3.3二阶系统解析
合集下载
3.3二阶系统
解得 t 1/ n 。 整个暂态过程中，临界阻尼系统阶跃响应都是单调 增长的没有超调。如以达到稳态值的 95% 所经历的时 间做为调整时间，则
t s 4.7 1
n
临界阻尼二阶系统多在记录仪表中使用。
3. 欠阻尼(0<ζ<1)
此时，系统具有一对共轭复数极点，则
2 n C ( s) 2 s ( s 2 2n s n )
注意：
• 控制工程中，二阶系统的典型应用极为普
遍； • 为数众多的高阶系统在一定条件下可近似 为二阶系统。
二、二阶系统的特征根（极点）分布
求解二阶系统特征方程，
2 s2 2n s n 0
可得两个特征根（极点）
s1 , s2 n n 1
2
( 1) ( <1)
2 2
e
( 2 1)n t
1 2 1( 1)
2 2
e
( 2 1)n t
(t 0)
稳态分量：1 暂态分量：两个指数函数之和， 指数部分由系统传递函数极点确定。
讨论：
过阻尼系统是两个惯性环节的串联。 有关分析表明，当 1时，两极点s1和s2与虚轴的 距离相差很大，此时靠近虚轴的极点所对应的惯性 环节的时间响应与原二阶系统非常接近，可以用该
1 c() lim sG( s) R( s) lim s 1; s 0 s 0 ( s s1 )( s s2 ) s
333欠阻尼二阶系统动态性能指标计算
3.3.3 欠阻尼二阶系统动态性能指标计算
1. 欠阻尼二阶系统极点的两种表示方法
欠阻尼二阶系统的极点可以用如图3-10所示的两种形式表示。 (1) 直角坐标表示
n n d j j ωξξωωσλ22,11-±-=±= （3-8）
(2) “极”坐标表示
⎩⎨
⎧=∠=β
λωλn
⎩⎨⎧-==21sin cos ξ
βξβ （3-9
2. 欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应
由式（3-5）s s s s R s s C n
n n 12)()()(222
ωξωωΦ++==2
22)1()(21
n n n s s s ωξξωξω-+++-=
22222222)1()(11)1()(1n
n n n n n s s s s ωξξωωξξξωξξωξω-++-⋅---+++-= 系统单位阶跃响应为
()
()
=---
--=--t e t e t h n t n t n n ωξξ
ξ
ωξξωξω22
21sin 11cos 1)(
()()[]=-+----
-t
t e n n t n ωξξωξξ
ξ
ξω222
2
1sin 1cos 111
1s i a r n t
n t ξω--+
⎭
（3-10）
系统单位脉冲响应为
[]⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡-⋅-++-=Φ='=--22
2221
1
1)1()(1)()()(ξωωξξωωξn
n n n s L s L t h t k
t e n t n
n ωξξωξω22
1sin 1--=
- （3-11）
典型欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应如图3-11所示。响应曲线位于两条包络线
211ξξω-±-t
n
e 之间，
3.3 二阶系统的时域分析
=
由
e
ζω nts
1 1ζ
=
2
e
ζω nt
sin(ω d t + β ) ≤
e
ζω nt
1ζ 2
1ζ 2
得
ts =
1
ζω n
(ln
1
+ ln
1 1ζ
2
)
15
当0.4<ζ≤0.8时,可 以采用下面的近似公式 3.5 = 0.05 tS ≤
= 0.02 tS ≤
ts =
1
ζω n
(ln
1
+ ln
= 1 = 1+
1 1ζ 2 1
2
e ζω nπ / ω d sin(π + β ) e
ζπ / 1ζ 2
σ p% =
1ζ h(t p ) h(∞)
sin β = 1 + e
πζ / 1ζ 2
πζ / 1ζ 2
h (∞ ) σp% 与ωn无关,ζ ↑→ σp% ↓,平稳性越好; 通常取ζ =0.4~0.8 ,响应的σp%=25.4%~1.5%.
