第二章 第12讲 函数与方程[配套课件]
届高三数学一轮复习第12讲函数与方程-理新人教版PPT课件
(2)依题意，函数f(x)＝2tx2＋(2－5t)x＋3的两个零点α，β满
足0<α<1<β<2，且函数f(x)过点(0,3)，
f1＝2t＋2－5t＋3<0 则必有f2＝8t＋4－10t＋3>0
，解得35<t<72.
【拓展演练2】 (1)若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数 值用二分法计算，其参考数据如下：
解析：(1)由于f(1.4375)＝0.162>0， f(1.40625)＝－0.054<0， 且|1.40625－1.4375|＝0.03125<0.1，所以由二分法可知其 根在区间(1.40625,1.4375)上，故选C. (2)g(x)的零点在(0， 21 )内，而f(x)＝4x－1的零点为x＝ 14 ， 故选A.
又f(x)在[－4，－
3π＋2 4
]上递增，在[－
3π＋2 4
，－2]上递
减，
所以f(x)在[－4，－2]上恒大于0，
故函数f(x)＝4sin(2x＋1)－x在区间[－4，－2]上无零点，
故选A.
(2)函数f(x)的零点个数，即为方程f(x)＝0的根的个数．
x≤0 由x2＋2x－3＝0
或x－>02＋ln x＝0
(2)(改编)若关于x的方程2tx2＋(2－5t)x＋3＝0的两实根
α，β满足0<α<1<β<2，则实数t的取值范围是____________．
解析：(1)因为函数f(x)＝2x－
2 x
－a在区间(1,2)是增函数，则
由条件可知f(1)f(2)<0，
所以(2－2－a)(4－1－a)<0，
第12讲 方程与函数
第十二讲 方程与函数方程思想是指在解决问题时，通过等量关系将已知与未知联系起来，建立方程或方程组，然后运用方程的知识使问题得以解决的方法；函数描述了自然界中量与量之间的依存关系，函数思想的实质是剔除问题的非本质特征，用联系和变化的观点研究问题．转化为函数关系去解决．方程与函数联系密切，我们可以用方程思想解决函数问题，也可以用函数思想讨论方程问题，在确定函数解析式中的待定系数、函数图象与坐标轴的交点、函数图象的交点等问题时，常将问题转化为解方程或方程组；而在讨论方程、方程组的解的个数、解的分布情况等问题时，借助函数图象能获得直观简捷的解答．【例题求解】【例1】 若关于的方程mx x =-1有解，则实数m 的取值范围 ．思路点拨 可以利用绝对值知识讨论，也可以用函数思想探讨：作函数x y -=1，mx y =函数图象，原方程有解，即两函数图象有交点，依此确定m 的取值范围．【例2】设关于x 的方程09)2(2=+++a x a ax 有两个不相等的实数根1x ，2x ，且1x <1<2x ，那么a 取值范围是( )A ．5272<<-aB ．52>aC ．72-<a D ．0112<<-a思路点拨 因根的表达式复杂，故把原问题转化为二次函数问题来解决，即求对应的二次函数与x 轴的交点满足1x <1<2x 的a 的值，注意判别式的隐含制约．【例3】 已知抛物线0)21(22=+-+=a x a x y (0≠a )与x 轴交于两点A(1x ，0)，B(2x ，0)( 1x ≠2x )．(1)求a 的取值范围，并证明A 、B 两点都在原点O 的左侧；(2)若抛物线与y 轴交于点C ，且OA+OB ＝OC 一2，求a 的值．思路点拨 1x 、2x 是方程0)21(22=+-+a x a x 的两个不等实根，于是二次函数问题就可以转化为二次方程问题加以解决，利用判别式，根与系数的关系是解题的切入点．【例4】 抛物线)1(2)45(2212+++-=m x m x y 与y 轴的正半轴交于点C ，与x 轴交于A 、B 两点，并且点B 在A 的右边，△ABC 的面积是△OAC 面积的3倍．(1)求这条抛物线的解析式；(2)判断△OBC 与△OCA 是否相似，并说明理由．思路点拨 综合运用判别式、根与系数关系等知识，可判定对应方程根的符号特征、两实根的关系，这是解本例的关键．对于(1)，建立关于m 的等式，求出m 的值；对于(2)依m 的值分类讨论．