2017直线的方程学案4.doc

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2017_18学年高中数学第二章参数方程三直线的参数方程教学案

三直线的参数方程[对应学生用书P27]1．直线的参数方程(1)过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)(2)由α为直线的倾斜角知α∈[0，π)时，sin α≥0. 2．直线参数方程中参数t 的几何意义参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0的距离． (1)当M 0M ―→与e (直线的单位方向向量)同向时，t 取正数． (2)当M 0M ―→与e 反向时，t 取负数，当M 与M 0重合时，t ＝0.[对应学生用书P27][例1] 已知直线l 的方程为3x －4y ＋1＝0，点P (1,1)在直线l 上，写出直线l 的参数方程，并求点P 到点M (5,4)的距离．[思路点拨] 由直线参数方程的概念，先求其斜率，进而由斜率求出倾斜角的正、余弦值，从而得到直线参数方程．[解] 由直线方程3x －4y ＋1＝0可知，直线的斜率为34，设直线的倾斜角为α，则tan α＝34，sin α＝35，cos α＝45.又点P (1,1)在直线l 上，所以直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45t ，y ＝1＋35t (t 为参数)．因为3×5－4×4＋1＝0，所以点M 在直线l 上．由1＋45t ＝5，得t ＝5，即点P 到点M 的距离为5.理解并掌握直线参数方程的转化，弄清参数t 的几何意义，即直线上动点M 到定点M 0的距离等于参数t 的绝对值是解决此类问题的关键．1．设直线l 过点A (2，－4)，倾斜角为5π6，则直线l 的参数方程为________________．解析：直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos5π6，y ＝－4＋t sin 5π6(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－32t ，y ＝－4＋12t (t 为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－32t ，y ＝－4＋12t (t 为参数)2．一直线过P 0(3,4)，倾斜角α＝π4，求此直线与直线3x ＋2y ＝6的交点M 与P 0之间的距离．解：设直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋22t ，y ＝4＋22t ，将它代入已知直线3x ＋2y －6＝0，得3(3＋22t )＋2(4＋22t )＝6. 解得t ＝－1125，∴|MP 0|＝|t |＝1125.[例2] 已知直线l 经过点P (1,1)，倾斜角α＝π6，(1)写出直线l 的参数方程．(2)设l 与圆x 2＋y 2＝4相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积．[思路点拨] (1)由直线参数方程的概念可直接写出方程；(2)充分利用参数几何意义求解．[解] (1)∵直线l 过点P (1,1)，倾斜角为π6，∴直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos π6，y ＝1＋t sin π6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t 为所求．(2)因为点A ，B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数为t 1和t 2，则点A ，B 的坐标分别为A (1＋32t 1,1＋12t 1)，B (1＋32t 2,1＋12t 2)，以直线l 的参数方程代入圆的方程x 2＋y 2＝4整理得到t 2＋(3＋1)t －2＝0，① 因为t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2. 所以|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝|－2|＝2.求解直线与圆或圆锥曲线有关的弦长时，不必求出交点坐标，根据直线参数方程中参数t 的几何意义即可求得结果，与常规方法相比较，较为简捷．3．直线l 通过P 0(－4,0)，倾斜角α＝π6，l 与圆x 2＋y 2＝7相交于A 、B 两点．(1)求弦长|AB |； (2)求A 、B 两点坐标．解：∵直线l 通过P 0(－4,0)，倾斜角α＝π6，∴可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋32t ，y ＝t 2.代入圆方程，得(－4＋32t )2＋(12t )2＝7. 整理得t 2－43t ＋9＝设A 、B 对应的参数分别t 1和t 2，由根与系数的关系得t 1＋t 2＝43，t 1t 2＝9 ∴|AB |＝|t 2－t 1|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝2 3.解得t 1＝33，t 2＝3，代入直线参数方程 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋32t ，y ＝12t ，得A 点坐标(12，332)，B 点坐标(－52，32)．4.如图所示，已知直线l 过点P (2,0)，斜率为43，直线l 和抛物线y2＝2x 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为M ，求：(1)P ，M 间的距离|PM |； (2)点M 的坐标．解：(1)由题意，知直线l 过点P (2,0)，斜率为43，设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝43，cos α＝35，sin α＝45，∴直线l 的参数方程的标准形式为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋35t ，y ＝45t(t 为参数)． *∵直线l 和抛物线相交，∴将直线l 的参数方程代入抛物线方程y 2＝2x 中，整理得8t 2－15t －50＝0，Δ＝152＋4×8×50＞0. 设这个二次方程的两个根为t 1，t 2，由根与系数的关系得t 1＋t 2＝158，t 1t 2＝－254.由M 为线段AB 的中点，根据t 的几何意义，得|PM | ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝1516.(2)因为中点M 所对应的参数为t M ＝1516，将此值代入直线l 的参数方程的标准形式(*)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋35×1516＝4116，y ＝45×1516＝34，即M ⎝⎛⎭⎪⎫4116，34.[对应学生用书P28]一、选择题1．直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t 2，y ＝2－32t ，M 0(－1,2)和M (x ，y )是该直线上的定点和动点，则t 的几何意义是( )A ．有向线段M 0M 的数量B ．有向线段MM 0的数量C ．|M 0M |D ．以上都不是解析：参数方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋－12－t ，y ＝2＋32－t答案：B2．曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t 2＋2，y ＝t 2－1(t 是参数)，则曲线是( )A ．线段B ．双曲线的一支C ．圆D ．射线解析：由y ＝t 2－1得y ＋1＝t 2，代入x ＝3t 2＋2，得x －3y －5＝0(x ≥2)．故选D. 答案：D3．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3t ，y ＝－1＋t(t 为参数)上对应t ＝0，t ＝1两点间的距离是( )A ．1 B.10 C ．10D ．2 2解析：因为题目所给方程不是参数方程的标准形式，参数t 不具有几何意义，故不能直接由1－0＝1来得距离，应将t ＝0，t ＝1分别代入方程得到两点坐标(2，－1)和(5,0)，由两点间距离公式来求出距离，即－2＋－1－2＝10.答案：B4．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)相切，那么直线倾斜角α为( )A.π6 B.π4 C.π3D.π6或5π6解析：直线化为y x＝tan α，即y ＝tan α·x ，圆方程化为(x －4)2＋y 2＝4， ∴由|4tan α|tan 2α＋1＝2⇒tan 2α＝13， ∴tan α＝±33，又α∈[0，π)，∴α＝π6或5π6. 答案：D 二、填空题5．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝－3－22t (t 为参数)上到点M (2，－3)的距离为2且在点M 下方的点的坐标是________．解析：把参数方程化成标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22－t ，y ＝－3＋22－t ，把－t 看作参数，所求的点在M (2，－3)的下方，所以取－t ＝－2，即t ＝2，所以所求点的坐标为(3，－4)．答案：(3，－4)6．若直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－35t ，y ＝45t(t 为参数)，则直线l 的斜率为______．解析：由参数方程可知，cos θ＝－35，sin θ＝45.(θ为倾斜角)．∴tan θ＝－43，即为直线斜率．答案：－437．已知直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)，l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s ，y ＝1－2s (s 为参数)，若l 1∥l 2，则k ＝____________；若l 1⊥l 2，则k ＝________.解析：将l 1，l 2的方程化为普通方程，得l 1：kx ＋2y －4－k ＝0，l 2：2x ＋y －1＝0， l 1∥l 2⇒k 2＝21≠4＋k1⇒k ＝4.l 1⊥l 2⇒(－2)·(－k2)＝－1⇒k ＝－1.答案：4 －1 三、解答题8．设直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋3t ，y ＝10－4t(t 为参数)．(1)求直线的普通方程；(2)将参数方程的一般形式化为参数方程的标准形式．解：(1)把t ＝x －53代入y 的表达式得y ＝10－x －3，化简得4x ＋3y －50＝0，所以直线的普通方程为4x ＋3y －50＝0. (2)把参数方程变形为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－35－5t ，y ＝10＋45－5t ，令t ′＝－5t ，即有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－35t ′，y ＝10＋45t ′(t ′为参数)为参数方程的标准形式．9．已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点，交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长度．解：因为直线l 的斜率为1，所以直线l 的倾斜角为π4.椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点为(3，0)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋22t ，y ＝22t (t 为参数)，代入椭圆方程x 24＋y 2＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋22t 24＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝1，整理，得5t 2＋26t －2＝0. 设方程的两实根分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－265，t 1·t 2＝－25，|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2652＋85＝85，所以弦AB 的长为85.10．已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l 经过定点P (3,5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |的值．解：(1)曲线C ：(x －1)2＋(y －2)2＝16，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝5＋32t (t 为参数)．(2)将直线l 的参数方程代入圆C 的方程可得t 2＋(2＋33)t －3＝0，设t 1，t 2是方程的两个根，则t 1t 2＝－3，所以|PA ||PB |＝|t 1||t 2|＝|t 1t 2|＝3.。

学案40 直线方程(文理)

直线的方程一、学习目标：理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.掌握直线方程的几种形式，了解斜截式与一次函数的关系.能判定两条直线的位置关系.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标,掌握点到直线的距离公式,会求两平行直线间的距离.二、知识梳理：1、数轴上的基本公式点A 的坐标为1x ，点B 的坐标为2x ，则AB=_________,d(A,B)=_________ .2、平面直角坐标系中的基本公式A (),,11y xB (),,22y x 则,d(A,B)=._____________. M(x,y)为AB 的终点，则x=______,y=_____.3、直线的斜率与倾斜角已知A (),,11y x B (),,22y x (),21x x ≠则K=________，当21x x =时，K 不存在.另外当倾斜角为α时，)90(tan 0≠=ααk 倾斜角范围：[)π,0 4、直线方程的几种形式.名称几何条件方程局限性点斜式两点式斜截式截距式一般式5、求直线方程的一般方法①直接法； ②待定系数法。

6、两直线的位置关系:直线0:1111=++C y B x A l ;0:2222=++C y B x A l ①21//l l ⇔___________； ②21l l ⊥⇔__________；③1l 与2l 相交⇔________________； ④1l 与2l 重合⇔_______________。

7、点()00,y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离公式______________________。

两平行直线0:11=++C By Ax l 和0:22=++C By Ax l 间的距离_____________。

8、对称问题:①中心对称____________________；②轴对称_______________________。

三、基础训练：1、数轴上A,B 两点的坐标分别为21,x x ,则下列式子中不一定正确的是 ( )A.|AB|=|21x x -|B.|BA|=12x x -C.AB=12x x -D.BA=21x x -2、点P(2,-1)关于点(3,4)的对称点是 ( )A.(1,5)B.(4,9)C.(5,3)D.(9,4)3、直线02=++m y x 和直线02=++n y x 的位置关系是 ( )A.垂直B.平行C.相交但不垂直D.不能确定,与n m ,的取值有关.4、点P(y x ,)在直线04=++y x 上,O 是原点,则|OP|的最小值是 ( ) A.10 B.22 C.6 D.2四、合作探究展示：例1、⑴已知直线:013=++y ax 与直线0)2(=+-+a y a x 平行,求a 的取值； ⑵已知直线:02=+-a y ax 与直线0)12(=++-a ay x a 互相垂直,求a 的取值。

