人教版数学八年级上册12.3《角的平分线的性质(1)》提升训练1

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人教版八年级数学(上册)12.3角的平分线的性质(第1课时) 课时习题(附参考答案)

12.3角的平分线的性质
（第1课时）
1. 用尺规作下列角的平分线：
2. 画出三角形三个内角的平分线
你发现了什么特点吗？ .
3.如图，P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，下列结论中不正确的是（）
A．DE=DF B．AE=AF C．△ADE≌△ADF D．AD=DE+DF
4.如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB=6 cm,则△DEB的周长为_____________.
5.如图，已知AB∥CD，O为∠A、∠C的角平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE=2，则两平行线间AB、CD的距离等于。

6.如图，已知BD是∠ABC的内角平分线，CD是∠ACB的外角平分线，由D 出发，作点D到BC、AC和AB的垂线DE、DF和DG，垂足分别为E、F、G，则DE、DF、DG的关系是。

7.如图，∠AOP=∠BOP，AD⊥OB于D，BC⊥OA于C，AD与BC交于点P。

求证：AP=BP。

参考答案
1.略
2.三角形的三条角平分线相交于一点.
3.D
4. 6
5. 4
6.DE=DF=DG.
7.证明：∵∠AOP=∠BOP，AD⊥OB于D，BC⊥OA于C，∴PC=PD 在△PAC与△PBD中，
∵∠APC=∠BPD，∠ACP=∠BDP，PC=PD
∴△PAC≌△PBD，即AP=BP.。

新人教版八年级数学上册12.3角的平分线的性质(第1课时)课时同步习题(含答案)

12.3 角的平分线的性质一、选择题1. 用尺规作已知角的平分线的理论依据是（）A ．SASB ．AASC ．SSSD ．ASA2. 如图，∠1＝∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，下列结论错误的是（）A 、PD ＝PEB 、OD ＝OEC 、∠DPO＝∠EPOD 、PD ＝OD 3. 如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于D ，若CD =3cm ，则点D 到AB 的距离DE 是（）A ．5cmB ．4cmC ．3cmD ．2cm4. 如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6㎝，则△DEB 的周长为（）A. 4㎝B. 6㎝C. 10㎝D. 不能确定 21D A PO EB第2题图第3题图第4题图 5.如图，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A ，B ．下列结论中不一定成立的是（） A.PA PB = B.PO 平分APB ∠ C.OA OB = D.AB 垂直平分OP6.如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥A B 于点E ，DF ⊥AC 交AC 于点F ．S △ABC =7，DE=2，AB=4，则AC 长是（）第5题图第6题图第7题图7.如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ，垂足为F ，DE=DG ，△ADG 和△AED 的面积分别为50和39，则△EDF 的面积为（）DCA EBF E O D C ABA 、11B 、5.5C 、7D 、3.5 8.已知：如图，△ABC 中，∠C ＝90o ，点O 为△ABC 的三条角平分线的交点，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB ，点D 、E 、F 分别是垂足，且AB ＝10cm ，BC ＝8cm ，CA ＝6cm ，则点O 到三边AB 、AC 和BC 的距离分别等于（）（A ）2cm 、2cm 、2cm ．（B ）3cm 、3cm 、3cm ．（C ）4cm 、4cm 、4cm ．（D ）2cm 、3cm 、5cm ．二、填空题 9．如图，P 是∠AOB 的角平分线上的一点，PC ⊥OA 于点C ，PD ⊥OB 于点D ，写出图中一对相等的线段（只需写出一对即可） .10．如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，BD 平分∠ABC ，AD ＝2 cm ，则点D 到BC 的距离为________cm ．11 .如图，OP 平分∠MON ，PA ⊥ON 于点A ，点Q 是射线OM 上一个动点，若PA=3，则PQ 的最小值为．第9题图第10题图第11题图12.如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，AD=3，BC=10，则△BDC 的面积是．第12题图第13题图第15题图13.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，若BC=10，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，且BD ：CD=3：2，则点D 到线段AB 的距离为．14.已知△ABC 中，AD 是角平分线，AB=5，AC=3，且S △ADC =6，则S △ABD = ．15.如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为点E ，F ，连接EF ，则EF 与AD 的关系是．16.通过学习我们已经知道三角形的三条内角平分线是交于一点的．如图，P 是△ABC 的内角平分线的交点，已知P 点到AB 边的距离为1，△ABC 的周长为10，则△ABC 的面积为．17.如图，AD ∥BC ，∠ABC 的角平分线BP 与∠BAD 的角平分线AP 相交于点P ，作PE ⊥AB 于点E ．若PE=2，则两平行线AD 与BC 间的距离为．第16题图第17题图第18题图18. 如图，△ABC 的三边AB 、BC 、CA 长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O ，则S △ABO ：S △BCO ：S △CAO = ．三、解答题19．已知：AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，BD ＝CD ，求证：∠B ＝∠C. 20. 如图，画∠AOB=90°，并画∠AOB 的平分线OCP 上，使三角尺的两条直角边与∠AOB 的两边分别相交于点E 、F21.如图，AB ∥CD ，以点A 为圆心，小于AC 长为半径作圆弧，分别交AB ，AC 于E ，F 两点，再分别以E ，F 为圆心，大于EF 长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P ，作射线AP ，交CD 于点M ．（1）若∠ACD=114°，求∠MAB 的度数；（2）若CN ⊥AM ，垂足为N ，求证：△ACN ≌△MCN ．22. 如图，已知△ABC 中，AB=AC ，BE 平分∠ABC 交AC 于E ，若∠A=90°，那么BC 、B A 、AE 三者之间有何关系？并加以证明．23. 如图，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于点E，EF⊥AB于F，EG⊥A G交AC的延长线于G．求证：BF=CG．12.3 角的平分线的性质第1课时角的平分线的性质一、选择题1.C2.D3.C4.B5.D6.B7.B8.A二、填空题9.PC=PD（答案不唯一）10. 2 11. 3 12. 15 13. 4 14. 1015. AD垂直平分EF 16. 5 17. 4 18. 4：5：6三、解答题19．证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，在Rt△DEB与Rt△DFC中，BD＝CD，DE＝DF，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），∴∠B＝∠C．理由是：过点∴∠ACD+∠CAB=18的平分线，∴∠MAB=∠CAB=33°22 . 解：BC、BA、AE三者之间的关系：BC=BA+AE，理由如下：过E作ED⊥BC交BC于点D，∵BE平分∠ABC，BA⊥CA，∴AE=DE，∠EDC=∠A=∠BDE=90°，∵在Rt△BAE和Rt△BDE中，∴Rt△BAE≌Rt△BDE（HL），∴BA=BD，∵AB=AC，∠A=90°∴∠C=45°，∴∠CED=45°=∠C，∴DE=CD，∵AE=DE，∴AE=CD=DE，∴BC=BD+DC=BA+AE．∵EF⊥AB EG⊥A G，。

专训12.3.1角平分线的性质+判定-八年级上册考点专训(解析版)(人教版)

