高考数学二轮复习专练四中档大题(五)

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高考数学(文科)大二轮总复习：选修4-5 专题训练 Word版含解析

A 组(供高考题型为填空题的省份使用) 1．不等式x ＋|2x －1|<3的解集为________．解析原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1≥0，x ＋(2x －1)<3或⎩⎪⎨⎪⎧2x －1<0，x －(2x －1)<3. 解得12≤x <43或－2<x <12.所以原不等式的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－2<x <43.答案⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－2<x <432．不等式|x －1|＋|x ＋2|<5的解集为________．解析法一当x <－2时原不等式即1－x －2－x <5，解得－3<x <－2；当－2≤x ≤1时，原不等式即1－x ＋2＋x <5，因为3<5恒成立，则－2≤x ≤1；当x >1时，原不等式即x －1＋2＋x <5，解得1<x <2. 综上，原不等式的解集为{x |－3<x <2}．法二不等式|x －1|＋|x ＋2|<5的几何意义为数轴上到－2,1两个点的距离之和小于5的点组成的集合，而－2，1两个端点之间的距离为3，由于分布在－2,1以外的点到－2，1的距离在－2,1外部的距离要计算两次，而在－2,1内部的距离则只计算一次，因此只要找出－2左边到－2的距离等于5－32＝1的点－3，以及1右边到1的距离等于5－32＝1的点2，这样就得到原不等式的解集为{x |－3<x <2}．答案 {x |－3<x <2}3．已知a ，b ，c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c 的最小值为________．解析 1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立．答案 94．(2014·广州模拟)不等式|x ＋1|＋|x －2|≥a 对任意实数x 恒成立，则a 的取值范围是________．解析 ∵|x ＋1|＋|x －2|＝|x ＋1|＋|2－x |≥|x ＋1＋2－x |＝3，∴a ≤3. 答案 (－∞，3]5．使关于x 的不等式|x ＋1|＋k <x 有解的实数k 的取值范围是________．解析 |x ＋1|＋k <x ⇔k <x －|x ＋1|，又x －|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x <－1，－1，x ≥－1，∴x －|x ＋1|的最大值为－1.∴k <－1. 答案 (－∞，－1)6．(2014·湖南六校联考)如果关于x 的不等式|x －3|＋|x －4|≥a 的解集是全体实数，则a 的取值范围是______．解析令f (x )＝|x －3|＋|x －4|，则|x －3|＋|x －4|≥|x －3＋4－x |＝1，则f (x )min ＝1，故a ≤1. 答案 (－∞，1]7．若关于x 的不等式|a |≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 的取值范围是________．解析令t ＝|x ＋1|＋|x －2|，得t 的最小值为3，即有|a |≥3，解得a ≥3或a ≤－3.答案 (－∞，－3]∪[3，＋∞)8．在实数范围内，不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6的解集为________．解析原不等式可化为⎩⎨⎧x <－12，1－2x －2x －1≤6或⎩⎨⎧－12≤x ≤12，1－2x ＋2x ＋1≤6或⎩⎨⎧x >12，2x －1＋2x ＋1≤6，解得－32≤x ≤32，即原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－32≤x ≤32.答案⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－32≤x ≤32 9．(2014·江西重点盟校二次联考)若不等式||x ＋1＋|x －3|≥|m －1|恒成立，则m 的取值范围为________．解析 ∵|x ＋1|＋|x －3|≥|(x ＋1)－(x －3)|＝4， ∴不等式|x ＋1|＋|x －3|≥|m －1|恒成立，只需|m －1|≤4，即－3≤m ≤5. 答案 [－3,5]10．(2014·临沂模拟)对任意x ∈R ，|2－x |＋|3＋x |≥a 2－4a 恒成立，则a 满足________．解析 ∵|2－x |＋|3＋x |≥5，∴要使|2－x |＋|3＋x |≥a 2－4a 恒成立，即5≥a 2－4a ，解得－1≤a ≤5.答案 [－1,5]11．若不等式|3x －b |<4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b 的取值范围是________．解析 |3x －b |<4⇒b －43<x <b ＋43⇒⎩⎨⎧0≤b －43<1，3<b ＋43≤4⇒5<b <7，即b 的取值范围为(5,7)．答案 (5,7)12．(2014·西安八校联考)已知关于x 的不等式|x －1|＋|x －a |≤8的解集不是空集，则a 的最小值是________．解析 |x －1|＋|x －a |＝|x －1|＋|a －x |≥|a －1|，要使关于x 的不等式不是空集，则|a －1|≤8，∴－7≤a ≤9，即a 的最小值为－7. 答案－713．已知a ∈R ，若关于x 的方程x 2＋x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝0有实根，则a 的取值范围是________．解析 ∵二次方程x 2＋x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝0有实根，则由Δ＝1－4⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |≥0得⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |≤14，由绝对值的几何意义知0≤a ≤14. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1414．不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x >|a －5|＋1对于任一非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是________．解析 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝|x |＋1|x |≥2，所以|a －5|＋1<2，即|a －5|<1，∴4<a <6. 答案 (4,6)15．(2013·陕西卷)已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为________．解析由柯西不等式(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时“＝”成立，得(am ＋bn )(bm ＋an )≥(am ·an ＋bm ·bn )2＝mn (a ＋b )2＝2. 答案 2B 组(供高考题型为解答题的省份使用) 1．设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|. (1)解不等式f (x )>2； (2)求函数y ＝f (x )的最小值．解 (1)f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －5，x <－12，3x －3，－12≤x <4，x ＋5，x ≥4.当x <－12时，由f (x )＝－x －5>2得x <－7， ∴x <－7；当－12≤x <4时，由f (x )＝3x －3>2得x >53， ∴53<x <4；当x ≥4时，由f (x )＝x ＋5>2，得x >－3，∴x ≥4. 故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－7或x >53. (2)画出f (x )的图象如图： ∴f (x )min ＝－92.2．设a ，b ，c 为正实数，求证：1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥2 3.证明因为a ，b ，c 为正实数，由均值不等式可得1a 3＋1b 3＋1c 3≥331a 3·1b 3·1c 3，即1a 3＋1b 3＋1c 3≥3abc .所以1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥3abc ＋abc . 而3abc ＋abc ≥23abc ·abc ＝23，所以1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥2 3.3．已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立．证明法一因为a 、b 、c 均为正数，由平均值不等式得 a 2＋b 2＋c 2≥3(abc )23，① 1a ＋1b ＋1c ≥3(abc )－13，② 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥9(abc )－23.故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥3(abc )23＋9(abc )－23.又3(abc )23＋9(abc )－23≥227＝63，③ 所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc )23＝9(abc )－23时，③式等号成立．即当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原式等号成立．法二因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式得 a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac .① 同理1a 2＋1b 2＋1c 2≥1ab ＋1bc ＋1ac ，②故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥ab ＋bc ＋ac ＋31ab ＋31bc ＋31ac ≥6 3.③所以原不等式成立，当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立，当且仅当a ＝b ＝c ，(ab )2＝(bc )2＝(ac )2＝3时，③式等号成立．即当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原式等号成立． 4．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，求a 的取值范围．解 ∵a ≥xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3对任意x >0恒成立，设u ＝x ＋1x ＋3，∴只需a ≥1u 恒成立即可．∵x >0，∴u ≥5(当且仅当x ＝1时取等号)．由u ≥5，知0<1u ≤15，∴a ≥15.5．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝|x ＋1a |＋|x －a |(a ＞0)． (1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)＜5，求a 的取值范围．(1)证明由a ＞0，有f (x )＝|x ＋1a |＋|x －a |≥|x ＋1a －(x －a )|＝1a ＋a ≥2.所以f (x )≥2.(2)解 f (3)＝|3＋1a |＋|3－a |.当a ＞3时，f (3)＝a ＋1a ，由f (3)＜5得3＜a ＜5＋212. 当0＜a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ，由f (3)＜5得1＋52＜a ≤3. 综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212.6．(2014·沈阳模拟)已知关于x 的不等式|ax －2|＋|ax －a |≥2(a >0)． (1)当a ＝1时，求此不等式的解集；(2)若此不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，不等式为|x －2|＋|x －1|≥2，由绝对值的几何意义知，不等式的意义可解释为数轴上的点x 到点1、2的距离之和大于等于2. ∴x ≥52或x ≤12.∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤12或x ≥52. 注：也可用零点分段法求解． (2)∵|ax －2|＋|ax －a |≥|a －2|，∴原不等式的解集为R 等价于|a －2|≥2， ∴a ≥4或a ≤0.又a >0，∴a ≥4. ∴实数a 的取值范围是[4，＋∞)．。

2019年高考数学(理)二轮复习特色专项训练：专练四中档大题(2)及答案

高考数学精品复习资料2019.5中档大题(二)1．(20xx·浙江省温州市高三第一次适应性测试)已知{a n }是递增的等差数列，a 1＝2，a 22＝a 4＋8.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n ＋2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .2．(20xx·江西省南昌市高三第一次模拟测试)设角A ，B ，C 为△ABC 的三个内角．(1)设f (A )＝sin A ＋2sin A 2，当A 取A 0时，f (A )取极大值f (A 0)，试求A 0和f (A 0)的值； (2)当A 取A 0时，AB →·AC →＝－1，求BC 边长的最小值．3．(20xx·高考四川卷)如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ＝AC ＝2AA 1＝2，∠BAC ＝120°，D ，D 1分别是线段BC ，B 1C 1的中点，点P 是线段AD 上异于端点的点．(1)在平面ABC 内，试作出过点P 与平面A 1BC 平行的直线l ，请说明理由，并证明直线l ⊥平面ADD 1A 1；(2)设(1)中的直线l 交AC 于点Q ，求三棱锥A 1QC 1D 的体积．(锥体体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高)4．(20xx·郑州市高中毕业年级第二次质量预测)每年的三月十二日，是中国的植树节．林管部门在植树前，为保证树苗的质量，都会在植树前对树苗进行检测．现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，规定高于128厘米的树苗为“良种树苗”，测得高度如下(单位：厘米)：甲：137，121，131，120，129，119，132，123，125，133；乙：110，130，147，127，146，114，126，110，144，146.(1)根据抽测结果，画出甲、乙两种树苗高度的茎叶图，并根据你填写的茎叶图，对甲、乙两种树苗的高度作比较，写出对两种树苗高度的统计结论；(2)设抽测的10株甲种树苗高度平均值为x，将这10株树苗的高度依次输入按程序框图进行运算(如图)，问输出的S大小为多少？并说明S的统计学意义．5．(20xx·江西省南昌市高三第一次模拟测试)设正项数列{a n}的前n项和是S n，若{a n}和{S n}都是等差数列，且公差相等．(1)求{a n}的通项公式；(2)若a1，a2，a5恰为等比数列{b n}的前三项，记数列c n＝24b n（12b n－1）2，数列{c n}的前n项和为T n，求证：对任意n∈N*，都有T n<2.6．已知关于x的一元二次方程x2－2(a－2)x－b2＋16＝0.(1)若a，b是一枚骰子先后投掷两次所得到的点数，求方程有两个正实数根的概率；(2)若a∈[2，6]，b∈[0，4] ，求一元二次方程没有实数根的概率．答案：1．【解】(1)设等差数列的公差为d ，d >0.由题意得，(2＋d )2＝2＋3d ＋8，d 2＋d －6＝(d ＋3)(d －2)＝0，得d ＝2.故a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝2＋(n －1)·2＝2n ，得a n ＝2n .(2)b n ＝a n ＋2a n ＝2n ＋22n .S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝(2＋22)＋(4＋24)＋…＋(2n ＋22n )＝(2＋4＋6＋…＋2n )＋(22＋24＋…＋22n )＝（2＋2n ）·n 2＋4·（1－4n ）1－4＝n (n ＋1)＋4n ＋1－43. 2．【解】(1)f ′(A )＝cos A ＋cos A 2＝2cos 2A 2＋cos A 2－1 ＝(2cos A 2－1)(cos A 2＋1)．因为0<A <π，所以cos A 2＋1>0. 由f ′(A )>0，得cos A 2>12，所以0<A 2<π3，即0<A <2π3. 所以当A ∈(0，2π3)时，f (A )为增函数；当A ∈(2π3，π)时，f (A )为减函数．故A 0＝2π3时，f (A )取极大值f (A 0)＝f (2π3)＝332. (2)设a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边．由AB →·AC →＝－1知bc ＝2，而a ＝b 2＋c 2＋bc ≥3bc ＝6，当且仅当b ＝c ＝2时，BC 边长的最小值为 6.3．【解】(1)如图，在平面ABC 内，过点P 作直线l ∥BC .因为l 在平面A 1BC 外，BC 在平面A 1BC内，由直线与平面平行的判定定理可知，l ∥平面A 1BC .由已知AB ＝AC ，点D 是BC 的中点，所以BC ⊥AD ，则直线l ⊥AD .因为AA 1⊥平面ABC ，所以AA 1⊥直线l .又因为AD ，AA 1在平面ADD 1A 1内，且AD 与AA 1相交，所以直线l ⊥平面ADD 1A 1.(2)过点D 作DE ⊥AC 于E .因为AA 1⊥平面ABC ，所以AA 1⊥DE .又因为AC ，AA 1在平面AA 1C 1C 内，且AC 与AA 1相交，所以DE ⊥平面AA 1C 1C .由AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°，有AD ＝1，∠DAC ＝60°.在△ADE 中，DE ＝32AD ＝32. 又S △A 1QC 1＝12A 1C 1·AA 1＝1，所以VA 1QC 1D ＝VD A 1QC 1＝13DE ·S △A 1QC 1＝13×32×1＝36. 因此三棱锥A 1QC 1D 的体积是36.4．【解】(1)茎叶图如图所示：统计结论：①甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度；②甲种树苗比乙种树苗长得更整齐；③甲种树苗高度的中位数为127，乙种树苗高度的中位数为128.5；④甲种树苗的高度基本上是对称的，而且大多数集中在均值附近，乙种树苗的高度分布较为分散．(2)依题意，x ＝127，S ＝35.S 表示10株甲种树苗高度的方差，是描述树苗高度的离散程度的量．S 值越小，表示树苗长得越整齐，S 值越大，表示树苗长得越参差不齐．5．【解】(1)设{a n }的公差为d ，则S n ＝ d 2n 2＋（a 1－d 2）n ＝d 2·n ，且a 1－d 2＝0. 又d ＝d 2，所以d ＝12， a 1＝d 2＝14，a n ＝2n －14. (2)证明：易知b n ＝14×3n －1， ∴c n ＝2×3n （3n －1）2. 当n ≥2时，2×3n （3n －1）2<2×3n （3n －1）（3n －3）＝2×3 n －1（3n －1）（3n －1－1）＝13n －1－1－13n －1， ∴当n ≥2时，T n ＝32＋2×32（32－1）2＋…＋2×3n （3n －1）2≤32＋(12－132－1)＋(132－1－133－1)＋…＋(13n －1－1－13n －1)＝2－13n －1<2 ，且T 1＝32<2，故对任意n ∈N *，都有T n <2. 6．【解】(1)基本事件(a ，b )共有36个，且a ，b ∈{1，2，3，4，5，6}，方程有两个正实数根等价于a －2>0，16－b 2>0，Δ≥0，即a >2，－4<b <4，(a －2)2＋b 2≥16.设“一元二次方程有两个正实数根”为事件A ，则事件A 所包含的基本事件数为(6，1)，(6，2)，(6，3)，(5，3)共4个，故所求的概率为P (A )＝436＝19. (2)试验的全部结果构成区域Ω＝{(a ，b )|2≤a ≤6，0≤b ≤4} ，其面积为S (Ω)＝16. 设“一元二次方程无实数根”为事件B ，则构成事件B 的区域为B ＝{(a ，b )|2≤a ≤6，0≤b ≤4，(a －2)2＋b 2<16}，其面积为S (B )＝14×π×42＝4π，故所求的概率为P (B )＝4π16＝π4.。

