课题 三角形的中位线
北师大版数学八年级下册6.3《三角形的中位线》说课稿
北师大版数学八年级下册6.3《三角形的中位线》说课稿一. 教材分析北师大版数学八年级下册6.3《三角形的中位线》这一节的内容，是在学生已经掌握了三角形的性质，以及三角形的中线、高线、角平分线等概念的基础上进行讲授的。
本节课的主要内容是让学生掌握三角形的中位线的性质，包括中位线的定义、中位线与三角形边长的关系、中位线与三角形内角的关系等。
同时，让学生能够运用中位线的性质解决一些简单的问题。
在教材的编写上，首先通过引导学生观察三角形的中位线，让学生发现中位线的一些性质，然后通过几何证明，引导学生证明这些性质。
在学生掌握了中位线的性质之后，教材通过一些练习题，让学生巩固所学的内容，并能够运用所学知识解决实际问题。
二. 学情分析在讲授这一节内容时，我班的学生已经掌握了三角形的基本性质，对于三角形的中线、高线、角平分线等概念也有了一定的了解。
但是，学生在几何证明方面的能力还有一定的欠缺，对于一些复杂几何证明题还感到比较困难。
因此，在教学过程中，我需要注重引导学生进行观察和思考，帮助他们建立起几何证明的思路。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握三角形的中位线的性质，能够运用中位线的性质解决一些简单的问题。
2.过程与方法目标：通过观察、思考、证明等过程，培养学生的几何思维能力。
3.情感态度与价值观目标：让学生体验到数学的乐趣，培养学生的自信心和自尊心。
四. 说教学重难点1.教学重点：三角形的中位线的性质。
2.教学难点：三角形的中位线的证明，以及运用中位线的性质解决实际问题。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用讲授法、引导法、练习法等教学方法。
同时，利用多媒体课件，帮助学生更直观地理解三角形的中位线的性质。
六. 说教学过程1.导入：通过引导学生观察三角形的中位线，让学生发现中位线的一些性质。
2.新课讲解：讲解三角形的中位线的性质，包括中位线的定义、中位线与三角形边长的关系、中位线与三角形内角的关系等。
三角形的中位线
三角形的中位线1. 引言在几何学中，三角形是最基本的形状之一。
它由三条边和三个顶点组成。
在研究三角形的性质时，有一条特殊的线段叫做中位线，它连接三角形的一个顶点和对边中点。
本文将介绍三角形的中位线的定义、性质和应用。
2. 定义三角形的中位线是连接三角形的一个顶点和对边中点的线段。
对于三角形ABC，以顶点A为例，其中位线是连接顶点A和对边BC中点的线段AD。
3. 性质三角形的中位线有以下几个重要的性质：3.1. 中点中位线的一个重要特点是它的中点。
对于三角形ABC来说，中位线AD的中点是线段BC的中点。
这意味着中位线将三角形分为两个面积相等的小三角形。
3.2. 长度在一个三角形中，三个中位线的长度是相等的。
对于三角形ABC来说，中位线AD的长度等于中位线BE和CF的长度。
3.3. 平行性三角形的三条中位线互相平行。
也就是说，对于三角形ABC来说，中位线AD 和中位线BE是平行的，中位线BE和中位线CF是平行的，中位线CF和中位线AD是平行的。
3.4. 相交点三角形的三条中位线相交于一个点，这个点被称为三角形的重心。
重心是三角形内部的一个点，它从三个顶点到对边的距离之和最小。
3.5. 面积三角形的三条中位线将三角形分成六个小三角形。
这六个小三角形的面积之和等于三角形的面积。
4. 应用三角形的中位线在几何学和实际应用中有一些重要的应用：4.1. 三角形面积通过利用三角形的中位线，可以更方便地计算三角形的面积。
由于三条中位线将三角形分成六个小三角形，我们可以根据这些小三角形的面积相加来得到整个三角形的面积。
4.2. 构造平行线利用三角形的中位线平行性，我们可以构造出一对平行线。
例如，如果我们在三角形ABC的中位线AD上取一个点E，并将DE延长到与BC相交于点F，那么线段EF就与AB平行。
4.3. 定位三角形重心通过绘制三角形的中位线，我们可以定位三角形的重心。
重心是三角形内部的一个点，通过中位线的相交点可以轻松确定。
三角形的中线和中位线
三角形的中线和中位线三角形是几何学中最基本的图形之一。
它由三条边和三个顶点组成，具有丰富的性质和特点。
本文将重点介绍三角形的中线和中位线。
一、中线中线是指从一个顶点连到对边中点的线段。
一个三角形有三个顶点，因此它有三条中线。
用示意图表示，如下所示：（插入示意图）中线的特点如下：1. 三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心。
2. 中线的长度相等，且等于三角形两边的和的一半。
3. 三角形的重心到顶点的距离是中线长度的2/3。
二、中位线中位线是指连接三角形两个顶点的中点的线段。
一个三角形有三个顶点，因此它有三条中位线。
用示意图表示，如下所示：（插入示意图）中位线的特点如下：1. 三角形的三条中位线交于一点，这个点叫做三角形的重心。
2. 中位线的长度相等，且等于三角形两边的和的一半。
3. 重心到中位线的交点的距离是中位线长度的1/3。
三、中线和中位线的关系中线和中位线都是连接顶点和对边中点的线段，它们有一些共同的性质和特点：1. 三角形的三条中位线和三条中线都会交于同一个点，这个点就是三角形的重心。
2. 中线和中位线的长度相等，都等于三角形两边的和的一半。
3. 重心到中线的交点和重心到中位线的交点之间的距离关系为2:1。
4. 中位线的交点将中线一分为二，且分割的线段长度与两条中位线的长度之间的关系为1:2。
四、中线和中位线的应用中线和中位线在几何学中具有广泛的应用，特别是在解决三角形相关问题时：1. 利用中线和中位线的性质可以求解三角形的重心，从而确定三角形的位置和形状。
