频域分析法

（4-12）
三、频率特性的物理意义和数学本质
例4-2： 输入x1(t) = 10sint，x2(t) = sin100t ，系统频率特性 G(jω)=0.1/(1+jω)，分别求系统稳态输出y1(t)、y2(t)。
解：
G(
j )
0.1(1 j) (1 j)(1 j)
0.1
12
0.1 12
j
A() ( 0.1 )2 ( 0.1 )2
如何根据传递函数来求取系统的频率特性？
把传递函数中的复变量s用纯虚数jω来代替。（对线性定 常系统普遍适用）
实际上频率特性是传递函数在S=σ+jω中的σ=0的特殊情 况。
G( j) X 0 ( j) Xi ( j)
G( j) U() jV()
实频特性：G(jω)的实部U (ω)。 虚频特性：G(jω)的虚部 V (ω)。 换算关系：
“十倍频程”，记做“dec”；
• 横轴上频率变化1倍，即ω2 / ω1 =2 ，则间隔是0.301单位，称为 “倍频程” 。
因此，横轴按对数分度，对ω而言是不均匀的，对lg ω而言是均 匀的。
优点：将串连环节模相乘化作模相加，简化计算及作图。
G(jω) = G1(jω) G2(jω)
=A1(ω)
ω=0 A(ω)= 1 ω= ∞ A(ω)= 0
φ(ω)= 0° φ(ω)= -180°
特殊点：ω= ωn A(ω)= -1/(2ζ) φ(ω)= - 90°
令
dA(ω) / dω = 0
得 谐振频率
r
1 T
1 2
2
n
1 2 2
谐振峰值
A(r ) 2
1
1 2
(2) 波德图
L() 20lg [1 ( )2 ]2 4 2 ( )2
(1) 频率特性表示了系统对不同频率的正弦输入信
号的“复观能力”或“跟踪能力”。对于实际系统，一般都 具
有“低通”滤波及相位滞后作用。
(2) 频率特性表示系统随ω显示的不同特性。频率特性随 频率变化，因为系统含有储能元件。
(3) 频率特性反映系统本身的特点，取决于系统结构本 身（元件参数），与外界因素无关。
n
n
低频段(ω≪ ωn )
L() 20lg1 0
低频段渐近线是0dB的直线。
高频段(ω≫ ωn )
L() 20lg( )2 40lg 40lgT
n
n
高频段渐近线是过(ωn , 0)点，且斜率为－40dB/dec的直线。
渐近线与阻尼比无关。
最大误差发生在 ω = ωn=1/T处, 该处频率称为转角(折)频率。
(1) 波德图
曲线通常采用绘制两条渐近线的方法。 低频段(ω≪1/T )
L() 20lg T 22 1 20lg1 0(dB)
低频段渐近线是一条0dB的直线 高频段(ω≫1/T)
L() 20lg T 22 1 20lgT
高频段渐近线是一条过(1/T,0)点，且斜率为－20dB/dec的直线
二、积分环节 G( j) 1 1 e j90 j
A(ω) = 1/ ω φ(ω) = -90°
(1) 奈氏图
ω=0 A(ω)= ∞ ω= ∞ A(ω)= 0
(2) 波德图
L(ω) = 20lg(1/ ω) = - 20lg ω
若
ω2 / ω1 =10
则 L(ω2 ) - L(ω1 ) = 20lg(1/ ω2 ) - 20lg(1/ ω1 ) = -20dB
（4-6） （4-7）
A() G( j) [U ()]2 [V ()]2 （4-8）
( )
G(
j)
arctg
V () U ()
（4-9）
U() ReG( j) A()cos() V () ImG( j) A()sin()
（4-10） （4-11）
G( j) A()e j()
A()[cos() j sin()]
第四章 频域分析法
频域分析法是以传递函数为基础，以频率特性为数学模 型，以Nyquist图和Bode图为工具，是一种图解法。
§ 4.1 频率特性概念
一、频率特性概念
例4-1 ：一个机械系统，当输入正弦力f(t)=Fsin(ω t) 时，求其位移x(t)的稳 态输出。 解： C dx(t) /dt + Kx(t) = f(t)
() 90
L(ω)曲线是一条过(1, 0)点，且斜率为-γ×20dB/dec的直线； φ(ω)曲线是一条恒为 –γ×90°的直线。