高考数学二轮复习专练四中档大题(三)

中档大题(三)1．(2013·辽宁省五校第一联合体高三年级考试)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝a (a ≠0)，a n ＋2＝p ·a 2n ＋1a n(其中p 为非零常数，n ∈N *)． (1)判断数列{a n ＋1a n}是不是等比数列； (2)求a n .2．(2013·高考重庆卷)如图，四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝23，BC ＝CD＝2，∠ACB ＝∠ACD ＝π3. (1)求证：BD ⊥平面P AC ；(2)若侧棱PC 上的点F 满足PF ＝7FC ，求三棱锥P BDF 的体积．3．(2013·深圳市高三年级第一次调研考试)已知函数f (x )＝2sin(πx 6＋π3)(0≤x ≤5)，点A 、B 分别是函数y ＝f (x )图象上的最高点和最低点．(1)求点A 、B 的坐标以及OA →·OB →的值；(2)设点A 、B 分别在角α、β的终边上，求tan(α－2β)的值．4．(2013·河南省洛阳市高三年级统一考试)某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98)，[98，100)，[100，102)，[102，104)，[104，106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36.(1)求样本容量及样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数；(2)已知这批产品中每个产品的利润y (单位：元)与产品净重x (单位：克)的关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，96≤x <985，98≤x <1044，104≤x ≤106，求这批产品平均每个的利润．5．(2013·北京市东城区高三教学统一检测)如图，在菱形ABCD 中，MA ⊥平面ABCD ，且四边形ADNM 是平行四边形．(1)求证：AC ⊥BN ；(2)当点E 在AB 的什么位置时，使得AN ∥平面MEC ，并加以证明．6．(2013·福建省普通高中毕业班质量检查)某工业城市按照“十二五”(2011年至2015年)期间本地区主要污染物排放总量控制要求，进行减排治污．现以降低SO2的年排放量为例，原计划“十二五”期间每年的排放量都比上一年减少0.3万吨，已知该城市2011年的SO2的年排放量约为9.3万吨．(1)按原计划，“十二五”期间该城市共排放SO2约多少万吨？(2)该城市为响应“十八大”提出的建设“美丽中国”的号召，决定加大减排力度，在2012年刚好按原计划完成减排任务的条件下，自2013年起，SO2的年排放量每年比上一年减少的百分率为p，为使2020年这一年SO2的年排放量控制在6万吨以内，求p的取值范围．(参考数据：823≈0.950 5，923≈0.955 9)答案：1．【解】(1)由a n ＋2＝p ·a 2n ＋1a n ，得a n ＋2a n ＋1＝p ·a n ＋1a n . 令c n ＝a n ＋1a n，则c 1＝a ，c n ＋1＝pc n . ∵a ≠0，∴c 1≠0，c n ＋1c n＝p (非零常数)， ∴数列{a n ＋1a n}是等比数列． (2)∵数列{c n }是首项为a ，公比为p 的等比数列，∴c n ＝c 1·p n －1＝a ·p n －1，即a n ＋1a n＝ap n －1. 当n ≥2时，a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝(ap n －2)×(ap n －3)×…×(ap 0)×1＝a n －1p n 2－3n ＋2， ∵a 1满足上式，∴a n ＝a n －1p n 2－3n ＋22，n ∈N *.2．【解】(1)证明：因为BC ＝CD ，所以△BCD 为等腰三角形．又∠ACB ＝∠ACD ，所以BD ⊥AC .因为P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥BD ，从而BD 与平面P AC 内两条相交直线P A ，AC 都垂直，所以BD ⊥平面P AC .(2)三棱锥P -BCD 的底面BCD 的面积S △BCD ＝12BC ·CD ·sin ∠BCD ＝12×2×2×sin 2π3＝ 3. 由P A ⊥底面ABCD ，得V P BCD ＝13·S △BCD ·P A ＝13×3×23＝2. 由PF ＝7FC ，得三棱锥F -BCD 的高为18P A ，故V F BCD ＝13·S △BCD ·18P A ＝13×3×18×23＝14，所以V P BDF ＝V P BCD －V F BCD ＝2－14＝74. 3．【解】(1)∵0≤x ≤5，∴π3≤πx 6＋π3≤7π6， ∴－12≤sin(πx 6＋π3)≤1. 当πx 6＋π3＝π2，即x ＝1时，sin(πx 6＋π3)＝1，f (x )取得最大值2；当πx 6＋π3＝7π6，即x ＝5时，sin(πx 6＋π3)＝－12，f (x )取得最小值－1. 因此，点A 、B 的坐标分别是A (1，2)、B (5，－1)．∴OA →·OB →＝1×5＋2×(－1)＝3.(2)∵点A (1，2)、B (5，－1)分别在角α、β的终边上，∴tan α＝2，tan β＝－15，∵tan 2β＝2×（－15）1－（－15）2＝－512， ∴tan(α－2β)＝2－（－512）1＋2·（－512）＝292. 4．【解】(1)产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.300.设样本容量为n .∵样本中产品净重小于100克的个数是36，∴36n＝0.300，∴n ＝120. ∵样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.750，∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.750＝90.(2)产品净重在[96，98)，[98，104)，[104，106]内的频率分别为0.050×2＝0.100，(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.750，0.075×2＝0.150.∴其相应的频数分别为120×0.100＝12，120×0.750＝90，120×0.150＝18.∴这批产品平均每个的利润1120(12×3＋90×5＋18×4)＝4.65(元)．5．【解】(1)证明：连接BD ，则AC ⊥BD .由已知得DN ⊥平面ABCD ，因为DN ∩DB ＝D ，所以AC ⊥平面NDB .又BN ⊂平面NDB ，所以AC ⊥BN .(2)当E 为AB 的中点时，有AN ∥平面MEC .设CM 与BN 交于F ，连接EF .由已知可得四边形BCNM 是平行四边形，F 是BN 的中点，因为E 是AB 的中点，所以AN ∥EF .又EF ⊂平面MEC ，AN ⊄平面MEC ，所以AN ∥平面MEC .6．【解】(1)设“十二五”期间，该城市共排放SO 2约y 万吨，依题意，2011年至2015年SO 2的年排放量构成首项为9.3，公差为－0.3的等差数列，所以y ＝5×9.3＋5×（5－1）2×(－0.3)＝43.5(万吨)．所以按原计划“十二五”期间该城市共排放SO 2约43.5万吨．(2)由已知得，2012年的SO 2年排放量为9.3－0.3＝9(万吨)，所以2012年至2020年SO 2的年排放量构成首项为9，公比为1－p 的等比数列．由题意得9×(1－p )8<6，由于0<p <1，所以1－p <823，所以1－p <0.950 5，解得p >4.95%.所以SO 2的年排放量每年减少的百分率p 的取值范围为(4.95%，1)．。

高考数学二轮复习专练四中档大题(六)