2. 中线和中位线的长度关系可以用来推导其他三角形边长和角度的关系。
3. 基于中线和中位线的性质，可以证明一些三角形的定理和性质，如垂心定理和松弛定理等。
综上所述，三角形的中线和中位线是三角形的重要属性和特点，它们有着丰富的性质和应用。
通过研究中线和中位线，我们可以更好地理解和分析三角形，深入掌握几何学的知识。
对于几何学的学习和应用来说，中线和中位线是必不可少的重要内容之一。
三角形的中位线朱其海
三、随堂达标案
1.已知三角形的3条中位线分别为3cm、 4cm、6cm，则这个三角形的周长是（ ） A．3cm B．26cm C．24cm D．65cm
2．已知以一个三角形各边中点为顶点的三 角形的周长为8cm，则原三角形的周长为
___________.
3．一个三角形的周长是12cm，则这个三
角形各边中点围成的三角形的周长
五、学习反思
问题转化到一个平行四边形中，然后利用平行四边形
的性质使问题得以解决。）（观察下边两个图形，选
择其中一个图形写出证明过程）
2．已知：如图，四边形ABCD中，E、F、 G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求 证：四边形EFGH是平行四边形．
注意：（1）当图形中出现中 点时，我们可以考虑用中位
线的性质. （2）有中点连线而无三角 形,要作辅助线产生三角形. （3）有三角形而无中位线, 要连结两边中点得中位线.
学习目标: 理解三角形中位线的概念，掌握它的性质 （重点）
能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关 的证明和计算.（难点)
一、自主学习案 1．将任意一个三角形分成四个全等的 三角形，你是如何切割的？图中有几个 平行四边形？你是如何判断的？ 2．三角形中位线定义：
二、课堂探究案
(一)【自主探究】 1．什么是三角形的中位线？
交流. （3)小组派代表讲解如何证明. 5．归纳三角形中位线定理，并用符号语言 表述。
（三）【应用探究】 阅读教材P47-P48相关内容
1．如图，点D、E分别是 ABC
的边AB，AC的中点， A
A
求证DE∥BC , 且DE= 1 BC
2
D
E
FD
E
F
B
三角形的中位线角平分线和垂线
三角形的中位线角平分线和垂线三角形的中位线、角平分线和垂线三角形是初中数学中一个重要的图形，它由三条边和三个顶点组成。
在三角形中，中位线、角平分线和垂线是三条与三角形内部相关的特殊线段。
本文将介绍中位线、角平分线和垂线在三角形中的性质和应用。
一、中位线中位线是连接一个三角形的两个顶点和对边中点的线段。
对于三角形ABC，三条中位线分别为AD，BE和CF（D、E和F分别为边BC、AC和AB的中点）。
中位线具有以下性质：性质1：三角形中的三条中位线互相平分。
性质2：三角形中的三条中位线交于一个点，该点被称为中心。
性质3：中心到各顶点的距离等于中心到对边中点的距离，而且中心是中位线的重心。
应用：中位线的应用较多，最常见的是利用中位线求三角形重心。
重心是以三角形三条中位线的交点为顶点的新三角形的重心。
我们可以根据中位线的性质计算重心的坐标。
二、角平分线角平分线是从一个角的顶点出发，平分这个角的角度的线段。
对于三角形ABC，角BAC的角平分线为AD（D在BC上）。
角平分线具有以下性质：性质1：角平分线把原来的角分成两个相等的角。
性质2：三角形的三条角平分线交于一点，该点被称为内角平分点。
性质3：内角平分点到三个顶点的距离相等。
应用：角平分线的应用较多，最常见的是利用角平分线求三角形内心。
内心是以三角形的三条角平分线的交点为顶点的新三角形的内心。
我们可以根据角平分线的性质计算内心的坐标。
三、垂线垂线是从一个顶点引出，与对边垂直相交的线段。
对于三角形ABC，从顶点A引出的垂线为AD（D在BC上）。
垂线具有以下性质：性质1：垂线与对边垂直相交，交点为垂足。
性质2：三角形的三条垂线交于一点，该点被称为垂心。
应用：垂线的应用较多，可以用于求解三角形的垂心。
垂心是以三角形的三条垂线的交点为顶点的新三角形的垂心。
我们可以根据垂线的性质计算垂心的坐标。
综上所述，三角形的中位线、角平分线和垂线在几何学中具有重要的地位和应用。
三角形的中位线知识、方法总结
三角形的中位线知识、方法总结
三角形中位线是连接三角形两边中点的线段。
一个三角形有三条中位线，这个定义有双重性，既是性质，也是判定。
需要注意的是，三角形中位线与中线是不同的，中线是连接一个顶点和它对边中点的线段，而中位线是连接三角形两边中点的并且与底边平行且等于底边一半的线段。
三角形中位线定理表明，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
这个定理可以用来证明平行关系、倍分关系，以及转移线段和转移角。
常用的辅助线是连接中点和构造中位线，可以分离基本图形，如全等和平行四边形。
可以用两种证明方法证明三角形中位线定理。
第一种方法是延长中位线，构造一个全等三角形，证明出两边平行，从而得出结论。
第二种方法是连接四边形的对角线，证明出中点四边形是平行四边形，从而得出结论。
中点三角形是由原三角形的三边中点顺次连接而成的新三角形。
中点三角形的各个边长分别是原三角形三边长的一半，
且分别平行，角的度数与原三角形分别相等。
四个三角形都全等，中点三角形周长是原三角形的周长的一半，面积是原三角形面积的四分之一。
中点三角形与原三角形不仅相似，而且位似。
中点四边形是由任意四边形各边中点顺次连接而成的四边形。
不管原四边形的形状如何改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。
可以连接对角线，构造中位线，证明出中点四边形是平行四边形。
三角形的中位线与中心线
三角形的中位线与中心线一、三角形的中位线1.定义：三角形的中位线是从三角形的一个顶点出发，在对面的边上找到中点，然后连接这个中点和顶点的线段。
(1)三角形的中位线平行于第三边。
(2)三角形的中位线等于第三边的一半。
(3)三角形的中位线将对边的夹角平分。
二、三角形的中心线1.定义：三角形的中心线是从三角形的某个顶点出发，延长到对边上的点，使得这个点到三角形其他两个顶点的距离相等。
(1)三角形的中心线将对边的夹角平分。
(2)三角形的中心线将对边的中点连接起来，形成的线段是三角形的中位线。
(3)三角形的三条中心线相交于一点，称为三角形的心。
1.在等边三角形中，中位线和中心线重合，都是三角形的角平分线、中线和高线。