【例5】 已知抛物线q px x y ++=2上有一点M(，0y )位于x 轴下方．(1)求证：此抛物线与轴交于两点；(2)设此抛物线与x 轴的交点为A(1x ，0)，B(，0)，且1x <2x ，求证：1x <0x <2x ．思路点拨 对于(1)，即要证042>-q p ；对于(2)，即要证0))((2010<--x x x x ．注：(1)抛物线与x 轴交点问题常转化为二次方程根的个数、根的符号特征、根的关系来探讨，需综合运用判别式、韦达定理等知识．(2)对较复杂的二次方程实根分布问题，常转化为用函数的观点来讨论，基本步骤是：在直角坐标系中作出对应函数图象，由确定函数图象大致位置的约束条件建立不等式组．(3) 一个关于二次函数图象的命题：已知二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）的图象与x 轴交于A （1x ，0），B(，0)两点，顶点为C ．①△ABC 是直角三角形的充要条件是：△=442=-ac b ．②△ABC 是等边三角形的充要条件是：△=1242=-ac b学历训练1．已知关于x 的函数1)1(2)6(2++-++=m x m x m y 的图象与x 轴有交点，则m 的取值范围是 ．2．已知抛物线23)1(2----=k x k x y 与x 轴交于A (α，0)，B(β，0)两点，且1722=+βα，则=k ．3．已知二次函数y=kx 2+(2k －1)x —1与x 轴交点的横坐标为x 1、x 2(x 1<x 2)，则对于下列结论：①当x=－2时，y=l ；②当x>x 2，时，y>O ；③方程kx 2+l(2k －1)x —l=O 有两个不相等的实数根x 1、x 2；④x 1<－l ，x 2>－l ；⑤x 2－x 1=kk 241+，其中所有正确的结论是 (只需填写序号) ．4．设函数)5(4)1(2+-+-=k x k x y 的图象如图所示，它与x 轴交于A 、B 两点，且线段OA 与OB 的长的比为1：4，则k ＝( )．A ．8B ．一4C ．1lD ．一4或115．已知：二次函数y ＝x 2+bx+c 与x 轴相交于A(x 1,0)、B(x 2，0)两点，其顶点坐标为P(－2b ，4b -4c 2)，AB ＝｜x 1－x 2|，若S △APB ＝1，则b 与c 的关系式是 ( ) A ．b 2－4c+1= 0 B ．b 2－4c －1=0C ．b 2－4c+4=0D ．b 2－4c －4=06．已知方程1+=ax x 有一个负根而且没有正根，那么a 的取值范围是( )A ．a >-1B ．a ＝1C ．a ≥1D ．非上述答案7．已知在平面直角坐标系内，O 为坐标原点，A 、B 是x 轴正半轴上的两点，点A 在点B 的左侧，如图，二次函数y=ax 2＋bx ＋c （a≠0）的图象经过点A 、B ，与y 轴相交于点C ．（1）a 、c 的符号之间有何关系？（2）如果线段OC 的长度是线段OA 、OB 长度的比例中项，试证a 、c 互为倒数；（3）在（2）的条件下，如果b=－4，AB=43，求a 、c 的值．8．已知：抛物线c bx ax y ++=2过点A(一1，4)，其顶点的横坐标为21，与x 轴分别交于B(x 1,0)、C(x 2，0)两点(其中且1x <2x )，且132221=+x x ． (1)求此抛物线的解析式及顶点E 的坐标；(2)设此抛物线与y 轴交于D 点，点M 是抛物线上的点，若△MBO 的面积为△DOC 面积的32倍，求点M 的坐标． 9．已知抛物线m mx x y 223212--=交x 轴于A （1x ，0）、B （2x ，0），交y 轴于C 点，且1x ＜0＜2x ，()1122+=+CO OB AO .（1）求抛物线的解析式；（2）在x 轴的下方是否存在着抛物线上的点P ，使∠APB 为锐角，若存在，求出P 点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由.10．设m 是整数，且方程0232=-+mx x 的两根都大于59-而小于73，则= .11．