概率论与数理统计随机变量的分布函数

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概率论与数理统计第二章随机变量及其分布

15
例4: 甲、乙两名棋手约定进行10盘比赛，以赢的盘数较多者为胜. 假设每盘棋甲赢的概率都为0.6，乙赢的概率为0.4，且各盘比赛相互独立，问甲、乙获胜的概率各为多少？解每一盘棋可看作0-1试验. 设X为10盘棋赛中甲赢的盘数，则 X ～ b(10, 0.6) . 按约定，甲只要赢6盘或6盘以上即可获胜. 所以
定义：若随机变量X所有可能的取值为x1，x2，…，xi，…，且 X 取这些值的概率为 P(X=xi)= pi , i=1, 2, ... (*)
则称(*)式为离散型随机变量X 的分布律。分布律的基本性质： (1) 表格形式表示: pi 0, i=1，2，... (2)

i
pi 1
X pk
x1 p1
这里n=500值较大，直接计算比较麻烦. 利用泊松定理作近似计算: n =500, np = 500/365=1.3699>0 ，用 =1.3699 的泊松分布作近似计算：
(1.3669) 5 1.3669 P{ X 5} e 0.01 5!
23
例2: 某人进行射击，其命中率为0.02，独立射击400次，试求击中的次数大于等于2的概率。解将每次射击看成是一次贝努里试验，X表示在400次射击中击的次数，则X~B(400, 0.02)其分布律为
k 0,1
14
(2) 二项分布设在一次伯努利试验中有两个可能的结果，且有 P(A)=p 。则在 n 重伯努利试验中事件 A发生的次数 X是一个离散型随机变量，其分布为
P ( X k ) C nk p k q n k
k =0, 1, 2 ,, n
称X 服从参数为n，p的二项分布，记为 X~b(n, p) 对于n次重复一个0-1试验. 随机变量X表示: n次试验中, A发生的次数. 如：掷一枚硬币100次, 正面出现的次数X服从二项分布. b(100, 1/2) 事件 X～

概率论与数理统计课件：随机变量及其分布

随机变量及其分布
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§2.2 离散型随机变量及其分布律
定义设离散型随机变量 X 所有可能取的值为xk , k = 1, 2,
X 取各个可能值的概率,即事件{ X xk } 的概率，为
P{ X xk } pk , k 1, 2, .
称此为离散型随机变量 X 的分布律.
随机变量及其分布
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定义2.1 设随机试验E, 其样本空间S, 若对样本
空间每一个样本点e, 都有唯一一个实数X(e)与之对
应，那么就把这个定义域为S的单值实值函数X=X(e),
称为随机变量。
随机变量通常用大写字母X,Y,Z 或希腊字母 ξ,η等表示.
而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母x,y,z等.
量方面，如，投掷一枚均匀骰子，我们观察出现的点
数。
记X=“出现的点数”
则X的可能取1, 2, …, 6中任一个数，可见X是变量；
又X取那个值不能事先确定，故此X的取值又带有随机
性.
有了随机变量，有关事件的表示也方便了，如
{X=2}, {X≤2}, ……
随机变量及其分布
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这样的例子还有很多. 又如，研究手机的使用寿命
或写成
随机变量及其分布
5
P( X k )
6
k 1
1
, k 1, 2,
6
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常见离散型随机变量
（一）“0-1”分布
设随机变量 X 只可能取 0 和1 两个值，它的分布律
为
k
P X k p（
1 p)1k k 0,1
(0 p 1)