2.在一般三角形中，中位线是中心线的一部分，中心线是延长的中位线。
四、三角形的中位线与中心线在实际应用中的意义1.在建筑设计中，通过测量三角形的中位线和中心线，可以判断建筑物的结构是否稳定。
2.在工程测量中，利用三角形的中位线和中心线可以简化计算，提高测量精度。
3.在解决几何问题时，运用三角形的中位线和中心线可以简化问题，找到解决问题的突破口。
习题及方法：1.习题：在三角形ABC中，D、E、F分别是边AB、BC、AC上的中点，求证：DE平行于BC，且DE等于BC的一半。
答案：根据三角形的中位线性质，D、E分别是边AB、BC的中点，所以DE平行于BC，且DE等于BC的一半。
2.习题：在三角形ABC中，M是边AC上的中点，求证：BM平行于AC。
答案：延长BM到N，使得MN=BM。
由于M是AC的中点，所以AN=NC。
根据等腰三角形的性质，AN平行于BC，且AN=BC。
又因为DE平行于BC，所以DE平行于AN。
又因为DE=BC，所以MN平行于AC，且MN=AC。
根据平行线的性质，BM平行于AC。
3.习题：在等边三角形DEF中，G是边DE的中点，求证：FG平行于DE。
答案：由于DEF是等边三角形，所以DE平行于DF。
三角形的中位线
三角形的中位线三角形是几何学中最基本的图形之一，由于其简单而且具有很多有趣的性质，因此在数学教育中被广泛研究和讨论。
本文将重点介绍三角形的中位线及其相关的性质、定理和应用。
一、中位线的定义在三角形ABC中，连接任意一边的中点与对立顶点可以得到三条线段，这三条线段被称为三角形的中位线。
具体而言，以BC为底边的中位线称为三角形的BC中位线，记为m_a；以AC为底边的中位线称为三角形的AC中位线，记为m_b；以AB为底边的中位线称为三角形的AB中位线，记为m_c。
二、中位线的性质1. 三角形的三条中位线交于一点证明：设m_a与m_b交于点G，则由于m_a是BC的中点M和顶点A所在直线的中点，因此有MG = GA。
同理，由m_b也可得AG = GC。
因此，点G既在m_a上，又在m_b上，即点G是三角形ABC的BC和AC的中点，因此也是三角形ABC的第三条中位线m_c所在直线的中点。
因此，三条中位线交于一点，该点被称为三角形的重心。
2. 重心到各顶点的线段比例为2:1证明：设AM是BC中位线，G是三角形ABC的重心，则由三角形重心定理可得AG:GM = 2:1。
同理，利用交换对称性，可得BG:GM = 2:1，CG:GM = 2:1，即重心到各顶点的线段比例为2:1。
3. 中位线长度与对应边长的关系证明：设BC = a，AC = b，AB = c。
由于中位线是对应边的中点连接对立顶点而成的，因此，以BC为底边的中位线m_a将三角形ABC分成两个等腰三角形。
因此，AM_a与BC平行，并且AM_a =0.5BC（即m_a的长度等于底边BC的一半）。
同理可得m_b = 0.5AC，m_c = 0.5AB。
三、中位线的应用1. 利用中位线求三角形的重心在实际问题中，我们经常需要计算三角形的重心，而中位线的交点即为三角形的重心，因此可以通过求三条中位线的交点来得到三角形的重心坐标。
2. 中位线与面积的关系设三角形ABC的面积为S，BC中位线长度为m_a，AC中位线长度为m_b，AB中位线长度为m_c。
三角形的中位线
如图1，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
ED C B A图12. 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
如图1，△ABC 中，DE 是中位线，则有DE ∥BC ，12DE BC 。
3. 三角形中位线定理的证明教材上的证明方法如图2所示，延长DE 到点F ，使EF=DE ， FE D C B A图2连接CF ，进一步证明四边形DBCF 是平行四边形。
请写出定理的证明过程。
（1）三角形中位线的定义是判定的主要方法。
（2）如图5，运用定理“过三角形一边的中点与另一边平行的直线平分第三边”来判定线段是三角形的中位线. ED C B A图5已知，△ABC 中，点D 是AB 的中点，DE ∥BC ，试说明线段DE 是△ABC 的中位线。
5.三角形中位线定理的逆定理三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
”那么它的逆命题为______________________________________________________________________。
这个逆命题是真命题还是假命题？请作图并证明。
6.关于运用三角形中位线定理的题目特点：含有“中点”、“中线”之类的字眼，或者通过线段相等、平行四边形、等腰三角形三线合一等方式间接说明是中点，并且“中点”的数量一般不止一个。
方法：根据题目中的“中点”寻找或构造中位线模型，如下图。
ED A7.中点四边形：依次连接四边形各边的中点所得的四边形称为中点四边形。
1.画一个四边形ABCD，依次连接四边的中点M、N、P、Q，判定四边形MNPQ的形状。
2.画一个对角线相等的四边形ABCD，依次连接四边的中点M、N、P、Q，判定四边形MNPQ的形状。
3.画一个对角线互相垂直的四边形ABCD，依次连接四边的中点M、N、P、Q，判定四边形MNPQ的形状。
4.画一个对角线互相垂直且相等的四边形ABCD，依次连接四边的中点M、N、P、Q，判定四边形MNPQ的形状。
三角形的中位线
【考点精讲】1. 三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
A BCA BCD DE E F2. 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
3. 三角形的中位线的作用：一是位置关系，可用来证明线段平行； 二是数量关系，可用来证明线段相等或倍分。
【典例精析】例题1 如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC ，BN ⊥AN 于点N ，延长BN 交AC 于点D ，已知AB ＝10，BC ＝15，MN ＝3。
（1）求证：BN ＝DN ； （2）求△ABC 的周长。
A BCDN12思路导航：（1）证明△ABN ≌△ADN ，即可得出结论；（2）先判断MN 是△BDC 的中位线，从而求出CD 的长，再计算△ABC 的周长即可。