函数732+-=x x y 的图象与函数63322+-+-=x x x x y 的图象的交点个数是 ．12．已知a 、b 为抛物线2))((----=d c x c x y 与x 轴交点的横坐标，b a <，则b c c a -+-的值为 ．13．是否存在这样的实数k ，使得二次方程0)23()12(2=+--+k x k x 有两个实数根，且两根都在2与4之间?如果有，试确定k 的取值范围；如果没有，试述理由．14．设抛物线452)12(2++++=a x a x y 的图象与x 轴只有一个交点． (1)求a 的值；(2)求61832-+a a 的值．15．已知以x 为自变量的二次函数23842---=n nx x y ，该二次函数图象与x 轴的两个交点的横坐标的差的平方等于关于x 的方程0)4)(1(2)67(2=++++-n n x n x 的一整数根，求n 的值．16．已知二次函数的图象开口向上且不过原点O ，顶点坐标为(1，一2)，与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，且满足关系式OB OA OC ⋅=2．(1)求二次函数的解析式；(2)求△ABC 的面积．17．设p 是实数，二次函数p px x y --=22的图象与x 轴有两个不同的交点A （1x ，0）、B（2x ，0）．(1)求证：032221>++p x px ；(2)若A 、B 两点之间的距离不超过32-p ，求P 的最大值． (参考答案。
函数与方程课件
06
函数与方程的未来发展
函数与方程在其他学科中的应用
数学建模
函数与方程在数学建模中扮演着 重要的角色，通过建立数学模型 ，可以描述现实世界中的各种现 象，如物理、化学、生物等学科
中的问题。
计算机科学
在计算机科学中，函数与方程被 广泛应用于算法设计、数据结构 、离散概率论等领域，为计算机 科学的发展提供了重要的理论支
函数与方程ppt课件
• 函数的概念与性质 • 方程的种类与解法 • 函数与方程的关系 • 函数的应用 • 方程的应用 • 函数与方程的未来发展
01
函数的概念与性质
函数的定义
函数是数学上的一个概念，它描述了两个集合之间的对应关系。具体来说，对于 给定的集合X中的每一个元素x，按照某种规则，总有集合Y中的唯一一个元素y与 之对应。这种关系通常用符号f表示，即f: X→Y。
03
函数与方程的关系
函数图像与方程解的关系
函数图像是方程解在坐标系中的 表现形式，通过观察函数图像可 以直观地了解方程的解的情况。
函数图像的交点表示方程的根， 函数图像的极值点也可能对应方
程的根。
通过函数图像的变化可以推测方 程解的变化趋势。
函数的最值与方程根的关系
函数的最值点可能是方程的根，因为函数在极值点附近的导数会发生变化，导致函 数值发生突变。
如果函数在某区间内单调递增或递减，那么该区间内函数的最大值或最小值可能对 应方程的一元一次根。
对于多元函数，最值问题可能转化为方程组问题，需要利用方程组的解来判断最值 的存在性和性质。
函数图像的变换与方程解的变换
函数图像的平移、伸缩、旋转 等变换会影响函数的值，从而 影响方程的解。
通过对方程进行变量替换或参 数调整，可以改变方程的形式 和结构，从而影响方程的解。
《函数与方程》章节精品说课课件
2 X
❖“傻瓜不是瓜”、 零点亦非点！
§3.1.1 方程的根与函数的零点
二、 “零点的存在性定理”教学 问题串2： 问题1：判断函数y x2 2x 1零点的个数，并说明理由。
问题2：函数 y x2 2x 1 在区间 (2,3)上存在零点吗？ 问题3：判断函数y 10 x2 42 x 39 在区间(1,1)上是否有 零点？
❖问题4：请同学们思考为什么上述命题对此类函数不成
立，而对二次函数则是成立的？
❖问题5：你能够补上合适的条件，使上述命题对任意的
函数都成立吗？
Y
对定理的反思：
①、该定理有哪些关键词？
a c0
bX
②、“不间断”这个条件能够去掉吗？
③、在这些条件下的函数零点唯一吗？
④、反之，若函数有零点就一定能够得出 f (a) f (b) 0?
