2020届高三文科数学精准培优专练：离心率(附解析)
2020高中数学圆锥曲线中的离心率问题(含答案解析版)
2019-2020学年百强名校好题汇编高一数学（选修2-1）专题06 圆锥曲线中的离心率问题一、选择题1．（贵州省铜仁市思南中学2018-2019学年高二上学期第二次月考）已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12π3F PF ，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则121e e 的最大值是（ ）A ． 3B ．433C ． 2D ．2332．（黑龙江省大庆实验中学2018-2019学年高二上学期期中考试）已知 1,0F c ， 2,0F c 是椭圆 2222:10x y C a b a b的左、右焦点，若椭圆上存在一点P 使得212PF PF c ，则椭圆的离心率的取值范围为 （ ）A ． 3533 ，B ．3232 ，C ．331,2D ． 2123．（黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2018-2019学年高二上学期第一次月考）已知椭圆 2222:10x y C a b a b的右顶点为A ，点P 在椭圆上，O 为坐标原点，且90OPA ，则椭圆的离心率的取值范围为 （ ）A ． 32B ． 212C ．202，D ． 302，4．（重庆市綦江区南州中学高2019届高二下第三学月考）已知12F F 分别是椭圆的左，右焦点，现以2F 为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M N ，，若过1F 的直线1MF 是圆2F 的切线，则椭圆的离心率为（ ） A ． 32B ． 23C ．22D ． 315．设椭圆 2222:10x y C a b a b 的左、右焦点分别为12,F F ，P 是椭圆上一点，12PF PF 122，12π2F PF，则椭圆离心率的取值范围为 （ ）A ． 202，B ． 2523，C ． 2533，D ． 5136．（湖北武汉华中师范大学第一附属中学2018-2019学年高二上学期期中）如图，12F F 、是椭圆1C 与等轴双曲线2C 的公共焦点，A B 、分别是12C C 、在第二、四象限的公共点．若四边形12AF BF 为矩形，则椭圆1C 离心率是（ ）A ．63 B ． 33 C ．23D ．137．（广西南宁市第三中学2018-2019学年高二上学期期中）已知12F F ，是双曲线 2222:10,0x y C a b a b的左右焦点，若直线3y x 与双曲线C 交于,P Q 两点，且四边形12F PF Q 是矩形，则双曲线的离心率为 （ ） A ．55 B ． 525 C ． 31 D ． 218．（青海省西宁市第四高级中学2017-2018学年高二上学期期末）设椭圆 2222:10x y C a b a b的左、右焦点分别为12F F ，，P 是C 上的点，212PF F F ，1230PF F ＝，则C 的离心率为 （ ）A ． 33B ．13C ．12D ．369．（黑龙江省鹤岗市第一中学2018-2019学年高二上学期期中）已知双曲线 2222:10,0x y C a b a b过点 3,6P 的直线L 与C 相交于A B ，两点，且AB 的中点为 12,15Q ，则双曲线C 的离心率为 （ ）A ． 2B ．32C ．35D ．510．（黑龙江省牡丹江市第一高级中学2018-2019学年高二上学期期中）若椭圆 2222:10x y C a b a b的离心率为322221x y a b的离心率为 ( ) A ． 54B ．52C ．32D ．5411．（江西省南昌市第十中学2018-2019学年高二上学期期中）过椭圆的右焦点2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于,A B 两点，1F 为椭圆的左焦点，若1F AB △为正三角形，则椭圆的离心率为 （ ）A ． 3B ．33C ．23D 2112．（黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校2017-2018学年高二下学期期中）已知椭圆 2222:10x y C a b a b过点 3,2，当22a b 取得最小值时，椭圆的离心率为 （ ）A ． 12B 2C 3D ．313．（黑龙江省大庆实验中学2018-2019学年高二上学期期中）已知过椭圆 2222:10x y C a b a b的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点2,P F 为其右焦点，若1260F PF ，则椭圆的离心率为 （ ）A ． 53B ．32C ．22D ．3314．（黑龙江省大庆实验中学2018-2019学年高二上学期期中）已知,A B 是双曲线 2222:10,0x y C a b a b 的两个顶点，P 为双曲线上（除顶点外）一点，若直线,PA PB 的斜率乘积为12，则双曲线的离心率e （ ）A ． 