2018年春八年级数学下册第19章四边形19.3矩形菱形正方形19.3.3正方形练习课件(新版)沪科版
八年级数学下册第19章矩形菱形与正方形19
知2－讲
正方形边的性质：四条边相等，邻边垂直，对边平行.
知2－讲
例2 如图，在正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝3， EC＝1.连结AE，点F在射线AB上，且满足CF＝AE， 则A，F两点间的距离为___1_或__7__．
知2－讲
导引：∵DE＝3，EC＝1，∴正方形ABCD的边长为4. 在Rt△ADE和Rt△CBF中， ∵AE＝CF，AD＝CB，∴Rt△ADE≌Rt△CBF， ∴BF＝DE＝3. ∵点F在射线AB上， ∴分两种情况：①当点F在线段AB上时，AF＝AB －BF＝4－3＝1；②当点F在AB的延长线上时， AF＝AB＋BF＝4＋3＝7.
知1－练
知1－练
2 已知，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，
如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，
那么这个条件可以是( C．AD＝BC
D．BC＝CD
知识点 2 正方形边的性质
知2－导
正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形．正方 形具有矩形的性质，同时又具有 菱形的性质．
知2－练
1 正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )
A．四个角都相等
B．四条边相等
C．对角线相等
D．对角线互相平分
2 如图，正方形ABCD的面积为2，
则以相邻两边中点连线EF为边
的正方形EFGH的周长为( )
A．2
B．2 2
C．4
D．4 2
知2－练
3 (中考·毕节)如图，正方形ABCD的边长为9，将正 方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为 GH.若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是( ) A．3 B．4 C．5 D．6
知3－讲
解：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1 cm. ∵EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°. 又∵∠ECF＝45°， ∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝FC. ∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE， ∴△ABE≌△AFE. ∴AB＝AF＝1 cm，BE＝EF，∴FC＝BE.
新华东师大版八年级数学下册《19章 矩形、菱形与正方形 19.3 正方形 正方形的性质》课件_13
A
D
O
B
C
拓展提高
A
D
E
B
FC
变式训练
A
PD
E
BF
C
我知道了…… 我理解了…… 我学会了……
归纳总结 A
D
O
B
C
• 当堂检测：
解:①这个正方形的周长=4AB=4×2=8cm; ②这个正方形的对角线长=√8 cm (勾股定理);
③这个正方形的面积=AB×AB=2×2=4(平方厘米)
聚焦中考（2013宁波)
华东师大版八年级下册
19.2.3正方形的性质
知识回顾:
几种特殊四边形的定义及性质
定义
边
平行 两组对边 四边 分别平行
形 的四边形
对边平行 且相等
角
对角相等， 邻角互补
对角线
对角线 互相平分
对称性
中心对 称图形
有一个角 矩 是直角的 对边平行 形 平行四边 且相等
形
菱 形
有一组邻 边相等的
对边平行 ，四边都
∴ AC ⊥ BD
∴ ∠COD=90°
又∵四边形ABCD 是正方形，
∴ 2∠ABD =∠ ABC, 2∠DAC=∠ DAB
B
∠ ABC=∠ DAB=90°
∴ ∠ DAC =∠ ABD=45°
∴ ∠COD=90°， ∠ DAC =∠ ABD=45° .
