辽宁省沈阳市东北育才学校2018届高三第三次模拟考试数学(理)试题含答案

2017-2018学年东北育才学校高三第三次模拟考试

数学（理科）试卷

答题时间：120分钟 满分：150分

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合{}1,2,3,4A =，

{

}

|==

∈B x x n A ，则=A B （ ）

A. {}1,2

B. {}1,4

C. {}2,3

D. {}9,16

2.若复数12,z z 在复平面内对应的点关于y 轴对称，且11=-z i ，则复数12z

z 在复平面内对应的点在

（ ） A.第一象限

B.第二象限

C.实轴上

D.虚轴上

3. 角α

的终边与单位圆交于点(,则cos 2α=（ ） A ．15

B ．15

-

C. 35 D ．3

5-

4．在ABC ∆中，若4AB AC AP += ，则CP

＝（ ）

A .3144A

B A

C - B ．3144AB AC -+ C ．1344AB AC -

D ．1344

AB AC -+

5.已知{}n a 为等差数列，39227+=a a ，则{}n a 的前9项和9S =（ ） A ．9 B ．17 C ．72 D ．81

6.若变量x ，y 满足约束条件211y x x y y ≤⎧⎪

+≤⎨⎪≥-⎩

，则4x y +的最大值是（ ）

A.2 B ．7 C.9 D ．13

7．命题“2-=m ”是命题“直线0422=+-+m my x 与直线022=+-+m y mx 平行”的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．即不充分也不必要条件 8. 函数()sin()(0,0,0)2

f x A x A π

ωϕωϕ=+>><<

的部分图象如图所示，则(0)f 的值是（ ）

A.

23 B.43 C.26 D.4

6 9.已知圆C 的方程为2220x x y -+=，直线:220l kx y k -+-=与圆C 交于B A ,两点，则当

ABC ∆面积最大时，直线l 的斜率k =（ ）

A.1

B.6

C.1或7

D. 2或6 10. 己知曲线32

11()332

f x x x ax =

-++上存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，

则实数a 的取值范围为 （ ） A. 13(3,

)4 B.1334（，] C. 134∞（-，] D. 13

4

∞（-，）

11. 已知函数()()y f x x R =∈是奇函数且当()0,x ∈+∞时是减函数，若()10f =，则函数

()|ln |||y f x =的零点共有．．．． （ ） A. 3个 B.4个 C. 5个 D.6个

12. 设B A 、分别为双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的左、右顶点，P 是双曲线上不同于B

A 、的一点，设直线BP AP 、的斜率分别为n m 、， 则

||ln 2||ln 221

4n m mn

b a a b ++++取得最小值时，双曲线的离心率为（ ） A ．5 B ．6 C ．

25 D ．2

6 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13.设等比数列

{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，415S =，则6S =

14. 抛物线28y x =的焦点为F ，点(6,3)A ，P 为抛物线上一点，且P 不在直线AF 上，则PAF ∆周长的最小值为

15. 已知平面向量c b a ,,满足：5||||==b a ，0=⋅b a ，3

2,π

>=--

则b a -与b c

-的夹角正弦值为

16.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，令()()()1009=--+F x x b f x b ，若实数b

满足是

2=+b a c ，则()()F a F c += ．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）

已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且12n n a S +=+对一切正整数n 恒成立. （Ⅰ）求当1a 为何值时,数列{}n a 是等比数列,并求出它的通项公式；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，记数列1(1)(1)

n

n n n a b a a +=++的前n 项和为n T ，求n T .

18. （本小题满分12分）

已知ABC ∆三个内角 C B A ,,的对边分别为c b a ,,，ABC ∆的面积S

满足

222S a b c =+-． （Ⅰ）求角C 的值；

（Ⅱ）求cos 2cos()A A B +-的取值范围．

19. （本小题满分12分）

如图，四面体ABCD 中，O 是BD 的中点，ABD ∆和BCD ∆

均为等边三角形，2AB =，AC =． （Ⅰ）求证：AO ⊥平面BCD ；

（Ⅱ）求直线AB 与平面ACD 所成角的正弦值． 20. （本小题满分12分）

随着支付宝、微信等支付方式的上线，越来越多的商业场景可以实现手机支付．为了解各年龄

层的人使用手机支付的情况，随机调查50次商业行为，并把调查结果制成下表：

(Ⅰ)若从年龄在 [55，65）的被调查者中随机选取2人进行调查，记选中的2人中使用手机支付的人数为X ，求X 的分布列及数学期望；

(Ⅱ)把年龄在 [15，45）称为中青年，年龄在[45，75）称为中老年，请根据上表完2×2列联表，

是否有95%以上的把握判断使用手机支付与年龄（中青年、中老年）有关联？

可能用到的公式：2

2

(),()()()()

n ad bc k n a b c d a b c d a c b d -==+++++++

独立性检验临界值表：

21. （本小题满分12分）

已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为2

3

，且短轴长为2.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）已知B A 、分别为椭圆的左右顶点，),1(m M ,0(≠m ，且)2

3

±

≠m ,直线AM 与BM 分别与椭圆交于F E 、两点，

（i ）用m 表示点F E 、的纵坐标；

（ii ）若AMF ∆面积是BME ∆面积的5倍，求m 的值．

22. （本小题满分12分）

已知函数x e x x f x

+-=)1()(2

．

（Ⅰ）求)(x f 在⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-

1,41上的最小值； （Ⅱ）若x ae x f x g x

--=)()(，当)(x g 有两个极值点)(,2121x x x x <时，总有

)1)(2()(212++≤x e x t x eg ，求此时实数t 的值．

A

B

C

D

O