答案：（1）证明：∵BN ⊥AN ，∴∠ANB ＝∠AND ＝90°，在△ABN 和△ADN 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝∠2AN ＝AN ∠ANB ＝∠AND ，∴△ABN ≌△ADN ，∴BN ＝DN ； （2）解：∵△ABN ≌△ADN ，∴AD ＝AB ＝10，由（1）知DN ＝BN ，又∵点M 是BC 中点，∴MN 是△BDC 的中位线， ∴CD ＝2MN ＝2×3＝6，故△ABC 的周长＝AB ＋BC ＋CD ＋AD ＝10＋15＋6＋10＝41。
点评：本题考查了三角形的中位线定理及等腰三角形的判定，注意培养数学灵感，一般出现高、角平分线重合的情况，都需要找等腰三角形；出现三角形某边的中点，常常构造三角形的中位线。
例题2 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，M ，N 分别是AB ，AC 的中点，D 、E 为BC 上的点，连接DN ，EM 。
若AB ＝13cm ，BC ＝10cm ，DE ＝5cm ，求图中阴影部分的面积。
A思路导航：连接MN ，根据中位线定理，可得出MN ＝DE ＝5cm ；图中阴影部分的面积就是图中三个三角形的面积，由图可知，这三个三角形的底相等都是5cm ，这三个三角形的高之和是从A 点到BC 的垂线段的长，利用勾股定理可求得高的值，据此可求出图中阴影部分的面积。
三角形的中位线
三角形的中位线知识全讲：1、定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。
（2）要会区别三角形中线与中位线。
2、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
3、三角形中位线定理的作用：位置关系：可以证明两条直线平行。
数量关系：可以证明线段的倍分关系。
常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。
结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。
结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。
结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。
结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。
例题精解：1. 依次连接任意四边形各边的中点，得到一个特殊图形（可认为是一般四边形的性质），则这个图形一定是【】A．平行四边形B．矩形C．菱形D．梯形2. 如图，在ABCD中，AD=8，点E、F分别是BD、CD的中点，则EF= ▲ .3. 如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是【】A．4 B．3 C．2 D．15. （2013年黑龙江绥化3分）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别是边AD ，AB 的中点，EF 交AC 于点H ，则AHHC的值为【 】A ．1B ．12C ．13D ．14 6. 如图，ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别是线段AO ，BO 的中点，若AC+BD=24厘米，△OAB 的周长是18厘米，则EF= ▲ 厘米．7. （2013年广东省4分）如图，将一张直角三角板纸片ABC 沿中位线DE 剪开后，在平面上将△BDE 绕着CB 的中点D 逆时针旋转180°，点E 到了点E′位置，则四边形ACE′E 的形状是 ▲ .巩固练习：1. （2013年青海西宁3分）如果等边三角形的边长为4，那么等边三角形的中位线长为【 】 A ．2B ．4C ．6D ．82．已知三角形三边长分别为a 、b 、c ，它的三条中位线组成一个新的三角形，这个新三角形的三条中位线又组成一个小三角形，这个小三角形的三条中位线又组成一个新小三角形，则最小的三角形的周长是( ) A.21(a+b+c)B.61(a+b+c) C.81(a+b+c) D.41(a+b+c)3．如图，△ABC 中，如果AB ＝30cm ，BC ＝24cm ，AC ＝27cm ，AE ＝EF ＝FB ，EG ∥DF ∥BC ，FM ∥EN ∥AC ，则图中阴影部分的三个三角形周长之和为( )A.70cmB.75cmC.80cmD.81mc4．如图，DE 是△ABC 的中位线，F 是DE 的中点，BF 的延长线交AC 于H ，则AH ∶HE 等于（ ）A ．1∶1B ．2∶1C ．1∶2D ．3∶2第3题 第4题6．如图，EF 是△ABC 的中位线，EF ＝3，则BC ＝ .7．三角形各边分别是3cm 、5cm 、6cm ，则连结各边中点所围成的三角形的周长是 .8．如图，△ABC 中，AD 、BE 是中线且交于G ，那么ABCBDGS S △△＝ .第6题 第8题9．如图，EF 是△ABC 的中位线，BD 平分∠ABC 交EF 于D ，若DE ＝2，则EB ＝_____．10．如图所示，在△ABC 中，点D 在BC 上且CD=CA ，CF 平分∠ACB ，AE=EB ，求证：EF=12BD ．11．如图所示，已知在□ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，求证：MN ∥BC ．12．已知：△ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点．求证：四边形DEFG是平行四边形．13．已知：如图，E为□ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE＝DC，连结AE 分别交BC、BD于点F、G，连结AC交BD于O，连结OF．求证：AB＝2OF．14．如图，△ABC中，D为AC的中点，E、F为AB的三等分点，CF交BD于G．求证：BG＝G D．15．如图，△ABC中，BM平分∠ABC，AM⊥BM，垂足为M，点N为AC的中点，设AB＝10，BC ＝6，求MN的长度.16．如图，△ABC的∠ABC的平分线BE与BC边的中线AD垂直且相等，已知BE＝AD＝4，求△ABC三边之长.17．已知：如图，在□ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，FC与BE交于G．求证：GF＝GC．18．已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是DC、AB边的中点，FE的延长线分别与AD、BC的延长线交于H、G点．求证：∠AHF＝∠BGF．多边形的内角和与外角和知识全讲：1、多边形及正多边形（1）、多边形：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形（2）、多边形的分类：多边形按组成它的线段的条数分为三边形（三角形）、四边形、五边形……由n 条线段组成的多边形叫做n 边形。