(0 < ζ < 1)
ωd = ωn 1 ζ 2
--阻尼振荡频率
ωn2 1 C ( s) = Φ ( s) R( s) = 2 2 s + 2ζω n s + ω n s
3.3 二阶系统的时间响应
3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应（9）
根据临界阻尼状态、过阻尼状态、欠阻尼状态及
无阻尼状态画出的二阶系统在单位阶跃信号下的
一族瞬态响应曲线如图所示。 由图可知
在ζ＞1和ζ=1的情况下，二阶系统的瞬态响应具有单 调上升的特性；
百度文库
随着阻尼比的减小（0＜ζ＜1） ，振荡特性加强， 当减小到ζ=0时，呈现出等幅振荡。
当输入信号是单位阶跃信号时则系统在单位阶跃信号作用下的输出拉氏变换为故系统的单位阶跃响应为当输入信号为单位脉冲信号时根据线性定常系统的性质可得系统的单位脉冲响应tedt
3.3 二阶系统的时间响应
二阶系统的数学模型
二阶系统的单位阶跃响应
3.3.1 二阶系统的数学模型（1）
定义
用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。 系统中含有两个储能元件的系统，称为二阶系统。 传递函数中分母多项式中s的最高幂数为2的系统称为二阶系统。 二阶系统的典型形式是振荡环节。
3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应（3）
在欠阻尼状态下，二阶系统的单位 阶跃响应呈衰减振荡过程。振荡频 率是阻尼自然频率ωd，振幅按指数 曲线衰减，两者均由系统参数ζ
和ωd决定。
3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应（4）
当ζ=1时，称为临界阻尼状态 此时二阶系统的极点是二重实根。输出信号的拉氏变换为
3.3二阶系统
1 c() lim sG( s) R( s) lim s 1; s 0 s 0 ( s s1 )( s s2 ) s
2
e( ) 0
过渡过程时间（按近似后一阶系统求出）
ts (3 ~ 4)
1 ( 2 1)n
单调上升，无振荡，过渡过程时间长，无稳态误差。
• 典型二阶系统是一个前向通道为惯性环节和积分 环节串联的单位负反馈系统。
• 令
K1 K 2 1
2 n
2n
则二阶系统传递函数的标准形式为
2 n C (s) G( s) 2 2 R( s ) s 2n s n
其中ζ称为阻尼比，τ为时间常数，ωn为系统的自然 振荡角频率（无阻尼自振角频率）。
3.3 二阶系统的时域分析
一、 二阶系统数学模型及其标准形式
R( s) ＋
－
K1 s 1
K2 s
C (s)
RLC电路、电动机转速控制系统
R( s)
2 n 2 s 2 2n s n
C (s)
K1 K 2 C ( s) G( s) 2 R( s ) s s K1 K 2
dc(t ) / dt 0
则
故
n e
nt p
sin(d t p ) d e
tan(d t p )
2
e( ) 0
过渡过程时间（按近似后一阶系统求出）
ts (3 ~ 4)
1 ( 2 1)n
单调上升，无振荡，过渡过程时间长，无稳态误差。
• 典型二阶系统是一个前向通道为惯性环节和积分 环节串联的单位负反馈系统。
• 令
K1 K 2 1
2 n
2n
则二阶系统传递函数的标准形式为
2 n C (s) G( s) 2 2 R( s ) s 2n s n
其中ζ称为阻尼比，τ为时间常数，ωn为系统的自然 振荡角频率（无阻尼自振角频率）。
3.3 二阶系统的时域分析
一、 二阶系统数学模型及其标准形式
R( s) ＋
－
K1 s 1
K2 s
C (s)
RLC电路、电动机转速控制系统
R( s)
2 n 2 s 2 2n s n
C (s)
K1 K 2 C ( s) G( s) 2 R( s ) s s K1 K 2
dc(t ) / dt 0
则
故
n e
nt p
sin(d t p ) d e
tan(d t p )
3.3二阶系统的动态性能(上)解析
系统特征根为一对不等的负实根，见图3.18
图3.18 ζ>1时特征根
令
1 1 T1 s1 n n 2 1
1 1 T2 s2 n n 2 1
其输出量的拉普拉斯变换
2 2 n n 1 1 Y ( s ) ( s ) R( s ) 2 2 s 2n s n s (s s1 )(s s2 ) s 2 n 1 a3 a1 a2 1 1 s s 1 1 ( s )( s ) s s T1 T2 T1 T2 1 1 1 1 1 T 1 T 1 s 2 1 1 s 1 s T1 T2 T2 T1