专训12.3.1角平分线的性质+判定1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若CD ＝4，AB ＝15，则△ABD 的面积是_______．【答案】30【分析】作DE AB ⊥于E ，如图，利用基本作图得到AP 平分∠BAC ，根据角平分线的性质得4DC DE ==，然后根据三角形面积公式．【详解】解：作DE AB ⊥于E ，如图，由作法得AP 平分∠BAC ，∴4DC DE ==，∴△ABD 的面积=1154302⨯⨯=．故答案为：30．【点睛】本题考查了基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．2．如图，OC 是AOB ∠的角平分线，点P 是OC 上一点，PM OB ⊥于点M ，点N 是射线OA 上的一个动点，若6PM =，则PN 的最小值为______．【答案】6【分析】根据垂线段最短可得PN ⊥OA 时，PN 最短，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PM =PN ，从而得解．【详解】当PN ⊥OA 时，PN 的值最小，∵OC 平分∠AOB ，PM ⊥OB ，∴PM =PN ，∵PM =6，∴PN 的最小值为6．故答案为：6．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．3．如图，在ABC 中，AD 为BAC ∠的平分线，DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F ．若ABC 的面积是228cm ，20cm AB =，8cm AC =，则DE =____cm ．【答案】2【分析】先根据角平分线的性质得出DE =DF ，再根据三角形的面积公式即可得出结论．【详解】解：在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，∴DE =DF ，∴S △ABC =S △ABD +S △ACD =12AB •DE +12AC •DF ，∵△ABC 面积是28cm 2，AB =20cm ，AC =8cm ，∴12×20DE +12×8DF =10DE +4DF =14DE =28，解得DE =2cm ．故答案为：2．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．4．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，过点D 作DE AB ⊥于E ，若3BE =，BDE 的周长为11，则BC =______．【答案】8【分析】利用角平分线的性质推出DE DC =，再根据三角形的周长计算得出答案．【详解】解：∵AD 平分BAC ∠，过点D 作DE AB ⊥于E ，90C ∠=︒，∴DE DC=∴BDE 的周长311BE BD DE BE BD CD BE BC BC =++=++=+=+=，∴8BC =．故答案为：8【点睛】此题考查角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，熟记定理是解题的关键．5．如图所示，AD 是△ABC 的平分钱，DF ⊥AB 于点F ，DE ＝DG ，若S △DEF ＝2，S △ADG ＝9：则△ADE 的面积为________．【答案】5【分析】过点D 作DH ⊥AC 于H ，根据角平分线的性质得到DH ＝DF ，进而证明Rt △DEF ≌Rt △DGH ，根据全等三角形的性质得到△DEF 的面积＝△DGH 的面积=2，同理：△ADF 的面积＝△ADH 的面积=7，进而即可求解．【详解】解：过点D 作DH ⊥AC 于H，∵AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ，DH ⊥AC ，∴DH ＝DF ，在Rt △DEF 和Rt △DGH 中，∵DF DH DE DG ⎧⎨⎩＝＝，∴Rt △DEF ≌Rt △DGH （HL ），∴△DEF 的面积＝△DGH 的面积=2，同理可证，Rt △ADF ≌Rt △ADH ，∴△ADF 的面积＝△ADH 的面积=9-2=7，∴△ADE 的面积=7-2=5．故答案是：5．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，作辅助线构造出全等三角形并利用角平分线的性质是解题的关键．6．如图，在ABC 中，90,C AD ∠=︒是ABC 的角平分线，DE AB ⊥，垂足为E ，若2,CD DE ==_______．【答案】2【分析】根据角平分线的性质定理即可完成．【详解】∵AD 平分∠CAB ，且∠C =90°，DE AB⊥∴DE =CD =2故答案为：2．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，关键是清楚定理的条件：一是角平分线，二是经过角平分线的点的直线，且这两条直线垂直角的两边，即要有两个垂直，具体在有些题目中，往往缺少一个或两个垂直，这时要作一个垂直或两个垂直．7．如图在ABC 中，=90ACB ∠︒，BE 平分ABC ∠，DE AB ⊥于D ，如果+=3AE DE ，那么=AC ________．【答案】3【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CE =DE ，然后求出AC =AE +DE ．【详解】解：∵∠ACB =90°，BE 平分∠ABC ，DE ⊥AB ，∴CE =DE ，∴AC =AE +CE =AE +DE =3．故答案为：3．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．8．如图，在ABC 中，90C ∠=，AD 是BAC ∠的平分线，若2CD =，6AB =，则ABD 的面积是________．【答案】6【分析】设点D 到AB 的距离为h ，根据角平分线的性质即可求解【详解】设点D 到AB 的距离为h ，AD 是BAC ∠的平分线，90C = ∠，2CD =DC AC ∴⊥，2CD h == 6AB =∴1162622ABC S AB h =⨯=⨯⨯=△故答案为：6【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟悉角平分线的性质是解题的关键．9．如图，OP 平分∠AOB ，PC ⊥OA ，点D 是OB 上的动点，若PC ＝1cm ，则PD 的长的最小值为___．【答案】1cm【分析】根据垂线段最短可知，当PD OB ⊥时最短，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PD PC =，从而得解．【详解】解：垂线段最短，∴当PD OB ⊥时PD 最短，OP 是AOB ∠的平分线，PC OA ⊥，PD PC ∴=，1PC = ，1PD ∴=，即PD 长度最小为1．故答案为：1cm ．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，垂线段最短的性质，解题的关键是：确定出PD 最小时的位置是解题的关键．10．如图，//AB CD ，108CDM ∠=︒，GF 交MEB ∠的角平分线EF 于点F ，120BGF ∠=︒．则F ∠=______．【答案】84︒【分析】根据//AB CD ，求出AED ∠，由对顶角相等及角平分线性质求出FEG ∠，最后根据三角形的外角性质求出F ∠即可．【详解】解：//,108AB CD CDM ∠=︒ ，72AED ∴∠=︒，72MEG ∴∠=︒，EF 是MEB ∠的角平分线，1362FEG MEG ∴∠=∠=︒，120BGF ∠=︒ 为三角形的外角，BGF FEG F ∴∠=∠+∠，1203684F ∴∠=︒-︒=︒，故答案是：84︒．【点睛】本题考查了平行线的性质、对顶角、角平分线的性质、三角形的外角，解题的关键是掌握相关的性质，灵活运用．11．如图，AD 是ABC 的角平分线．若90,B BD ∠=︒=，则点D 到AC 的距离是_________．【分析】根据角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等，即可求得．【详解】如图，过D 作DE AC ⊥，则D 到AC 的距离为DEAD平分CAB ∠，90,B BD ∠=︒=，∴DE BD ==∴点D 到AC【点睛】本题考查了角平分线的性质，点到直线的距离等知识，理解点到直线的距离的定义，熟知角平分线的性质是解题关键．12．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，DE AB ⊥，垂足为E ，若4BC =，1.6DE =，则BD 的长为______．【答案】2.4【分析】先根据角平分线的性质可得 1.6CD DE ==，再根据线段的和差即可得．【详解】解：AD 平分BAC ∠，90C ∠=︒，DE AB ⊥， 1.6DE =，1.6CD DE ∴==，4BC = ，4 1.6 2.4BD BC CD ∴=-=-=，故答案为：2.4．【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．13．如图，在 ABC 中，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，EF ∥BC 交BD 于点G ，若∠BEG ＝130°，则∠DGF ＝_____°．【答案】25【分析】根据角平分线的定义得到∠EBG ＝∠CBG ，根据平行线的性质得到∠EGB ＝∠CBG ，等量代换得到∠EBG ＝∠EGB ，再根据三角形的内角和定理和对顶角的性质于是得到结论．【详解】解：∵EF ∥BC ，∴∠EGB ＝∠CBG ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠EBG ＝∠CBG ，∴∠EBG ＝∠EGB ，∵∠BEG ＝130°，∴∠EGB ＝1801302︒︒-＝25°，∴∠DGF ＝∠EGB ＝25°．故答案为：25．【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握这些性质是解题的关键．14．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，以点A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 长为半径画弧，两弧交于点O ，作射线AO ，交BC 于点E ．已知14CB =，8BE =，则点E 到AB 的距离为________．【答案】6【分析】如图，过点E 作ET ⊥AB 于T ．证明ET =EC ，可得结论．【详解】解：如图，过点E 作ET ⊥AB 于T ．∵BC =14，BE =8，∴EC =BC -BE =6，由作图可知，AE 平分⊥CAB ，∵EC ⊥AC ，ET ⊥AB ，∴ET =EC =6，故答案为：6．【点睛】本题考查作图——复杂作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．15．判断正误：三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三顶点的距离相等__．【答案】⨯【分析】根据三角形角平分线的性质分析，即可得到答案．【详解】由角平分线性质可知：三角形的三条角平分线交于一点，这点到三角形的三边的距离相等；故答案为：⨯．【点睛】本题考查了三角形角平分线的知识；解题的关键是熟练掌握三角形角平分线的性质，从而完成求解．16．如图，在AOB 和COD △中，OA OB =，OC OD =，OA OC <，36AOB COD ∠=∠=︒，连接AC 、BD 交于点M ，连接OM ．下列结论：①36AMB ∠=︒，②AC BD =，③OM 平分AOD ∠，④MO 平分AMD ∠．其中正确的结论是______（填序号）．【答案】①②④【分析】由SAS 证明△AOC ≌△BOD 得出，得出∠OAC ＝∠OBD ，由扇形内角和：∠AMB=180-∠OBD-∠MGB ＝180°-∠OAC -∠OGA =∠AOC =36°，得出∠AMB ＝∠AOB ＝36°，①正确；由△AOC ≌△BOD 得出AC ＝BD ，②正确；作OG ⊥AM 于G ，OH ⊥DM 于H ，如图所示：则∠OGA ＝∠OHB ＝90°，利用全等三角形对应边上的高相等，得出OG ＝OH ，由角平分线的判定方法得出MO 平分∠AMD ，④正确；假设MO 平分∠AOD ，则∠DOM ＝∠AOM ，由全等三角形的判定定理可得△AMO ≌△DMO ，得AO ＝OD ，而OC ＝OD ，所以OA ＝OC ，而OA ＜OC ，故③错误；即可得出结论．【详解】解：设AC 与OB 交于G∵∠AOB ＝∠COD ＝36°，∴∠AOB +∠BOC ＝∠COD +∠BOC ，即∠AOC ＝∠BOD ，在△AOC 和△BOD 中，OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOC ≌△BOD （SAS ），∴∠OAC ＝∠OBD ，∵∠OGA ＝∠MGB ，∴∠AMB=180-∠OBD-∠MGB ＝180°-∠OAC -∠OGA =∠AOC =36°，∴∠AMB ＝∠AOB ＝36°，故①正确；∵△AOC ≌△BOD （SAS ），∴AC=BD ，故②，作OG ⊥AM 于G ，OH ⊥DM 于H，如图所示，则∠OGA ＝∠OHB ＝90°，∵△AOC ≌△BOD ，∴S △OAC =S △OBD ，即AC·OG =BD·OH ，∵AC ＝BD ，∴OG ＝OH ，∴MO 平分∠AMD ，故④正确；假设MO 平分∠AOD ，则∠DOM ＝∠AOM ，在△AMO 与△DMO 中，AOM DOM OM OM AMO DMO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AMO ≌△DMO （ASA ），∴AO ＝OD ，∵OC ＝OD ，∴OA ＝OC ，而OA ＜OC ，∴假设不正确，OM 不能平分AOD∠故③错误；正确的序号有①②④．故答案为①②④．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的内角和性质、角平分线的判定与性质，反证法等知识；掌握全等三角形的判定与性质、三角形的内角和性质、角平分线的判定与性质，反证法等知识，证明三角形全等是解题的关键．17．如图，已知ABC ∆中，90,C AC BC ∠=︒=，点D 在BC 上，DE AB ⊥，点E 为垂足，且DC DE =，联结AD ，则ADB ∠的大小为___________．【答案】112.5°【分析】首先根据角平分线的判定方法判定AD 是∠BAC 的平分线，然后利用外角性质求∠ADB 的度数即可.【详解】解：∵∠C ＝90°，DE ⊥AB∴∠C=∠AED=90°，在Rt∆ACD 和Rt∆AED 中DE DC AD AD =⎧⎨=⎩，∴Rt∆ACD ≌Rt∆AED ，∴∠CAD=∠EAD ，∴AD 平分∠BAC ，∴∠CAD ＝12∠BAC ，∵∠C ＝90°，AC ＝BC ，∴∠B ＝∠CAB ＝45°，∴∠CAD ＝22.5°，∴∠ADB=∠CAD ＋∠C ＝112.5°.故答案为：112.5°．【点睛】本题考查了角平分线的判定方法以及三角形外角的性质，角平分线的判定方法是：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．18．如图，△ABC 中，∠ACB =90°，点D 在边AC 上，DE ⊥AB 于点E ，DC =DE ，∠A =32°，则∠BDC 的度数为________．【答案】61°【分析】首先利用直角三角形的性质求得∠ABC的度数，然后利用角平分线的判定方法得到BD为∠ABC的平分线，再求出∠ABD的度数，根据三角形外角的性质进而求得结论．【详解】解：∵∠A=32°，∠ACB=90°，∴∠CBA=58°，∵DE⊥AB，DC⊥BC，DC=DE，∴BD为∠ABC的平分线，∴∠CBD=∠EBD，∴∠CBD=12∠CBA=12×58°=29°,∴∠BDC=∠A+∠ABD=32°+29°=61°．故答案为：61°．【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质，解题的关键是根据已知条件得到BD为∠ABC的平分线，难度不大．19．数学课上，同学们兴致勃勃地尝试着利用不同画图工具画一个角的平分线．小明用直尺画角平分线的方法如下：（1）用直尺的一边贴在∠AOB的OA边上，沿着直尺的另一条边画直线m；（2）再用直尺的一边贴在∠AOB的OB边上，沿着直尺的另一条边画直线n，直线m与直线n交于点D；（3）作射线OD．射线OD是∠AOB的平分线．请回答：小明的画图依据是____________________．【答案】角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上【分析】根据角平分线的判定定理即可得出答案．【详解】∵作图时使用同一把尺子，尺子的宽度是一致的，∴点D 到OA 和OB 的距离是一样的，∴射线OD 是∠AOB 的平分线（角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．故答案为：角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．【点睛】本题考查了角平分线的判定定理，熟练掌握角平分线判定定理是解题关键．20．如图，ABC 中，ABC ∠、EAC ∠的角平分线BP 、AP 交于点P ，延长BA 、BC ，则下列结论中正确的有_______．（将所有正确序号填在横线上）①CP 平分ACF ∠；②2180ABC APC ︒∠+∠=，③2ACB APB =∠∠；④若PM BE ⊥，PN BC ⊥，则AM CN AC +=．【答案】①②③④【分析】①作PD ⊥AC 于D ．由角平分线的性质得出PM=PN ，PM=PD ，得出PM=PN=PD ，即可得出①正确；②首先证出∠ABC+∠MPN=180°，证明Rt △PAM ≌Rt △PAD （HL ），得出∠APM=∠APD ，同理：Rt △PCD ≌Rt △PCN（HL ），得出∠CPD=∠CPN ，即可得出②正确；③由角平分线和三角形的外角性质得出∠CAE=∠ABC+∠ACB ，∠PAM=12∠ABC+∠APB ，得出∠ACB=2∠APB ，③正确；④由全等三角形的性质得出AD=AM ，CD=CN ，即可得出④正确；即可得出答案．【详解】解：①作PD ⊥AC 于D ．∵PB 平分∠ABC ，PA 平分∠EAC ，PM ⊥BE ，PN ⊥BF ，∴PM=PN ，PM=PD ，∴PM=PN=PD ，∴点P 在∠ACF 的角平分线上，故①正确；②∵PM ⊥AB ，PN ⊥BC ，∴∠ABC+90°+∠MPN+90°=360°，∴∠ABC+∠MPN=180°，在Rt △PAM 和Rt △PAD 中，PA PA PM PD=⎧⎨=⎩，∴Rt △PAM ≌Rt △PAD （HL ），∴∠APM=∠APD ，同理：Rt △PCD ≌Rt △PCN （HL ），∴∠CPD=∠CPN ，∴∠MPN=2∠APC ，∴∠ABC+2∠APC=180°，②正确；③∵PA 平分∠CAE ，BP 平分∠ABC ，∴∠CAE=2∠PAM ，∵∠CAE=∠ABC+∠ACB ，∠PAM=12∠ABC+∠APB ，∴∠ACB=2∠APB ，③正确；④∵Rt △PAM ≌Rt △PAD （已证），∴AD=AM ，∵Rt △PCD ≌Rt △PCN （已证），∴CD=CN ，∴AM+CN=AD+CD=AC ，④正确；故答案为：①②③④．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理和判定定理，全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，有一定综合性，但难度不大，只要仔细分析便不难求解．21．如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，DE ⊥BC ，垂足为E ．若AD ＝DE 且∠C ＝50°，则∠ABD ＝_____°．【答案】20︒【分析】利用三角形的内角和定理先求解ABC ∠，再利用角平分线的性质定理的逆定理证明：BD 平分,ABC ∠从而可得答案．【详解】解：9050A C ∠=︒∠=︒ ，，180905040ABC ∴∠=︒-︒-︒=︒，90,,A DE BC DA DE ∠=︒⊥= ，BD ∴平分,ABC ∠1202ABD ABC ∠=∠=︒，故答案为：20.︒【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，角平分线的定义及性质定理的逆定理，掌握角平分线的性质定理的逆定理是解题的关键．22．如图，BD⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB=DC，∠BAC=60°，∠ADG=120°，则∠DGF=_____________【答案】150°【分析】先根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上得到AD是∠BAC的平分线，求出∠CAD的度数，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求解．【详解】解：∵BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB=DC，∴AD是∠BAC的平分线，∵∠BAC=60°，∴∠CAD=12∠BAC=30°，∴∠DGF=∠CAD+∠ADG=30°+120°=150°．故答案为：150°．【点睛】本题考查了角平分线的判定与三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，仔细分析图形是解题的关键．23．如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB，BC，CA的距离OF＝OD＝OE，若∠BAC＝80°，则∠BOC 的度数为_________．【答案】130°根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出点O 是三角形三条角平分线的交点，再根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB ，然后求出∠OBC+∠OCB ，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【详解】解：∵O 到三边AB 、BC 、CA 的距离OF=OD=OE ，∴点O 是三角形三条角平分线的交点，∵∠BAC=80°，∴∠ABC+∠ACB=180°-80°=100°，∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB ）=12×100°=50°，在△OBC 中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB ）=180°-50°=130°．故答案为：130°．【点睛】本题考查了到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，三角形的内角和定理，要注意整体思想的利用．24．如图，ABC 中，A 60∠=︒，AB>AC ，两内角的平分线CD 、BE 交于点O ，OF 平分BOC ∠交BC 于F ，（1）BOC 120∠=︒；（2）连AO ，则AO 平分BAC ∠；（3）A 、O 、F 三点在同一直线上；（4）OD=OE ；（5）BD+CE=BC ．其中正确的结论是__________．（填序号）【答案】①②④⑤．【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB 度数，求出∠EBC+∠DCB 度数，根据三角形内角和定理求出∠BOC 即可判断①，过O 作OM ⊥AB 于M ，OQ ⊥AC 于Q ，ON ⊥BC 于N ，根据角平分线性质求出OQ=OM=ON ，根据角平分线性质求出AO 平分∠BAC 即可判断②；假设,,A O F 三点共线，利用三角形的外角的性质逆推可得：ABC ACB ∠=∠，与已知条件AB>AC ，得ACB ∠＞ABC ∠，互相矛盾，可判断③，证MOD QOE ≌，即可推出OD=OE ，从而判断④，通过全等求出BM=BN ，CN=CQ ，代入即可求出BD+CE=BC ，从而判断⑤．解：∵∠A=60°，∴18060120ABC ACB ∠+∠=︒-︒=︒，∴()1602ABC ACB ∠+∠=︒，∵BE 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ，∴1122EBC ABC DCB ACB ∠=∠∠=∠，，∴()1602EBC DCB ABC ACB ∠+∠=∠+∠=︒，∴()180120BOC EBC DCB ∠=︒-∠+∠=︒，∴①正确；过O 作OM ⊥AB 于M ，OQ ⊥AC 于Q ，ON ⊥BC 于N ，∵O 是∠ABC 和∠ACB 的角平分线交点，∴OM=ON ，ON=OQ ，∴OQ=OM ，∴O 在∠A 平分线上，∴②正确；如图，若,,A O F 三点共线，BOF BAO ABO COF OAC OCA ∴∠=∠+∠∠=∠+∠，，BOF COF BAO CAO ∠=∠∠=∠ ，，ABO ACO ∴∠=∠，ABC ACB ∴∠=∠，∵AB ＞AC ，∴∠ABC ＜∠ACB ，所以：A 、O 、F 不在同一直线上，∴③错误；∵120BOC ∠=︒，∴120DOE ∠=︒，OM ⊥AB ，OQ ⊥AC ，ON ⊥BC ，∴∠AMO=∠AQO=90°，∵∠A=60°，∴∠MOQ=120°，∴∠DOM=∠EOQ ，在OMD 和OQE 中，MOD EOQ OMD OQE OM ON ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴OMD OQE ≌（AAS ），∴OE=OD ，∴④正确；在Rt BNO 与Rt BMO 中，BO BO ON OM=⎧⎨=⎩∴()Rt BNO Rt BMO HL ≌，BN BM BD DM∴==+同理，Rt CNO Rt CQO ≌，CN CQ CE EQ ∴==-，∴BN CN BD DM CE EQ +=++-，∵DM=EQ，∴BC=BD+CE ，∴⑤正确；故答案为：①②④⑤．【点睛】本题考查了角平分线性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，全等三角形的性质和判定的应用，掌握以上知识是解题的关键．25．如图，已知OQ 平分∠AOB ，且PM ⊥OA ，PN ⊥OB ，根据角平分线的性质，则有___________；反之如果PM=PN ，且___________，那么OP 平分∠AOB．【答案】PM=PN PM ⊥OA ，PN ⊥OB【分析】依据角平分线的定理和逆定理可知．【详解】解： OQ 平分∠AOB ，且PM ⊥OA ，PN ⊥OB ，PNO PMONOP MOP OP OP∠=∠⎧⎪∴∠=∠⎨⎪=⎩()PMO PNO AAS ∴≅ PM PN∴=反之PM=PN ，且PM ⊥OA ，PN ⊥OB ，PM PNOP OP=⎧∴⎨=⎩()Rt PMO Rt PNO HL ∴≅ POM PON∴∠=∠∴OP 平分∠AOB故答案为：PM=PN ；PM ⊥OA ，PN ⊥OB【点睛】本题考查角平分线性质及其逆定理、全等三角形的判定与性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．26．如图，已知点D 是△ABC 的两外角平分线的交点，下列说法：（1）AD =CD ；（2）D 到AB 、BC 的距离相等；（3）D 到△ABC 的三边的距离相等；（4）点D 在∠B 的平分线上；其中正确的说法的序号是________________.【答案】（2）,（3）,（4）【解析】试题解析：如图，过点D 作DE BA ⊥交BA 的延长线于E ，作DF BC ⊥交BC 的延长线于F ，作DG AC ⊥于G ，∵点D 是ABC 的两外角平分线的交点，DE DG DF DG ∴==，，故()2正确；DE DF DG ∴==，故()3正确；∴点D 在B Ð的平分线上，故()4正确；只有AB BC =时，AE CF =，AD CD =，故()1错误.综上所述，说法正确的是()2()3()4.故答案为()2()3()4.点睛:角平分线上的点到角两边的距离相等.27．如图，90,C D E ∠=∠=︒为CD 中点，AE 平分,DAB ∠若32,DEA ∠= 则ABE ∠的度是__________．【答案】32︒【分析】根据已知条件以及直角三角形两锐角互余、角平分线的定义、四边形的内角和是360︒可求出64ABC ∠=︒，再根据角平分线的判定和性质即可求得答案．【详解】解:过点E 作EF AB ⊥于点F ，如图：∵90D ∠=︒,32DEA ∠=︒∴90903258DAE DEA ∠=︒-∠=︒-︒=︒∵AE 平分DAB∠∴2258116DAB DAE ∠=∠=⨯︒=︒∵90C D ∠=∠=︒∴在四边形ABCD 中，360909011664ABC ∠=︒-︒-︒-︒=︒∵EF AB ⊥，90D ∠=︒，AE 平分DAB∠∴EF ED=∵E 为CD 中点∴ED EC=∴EF EC =∵EF AB ⊥，90C ∠=︒∴BE 平分ABC∠∴11643222ABE ABC ∠=∠=⨯︒=︒故答案是：32︒【点睛】本题重点考查了角平分线的定义、判定和性质，涉及到的知识点有直角三角形的两锐角互余和四边形的内角和，其中证得EF EC =是解题的关键．28．如图，在OAB ∆和OCD ∆中，OA OB =，OC OD =，OA OC >，40AOB COD ∠=∠= ，连接AC ，BD 交于点M ，连接OM ，下列结论：①AC BD =；②40CMD ∠= ；③OM 平分AOD ∠；④MO 平分BMC ∠，其中正确的序号是__________．【答案】①②④【分析】由SAS 证明△AOC ≌△BOD 得出∠OCA=∠ODB ，AC=BD ，①正确；由全等三角形的性质得出∠OAC=∠OBD ，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD ，得出∠AMB=∠AOB=40°，②正确；作OG ⊥MC 于G ，OH ⊥MB 于H ，如图所示：则∠OGC=∠OHD=90°，由AAS 证明△OCG ≌△ODH （AAS ），得出OG=OH ，由角平分线的判定方法得出MO 平分∠BMC ，④正确；先假设OM 平分∠AOD ，推出OA=OC 与条件中OA OC >相矛盾，推出③错误．【详解】解：∵∠AOB=∠COD=40︒，∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD ，即∠AOC=∠BOD ，在△AOC 和△BOD 中，OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOC ≅△BOD ，∴∠OCA=∠ODB ，AC=BD ，①正确；∵△AOC ≅△BOD∴∠OAC=∠OBD ，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD ，∴∠AMB=∠AOB=40︒，∴∠CMD=∠AMB=40︒，②正确；作OG ⊥MC 于G ，OH ⊥MB 于H ，如图2所示：则∠OGC=∠OHD=90︒，在△OCG 和△ODH 中，OCA ODB OGC OHD OC OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OCG ≅△ODH ，∴OG=OH ，∵OG ⊥MC ，OH ⊥MB∴MO 平分∠BMC ，④正确；∵∠AOB=∠COD ，假设OM 平分∠AOD ，∵OM 平分∠AOD，∴∠AOM=∠DOM ，∵△AOC ≌△BOD ，∴∠COM=∠BOM ，∵MO 平分∠BMC ，∴∠CMO=∠BMO ，在△COM 和△BOM 中，∴△COM ≌△BOM(ASA)，∴OB=OC ，∵OA=OB ，∴OA=OC ，与OA>OC 矛盾，故假设不成立，OM 不平分∠AOD∴③错误；故答案为：①②④【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．29．如图，52A ∠=︒，O 是ABC ∠、ACB ∠的角平分线交点，P 是ABC ∠、ACB ∠外角平分线交点，则BOC ∠=______︒，BPC ∠=_____︒，联结AP ，则PAB ∠=______︒，点O ____（选填“在”、“不在”或“不一定在”）直线AP 上．【答案】1166426在【分析】∠ABC+∠ACB=180°-∠A ，∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB ）,∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB ），据此可求∠BOC 的度数；∠BCP=12∠BCE=12（∠A+∠ABC），∠PBC=12∠CBF=12（∠A+∠ACB），由三角形内角和定理得：∠BPC=180°-∠BCP-∠PBC，据此可求∠BPC的度数；作PG⊥AB于G，PH⊥AC于H，PK⊥BC于K，利用角平分线的性质定理可证明PG=PH，于是可证得AP 平分∠BAC，据此可求∠PAB的度数；同理可证OA平分∠BAC，故点O在直线AP上．【详解】解：∵O点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB）=12（180°-∠A）=90°-12∠A，∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-90°+12∠A=90°+12∠A=90°+26°=116°；如图，∵BP、CP为△ABC两外角的平分线，∴∠BCP=12∠BCE=12（∠A+∠ABC），∠PBC=12∠CBF=12（∠A+∠ACB），由三角形内角和定理得：∠BPC=180°-∠BCP-∠PBC=180°-12[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]=180°-12（∠A+180°）=90°-12∠A=90°-26°=64°．如图，作PG⊥AB于G，PH⊥AC于H，PK⊥BC于K，连接AP，∵BP、CP为△ABC两外角的平分线，PG⊥AB，PH⊥AC，PK⊥BC，∴PG=PK，PK=PH，∴PG=PH，∴AP平分∠BAC，∴PAB∠=26°同理可证OA平分∠BAC，点O在直线AP上．故答案是：(1)116；(2)64；(3)26；(4)在.【点睛】此题主要考查了角平分线的性质定理和判定定理及三角形内角和定理，熟知定理并正确作出辅助线是解题关键．30．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”小明的做法，其理论依据是__【答案】在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上【分析】根据角平分线的性质即可证明.【详解】因为直尺的宽度一样，故点P 到AO 与BO 的距离相等，故可知PO 为角平行线.【点睛】此题主要考查角平行线的性质，解题的关键是熟知角平分线的性质.31．如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A 、B 分别在x 轴的正半轴、y 轴的正半轴上移动,点M 在第二象限，且MA 平分∠BAO ，做射线MB ，若∠1=∠2，则∠M 的度数是_______。

