微积分教学大纲

《微积分》教学大纲课程编号：990200009课程名称：微积分课程类型：公共基础必修课总学时：128学分：8分理论学时：128 实验学时：0适用对象：经济管理类本科专业先修课程：高中数学一、课程性质、教学目的和任务微积分是国家教委在高校财经类专业中设置的核心课程之一，是高等院校经济管理类专业一门重要的基础课程，在培养高素质科学技术人才中具有其独特的、不可替代的重要作用。

通过本门课的学习，使学生获得：（1）函数、极限、连续；（2）一元函数微积分学；（3）多元函数微积分学；（4）级数；（5）常微分方程等方面的基本理论和基本运算，为学习后继课程以及进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。

本课程在第1，2学期开设。

通过这门课程的学习，使学生获得微积分的基本知识和必要的运算技能，培养学生抽象思维能力、逻辑推理能力以及运用数学知识分析问题和解决问题的能力，提高学生的数学素质。

二、教学基本要求在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有比较熟练的运算能力、抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力。

还要培养学生具有抽象概括问题的能力和综合运用知识来分析解决问题的能力。

更重要的是，在教学过程中使学生加深高等数学的辩证统一思想的理解，并利用这一思想解决一些实际问题。

通过这门课程的学习，提高学生的空间想象能力、逻辑思维和创造性思维能力，全面提高学生的数学素质。

三、教学内容及要求第一章函数【目的要求】1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立简单应用问题中的函数关系。

2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。

3.理解复合函数、和分段函数的概念。

了解反函数及隐函数的概念。

4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。

重点：函数的的概念与性质。

难点： 列出问题中的函数关系，反函数和复合函数的概念。

【教学内容】集合、区间和邻域、映射与函数、概念及表示法、隐函数、 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。

复合函数与反函数、基本初等函数与初等函数、基本初等函数的性质及其图形。

简单应用问题函数关系的建立、经济数学中的常用函数初等函数 。

第二章 极限与连续【目的要求】1.了解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念。

2.理解无穷小的概念和基本性质。

掌握无穷小的比较方法。

了解无穷大的概念及其与无穷小的关系。

3.了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，会应用两个重要极限。

4.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。

5.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）及其简单应用。

重点：极限的四则运算法则。

难点：极限的概念，连续的概念。

【教学内容】1.数列极限的定义及其性质，数列极限的四则运算，数列极限存在的准则（有界性理与夹逼定理）。

2.函数极限的定义及其性质，函数的左极限和右极限，函数极限的四则运算，两个重要极限e x xx =+∞→)1(lim 1，1sin lim0=→x xx3.无穷小量、无穷大量，无穷小量的阶的比较。

4.函数连续的概念 ， 函数间断点的类型， 初等函数的连续性， 闭区间上连续函数的性质 ，初等函数的连续。

第三章 导数、微分、边际与弹性【目的要求】1.理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义（含边际与弹性的概念）。

会求平面曲线的切线方程和法线方程。

2.掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，掌握反函数与隐函数求导法以及对数求导法。

3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。

4.了解微分的概念，导数与微分之间的关系，以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。

重点：导数与微分的运算。

难点：导数的概念、复合函数的求导法。

【教学内容】1.导数的概念、导数的几何意义，求导法则和基本求导公式，复合函数、隐函数、反函数的导数、高阶导数。

2.微分的概念、一阶微分的形式不变性、微分的计算。

3.边际与弹性。

第四章微分中值定理及导数的应用【目的要求】1.理解罗尔（Rolle）定理、拉格朗日( Lagrange)中值定理、了解柯西（Cauchy）中值定理，掌握这三个定理的简单应用。

2.会用洛必达法则求极限。

3.掌握函数单调性的判别方法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用。

4.会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点和渐近线。

5.会描绘简单函数的图形。

6.了解导数进行经济学中应用的实例。

重点：微分中值定理与导数的应用。

难点：导数的相关应用。

【教学内容】1.微分中值定理费马定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。

2.洛必达（L’Hospital）法则函数的极值3.函数单调性的判别函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值、经济中的应用举例。

4.泰勒公式第五章不定积分【目的要求】1.理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式。

2.掌握计算不定积分的换元积分法和分部积分法。

会求一些特殊类型的不定积分。

重点：积分的概念与积分法。

难点：换元积分法与分部积分法。

【教学内容】1.原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质，基本积分公式。

2.不定积分分法：凑微分法、变量代换法、某些特殊类型的不定积分3.有理函数、三角函数及某些无理函数的不定积分。

第六章定积分及其应用【目的要求】1.了解定积分的概念和基本性质。

2.了解定积分中值定理，理解积分上限的函数并会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式，以及定积分的换元积分法和分部积分法。

