高中数学柯西不等式pptppt
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数学课件：2.1.2 柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明
≥
(
������
∑
������������)2
������=1
������
∑ ������������
,
当且仅当ai=λbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.
变形(2)
������=1
设
������
ai,bi(i=1,2,…,n)同号且不为零,则 ∑
������=1
������������ ������������
名师点拨记忆柯西不等式的一般形式,一是抓住其结构特点:左
边是平方和再开方的积,右边是积的和的绝对值;二是与二维形式
的柯西不等式类比记忆.
知识拓展柯西不等式的变形和推广:
变形(1) 设 ai,bi∈R,bi>0(i=1,2,…,n),
������
则∑
������=1
���������2��� ������������
=
������2 ������2
=
⋯
=
������������ ������������
时等号成立.
∴(a1b1+a2b2+…+anbn)2≤4. ∴-2≤a1b1+…+anbn≤2. ∴所求的最大值为2.
答案:C
1.一般形式的柯西不等式如何应用? 剖析:我们主要利用柯西不等式来证明一些不等式或求值等问题, 但往往不能直接应用,需要对数学式子的形式进行变形,拼凑出与 一般形式的柯西不等式相似的结构,才能应用,因而适当变形是我 们应用一般形式的柯西不等式的关键,也是难点.我们要注意在应 用柯西不等式时,对于数学式子中数或字母的顺序要对比柯西不等 式中的数或字母的顺序,以便能使其形式一致,然后应用解题. 2.如何利用“1”? 剖析:数字“1”的利用非常重要,为了利用柯西不等式,除了拼凑应 该有的结构形式外,对数字、系数的处理往往起到某些用字母所代 表的数或式子所不能起的作用.这要求在理论上认识柯西不等式与 实际应用时二者达到一种默契,即不因为“形式”与“面貌”的影响而 不会用柯西不等式.
简单形式的柯西不等式ppt课件
2
思考：
由 a2 b2 ≥ 2ab 反映出的两个实数的平方 和与乘积的大小关系,类比它的推导过程考虑 与下面式子（涉及到四个实数，并且形式上也 与平方和有关）有关的有什么不等关系:
设 a,b,c, d为任意实数.
(a2 b2 )(c2 d 2 )
联想
3
展开这个乘积, 得
a2 b2 c2 d 2 a2c2 b2d 2 a2d 2 b2c2.
二维形式的柯西不等式是向量 形式的柯西不等式的坐标表示
如果向量 和 中有零向量,则ad bc 0 ,以上不等 式取等号.如果向量 和 都不是零向 量,则当且仅当| cos | 1,即向量 和
共线时,以上不等式取等号.这时存在非零实数k , 使
k.即 a,b kc, d .故ad bc kcd kcd 0.
1
有些不等式不仅形式优美而且具有重要的应用价值，
人们称它们为经典不等式.
如均值不等式:
a1 a2 n
an ≥ n a1a2
an (ai R , i 1, 2 ,
, n) .
本节,我们来学习数学上一个有名的经典不等式:
柯西不等式,了解它的意义、背景、证明方法及其应用，
感受数学的美妙，提高数学素养.
① 式中每个括号内都是两项式,通过后面的学 习会进一步认识二维形式的含义.
4
① 式反映了4个实数的特定数量关系,不仅排列 形式上规律明显, 具有简洁、对称的美感, 而且
在数学和物理中有重要作用.它是 柯西不等式
Cauchy inequality 的最简形式,即二维或简单形式的
柯西不等式.
从上面的探究过程可以发现,当且仅当ad bc 0时,① 式中的等号成立.于是我们有
《柯西不等式》课件
感谢您的观看
THANKS
应用场景
幂和不等式在数学分析和最优化理论等领域有应用，例如在求解约束优化问题、估计函数 的极值以及分析函数的收敛性等方面。
05
习题与解答
习题一：证明柯西不等式
总结词
通过数学推导证明柯西不等式
详细描述
这道习题要求学生掌握柯西不等式的证明方法，通过数学推导和证明，理解柯西不等式的原理和性质 。
习题二：应用柯西不等式解决问题
总结词
运用柯西不等式解决实际问题
详细描述
这道习题要求学生能够运用柯西不等式解决实际问题，如最大值、最小值问题等，培养学生的数学应用能力。
习题三：探索柯西不等式的变体
总结词
研究柯西不等式的变体形式
详细描述
这道习题要求学生探索柯西不等式的变体形式，理解不同形式的不等式及其应用，培养学生的数学探究能力。
详细描述
平方和不等式是指对于任意非负实数序列a_1, a_2, ..., a_n，有(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) >= (a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2。
应用场景
平方和不等式在数学、物理和工程领域有广泛的应用，例如在求解最优 化问题、估计数值稳定性以及分析信号处理中的频率响应等方面。
时。
数学期望
柯西不等式在大数定律的研究中也有应用， 如在研究强大数定律和弱大数定律时。
大数定律
利用柯西不等式，可以推导出一些数学期望 的性质和计算方法。
概率不等式
柯西不等式在概率不等式的证明中也有应用 ，如Chebyshev不等式等。
基本不等式与柯西不等式 共48页PPT资料
则|α||β|≥|α·β|.