人教版八年级数学上册练习 12.3《角的平分线的性质》

12.3 角的平分线的性质1．如图11-100所示，在Rt △ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，下列结论错误的是（）A．BD＋DE＝BC B．DE平分∠ADBC．DA平分∠EDC D．DE＋AC>AD2．如图11－101所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC 于F，则下列结论中错误的是（）A．DE＝DF B．AD上任意一点到E，F两点的距离相等C．AE＝AF D．BD＝DC3．如图11-102所示，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，AE＝AF，BE与CF交于点D，则：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．以上结论正确的是（）A.①B．②C．①②D．①②③4．如图11-103所示，△ABC中，P，Q分别是BC，AC上的点，作PR⊥AB，P S⊥AC，垂足分别是R，S，若A Q＝P Q，P R＝P S，下面三个结沦：①A S＝A R：②Q P∥AR；③△B R P≌△C S P．其中正确的是（）A.①③B．②③C．①②D．①②③5．在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BA C，BC＝10 cm，BD＝7 cm，则点D 到AB的距离是．6．如图11-104所示，在直线l上找一点，使这点到∠AOB的两边OA，OB的距离相等，则这个点是．7．如图11-105所示，已知O为∠BAC的平分线与∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于E，若OE＝2，则点O到AB的距离与点O到CD的距离的和是．8．如图11-106所示，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证点P 到AB，BC，CA的距离相等．9．如图1l-107所示，BD是∠ABC的平分线，BA＝BC，点P在BD上，且PM⊥AD，PN⊥CD．求证PM＝PN．10．如图11-108所示，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF与CE交于D，且BD＝CD．（1）求证D在∠BAC的平分线上；（2）若将条件：BD＝CD和结论：D在∠BAC的平分线上互换，结论成立吗?试说明理由．11．如图11-109所示，点B，C在∠A的两边上，且AC＝AB，P为∠A内一点，PC＝PB，PE⊥AB、PF⊥AC，垂足分别为E，F．求证PE＝PF．12．如图11-110所示，已知点B，C分别在∠MAN的两边上，BD⊥AM，CE⊥AN，垂足分别为D，E，BD，CE相交于点F，且BF＝CF．求证点F在∠A的平分线上．（提示：在同一个三角形中，等边对等角，等角对等边）13．如图11-111所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于D，能否在AB上确定一点E，使△BDE的周长等于AB的长?请说明理由．参考答案1．B[提示：由AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，∠C ＝90°，可知DC ＝DE ，所以BD ＋DE ＝BD ＋CD ＝BC ，选项A 成立；DE ＋AC ＝DC ＋AC >AD ，选项D 成立；由AD 平分∠BAC ，∠DEA ＝90°，∠C ＝90°，可知∠EDA ＝∠CDA ，所以选项C 成立．]2．D [提示：利用角平分线的性质及全等三角形的有关知识可解本题．]3．D [提示：由ASA 可知Rt △ABE ≌Rt △ACF ，从而AC ＝AB ，又AE ＝AF ，故CE ＝BF ，从而可由AAS 得Rt △DFB ≌Rt △DEC ，有DE ＝DF ，又DE ，DF 分别垂直于AC ，AB ，故点D 在∠BAC 的平分线上．故①②③均正确．]4．C[提示：连接AP ，由P R ＝P S 及已知条件易证Rt △A R P ≌Rt △A S P （HL ），故A R ＝A S ，∠R AP ＝∠S AP ，又Q A ＝Q P ，故∠Q AP ＝∠Q PA ＝∠RAP .从而P Q ∥A R ，但无法证明△B R P ≌△C S P ．]5．3 cm[提示：由AD 平分∠BAC 知D 到AB ，AC 的距离相等，又BC ＝10 cm ，BD ＝7 cm ，故CD ＝3 ，又∠ACD ＝90°，则点D 到AC 的距离即是CD 的长，为3 cm ，故D 到AB 的距离也是3 cm ．]6．∠AOB 的平分线与直线l 的交点7．4[提示：过O 分别作AB ，CD 的垂线．则点O 到AB ，CD 的距离均等于OE ，故它们的和为4．]8．证明：过P 点分别作PE ⊥AB 于E ，PF ⊥ BC 于 F ，PG ⊥CA 于G ．∵BM 平分∠ABC ，∴PE ＝PF ．同理PF ＝PC ．∴PE ＝PF ＝PG ，即点P 到AB ，BC ，CA 的距离相等．9．证明：∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠ABD ＝∠CBD ．在△ABD 和△CBD 中，ABD CBD BD BD ⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩A B =A B (已知)（已证）∴△ABD ≌△CBD （SAS ）．∴∠ADB ＝∠CDB （全等三角形的对应角相等），即DB 是∠ADC 的平分线．又∵PM ⊥AD ，PN ⊥ DC ，∴PM ＝PN ．10．（1）证明：∵BF ⊥AC ，CE ⊥AB ，∴∠BED ＝∠CFD ＝90°．在Rt △BED（公共边）和Rt △CFD 中()BED CFD EDB FDC BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩已知（对顶角相等）∴Rt △BED ≌Rt △CFD（AAS ）．∴DE ＝DF （全等三角形的对应边相等）．∴D 在∠ BAC 的平分线上（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）．（2）解：成立．理由如下：∵点D 在∠BAC 的平分线上，且BF ⊥AC ，CE ⊥AB ，∴DE ＝DF ，∠BED ＝∠CFD ＝90°．在Rt △BED 和Rt △CFD 中，BED CFD DE DF EDB FDC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴Rt △BED ≌Rt △CFD （A S A ）． ∴BD ＝DC （全等三角形的对应边相等）．11．证明：连接AP ，在Rt △ABP 和△ACP 中，AB AC AP AP PB PC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，，（公共边），∴△ABP ≌△ACP （SSS ）∴∠BAP ＝∠CAP ．又∵PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，∴PE ＝PF ．12．证明：如图11-112所示，连接BC ，作射线AF ．∵BD ⊥AM ，CE ⊥AN ，∴∠ADB ＝∠AEC ＝∠BDC ＝∠CEB ＝90°．∵BF ＝CF ，∵∠DBC ＝∠ECB ．又∵BC ＝CB ，∴△BCD ≌△CBE ．∴BD ＝CE ，∴EF ＝DF ，∴点F 在∠CAB 的平分线上．13．解：能．过D 作DE ⊥AB ，交AB 于E 点，则E 点即可满足要求．理由：∵AD 平分∠CAB ，CD ⊥AC ，DE ⊥AB ，∴CD ＝DE ．在Rt △ACD 和Rt △AED 中，,,CD DE AD AD =⎧⎨=⎩∴Rt △ACD ≌Rt △AED （HL ）∴AC ＝AE ．∵AC ＝BC ，．BC ＝AE ．∴△BDE 的周长＝BD ＋DE ＋EB ＝BD ＋DC ＋EB ＝BC ＋EB ＝AE ＋EB ＝AB ．（已证）。

12.3.1 角的平分线的性质初中数学人教版八年级上册课时习题(含答案)

12.3角的平分线的性质一、选择题（本大题共10小题，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.如图，点P到AE，AD，BC的距离相等，则下列说法：①点P在∠BAC的平分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P是∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点．其中正确的是( )A. ①②③④B. ①②③C. ④D. ②③2.如图，已知点P到AE，AD，BC的距离相等，下列说法：①点P在∠BAC的平分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上．其中正确的是( )A. ④B. ②③C. ①②③D.①②③④3.到三角形的三边距离相等的点是( )A. 三角形三条高的交点B. 三角形三条内角平分线的交点C. 三角形三条中线的交点D. 无法确定4.如图所示，∠B=∠C=90∘，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC =110∘，则∠MAB= ( )A. 30∘B. 35∘C. 45∘D. 60∘5.三角形内部到三边距离相等的点是( )A. 三边中线的交点B. 三边垂直平分线的交点C. 三内角平分线的交点D. 三边上高的交点6.如图，AB//CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直.若AD=8，则点P到BC的距离是( )A. 8B. 6C. 4D. 27.在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是．( )A. 点CB. 点DC. 点ED. 点F8.在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是( )A. 点MB. 点NC. 点PD. 点Q9.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，AD为∠BAC的角平分线，则三角形ADC的面积为( )A. 3B. 10C. 12D. 1510.如图，△ABC的外角平分线BD，CE相交于点P.若点P到AC的距离为3，则点P到AB的距离为( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小）11.如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等.若∠A=60∘，则∠BOC=°．12.如图，点P到∠AOB两边的距离相等，若∠POB=30°，则∠AOB=________．13.如图，在△ABC中，∠C=90∘，AD平分∠BAC与BC边交于点D，BD=2CD，若点D到AB的距离等于5cm，则BC的长为cm．14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以M、N为圆心，MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，大于12若CD=3，AB=10，则△ABD的面积是________．三、解答题（本大题共3小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.如图，∠1=∠2，∠3=∠4.求证：AP平分∠BAC．16.已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC.求证：AM平分∠DAB．17.如图，点B，C分别在∠A的两边上，点D是∠A内一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且AB=AC，DE=DF.求证：BD=CD．参考答案1.【答案】A2.【答案】D3.【答案】B4.【答案】B5.【答案】C6.【答案】C7.【答案】C8.【答案】A9.【答案】D10.【答案】C11.【答案】12012.【答案】60°13.【答案】1514.【答案】1515.【答案】证明：过P作PQ⊥AB于Q，PN⊥BC于N，PM⊥AC于M，∵∠1=∠2.∠3=∠4，∴PQ=PN，PN=PM，∴PQ=PM，∵PQ⊥AB，PM⊥AC，∴AP平分∠BAC．16.【答案】证明：过点M作ME⊥AD，垂足为E，∵∠B=∠C=90°，∴MC⊥CD，MB⊥AB，∵DM平分∠ADC，∴∠CDM=∠EDM，又∵MC⊥CD，ME⊥AD，∴ME=MC，又∵MC=MB，∴ME=MB，又∵MB⊥AB，ME⊥AD，∴AM平分∠DAB．17.【答案】证明：连接AD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE=DF，∴∠BAD=∠CAD，在△ABD和△ACD中AB=AC∠BAD=∠CAD，AD=AD∴△ABD≌△ACD，(SAS)，∴BD=CD．。

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质习题(含答案) (1)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质考试复习题（含答案)一、单选题1．△ABC是一个任意三角形，用直尺和圆规作出∠A，∠B的平分线，如果两条平分线交于点O，那么下列选项中不正确的是（）A．点O一定在△ABC的内部B．点O到△ABC的三边距离一定相等C．∠C的平分线一定经过点O D．点O到△ABC三顶点的距离一定相等【答案】D【解析】由三角形的三条角平分线在三角形内相交于一点可知：A、C正确；而由角平分线的性质可证得点O到△ABC的三边距离相等，所以B正确；而三角形三条角平分线的交点到三个顶点的距离不一定相等，所以D错误.故选D.2．如图，△ABC的两条外角平分线AP、CP相交于点P，PH⊥AC于H；如果∠ABC=60º，则下列结论：①∠ABP=30º；②∠APC=60º；③PB=2PH；④∠APH=∠BPC；其中正确的结论个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】作PM ⊥BC 于M ，PN ⊥BA 于N ．根据角平分线的性质定理可证得PN=PM ，再根据角平分线的判定定理可得PB 平分∠ABC ，即可判定①；证明⊥PAN ⊥⊥PAH ，⊥PCM ⊥⊥PCH ，根据全等三角形的性质可得⊥APN=⊥APH ，⊥CPM=⊥CPH ，由此即可判定②；在Rt ⊥PBN 中，∠PBN=30°，根据30°角直角三角形的性质即可判定③；由⊥BPN=⊥CPA=60°即可判定④.【详解】如图，作PM ⊥BC 于M ，PN ⊥BA 于N ．⊥⊥PAH=⊥PAN ，PN ⊥AD ，PH ⊥AC ，⊥PN=PH ，同理PM=PH ，⊥PN=PM ，⊥PB 平分∠ABC ，⊥⊥ABP=12⊥ABC=30°，故①正确， ∵在Rt ⊥PAH 和Rt ⊥PAN 中，PA PA PN PH =⎧⎨=⎩， ⊥⊥PAN ⊥⊥PAH ，同理可证，△PCM ⊥⊥PCH ，⊥⊥APN=⊥APH ，⊥CPM=⊥CPH ，⊥⊥MPN=180°-⊥ABC=120°，⊥⊥APC=12⊥MPN=60°，故②正确，在Rt⊥PBN中，∵∠PBN=30°，⊥PB=2PN=2PH，故③正确，⊥⊥BPN=⊥CPA=60°，⊥⊥CPB=⊥APN=⊥APH，故④正确．综上，正确的结论为①②③④.故选D.【点睛】本题考查了角平分线的性质定理及判定定理、全等三角形的判定与性质及30°角直角三角形的性质，熟练运用相关知识是解决问题的关键.3．如图，AD是△ABC中△BAC的角平分线，DE△AB于点E，S△ABC=9，DE=2，AB=5，则AC长是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】如图，作DF⊥AC交AC于点F，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF,∴S△ABC=S△ADC+S△ADB=12AC·DF+12AB·DE=12DE（AC+AB）=9，∴12×2×（AC+5）=9，∴AC=4.故选B.点睛：（1）遇到角平分线较常用的一类辅助线的作法是过角平分线上一点向角的两边作垂线.（2）三角形的面积除了用公式法还可以用割补法将三角形的面积用别的形式表示出来，此题将三角形面积表示为两个三角形的面积之和，然后列方程求解.4．若△ABC内一点O到三角形三条边的距离相等，则O为△ABC（）的交点．A．角平分线B．高线C．中线D．边的中垂线【答案】A【解析】试题分析：由角平分线性质的逆定理：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，则这个点是三角形三条角平分线的交点，即可确定答案.解：∵到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，∴这个点是三角形三条角平分线的交点.故选A.5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，若BD=5cm，DE=3cm，则AC的长为（）A．8 cm B．10 cm C．6cm D．16 cm【答案】A【解析】解：⊥AD平分⊥BAC，⊥C=90°，DE⊥AB，⊥CD=DE，⊥BD=5，DE=3，⊥CD=3，⊥AC=BC=CD+DB=3+5=8．故选A．6．如图，在△ABC中，△1＝△2，G为AD的中点，BG的延长线交AC 于点E，F为AB上的一点，CF与AD垂直，交AD于点H，则下面判断正确的有（）△AD是△ABE的角平分线；△BE是△ABD的边AD上的中线；△CH是△ACD的边AD上的高；△AH是△ACF的角平分线和高A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】解：①根据三角形的角平分线的概念，知AG是△ABE的角平分线，故此说法错误；②根据三角形的中线的概念，知BG是△ABD的边AD上的中线，故此说法错误；③根据三角形的高的概念，知CH为△ACD的边AD上的高，故此说法正确；④根据三角形的角平分线和高的概念，知AH是△ACF的角平分线和高线，故此说法正确．故选B．点睛：本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段．透彻理解定义是解题的关键．7．如图，BD、CD分别是△ABC的两个外角∠CBE、∠BCF•的平分线，若∠=︒，则∠D的度数是（）A70A．40°B．50°C．65°D．55°【答案】D【解析】∵∠A=70°，∴∠ABC+∠ACB=110°，∴∠EBC+∠FCB=360°－110°=250°，∵BD、CD分别平分∠CBE、∠BCF，∴∠DBC=∠DBE，∠DCB=∠DCF，∴∠DBC+∠DCB=125°，∴∠D=55°.故选D.点睛:充分利用三角形的内角和，平角的性质，以及角平分线的性质.8．如图，△1＝△2，PD△OA，PE△OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（）A．PD＝PE B．OD＝OE C．△DPO＝△EPO D．PD＝OP【答案】D【解析】试题分析：根据角平分线的性质可得：PD=PE，根据题意HL判定定理可得：Rt△POE△Rt△POD，则OD=OE，△DPO=△EPO.考点：角平分线的性质9．若∠α与∠β互为余角，则∠α的补角与∠β的补角之和为( )A．90°B．180°C．270°D．360°【答案】C【解析】∵∠α与∠β互为余角，∴∠α+∠β=90°，∵∠α的补角为180°-∠α，∠β的补角为180°-∠β，∴(180°-∠α)+(180°-∠β)=360°-(∠α+∠β)=360°-90°=270°．故选C．【点睛】这是一道有关余角和补角的题目，需明确余角和补角的含义；由于互补的两角之和为180°，于是可以表示出∠α和∠β的补角，进而得到它们的之和；再根据互余的两角之和为90°得到∠α+∠β=90°，即可求出∠α与∠β的补角之和.10．在ABC △内部取一点P ，使得点P 到ABC △的的三边距离相等，则点P 是ABC △的（）．A ．三条高的交点B ．三条角平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三边的垂直平凡线的交点【答案】B【解析】如图：PD PF PE ==．故选B ．。

人教版八年级数学上册第12单元第3节第1课时角平分线的性质同步练习题(含答案)

12.3 角的平分线的性质一、选择题1．下列说法：①角的内部任意一点到角的两边的距离相等；•②到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；③角的平分线上任意一点到角的两边的距离相等；④△ABC 中∠BAC 的平分线上任意一点到三角形的三边的距离相等，其中正确的（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2. 已知AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于E,且DE=3cm,则点D 到AC 的距离是( ) A.2cm; B.3cm; C.4cm; D.6cm3．如图1，已知CE 、CF 分别是△ABC 的内角和外角平分线，•则图中与∠BCE 互余的角有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个4．如图2，已知点P 到AE 、AD 、BC 的距离相等，则下列说法：①点P 在∠BAC 的平分线上；②点P 在∠CBE 的平分线上；③点P 在∠BCD 的平分线上；④点P 是∠BAC 、∠CBE 、∠BCD 的平分线的交点，其中正确的是（）A ．①②③④B ．①②③C ．④D ．②③D CBA EFPDCBAEPDCBA E（1） (2) (3) 二、填空题5．用直尺和圆规平分已知角的依据是______________．6．角的平分线上的点到_______________相等；到___________________________相等的点在这个角的平分线上．7．如图3，AB ∥CD ，AP 、CP 分别平分∠BAC 和∠ACD ，PE ⊥AC 于E ，且PE=•2cm ，则AB 与CD 之间的距离是___________．三、解题题8．请你画一个角，并用直尺和圆规把这个角两等分．9．如图，四边形ABCD 中AB=AD ，CB=CD ，点P 是对角线AC 上一点，PE ⊥BC 于E ，PF ⊥CD 于F ，求证PE=PF ．PDC BAEF10．如图，四边形ABCD 中AB=AD ，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，P 是对角线AC 上一点，•求证：PB=PC ．PDCBA参考答案:1．B 2．B 3．C 4．A 5．SSS6．角的两边的距离；角的两边的距离 7.4cm 8．略 9．证明AC 平分∠BCD10．先证Rt△ABC≌Rt△ADC，再证△APB≌△APD。

人教版八年级数学上册《12.3角的平分线的性质》同步练习题(附答案)

人教版八年级数学上册《12.3角的平分线的性质》同步练习题（附答案）姓名班级学号成绩一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．）1．已知△ABC内一点P，如果点P到AB、AC两边的距离相等，则点P（）A．在BC边的垂直平分线上B．在BC边的高上C．在BC边所对角的平分线上D．在BC边的中线上2．如图，已知AB∥CD，EF平分∠CEG，∠1=80°，则∠2的度数为（）A．20°B．40°C．50°D．60°3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，使点P到AB、BC的距离相等，则符合要求的作图痕迹（）A． B． C． D．4．如图，ABC中，AD平分∠BAC，AB＝4，AC＝2，若ACD的面积等于3，则ABD的面积为（）A．B．4 C．6 D．125．如图，在中，∠A=90°，AB=2，BC=5，是的平分线，设和的面积分别是和，则的值为（）A．B．C．D．6．如图，AB//CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点P，且与AB垂直.若AD=8，BC=10，则BCP 的面积为（）A．16 B．20 C．40 D．807．如图，中，是边的高线，平分，DE=1cm，BC=4cm，则的面积是（）A．B．C．D．8．如图，中，∠ACB=90°，的角平分线、相交于点，过点作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②BF=BA；③；④连接，平分．其中正确的是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分．）9．已知点在第四象限角平分线上，则该点的坐标是．10．已知，AD是△ABC的角平分线，过点D作，垂足为点E，作，交边AB所在直线于点F，若，则AB的长为cm。

11．如图所示，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，AB=36cm，BC=24cm，S△ABC=144cm，则DE的长是．12．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，OD⊥BC于D，如果AB=25cm，BC=20cm，AC=15cm，且S△ABC=150cm2，那么OD= cm．13．如图，在中，点O是和的平分线的交点，点D是BC延长线上的点，和的平分线交于点E，∠A=a，则的度数为．（用含的式子表示）三、解答题：（本题共5题，共45分）14．如果，在△ABC中，AD是高，AE是∠BAC的平分线，∠BAC=54°，∠C=70°．求∠EAD的度数．15．如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE＝BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．16．如图，在中，∠ABC=90°，CD平分交AB于点D，于点E，交CD于点F．求证： DE=BF ．17．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD = CD，BE = CF．求证：（1）AD平分∠BAC；（2）AC=AB+2BE.18．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，在△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE交于点F，连接AF．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）求证：FA平分∠BFE．参考答案：1．C 2．C 3．C 4．C 5．B 6．B 7．B 8．D 9．（11，-11）10．4或811．4.8cm12．513．14．解：∵AD是高∴∠ADC=90°∵∠C=70°∴∠DAC=20°∵AE是∠BAC的平分线，∠BAC=54°∴∠EAC= ∠BAC=27°∴∠EAD=∠EAC﹣∠DAC=27°﹣20°=7°.15．证明：过D作DN⊥AC，DM⊥AB△DBF的面积为： BF·DM△DCE的面积为： DN·CE∵△DCE和△DBF的面积相等∴ BF·DM＝ DN·CE∵CE＝BF∴DM＝DN又∵DM⊥AB，DN⊥AC∴AD平分∠BAC（到角两边距离相等的点在角的平分线上）．16．证明：如图∵CD平分∠ACB17．（1）证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F∴∠E=∠DFC=90°在Rt△BDE与Rt△CDE中∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)∴DE=DF∴AD平分∠BAC；（2）证明：由(1)可知AD平分∠BAC∴∠EAD=∠CAD∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F∴∠E=∠DFA=90°又∵AD=AD∴△AED≌△AFD(AAS)∴AE=AF∵CF=BE∴AC=AF+CF=AE+BE=AB+BE+BE=AB+2BE．18．（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD即∠BAD＝∠CAE在△BAD和△CAE中∴△BAD≌△CAE（SAS）；（2）证明：如图，作AM⊥BD于M，作AN⊥CE于N．由△BAD≌△CAE∴BD＝CE，S△BAD＝S△CAE ∵∴AM＝AN∴点A在∠BFE平分线上∴FA平分∠BFE。