3角形中位线定理
3角形中位线定理三角形中位线定理，是在三角形中，与三条相邻边的中点相连的线段，它们构成的三个交点都在同一点上。
本文将从定理的证明、推广应用、例题等三个方面进行阐述。
一、定理的证明证明思路：设三角形ABC的三边分别为a、b、c，D为BC的中点，E为AC的中点，F 为AB的中点，则连接AD、BE、CF的交点为G。
则需证明AD、BE、CF三条线段的交点G是一个固定点。
证明：由于D、E、F都是各边中点，可得：∵ D是BC的中点，∴ BD = DC；又∵ G是AD与BE的交点，故可以得出：∵ D、E分别为BC和AC的中点，∴ DE // AC，同时AE = EC，∴ △AED与△CEB 相似。
$\frac{GA}{BD}=\frac{GC}{CE}$又 $\because BD=DC$ ， $\therefore GA=GC$同理可得：于是，我们得到了两个相等的值：GA=GC，GB=GC。
由此，可知三角形GAC是一个等腰三角形，且AG与CF之间的线段垂直于CF，同理可得：因为三角形GAC、GBA、CBG均拥有最长边CG，所以它们就构成了一个共同的圆，而这个圆的中心就是点G。
因此可以得知：三角形ABC的三边中位线的交点G是一个固定点。
二、推广应用利用中位线定理，我们可以推导容易证明的三条定理和一个相关问题：中位线长定值定理、七分线长定值定理、以及在四边形中应用中位线定理、解决中位线问题。
1. 中位线长定值定理在三角形中，如果其中一条中位线相等，那么这个三角形就是等边三角形。
设△ABC为等边三角形，则BD、AE、CF三条中位线的长度均为$\frac{1}{2}$边长，又 $\because BD=AE=CF$ ，所以可以得到：BD=AE=CF=$\frac{1}{2}$a=a，同理可得：b=c=a。
在三角形中，三条中位线可将它们所在线段的长分为1:2:3的比例。
首先，由于三角形的三角形内部对角线互不交于同一点，那么三角形内部的线段AB、AC、BC是不会共线的。
探讨三角形的中位线
探讨三角形的中位线三角形的中位线是连接三角形的任意两个顶点和与第三个顶点的中点所形成的线段。
在本文中，我们将探讨三角形中位线的性质、应用以及相关的数学定理。
一、中位线的性质三角形的中位线有一些独特的性质，我们先来探讨这些性质。
1. 三角形的三条中位线交于一点，这个点被称为三角形的重心。
2. 三角形的重心将中位线按1:2的比例分成两段，离重心较远的中位线段是离相应顶点较远的中位线段的两倍长度。
3. 三角形的重心到三个顶点的距离之和等于三角形三条中位线的长度之和。
二、中位线的应用中位线不仅仅是一个几何概念，还有一些实际应用和相关的数学定理。
1. 三角形面积计算中位线可以用来计算三角形的面积。
根据一个定理，三角形的面积等于任意两条中位线长度的乘积除以4。
2. 三角形三边长度关系根据中位线的性质，我们可以得出三角形三边长度之间的关系。
设三角形的三边长分别为a、b、c，中位线的长度分别为m1、m2和m3，则有m1 = √(2b²+2c²-a²)/4，m2 = √(2a²+2c²-b²)/4，m3 = √(2a²+2b²-c²)/4。
3. 三角形类比中位线的概念也可以应用于类比几何中，例如四边形的对角线构成的中位线。
类似地，对于任意四边形，可以找出两个对角线中点的连线，得到一个类似中位线的线段。
三、中位线定理除了上述的性质和应用，还有一些中位线定理与三角形的中位线相关。
1. 中位线定理一三角形的重心到三个顶点的距离之和等于三条中线的长度之和的3倍。
2. 中位线定理二三角形重心到三个顶点的距离之和大于等于三条中位线的长度之和，且等号成立的条件是三角形是等腰三角形。
3. 中位线定理三三角形重心到三个顶点的距离之和小于等于三条中位线的长度之和，且等号成立的条件是三角形是等边三角形。
四、总结三角形的中位线是连接两个顶点和与第三个顶点中点的线段。
三角形的中线与中位线
三角形的中线与中位线在解析几何中，三角形是一个基础而重要的概念，而其中线和中位线则是三角形中的两个重要线段。
本文将介绍三角形的中线和中位线，并探讨它们的性质和应用。
一、中线的定义和性质中线是连接三角形两个顶点与对应边中点的线段。
在任意三角形ABC中，连结A与BC的中点D，B与AC的中点E，C与AB的中点F，则线段DE称为三角形ABC的中线。
中线有以下几个重要性质：1. 中线长度相等在任意三角形中，三条中线的长度是相等的。
这一性质可以用中位线定理进行证明。
假设DE为中线，在三角形ABC中，连接EF和FD，由中位线定理可知，EF和FD分别是AC和AB的中位线，所以EF=FD=1/2AC=1/2AB，因此DE与EF长度相等。
2. 中线互相平分在任意三角形中，三条中线相互平分。
换句话说，三条中线的交点是三角形的重心。
设三条中线相交于点G，则可以证明GD:GA=GE:GB=GF:GC=1:2。
3. 中线与对应边平行在任意三角形中，中线与对应边是平行的。
即DE∥AB，EF∥BC，FD∥AC。
这一性质可以通过向量法进行证明，利用向量的平行性质和中点的定义可以推导出这一结论。
二、中位线的定义和性质中位线是连接三角形的两个边中点的线段。
在任意三角形ABC中，连结AB的中点D，AC的中点E，BC的中点F，则线段DE称为三角形ABC的中位线。
中位线有以下几个重要性质：1. 中位线长度相等在任意三角形中，三条中位线的长度是相等的。
由于中位线连接对边的中点，而对边的长度相等，所以中位线的长度也相等。
2. 中位线与对边平行在任意三角形中，中位线与对边是平行的。
即DE∥BC，DF∥AC，EF∥AB。
这一性质同样可以通过利用向量法进行证明。
3. 中位线与中线交点在任意三角形中，三条中位线的交点是三角形的重心。
与中线类似，重心是三角形内部的一个特殊点，可以用中位线的交点来确定。
重心具有平分中线和平分面积的性质，是三角形的一个重要参考点。
三角形的中位线与中心连线的性质