D
O C
探究归纳对角线AC、BD相交于点O
如图，点E 是正方形ABCD的边CD上的一点， 点F是CB的延长线上的一点，且EA ⊥ AF
求证：DE=BF
A
D
E
FB
C
教师寄语：
新华东师大版八年级数学下册《19章 矩形、菱形与正方形 19.3 正方形 正方形的判定》教案_11
19.3 正方形教学目标【知识与技能】1.掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算．2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别.【过程与方法】经历探索正方形有关性质、判定重要条件的过程.在观察中寻求新知，在探索中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法.【情感态度】通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力．【教学重点】正方形的判定方法.【教学难点】正方形的判定方法.教学过程一、情境导入,初步认识1.在我们的生活中，除了平行四边形、矩形、菱形外，还有什么特殊的平行四边形呢？2.出示正方形图片，学生观察它们有什么共同特征？【教学说明】学生回答后，再举例.使学生感受生活中到处存在数学，激发其学习热情.【归纳结论】有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.二、思考探究，获取新知1.正方形是我们熟悉的图形，它是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？2.正方形有哪些性质？正方形可以看成哪些图形？【归纳结论】正方形的四个角都是直角，四条边相等.正方形的对角线相等且互相垂直平分.正方形可以看成是：有一个角是直角的菱形；有一组邻边相等的矩形.3.议一议：平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个图直观地说明吗？【教学说明】小组交流，引导学生从角、对角线的角度归纳总结.使学生感受变化过程，更清晰地了解各种四边形之间的联系与区别.三、运用新知，深化理解1.如图，△ABC是一个等腰直角三角形，DEFG是其内接正方形，H是正方形的对角线交点；那么，由图中的线段所构成的三角形中相互全等的三角形的对数为（）A.12B.13C.26D.30分析：根据全等三角形的判定可以确定全等三角形的对数，由于图中全等三角形的对数较多，可以根据斜边长的不同确定对数，可以做到不重不漏．解：设AB=3，图中所有三角形均为等腰直角三角形，其中，斜边长为1的有5个，它们组成10对全等三角形；的有6个，它们组成15对全等三角形；斜边长为2的有2个，它们组成1对全等三角形；共计26对．故选C．2.已知正方形ABCD在直角坐标系内，点A（0，1），点B（0，0），则点C，D坐标分别为________和________．（只写一组）分析：首先根据正方形ABCD的点A（0，1），点B（0，0），在坐标系内找出这两点，根据正方形各边相等，从而可以确定C，D的坐标．解：∵正方形ABCD的点A（0，1），点B（0，0），∴AD∥x轴，CD∥y轴，这样画出正方形，即可得出C与D的坐标，分别为：C（1，0），D（1，1）．或C(-1,0),D(-1,1).(写其中一组即可)3.如图，点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上，AG⊥EF，垂足为G，且AG=AB，求∠EAF度数.分析：根据角平分线的判定，可得出△ABF≌△AGF，故有∠BAF=∠GAF，再证明△AGE≌△ADE，有∠GAE=∠DAE；所以可求∠EAF=45°解：在Rt△ABF与Rt△AGF中，∵AB=AG，AF=AF，∠B=∠AGF=90°，∴△ABF≌△AGF（HL），∴∠BAF=∠GAF，同理易得：△AGE≌△ADE，有∠GAE=∠DAE；即∠EAF=∠EAG+∠FAG=12∠DAG+12∠BAG=12∠DAB=45°，故∠EAF=45°.4.如图，正方形ABCD中，AB=3，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15°．（1）求证：DF+BE=EF；（2）求∠EFC的度数；分析：（1）延长EB至G，使BG=DF，连接AG．利用正方形的性质，证明△A′BG≌△ADF，△FAE≌△GAE，得出DF+BE=EF；（2）根据△AGE≌△AFE及角之间的关系从而求得∠EFC的度数；解：（1）延长EB至G，使BG=DF，连结AG∵正方形ABCD，∴AB=AD，∠ABG=∠ADF=∠BAD=90°，∵BG=DF，∴△ABG≌△ADF，∴AG=AF，∠GAB=∠DAF.∵∠BAE=30°，∠DAF=15°，∴∠FAE=∠GAE=45°，∵AE=AE，∴△FAE≌△GAE，∴EF=EG=GB+BE=DF+BE；（2）∵△AGE≌△AFE，∴∠AFE=∠AGE=75°，∵∠DFA=90°-∠DAF=75°，∴∠EFC=180°-∠DFA-∠AFE=180°-75°-75°=30°，∴∠EFC=305.已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F.且BF=CE.（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）当∠A=90°时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，证明你的结论．