概率论与数理统计-随机变量及其分布

解
直接对上式求导有
二、连续型随机变量函数的分布
81
例 18
解
二、连续型随机变量函数的分布
82
定理 1
定理 2
83
总结/summary
离散型随机变量：分布律
分二项分布、泊松分布、几何
随布分布
机变
函数
连续型随机变量：密度函数
量均匀分布、指数分布、正态
分布
随机变量函数的分布
84
谢谢观赏
46
47
目录/Contents
2.1 随机变量及其分布 2.2 常用的离散型随机变量 2.3 常用的连续型随机变量 2.4 随机变量函数的分布
48
目录/Contents
2.3 常用的连续型随机变量
一、均匀分布二、指数分布三、正态分布
一、均匀分布
49
一、均匀分布
50
一、均匀分布
51
一、均匀分布
15
定义3
（1）非负性（2）规范性
三、离散型随机变量及其分布律
16
换句话说，如果一个随机变量只可能取有限个值或可列无限个值, 那么称这个随机变量为（一维）离散型随机变量.
一维离散型随机变量的分布律也可表示为：
三、离散型随机变量及其分布律
17
例2
求
三、离散型随机变量及其分布律
18
解
四、连续型随机变量及其密度函数
2.1 随机变量及其分布 2.2 常用的离散型随机变量 2.3 常用的连续型随机变量 2.4 随机变量函数的分布
73
目录/Contents
2.4 随机变量函数的分布一、离散型随机变量函数的分布二、连续型随机变量函数的分布

分布函数密度函数

分布函数密度函数分布函数与密度函数是概率论与数理统计中常用的概念，用于描述随机变量的分布特征。

本文将从分布函数和密度函数的定义、性质和应用等方面进行阐述。

一、分布函数的定义与性质分布函数是随机变量的一个重要特征，它描述了随机变量取值小于或等于某个实数的概率。

对于随机变量X，分布函数的定义如下：F(x) = P(X ≤ x)其中，F(x)表示随机变量X的分布函数，P表示概率，X ≤ x表示随机变量X取值小于或等于x的事件。

分布函数具有以下性质：1. F(x)是一个非递减函数，即对于任意的x1 < x2，有F(x1) ≤ F(x2)；2. 当x趋于负无穷时，F(x)趋于0；当x趋于正无穷时，F(x)趋于1；3. F(x)是右连续的，即对于任意的x0，有lim F(x) = F(x0+)，其中x0+表示x0的右极限。

二、密度函数的定义与性质密度函数是分布函数的导数，用于描述随机变量的取值在某个区间内的概率密度。

对于随机变量X，密度函数的定义如下：f(x) = dF(x)/dx其中，f(x)表示随机变量X的密度函数，dF(x)/dx表示分布函数F(x)的导数。

密度函数具有以下性质：1. f(x) ≥ 0，即密度函数非负；2. 在整个实数轴上，密度函数的积分等于1，即∫f(x)dx = 1；3. 对于任意的实数a、b（a < b），随机变量X在区间[a, b]上的概率可以通过密度函数计算，即P(a ≤ X ≤ b) = ∫[a,b]f(x)dx。

三、分布函数和密度函数的关系分布函数和密度函数是相互关联的，它们之间可以通过求导和积分相互转化。

具体而言，对于给定的密度函数f(x)，可以通过积分得到分布函数F(x)，即F(x) = ∫[-∞,x]f(t)dt；而对于给定的分布函数F(x)，可以通过求导得到密度函数f(x)，即f(x) = dF(x)/dx。

四、分布函数和密度函数的应用分布函数和密度函数在概率论和数理统计中具有广泛的应用。

概率论与数理统计-随机变量及其分布-随机变量与分布函数

7
01 随机变量
如何描述随机变量的统计规律呢？
无论是离散型随机变量，还是连续型随机变量以及其他类型的随机变量，都需要一种统一的描述工具.
对一个样本空间，当建立了随机变量后，我们感兴趣的随机变量落在某区间或等于某特定值的概率. 为此给出分布函数的概念.
8
本讲内容
01 随机变量 02 分布函数
02 分布函数定义设 X 为随机变量，x 是任意实数，称函数为 X 的分布函数.
x
如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数 F(x) 的
值就表示 X 落在区间
的概率.
10
02 分布函数
用分布函数计算 X 落在( a ,b ] 里的概率：
因此，只要知道了随机变量X的分布函数，它的统计特性就可以得到全面的描述.
分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我们可以用数学分析的分布函数
分布函数的性质
(1) F ( x ) 单调不减，即
(3) F ( x ) 右连续，即如果一个函数具有上述性质，则一定是某个随机变量X 的分布函数. 也就是说，性质(1)--(3)是鉴别一个函数是否是某随机变量的分布函数的充分必要条件.
01 随机变量
随机变量 ( random variable ) 定义设 S 是试验E的样本空间, 若
按一定法则
ω.
X(ω)
R
4
01 随机变量
随机变量通常用
X,Y,Z或 , ,等表示
随机事件可以通过随机变量的关系式表达出来例如某人每天使用移动支付的次数——随机变量X {某天至少使用1次移动支付} {某天1次也没有使用}
12
02 分布函数
例解