直线的参数方程学案

三直线的参数方程[学习目标]1.掌握直线的参数方程.2.能够利用直线的参数方程解决有关问题. [知识链接]1.若直线l 的倾斜角α＝0，则直线l 的参数方程是什么？提示参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t ，y ＝y 0.(t 为参数).2.如何理解直线参数方程中参数的几何意义？提示过定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α，(t为参数)，其中t 表示直线l 上以定点M 0为起点，任意一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M →的长度，即|t |＝|M 0M →|.①当t ＞0时，M 0M →的方向向上；②当t ＜0时，M 0M →的方向向下；③当t ＝0时，点M 与点M 0重合. [预习导引] 直线的参数方程经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，其中参数t 的几何意义是：|t |是直线l 上任一点M (x ，y )到点 M 0(x 0，y 0)的距离，即|t |＝|M 0M →|.要点一直线参数方程的标准形式例1已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32ty ＝2＋12t ，(t 为参数).(1)求直线l 的倾斜角；(2)若点M (－33，0)在直线l 上，求t 并说明t 的几何意义.解 (1)由于直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋t cos π6，y ＝2＋t sin π6(t 为参数)表示过点M 0(－3，2)且斜率为tan π6的直线，故直线l 的倾斜角α＝π6.(2)由(1)知，直线l 的单位方向向量e ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos π6，sin π6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.∵M 0＝(－3，2)，M (－33，0)，∴M 0M →＝(－23，－2)＝－4⎝⎛⎭⎪⎫32，12＝－4e ， ∴点M 对应的参数t ＝－4，几何意义为|M 0M →|＝4，且M 0M →与e 方向相反(即点M 在直线l 上点M 0的左下方). 规律方法 1.一条直线可以由定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角α(0≤α＜π)唯一确定，直线上的动点M (x ，y )的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，这是直线参数方程的标准形式.2.直线参数方程的形式不同，参数t 的几何意义也不同，过定点M 0(x 0，y 0)，斜率为ba 的直线的参数方程是⎩⎨⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (a 、b 为常数，t 为参数).跟踪演练1 直线l 经过点M 0(1，5)，倾斜角为π3，且交直线x －y －2＝0于M 点，则|MM 0|＝________.解析由题意可得直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t(t 为参数)，代入直线方程x－y －2＝0，得1＋12t －⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋32t －2＝0，解得t ＝－6(3＋1).根据t 的几何意义可知|MM 0|＝6(3＋1).答案 6(3＋1)要点二利用直线的参数方程求曲线的弦长例2已知过点M (2，－1)的直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t2，y ＝－1＋t2(t 为参数)，与圆x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，求|AB |及|AM |·|BM |.解l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，y ＝－1＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2(t 为参数).令t ′＝t2，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22t ′，y ＝－1＋22t ′(t ′是参数). 其中t ′是点M (2，－1)到直线l 上的一点P (x ，y )的有向线段的数量，代入圆的方程x 2＋y 2＝4，化简得t ′2－32t ′＋1＝0.∵Δ＞0，可设t ′1，t ′2是方程的两根，由根与系数关系得t ′1＋t ′2＝32，t ′1t ′2＝1.由参数t ′的几何意义得|MA |＝|t ′1|，|MB |＝|t ′2|，∴|MA |·|MB |＝|t ′1·t ′2|＝1， |AB |＝|t ′1－t ′2|＝14.规律方法 1.在直线参数方程的标准形式下，直线上两点之间的距离可用|t 1－t 2|来求.本题易错的地方是：将题目所给参数方程直接代入圆的方程求解，忽视了参数t 的几何意义.2.根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论：(1)直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t 1，t 2，则弦长l ＝|t 1－t 2|； (2)定点M 0是弦M 1M 2的中点⇒t 1＋t 2＝0；(3)设弦M 1M 2中点为M ，则点M 对应的参数值t M ＝t 1＋t 22(由此可求|M 1M 2|及中点坐标).跟踪演练2 在极坐标系中，已知圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，半径r ＝1.(1)求圆的直角坐标方程；(2)若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋32t ，y ＝12t (t 为参数)与圆交于A ，B 两点，求弦AB 的长.解 (1)由已知得圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫332，32，半径为1，圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝1，即x 2＋y 2－33x －3y ＋8＝0，(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)得直线的直角坐标系方程x －3y ＋1＝0，圆心到直线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪332－332＋12＝12，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＋d 2＝1，解得|AB |＝ 3.要点三直线参数方程的综合应用例3 已知直线l 过定点P (3，2)且与x 轴和y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，求|P A |·|PB |的值为最小时的直线l 的方程.解设直线的倾斜角为α，则它的方程为⎩⎨⎧x ＝3＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数).由A ，B 是坐标轴上的点知y A ＝0，x B ＝0，∴0＝2＋t sin α，即|P A |＝|t |＝2sin α，0＝3＋t cos α，即|PB |＝|t |＝－3cos α，故|P A |·|PB |＝2sin α·⎝ ⎛⎭⎪⎫－3cos α＝－12sin 2α. ∵90°＜α＜180°，∴当2α＝270°，即α＝135°时， |P A |·|PB |有最小值.∴直线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝2＋22t(t 为参数)，化为普通方程为x ＋y －5＝0.规律方法利用直线的参数方程，可以求一些距离问题，特别是求直线上某一定点与曲线交点距离时使用参数的几何意义更为方便.跟踪演练3在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t(t 为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B .若点P 的坐标为(3，5)，求|P A |＋|PB |. 解 (1)由ρ＝25sin θ，得ρ2＝2 5 ρsin θ. ∴x 2＋y 2－25y ＝0，即x 2＋(y －5)2＝5.(2)法一直线l 的普通方程为y ＝－x ＋3＋5，与圆C ：x 2＋(y －5)2＝5联立，消去y ，得x 2－3x ＋2＝0，解之得⎩⎨⎧x ＝1y ＝2＋5或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1＋ 5.不妨设A (1，2＋5)，B (2，1＋5). 又点P 的坐标为(3，5)，故|P A |＋|PB |＝8＋2＝3 2.法二将l 的参数方程代入x 2＋(y －5)2＝5，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3－22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝5，即t 2－32t ＋4＝0，(*)由于Δ＝(32)2－4×4＝2＞0. 故可设t 1，t 2是(*)式的两个实根. ∴t 1＋t 2＝32，且t 1t 2＝4. ∴t 1＞0，t 2＞0.又直线l 过点P (3，5)， ∴由t 的几何意义，得|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝3 2.1.经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数).其中t 表示直线l 上以定点M 0为起点，任意一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M →的数量，可为正、为负，也可为零.2.在直线参数方程中，如果直线上的点M 1、M 2所对应的参数值分别为t 1和t 2，则线段M 1M 2的中点所对应的参数值为t 中＝12·(t 1＋t 2).1.直线⎩⎨⎧x ＝－2＋t cos 50°，y ＝3－t sin 40°(t 为参数)的倾斜角α等于( )A.40°B.50°C.－45°D.135°解析根据tan α＝－sin 40°cos 50°＝－1，因此倾斜角为135°.答案 D2.若⎩⎨⎧x ＝x 0－3λ，y ＝y 0＋4λ(λ为参数)与⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)表示同一条直线，则λ与t 的关系是( ) A.λ＝5t B.λ＝－5t C.t ＝5λD.t ＝－5λ 解析由x －x 0，得－3λ＝t cos α，由y －y 0，得4λ＝t sin α，消去α的三角函数，得25λ2＝t 2，得t ＝±5λ，借助于直线的斜率，可排除t ＝－5λ，所以t ＝5λ. 答案 C3.已知直线l 1：⎩⎨⎧x ＝1＋3t ，y ＝2－4t (t 为参数)与直线l 2：2x －4y ＝5相交于点B ，且点A (1，2)，则|AB |＝________.解析将⎩⎨⎧x ＝1＋3t ，y ＝2－4t 代入2x －4y ＝5，得t ＝12，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0.又A (1，2)，所以|AB |＝52. 答案524.求直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋613t ，y ＝3＋413t (t 为参数)与直线l 2：x ＋y －2＝0的交点到定点(4，3)的距离.解∵l 1的参数方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋313·2t ＝4＋313t ′，y ＝3＋213·2t ＝3＋213t ′(t ′为参数).把l 1的参数方程的标准形式代入x ＋y －2＝0中，得4＋313t ′＋3＋213t ′－2＝0. 解得t ′＝－13，∴|t ′|＝13.由|t ′|的几何意义为交点到点(4，3)的距离， ∴所求的距离为|t ′|＝13.一、基础达标1.直线⎩⎨⎧x ＝1＋t cos α，y ＝－2＋t sin α(α为参数，0≤a ＜π)必过点( )A.(1，－2)B.(－1，2)C.(－2，1)D.(2，－1)解析直线表示过点(1，－2)的直线. 答案 A2.下列可以作为直线2x －y ＋1＝0的参数方程的是( ) A.⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝3＋t(t 为参数) B.⎩⎨⎧x ＝1－t ，y ＝5－2t(t 为参数) C.⎩⎨⎧x ＝－t ，y ＝1－2t(t 为参数) D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋255t ，y ＝5＋55t (t 为参数)解析题目所给的直线的斜率为2，选项A 中直线斜率为1，选项D 中直线斜率为12，所以可排除选项A 、D.而选项B 中直线的普通方程为2x －y ＋3＝0，故选C. 答案 C3.极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎨⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋t (t 为参数)所表示的图形分别是( ) A.直线、直线 B.直线、圆 C.圆、圆D.圆、直线解析 ∵ρ＝cos θ，∴ρ2＝ρcos θ，即x 2＋y 2＝x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，∴ρ＝cos θ所表示的图形是圆.由⎩⎨⎧x ＝－1－ty ＝2＋t (t 为参数)消参得：x ＋y ＝1，表示直线. 答案 D4.直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝－33＋32t (t 为参数)和圆x 2＋y 2＝16交于A 、B 两点，则AB 的中点坐标为( ) A.(3，－3) B.(－3，3) C.(3，－3)D.(3，－3)解析将x ＝1＋t 2，y ＝－33＋32t 代入圆方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＋32t 2＝16，∴t 2－8t ＋12＝0，则t 1＝2，t 2＝6，因此AB 的中点M 对应参数t ＝t 1＋t 22＝4，∴x ＝1＋12×4＝3，y ＝－33＋32×4＝－3，故AB 中点M 的坐标为(3，－3). 答案 D5.在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________. 解析直线l ：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t －a 消去参数t 后得y ＝x －a .椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ消去参数φ后得x 29＋y 24＝1.又椭圆C 的右顶点为(3，0)，代入y ＝x －a 得a ＝3. 答案 36.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数，0≤θ≤π2)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝－22t (t 为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________.解析曲线C 1和C 2的直角坐标方程分别为x 2＋y 2＝5(0≤x ≤5，0≤y ≤5)①，x －y ＝1②联立①②解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1.∴C 1与C 2的交点坐标为(2，1). 答案 (2，1)7.化直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝－3＋ty ＝1＋3t ，(t 为参数)为普通方程，并求倾斜角，说明|t |的几何意义.解由⎩⎨⎧x ＝－3＋ty ＝1＋3t 消去参数t ，得直线l 的普通方程为3x －y ＋33＋1＝0.故斜率k ＝3＝tan α，由于0≤α<π，即α＝π3. 因此直线l 的倾斜角为π3.又⎩⎨⎧x ＋3＝t ，y －1＝3t .得(x ＋3)2＋(y －1)2＝4t 2， ∴|t |＝（x ＋3）2＋（y －1）22. 故|t |是t 对应点M 到定点M 0(－3，1)的向量M 0M →的模的一半.二、能力提升8.在平面直角坐标系xOy 中，若直线l 1：⎩⎨⎧x ＝2s ＋1，y ＝s (s 为参数)和直线l 2：⎩⎨⎧x ＝at ，y ＝2t －1(t 为参数)平行，则常数a 的值为________.解析由⎩⎨⎧x ＝2s ＋1，y ＝s消去参数s ，得x ＝2y ＋1. 由⎩⎨⎧x ＝at ，y ＝2t －1消去参数t ，得2x ＝ay ＋a . ∵l 1∥l 2，∴2a ＝12≠1a ，∴a ＝4.答案 49.若直线⎩⎨⎧x ＝1－2t y ＝2＋3t(t 为参数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝________. 解析将⎩⎨⎧x ＝1－2t y ＝2＋3t化为y ＝－32x ＋72，∴斜率k 1＝－32，显然k ＝0时，直线4x ＋ky ＝1与上述直线不垂直.∴k ≠0，从而直线4x ＋ky ＝1的斜率k 2＝－4k .依题意k 1k 2＝－1，即－4k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－1， ∴k ＝－6.答案－610.椭圆x 225＋y 216＝1上的点到圆x 2＋(y －6)2＝1上的点的距离的最大值是( )A.11B.74C.5 5D.9解析由平面几何知识，椭圆x 225＋y 216＝1上的点到圆x 2＋(y －6)2＝1上的点的距离最大值＝椭圆上的动点到圆心的最大距离＋圆的半径.如图，设圆x 2＋(y －6)2＝1圆心为O ′，P (5cos θ，4sin θ)是椭圆上的点，则|PO ′|＝（5cos θ）2＋（4sin θ－6）2＝25cos 2θ＋16sin 2θ－48sin θ＋36＝－9sin 2θ－48sin θ＋61＝－9⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ＋832＋125≤－9⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋832＋125＝10 (当sin θ＝－1时取等号).则所求距离最大值为11.答案 A11.在直角坐标系中，参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋32t ，y ＝12t(t 为参数)的直线l 被以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，极坐标方程为ρ＝2cos θ的曲线C 所截，求截得的弦长.解参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋32t ，y ＝12t (t 为参数)表示的直线l 是过点A (2，0)，倾斜角为30°，极坐标方程ρ＝2cos θ表示的曲线C 为圆x 2＋y 2－2x ＝0.此圆的圆心为(1，0)，半径为1，且圆C 也过点A (2，0)；设直线l 与圆C 的另一个交点为B ，在Rt △OAB 中，|AB |＝2cos 30°＝ 3.12.在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率.解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ).设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0，于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.|AB |＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2 ＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153.三、探究与创新13.已知曲线C 1的参数方程是⎩⎨⎧x ＝2cos φy ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3. (1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围.解 (1)由已知可得A ⎝⎛⎭⎪⎫2cos π3，2sin π3， B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π， D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2，即A (1，3)，B (－3，1)，C (－1，－3)，D (3，－1).(2)设P (2cos φ，3sin φ)，令S ＝|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2，则S ＝(2cos φ－1)2＋(3－3sin φ)2＋(－3－2cos φ)2＋(1－3sin φ)2＋(－1－2cos φ)2＋(－3－3sin φ)2＋(3－2cos φ)2＋(－1－3sin φ)2＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ.∵0≤sin 2φ≤1，∴S 的取值范围是[32，52].。

直线的点斜式方程学案

O
学习指导即时感悟
y P P0
x
பைடு நூலகம்
k , x0 , y0 之间的关系。
直线的点斜式方程探究 2、（1）过点 P ，斜率是 k 的直线 l 上的点，其坐标都满足方 0 ( x0 , y0 ) 程（1）吗？（2）坐标满足方程（1）的点都在经过 P0 ( x0 , y0 ) ，斜率为 k 的直线 l 上吗？
例 1、直线 l 经过点 P0 (2,3) ，且倾斜角 45 ，求直线 l 的点斜式方程，并画出直线 l 。
二、直线的斜截式方程探究 5、已知直线 l 的斜率为 k ，且与 y 轴的交点为 (0, b) ，求直线 l 的方程。
直线的斜截式方程探究 6、观察方程 y kx b ，它的形式具有什么特点？
探究 7、直线 y kx b 在 x 轴上的截距是什么？
探究 8、你如何从直线方程的角度认识一次函数 y kx b ？一次函数中 k 和 b 的几何意义是什么？你能说出一次函数 y 2 x 1,
y 3x,
y x 3 图象的特点吗？
3、已知过点 A(2, m) 和 B(m, 4) 的直线与直线 y 2 x 1 平行，则 m 的值为（） A、 0 B、 8 C、 2 D、 10
4、以 A(1，3)，B(-5，1)为端点的线段的垂直平分线方程是（） A、3x-y-8=0 B、3x+y+4=0 C、3x-y+6=0 D、3x+y+2=0
数学学案直线的点斜式方程
直线的点斜式方程
学习内容【学习目标】（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；（2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程；（3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系。【学习重点】直线的点斜式方程和斜截式方程【学习难点】直线的点斜式方程和斜截式方程的应用【回顾·预习】 1、直线的倾斜角和斜率 2、两直线平行和垂直满足的条件 3、在直线坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？【精讲点拨】一、直线的点斜式方程探究 1、直线 l 经过点 P ，且斜率为 k 。设 0 ( x0 , y0 ) 点 P( x, y) 是直线 l 上的任意一点，请建立 x, y 与

2013-2014学年高一下学期数学活动单学案：(24)课题直线的方程(3)

重点: 直线的一般式能表示所有的直线难点: 直线的一般式能表示所有的直线的理解过程:活动一、问题情境活动二、建构数学1、直线的一般式方程: Ax+By+C=0 (A 、B 不同时为0)2、直线．．的一般式方程与二元一次方程．．之间的对应关系3、直线方程的五种形式的相互转化活动三、数学应用例1、求直线l : 3x+5y －15=0的斜率以及它在x 轴、y 轴上的截距, 并作图。

练习: 由下列条件, 写出直线方程, 并化成一般式: (1)斜率是－21, 经过点A(8 , －2)； (2)经过点B(4 , 2) , 平行于x 轴； (3)经过点C(－21, 0), 平行于y 轴.例2、设直线l 的方程为x+my －2m+6=0 , 根据下列条件分别确定m 的值： (1)直线l 在x 轴上的截距是－3 ; (2)直线l 的斜率是1;(3)探究: 对于m ∈R 直线l 是否恒过定点, 如果是，求出定点坐标;如不过，说明理由。

例3、已知两点A(1 , 2) , B(3 , 0) 和直线l:kx－y－2＝0，如果直线l与线段AB相交, 求直线l 的斜率k的取值范围。

变式:直线l：kx－y－2k－2＝0活动四．回顾与反思高一数学作业（24）1、直线5x-2y-10=0在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距是b ，则a=____，b=____。

2、已知直线经过点A(6 , 4) , 斜率为－34, 此直线方程的点斜式为___________________ , 截距式为_______________________, 一般式为_______________________________。

3、经过点A(－2 , 7), B(1 , 1)的直线方程的一般式_________________________________ , 斜率k=___________，在y 轴上的截距b =_____________ 。

高一数学同步训练之17直线的方程学案

直线和方程知识梳理1.倾斜角、斜率2.直线方程5种表示形式3.直线平行和垂直的判定4.距离5.对称问题例题1.已知过两点A （-m.6）,B(1,3m)的直线的斜率是23，求m 的值 2.点A （2，-3），B （4，-3），C （5，2k ）在同一条直线上，求K 值 3.已知两点A （-3,4），B （3，-2），过点P （2，-1）的直线L 与直线AB 有公共点，求直线L 的斜率K 的取值范围4.方程（a-1）x-y+2a+1=0 (a ∈R)所表示的直线恒过定_________5.已知直线L ：5ax-5y-a+3=0 (1)求证：不论a 为何值时，直线L 总经过第一象限（2）为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围6.求经过点A (－5,2)且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程________________7.一条直线经过A （1,2），且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积是4，求这条直线的方程8.求经过两条直线2x-3y-3=0 和x+y+2=0的交点且与直线3x+2y-1=0平行的直线方程9.已知正方形的中心为直线2x-y+2=0和x+y+1=0的交点，正方形一边所在直线的方程为x+3y-5=0,求其他三边方程10.一条光线从点P （6,4）射出，与x 轴相交于点Q （2,0），经过x 轴反射，求入射光线和反射光线的直线方程11.已知点M （3,5），在直线L ：x-2y+2=0和y 轴上各找一点P 和Q ，使三角形MPQ 边长最小。