5B ．6 C ． 2 D ．15二、填空题15．（天津市七校2018-2019学年高二上学期期中联考）已知椭圆1C 与双曲线2C 有公共焦点12,F F ，M 为1C 与2C 的一个交点，12MF MF ，椭圆1C 的离心率为1e ，双曲线2C 的离心率为2e ，若212e e ，则1e _______．16．（江西省南昌市第十中学2018-2019学年高二上学期期中）椭圆 2222:10x y C a b a b的右焦点 ,0F c 关于直线by x c的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是 _________ ．17．（江苏省启东中学2018-2019学年高二上学期期中）已知椭圆 2222:10x y C a b a b的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为e ，若椭圆上存在点P ，使得12PF e PF ，则该离心率e 的取值范围是________．18．（湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2018-2019学年高二上学期期中）已知双曲线2222:10,0x y C a b a b的右顶点为A ，焦距为2c ，以A 为圆心，c 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M N ，两点．若120MAN ，则C 的离心率为______．19．（辽宁省实验中学2018-2019学年高二上学期期中）已知椭圆 2222:10x y C a b a b的左右焦点为12,F F ，过2F 的直线与圆222x y b 相切于点A ，并与椭圆C 交于两点,P Q ，若12PF PF ，则椭圆的离心率为______．20．（江西省南昌市第二中学2018-2019学年高二上学期期中）已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为12,F F ，且它们在第一象限的交点为P ，12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形．若110PF ，双曲线的离心率的取值范围为 1,2．则该椭圆的离心率的取值范围是________．专题06圆锥曲线中的离心率问题（参考答案）一、选择题1．【答案】D 【解析】如图，设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的半实轴长为2a ， 则根据椭圆及双曲线的定义1212PF PF a ，1222PF PF a ， 112PF a a ，212PF a a ，设122F F c ，12π3F PF， 则在12PF F △中由余弦定理得22212121212π4+2cos3c a a a a a a a a ， 化简2221234a a c ，该式变成2212134e e ，2212121334e e e e ，解得121233e e ，，121e e 的最大值是33，故选D.2．【答案】B 【解析】 设 00,P x y ，则2200221x y a b ，因为120PF PF，即 20000,,c x y c x y c ，两式联立整理得：2222023a x c a c，又因为2200x a ，所以2222203a c a a c，解得3222e故选B【解析】∵90APO ，∴点P 在以AO 为直径的圆上， ∵ 0,0,0O A a ，，∴以AO 为直径的圆方程为22224a a x y ，即220x y ax ，由22222210x ax x a b y y消去y ，得222322()0b a x a x a b . 设 ,P m n ，∵P 、A 是椭圆22221x y a b 与220x y ax 两个不同的公共点，∴322a m a b a ，2222a b ma a b ，可得222ab m a b .∵由图形得0m a ，∴2220ab a a b， 即222b a b ，可得222a c c ，得222a c ， ∴2a c ，解得椭圆离心率22e ， 又∵)1(0e ，，∴椭圆的离心率e 的取值范围为212.故选B.4．【答案】D 【解析】 如图所示：由题意可得：12MF MF ，2MF c ，12MF a c ，122F F c ， 所以 22224c a c c ，化为2220e e ，又)1(0e ，， 解得31e ，故选D.【解析】设10F c （，），20F c （，），由椭圆的定义可得，12||2PF PF a ， 可设2||PF t ，可得1||PF t ， 即有 12t a ①由12π2F PF ，可得22212||||4PF PF c ， 即为 22214t c ，② 由2②①，可得22211e令1m ，可得1m ， ∵122 ，∴332m 即有 2222221221112221m m e m m由21529e ，解得2523e . 