概率论与数理统计3.3 随机变量的分布函数

F () =P X P 0
F() =P X P 1
3. 记{xn}是严格递减的数列且xn x,
F (x1) F (x)

P{ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
X

x1}

P

xn1
X

xn

n1

P xn1 X xn [F (xn ) F (xn1)]
2.3、随机变量的分布函数
设X是一个随机变量, x 是任意实数, 函数
F( x) P{X x}
称为X的分布函数．
几何定义：将 X 看成是数轴上的随机点的坐标，分布
函数F ( x)在 x 处的函数值就表示 X 落在区间(, x]上的概率。
X
0x
x
FX (x) P( X x), x
x
x
(3)
F(x)
右连续，即
lim
x x0
F(x)

F ( x0 )
分布函数性质的证明：
1. x1, x2 R且x1 x2.
则 F (x2 ) F (x1) P{x1 X x2} 0，
F (x1) F (x2 )
2. F (x) P{X x},
F(x) P(X x), （ x ）
分布函数的性质(充要条件）
(1) F x 在 , 上是一个不减函数 ,
即对 x1 , x2 , 且 x1 x2 ,都有 F x1 F x2 ;
(2) F() lim F x 0 F() lim F x 1
P{x1 X x2} F (x2 ) F (x1 )

概率分布函数

概率分布函数概率分布函数（Probability Distribution Function）是在概率论与数理统计中用来描述随机变量的分布规律的函数。

它可以提供随机变量取某个值的概率。

一、定义与性质概率分布函数通常表示为 F(x)，其中 x 是随机变量的取值，F(x) 表示该变量小于等于 x 的概率。

概率分布函数具有以下性质：1. 非减性：随着 x 增大，F(x) 逐渐增大或保持不变。

2. 有界性：0 ≤ F(x) ≤ 1，对于任意的 x。

3. 右连续性：在所有的实数 x0，F(x) 在 x ≥ x0 时连续。

二、常见1. 均匀分布函数（Uniform Distribution Function）：均匀分布函数是一种简单且常见的概率分布函数。

在一个区间 [a, b] 内，每个数值的概率密度相等，即 f(x) = 1 / (b - a)，其中a ≤ x ≤ b。

其概率分布函数为：F(x) = (x - a) / (b - a)，其中a ≤ x ≤ b。

2. 正态分布函数（Normal Distribution Function）：正态分布函数也被称为高斯分布函数。

它是一种常见的连续概率分布函数，通常用于描述自然界中的现象。

其概率密度函数为：f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * exp(-(x - μ)² / (2 * σ²))，其中μ 是均值，σ 是标准差。

其概率分布函数无法用简单的公式表示，常用统计软件进行计算。

3. 二项分布函数（Binomial Distribution Function）：二项分布函数用于描述在 n 个独立的 Bernoulli 试验中成功的次数的概率分布。

其中成功的概率为 p，失败的概率为 q = 1 - p。

其概率质量函数为：f(x) = C(n, x) * p^x * q^(n-x)，其中 C(n, x) 表示组合数。

其概率分布函数通常写为累积形式，无法用简单的公式表示。

概率论与数理统计 --- 第二章{一维随机变量及其分布} 第五节：随机变量的函数的分布

y 8 用 X 代替2 X +8 y 2
概率论
用

y X
y 代替 X y
2

这样做是为了利用已知的 X的分布，从而求出相应的概率.
这是求r.v.的函数的分布的一种常用方法.
概率论定理: 设 X是一个取值于区间 [a, b], 具有概率密度 f(x)的连续型随机变量, 又设 y=g(x)处处可导, 且对于任意 x, 恒有 g'(x)>0 或恒有 g'(x)<0, 则 Y=g(X)是一个连续型随机变量，它的概率密度为：
y
f X ( x)
1

