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是，其中0≤θ＜2π，由可得，即a=2b．设椭圆上的点（x，y）到点P的距离为d，则====．如果，即，则当sinθ=﹣1时，d2有最大值，由题设得，由此得，与矛盾．因此必有成立，于是当时，d2有最大值，由题设得，由此可得b=1，a=2．∴椭圆的方程是，所求椭圆的参数方程是，由可得，椭圆上的点和到点P的距离都是．点评：本题考查椭圆的性质及其应用，解题时要注意参数方程的合理运用．26．考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：计算题；压轴题．分析：（Ⅰ）、f（x）当x∈（﹣∞，1]时有意义的条件是1+2x+…+（n﹣1）x+n x a＞0，x∈（﹣∞，1]，n≥2，，然后由函数的单调性求实数a的取值范围．（Ⅱ）、欲证如果a∈（0，1]，证明2f（x）＜f（2x）当x≠0时成立，只需证明n≥2时，[1+2x+…+（n﹣1）x+n x a]2＜n[1+22x+…+（n﹣1）2x+n2x a]，a∈（0，1]，x≠0即可得证．解答：解：（Ⅰ）f（x）当x∈（﹣∞，1]时有意义的条件是1+2x+…+（n﹣1）x+n x a＞0，x∈（﹣∞，1]，n≥2，即，∵上都是增函数，∴在（﹣∞，1]上也是增函数，从而它在x=1时取得最大值．所以，∵等价于，故a的取值范围是{a|a＞﹣}．（Ⅱ）证明：只需证明n≥2时，[1+2x+…+（n﹣1）x+n x a]2＜n[1+22x+…+（n﹣1）2x+n2x a]，a∈（0，1]，x≠0．∵（a1+a2+…+a n2）2=（a12+a22+…a n2）+2（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）≤（a12+a22+…a n2）+[（a12+a22）+…+（a12+a n2）]+[（a22+a32）+…+（a22+a n2）]+…+[（a n﹣22+a n﹣12）+（a n﹣22+a n2）]+（a n﹣12+a n2）=n（a12+a22+…+a n2）．于是（a1+a2+…+a n）2≤n（a12+a22+…+a n2）当a1=a2=…=a n时成立．利用上面结果知，当a=1，x≠0时，因1≠2x，所以有[1+2x+…+（n﹣1）x+n x a]2＜n[1+22x+…+（n﹣1）2x+n2x a]，a∈（0，1]，当0＜a＜1，x≠0时，因a2＜a，所以有[1+2x+…+（n﹣1）x+n x a]2＜n[1+22x+…+（n﹣1）2x+n2x a]，即有2f（x）＜f（2x）a∈（0，1]，x≠0．点评：本题是比较难的对数函数的综合题，在解题过程中要注意等价转化思想的灵活运用，并且细心运算，避免不必要的错误．。

1990高考数学全国卷及答案理

1990 年一般高等学校招生全国一致考试数学（理工农医类）一、选择题 :在每题给出的四个选项中 ,只有一项为哪一项切合题目要求的 ,把所选项前的字母填在题后括号内(3)假如轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于(4)方程 sin2x=sinx在区间 (0,2π)内的解的个数是(A)1(B)2(C)3(D)4(5)(A){-2,4}(B){-2,0,4}(C){-2,0,2,4}(D){-4,-2,0,4}(7)假如直线 y=ax＋2与直线 y=3x－b对于直线 y＝ x对称 ,那么(C)a=3,b=-2 (D)a=3,b=6(A)圆 (B) 椭圆(C)双曲线的一支(D) 抛物线(B){(2,3)}(C)(2,3) (D){(x,y) │ y=x+1}(11)如图 ,正三棱锥 S ABC 的侧棱与底面边长相等 ,假如 E、F分别为 SC、AB 的中点 , 那么异面直线 EF与SA所成的角等于(A)90 ° (B)60° (C)45° (D)30°(12)已知 h>0.设命题甲为 :两个实数 a,b知足│ a－ b│ <2h;命题乙为 :两个实数 a,b满足│ a－ 1│ <h且│ b-1│<h.