分析：先利用HL判定Rt△BDF≌Rt△CDE，从而得到∠B=∠C，即△ABC 是等腰三角形；由已知可证明它是矩形，因为有一组邻边相等即可得到四边形AFDE是正方形．（1）证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，又∵BD=CD，BF=CE，∴Rt△BDF≌Rt△CDE，∴∠B=∠C．故△ABC是等腰三角形；（2）解：四边形AFDE是正方形．证明：∵∠A=90°，DE⊥AC，DF⊥AB，∴四边形AFDE是矩形，又∵Rt△BDF≌Rt△CDE，∴DF=DE，∴四边形AFDE是正方形．6.如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠AED=2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．分析：（1）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形．由题意易得AO=OC.又∵△AEC是等边三角形.∴BE⊥AC，∴四边形ABCD是菱形；（2）根据有一个角是90°的菱形是正方形．由题意易得∠ADO=∠DAE+∠DEA=15°+30°=45°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAD=2∠DAO=90°，∴四边形ABCD是正方形．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO．∵△ACE是等边三角形，∴EO⊥AC（三线合一）∴四边形ABCD是菱形．（2）从上易得：△AOE是直角三角形，∵△ACE是等边三角形，∴∠EAO=60°，∴∠AED=30°∵∠AED=2∠EAD∴∠EAD=15°，∴∠DAO=∠EAO-∠EAD=45°∵四边形ABCD是菱形．∴∠BAD=2∠DAO=90°∴平行四边形ABCD是正方形．【教学说明】由学生独立完成以培养学生的独立意识.四、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾正方形有哪些性质？2.师生共同回顾正方形有哪些判定定理？3.通过本节课的学习，你还有哪些疑惑？请与同伴交流. 课后作业1.布置作业:教材“习题19.3”中第1、2、3题.2.完成本课时对应练习.。
2019年春八年级数学下册第19章四边形19.3矩形菱形正方形19.3.2菱形第1课时菱形的性质课件(新版)沪科版
19.3.2 第1课时 菱形的性质
【归纳总结】 1．菱形的性质： (1)边：四条边都相等，对边平行；(2)角：对角相等，邻角互补； (3)对角线：对角线互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角； (4)对称性：菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的两 条对称轴；(5)菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形． 2．菱形的面积： (1)设菱形的一边长为 a，这边上的高为 ha，则 S 菱形＝aha；
性质 2：菱形的对角线_互__相__垂_直__．
19.3.2 第1课时 菱形的性质
顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是什么四边形？小 明同学说：“一定还是菱形．”你同意他的说法吗？请给出理由．
19.3.2 第1课时 菱形的性质
解：不同意，顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是矩形．理由如下：
如图，∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠AOD＝∠AOB＝∠COD＝90°. ∵E，H，F 分别为 AD，CD，AB 的中点， ∴EH∥AC，EF∥BD， ∴∠1＝∠AOB＝90°，∠2＝∠COD＝90°， ∴∠FEH＝90°. 同理可证：∠EFG＝∠FGH＝∠GHE＝90°， ∴四边形 EFGH 是矩形．
第19章 四边形
19.3.2 第1课时 菱形的性质
第19章 四边形
19.3.2 第1课时 菱形的性质
知识目标 目标突破 总结反思
19.3.2 第1课时 菱形的性质
知识目标
归纳理解菱形的概念和性质，能利用菱形的性质进行计算或证明．
19.3.2 第1课时 菱形的性质
目标突破
目标 能利用菱形的性质进行计算或证明
19.3.2 第1课时 菱形的性质
总结反思
知识点一 菱形的定义
八年级数学下册第十九章矩形、菱形与正方形19.3正方形正方形及其性质说课稿(新版)华东师大版
正方形及其性质一、教材的地位与作用这节课是华师大版数学教材八年级下册第19章第3节第1课时的内容。
在现实生活中随处可见，应用非常广泛，它是学生非常熟悉的一种图形。
《正方形》是在学生掌握了平行线、三角形、平行四边形、菱形、矩形等平面几何知识，并且具备有初步的观察、操作、推理和证明等活动经验的基础上出现的。
目的在于让学生通过探索正方形的性质，进一步学习、掌握说理、证明的数学方法。
这一节课是前面所学知识的延伸和概括，充分体现了平行四边形、菱形、矩形、正方形这些概念之间的联系、区别和从属关系，同时又是高中阶段继续学习正方体、正六面体必备的知识。