(3)二维形式的三角不等式：设 x1，y1，x2，y2∈R，那么 x21＋y21＋ x22＋y22≥ x1－x22＋y1－y22
2．柯西不等式的一般形式 柯西不等式的一般形式：设 a1，a2，…，an，b1，b2，…bn 为实数，则(a12＋a22＋…＋an2)·(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2 ＋…＋anbn)2.
3．算术平均数与几何平均数
a＋b
设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数为__2_______，几何
平均数为__a_b_，基本不等式可叙述为：两__个__正__数__的__算__术__平__均__
__数__不__小__于__它__们__的__几__何__平__均__数__．_______
4．利用基本不等式求最值问题 已知 x>0，y>0，则： (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当x_＝__y____时，x＋y 有最小值是___2__p___.(简记：积定和最小) (2)如果和 x＋y 是定值 p，那么当且仅当x_＝__y__时，xy 有
p2 最大值是____4___.(简记：和定积最大)
5．平均值不等式
a＋3b＋c≥3 abc(a，b，c≥0)
二、 柯西不等式 1．柯西不等式的二维形式 (1)柯西不等式的代数形式：设 a1，a2，b1，b2 均为实数， 则(a21＋a22)(b21＋b22)≥___(a_1_b_1＋__a_2_b_2_)2__ (当且仅当 a1b2＝a2b1 时， 等号成立)． (2)柯西不等式的向量形式：设 α，β 为平面上的两个向量，
4y 的最小值是
()
24 A. 5 C．5
28 B. 5 D．6
(3)二维形式的三角不等式：设 x1，y1，x2，y2∈R，那么 x21＋y21＋ x22＋y22≥ x1－x22＋y1－y22
2．柯西不等式的一般形式 柯西不等式的一般形式：设 a1，a2，…，an，b1，b2，…bn 为实数，则(a12＋a22＋…＋an2)·(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2 ＋…＋anbn)2.
3．算术平均数与几何平均数
a＋b
设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数为__2_______，几何
平均数为__a_b_，基本不等式可叙述为：两__个__正__数__的__算__术__平__均__
__数__不__小__于__它__们__的__几__何__平__均__数__．_______
4．利用基本不等式求最值问题 已知 x>0，y>0，则： (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当x_＝__y____时，x＋y 有最小值是___2__p___.(简记：积定和最小) (2)如果和 x＋y 是定值 p，那么当且仅当x_＝__y__时，xy 有
p2 最大值是____4___.(简记：和定积最大)
5．平均值不等式
a＋3b＋c≥3 abc(a，b，c≥0)
二、 柯西不等式 1．柯西不等式的二维形式 (1)柯西不等式的代数形式：设 a1，a2，b1，b2 均为实数， 则(a21＋a22)(b21＋b22)≥___(a_1_b_1＋__a_2_b_2_)2__ (当且仅当 a1b2＝a2b1 时， 等号成立)． (2)柯西不等式的向量形式：设 α，β 为平面上的两个向量，
4y 的最小值是
()
24 A. 5 C．5
28 B. 5 D．6
人教版高中数学选修一般形式的柯西不等式 (3)ppt课件
ab bc cd da
2
2
,
即a 2 b 2 c 2 d 2 ab bc cd da
例3 已知x+2y+3z=1以及 x2+y2+z2 的最小值.
分析
x 的形式，联系柯西不等式，可 y z 由x+2y+3z=1以及 12 22 3 以通过构造（ ）作为一个因式而解决问题 .2
类比猜想
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
(a12+a22+a32)(b12+b22+b32)≥(a1b1+a2b2+a3b3)2
柯西不等式的一般形式为 (a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b 2 （ 2） +…+a b ) 2 n n
猜 想
证
明
当a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0时，(2)式显然成立. 设a1,a2,…,an中至少有一个不为0，则 a12+a22+…+an2>0.