那么(A)甲是乙的充足条件 ,但不是乙的必需条件(B)甲是乙的必需条件 ,但不是乙的充足条件(C)甲是乙的充足条件(D)甲不是乙的充足条件 ,也不是乙的必需条件(13)A,B,C,D,E 五人并排站成一排 ,假如 B一定站在 A 的右侧（ A,B 能够不相邻） ,那么不一样的排法共有(A)24 种 (B)60种 (C)90种 (D)120种(14)以一个正方体的极点为极点的四周体共有(A)70 个 (B)64个 (C)58个 (D)52个(15)设函数 y=arctgx的图象沿 x轴正方向平移 2个单位所获得的图象为 C.又设图象C＇与 C对于原点对称 ,那么 C＇所对应的函数是(A)y=-arctg(x-2)(B)y=arctg(x-2)(C)y=-arctg(x+2) (D)y=arctg(x+2)二、填空题 :把答案填在题中横线上.(17)(x-1)-(x-1) 2+(x-1) 3-(x-1) 4+(x-1)5的睁开式中 ,x2的系数等于(18)已知 { a n} 是公差不为零的等差数列 , 如果 S n是 { a n} 的前 n 项的和 , 那(19)函数 y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是(20)如图 ,三棱柱 ABC －A 1B1C1中,若E、 F分别为 AB 、AC的中点 ,平面 EB1C1F将三棱柱分红体积为 V 1、V 2的两部分 ,那么 V1:V 2＝三、解答题 .7(21)有四个数 ,此中前三个数成等差数列 ,后三个数成等比数列 ,而且第一个数与第四个数的和是 16,第二个数与第三个数的和是 12.求这四个数 .(23)如图 ,在三棱锥 S ABC 中 ,SA⊥底面ABC,AB ⊥BC． DE垂直均分 SC,且分别交AC 、SC于D、E.又SA＝AB,SB ＝BC.求以 BD 为棱 ,以BDE 与BDC 为面的二面角的度数 .(24)设 a≥ 0,在复数集 C中解方程 z2+2│ z│＝ a.n≥2.(Ⅰ)假如 f(x) 当x∈(-∞,1] 时存心义 ,求 a的取值范围 ; (Ⅱ)假如 a∈(0,1],证明 2f(x)<f(2x) 当 x≠ 0时建立 .参照答案一、选择题 :此题考察基本知识和基本运算 .(1)A (2)B(3)D (4)C(5)C(6)B (7)A (8)D (9)B (10)D(11)C (12)B(13)B (14)C（15)D二、填空题 :此题考察基本知识和基本运算.三、解答题 .(21)本小题考察等差数列、等比数列的观点和运用方程（组）解决问题的能力.解法一 :①由②式得d=12-2a.③整理得a2-13a+36=0解得a1=4,a2=9.代入③式得 d1=4,d2=-6.进而得所求四个数为 0,4,8,16或 15,9,3,1.解法二 :设四个数挨次为 x,y,12-y,16-x ①由①式得x=3y-12.③将③式代入②式得y(16-3y+12)=(12-y) 2,整理得y2-13y+36=0.解得y1=4,y2=9.代入③式得 x1=0,x2=15.进而得所求四个数为 0,4,8,16或 15,9,3,1.(22)本小题考察三角公式以及三角函数式的恒等变形和运算能力.解法一 :由已知得解法二 :如图 ,不如设 0≤α≤β＜ 2π ,且点 A 的坐标是（ cosα,sin α） , 点 B 的坐标是（ cosβ ,sin β） , 则点 A,B 在单位圆 x2+y2=1 上 . 连结连接 OC,于是 OC⊥AB, 若设点 D的坐标是（ 1,0）,再连接 OA,OB, 则有解法三 :由题设得4(sinα +sinβ)=3(cosα +cosβ).将②式代入①式 ,可得sin(α-)=sin(-β ).于是α－＝ (2k+1)π -(-β)(k ∈Z),或α-=2kπ +(-β )(k∈Z).若α-=(2k+1)π-(-β )(k∈Z),则α＝β＋(2k+1)π(k∈Z).于是sinα =-sinβ ,即sinα+sinβ =0.由此可知α-=2kπ+(-β)(k ∈Z),即α＋β＝2+2kπ(k∈Z).所以(23)本小题考察直线和平面 ,直线和直线的地点关系 ,二面角等基本知识 ,以及逻辑推理能力和空间想象能力 .解法一 :因为 SB＝BC,且 E是 SC的中点 ,所以 BE是等腰三角形 SBC的底边 SC的中线 , 所以 SC⊥ BE.