12.已知点A （a,6）到直线3x-4y=2的距离d 为下列各值时，求a 的值（1）d=4 (2)d>413.在直线x-y+4=0上找一点P ，使它到点M （-2，-4），N （4,6）的距离相等14.求与直线L ： 5x-12y+6=0 平行且到L 的距离为2的直线方程15.已知两点A(1，1 )、B(2，3 )和直线l ：3x －y = 0，在直线l 上求一点P ，使| PA |2 + | PB|2最小，并求出最小值。

直线的点斜式方程学案

3.2.1 直线的点斜式方程学案预习案（限时20分钟）学习目标：1、掌握直线的点斜式方程和直线的斜截式方程2、结合具体例子理解直线的方程的概念3、会根据点斜式方程判断两直线的位置关系学习重点：会根据点斜式方程判断两直线的位置关系学习指导：请根据任务提纲认真预习课本❖ 任务一：直线的点斜式方程（1）过定点()00,y x P ，斜率为k 的直线的点斜式方程___________________（2）说明：过定点()00,y x P ，倾斜角是090的直线方程没有点斜式，其方程为____________ ❖ 任务二：直线的斜截式方程（1）斜率为k ，且与y 轴的交点为()b ，0的直线方程的斜截式为_________________（2）一条直线与y 轴交点()b ，0的纵坐标叫做直线在y 轴上的______ ___，倾斜角是090的直线方程没有斜截式.经典例题考点一：求直线的点斜式方程：例1：求满足下列条件的直线方程：（1）过点()3,4P ，斜率3-=k （2）过点()4,3-P ，且与x 轴平行（3）过点()2,5-P ，且与y 轴平行（4）过点()()4,5,3,2--Q P 两点（5）过点()3,2P ，倾斜角为045 考点二：求直线的斜截式方程例2：（1）写出斜率为1-，在y 轴上的截距为2-的直线方程的斜截式；（2）过点()4-6，A ，斜率为34-的直线方程的斜截式；（3）已知直线方程为12+-=x y ，求直线的斜率，在y 轴上的截距，与y 轴交点的坐标.巩固练习1. 写出下列直线方程的点斜式方程：（1）经过点()13-，A ，斜率是2；（2）经过点()2,2-B ，倾斜角是030（2）经过点()3,0C ，倾斜角是00；（4）经过点()2,4--D ，倾斜角是01202. 填空题（1）已知直线的点斜式方程是12-=-x y ，那么此直线的斜率是_______，倾斜角是____（2）已知直线的点斜式方程是()132+=+x y ，那么此直线的斜率是___，倾斜角是____3. 写出下列直线的斜截式方程：（1）斜率是23，在y 轴上的截距是2-；（2）斜率是2-，在y 轴上的截距是44. 判断下列各对直线是否平行或垂直：（1）221:,321:21-=+=x y l x y l ；（2）x y l x y l 53:,35:21-==考点三：两条直线平行与垂直问题5.（1）当a 为何值时，直线a x y l 2:1+-= 与直线()22:22+-=x a y l 平行？（3）当a 为何值时，直线()312:3+-=x a y l 与直线34:4-=x y l 垂直？考点四：直线方程的应用6.是否存在过点()45--，的直线l ，使它与两坐标轴围成的三角形面积为57.直线l 过点()1,2M ，且分别交x 轴、y 轴的正半轴于点B A 、，点O 是坐标原点（1）当ABO ∆的面积最小时，求直线l 的方程；（2）当MB MA •最小时，求直线l 的方程.。

人教版必修2第三章直线的方程同步学案设计(无答案)

辅导教案学生姓名性别年级高二学科数学授课教师上课时间年月日第（）次课共（）次课课时：2课时教学课题人教版必修2第三章直线的方程同步教案2教学目标知识目标：掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系。

能力目标：具备较强的运算求解能力及应用意识。

情感态度价值观：享受数学学习教学重点与难点灵活运用直线的五种方程解题教学过程（一）直线的点斜式方程知识梳理1．直线的点斜式方程(1)定义：如下图所示，直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k，则把方程_______________叫做直线l的点斜式方程，简称点斜式．(2)说明：如下图所示，过定点P(x0，y0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为x－x0＝0，或__________.[注意] 一般地，如果一条直线上任一点的坐标(x，y)都满足一个方程，且满足该方程的每一个数对(x，y)所确定的点都在直线l上，我们就把这个方程称为直线l的方程．2．直线的斜截式方程(1)定义：如下图所示，直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，则方程__________叫做直线l的斜截式方程，简称斜截式．(2)说明：一条直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的______．倾斜角是______的直线没有斜截式方程．[注] 值得强调的是，截距是坐标，它可能是正数，也可能是负数，还可能是0，不能将其理解为“距离”而恒为非负数．[拓展]1.直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a称为此直线的横截距．并不是每条直线都有横截距和纵截距，如直线x＝1没有纵截距，直线y＝2没有横截距．2．直线的点斜式方程和斜截式方程的联系与区别剖析：直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)中，(x，y)是直线上任意一点的坐标，(x0，y0)是直线上的一个定点，k是直线的斜率；直线的斜截式方程y＝kx＋b中，(x，y)是直线上任意一点的坐标，k是直线的斜率，b 是直线在y轴上的截距，即过点(0，b)．联系：直线的点斜式方程和斜截式方程是直线方程的两种不同形式，都可以看成直线上任意一点(x，y)的横坐标x和纵坐标y之间的关系等式，即都表示直线．直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊情况．区别：直线的点斜式方程是用直线的斜率k和直线上一定点的坐标(x0，y0)来表示的，同一条直线的点斜式方程有无数个；直线的斜截式方程是用直线的斜率k和该直线在y轴上的截距b来表示的，同一条直线的斜截动式方程是唯一的．例题精讲【题型1、直线的点斜式方程】【例1】(1)一条直线经过点P1(－2,3)，斜率为2，则这条直线的方程为________．(2)经过点(2,1)且垂直于y轴的直线方程为________．(3)求经过点(2,5)，且倾斜角为45°的直线方程．【方法总结】求直线的点斜式方程的步骤：①确定定点坐标；②求出直线的斜率；③代入公式，写出方程．特别提醒：斜率不存在时，过点P(x0，y0)的直线与x轴垂直，直线上所有点的横坐标相等都为x0，故直线方程为x＝x0.【题型2、直线的斜截式方程】【例2】写出下列直线的斜截式方程：(1)斜率是3，在y轴上的截距是－3；(2)倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；(3)倾斜角是150°，在y轴上的截距是0.【方法总结】对直线的斜截式方程的透析：(1)斜截式是点斜式的一个特例，只要点斜式中的点在y轴上，就可以直接用斜截式表示；(2)斜截式方程与一次函数的关系当k≠0时，斜截式方程y＝kx＋b是一次函数的形式；而一次函数y＝kx＋b中，k是直线的斜率，常数b是直线在y轴上的截距，一次函数表示直线，但是有些直线的方程不一定能写成一次函数的形式．特别提醒：应用斜截式方程时，应注意斜率是否存在，当斜率不存在时，不能表示成斜截式方程．【题型3、利用平行与垂直的条件求参数的值】【例3】(1)当a为何值是，直线l1：y＝(a＋3)x－2a与直线l2：y＝(a2－a)x＋2平行？(2)当a为何值时，直线l2：y＝(2a－1)＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？【方法总结】两条直线平行和垂直的判定已知直线l1：y＝k1x＋b1与直线l2：y＝k2x＋b2，(1)若l1∥l2，则k1＝k2，此时两直线与y轴的交点不同，即b1≠b2；反之k1＝k2且b1≠b2时，l1∥l2，所以有l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2.(2)若l1⊥l2，则k1·k2＝－1；反之，k1·k2＝－1时，l1⊥l2.所以有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.特别提醒：若已知含参数的两条直线平行或垂直，求参数的值时，要注意讨论斜率是否存在，若是平行关系注意考虑b1≠b2这个条件．【巩固训练】1.你能写出下列直线的点斜式方程吗？没有点斜式方程的直线和斜率为0的直线如何表示？ (1)经过点A (－2,5)，斜率是3；(2)经过点B (2，－3)，倾斜角是135°； (3)经过点C (－1，－1)，与x 轴平行；(4)经过点D (1,1)，与x 轴垂直．2.写出满足下列条件的直线的方程．(1)斜率为5，在y 轴上截距为－1，________； (2)倾斜角30°，在y 轴上截距为3，________.3.(1)已知直线y ＝ax －2和y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直，则a ＝________. (2)经过点(1,1)，且与直线y ＝2x ＋7平行的直线的方程为________．4.已知直线l 1：y ＝x ＋12a ，l 2：y ＝(a 2－3)x ＋1，若l 1∥l 2，则a 的值为( )A ．4B ．2C ．－2D ．±2（二）直线的两点式方程知识梳理1．直线的两点式方程(1)定义：如图所示，直线l 经过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2，y 1≠y 2)，则方程y －y 1y 2－y 1＝__________叫做直线l 的两点式方程，简称两点式． (2)说明：与坐标轴________的直线没有两点式方程．[破疑点] 直线的两点式方程应用的前提条件是：x 1≠x 2，y 1≠y 2，即直线的斜率不存在及斜率为零时，没有两点式方程．当x 1＝x 2时，直线方程为x ＝x 1；当y 1＝y 2时，直线方程为y ＝y 1.2．直线的截距式方程(1)定义：如图所示，直线l 与两坐标轴的交点分别是P 1(a,0)，P 2(0，b )(其中a ≠0，b ≠0)，则方程为___________叫做直线l 的截距式方程，简称截距式．(2)说明：一条直线与x 轴的交点(a,0)的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距．与坐标轴垂直和过原点的直线均没有截距式．[破疑点] (1)截距式是两点式的特例，当已知直线上的两点分别是与两坐标轴的交点(原点除外)时，由两点式可得直线方程的形式为x a ＋yb＝1(ab ≠0)，即为截距式．用截距式可以很方便地画出直线． (2)直线方程的截距式在结构上的特点：直线方程的截距式为x a ＋y b＝1，x 项对应的分母是直线在x 轴上的截距，y 项对应的分母是直线在y 轴上的截距，中间以“＋”相连，等式的另一端是1，由方程可以直接读出直线在两轴上的截距，如：x 3－y 4＝1，x 3＋y4＝－1就不是直线的截距式方程．[拓展]求直线方程时方程形式的选择技巧一般地，已知一点的坐标，求过该点的直线方程时，通常选用点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率；已知直线的斜率，通常选用点斜式或斜截式方程，再由其他条件确定一个定点的坐标或在y 轴上的截距；已知直线在两坐标轴上的截距时，通常选用截距式方程；已知直线上两点时，通常选用两点式方程．不论选用哪种形式的方程，都要注意各自的限制条件，以免漏掉一些特殊情况下的直线． 3．中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ x 1＋x 22，y ＝ y 1＋y22.此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式．例题精讲【题型1、直线的两点式方程】【例1】已知A (－3,2)，B (5，－4)，C (0，－2)，在△ABC 中，(1)求BC 边所在的直线方程； (2)求BC 边上的中线所在直线的方程．【方法总结】对直线的两点式方程的理解： (1)方程也可写成y －y 2y 1－y 2＝x －x 2x 1－x 2，两者形式有异但实质相同； (2)当直线斜率不存在(x 1＝x 2)或斜率为零(y 1＝y 2)时，不能用两点式表示；(3)如果将直线两点式转化为：(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)，此时只要直线上两点不重合，都可以用它表示出来(即这个变形方程可以表示过任意已知两点的直线)．特别提醒：用直线的两点式表示方程时，一定要先确定直线的斜率存在且不为零，否则就需对直线的斜率进行探讨．【题型2、直线的截距式方程】【例2】直线l 过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线l 的方程【方法总结】(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可． (2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直． (3)对直线的截距式方程的理解：①截距式方程x a ＋yb＝1应用的前提是a ≠0且b ≠0，即直线过原点或与坐标垂直时不能用截距式方程； ②截距式方程的特点有两个，一是中间必须用“＋”号连接，二是等号右边为“1”；③截距式方程是两点式的一种特殊情况(两个点是直线与坐标轴的交点)，在求直线方程时合理地选择形式，会加快解题速度．【题型3、与截距有关的三角形面积问题】【例3】直线l 与两坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为2，两截距之差为3，求直线l 的方程．【方法总结】利用截距求面积：(1)截距式方程是两点式的一种特殊情况(两个点是直线与坐标轴的交点)，用它来画直线以及求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长时较方便．(2)从题意看，本题只告诉了截距之间的关系，因此解题时，设出了直线的截距式，由于不知截距的大小，因此，需要进行分类讨论．【巩固训练】1.求经过下列两点的直线方程：(1)A (2,5)，B (4,3)；(2)A (2,5)，B (5,5)；(3)A (2,5)，B (2,7)．2.已知直线过点P (2,3)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，求直线的方程．3.已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，若直线过定点A (－3,4)，求直线l 的方程．4.求过点A (3,4)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线是________．（三）直线方程的一般式知识梳理1．直线的一般式方程(1)定义：关于x ，y 的二元一次方程________________(其中A ，B 不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．(2)适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示． (3)系数的几何意义：①当B ≠0时，则－A B ＝k (斜率)，－C B＝b (y 轴上的截距)；②当B ＝0，A ≠0时，则－C A＝a (x 轴上的截距)，此时不存在斜率．(4)二元一次方程与直线的关系：二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标，这个方程的全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合就组成了一条直线．二元一次方程与平面直角坐标系中的直线是一一对应的．[破疑点] AB >0时，k <0，倾斜角α为钝角；AB <0时，k >0，倾斜角α为锐角； A ＝0时，k ＝0，倾斜角α＝0°； B ＝0时，k 不存在，倾斜角α＝90°. 2．直线方程的一般式与其他形式的互化一般式化斜截式的步骤： ①移项：By ＝－Ax －C ；②当B ≠0时，得斜截式：y ＝－A B x －C B. 一般式化截距式的步骤：①把常数项移到方程右边，得Ax ＋By ＝－C ； ②当C ≠0时，方程两边同除以－C ，得Ax －C ＋By－C ＝1；③再化为截距式：x －C A ＋y－C B＝1.3．直线方程五种形式的比较名称方程常数的几何意义适用条件点斜式一般情况 y －y 0＝k (x－x 0)(x 0，y 0)是直线上的一个定点，k 是斜率直线不垂直于x轴斜截式y ＝kx ＋bk 是斜率，b 是直线在y 轴上的截距直线不垂直于x 轴名称方程常数的几何意义适用条件两点式一般情况 y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是直线上的两个定点直线不垂直于x 轴和y 轴截距式 x a ＋yb ＝1 a ，b 分别是直线在x 轴，y 轴上的两个非零截距直线不垂直于x 轴和y 轴，且不过原点一般式 Ax ＋By ＋C ＝0 A ，B 不同时为0 A ，B ，C 为系数任何情况特殊直线x ＝a (y 轴：x ＝0)垂直于x 轴斜率不存在且过点(a,0) y ＝b (x 轴：y ＝0) 垂直于y 轴且过点(0，b ) 斜率k ＝0例题精讲【题型1、直线的一般式方程】【例1】设直线l 的方程为2x ＋(k －3)y －2k ＋6＝0(k ≠3)，根据下列条件分别确定k 的值：(1)直线l 的斜率为－1；(2)直线l 的在轴、y 轴上的截距之和等于0.【方法总结】直线的一般式转化为其他形式的步骤(1)一般式化为斜截式的步骤．①移项得By ＝－Ax －C ；②当B ≠0时，得斜截式：y ＝－A B x －C B .(2)一般式化为截距式的步骤．①把常数项移到方程右边，得Ax ＋By ＝－C ；②当C ≠0时，方程两边同除以－C ，得Ax －C ＋By －C＝1； ③化为截距式：x －C A ＋y －C B＝1.由于直线方程的斜截式和截距式是惟一的，而两点式和点斜式不惟一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式．【题型2、平行与垂直的应用】【例2】(1)①过点A (2,2)且与直线3x ＋4y －20＝0平行的直线方程为________．②过点A (2,2)且与直线3x ＋4y －20＝0垂直的直线方程为________．(2)已知两直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当m 为何值时，直线l 1∥l 2？l 1⊥l 2?【方法总结】 1.利用一般式解决平行与垂直问题策略已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.(1)l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)．(2)l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.2．过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法(1)由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程．(2)可利用如下待定系数法：与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋C 1＝0，再由直线所过的点确定C 1；与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋C 2＝0，再由直线所过的点确定C 2.【巩固训练】1.根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．(1)斜率是3，且经过点A (5,3)；(2)斜率为4，在y 轴上的截距为－2；(3)经过A (－1,5)，B (2，－1)两点；(4)在x 轴，y 轴上的截距分别是－3，－1.2.当a 为何值时，直线ax ＋3y ＋1＝0与直线(a －1)x ＋(a ＋13)y －1＝0垂直？【课后作业1】1．过点P (－2,0)，斜率为3的直线的方程是( )A ．y ＝3x －2B ．y ＝3x ＋2C ．y ＝3(x －2)D ．y ＝3(x ＋2)2．经过点(－3,2)，倾斜角为60°的直线方程是( )A ．y ＋2＝3(x －3)B ．y －2＝33(x ＋3) C ．y －2＝3(x ＋3) D ．y ＋2＝33(x －3) 3．下面四个直线方程中，可以看作是直线的斜截式方程的是( )A ．x ＝3B ．y ＝－5C ．2y ＝xD ．x ＝4y －14．过点(2,1)，平行于y 轴的直线方程为________．平行于x 的轴的直线方程为________．5．已知两直线y ＝ax ＋1和y －3＝(2＋a )(x －π)互相垂直，则a ＝________.6．直线l 经过点P (3,4)，它的倾斜角是直线y ＝3x ＋3的倾斜角的2倍，求直线l 的点斜式方程．【课后作业2】1．下列语句中正确的是( )A ．经过定点P (x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示B ．经过任意两个不同点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示C ．不经过原点的直线都可以用方程x a ＋y b＝1表示D ．经过定点的直线都可以用y ＝kx ＋b 表示2．过A (1,1)、B (0，－1)两点的直线方程是( ) A ．y ＋11＋1＝x 1 B ．y －1－1＝x －1－1 C ．y －10－1＝x －1－1－1D ．y ＝x 3．在x 轴、y 轴上的截距分别是2、－3的直线方程为( )A ．x 2＋y 3＝1B ．x 2－y 3＝1C ．y 3－x 2＝1D ．x 2＋y 3＝0 4．如图所示，直线l 的截距式方程是x a ＋y b＝1，则有( )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <05．过点P (1,2)且在两坐标轴上截距和为0的直线方程为________．6．已知直线与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点且线段AB 的中点为P (4,1)，求直线l 的方程．【课后作业3】1．直线3x －2y －4＝0的截距式方程为( )A ．4x 3－y 2＝1B ．x 13－y 12＝1C ．3x 4－y －2＝1D ．y 43＋y －2＝1 2．若ac <0，bc <0，则直线ax ＋by ＋c ＝0的图形只能是( )3．直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，若l过原点和第二、四象限，则( )A．C＝0，B>0 B．C＝0，B>0，A>0 C．C＝0，AB<0 D．C＝0，AB>0 4．直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是( )A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0 C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0 5.直线2x－4y－8＝0的斜率k＝________，在y轴上的截距b＝________.6．若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直线，(1)求实数m的范围．(2)若该直线的斜率k＝1，求实数m的值．。