三、惯性环节
G( j) 1 1 j T jT 1 T 2 2 1 T 2 2 1
A() 1 T 2 2 1
() tg 1T
(1) 奈氏图
ω=0 A(ω)= 1 φ(ω)= 0° ω= ∞ A(ω)= 0 φ(ω)= -90° ω=1/T A(ω)= 0.7 φ(ω)= -45°
x0( t ) = A(ω)Ai (ω)sin[ω t+ φ(ω) +φi(ω)]
频率特性求取方法：
（1）根据已知系统微分方程或传递函数，代入正弦输入 函数，求其稳态解，取输出稳态分量和输入正弦函数的复数之 比即得；
（2）根据传递函数来求取；（常用求法，主要讨论的求 法）
（3）通过实验测得。 （常用求法）
惯性环节在参数T变化时，对数频率特性曲线将左右平移，而渐近线的形状不变。
四、振荡环节
G(s)
T
2s2
1 2Ts 1
s2 n2
1 2
s n
1
G(
j)
(1 2T
1 2)
j2T
(1
)2
1
j2
(
)
n
n
A()
1
[1 ( )2 ]2 4 2 ( )2
n
n
2 ( )
(
)
tg
1
1
(
n )
2
n
(1) 奈氏图
（4-1）
Ime jt sint 表示取 e jt 的虚部（又根据约定，
式（4-1）中的Im可省去）。 稳态的位移输出也表示成复数形式
x(t) X sin[t ()] X Im e j[t()] (4-2)
频率特性为
式中
G( j)
x(t) f (t)
X Im e jt e j ( ) F Im e jt
φ(ω) = 90°
φ(ω)曲线是一条恒为90的直线。 微分环节是相位超前环节。
如果有 则
结论：
G2(jω) = 1/ G1(jω) L2(ω) = 20lgA2(ω) = -20lgA1(ω) = -L1(ω)
φ2(ω) = - φ1(ω)
若两个频率特性互为倒数，则它们的对数频率特性曲线分 别关于0dB线和0°线镜像对称。
优点：在一张图上描绘出ω从0 → +∞整个区域中的频率特性。 缺点：无法知道开环传递函数中各环节的作用。
波德图(Bode)、对数频率特性曲线 lgω — L(ω) = 20lgA(ω)：对数幅频特性曲线 lgω — φ(ω) ：对数相频特性曲线
半对数坐标：
• 横轴上频率变化10倍，即ω2 / ω1 =10 ，则间隔是一个单位，称为
若输入 输出 幅频特性：
xi( t ) = Ai(ω)sin [(ω t+ φi(ω)] x0( t ) = A0 (ω)sin[ω t+φ0(ω)]
A(ω) =A0 (ω) / Ai (ω)
输出、输入幅值比随ω的变化关系。 相频特性：
φ(ω) = φo(ω) -φi(ω)
输出、输入相位差随ω的变化关系。
且
ω=1, L(ω) =0
φ(ω) = - 90°
L(ω)曲线是一条过(1 ,0 )点，且斜率为-20dB/dec的直线； φ(ω)曲线是一条恒为 – 90°的直线。
积分环节是相位滞后环节。
若有γ个积分环节串联
G(
j )
(
1
j )
1
e j 90
L( )
20
lg
1
20 lg 1
20 lg
A()e j ()
(4-3)
A() G( j) X 1/ k F 1 2T 2
(4-4)
() G( j) arctgT
(4-5)
系统的幅频特性：G(jω)的模A(ω)。输出、输入幅值比随 ω 的变化关系。
系统的相频特性：G(jω)的幅角 ()。输出、输入相位差随
ω的变化关系。
系统的幅相频率特性：G(jω)包含着输出和输入的幅值比和 相位差，故又称其为幅相频率特性。
§4.2 典型环节的频率特性
描述ω从0 → ∞变化时，频率响应的幅值、相位与ω间关系的 曲线。
根据曲线采用坐标系不同，曲线主要有两种：
奈奎斯特图(Nyquist)、幅相频率特性曲线、幅相曲线、极坐标图 G(j ω ) =U(ω )+jV(ω )= A(ω) e jφ(ω)
描述ω从0 → +∞变化时， G(jω)的模A(ω)、相角φ(ω)随ω变化的 曲线。
A2(ω)
e
j[φ (ω)+ 1
φ (ω)] 2