故选：B6．【答案】A【解析】设 22222:10x y C a a a ，则212AF AF a 且1222F F a ，因为21AF F △为直角三角形，故2221128AF a AF a ，故131AF a，所以椭圆的长轴长为3a 2633a a. 故选A【解析】 联立方程222213x y a b y ，有22222222333a b x b a a b y b a ， 所以222243a b PQ b a因为矩形的对角线的长度相等，所以12F F PQ ，即2222423a b c b a，化简得42840e e ，解得31e ， 故选C.8．【答案】A【解析】 设2PF x ，∵212PF F F ，1230PF F ， ∴12PF x ，123F F x ， 又122PF PF a ，122F F c∴23a x ，23c x ，∴C 的离心率为：33e． 故答案为：A.【解析】设 11A x y ，， 22B x y ，，由AB 的中点为 1215N ，，则1224x x ，1230y y ， 由22112222222211x y a b x y ab ，两式相减得： 1212121222x x x x y y y y a b ， 则 22121222121245b x x y y b x x a y y a ， 由直线AB 的斜率1561123k ， ∴22415b a ，则2254b a，易得双曲线的离心率32e ， 故选：B ．10．【答案】B【解析】 因为椭圆 2222:10x y C a b a b的离心率为32，所以224a b ， 5 故选B.11．【答案】B【解析】 根据题意，如图所示，可得1F AB △为正三角形，可得在12Rt AF F △中，有122AF AF ，12223F F c ， 点A 在椭圆上，由椭圆的定义可得12223a AF AF AF ， 则该椭圆的离心率121233F F c e a AF AF ，故选B.【解析】 由点在椭圆上则：22941a b， 则22222222229449131324925a b a b a b a b b a 当且仅当222249a b b a ，即2223b a时等号成立， 则椭圆的离心率3e故选：D ．13．【答案】D 【解析】由题意可知点P 的坐标为2,b c a或2,b c a ， 因为1260F PF ，则223c ba222233ac b a c ， 23230e e ，解得33e故选D14．【答案】B【解析】 由题意，可得()0A a ，，()0B a ，，设()P m n ， ∴22200PA PB n n n k k m a m a m a． ∵点P 是双曲线上的点，可得22221m n a b，化简整理得 22222b m a n a ． ∴22222222PA PB b m a b a k k m a a， ∵直线PA ，PB 的斜率乘积为12，即2212PA PB b k k a ，可得22212c a a ，即2232c a ，解得62e 故选：B ．二、填空题15．10 【解析】 如图，由椭圆定义及勾股定理得，1212221224PF PF a PF PF c ，可得2121PF F S b △ ， 则222221121c b a c c e 同理可得2122PF F S b △ 则222222222c b c a c e 联立有22222212c c c c e e ，即2212112e e ， ∵212e e ， ∴1104e ． 故答案为：104．16．2 【解析】 设椭圆另一焦点为1F ，线段QF 与直线:b l y x c交点为M ，设1QF n ，QF m ， ,O M 分别为1,FF QF 的中点，所以1QF 平行OM ，又OM QF ，所以22224l m n a m n c m b k n c， 整理得22ab m b c acn b c ，代入2224m n c ，整理得：2220b b c b bc c ，所以b c ， 所以22e.【解析】 由题意可得：12PF e PF ，又122PF PF a ，所以 212PF e a ， 由于2a c PF a c ，所以 12a c e a ①，且 12a c e a ②，①式两边除以a ，得 112e e ，解得21e ②式两边除以a ，得 112e e ，恒成立， 所以离心率e 的取值范围是 21,1 .18．2【解析】因为120MAN ，故A 到直线0bx ay 的距离为2c ，又A 到直线0bx ay 22ab ab c a b ,，故2c ab c ，也就是42440e e ，解得2e ．19．【答案】53【解析】 因为OA PQ ，12PF PF ，12OF OF ， 故12PF b ，222PF a b ， 所以2AF a b故 22222b a b c a b ，所以32b a ，解得53e故答案为：5335【解析】如图，设椭圆的长半轴为1a ，双曲线的半实轴长为2a ， 它们公共的焦距为2c ，2PF n ， ∵110PF ，12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形．∴由椭圆与双曲线的定义，得121021022n a n a n c，解之得1255a c a c ， ∵双曲线的离心率的取值范围为(1)2，，∴125c c， 设5c x c ，可得51x c x ， 从而得到椭圆的离心率11521242c x e c x x ． 由12x ，可得1235e ． 故答案为：1235，。