二、教学目标1知识技能①、理解正方形的概念，掌握正方形性质以及正方形与平行四边形、菱形、矩形之间的关系。
②、能正确运用正方形的性质进行简单的计算、推理、论证。
2.数学思想渗透从一般到特殊，化未知为已知的数学思想及转化的数学思想。
3.过程与方法①、通过本节课的学习培养学生观察、动手、探究、分析、归纳、总结等能力。
②、培养学生的合情推理意识，主动探究的习惯，逐步掌握证明的方法。
3.情感态度①、让学生树立科学、严谨、理论联系实际的良好学风。
②、培养学生相互讨论、相互帮助、团结协作的团队精神。
三、教材的重点难点重点：正方形的概念和性质。
难点：理解正方形与平行四边形、菱形、矩形之间的内在联系及正方形的性质和应用。
《教法分析》教法设想以“学—导—练”三步为主线，以“先学后教、当堂训练”的教学模式，来进行本节课的教学。
在整个教学过程中加强学生自学方法的指导。
以问题“引”自学，以自测“显”问题，以优生“带”差生，以点拨“疏”疑点，以训练“巩”新知 运用教学方法：以导学稿为载体，引导、探究、合作、点拔、评价 学法指导自学猜测、交流讨论、分析推理、归纳总结 教学程序一、出示目标 了解新知 学习目标（1分钟）1.理解正方形的概念，掌握正方形性质以及正方形与平行四边形、菱形、矩形之间的关系。
八年级数学下册第19章四边形19.3矩形菱形正方形2菱形第1课时菱形的性质教案沪科版
2.菱形第1课时菱形的性质【知识与技能】1。
理解并掌握菱形的定义及性质定理1、2；会用这些定理进行有关的论证和计算.2。
培养学生的观察能力、动手能力、自学能力、计算能力、逻辑思维能力。
3。
通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力。
4.根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系,通过画图向学生渗透集合思想。
【过程与方法】经历探索菱形的性质和基本概念的过程，在操作、观察、分析过程中发展学生思维意识，体会几何说理的基本方法。
【情感态度】培养学生主动探究的习惯和严密的思维意识、审判观、价值观。
并在教学中渗透事物总是相互联系又相互区别的辨证唯物主义观点.【教学重点】菱形的性质定理1、2.【教学难点】定理的证明方法及运用.一、创设情境，导入新课1。
(复习）什么叫做平行四边形?什么叫矩形?平行四边形和矩形之间的关系是什么?2.观察下列图片中的图形,它是什么特殊的平行四边形？【教学说明】复习矩形的性质，了解矩形和平行四边形之间的关系,再通过观察图片，认识菱形的形象，从而联系菱形与平行四边形之间的关系.二、合作探究，探索新知1。
我们已经学习了一种特殊的平行四边形——矩形，其实还有另外的特殊平行四边形,请看演示：（可将事先按如图做成的一组对边可以活动的教具进行演示）如图,改变平行四边形的边，使之一组邻边相等，从而引出菱形概念.菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
【强调】菱形（1）是平行四边形；（2)一组邻边相等.【教学说明】通过动画演示,直观展示菱形与平行四边形之间的关系，从而得到菱形的定义，然后强调指出菱形是特殊的平行四边形。
2。
探究：菱形的性质，让学生动手利用折纸、剪切的方法，探究、归纳。
方法一：如图1，两张等宽的纸条交叉重叠在一起,重叠的部分ABCD就是菱形；图1 图2方法二：将一张长方形纸对折，再在折痕上取任意长为底边，剪一个等腰三角形，然后打开即是菱形（如图2) .总结：菱形的性质：①菱形的四条边都相等.②菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.【教学说明】通过动手操作，然后观察猜想，再进行推理论证,最后总结归纳，得出菱形的性质.3。
2019年春八年级数学下册第19章四边形19.3矩形菱形正方形19.3.2菱形第1课时菱形的性质课件(新版)沪科版
19.3 矩形、菱形、正方形
19.3.2 菱 形
知识要点基础练
知识点1 菱形的概念 1.平行四边形ABCD满足下列哪个条件就一定是菱形( A ) A.AB=AD B.AB=CD C.AC=BD D.AB⊥AD 2.若菱形的周长为12 cm,则它的边长为 3 cm .
知识要点基础练
∵四边形 ABCD 是菱形, ∴AD=CD,∠ADP=∠CDP,
������������ = ������������, 在△ADP 和△CDP 中, ∠������������������ = ∠������������������, ������������ = ������������,
∴△ADP≌△CDP( SAS ),∴∠APD=∠CPD, 又∵∠APB+∠APD=180°, ∴∠APB+∠CPD=180°, ∴点 P 为菱形 ABCD 的一个“互补点”.
A.1 C.3
B.2 D.4
综合能力提升练
11.菱形 OACB 在平面直角坐标系中的位置如图所示,( 3,-1 ) .
12.如图,菱形 ABCD 的边长为 1 cm,E 是 AB 的中点,且 DE⊥AB,则 菱形 ABCD 的面积为
3 2
cm2
综合能力提升练
15.如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC=16 cm,BD=12 cm,BE⊥DC 于 点 E,求菱形 ABCD 的面积和 BE 的长.
