2019精品二章变换及离散时间系统分析数学
离散时间系统与z变换简介
离散时间系统与z变换简介离散时间系统是一种在时间轴上以离散方式运行的系统。
在这种系统中，信号的取样是在特定的时间间隔内进行的，而不是连续地采样。
离散时间系统可以用于模拟实际世界中的许多系统，如数字信号处理、数字滤波器和控制系统等。
离散时间系统的数学表达通常使用z变换。
z变换是一种将离散时间信号转换为复平面上的函数的变换。
它与连续时间系统中的拉普拉斯变换类似，但在z变换中，时间是用离散的步长表示的。
z变换将离散时间系统中的差分方程转换为复平面上的代数表达式，从而方便了对系统的分析和设计。
在离散时间系统中，信号和系统的运算通常使用差分方程进行描述。
差分方程是一种递推关系，它将当前时间步的输入和输出与其之前的时间步的输入和输出之间建立起关联。
z变换提供了一种将这些差分方程转换为代数方程的方法，从而可以更方便地分析系统的特性。
使用z变换，可以计算离散时间系统的频率响应、稳定性和传输函数等重要性质。
频率响应描述了系统对不同频率输入的响应。
稳定性判断了系统是否能够产生有界的输出，而传输函数则表示系统输入和输出之间的关系。
总结来说，离散时间系统是一种以离散方式运行的系统，可以使用z变换进行数学建模和分析。
z变换将离散时间信号和系统转换为复平面上的函数，方便了对系统的频率响应、稳定性和传输函数等特性进行研究。
离散时间系统和z变换在数字信号处理和控制系统等领域具有广泛的应用。
离散时间系统是现代通信、信号处理、控制系统等领域中的核心概念之一。
离散时间系统可以通过对输入信号进行离散采样，以特定的时间间隔获取信号的采样值，从而实现在离散时间点上对信号进行处理和操作。
与连续时间系统不同，离散时间系统的输入和输出信号在时间上都是离散的。
离散时间系统的分析和设计常常采用差分方程描述。
差分方程是一种递推关系，它表达了当前时间步的输入和输出与之前时间步的输入和输出之间的关系。
在离散时间系统中，z变换是一种非常重要的数学工具。
z变换将离散时间信号转换为复平面上的函数，从而方便了对离散时间系统进行数学建模和分析。
Z变换及离散时间系统分析
Z变换及离散时间系统分析Z变换是一种用于描述离散时间系统的重要数学工具。
离散时间系统是指信号的取样点在时间上离散的系统。
而Z变换可以将离散时间信号从时域（时间域）转换到频域（复频域），并在频域进行分析和处理。
Z变换在数字信号处理、控制系统和通信系统等领域有着广泛的应用。
Z变换的定义为：\[ X(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} x(n)z^{-n} \]其中，\(x(n)\)表示离散时间信号，\(X(z)\)表示该信号的Z变换，\(z\)表示复变量。
通过对离散时间系统的输入信号进行Z变换后，可以得到系统的传递函数。
系统的传递函数是指系统的输出与输入之间的关系。
在离散时间系统中，传递函数可以表示为：\[ H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} \]其中，\(Y(z)\)表示系统的输出信号，\(X(z)\)表示系统的输入信号。
通过Z变换可以对离散时间系统进行频域分析。
频域分析可以用来研究离散时间系统的频率特性，比如系统的频率响应、幅频特性、相频特性等。
频域分析可以揭示系统在不同频率下对信号的处理情况，对于设计和优化离散时间系统非常有帮助。
Z变换具有一些重要的性质，可以方便地对离散时间系统进行分析和计算。
其中一些常用的性质包括：1. 线性性质：对于任意常数\(a\)和\(b\)，以及信号\(x(n)\)和\(y(n)\)，有\(Z(a \cdot x(n) + b \cdot y(n)) = a \cdot X(z) + b \cdot Y(z)\)。
这个性质说明Z变换对线性系统是可加性的。
2. 移位性质：如果将信号\(x(n)\)向左或向右移动\(k\)个单位，那么它的Z变换\(X(z)\)也将发生相应的移位，即\(Z(x(n-k)) = z^{-k} \cdot X(z)\)。
这个性质说明Z变换对系统的时移（时延）是敏感的。