又已知SC⊥DE,BE∩DE＝E,∴SC⊥面 BDE,∴SC⊥BD.又∵SA⊥底面ABC,BD在底面ABC上,∴SA⊥BD.而 SC∩SA ＝ S,∴BD ⊥面 SAC.∵DE＝面 SAC∩面 BDE,DC ＝面 SAC∩面 BDC,∴BD ⊥DE,BD ⊥DC.∴∠ EDC是所求的二面角的平面角.∵SA⊥底面 ABC,∴ SA⊥ AB,SA ⊥AC.设 SA＝ a,又因为 AB ⊥BC,∴∠ ACS＝30° .又已知 DE⊥SC,所以∠ EDC＝60° ,即所求的二面角等于 60°.解法二 :因为 SB＝BC,且 E是 SC的中点 ,所以 BE是等腰三角形 SBC的底边 SC的中线 , 所以 SC⊥ BE.又已知 SC⊥DE,BE ∩DE＝E∴SC⊥面 BDE,∴SC⊥ BD.因为 SA⊥底面 ABC, 且 A 是垂足 ,所以 AC 是 SC在平面 ABC 上的射影 .由三垂线定理的逆定理得 BD ⊥AC; 又因 E∈SC,AC是SC在平面 ABC 上的射影 ,所以 E在平面ABC 上的射影在 AC 上,因为 D ∈AC, 所以 DE在平面 ABC 上的射影也在 AC上 ,依据三垂线定理又得 BD ⊥DE.∵DE 面 BDE,DC 面BDC,∴∠ EDC是所求的二面角的平面角.以下同解法一 .(24)本小题考察复数与解方程等基本知识以及综合剖析能力.解法一 :设z＝x+yi, 代入原方程得于是原方程等价于方程组由②式得 y=0或 x=0.因而可知 ,若原方程有解 ,则其解或为实数 ,或为纯虚数 .下边分别加以议论 .情况 1.若y=0,即求原方程的实数解 z=x.此时 ,①式化为x2+2│x│=a.③(Ⅰ)令 x>0,方程③变为 x2＋2x=a. ④.由此可知 :当a=0时,方程④无正根 ;(Ⅱ)令 x<0,方程③变为 x2-2x=a.⑤.由此可知 :当a=0时,方程⑤无负根 ;当a>0时,方程⑤有负根x=1-.(Ⅲ)令 x=0,方程③变为 0=a.由此可知 :当a=0时,方程⑥有零解 x=0;当a>0时,方程⑥无零解 .所以 ,原方程的实数解是 :当a=0时,z=0;.情况 2.若x=0,因为 y=0的情况前已议论 ,此刻只要考察 y≠ 0的情况 ,即求原方程的纯虚数解 z=yi(y ≠0).此时 ,①式化为-y2+2│ y│ =a.⑦(Ⅰ)令 y>0,方程⑦变为 -y2+2y=a,即(y-1) 2=1-a. ⑧由此可知 :当a>1时,方程⑧无实根 .当a≤ 1时解方程⑧得y=1±,进而 ,当a=0时,方程⑧有正根y=2;当0<a≤1时,方程⑧有正根y=1±.(Ⅱ)令 y<0,方程⑦变为 -y2-2y=a,即(y+1)2=1-a.由此可知 :当a>1时,方程⑨无实根 .⑨当a≤ 1时解方程⑨得进而 ,当 a=0时,方程⑨有负根y=-1±y=-2;,当 0<a≤1时 ,方程⑨有负根 y=-1±所以 ,原方程的纯虚数解是 :当 a=0时,z=±2i;当 0<a≤1时 ,z=±(1+)i,z=± (1-)i.而当 a>1时,原方程无纯虚数解.解法二 :设z=x+yi 代入原方程得于是原方程等价于方程组由②式得 y=0或 x=0.因而可知 ,若原方程有解 ,则其解或为实数 ,或为纯虚数 .下边分别加以议论 .情况 1.若y=0,即求原方程的实数解 z=x.此时 ,①式化为x2+2│x│=a.即 | x |2+2│ x│ =a. ③解方程③得,所以 ,原方程的实数解是.情况 2.若x=0,因为 y=0的情况前已议论 ,此刻只要考察 y≠ 0的情况 ,即求原方程的纯虚数解 z=yi(y ≠0).此时 ,①式化为-y2+2│y│=a.即 -│y│2 +2│y│=a.④当 a=0时,因 y≠0,解方程④得│ y│=2,即当 a=0时,原方程的纯虚数解是 z=±2i.当 0<a≤1时 ,解方程④得,即当 0<a≤1时,原方程的纯虚数解是.而当 a>1时,方程④无实根 ,所以这时原方程无纯虚数解.解法三 :因为 z2=-2│z│+a是实数 ,所以若原方程有解 ,则其解或为实数 ,或为纯虚数 ,即z=x或 z=yi(y ≠0).情况 1.若z=x.以下同解法一或解法二中的情况 1.情况 2.若z=yi(y ≠0).以下同解法一或解法二中的情况 2.