高中数学专题 双曲线中的离心率问题(含答案解析)
高中数学专题 双曲线中的离心率问题限时：120 分钟满分：150 分一、单选题：本大题共 8 小题，每个小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设F 1、F 2分别是双曲线C :x 2-y 2b=1的左、右焦点，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A 、B 两点，若△ABF 1为正三角形，则C 的离心率为()A.2B.63C.22D.32.若双曲线C :y 2a 2-x 2b 2=1a >0,b >0 的一条渐近线被圆x 2+y -2 2=4所截得的弦长为23，则C的离心率为()A.2B.233C.223D.4333.已知双曲线C ：x 2a2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的右焦点为F ，A 、B 两点在双曲线的左、右两支上，且OA+OB =0，AF ⋅FB =0，3BF =FC ，且点C 在双曲线上，则双曲线的离心率为()A.103B.102C.52D.2334.如图，双曲线x 2a2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过点F 1与双曲线的两条渐近线分别交于P ,Q 两点．若P 是F 1Q 的中点，且F 1Q ⋅F 2Q=0，则此双曲线的离心率为()A.3B.2C.22D.235.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若在C 上存在点P (不是顶点)，使得∠PF 2F 1=3∠PF 1F ，则C 的离心率的取值范围为()A.2,2B.3,+∞C.(1,3]D.1,26.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的两个焦点为F 1､F 2，点M ,N 在C 上，且F 1F 2 =3MN ，F 1M⊥F 2M ，则双曲线C 的离心率为()A.6+32B.6+3C.2+2D.5+27.已知双曲线C :y 2a 2-x 2b 2=1(a >0,b >0)的上下焦点分别为F 1,F 2，点M 在C 的下支上，过点M 作C的一条渐近线的垂线，垂足为D ，若MD >F 1F 2 -MF 1 恒成立，则C 的离心率的取值范围为()A.1,53B.53,2C.1,2D.53,+∞8.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左顶点为A ，过A 的直线l 与C 的右支交于点B ，若线段AB 的中点在圆O :x 2+y 2=a 2上，且OB =7OA ，则双曲线C 的离心率为()A.2B.3C.2D.3二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9.双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的离心率为e 1，双曲线y 2b 2-x 2a2=1的离心率为e 2，则e 1+e 2的值不可能是()A.3B.22C.145D.5210.双曲线x 2-y 2a2=1的离心率为e ，若过点(2,2)能作该双曲线的两条切线，则e 可能取值为()．A.324B.2C.32D.211.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左､右焦点分别为F 1,F 2，过点F 1的直线l 与圆x 2+y 2=a 2相切，且与C 交于M ,N 两点，若cos ∠F 1NF 2=45，则C 的离心率可能为()A.53B.32C.52D.13312.已知F 1、F 2是双曲线x 2a2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A，交另一条渐近线于点B，且AF2=13F2B，则该双曲线的离心率为().A.62B.2C.3D.5三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=22x，则其离心率是.14.已知双曲线方程为C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，左焦点F关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则该双曲线的离心率为.15.