构造二次函数
2 2 2 f ( x ) (a1 a2 an ) x 2 2(a1b1 a 2 b2 an bn ) x
所以n(a12+a22+…+an2) ≥(a1+a2+…+an)2
即
1 2 2 2 2 a a ... a a a ... a 1 2 n 1 2 n . n
例2
已知a,b,c,d是不全相等的正数，证明 a2+b2+c2+d2>ab+bc+cd+da.
高中数学 柯西不等式课件
当且仅当 ad = bc 时等号成立．
证明：
a2 b2 c2 d 2 a,b, c, d R
a2c2 b2d 2 a2d 2 b2c2 a2c2 2abcd b2d 2 a2d 2 2abcd b2c2
ac bd 2 ad bc 2 ac bd 2
)2
( x1
x2
xn )2
1
x12 x22 xn2 1
1 x1 1 x2
1 xn n 1
例6 已知实数a,b, c, d, e满足a b c d e 8, a2 b2 c2 d 2 e2 16,求e的取值范围.
解 : 4(a2 b2 c2 d 2 ) (1 1 1 1)(a2 b2 c2 d 2 ) (a b c d)2
x 1 2x
2
例4.ΔABC之三边长为4，5，6，P为三角形 內部一点P，P到三边的距离分別为x，y，z， 求x2+y2+z2的最小值。
C
6
F
E
zP y
5
x
A
B D4
由海伦公式得：
解：s 4 5 6 15
2
2
ABC面积=
ห้องสมุดไป่ตู้
s(s a)(s b)(s c)
C
6
F
E
zP y
5
x
A
B D4
例2.设实数x, y, z满足x2 2 y2 3z2 3, 求S x 2y 3z的最大值
变式引申:
若2x 3 y 1,求4x2 9 y2的最小值,并求最小值点.
解 :由柯西不等式(4x2 9 y2 )(12 12 ) (2x 3 y)2 1,
4x2 9y2 1 . 2
15 7 5 3 15 7 2 222 4
证明：
a2 b2 c2 d 2 a,b, c, d R
a2c2 b2d 2 a2d 2 b2c2 a2c2 2abcd b2d 2 a2d 2 2abcd b2c2
ac bd 2 ad bc 2 ac bd 2
)2
( x1
x2
xn )2
1
x12 x22 xn2 1
1 x1 1 x2
1 xn n 1
例6 已知实数a,b, c, d, e满足a b c d e 8, a2 b2 c2 d 2 e2 16,求e的取值范围.
解 : 4(a2 b2 c2 d 2 ) (1 1 1 1)(a2 b2 c2 d 2 ) (a b c d)2
x 1 2x
2
例4.ΔABC之三边长为4，5，6，P为三角形 內部一点P，P到三边的距离分別为x，y，z， 求x2+y2+z2的最小值。
C
6
F
E
zP y
5
x
A
B D4
由海伦公式得：
解：s 4 5 6 15
2
2
ABC面积=
ห้องสมุดไป่ตู้
s(s a)(s b)(s c)
C
6
F
E
zP y
5
x
A
B D4
例2.设实数x, y, z满足x2 2 y2 3z2 3, 求S x 2y 3z的最大值
变式引申:
若2x 3 y 1,求4x2 9 y2的最小值,并求最小值点.
解 :由柯西不等式(4x2 9 y2 )(12 12 ) (2x 3 y)2 1,
4x2 9y2 1 . 2
15 7 5 3 15 7 2 222 4
高中数学人教A版选修第三讲一二维形式的柯西不等式课件
定理2（柯西不等式的向量形式）
设α，β是两个向量，则 │α .β│≤│α││β│,当且仅当β是零向量或存在 实数k,使α=kβ时，等号成立.
探究
试从不等式(1)推导不等式(2)，再 进行反方向的推导，从数形结合的角度 体会两者的等价关系。
观察
如图，在平面直角坐标系中，设点P1,P2 的坐标分别是(x1,y1)(x2,y2)，根据△oP1P2 的边长 关系，你能发现这四个实数 x1,y1,x2,y2蕴含着何 种大小关系吗？
2.通过探究，思考和讨论，使学生从数形 两方面认识柯西不等式的代数和向量的等 价关系。 3.掌握柯西不等式的应用.