人教版八年级数学上册 12.3.2. 角的平分线的判定能力提升卷【答案】

人教版八年级数学上册12.3.2角的平分线的判定能力提升卷一、选择题（共10小题，3*10=30）1．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是()A．点M B．点N C．点P D．点Q2．如图，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D，C，AD与BC相交于点P，若PA＝PB，则∠1与∠2的大小关系是()A．∠1＝∠2 B．∠1>∠2C．∠1<∠2 D．无法确定3．如图，已知AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE与CF相交于点D.下列结论：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．其中正确的是()A．①②③B．②③C．①③D．①4．如图，AB＝AC，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE，CF相交于点D，有下列结论：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．其中正确的是()A．①B．②C．①②D．①②③5．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB外角的平分线相交于点F，连接AF，则下列结论正确的是()A．AF平分BC B．AF平分∠BACC．AF⊥BC D．以上结论都正确6. 如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB＝()A．30°B．35°C．45°D．60°7．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM.下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC. 其中正确的个数为()A．4 B．3 C．2 D．18．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得S△PAB＝S△PCD，则满足此条件的点P()A．有且只有1个B．有且只有2个C．组成∠E的平分线D．组成∠E的角平分线所在的直线(E点除外)9．如图，AE与BF交于点O，点O在CG上，根据尺规作图的痕迹，判断下列说法不正确的是()A．AE，BF是△ABC的内角平分线B．点O到△ABC三边的距离相等C．CG也是△ABC的一条内角平分线D．AO＝BO＝CO10．如图，△ABC的三边AB，BC，AC的长分别为12，18，24，O是△ABC三条角平分线的交点，则S△OAB：S△OBC：S△OAC＝()A．1：1：1 B．1：2：3C．2：3：4 D．3：4：5二．填空题（共8小题，3*8=24）11．如图，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为点M，N，PM＝PN，∠BOC＝25°，则∠AOB＝________．12. 如图，O是△ABC内一点，且到三边的距离相等．若∠A＝62°，则∠BOC＝________．13．如图，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，若DE＝DF，AB＝BC，则CD____AD.(填“＞”“＜”或“＝”)14．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3 cm，BD=5 cm，则BC=_________ cm．15．如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有________．处.16．给出下列结论，正确的有________．个①到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上；②角的平分线与三角形平分线都是射线；③任何一个命题都有逆命题；④假命题的逆命题一定是假命题17．已知，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，且BD∶CD=9∶7，则D到AB的距离为________．18．如图，OB、OC是∠AOD的任意两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，若∠MON=α，∠BOC=β，则表示∠AOD的代数式为________．三．解答题（共7小题，46分）19．(6分) 如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，OB＝OC.求证：∠1＝∠2.20．(6分) 如图，107国道OA和320国道OB在某市相交于点O，在∠AOB的内部有工厂C 和D，现要建一个货站P，使P到OA，OB的距离相等，且点P在直线CD上，用尺规作出货站P的位置．21．(6分) 如图，AD∥BC，∠B＝90°，E是AB的中点，且DE平分∠ADC，求证：CE平分∠BCD．22．(6分)如图，AB，AC，BC分别代表三条公路，现要在△ABC内建一座加油站，使加油站到三条公路的距离相等，请你在图中画出加油站的位置．23．(6分)如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D是BC边上的一动点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.当点D移到什么位置时，AD恰好平分∠BAC？请说明理由．24．(8分)如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACE的平分线相交于点P，PD⊥AC于点D，PH⊥BA于点H.(1)若点P到直线BA的距离是5 cm，求点P到直线BC的距离；(2)求证：点P在∠HAC的平分线上．。

人教版八年级数学上册12.3角平分线的性质课时训练（含答案）

人教版八年级数学上册12.3角平分线的性质课时训练（含答案）人教版八年级数学上册12.3 角平分线的性质课时训练一、选择题1. 如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E，且PD＝PE，则△APD与△APE 全等的理由是()A．SAS B．AAA C．SSS D．HL2. 如图，P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OA，垂足为D.若PD＝2，则点P到边OB的距离是()A．4 B. 3 C．2 D．13. 如图，P为OC上一点，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为M，N，PM＝PN，∠BOC＝30°，则∠AOB的度数为()A．30°B．45°C．60°D．50°4. 下面是黑板上给出的尺规作图题，需要回答横线上符号代表的内容．已知∠AOB.求作：∠AOB的平分线．作法如下：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交__○__于点N；②分别以点__⊕__为圆心，大于__△__的长为半径画弧，两弧在__?__的内部交于点C；③画射线OC，OC即为所求．则下列回答正确的是()A．○表示OA B．⊕表示M，CC．△表示MN D．?表示∠AOB5. 如图，在直角坐标系中，AD是Rt△OAB的角平分线，点D的坐标是(0，-3)，那么点D到AB的距离是()A.3B.-3C.2D.-26. 如图,利用尺规作∠AOB的平分线OC,其作法如下:(1)以点O为圆心,适当长为半径画弧,与OA,OB分别交于点D,E;(2)分别以点D,E为圆心,大于DE的长为半径画弧,两弧在∠AOB的内部交于点C;(3)画射线OC,则射线OC就是∠AOB的平分线.这样作图的原理是三角形全等的一种判定方法,这种判定方法是()A.SSSB.SASC.ASAD.AAS7. 如图,AB∥CD,以点A为圆心,小于AC的长为半径画弧,与AB,AC分别交于点E,F,再分别以点E,F为圆心,大于EF的长为半径画弧,两弧在∠CAB的内部交于点G,作射线AG交CD于点H.若∠C=140°,则∠AHC 的大小是()A.20°B.25°C.30°D.40°8. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D.若CD＝4，AB＝16，则△ABD的面积是()A．14 B．32 C．42 D．569. 如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC ＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是()A．24 B．30C．36 D．4210. 如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,AB=6 cm,DE=4 cm,S△ABC=30 cm2,则AC的长为()A.10 cmB.9 cmC.4.5 cmD.3 cm二、填空题11. 如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OB于点C，且PC＝3，点P到OA的距离为________．12. 如图,在△ABC中,两条外角平分线交于点P,PM⊥AC交AC的延长线于点M.若PM=6 cm,则点P到AB的距离为.13. 将两块完全相同的三角尺在∠AOB的内部如图摆放，两块三角尺较短的直角边分别与∠AOB的两边重合，且含30°角的顶点恰好也重合于点C，则射线OC 即为∠AOB的平分线，理由是______________________．14. 如图，∠B＝∠D＝90°，根据角平分线的性质填空：(1)若∠1＝∠2，则________＝________．(2)若∠3＝∠4，则________＝________．15. 如图,在△ABC中,E为AC的中点,AD平分∠BAC交BC于点D,AB︰AC=2︰3,AD与BE相交于点O.若△OAE的面积比△BOD的面积大1,则△ABC的面积是.三、解答题16. 育新中学校园内有一块直角三角形(Rt△ABC)空地，如图所示，园艺师傅以角平分线AD为界，在其两侧分别种上了不同的花草，在△ABD区域内种植了一串红，在△ACD区域内种植了鸡冠花，并量得两直角边AB＝20 m，AC＝10 m，分别求一串红与鸡冠花两种花草的种植面积．17. 如图，已知∠1=∠2,BA18. 如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别取点D，M和点E，N，使OM=ON，OD=OE，DN和EM相交于点C.求证:点C在∠AOB的平分线上.19. 如图，A，B两点分别在射线OM，ON上，点C在∠MON的内部且CA＝CB，CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分别为D，E，且AD＝BE.(1)求证：OC平分∠MON；(2)如果AO＝10，BO＝4，求OD的长．20. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AD，CE是角平分线，AD 与CE相交于点F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为M，N.求证：FE＝FD.人教版八年级数学上册12.3 角平分线的性质课时训练-答案一、选择题1. 【答案】D2. 【答案】C[解析] 如图，过点P作PE⊥OB于点E.∵P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PE＝PD＝2.3. 【答案】C[解析] ∵点P在OC上，PM⊥OA，PN⊥OB，PM ＝PN，∴OC是∠AOB的平分线．∵∠BOC＝30°，∴∠AOB＝60°.4. 【答案】D5. 【答案】A[解析] 如图，过点D作DE⊥AB于点E.∵点D的坐标是(0，-3)，∴OD=3.∵AD是△OAB的角平分线，∴ED=OD=3，即点D到AB的距离是3.6. 【答案】A7. 【答案】A[解析] 由题意可得AH平分∠CAB.∵AB∥CD,∴∠C+∠CAB=180°,∠HAB=∠AHC.∵∠ACD=140°,∴∠CAB=40°.∵AH平分∠CAB,∴∠HAB=20°.∴∠AHC=20°.8. 【答案】B[解析] 如图，过点D作DH⊥AB于点H. 由作法得AP平分∠BAC.∵DC⊥AC，DH⊥AB，∴DH＝DC＝4.∴S△ABD＝12×16×4＝32.9. 【答案】B[解析] 过点D作DH⊥AB交BA的延长线于点H. ∵BD平分∠ABC，∠BCD＝90°，∴DH＝CD＝4.∴四边形ABCD的面积＝S△ABD＋S△BCD＝12AB·DH＋12BC·CD＝12×6×4＋12×9×4＝30.10. 【答案】B[解析] 如图,过点D作DF⊥AC于点F.∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,∴DE=DF=4.∵AB=6,∴S △ABC =S △ABD +S △ACD =×6×4+AC ×4=30, 解得AC=9(cm).故选B .二、填空题11. 【答案】3 【解析】如解图，过点P 作PD ⊥OA 于点D ，∵OP 为∠AOB 的平分线，PC ⊥OB 于点C ，∴PD ＝PC ，∵PC ＝3，∴PD ＝3，即点P 到点OA 的距离为3.12. 【答案】6 cm[解析] 如图,过点P 作PN ⊥BC 于点N ,PQ ⊥AB 交AB 的延长线于点Q.∵BP ,CP 是两条外角的平分线,PM ⊥AC ,∴PN=PM ,PQ=PN.∴PQ=PM.∵PM=6 cm,∴PQ=6 cm,即点P 到AB 的距离为6 cm .13. 【答案】角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上14. 【答案】(1)BCCD (2)AB AD15. 【答案】10[解析] 如图,过点D 作DM ⊥AC 于点M ,DN ⊥AB 于点N.∵AD 平分∠BAC,DM ⊥AC ,DN ⊥AB , ∴DM=DN.∵S △ABD ︰S △ADC =BD ︰DC ,且S △ABD =·AB ·DN ,S △ADC =·AC ·DM ,∴BD ∶DC=AB ∶AC=2∶3. 设△ABC 的面积为S ,则S △ADC =S.∵E 为AC 的中点, ∴S △BEC =S.∵△OAE 的面积比△BOD 的面积大1, ∴△ADC 的面积比△BEC 的面积大1. ∴S-S=1.∴S=10.故答案为10.三、解答题16. 【答案】解：如图，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F.∵AD 是∠BAC 的平分线，∴DE ＝DF. ∵AB ＝20 m ，AC ＝10 m ，∴S △ABC ＝12×20×10＝12×20·DE ＋12×10·DF ，解得DE ＝203(m)．∴△ACD 的面积＝12×10×203＝1003(m 2)，△ABD 的面积＝12×20×203＝2003(m 2)．故一串红的种植面积为2003 m 2，鸡冠花的种植面积为1003 m 2.17. 【答案】证明:如图,过点P 作PE ⊥BA 交BA 的延长线于点E.又∵∠1=∠2,PF ⊥BC ,∴PE=PF ,∠PEA=∠PFC=90°. 在Rt △PEA 与Rt △PFC 中,∴Rt △PEA ≌Rt △PFC (HL). ∴∠P AE=∠PCB. ∵∠P AE+∠BAP=180°, ∴∠PCB+∠BAP=180°.18. 【答案】证明:如图，过点C 作CG ⊥OA 于点G ，CF ⊥OB 于点F .在△MOE 和△NOD 中，∴△MOE ≌△NOD (SAS). ∴S △MOE =S △NOD .∴S △MOE -S 四边形ODCE =S △NOD -S 四边形ODCE ，即S △MDC =S △NEC .由三角形面积公式得DM ·CG=EN ·CF .∵OM=ON ，OD=OE ，∴DM=EN.∴CG=CF . 又∵CG ⊥OA ，CF ⊥OB ，∴点C 在∠AOB 的平分线上.19. 【答案】解：(1)证明：∵CD ⊥OM ，CE ⊥ON ，∴∠CDA ＝∠CEB ＝90°.在Rt △ACD 与Rt △BCE 中，CA ＝CB ，AD ＝BE ，∴Rt △ACD ≌Rt △BCE(HL)．∴CD＝CE.又∵CD ⊥OM ，CE ⊥ON ，∴OC 平分∠MON. (2)在Rt △ODC 与Rt △OEC 中，CD ＝CE ，OC ＝OC ，∴Rt △ODC ≌Rt △OEC. ∴OD ＝OE. 设BE ＝x.∵BO ＝4，∴OE ＝OD ＝4＋x. ∵AD ＝BE ＝x ，∴AO ＝OD ＋AD ＝4＋2x ＝10. ∴x ＝3.∴OD ＝4＋3＝7.20. 【答案】证明：如图，连接BF.∵F 是△ABC 的角平分线AD ，CE 的交点，∴BF 平分∠ABC. ∵FM ⊥AB ，FN ⊥BC ，∴FM ＝FN ，∠DNF ＝∠EMF ＝90°.∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝60°，∴∠BAC ＝30°.∵AD 平分∠BAC ，∴∠DAC ＝12∠BAC ＝15°. ∴∠CDA ＝75°.∵CE 平分∠ACB ，∠ACB ＝90°，∴∠ACE ＝45°. ∴∠MEF ＝75°＝∠NDF. 在△DNF 和△EMF 中，∠DNF ＝∠EMF ，∠NDF ＝∠MEF ，FN ＝FM ，∴△DNF ≌△EMF(AAS)．∴FE ＝FD.。