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F c,0，直线l:x=c与双曲线C交于A,B两点，与双曲线C的渐近线交于D,E两点，若DE=2AB，则双曲线C的离心率是．16.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，双曲线的左顶点为A，以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P，Q两点，其中点Q在y轴右侧，若AQ≥3AP，则该双曲线的离心率的取值范围是.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知F1，F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，当PF12PF2取最小值时，求双曲线的离心率e的取值范围．18.已知椭圆C1:x2a21+y2b21=1a1>b1>0与双曲线C2:x2a22-y2b22=1a2>0,b2>0，有相同的左、右焦点F1，F2，若点P是C1与C2在第一象限内的交点，且F1F2=4PF2，设C1与C2的离心率分别为e1，e2，求e2-e1的取值范围.19.已知双曲线T：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)离心率为e，圆O：x2+y2=R2R>0．(1)若e=2，双曲线T的右焦点为F2,0，求双曲线方程；(2)若圆O过双曲线T的右焦点F，圆O与双曲线T的四个交点恰好四等分圆周，求b2a2的值；(3)若R=1，不垂直于x轴的直线l：y=kx+m与圆O相切，且l与双曲线T交于点A，B时总有∠AOB=π2，求离心率e的取值范围．20.已知点P是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)右支上一点，F1、F2是双曲线的左、右焦点，PF1=(2+3)PF2，∠F1PF2=60°．(1)求双曲线的离心率；(2)设R、r分别是△F1PF2的外接圆半径和内切圆半径，求Rr．21.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为双曲线C左支上一点，AF2-AF1=2b．(1)求双曲线C的离心率；(2)设点A关于x轴的对称点为B，D为双曲线C右支上一点，直线AD,BD与x轴交点的横坐标分别为x1,x2，且x1x2=1，求双曲线C的方程．22.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，若直线l与双曲线C交于A,B两点，线段AB的中点为M，且k AB⋅k OM=34(O为坐标原点).(1)求双曲线C的离心率；(2)若直线l不经过双曲线C的右顶点N2,0，且以AB为直径的圆经过点N，证明直线l恒过定点E，并求出点E的坐标.高中数学专题 双曲线中的离心率问题答案解析限时：120 分钟满分：150 分一、单选题：本大题共 8 小题，每个小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设F 1、F 2分别是双曲线C :x 2-y 2b=1的左、右焦点，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A 、B 两点，若△ABF 1为正三角形，则C 的离心率为()A.2B.63C.22D.3【解析】设AF 2 =t ，因为AB ⊥x 轴，则点A 、B 关于x 轴对称，则F 2为线段AB 的中点，因为△ABF 1为等边三角形，则∠AF 1F 2=30°，所以，AF 1 =2AF 2 =2t ，所以，AF 1 -AF 2 =AF 2 =t =2a =2，则AF 1 =2AF 2 =2t =4，所以，2c =F 1F 2 =AF 12-AF 2 2=42-22=23，则c =3，因此，该双曲线C 的离心率为e =ca= 3.故选：D .2.若双曲线C :y 2a 2-x 2b 2=1a >0,b >0 的一条渐近线被圆x 2+y -2 2=4所截得的弦长为23，则C的离心率为()A.2B.233C.223D.433【解析】双曲线C 的渐近线方程为y =±a b x ，直线y =±ab x 被圆x 2+y -2 2=4所得截得的弦长为23，则圆心0,2 到直线y =±ab x 的距离为d =22-3 2=1，由点到直线的距离公式可得d =21+ab2=1，解得a 2b 2=3，则b 2a2=13，因此，双曲线C 的离心率为e =ca =1+b a2=1+13=233.故选：B .3.