nt
d
L[e at cos t ]
上式取拉氏反变换，得
y(t ) 1 e
1 1
cos d t
1
2
sa ( s a)2 2 L[e at sin t ] ( s a)2 2
ent sin d t
e nt 1 2 e
( arctg
1 2
)
sin 1 2
e
1
1 2 100%
% e
1 2
100%
上式表明，超调量σ％仅是阻尼比ζ的函数，与自然频率ωn无关。
图3.21 σ％ 和ζ的关系
3.3二阶系统时间响应
当系统输入单位阶跃函数时，Ｍp≤5%。求 （1）校核该系统的各参数是否满足要求。 （2）在原系统中增加一个微分反馈，求微
分反馈的时间常数τ。
Xi (s)
(1)
50 s(0.05s 1)
X o (s)
Xi (s)
(2)
50 s(0.05s 1)
1 s
X o (s)
解：（1）求GB(S)
GB (s)
2)求m :
M
p
0.0029 0.03
100%
9.6%
M p exp( 1 2 ) 9.6% 0.6
t p n 1 2 2 n 1.96s1
m
k
n2
297 1.962
77.3kg
3)求c：
2n
c m
c 2mn
c 277.30.61.96 181.8 Ns m
例3 有一位置随动系统，其方框图如图（1）
L1
(s
n2 n
)2
xo(t) n2t exp(nt)
4、过阻尼状态 1
xo (t )
2
n 2
1
L1 s
(
1
L1
2 1)n s (
1
2
1)n
2
n 2
1
e(
2 1)nt e(
2
1)nt
曲线
分反馈的时间常数τ。
Xi (s)
(1)
50 s(0.05s 1)
X o (s)
Xi (s)
(2)
50 s(0.05s 1)
1 s
X o (s)
解：（1）求GB(S)
GB (s)
2)求m :
M
p
0.0029 0.03
100%
9.6%
M p exp( 1 2 ) 9.6% 0.6
t p n 1 2 2 n 1.96s1
m
k
n2
297 1.962
77.3kg
3)求c：
2n
c m
c 2mn
c 277.30.61.96 181.8 Ns m
例3 有一位置随动系统，其方框图如图（1）
L1
(s
n2 n
)2
xo(t) n2t exp(nt)
4、过阻尼状态 1
xo (t )
2
n 2
1
L1 s
(
1
L1
2 1)n s (
1
2
1)n
2
n 2
1
e(
2 1)nt e(
2
1)nt
曲线
3-3二阶系统的时域分析
3-4 高阶系统的时域分析
高阶系统的时域分析非常困难。在工程应用 中，常抓住主要因素分析系统；常常将高阶系统 近似成低阶系统处理。 * n ≥ 3 阶次的系统称为高阶系统。解析分析 很困难，也无必要； * 设计良好的闭环系统，通常能用二阶系统 近似。
，
1 三阶系统的单位阶跃响应(略)
典型三阶系统的单位阶跃响应，可看作是增 加一个负实极点的典型二阶系统单位阶跃响应。
s 2 n s
1 s
1
z s 2 n s
2
n
2 2 n
1
响应曲线是阶跃响应和脉冲响应两条曲线叠 加组成。
p
p
具有负实零点系统的阶跃响应曲线示意图
t p tp
负实零点对系统的作用为： ⑴ 仅在过渡过程开始阶段有较大影响； ⑵ 使系统响应速度加快(tr和tp减小)； ⑶ 系统的超调量略有增大； ⑷ 负实零点越接近虚轴，作用越强。
2
；
p exp( / 1 ) 。
2
3.5 △计算调节时间ts △—允许误差
采用近似计算：ts =3/σ，△=0.05； ts =4/σ，△=0.02；
例3-1 系统结构如图3-15所示 R(s) 若要求系统指标为
p 20 % ；t p 1 s ；
K s ( s 1)
2
二阶系统分析
57
3.3 二阶系统的时间响应及动态性能
3.3.1 二阶系统传递函数标准形式及分类
常见二阶系统结构图如图3-６所示其中K ，T 为环节参数。系统闭环传递函数为
K
s s T K
s ++=
Φ21)(
化成标准形式
2
2
22)(n
n n
s s s ωξωω++=Φ （首1型） （3-5） 1
21
)(22++=
Φs T s T s ξ （尾1型） （3-6）
式中，K
T T 1=
，11T K T n ==ω，1121KT =ξ。