( x ) 2
2
2
概率论
2
1
e
,
x
yb fY ( y ) fX , a a
y
2
即：fY ( y )
1 a
1 2

yb a 2
2
e

dh( y ) , f X [h( y )] fY ( y ) dy 0,
a x b
y
其它
其中， min g ( x ), max g ( x ),
a x b
x=h(y) 是 y=g(x) 的反函数 .
概率论 2x 2 0 x 例4: 设随机变量X的概率密度为: f X ( x ) 求 Y = sinX 的概率密度. 1 Y 1 0 其它解: 当 0 x 时, 0 y 1 FY y P Y y
当 y 0时，FY ( y ) 0,
当 y 1时，FY ( y ) 1，

概率论与数理统计-第二章-随机变量及其分布函数ppt课件

表格: X
x1 x2
pk
p1 p2
概率分布图：
1P
xn
pn
0.5
x4 x3
x1
x2
X
.
由概率的性质易知离散型随机变量的分布列
pk
满足下列特征性质:
k 1
① pk 0(k 1,2,) [非负性]
②
pk 1 [规范性]用于确定待定参数
k 1
③ F( x) P( X x) P(X xi ). xi x
1. 2
.
【例2】设随机变量X的分布函数为
aex b, x 0
F(x)
0,
x0
解：因为 F(x) 在 x=0 点右连续
求: 常数 a 和 b。
所以 lim F ( x) lim (ae x b) a b 0
x0
x0
又因为 F () lim (ae x b) b 1 x
1、两点分布或（0 - 1）分布
two-point distribution
定义1 设离散型随机变量X的分布列为
X0 1 pk 1 p p
其中 0<p<1
则称 X 服从（0 - 1）分布，记作 X ～（0 - 1）分布
F(x)
（0 - 1）分布的分布函数
0 , x0 F ( x) 1 p, 0 x 1
X = “三次试验中 A 发生的次数”，
{ X 2} A1A2 A3 A1A2 A3 A1A2 A3 P{X 2} P(A1A2 A3 A1A2 A3 A1A2 A3 )
P(A1A2 A3 ) P(A1A2 A3 ) P(A1A2A3 ) P(A1)P(A2)P(A3) P(A1)P(A2)P(A3) P(A1)P(A2 )P(A3 ) C32 p2(1 p)32

概率论与数理统计第二章--随机变量及其分布

第十四页，编辑于星期二：四点四十二分。
由于 X的取值点 3,4,5,6将R分成五个区间，
因此我们分段讨论可得，
?0,
x ? 3,
F( x )
F (x) ? ????00..02,5,
3 ? x ? 4, 4 ? x ? 5,
1
0.5
?0.5, 5 ? x ? 6,
0.2
?
0.05
??1,
x ? 6.
且每台设备在一天内发生故障的概率都是
0.01. 为保证设备正常工作，需要配备适量的维修人员.假设一台设备的故障可由一人来处理，且每人每天也仅能处理一台设备. 试分别在以下两种情况下求该公司设备发生故障而当天无人修理的概率。（1）三名修理工每人负责包修 60台（2）三名修理工共同负责 180台
则称 X服从参数为 p的两点 (或0-1)分布.
第十九页，编辑于星期二：四点四十二分。
?二项分布
例4. 设射手每一次击中目标的概率为 p，现连续射击n次，求击中次数 X 的概率分布 .
若随机变量X的概率分布为
Pn (k)
?
P
(
X
?
k)?C
k
n
p
k
(1
?
p)n?k ,
k ? 0,1,? , n
其中 0< p<1,称X服从参数为n和 p的二项分布，
第二十一页，编辑于星期二：四点四十二分。
?泊松分布
若随机变量 X的概率分布为
P( X ? k) ?e? ? ? k , k?0,1,2,? ? ,
k!
其中λ>0为常数，则称X服从参数为λ的泊松
分布，简记为 X ~ P (? )

