河南省中原名校2014届高三下学期第二次联考数学(理)试题(解析版)

河南省中原名校2014届高三下学期第二次联考数学（理）试题（解析版）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.若0,a b >>集合{|},{}2a bM x b x N x x a +=<<=<，则集合M N 等于（ ）A. {|x b x <B. {|}x b x a <<C. {}2a bx x +<D. {|}2a bx x a +<<2.已知z 为纯虚数，12z i+-是实数，那么z =（ ） A. 2i B. 2i - C. 12i D. 12i -【答案】D 【解析】试题分析：由 题意设,()z bi b R =∈，则112(21),225z bi b b iR i i ++-++==∈--所以11,.22b z i =-=-选D考点：复数的运算3.下列命题正确的个数是（ ）①“在三角形ABC 中，若sin sin A B >,则A B >”的逆命题是真命题；②命题:2p x ≠或3y ≠，命题:5q x y +≠则p 是q 的必要不充分条件；③“32,10x R x x ∀∈-+≤”的否定是“32,10x R x x ∀∈-+>”；④若随机变量~(,)x B n p ，则.DX np =⑤回归分析中，回归方程可以是非线性方程.A.1B.2C.3D.4所以③不正确；因为当~(,)x B n p 时，,(1)EX np DX np p ==-，所以④不正确；由回归分析的定义可知回归方程可以不是线性回归方程，故⑤正确.所以共有3个正确，选C. 考点：正弦定理，逆否命题，数学期望与方差4.一个算法的程序框图如右图所示，若该程序输出的P 位于区间43(10,10)--内，则判断框内应填入的条件是（ ）A. 3T ≤B. 4T ≤C. 5T ≤D. 6T ≤5.一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】试题分析：几何体为一个三棱柱截取一个三棱锥，如图所示，体积为22122123-⨯=选B.考点：三视图6.函数()2y f x π=+为定义在R 上的偶函数，且当2x π≥时，1()()sin ,2x f x x =+则下列选项正确的是（ ）A. (3)(1)(2)f f f <<B. (2)(1)(3)f f f <<C. (2)(3)(1)f f f <<D. (3)(2)(1)f f f <<7.已知双曲线22221x y a b-=，以右顶点为圆心，实半轴长为半径的圆被双曲线的一条渐近线分为弧长为1：2的两部分，则双曲线的离心率为（ ）A.B.C. D.【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，弦所对圆心角为2,3π所以圆心到弦即渐近线0bx ay -=因此有||ba e c == 考点：点到直线距离，双曲线的渐近线8.若{}n b 为等差数列，244,8.b b ==数列{}n a 满足*111,(),n n n a b a a n N +==-∈则8a =（ ） A.56 B.57 C.72 D.739.在三角形ABC 中，60,A A ∠=∠ 的平分线交BC 于D ，AB=4, 1()4AD AC AB R λλ=+∈ ,则AD 的长为（ ）A. 1B.C. 3D.10.已知函数32()(0)g x ax bx cx d a =+++≠的导函数为()f x ，且230a b c ++=，(0)(1)0,f f >设12,x x 是方程()0f x =的两根，则12||x x -的取值范围是（ ）A. 2[0,)3B. 4[0,)9C. 12(,)33D. 14(,)9911.已知三角形PAD 所在平面与矩形ABCD 所在平面互相垂直，PA=PD=AB=2, 120,APD ∠= 若点P,A,B,C,D 都在同一球面上，则此球的表面积等于（ ） A. 8π B. 12π C. 16π D. 20π 【答案】D 【解析】试题分析：设三角形PAD 外接圆圆心为1,O ，则半径为1124,2,sin120AD r r ===矩形ABCD 外接圆圆心为2,O 半径为22,2ACr ==球心为,O 半径为,r 则有222215,420.r S r ππ=+=== 、考点：球，球的表面积12.将数字1,2,3,4填入右侧表格内，要求每行、每列的数字互不相同，如图所示，则不同的填表方式共有（ ）种.A.432B.576C.720D.864 【答案】B 【解析】试题分析：因为每行、每列的数字互不相同，所以每填一个数字，就会去 掉一行一列，因此按全排列：4²×3²×2²×1＝576 考点：全排列第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）13.已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤14y ay x x y ，若y x z +=3的最大值为,16则.________=a【答案】0 【解析】 试题分析：14.已知,|cos sin |0dx x x a ⎰-=π则73)1(xax x +的展开式中的常数项是.