中档大题(六)1．(2013·高考辽宁卷)设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈[0，π2]． (1)若|a |＝|b |，求x 的值； (2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．2．(2013·高考陕西卷)如图，四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 是底面中心，A 1O ⊥底面ABCD ，AB ＝AA 1＝ 2.(1)证明：平面A 1BD ∥平面CD 1B 1；(2)求三棱柱ABD -A 1B 1D 1的体积.3．(2013·广东省广州市高三年级调研测试)某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出七名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图所示，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83.(1)求x 和y 的值；(2)计算甲班七名学生成绩的方差；(3)从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．参考公式：方差s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x ＝x 1＋x 2＋…＋x n n.4．(2013·江西省南昌市高三第一次模拟测试)设正项数列{a n }的前n 项和是S n ，若{a n }和{S n }都是等差数列，且公差相等．(1)求{a n }的通项公式；(2)若a 1，a 2，a 5恰为等比数列{b n }的前三项，记数列c n ＝1log 34b n ＋1·log 34b n ＋2，数列{c n }的前n 项和为T n ，求T n .5．已知定义在区间[－π，3π2]上的函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π4对称，当x ≥π4时，f (x )＝－sin x .(1)作出y ＝f (x )的图象；(2)求y ＝f (x )的解析式；(3)若关于x 的方程f (x )＝－910有解，将方程所有解的和记为M ，结合(1)中函数图象，求M 的值．6.(2013·高考福建卷)如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，BC ＝5，DC ＝3，AD ＝4，∠P AD ＝60°.(1)当正视方向与向量AD →的方向相同时，画出四棱锥P -ABCD 的正视图(要求标出尺寸，并写出演算过程)；(2)若M 为P A 的中点，求证：DM ∥平面PBC ；(3)求三棱锥D -PBC 的体积．答案：1．【解】(1)由|a |2＝(3sin x )2＋sin 2x ＝4sin 2x ，|b |2＝cos 2x ＋sin 2x ＝1，及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.又x ∈[0，π2]，从而sin x ＝12，所以x ＝π6. (2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin(2x －π6)＋12，当x ＝π3∈[0，π2]时，sin(2x －π6)取最大值1. 所以f (x )的最大值为32. 2．【解】(1)证明：由题设知，BB 1DD 1，∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形，∴BD ∥B 1D 1.又BD ⊄平面CD 1B 1，∴BD ∥平面CD 1B 1.∵A 1D 1B 1C 1BC ，∴四边形A 1BCD 1是平行四边形，∴A 1B ∥D 1C .又A 1B ⊄平面CD 1B 1，∴A 1B ∥平面CD 1B 1.又BD ∩A 1B ＝B ，∴平面A 1BD ∥平面CD 1B 1.(2)∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O 是三棱柱ABD -A 1B 1D 1的高．又AO ＝12AC ＝1，AA 1＝2，∴A 1O ＝AA 21－OA 2＝1. 又S △ABD ＝12×2×2＝1， ∴V 三棱柱ABD -A 1B 1D 1＝S △ABD ·A 1O ＝1.3．【解】(1)∵甲班学生的平均分是85，∴92＋96＋80＋80＋x ＋85＋79＋787＝85， ∴x ＝5.∵乙班学生成绩的中位数是83，∴y ＝3.(2)甲班七名学生成绩的方差为s 2＝17[(－6)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋02＋72＋112]＝40. (3)甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为A ，B ，乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为C ，D ，E .从这五名学生中任意抽取两名学生共有10种情况：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )．其中甲班至少有一名学生共有7种情况：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )．记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生”为事件M ，则P (M )＝710. 故从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生的概率为710. 4．【解】(1)设{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n （n －1）d 2，即S n ＝d 2n 2＋（a 1－d 2）n ，由S n是等差数列得到：⎩⎨⎧a 1－d 2＝0S n ＝d 2n ，则d ＝d 2且d ＝2a 1>0，所以d ＝12，所以a 1＝d 2＝14， a n ＝14＋(n －1)·12＝2n －14. (2)由b 1＝a 1＝14，b 2＝a 2＝34，b 3＝a 5＝94，得等比数列{b n }的公比q ＝3，所以b n ＝14×3n －1 所以c n ＝1log 33n ·log 33n 1＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1， T n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1. 5．【解】(1)y ＝f (x )的图象如图所示：(2)任取x ∈[－π，π4]，则π2－x ∈[π4，3π2]，由于函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称，所以f (x )＝f (π2－x )．又当x ≥π4时，f (x )＝－sin x ，所以f (x )＝f (π2－x )＝－sin(π2－x )＝－cos x ，则f (x )＝⎩⎨⎧－cos x ，x ∈[－π，π4）－sin x ，x ∈[π4，3π2]. (3)因为－910∈[－1，－22]，所以f (x )＝－910有4个根满足x 1<x 2<π4<x 3<x 4，由对称性得，x 1＋x 2＝0，x 3＋x 4＝π，则M ＝x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝π.6．【解】图(1)(1)在梯形ABCD 中，如图(1)，过点C 作CE ⊥AB ，垂足为E .由已知得，四边形ADCE 为矩形，AE ＝CD ＝3.在Rt △BEC 中，由BC ＝5，CE ＝4，依勾股定理得BE ＝3，从而AB ＝6.又由PD ⊥平面ABCD ，得PD ⊥AD ，从而在Rt △PDA 中，由AD ＝4，∠P AD ＝60°，得PD ＝4 3.正视图如图(2)所示．图(2) 图(3)(2)证明：法一：如图(3)，取PB 的中点N ，连接MN ，CN .在△P AB 中，∵M 是P A 的中点，∴MN ∥AB ，MN ＝12AB ＝3. 又CD ∥AB ，CD ＝3，∴MN ∥CD ，MN ＝CD ，∴四边形MNCD 为平行四边形，∴DM ∥CN .又DM ⊄平面PBC ，CN ⊂平面PBC ，∴DM ∥平面PBC .法二：图(4)如图(4)，取AB 的中点E ，连接ME ，DE .在梯形ABCD 中，BE ∥CD ，且BE ＝CD ，∴四边形BCDE 为平行四边形，∴DE ∥BC .又DE ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，∴DE ∥平面PBC .又在△P AB 中，ME ∥PB ，ME ⊄平面PBC ，PB ⊂平面PBC ，∴ME ∥平面PBC . 又DE ∩ME ＝E ，∴平面DME ∥平面PBC .又DM ⊂平面DME ，∴DM ∥平面PBC .(3)V D PBC ＝V P DBC ＝13S △DBC ·PD . 又S △DBC ＝6，PD ＝43，∴V D PBC ＝8 3.。

2018届高考数学(理)二轮专题复习：规范练5-2-4 含答案

大题规范练(四)(满分70分，押题冲刺，70分钟拿到主观题高分)解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．(本小题满分12分)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积S 满足S ＝12[c 2－(a －b )2]．(1)求cos C ；(2)若c ＝4，且2sin A cos C ＝sin B ，求b 的长．解：(1)由S ＝12[c 2－(a －b )2]＝12[－(a 2＋b 2－c 2)＋2ab ]＝－ab cos C ＋ab ，又S ＝12ab sin C ，于是12ab sin C ＝－ab cos C ＋ab ，即sin C ＝2(1－cos C )，结合sin 2C ＋cos 2C ＝1，可得5cos 2C －8cos C ＋3＝0，解得cos C ＝35或cos C ＝1(舍去)，故cos C ＝35.(2)由2sin A cos C ＝sin B 结合正、余弦定理，可得2·a ·a 2＋b 2－c 22ab＝b ，即(a －c )(a ＋c )＝0，解得a ＝c ，又c ＝4，所以a ＝4，由c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得42＝42＋b 2－2×4×35b ，解得b ＝245.2．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，B 1B ＝B 1A ＝AB ＝BC ，∠B 1BC ＝90°，D 为AC 的中点，AB ⊥B 1D .(1)求证：平面ABB 1A 1⊥平面ABC ；(2)求直线B 1D 与平面ACC 1A 1所成角的正弦值．解：(1)取AB 的中点O ，连接OD ，OB 1. 因为B 1B ＝B 1A ，所以OB 1⊥AB .又AB ⊥B 1D ，OB 1∩B 1D ＝B 1，所以AB ⊥平面B 1OD ，因为OD ⊂平面B 1OD ，所以AB ⊥OD .由已知，BC ⊥BB 1，又OD ∥BC ，所以OD ⊥BB 1，因为AB ∩BB 1＝B ，所以OD ⊥平面ABB 1A 1. 又OD ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ABB 1A 1.(2)由(1)知，OB ，OD ，OB 1两两垂直，以O 为坐标原点，OB →的方向为x 轴的正方向，|OB →|为单位长度1，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz .由题设知B 1(0,0，3)，D (0,1,0)，A (－1,0,0)，C (1,2,0)，C 1(0,2，3)．则B 1D →＝(0,1，－3)，AC →＝(2,2,0)，CC 1→＝(－1,0，3)．设平面ACC 1A 1的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则m ·AC →＝0，m ·CC 1→＝0，即x ＋y ＝0，－x ＋3z ＝0，可取m ＝(3，－3，1)．设直线B 1D 与平面ACC 1A 1所成角为θ，故cos 〈B 1D →，m 〉＝B 1D →·m|B 1D →|·|m |＝－217.则sin θ＝217. ∴直线B 1D 与平面ACC 1A 1所成角的正弦值为217. 3．(本小题满分12分)2017年1月6日，国务院法制办公布了《未成年人网络保护条例(送审稿)》，条例禁止未成年人在每日的0：00至8：00期间打网游，强化网上个人信息保护，对未成年人实施网络欺凌，构成犯罪的，将被依法追究刑事责任．为了解居民对实施此条例的意见，某调查机构从某社区内年龄(单位：岁)在[25,55]内的10 000名居民中随机抽取了100人，获得的所有样本数据按照年龄区间[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45)，[45,50)，[50,55]进行分组，同时对这100人的意见情况进行统计得到频率分布表．(1)完成抽取的这100人的频率分布直方图，并估计这100人的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，若从这10 000名居民中任选4人进行座谈，求至多有1人的年龄在[50,55]内的概率；(3)若按分层抽样的方法从年龄在区间[25,40)，[40,45)内的居民中共抽取10人，再从这10人中随机抽取3人进行座谈，记抽取的3人的年龄在[40,45)内的人数为X ，求X 的分布列与数学期望.分组持赞同意见的人数占本组的频率[25,30) 4 0.80 [30,35)80.80[35,40) 12 0.80 [40,45) 19 0.95 [45,50) 24 0.80 [50,55]170.85解：(1)根据题意可得年龄在[25,30)内的人数为40.80＝5，其频率为5100＝0.05；年龄在[30,35)内的人数为80.80＝10，其频率为10100＝0.1；年龄在[35,40)内的人数为120.80＝15，其频率为15100＝0.15；年龄在[40,45)内的人数为190.95＝20，其频率为20100＝0.2；年龄在[45,50)内的人数为240.80＝30，其频率为30100＝0.3；年龄在[50,55]内的人数为170.85＝20，其频率为20100＝0.2.作出频率分布直方图如图所示．根据频率分布直方图估计这100人的平均年龄为25＋302×0.05＋30＋352×0.1＋35＋402×0.15＋40＋452×0.2＋45＋502×0.3＋50＋552×0.2＝1.375＋3.25＋5.625＋8.5＋14.25＋10.5＝43.5.(2)由(1)知随机抽取的这100人中，年龄在[25,50)内的人数为80，年龄在[50,55]内的人数为20，任选1人，其年龄恰在[50,55]内的频率为20100＝15，将频率视为概率，故从这10 000名居民中任选1人，其年龄恰在[50,55]内的概率为15，设“从这10 000名居民中任选4人进行座谈，至多有1人的年龄在[50,55]内”为事件A ，则P (A )＝C 04×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－154×⎝ ⎛⎭⎪⎫150＋C 14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－153×15＝512625.(3)由(1)得年龄在[25,40)内的人数为30，年龄在[40,45)内的人数为20，则分层抽样的抽样比为30∶20＝3∶2，故从年龄在[25,40)内的居民中抽取6人，从年龄在[40,45)内的居民中抽取4人，则抽取的3人的年龄在[40,45)内的人数X 的所有可能取值为0,1,2,3，P (X ＝0)＝C 36C 04C 310＝16，P (X ＝1)＝C 26C 14C 310＝12，P (X ＝2)＝C 16C 24C 310＝310，P (X ＝3)＝C 06C 34C 310＝130.故X 的分布列为X 0 1 2 3 P16 12310130E (X )＝0×16＋1×12＋2×10＋3×30＝5.4．(本小题满分12分)设椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，右顶点为A ，B ，C 是椭圆上关于原点对称的两点(B ，C 均不在x 轴上)，线段AC 的中点为D ，且B ，F ，D 三点共线．(1)求椭圆E 的离心率；(2)设F (1,0)，过F 的直线l 交E 于M ，N 两点，直线MA ，NA 分别与直线x ＝9交于P ，Q 两点．证明：以PQ 为直径的圆过点F .解：(1)解法一：由已知A (a,0)，F (c,0)，设B (x 0，y 0)，C (－x 0，－y 0)，则D ⎝⎛⎭⎪⎫a －x 02，－y 02，∵B ，F ，D 三点共线，∴BF →∥BD →，又BF →＝(c －x 0，－y 0)，BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －3x 02，－3y 02，∴－32y 0(c －x 0)＝－y 0·a －3x 02，∴a ＝3c ，从而e ＝13.解法二：设直线BF 交AC 于点D ，连接OD ，由题意知，OD 是△CAB 的中位线， ∴OD ═∥12AB ，∴AB →∥OD →， ∴△OFD ∽△AFB .∴ca －c ＝12，解得a ＝3c ，从而e ＝13. (2)证明：∵F 的坐标为(1,0)， ∴c ＝1，从而a ＝3，∴b 2＝8. ∴椭圆E 的方程为x 29＋y 28＝1.设直线l 的方程为x ＝ny ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ny ＋1x 29＋y28＝1⇒(8n 2＋9)y 2＋16ny －64＝0，∴y 1＋y 2＝－16n 8n 2＋9，y 1y 2＝－648n 2＋9，其中M (ny 1＋1，y 1)，N (ny 2＋1，y 2)． ∴直线AM 的方程为y y 1＝x －3ny 1－2，∴P ⎝⎛⎭⎪⎫9，6y 1ny 1－2，同理Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫9，6y 2ny 2－2，从而FP →·FQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，6y 1ny 1－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫8，6y 2ny 2－2＝64＋36y 1y 2n 2y 1y 2－2n y 1＋y 2＋4＝64＋36×－648n 2＋9－64n 28n 2＋9＋32n28n 2＋9＋4 ＝64＋36×－6436＝0.∴FP ⊥FQ ，即以PQ 为直径的圆恒过点F .5．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2－x ＋a ln x (a ＞0)．(1)若a ＝1，求f (x )的图象在(1，f (1))处的切线方程； (2)讨论f (x )的单调性；(3)若f (x )存在两个极值点x 1，x 2，求证：f (x 1)＋f (x 2)＞－3－2ln 24.解：(1)a ＝1时，f (x )＝12x 2－x ＋ln x ，f ′(x )＝x －1＋1x ，f ′(1)＝1，f (1)＝－12，∴y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝x －1，即y ＝x －32.∴f (x )的图象在(1，f (1))处的切线方程为2x －2y －3＝0.(2)f ′(x )＝x －1＋a x ＝x 2－x ＋ax(a ＞0)．①若a ≥14，x 2－x ＋a ≥0，f ′(x )≥0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②若0＜a ＜14，由x 2－x ＋a ＞0得0＜x ＜1－1－4a 2或x ＞1＋1－4a 2；由x 2－x ＋a ＜0得1－1－4a 2＜x ＜1＋1－4a 2. ∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－4a 2，1＋1－4a 2上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－4a 2和⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－4a 2，＋∞上单调递增．综上，当a ≥14时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当0＜a ＜14时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－4a 2，1＋1－4a 2上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－4a 2和⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－4a 2，＋∞上单调递增．(3)由(2)知0＜a ＜14时，f (x )存在两个极值点x 1，x 2，且x 1，x 2是方程x 2－x ＋a ＝0的两个根，∴x 1＋x 2＝1，x 1·x 2＝a .∴f (x 1)＋f (x 2)＝12x 21－x 1＋a ln x 1＋12x 22－x 2＋a ln x 2＝12(x 1＋x 2)2－x 1·x 2－(x 1＋x 2)＋a ln(x 1·x 2)＝12－a －1＋a ln a ＝a ln a －a －12.令g (x )＝x ln x －x －12⎝⎛⎭⎪⎫0＜x ＜14，则g ′(x )＝ln x ＜0.∴g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14上单调递减，∴g (x )＞g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝－3－2ln 24.∴f (x 1)＋f (x 2)＞－3－2ln 24.请考生在第6、7题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 6．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φy ＝2＋2sin φ(φ为参数)．以O 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C 的普通方程；(2)直线l 的极坐标方程是2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝53，射线OM ：θ＝π6与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．解：(1)因为圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φy ＝2＋2sin φ(φ为参数)，所以圆心C 的坐标为(0,2)，半径为2，圆C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4.(2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋(y －2)2＝4，得圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.设P (ρ1，θ1)，则由⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝4sin θθ＝π6，解得ρ1＝2，θ1＝π6.设Q (ρ2，θ2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝53θ＝π6，解得ρ2＝5，θ2＝π6.所以|PQ |＝3.7．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知f (x )＝|2x －1|－|x ＋1|.(1)将f (x )的解析式写成分段函数的形式，并作出其图象；(2)若a ＋b ＝1，对∀a ，b ∈(0，＋∞)，1a ＋4b≥3f (x )恒成立，求x 的取值范围．解：(1)由已知，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2，x ＜－1－3x ，－1≤x ＜12，x －2，x ≥12作函数f (x )的图象如图所示．(2)∵a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＝1，∴1a＋4b＝⎝⎛⎭⎪⎫1a＋4b(a＋b)＝5＋⎝⎛⎭⎪⎫ba＋4ab≥5＋2ba·4ab＝9，当且仅当ba＝4ab，即a＝13，b＝23时等号成立．∴1a＋4b≥3(|2x－1|－|x＋1|)恒成立，∴|2x－1|－|x＋1|≤3，结合图象知－1≤x≤5.∴x的取值范围是[－1,5]．。