应值表：x
1
2
3
4
5
6
7
f(x) 23 9 –7 11 –5 –12 –26
那么函数在区间[1，6]上的零点至少有（ ）个
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
2、函数 f (x) x(x2 16)的零点为(
A.(0,0), (4,0) B.(4,0), (0,0), (4,0)
)
C.0,4
D. 4,0,4
四、教学设想：
§3.1.1 方程的根与函数的零点 ❖一、“函数的零点”概念的教学
❖二、 “零点的存在性定理”教学
§3.1.2 用二分法求方程的近似解 ❖一、“中央电视台购物街栏目---猜价格游戏” ❖二、“二分法”教学
§3.1.1 方程的根与函数的零点
❖一、“函数的零点”概念的教学 ❖引言：古诗云：横看成岭侧成峰，远近高低各不
函数与方程课件
（）
A.至少有一个
B.至多有一个
C.有且只有一个
D.可能有无数个
二 、知识回顾、
函数零点存在性定理
如果函数 y=f(x)在闭区间[a, b]上的图 象是连续曲线,并且有 f(a)·f(b)<0, 那 么, 函数 y=f(x) 在区间(a, b)内至少有 一个零点．
反之成立吗？
应用：二分法求方程的根
(m 3)2 4m 0
3 m 0
m m 9
m 0
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围
（3） 两个根都小于1
(m 3)2 4m 0
b 2a
3m 2
1
m m 9
f (1) 2m 2 0
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围
（7） 两个根有且仅有一个在（0 . 2）内
f(0)f(2)=m(3m-2) <0
m
2 3
m
1
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围
（8） 一个根在（-2 .0）内，另一个根在（1 . 3）内
f(1)=2m-2 <0
m m 1
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围
（6） 两个根都在（0 . 2）内
(m 3)2 4m 0
方程与函数课件ppt课件ppt课件
方程与函数在数学竞赛中的应用
方程与函数是数学竞赛中常见的考点，涉及的知识点包括 一元一次方程、一元二次方程、分式方程、三角函数、指 数函数、对数函数等。通过解决这些方程与函数的题目， 可以锻炼学生的逻辑思维、推理能力和数学运算能力。
例如，在数学竞赛中，经常出现一些涉及方程与函数的题 目，要求考生利用方程与函数的知识点来求解未知数或者 判断函数的单调性、奇偶性等性质。
方程与函数在实际生活中有着广泛的应用，例如在金融、经 济、工程、科技等领域。通过建立数学模型，将实际问题转 化为数学问题，利用方程与函数来求解，可以得到更精确的 解决方案。
例如，在金融领域，投资者可以通过建立股票价格的函数模 型，利用方程求解出股票的买入和卖出价格；在经济领域， 政府可以通过建立税收的方程模型，利用函数求解出最优的 税收方案。
函数的周期性
总结词
周期性对函数性质的影响。
详细描述
周期性对函数的性质有一定的影响。例如，周期函数的最大值和最小值出现的次 数是有限的，且相邻最大值或最小值之间的距离为周期。此外，周期函数的图像 还可以通过平移得到其他形式的周期函数图像。
函数的图像绘制
总结词
绘制函数图像是理解函数性质的重要手段。
详细描述
函数的定义与性质
函数的定义
函数是数学中表示两个变量之间关系 的一种方法，它描述了一个输入值对 应一个输出值的关系。
函数的性质
函数的性质包括函数的定义域、值域 、单调性、奇偶性、周期性等。
方程与函数的关系
方程可以看作是函数的一种特殊情况 ，即函数值为0的情况。
方程和函数在数学和实际问题中都有 广泛的应用，它们是相互联系和相互 转化的。
三角函数的应用
三角函数在解决几何问题、振动和波动等现象中有着广 泛的应用。
人教版-函数与方程公开课课件
(2)由 于 f(x)是 奇 函 数 , 且 f ( k 3 x ) + f ( 3 x - 9 x - 2 ) < 0 恒 成 立 , 所 以 f ( k 3 x ) < - f ( 3 x - 9 x - 2 ) 即 f ( k 3 x ) < f ( 9 x - 3 x + 2 )
3函数方程思想的定义 它们之间互相渗透，很多方程的问题需要用函数的知识和方法去解决， 很多函数的问题也需要方程的知识和方法的支持， 函数与方程之间的辩证关系，形成了函数方程思想。
函数与方程是两个有密切联系的数学概念，
题型1 ： 函数与方程思想在不等 式、函数、方程、中的运用
例 1 : 已 知 不 等 式 7 x - 2 > ( x 2 - 1 ) m 对 m 2 , 2 恒 成 立 , 求 实 数 x 的 取 值 范 围
要 条 件 是 端 点 的 纵 坐 标 小 于 0 即 适 合 题 意 的 x 的 取 值 范 围 是 1 < x < 7
22
即 ff(( 2)2) 00解 得1 2x7 2
点评1:
求解本题的关键是变量的转换,以参数m作为自变量 而构造函数式,不等式问题变成函数在区间上的值域问题
变式体验1已知单调函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),