已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的右焦点为F ，A 、B 两点在双曲线的左、右两支上，且OA+OB =0，AF ⋅FB =0，3BF =FC ，且点C 在双曲线上，则双曲线的离心率为()A.103B.102C.52D.233【解析】设双曲线的左焦点为F ，连接AF ,BF ,CF ，因为AF ⋅FB =0，所以AF ⊥FB ，因为OA +OB =0，所以OA =OB ，因为OF =OF ，所以四边形AFBF 为矩形，设BF =t (t >0)，则FC =3t ，BF =2a +t ,CF =2a +3t ，在Rt △CBF 中，BC 2+BF 2=CF 2，所以4t 2+2a +t 2=2a +3t 2，化简得t 2-at =0，解得t =a ，在Rt △BFF 中，BF 2+BF 2=FF 2，所以t 2+2a +t 2=4c 2，所以a 2+9a 2=4c 2，所以10a 2=4c 2，得10a =2c ，所以离心率e =c a =102，故选：B4.如图，双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过点F 1与双曲线的两条渐近线分别交于P ,Q 两点．若P 是F 1Q 的中点，且F 1Q ⋅F 2Q=0，则此双曲线的离心率为()A.3B.2C.22D.23【解析】因为F 1Q ⋅F 2Q =0，则QF 1⊥QF 2，所以△F 1F 2Q 是直角三角形，又因为O 是F 1F 2的中点，所以OQ 是直角△F 1F 2Q 斜边中线，因此F 1O =OQ ，而点P 是线段F 1Q 的中点，所以△F 1OQ 是等腰三角形，因此∠F 1OP =∠POQ ，由双曲线渐近线的对称性可知中：∠F 1OP =∠F 2OQ ，于是有：∠F 1OP =∠POQ =∠F 2OQ =π3，因为双曲线渐近线的方程为：y =±b ax ，因此有：ba=tan π3⇒b a =3⇒b 2=3a 2⇒c 2-a 2=3a 2⇒c =2a ⇒e =2，故选：B .5.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若在C 上存在点P (不是顶点)，使得∠PF 2F 1=3∠PF 1F ，则C 的离心率的取值范围为()A.2,2B.3,+∞C.(1,3]D.1,2【解析】设PF 1与y 轴交于Q 点，连接QF 2，则QF 1=QF 2,∴∠QF 1F 2=∠QF 2F 1，因为∠PF 2F 1=3∠PF 1F ，故P 点在双曲线右支上，且∠PF 2Q =∠PQF 2=2∠PF 1F 2，故|PQ |=|PF 2|，而|PF 1|-|PF 2|=2a ，故|PF 1|-|PF 2|=|PF 1|-|PQ |=|QF 1|=2a ，在Rt △QOF 1中，|QF 1|>|OF 1|，即2a >c ，故e =ca<2，由∠PF 2F 1=3∠PF 1F 2，且三角形内角和为180°，故∠PF 1F 2<180°4=45°，则cos ∠PF 1F 2=|OF 1||QF 1|>cos45°，即c2a>22，即e =c a >2，所以C 的离心率的取值范围为2,2 ，故选：A6.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的两个焦点为F 1､F 2，点M ,N 在C 上，且F 1F 2 =3MN ，F 1M⊥F 2M ，则双曲线C 的离心率为()A.6+32B.6+3C.2+2D.5+2【解析】由于F 1F 2 =3MN ，所以x M =-2c ×13×12=-c 3，则-c32a2+y 2Mb 2=1，解得y M =b 3ac 2-9a 2，由于F 1M ⊥F 2M ，所以2c 3，b 3ac 2-9a 2 ⋅-4c 3，b3a c 2-9a 2 =0，整理得c 4-18a 2c 2+9a 4=0，两边除以a 4得e 4-18e 2+9=0，由于e >1，e 2>1，故解得e =6+ 3.故选：B7.已知双曲线C :y 2a 2-x 2b 2=1(a >0,b >0)的上下焦点分别为F 1,F 2，点M 在C 的下支上，过点M 作C的一条渐近线的垂线，垂足为D ，若MD >F 1F 2 -MF 1 恒成立，则C 的离心率的取值范围为()A.1,53B.53,2C.1,2D.53,+∞【解析】如图，过点F 2作渐近线的垂线，垂足为E ，设|F 1F 2|=2c ，则点F 2到渐近线y =±abx 的距离EF 2 =bca 2+b2=b .由双曲线的定义可得MF 1 -MF 2 =2a ，故MF 1 =MF 2 +2a ，所以MD +MF 1 =|MD |+MF 2 +2a ≥EF 2 +2a =b +2a ，即MD +MF 1 的最小值为2a +b ，因为MD >F 1F 2 -MF 1 恒成立，所以|MD |+MF 1 >F 1F 2 恒成立，即2a +b >2c 恒成立，所以，b >2c -2a ，即b 2>4c 2+4a 2-8ac ，即c 2-a 2>4c 2+4a 2-8ac ，所以，3c 2+5a 2-8ac <0，即3e 2-8e +5<0，解得1<e <53.故选：A .8.