__________（用数字作答）【答案】168 【解析】 试题分析：因为|)sin cos (|)cos (sin )cos (sin )sin (cos |cos sin |440440=--++=-+-=-=⎰⎰⎰πππππππx x x x dx x x dx x x dx x x a 所以73)1(xax x +的展开式中的常数项是.168821257=⨯=a C 考点：学科网定积分，二项式定理15.已知椭圆C A y x ,,13422=+分别是椭圆的上、下顶点，B 是左顶点，F 为左焦点，直线AB 与FC 相交于点D ，则BDF ∠的余弦值是.___________16.已知定义在R 上的函数)(x f y =存在零点，且对任意R n m ∈,都满足.)()]()([2n m f n f m mf f +=+若关于x 的方程)1,0(log 1|3)]([|≠>-=-a a x x f f a恰有三个不同的根，则实数a 的取值范围是.___________三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数.21cos )6cos(sin )(2-+-⋅=x x x x f π（Ⅰ）求函数)(x f 的最大值，并写出)(x f 取最大值x 时的取值集合； （Ⅱ）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为,,,c b a ，若.3,21)(=+=c b A f 求a 的最小值.【答案】（Ⅰ）34,,6x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭（Ⅱ）32 【解析】试题分析：（Ⅰ）研究三角函数性质，首先将其化为基本三角函数形式，即sin()y A x B ωϕ=++.利用两角和与差余弦公式、二倍角公式、配角公式，化简得22111()sin sin cos cos cos 222f x x x x x x x x⎫=++-=+⎪⎝⎭18.某市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试，且规定：成绩大于或等于90分的有参赛资格，90分以下（不包括90分）的被淘汰.若有500人参加测试，学生成绩的频率分布直方图如图.(Ⅰ)求获得参赛资格的人数；(Ⅱ)根据频率直方图，估算这500名学生测试的平均成绩；(Ⅲ)若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有5次选题答题的机会，累计答对3题或答错3题即终止，答对3题者方可参加复赛.已知参赛者甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响.已知他连续两次答错的概率为91，求甲在初赛中答题个数 的分布列及数学期望.ξE.【答案】(Ⅰ) 125 ,(Ⅱ) 78.48 ,(Ⅲ)Eξ＝107 27【解析】(Ⅲ)设学生甲答对每道题的概率为()P A ,则21(1())9P A -=,∴()P A ＝23.学生甲答题个数ξ的可能值为3,4,5,则(3)P ξ==,31313233=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛(4)P ξ=＝,271031323231313313=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛C C (5)P ξ=＝.27832312224=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛C 所以ξ的分布列为E ξ＝13×3＋1027×4＋827×5＝10727.…………………………..……………….. (12分) 考点：频率分布直方图, 分布列及数学期望19.如图，在直角梯形ABCP 中， 221,,//===⊥AP BC AB AB AP BC AP ,D 是AP 的中点，E,G 分别为PC,CB 的中点，将三角形PCD 沿CD 折起，使得PD 垂直平面ABCD.（Ⅰ）若F 是PD 的中点，求证：AP //平面EFG;（Ⅱ）当二面角G-EF-D 的大小为4π时，求FG 与平面PBC 所成角的余弦值.【答案】（Ⅰ）详见解析， 【解析】试题分析：（Ⅰ）证明线面平行， 关键找线线平行.因为本题条件涉及中点较多，宜从中位线性质出发寻找.如取AD 中点M ，则有//.AP FM 又////,EF AB MG 所以平面EFG =平面EFGM .本题也可从证面面平行出发，推出线面平行.（Ⅱ）已知二面角平面角，求线面角，宜利用空间向量解决.先建立空间直角坐标系，设出各点的坐标，πF a,利用二面角G-EF-D的大小为E,设(0,0,)C,(0,0,2)(1,2,0)G,(0,2,0)P,(0,1,1)4 a=，再利用空间向量数量积求线面角. 利用空间向量求角，关键是正确表示平面的求出1法向量，明确向量夹角与二面角或线面角之间关系.20.如图，已知抛物线C的顶点在原点，开口向右，过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦长为2，过C上一点A作两条互相垂直的直线交抛物线于P,Q两点. （Ⅰ）若直线PQ过定点)2,3(- T ，求点A 的坐标；（Ⅱ）对于第（Ⅰ）问的点A ，三角形APQ 能否为等腰直角三角形？