高考数学二轮复习专练四中档大题(四)

中档大题(四)1．(2013·高考陕西卷)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现组别A B C D E人数50 100 150 150 50(1)委，组别A B C D E 人数50 100 150 150 50抽取人数 6抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率.2．(2013·高考课标全国卷Ⅱ)如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．(1)证明：BC1∥平面A1CD；(2)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝22，求三棱锥C-A1DE的体积．3．(2013·河北省普通高中高三教学质量检测)已知正项数列{a n}，{b n}满足a1＝3，a2＝6，{b n}是等差数列，且对任意正整数n，都有b n，a n，b n＋1成等比数列．(1)求数列{b n}的通项公式；(2)设S n＝1a1＋1a2＋…＋1a n，试比较2S n与2－b2n＋1a n＋1的大小．4．(2013·湖北省武汉市高中毕业生调研测试)如图，已知正方形ABCD 的边长为2，AC 与BD 交于点O ，将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，得到三棱锥A -BCD .(1)求证：平面AOC ⊥平面BCD ； (2)若三棱锥A -BCD 的体积为63，且∠AOC 是钝角，求AC 的长．5．(2013·高考福建卷)某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60)、[60，70)、[70，80)、[80，90)、[90，100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附：K2＝n（ad－bc）2（6．(2013·高考福建卷)如图，在等腰直角△OPQ中，∠POQ＝90°，OP＝22，点M 在线段PQ上．(1)若OM＝5，求PM的长；(2)若点N在线段MQ上，且∠MON＝30°，问：当∠POM取何值时，△OMN的面积最小？并求出面积的最小值．答案：1．【解】(1)(2)记从A 12312号歌手；从B 组抽到的6位评委分别为b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6，其中b 1，b 2支持1号歌手，从{a 1，a 2，a 3}和{b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6}中各抽取1人的所有结果如图：由树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a 1b 1，a 1b 2，a 2b 1，a 2b 2共4种，故所求概率P ＝418＝29. 2．【解】(1)证明：连接AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点．又D 是AB 的中点，连接DF ，则BC 1∥DF .因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD .(2)因为ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AA 1⊥CD .由已知AC ＝CB ，D 为AB 的中点，所以CD ⊥AB .又AA 1∩AB ＝A ，于是CD ⊥平面ABB 1A 1.由AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22得∠ACB ＝90°，CD ＝2，A 1D ＝6，DE ＝3，A 1E ＝3，故A 1D 2＋DE 2＝A 1E 2，即DE ⊥A 1D .所以V 三棱锥C -A 1DE ＝13×12×6×3×2＝1. 3．【解】(1)∵对任意正整数n ，都有b n ，a n ，b n ＋1成等比数列，且{a n }，{b n }都为正项数列，∴a n ＝b n b n ＋1(n ∈N *)．可得a 1＝b 1b 2＝3，a 2＝b 2b 3＝6，又{b n }是等差数列，∴b 1＋b 3＝2b 2，解得b 1＝2，b 2＝322. ∴b n ＝22(n ＋1)(n ∈N *)． (2)由(1)可得a n ＝b n b n ＋1＝（n ＋1）（n ＋2）2，则1a n ＝2（n ＋1）（n ＋2）＝2(1n ＋1－1n ＋2)， ∴S n ＝2[(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n ＋1－1n ＋2)] ＝1－2n ＋2，∴2S n ＝2－4n ＋2，又2－b 2n ＋1a n ＋1＝2－n ＋2n ＋3，∴2S n －(2－b 2n ＋1a n ＋1)＝n ＋2n ＋3－4n ＋2＝n 2－8（n ＋2）（n ＋3）. ∴当n ＝1，2时，2S n <2－b 2n ＋1a n ＋1；当n ≥3时，2S n >2－b 2n ＋1a n ＋1. 4．【解】(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴BD ⊥AO ，BO ⊥CO .折起后仍有BD ⊥AO ，BD ⊥CO ，AO ∩CO ＝O ，∴BD ⊥平面AOC .∵BD ⊂平面BCD ，∴平面AOC ⊥平面BCD .(2)由(1)知BD ⊥平面AOC ，∴V A BCD ＝13S △AOC ·BD ，又V A BCD ＝63， ∴13×12OA ·OC ·sin ∠AOC ·BD ＝63，即13×12×2×2×sin ∠AOC ×22＝63， ∴sin ∠AOC ＝32， ∵∠AOC 是钝角，∴∠AOC ＝120°. 在△AOC 中，由余弦定理，得AC 2＝OA 2＋OC 2－2·OA ·OC ·cos ∠AOC＝(2)2＋(2)2－2×2×2×cos 120°＝6，∴AC ＝ 6.5．【解】(1)由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名．所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05＝3(人)，记为A 1，A 2，A 3；25周岁以下组工人有40×0.05＝2(人)，记为B 1，B 2.从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 2，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)．其中，至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)．故所求的概率P ＝710. (2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手40×0.375＝15(人)，据此可得2×2列联表如下：所以得K 2＝n （ad －bc ）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）＝100×（15×25－15×45）260×40×30×70＝2514≈1.79. 因为1.79<2.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．6．【解】(1)在△OMP 中，∠OPM ＝45°，OM ＝5，OP ＝22，由余弦定理得，OM 2＝OP 2＋MP 2－2OP ·MP ·cos 45°，得MP 2－4MP ＋3＝0，解得MP ＝1或MP ＝3.(2)设∠POM ＝α，0°≤α≤60°，在△OMP 中，由正弦定理，得OM sin ∠OPM ＝OP sin ∠OMP，所以OM ＝OP sin 45°sin （45°＋α），同理ON ＝OP sin 45°sin （75°＋α）. 故S △OMN ＝12·OM ·ON ·sin ∠MON ＝14×OP 2sin 245°sin （45°＋α）sin （75°＋α）＝1sin （45°＋α）sin （45°＋α＋30°）＝1sin （45°＋α）⎣⎡⎦⎤32sin （45°＋α）＋12cos （45°＋α）＝132sin 2（45°＋α）＋12sin （45°＋α）cos （45°＋α）＝134[1－cos （90°＋2α）]＋14sin （90°＋2α）＝134＋34sin 2α＋14cos 2α ＝134＋12sin （2α＋30°）. 因为0°≤α≤60°，30°≤2α＋30°≤150°，所以当α＝30°时，sin(2α＋30°)的最大值为1，此时△OMN 的面积取到最小值，即∠POM ＝30°时，△OMN 的面积的最小值为8－4 3.。

矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等二轮复习专题练习(五)附答案人教版高中数学高考真题汇编

8．（选修4—2：矩阵与变换）源自解：，或；或，或，．10分
【注意】每写对一个给5分．
∴ ，即，………………10分
代入得，………………12分
∴ .………………14分
评卷人
得分
二、解答题
3．
4．解：（1），则，即，所以特征值为．
当时，，所以特征向量，
当时，，所以特征向量 .…………………………………5分
（2）令，则，
解得，所以，
所以 = = .……………………10分
5．设曲线上任一点在矩阵对应的变换下的像是 ,
由 ,得
因为在圆上,所以，化简可得．
………………………………………………3分
依题意可得，或而由可得．………6分
故 , ．…………………………………………10分
6．矩阵M的特征多项式为．………………………………3分
令，从而求得对应的一个特征向量分别为
评卷人
得分
二、解答题
3．求使等式成立的矩阵M。
4．选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵．
（1）求矩阵A的特征值和特征向量；（2）若，求．
5．设曲线在矩阵对应的变换作用下得到的曲线为，求矩阵M的逆矩阵．
6．已知，计算．
7．曲线在矩阵的作用下变换为曲线，
求的方程．
8．已知曲线经过变换T变成曲线．求变换T对应的矩阵．（要求写出两个不同的矩阵）
高中数学专题复习
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2019版高中数学二轮复习：中档大题保分练4 Word版含解析