3. 初值定理：如果离散时间信号\(x(n)\)在n=0处存在有限值，那么在Z变换中，它的初值可以通过计算\(X(z)\)在z=1处的值得到，即\(x(0) = \lim_{z \to 1}X(z)\)。
Z变换及离散时间系统分析
Z变换及离散时间系统分析Z变换是一种将离散时间信号转换为复平面上的函数的数学工具。
它在离散时间系统的分析和设计中起着重要的作用。
本文将介绍Z变换的定义、性质，以及如何利用Z变换分析离散时间系统。
1.Z变换的定义：Z变换可以将离散时间信号转换为复平面上的函数。
假设有一个离散时间信号x[n]，经过Z变换得到的函数为X(z)。
其定义为：X(z)=Z{x[n]}=∑(x[n]*z^(-n))其中，z是复变量，n为离散时间点。
2.Z变换的性质：Z变换具有许多重要的性质，其中一些性质与连续时间傅里叶变换类似，另一些则是离散时间系统的特有性质。
（1）线性性质：如果x1[n]和x2[n]是离散时间信号，a和b是常数，则有：Z{a*x1[n]+b*x2[n]}=a*X1(z)+b*X2(z)（2）平移性质：如果x[n]的Z变换是X(z)，那么x[n-m]的Z变换是z^(-m)*X(z)。
这意味着在离散时间域上的平移，在Z变换域上相当于乘以z的负幂次。
（3）初值定理和终值定理：如果x[n]的Z变换是X(z)，则有：x[0] = lim(z->∞) X(z)x[-1] = lim(z->0) X(z)（4）共轭对称性：如果x[n]的Z变换是X(z)，那么x*[n]（x[n]的共轭）的Z变换是X*(z)（X(z)的共轭）。
（5）频率抽样定理：如果x(t)是带限信号，那么它的频谱可以通过对x[n]进行离散化来获得，即X(jω)=X(e^(jωT))，其中T是采样间隔。
3.离散时间系统的分析：利用Z变换，可以对离散时间系统进行分析和设计。
通常，我们可以将离散时间系统看作是一个线性差分方程，通过对该差分方程进行Z变换，可以得到系统的传输函数H(z)。
离散时间系统的输入输出关系可以表示为：Y(z)=H(z)*X(z)其中，Y(z)为输出信号，X(z)为输入信号，H(z)为系统的传输函数。
通过分析传输函数H(z)，我们可以确定系统的稳定性、频率响应、相位特性等。
02-Z变换及离散时间系统分析-电脑阅读版
4
第二讲
z变换的定义
一个离散序列
x(n)的z变换(双边)定义为
n
X ( z ) ZT [ x(n )]
x(n) z n
其中z为复变量，以其实部为横坐标，虚部为纵坐标构成的
平面为 z 平面。常用ZT[x(n)]表示对序列x(n)的z变换。
单边
z 变换：
单边
z 变换只是对单边序列(n≥0部分)进行变换的z变换， 其定义为
r lim n an
n
r < 1 级数收敛 r > 1 级数发散
2016年9月21日星期三
11
上海交通大学 机械系统与振动国家重点实验室
第二讲
z变换的收敛域
4种典型序列的收敛域讨论
有限长序列 右边序列 左边序列 双边序列
0
Im[ z]
R
R Re[ z]
收敛域分别是以 R , R 为半径的两个圆组成的环状域，R , R 称收敛半径， R 可以大到无穷大， R 小到0
en0 u (n)
X ( z)
1 z 1 z 2 z e0 2 z e 0 z sinh 0 2 ; z 2 z cosh 0 1
z max( e0 , e 0 )
上海交通大学 机械系统与振动国家重点实验室
2016年9月21日星期三
27
第二讲
n
x ( n) z n
x(n ) IZT [ X ( z )]
实质：求X(z)幂级数展开式
z反变换的求解方法：
围线积分法（留数法）
部分分式法 长除法
2016年9月21日星期三
离散时间信号与系统的变换域分析资料
n
z1
2024/7/19
2.3 z变换的性质和定理
33
9．时域卷积定理
若
Zx(n) X (z)
Rx z Rx
Re s
X (z)z n1
z zi
1 d l1 (l 1)! dzl1
z zi l X (z)z n1 zzi
2024/7/19
2.2.2 部分分式展开法
20
在实际应用中，X (z) 一般是z的有理分式
M
X (z) B(z)
bi z i
i0
A(z)
N
1 ai z i
i 1
2.3 z变换的性质和定理
31
7．初值定理 对于因果序列 x(n) ，有