解:菱形 ABCD 的面积 S= ×16×12=96,
∵AC⊥BD,由勾股定理可得 CD=10, 1 48 ∴2×CD×BE=48,∴BE= 5 , ∴菱形 ABCD 的面积为 96 cm
A.5 C.6.5
B.12 D.13
沪科版数学八年级(下册)19.3矩形、菱形、正方形 菱形的性质-教案
第十九章四边形19.3.2 菱形第1课时菱形的性质一、教学目标1．能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积的求法.2．经历菱形性质定理及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化等思想方法.二、教学重点及难点重点：菱形的概念和菱形的性质，菱形的面积公式的推导.难点：菱形性质的探究及灵活应用.三、教学用具能活动的矩形框架、多媒体课件四、相关资料各种《生活中菱形实例》图片，动画五、教学过程【情景引入】在日常生活中，同学们会看到各种各样的几何图形及由它们组成的精美图案，请同学们观察下面的几幅图片，看看每幅图案是由哪种基本图形组成的？菱形在生活中有广泛的应用，今天我们一起来研究菱形的性质.设计意图：从生活实际出发，引发学生思考，从而引出新课.【探究新知】1．菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2．剪一剪：如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？小明是这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可．你知道其中的道理吗？从这个图形中你有什么发现？3．探究菱形的性质(1)图中有哪些相等的线段？_______________________________(2)图中有哪些相等的角？________________________________(3)图中有哪些特殊形状的三角形？是哪些？________________________________、_______________________________(4)菱形是轴对称图形吗？它有几条对称轴？分别是什么？对称轴间有什么关系？ ________________________________4．根据刚才的发现，猜想菱形具有哪些性质？师生共同将菱形的性质从边、角、线三个方面进行归纳.⎩⎨⎧菱形的四条边都相等。
相等；菱形的两组对边平行且边⎩⎨⎧菱形的邻角互补。
等；菱形的两组对角分别相角⎩⎨⎧角线平分一组对角。
八年级数学下册第19章四边形19.3矩形菱形正方形19.3.3正方形课件新版沪科版
19.3.3
四边形
正方形
第19章 四边形
19.3.3
知识目标 目标突破 总结反思
正方形
19.3.3 正方形
知识目标
1．通过归纳理解正方形的概念和性质，能利用正方形的性质 进行计算或证明． 2．通过归纳得出正方形的判定方法，能利用正方形的判定定 理判定四边形是正方形．
19.3.3 正方形
【归纳总结】正方形判定方法的选择：
19.3.3 正方形
总结反思
知识点一
正方形的性质
直角 ，且有一组邻边______ 相等 的平行四 (1)定义：有一个角是______
边形叫做正方形．
相等 ， 直角 ； (2)性质 1： 正方形的四条边都________ 四个角都是________
相等且互相垂直平分 ． 性质 2：正方形的对角线__________________
目标突破
目标一 能利用正方形的性质进行计算或证明
例1
教材补充例题
已知：如图 19－3－10，在正方形 ABCD 中，
点 E，F 分别在 BC 和 CD 上，AE＝AF. (1)求证：BE＝DF； (2)连接 AC，EF 交于点 O，延长 OC 至点 M，使 OM＝OA，连接 EM， FM，求证：四边形 AEMF 是菱形．
19.3.3 正方形
∴∠AOE＝∠AOF. 又∵AO＝AO， ∴△AOE≌△AOF(ASA)， ∴AE＝AF. ∵EF 垂直平分 AD， ∴AE＝ED，AF＝DF， ∴AE＝ED＝DF＝AF， ∴四边形 AEDF 是菱形． 又∵∠BAC＝90°， ∴菱形 AEDF 是正方形．
19.3.3 正方形
判断以下命题的对错： (1)矩形的对角线相等且互相平分．( √ ) (2)矩形的对角线相等且互相垂直．( × ) (3)菱形的对角线相等且互相平分．( × ) (4)菱形的对角线互相垂直且平分．( √ ) (5)正方形的对角线相等且互相平分．( √ ) (6)正方形的对角线互相垂直且平分．( √ ) (7)正方形的对角线相等且互相垂直平分．( √ )
2019年春八年级数学下册第19章四边形19.3矩形菱形正方形19.3.3正方形课件(新版)沪科版
19.3.3 正方形
[解析] 本例可先证四边形 AEDF 为矩形，再证它是菱形，或先证它是菱形，再证 它是矩形．
19.3.3 正方形