[实用参考]直线方程的五种形式.doc

优质参考文档学案2：直线方程的五种形式班级姓名1、直线斜率： k= = 。

（倾斜角α的范围000180α≤<.） 2.直线倾斜角与斜率的关系： 3.直线方程的五种形式及适用的条件：4．(1) 两点),(),,(222111y x P y x P 之间的距离公式是：=||21P P .（2）点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离：d= (3)两平行线1:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=间的距离d= 例1：下列命题正确的有 :①每条直线都有唯一一个倾斜角与之对应,也有唯一一个斜率与之对应;②在G 轴、P 轴上截距相等的直线可表示为1x y a a+=③过两点A(1,2),B(m,-5)的直线可以用两点式表示; ④过点(1,1),且斜率为1的直线的方程为111y x -=-; ⑤直线AG+BP+C=0(A,B 不同时为零),当A,B,C 中有一个为零时,这个方程不能化为截距式.⑥过两点(G 1，P 1)，(G 2，P 2)的所有直线可表示为112121()()()()y y x x y y x x --=-- 例2：(1) 已知直线的点斜式方程为)1(32+=+x y ，则该直线的斜率为______，纵截距为_____（2）已知直线l 经过两点12(1,2),(3,6)P P ,则直线l 的方程为（3）一条光线经过点)3,2(-P 射到x 轴上，反射后经过点)1,1(Q ，求反射光线所在的直线的方程.例3：求经过点R(-2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程；变式3：如图，过点P （2，1）作直线l ，分别为交G 、P 轴正半轴于A 、B 两点。

（1）当⊿AOB 的面积最小时，求直线l 的方程；（2）当｜PA ｜·｜PB ｜取最小值时，求直线l 的方程。

例4：已知直线0355:=+--a y ax l .（1）求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限；（2）为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围. 巩固练习1.下列四个命题中的真命题是（）A.经过定点),(000y x P 的直线都可以用方程)(00x x k y y -=-表示；B.过两个不同点),(),,(222111y x P y x P 的直线都可以用方程121121()()()()y y x x x x y y --=--表示C.不经过原点的直线都可以用方程1=+by ax 表示；D.经过定点的直线都可以用b kx y +=表示 2．若)1,2(--A ,)3,(a B ,且|AB|=5,则a=( ) A.1B.5-C. 1或5-D.1-或53.已知集合M={(G,P )∣G + P =2}，N={(G,P )∣G –P =4},那么集合M∩N 为( )A. {3,–1}B. 3,–1C. (3,–1)D.{(3,–1)} 4．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（）A ．045,1 B．0135,1-C ．090，不存在D ．0180，不存在5.直线),0,0(0:,0:21b a b a a y b x l b y a x l ≠≠≠=+-=+-在同一坐标系中的图形大致（）.60<c =通过（A C ．第一、三、四象限 D ．第二、三、四象限7.直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=t y t x 521511（t 为参数）的斜率是( ) A) －2B) －21 C) －2 D) －21 8.直线3G －2P=4的截距式方程为( ) A 、43x －2y =1 B 、12131=+yx C 、 43x －2-y =1 D 、1234=-+yx9．若方程014)()32(22=+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足（）A ．0≠mB ．23-≠mC ．1≠mD ．1≠m ，23-≠m ，0≠m10．点(1,1)P - 到直线10x y -+=的距离是________________.11.求两平行线0832:1=-+y x l ，01032:2=-+y x l 间的距离为A1212. 直线方程为02)1(=-+++a y x a ，直线l 在两轴上的截距相等，则a 的值；13.三角形的三个顶点(4,0)(0,2)A B C -、、（3，-3），则AB 边上中线所在直线的方程14.直线l 通过两直线02457=-+y x 和0-=y x 的交点，且点()1,5到l 的距离为10，则l 的方程为__________. 15.求适合下列条件的直线方程：（1）经过点P （3，2），且在两坐标轴上的截距相等；（2）经过点A （-1，-3），且倾斜角等于直线P= 3G 的倾斜角的2倍.16.已知直线l 过点（1,2），且与G ，P 轴正半轴分别交于点A 、B （1）求△AOB 面积为4时l 的方程；（2）求l 在两轴上截距之和为+3时l 的方程。