lim X (z) x(0)
z
2024/7/19
2.3 z变换的性质和定理
32
8．终值定理
如果 x(n)为因果序列，且X(z) 的极点处于单位圆 ( z 1 )以内(单位圆上最多在 z 1 处可有一阶极点)， 则
lim x(n) limz 1X (z)
2024/7/19
2.1.2 z变换的收敛域
9
2．右边序列
这类序列是指只在n n1时， x(n) 取值不全为零，
在 n时，n1 全x(n为) 0，其z变换为
1
X (z) x(n)z n x(n)z n x(n)z n
nn1
nn1
n0
上式右边的第一项为有限长序列的z变换，按
照上面的讨论，其收敛域为有限z平面。而第二
19
这样利用留数定理，逆z变换的求解就变成了留 数的计算问题，计算过程大为简化。下面讨论留 数的求解方法。
设 z i 是X (z)zn1的单重极点，则其留数为
2019-北京邮电大学《数字信号处理》门爱东-dsp02-离散时间系统和离散信号的变换-PPT文档资料-文档资料
北 京
过取样（Oversampling）
邮 电 大
过取样就是用远高于奈奎斯特频率的频率去采样，K×fs/2 好处：
学
简化了抗混叠滤波器设计；
信 息 与
过采样、噪声成形（Noise Shaping） 、数字滤波和抽取（丢点 Decimator）是 ADC 降低噪声，并产生高分辨率输出的重要方法。
11
2. 1.1 取样和取样定理：频域分析
北
京 邮 电 大
p (t)1ejn st T n
且 ej st 2( s)
学
信
息 与 通 信
P()2Tn (ns)
其中
2 s T
工 程 学 院
X ˆa()21Xa()P()T 1Xa()n (ns)
北
京 邮
取样函数定义为:
电 大 学 信 息
p(t)1com b(t)(tnT)
T
T n ------ T ：取样间隔
与 通 信
则：
xˆa(t) xa(t)p(t) xa(t)(t nT)
工
n
程
学 院
xa(nT)(t nT)
多
n
媒
体 中 心 门 爱
若 xa(t) 是一带限函数
邮 电 大 学 信 息 与
Xa()
Xa(),
0,
s
2
s
2
通 信
只要取样频率足够高，当满足以下条件时
工 程 学 院
s
max 2
---------（奈奎斯特定理）
多
媒 体 中 心
z变换和离散时间系统z域分析-基本要求和知识要点
z 变换、离散时间系统的z 域分析一、基 本 要 求通过本章的学习，学生应该理解z 变换的定义、收敛域（ROC ）的概念；掌握z 变换的性质，z 变换及逆z 变换的计算方法，以及离散系统的z 域分析法。
深刻理解系统函数）（z H 及）（z H 与离散系统因果性、稳定性的关系，离散系统的频率响应）（jw e H 。
能绘制系统的幅频响应、相频响应曲线。
二、知 识 要 点 1、z 变换（1） Z 变换定义(),z X ()[()]()z nn n x n z z x n x n z ξ∞--∞∞-=⎧⎪⎪==⎨⎪⎪⎩∑∑双边变换，单边变换若()()()x n x n u n =，则()x n 的单边z 变换()x n =的双边z 变换（2）z 变换的收敛域①一般地，双边序列()x n 的X ()z ，其收敛域为z 平面上以原点为中心的圆环内部，即12R R x x z <<；②有限长序列()x n 的X ()z ，其收敛域为整数个z 平面，即0z <<∞，也包括0z =或z =∞；③右边序列()x n 的X ()z ，其收敛域为某圆的外部，即1R x z <<∞，也可能包括z =∞；④左边序列()x n 的X ()z ，其收敛域为某圆的内部，即20R x z <<，可能包括0z =； （3）典型序列的z 变换[()]1n ξδ=， 0z ≤≤∞[()]1z u n z ξ=-， 1z > 2[()](1)zn u n z ξ=-， 1z >[()]u z a u n z aξ=-， z a >00[()]njw jw z eu n z eξ=-， 01jw z e >=（4）逆z 变换①围线积分法（留数法）1()R e s [X (z )z ]mn z z mx n -==∑式中R e s 表示极点的留数，m z 为1X (z)z n -的极点。
第二章.Z变换及离散时间系统分析.