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左顶点为A ，过A 的直线l 与C 的右支交于点B ，若线段AB 的中点在圆O :x 2+y 2=a 2上，且OB =7OA ，则双曲线C 的离心率为()A.2B.3C.2D.3【解析】设线段AB 的中点为E ，双曲线的右顶点为D ，左右焦点为F 1,F 2，连接DE ,DB ，因为线段AB 的中点E 在圆O :x 2+y 2=a 2上，所以DE ⊥AB ，所以△ADE ≌△BDE ，所以AD =BD =2a ，因为OB =7OA ，所以OB =7a ，在△ODB 中，由余弦定理得cos ∠ODB =OD2+DB 2-OB 22OD ⋅DB =a 2+4a 2-7a 24a 2=-12，因为∠ODB ∈0,π ，所以∠ODB =2π3，所以∠BDF 2=π3，过B 作BF ⊥x 轴于F ，则BF =3a ,DF =a ，所以B 2a ,3a ，所以4a 2a 2-3a 2b 2=1，得a 2=b 2，所以a 2=c 2-a 2，2a 2=c 2，所以c =2a ，所以离心率e =ca=2，故选：A二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9.双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的离心率为e 1，双曲线y 2b 2-x 2a2=1的离心率为e 2，则e 1+e 2的值不可能是()A.3B.22C.145D.52【解析】∵e 1+e 2 2=e 21+e 22+2e 1e 2=a 2+b 2a 2+a 2+b 2b 2+2×a 2+b 2a×a 2+b 2b=2+b 2a 2+a 2b2+2a 4+b 4+2a 2b 2a 2b 2=2+b 2a 2+a 2b 2+2a 2b 2+b 2a 2+2≥2+2+22+2=8，当且仅当b 2a 2=a 2b2即a =b 时取等号，所以e 1+e 2≥22.故选：CD .10.双曲线x 2-y 2a2=1的离心率为e ，若过点(2,2)能作该双曲线的两条切线，则e 可能取值为()．A.324B.2C.32D.2【解析】斜率不存在时不合题意，所以直线切线斜率一定存在，设切线方程是y -2=k (x -2)，由x 2-y 2a2=1y -2=k (x -2) 得(a 2-k 2)x 2+4k (k -1)x -4(k -1)2-a 2=0，显然a 2-k 2=0时，所得直线只有一条，不满足题意，所以k ≠±a ，由Δ=0得16k 2(k -1)2+4(a 2-k 2)[4(k -1)2+a 2]=0，整理为3k 2-8k +4+a 2=0，由题意此方程有两不等实根，所以Δ1=64-12(4+a 2)>0，a 2<43，则c 2=1+a 2<73(c 为双曲线的半焦距)，e =c 1=c <213，即1<e <213，k =±a 代入方程3k 2-8k +4+a 2=0，得a =±1，此时e =2，综上，e 的范围是1,2 ∪2,213.故选：AC 11.已知双曲线C :x 2a2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左､右焦点分别为F 1,F 2，过点F 1的直线l 与圆x 2+y 2=a 2相切，且与C 交于M ,N 两点，若cos ∠F 1NF 2=45，则C 的离心率可能为()A.53B.32C.52D.133【解析】当点M ,N 同时在双曲线C 的左支上时，设切点为P ，则OP ⊥MN ，OP =a ,OF 1 =c ,PF 1 =c 2-a 2=b .作F 2Q ∥OP 交MN 于点Q ，则F 2Q ⊥MN ，而O 为F 1F 2的中点，则P 为QF 1的中点，故F 2Q =2OP =2a ,QF 1 =2PF 1 =2b ，因为cos ∠F 1NF 2=45，∠F 1NF 2为锐角，故sin ∠F 1NF 2=35所以NF 2 =F 2Qsin ∠F 1NF 2=10a 3,NQ =NF 2 cos ∠F 1NF 2=8a3，NF 1 =NQ -QF 1 =8a 3-2b ，所以NF 2 =NF 1 +2a =8a 3-2b +2a =10a 3，则2a =3b ，故双曲线C 的离心率e =ca =1+b 2a2=1+232=133.当点M ,N 在双曲线的两支上时，仍有F 2Q =2OP =2a ,QF 1 =2PF 1 =2b ，因为cos ∠F 1NF 2=45，∠F 1NF 2为锐角，故sin ∠F 1NF 2=35所以NF 2 =F 2Qsin ∠F 1NF 2=10a 3,NQ =NF 2 cos ∠F 1NF 2=8a3，NF 1 =NQ +QF 1 =8a 3+2b ，所以NF 2 =NF 1 -2a =8a 3+2b -2a =10a 3，则4a =3b ，故双曲线C 的离心率e =ca =1+b 2a2=1+432=53，故选：AD12.