ξ、n ω分别称为系统的阻尼比和无阻尼自然频率，是二阶系统重要的特征参数。二阶系统的首1标准型传递函数常用于时域分析中，频域分析时则常用尾1标准型。
二阶系统闭环特征方程为
02)(2
2=++=n n s s s D ωξω
其特征特征根为
12
2,1-±-=ξωξωλn n
若系统阻尼比ξ取值范围不同，则特征根形式不同，响应特性也不同，由此可将二阶系统分类，见表3-3。
58
数学上，线性微分方程的解由特解和齐次微分方程的通解组成。通解由微分方程的特征根决定，代表自由响应运动。如果微分方程的特征根是1λ，2λ，, n λ且无重根，则把函数t
e
1λ，t
e 2λ，, t
n e
λ称为该微分方程所描述运动的模态，也叫振型。
如果特征根中有多重根λ，则模态是具有t
te λ， ,2
t e t λ形式的函数。
如果特征根中有共轭复根ωσλj ±=，则其共轭复模态t e )j (ωσ+与t
e )j (ωσ-可写成实函
数模态t e
t
ωσsin 与t e t ωσcos 。
每一种模态可以看成是线性系统自由响应最基本的运动形态，线性系统自由响应则是其相应模态的线性组合。
自动控制3.3~3.4二阶系统时域分析详解
d n 1 2
a. 瞬态部分是衰减的正弦振荡曲线，衰减速度取决于特征根
实部的绝对值 ζωn ( 即σ，特征根实部）的大小,
b. 振荡角频率为阻尼振荡角频率 d（特征根虚部)。
c. 稳态部分等于1，表明不存在稳态误差； c(t)
1
0
n t
衰减振荡
(2) 动态性能指标
单位阶跃响应
c(t) 1
s(s
n2 2n
)
n2
(s)
s(s
(Td s 1)n2 2n ) (Td s 1)n2
(Td s 1)n2
s2 (2 Tdn )ns n2
2d
2
nTd ,d
1 2
nTd
可见，比例－微分控制不改变自然振荡频率和开环 增益，但增大阻尼比，以抑制振荡，减少超调量。 比例－微分控制相当于增加了一个零点，故称为有 零点的二阶系统。
➢特点: (1) 引入比例微分控制，系统阻尼增加，其对振荡的抑
制强于闭环零点对振荡的扩大。因此，总体是使超调减 弱，改善平稳性；
(2) 闭环零点的出现，加快了系统响应速度，克服了 阻尼过大，响应速度慢的缺点。快速性和平稳性均提高。
(3) 不影响开环增益，即不影响系统稳态误差，自然 振荡频率不变。
注意：微分对于噪声（高频噪声）有放大作用，在 输入端噪声较强时，不宜采用比例-微分控制。此时， 可考虑用测速－反馈控制。
二阶系统
§3－3 二阶系统分析
由二阶微分方程描述的系统，称为二阶系统，许多高阶 系统的在一定的条件下，常常近似地作为二阶系统来研究。
一、二阶系统地数学模型
最简单的二阶微分方程的标准形式是：
T
2
d 2r dt2
2T
dr dt
经过拉氏变换可得：
r c (S)
C(s) R(s)
s2
wn2
2wns
所以
%
h(t
p
)
1
e
1 2
100%
1
σ
ζ
4、调节时间ts
根据定义，可由h(ts)-h(∞)=0.05h(∞)求得ts,但比较困 难，一般当阻尼比ξ＝0.4～0.8时，采用下列近似公式来
计算：
tsBiblioteka Baidu
3.5
n
3.5T
(允许误差范围为5％)
ts
4.5
n
4.5T
(允许误差范围为2％)
0.99*t)/x).*sin(x*t+acos (0.99)) plot(t,h1,t,h2,t,h3),grid
由曲线看出，实际响应曲线比指数曲线的包络线 收敛速度要快，因此可用包络线来估算调节时间。
二阶系统单位阶跃响应的通用曲线如下，可以利用它来 分析系统系统结构参数ξ、Wn对阶跃响应性能的影响。
由二阶微分方程描述的系统，称为二阶系统，许多高阶 系统的在一定的条件下，常常近似地作为二阶系统来研究。
一、二阶系统地数学模型
最简单的二阶微分方程的标准形式是：
T
2
d 2r dt2
2T
dr dt
经过拉氏变换可得：
r c (S)
C(s) R(s)
s2
wn2
2wns
所以
%
h(t
p
)
1
e
1 2
100%
1
σ
ζ
4、调节时间ts
根据定义，可由h(ts)-h(∞)=0.05h(∞)求得ts,但比较困 难，一般当阻尼比ξ＝0.4～0.8时，采用下列近似公式来
计算：
tsBiblioteka Baidu
3.5
n
3.5T
(允许误差范围为5％)
ts
4.5
n
4.5T
(允许误差范围为2％)
0.99*t)/x).*sin(x*t+acos (0.99)) plot(t,h1,t,h2,t,h3),grid