4・ 4 ••・■ ■耳••••<■• •■/・■•i・・•・■••• »eeee i•r* «w«4i ・・.•7卜・y4a-«•< •••£ ••«-*-斗-f p.・£,.・•)4、IIR系统的信号流图与结构4、IIR系统的信号流图与结构总的输出为y (n=((((x ( n * h ( n * h ( n * h 1 2 N 12 ( n x (n - 是子系统i H z -Z对应的单位抽样响应。
若N为奇数，则子系统的数目应为(N+1) /2,其中包含一个一阶子系统。
-入L1 - a 11- a 21 z -1 y (n B 10 z 系统的并R联实现将H ( z分解为各因式之和，如L L Ai B i 0 + B i1 z -1 Hi ( z = 刀+ 刀-1 -1 + a i 2 z -2 i =1 1 + 入i z i =1 1 + a i1 z 1 2 B 11 B L 2 ,0 - a L 2，总共可分为2(,2lz1-+ z -1L2 )个子系统，每个子系统有着相同的输入x ( n，而其输出yi ( n之和便是系统的总输出y ( n， L1 + L2 因此有y (n =龙? hi ( n * x ( n ??i =1 B L 2 ,1 IIR系统的并联结构实现4、IIR系统的信号流图与结构5、用Z变换求解差分方程由于并联结构的每个子系统都是独立的，不受其它子系统系数量化误差及乘法舍入误差的影响，因此，是所述三种结构中对误差最不敏感的结构形式。
FIR系统的H(z既可以直接实现也可以级联实现，但较少采用并联实现。
另外，还可以采用一些其它特殊结构来实现，如线性相位结构、频率抽样结构。
一个LSI系统用差分方程表示为y ( n =- 刀a ( k y ( n - k + 刀br(k =1 n=0 N M给定输入序列x(n及输出序列y ( n的初始条件，希望得到输出序列y ( n的闭合表达式，此即差分方程的求解问题。
第2章 离散时间信号与系统的变换域分析
bi z i
M
因此，X(z)可以展成以下部分分式形式
r Ak Ck n X ( z ) Bn z 1 1 zk z (1 zi z 1 ) k n 0 k 1 k 1 M N N r
其中，M≥N时，才存在Bn；Zk为X(z)的各单极点， Zi为X(z)的一个r阶极点。而系数Ak，Ck 分别为： A Re s[ X ( z ) ] z z zk k 1 d r k r x( z ) Ck r k [( z zi ) (r k )! dz z zz ,
X ( z)
0
n
0
n2 n
n
x ( n) z
n
n2
n
x ( n) z
x ( n) z
n 1
n2
n
14
第二项为有限长序列,其收敛域 0 z ; 第一项为z的正幂次级数，根据阿贝尔定理, 其收敛域为 0 z Rx ; R x 为最大收敛半径 .
i
k 1, 2r 29
分别求出各部分分式的z反变换（可查 P39 表2-1-1），然后相加即得X(z)的z反变换。
[例2-5]利用部分分式法，求X ( z) 1 (1 2 z 1 ) (1 0.5z 1 ) , z 2 的z反变换。 解：
1 z X ( z) 1 1 (1 2 z )(1 0.5 z ) ( z 2)( z 0.5) X ( z) z A1 A2 z ( z 2)( z 0.5) z 2 z 0.5
对采样信号 进行拉普拉斯变换
x a (t )
n
x (nT ) (t nT )
第2章-Z变换与离散系统的频域分析PPT课件
定理改求围线c以外的极点的留数之和，使问题简单化。
如果F(z)在Z平面上有N个极点，围线c内有个极点，
用z 1 k
表示，围线c外有 N
个极点，用z 2 k
2
表示，NN1N2
根据留数辅助定理下式成立
N1
N2
Res[F(z),z1k] Res[F(z),z2k]
-
13
第2章 Z变换与离散系统的频域分析
1. 围线积分法
已知序列大的Z变换和收敛域，求原序列的公式为
x(n )1 X (z)zn 1 dz 2jc
c (R x,R x)
式中，c是X(z)的收敛域中的一条包含原点的逆时针旋转 的封闭曲线，如下图所示。
-
14
第2章 Z变换与离散系统的频域分析
直接计算围线积分比较麻烦，下面介绍用留数定理求逆Z
分
0 Rx Re[z]
使Z变换存在的z 的取值域，称为X(z)的收敛域。收敛
域一般用环状域表示，即Rx-<|z|<Rx+， Rx-和Rx+分别称 为收敛域的最小收敛半径和最大收敛半径。上图所示的
阴影部分即为收敛半径。最小半径可以达到0，而最大
半径可以达到+∞。
-
2 返回
第2章 Z变换与离散系统的频域分析
X(z) x(n)zn
-
nn1
左边序列
n2
X(z) x(n)zn
n
双边序列
X(z) x(n)zn
3
n
第2章 Z变换与离散系统的频域分析
例2.1：设 x(n) anu(n) ，求它的Z变换，并确定收敛域。
