九年级数学上册第二十四章圆专题训练十一证明圆的切线的两种常见方法课件新版新人教版

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九年级数学上第24章圆24、2点和圆直线和圆的位置关系方法专题证明切线的常用方法习题课件新版新人教版

D.求证：AC是⊙O的切线.
证明：过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA.∵AB与⊙O相切于点D，
∴AB⊥OD.∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO是∠BAC的平
分线，∴OE＝OD，即OE是⊙O的半径．∵AC经过⊙O的半径OE的外端点且
垂直于OE，∴AC是⊙O的切线．
10.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于点E，∠ADC的平分线交
第二十四章
圆
方法专题证明切线的常用方法
方法一直线与圆有交点：连半径，证垂直

(一)利用角度转换证垂直
1.如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠A＝2∠BCD，点E在AB的
延长线上，∠AED＝∠AB
C.求证：DE与⊙O相切.

证明：连接OD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝
90°，∴∠A＋∠ABC＝90°.∵∠BOD＝2∠BCD
CD的延长线于点E，DA平分∠BDE.

(1)求证：AE是⊙O的切线；

(2)已知AE＝8 cm，CD＝12 cm，求⊙O的半径.
(1)证明：连接 OA.∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD.∵DA 平分∠BDE，∴∠ODA＝∠EDA，
∴∠OAD＝∠EDA，∴EC∥OA.∵AE⊥CD，∴OA⊥AE.又∵点 A 在⊙O 上，∴AE 是⊙O 的
∴CD⊥OD.又∵点D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线．
5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E
是AC的中点，连接DC，DE.求证：DE是⊙O的切线.
证明：连接 OE，OD.∵AE＝EC，OB＝OC，∴OE∥AB.∵BC 为直径，∴∠BDC＝90°，即
CD⊥AB ， ∴ OE ⊥ CD. ∵ OD ＝ OC ， ∴ ∠ DOE ＝ ∠COE. 在 △EOD 和 △EOC 中，

九年级数学上册第二十四章圆专题课堂九与圆的切线有关的计算与证明课件新版新人教版

半径为 r，∵CE＝2，∴r＝12 (r＋2)，解得：r＝2，∴⊙O 的半径为 2
6．(2019·贵阳)如图，已知AB是⊙O的直径，点P是⊙O上一点，连接OP，点A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上． (1)求证：OP∥BC； (2)过点C作⊙O的切线CD，交AP的延长线于点D.如果∠D＝90°，DP＝1，求⊙O的直径．
AC×BD＝12 BC×AE，∴BD＝BCA×CAE ＝6×54 ＝254 ，∵EF 是
△ CDB 的中位线，∴EF＝12 BD＝152
4．(2019·淮安)如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分 ∠BAC，DE⊥AC，垂足为E. (1)试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由； (2)若⊙O的半径为2，∠BAC＝60°，求线段EF的长.
解：(1)如图，连接 OA，
∵AC 是⊙O 的切线，OA 是⊙O 的半径，∴OA⊥AC，∴∠OAC＝ 90°，∵∠ADE＝25°，∴∠AOE＝2∠ADE＝50°，∴∠C＝90° －∠AOE＝90°－50°＝40° (2)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠ AOC＝2∠B，∴∠AOC＝2∠C，∵∠OAC＝90°，∴∠AOC＋∠C ＝90°，∴3∠C＝90°，∴∠C＝30°，∴OA＝12 OC，设⊙O 的
解：(1)证明：∵A 关于 OP 的对称点 C 恰好落在 ⊙O 上．∴ AP ＝ PC ，∴∠AOP＝∠COP，∴
∠AOP＝12 ∠AOC，又∵∠ABC＝12 ∠AOC，∴ ∠AOP＝∠ABC，∴OP∥BC
(2)如图，连接 PC，∵CD 为⊙O 的切线，∴OC⊥CD，又 AD⊥CD， ∴OC∥AD，∴∠APO＝∠COP，∵∠AOP＝∠COP，∴∠APO＝ ∠AOP，∴OA＝AP，∵OA＝OP，∴△APO 为等边三角形，∴∠ AOP＝60°，又∵OP∥BC，∴∠OBC＝∠AOP＝60°，又 OC＝ OB，∴△BCO 为等边三角形，∴∠COB＝60°，∴∠POC＝180° －(∠AOP＋∠COB)＝60°，又 OP＝OC，∴△POC 也为等边三角形，∴∠PCO＝60°，PC＝OP＝OC，又∵∠OCD＝90°，∴∠PCD ＝30°，在 Rt△PCD 中，PD＝12 PC，又∵PC＝OP＝21 AB，∴PD ＝14 AB，∴AB＝4PD＝4