北师大版高中数学必修2：直线的方程学案

直线方程的点斜式第一课时[学习目标] 1.掌握直线的点斜式方程和直线的斜截式方程． 2.结合具体实例理解直线的方程和方程的直线概念及直线在y 轴上的截距的含义． 3.会根据斜截式方程判断两直线的位置关系.【主干自填】1．直线方程的点斜式和斜截式2．垂直于坐标轴的直线3．截距的概念(1)在y 轴上的截距：直线与y 轴的交点(0，b )的□03纵坐标． (2)在x 轴上的截距：直线与x 轴的交点(a,0)的□04横坐标．【即时小测】1．思考下列问题(1)若直线经过点P 0(x 0，y 0)，且斜率为k ，则该直线上任意一点的坐标满足什么关系？提示：设P (x ，y )是直线上除P 0外任意一点，那么y －y 0x －x 0＝k ，∴y －y 0＝k (x －x 0)，点P 0也满足该式，这就是直线的方程．(2)过点(2,1)且垂直于x 轴或y 轴的直线方程是怎样的？提示：x ＝2，y ＝1.(3)经过y 轴上一点(0，b )且斜率为k 的直线方程是什么？提示：设直线上除(0，b )外任一点坐标为(x ，y )，则y －bx＝k ，即y ＝kx ＋b .点(0，b )也满足该式，∴直线方程为y ＝kx ＋b .2．过点P (－2,0)，斜率为3的直线方程是( ) A ．y ＝3x －2 B ．y ＝3x ＋2 C ．y ＝3(x －2)D ．y ＝3(x ＋2)提示：D 由点斜式得y －0＝3(x ＋2)，即y ＝3(x ＋2)． 3．已知直线的方程是y ＋2＝－x －1，则( ) A ．直线经过点(－1,2)，斜率为－1 B ．直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C ．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D ．直线经过点(－2，－1)，斜率为1 提示：C ∵直线方程y ＋2＝－x －1，可化为y －(－2)＝－[x －(－1)]，故直线经过点(－1，－2)，斜率为－1.4．直线方程y ＝kx ＋b (k ＋b ＝0，k ≠0)表示的图形可能是( )提示：B 解法一：因为直线方程为y ＝kx ＋b ，且k ≠0，k ＋b ＝0，即k ＝－b ，所以令y ＝0，得x ＝－bk＝1，所以直线与x 轴的交点为(1,0)．只有选项B 中图形符合要求．解法二：已知k ＋b ＝0，所以k ＝－b ，代入直线方程，可得y ＝－bx ＋b ，即y ＝－b (x －1)．又k ≠0，所以b ≠0，所以直线必过点(1,0)．只有选项B 中图形符合要求．解法三：由直线方程为y ＝kx ＋b ，可得直线的斜率为k ，在y 轴上的截距为b .因为k ＋b ＝0，所以k ＝－b ，即直线的斜率与直线在y 轴上的截距互为相反数．选项A 中，k >0，b >0，则k ＋b >0，不符合要求；选项B 中，k >0，b <0，图形可能符合要求；选项C 中，k <0，b ＝0，则k ＋b <0，不符合要求；选项D 中，k <0，b <0，则k ＋b <0，不符合要求.例1 根据条件写出下列直线方程的点斜式．(1)经过点A(－1,4)，倾斜角为45°；(2)经过点B(4,2)，倾斜角为90°；(3)经过原点，倾斜角为60°；(4)经过点D(－1,1)，倾斜角为0°.[解](1)直线斜率为tan45°＝1，∴直线方程为y－4＝x＋1.(2)直线斜率不存在，直线平行于y轴，∴所求直线方程为x＝4.(3)直线斜率为tan60°＝3，∴所求直线的方程为y＝3x.(4)直线斜率为0，∴直线方程为y＝1.类题通法点斜式方程使用的条件是直线的斜率必须存在，因此解答本题要先判断直线的斜率是否存在.若存在，求出斜率，利用点斜式写出方程；若不存在，直接写出方程x＝x0.[变式训练1]根据下列条件写出直线方程的点斜式．(1)经过点(3,1)，倾斜角为60°；(2)斜率为32，与x轴交点的横坐标为－7.解(1)设直线的倾斜角为α，∵α＝60°，k＝tanα＝tan60°＝3，∴所求直线的点斜式方程为y－1＝3(x－3)．(2)由直线与x轴交点的横坐标为－7得直线过点(－7,0)，又斜率为32，由直线方程的点斜式得y－0＝32[x－(－7)]，即y＝32(x＋7).例2 (1)写出斜率为2，在y轴上截距是3的直线方程的斜截式．(2)已知直线l 的方程是2x ＋y －1＝0，求直线的斜率k ，在y 轴上的截距b ，以及与y 轴交点P 的坐标．[解] (1)∵直线的斜率为2，在y 轴上截距是3， ∴直线方程的斜截式为y ＝2x ＋3.(2)把直线l 的方程2x ＋y －1＝0化为斜截式为y ＝－2x ＋1， ∴k ＝－2，b ＝1，点P 的坐标为(0,1)．类题通法斜截式方程书写注意的问题(1)已知直线斜率或直线与y 轴交点坐标时，常用斜截式写出直线方程．(2)利用斜截式求直线方程时，要先判断直线斜率是否存在．当直线斜率不存在时，直线无法用斜截式方程表示，在y 轴上也没有截距．[变式训练2] 写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率是3，在y 轴上的截距是－3； (2)倾斜角是60°，在y 轴上的截距是5； (3)倾斜角是30°，在y 轴上的截距是0.解 (1)由直线方程的斜截式可得，所求直线方程为y ＝3x －3.(2)由题意可知，直线的斜率k ＝tan60°＝3，所求直线的方程为y ＝3x ＋5. (3)由题意可知所求直线的斜率k ＝tan30°＝33，由直线方程的斜截式可知，直线方程为y ＝33x .例3 求证：不论m 为何值时，直线l ：y ＝(m －1)x ＋2m ＋1总过第二象限． [证明] 证法一：直线l 的方程可化为 y －3＝(m －1)(x ＋2)，∴直线l 过定点(－2,3)，由于点(－2,3)在第二象限，故直线l 总过第二象限．证法二：直线l 的方程可化为(x ＋2)m －(x ＋y －1)＝0.令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，x ＋y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3.∴无论m 取何值，直线l 总经过点(－2,3)．∵点(－2,3)在第二象限，∴直线l 总过第二象限．类题通法直线的斜截式方程的书写方法直线的斜截式方程y ＝kx ＋b 不仅形式简单，而且特点明显，k 是直线的斜率，b 是直线在y 轴上的截距，只要确定了k 和b 的值，直线的图像就一目了然．因此，在解决直线的图像问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k ，b 的几何意义进行判断．[变式训练3] 已知直线y ＝(3－2k )x －6不经过第一象限，求k 的取值范围．解由题意知，需满足它在y 轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则⎩⎪⎨⎪⎧－6≤0，3－2k ≤0，得k ≥32.所以，k 的取值范围是{|k k ≥32.易错点⊳忽略方程的适用条件致错[典例] 已知两点A (－1,2)，B (m,3)，求直线AB 的方程． [错解] 由A (－1,2)，B (m,3)，得直线AB 的斜率k ＝1m ＋1，利用点斜式，得直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)． [错因分析] 没有讨论直线AB 的斜率是否存在(m 的取值)，而直接认为直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)． [正解] 当m ＝－1时，由A (－1,2)，B (－1,3)，得直线AB 的方程为x ＝－1；当m ≠－1时，由A (－1,2)，B (m,3)，得直线AB 的斜率k ＝1m ＋1，利用点斜式，得直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)．课堂小结1.建立点斜式方程的依据是：直线上任一点与这条直线上一个定点的连线的斜率相同，故有y －y 1x －x 1＝k ，此式是不含点P 1(x 1，y 1)的两条反向射线的方程，必须化为y －y 1＝k (x －x 1)才是整条直线的方程．当直线的斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x＝x1.2.斜截式方程可看作点斜式的特殊情况，表示过(0，b)点、斜率为k的直线y－b＝k(x －0)，即y＝kx＋b，其特征是方程等号的一端只是一个y，其系数是1；等号的另一端是x 的一次式，而不一定是x的一次函数．如y＝c是直线的斜截式方程，而2y＝3x＋4不是直线的斜截式方程.1．直线y－2＝－3(x＋1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为( )A．60°，2 B．120°，2－ 3C．60°，2－ 3 D．120°，2答案 B解析该直线的斜率为－3，当x＝0时，y＝2－3，∴其倾斜角为120°，在y轴上的截距为2－ 3.2．直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有( )A．k>0，b>0 B．k>0，b<0C．k<0，b>0 D．k<0，b<0答案 B解析∵直线经过一、三、四象限，∴图形如图所示，则由图知，k>0，b<0.3．斜率为4，经过(2，－3)的直线方程为________．答案y＋3＝4(x－2)4．已知直线l的倾斜角是直线y＝x＋1的倾斜角的2倍，且过定点P(3,3)，则直线l 的方程为________．答案x＝3解析直线y＝x＋1的斜率为1，所以倾斜角为45°，又所求直线的倾斜角是已知直线倾斜角的2倍，所以所求直线的倾斜角为90°，其斜率不存在．又直线过定点P(3，3)，所以直线l的方程为x＝3.直线方程的两点式和一般式第二课时[学习目标] 1.掌握直线方程的两点式的形式了解其适用范围． 2.了解直线方程截距式的形式、特征及适用范围．3．掌握直线的一般方程． 4.会进行直线方程不同形式的转化.【主干自填】直线方程的两点式、截距式和一般式【即时小测】1．思考下列问题(1)方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)能表示过点(x 1，y 1)和(x 2，y 2)所有的直线吗？提示：在方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1中，不能表示垂直于坐标轴的直线，而在(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)中因为是整式方程，又没有限制条件，所以能表示所有的直线．(2)直线的一般式方程中，A ，B 不同时为零有哪些情况？能不能用一个代数式表示？提示：A 、B 不同时为零的含义有三点：①A ≠0且B ≠0；②若A ＝0且B ≠0；③若B ＝0且A ≠0.以上三种情况可用统一的代数式A 2＋B 2≠0表示．2．直线2x －y ＝8的截距式方程为( ) A ．y ＝2x －8 B.x 4＋x8＝1C.x 4＋y －8＝0D.x 4＋y－8＝1 提示：D 方程2x －y ＝8中，令x ＝0，得y ＝－8；令y ＝0，得x ＝4；即直线2x －y ＝8的纵截距为－8，横截距为4，由截距式得方程为x 4＋y－8＝1.3．如果AC <0，且BC <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限提示：C 因为AC <0，BC <0，所以AB >0，显然B ≠0. 将一般式Ax ＋By ＋C ＝0化为斜截式y ＝－A B x －C B ，所以k ＝－A B <0，b ＝－C B>0.所以直线不通过第三象限．4．已知直线l 与两坐标轴的交点坐标分别为(0,2)，(3,0)，则直线l 的方程为________．提示：2x ＋3y －6＝0 由截距式得x 3＋y2＝1，整理可得，直线方程为2x ＋3y －6＝0.例1 求满足下列条件的直线方程． (1)过点A (－2,3)，B (4，－1)；(2)在x 轴、y 轴上的截距分别为4，－5； (3)过点P (3，－2)，且在两坐标轴上的截距相等．[解] (1)由两点式得y －3－1－3＝x ＋24＋2，化简得2x ＋3y －5＝0.(2)由截距式得x 4＋y－5＝1，化简为5x －4y －20＝0.(3)①若截距为零，则直线l 过原点，此时l 的方程为2x ＋3y ＝0； ②若截距不为零，则l 的方程可设为x a ＋y a＝1. ∵l 过点(3，－2)，知3a ＋－2a＝1，即a ＝1，∴直线l 的方程为x ＋y ＝1，即为x ＋y －1＝0.综合①②可知直线l 的方程为2x ＋3y ＝0或x ＋y －1＝0.类题通法求直线方程的注意事项(1)直线方程有多种形式，在求解时应根据题目的条件选择合适的形式，但要注意直线方程各种形式的适用范围．(2)要根据不同的要求选择适当的方程形式．(3)“截距”相等要注意分过原点和不过原点两种情况考虑．[变式训练1] 已知A (－3,2)，B (5，－4)，C (0，－2)，在△ABC 中， (1)求BC 边的方程；(2)求BC 边上的中线所在直线的方程．解 (1)∵BC 边过两点B (5，－4)，C (0，－2)， ∴由两点式得y －－－－－＝x －50－5，即2x ＋5y ＋10＝0.故BC 边的方程为2x ＋5y ＋10＝0(0≤x ≤5)． (2)设BC 的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝5＋02＝52，y 0＝－＋－2＝－3.∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－3，又BC 边上的中线经过点A (－3,2)．∴由两点式得y －2－3－2＝x －－52－－，即10x ＋11y ＋8＝0.故BC 边上的中线所在直线的方程为10x ＋11y ＋8＝0.例2 设直线l 的方程为2x ＋(k －3)y －2k ＋6＝0(k ≠3)，根据下列条件分别确定k 的值：(1)直线l 的斜率为－1；(2)直线l 在x 轴、y 轴上的截距之和等于0. [解] (1)因为直线l 的斜率存在，所以直线l 的方程可化为y ＝－2k －3x ＋2，由题意得－2k －3＝－1，解得k ＝5. (2)直线l 的方程可化为x k －3＋y2＝1，由题意得k －3＋2＝0，解得k ＝1. 类题通法直线方程的一般式与其他形式的转化(1)直线的一般式方程Ax ＋By ＋C ＝0中要求，A ，B 不同时为0；(2)由直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程去分母、移项就可以转化为直线的一般式方程；反过来，也可以由直线的一般式方程化为斜截式、截距式方程，注意斜截式、截距式方程的使用条件．[变式训练2] 设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＝2m －6，根据下列条件分别确定m 的值：(1)l 在x 轴上的截距是－3； (2)l 的斜率是－1.解 (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3≠0，①2m －6m 2－2m －3＝－3，②由①得：m ≠－1且m ≠3，由②得：m ＝3或m ＝－53.∴m ＝－53.(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －1≠0，③－m 2－2m －32m 2＋m －1＝－1.④由③得：m ≠－1且m ≠12，由④得：m ＝－1或m ＝－2.∴m ＝－2.例3 已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限；[解] (1)证法一：将直线l 的方程整理为y －35＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －15，∴l 的斜率为a ，且过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35，而点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35在第一象限，故不论a 为何值，l 恒过第一象限．证法二：直线l 的方程可化为(5x －1)a －(5y －3)＝0.∵上式对任意的a 总成立，必有⎩⎪⎨⎪⎧5x －1＝0，5y －3＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝35，即l 过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35.以下同证法一． (2)要使l 不经过第二象限，需它在y 轴上的截距不大于零，即令x ＝0时，y ＝－a －35≤0，∴a ≥3. 类题通法解方程法求解含参数的直线方程的有关问题含有一个参数的直线方程，一般是过定点的，一般求定点时，只要将方程化为点斜式即可以求得定点的坐标．在变形后特点如果不明显，可采用证法二的解法，即将方程变形，把x ，y 作为参数的系数，因为此式对任意的参数的值都成立，故需系数为零，解方程组可得x ，y 的值，即为直线过的定点．[变式训练3] 设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；解 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距都为零，当然相等，此时a ＝2，方程为3x ＋y ＝0.若a ≠2，由l 在两坐标轴上的截距相等，有a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1， ∴a ＝0，l 的方程为x ＋y ＋2＝0.综上可知，l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2. ∴欲使l 不经过第二象限，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋，a －2≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋＝0，a －2≤0，∴a ≤－1.综上可知，a 的取值范围是(－∞，－1]．易错点⊳忽略截距为零的情况[典例] 已知直线l 经过点P (2,3)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．[错解] 设直线l 的方程为x m ＋y m＝1，因为直线l 过点P (2,3)，所以2m ＋3m＝1，解得m＝5.所以直线l 的方程为x ＋y －5＝0.[错因分析] “截距相等”还包含截距均为零的情况，此时直线方程不能用截距式表示，错解中忽略了这种情况．[正解] 若两截距不为0，解答过程同错解，此时直线l 的方程为x ＋y －5＝0；若两截距为0，直线过原点，此时斜率为k ＝3－02－0＝32，故此时直线l 的方程为y ＝32x ，即3x －2y ＝0.综上可知，直线l 的方程为x ＋y －5＝0或3x －2y ＝0. 课堂小结1.求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程.(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系.2.截距式方程应用的注意事项(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可.(2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直. (3)要注意截距式直线方程的逆向应用.1．有关直线方程的两点式，有如下说法：①直线方程的两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程； ②直线方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1也可写成y －y 2y 1－y 2＝x －x 2x 1－x 2； ③过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线可以表示成(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)．其中正确说法的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 D解析 ①正确，从两点式方程的形式看，只要x 1≠x 2，y 1≠y 2，就可以用两点式来求解直线的方程．②正确，方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1与y －y 2y 1－y 2＝x －x 2x 1－x 2的形式有异，但实质相同，均表示过点(x 1，y 1)和(x 2，y 2)的直线．③显然正确．2．过两点A (1,1)，B (0，－1)的直线方程是( ) A.y ＋1x －0＝1＋11－0 B.y －10－1＝x －10－1 C.y －10－1＝x －1－1－1D.y ＋11＋1＝x －01－0答案 D解析由直线的两点式方程，易得y －－1－－＝x －01－0，即y ＋11＋1＝x －01－0. 3．下列说法中正确的是( )A ．直线方程的截距式可表示除过原点外的所有直线 B.x 2－y 3＝1与x 2＋y3＝－1是直线的截距式方程C ．直线方程的斜截式都可以化为截距式D ．在x 轴、y 轴上的截距分别是2，－3的直线方程为x 2＋y－3＝1答案 D解析因为截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线，所以A 错误．因为方程x 2－y3＝1与x 2＋y3＝－1不符合截距式方程的结构特点，所以B 错误．因为斜截式的直线方程包含截距为0的情况，而此类直线不可以化为截距式，如直线y ＝2x ，所以C 错误．直线在x 轴、y 轴上的截距分别是2，－3，根据直线方程的截距式，可得直线的方程为x 2＋y－3＝1，所以D 正确．4．若k ∈R ，直线kx －y －2k －1＝0恒过一个定点，则这个定点的坐标为( ) A ．(1，－2) B ．(－1,2) C ．(－2,1) D ．(2，－1) 答案 D解析 y ＋1＝k (x －2)是直线的点斜式方程，故它所经过的定点为(2，－1)．。

人教版七年级数学上册：4.2《直线、射线、线段》表格式教案设计

4.2 直线、射线、线段（第一课时）教学目标：1、借助具体情境，了解“两点确定一条直线”的事实，理解直线、射线、线段概念及它们的区别和联系。

2、会表示线段、射线、直线，能根据几何语言画出简单图形。

3、让学生经历观察、想象、操作体验等数学活动，培养学生归纳、抽象及用语言表达结论的能力，培养学生学数学用数学的意识，增强对数学的好奇心和探究欲。

教学重点：教学难点两点确定一直线。

不同几何语言的相互转化。

环节教学过程设计意图导入课题：通过从熟悉的实物创设情境让学生们从实物中找出熟悉的平面图形，从中抽象出几何图形，让学而引出本节课题“直线、射线、线段”。

生直观地认识直线、射线、线段，导入新课设疑：从学生已有的生活建筑工人砌墙、木工师傅锯木板时，他们是经验出发，从学生熟悉和如何做的，为什么这样做？让学生大胆猜想他感兴趣的问题入手，诱发们这样做的依据其主动探索问题的欲望。

提出问题：结合具体情景，发现讨论实践要在墙上固定一根木条，至少需要几个钉并提出问题，让学生初步子？学会运用数学的思维方①在小组中动手试一试，并记录你们每一式去观察，并通过动手实步的结果。

践得到答案。

同时也为探探索新知②经过探索你能得到什么结论？索直线的性质作好了铺动画演示：一根木条钉一个钉子的情境演垫。

示，两个钉子的情境演示一下。

建立模型：画图：①如图，经过一点几条？②经过两点A、 B 呢？O 画直线，能画让学生经历了把钉子抽象成点把木条抽象成直线的过程，从而获得直线的性质。

让学生自己动手画一画，然后在小组中交流画图的结果。

模型解释：通过上述的活动，学通过实验和探索，得到：生经历了知识的发生、发①经过一点有无数条直线展过程，得出结论。

在这②经过两点有一条直线，并且只有一条直时师生共同归纳得到直线。

线的性质，实现概念理解注释：①中的“直线经过一点“是指这个和结论由来的从感性到点在直线上。

如图：理性的自然深化，培养了讨论实践直线 I 经过点 O 我们可以说点Ｏ在直线Ｉ上，学生的概括归纳能力。

学案1：2.2.2 直线方程的几种形式(一)