解:
二章Z变换及离散时间系统分析
2019/5/27
33
2.7 转移函数
n
h(n)
n n
x(n)zn
n
2019/5/27
34
2.7 转移函数
M
M
(1 cr z1)
(z cr )
H (z) K
r 1 N
Kz( N M )
r 1 N
(1 dr z1)
统的零点和极点。
分析系统因果性
分析系统稳定性:一个LTI系统稳定的充要条件是其所有的极 点位于单位圆内
估计系统频率响应：几何分析法
数字滤波器设计的一般法则：阻止一个频率，在单位圆相应 频率处设置一个零点；突出一个频率，在单位圆内相应频率 处设置一个极点，且越接近单位圆，幅频响应的幅值越大。
2
2.0 预备内容——
• 连续信号与系统分析
时域:f(t)、微分方程 频域：拉普拉斯变换、傅立叶变换（FT）
• 离散信号与系统分析
时域:x(n)、差分方程 频域：Z变换、序列的傅立叶变换(DTFT)
2019/5/27
3
2.0 预备内容——
• 傅里叶变换
F j f (t)e j tdt
|z|>0
-αn u(-n-1)
1 1 - αz -1
|z|<|α|
n u(n)
z -1 (1 - z -1) 2
|z|>1
α z -1
2019/5/2n7 αn u(n)
(1 - αz -1) 2
|z|>|α|
14
2.4 Z变换性质
序列
几条重要性质
z变换
收敛域
x(n) h(n) ax(n)+bh(n) x(n-m) x*(n) x(-n) x(n)*h(n)
2离散时间系统与Z变换
按照离散时间的性能，可以分为线性、非线性、时变、时不变等类型。 我们所讨论的主要是“ 线性时不变”的离散时间系统。
e.g. : 理想时延系统: y[n] x[n n0 ] 逆系统 : h[n] hi [n] [n]
N 1 运动平均系统: y[n] x[n k ] M N 1 k M
LTI 系统的输入输出关系和线性卷积
定义： 系统单位取样响应 h(n) : 系统输入x(n) (n), 初始状态为零
h(n) T [ (n)]
任何序列可表示成如下形式： x[ n]
k
x[k ] [n k ]
k
——信号分解
y[ n] T {x[ n]} T { x[k ] [ n k ]}
离散时间系统性质
(a) 线性系统: T {ax1[n] bx2 [ n]} aT {x1[ n]} bT {x2 [n]} (b) 时不变系统: T {x[ n]} y[ n] T {x[ n d ]} y[ n d ] (c) 因果系统: y[n] 仅取决于 x[ k ], k n的值， 即, h[ n] 0, n 0 判别1：任意时刻的输出只决定于现在和过去时刻，而与将来时刻无关 则是因果系统，否则非因果系统 判别2： 如果对所有n n0都相等的任何两个输入序列 x1 (n) x2 (n)则y1 (n) y2 (n) 判别3： 系统的单位采样响应应满足：n 0 , h( n) 0 例如：y (n) y (n 1) x(n), y ( n) nx( n)：因果系统 y (n) x(n 1), y ( n) x( n 2 ) , y( n) x( n)：非因果系统 (d) 稳定系统: x[ n] y[ n] (e) LTI 系统(线性时不变系统) :满足(a)和 (b)的 系统。
信号与系统离散时间系统的变换域分析资料课件
频域分析的应用实例
滤波器设计
通过频域分析，可以设计具有特定频率特性的滤波器，用于提取 或抑制特定频率范围的信号。
信号调制与解调
在通信系统中，通过频域分析可以实现信号的调制与解调，实现 信号的传输与接收。
音频处理
在音频处理中，频域分析用于实现音频信号的压缩、去噪、增强 等处理。
04
离散的定分析
稳定性定义与分类
稳定性定义
如果离散时间系统的输出在时间趋于 无穷大时趋于0，则称该系统是稳定的。
分类
根据系统响应的收敛速度，可以分为 指数稳定、多项式稳定和超指数稳定 等。
稳定性判据与证明方法
判据
常见的稳定性判据包括劳斯判据、赫尔维茨判据、奈奎斯特 判据等。
证明方法
通过分析系统函数的极点和零点分布，利用判据进行稳定性 判断。
滤波器的分类
滤波器可以根据不同的标准进行分类，如按照处理信号的类型可以分为模拟滤波器和数字滤波器；按照通带和阻 带的特性可以分为低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波器等。
IIR滤波器设计方法
IIR滤波器的定义
IIR（无限冲激响应）滤波器是一种离散时间系统，其冲激响应无限长，且在有 限时间内非零。
离散时间信号的分类
确定性信号与随机信号、周期信号与 非周期信号等。
离散时间系统的定义与分类
离散时间系统
在离散时间下工作的系统，通常用差分方程描述。
离散时间系统的分类
线性时不变系统、线性时变系统、非线性系统等。
线性时不变系统的特性