二、函数与方程思想的概念
1、函数思想的定义：
函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题（关键是构造出函数解析 式和妙用函数的性质）
2、方程思想的定义： 方程思想就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方 程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者 运用方程的性质去分析、转化问题使问题获得解决。
函数函数与方程课件pptx
03
方程的种类与求解方法
线性方程
定义与形式
线性方程是一类基本的数学方程，其形式通常为 ax+by+c=0，其中a、b、c为常数。
求解方法
对于线性方程，可以使用高斯消元法或逆矩阵法求解。
非线性方程
定义与形式
非线性方程是指方程中未知数的最高次数大于1的方程，如x^2+y^2=1。
求解方法
非线性方程的求解方法比较复杂，常见的有牛顿法、二分法、迭代法等。
可导性
函数在某一点上可以求导，即可以 求得该点上的切线斜率。
函数的分类
• 常数函数：输出值与输入值无关的函数，如f(x)=5。 • 一次函数：输出值与输入值成一次关系的函数，如f(x)=2x+3。 • 二次函数：输出值与输入值的二次方成正比的函数，如f(x)=x^2。 • 幂函数：输出值与输入值的某次幂成正比的函数，如f(x)=x^3。 • 指数函数：输出值与输入值的指数成正比的函数，如f(x)=2^x。 • 对数函数：输出值与输入值的对数成正比的函数，如f(x)=log(x)。 • 三角函数：输出值与输入值的三角函数成正比的函数，如f(x)=sin(x)。
利用函数的性质解方程
函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性等，这些性质可以帮助我们解决一 些与方程有关的问题。例如，利用函数的单调性判断方程根的存在性或比较 根的大小。
利用方程求解函数
利用方程求函数的表达式
通过已知的变量和关系式，利用方程求解出函数的表达式。例如，在知道一些点 对距离的情况下，通过解方程组得到函数的表达式。
利用方程判断函数的性质
通过已知的方程和函数的表达式，利用方程可以判断出一些函数的性质。例如， 通过解出函数的极值点或零点来判断函数的单调性或奇偶性。
方程与函数课件
本ppt课件将介绍方程与函数的定义，包括方程的类型和函数的特点，以及它 们之间的关系。还会探讨解方程和求函数值的方法，以及方程和函数在各个 应用领域中的重要性。
方程的类型
1 一元一次方程
形如ax + b = 0的方程，其中a和b是已知数，x是未知数。
2 一元二次方程
形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c是已知数，x是未知数。
3 函数的性质和分类
函数可以具有不同的性质， 如单调性、连续性和可导 性等。函数可以根据其性 质和图像特征进行分类。
方程与函数的关系
1 方程和函数的解
2 方程与函数的图像
方程的解是满足方程的自变量和因变量的值， 而函数的解是满足函数的自变量和因变量的 值。
方程和函数的图像可以相互对应，通过图像 可以得到方程或函数的一些性质。
解方程和求函数值的方法
1 代入法
将已知的值代入方程或函 数，求解未知的值。
2 消元法
3 图像法
通过将方程中的变量相互 消去，得到一个只含有一 个变量的方程，然后求解。
通过观察方程或函数的图 像，找到满足条件的自变 量和因变量的值。
方程和函数的应用领域
1 自然科学中的方程与 2 工程技术中的方程与 3 经济管理中的方程与
函数
函数
函数
方程和函数在物理、化学 等自然科学领域中起着重 要作用，用于描述物理规 律和化学反应。
方程和函数在工程技术领 域中广泛应用，用于建模、 优化和计算等方面。
方程和函数在经济学和管 理学中有广泛的应用，用 于分析市场行为、经济增 长和企业决策等。
总结和展望
通过学习方程与函数，我们能够深入理解数学在各个领域中的重要性和应用。 未来，我们可以进一步探索更多数学知识，拓宽我们的思维和能力。
函数与方程_PPT课件
课前自助餐
授人以渔
自助餐
5．用二分法求函数 f(x)零点近似值 (1)确定区间[a，b]，验证 f(a)·f(b)<0 ，给定精确度 ε； (2)求区间(a，b)的中点 x1； (3)计算 f(x1)； ①若 f(x1)＝0 ，则 x1 就是函数的零点； ②若 f(a)·f(x1)<0 ，则令 b＝x1，(此时零点 x0∈(a，x1))； ③若 f(x1)·f(b)<0 ，则令 a＝x1，(此时零点 x0∈(x1，b))． (4)判断是否达到精确度 ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值 a(或 b)；否则重复(2)－(4)．
答案 C
课前自助餐
授人以渔
自助餐
课前自助餐
授人以渔
自助餐
3．函数 f(x)＝ex＋3x 的零点个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
答案 B
解析 由已知得 f′(x)＝ex＋3>0，所以 f(x)在 R 上单调递增， 又 f(－1)＝e－1－3<0，f(1)＝e＋3>0，因此 f(x)的零点个数是 1， 故选 B.