2.2.2直线方程的几种形式(一)学习目标1.掌握直线的点斜式方程、斜截式方程和两点式方程,归纳方程特点及其适用范围并能简单应用.2.能发现斜截式方程与一次函数间的联系与区别.知识体系梳理创设情境“我想知道流星能飞多久,它的美丽是否值得去寻求,夜空的花散落在你身后,幸福了我很久,值得我去等待,于是……我许了个愿保佑,在最美的时候,我许的愿……”飞逝的流星形成一条美丽的弧线,这条弧线可以近似看作是什么图形呢?若在平面直角坐标系中,能否确定它的位置呢?知识导学问题1:(1)图片中飞逝的流星划出一条美丽的弧线,这条弧线可以近似看作直线.(2)经过点P0(x0,y0)的直线l有无数条,可分为两类:(i)斜率存在,设斜率为k,则直线方程为y-y0=k(x-x0),这个方程是由直线上点P0(x0,y0)及其斜率k确定的,所以叫作直线的点斜式方程.(ii)斜率不存在,则直线方程为x=x0.问题2:(1)已知直线l的斜率为k,且与y轴的交点为(0,b),代入直线的点斜式方程,得y=kx+b,我们称b为直线l在y轴上的截距.这个方程是由直线l的斜率和它在y轴上的截距确定的,所以叫作直线的斜截式方程.(2)直线的斜截式方程①截距:b.②一般形式:y=kx+b.③适用条件:斜率存在.注意:当直线和x轴垂直时,斜率不存在,此时方程不能用点斜式方程和斜截式方程表示.问题3:已知两点坐标为P1(x1,y1),P(x2,y2)(其中x1≠x2,y1≠y2),则通过这两点的直线方程为.与坐标轴平行或垂直的直线没有两点式方程,但其变形(y2-y1)(x-x1)=(x2-x1)(y-y1)可表示过任意两点的直线方程.问题4:若点P1,P2的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),且线段P1P2的中点M的坐标为(x,y),则,此公式为线段P1P2的中点坐标公式.基础学习交流1.已知直线方程y-3=√3(x-4),则这条直线经过的定点,倾斜角分别是().A.(4,3),60°B.(-3,-4),30°C.(4,3),30°D.(-4,-3),60°2.直线方程可表示成点斜式方程的条件是().A.直线不过原点B.直线的斜率不存在C.直线的斜率存在D.不同于上述答案3.经过点(-√2,2)且倾斜角是30°的直线的点斜式方程是.4.写出斜率为-2,且在y轴上的截距为t的直线的方程,当t为何值时,直线通过点(4,-3)?并作出该直线的图像.重点难点探究探究一直线方程形式的选择根据条件写出下列直线的方程:(1)斜率为3,经过点(5,-4);(2)斜率为-2,经过点(0,2);(3)经过点(2,1)和(3,-4);(4)经过点(4,2),倾斜角为90°.探究二直线的两点式方程已知三角形的三个顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2).(1)求BC边所在的直线方程;(2)求BC边上的中线AM所在的直线方程.探究三“截距”与“距离”的关系求过点P(2,3),并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.思维拓展应用应用一求满足下列条件的直线方程:(1)斜率为2,经过点(2,0);(2)经过点B(2,3),倾斜角是45°;(3)斜率为2,在y轴上的截距是5;(4)直线l与直线l1:y=2x+6在y轴上有相同的截距,且直线l的斜率与l1的斜率互为相反数,求直线l的方程.应用二一条光线从点A(3,2)出发,经过x轴反射后,通过点B(-1,6),求入射光线和反射光线所在的直线方程.应用三求经过点A(-5,2),且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程.基础智能检测,则直线l的方程为().1.已知直线l经过点P(-2,5),且斜率为-34A.3x+4y-14=0B.3x-4y+14=0C.4x+3y-14=0D.4x-3y+14=02.已知直线的方程为y+2=-x-1,则().A.直线过点(-1,2),斜率为-1B.直线过点(-1,2),斜率为1C.直线过点(-1,-2),斜率为-1D.直线过点(-1,-2),斜率为13.直线l过(-1,-1)、(2,5)两点,且点(1006,b)在l上,则b=.4.求过点A(1,3),斜率为直线y=-4x的斜率的1的直线方程.35.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是().A.x-2y-1=0B.x-2y+1=0C.2x+y-2=0D.x+2y-1=0思维导图构建参考答案知识体系梳理问题1:(1)直线(2)(i)y-y0=k(x-x0)点P0(x0,y0)斜率k点斜式(ii)x=x0问题2:(1)y=kx+b截距截距斜截式(2)①b②y=kx+b斜率存在问题3:y-y1y2-y1=x-x1 x2-x1问题4:{x=x1+x22,y=y1+y22基础学习交流1.A由直线的点斜式方程可知,k=tan α=√3,∴α=60°,直线过定点(4,3).2.C3.y-2=√33(x+√2)4.解:(1)由直线方程的斜截式,可得方程为y=-2x+t.(2)将点(4,-3)代入方程y=-2x+t,得-3=-2×4+t,解得t=5,故当t=5时,直线通过点(4,-3).直线y=-2x+5图象如右图所示.重点难点探究探究一:【解析】(1)∵k=3,经过点(5,-4),∴由点斜式方程得y-(-4)=3(x-5),即y+4=3(x-5).(2)∵k=-2,b=2,∴由斜截式方程得y=-2x+2.(3)∵直线过点(2,1)和(3,-4),∴直线方程为y-1-4-1=x-2 3-2.整理得y=-5x+14.(4)由题意可知,直线垂直于x轴,∴直线方程为x=4.【小结】在求直线的点斜式方程时,要判断直线的斜率是否存在,若存在,要求出其斜率,再将条件中所给的点代入点斜式方程即可.如果已知纵截距,那么可直接利用直线的斜截式方程求解.探究二:【解析】(1)直线BC 过点B (3,-3),C (0,2),由两点式得y+32+3=x -30-3,整理得5x+3y -6=0,所以BC 所在的直线方程为5x+3y -6=0.(2)因为B (3,-3),C (0,2),所以由中点坐标公式可得BC 边上中点M 的坐标为x=3+02=32,y=-3+22=-12.由两点式方程可得直线AM 的方程为y -0-12-0=x -(-5)32-(-5),整理得直线AM 的方程为x+13y+5=0.【小结】本题利用直线的两点式求解直线方程,求解前要先观察横坐标是否相等,纵坐标是否相等,都不相等后才可以利用两点式方程求解.由于两点式方程比较复杂,所以在利用两点式方程时一定要细心.此外,本题也可以先求出直线的斜率,再利用点斜式或斜截式求直线方程.探究三:【解析】直线两坐标轴上的截距相等,则斜率k 的值为±1.若k=1,则直线方程为y -3=x -2,即x -y+1=0;若k=-1,则直线方程为y -3=-(x -2),即x+y -5=0.∴所求直线方程为x -y+1=0或x+y -5=0.[问题]当k=1时,直线在两坐标轴上的截距相等吗?[结论]截距是直线与y 轴(或x 轴)交点的纵坐标(横坐标),它不是距离,是有向线段的数量,可正、可负、也可为0,错解中方程x -y+1=0在x 轴、y 轴上的截距分别为-1,1,截距当然不相等,属于概念性错误.于是,正确解答如下:当截距不为0时,则k=-1,直线方程为y -3=-(x -2),即x+y -5=0.当截距为0 时,则k=32,直线方程为y=32x.故满足题意的直线方程为y=32x 或x+y -5=0.【小结】求直线在坐标轴上截距的方法:令x=0,所得y 值是y 轴上的截距;令y=0,所得x 值是x 轴上的截距.注意理解“截距”与“距离”的区别.思维拓展应用应用一:(1)由直线的点斜式方程,得y=2(x -2), ∴所求直线方程为2x -y -4=0.(2)由题意得k=tan 45°=1,∴所求直线方程为y -3=x -2,即x -y -1=0.(3)由直线的斜截式方程,得所求直线方程为y=2x+5.(4)∵直线l 1的斜率为2,在y 轴上截距为6,∴直线l 的斜率为-2,在y 轴上的截距为6,∴直线l 的方程为y=-2x+6.应用二:因为点A (3,2)关于x 轴的对称点为A'(3,-2),所以由两点式可得直线A'B 的方程为y -6-2-6=x+13+1,即2x+y -4=0.同理,点B 关于x 轴的对称点为B'(-1,-6),由两点式可得直线AB'的方程为y -2-6-2=x -3-1-3,即2x -y -4=0,所以入射光线所在的直线方程为2x -y -4=0,反射光线所在的直线方程为2x+y -4=0.应用三:由题意可知直线的斜率存在且不等于零,可设直线方程为y -2=k (x+5).令x=0,则y=5k+2;令y=0则x=-5-2k. ∴-5-2k=2(5k+2), 解得k=-12或k=-25, ∴直线方程为x+2y+1=0或2x+5y=0.基础智能检测1.A 由y -5=-34(x+2),得3x+4y -14=0. 2.C 直线方程可化为y -(-2)=-[x -(-1)],故直线过点(-1,-2),斜率为-1.3.2013 直线l 的方程为y -(-1)5-(-1)=x -(-1)2-(-1), 整理得:y=2x+1,令x=1006,得b=2013.4.解:设所求直线的斜率为k ,依题意有k=-4×13=-43.又直线经过点A (1,3),因此所求直线方程为y -3=-43(x -1), 即4x+3y -13=0.5.A 由题意可知,所求直线的斜率k=12,又经过点(1,0),∴所求直线方程为y=12(x -1),即x-2y-1=0.思维导图构建y-y0=k(x-x0)。