叠加性、时移性、微分性等。
离散时间系统的基本特性
离散时间系统的动态特性
DTFT具有周期性和对称性，其周期等于采样间隔 的倒数。
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n
n
2019/8/24
9
2.1 Z变换定义
j
• Z变换与拉氏变换
X s L[xs (nTs )] xs (nTs )es tdt [ x(nTs ) (t nTs )]es tdt
n
x(nTs ) (t nTs ) es tdt
= y(n k)zn n0
zk y(n k )z(nk ) n0
zk y( j)z j jk
1
zk [ y( j)z j y( j)z j ]
j0
jk
1
zk [Y (z) 2019/8/24
y( j)z j ]
2019/8/24
33
2.7 转移函数
n
h(n)
n n
x(n)zn
n
2019/8/24
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2.7 转移函数
M
M
(1 cr z1)
(z cr )
H (z) K
r 1 N
Kz( N M )
r 1 N
(1 dr z1)
2
2.0 预备内容——
• 连续信号与系统分析
时域:f(t)、微分方程 频域：拉普拉斯变换、傅立叶变换（FT）
• 离散信号与系统分析
时域:x(n)、差分方程 频域：Z变换、序列的傅立叶变换(DTFT)
2019/8/24
3
2.0 预备内容——
• 傅里叶变换
F j f (t)e j tdt
jk
N
1
ak zk [Y (z) y( j)z j ] 0
k 0
jk
所以，零输入解为：
N
1
ak zk y( j)z j
Y (z) k0
jk N
ak zk
k 0
26
2.6 Z变换求解差分方程
• 全响应
N
1
M
ak zk [Y (z) y( j)z j ] bk X (z)zk
n
x(nTs )es nTs n
X (es Ts ) zes Ts X (z)
X (z) x(n)z n n
z esTs eσTs jTs eσTs e jTs re jw
r eσTs
2019/8/24
w ΩTs
2019/8/24
6
2.1 Z变换定义
• 以上的这种变换也称为双边 z 变换。 • 与此相应还有单边 z 变换，单边 z 变换只是对单边序
列（n>=0部分）进行变换的z变换，其定义为：
X(z) x(n)zn n0
• 单边z变换只在少数情况下与双边z变换有所区别，即 序列的起始条件不同，可以把单边z变换看成是双边z 变换的一种特例，即因果序列情况下的双边z变换。
第二章 Z变换及离散时间系统分析
Chapter 2 Z-Transform and Discrete Time Systems
Analysis
2019/8/24
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思考
• 本章z变换分析法，即离散信号与系统的 “频率域分析”，与前一章“时域分析” 相对。
• 思考：为什么要进行“频域分析”？
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r 0
N
M
Y (z) Y (z) a(k )zk X (z) b(r)zr
k 1
r 0
Y (z) 1
N k 1
a(k ) z k
X
M
(z)
r 0
b(r ) z r
M
b(r)zr
Y (z)
X (z)
r 0 N
1
a(k ) z k
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2.5 Z反变换
• 留数法 x(n)
res[ X ( z ) z n1 ] z zk
k
注意：
积分路径为收敛域内逆时针方向的闭合曲线
积分路径内部
的极点的留数
当n取不同的值，z=0处的极点的阶次不同
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2.5 Z反变换
已知：
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2.5 Z反变换
k 1
r 0
y(n) x(k)h(n k) x(n) * h(n) k
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2.7 转移函数
• 转移函数定义为系统单位抽样响应的Z变换，也是系 统输出、输入Z变换之比
N
M
y(n) a(k) y(n k) b(r)x(n r)
k 1
(z dr )
r 1
r 1
其中K为实数，用z=e jw代入，即系统的频率响应为：
M
M
(1 cr e jw )
(e jw cr )
H (e jw ) K