三角形的中位线与中心连线的性质三角形是初中数学中一个重要的概念，它具有许多有趣的性质和特点。
其中，三角形的中位线和中心连线是我们常见的几何性质之一。
在本文中，我将详细介绍三角形中位线和中心连线的性质，并通过举例和分析，说明它们的应用和重要性。
一、中位线的定义和性质中位线是连接三角形的一个顶点和对边中点的线段。
对于任意三角形ABC，连接顶点A和边BC中点D的线段AD就是三角形ABC的中位线。
中位线具有以下几个重要的性质：1. 三角形的三条中位线交于一点，这个点被称为三角形的重心。
重心是三角形的一个重要特点，它将三角形分成六个小三角形，且每个小三角形的面积都相等。
2. 重心到三角形各顶点的距离相等，即重心到顶点的距离相等于重心到对边中点的距离。
这个性质在解决一些几何问题时非常有用，可以帮助我们找到三角形的重心。
3. 三角形的重心将中位线按照1:2的比例分成两段。
即重心到中点的线段长度是顶点到重心的线段长度的两倍。
这个比例关系在计算三角形的面积时非常有用。
二、中心连线的定义和性质中心连线是连接三角形的顶点和三角形的内心、外心、垂心、重心的线段。
对于任意三角形ABC，连接顶点A和内心I的线段AI、连接顶点A和外心O的线段AO、连接顶点A和垂心H的线段AH、连接顶点A和重心G的线段AG都是三角形ABC的中心连线。
中心连线具有以下几个重要的性质：1. 三角形的内心、外心、垂心、重心四个中心连线交于一点。
这个点被称为三角形的垂心，它是三角形内心、外心、重心所在直线的垂线交于三角形的交点。
2. 三角形的内心到三条边的距离相等，即内心到三角形各边的距离相等。
这个性质在解决一些几何问题时非常有用，可以帮助我们找到三角形的内心。
3. 三角形的外心到三个顶点的距离相等，即外心到三个顶点的距离相等。
这个性质在解决一些几何问题时非常有用，可以帮助我们找到三角形的外心。
4. 三角形的垂心将中心连线按照1:2的比例分成两段。
即垂心到顶点的线段长度是垂心到对边的线段长度的两倍。
三角形的中位线与垂心的研究
三角形的中位线与垂心的研究在几何学中，三角形是最基本的图形之一。
而三角形的中位线和垂心是三角形内部的两个重要概念。
本文将探讨三角形的中位线和垂心的性质和特点。
一、三角形的中位线中位线是指三角形中任意两个顶点之间的中垂线。
对于任意一个三角形ABC，连接顶点A和边BC的中点D，则AD就是三角形ABC的中位线。
1. 中位线的性质（1）中位线互相平分对于任意一个三角形ABC，连接顶点B和边AC的中点E，则BE 就是三角形ABC的中位线。
我们可以发现，中位线AD和BE相交于点F，且F是中位线AD的中点。
同样地，我们可以连接顶点C和边AB的中点G，进而得到中位线CG。
我们可以发现，中位线BE和CG也相交于点F，且F是中位线BE的中点。
因此，我们可以得出结论：三角形ABC的三条中位线互相平分，即F是三条中位线的交点，并且F是每条中位线的中点。
（2）中位线长相等对于任意一个三角形ABC，连接顶点B和边AC的中点E，则BE是三角形ABC的中位线。
同样地，连接顶点C和边AB的中点G，得到中位线CG。
我们可以发现，中位线BE和CG的长度相等。
这是因为，连接三角形的两个顶点与边的中点，相当于连接了三角形的两条中位线。
而根据线段的性质，我们知道连接三角形的两个顶点与边的中点的线段长度是相等的。
2. 中位线对三角形的作用中位线在三角形中起着重要的作用。
首先，中位线可以将三角形分成面积相等的两个小三角形。
这可以通过三角形面积的计算公式得到证明。
其次，中位线还有利于三角形的平衡。
由于中位线互相平分，所以它们会将三角形重心的位置固定在三条中位线的交点F处。
这种平衡特性在工程和建筑中经常被运用到。
二、三角形的垂心垂心是指三角形内部的一个特殊点，它与三角形的三个顶点所形成的三条高线交于一点。
具体来说，对于任意一个三角形ABC，垂直于边BC的高线与边BC交于点D，垂直于边AC的高线与边AC交于点E，垂直于边AB的高线与边AB交于点F，则点H是三条高线的交点，也就是三角形ABC的垂心。
第6章05课题三角形的中位线-(新教案)2022春八年级下册初二数学(北师大版)陕西专版
二、核心素养目掌握严密的逻辑推理方法，提高分析和解决问题的能力。
2.培养学生的空间想象力：通过观察、操作和探究三角形中位线的形成与特点，增强学生对几何图形的空间想象力。
3.培养学生的数学建模能力：引导学生运用中位线知识解决实际问题，建立数学模型，提高学生将现实问题转化为数学问题的能力。
1.讨论主题：学生将围绕“三角形中位线在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
2.教学难点
-难点一：理解中位线定理的证明过程，特别是如何从几何图形中抽象出中位线性质，并理解其逻辑推理过程。
-举例：在证明中位线平行于第三边且等于第三边一半的过程中，学生可能难以理解为什么中位线会平分第三边，需要通过实际的图形演示和逻辑推理来帮助学生理解。
-难点二：将中位线性质应用于解决复杂的几何问题，如涉及多个中位线的综合问题。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与三角形中位线相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如通过折叠和测量来验证中位线定理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
此外，实践活动中的实验操作部分，学生们表现得非常积极，但我也注意到有些小组在操作过程中并未严格按照要求进行。在以后的教学中，我需要强调实验操作的重要性，并加强对学生的引导和监督，确保实验结果的准确性。
三角形中位线
辅导教案课题: 三角形中位线教学目标1、理解三角形中位线的概念，掌握它的性质．2、能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算．3、经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力．4、能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论．理解在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法．重点难点掌握和运用三角形中位线的性质。