直线的参数方程及其应用学案

直线的参数方程及应用目标点击：1．掌握直线参数方程的标准形式和一般形式，理解参数的几何意义； 2．熟悉直线的参数方程与普通方程之间的互化；3．利用直线的参数方程求线段的长，求距离、求轨迹、与中点有关等问题；基础知识点击：1、直线参数方程的标准式(1)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,)P 0P=t ∣P 0P ∣=t 为直线上任意一点. (2)若P 1、P 2是直线上两点，所对应的参数分别为t 1、t 2，则P 1P 2=t 2－t 1 ∣P 1P 2∣=∣t 2－t 1∣(3) 若P 1、P 2、P 3是直线上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3则P 1P 2中点P 3的参数为t 3＝221tt +,∣P 0P 3∣=221t t +(4)若P 0为P 1P 2的中点，则t 1＋t 2＝0，t 1·t 2<02、直线参数方程的一般式过点P 0(00,y x )，斜率为abk =的直线的参数方程是⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00 （t 为参数）点击直线参数方程：一、直线的参数方程问题1：（直线由点和方向确定）求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l设点P(y x ,)是直线l 上任意一点，方向为直线L 的正方向）过点P 作y P 0作x 轴的平行线，两条直线相交于Q 点1)当P P 0与直线l 同方向或P 0和P 重合时，P 0P ＝|P 0P| 则P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 02)当P P 0与直线l 反方向时，P 0P 、P 0Q 、Q P P 0P ＝－|P 0P| P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 设P 0P ＝t ，t 为参数，又∵P 0Q ＝0x x -， 0x x -＝tcos αxQ P ＝0y y - ∴ 0y y -=t sin α即⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x 是所求的直线l 的参数方程∵P 0P ＝t ，t 为参数，t 的几何意义是：有向直线l 上从已知点P 0(00,y x )到点 P(y x ,)的有向线段的数量，且|P 0P|＝|t|①当t>0时，点P 在点P 0的上方； ②当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ③当t<0时，点P 在点P 0的下方；特别地，若直线l 的倾斜角α＝0时，直线⎧+=0tx x ④当t>0时，点P 在点P0的右侧； ⑤当t ＝0时，点P 与点P 0重合；⑥当t<0时，点P 在点P 0的左侧；问题2：直线l 上的点与对应的参数t 是不是一对应关系我们把直线l 看作是实数轴，以直线l 向上的方向为正方向，以定点这样参数t 便和这条实数轴上的点P 一一对应关系.问题3：P 1、P 2为直线l 则P 1P 2＝，∣P 1P 2∣=P 1P 2＝P 1P 0＋P 0P 2＝－t 1＋t 2＝t 2－t 1，∣P 1P 2∣=∣ t 2－t 1∣ 问题4：若P 0为直线l 上两点P 1、P 2的中点，P 1、P 2 参数分别为t 1、t 2 ，则t 1、t 2之间有何关系根据直线l 参数方程t 的几何意义， P 1P ＝t 1，P 2P ＝t 2，∵P 0为直线l 上两点P 1、P 2的中点，∴|P 1P|＝|P 2P|P 1P ＝－P 2P ，即t 1＝－t 2, t 1t 2<0一般地，若P 1、P 2、P 3是直线l 上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3，P 3为P 1、P 2 则t 3＝221t t + （∵P 1P 3＝－P 2P 3, 根据直线l 参数方程t 的几何意义，∴P 1P 3= t 3－t 1, P 2P 3= t 3－t 2, ∴t 3－t 1=－(t 3－t 2,) ）基础知识点拨：1、参数方程与普通方程的互化xx例1：化直线1l 的普通方程13-+y x ＝0为参数方程，并说明参数的几何意义,说明∣t ∣的几何意义.解：令y=0,得x ＝1，∴直线1l 过定点(1,0). k ＝－31=－33设倾斜角为α，tg α=－33,α= π65, cos α =－23, sin α=211l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=t y t x 21231 （t为参数）t 是直线1l 上定点M 0（1，0）到t 对应的点M(y x ,)的有向线段M M 0的数量.由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-(2) 21(1)231t y t x (1)、(2)两式平方相加,得222)1(t y x =+-∣t ∣＝22)1(y x +-∣t ∣是定点M 0（1，0）到t 对应的点M(y x ,)的有向线段M M 0的长.点拨：求直线的参数方程先确定定点，再求倾斜角,注意参数的几何意义.例2：化直线2l 的参数方程⎩⎨⎧+=+-= t313y tx （t 为参数）为普通方程，并求倾斜角，说明∣t ∣的几何意义. 解：原方程组变形为⎩⎨⎧=-=+ (2) t31 (1) 3y t x (1)代入(2)消去参数t ，得)3(31+=-x y (点斜式) 可见k=3, tg α=3,倾斜角α=3π普通方程为 01333=++-y x(1)、(2)两式平方相加,得2224)1()3(t y x =-++∴∣t ∣=2)1()3(22-++y x∣t ∣是定点M 0（3，1）到t 对应的点M(y x ,)的有向线段M M 0的长的一半.点拨：注意在例1、例2中，参数t 的几何意义是不同的，直线1l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=ty t x 21231即⎪⎩⎪⎨⎧=+=ππ65sin 65cos 1t y t x 是直线方程的标准形式，(-23)2+(21)2=1, t 的几何意义是有向线段M M 0的数量.直线2l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+-= t 313y tx 是非标准的形式，12＋(3)2=4≠1，此时t 的几何意义是有向线段M M 0的数量的一半.你会区分直线参数方程的标准形式例3：已知直线l 过点M 0（1，3），倾斜角为3π，判断方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 233211（t 为参数）和方程⎩⎨⎧+=+= t331y tx （t 为参数）是否为直线l 的参数方程如果是直线l 的参数方程，指出方程中的参数t 是否具有标准形式中参数t 的几何意义.解：由于以上两个参数方程消去参数后，均可以得到直线l 的的普通方程 0333=+--y x ，所以，以上两个方程都是直线l 的参数方程，其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 233211 cos α =21, sin α=23，是标准形式，参数t 是有向线段M M 0的数量.，而方程⎩⎨⎧+=+= t331y t x 是非标准形式，参数t 不具有上述的几何意义.点拨：直线的参数方程不唯一，对于给定的参数方程能辨别其标准形式，会利用参数t 的几何意义解决有关问题.问题5：直线的参数方程⎩⎨⎧+=+= t 331y tx 能否化为标准形式是可以的，只需作参数t 的代换.(构造勾股数，实现标准化)⎩⎨⎧+=+= t 331y t x ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=))3(1()3(13 3))3(1()3(11122222222t y t x 令t =t 22)3(1+ 得到直线l 参数方程的标准形式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'+='+=t 233211y t x t 的几何意义是有向线段 M M 0的数量.2、直线非标准参数方程的标准化一般地，对于倾斜角为α、过点M 0(00,y x )直线l 参数方程的一般式为，.⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00 （t 为参数），斜率为a b tg k ==α (1) 当22b a +＝1时，则t 的几何意义是有向线段M M 0的数量. (2) 当22b a +≠1时，则t 不具有上述的几何意义.⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00可化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=)()(2222022220t b a b a b y y t b a b a a x x 令t =t b a 22+则可得到标准式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'++='++=t b a by y t b a a x x 220220 t 的几何意义是有向线段M M 0的数量.例4：写出经过点M 0（－2，3），倾斜角为43π的直线l 的标准参数方程，并且求出直线l 上与点M 0相距为2的点的坐标.解：直线l 的标准参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=ππ43sin 343cos 2t y t x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=t y t x 223222（t 为参数）（1）设直线l 上与已知点M 0相距为2的点为M 点，且M 点对应的参数为t, 则| M 0M|＝|t| =2, ∴t=±2 将t 的值代入(1)式当t=2时，M 点在 M 0点的上方，其坐标为（－2－2，3＋2）；当t=-2时，M 点在 M 0点的下方，其坐标为（－2＋2，3－2）.点拨：若使用直线的普通方程利用两点间的距离公式求M 点的坐标较麻烦，而使用直线的参数方程，充分利用参数t 的几何意义求M 点的坐标较容易.例5：直线⎩⎨⎧-=+=οο20cos 420sin 3t y t x （t 为参数）的倾斜角 . 解法1：消参数t,的34--x y ＝－ctg20°=tg110°解法2：化为标准形式： ⎩⎨⎧-+=-+=οο110sin )(4110cos )(3t y t t x （－t 为参数） ∴此直线的倾斜角为110°基础知识测试1：1、求过点(6,7),倾斜角的余弦值是23的直线l 的标准参数方程.2、直线l 的方程：⎩⎨⎧+=-=οο25cos 225sin 1t y t x （t 为参数），那么直线l 的倾斜角( ) A 65° B 25° C 155° D 115°3、直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=ty tx 521511（t 为参数）的斜率和倾斜角分别是( )A) －2和arctg(－2) B) －21和arctg(－21)C) －2和π－arctg2 D) －21和π－arctg 214、已知直线⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）上的点A 、B 所对应的参数分别为t 1,t 2，点P 分线段BA 所成的比为λ（λ≠－1），则P 所对应的参数是 . 5、直线l 的方程： ⎩⎨⎧+=+=bty y atx x 00 （t 为参数）A 、B 是直线l 上的两个点，分别对应参数值t 1、t 2，那么|AB|等于( )A ∣t 1－t 2∣B 22b a +∣t 1－t 2∣ C 2221ba t t +- D ∣t 1∣+∣t 2∣6、已知直线l ：⎩⎨⎧+-=+= t351y tx (t 为参数)与直线m ：032=--y x 交于P 点，求点M(1,－5)到点P 的距离.二、直线参数方程的应用例6：已知直线l 过点P （2，0），斜率为34和抛物线x y 22=相交于A 、B 两点，设线段AB 的中点为M,求： (1)P 、M 两点间的距离|PM|； (2)M 点的坐标； (3)线段AB 的长|AB|解：(1)∵直线l 过点P （2，0），斜率为3=34cos α =53, sin α=54∴直线l 的标准参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=ty t x 54532（t 为参数）*∵直线l 和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程x y 22=中，整理得 8t 2－15t －50＝0 Δ=152+4×8×50>0,设这个二次方程的两个根为t 1、t 2,由韦达定理得 t 1＋t 2＝815, t 1t 2＝425- ，由M 为线段AB 的中点，根据t 的几何意义，得| PM|＝221t t + ＝1615∵中点M 所对应的参数为t M =1615,将此值代入直线的标准参数方程*，M点的坐标为⎪⎩⎪⎨⎧=•==•+=4316155416411615532y x 即 M （1641，43）(3) |AB|＝∣t 2－t 1∣＝ 222114)(t t t t -+＝7385点拨：利用直线l 的标准参数方程中参数t 的几何意义，在解决诸如直线l 上两点间的距离、直线l 上某两点的中点以及与此相关的一些问题时，比用直线l 的普通方程来解决显得比较灵活和简捷.例7：已知直线l 经过点P （1,－33）,倾斜角为3π，(1)求直线l 与直线l '：32-=x y 的交点Q 与P 点的距离| PQ|； (2)求直线l 和圆22y x +＝16的两个交点A ，B 与P 点的距离之积. 解：(1)∵直线l 经过点P （1,－33）,倾斜角为3π,∴直线l 的标准参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=3sin 333cos 1ππt y t x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=ty t x 2333211（t 为参数）代入直线l '：32-=x y 得032)2333()211(=-+--+t t 整理，解得t=4+23 t=4+23即为直线l 与直线l '的交点Q 所对应的参数值，根据参数t 的几何意义可知：|t|=| PQ|,∴| PQ|=4+23.(2) 把直线l 的标准参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=t y t x 2333211（t 为参数）代入圆的方程22y x +＝16，得16)2333()211(22=+-++t t ,整理得：t 2－8t+12=0， Δ=82-4×12>0,设此二次方程的两个根为t 1、t 2 则t 1t 2=12根据参数t 的几何意义，t 1、t 2 分别为直线和圆22y x +＝16的两个交点 A, B 所对应的参数值，则|t 1|=| PA|,|t 2|=| PB|,所以| PA|·| PB|=|t 1 t 2|=12点拨：利用直线标准参数方程中的参数t 的几何意义解决距离问题、距离的乘积（或商）的问题，比使用直线的普通方程，与另一曲线方程联立先求得交点坐标再利用两点间的距离公式简便.例8：设抛物线过两点A(－1,6)和B(－1,－2)，对称轴与x 轴平行，开口向右，直线y=2x +7被抛物线截得的线段长是410，求抛物线方程.解：由题意，得抛物线的对称轴方程为y=2.设抛物线顶点坐标为（a ，2）方程为(y ―2)2=2P(x －a ) (P>0) ①∵点B(－1,－2)在抛物线上，∴(―2―2)2=2P(－1－a )a P=－8－P 代入① 得(y ―2)2=2P x ＋2P+16 ②将直线方程y=2x +7化为标准的参数方程tg α=2, α为锐角，cos α =51, sin α=52 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=ty t x 525511（t 为参数） ③ ∵直线与抛物线相交于A ，B, ∴将③代入②并化简得：75212542--+t Pt ＝0 ，由Δ=355)6(42+-P >0,可设方程的两根为t 1、t 2，又∵|AB|=∣t 2－t 1∣＝ 222114)(t t t t -+＝4104354]4)212(5[2⨯+-P =(410)2 化简，得(6－P)2=100 ∴ P=16 或P=-4(舍去) 所求的抛物线方程为(y ―2)2=32x ＋48点拨：(1)（对称性）由两点A(－1,6)和B(－1,－2)的对称性及抛物线的对称性质，设出抛物线的方程（含P 一个未知量，由弦长AB 的值求得P ）. (2)利用直线标准参数方程解决弦长问题.此题也可以运用直线的普通方程与抛物线方程联立后，求弦长。

4学案4-直线的两点式方程

直线的两点式方程一．学习目标：1.掌握直线方程的两点式、截距式，了解截距式是两点式的特殊情况；2.能够根据条件熟练地求出直线的方程．二.知识导学推导直线的两点式方程和截距式方程：得出结论:（1）直线的两点式方程：经过两点111(,)P x y ，222(,)P x y 12()x x ≠的直线的两点式方程为．（2）已知直线l 与x 轴的交点(,0)a ，与y 轴的交点(0,)b ，其中0,0a b ≠≠，则直线l 的方程为．其中b a ,分别叫三.知识导练例1.三角形的顶点是(5,0)A -、(3,3)B -、(0,2)C ，求这个三角形三边所在直线方程．例2.直线l 与两坐标轴在第一象限围成的三角形面积为2，两截距之差为3，求直线l 的方程．变式：已知点)4,3(A（1）经过点A 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为；（2）经过点A 且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍的直线方程为（3）经过点A 且与两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程为（4）经过点A 且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程为例3．已知射线)0(4:≥=x x y l 和点)4,6(M ，在射线l 上求一点N ，使直线MN 与l 及x 轴正半轴围成的三角形面积S 最小.四．当堂检测：1．过点()1,4A ，且横、纵截距的绝对值相等的直线的条数为A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4 2.直线在轴上的截距是 A ． B ．2b - C ． D ．3．过点)2,1(P ，且在两坐标轴的截距是相反数的直线方程为________________．4．两直线1=-n y m x 与1=-my n x 的图象可能是图中的哪一个5. 已知ABC ∆的三个顶点为)0,6(),0,4(),8,2(C B A -,求过点B 且将ABC ∆面积平分的直线方程.。

直线的两点式方程学案

3.2.2直线的两点式方程（学案）学习目标1.掌握直线方程的两点式的形式特点及适用范围.2.了解直线方程截距式的形式特点及适用范围.重点难点教学重点:直线方程两点式和截距式.教学难点:关于两点式的推导以及斜率k 不存在或斜率0=k 时对两点式方程的讨论及变形.合作学习一、设计问题、创设情境上节课我们学习了直线方程的点斜式，请问点斜式方程是什么？点斜式方程是怎样推导的？利用点斜式解答如下问题：（1）已知直线l 经过两点P 1(1,2),P 2(3,5),求直线l 的方程.(2)已知两点()111,y x P ，()222,y x P ()2121,y y x x ≠≠其中，求通过这两点的直线方程. 分析:引导学生：根据已有的知识，在已知两点的坐标，求直线方程，应知道什么条件？能不能把该问题转化为已经解决的问题呢？在此基础上，我们应根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程.于是得到已知直线上两个不同点，求直线的方程步骤：由于（2）这个方程是由直线上两点确定的，因此叫做直线方程的两点式方程，简称两点式. 注意：（2）式是由（1）式导出的，它们表示的直线范围不同，（1）式中只需21x x ≠，它不能表示倾斜角为90°的直线的方程；（2）式中21x x ≠且21y y ≠，它不能表示倾斜角为0°或90°的直线的方程，但（2）式相对于（1）式更对称、形式更美观、更整齐，便于记忆.如果把两点式变成()()()()121121y y x x x x y y --=--，那么就可以用它来求过平面上任意两已知点的直线方程.二、信息交流、揭示规律问题2:同学们用的是什么方法求解的直线方程?体现了什么数学思想?分析：直线的点斜式方程；化归转化问题3:若点()111,y x P ，()222,y x P 中有21x x =或21y y =此时这两点的直线方程是什么?分析：问题4:两点式适用于怎样的直线?分析：课堂练习1:课本97页,练习题第1题.三、运用规律、解决问题、引出新知【例1】已知直线l 与x 轴的交点为()0,a A ，与y 轴的交点为()b B ,0，其中0≠a ，0≠b 求直线l 的方程.解析：注意：方程（4）形式对称、美观,其中a 是直线与x 轴交点的横坐标，称a 为直线在x 轴上的截距，简称横截距；b 是直线与y 轴交点的纵坐标，称b 为直线在y 轴上的截距，简称纵截距.因方程（4）是由直线在x 轴和y 轴上的截距确定的，所以我们把方程（4）式叫做直线方程的截距式方程.问题5:题目中所给的条件有什么特点?可以用哪些方法来求直线l 的方程？哪种方法更为简捷?分析：给出直线上两点的坐标;可以用点斜式或者两点式;两点式.问题6:方程中的b a ,分别有什么几何意义，它们可以为零吗?如果给这个方程起个名字，可以叫什么？分析：a 是直线的横截距,b 是直线的纵截距;不可以为零,因为它们都在分母上;截距式. 课堂练习2:课本97页,练习题第2题.四、变式演练、深化提高【例2】已知三角形的三个顶点()0,5-A ，()3-3，B ，()2,0C ，求BC 边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程.解析:课堂练习3:课本97页,练习题第3题.五、信息交流、教学相长问题7:两点式方程是根据什么推导出来的?为什么不只用点斜式,而推导两点式呢?两点式方程的应用范围是直线的斜率存在,且不为零,你能将该方程的形式做适当改变后,使得其应用范围更广吗?分析：问题8:截距式方程是根据什么推导出来的?只要直线存在横纵截距,就能用截距式求其方程吗?分析：六、讨论结果、知识小结问题9:(1)到目前为止,我们所学过的直线方程的表达形式有多少种?它们之间有什么关系?(2)要求一条直线的方程,必须知道多少个条件?分析：通过本节学习，要求大家掌握直线方程两点式和截距式的发现和推导过程，并能运用这两种形式求出直线的方程.①若21x x ≠且21y y ≠,则直线l 方程为121121x x x x y y y y --=--. ②当21x x =时，直线与x 轴垂直，直线方程为1x x =；当21y y =时，直线与y 轴垂直，直线方程为1y y =.③倾斜角是0°或90°的直线不能用两点式公式表示(因为21x x ≠,21y y ≠). ④by a x +=1. ⑤a 、b 表示的截距分别是直线与坐标轴x 轴交点的横坐标，与y 轴交点的纵坐标，而不是距离.⑥截距式不能表示平面坐标系下在x 轴上或y 轴上截距为0的直线的方程，即过原点或与坐标轴平行的直线不能用截距式.作业1．直线x 2－y 5＝1在x 轴、y 轴上的截距分别为( ) A ．2,5 B ．2，－5C ．－2，－5 D ．－2,5 2．如右图所示，直线l 的截距式方程是x a ＋y b＝1，则有( )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <03．在y 轴上的截距是－3，且经过A (2，－1)，B (6,1)中点的直线方程为( )A ．x 4＋y 3＝1 B ．x 4－y 3＝1 C ．x 3＋y 4＝1 D ．x 3－y 6＝1 4．过(x 1，y 1)和(x 2，y 2)两点的直线方程是( )A ．y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1B ．y －y 1y 2－y 1＝x －x 2x 1－x 2C ．(y 2－y 1)(x －x 1)－(x 2－x 1)(y －y 1)＝0D ．(x 2－x 1)(x －x 1)－(y 2－y 1)(y －y 1)＝05．已知点P (－1,2m －1)在经过M (2，－1)，N (－3,4)两点的直线上，则m ＝_________.6．过点(0,3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是_________.7.求出下列直线的截距式方程：（1)横截距是3，纵截距是5；（2)横截距是10，纵截距是-7；8.已知Rt △ABC 的两直角边AC=3，BC=4，直角顶点C 在原点，直角边AC 在x 轴负方向上，BC 在y 轴正方向上，求斜边AB 所在的直线方程.9.如图,已知三角形的顶点是A(－5，0)、B(3，－3)、C(0，2)，求这个三角形三边所在直线的方程.10.已知△ABC 的顶点坐标为A （-1，5）、B （-2，-1）、C （4，3），M 是BC 边上的中点.（1）求AB 边所在的直线方程；（2）求中线AM 的长;（3）求AB 边的高所在直线方程.。