若能，试确定三角形APD 的个数；若不能，说明理由.【答案】（Ⅰ）(,（Ⅱ）一个 【解析】则所求抛物线的方程为22y x =.………………………………………………(2分) 设直线PQ 的方程为x my n =+,点P 、Q 的坐标分别为11(,),P x y 22(,)Q x y .由22x my ny x=+⎧⎨=⎩,消x 得2220y my n --=.由0>∆,得220m n +>, 122y y m +=,122y y n ⋅=-.∵AP AQ ⊥,∴0AP AQ ⋅=.设A 点坐标为2,2a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则有221212()()022a a x x y a y a ⎛⎫⎛⎫--+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.221212,22y y x x ==,[]1212()()()()40y a y a y a y a ∴--+++=, ∴12()()0y a y a --=或12()()40y a y a +++=.∴222n a ma =-或2224n a ma =++, ∵0>∆恒成立. ∴2224n a ma =++.又直线PQ 过定点(3,T ,即3n =,代入上式得22624,22(0,a ma a m a +=++-+=注意到上式对任意m 都成立,故有a =从而A 点坐标为(.…………………………………………(8分)21.已知函数2ln )(bx x a x f -=图像上一点))2(,2(f P 处的切线方程为.22ln 23++-=x y (Ⅰ)求b a ,的值；(Ⅱ)若方程0)(=+m x f 在区间],1[e e内有两个不等实根，求m 的取值范围；(Ⅲ)令),()()(R k kx x f x g ∈-=如果)(x g 的图像与x 轴交于))(0,(),0,(2121x x x B x A <两点，AB 的中点为)0,(o x C ，求证：.0)(0≠'x g【答案】(Ⅰ) a ＝2,b ＝1. (Ⅱ) 2112m e <+≤ (Ⅲ)详见解析. 【解析】(Ⅱ)()22ln f x x x =-,设()2()2ln h x f x m x x m =+=-+,则()222(1)2x h x x x x -'=-=,令()0h x '=,得x ＝1(x ＝－1舍去).当x∈1[,1)e时,()0h x '>, h(x)是增函数；当x∈(1,e]时,()0h x '<, h(x)是减函数.则方程()0h x =在1[,e]e内有两个不等实根的充要条件是1()0,e (1)0,(e)0.h h h ⎧⎪⎪⎪>⎨⎪⎪⎪⎩≤≤解得2112m e <+≤ (8))22.如图，在锐角三角形ABC 中，D 为C 在AB 上的射影，E 为D 在BC 上的射影,F 为DE 上一点，且满足.DBADFD EF =(Ⅰ)证明：;AE CF ⊥(Ⅱ)若AD=2，CD=3.DB=4，求BAE ∠tan 的值.【答案】(Ⅰ)详见解析，(Ⅱ) 24.43【解析】试题分析：(Ⅰ) 设CF 与AE 交于点G ，由条件EF ADFD DB= ，就可找相似三角形. EF AD FD DB =ED AB FD DB ∴= ,又CD DB DE BE= ，所以CD ABFD BE = ，从而有△CDF ∽△ABE ，即DCG DAG ∠=∠，90AGC ADC ∠=∠=︒， (Ⅱ)由(Ⅰ)知BAE DCF DCB BCF ∠=∠=∠-∠,已知4tan 3DCB ∠=，又由条件EF ADFD DB =得EF ADED AB =,所以125DE =4,5EF =，而95CE =，所以4tan 9ECF ∠=，从而442439tan .1643127DCF -∠==+ 试题解析：CABDEF G a23.在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同单位长度.已知曲线),0(:>=a a C ρ过点)2,0(p 的直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==t y t x 232,2（t 为参数）. (Ⅰ)求曲线C 与直线l 的普通方程；(Ⅱ)设曲线C 经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy xx 2得到曲线C '，若直线l 与曲线C '相切，求实数a 的值. 【答案】(Ⅰ) 222x y a +=，2y =+ (Ⅱ) a =【答案】(Ⅰ) 10|03x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或 ，(Ⅱ) {}|106a a a ≥≤-或 【解析】试题分析：(Ⅰ)解含绝对值不等式问题，关键是去绝对值.一般利用绝对值定义分段讨论，因为35,1()3,1235,2x x f x x x x x -+≤⎧⎪=-+<<⎨⎪-≥⎩，所以1355x x ≤⎧⎨-+≥⎩ 或1235x x <<⎧⎨-+≥⎩或2355x x ≥⎧⎨-≥⎩ 解得10|03x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或。