高中数学人教A版选修4-5 第三讲 一 二维形式的柯西不等式 课件(共41张PPT)
高中数学人教A版选修4-5 第三讲 一 二维形式的柯西不等式 课件(共41张PPT)
过程与方法
1.通过探究，从式子变形的角度证出柯 西不等式，从而认识其代数形式. 2.借助平面向量，从数量积的角度推 出二维柯西不等式的向量形式.从而给 出几何意义。
ac bd 2 ac bd .
高中数学人教A版选修4-5 第三讲 一 二维形式的柯西不等式 课件(共41张PPT)
高中数学人教A版选修4-5 第三讲 一 二维形式的柯西不等式 课件(共41张PPT)
对于任何实数a,b,c,d有不等式成立： a2 b2 c2 d 2 ac bd , a2 b2 c2 d 2 ac bd .
定理1（二维形式的柯西不等式） 若a,b,c,d都是实数，则(a2+b2)(c2+d2) ≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时，等号成立.
高中数学人教A版选修4-5 第三讲 一 二维形式的柯西不等式 课件(共41张PPT)
【课件】一般形式的柯西不等式
a12 a22 an2 )(b12 b22 bn2 ) (a1b1 a2b2 anbb )2
分析：设A a12 a22 an2，B a1b1 a2b2 anbn
C b12 b22 bn2， 则不等式就是AC B2
构造二次函数
f (x) (a12 a22 an2 )x2 2(a1b1 a2b2 anbn )x
从平面向量的几何背景能得到 ，
将平面向量的坐标代入， 化简后得二维形式
的柯西不等式: (a12 a22 ) (b12 b22 ) (a1b1 a2b2 )2
当 且 仅 当a1b2 a2b1时, 等 号 成 立.
类似地,从空间向量的几何背景也能得到 ,
将空间向量的坐标代入, 化简后得
通过以上证明，得知猜想成立，于是有
定 理(一 般 形 式 的 柯 西 不 等 式) 设a1 , a2 , a3 ,, an , b1 , b2 , b3 ,, bn是 实 数,则
a12 a22 an2 )(b12 b22 bn2 ) (a1b1 a2b2 anbn )2
当 且 仅 当bi 0(i 1,2,, n)或 存 在 一 个 数 k, 使 得ai kbi (i 1,2,, n)时, 等 号 成 立。
当且仅当f(x)有唯一零点时，判别式Δ=0，以上不等
式取等号。此时有唯一实数x,使 ai x bi 0i 1,2,n
若x=0,则 b1 b2 bn 0 ,上式成立；
若x≠0,则有
1 a x bi
.
总之，当且仅当 bi 0(i 1,2,, n) 或 ai kbi (i 时1,2，,n) 等号成立。
又f
(x)
(b12 b22 bn2 ) (a1 x b1 )2 (a2 x
课件高中数学人教A版选修一二维形式的柯西不等式PPT课件_优秀版
含着何种大小关系吗？ 因为│cosθ│≤1,
1.认识二维柯西不等式的代数和向量形
根据向量数量积的定义，有
式.理解二维柯西不等式的几何意义. 问题中a+b=1这个条件，由于常数1的特殊性，用a+b去乘任何数或式子，都不会改变它们的值.
在证明不等式时，联系经典不等式，既可以启发证明思路，又可以简化运算.
这个函数的解析式是两1部分的1和，若2能化成2 ac+bd的形式，就能利用柯西不等式求其最大值。
那么 x y x y x x y y 1二维形式的柯西不等式
因为│cosθ│≤1,
2
2
2
2
设在平面直角坐标系xoy中有向量1 α=(a,b), =1(c,d) ，与之间2的夹角为θ2，0≤ θ ≤π （如图1 ）
定理(1)和定理(2).
在证明不等式时，联系经典不等式，既可以启发证明思路，又可以简化运算.
设x , y , x , y R, 如图，在平面直角坐标系中，设点P1,P2 的坐标分别是(x1,y1)(x2,y2)，根据△oP1P2 的边长关系，你能发现这四个实数 x1,y1,x2,y2蕴
含着何种大小关系吗？
证明
根据柯西不等式，有 (a4+b4)(a2+b2)≥(a2a+b2b)2=(a3+b3)2
反思
在证明不等式时，联系经典不等式， 既可以启发证明思路，又可以简化运算.
例2
求函数y= 5 x 1 10 2x .