证明：证法一：∵EF 垂直平分 AD， ∴AE＝ED，AF＝DF， ∴∠EAD＝∠ADE，∠FAD＝∠ADF. 又∵∠BAC＝90°，AD 平分∠BAC， ∴∠ADE＝∠EAD＝∠FAD＝∠ADF＝45°， ∴∠EDF＝∠AED＝∠AFD＝90°， ∴四边形 AEDF 是矩形． 又∵AE＝ED， ∴矩形 AEDF 是正方形． 证法二：∵AD 平分∠BAC， ∴∠EAD＝∠FAD. ∵EF⊥AD，
19.3.3 正方形
【归纳总结】通过证明三角形全等得到边和角相等，是有关四边形 中证明边或角相等的最常用的方法．而正方形的四条边相等、四个 角都是直角为证明三角形全等提供了条件．
19.3.3 正方形
目标二 能判定一个四边形为正方形
例 2 教材补充例题 如图 19－3－11 所示，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 平分∠BAC，AD 的垂直平分线 EF 分别交 AB，AD，AC 于 点 E，O，F. 求证：四边形 AEDF 是正方形．
19.3.3 正方形
∴∠AOE＝∠AOF. 又∵AO＝AO， ∴△AOE≌△AOF(ASA)， ∴AE＝AF. ∵EF 垂直平分 AD， ∴AE＝ED，AF＝DF， ∴AE＝ED＝DF＝AF， ∴四边形 AEDF 是菱形． 又∵∠BAC＝90°， ∴菱形 AEDF 是正方形．
19.3.3 正方形
19.3.3 正方形
知识点二 正方形的判定
先证明四边形是矩形(或菱形)，再证明四边形是菱形(或矩 形)．
常用方法： (1)有一组邻边相等的矩形是正方形； (2)对角线互相垂直的矩形是正方形； (3)有一个角是直角的菱形是正方形； (4)对角线相等的菱形是正方形．
八年级数学下册 第19章 四边形 19.3 矩形 菱形 正方形 19.3.2 菱形 第2课时 菱形的
课时作业(二十七)2. 第2课时菱形的判定]一、选择题1．xx·河南如图K－27－1，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加以下条件不能判定▱ABCD是菱形的是( )A．AC⊥BD B．AB＝BCC．AC＝BD D．∠1＝∠2图K－27－1图K－27－22．xx·聊城如图K－27－2，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE 是菱形，还需要添加的条件是链接听课例1归纳总结( )A．AB＝AC B．AD＝BDC．BE⊥AC D．BE平分∠ABC3．xx·临沂如图K－27－3，在△ABC中，D是边BC上的点(与B，C两点不重合)，过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，以下说法正确的选项是( ) A．假设AD⊥BC，那么四边形AEDF是矩形B．假设AD垂直平分BC，那么四边形AEDF是矩形C．假设BD＝CD，那么四边形AEDF是菱形D．假设AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形图K－27－3K－27－44．如图K－27－4，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC.假设AC＝4，那么四边形CODE的周长是( )A．4 B．6 C．8 D．105．如图K－27－5，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，那么四边形ABCD需满足的条件是( ) A．AB＝AD B．AC＝BDC．AD＝BC D．AB＝CD6．如图K－27－6①，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下：甲：如图②，连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于点M，O，N，连接AN, CM，那么四边形ANCM是菱形．乙：如图③，分别作∠BAD，∠ABC的平分线AE，BF，分别交BC，AD于点E，F，连接EF，那么四边形ABEF是菱形．根据两人的作法可判断( )图K－27－6A．甲正确，乙错误B．乙正确，甲错误C．甲、乙均正确D．甲、乙均错误二、填空题7．▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使▱ABCD成为菱形．你添加的条件是________．(填写一个即可)8．▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AO＝1，OB＝2，那么AC，BD 的位置关系是______________，四边形ABCD是菱形的根据是__________________________．9．如图K－27－7，在▱ABCD中，AB＝5，AC＝6，当BD＝________时，四边形ABCD 是菱形．K－27－7K－27－810．如图K－27－8，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA.以下三种说法：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形；③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形．