课前自助餐
授人以渔
自助餐
4．二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 中，a·c<0，则函数的零点个数 是________．
答案 2 解析 ∵c＝f(0)，∴a·c＝af(0)<0，即 a 和 f(0)异号． ∴a>0， f0<0 或a<0， f0>0.
教版数学ppt课件函数与方程、不1部编版语文ppt课件
与
（2）当矩形绿化带长为多少时，树苗刚好栽满面积为40平 问 方米的空地。 题
概念引入
知
• 函数的零点：一般地，如果函数 y f (x)在实数处的值
等于零，即 f ( ) 0，则 叫做这个函数的零点，在坐标
系中表示图象明：
（1）函数的零点并不是点。
反之，不等式 f x 0 （或 0, 0, 0 ）的解集
的端点值为方程 y f x 的根。
与
表
达
、
答疑解惑
交 • 本节课你有哪些收获？还有哪些疑问?
流
若函数 f (x) ax2 2 ，g(x) 2x ax 满足
与
f (x) g x 求 x 的取值范围 反
学情分析：
• 学生在初中已经分别学习了一元二次函数的相关知识及其 图象，同时也熟练的掌握求解一元二次方程的方法，但是 对它们以及不等式之间的关系还没有深刻的理解，在他们 的头脑中函数、方程、不等式都是模糊的，通过这节课的 学习能让学生真正的体会数学内容之间的关联性和互化性， 知道可以用函数解决相关的数学问题，重点提升学生数学 抽象、直观想象和数学运算素养。
交 • 分别求出下列不等式的解集
流
(1) x2 6 x 9 0 与
反
(2) x2 x 1 0 思
合作探究三、展示交流
交 • 思考：
• 1、求 y ax2 bx c a 0 解集
• 2、那么当a 0呢？
流
与
反
思
小结升华二
•
求一元二次不等式
y
ax2
实数根，函数的图象与 x轴有一个交点，该方程的实数根即
与
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②存在实数 k，使得方程恰有 4 个不同的实根；
③存在实数 k，使得方程恰有 5 个不同的实根；
④存在实数 k，使得方程恰有 8 个不同的实根.
其中假命题的个数是( A．0 B．1 ) C．2 D．3
解析：根据题意可令|x2－1|＝t(t≥0)， ① 则方程化为 t2－t＋k＝0. ②
作出函数 y＝|x2－1|的图象，结合函数的图象可知： (1)当 t＝0 或 t>1 时方程①有 2 个不等的根； (2)当 0<t<1 时方程①有 4 个根；
有两个交点，结合函数的图象可得 0＜b＜2．故答案为(0,2).