分析
利用不等式解决极值问题，通常设法在 不等式一边得到一个常数，并寻找不等式取 等号的条件。这个函数的解析式是两部分的 和，若能化成ac+bd的形式，就能利用柯西不 等式求其最大值。
柯西不等式优质课课件
不等式①： 不等式②：
adbcac bd
acbdad bc
你现在学习的是第15页，课件共27页
例 3 . 设 x 0 ,y 0 ,且 x y 2 , x 2 y 2的 最 小 值 。 2 x2 y
灵活对调前后项
你现在学习的是第16页，课件共27页
变 式 1 ： 若 2 x 3 y 1 ,求 4 x 2 9 y 2 的 最 小 值 .
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 x1, y1, x2, y2 都是实数,则(x12 y12)(x22 y22)≥(x1x2 y1 y2)2 .
当且仅当 x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
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定理3：(二维形式的三角不等式)
设 x 1 , y 1 , x 2 , y 2 R 则 x 1 2 y , 1 2 x 2 2 y 2 2 ( x 1 x 2 ) 2 ( y 1 y 2 ) 2
(5二 ) 维形式的三角不等式 x12y12 x22y22 (x1x2)2(y1y2)2
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你现在学习的是第27页，课件共27页
当且仅当 ad bc 时,等号成立.
变变形……,可得下面不等式:
若 a,b,c,d 都是实数, 则
(1) (a2 b2 ) (c2 d 2 ) ≥ ac bd .当且仅当 ad bc 时, 等号成立.
(2) (a2 b2 ) (c2 d2 ) ≥ ac bd .当且仅当 ad bc 时, 等号成立.
你现在学习的是第23页，课件共27页
定理 2(柯西不等式的向量形式)
若 , 是两个向量,则 ≥ .
当且仅当 是零向量或存在实数 k ，使 k 时,等号成立.
高二数学必修1课件：柯西不等式2
你能猜想一般形式的柯西不等式吗？
第四页，编辑于星期一：一点 一分。
一般形式的柯西不等式：
设a1, a2 , a3, an , b1, b2 , b3 bn是实数，则 (a12 a22 an2 )(b12 b22 bn2 ) (a1b1 a2b2 anbn )2 当且仅当bi 0,或存在一个数k, 使得ai kbi 时，等号成立.
设a1, a2 , a3, b1, b2 , b3是实数，则 (a12 a22 a32 )(b12 b22 b32 ) (a1b1 a2b2 a3b3 )2 当且仅当bi 0,或存在一个数k,使得ai kbi时， 等号成立.
第三页，编辑于星式的柯西不等式
第八页，编辑于星期一：一点 一分。
例3、已知x 2 y 3z 1, 求x2 y2 z2的最小值.
第九页，编辑于星期一：一点 一分。
小结：
柯西不等式的三维形式和一般形式 分别是什么？怎样利用它们来解决 一些问题？
第十页，编辑于星期一：一点 一分。
作业：
P41 1，2，3，4，5
第十一页，编辑于星期一：一点 一分。
第五页，编辑于星期一：一点 一分。
探究：
一般形式的三角不等式应是怎样 的？如何应用一般形式的柯西不等
式去证明它？
第六页，编辑于星期一：一点 一分。
例1、已知a1, a2 , an都是实数，求证
1 n (a1 a2
an )2 a12 a22
an2 .
第七页，编辑于星期一：一点 一分。
例2、已知a,b, c, d是不全相等的正数，证明 a2 b2 c2 d 2 ab bc cd da
柯西不等式（2）
第一页，编辑于星期一：一点 一分。
探究：
第四页，编辑于星期一：一点 一分。
一般形式的柯西不等式：
设a1, a2 , a3, an , b1, b2 , b3 bn是实数，则 (a12 a22 an2 )(b12 b22 bn2 ) (a1b1 a2b2 anbn )2 当且仅当bi 0,或存在一个数k, 使得ai kbi 时，等号成立.
设a1, a2 , a3, b1, b2 , b3是实数，则 (a12 a22 a32 )(b12 b22 b32 ) (a1b1 a2b2 a3b3 )2 当且仅当bi 0,或存在一个数k,使得ai kbi时， 等号成立.
第三页，编辑于星式的柯西不等式
第八页，编辑于星期一：一点 一分。
例3、已知x 2 y 3z 1, 求x2 y2 z2的最小值.