中档大题保分练(04)(满分：46分时间：50分钟)说明：本大题共4小题，其中第1题可从A 、B 两题中任选一题；第4题可从A 、B 两题中任选一题. 共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．(A)(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(a ＋2c )cos B ＋b cos A ＝0，b ＝5．(1)求角B ；(2)若△ABC 的面积为1534，求△ABC 的周长．解：(1)∵(a ＋2c )cos B ＋b cos A ＝0，由正弦定理可得：sin A cos B ＋2sin C cos B ＋sin B cos A ＝0，即cos B ＝－12，又B ∈(0，π)，则B ＝23π．(2)由△ABC 的面积为1534，∴12ac sin B ＝1534，则ac ＝15，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ，得a ＋c ＝210，则周长a ＋b ＋c ＝210＋5．1．(B)(12分)已知在等比数列{a n }中，a 1＝1，且a 1，a 2，a 3－1成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝2n －1＋a n (n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和为S n ，试比较S n 与n 2＋2n 的大小．解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1，a 2，a 3－1成等差数列，∴2a 2＝a 1＋(a 3－1)＝a 3，∴q ＝a 3a 2＝2，∴a n ＝a 1q n －1＝2n －1(n ∈N *)．(2)∵b n ＝2n －1＋a n ，∴S n ＝(1＋1)＋(3＋2)＋(5＋22)＋…＋(2n －1＋2n －1)＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋(1＋2＋22＋…＋2n －1)＝1＋(2n －1)2·n ＋1－2n 1－2＝n 2＋2n －1．因为S n －(n 2＋2n )＝－1＜0，所以S n ＜n 2＋2n ．2．(12分)某代卖店代售的某种快餐，深受广大消费者喜爱，该种快餐每份进价为8元，并以每份12元的价格销售．如果当天19：00之前卖不完，剩余的该种快餐每份以5元的价格作特价处理，且全部售完．(1)若这个代卖店每天定制15份该种快餐，求该种类型快餐当天的利润y (单位：元)关于当天需求量x (单位：份，x ∈N )的函数解析式；(2)该代卖点记录了一个月30天的每天19：00之前的销售数量该种快餐日需求量，统计数据如下：以30每天都定制15份该种快餐．①求该种快餐当天的利润不少于52元的概率； ②求这一个月该种快餐的日利润的平均数(精确到0.1)．解：(1)由题意得当x ≥15时，y ＝4×15＝60；当x ＜15时，y ＝4x －3(15－x )＝7x －45．所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧60，x ≥15，x ∈N ，7x －45，x ＜15，x ∈N .(2)由题意可得该种快餐的利润情况如下表：①该种快餐当天的利润不少于52元的概率为P ＝6＋1530＝0.7．②这一个月该种快餐的日利润的平均数为 4×39＋5×46＋6×53＋15×6030≈53.5(元)．3．(12分)如图，已知四边形ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，且P A ⊥AB ，AB ∥DC ，△P AD 是等边三角形，AB ＝AD ＝2DC ＝2，M 为PB 的中点．(1)求证：CM ∥平面P AD ； (2)求三棱锥P -ACM 的体积．(1)证明：取P A 的中点N ，连接MN ，DN . 由于M ，N 分别为PB ，P A 的中点，由题意知MN 綊12AB 綊CD ，则四边形CMND 为平行四边形，所以CM ∥DN ，又CM ⊄平面P AD ，DN ⊂平面P AD ，所以CM ∥平面P AD ．(2)解：由(1)知CM ∥DN ，△P AD 是等边三角形，所以DN ⊥P A ，因为AB ⊥AD ，且P A ⊥AB ，且AD ∩P A ＝A ，AD ⊂平面P AD ，P A ⊂平面P AD ，所以AB ⊥平面P AD ，又因为DN ⊂平面P AD ，所以DN ⊥AB ，又因为AB ∩AP ＝A ，AB ⊂平面ABP ， AP ⊂平面ABP ，则DN ⊥平面ABP ，即CM ⊥平面ABP ，CM 为三棱锥C -APM 的高， CM ＝DN ＝3，S △P AM ＝12S △P AB ＝12×12×2×2＝1，V P -ACM ＝V C -P AM ＝13S △P AM ×CM ＝33． 4．(A)(10分)选修4－4：坐标系与参数方程以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝1，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)．(1)求曲线C 1的直角坐标方程和曲线C 2的普通方程；(2)直线l ：y ＝x 与曲线C 1交于A ，B 两点，P 是曲线C 2上的动点，求△P AB 的面积的最大值．解：(1)因为曲线C 1的极坐标方程为ρ＝1，则直角坐标方程为x 2＋y 2＝1；曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，则普通方程为x 24＋y 2＝1．(2)由题意知|AB |＝2，设P (2cos φ，sin φ)，点P 到直线y ＝x 的距离为d ＝|2cos φ－sin φ|2，所以S △P AB ＝12|AB |×d ＝12×2×|2cos φ－sin φ|2＝102|sin(φ＋θ)|≤102．4．(B)(10分)选修4－5：不等式选讲(1)已知a ，b ∈R ，且|a |＜1，|b |＜1，求证：a 2b 2＋1＞a 2＋b 2．(2)若关于x 的不等式|x －1|＋2|x －2|≤m 有解，求实数m 的取值范围． (1)证明：∵a 2b 2＋1－a 2－b 2＝a 2(b 2－1)＋(1－b 2)＝(b 2－1)(a 2－1)，又a ，b ∈R ，且|a |＜1，|b |＜1， ∴a 2－1＜0，b 2－1＜0，∴(b 2－1)(a 2－1)＞0，即a 2b 2＋1＞a 2＋b 2．(2)解：|x －1|＋2|x －2|≤m 有解等价于m ≥(|x －1|＋2|x －2|)min ， |x －1|＋2|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧5－3x ，x ＜1，3－x ，1≤x ＜2，3x －5，x ≥2，由单调性知：|x －1|＋2|x －2|≥1，所以m ≥1．。

高考数学二轮复习专练二中档小题(五)

中档小题(五)1．(2013·洛阳市统一考试)在△ABC 中，D 为边BC 上任意一点，AD →＝λAB →＋μAC →，则λμ的最大值为( )A ．1 B.12C.13D.14 2．以S n 表示等差数列{a n }的前n 项和，若S 5>S 6，则下列不等关系不一定成立的是( ) A ．2a 3>3a 4 B ．5a 5>a 1＋6a 6 C ．a 5＋a 4－a 3<0 D ．a 3＋a 6＋a 12<2a 73．(2013·洛阳市统一考试)若函数f (x )＝2x －k ·2－x2x ＋k ·2－x(k 为常数)在定义域内为奇函数，则k的值为( )A ．1B ．－1C ．±1D ．0 4．(2013·高考辽宁卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则∠B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6 5．(2013·高考大纲全国卷)已知F 1(－1，0)，F 2(1，0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1B.x 23＋y 22＝1C.x 24＋y 23＝1D.x 25＋y 24＝1 6．(2013·陕西省质量检测试题)如果执行如图所示的程序框图，输入正整数N (N ≥2)和实数a 1，a 2，…，a N ，输出A ，B ，则( )A ．A ＋B 为a 1，a 2，…，a N 的和 B.12(A ＋B )为a 1，a 2，…，a N 的算术平均数 C ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a N 中的最小数和最大数 D ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a N 中的最大数和最小数7．(2013·石家庄市教学质量检测)在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为( )A.14B.13C.12D.32 8．(2013·江西省七校联考)定义在R 上的偶函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝2x ，则满足f (1－2x )<f (3)的x 的取值范围是( )A ．(－1，2)B ．(－2，1)C ．[－1，2]D ．(－2，1] 9．(2013·高考山东卷)函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )10．(2013·浙江省名校第一次联考)已知P 为双曲线C ：x 29－y 216＝1上的点，点M 满足|OM→|＝1，且OM →²PM →＝0，则当|PM →|取得最小值时的点P 到双曲线C 的渐近线的距离为( )A.95B.125 C ．4 D ．5 11．(2013·武汉市武昌区高三年级联合考试)已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则a ＋b 在a 方向上的投影为________．12．已知由样本数据点集合{(x i ，y i )|i ＝1，2，…，n }求得的回归直线方程为y ^＝1.5x ＋0.5，且x ＝3.现发现两个数据点(2.2，2.9)和(3.8，7.1)误差较大，去除后重新求得的回归直线l 的斜率为1.2，那么，当x ＝4时，y 的估计值为________．13．(2013·江西省七校联考)已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0x ＋2y －8≤0x ≤3，若(3，52)是使ax －y 取得最小值的唯一的可行解，则实数a 的取值范围为________．14．(2013·高考课标全国卷Ⅱ)设θ为第二象限角，若tan(θ＋π4)＝12，则sin θ＋cos θ＝________.备选题 1．(2013·石家庄市教学质量检测)如图是两个全等的正三角形，给定下列三个命题：①存在四棱锥，其正视图、侧视图如图；②存在三棱锥，其正视图、侧视图如图；③存在圆锥，其正视图、侧视图如图．其中真命题的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0 2．(2013·浙江省名校第一次联考)设f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数，当n ∈N *时，f (n )∈N *，且f [f (n )]＝2n ＋1，则( )A ．f (1)＝3，f (2)＝4B ．f (1)＝2，f (2)＝3C ．f (2)＝4，f (4)＝5D ．f (2)＝3，f (3)＝43．若不等式|2a －1|≤|x ＋1x|对一切非零实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为________．4．(2013·济南市高考模拟考试)下列命题正确的序号为________． ①函数y ＝ln(3－x )的定义域为(－∞，3]；②定义在[a ，b ]上的偶函数f (x )＝x 2＋(a ＋5)x ＋b 的最小值为5；③若命题p ：对∀x ∈R ，都有x 2－x ＋2≥0，则命题綈p ：∃x ∈R ，有x 2－x ＋2<0；④若a >0，b >0，a ＋b ＝4，则1a ＋1b的最小值为1.答案：1．【解析】选D.依题意得，λ＋μ＝1，λμ＝λ(1－λ)≤(λ＋1－λ2)2＝14，当且仅当λ＝1－λ，即λ＝12时取等号，因此λμ的最大值是14.2．【解析】选D.由S 5>S 6，得a 6<0，即a 1＋5d <0，选项A ，B ，C 都能化成a 1＋5d <0，所以D 错．3．【解析】选C.依题意，f (－x )＝2－x －k ·2x 2－x ＋k ·2x ＝－2x －k ·2－x 2x＋k ·2－x ，即(2－x －k ·2x )(2x ＋k ·2－x )＝(2－x ＋k ·2x )(－2x ＋k ·2－x )，∴k 2＝1，k ＝±1.4．【解析】选A.由正弦定理可得sin A sin B cos C ＋sin C ²sin B cos A ＝12sin B ，又因为sinB ≠0，所以sin A cosC ＋sin C cos A ＝12，所以sin(A ＋C )＝sin B ＝12.因为a >b ，所以∠B ＝π6.5．【解析】选C.由题意知椭圆焦点在x 轴上，且c ＝1，可设C 的方程为x 2a 2＋y2a 2－1＝1(a >1)，由过F 2且垂直于x 轴的直线被C 截得的弦长|AB |＝3，知点(1，32)必在椭圆上，代入椭圆方程化简得4a 4－17a 2＋4＝0，所以a 2＝4或a 2＝14(舍去)．故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.6．【解析】选D.由图易知，该程序框图的功能是选择A 的最大数，选择B 的最小数．7．【解析】选C.如图，设圆的半径为r ，圆心为O ，AB 为圆的一条直径，CD 为垂直AB 的一条弦，垂足为M ，若CD 为圆内接正三角形的一条边，则O 到CD 的距离为r2，设EF 为与CD 平行且到圆心O 距离为r2的弦，交直径AB 于点N ，所以当过AB 上的点且垂直AB 的弦的长度超过CD 时，该点在线段MN 上变化，所以所求概率P ＝r 2r ＝12.8．【解析】选A.依题意得，函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f (x )＝f (|x |)，不等式f (1－2x )<f (3)⇔f (|1－2x |)<f (3)⇔|1－2x |<3⇔－3<1－2x <3⇔－1<x <2.9．【解析】选D.当x ＝π2时，y ＝1>0，排除C.当x ＝－π2时，y ＝－1，排除B ；或利用y ＝x cos x ＋sin x 为奇函数，图象关于原点对称，排除B.当x ＝π时，y ＝－π<0，排除A.10．【解析】选B.由OM →²PM →＝0，得OM ⊥PM ，根据勾股定理，求|MP |的最小值可以转化为求|OP |的最小值，当|OP |取得最小值时，点P 的位置为双曲线的顶点(±3，0)，而双曲线的渐近线为4x ±3y ＝0，∴所求的距离d ＝125.11．【解析】由题意知a ＋b 在a 方向上的投影为（a ＋b ）·a |a |＝a 2＋|a |·|b |cos 60°|a |＝2.【答案】212．【解析】回归直线方程为y ^＝1.5x ＋0.5，x ＝3，故样本点的中心为(3，5)，又由于除去(2.2，2.9)和(3.8，7.1)这两个数据点后，x ，y 的值没有改变，所以样本点的中心也没有改变，设新的回归直线l 方程为y ^＝1.2x ＋b ，将样本点的中心(3，5)代入解得b ＝1.4，当x ＝4时，y 的估计值为6.2.【答案】6.213．【解析】记z ＝ax －y ，注意到当x ＝0时，y ＝－z ，即直线z ＝ax －y 在y 轴上的截距是－z .在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，满足题意的实数a 的取值范围为a <－12.【答案】(－∞，－12)14．【解析】∵tan(θ＋π4)＝12，∴1＋tan θ1－tan θ＝12，解得tan θ＝－13.∴(sin θ＋cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θ²cos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋2tan θ＋1tan 2θ＋1＝19－23＋119＋1＝25. ∵θ为第二象限角，tan θ＝－13，∴2k π＋3π4<θ<2k π＋π，∴sin θ＋cos θ<0，∴sin θ＋cos θ＝－105.【答案】－105备选题 1．【解析】选 A.对于①，存在斜高与底边长相等的正四棱锥，其正视图与侧视图是全等的正三角形．对于②，存在如图所示的三棱锥S -ABC ，底面为等腰三角形，其底边AB 的中点为D ，BC 的中点为E ，侧面SAB 上的斜高为SD ，且CB ＝AB ＝SD ＝SE ，顶点S 在底面上的射影为AC 的中点，则此三棱锥的正视图与侧视图是全等的正三角形．对于③，存在底面直径与母线长相等的圆锥，其正视图与侧视图是全等的正三角形．所以选A.2．【解析】选B.由f [f (n )]＝2n ＋1，得f [f (1)]＝3，f [f (2)]＝5，∵当n ∈N *时，f (n )∈N *，若f (1)＝3，则由f [f (1)]＝3得，f (3)＝3，与f (x ) 在(0，＋∞)上单调递增矛盾，故选项A 错；若f (2)＝4，则f (4)＝5，4<f (3)<5，与f (3)∈N *矛盾，故选项C 错；若f (2)＝3，则由f [f (2)]＝5得f (3)＝5，故选项D 错，故选项B 正确．3．【解析】|x ＋1x |＝|x |＋|1x |≥2，当且仅当|x |＝1时，|x ＋1x|min ＝2.要使不等式恒成立，只要|2a －1|≤2即可，－2≤2a －1≤2，得－12≤a ≤32.【答案】[－12，32]4．【解析】命题①中，函数的定义域是(－∞，3)，故命题①不正确；命题②中，若已知函数是偶函数，则必有a ＝－5，b ＝5，即函数f (x )＝x 2＋5，x ∈[－5，5]，其最小值为5，命题②正确；全称命题的否定是特称命题，命题③正确；命题④中，1a ＋1b ＝14(a ＋b )(1a ＋1b)＝14(2＋b a ＋a b )≥14(2＋2b a ²a b )＝1(当且仅当a ＝b ＝2时，等号成立)，命题④正确．【答案】②③④。