答案：(0,2)
【互动探究】
|2x－1|，x＜2， 1．已知函数 f(x)＝ 3 若方程 f(x)－a＝0 有 ， x ≥ 2 ， x－1
三个不同的实数根，则实数 a 的取值范围是( A．(1,3) C．(0,2) B．(0,3) D．(0,1) )
图 2-12-1 A．[－2.1，－1] C．[4.1,5] B．[1.9,2.3] D．[5,6.1]
3 2．根据表格中的数据，可以断定函数f(x)＝ln x－—的零点 x 所在的区间是( C ) 1
ln x 3 x 0 3
2
0.69 1．5
e
1 1．10
3
1．10 1
5
1．61 0.6
A．(1,2)
第12讲 函数与方程
考纲要求 考点分布 考情风向标 1．结合二次函数的 2011 年新课标卷第 图象，了解函数的零 10 题考查函数的零 高考试题对该部分 点与方程根的联系， 点存在性定理； 内容考查的主要角 判断一元二次方程 2014 年新课标卷Ⅰ 度有两种：一种是找 根的存在性及根的 第 12 题以函数零点 函数零点个数；一种 为背景，考查导数的 是判断零点的范围. 个数. 另外备考中应该特 2．根据具体函数的 应用； 图象，能够用二分法 2016 年天津卷根据 别注意运用导数来 求相应方程的近似 根的分布求参数的 研究函数零点 解 取值范围
为( ) A．(0.1,0.2) B．(0.2,0.3) C．(0.3,0.4) D．(0.4,0.5) 图 2-12-2
1 解析： ∵ 8－8cos 108° ＝cos 72° ， 令 cos 72° ＝t， 则 8＋8t 1 ＝ t .∴8t3＋8t2－1＝0.令 f(t)＝8t3＋8t2－1，则当 t>0 时，f′(t) ＝24t2＋16t>0.∴f(t)＝8t3＋8t2－1 在(0，＋∞)上单调递增. 又∵f(0.3)f(0.4)<0， ∴f(t)＝8t3＋8t2－1 在(0.3,0.4)上有唯一零点， ∴cos 72° 的值所在区间为(0.3,0.4).故选 C．
(3)当 t＝1 时，方程①有 3 个根；
故当 k＝0 时，代入方程②，解得此时方程②有两个不等根
t＝0 或 t＝1，故此时原方程有 5 个根；
1 当方程②有两个不等正根时，即 0<k<4，此时方程②有两
2 ＝t 的解有 8 个， x － 1 根且均小于 1 大于 0， 故相应的满足方程
)
2 3 B．3，4 1 2 3 D．3，3∪4
3－4a≥0， 解析：由 f(x)在 R 上递减可知3a≥1， 0<a<1
1 3 ⇒3≤a≤4，
1 由方程|f(x)|＝2－x 恰好有两个不相等的实数解，可知 3a≤2，a 1 2 3 －1≤2，3≤a≤3.又∵a＝4时，抛物线 y＝x2＋(4a－3)x＋3a 与 直线 y＝2－x 相切，也符合题意，∴实数 a
6 4．(2014 年北京)已知函数 f(x)＝x －log2x，在下列区间中， 包含 f(x)的零点的区间是( C )
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,4)
D．(4，＋∞)
3 解析：因为 f(2)＝3－1＞0，f(4)＝2－2＜0，所以由零点存 在性定理可知选 C．
考点1
函数零点的判定
例 1：(1)若 a＜b＜c，则函数 f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x
f(x1)· f(n)<0，则令 m＝x1[此时零点x0∈(x1，n)]；
④判断是否达到精度ε：若|m－n|≤ε，则得到零点近似值
m(或n)；否则重复步骤②～④.
【互动探究】
2． 若函数 f(x)的零点与 g(x)＝4x＋2x－2 的零点之差的绝对 值不超过 0.25，则 f(x)可以是( A．f(x)＝4x－1 C．f(x)＝e －1
2．二分法 如果函数 y＝f(x)在区间[m，n]上的图象是一条连续不断的 曲线，且 f(m)· f(n)<0，通过不断地把函数 y＝f(x)的零点所在的 区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零 点近似值的方法叫做二分法.
1．如图 2-12-1 所示的是函数 f(x)的图象，它与 x 轴有 4 个 不同的公共点.给出下列四个区间，不能用二分法求出函数 f(x) 零点的区间是( B )
解析：∵a，b∈Z，b－a＝1，∴a，b 是相邻的两个整数. 令 f(x)＝ln x＋x－4，则 f(1)＝－3<0，f(2)＝ln 2－2<0，f(3)＝ln3 －1>0.∴f(x)在(2,3)上存在零点，即方程 ln x＋x－4＝0 在(2,3) 上有根.又 f(x)为增函数，∴方程 ln x＋x－4＝0 在(2,3)上有且仅 有一根.∴a＝2．
3 ∪4.故选 1 2 的取值范围是3，3
C．
答案：C
(2)(2015 年湖南)若函数 f(x)＝|2x－2|－b 有两个零点，则实 数 b 的取值范围是________.