第九页，编辑于星期一：一点 一分。
小结：
柯西不等式的三维形式和一般形式 分别是什么？怎样利用它们来解决 一些问题？
第十页，编辑于星期一：一点 一分。
作业：
P41 1，2，3，4，5
第十一页，编辑于星期一：一点 一分。
第五页，编辑于星期一：一点 一分。
探究：
一般形式的三角不等式应是怎样 的？如何应用一般形式的柯西不等
式去证明它？
第六页，编辑于星期一：一点 一分。
例1、已知a1, a2 , an都是实数，求证
1 n (a1 a2
an )2 a12 a22
an2 .
第七页，编辑于星期一：一点 一分。
例2、已知a,b, c, d是不全相等的正数，证明 a2 b2 c2 d 2 ab bc cd da
柯西不等式（2）
第一页，编辑于星期一：一点 一分。
探究：
相关主题
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向量形式； （2）能运用柯西不等式的二维形式 解决一些简单问题； （3）让学生了解柯西的主要贡献， 贯穿数学史教育。
2、能力目标：
通过创设情境，提出问题，然后探索解决问题的办法， 培养学生独立思考、积极探索的习惯和逻辑推理能力。
四、说教法
因为学生学习数学的过程实际上是学生完善数学认知结构 的过程，教师的职责就是引导学生形成良好的数学认知结构， “教是为了不教”就是这一思想的反映，而探究式学习的本质 就是学生的自主建构，所以我在柯西不等式的发现、证明以及 例题的讲解中均采用问题探究式教学法：通过精心设置问题链， 使教学过程活动化，促使学生积极主动地参与教学活动。在整 个教学过程中我鼓励学生互相讨论，合作交流。另外我采用了 多媒体进行教学，既提高了教学效率，使得课堂各个环节紧凑， 学生思维连贯顺畅；又为师生、生生之间的交流提供了广阔的 平台。
猜想关于 (a 2 b 2 )(c 2 d 2 )
的不等关
系得出柯西不等式的二维形式的处理方法改为先让学生证明不 ，通过对该不等式作进一步探究,发现了柯西 不等式的二维形式，并由此顺着学生思路层层深入地设计问题 来展开教学，使学生在探究活动中掌握了柯西不等式二维形式 的推导和应用。
二、说学情
(当且仅当x1 y2－x2 y1＝0时取等号)
（二）、实施探究
设计意图
柯西（Cauchy,Augustin-Louis, 1789-1857 ）是法国数学家、力学 家。1811及1812年向法国科学院 提交了 两篇关于多面体的论文，在 数学界造成了极大的影响。1816年 （27岁）成为巴黎 综合工科学校教授，并当选为 法国科学院 院士.柯西对高等数学的大量贡献包 用数学家成才的故事， 括：无穷级数的敛散性，实变和复变函数论,微 鼓励学生要有敢于克 服困难的决心和勇气， 分方程，行列式，概率和数理方程等方面的研究． 提高学生学习数学 目前我们所学的极限和连续性的定义，导数的定 的能动性。 义，以及微分、定积分用无穷多个无穷小的和的 极限定义，实质上都是柯西给出的。他的临终名 言是“人总是要死的，但是，他点
一、说教材
（三）、教材处理 向量的数量积的性质 正是柯西不等式的向量
形式，是这节课内容最佳的“知识生长点”。 根据“最近发展区”的教学理论，我将课本中通过让学生
a 2 b 2 2ab 类比不等式
等式
师：在运用这些方法解题时需要注意哪些
方面？
还成立吗？
（要注意每种方法的特点、适用范围、及 的坐标表示为 _______________ 解题格式）
x12 y12 x22 y22 x1 x2 y1 y2
, ＝（x2 , y2）则上述不等式 , 问题 3：设＝（x1 , y1）
2、 向量的数量积的这 个性质正是柯西不等式的 向量形式，是这节课内容 最佳的“知识生长点”，是 学生思维的 “最近发展区”
柯西不等式（一）
说教材
说学情
说目标
说教法
说学法
说教学过程
一、说教材
（一）、教材的地位和作用：