人教版八年级数学上册12.3《角的平分线的性质》同步训练习题

人教版八年级数学上册12.3《角的平分线的性质》同步训练习题一．选择题（共10小题）1．（2015•茂名）如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD=6，则点P到边OB的距离为（）A．6 B．5 C．4 D．32．（2015•天台县模拟）△ABC是一个任意三角形，用直尺和圆规作出∠A、∠B 的平分线，如果两条平分线交于点O，那么下列选项中不正确的是（）A．点O一定在△ABC的内部B．∠C的平分线一定经过点OC．点O到△ABC的三边距离一定相等D．点O到△ABC三顶点的距离一定相等3．（2015•茂名校级一模）如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=10，BD=6，则点D到AB的距离是（）A．4 B．5 C．6 D．74．（2015•泰安样卷）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于E，AB=a，CD=m，则AC的长为（）A．2m B．a﹣m C．a D．a+m5．（2015•河北模拟）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（）A．7.5 B．8 C．15 D．无法确定6．（2015•芜湖三模）△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为6cm，4cm，4cm，P为三边角平分线的交点，则△ABP，△BCP，△ACP的面积比等于（）A．1：1：1 B．2：2：3 C．2：3：2 D．3：2：27．（2015•江西校级模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，已知CD=3，BD=5，则下列结论中错误的是（）A．AC=6 B．AD=7 C．BC=8 D．AB=108．（2015春•成都校级期末）如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（）A．△ABC的三条中线的交点B．△ABC三边的中垂线的交点C．△ABC三条高所在直线的交点D．△ABC三条角平分线的交点9．（2015秋•平南县月考）如图，Rt△ABC，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB 于E，则下列结论中不正确的是（）A．BD+ED=BC B．DE平分∠ADB C．AD平分∠EDC D．ED+AC＞AD 10．（2015春•吉州区期末）在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB 两边距离相等的点应是（）A．M点B．N点C．P点D．Q点二．填空题（共10小题）11．（2015•连云港）在△ABC中，AB=4，AC=3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是．12．（2015•聊城）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线．若AB=6，则点D到AB的距离是．13．（2015•萝岗区一模）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，若AB=4，且点D到BC的距离为3，则BD=．14．（2015•绿园区一模）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=8．对角线BD⊥CD，P是BC边上一动点，连结PD．若∠ADB=∠C，则PD长的最小值为．15．（2015春•苏州校级期末）如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，AD平分∠CAB．交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6，△DEB的周长为．16．（2015春•晋江市期末）如图，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE=DF，若∠DBC=50°，则∠ABC=（度）．17．（2015秋•蓟县期中）如图，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若△BDE的周长为8，则AB 的长为．18．（2015秋•镇海区校级月考）如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥BC于E，若S△ABC=60cm2，AB=12cm，BC=18cm，则S△DBC=，DE=．19．（2014秋•定兴县期末）如图，点P是∠BAC的平分线上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，E，F分别为垂足，①PE=PF，②AE=AF，③∠APE=∠APF，上述结论中正确的是（只填序号）．20．（2013秋•石家庄期末）如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，△ABC的面积是．三．解答题（共10小题）21．（2015•路南区二模）在学完全等三角形后，李老师给出了下列题目：求证：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．已知：求证：证明：22．（2015春•泰山区期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：AC=AE；（2）若点E为AB的中点，CD=4，求BE的长．23．（2015•黄岛区校级模拟）现要在三角地ABC内建一中心医院，使医院到A、B两个居民小区的距离相等，并且到公路AB和AC的距离也相等，请确定这个中心医院的位置．24．（2015春•澧县期末）如图：在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；说明：（1）CF=EB．（2）AB=AF+2EB．25．（2015秋•泰兴市校级月考）如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，若BD=CD．求证：AD平分∠BAC．26．（2014秋•芜湖校级期末）如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB、DF⊥AC，垂足为E、F，求证：EB=FC．27．（2014秋•陇西县期末）如图：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足为C，D．求证：（1）OC=OD；（2）DF=CF．28．（2014秋•南昌期末）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB 于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，求：（1）S△ACD；（2）AC的长．29．（2014秋•苏州期末）一天，数学老师布置一个思考题，要求每个学习小组课后去讨论．你能和他们一起思考吗？题目是这样的：如图，P是∠AOB的角平分线OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．（1）比较PD与PE的长短，得；（2）在OC上另取一点Q，画QF⊥OA，QG⊥OB，垂足分别为F，G．再比较QF、QG的长短，得；（3）你可以在角平分线OC上再取其它一些点试试，从中你发现了什么？请你试一试．30．（2014秋•赣州期末）已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）求证：AM平分∠BAD；（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？（3）线段CD、AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果．人教版八年级数学上册12.3《角的平分线的性质》同步训练习题参考答案一．选择题（共10小题）1．（2015•茂名）如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD=6，则点P到边OB的距离为（）A．6 B．5 C．4 D．3选A【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，是基础题，比较简单，熟记性质是解题的关键．2．（2015•天台县模拟）△ABC是一个任意三角形，用直尺和圆规作出∠A、∠B 的平分线，如果两条平分线交于点O，那么下列选项中不正确的是（）A．点O一定在△ABC的内部B．∠C的平分线一定经过点OC．点O到△ABC的三边距离一定相等D．点O到△ABC三顶点的距离一定相等【考点】角平分线的性质．【分析】根据角平分线的定义与性质即可判断．【解答】解：∵三角形角平分线的性质为：三角形的三条角平分线在三角形内部且相交于一点，到三角形三条边的距离相等，∴A、B、C三个选项均正确，D选项错误．故选D．【点评】此题考查了角平分线的性质，熟记性质是解题的关键．3．（2015•茂名校级一模）如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=10，BD=6，则点D到AB的距离是（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】角平分线的性质．【专题】常规题型．【分析】由角平分线的性质可得点D到AB的距离等于CD，根据已知求得CD 即可．【解答】解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴点D到AB的距离等于CD，∵BC=10，BD=6，∴CD=BC﹣BD=10﹣6=4，∴点D到AB的距离是4．故选A．【点评】此题主要考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．4．（2015•泰安样卷）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于E，AB=a，CD=m，则AC的长为（）A．2m B．a﹣m C．a D．a+m【考点】角平分线的性质；等腰直角三角形．【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DE，再利用“HL”证明Rt△ACD和Rt△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=AE，再判断出△BDE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得BE=DE，然后根据AE=AB﹣BE计算即可得解．【解答】解：∵AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE，在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE，∵∠B=45°，DE⊥AB，∴△BDE是等腰直角三角形，∴BE=DE=m，∵AE=AB﹣BE=a﹣m，∴AC=a﹣m．故选B．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记性质是解题的关键．5．（2015•河北模拟）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（）A．7.5 B．8 C．15 D．无法确定【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】如图，过点D作DE⊥BC于点E．利用角平分的性质得到DE=AD=3，然后由三角形的面积公式来求△BCD的面积．【解答】解：如图，过点D作DE⊥BC于点E．∵∠A=90°，∴AD⊥AB．∴AD=DE=3．又∵BC=5，∴S△BCD=BC•DE=×5×3=7.5．故选：A．【点评】本题考查了角平分线的性质．角的平分线上的点到角的两边的距离相等．6．（2015•芜湖三模）△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为6cm，4cm，4cm，P为三边角平分线的交点，则△ABP，△BCP，△ACP的面积比等于（）A．1：1：1 B．2：2：3 C．2：3：2 D．3：2：2【考点】角平分线的性质．【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到△ABC三边的距离相等，然后根据等高的三角形的面积的比等于底边的比解答．【解答】解：∵P为三边角平分线的交点，∴点P到△ABC三边的距离相等，∵AB，BC，CA的长分别为6cm，4cm，4cm，∴△ABP，△BCP，△ACP的面积比=6：4：4=3：2：2．故选D．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记性质并判断出点P到△ABC三边的距离相等是解题的关键．7．（2015•江西校级模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，已知CD=3，BD=5，则下列结论中错误的是（）A．AC=6 B．AD=7 C．BC=8 D．AB=10【考点】角平分线的性质．【分析】过点D作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质可知CD=DE=3，由勾股定理求出BE的长，再由相似三角形的判定定理得出△BED∽△BCA，故可得出AC及AB的长，在Rt△ACD中，根据勾股定理求出AD的长即可．【解答】解：∵CD=3，BD=5，∴BC=CD+BD=3+5=8，故C正确；过点D作DE⊥AB于点E，∵AD平分∠CAB，∴CD=DE=3．在Rt△BDE中，∵BD=5，DE=3，∴BE===4．∵∠B=∠B，∠DEB=∠C，∴△BED∽△BCA，∴==，即==，解得AB=10，AC=6，故A，D正确；在Rt△ACD中，∵AC=6，CD=3，∴AD===3，故B错误．故选B．【点评】本题考查的是角平分线的性质，根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．8．（2015春•成都校级期末）如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（）A．△ABC的三条中线的交点B．△ABC三边的中垂线的交点C．△ABC三条高所在直线的交点D．△ABC三条角平分线的交点【考点】角平分线的性质；作图—应用与设计作图．【分析】由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是△ABC三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．【解答】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点．故选D．【点评】本题主要考查的是角的平分线的性质在实际生活中的应用．主要利用了到线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．9．（2015秋•平南县月考）如图，Rt△ABC，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB 于E，则下列结论中不正确的是（）A．BD+ED=BC B．DE平分∠ADB C．AD平分∠EDC D．ED+AC＞AD【考点】角平分线的性质．【分析】根据已知条件由角平分线的性质可得结论CD=DE，由此又可得出很多结论，对各选项逐个验证，证明．【解答】解：CD=DE，∴BD+DE=BD+CD=BC；又有AD=AD，可证△AED≌△ACD∴∠ADE=∠ADC即DE平分∠ADB；在△ACD中，CD+AC＞AD所以ED+AC＞AD．故选B．【点评】本题主要考查平分线的性质，由已知证明△AED≌△ACD是解决的关键．10．（2015春•吉州区期末）在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是（）A．M点B．N点C．P点D．Q点【考点】角平分线的性质．【专题】网格型．【分析】根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，注意观察点M、N、P、Q中的哪一点在∠AOB的平分线上．【解答】解：从图上可以看出点M在∠AOB的平分线上，其它三点不在∠AOB 的平分线上．所以点M到∠AOB两边的距离相等．故选A．【点评】本题主要考查平分线的性质，根据正方形网格看出∠AOB平分线上的点是解答问题的关键．二．填空题（共10小题）11．（2015•连云港）在△ABC中，AB=4，AC=3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是4：3．【考点】角平分线的性质．【分析】估计角平分线的性质，可得出△ABD的边AB上的高与△ACD的AC 上的高相等，估计三角形的面积公式，即可得出△ABD与△ACD的面积之比等于对应边之比．【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，∴设△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高分别为h1，h2，∴h1=h2，∴△ABD与△ACD的面积之比=AB：AC=4：3，故答案为4：3．【点评】本题考查了角平分线的性质，以及三角形的面积公式，熟练掌握三角形角平分线的性质是解题的关键．12．（2015•聊城）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线．若AB=6，则点D到AB的距离是．【考点】角平分线的性质．【分析】求出∠ABC，求出∠DBC，根据含30度角的直角三角形性质求出BC，CD，问题即可求出．【解答】解：∵∠C=90°，∠A=30°，∴∠ABC=180°﹣30°﹣90°=60°，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠DBC=∠ABC=30°，∴BC=AB=3，∴CD=BC•tan30°=3×=，∵BD是∠ABC的平分线，又∵角平线上点到角两边距离相等，∴点D到AB的距离=CD=，故答案为：．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．13．（2015•萝岗区一模）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，若AB=4，且点D到BC的距离为3，则BD=5．【考点】角平分线的性质．【分析】根据角平分线的性质得到AD=3，由勾股定理求得BD．【解答】解：∵∠A=90°，∴DA⊥AB，∵BD平分∠ABC，点D到BC的距离为3，∴AD=3，∵AB=4，∴BD==5．【点评】本题主要考查了角平分线的性质，由已知能够注意到D到BC的距离即为DE长是解决的关键．14．（2015•绿园区一模）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=8．对角线BD⊥CD，P是BC边上一动点，连结PD．若∠ADB=∠C，则PD长的最小值为8．【考点】角平分线的性质；垂线段最短．【分析】根据垂线段最短，当DP垂直于BC的时候，DP的长度最小．结合已知条件，利用三角形的内角和定理推出∠ABD=∠CBD，由角平分线性质即可得AD=DP，由AD的长可得DP的长．【解答】解：根据垂线段最短，当DP⊥BC的时候，DP的长度最小．∵BD⊥CD，即∠BDC=90°，又∠A=90°，∴∠A=∠BDC，又∠ADB=∠C，∴∠ABD=∠CBD，又DA⊥BA，BD⊥DC，∴AD=DP，又AD=8，∴DP=8．故答案为：8．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质并判断出DP最小时的位置是解题的关键．15．（2015春•苏州校级期末）如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，AD平分∠CAB．交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6，△DEB的周长为6．【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．【分析】分析已知条件，根据勾股定理可求得CA的长，△CAD≌△EAD，则DE=DC，在△BED中，BE=AB﹣AE，DE=DC，△DEB的周长为：BE+DE+DB=BE+CD+DB=BE+CB．【解答】解：△ABC中，∠C=90°，CA=CB，AB=6根据勾股定理得2CB2=AB2，∴CB=3，∵AD平分∠CAB∴∠CAD=∠EAD∵DE⊥AB∴∠DEA=90°=∠C∴△CAD≌△EAD（AAS）∴AC=AE=3，DE=CD∴EB=AB﹣AE=6﹣3故△DEB的周长为：BE+DE+DB=BE+CD+DB=BE+CB=6﹣3+3=6．【点评】此题考查了全等三角形的判定及性质，应用了勾股定理，三角形周长的求法，范围较广．16．（2015春•晋江市期末）如图，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE=DF，若∠DBC=50°，则∠ABC=100（度）．【考点】角平分线的性质．【分析】根据到角的两边的距离相等的点在角平分线上可得BD平分∠ABC，再根据∠DBC=50°可得答案．【解答】解：∵DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE=DF，∴BD平分∠ABC，∴∠ABC=2∠DBC，∵∠DBC=50°，∴∠ABC=100°，故答案为：100．【点评】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握到角的两边的距离相等的点在角平分线上．17．（2015秋•蓟县期中）如图，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若△BDE的周长为8，则AB 的长为8．18．（2015秋•镇海区校级月考）如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥BC于E，若S△ABC=60cm2，AB=12cm，BC=18cm，则S△DBC=36cm2，DE=4cm．【考点】角平分线的性质．【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点D到AB的距离等于点D到BC的距离，即DE的长度，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出S△ABD：S△DBC，然后求解即可，再利用三角形的面积公式列式计算即可求出DE．【解答】解：∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥BC，∴点D到AB的距离等于点D到BC的距离，即DE的长度，∵AB=12cm，BC=18cm，∴S△ABD：S△DBC=AB：BC=12：18=2：3，∵S△ABC=60cm2，∴S△DBC=60×=36cm2，∵DE⊥BC，∴BC•DE=36，即×18•DE=36，解得DE=4cm．故答案为：36cm2；4cm．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记各性质是解题的关键．19．（2014秋•定兴县期末）如图，点P是∠BAC的平分线上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，E，F分别为垂足，①PE=PF，②AE=AF，③∠APE=∠APF，上述结论中正确的是①②③（只填序号）．【考点】角平分线的性质．【分析】先根据角平分线的性质求得PE=PF，再利用全等即可判定．【解答】解：∵点P是∠BAC的平分线上一点，PE⊥AB，PF⊥AC∴PE=PF∴Rt△APE≌RT△APF（HL）∴AE=AF，∠APE=∠APF故填①②③．【点评】本题主要考查平分线的性质及三角形全等的判定及性质；由已知求得Rt△APE≌RT△APF是解决的关键．20．（2013秋•石家庄期末）如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，△ABC的面积是31.5．【考点】角平分线的性质．【分析】连接OA，作OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为E、F，将△ABC的面积分为：S△ABC=S△OBC+S△OAC+S△OAB，而三个小三角形的高OD=OE=OF，它们的底边和就是△ABC的周长，可计算△ABC的面积．【解答】解：作OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为E、F，连接OA，∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，∴OD=OE=OF，∴S△ABC=S△OBC+S△OAC+S△OAB=×OD×BC+×OE×AC+×OF×AB=×OD×（BC+AC+AB）=×3×21=31.5．故填31.5．【点评】此题主要考查角平分线的性质；利用三角形的三条角平分线交于一点，将三角形面积分为三个小三角形面积求和，发现并利用三个小三角形等高是正确解答本题的关键．三．解答题（共10小题）21．（2015•路南区二模）在学完全等三角形后，李老师给出了下列题目：求证：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．已知：求证：证明：【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】根据题意画出图形，写出已知和求证，根据全等三角形的判定和性质证明结论．【解答】已知：PE=PF，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，求证：点P在∠AOB的平分线上．证明：在Rt△POE和Rt△POF中，，∴Rt△POE≌△RtPOF，∴∠EOP=∠FOP，∴点P在∠AOB的平分线上．【点评】本题考查的是角平分线的判定的证明，灵活运用直角三角形全等的判定定理是解题的关键．22．（2015春•泰山区期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：AC=AE；（2）若点E为AB的中点，CD=4，求BE的长．【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】（1）求出△ACD≌△AED，根据全等三角形的性质得出即可；（2）求出AD=BD，推出∠B=∠DAB=∠CAD，求出∠B=30°，即可求出BD=2CD=8，根据勾股定理求出即可．【解答】（1）证明：∵在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，∴CD=DE，∠AED=∠C=90°，∠CAD=∠EAD，在△ACD和△AED中∴△ACD≌△AED，∴AC=AE；（2）解：∵DE⊥AB，点E为AB的中点，∴AD=BD，∴∠B=∠DAB=∠CAD，∵∠C=90°，∴3∠B=90°，∴∠B=30°，∵CD=DE=4，∠DEB=90°，∴BD=2DE=8，由勾股定理得：BE==4．【点评】本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形性质，勾股定理，三角形内角和定理，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，能推出△ACD≌△AED和求出∠B=30°是解此题的关键．23．（2015•黄岛区校级模拟）现要在三角地ABC内建一中心医院，使医院到A、B两个居民小区的距离相等，并且到公路AB和AC的距离也相等，请确定这个中心医院的位置．【考点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图—应用与设计作图．【分析】根据线段垂直平分线性质作出AB的垂直平分线，根据角平分线性质作出∠BAC的角平分线，即可得出答案．【解答】解：作AB的垂直平分线EF，作∠BAC的角平分线AM，两线交于P，则P为这个中心医院的位置．【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，角平分线性质的应用，主要考查学生的理解能力和动手操作能力．24．（2015春•澧县期末）如图：在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；说明：（1）CF=EB．（2）AB=AF+2EB．【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到AB的距离=点D到AC的距离即CD=DE．再根据Rt△CDF≌Rt△EBD，得CF=EB；（2）利用角平分线性质证明∴△ADC≌△ADE，AC=AE，再将线段AB进行转化．【解答】证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE=DC，∵在Rt△DCF和Rt△DEB中，，∴Rt△CDF≌Rt△EBD（HL）．∴CF=EB；（2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD=DE．在△ADC与△ADE中，∵∴△ADC≌△ADE（HL），∴AC=AE，∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB．【点评】本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到点D到AB的距离=点D到AC的距离，即CD=DE，是解答本题的关键．25．（2015秋•泰兴市校级月考）如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，若BD=CD．求证：AD平分∠BAC．【考点】角平分线的性质；全等三角形的性质；直角三角形全等的判定．【专题】证明题．【分析】要证AD平分∠BAC，只需证DF=DE．可通过证△BDF≌△CDE（AAS）来实现．根据已知条件，利用AAS可直接证明△BDF≌△CDE，从而可得出AD平分∠BAC．【解答】证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD=∠CED=90°．在△BDF与△CDE中，，∴△BDF≌△CDE（AAS）．∴DF=DE，∴AD是∠BAC的平分线．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，以及到角两边距离相等的点在角平分线上等知识．发现并利用△BDF≌△CDE是正确解答本题的关键．26．（2014秋•芜湖校级期末）如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB、DF⊥AC，垂足为E、F，求证：EB=FC．【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】首先由角平分线的性质可得DE=DF，又有BD=CD，可证Rt△BED≌Rt△DFC（HL），即可得出EB=FC．【解答】证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB、DF⊥AC，∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，在Rt△BED和Rt△DFC中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴EB=FC．【点评】此题主要考查角平分线的性质和全等三角形的判定和性质，难度不大．27．（2014秋•陇西县期末）如图：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足为C，D．求证：（1）OC=OD；（2）DF=CF．【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）首先根据角平分线的性质可得EC=DE，∠ECO=∠EDO=90°，然后证明Rt△COE≌Rt△DOE可得CO=DO；（2）证明COF≌△DOF可根据全等三角形的性质可得FC=FD．【解答】证明：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，∴EC=DE，∠ECO=∠EDO=90°，在Rt△COE和Rt△DOE中，，∴Rt△COE≌Rt△DOE（HL），∴CO=DO；（2）∵EO平分∠AOB，∴∠AOE=∠BOE，在△COF和△DOF中，，∴△COF≌△DOF（SAS），∴FC=FD．【点评】此题主要考查了角平分线的性质，以及全等三角形的判定与性质，关键是掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．28．（2014秋•南昌期末）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB 于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，求：（1）S△ACD；（2）AC的长．【考点】角平分线的性质．【分析】（1）根据S△ACD=S△ABC﹣S△ABD，利用三角形的面积公式可求解；（2）过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据（1）中所求S△ACD=3列出方程求解即可．【解答】解：（1）S△ACD=S△ABC﹣S△ABD=7﹣×4×2=3；（2）如图，过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，∴DE=DF=2．∵S△ACD=3，∴×AC×2=3，解得AC=3．【点评】本题考查了三角形的面积，角平分线性质的应用，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等．29．（2014秋•苏州期末）一天，数学老师布置一个思考题，要求每个学习小组课后去讨论．你能和他们一起思考吗？题目是这样的：如图，P是∠AOB的角平分线OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．（1）比较PD与PE的长短，得PD=PE；（2）在OC上另取一点Q，画QF⊥OA，QG⊥OB，垂足分别为F，G．再比较QF、QG的长短，得QF=QG；（3）你可以在角平分线OC上再取其它一些点试试，从中你发现了什么？角平分线上的点到角的两边的距离相等请你试一试．【考点】角平分线的性质．【分析】（1）通过实际操作能得到P点到角的两边距离相等；（2）通过实际操作能得到P点到角的两边距离相等；（3）可以通过证明三角形全等来得到正确的结论；【解答】解：（1）用直尺量得PD=PE；（2）用直尺量得QF=QG；（3）证明：∵P是∠AOB的角平分线OC上一点，∴∠AOC=∠BOC，PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠ODP=∠OEP，∴△DOO≌△EPO，∴PD=PE，∴角平分线上的点到角的两边的距离相等．【点评】本题考查了角平分线的性质，通过学生的动手、动脑使得学生更加牢固的掌握了新知识．30．（2014秋•赣州期末）已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）求证：AM平分∠BAD；（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？（3）线段CD、AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果．【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】几何综合题．【分析】（1）首先要作辅助线，ME⊥AD则利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知ME=MC，再利用中点的条件可知ME=MB，再利用到角两边距离相等的点在角的平分线上的逆定理证明AM平分∠DAB．（2）根据平行线性质得出∠CDA+∠BAD=180°，求出∠1+∠3=90°，根据三角形内角和定理求出即可．（3）证Rt△DCM≌Rt△DEM，推出CD=DE，同理得出AE=AB，即可得出答案．【解答】（1）证明：作ME⊥AD于E，∵MC⊥DC，ME⊥DA，MD平分∠ADC，∴ME=MC，∵M为BC中点，∴MB=MC，又∵ME=MC，∴ME=MB，又∵ME⊥AD，MB⊥AB，∴AM平分∠DAB．∴Rt△DCM≌Rt△DEM（HL），∴CD=DE，同理AE=AB，∵AE+DE=AD，∴CD+AB=AD．【点评】本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理的应用，此题是一道比较典型的题目，难度适中，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等．。