解析：由函数 f(x)＝|2x－2|－b 有两个零点，可得|2x－2|＝b
有两个不等的根，从而可得函数 y＝|2x－2|与函数 y＝b 的图象
1 x∈0，2.又函数
1 g(0)＝－1，g2
f(x)的零点与 g(x)＝4x＋
2x－2 的零点之差的绝对值不超过 0.25，只有 f(x)＝4x－1 的零 点适合.
答案：A
●思想与方法● ⊙运用分类讨论思想判断方程根的分布 例题：关于 x 的方程(x2－1)2－|x2－1|＋k＝0，给出下列四 个命题： ①存在实数 k，使得方程恰有 2 个不同的实根；
1．函数的零点 交点 (1)方程 f(x)＝0 有实根⇔函数 y＝f(x)的图象与 x 轴有_____ ⇔函数 y＝f(x)有零点.
(2)如果函数 y＝f(x)在区间(a，b)上的图象是连续不断的，
＜ ，那么函数 y＝f(x)在区间(a，b)上有零点.一般 且有 f(a)· f(b)___0 把这一结论称为零点存在性定理.
(1)求证：函数 f(x)在其定义域上是增函数； (2)求证：函数 f(x)有且只有一个零点； (3)求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超过
1 —. 4
(1)证明：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， 设x1<x2，则ln x1<ln x2,2x1<2x2． ∴ln x1＋2x1－6<ln x2＋2x2－6． ∴f(x1)<f(x2).∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数.
－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(
A．(a，b)和(b，c)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内
)
B．(－∞，a)和(a，b)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
解析：f(a)＝(a－b)(a－c)＞0；f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)
＝(c－b)(c－a)＞0，f(a)f(b)＜0，f(b)f(c)＜0，所以两个零点分别 位于区间(a，b)和(b，c)内. 答案：A
B．(2，e)
C．(e,3)
D．(3,5)
解析：根据表中数据得 f(1)<0，f(2)<0，f(e)<0，f(3)>0，所 以零点所在的区间是(e,3).
3．若方程 ln x＋x－4＝0 在区间(a，b)(a，b∈Z，且 b－a ＝1)上有一根，则 a 的值为( B ) A．1 B．2 C．3 D．4
的根的个数， 即函数 g(x)＝2sin
＝2sin xcos x＝sin 2x 与 h(x)＝x2 的图象交点个数.分别画出两函 数图象，如图 D12，由图可知，函数 g(x)与 h(x)的图象有 2 个 交点.故零点个数为 2．
图 D12 答案：2
(3)如图 2122，正五边形 ABCDE 的边长为 2，甲同学在 △ ABC 中 用 余 弦 定理 解 得 AC ＝ 8－8cos 108° ， 乙同 学 在 1 Rt△ACH 中解得 AC＝cos 72° ，据此可得 cos 72° 的值所在区间
【规律方法】(1)二分法是求方程根的近似值的一种计算方 法，它只能用来求函数的变号零点； (2)给定精度ε，用二分法求函数y＝f(x)的零点近似值的步骤 如下： ①确定区间[m，n]，验证 f(m)· f(n)<0，给定精度ε； ②求区间[m，n]的中点x1； ③计算f(x1)：ⅰ)若f(x1)＝0，则x1 就是函数y＝f(x)的零点； ⅱ) 若f(m)· f(x1)<0，则令n＝x1[ 此时零点x0 ∈(m ，x1)] ；ⅲ) 若
(2)证明：∵f(2)＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3>0， ∴f(2)· f(3)<0.∴f(x)在(2,3)上至少有一个零点. 又由(1)知，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，因此 f(x)＝0 至多 有一个根，从而函数 f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点. (3)解：由(2)知，f(x)的零点 x0 在(2,3)上，
答案：C
【规律方法】判断函数y＝f(x)在某个区间上是否存在零点， 常用以下三种方法：①当对应方程易解时，可通过解方程，看 方程是否有根落在给定区间上[如第(3)题]；②利用函数零点的