A (ω) =A1(ω) A2(ω)
L(ω)=20lg A (ω) =20lg A1(ω) +20lg A2(ω)=L1(ω)+ L2(ω)
一、比例环节
G(jω) = Kej0°
A(ω)=K
φ(ω)=0
(1) 奈氏图
(2) 波德图 L(ω) = 20lg A(ω)
2. 频率特性的数学本质
频率特性是表达系统运动关系的数学模型。
频率特性表达式G(jω)与系统(或环节)动态特性G(s)的形 式一致，包含了描述系统(或环节)的全部动态结构和参数。
和微分方程、传递函数一样，频率特性也是描述系统(或环 节)的动态数学模型，它将反映系统(环节)的动态及静态特性。
四、线性系统(或环节)的三种数学模型的关系如图5.2所示。
12
12
()
arctg
0.1 12
arg tg
0.1
12
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1 1, A(1) 0.1/ 2
(1) 45
2 100, A(2 ) 0.1/100
(2 ) 89.4
y1 (t )
0.1 10sin(t 2
45)
y2
(t )
0.1 100
sin(100t
89.4)
1. 频率特性的物理意义
x0 (t)
F / K sin(t arctgT ) 1 2T 2
输入 输出与输入幅值比 输出与输入相位差
f(t)=Fsin ω t
A() 1/ K 1 2T 2
φ(ω) = - arctgωT
从例题中可看出： (1) 系统在正弦输入下，其稳态输出与输入具有相同频率， 只是幅值和相位发生变化； (2) 输出与输入的幅值比与相位差均是ω的函数，且与K、C 有关。
振荡环节在参数T变化时，对数频率特性曲线将左右平移，而渐近线的形状不变。
五、微分环节
G( j) j e j90
A(ω) = ω φ(ω) = 90°
(1) 奈氏图
ω=0 ω= ∞
A(ω)= 0； A(ω)= ∞
(2) 波德图
L(ω) = 20lgω L(ω)曲线是一条过(1 ,0 )点，且斜率为20dB/dec的直线；
六、一阶微分环节
G( j) jT 1 A() T 2 2 1
二、频率特性及其求取方法
频率特性G(jω)：线性系统或环节在正弦函数作用下，稳态 输出与输入之比对频率的关系特性。又称正弦传递函数。
频率特性是复数，分别用幅值和相角表示。
例4-1：
e jt cost j sint e jt cost j sint
f (t) F sint F Im e jt
TF / k 1 2T 2
et
/T
稳态位移输出为
x(t) F / k sin(t arctgT ) A()F sin[t ()] 1 2T 2
X sin[t ()] X A()F
A() 1/ k X 1 2T 2 F
() arctgT
A() 和 () 都是ω的函数。
稳态位移输出
L()max [20 lg
[1 (
n
)2 ]2
4
2( n
)2
(40lg
n
) ] n
20lg 2 20lg 1 (dB) 2
满足工程要求。
2 ( )
()
tg
1
1
(
n
)2
n
ω=0 φ(ω)= 0°
ω= ∞ φ(ω)= - 180°
ω= ωn φ(ω)= - 90°
曲线关于点（ ωn , - 90°）斜对称。
最大误差发生在 ω = 1/T 处, 该处频率称为转角(折)频率。 L()max (20lg T 22 1) |1/T 0 3.01(dB)
满足工程要求。
() tg1T
ω=0 φ(ω)= 0° ω= ∞ φ(ω)= - 90° ω=1/T φ(ω)= - 45° 曲线关于点（1/T, - 45°）斜对称。 惯性环节具有低通滤波和相位滞后作用。
系统传递函数 Φ(s) =X(s) / F(s)
X (s) F (s)
1 cs k
1/ cs
k
1
1/ k Ts 1
k
F (s) F /(s2 2 )
X (s)
1/ k F Ts 1 s2 2
a Ts 1
bs d
s2 2
系统位移输出
x(t)
F 1
/k
2T
2
sin(t
arctgT
)