人教版数学八年级上册：12.3 角的平分线的性质同步练习(附答案)

12．3角的平分线的性质第1课时角的平分线的性质1．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是( )A．SSS B．ASAC．AAS D．角的平分线上的点到角两边的距离相等2．已知△ABC，用尺规作图作出∠ABC的平分线(保留作图痕迹，但不写作法)．3．如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是( )A．PC＝PD B．∠CPD＝∠DOP C．∠CPO＝∠DPO D．OC＝OD第3题图第4题图4．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD是角平分线，DE⊥BC，垂足是E，AC＝10 cm，CD＝6 cm，则DE的长为( )A．10 cm B．6 cm C．4 cm D．2 cm5．如图，已知点O在∠BAC的平分线上，BO⊥AC，CO⊥AB，垂足分别为D，E，求证：OB＝OC.6．命题“全等三角形对应边上的高线相等”的已知是，结论是．7．证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．已知：如图，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，．求证：．请你补全已知和求证，并写出证明过程．8．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是( ) A．M点B．N点C．P点D．Q点第8题图第9题图9．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是( )A．8 B．6C．4 D．210．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于12MN长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D.若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积为( ) A．15 B．30 C．45 D．60第10题图第11题图11．如图，△ABC的角平分线AD交BC于点D，BD∶DC＝2∶1.若AC＝3 cm，则AB＝．12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB＝10 cm，求△DEB的周长．13．证明：全等三角形对应边上的中线相等．如图，已知△ABC≌△A′B′C′，AD，A′D′分别是BC，B′C′边上的中线．求证：AD＝A′D′.14．感知：如图1，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°.易证：DB＝DC.探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD<90°.求证：DB＝DC.第2课时角的平分线的判定1．如图，OC是∠AOB内部的一条射线，P是射线OC上任意点，PD⊥OA，PE⊥OB.下列条件中：①∠AOC＝∠BOC；②PD＝PE；③OD＝OE；④∠DPO＝∠EPO.能判定OC是∠AOB 的平分线的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个第1题图第2题图2．如图，∠AOB＝70°，QC⊥OA于点C，QD⊥OB于点D，若QC＝QD，则∠AOQ＝．3．如图，BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，求证：AD 是∠BAC的平分线．4．到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的( )A．三条中线的交点B．三条角平分线的交点C．三条高的交点D．以上均不对5．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点O，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝．6．如图，铁路OA和铁路OB交于点O处，河道AB与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路OA，OB的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置．7．D，E分别是△ABC中边AB，AC上的一点，在△ABC内有一点O，使OE＝OD，则AO平分∠CAB吗？解：AO平分∠CAB.理由如下：∵点O到∠CAB两边的距离相等，∴点O在∠CAB的平分线上．∴AO平分∠CAB.以上解法是否正确？若不正确，请说明理由，并写出正确的结论．8．如图，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D，C，AD与BC相交于点P，若PA＝PB，则∠1与∠2的大小关系是( )A．∠1＝∠2 B．∠1＞∠2C．∠1＜∠2 D．无法确定9．如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB ＝( )A．30° B．35° C．45° D．60°第9题图第10题图10．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝3，则△ABC的面积是．11．三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路距离相等，则可供选择的地方有处．12．如图，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，连接AD.求证：AD是∠BAC 的外角平分线．13．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D是BC边上一动点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，E，F分别为垂足，则当点D移动到什么位置时，AD恰好平分∠BAC？请说明理由．14．如图，在四边形ABDC中，∠D＝∠B＝90°，O为BD的中点，且AO平分∠BAC.求证：(1)CO平分∠ACD；(2)OA⊥OC；(3)AB＋CD＝AC.参考答案：12．3 角的平分线的性质第1课时角的平分线的性质1．A2．解：作图略． 3．B 4．C5．证明：∵点O 在∠BAC 的平分线上，BO ⊥AC ，CO ⊥AB ，∴OE ＝OD ，∠BEO ＝∠CDO ＝90°. 在△BEO 与△CDO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BEO ＝∠CDO ，OE ＝OD ，∠EOB ＝∠DOC ，∴△BEO ≌△CDO(ASA )． ∴OB ＝OC.6．两个三角形是全等三角形，它们对应边上的高线相等． 7．证明：∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴∠PDO ＝∠PEO ＝90°. 在△PDO 和△PEO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠PDO ＝∠PEO ，∠POD ＝∠POE ，OP ＝OP ，∴△PDO ≌△PEO(AAS )． ∴PD ＝PE. 8．A 9．C 10．B 11．6cm ．12．解：∵AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，DE ⊥AB ，∠C ＝90°，∴CD ＝DE.在Rt △ACD 和Rt △AED 中，⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝ED ，AD ＝AD ，∴Rt △ACD ≌Rt △AED(HL )．∴AE ＝AC.∴△DEB 的周长为DE ＋DB ＋EB ＝CD ＋DB ＋BE ＝BC ＋BE ＝AC ＋BE ＝AE ＋BE ＝AB ＝10 cm .13．证明：∵△ABC ≌△A′B′C′，∴AB ＝A′B′，∠B ＝∠B′，BC ＝B′C′.又∵AD ，A′D′分别是BC ，B′C′边上的中线，∴BD ＝12BC ，B′D′＝12B′C′.∴BD ＝B′D′.在△ABD 和△A′B′D′中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝A′B′，∠B ＝∠B′，BD ＝B′D′，∴△ABD ≌△A′B′D′(SAS )． ∴AD ＝A′D′.14．证明：过点D 分别作DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 交AC 的延长线于点F ，∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴DE ＝DF ，∠DEB ＝∠F ＝90°.∵∠B ＋∠ACD ＝180°，∠ACD ＋∠FCD ＝180°， ∴∠B ＝∠FCD.在△DFC 和△DEB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠F ＝∠DEB ，∠FCD ＝∠B ，DF ＝DE ，∴△DFC ≌△DEB(AAS )． ∴DC ＝DB.第2课时角的平分线的判定1．D2． 35°．3．证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠BED ＝∠DFC ＝90°.在Rt △DEB 和Rt △DFC 中，⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝CF ，DB ＝DC ，∴Rt △DEB ≌Rt △DFC(HL )．∴DE ＝DF.∴AD 是∠BAC 的平分线． 4．B5．4∶5∶6．6．解：图略．提示：作∠AOB 的平分线，与AB 的交点即为点M 的位置．7．解：不正确．以上解法忽视了OD ，OE 分别垂直于AB ，AC 的条件，故产生错误．正确的结论是“AO 不一定平分∠CAB ”． 8．A 9．B10．31.5． 11．4． 12．证明：过点D 分别作DE ⊥AB ，DG ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E ，G ，F. 又∵BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACF ， ∴DE ＝DF ，DG ＝DF. ∴DE ＝DG.∴AD 平分∠EAC ，即AD 是∠BAC 的外角平分线．13．解：移动到BC 的中点时，AD 恰好平分∠BAC.理由如下：∵D 是BC 的中点， ∴BD ＝CD.∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴∠DEB ＝∠DFC ＝90°. 在△DEB 和△DFC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DEB ＝∠DFC ，∠B ＝∠C ，BD ＝CD ，∴△DEB ≌△DFC(AAS )． ∴DE ＝DF.又∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴AD 平分∠BAC. 14．证明：(1)过点O 作OE ⊥AC 于点E. ∵∠B ＝90°，AO 平分∠BAC ， ∴OB ＝OE.∵O 为BD 的中点， ∴OB ＝OD. ∴OE ＝OD.又∵∠D ＝90°，∠OEC ＝90°， ∴CO 平分∠ACD.(2)在Rt △ABO 和Rt △AEO 中，⎩⎪⎨⎪⎧AO ＝AO ，OE ＝OB ， ∴Rt △ABO ≌△Rt △AEO(HL )．∴∠AOB ＝∠AOE ＝12∠BOE.同理，∠COD ＝∠COE ＝12∠DOE.∵∠AOC ＝∠AOE ＋∠COE ，∴∠AOC ＝12∠BOE ＋12∠DOE ＝12×180°＝90°.∴OA ⊥OC.(3)∵Rt △ABO ≌Rt △AEO ， ∴AB ＝AE.同理可得CD ＝CE.∵AC ＝AE ＋CE ，∴AB ＋CD ＝AC.。

人教版初中数学八年级上册 (12.3 角的平分线的性质) 课后提升训练试卷

2020年秋绵阳外国语学校初中数学（人教版）八年级上册第十二章全等三角形12.3角的平分线的性质1.用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图如图所示,则说明∠CAD=∠DAB的依据是 ( )A.SSSB.SASC.ASAD.AAS2.如图2,已知BG是∠ABC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,DE=6,则DF的长度是 ()A.2B.3C.4D.63.(2019江苏南通海门期中)如图,BD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,若BC=5,△BCD的面积为5,则DE= ( )A. 1B.1C.2D.524.如图,△ABC的三边AB,BC,AC的长分别为12,18,24,O是△ABC 三条角平分线的交点,则S△OAB∶S△OBC∶S△OAC= ()A.1∶1∶1B.1∶2∶3C.2∶3∶4D.3∶4∶55.如图,已知点P到BE、BD、AC的距离恰好相等,则点P的位置:①在∠B的平分线上;②在∠DAC的平分线上;③在∠ECA的平分线上;④恰在∠B,∠DAC,∠ECA的平分线的交点处.上述结论中,正确的有 ()A.1个B.2个C.3个D.4个6.如图,AD∥BC,∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P,作PE⊥AB,垂足为E.若PE=3,则两平行线AD与BC间的距离为 ()A.3B.5C.6D.不能确定7.2019江苏无锡江阴期中)如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的面积分别为40和28,则△EDF 的面积为 ()A.12B.6C.7D.88.(2020湖北襄阳樊城期末)小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现,只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.如图,一把直尺压住射线OB,另一把直尺压住射线OA,并且与第一把直尺交于点P,小明说:“射线OP就是∠BOA的平分线.”他这样做的依据是 ( )A.角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等C.三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D.以上均不正确9.(2020湖北武汉硚口期中)如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,AB=9,AC=6,BC=10,则CD的长为 ()A. 103B.4C.4.5D.6 10. (2020内蒙古巴彦淖尔期末)如图,BD 是△ABC 的角平分线,DE ⊥AB 于E ,△ABC 的面积是15,AB =9,BC =6,则DE 的长为 ( )A.1B.3C.2D.411. (2019湖南张家界中考)如图,在△ABC 中,∠C =90°,AC =8,DC= AD,BD 平分∠ABC ,则点D 到AB 的距离等于 ( )A.4B.3C.2D.112. (2019广西河池期末)如图,在△ABC 中,∠ACB =90°,AD 是△ABC 的角平分线,BC =10 cm,BD ∶DC =3∶2,则点D 到AB 的距离13为.13.如图,PM⊥OA,PN⊥OB,垂足分别为点M,N,PM=PN,∠BOC=30°,则∠AOB= .14..如图,已知DB⊥AE于点B,DC⊥AF于点C,且DB=DC,∠BAC=40°,∠ADG=130°,则∠DGF= .15.如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,CD平分∠ACB,DE⊥BC 于点E.若BC=5 cm,DC=4 cm,则△DEB的周长为cm.16.(2020辽宁葫芦岛连山期中)如图,AD平分∠BAC,BD平分∠ABC,DE⊥AB,E为垂足,△ABC的周长为20 cm,面积为40 cm2,则DE的长为.17.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于E,F 在AC上,BE=FC,求证:BD=DF.18.如图,BE=CF,DF⊥AC于点F,DE⊥AB于点E,BF和CE相交于点D.求证:AD平分∠BAC.19.如图,已知点O在∠BAC的平分线上,BO⊥AC,CO⊥AB,垂足分别为D、E,求证:OB=OC.20.如图,在△ABC中,∠B=∠C,D是BC边上的动点,过点D作DE ⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.当点D移动到什么位置时,AD恰好平分∠BAC?请说明理由.21.本节课我们知道了角平分线有以下性质:角平分线上的点到角的两边的距离相等.从而小芳产生了以下的想法:如图,已知△ABC中,AD平分∠BAC,那么AB∶AC=BD∶CD成立吗?若成立,请尝试证明.22.如图所示,在△ABC中,BD=DC,∠1=∠2,求证:AD平分∠BAC. 参考答案1.答案A从角平分线的作法得出,△AFD与△AED的三边对应相等,则△AFD≌△AED(SSS),所以∠CAD=∠DAB.故选A.2.答案 D ∵BG是∠ABC的平分线,DE⊥AB,DF⊥BC,∴DF=DE=6,故选D3.答案C如图,作DF⊥BC交BC的延长线于点F.BC·DF=5,∵BC=5,△BCD的面积为5,∴ 12 ×5·DF=5,∴DF=2,∵BD平分∠ABC,即12DE⊥AB,DF⊥BC,∴DE=DF=2,故选C.4.答案C∵O是△ABC三条角平分线的交点,AB,BC,AC的长分别为12,18,24,∴S△OAB∶S△OBC∶S△OAC=AB∶CB∶AC=12∶18∶24=2∶3∶4.故选C.5.答案D由点P到BE、BD、AC的距离恰好相等和角平分线的判定可知①②③④都是正确的.6. 答案 C 如图,作PF ⊥AD 于点F ,反向延长PF ,与BC 交于点G ,∵AD ∥BC ,PF ⊥AD ,∴∠PGC =90°,即PG ⊥BC .∴两平行线AD 与BC 间的距离为FG 的长.∵AP 平分∠BAD ,PF ⊥AD ,PE ⊥AB ,∴PF =PE =3,∵BP 平分∠ABC ,PE ⊥AB ,PG ⊥BC ,∴PG =PE =3,∴FG =PF +PG =6.7. 答案 B 如图,过点D 作DH ⊥AC 于H ,∵AD 是△ABC 的角平分线,DF ⊥AB ,DH ⊥AC ,∴DF =DH .在Rt△DEF 和Rt △DGH 中, ,,DE DG DF DH =⎧⎨=⎩∴Rt△DEF≌Rt△DGH(HL),∴S△EDF=S△GDH,同理Rt△ADF≌Rt△ADH(HL),∴S△ADF=S△ADH.设△EDF的面积为S,则△GDH的面积为S,则28+S=40-S,解得S=6.故选B.8.答案A如图所示,过两把直尺的交点P作PE⊥AO,PF⊥BO,∵两把长方形直尺完全相同,∴PE=PF,又PE⊥AO,PF⊥BO,∴OP平分∠AOB,依据是角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上,故选A.9.答案B如图,作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,∵AD平分∠BAC,∴DE=DF,10.答案C如图,作DF⊥BC交BC的延长线于F,∵BD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥BC,∴DE=DF.由题意得 1 2AB·DE+ 12BC·DF=15,即 12×9DE+ 12×6DE=15,解得DE=2,故选C.11.答案C如图,过点D作DE⊥AB于点E,∵∠C=90°,BD平分∠ABC,DE⊥AB,∴DE=CD=2,即点D到AB的距离为2.故选C.12.答案 4 cm解析∵BC=10 cm,BD∶DC=3∶2,∴DC=4 cm,∵AD是△ABC的角平分线,∠ACB=90°, ∴点D到AB的距离等于DC的长,即点D到AB的距离等于4 cm.13.答案60°解析∵PM⊥OA,PN⊥OB,PM=PN,∴OC平分∠AOB,即∠AOC=∠BOC=30°, ∴∠AOB=60°.14.答案150°解析∵DB⊥AE,DC⊥AF,且DB=DC,∴AD平分∠BAC,∵∠BAC =40°,∴∠CAD = 12∠BAC =20°, ∴∠DGF =∠CAD +∠ADG =20°+130°=150°.15. 答案 5解析 ∵CD 平分∠ACB ,DE ⊥BC ,∠A =90°,∴DE =DA .在Rt △CDE 和Rt △CDA 中, ∴Rt△CDE ≌Rt△CDA ,∴CE =CA ,∴△DEB 的周长=BE +BD +DE =BE +BD +DA =BE +BA=BE +AC =BE +CE =BC =5 cm.16. 答案 4 cm解析如图,连接CD ,∵AD 平分∠BAC ,BD 平分∠ABC ,∴点D 到AC ,AB ,BC 的距离相等,距离都等于DE 的长,∵△ABC 的周长为20 cm,面积为40 cm 2,∴S △ABC =S △ADC +S △CDB +S △ADB =12 AC ·DE +12 BC ·DE +12 AB ·DE = 12 (AC +BC +AB )·DE =40,即 40= 12×20DE , ∴DE =4 cm.,,CD CD DE DA =⎧⎨=⎩17. 证明 ∵AD 平分∠CAB ,DE ⊥AB ,∠C =90°,∴DE =DC .在△BDE 和△FDC 中, ∴△BDE ≌△FDC ,∴BD =DF .18. 证明 ∵DF ⊥AC ,DE ⊥AB ,∴∠DEB =∠DFC =90°.在△BDE 和△CDF 中, ∴△BDE ≌△CDF (AAS),∴DE =DF .∴AD 平分∠BAC .19. 证明 ∵点O 在∠BAC 的平分线上,BO ⊥AC ,CO ⊥AB ,∴∠BEO =∠CDO =90°,OE =OD .在△BEO 和△CDO 中,∵ ⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=︒=∠=∠，，，90DOC EOB OD OE CDO BEO∴△BEO ≌△CDO (ASA),∴OB =OC .20. 解析当点D 移动到BC 的中点时,AD 恰好平分∠BAC . 理由:当D 是BC 的中点时,BD =CD .,,,ED CD DEB C BE FC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,,,BDE CDF DEB DFC BE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵DE ⊥AB ,DF ⊥AC ,∴∠DEB =∠DFC =90°.又∵∠B =∠C ,BD =CD ,∴△DEB ≌△DFC (AAS).∴DE =DF .又∵DE ⊥AB ,DF ⊥AC ,∴AD 平分∠BAC .21. 解析成立.证明:在图1中作DE ⊥AB ,DF ⊥AC ,垂足分别为E ,F ,∵AD 平分∠BAC ,∴DE =DF ,∵S △ABD = 12AB ·DE ,S △ACD = 12 AC ·DF , ∴S △ABD ∶S △ACD =AB ∶AC .在图2中作AP ⊥BC ,垂足为P ,∵S △ABD = 12BD ·AP ,S △ACD = 12 CD ·AP , ∴S △ABD ∶S △ACD =BD ∶CD .∴AB ∶AC =BD ∶CD .22. 证明如图,过D 作DE ⊥AB 于E ,DF ⊥AC 于F ,则∠BED =∠CFD =90°.在△BED 和△CFD 中, ∴△BED ≌△CFD (AAS).∴DE =DF ,∴AD 平分∠BAC .,12,,BED CFD BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩。

12.3 角的平分线的性质(提升训练)(解析版)