高三数学(理人教版)二轮复习高考大题专攻练：4版含解析

高三数学（理人教版）二轮复习高考大题专攻练：4版含解析4.数列(B组)大题集训练，练就慧眼和规范，占领高考制胜点！1.数列{an}的前n项和记为Sn，a1=t，点(an+1，Sn)在直线y=x-1上，n∈N*. 世纪金榜导学号92494440(1)当实数t为何值时，数列{an}是等比数列？并求数列{an}的通项公式.(2)若f(x)=[x]([x]表示不超过x的最大整数)，在(1)的结论下，令bn=f(log3an)+1，cn=an+，求{cn}的前n项和Tn.【解析】(1)由题意得Sn=an+1-1，所以Sn-1=an-1，两式相减得an=an+1-an，即an+1=3an，所以当n≥2时，数列{an}是等比数列，要使n≥1时，数列{an}是等比数列，则只需要=3，因为a1=a2-1，所以a2=2a1+2，所以=3，解得t=2，所以实数t=2时，数列{an}是等比数列，an=2·3n-1.(2)因为bn=f(log3an)+1=[log3(2×3n-1)]+1，因为3n-1<2×3n-1<3n，所以n-1<log3(2×3n-1)<n，所以bn=n-1+1=n，所以cn=an+=2×3n-1+=2×3n-1+，因为{an}的前n项和为=3n-1，的前n项和为(1-+-+…+-)==-，所以Tn=3n-1+-=3n--.2.已知等比数列{an}满足an+1+an=9·2n-1，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式.(2)设bn=nan，数列{bn}的前n项和为Sn，若不等式Sn>kan-1对一切n∈N*恒成立，求实数k的取值范围.【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q，。

高考数学二轮复习中档大题满分练四数列(B组)021323

中档大题满分练4.数列(B组)中档大题集训练,练就慧眼和规范,筑牢高考满分根基!1.已知数列{a n}的前n项和为S n,满足a2=1,6S n=3a n+1-1.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)设b n=a2n,数列{b n}的前n项和与积分别为R n与T n,求R n与T n.【解析】(1)因为6S n=3a n+1-1,所以6S n-1=3a n-1 (n≥2),两式相减,得6a n=3a n+1-3a n (n≥2),所以a n+1=3a n (n≥2),又a2=1,所以当n≥2时,{a n}是首项为1,公比为3的等比数列,a n=a2·3n-2=3n-2,由6a1=3a2-1得a1=,满足上式,所以通项公式为a n=3n-2 (n∈N*).(2)b n=a2n=32n-2=9n-1,得b1=1,公比为9,R n==,T n=b1·b2·b3·…·b n=1·91·92·…·9n-1=91+2+…+n-1==3n(n-1).2.已知数列{a n}的前n项和是S n,且S n+a n=1(n∈N*).数列{b n}是公差d不等于0的等差数列,且满足b1=a1,b2,b5,b14成等比数列.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式.(2)设c n=a n·b n,求数列{c n}的前n项和T n.【解析】(1)n=1时,a1+a1=1,a1=.n≥2时,S n-S n-1=(a n-1-a n),所以a n=a n-1(n≥2).{a n}是以为首项,为公比的等比数列,a n=×=2×.b1=1,又=b2b14得:(1+4d)2=(1+d)(1+13d),d2-2d=0,因为d≠0,解得d=2,b n=2n-1.(2)c n=,T n=+++…+,T n=+++…++,T n=+4-,T n=+4×-,T n=--,所以T n=2-.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

高考数学二轮复习专练四中档大题(五)

高考数学二轮复习专练四中档大题（五）中档大题(五)π1．(2021高考广东卷)已知函数f(x)＝2cos?x－?，x∈r.12π（1）问f？？价值；?3?3π3?，求f?θ－π?.(2)若cosθ＝，θ∈?，2π56??2??2、在组织2022届元旦晚会之前，学校对学生是否喜欢曲艺或舞蹈节目进行了调查，随机选取了100名学生。

相关数据如下表所示：共有401858名男生152742名女生5545100（1）如果根据性别从45名喜欢舞蹈节目的学生中随机选择5名学生，那么应该选择多少名女生？（2）从（1）中的5个学生中选择2个，找出只有1个男孩的概率3．(2021荆州市高中毕业班质量检测))如图，已知四棱锥p-abcd的底面为直角梯形，一ab∥cd，∠dab＝90°，pa⊥底面abcd，且pa＝ad＝dc＝ab＝1，m是pb的中点．二(1)求证：am＝cm；（2）如果n是PC的中点，则验证：DN‖平面AMCπ4.（2022年江南十校联考）将函数y=SiNx的图像向右移动一个单位，然后在生成的图像上移动每个单位3该点的横坐标保持不变，纵坐标延长至原始坐标的4倍。

这样，如果G（x）=f（x）cosx+3，则获得函数f（x）的图像ππ（1）转换函数asin=x（g）（ωx＋φ）＋B（其中aω>0φ的形式为∈ [-,];22π(2)若函数g(x)在[－，θ0]上的最大值为2，试求θ0的最小值．十二5．(2021深圳市高三年级第一次调研考试)一次考试中，5名学生的数学、物理成绩如下表所示：A1a2a3a4a5学生8991939597数学x（分数）87899293物理y（分数）（1）应选择五名学生中的两名参加活动，并要求至少有一名学生的物理分数高于90分；^（2）请在给定的直角坐标系中绘制它们的散点图，并找出这些数据的线性回归方程y=BX+a^参考公式：回归线方程为y=BX+A，其中b=error！，a＝y－bx。

高三数学(人教版理)二轮复习高考大题专攻练 4 Word版含解析

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高考大题专攻练
.数列(组)
大题集训练,练就慧眼和规范,占领高考制胜点!
.已知在等比数列{}中,且是和的等差中项.
()求数列{}的通项公式.
()若数列{}满足(∈*),求{}的前项和.
【解析】()设等比数列{}的公比为,
因为是和的等差中项,
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.已知数列{}的前项和为，对于任意的正整数，直线总是把圆()()平均分为两部分，各项均为正数的等比数列{}中，，且和的等差中项
是.
()求数列{}，{}的通项公式.
()若，求数列{}的前项和.
【解析】()由于总是把圆()()平均分为两部分，所以直线过圆心，所以，即，所以.
当≥时，()，经检验时也成立，所以.
等比数列{}中，由于，所以，
因为>，>，所以，
因为和的等差中项是，且，所以，
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2021-2022年高考数学二轮复习专项精练中档大题规范练四数列理