直线方程预习案

2.2.2 直线的方程（1）
【预习目标】：
1．通过直线方程的点斜式的推导，初步体会求直线方程的方法和过程
2．熟练掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式.
3．能根据给出条件，灵活选用恰当方程形式求出直线的方程。

【预习要求】：1.通过预习课本完成预习学案上的相关题目。

2．组长组织好组员利用好课前时间交流学案上的问题，并归纳疑问。

3．请各位同学认真预习，以便积极主动参与课堂。

自学探究：
一、知识链接
1.斜率公式：
经过P1(x1,y1)、P2(x2,y2)( x1 x2)的直线的斜率k= . 当x1=x2 时，直线P1 P2有没有斜率？
思考1：若过点A（1,2），B(x,y）的直线的斜率k=2，求x,y满足怎样的关系式？
二、自学导引：请同学们阅读课本第77-78页，并思考完成下列问题: 问题探究一：
1、如何求过点 (x0,y0),斜率为k的直线方程？
若求过点 (x0,y0),斜率不存在的直线方程，则该直线方程为
问题探究二：
2、求过点 (0,b),斜率为k的直线方程？
问题探究三：
3、求过两点(x1,y1)、( x2,y2) 的直线斜率和直线方程。

思考2：如何求过两点(a,0)、(0,b) 的直线斜率和直线方程。

思考3：通过预习，是否每种方程都能表示所有直线？有那些局限性？
试一试：
1、求过原点（0,0），斜率k=-2的直线方程？
2、求过点（0,2），斜率k=-1的直线方程？
3、求过点（-2,1），（1,4）的直线方程？
4、求过点（-3,0），（0,4）的直线方程？。

高中数学教案直线方程

高中数学教案直线方程
教学目标：
1. 理解直线的定义及直线方程的含义；
2. 掌握利用点斜式、截距式和一般式求解直线方程的方法；
3. 能够应用直线方程解决实际问题。

教学重点：
1. 点斜式、截距式和一般式的直线方程求解方法；
2. 直线方程应用题的解决能力。

教学步骤：
一、导入（5分钟）
教师通过引入一个真实的例子引出直线的概念及方程的含义，让学生了解直线方程的基本概念。

二、讲解直线方程的表示方法（10分钟）
1. 点斜式：y - y1 = k(x - x1)；
2. 截距式：x/a + y/b = 1；
3. 一般式：Ax + By + C = 0。

三、练习及拓展（15分钟）
教师通过一些练习题让学生巩固以上三种表示方式的求解方法，并引导学生拓展到更复杂的题目中。

四、综合应用（15分钟）
教师出一些应用题，要求学生利用所学的知识解决实际问题，如求两直线的交点等。

五、总结（5分钟）
教师对本节课所学内容进行总结，强调重点，巩固学生的知识。

六、作业布置（5分钟）
布置相应的作业，用以巩固所学知识。

教学反思：
通过本节课的学习，学生可以掌握直线方程的基本概念及解题方法，从而提高解决实际问题的能力。

同时，教师要注意引导学生理解概念，注重实际应用，使学生学以致用。

。必修2直线的方程教案

集体备课教案年级：高一级科目：数学授课人：课题直线的倾斜角和斜率第 1 课时三维目标1．理解直线的倾斜角和斜率的概念；掌握过两点的直线斜率的计算公式．2．通过一系列直线的不同位置的学习，培养学生的探究精神．3．通过几何问题用代数问题来处理的思维，培养学生的数形结合思想．重点倾斜角、斜率的概念，过两点的直线斜率的计算公式．中心发言人难点直线倾斜角与它的斜率之间的关系教具多媒体，学案课型新授课课时安排 1 课时教法讲练结合法学法类比归纳法个人主页教学过程【问题导思】1．已知直线上一个点，能确定一条直线吗？2．当直线的方向确定后，直线的位置确定吗？3．直线l1，l2分别是平面直角坐标系中一、三象限角平分线和二、四象限角平分线，它们的倾斜程度一样吗？1．直线的确定在平面直角坐标系中，确定直线位置的几何条件是：已知直线上的一个点和这条直线的方向．2．直线的倾斜角(1)定义：(2)范围：3．直线的斜率4．倾斜角、斜率及直线特点之间的联系5.过两点的直线斜率的计算公式例1：求直线的倾斜角设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为( )A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．当0°≤α＜135°时为α＋45°，当135°≤α＜180°时为α－135°例2：求直线的斜率(1)直线过两点A(1,3)、B(2,7)，求直线的斜率；(2)过原点且斜率为1的直线l绕原点逆时针方向旋转90°到达l′位置，求直线l′的倾斜率例3：直线的倾斜角、斜率的综合应用已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l 过点P(3,1)，且与线段AB相交，求直线l的斜率的取值范围．课堂小结：1．直线的斜率与倾斜角是刻画直线位置状态的两种基本量，决定了这条直线相对于x轴的倾斜程度．2．倾斜角是90°的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率，即直线的倾斜角不为90°时斜率公式才成立．3．斜率公式与两点的顺序无关，它是以后研究直线方程的各种形式的基础，须熟记并会灵活运用．4．利用斜率相等，是解决三点共线问题的有效途径，但要确保直线的斜率存在.教后反思审核人签字：年月日集体备课教案年级：高一级科目：数学授课人：课题直线方程的点斜式第 1 课时三维目标1．(1)掌握直线方程的点斜式．(2)了解斜截式与一次函数的关系．2．通过直线点斜式方程的学习，培养学生的探索精神．3．培养学生用代数思维解决几何问题，提高数学的学习兴趣．重点直线方程的点斜式．中心发言人难点直线方程的应用教具多媒体，学案课型新授课课时安排 1 课时教法讲练结合法学法类比归纳法个人主页教学过程【问题导思】：若直线经过点P(x0，y0)，且斜率为k，则直线上任意一点的坐标满足什么关系？．1．直线的方程如果一个方程满足以下两点，就把这个方程称为直线l的方程：(1)直线l上任一点的坐标(x，y)都满足这个方程；(2)满足该方程的每一个数对(x，y)所对应的点都在直线l上．2．直线方程的点斜式和斜截式类型一：利用点斜式求直线方程例1：根据条件写出下列直线的方程，并画出图形．(1)经过点A(－1,4)，斜率k＝－3；(2)经过坐标原点，倾斜角为45°；(3)经过点B(3，－5)，倾斜角为90°；(4)经过点C(2,8)，D(－3，－2)．类型二：利用斜截式求直线方程例2： (1)写出斜率为2，在y轴上截距是3的直线方程的斜截式．(2)已知直线l的方程是2x＋y－1＝0，求直线的斜率k，在y轴上的截距b，以及与y轴交点P的坐标．类型三：点斜式、斜截式方程的综合应用例3：已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0，求证：不论a取何值，直线l总经过第一象限．课堂小结：1．对于利用点斜式求直线方程，首先应先求出直线的斜率，再代入公式求解．2．对于利用斜截式求直线方程，不仅求斜率，还要求截距．课堂练习：见课本63页及练习册相应内容作业：见习题2-3 第5题教后反思审核人签字：年月日集体备课教案年级：高一级科目：数学授课人：课题直线方程的两点式和一般式第 1 课时三维目标1．知识与技能(1)掌握直线方程的几种形式及它们之间的相互转化．(2)了解直线与二元一次方程的对应关系．重点直线方程的两点式和一般式．中心发言人难点利用直线方程的各种形式求直线方程．教具多媒体，学案课型新授课课时安排 1 课时教法讲练结合法学法类比归纳法个人主页教学过程【问题导思】已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何求AB的直线方程？1．两点式：2．截距式．【问题导思】以上所学的直线方程的几种形式能整理成关于x、y的二元一次方程的整式形式吗？直线方程的一般式关于x，y的二元一次方程Ax ＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示的是一条直线，我们把它叫作直线方程的一般式．直线方程的两点式和截距式例1、求满足下列条件的直线方程：(1)过点A(－2,3)，B(4，－1)；(2)在x轴、y轴上的截距分别为4，－5；(3)过点P(2,3)，且在两坐标轴上的截距相等．学生合作交流：将本例(1)中的A改(－2，m)，求直线方程．直线方程的一般式例2、设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别确定m的值；(1)l在x轴上的截距是－3；(2)l的斜率是－ 1.学生交流：根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：(1)斜率为2，且经过点A(1，－1)．(2)斜率为12，在y轴上的截距为1.课堂小结：作业：教后反思审核人签字：年月日集体备课教案年级：高一级科目：数学授课人：课题直线方程的应用第 1 课时三维目标1．知识与技能(1)掌握直线方程的几种形式及它们之间的相互转化．(2)了解直线与二元一次方程的对应关系．重点直线方程的两点式和一般式．中心发言人难点利用直线方程的各种形式求直线方程．教具多媒体，学案课型新授课课时安排 1 课时教法讲练结合法学法类比归纳法个人主页教学过程复习提问直线方程的几种形式：直线方程的应用例1、已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围．1．直线过定点(15，35)是解决本题的关键．2．针对这个类型的题目，灵活地把一般式Ax ＋By＋C＝0(A，B不同时为0)进行变形是解决这类问题的关键．在求参量取值范围时，巧妙地利用数审核人签字：年月日形结合思想，会使问题简单明了．课堂小结1．在求直线方程时，应适当选用方程的形式，并注意各种形式的适用条件，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直和经过原点的直线．2．对于求直线的方程，在没有特殊说明的情况下，结果应该化为一般式方程．3．一般式方程化为特殊方程形式时，应注意条件的限制．当B ≠0时，可化为斜截式，在ABC ≠0时，可化为截距式．课堂练习1．过两点(2 013,2 014)，(2 013,2 015)的直线方程是()A ．x ＝2 013B ．x ＝2 014C ．y ＝2 013D ．x ＋y ＝2 0132．(2013·厦门高一检测)直线x －y ＋5＝0的倾斜角为()A ．45°B ．60°C ．120°D ．135°3直线ax ＋by －ab ＝0(ab ≠0)在两坐标轴上截距之和是________．4．已知△ABC 的顶点为A(1，－1)，线段BC 的中点为D(3，32)，求BC 边上的中线所在直线的方程．教后反思集体备课教案年级：高一级科目：数学授课人：课题两条直线的位置关系第 1 课时三维目标1．知识与技能(1)能根据两条直线的斜率判定平行或垂直．(2)能运用两条直线的平行或垂直，求直线的方程．2．过程与方法通过对两条直线平行、垂直关系的判定，培养学生发现数学规律的思维方法与能力．重点两条直线平行或垂直的判定和性质的应用．中心发言人难点直线无斜率时平行或垂直的关系．教具多媒体，学案课型新授课课时安排2课时教法讲练结合法学法类比归纳法个人主页教学过程【问题导思】1．直线y＝x＋1与y＝x－1，它们的斜率分别是多少？它们有什么位置关系？2．直线y＝－x与y＝x的斜率是什么？它们有什么位置关系？3．直线x＝3和y＝3，有什么位置关系？阅读课本完成练习册中表格判断下列各对直线平行还是垂直，并说明理由．(1)l1：3x＋5y－6＝0，l2：6x＋10y＋3＝0；(2)l1：3x－6y＋14＝0，l2：2x＋y－2＝0；(3)l1：x＝2，l2：x＝4；(4)l1：y＝－3，l2：x＝1.学生练习已知点A(2,2＋22)，B(－2,2)和C(0,2－22)可组成三角形，求证：△ABC为直角三角形．已知点A(2,2)和直线l：3x＋4y－20＝0，求：(1)过点A和直线l平行的直线方程；(2)过点A和直线l垂直的直线方程．1．根据两直线的位置关系求出所求直线的斜率，点斜式求解；或利用待定系数法求解．2．直线方程的常用设法①过定点P(x0，y0)，可设点斜式y－y0＝k(x－x0)；②知斜率k，设斜截式y＝kx＋b；③与直线Ax＋By＋C＝0平行，设为Ax＋By＋m＝0；④与直线Ax＋By＋C＝0垂直，设为Bx－Ay＋n＝0.小结1．判断两条直线平行的一般性结论是：l1∥l2?k1＝k2或l1，l2的斜率均不存在．2．判断两条直线垂直的一般结论是：l1⊥l2?k1k2＝－1或一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0.3．根据两条直线的平行或垂直关系求直线方程时，可根据两直线的位置关系求出直线的斜率再求解；也可利用待定系数法求解．教后反思审核人签字：年月日集体备课教案年级：高一级科目：数学授课人：课题两条直线的位置关系第2课时三维目标1．知识与技能(1)能根据两条直线的斜率判定平行或垂直．(2)能运用两条直线的平行或垂直，求直线的方程．2．过程与方法通过对两条直线平行、垂直关系的判定，培养学生发现数学规律的思维方法与能力．3．情感、态度与价值观学习用数学思维方法解决问题、认识问题，不断提高学习数学的兴趣．重点两条直线平行或垂直的判定和性质的应用．中心发言人难点直线无斜率时平行或垂直的关系．教具多媒体，学案课型新授课课时安排2课时教法讲练结合法学法类比归纳法个人主页教学过程复习提问1．直线y＝x＋1与y＝x－1，它们的斜率分别是多少？它们有什么位置关系？2．直线y＝－x与y＝x的斜率是什么？它们有什么位置关系？3．直线x＝3和y＝3，有什么位置关系？4.两条直线平行，垂直的判定方法?利用两直线的平行、垂直求参数若直线l1：ax＋4y－2＝0，l2：x＋ay＋1＝0，求：a取何值时，(1)l1∥l2，(2)l1⊥l2.学生合作完成已知直线l1过点A(1,1)，B(3，a)，直线l2过点M(2,2)，N(3＋a,4)．(1)若l1∥l2，求a的值；(2)若l1⊥l2，求a的值．课堂小结：1．判断两条直线平行的一般性结论是：l1∥l2 ?k1＝k2或l1，l2的斜率均不存在．2．判断两条直线垂直的一般结论是：l1⊥l2?k1k2＝－1或一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0.3．根据两条直线的平行或垂直关系求直线方程时，可根据两直线的位置关系求出直线的斜率再求解；也可利用待定系数法求解．1．下列直线中与直线x－y－1＝0平行的是()A．x＋y－1＝0B．x－y＋1＝0C．ax－ay－a＝0D．x－y＋1＝0或ax－ay－a＝02．已知直线l1的斜率k1＝1，直线l2的斜率k2＝－1，则l1与l2的位置关系是()A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．不确定3．若直线l1：2x＋my＋1＝0与直线l2：y＝3x－1平行，则m＝________.4．已知直线(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与直线(a －1)x＋(2a＋3)y＋2＝0垂直，求实数 a.教后反思审核人签字：年月日集体备课教案年级：高一级科目：数学授课人：课题两条直线的交点第1课时三维目标1．知识与技能(1)学会用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标．(2)理解方程组的解和两直线交点坐标的对应关系．2．过程与方法通过用解方程组的方法求两直线交点，使学生掌握用代数方法解决与直线有关的问题．3．情感、态度与价值观培养解析几何意识，实现平面几何问题向代数方法的转变．重点用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标．中心发言人难点方程组的解和两直线交点坐标的对应关系。

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