由曲线看出，实际响应曲线比指数曲线的包络线 收敛速度要快，因此可用包络线来估算调节时间。
二阶系统单位阶跃响应的通用曲线如下，可以利用它来 分析系统系统结构参数ξ、Wn对阶跃响应性能的影响。
二阶系统的时间响应及动态性能
ts
=
3.5 ξω n
=
3.5 0.5 × 10
= 0.7
相应的单位阶跃响应如图 3-18 所示。
(2) Φ(s) =
10K
，与二阶系统传递
s 2 + 10s + 10K
函数标准形式比较，得
⎪⎧ω n = 10K
⎪⎩⎨ξ
=
2
10 10K
令ξ = 0.707 ，得 K = 100 × 2 = 5 4 ×10
ξ = 1 + (T1 T2 ) = 1.25 > 1 2 T1 T2
查图 3-7 可得 ts T1 = 3.3 ，计算得 ts = 3.3T1 = 3.3 × 0.5 = 1.65s 。图 3-8 给出了系统单
位阶跃响应曲线。
当阻尼比 ξ = 1时，系统处于临界阻尼状态，此时闭环极点是一对相等的实根，即
例 3-6 系统结构图如图 3-19 所示。求开环增益 K 分别为 10，0.5，0.09 时系统的动态
性能指标。
解 当 K =10， K ＝0.5 时，系统为欠阻尼状态，当 K =0.09 时，系统为过阻尼状态，应按相应的公式计算系
e−ξωnt sin 1 − ξ 2 ω nt e−ξωnt cos 1 − ξ 2 ω nt
65
ξ =0
零阻尼
λ1,2 = ± jω n
北航机电控制工程基础(自动控制原理)第三章2-时域分析法-一阶系统分析二阶系统分析
北京航空航天大学
机电控制工程基础
Fundamentals of Mechatronic Control Engineering
(3 )调节时间Regulation time ：t s 根据调节时间的定义，当t≥ts时 |h(t)-h(∞)|≤ h(∞) ×Δ%。
e nt
1 2
sin(d t
tg1
1 2
衰减的正弦运动，当 1 时c(t)呈现单调上升运动(无振荡)。
可见 反映实际系统的阻尼情况，故称为阻尼系数。
袁松梅教授 Tel：82339630 Email：yuansm@buaa.edu.cn
北京航空航天大学
机电控制工程基础
Fundamentals of Mechatronic Control Engineering
北京航空航天大学
机电控制工程基础
Fundamentals of Mechatronic Control Engineering
3.3 二阶系统分析(Second-order System analysis)
3.3.1 数学模型 (Mathematical Model)
dc2 (t) dt2
2 n
dc(t) dt
一定，n----> d (2) 快速性Rapidity
过大，响应迟缓，ts 过小，响应振荡强烈，衰减缓慢，ts =0.707，最佳阻尼比
二阶系统的阶跃响应
中，后者衰减的速度远远快于前者，即此时二阶系统的瞬态响 应主要由前者来决定，或者说主要由极点–p1决定，因而过阻尼 二阶系统可以由具有极点-p1的一阶系统来近似表示。
Y ( s) n R( s ) ( s p1 )(s p2 )
2
y (t )
1 1 2 2-准确解 y (t ) 1 0.077e 0
2 n
特征方程还可为
12
1 1 s 2 n s ( s )(s ) T1 T2
2 2 n
3.3 二阶系统的阶跃响应
两阶系统的瞬态响应
n ( 1) n ( 2 1) 1 2 于是闭环传函为： 这里 T1 T2 ， n T1T2 1 C ( s) 1 T1T2 R( s) ( s 1 )(s 1 ) (T1s 1)(T2 s 1) T1 T2 因此过阻尼二阶系统可以看作两个时间常数不同的惯性环节的串 联，其单位阶跃响应为 1 1 1 T1 1 T2 1 C ( s) 1 (T1s 1)(T2 s 1) s s T2 T1 (s ) T1 T2 ( s 1 ) T1 T2 t t
2
式中
T1
1
T2
1
13
T1 T1 T2 T2 c(t ) 1 e e T2 T1 T1 T2
3.3 二阶系统的阶跃响应
欠阻尼二阶系统的动态过程分析
sin(d t
)
(t 0)
依定义，令上求导式为零。得
dc(t ) dt |t t p 0
s1 =cos
j jd ωn 0
所以
ent p n 1 2
sin(dt p
)
0
-n s2
因为
entp n
0
1 2
有 sin d t p 0
即 dt p 0, ,2 ...