三角形中位线性质的证明（辅助线的添加方法）教学内容【知识归纳】三角形中的中位线【重要】（1）、三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
（2）、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。
提示：（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。
每一条中位线与第三边都有相应的位置关系和数量关系。
（2）三角形的中位线不仅可以证明直线平行，也可以证明线段的倍分关系。
（3）三角形中位线不同于三角形的中线，应从它们各自的定义加以区别。
（3）、三角形中位线定理的作用：位置关系：可以证明两条直线平行。
数量关系：可以证明线段的倍分关系。
（4）、常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。
结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。
结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。
结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。
结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。
１２【例题精讲】例1、 如图，点D 、E 、分别为△ABC 边AB 、AC 的中点，求证：DE ∥BC 且DE=21BC ． 分析：所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，联想已学过的知识，可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中，利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立，从而使问题得到解决，这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形．方法1：如图（1），延长DE 到F ，使EF=DE ，连接CF ，由△ADE ≌△CFE ，可得AD ∥FC ，且AD=FC ，因此有BD ∥FC ，BD=FC ，所以四边形BCFD 是平行四边形．所以DF ∥BC ，DF=BC ，因为DE=21DF ，所以DE ∥BC 且DE=21BC ．（也可以过点C 作CF ∥AB 交DE 的延长线于F 点，证明方法与上面大体相同）方法2：如图（2），延长DE 到F ，使EF=DE ，连接CF 、CD 和AF ，又AE=EC ，所以四边形ADCF 是平行四边形．所以AD ∥FC ，且AD=FC ．因为AD=BD ，所以BD ∥FC ，且BD=FC ．所以四边形ADCF 是平行四边形．所以DF ∥BC ，且DF=BC ，因为DE=21DF ，所以DE ∥BC 且DE=21BC ． 【思考】（1）想一想：①一个三角形的中位线共有几条？②三角形的中位线与中线有什么区３别？（2）三角形的中位线与第三边有怎样的关系？（答：（1）一个三角形的中位线共有三条；三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不同．中位线是中点与中点的连线；中线是顶点与对边中点的连线． （2）三角形的中位线与第三边的关系：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．） 三角形中位线的性质：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半． 〖拓展〗利用这一定理，你能证明出在设情境中分割出来的四个小三角形全等吗？例10（补充）已知：如图（1），在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是 AB 、BC 、CD 、DA 的中点．求证：四边形EFGH 是平行四边形．分析：因为已知点E 、F 、G 、H 分别是线段的中点，可以设法应用三角形中位线性质找到四边形EFGH 的边之间的关系．由于四边形的对角线可以把四边形分成两个三角形，所以添加辅助线，连接AC 或BD ，构造“三角形中位线”的基本图形后，此题便可得证．证明：连结AC （图（2）），△DAG 中， ∵ AH=HD ，CG=GD ，∴ HG ∥AC ，HG=21AC （三角形中位线性质）．同理EF ∥AC ，EF=21AC ．∴ HG ∥EF ，且HG=EF ． ∴ 四边形EFGH 是平行四边形．此题可得结论：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形．【巩固练习】1．连结三角形___________的线段叫做三角形的中位线． 2．三角形的中位线______于第三边，并且等于_______．3．一个三角形的中位线有_________条．4.如图△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则线段CD是△ABC的___________，线段DE是△ABC的_____________ 5、如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点（1）如果EF＝4cm，那么BC＝＿＿cm如果AB＝10cm，那么DF＝＿＿＿cm（2）中线AD与中位线EF的关系是＿＿＿6．如图1所示，EF是△ABC的中位线，若BC=8cm，则EF=_______cm．(1) (2) (3) (4)7．三角形的三边长分别是3cm，5cm，6cm，则连结三边中点所围成的三角形的周长是_________cm．8．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=•5，•BC=•12，•则连结两条直角边中点的线段长为_______．9．若三角形的三条中位线长分别为2cm，3cm，4cm，则原三角形的周长为（）A．4.5cm B．18cm C．9cm D．36cm10．如图2所示，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到AC，BC的中点D，E，并且测出DE的长为10m，则A，B间的距离为（）A．15m B．25m C．30m D．20m11．