概率与数理统计第二章-3-随机变量的分布函数

则X的分布函数为： 0
x x1
p1
x1 x x2
F ( x)
PX
x
p1 p2 p1 p2
p3
x2 x x3 x3 x x4
L
L
分布函数F(x)是一个右连续的函数,在
x=xk(k=1,2…)处有跳跃值 pk=P{X=xk},如下图所示
例5 随机变量X的概率分布为：
X 1 2 4
在概率论的研究中发现：无论是何种类型的随机变量，如果对任意的实数x , 事件{X≤x}的概率P{X≤x}已知时，随机变量X取任何值及任何区间的概率都可以由概率P{X≤x} 求出。如
{a<X≤b}= {X≤b} —{X≤a}
(]
a
b
事件{X≤x}的概率P{X≤x}随 x 的不同而变化，
是x的实函数，称此函数为随机变量X的分布函数。
（1） 0 F(x) 1
（2）单调非减：若a < b, 则F(a)≤F(b)；
（3） lim F (x) F () 0, x lim F (x) F () 1; x
F(x)在任一点x处至少
（4）右连续性：即
右连续
lim
xx0
F
(x)
F
(x0
)
F(x0 0)
证明: (2) 对a<b,
(2)
对任意的x1< x2 P{x1 <X≤ x2}=
, 有： F(x2) －
( F(x1).x1
] x2
此因：{x1 <X≤ x2}= {X≤x2}－ {X≤ x1}
(3) P{X x1} F(x1 0)
此因：P{X
<
x1
}=

概率论与数理统计(随机变量函数的分布)

117 108 102 108 ( ) ( ) 3 3
( 3) ( 2) ( 3) ( 2) 1
0.9987 0.9772 1 0.9759
2.4.2 连续型随机变量函数的分布
也可以这样计算：
102 108 X 108 117 108 P{102 X 117} P 3 3 3 X 108 P { 2 3} ( 3) ( 2) 0.9759 3
函数 NORMDIST 返回累 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 函数值（即分布函数
值）；如果为FALSE，返回概率密度值．
2.4.2 连续型随机变量函数的分布
实验步骤： (1)在单元格B2中输入计算P{X < 102}的公式：
= NORMDIST(102, 108, 3, TRUE)
(2) 在单元格B3中输入计算P{X < 117}的公式：
f X [h( y)][ h' ( y)], y , fY ( y) 0, 其它
综合以上两式，定理证毕．
2.4.2 连续型随机变量函数的分布
说明：
若 f X ( x )在有限区间(a,b)外等于零,当 x (a, b) 时，g ( x ) ( , ) 且在(a，b)上恒有g'(x) > 0 （或恒有g'(x)<0 ），则仍可按式(2.12)求得 Y = g(X)概率密度.
2) 当y > 0时，FY ( y) P{ y X y} ( y) ( y) 2 ( y) 1 则
fY ( y) F 'Y ( y) 2 ( y) 2 1
2

《概率论与数理统计》第四节随机变量函数的分布

y，
(ln
y)
1， y
故Y的概率密度为：
fY
(
y)
1 2y
,
1
y e2,
0, 其它.
求连续型随机变量函数分布律的方法：
(2) 设y g( x)在区间I（k k 1,2,, s)上严格单调，且反函数分别
为x
hk (
y)，则Y
g( X )的概率密度为： s
fY ( y) f X [hk ( y)] h'k ( y) .
P(Z 1) P( X 1) P( X 1) 0.2 0.1 0.3，
P(Z 4) P( X 2) 0.3，P(Z 9) P( X 3) 0.3，
因此Z的分布律为：
Z P
0 0.1
1 0.3
4 0.3
9 0.3
.
从例1看到，根据X的分布确定Y g( X )分布，只需用“事件相同，概率相等”的思想处理. 一般地有，
h'(
y)
,
y ，
其它.
其中 min{ g(), g()}， max{g(), g()}.
一、分布函数
1. 分布函数：设X是一个随机变量，对任意实数 x，事件{X x}的
概率P( X x)称为随机变量X的分布函数，记作F( x)，即
F( x) P( X x).
2. 分布函数的性质：
P( X k) k e，k 0，1，2,， 0，则称X服从泊松分布，记k为! ：X～ ( ).
4. 几何分布: 若随机变量X所有可能取值为1, 2, , 且分布律为:
P( X k) pqk1, k 1, 2,, 0 p 1, q 1 p,
则称X服从几何分布，记为：X～G( p).