得
tp
d
n
1 2
ξ一定时，ωn越大，tp越小；ωn 一定时，ξ越大，tp越大。
-s2-5s-6=0稳定吗？
该系统不稳定
系统稳定的充分条件:
劳斯表第一列元素不变号!
有两个正实部根
若变号系统不稳定!
变号的次数为特征根在s右半平面的个数!
特殊情况2： 劳斯表出现零行
设系统特征方程为： ① 有大小相等符号相反的
s4+5s3+7s2+5s+6=0
特征根时会出现零行
表 劳 s4 1 7 6
3.3.3 欠阻尼二阶系统的动态过程分析
阻尼比希望值为（0.4～0.8）
动态指标：tr 、 tp 、 p %、ts
（1）上升时间trc(t) 1
e nt
1 2
s in( d t
)
tg1
1 2
自动控制原理(3-2)
e ntr sin( d t r ) 0
得 tr
d
式中 d n 1 2
arccos
可见，当阻尼比ζ一定时，阻尼角β不变，系统的 响应速度与ωn成正比，而当阻尼振荡频率ωd一定时， 阻尼比越小，上升时间越短。
3.峰值时间tp的计算
令
dh(t p ) dt 0 ，即 n e
-
取其解中的最小值，
ωd
h(tp) －h(∞) 得 σ% = e-π 1 100% 由σ%= 100% h(∞) 1 -ωnt sin(e / tg 100% ωd t +β ) h(t)= 1－ √1- 2 （0 ﹤ ≤ 0.8） 由包络线求调节时间
2
e
例3-1 设系统结构图如图所示，若要求系统具有性能
e t T1 e t T2 h(t ) 1 , t0 T2 T1 1 T1 T2 1
4.无阻尼（ζ=0）二阶系统的单位阶跃响应
h(t ) 1 cos nt , t 0
可见，这是一条平均值为1的正、余弦形式的等幅振 荡，其振荡频率为ωn，故可称为无阻尼振动频率。 实际的控制系统通常都有一定的阻尼比，因此不可能 通过实验方法测得ωn，而只能测得ωd，且小于ωn。
对上式取拉氏反变换，求得单位阶跃响应为：
h(t ) c(t ) 1 e nt (1 nt ) , t 0
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
n jn 1 2
j
j
[s]
2
j
[s]
s1
j n 1
n 0
2
s1 s 2
n
0
s2
j n 1
(a) 0 1
j
(b) 1
[s]
j
[s]
s1
s1
s2
n
0
s2
0
(c) 1
(d) 0
过阻尼系统单位阶跃响应的变化率
( 2 1)n dc(t ) e ( dt 2 2 1( 2 1)
2 1)n t
2 1)n e ( 2 2 1( 2 1)
(
2 1)n t
dc(t ) 0 dt 0
t 0 t 0
所以，整个暂态过程中， 阶跃响应都是单调增长的 .