r 1 N
Ke j ( N M )w
r 1 N
(1 dr e jw )
(w jw dr )
例2：
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2.7 转移函数
• 线性时不变离散系统四种表示方法
频率响应
H (e j ) h(n)e jn n0
转移函数
（也称系统函数）
H (z) h(n)z n n0
差分方程 卷积关系
N
M
y(n) a(k) y(n k) b(r)x(n r)
Im[z]
r
0
rejw
Re[z]
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2.1 Z变换定义
• Z变换与傅里叶变换（DTFT）
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2.2 Z变换收敛域
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2.2 Z变换收敛域
• 两点说明
1. 同一个变换函数，收敛域不同，对应的序列是 不相同的。
2. 收敛域中无极点，收敛域总是以极点为界的。
常用的Z变换是一个有理函数，用两个多项式之
该变换存在的充分条件：
f t dt
傅里叶变换的局限性:
1) 工程中一些信号不满足绝对可积条件[如U(t)];
2) 有些信号不存在傅立叶变换如 e t ( 0)
3) 求反变换时,求 (-∞,∞)上的广义积分,很困难;
4) 只能求零状态响应,不能求零输入响应
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M
H (z) 1 b(r)z r r 1 M
y(n) b(r)x(n r) x(n) r 1 M
h(n) b(r) (n r) r 0
h(0) b(0),h(1) b(1),...,h(M ) b(M ),h(n) 0, n M
• IIR系统： h(n)为无限长，输入端包含输出对输入的反 馈，存在稳定性问题
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2.4 Z变换性质
例
(2)中结果不对
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2.5 Z反变换
定义及求解法
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2.5 Z反变换
• 长除法——幂级数展开
X(z) x(n)zn n0
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2.5 Z反变换
• 部分分式
|z|＞1/2
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X(z) H(z) aX(z)+bH(z) z-mX(z) X*(z*) X(1/z) X(z)H(z)
Rx-<|z|<Rx+ Rh-<|z|<Rh+ max[Rx-，Rh-] <|z|min[Rx+, Rh+] Rx-<|z|<Rx+ Rx-<|z|<Rx+ 1/Rx+<|z|<1/Rxmax[Rx-，Rh-] <|z|min[Rx+, Rh+]
H (z)
k 1
(2.1)
y(n) x(k)h(n k) x(n) * h(n) k
Y(z) X (z)H (z)
Y (z) H (z) X (z)
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2.7 转移函数
• FIR系统：h(n)为有限长，输入端不含输出对输入的反 馈，系统总是稳定的
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2.7 转移函数
• 零极点分析
由式2.1因式分解，得到：
M
M
(1- cm z-1)
(z cm )
H(z) K
m1 N
Kz(N M )
m1 N
(1- dk z-1)
(z dk )
k 1
k 1
使以上转移函数分子、分母多项式等于零的z值分别称为系
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2.0 预备内容——
• 拉普拉斯变换
j
引入衰减因子：
e t
使得：
lim f (t)e t 0
t
对 f (t)e t 求傅氏变换得到如下的拉氏变换 ：
F s f (t)es tdt
(s j)
可见，傅氏变换是复平面虚轴上的拉氏变换， 即拉氏变换的特例
k 0
jk
k 0
M
N
1
bk zk
ak zk y( j)z j
Y(z)
k 0 N
X (z) k0
jk N
ak zk
k0 零状态解
ak zk