柯西不等式是人教A版选修4－5不 等式选讲中第三讲的内容，是学生继平 均值不等式后学习的又一个经典不等式， 它在教材中起着承前启后的作用：一方 面可以巩固学生对不等式的基本证明方 法的掌握，另一方面又为后面学习三角 不等式、排序不等式打下了基础。运用 柯西不等式可以解决中学数学中一些比 较典型的数学问题，例如：证明不等式、 求最值等。 本节课是柯西不等式的第一课时， 主要内容是柯西不等式的二维形式的推 导和应用。
（一）、创设情境
已知、 是两个非零向量， 求证： 师： 前面我们学习了哪几种证明不等式的
方法？ 问题1：当满足什么条件时，不等式 (比较法、分析法、综合法、反证法、放缩法 ) 取等号？
问题2：取消已知中的“非零”，不等式
设计意图
1、有效的问题能创设出 一个充满张力的情境，能 激发学生的探究欲望。
创设情境
（一）、创设情境
设计意图
师：前面我们学习了哪几种证明不等式的
方法？ (比较法、分析法、综合法、反证法、放缩法)
1、有效的问题能创设出 一个充满张力的情境，能 激发学生的探究欲望。
师：在运用这些方法解题时需要注意哪些
方面？ （要注意每种方法的特点、适用范围、及 解题格式）
2、 向量的数量积的这 个性质正是柯西不等式的 向量形式，是这节课内容 最佳的“知识生长点”，是 学生思维的 “最近发展区”
五、说学法
教是为了不教。在教学过程中我注意指导学生学 会学习，通过启发教给学生获取知识的途径，思考问 题的方法。在教学活动中，我通过肯定学生的正确， 指出学生的错误，引导学生揭示知识内涵，帮助学生 养成独立思考，积极探索的习惯。培养学生主动探究 的学习方式。
六、说教学过程
设置悬念
归纳小结
理解深化 初步运用 实施探究
该班学生基础比较扎实，求知欲较强，具备一定的
观察、分析、逻辑推理能力。在学习本课前已掌握证明
不等式的基本方法，以及向量的数量积的性
质 。这个性质正是柯西不等式的向量形式，
是这节课内容最佳的“知识生长点”。
三、说目标
1、知识目标： （1）理解柯西不等式的二维形式和
（二）、实施探究
设计意图
问题4：能否用不同的方法 证明柯西不等式的二维形式？
(要求学生写出完整的证明过程，巡堂，将
学生中出现的各种典型证法用投影仪投影 出来，让学生比较、分析、评价)
因为不同的学生 在认知方式和思维策 略上存在着差异。学 生间的交流是学生完 善认知建构的催化剂。 所以我这样设计来激 发学生参与数学思维 活动。
一、说教材
（二）、教学重点、难点
1、柯西不等式的二维形式的推导和应用；
教学重点：
2、通过运用柯西不等式的二维形式来解决一些简单问题， 体会运用经典不等式的一般方法——发现具体问题与经典 不等式之间的联系，经过适当变形，以经典不等式为依据 得出具体问题的不等关系。
柯西不等式的二维形式的应用
教学难点： 关键点：
2、能力目标：
通过创设情境，提出问题，然后探索解决问题的办法， 培养学生独立思考、积极探索的习惯和逻辑推理能力。
四、说教法
因为学生学习数学的过程实际上是学生完善数学认知结构 的过程，教师的职责就是引导学生形成良好的数学认知结构， “教是为了不教”就是这一思想的反映，而探究式学习的本质 就是学生的自主建构，所以我在柯西不等式的发现、证明以及 例题的讲解中均采用问题探究式教学法：通过精心设置问题链， 使教学过程活动化，促使学生积极主动地参与教学活动。在整 个教学过程中我鼓励学生互相讨论，合作交流。另外我采用了 多媒体进行教学，既提高了教学效率，使得课堂各个环节紧凑， 学生思维连贯顺畅；又为师生、生生之间的交流提供了广阔的 平台。
猜想关于 (a 2 b 2 )(c 2 d 2 )
的不等关
系得出柯西不等式的二维形式的处理方法改为先让学生证明不 ，通过对该不等式作进一步探究,发现了柯西 不等式的二维形式，并由此顺着学生思路层层深入地设计问题 来展开教学，使学生在探究活动中掌握了柯西不等式二维形式 的推导和应用。
二、说学情
(当且仅当x1 y2－x2 y1＝0时取等号)
（二）、实施探究
设计意图