2021年高考数学二轮复习专项精练中档大题规范练四数列理1．(xx 届湖南省长沙市雅礼中学模拟)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝9，且a n ＝a n －1＋λn －1(n ≥2，n ∈N *)．(1)求λ的值及数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(－1)n (a n ＋n )，且数列{b n }的前2n 项和为S 2n ，求S 2n . 解 (1)∵a 1＝1，a 3＝9，且a n ＝a n －1＋λn －1(n ≥2，n ∈N *)， ∴a 2＝2λ，a 3＝5λ－1＝9，解得λ＝2，∴a n －a n －1＝2n －1(n ≥2，n ∈N *)，∴a n ＝(2n －1)＋(2n －3)＋…＋3＋1＝n 2n －1＋12＝n 2.(2)b n ＝(－1)n (a n ＋n )＝(－1)n (n 2＋n )，b 2n －1＋b 2n ＝－[(2n －1)2＋(2n －1)]＋[(2n )2＋2n ]＝4n ，S 2n ＝4×n n ＋12＝2n 2＋2n . 2．(xx·河北省衡水中学二模)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＋3＝a n ＋3＋2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设以2为公比的等比数列{b n }满足4log 2b n ·log 2b n ＋1＝a n ＋12n ＋11(n ∈N *)，求数列{b n －log 2b n }的前n 项和S n .解 (1)由题意知，数列{a n ＋3}是以2为首项，2为公差的等差数列， ∴a n ＋3＝2＋2(n －1)＝2n ，故a n ＝4n 2－3.(2)设等比数列{b n }的首项为b 1，则b n ＝b 1×2n －1，依题意有4log 2b n ·log 2b n ＋1＝4log 2(b 1×2n －1)·log 2(b 1×2n )＝4(log 2b 1＋n －1)(log 2b 1＋n )＝4(log 2b 1)2－4log 2b 1＋4×(2log 2b 1－1)n ＋4n 2＝4n 2＋12n ＋8，即⎩⎨⎧ 4×2log 2b 1－1＝12，4log 2b 12－4log 2b 1＝8，解得log 2b 1＝2，b 1＝4，故b n ＝4×2n －1＝2n ＋1.∵b n －log 2b n ＝2n ＋1－(n ＋1)，∴S n ＝221－2n 1－2－n 2＋n ＋12＝2n ＋2－4－n n ＋32.3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a n ＝S nn ＋2n －2，n ∈N *，且S 2＝6. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n <53. (1)解由a n ＝S n n ＋2n －2，得a 2＝S 22＋2＝5， ∴a 1＝S 2－a 2＝1. 由a n ＝S nn＋2n －2，得 S n ＝na n －2n 2＋2n ，∴S n －1＝(n －1)a n －1－2(n －1)2＋2(n －1)，n ≥2，∴a n ＝S n －S n －1＝na n －(n －1)a n －1－4n ＋4，即(n －1)a n ＝(n －1)a n －1＋4(n －1)，∴a n ＝a n －1＋4，即数列{a n }是首项为1，公差为4的等差数列，∴a n ＝1＋4(n －1)＝4n －3.(2)证明由(1)得a n ＝4n －3，则S n ＝2n 2－n .方法一 1S n ＝12n －1n ＝22n －1·2n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ，当n ＝1时，1S 1＝1<53成立，当n ≥2时，1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n＝1＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫15－16＋…＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＝1＋23＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫15－14＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫17－16＋…＋ 2⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n －2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n <1＋23＝53， ∴1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n <53. 方法二当n ＝1时，1S 1＝1<53成立，当n ＝2时，1S 1＋1S 2＝1＋16<53成立，当n ≥3时，1S n＝12n －1n <1n －1n ＝1n －1－1n ，∴1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n <1＋16＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝53－1n <53， ∴1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n <53. 4．(xx 届南京、盐城模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }，{c n }满足(n ＋1)b n ＝a n ＋1－S nn ，(n ＋2)c n ＝a n ＋1＋a n ＋22－S n n，其中n ∈N *. (1)若数列{a n }是公差为2的等差数列，求数列{c n }的通项公式；(2)若存在实数λ，使得对一切n ∈N *，有b n ≤λ≤c n ，求证：数列{a n }是等差数列．(1)解因为{a n }是公差为2的等差数列，所以a n ＝a 1＋2(n －1)，S nn＝a 1＋n －1，从而 (n ＋2)c n ＝a 1＋2n ＋a 1＋2n ＋12－(a 1＋n －1)＝n ＋2，即c n ＝1.(2)证明由(n ＋1)b n ＝a n ＋1－S nn，得n (n ＋1)b n ＝na n ＋1－S n ，(n ＋1)(n ＋2)b n ＋1＝(n ＋1)a n ＋2－S n ＋1,两式相减，并化简得a n ＋2－a n ＋1＝(n ＋2)b n ＋1－nb n .从而(n ＋2)c n ＝a n ＋1＋a n ＋22－S n n＝a n ＋1＋a n ＋22－[a n ＋1－(n ＋1)b n ]＝a n ＋2－a n ＋12＋(n ＋1)b n＝n ＋2b n ＋1－nb n2＋(n ＋1)b n＝12(n ＋2)(b n ＋b n ＋1)，因此c n ＝12(b n ＋b n ＋1)．因为对一切n ∈N *，有b n ≤λ≤c n ，所以λ≤c n ＝12(b n ＋b n ＋1)≤λ，故b n ＝λ，c n ＝λ.所以(n ＋1)λ＝a n ＋1－S nn ， ①(n ＋2)λ＝12(a n ＋1＋a n ＋2)－S n n， ②由②－①，得12(a n ＋2－a n ＋1)＝λ，即a n ＋2－a n ＋1＝2λ.故a n ＋1－a n ＝2λ(n ≥2)．又2λ＝a 2－S 11＝a 2－a 1，则a n ＋1－a n ＝2λ(n ≥1)．所以数列{a n }是等差数列．5．(xx 届天津市耀华中学模拟)各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2＝4，a 2n ＋1＝6S n ＋9n ＋1，n ∈N *，各项均为正数的等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 3＝a 2. (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若c n＝(3n－2)·b n，数列{c n}的前n项和为T n.①求T n；②若对任意n≥2，n∈N*，均有(T n－5)m≥6n2－31n＋35恒成立，求实数m的取值范围．解(1)∵a2n＋1＝6S n＋9n＋1，∴a2n＝6S n－1＋9(n－1)＋1，∴a2n＋1－a2n＝6a n＋9(n≥2)，∴a2n＋1＝(a n＋3)2.又∵数列{a n}各项均为正数，∴a n＋1＝a n＋3(n≥2)．∴数列{a n}从a2开始成等差数列，又a2＝4,42＝6a1＋9＋1，∴a1＝1，∴a2－a1＝3，∴{a n}是首项为1，公差为3的等差数列，∴a n＝3n－2.∵b1＝1，b3＝4，∴b n＝2n－1.(2)c n＝(3n－2)·2n－1，①T n＝1·20＋4·21＋…＋(3n－2)·2n－1，2T n＝1·21＋4·22＋…＋(3n－2)·2n，∴两式相减得－T n＝1＋3(21＋22＋…＋2n－1)－(3n－2)·2n＝1＋6(2n－1－1)－(3n－2)·2n，∴T n ＝(3n －5)·2n ＋5.②(3n －5)·2n ·m ≥6n 2－31n ＋35恒成立，∴m ≥6n 2－31n ＋353n －5·2n ＝3n －52n －73n －5·2n ＝2n －72n ，即m ≥2n －72n 恒成立，设k n ＝2n －72n ， k n ＋1－k n ＝2n －52n ＋1－2n －72n ＝9－2n 2n ＋1，当n ≤4时，k n ＋1>k n ，当n ≥5时，k n ＋1<k n ，∴(k n )max ＝k 5＝332，∴m ≥332.。

通用版高考数学二轮复习46分大题保分练五(文科)

46分大题保分练(五)(建议用时：40分钟) 17．(12分)(2019·长沙模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2log2an－11，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn的最小值及获得最小值时n的值．[解](1)当n＝1时，S1＝a1＝2a1－2，解得a1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2－(2an－1－2)＝2an－2an－1，因此an＝2an－1，因此{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，因此an＝2n.bn＝2log2an－11＝2log22n－11＝2n－11，因此{bn}为等差数列，n nb1＋bn＝n－9＋2n－112因此T＝22＝n－10n，因此当n＝5时，T有最小值T＝－25.n518．(1 2分)(2019·郑州模拟)如图1所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝45°，AB＝2CD＝4，点E为AB的中点．将△ADE沿DE折起，使点A抵达P的地点，获得如图2所示的四棱锥P-EBCD，点M为棱PB的中点．图1 图2求证：PD∥平面MCE；若平面PDE⊥平面EBCD，求三棱锥M-BCE的体积．[解] (1)在题图1中，1由于BE＝2AB＝CD且BE∥CD，因此四边形EBCD是平行四边形．如图，连结BD，交CE于点O，连结OM，因此点O是BD的中点，又点M为棱PB的中点，因此OM∥PD，由于PD?平面MCE，OM?平面MCE，因此PD∥平面MCE.在题图2中，由于EBCD是平行四边形，因此 DE＝BC，由于四边形ABCD是等腰梯形，因此AD＝BC，因此AD＝DE，由于∠BAD＝45°，因此AD⊥DE.因此PD⊥DE，又平面PDE⊥平面EBCD，且平面PDE∩平面EBCD＝DE，因此PD⊥平面EBCD.由(1)知OM∥PD，因此OM⊥平面EBCD，在等腰直角三角形ADE中，由于AE＝2，因此AD＝DE＝2，112因此OM＝2PD＝2AD＝2，S△BCE＝S△ADE＝1，因此V 三棱锥M-BCE＝1△BCE·＝2.3S OM619．(12分)某客户观察了一款畅销的净水器，使用寿命为十年，该款净水器为三级过滤，每一级过滤都由中心零件滤芯来实现．在使用过程中，一级滤芯需要不按期改换，此中每更换3个一级滤芯就需要改换1个二级滤芯，三级滤芯无需改换．此中一级滤芯每个200元，二级滤芯每个400元．记一台净水器在使用期内需要改换的二级滤芯的个数组成的会合为.M如图是依据100台该款净水器在十年使用期内改换的一级滤芯的个数制成的柱状图．(1)联合柱状图，写出会合M；(2)依据以上信息，求一台净水器在使用期内改换二级滤芯的花费大于1200元的概率(以100台净水器改换二级滤芯的频次取代1台净水器改换二级滤芯发生的概率)；(3)若在购置净水器的同时购置滤芯，则滤芯可享受5折优惠(使用过程中如需再购置无优惠)．假定上述100台净水器在购机的同时，每台均购置a个一级滤芯、b个二级滤芯作为备用滤芯(此中b∈M，a＋b＝14)，计算这100台净水器在使用期内购置滤芯所需总花费的平均数，并以此作为决议依照，假如客户购置净水器的同时购置备用滤芯的总数也为14，则其中一级滤芯和二级滤芯的个数应分别是多少？[解](1)由题意可知，当一级滤芯改换9,10,11个时，二级滤芯需要改换3个，当一级滤芯改换12个时，二级滤芯需要改换4个，因此M＝{3,4}．(2)由题意可知，二级滤芯改换3个，需1200元，二级滤芯改换4个，需1600元，在100台净水器中，二级滤芯需要改换3个的净水器共70台，二级滤芯需要改换4个的净水器共30台，设“一台净水器在使用期内改换二级滤芯的花费大于1200元”为事件A，30则P(A)＝100＝0.3.a＋b＝14，b∈M，①若a＝10，b＝4，则这100台净水器改换滤芯所需花费的均匀数为100×10×30＋100×10＋200×40＋100×10＋400×30＋200×4×1001002000.②若a＝11，b＝3，则这100台净水器改换滤芯所需花费的均匀数为100×11×70＋100×11＋200×30＋200×3×70＋200×3＋400×301001880.因此假如客户购置净水器的同时购置备用滤芯的总数为14，客户应当购置一级滤芯11个，二级滤芯3个．选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．假如多做，则按所做的第一题计分．22．(10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]x ＝2＋3cos α在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为(α为参数)，直线y ＝3sin αx ＝tcos βO 为极点，x 轴的正半轴l 的参数方程为(t 为参数，0≤β＜π)，以坐标原点 y ＝t sin β为极轴成立极坐标系．求曲线C 的极坐标方程；(2)已知直线l 与曲线 C 订交于， B 两点，且| |－| |＝2，求 β.AOAOB[解] (1)由曲线C 的参数方程可得一般方程为 (x －2)2＋y 2＝3，即x 2＋y 2－4x ＋1＝0，因此曲线C 的极坐标方程为 ρ2－4ρcos θ＋1＝0.(2)由直线l的参数方程可得直线l 的极坐标方程为θ＝β(ρ∈R)．由于直线l 与曲线C订交于，两点，因此设(1，β)，(2，β)(ρ1＞ρ2)，AB AρBρ联立ρ2－4ρcosθ＋1＝0，可得ρ2－4ρcosβ＋1＝0，θ＝β由于＝16cos2β－4＞0，因此cos2β＞1，4因此|OA|－|OB|＝ρ－ρ＝ρ＋ρ2ρ＝212－4ρ16cosβ－4＝2，21122π3π解得cosβ＝±2，因此β＝4或4.23．(1 0分)[选修4－5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|2x－1|.(1)解不等式 f(x)＋f(x＋1)≥4；(2)当x≠0，x∈R时，证明：f(－x)＋f 1x≥4.[解](1)不等式f(x)＋f(x＋1)≥4等价于|2x－1|＋|2x ＋1|≥4，1111等价于x＜－2或－2≤x≤2或x＞2，－4x≥42≥44x≥4，解得x≤－1或x≥1，因此原不等式的解集是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．12(2)当x≠0，x∈R时，f(－x)＋f x＝|－2x－1|＋x－1，由于|－2x－1|＋2－1≥2x＋2＝2|x|＋2≥，当且仅当x x|x|422x＋1 x－1≥02|x|＝，即x＝±1时等号成立，2|x|1因此f(－x)＋f x≥4.。