2022九年级数学上册第24章圆考点集训习题课件 (新版)新人教版

( ) C
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
7.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，F是的中点，那么∠CBF的度数为 ___1_8_°___.
8.如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，假设 ∠BOD＝∠BCD，那么弧BD的长为2_π_____.
9.如图，直线AB与半径为2的⊙O相切于点C，D是⊙O上一点，且∠EDC ＝30°，弦EF∥AB，那么EF的长度为________.
A.62° B.70° C.72° D.74°
3.如图，AB是⊙O的直径，∠BOD＝120°，C为弧BD的中点，AC交OD于点E，DE＝1，那么AE的长为(A ) A. B. C.2 D.2
4.如图，⊙O的半径为5，△ABC是⊙O的内接三角形，过点C作CD垂直
AB于点 D.假设CD＝3 ，AC＝6，那么BC长为( ) B
A.100°
B.110° C.120° D.130°
上的点，
5.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝45°，BC＝，那么⊙O的直径为 ________.
考点三点、直线和圆的位置关系
6.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm, CM是△ABC
的中线，以点C为圆心，5 ()
cm为半径作⊙C，那么点M与⊙C的位置关系为 A
A.点M在⊙C上 B.点M在⊙C内
C.点M在⊙C外 D.点M不在⊙C内
7.⊙O的半径是一元二次方程x2－5x－6＝0的一个根，
圆心O到直线l的距离d＝4，那么直线l与⊙O的位置关系是( )
A.相交
B.相切 C.相离 D.平行
考点四切线的判定与性质
8.如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O外一点，CA，CD是⊙O的切线，A， D为切点，连接BD，A D.假设∠ACD＝30°，那么∠BAD的大小是( )

金乡县六中九年级数学上册第二十四章圆专题课堂(十一)圆中常见的辅助线归类课件新版新人教版6

∵AC 为⊙O 的直径，∴△BCD 是直角三角形， ∵E 为 BC 的中点，∴BE＝CE＝DE，∴∠CDE ＝∠DCE，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∵ ∠ACB＝90°，∴∠OCD＋∠DCE＝90°，∴∠ ODC＋∠CDE＝90°，即 OD⊥DE，∴DE 是⊙O 的切线 (2)设⊙O 的半径为 r，∵∠ODF＝90°，在 Rt△ODF 中，OD2＋DF2＝OF2，即 r2＋42＝(r ＋2)2，解得 r＝3，∴⊙O 的直径为 6
类型二：遇直径添加直径所对的圆周角 5．(2019·聊城)如图，BC 是半圆 O 的直径，D， E 是 BC 上两点，连接 BD，CE 并延长交于点 A，连接 OD，OE.如果∠A＝70°，那么∠DOE 的度数为( C ) A．35° B．38° C．40° D．42°
第5题图
6．(2019·包头)如图，BD 是⊙O 的直径，A 是⊙ O 外一点，点 C 在⊙O 上，AC 与⊙O 相切于点 C，∠CAB＝90°，若 BD＝6，AB＝4，∠ABC ＝∠CBD，则弦 BC 的长为_2__6_____．
解：(1)BC 与⊙O 相切．证明：连接 OD.
∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠BAD＝∠CAD. 又∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA.∴∠CAD＝ ∠ODA.∴OD∥AC.∴∠ODB＝∠C＝90°，即 OD⊥BC.又∵BC 过半径 OD 的外端点 D，∴BC 与⊙O 相切
(2)设 OF＝OD＝x，则 OB＝OF＋BF＝x＋2，根据勾股定理得 OB2＝OD2＋BD2，即(x＋2)2＝x2 ＋12，解得 x＝2，即 OD＝OF＝2，∴OB＝2＋2
所以 x－1＝0或mx－2＝0 , 解得 x1＝1 , x2＝2 .
m
当m为正整数1或2时 , x2为整数 , 即抛物线与x轴总

