4非连续变形分析(DDA)方法讲稿

非连续变形分析(DDA)方法
1 DDA方法的提出
模拟介质不连续缝的历史可追溯到30年前的Goodman、Taylor和Brekke等教授发展的节理单元。

对岩土裂缝的数值计算发展很快，并己在岩石工程中得到广泛应用。

Cundall介绍的离散元法现在被广泛应
用于节理或块状岩石。

两者是用虚拟力来调整滑动和阻止块体重叠的一种方法，有时候可达到稳定。

20世纪80年代中期，在完全的运动理论和能量极小化的基础上，美籍华人石根华博士和Goodman提出并发展了一个计算块体系统的应变与位移的新方法——非连续变形分析方法(Discontinuous
Deformation Analysis)。

这种方法是以研究非连续块体系统不连续位移和变形为目的的一种数值方法，它将块体理论与岩土体的应力、应变分析相结合，在假定的位移模式下，由弹性理论位移变分法建立总体平衡方程式，通过施加或去掉块体界面刚性弹簧，使得块体单元界面之间不存在嵌入和张拉现象，应用最小势能原理使整个
系统能量最小化，从而保证在静力和动力荷载下包含离散和不连续块体的地质系统大位移破坏分析得到唯一解。

该方法具有离散元法的大多数特点，特别适合于非连续体的位移模拟。

非连续变形分析严格遵循经典力学规则，它可用来分析块体系统的力和位移的相互作用，对各块体允许有位移、变形和应变；
对整个块体系统，允许滑动和块体界面间张开或闭合。

如果知道每个块体的几何形状、荷载及材料特性常数，以及块体接触的摩擦角、粘着力和阻尼特征。

DDA即可计算应力、应变、滑动、块体接触力和块体位移。

DDA方法自提出以后，由于这一数值模拟方法所得结果非常接近实际，能够很
好地模拟块体间的滑动、张开和闭合，已日益广泛地应用于滑坡、隧洞坍塌等许多工程领域。

2 DDA法的基本原理
2.1 DDA方法中块体的位移模式
在DDA方法中，块体系统的大位移和
大变形是通过分步迭代计算的小位移和小变形累加来实现的。

由于每一步都是小位移，因此可以设每一块体在每一步过程中具有常应力和常应变，块体任一点(x,y)的位移(u ,v )可用6个位移不变量来表示，即(u 0,v 0,r 0,x ε,y ε,xy γ)，其中，(u 0,v 0)是块体内特殊点(如块体的重心)(x 0,y 0)的刚体位移；r 0是块体绕转动中心(x 0,y 0)的转动角(以rad 为
单位)；x ε，y ε，xy γ是块体的法向应变和切向
应变。

考虑块体平移(u 0,v 0)、转动(r 0)、正应变(x ε,y ε)和剪应变(xy γ)变形的情况下，取块
体系统的全一阶位移模式，块体内任一点的位移可写为
[]}{i i D T v u =⎭
⎬⎫⎩⎨⎧ (2-1) 其中i 表示系统中的第i 个块体，且有
[]⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------=2)(0)(1020)
()(01000000x x y y x x y y x x y y T i T
xy y x i r v u D },,,,,{}{000γεε= 由此则可推导出：
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------=⎥⎦⎤⎢⎣⎡xy y x r v u x x y y x x y y x x y y v u γεε0000000002)(0)(1020)
()(01 (2-2)
可以证明上述位移函数是块体变形的全一阶近似。

2.2 联立方程组的建立和求解
块体系统的总势能包括块体单元的应变能、初始应力的势能、点荷裁和线荷载作用下的势能、体荷载势能、锚杆连接的势能、惯性力势能和粘性力势能等。

由最小势能原理，在势能泛函取最小值时系统达到平衡。

块体系统的总势能可写成一般形式：
[][][][]}{2
1F D D K D T T -= (2-3) 非连续变形分析的平衡方程式由总势能最小化原理来建立，即由各种力和应力产生的总势能min = 来推导，则得到平衡方
程式为：
0/=∂∂ri d (2-4)
式中，i 代表第i 个块体；ri d 是块体i 的位
移变量；r ＝1、2、3、4、5、6，对应于上述6个位移不变量。