随机变量的函数的分布

概率论与数理统计
2
❖ 一.离散型随机变量函数的分布
➢设X是离散型随机变量，X的分布律为
X x1 x2 … xn … pi p1 p2 … pn …
则Y = g(X)也是一个离散型随机变量，此时Y的分布律为
Y=g(X) g(x1) g(x2) … g(xn) …
pi
p1
p2
…
pn
…
当 g(x1), g(x2), … , g(xn)中有某些值相等时，则把那些相等的值分别合并，并把对应的概率相加即可．
由题意可知，
3
31
1
P(Y 0) P( X 3)
f X ( x)dx
1
dx , 42
P(Y 1) P( X 3) 1 P( X 3) 1 1 1 . 22
概率论与数理统计
10
❖ 二.连续型随机变量函数的分布
1.分布函数法
➢ 例2.5.2 已知随机变量X服从区间(1，5)内的均匀分布即
➢ 解可得到分布函数如下
0, FY ( y) ln y,
1,
y1 1 y e, ye
Y=eX 的概率密度函数为
fY
(
y)
FY
(
y)
1 y
,
0,
1 ye .
其他
概率论与数理统计
13
❖ 二.连续型随机变量函数的分布
1.分布函数法
➢ 例2.5.4 设随机变量X具有概率密度fX(x), -∞<x<+∞, 求 Y=X2的概率密度．
➢求连续型随机变量的函数的概率密度主要有两种方法，即分布函数法和公式法．主要讲分布函数法.
1. 分布函数法
➢设连续型随机变量X的概率密度为 fX(x)，求 X的函数 Y = g(X) 的概率密度 fY(y) 的方法是：（1）先求Y 分布函数：

概率与统计中的随机变量的分布函数与概率密度函数的关系

概率与统计中的随机变量的分布函数与概率密度函数的关系随机变量是概率与统计中的重要概念之一，它可以用来描述随机事件的可能结果及其对应的概率分布。

在概率论和数理统计中，随机变量的分布函数和概率密度函数是两个用来描述随机变量的性质和行为的重要函数。

本文将重点介绍随机变量的分布函数与概率密度函数之间的关系。

一、随机变量的分布函数首先，我们需要了解随机变量的分布函数。

一个随机变量X的分布函数F(x)定义为对于任意实数x，函数F(x)给出的是X小于或等于x的概率。

换句话说，F(x)=P(X≤x)。

随机变量的分布函数具有以下性质：1. F(x)是一个非降的右连续函数；2. 当x趋于负无穷时，F(x)趋于0；3. 当x趋于正无穷时，F(x)趋于1。

二、随机变量的概率密度函数接下来，我们介绍随机变量的概率密度函数。

对于一个连续型随机变量X，它的概率密度函数f(x)定义为由分布函数F(x)求导得到的函数。

换句话说，f(x)=dF(x)/dx。

随机变量的概率密度函数具有以下性质：1. f(x)大于等于0，即概率密度函数的取值必须非负；2. 在整个实轴上，概率密度函数的积分等于1，即∫f(x)d x=1；3. 对于任意实数a和b（a<b），概率P(a≤X≤b)等于概率密度函数在区间[a,b]上的积分，即P(a≤X≤b)=∫[a,b]f(x)dx。

三、随机变量的分布函数与概率密度函数的关系随机变量的分布函数F(x)和概率密度函数f(x)之间存在着紧密的关系。

根据导数的定义，我们可以将分布函数F(x)对于区间(a,b)内的任意两个实数a<b进行展开，得到：F(b) - F(a) = P(a < X ≤ b)= ∫[a,b]f(x)dx由此可以看出，随机变量分布函数F(x)可以通过对概率密度函数f(x)的积分得到。

相反地，我们可以通过对分布函数求导来获得概率密度函数。

设F(x)是随机变量X的分布函数，如果存在可积函数f(x)，使得对于任意实数x，有F(x) = ∫(-∞,x]f(t)dt，则称f(x)为X的概率密度函数。

随机变量的分布函数

落入（-1，1）的概率为 P{-1<<1}=F(1)-F(-1) = 1 1 1 1 1 1 1 + arctan1 – ( + arctan(-1))= + = 2 2 4 4 2
例 4.设 X 是一个连续型随机变量，其概率密度为 f (x )，分布函数为 F ( x )，则对于任意 x 值有( ( A ) P (X = x ) = 0 (C) P(X=x)=f(x)
例 2.设随机变量1 和2 的分布函数分别为 F1(x)和 F2(x)，为使 F(x)=aF1(x) - bF2(x) 是某随机变量的分布函数，则在下列给定的各组数值中应取 ( A、a=3/5,b=-2/5 C、a=3/5,b=-3/5 B、a=3/5,b=2/5 D、a=2/5,b=2/5 )
解
由题意得：
（1）