3.会利用定积分计算平面图形的面积和旋转体的体积及函数的平均值。

4.会利用定积分求解简单的经济应用问题。

5.了解广义积分的概念，会计算广义积分。

重点：定积分的概念，牛顿—莱布尼兹公式，定积分的应用。

难点：定积分的概念，上限函数，定积分的换元法，定积分的应用，广义积分。

【教学内容】1.定积分的概念和基本性质。

2.定积分中值定理，积分上限的函数及其导数，原函数的存在定理，牛顿一莱布尼茨公式，3.定积分的计算：定积分的换元积分法与分部积分法。

4.定积分的应用：平面图形的面积、立体的体积、定积分的经济应用5.广义积分：无穷区间的广义积分、无界函数的广义积分、Γ函数。

第七章微分方程【目的要求】1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念。

2.掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法。

3.会解可降阶的二阶线性微分方程。

4.了解线性微分方程解的性质及解的结构定理，常握二阶常系数齐次微分方程的通解，会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程。

重点：微分方程及其解的概念，可分离变量的方程、一阶线性方程、二阶常系数线性微分方程的概念及其解法。

难点：二阶常系数线性微分方程的概念及其解法。

【教学内容】1.常微分方程的基本概念。

2.一阶微分方程：变量可分离的微分方程、一阶齐次微分方程、一阶线性微分方程。

3.可降阶的二阶微分方程。

4.二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程。

第八章多元函数微分学【目的要求】１.了解空间坐标系，空间上的直线、平面方程及简单的二次曲面。

2.了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义3.了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质。

4.了解多元函数偏导数与全微分的概念,会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分,会求多元隐函数的偏导数。

5.了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值。

会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决某些简单的应用题。

重点：多元函数的偏导数，多元复合函数求导法。

难点：多元复合函数求导法，极值问题。

【教学内容】1.空间解析几何简介：空间直角坐标系，空间曲面及其方程。

2.多元函数的极限与连续性：平面区域，多元函数的概念、几何意义，二元函数的极限与连续的概念，有界闭区域上二元连续函数的性质3.偏导数与全微分：多元函数偏导数的概念与计算，高阶偏导数，全微分。

4.多元复合函数的求导法，5.隐函数求导法6.多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值第九章二重积分【目的要求】1.了解二重积分的概念与基本性质。

2.掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法。

重点：二重积分的概念，二重积分的计算。

难点：二重积分的计算。

【教学内容】1.二重积分的概念、基本性质。

2.利用直角坐标计算二重积分。

3.利用极坐标计算二重积分第十一章无究级数【目的要求】1.了解级数的收敛与发散、收敛级数的和的概念。

2.掌握级数的基本性质和级数收敛的必要条件。

掌握几何级数及p级数的收敛与发散的条件。

掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。

3.了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与收敛的关系。

掌握交错级数的莱布尼茨判别法。

4.会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域。

5.了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。

６、掌握ax xxxxe)1(lncossin 的麦克劳林展开式，会用它们将简单函数间接展成幂级数。

重点：无穷级数的收敛与发散的概念，无穷级数的基本性质，正项级数的敛散条件及判别法，幂级数及其收敛半径，收敛区间。

难点：某些初等函数的幂级数展开式【教学内容】1.常数项级数的收敛与发散的概念，收敛级数的和的概念，级数的基本性质与收敛的必要条件，几何级数与p级数的收敛性。

2.正项级数收敛性的判别法。

3.一般项级数的绝对收敛与条件收敛，交错级数与莱布尼茨定理。

4.幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域。

幂级数的和函数，幂级数在其收敛区间内的基本性质，简单幂级数的和函数的求法5.初等函数的幂级数展开式：泰勒公式与泰勒级数，几个基本初等函数的幂级数展开。

四、课外习题及课程讨论为了使学生较好掌握并能灵活运用所学内容，提高学生的基本素质及分析问题解决问题的能力，每章都配置适当的习题，以巩固和加深对基本理论、方法的理解和应用。

每次课后结合所授内容布置相关的课外习题。

五、教学方法与手段课堂讲授与课外练习相结合、以课堂授课为主，学生课外学习为辅；以讲授法、读书指导法、演示法、作业法、练习法多种方法综合。

为增加课堂的信息容量，及帮助学生理解微积分的基本概念、知识、方法，鼓励使用多媒体工具授课作业与思考题由任课教师在每次课后，根据授课内容及需要作具体布置，一般每课时应有3－5题的作业量。