方程式0/0=∂∂u ，
0/0=∂∂v 分别代表作用于块体x 、y 方向上所有荷载和接触力平衡。

方程式0/0=∂∂r 代表作用于块体i 上
的所有荷载和接触力的力矩平衡。

方程式0/=∂∂x ε ，0/=∂∂y ε ，0/=∂∂xy γ 代表
沿x 、y 方向块体i 上的所有外力和应力的平衡。

式(2-4)的系数由下列微分求得：
02=∂∂∂si
ri d d (r,s=1,2,3,4,5,6) (2-5)
上式中，当i ＝j 时，则为块体i 的系数
元素，由块体i 的材料特性和相关块体的相互作用决定，构成6x6阶对称阵。

当j i ≠时，则为块体系统中块体i 的相关联元素，即由块体i 和块体j 之间的接触所决定，也构成6x 6阶阵。

把块体系统中所有自身的系数子阵和块体间的相关联子阵叠加，则构成总体平衡方程式为：
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n n nn n n n n n F F F D D D K K K K K K K K K K K K 2121321
2232221
1131211 (2-6)
简化为 ]
[}]{[F D K =
式中，每个系数元素ij K 都是6x6阶子矩阵；i D 、i F 是6xl 阶子矩阵，其中i D 代表块体i
的变形变量(i d 1,i d 2,i d 3,i d 4,i d 5,i d 6)；i F 是块体i
上分配给6个变形变量的荷载，它可由下式求出，
0)0(=∂∂-ri
d r=1,2,3,4,5,6
引人边界条件和块体系统的运动学条件，即可对上述方程求解，得到每一个块体的位移与变形状态。

2.3 DDA方法中的几个问题探讨
2.3.1 DDA进行块体系统数值模拟的步骤与有限元相同，DDA也属于位移法，最
后得到的平衡方程与有限元法的平衡方程在形式上完全相同，便于计算机的编程求解．用DDA进行块体系统数值模拟的步骤如下：
(1)块体边界的生成；
(2)以块体为单元形成单元刚度矩阵和载
荷列阵；
(3) 根据块体的约束条件和接触关系，建
立整个块体系统的总刚度矩阵和载荷列阵；
(4) 求解方程][}]{[F D K ，求得}{D ，即每个块体单元的位移分量；
(5) 根据位移分量求得块体系统的内力分布。

DDA 方法既可处理静力学问题也可处理动力学问题，而且能模拟块体系统发生的大变形、大位移力学行为。

3 DDA方法与其它数值方法的比较3.1 DDA法与有限单元法的比较
DDA是与有限单元方法相平行的一种数值分析方法。

它解算的网格与有限单元类型相似，但所有单元是被事先存在的不连续缝所包围的实际隔离块体，这是非连
续变形分析显著超过有限元分析的优点。

在有限单元法的情况下，未知数是所有节点的自由度之和；在DDA法的情况下，未知数是所有块体的自由度之和。

从理论观点看，DDA是有限单元法的广义化。

3.2 DDA与DEM的比较
DEM与DDA同属代表性的非连续体数值
解析法，因此，在理论上有加以比较以显示有关差异的必要。

事实上，DEM与DDA 所解算的均为下列块体运动方程式：
[][]}
K
A
M=
+(3-1)
D
{
}
{
}
{F
式中：[M]为质量矩阵，[]K面为刚性矩阵，}
{D为位移向量，[]F为{A为加速度向量，}
力向量。

DEM与DDA二者之间最大的不同在
于DEM在求解的过程中，无需构筑总体方程组，直接求解，属数值解析上的显式解法。

DDA则需通过形成总体方程组来求解，数值计算上属隐式解法，因此，与有限单元法一样保证具有唯一解，解易收敛，进行计算时可代入较大的时间步长，并且各参数具有较明显的物理意义，适用于岩
体边坡破坏的大变形分析。