已知△ABC的周长为1，连结△ABC的三边中点构成第二个三角形，•再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2010个三角形的周长是（）４５A 、20081 B 、20091 C 、220081 D 、22009112．如图3所示，已知四边形ABCD ，R ，P 分别是DC ，BC 上的点，E ，F 分别是AP ，RP 的中点，当点P 在BC 上从点B 向点C 移动而点R 不动时， 那么下列结论成立的是（ ）A ．线段EF 的长逐渐增大B ．线段EF 的长逐渐减少C ．线段EF 的长不变D ．线段EF 的长不能确定13．如图4,在△ABC 中，E ，D ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，AB=6，AC=4，则四边形AEDF•的周长是（ ）A ．10B ．20C ．30D ．4014．如图所示，□ ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AE=EB ，求证：OE ∥BC ．15.如图，AD 是△ABC 的外角平分线，CD ⊥AD 于D ，E 是BC 的中点.求证：(1)DE ∥AB ; (2)()12DE AB AC =+.16.已知：如图，DE 是△ABC 的中位线，AF 是BC 边上的中线，求证：DE 与AF 互相平分17.已知矩形ABCD 中，AB =4cm ，AD =10cm ，点P 在边BC 上移动，点E 、F 、G 、H 分别是AB 、AP 、DP 、DC 的中点.求证：EF +GH =5cm ；FEDBCA６。
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课题三角形的中位线
【学习目标】
1．了解三角形中位线的概念，探索得出三角形中位线定理．
2．经历探索三角形中位线性质的过程，体会转化的数学思想．
【学习重点】
三角形中位线性质定理的推导及应用．
【学习难点】
三角形中位线性质定理的灵活运用．
行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．
行为提示：教会学生怎么交流，先对学，再群学，充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决．
知识链接：三角形中位线有三条，它是任意两条中点的连线段，不同于三角形的中线．
情景导入生成问题
旧知回顾：
1．你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗？
答：连接每两边的中点，如图．
2．你能通过剪拼的方式，将一个三角形拼成一个与其面积相等的平行四边形吗？
答：能．接上题图，将△ADE 绕点E 旋转180°.
自学互研 生成能力
知识模块 三角形的中位线
阅读教材P 150－151的内容，回答下列问题：
什么是三角形的中位线？三角形中位线定理内容是什么？如何证明？
答：1.连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
2．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
证明如下：已知如图，DE 是△ABC 的中位线，求证：DE ∥BC ，DE ＝12
BC .
证明：延长DE 至F ，使FE ＝DE ，连接CF .在△ADE 和△CFE 中，∵AE ＝CE ，∠1＝∠2，DE ＝FE ，∴△
ADE ≌△CFE ，∴∠A ＝∠ECF ，AD ＝CF ，∴CF ∥AB .∵BD ＝AD ，∴CF ＝BD ，∴四边形DBCF 是平行四边
形．∴DF ∥BC ，DF ＝BC ，∴DE ∥BC ，DE ＝12
BC . 范例1：如图1，▱ABCD 的周长为36，对角线AC 、BD 相交于点O .点E 是CD 的中点，BD ＝12，则△DOE 的周长为15．
(图1)
(图2)
(图3)
仿例1：如图2所示，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，DE ＝4 cm ，AC ＝10 cm ，则AB ＝6__cm ．
仿例2：如图3，在四边形ABCD 中，AD ＝BC .E 、F 、G 分别是AB 、CD 、AC 的中点，若∠DAC ＝36°，∠ACB ＝84°，则∠FEG 的度数为24°.
范例2：
我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、
G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH .
(1)这个中点四边形EFGH 的形状是平行四边形；
(2)请证明你的结论．
证明：连接AC .∵E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，∴EF ∥AC ，EF ＝12AC .同理HG ∥AC ，HG ＝12
AC .∴EF ∥HG ，EF ＝HG .∴四边形EFGH 是平行四边形．
学习笔记：三角形中位线平行第三边并且等于第三边的一半，利用平行关系可以解决角度问题，利用与第三边的关系可以求线段的长和周长．
行为提示：找出自己不明白的问题，先对学，再群学，对照答案，提出疑惑，小组内解决不了的问题，写在小黑板上，在小组展示的时候解决．
学习笔记：
教会学生整理反思．
仿例1：
如图，D、E分别为△ABC的AC、BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处．若∠CDE＝48°，则∠APD等于(B)
A．42°B．48°C．52°D．58°
仿例2：；如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，
CD＝3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是(D)
A．7 B．9 C．10 D．11
交流展示生成新知
【交流预展】
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．【展示提升】
知识模块三角形的中位线
检测反馈达成目标
【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．
课后反思查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________。