解法四 :设z=r(cosθ+isinθ),此中 r≥0,0≤θ <2π.代入原方程得r2cos2θ＋ 2r+ir2sin2θ＝ a.于是原方程等价于方程组情况 1.若r=0.①式变为0=a.③由此可知 :当a=0时,r=0是方程③的解 .当a>0时,方程③无解 .所以 ,当a=0时,原方程有解z=0;当a>0时,原方程无零解 .考察 r>0的情况 .(Ⅰ)当 k=0,2时,对应的复数是 z=±r.因cos2θ =1,故①式化为 r2+2r=a.④.由此可知 :当a=0时,方程④无正根 ;当 a>0时,方程④有正根.所以 ,当 a>0时,原方程有解.(Ⅱ)当 k=1,3时,对应的复数是 z=±ri.因cos2θ=-1,故①式化为-r2+2r=a,即 (r-1)2=1-a,⑤由此可知 :当a>1时,方程⑤无实根 ,进而无正根 ;.进而 ,当a=0时,方程⑤有正根r=2;.所以 ,当a=0时,原方程有解z=±2i;当0<a≤1时,原方程有解当a>1时,原方程无纯虚数解 .(25)本小题考察椭圆的性质,距离公式 ,最大值知识以及剖析问题的能力.解法一 : 依据题设条件 ,可取椭圆的参数方程是此中 a>b>0待定 ,0≤θ <2π.设椭圆上的点 (x,y) 到点 P的距离为 d,则大值 ,由题设得,所以必有,由此可得b=1,a=2.所求椭圆的参数方程是.解法二 : 设所求椭圆的直角坐标方程是此中 a>b>0待定 .,设椭圆上的点 (x,y) 到点 P的距离为 d,则此中-byb.由此得,由此可得b=1,a=2.所求的直角坐方程是(26)本考数函数 ,指数函数 ,数学法 ,不等式的知以及合运用相关知解决的能力 .(Ⅰ)解 :f(x) 当x ∈ (-∞ ,1]存心的条件是1+2x+⋯(n-1)x+n x a>0 x∈(-∞,1],n≥2,上都是增函数 ,在 (-∞ ,1]上也是增函数 ,进而它在 x=1获得最大也就是 a的取范(Ⅱ)法一 :2f(x)<f(2x)a∈(0,1],x ≠ 0.即[1+2x +⋯ +(n-1)x+n x a]2<n[1+22x+⋯ +(n-1)2x+n2x a]a∈(0,1],x ≠0.②用数学法明②式.（ A ）先明当 n=2②式建立 .若是 0<a<1,x≠ 0,(1+2x a)2=1+2·2x a+22x a2≤ 2(1+22x)<2(1+22x a).若是 a=1,x≠0,因 1≠ 2x,所以因此当 n=2②式建立 .（ B）若是当 n=k(k≥2)②式建立 ,即有[1+2x +⋯ +(k-1)x+k x a]2<k[1+2 2x+⋯ +(k-1)2x a] a∈(0,1],x ≠0, 那么 ,当 a∈(0,1],x ≠0[(1+2x +⋯+k x )+(k+1) xa]2=(1+2x+⋯+k x)2+2(1+2x +⋯ +k x)(k+1) x a+(k+1)2x a2<k(1+22x+⋯ +k2x)+2(1+2x+⋯ +k x)(k+1) x a+(k+1) 2x a2=k(1+22x+⋯ +k2x)+[2 ·1·(k+1)x a+2·2x(k+1)x a+⋯+2k x (k+1)x a]+(k+1) 2x a2<k(1+22x+⋯+k2x)+{[1+(k+1) 2x a2]+[2 2x+(k+1)2x a2]+⋯+[k2x+(k+1)2x a2]}+(k+1) 2x a2]=(k+1)[1+2 2x+⋯ +k2x+(k+1) 2x a2]≤(k+1)[1+2 2x+⋯+k2x+(k+1)2x a],就是 ,当n=k+1②式也建立 .依据 (A),(B) 可知 ,②式任何 n≥2(n∈N) 都建立 .即有2f(x)<f(2x)a∈(0,1],x ≠0.法二 :只要明 n≥2因此中等号当且当 a1=a2=⋯ =a n建立 .利用上边果知 ,当a=1,x≠0 ,因1≠2x,所以有[1+2x +⋯ +(n-1)x+n x] 2<n[1+2 2x+⋯+(n-1)2x +n2x].当 0<a<1,x≠0 ,因a2<a,所以有[1+2 x+⋯+(n-1)x+n x a]2≤n[1+22x+⋯ +(n-1)2x+n2x a2]<n[1+2 2x+⋯+(n-1)2x+n2x a].即有 2f(x)<f(2x) a∈ (0,1],x≠0.。