柯西（Cauchy,Augustin-Louis, 1789-1857 ）是法国数学家、力学 家。1811及1812年向法国科学院 提交了 两篇关于多面体的论文，在 数学界造成了极大的影响。1816年 （27岁）成为巴黎 综合工科学校教授，并当选为 法国科学院 院士.柯西对高等数学的大量贡献包 用数学家成才的故事， 括：无穷级数的敛散性，实变和复变函数论,微 鼓励学生要有敢于克 服困难的决心和勇气， 分方程，行列式，概率和数理方程等方面的研究． 提高学生学习数学 目前我们所学的极限和连续性的定义，导数的定 的能动性。 义，以及微分、定积分用无穷多个无穷小的和的 极限定义，实质上都是柯西给出的。他的临终名 言是“人总是要死的，但是，他点
一、说教材
（三）、教材处理 向量的数量积的性质 正是柯西不等式的向量
形式，是这节课内容最佳的“知识生长点”。 根据“最近发展区”的教学理论，我将课本中通过让学生
a 2 b 2 2ab 类比不等式
等式
师：在运用这些方法解题时需要注意哪些
方面？
还成立吗？
（要注意每种方法的特点、适用范围、及 的坐标表示为 _______________ 解题格式）
x12 y12 x22 y22 x1 x2 y1 y2
, ＝（x2 , y2）则上述不等式 , 问题 3：设＝（x1 , y1）
2、 向量的数量积的这 个性质正是柯西不等式的 向量形式，是这节课内容 最佳的“知识生长点”，是 学生思维的 “最近发展区”
柯西不等式（一）
说教材
说学情
说目标
说教法
说学法
说教学过程
一、说教材
（一）、教材的地位和作用：
柯西不等式是人教A版选修4－5不 等式选讲中第三讲的内容，是学生继平 均值不等式后学习的又一个经典不等式， 它在教材中起着承前启后的作用：一方 面可以巩固学生对不等式的基本证明方 法的掌握，另一方面又为后面学习三角 不等式、排序不等式打下了基础。运用 柯西不等式可以解决中学数学中一些比 较典型的数学问题，例如：证明不等式、 求最值等。 本节课是柯西不等式的第一课时， 主要内容是柯西不等式的二维形式的推 导和应用。
（一）、创设情境
已知、 是两个非零向量， 求证： 师： 前面我们学习了哪几种证明不等式的
方法？ 问题1：当满足什么条件时，不等式 (比较法、分析法、综合法、反证法、放缩法 ) 取等号？
问题2：取消已知中的“非零”，不等式
设计意图
1、有效的问题能创设出 一个充满张力的情境，能 激发学生的探究欲望。
创设情境
（一）、创设情境
设计意图
师：前面我们学习了哪几种证明不等式的
方法？ (比较法、分析法、综合法、反证法、放缩法)
1、有效的问题能创设出 一个充满张力的情境，能 激发学生的探究欲望。
师：在运用这些方法解题时需要注意哪些
方面？ （要注意每种方法的特点、适用范围、及 解题格式）
2、 向量的数量积的这 个性质正是柯西不等式的 向量形式，是这节课内容 最佳的“知识生长点”，是 学生思维的 “最近发展区”
五、说学法
教是为了不教。在教学过程中我注意指导学生学 会学习，通过启发教给学生获取知识的途径，思考问 题的方法。在教学活动中，我通过肯定学生的正确， 指出学生的错误，引导学生揭示知识内涵，帮助学生 养成独立思考，积极探索的习惯。培养学生主动探究 的学习方式。
六、说教学过程
设置悬念
归纳小结
理解深化 初步运用 实施探究
该班学生基础比较扎实，求知欲较强，具备一定的
观察、分析、逻辑推理能力。在学习本课前已掌握证明
不等式的基本方法，以及向量的数量积的性
质 。这个性质正是柯西不等式的向量形式，
是这节课内容最佳的“知识生长点”。
三、说目标
1、知识目标： （1）理解柯西不等式的二维形式和
（二）、实施探究
设计意图
问题4：能否用不同的方法 证明柯西不等式的二维形式？
(要求学生写出完整的证明过程，巡堂，将
学生中出现的各种典型证法用投影仪投影 出来，让学生比较、分析、评价)
因为不同的学生 在认知方式和思维策 略上存在着差异。学 生间的交流是学生完 善认知建构的催化剂。 所以我这样设计来激 发学生参与数学思维 活动。
一、说教材
（二）、教学重点、难点
1、柯西不等式的二维形式的推导和应用；
教学重点：
2、通过运用柯西不等式的二维形式来解决一些简单问题， 体会运用经典不等式的一般方法——发现具体问题与经典 不等式之间的联系，经过适当变形，以经典不等式为依据 得出具体问题的不等关系。
柯西不等式的二维形式的应用
教学难点： 关键点：