盘县六中九年级数学上册第二十四章圆专题训练(十一)证明圆的切线的两种常见方法课件新版新人教版

证明 : 如下图 , 连接OC , ∵AB＝12 , ∴OA＝OB＝OC＝6 , ∴OP＝OB ＋BP＝6＋4＝10.在△OPC中 , ∵OP＝10 , PC＝8 , OC＝6 , 62＋82＝102 , 即CO2＋PC2＝OP2 , ∴△OPC为直角三角形 , ∠OCP＝90° , ∵点C在 ⊙O上 , ∴PC是⊙O的切线
(三)利用角度转换证垂直 5．(鄂尔多斯中考改编)如下图 , AB是⊙O的直径 , 弦CD⊥AB , 垂足为 H , 连接AC.过上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G , 连接AE交CD于点F , 且EG＝FG.求证 : EG是⊙O的切线 ;
证明 : 连接OE , 如下图 , ∵GE＝GF , ∴∠GEF＝∠GFE , 而∠GFE＝ ∠AFH , ∴∠GEF＝∠AFH , ∵AB⊥CD , ∴∠OAF＋∠AFH＝90° , ∴∠GEA＋∠OAF＝90° , ∵OA＝OE , ∴∠OEA＝∠OAF , ∴∠GEA＋ ∠OEA＝90° , 即∠GEO＝90° , ∴OE⊥GE , ∴EG是⊙O的切线
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对身体不好哦~
结束语
同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，
考试加油!奥利给~
第二十二章二次函数
a－b＋c＝0，解：(1)将 A，B，C 代入函数解析式，得9a＋3b＋c＝0，解得
c＝－3， a＝1， b＝－2，这个二次函数的解析式 y＝x2－2x－3 c＝－3，
(2)设 BC 的解析式为 y＝kx＋b，将 B，C 的坐标代入函数解析式，得

九年级数学上册第二十四章圆为判定切线支招同步辅导素材(新版)新人教版

1 为判定切线支招同学们，证明直线是圆的切线的问题，你会感到困难吗？这里，为大家支个招，介绍两种通过添加辅助线证明圆的切线的方法：一是如果欲证的切线已知与圆有公共点，则经过这个公共点作圆的半径（或直径），然后证明该半径（或直径）与该直线垂直，简称“作半径，证垂直”；二是如果欲证的切线与圆无公共点，则经过圆心作该直线的垂线，然后证明圆心到该直线的距离等于圆的半径，简称“作垂直，证相等”.这两种切线的证明方法分别适用于两种不同的条件，在运用是要注意正确选择．下面举例说明，供同学们学习时参考．一、“连半径，证垂直”例1（2016•南宁）如图1，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，BD 是角平分线，点O 在AB 上，以点O 为圆心，OB 为半径的圆经过点D ．求证：AC 是⊙O 的切线．分析：由已知条件可知欲证的切线AC 与⊙O 有公共点D ，因此，连接OD ，再证明OD ⊥AC 即可．证明：如图1，连接OD ．∵OB ＝OD ，∴∠ODB ＝∠OBD .∵BD 为∠ABC 平分线，∴∠OBD ＝∠CBD.，∴∠CBD ＝∠O DB .∴OD ∥BC .∵∠C ＝90°，∴∠ODA ＝∠C ＝90°，即OD ⊥AC .∴AC 是⊙O 的切线．二、“作垂直，证相等”例2(2015∙黔东南)如图2，已知PC 平分∠MPN ，点O 是PC 上任意一点，PM 与⊙O 相切于点E ，交PC 于A ，B 两点.求证：PN 与⊙O 相切.分析：已知条件中没有说明直线PN 与⊙O 有无公共点，可由圆心O 向PN 作垂线OF ，通过证明OF 与⊙O 的半径相等，得出P N 与⊙O 相切. 证明：如图2，连接OE ，过点O 作O F⊥PN 于点F.∵⊙O 与PM 相切于点E ，∴OE ⊥PM.又∵PC 平分∠MPN ，OF ⊥PN ，OE ⊥PM ，∴OF=OE ，∴PN 与⊙O 相切.。