12.3 角的平分线的性质【提升训练】一、单选题1．如图，四边形ABCD 中，对角线AD 平分∠BAC ，138ACD ，42BCD ，则∠ADB 的度数为（）A ．54°B ．50°C ．48°D ．46°【答案】C【分析】过D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，DG BC ⊥于G ，依据角平分线的性质，即可得到DE DG =，再根据三角形外角性质，根据角平分线的定义，即可得到11()22ADB DBE BAD CBE BAC ACB ．【详解】解：如图所示，过D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，DG BC ⊥于G ，AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，DF DE ∴=，又138ACD，42BCD ， 96ACB ，42DCF ∠=︒，CD ∴平分BCF ∠，又DF AC ⊥于F ，DG BC ⊥于G ， DF DG ∴=，DE DG ∴=，BD ∴平分CBE ∠， 12DBE CBE ， AD 平分BAC ∠，12BAD BAC ∴∠=∠， 111()9648222ADB DBE BAD CBE BAC ACB ，故选：C ．【点睛】本题主要考查了角平分线的判定和性质，解题时注意：角平分线上的点到角两边的距离相等． 2．如图，在∠ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，DE ∠AB ，垂足为E ，下列结论：∠CD ＝ED ；∠BD ＝CD ；∠AC ＋BE ＝AB ；∠S ∠BDE ：S ∠ACD ＝BD ：AC ，其中正确的有（）A ．∠∠B ．∠∠∠C ．∠∠∠D ．∠∠∠∠【答案】A【分析】根据角平分线的性质，可得CD ＝ED ，易证得∠ADC ∠∠ADE ，可得AC ＋BE ＝AB ；又由CD ＝ED ，∠ABD 和∠ACD 的高相等，所以S ∠BDE ：S ∠ACD ＝BE ：AC ．进而可以判断．【详解】解：∠正确，因为在∠ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，DE ∠AB 于E ，所以CD ＝ED ；∠错误，因为在Rt ∠BDE 中，DB ＞DE ，所以DB ≠CD ；∠正确，因为由HL 可知∠ADC ∠∠ADE ，所以AC ＝AE ，即AC ＋BE ＝AB ；∠错误，因为∠ADC ∠∠ADE ，∠DE ＝CD ，所以∠ADE 和∠ACD 面积相等，高相等都等于DE ，所以S ∠BDE ：S ∠ACD ＝BE ：AC ．故选：A ．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．3．如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝90°，AD ＝6，连接BD ，BD ∠CD ，∠ADB ＝∠C ．若P 是BC 边上一动点，则DP 长的最小值为（）A ．4B ．6C ．3D ．12【答案】B【分析】根据垂线段最短得出当DP∠BC 时，DP 的长度最小，求出∠ABD ＝∠CBD ，根据角平分线的性质得出AD ＝DP ＝6，即可得出选项．【详解】解：∠BD∠CD ，∠∠BDC ＝90°，∠∠C+∠CBD ＝90°，∠∠A ＝90°∠∠ABD+∠ADB ＝90°，∠∠ADB ＝∠C ，∠∠ABD ＝∠CBD ，当DP∠BC 时，DP 的长度最小，∠AD∠AB ，∠DP ＝AD ，∠AD ＝6，∠DP 的最小值是6，故选：B ．【点睛】本题主要考查了垂线段最短和角平分线的性质，准确计算是解题的关键．4．如图，OB 平分MON ∠，A 为OB 的中点，AE ON ⊥，垂足为点E ，3EA =，D 为OM 上的一个动点，C是DA的延长线与BC的交点，//BC OM，则CD的最小值为（）A．6B．8C．10D．12【答案】A【分析】根据两条平行线之间的距离可知当CD∠OM时，CD取最小值，利用全等三角形的判定和性质得出AC=AD=AE=3，进而解答即可．【详解】解：由题意可得，当CD∠OM时，CD取最小值，∠OB平分∠MON，AE∠ON于点E，CD∠OM，∠AD=AE=3，∠BC∠OM，∠∠DOA=∠B，∠A为OB的中点，∠AB=AO，在∠ABC与∠ADO中B DOAAB AOBAC DAO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∠∠ABC∠∠AOD（ASA），∠AC=AD=3，∠CD=AC+AD=3+3=6，故选：A．【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质、平行线之间的距离，关键是利用全等三角形的判定和性质得出AC=AD=AE=3．5．如图，AB∠CD，BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点E，且与AB互相垂直，点P为线段BC 上一动点，连接PE．若AD＝8，BC=10，则PE的最小值为（）A．8B．5C．4D．2【答案】C【分析】过E作EP∠BC于P，此时PE的值最小，求出AD∠CD，根据角平分线的性质求出AE＝DE＝PE，求出AE 的长即可．【详解】解：过E作EP∠BC于P，此时PE的值最小，∠AB∠CD，AD∠AB，∠AD∠CD，∠BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD，∠AE ＝PE ，ED ＝PE ，∠AE ＝ED ＝PE ，∠AD ＝8，∠PE ＝4，即PE 的最小值是4，故选：C ．【点睛】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、垂线段最短，解题关键是恰当的作出辅助线，找到最短线段，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．6．如图，在锐角△ABC 中，8AB =,16ABC S ∆=,BAC ∠的平分线交BC 于点D ，且AD BC ⊥,点,M N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM MN +的最小值是（）A ．4B ．5C ．6D ．8【答案】A【分析】作BH∠AC ，垂足为H ，交AD 于M′点，过M′点作M′N′∠AB ，垂足为N′，根据AD 是∠BAC 的平分线可知M′H ＝M′N′，则BM′＋M′N′为所求的最小值，最小值为BH 的长，进而即可求解．【详解】解：如图，作BH∠AC ，垂足为H ，交AD 于M′点，过M′点作M′N′∠AB ，垂足为N′，∠AD 是∠BAC 的平分线，∠M′H ＝M′N′，则BM′＋M′N′= BM′+ M′H=BH ，∠BH 是点B 到直线AC 上各个点的最短距离，∠BM MN +的最小值= BH ，∠BAC ∠的平分线交BC 于点D ，且AD BC ⊥∠∠∠BAD=∠CAD，∠ADC=∠ADB=90°，AD=AD，∠∆BAD∠∆CAD，∠AC=AB=8，∠12AC∙BH=16ABCS∆=，∠BH=4，即BM MN+的最小值是4．故选A．【点睛】本题考查的是最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，化两条线段的和的最小值为一条垂线段的长．7．下列命题中，是假命题的是（）A．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；B．每个命题都有逆命题；C．每个定理都有逆定理；D．在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．【答案】C【分析】根据全等三角形的判定，命题与定理及角平分线的判定等知识一一判断即可．【详解】解：A．两条直角边对应相等的两个直角三角形，符合两三角形的判定定理“SAS”；故本选项是正确；B、每个命题都有逆命题，所以B选项正确；C、每个定理不一定有逆定理，所以C选项错误；D、在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上，正确．故选C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，命题与定理以及角平分线的判定方法，熟练利用这些判定定理是解题关键．8．如图，OC为∠AOB的平分线，CM∠OB，COM的面积为9，OM=6，则点C到射线OA的距离为（）A．9B．6C．3D．4.5【答案】C【分析】作CN∠OA，利用面积求出CM，根据角平分线的性质定理可得CN=CM，即可得答案．【详解】解：过点C作CN∠OA，∠CM∠OB，COM的面积为9，OM=6，∠S∠COM=11OM CM=6CM=9 22⨯⨯⨯，∠CM=3，∠OC为∠AOB的平分线，CN∠OA，CM∠OB，∠CN=CM=3．故选C．【点睛】本题考查了三角形面积，角平分线的性质，角平分线上的点，到角两边的距离相等；熟练掌握角平分线的性质和面积公式是解题关键．9．如图，AE与BF交于点O，点O在CG上，根据尺规作图的痕迹，判断下列说法正确的是（）∠=∠A．BAE GCEB．点O到ABC三边的距离相等==C．AO BO CO==D．OG OE OF【答案】B【分析】根据三角形角平分线的性质：三角形三条角平分线交于一点，且到三边的距离相等可以作判断．【详解】解：根据作图痕迹可知AE和BF为∠ABC的角平分线，O为交点，根据三角形三条角平分线交于一点，且到三边的距离相等可知点O到ABC三边的距离相等，故B选项正确，符合题意，其它选项皆不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了基本作图-角的平分线、角平分线的性质，明确三角形的角平分线交于同一点，且交点到三边的距离相等．10．如图，∠ABC和∠ADE是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，BD，CE交于点F，连接AF．则下列结论不正确的是（）A．BD＝CE B．BD∠CE C．AF平分∠CAD D．∠AFE＝45°【答案】C【分析】作AM∠BD于M，AN∠EC于N，设AD交EF于O．证明∠BAD∠∠CAE，利用全等三角形的性质一一判断即可．【详解】解：如图，作AM ∠BD 于M ，AN ∠EC 于N ，设AD 交EF 于O ．∠∠BAC ＝∠DAE ＝90°，∠∠BAD ＝∠CAE ，在∠BAD 与∠CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠BAD ∠∠CAE （SAS ），∠EC ＝BD ，∠BDA ＝∠AEC ，故A 正确，∠∠DOF ＝∠AOE ，∠∠DFO ＝∠EAO ＝90°，∠BD ∠EC ，故B 正确，∠∠BAD ∠∠CAE ，AM ∠BD ，AN ∠EC ，∠AM ＝AN ，∠F A 平分∠EFB ，∠∠AFE ＝45°，故D 正确，若C 成立，则∠EAF ＝∠BAF ，∠∠AFE ＝∠AFB ，∠∠AEF ＝∠ABD ＝∠ADB ，推出AB ＝AD ，由题意知，AB 不一定等于AD ，所以AF 不一定平分∠CAD ，故C 错误，故选：C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．11．如图，在OAB 和∠OCD 中，OA OB =，OC OD =，OA OC >，40AOB COD ∠=∠=︒，连接AC ，BD 交于点M ，连接OM ．下列结论：∠AC BD =；∠40AMB ∠=︒；∠OM 平分BOC ∠；∠MO 平分BMC ∠．其中一定正确的为（）A ．∠∠∠B ．∠∠∠C ．∠∠∠D ．∠∠∠【答案】B【分析】由SAS 证明∠AOC∠∠BOD 得出∠OCA=∠ODB ，AC=BD 即可判断∠；由全等三角形的性质得出∠OAC=∠OBD ，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD ，得出∠AMB=∠AOB=40°，即可判断∠；作OG∠MC 于G ，OH∠MB 于H ，则∠OGC=∠OHD=90°，由AAS 证明∠OCG∠∠ODH （AAS ），得出OG=OH ，由角平分线的判定方法得出MO 平分∠BMC ，即可判断∠；由∠AOB=∠COD ，得出当∠DOM=∠AOM 时，OM 平分∠BOC ，假设∠DOM=∠AOM ，由∠AOC∠∠BOD 得出∠COM=∠BOM ，由MO 平分∠BMC 得出∠CMO=∠BMO ，推出∠COM∠∠BOM ，得OB=OC ，而OA=OB ，所以OA=OC 即可判断∠；【详解】∠ ∠AOB=∠COD=40°，∠∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD ，即∠AOC=∠BOD ，在∠AOC 和∠BOD 中，OA OB OC ODAOC BOD =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∠∠AOC∠∠BOD （SAS ），∠∠OCA=∠ODB ，AC=BD ，故∠正确；∠∠OAC=∠OBD ，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD ，∠∠AMB=∠AOB=40°，故∠正确；作OG∠MC于G，OH∠MB于H，如图所示：则∠OGC=∠OHD=90°，在∠OCG和∠ODH中OCA ODBOGC OHD OC OD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠ ∠OCG∠∠ODH（AAS），∠OG=OH，∠MO平分∠BMC，故∠正确；∠∠AOB=∠COD，∠当∠DOM=∠AOM时，OM平分∠BOC，假设∠DOM=∠AOM，∠∠AOC∠∠BOD∠∠COM=∠BOM，∠MO平分∠BMC∠∠CMO=∠BMO，在∠COM和∠BOM中，COM BOMOM OMCMO BMO∠∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∠∠COM∠∠BOM（ASA）∠OB=OC，∠OA=OB，∠OA=OC与OA＞OC矛盾，故∠错误；【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，角平分线的判定等知识，证明三角形全等是解题的关键；．12．如图，在四边形ABCD 中，90A BDC ∠=∠=︒，C ADB ∠=∠，点P 是BC 边上的一动点，连接DP ，若3AD =，则DP 的长不可能是（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A【分析】由三角形的内角和定理和角的和差求出∠ABD ＝∠CBD ，角平分线的性质定理得AD ＝DH ，垂线段定义证明DH 最短，求出DP 长的最小值为3，即可得到正确答案．【详解】过点D 作DH∠BC 交BC 于点H ，如图所示：∠∠A=∠BDC=90° ，又∠∠C ＋∠BDC ＋∠DBC ＝180°，∠ADB ＋∠A ＋∠ABD ＝180°，∠∠ABD ＝∠CBD ，∠BD 是∠ABC 的角平分线，又∠AD∠AB ，DH∠BC ，∠AD ＝DH ，∠DH ＝3，∠当点P 在BC 上运动时，点P 运动到与点H 重合时DP 最短，其长度为DH 长等于3，即DP 长的最小值为3，故DP 的长不可能是2，故选：A ．【点睛】本题综合考查了三角形的内角和定理，角的和差，角平分线的性质定理，垂线段的定义等知识点，重点掌握角平分线的性质定理，难点是作垂线段找线段的最小值．13．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，射线AP 交BC 于点D ，若1CD =，4AB =，则ABD △的面积是（）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】A【分析】由作图可知AD 平分∠CAB ，点D 到AB 的距离就等于DC=1，根据公式可求面积．【详解】解：由作图可知AD 平分∠CAB ，点D 到AB 的距离就等于DC ，1CD =，4AB =，所以，ABD △的面积为：141=22⨯⨯，故选：A ．【点睛】本题考查了角平分线的画法和性质，解题关键是知道AD 是角平分线，并根据角平分线的性质求出高． 14．如图，在∠ABC 中，AD 平分∠BAC ，过B 点作BE∠AD 于E ，过E 作EF //AC 交AB 于F ，则（）A ．不确定B ．AF=BFC ．AF >BFD ．AF <BF【答案】B【分析】根据角平分线的定义和两直线平行，内错角相等的性质得到FAE FEA ∠=∠，即可得到AF=EF ，再根据BE∠AD ，得到90AEB =︒∠，再根据等角的余角相等得到ABE BEF ∠=∠，根据等边对等角的性质得到BF=EF ，即可得解；【详解】∠AD 平分∠BAC ，EF //AC ，∠FAE FEA ∠=∠，∠AF=EF ，∠BE∠AD ，∠90FAE ABE ∠+=︒，90AEF BEF ∠+∠=︒，∠ABE BEF ∠=∠，∠BF=EF ，∠AF=BF ；故答案选B ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质、三角形的角平分线，准确分析证明是解题的关键．15．如图AD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥于E ，点F ，G 分别是AB ，AC 上的点，且DF DG =，ADG 与DEF 的面积分别是10和3，则ADF 的面积是（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A【分析】过点D 作DH∠AC 于H ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF=DH ，然后利用“HL”证明Rt∠DEF 和Rt∠DGH 全等，根据全等三角形的面积相等可得S ∠EDF =S ∠GDH ，然后根据S ∠ADF =S ∠ADH 列出方程求解即可．【详解】解：如图，过点D 作DH∠AC 于H ，∠AD 是∠ABC 的角平分线，DF∠AB ，DH∠AC∠DF=DH ，在Rt∠DEF 和Rt∠DGH 中，DE DG DF DH ⎧⎨⎩＝＝， ∠Rt∠DEF∠Rt∠DGH （HL ），∠S ∠EDF =S ∠GDH =3，同理Rt∠ADF∠Rt∠ADH ，∠S ∠ADF =S ∠ADH =ADG GDH △△S -S =10-3=7∠S ∠AED = =7-3=4ADF EDF SS -，故选：A ．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形并利用角平分线的性质是解题的关键．16．如图，AB∠CD ，BE 和CE 分别平分∠ABC 和∠BCD ，AD 过点E ，且AD∠AB ，点P 为线段BC 上一动点，连接PE ．若AD ＝14，则PE 的最小值为（）A ．7B ．10C ．6D ．5【答案】A【分析】当EP∠BC 时，EP 最短，根据角平分线的性质，可知EP=EA=ED=12AD ，由AD ＝14，求出即可．【详解】解：当EP∠BC 时，EP 最短，∠AB∠CD ，AD∠AB ，∠AD∠CD ，∠BE 平分∠ABC ，AE∠AB ，EP∠BC ，∠EP=EA ，同理，EP=ED ，此时，EP=12AD=12×14=7，故选A ．【点睛】本题考查了角平分线的性质和垂线段最短，熟练找到P 点位置并应用角平分线性质求EP 是解题关键． 17．如图，在ABC 中，ABC 的面积为10，4AB =，BD 平分ABC ∠，E 、F 分别为BC 、BD 上的动点，则CF EF +的最小值是（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【分析】过点C 作CM AB ⊥于点M ，交BD 于点'F ，过点'F 作''F E BC ⊥于'E ，则CM 即为CF EF +的最小值，再根据三角形的面积公式求出CM 的长，即为CF EF +的最小值．【详解】解：过点C 作CM AB ⊥于点M ，交BD 于点'F ，过点'F 作''F E BC ⊥于'E ，BD 平分ABC ∠，'MF AB ⊥于点M ，''F E BC ⊥于'E ，'''MF F E ∴=，'''''CM CF MF CF E F ∴=+=+的最小值．三角形ABC 的面积为10，4AB =， ∴14102CM ⨯⋅=，21054CM ⨯∴==．即CF EF +的最小值为5，故选：D ．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线是解题的关键．18．如图O 是ABC 内的一点，且O 到三边AB 、BC 、CA 的距离==OF OD OE ．若70A ∠=︒，则BOC ∠（）．A ．125°B ．135°C ．105°D ．100°【答案】A【分析】根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出点O 是三角形三条角平分线的交点，再根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB ，然后求出∠OBC+∠OCB ，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【详解】解：∠O 到三边AB 、BC 、CA 的距离OF=OD=OE ，∠点O 是三角形三条角平分线的交点，∠∠BAC=70°，∠∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°， ∠∠OBC+∠OCB= 12（∠ABC+∠ACB ）= 12×110°=55°，在∠OBC 中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB ）=180°-55°=125°．故选：A ．【点睛】本题考查了角平分线判定定理，三角形的内角和定理，要注意整体思想的利用．19．如图，已知16AB AC +=，点O 为ABC ∠与ACB ∠的平分线的交点，且OD BC 于D ．若4OD =，则四边形ABOC 的面积是（）A ．36B ．32C ．30D ．64【答案】B【分析】过O 作OE ∠AB 于E ，OF ∠AC 于F ，连接OA ，根据角平分线的性质求出OE ＝OD ＝OF ＝4，根据三角形的面积公式求出即可．【详解】解：过O 作OE ∠AB 于E ，OF ∠AC 于F ，连接OA ，∠点O 为∠ABC 与∠ACB 的平分线的交点，OD ∠BC 于D ，OD ＝4，∠OE ＝OD ＝4，OF ＝OD ＝4，∠AB +AC ＝16，∠四边形ABOC 的面积S ＝S ∠ABO +S ∠ACO ＝1122AB OE AC OF ⨯+⨯ ＝114422AB AC ⨯+⨯ ＝42×（AB +AC ）＝42×16 ＝32，故选：B ．【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形的面积，能根据角平分线的性质得出OD ＝OE ＝OF ＝3是解此题的关键．20．如图，OP 平分AOB ∠，PC OA ⊥于点C ，PD OB ⊥于点D ，延长CP ，DP 交OB ， OA 于点E ，F ，下列结论错误的是（）A ．PC PD =B ．OC OD = C ．CPO DPO ∠=∠D ．PC PE = 【答案】D根据角平分线的性质定理判断A 选项；证明∠OPC∠∠OPD 判断B 选项；根据∠OPC∠∠OPD 即可判断C 选项；证明∠DPE∠∠CPF 判断D 选项．【详解】∠OP 平分AOB ∠，PC OA ⊥于点C ，PD OB ⊥于点D ，∠PC=PD ，故A 选项正确；∠∠ODP=∠OCP=90︒，又∠OP=OP ，PC=PD ，∠Rt∠OPC∠Rt∠OPD ，∠OC=OD ，故B 选项正确；∠∠OPC∠∠OPD ，∠CPO DPO ∠=∠，故C 选项正确；∠∠PDE=∠PCF=90︒，PD=PC ，∠DPE=∠CPF ，∠∠DPE∠∠CPF ，∠PE=PF ，∠PF>PC ，∠PE>PC ，故D 选项错误；故选：D ．【点睛】此题考查三角形角平分线的性质定理，全等三角形的判定及性质，熟记角平分线的性质定理是解题的关键． 21．如图所示，已知AB∠CD ，BAC ∠与ACD ∠的平分线交于点O ，OE AC ⊥于点E ，且3OE cm =，则点O 到AB ，CD 的距离之和是（）A ．3cmB ．6cmC ．9cmD ．12cm【答案】B过点O作MN，MN∠AB于M，证明MN∠CD，则MN的长度是AB和CD之间的距离；然后根据角平分线的性质，分别求出OM、ON的长度，再把它们求和即可．【详解】如图，过点O作MN，MN∠AB于M，交CD于N，∠AB∠CD，∠MN∠CD，∠AO是∠BAC的平分线，OM∠AB，OE∠AC，OE＝3cm，∠OM＝OE＝3cm，∠CO是∠ACD的平分线，OE∠AC，ON∠CD，∠ON＝OE＝3cm，∠MN＝OM＋ON＝6cm，即AB与CD之间的距离是6cm，故选B【点睛】此题主要考查角平分线的性质和平行线之间的距离，解答此题的关键是要明确：∠角的平分线上的点到角的两边的距离相等，∠从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，∠平行线间的距离处处相等．22．下列命题的逆命题是假命题的是（）A．直角三角形两锐角互余B．全等三角形对应角相等C．两直线平行，同位角相等D．角平分线上的点到角两边的距离相等【答案】B【分析】先分别写出这些定理的逆命题，再进行判断即可．【详解】解：A ．直角三角形的两锐角互余的逆命题是两锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题；B ．全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题；C ．两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题；D ．角平分线上的点到角两边的距离相等的逆命题是到角两边的距离相等的点在角平分线上，是真命题．故选：B ．【点睛】此题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 23．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AD 是BAC ∠的角平分线，E 是边AB 上一点，若6CD =，则DE 的长可以是（）A ．1B ．3C ．5D ．7【答案】D【分析】过点D 作DF AB ⊥于点F ，根据角平分线的性质定理得6CD DF ==，而DE 的长一定是大于等于点D 到AB 的距离也就是DF 的长，即可得出结果．【详解】解：如图，过点D 作DF AB ⊥于点F ，∠AD 平分BAC ∠，DF AB ⊥，90C ∠=︒，∠6CD DF ==，∠DE DF ≥，∠6DE ≥，则只有D 选项符合．故选：D ．【点睛】本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质定理．24．点Р在AOB ∠的角平分线上，点Р到OA 边的距离等于5，点Q 是OB 边上的任意一点，则下列选项正确的是（）A ．5PQ >B ．5PO ≥C ． 5PQ <D ．5PO ≤ 【答案】B【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P 到OB 的距离为5，再根据垂线段最短解答．【详解】∠点P 在∠AOB 的平分线上，点P 到OA 边的距离等于5，∠点P 到OB 的距离为5，∠点Q 是OB 边上的任意一点，∠PQ≥5．故选：B ．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键． 25．如图，在Rt ABC 中，C 90∠=，AD 是BAC ∠的平分线，若AC 3=，BC 4=，则ABD ACDS :S 为( )A ．5:4B ．5:3C ．4:3D ．3:4【答案】B【分析】过D 作DF AB ⊥于F ，根据角平分线的性质得出DF ＝DC ，再根据三角形的面积公式求出ABD 和ACD 的面积，最后求出答案即可.【详解】解：过D 点作DF AB ⊥于F ,∠AD 平分CAB ∠，C 90∠=（即AC BC ⊥），∠DF CD =，设DF CD R ==，在Rt ABC 中，C 90∠=，AC 3=，BC 4=，∠AB 5=， ∠ABD 115SAB DF 5R R 222=⨯⨯=⨯⨯=，ACD 113S AC CD 3R R 222=⨯⨯=⨯⨯=， ∠ABD ACD 5S :S R 2⎛⎫= ⎪⎝⎭：3R 5:32⎛⎫= ⎪⎝⎭, 故选：B.【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形的面积，能根据角平分线的性质求出DF ＝CD 是解此题的关键. 26．如图，OB 平分∠MON ，A 为OB 的中点，AE∠ON ，EA=3，D 为OM 上的一个动点，C 是DA 延长线与BC 的交点，BC //OM ，则CD 的最小值是（）A ．6B ．8C ．10D ．12【分析】根据两条平行线之间的距离可知当CD ∠OM 时，CD 取最小值，先利用角平分线的性质得出AD =AE =3，利用全等三角形的判定和性质得出AC =AD =AE =3，进而解答即可．【详解】解：由题意得，当CD ∠OM 时，CD 取最小值，∠OB 平分∠MON ，AE ∠ON 于点E ，CD ∠OM ，∠AD =AE =3，∠BC ∠OM ，∠∠DOA =∠B ，∠A 为OB 中点，∠AB =AO ，在∠ADO 与∠ABC 中B DOA AB AO BAC DAO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∠∠ADO ∠∠ABC (SAS ),∠AC =AD =3，∠336CD AC AD =+=+=，故选A ．【点睛】此题考查角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、平行线之间的距离，关键是利用全等三角形的判定和性质得出AC =AD =AE =3．27．如图，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F ，若ABC S 12=，DF 2=，AC 3=，则AB 的长是 ( )A ．2B ．4C ．7D ．9【分析】求出DE的值，代入面积公式得出关于AB的方程，求出即可．【详解】解：∠AD平分∠BAC，DE∠AB，DF∠AC，∠DE=DF=2，∠S∠ABC=S∠ABD+S∠ACD，∠12=12×AB×DE+12×AC×DF，∠24=AB×2+3×2，∠AB=9，故选：D．【点睛】本题考查了角平分线性质，三角形的面积的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．28．如图，点O是∠ABC中∠BCA，∠ABC的平分线的交点，已知∠ABC的面积是12，周长是8，则点O到边BC的距离是（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【分析】过点O作OE∠AB于E，OF∠AC于F，连接OA，根据角平分线的性质得：OE＝OF＝OD然后根据∠ABC 的面积是12，周长是8，即可得出点O到边BC的距离．【详解】如图，过点O作OE∠AB于E，OF∠AC于F，连接OA.∠点O 是∠ABC ，∠ACB 平分线的交点，∠OE ＝OD ，OF ＝OD ，即OE ＝OF ＝OD∠S ∠ABC ＝S ∠ABO ＋S ∠BCO ＋S ∠ACO ＝12AB ·OE ＋12BC ·OD ＋12AC ·OF ＝12×OD×(AB ＋BC ＋AC )＝12×OD×8＝12OD=3故选：C【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及三角形面积求法，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，正确表示出三角形面积是解题关键．29．如图，点O 在ABC 内，且到三边的距离相等．若110BOC ∠=°，则A ∠的度数为( )A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒【答案】A【分析】由条件可知BO 、CO 平分∠ABC 和∠ACB ，利用三角形内角和可求得∠A ．【详解】解：∠点O 到ABC 三边的距离相等，∠BO 平分ABC ∠，CO 平分ACB ∠，∠ ()180A ABC ACB ∠=︒-∠+∠()=︒-∠+∠1802OBC OCB()1802180BOC=︒-⨯︒-∠()=︒-⨯-︒1802180110︒=︒．40故选A．【点睛】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线的交点到三角形三边的距离相等是解题的关键．30．如图，在∠ABC中，点E和F分别是AC，BC上一点，EF∠AB，∠BCA的平分线交AB于点D，∠MAC 是∠ABC的外角，若∠MAC＝α，∠EFC＝β，∠ADC＝γ，则α、β、γ三者间的数量关系是（）A．β＝α+γB．β＝2γ﹣αC．β＝α+2γD．β＝2α﹣2γ【答案】B【分析】根据平行线的性质得到∠B=∠EFC=β，由角平分线的定义得到∠ACB=2∠BCD，根据∠ADC是∠BDC的外角，得到∠ADC=∠B+∠BCD，由三角形外角的性质得到∠MAC=∠B+∠ACB，于是得到结果．【详解】解：∠EF∠AB，∠EFC=β，∠∠B=∠EFC=β，∠CD平分∠BCA，∠∠ACB=2∠BCD，∠∠ADC是∠BDC的外角，∠∠ADC=∠B+∠BCD，∠∠ADC=γ，∠∠BCD=γ-β，∠∠MAC是∠ABC的外角，∠∠MAC=∠B+∠ACB ，∠∠MAC=α，∠α=β+2（γ-β），∠β=2γ-α，故选：B ．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键． 31．如图，已知AE 平分∠BAC ，BE∠AE 于E ，ED∠AC ，∠BAE ＝34°，那么∠BED ＝（）A ．134°B ．124°C ．114°D ．104°【答案】B【分析】根据角平分线的性质和平行线的性质计算即可；【详解】∠AE 平分∠BAC ，∠BAE ＝34°，∠34EAC ∠=︒，∠ED∠AC ，∠18034146AED ∠=︒-︒=︒，∠BE∠AE ，∠90AEB =︒∠，∠36090146124BED ∠=︒-︒-︒=︒；故答案选B ．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和平行线的性质，结合周角的定理计算是解题的关键。