其中正确的有________(只填写序号)．三、解答题11．xx·遂宁如图K－27－9，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE ＝BF，AC⊥EF.求证：四边形AECF是菱形.链接听课例1归纳总结12．如图K－27－10，在▱ABCD中，点M，N分别在AB，AD上，且BM＝DN.过点M作ME∥AD交CD于点E，过点N作NF∥AB交BC于点F，ME与NF相交于点G.求证：四边形CEGF是菱形.链接听课例1归纳总结图K－27－1013．如图K－27－11，在▱ABCD中，E为BC边上的一点，连接AE，BD，AE＝AB.(1)求证：∠ABE＝∠EAD；(2)假设∠AEB＝2∠ADB，求证：四边形ABCD是菱形．图K－27－1114．xx·南京如图K－27－12，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠C＝2∠BAD.O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OD.求证：(1)∠BOD＝∠C；(2)四边形OBCD是菱形．图K－27－12探究题小宇将两张长为8，宽为2的矩形纸条穿插如图K－27－13①放置，发现重叠局部是一个菱形．(1)请你帮助小宇证明四边形ABCD是菱形；(2)小宇又发现：如图②放置时，菱形ABCD的周长最小，等于________；(3)如图③放置时，菱形ABCD的周长最大，求此时菱形ABCD的周长．图－13详解详析【课时作业】 [课堂达标] 1．[解析] C 选项A ，∵四边形ABCD 是平行四边形，AC ⊥BD ，∴▱ABCD 是菱形．选项B ，∵四边形ABCD 是平行四边形，AB ＝BC ，∴▱ABCD 是菱形．选项C ，∵四边形ABCD 是平行四边形，AC ＝BD ，∴▱ABCD 是矩形．选项D ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠1＝∠ACB.∵∠1＝∠2，∴∠ACB ＝∠2，∴AB ＝BC ，∴▱ABCD 是菱形，应选C .2．[解析] D 当BE 平分∠ABC 时，四边形DBFE 是菱形．理由：∵DE ∥BC ，∴∠DEB ＝∠EBC.∵∠EBC ＝∠EBD ，∴∠EBD ＝∠DEB ，∴BD ＝DE.∵DE ∥BC ，EF ∥AB ，∴四边形DBFE 是平行四边形．又∵BD ＝DE ，∴▱DBFE 是菱形．其余选项均无法判定四边形DBFE 是菱形，应选D .3．[解析] D 根据DE ∥AC ，DF ∥AB ，可证明四边形AEDF 是平行四边形，再根据矩形、菱形的判定方法依次分析即可做出判断．假设AD ⊥BC ，无法判定四边形AEDF 是矩形，所以A 错误；假设AD 垂直平分BC ，可以判定四边形AEDF 是菱形，所以B 错误；假设BD ＝CD ，无法判定四边形AEDF 是菱形，所以C 错误；假设AD 平分∠BAC ，那么∠EAD ＝∠FAD ＝∠ADF ，所以AF ＝DF.又因为四边形AEDF 是平行四边形，所以四边形AEDF 是菱形，故D 正确．4．[解析] C 由条件知四边形CODE 是菱形，OC ＝2，故其周长是8.5．[解析] D ∵E ，F ，G ，H 分别是AD ，BD ，BC ，AC 的中点，∴EF ＝GH ＝12AB ，EH ＝FG ＝12CD.∵当EF ＝FG ＝GH ＝EH 时，四边形EFGH 是菱形，∴当AB ＝CD 时，四边形EFGH 是菱形．应选D .6．[解析] C 甲的作法：首先证明四边形ANCM 是平行四边形，再由AC ⊥MN ，可根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定四边形ANCM 是菱形；乙的作法：可根据角平分线的定义和平行线的定义，证得AB ＝AF ，AB ＝BE ，再由AF ∥BE 可推出四边形ABEF 是菱形．7．[答案] 答案不唯一，如AB ＝BC 或AC ⊥BD 等8．[答案] AC ⊥BD 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 9．[答案] 810．[答案] ①②③11．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ＝BC ，AD ∥BC. ∵DE ＝BF ，∴AE ＝CF. 又∵AE ∥CF ，∴四边形AECF 是平行四边形． ∵AC ⊥EF ，∴四边形AECF 是菱形．12．[解析] 根据平行四边形的性质得出AD ∥BC ，AB ∥CD ，推出四边形CEGF 为平行四边形，求出GE ＝DN ＝BM ＝FG ，根据菱形的判定即可得证．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∵ME∥AD，NF∥AB，∴四边形CEGF 是平行四边形．由平行四边形的定义知四边形MBFG ，NDEG 均为平行四边形， ∴FG ＝BM ，EG ＝DN.