2022秋九年级数学上册第24章圆阶段核心方法专训(证明圆的切线的常用方法)课件新人教版

1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月4日星期五2022/3/42022/3/42022/3/4
阶段核心方法专训
2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/42022/3/42022/3/43/4/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/42022/3/4March 4, 2022 4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/42022/3/42022/3/42022/3/4
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC的中点．以 AC为直径的⊙O交AB于点E.
求证：DE是⊙O的切线．
证明：如图，连接 OE，CE，∵AC 是⊙O 的直径， ∴∠AEC＝90°，∴∠BEC＝180°－∠AEC＝90°. 在 Rt△ BEC 中，点 D 是斜边 BC 的中点， ∴BD＝CD＝DE＝12BC，∴∠DEC＝∠DCE.又∵OE＝OC， ∴∠OEC＝∠OCE，∴∠DEC＋∠OEC＝∠DCE＋∠OCE＝ ∠DCO＝90°，即∠DEO＝90°，∴DE⊥OE.又∵OE 是半径， ∴DE 是⊙O 的切线．
第二十四章圆
阶段核心方法专训证明圆的切线的常用方法
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1．如图，⊙O的直径AB＝12，点P是AB延长线上一点，且PB＝4，点C是⊙O上一点，PC＝8.
求证：PC是⊙O的切线．
证明：如图，连接OC，∵⊙O的直径AB＝12， ∴OB＝OC＝6.∵PB＝4，∴PO＝10. 在△POC中，PC2＋CO2＝82＋62＝100， PO2＝102＝100，∴PC2＋OC2＝PO2， ∴∠OCP＝90°，即OC⊥PC.又∵OC是半径，∴PC是⊙O的切线．

九年级数学上册第二十四章圆为判定切线支招同步辅导素材新人教版

为判定切线支招同学们，证明直线是圆的切线的问题，你会感到困难吗？这里，为大家支个招，介绍两种通过添加辅助线证明圆的切线的方法：一是如果欲证的切线已知与圆有公共点，则经过这个公共点作圆的半径（或直径），然后证明该半径（或直径）与该直线垂直，简称“作半径，证垂直”；二是如果欲证的切线与圆无公共点，则经过圆心作该直线的垂线，然后证明圆心到该直线的距离等于圆的半径，简称“作垂直，证相等”.这两种切线的证明方法分别适用于两种不同的条件，在运用是要注意正确选择．下面举例说明，供同学们学习时参考．一、“连半径，证垂直”例1（2016•南宁）如图1，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，BD 是角平分线，点O 在AB 上，以点O 为圆心，OB 为半径的圆经过点D ．求证：AC 是⊙O 的切线．分析：由已知条件可知欲证的切线AC 与⊙O 有公共点D ，因此，连接OD ，再证明OD ⊥AC 即可．证明：如图1，连接OD ．∵OB ＝OD ，∴∠ODB ＝∠OBD .∵BD 为∠ABC 平分线，∴∠OBD ＝∠CBD.，∴∠CBD ＝∠O DB .∴OD ∥BC .∵∠C ＝90°，∴∠ODA ＝∠C ＝90°，即OD ⊥AC .∴AC 是⊙O 的切线．二、“作垂直，证相等”例2(2015∙黔东南)如图2，已知PC 平分∠MPN ，点O 是PC 上任意一点，PM 与⊙O 相切于点E ，交PC 于A ，B 两点.求证：PN 与⊙O 相切.分析：已知条件中没有说明直线PN 与⊙O 有无公共点，可由圆心O 向PN 作垂线OF ，通过证明OF 与⊙O 的半径相等，得出P N 与⊙O 相切. 证明：如图2，连接OE ，过点O 作O F⊥PN 于点F.∵⊙O 与PM 相切于点E ，∴OE ⊥PM.又∵PC 平分∠MPN ，OF ⊥PN ，OE ⊥PM ，∴OF=OE ，∴PN 与⊙O 相切.。