人教版数学八年级上册12.3《角的平分线的性质(1)》基础训练

角的平分线的性质第1课时角的平分线的性质根底训练知识点1 角平分线的作法1．如果要作角AOB 的平分线OC ，合理的顺序是〔〕①作射线OC ；②在OA 、OB 上分别截取OD 、OE ，使OD ＝OE ；③分别以D 、E 为圆心，大于12DE 为半径作弧，两弧在∠AOB 内交于点C.A ．①②③B ．②①③C ．②③①D ．③②①2．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如下图，那么能说明∠AOC＝∠BOC 的依据是〔〕A ．SSSB ．ASAC ．AASD ．角平分线上的点到角两边距离相等3．△ABC，用尺规作图作出∠ABC 的角平分线，保存作图痕迹，但不写作法．知识点2 角平分线的性质4．(茂名中考)如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是OC 上一点，PD ⊥OA 于点D ，PD ＝6，那么点P 到边OB 的距离为〔〕A ．6B．5C．4D．35．如下图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C，D.求证：OC＝OD.6．如图，BD平分∠ABC，DE垂直于AB于E点，△ABC的面积等于90，AB＝18，BC＝12，求DE的长．知识点3 文字命题的证明7．命题“全等三角形对应边上的高线相等〞的是________________________，结论是________________________________．8．证明：全等三角形对应边上的中线相等．参考答案1．C 2.A 3.作图略． 4.A5.证明：∵E 是∠AOB 的平分线上一点，CE ⊥OA ，ED ⊥OB ，∴EC ＝ED.在Rt △OCE 和Rt △ODE 中，⎩⎪⎨⎪⎧OE ＝OE ，EC ＝ED ， ∴Rt △OCE ≌Rt △ODE(HL)．∴OC＝OD.6.过点D 作DF⊥BC 于点F.∵BD 平分∠ABC，DE 垂直于AB 于E 点，∴DE ＝DF.∵AB＝18，BC ＝12，∴S △ABC ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×18·DE ＋12×12·DF ＝12DE ·(18＋12)＝15·DE. ∵△ABC 的面积等于90， ∴15·DE ＝90.∴DE＝6. 7.两个三角形全等这两个三角形对应边上的高线相等8.：△ABC≌△A′B′C′，AD ，A ′D ′分别是BC ，B ′C ′边上的中线．求证：AD ＝A′D′.证明：∵△ABC≌△A′B′C′， ∴AB ＝A′B′，∠B ＝∠B′，BC ＝B′C′.又∵AD，A ′D ′分别是BC ，B ′C′边上的中线，∴BD ＝12BC ，B ′D ′＝12B ′C ′. ∴BD ＝B′D′.∴△ABD≌△A′B′D′(SAS)．∴AD＝A ′D ′.。

八年级数学上册第12章《角的平分线的性质(1)》基础训练1(人教版)

12.3角的平分线的性质课时1角的平分线的性质知识点1（角的平分线的作法）1.用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图如图所示，则证明∠CAD=∠DAB的依据是（）A.SSSB.SASC.ASAD.AAS2.作∠AOB的平分线时，以O为圆心，某一长度为半径作弧，与OA，OB分别相交于C，D，然后分别以C，D为圆心，适当的长度为半径作弧，使两弧相交于一点，则这个适当的长度为（）A.大于12CD B.等于12CD C.小于12CD D.以上都不对知识点2角的平分线的性质3.[2017浙江台州中考]如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D.若PD=2，则点P到边OA的距离是（）A.1B.2C.3D.44.如图，∠B=∠D=90°，根据角平分线的性质填空.（1）若∠1=∠2，则________=________；（2）若∠3=∠4，则________=________.5.如图，AD是△ABC的角平分线，若AB=2AC，则S△ABD：S△ACD=________.6.[2017河北石家庄高邑期末]如图，已知△ABC的周长是21，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD丄BC于点D，且OD=3，则△ABC的面积是______.7.如图，AD是∠BAC的平分线，CD丄AB，垂足为F，且BD⊥A C，垂足为F，且BD=CD.求证：BE=CF.8.如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BD，AD平分∠CAB，DE丄AB于点E.求证：△BDE的周长=AB.9.如图，在Rt△ABC和Rt△BAD中，∠C=∠D=90°，AD平分∠CAB，BC平分∠ABD，AD，BC交于点O.求证：OC=OD.参考答案1.A 【解析】根据题中作图方法，可知AE=AF ，DE=DF ，AD=AD ，所以△ADE ≌△ADF(SSS)，所以∠CAD=∠DAB.故选A.2.A3.B 【解析】过点P 作PE 丄OA 于点E.∵OC 是∠AOB 的平分线，PD 丄OB ，∴PE=PD.∵PD=2，∴PE=2，∴点P 到边OA 的距离是2.故选B.4.（1）CB CD ；（2）AB AD5.2【解析】如图，过点D 作DE 丄AB 于点F ，DF 丄AC 于点F.∵AD 平分∠BAC ，∴DE=DF，∴ABD ACD S S △△=1•21•2AB DE AC DF =AB AC =2.6.31.5【解析】如图，作OE 丄AC ，OF 丄AB ，垂足分别为E ，F ，连接OA. ∵BO ，CO 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD 丄BC ，∴OD=OE=OF ，∴S △ABC = S △OBC ＋S △OAC ＋S △OAB =12OD •BC ＋12OE •AC ＋12OF •AB=12OD •(BC ＋AC ＋AB)=12×3×21=31.5.7.【解析】∵AD 是∠BAC 的平分线，DE 丄AB ，DF 丄AC ，∴DE=DF.在Rt △DBE 和Rt △DCF 中，BD=CD ，DE=DF ，∴Rt △DBE ≌Rt △DCF(BL)，∴BE=CF.8.【解析】∵AD 是∠BAC 的平分线，∠C=90°，DE 丄AB ，∴DE=DC.又AD=AD，∴Rt△ADE≌Rt△ADC（HL），∴AE=AC.∵AC=BC，∴BC=AE，∴△BDE的周长为DE＋BD＋BE=DC＋BD＋BE=BC＋BE=AE＋BE=AB.9.【解析】如图，过点O作OE丄AB于点E.∵∠C=∠D=90°，∴OC丄AC，OD丄BD.∵AD平分∠CAB，BC平分∠ABD，∴OC=OE，OD=OE，∴OC=OD.。

八年级数学上册 12.3 角的平分线的性质专题训练 (新版)新人教版

12.3 角的平分线的性质专题一利用角的平分线的性质解题1．如图，在△ABC中，AC=AB，D在BC上，若D F⊥AB，垂足为F，DG⊥AC，垂足为G，且DF=DG．求证：AD⊥BC.2．如图，已知CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC．求证：OB=OC．3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，21∠∠，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥ABBAC B∶∶于点E，AC=3 cm，求BE的长．专题二角平分线的性质在实际生活中的应用4．如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（）A．在AC、BC两边高线的交点处B．在AC、BC两边中线的交点处C．在∠A、∠B两内角平分线的交点处D．在AC、BC两边垂直平分线的交点处5．如图，要在河流的南边，公路的左侧M区处建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉A处的距离为1cm（指图上距离），则图中工厂的位置应在__________，理由是__________．6．已知：有一块三角形空地，若想在空地中找到一个点，使这个点到三边的距离相等，试找出该点．（保留作图痕迹）状元笔记【知识要点】1．角的平分线的性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等．2．角的平分线的判定角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．【温馨提示】1．到三角形三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点，不是其他线段的交点．2．到三角形三边距离相等的点不仅有内角的平分线的交点，还有相邻两外角的平分线的交点，这样的点共有4个．【方法技巧】1．利用角的平分线的性质解决问题的关键是：挖掘角的平分线上的一点到角两边的垂线段．若已知条件存在两条垂线段——直接考虑垂线段相等，若已知条件存在一条垂线段——考虑通过作辅助线补出另一条垂线段，若已知条件不存在垂线段——考虑通过作辅助线补出两条垂线段．2．利用角平分线的判定解决问题的策略是：挖掘已知图形中一点到角两边的垂线段．若已知条件存在两条垂线段——先证明两条垂线段相等，然后说明角平分线或角的关系；若已知条件存在一条垂线段——考虑通过作辅助线补出另一条垂线段，再证明两条垂线段相等；若已知条件不存在垂线段——考虑通过作辅助线补出两条垂线段后，证明两条垂线段相等．参考答案:1．证明：∵DF AB DG AC DF DG ⊥⊥=，，，∴AD 是BAC ∠的平分线，∴BAD CAD =∠∠．在ABD △和ACD △中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=（公共边）（已求）已知）AD AD DAC DAB AC AB (∴SAS)ABD ACD (△≌△．∴ADB ADC =∠∠．又∵180BDA CDA +=︒∠∠，∴90BDA =︒∠，∴AD BC ⊥．2．证明：∵AO 平分∠BAC ，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，∴OD =OE ，在Rt △BDO 和Rt △CEO 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠,,COE DOB OEOD CEO BDO ∴(ASA)BDO CEO △≌△．∴OB =OC ．3．解：∵∠C =90°，∴∠BAC +∠B =90°，又DE ⊥AB ，∴∠C =∠AED =90°，又21BAC B =∶∶∠∠，∴∠A =60°，∠B =30°，又∵AD 平分∠BAC ，DC ⊥AC ，DE ⊥AB ，∴DC =DE ，∴3AE AC ==cm ．在Rt △DAE 和Rt △DBE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠.DE DE BEDAED B DAE∴△DAE ≌△DBE （AAS ），∴3BE AE == cm ．4．C 解析：根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A 、∠B 两内角平分线的交点处．故选C ．5．∠A 的角平分线上，且距A1cm 处角平分线上的点到角两边的距离相等6．解：作两个角的平分线，交点P 就是所求作的点．。