A 1 x2

dx
1
A 1 x2
1

.
0 1 (arcsin x ) （2） F ( x ) 2 1 1 1 （3） P ( X ) 2 3
1 x 1 x 1
A 5.设随机变量 X 的概率密度为 f x 1 x 2 0
A
) (B)
F ( x) f ( x)
(D)
P (X = x) = F ( x ) .
1 x 1 其它
1 求（1）系数 A ；（2 分）（2） X 的分布函数；（4 分）（3）概率 P ( X ) . 2
《概率论与数理统计》第二章随机变量与概率分布随机变量的分布函数：分布函数定义： F(x)=P{≤x}, -<x<+ 分布函数(x)实质上表示随机事件 P{≤x}发生的概率。分布函数 F(x)的性质 (1)0≤F(x)≤1; lim (2) x- F(x)=0, lim x+ F(x)=1 (3)单调非减，当 x1<x2 时，F(x1)≤F(x2) lim (4)右连续 xx0+ F(x)=F(x0) 一些概率可用分布函数来表示 P{a<≤b}=F(b)-F(a), P{=a}=F(a)-F(a-0), P{>a}=1-F(a), P{≥a}=1-F(a-0), 0 例 1.设随机变量的分布函数为 F(x)= 1 = ( A、0 ) (选 C，因为 P{≤/4} =F(/4)=sin/4) B、1/2 C、 2 /2 D、1 sinx x<0 0x</2 x/2 , 则 P{≤/4} P{<a}=F(a-0),

分布函数-

分布函数概述分布函数是概率论和数理统计中的一个重要概念。

它描述了随机变量取某个值时，其概率是多少。

在实际应用中，我们经常需要求出随机变量的概率分布函数，以便通过它来计算一些重要指标，比如均值、方差等。

在概率论中，分布函数是指随机变量取某个值的概率累积值，即随机变量小于等于某个值的概率，它通常被表示为F(x)。

分布函数的定义随机变量X的累积分布函数F(x)定义为：F(x) = P(X <= x)其中，X是一个随机变量，x是实数。

F(x)表示的是随机变量小于等于x的概率。

根据定义，可以得到以下性质：1. F(x)是单调不降的。

2. F(x)的值域是[0,1]。

3. F(x)具有右连续性，即：lim F(x) = F(x+)x--> x+其中，F(x+)表示x的右极限。

分布函数的性质除了上述基本性质外，分布函数还具有以下重要性质：1. F(x)在x处的导数就是随机变量X在x时的概率密度函数f(x)。

即：F'(x) = f(x)2. 当x趋近于负无穷时，分布函数逼近于0；当x趋近于正无穷时，分布函数逼近于1。

3. 如果子集A包含在子集B中，则F(A)<=F(B)。

分布函数的分类分布函数按照性质和应用范围可以分为以下几类：1. 连续型分布函数如果随机变量X的取值属于某个区间上，那么X的分布函数为：$F(x)=\\int\\limits_{-\\infty}^{x} f(u)du$其中，f(x)是X的概率密度函数。

连续性分布函数通常表示为一个可导的曲线，而概率密度函数通常表示为函数图形下的面积。

常见的连续型分布函数有：(1) 均匀分布函数此型分布函数指随机变量在[a,b]之间取值相等的概率分布。

(2) 正态分布函数这是应用最广泛的分布函数之一。

正态分布函数由数学家德国心理学家阿多夫·奥古斯特·斯蒂度特在公元1805年提出。

它的图形呈现出一个钟形曲线。

2. 离散型分布函数如果随机变量只能取离散值，那么它的分布函数如下：$F(x)=P(X\\leq x)=\\sum\\limits_{x_i\\leq x}^{} p(x_i)$其中，p(x_i)表示随机变量X取到x_i时的概率。