高三数学二轮复习高考大题标准练四理新人教版

高考大题标准练(四)满分60分,实战模拟,60分钟拿到高考主观题高分!1.已知函数f(x)=(sinx+cosx)2-2cos2x(x∈R).(1)求函数f(x)的周期和递增区间.(2)若函数g(x)=f(x)-m在[0,]上有两个不同的零点x1,x2,求tan(x1+x2)的值.【解析】(1)因为f(x)=(sinx+cosx)2-2cos2x=sin2x-cos2x=sin(x∈R).由2kπ-≤2x-≤2kπ+⇒kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).所以函数f(x)的周期为T=π,递增区间为(k∈Z).(2)因为g(x)=f(x)-m=0同解于f(x)=m;在直角坐标系中画出函数f(x)=sin在上的图象,由图象可知,当且仅当m∈[1,)时,方程f(x)=m在上的区间和有两个不同的解x1,x2,且x1与x2关于直线x=对称,即=,所以x1+x2=;故tan(x1+x2)=-1.2.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥底面ABCD,E是AB上一点.已知PD=,CD=4,AD=.(1)若∠ADE=,求证:CE⊥平面PDE.(2)当点A到平面PDE的距离为时,求三棱锥A-PDE的侧面积.【解析】(1)在Rt△DAE中,AD=,∠ADE=,所以AE=AD·tan∠ADE=·=1.又AB=CD=4,所以BE=3.在Rt△EBC中,BC=AD=,所以tan∠CEB==,所以∠CEB=.又∠AED=,所以∠DEC=,即CE⊥DE.因为PD⊥底面ABCD,CE⊂底面ABCD,所以PD⊥CE.又PD∩DE=D,所以CE⊥平面PDE.(2)因为PD⊥底面ABCD,PD⊂平面PDE,所以平面PDE⊥平面ABCD.过A作AF⊥DE于F,所以AF⊥平面PDE,所以AF就是点A到平面PDE的距离,即AF=.在Rt△DAE中,由AD·AE=AF·DE,得AE=·,解得AE=2.所以S△APD=PD·AD=××=,S△ADE=AD·AE=××2=,因为BA⊥AD,BA⊥PD,AD∩PD=D,所以BA⊥平面PAD,因为PA⊂平面PAD,所以BA⊥PA.在Rt△PAE中,AE=2,PA===,所以S△APE=PA·AE=××2=.所以三棱锥A-PDE的侧面积S侧=++.3.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为.以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆与直线x-y+=0相切.(1)求椭圆C的方程.(2)若斜率为k(k≠0)的直线l与x轴、椭圆C顺次相交于A，M，N(A点在椭圆右顶点的右侧)，且∠NF2F1=∠MF2A.求证直线l恒过定点，并求出斜率k的取值范围. 【解析】(1)由题意知e==，所以e2===，即a2=2b2.又因为b==1，所以a2=2，b2=1，所以椭圆方程为+y2=1.(2)由题意，设直线l的方程为y=kx+m(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2).由得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0.由Δ=16k2m2-4(2k2+1)(2m2-2)>0，得m2<2k2+1，则有x1+x2=，x1x2=.因为∠NF2F1=∠MF2A，且∠MF2A≠90°，+=0.又F2(1，0)，则+=0，即+=0，化简得2kx1x2+(m-k)(x1+x2)-2m=0.将x1+x2=，x1x2=代入上式得m=-2k，所以直线l的方程为y=kx-2k，即直线过定点(2，0).将m=-2k代入m2<2k2+1，得4k2<2k2+1，即k2<，又因为k≠0，所以直线l的斜率k的取值范围是∪.4.设函数f(x)=lnx+，m∈R.(1)当m=e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值.(2)讨论函数g(x)=f′(x)-零点的个数.【解析】(1)由题设，m=e时，f(x)=lnx+，则f′(x)=，所以当x∈(0，e)时，f′(x)<0，f(x)在(0，e)上单调递减；当x∈(e，+∞)时，f′(x)>0，f(x)在(e，+∞)上单调递增.所以x=e时，f(x)取得极小值f(e)=lne+=2，所以f(x)的极小值为2.(2)由题设g(x)=f′(x)-=--(x>0)，令g(x)=0，m=-x3+x(x>0)，设φ(x)=-x3+x(x>0)，则φ′(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1)，当x∈(0，1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0，1)上单调递增；当x∈(1，+∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(1，+∞)上单调递减.所以x=1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x=1也是φ(x)的最大值点，所以φ(x)的最大值为φ(1)=.又φ(0)=0，结合y=φ(x)的图象(如图所示)，可知①当m>时，函数g(x)无零点；②当m=时，函数g(x)有且只有一个零点；③当0<m<时，函数g(x)有两个零点；④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点.综上所述，当m>时，函数g(x)无零点；当m=或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；当0<m<时，函数g(x)有两个零点.5.椭圆E:+=1(a>b>0)的焦点到直线x-3y=0的距离为,离心率为,抛物线G:y2=2px(p>0)的焦点与椭圆E的焦点重合;斜率为k的直线l过G的焦点与E交于A,B,与G 交于C,D.(1)求椭圆E及抛物线G的方程.(2)是否存在常数λ,使+为常数,若存在,求λ的值,若不存在,说明理由.【解析】(1)设E,G的公共焦点为F(c,0),由题意是=,=.联立解得c=2,a=,b=1.所以椭圆E:+y2=1,抛物线G:y2=8x.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).直线l的方程为y=k(x-2),与椭圆E的方程联立得(1+5k2)x2-20k2x+20k2-5=0.Δ=400k4-20(5k2+1)(4k2-1)=20(k2+1)>0.x1+x2=,x1x2=|AB|=|x1-x2|==.直线l的方程为y=k(x-2),与抛物线G的方程联立得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0.x3+x4=.|CD|=x3+x4+4=.+=+=.要使+为常数,则20+λ=4,得λ=-. 故存在λ=-,使+为常数.。

高三数学(人教版理)二轮复习高考小题专攻练 4 Word版含解析

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高考小题专攻练4.数列小题强化练,练就速度和技能,掌握高考得分点!一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20=( )A.-1B.1C.3D.7【解析】选B.因为a1+a3+a5=105，即3a3=105，所以a3=35.同理可得a4=33，所以公差d=a4-a3=-2，所以a20=a4+(20-4)×d=1.2.等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1等于( )A. B.- C. D.-【解析】选 C.设等比数列{a n}的公比为q,由S3=a2+10a1得a1+a2+a3=a2+10a1,即a3=9a1,所以q2=9,又a5=a1q4=9,所以a1=.3.在等比数列{a n}中,若a4,a8是方程x2-4x+3=0的两根,则a6的值是( )A. B.- C.± D.±3【解析】选A.依题意得,a4+a8=4,a4a8=3,故a4>0,a8>0,因此a6>0(注:在一个实数等比数列中,奇数项的符号相同,偶数项的符号相同),a6==.4.等差数列{a n}中,a1>0,公差d<0,S n为其前n项和,对任意自然数n,若点(n,S n)在以下4条曲线中的某一条上,则这条曲线应是( )【解析】选C.因为S n=na1+d,所以S n=n2+n,又a1>0,公差d<0,所以点(n,S n)所在抛物线开口向下,对称轴在y轴右侧. 5.设等差数列{a n}的前n项和为S n,S m-1=-2,S m=0,S m+1=3,则m等于( )A.3B.4C.5D.6【解析】选C.由S m-1=-2,S m=0,S m+1=3,得a m=2,a m+1=3,所以d=1,因为S m=0,故ma1+d=0,故a1=-,因为a m+a m+1=5,故a m+a m+1=2a1+(2m-1)d=-(m-1)+2m-1=5,即m=5.6.已知数列{a n}的通项公式是a n=,其前n项和S n=,则项数n 等于( )A.13B.10C.9D.6【解析】选D.因为a n=1-,所以S n=+++…+=n-=n-=n-1+.因为S n=,所以n-1+==5+,所以n=6.7.下面是关于公差d>0的等差数列{a n}的四个命题:p1:数列{a n}是递增数列;p2:数列{na n}是递增数列;p3:数列是递增数列;p4:数列{a n+3nd}是递增数列.其中的真命题为( )A.p1,p2B.p3,p4C.p2,p3D.p1,p4【解析】选D.设a n=a1+(n-1)d=dn+a1-d,它是递增数列,所以p1为真命题;若a n=3n-12,则满足已知,但na n=3n2-12n并非递增数列,所以p2为假命题;若a n=n+1,则满足已知,但=1+是递减数列,所以p3为假命题;a n+3nd=4dn+a1-d,它是递增数列,所以p4为真命题.8.在等差数列{a n}中,满足3a4=7a7,且a1>0,S n是数列{a n}前n项的和,若S n取得最大值,则n= ( )A.7B.8C.9D.10【解析】选C.设公差为d,由题设3(a1+3d)=7(a1+6d),所以d=-a1<0.解不等式a n>0,即a1+(n-1)>0,所以n<,则n≤9,当n≤9时,a n>0,同理可得n≥10时,a n<0.故当n=9时,S n取得最大值.9.已知函数f(x)是定义在R上的单调增函数且为奇函数,数列{a n}是等差数列,a1009>0,则f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a2016)+f(a2017)的值( )A.恒为正数B.恒为负数C.恒为0D.可正可负【解析】选A.因为{a n}是等差数列,所以a1+a2017=a2+a2016=…=2a1009>0,得a1>-a2017,a2>-a2016,…,又f(x)是定义在R上的单调增函数,且f(-x)=-f(x),所以f(a1)>-f(a2017),即f(a1)+f(a2017)>0,同理,f(a2)+f(a2016)>0,…,所以f(a1)+f(a2)+…+f(a2016)+f(a2017)的值恒为正数.10.已知数列{a n}的通项公式为a n=(-1)n(2n-1)·cos+1(n∈N*),其前n项和为S n,则S60= ( )A.-30B.-60C.90D.120【解析】选D.由题意可得,当n=4k-3(k∈N*)时,a n=a4k-3=1;当n=4k-2(k ∈N*)时,a n=a4k-2=6-8k;当n=4k-1(k∈N*)时,a n=a4k-1=1;当n=4k(k∈N*)时,a n==8k.所以a4k-3+a4k-2+a4k-1+=8,所以S60=8×15=120.11.已知f(x)=x+1,g(x)=2x+1,数列{a n}满足a1=1,a n+1=则a2016= ( )A.22016-2016B.21007-2016C.22016-2D.21009-2【解析】选D.a2n+2=a2n+1+1=(2+1)+1=2+2.即a2n+2+2=2(+2),所以{+2}是以2为公比,a2+2=4为首项的等比数列.所以+2=4×2n-1=2n+1.所以=2n+1-2.所以a2016=21009-2.12.设函数f1(x)=x,f2(x)=log2016x,a i=(i=1,2,…,2016),记I k=|f k(a2)-f k(a1)|+|f k(a3)-f k(a2)|+…+|f k(a2016)-f k(a2015)|,k=1,2,则( )A.I1<I2B.I1=I2C.I1>I2D.I1与I2的大小关系无法确定【解析】选A.依题意知,f1(a i+1)-f1(a i)=a i+1-a i=-=, 因此I1=|f1(a2)-f1(a1)|+|f1(a3)-f1(a2)|+…+|f1(a2016)-f1(a2015)|=.因为f2(a i+1)-f2(a i)=l og2016a i+1-l og2016a i=l og2016-l og2016>0,所以I2=|f2(a2)-f2(a1)|+|f2(a3)-f2(a2)|+…+|f2(a2016)-f2(a2015)|=+(l og2016-l og2016)+…+=l og2016-l og2016=1,因此I1<I2.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.在等差数列{a n}中,已知l og2(a5+a9)=3,则等差数列{a n}的前13项的和S13=________.【解析】因为l og2(a5+a9)=3,所以a5+a9=23=8.所以S13====52.答案:5214.已知等差数列{a n}中,a1,a99是函数f(x)=x2-10x+16的两个零点,则a50+a20+a80=________.【解析】依题意a1+a99=10,所以a50=5.所以a50+a20+a80=a50+2a50=.答案:15.数列{a n}的通项公式a n=,若{a n}的前n项和为24,则n=________.【解析】a n==-.所以(-1)+(-)+…+(-)=24,所以=25,所以n=624.答案:62416.对正整数n，设曲线y=x n(1-x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为a n，则的前n项和是________.【解析】曲线y=x n(1-x)=x n-x n+1，曲线导数为y′=nx n-1-(n+1)x n，所以切线斜率为k=n2n-1-(n+1)2n=-(n+2)2n-1，切点为(2，-2n)，所以切线方程为y+2n=-(n+2)2n-1(x-2)，令x=0得，y+2n=(n+2)2n，即y=(n+1)2n，所以a n=(n+1)2n，所以=2n，所以数列是以2为首项，q=2为公比的等比数列，所以S n==2n+1-2.答案：2n+1-2关闭Word文档返回原板块。

新高考新教材高考数学二轮复习中低档大题规范练4pptx课件

26 =5.
3
2
39×
=
2
2
2
(方法二)由余弦定理,得 b +c -2bccos A=a ,即 4+c
整理得 c2+2c-35=0,解得 c=5 或 c=-7(舍去).
1 2 3 4
2

-2×2c×(-2)=39,
(3)∵C 为锐角,∴cos C=
∴sin(B-C)=sin Bcos C-cos Bsin
规范练4
1.(10分)(2023天津,16)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知
a= 39 ,b=2,∠A=120°.
(1)求sin B的值;
(2)求c的值;
(3)求sin(B-C)的值.
1 2 3 4
解

(1)由已知及正弦定理,得
sin
∴sin
sin
B=

=
2×
3
2 = 13.
P(X=3.5)=(0.020+0.025)×10=0.45,
P(X=5.5)=(0.023+0.017)×10=0.4,
所以随机变量X的分布列为
X
1.5
3.5
P
0.15
0.45
所以E(X)=1.5×0.15+3.5×0.45+5.5×0.4=4,
故每件产品的平均销售利润为4元.
1 2 3 4
5.5
=

,∵a=
sin
39,b=2,∠A=120°,
13
39
(2)(方法一)由(1)及已知,
2 39
得 cos B=
=
,sin C=sin(180°-120°-B)