2. 临界阻尼(ζ＝1)
此时，系统具有二重负实极点，则
2 n A0 A1 A2 C ( s) 2 s ( s n ) s s n ( s n ) 2
A0 1源自文库
d 2 A1 C ( s )( s ) 1 n ds s n
dc(t ) 0 dt t 0 dc(t ) 0 dt t 0
e( ) 0
dc(t ) 2 n t n te dt
dc(t ) 0 dt t
表明临界阻尼系统的阶跃响应是单调上升的。
单位阶跃响应变化率最大的时刻：
d 2 h(t ) dt 2
dh ( t ) max dt 2 n t n e (1 n t ) 0
1 c() lim sG( s) R( s) lim s 1; s 0 s 0 ( s s1 )( s s2 ) s
2
e( ) 0
过渡过程时间（按近似后一阶系统求出）
ts (3 ~ 4)
1 ( 2 1)n
单调上升，无振荡，过渡过程时间长，无稳态误差。
2 2
e
( 2 1)n t
1 2 1( 1)
2 2
e
( 2 1)n t
(t 0)
稳态分量：1 暂态分量：两个指数函数之和， 指数部分由系统传递函数极点确定。
讨论：
过阻尼系统是两个惯性环节的串联。 有关分析表明，当 1时，两极点s1和s2与虚轴的 距离相差很大，此时靠近虚轴的极点所对应的惯性 环节的时间响应与原二阶系统非常接近，可以用该
1.
过阻尼(ζ>1)
n n 2 1
这种情况下，系统存在两个不等的负实根，则
2 2 n n C (s) 2 2 s ( s 2n s n ) s ( s s1 )( s s2 )
A0 A1 A2 s s s1 s s2
A0 C (s)s s 0 1
注意：
• 控制工程中，二阶系统的典型应用极为普
遍； • 为数众多的高阶系统在一定条件下可近似 为二阶系统。
二、二阶系统的特征根（极点）分布
求解二阶系统特征方程，
2 s2 2n s n 0
可得两个特征根（极点）
s1 , s2 n n 1
2
( 1) ( <1)
A1 C ( s )( s s1 ) s s
1
1 2
2
1(
2
1)
A2 C ( s )( s s2 ) s s
2
1 2 2 1( 2 1)
拉氏反变换可得过阻尼系统的单位阶跃响应：
c(t ) 1 1 2 1( 1)
(1). 欠阻尼
0 1
s1 , s2 n jn 1 2 是一对共轭复数根。 (2). 临界阻尼 1
s1 , s2 n
(3). 过阻尼 1
是两个相同的负实根。
s1 , s2 n n 2 1 是两个不同的负实根。
(4). 无阻尼 0
惯性环节来近似原来的二阶系统。即有
n n 2 1 s1 C ( s) R( s ) s n n 2 1 s s1
• 近似原则：用其中一个惯性环节近似原二
阶系统，需要保证近似前后初值和终值相 等，并且要用到待定系数法！
过阻尼系统稳态值和最终误差
3.3 二阶系统的时域分析
一、 二阶系统数学模型及其标准形式
R( s) ＋
－
K1 s 1
K2 s
C (s)
RLC电路、电动机转速控制系统
R( s)
2 n 2 s 2 2n s n
C (s)
K1 K 2 C ( s) G( s) 2 R( s ) s s K1 K 2
• 典型二阶系统是一个前向通道为惯性环节和积分 环节串联的单位负反馈系统。
• 令
K1 K 2 1
2 n
2n
则二阶系统传递函数的标准形式为
2 n C (s) G( s) 2 2 R( s ) s 2n s n
其中ζ称为阻尼比，τ为时间常数，ωn为系统的自然 振荡角频率（无阻尼自振角频率）。
s1 , s2 jn 是一对共轭纯虚数根。
三、二阶系统的单位阶跃响应
对于单位阶跃输入
r (t ) 1(t )
1 R( s) s
于是
2 n 1 C ( s) 2 2 s 2n s n s
由拉氏反变换可以得到二阶系统的单位阶跃响应为
c(t ) L1[C ( s)] 下面按阻尼比分别讨论。
2 A2 C ( s )( s ) n s n n
单位阶跃响应为
c(t ) 1 ent (1 nt )
临界阻尼系统单位阶跃响应的误差及终值
e(t ) r (t ) c(t ) ent (1 nt )
单位阶跃响应的变化率为：