又∵BM ＝DN ，∴FG ＝EG ， ∴四边形CEGF 是菱形．13．[解析] (1)根据平行四边形的对边互相平行可得AD ∥BC ，再根据两直线平行，内错角相等可得∠AEB ＝∠EAD ，根据等边对等角可得∠ABE ＝∠AEB ，即可得证；(2)根据两直线平行，内错角相等可得∠ADB ＝∠DBE ，然后可证∠ABD ＝∠ADB ，再根据等角对等边可证AB ＝AD ，然后利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．证明：(1)∵在▱ABCD 中，AD ∥BC ， ∴∠AEB ＝∠EAD.∵AE ＝AB ，∴∠ABE ＝∠AEB ， ∴∠ABE ＝∠EAD.(2)∵AD ∥BC ，∴∠ADB ＝∠DBE.∵∠ABE ＝∠AEB ，∠AEB ＝2∠ADB ， ∴∠ABE ＝2∠ADB ，∴∠ABD ＝∠ABE －∠DBE ＝2∠ADB －∠ADB ＝∠ADB ，∴AB ＝AD. 又∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴四边形ABCD 是菱形．14．证明：(1)如图，延长AO 到点E. ∵OA ＝OB ，∴∠ABO ＝∠BAO. 又∠BOE ＝∠ABO ＋∠BAO ， ∴∠BOE ＝2∠BAO.同理∠DOE ＝2∠DAO ，∴∠BOE ＋∠DOE ＝2∠BAO ＋2∠DAO ＝2(∠BAO ＋∠DAO)， 即∠BOD ＝2∠BAD. 又∵∠C ＝2∠BAD ， ∴∠BOD ＝∠C. (2)连接OC ，∵OB ＝OD ，CB ＝CD ，OC ＝OC ， ∴△OBC ≌△ODC ，∴∠BOC ＝∠DOC ，∠BCO ＝∠DCO.∵∠BOD ＝∠BOC ＋∠DOC ，∠BCD ＝∠BCO ＋∠DCO ， ∴∠BOC ＝12∠BOD ，∠BCO ＝12∠BCD.又∠BOD＝∠BCD，∴∠BOC＝∠BCO，∴BO＝BC.又∵OB＝OD，BC＝CD，∴OB＝BC＝CD＝DO，∴四边形OBCD是菱形．[素养提升]解：(1)证明：∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．如图①，过点A分别作AM⊥BC于点M，AN⊥CD于点N，那么AM＝AN.＝AM·BC＝AN·CD，又∵S▱ABCD∴BC＝CD，∴▱ABCD是菱形．(2)8(3)如图②，设AD＝AB＝x，那么AE＝8－x.在Rt△ABE中，AB2＝AE2＋BE2，即x2＝(8－x)2＋22，解得4x＝17，即此时菱形ABCD的周长是17.如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
八年级数学下册 第19章 四边形 19.3 矩形、菱形、正方形 19.3.3 正方形教学课件
a2＋(a－
2)2＝4，解得 a＝
2＋ 2
6，则 a2＝2＋
3，
S 正方形 ABCD＝2＋ 3，∴④说法正确．故答案为①②④.
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3. 正方形
[归纳总结] 1.正方形的两条对角线将正方形分成四个全等的等腰
直角三角形．
2．正方形的周长等于边长的4倍，面积等于边长的平方或对角 线平方的一半．
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3. 正方形
证法(zhènɡ fǎ)二：∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠FAD. 又∵EF⊥AD，∴∠AOE＝∠AOF. 又∵AO＝AO，∴△AOE≌△AOF(ASA)， ∴AE＝AF. ∵EF垂直平分AD， ∴AE＝ED，AF＝DF， ∴AE＝ED＝DF＝AF，
∴四边形AEDF为菱形．
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3. 正方形
又∵∠AEF＝60°，∴∠AEB＝75°，∴②说法正确；
如图 19－3－89，连接 AC，交 EF 于点 G，
∴AC⊥EF，且 AC 平分 EF.
∵∠CAF≠∠DAF，∴DF≠FG，
∴BE＋DF≠EF，∴③说法错误；
∵EF＝2，∴CE＝CF＝ 2，
设正方形的边长为 a，在 Rt△ADF 中，
探究问题(wèntí)三 灵活证明四边形是不是正方形 例3 如图19－3－17所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是
∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF分别(fēnbié)交AB，AD， AC于点E，O，F.
求证：四边形AEDF是正方形．
[解析(jiě xī)]本例可先证四边形AEDF为矩形，
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3. 正方形
课堂小结
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