已知F 1、F 2是双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A ，交另一条渐近线于点B ，且AF 2=13F 2B ，则该双曲线的离心率为().A.62B.2C.3D.5【解析】当AF 2 =13F 2B时，设∠F 2OA =α，则∠AOB =2α，设a =1，如图，双曲线的渐近线方程为y =±b a x ，即tan α=b a ，在Rt △OAF 2中，tan α=|AF 2||OA |=ba ，设|AF 2|=bt ,|OA |=at ，又|AF 2|2+|OA |2=|OF 2|2，则(bt )2+(at )2=c 2，又双曲线中c 2=a 2+b 2，即有t =1，于是|OA |=a =1，|OF 2|=c =e ，|AF 2|=b ，|BF 2|=3b ，则|AB |=4b ，tan α=b a =b ，tan2α=4ba=4b ，代入得tan2α=2tan α1-tan 2α=2b 1-b 2=4b ，即2=4-4b 2，解得b =22，则e =c a =a 2+b 2=1+12=62，A 正确；当F 2A =13F 2B 时，设∠F 2OA =α，∠AOB =β，设a =1，如图，则∠F 2OB =α+β，∠F 1OB =π-(α+β)，在Rt △OAF 2中，tan α=|AF 2||OA |=b a ，设|AF 2|=bt ,|OA |=at ，又|AF 2|2+|OA |2=|OF 2|2，则(bt )2+(at )2=c 2，又双曲线中c 2=a 2+b 2，即t =1，于是|OA |=a =1，|OF 2|=c =e ，|AF 2|=b ，|BF 2|=3b ，则|AB |=2b ，tan α=b a =b ，tan β=2ba=2b ，而tan ∠F 1OB =tan [π-(α+β)]=-tan (α+β)=tan α，即tan (α+β)=tan α+tan β1-tan α⋅tan β=-tan α，因此b +2b1-b ⋅2b=-b ，即3=2b 2-1，解得b =2，则e =c a =a 2+b 2=3，C 正确.故选：AC三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程为y =22x ，则其离心率是.【解析】由题意知ba=22，又因为在双曲线中，c 2=a 2+b 2，所以e 2=c 2a 2=1+b 2a2=32，故e =62(负舍)14.已知双曲线方程为C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)，左焦点F 关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则该双曲线的离心率为.【解析】如图：设F 关于渐近线y =bax 对称的点A 在渐近线y =-b a x 上，FA 的中点B 在渐近线y =bax 上，则∠FOB =∠BOA ，又∠FOB =∠AOx ，所以∠FOB =∠BOA =∠AOx =60°，所以tan60°=ba=3，所以e =c a =a 2+b 2a 2=1+b a2=1+3=2.15.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为Fc ,0 ，直线l :x =c 与双曲线C 交于A ,B 两点，与双曲线C 的渐近线交于D ,E 两点，若DE =2AB ，则双曲线C 的离心率是．【解析】由双曲线方程可得其渐近线方程为：y =±ba x ，∵直线l :x =c ，∴AB 为双曲线的通径，则由x =cx 2a2-y2b 2=1得x =cy =±b 2a，则AB =2b 2a，由x=cy=±bax得x=cy=±bca，则DE =2bca，由DE=2AB得：2bca=4b2a即c=2b，所以a=c2-b2=3b，所以离心率e=ca=23316.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，双曲线的左顶点为A，以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P，Q两点，其中点Q在y轴右侧，若AQ≥3AP，则该双曲线的离心率的取值范围是.【解析】依题意可得，以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2，不妨设双曲线的这条渐近线方程为y=ba x，由y=baxx2+y2=c2，得：x=ay=b或x=-ay=-b，所以Q(a,b),P(-a,-b)，双曲线的左顶点为A，则A(-a,0)，所以AQ=(a+a)2+b2=4a2+b2，AP=(-a+a)2+b2=b，因为AQ≥3AP，所以4a2+b2≥3b，化简得a2≥2b2，所以a2≥2(c2-a2)，所以e2=a2c2≤32，所以e ≤62，又e>1，所以e∈1,62.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知F1，F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，当PF12PF2取最小值时，求双曲线的离心率e的取值范围．【解析】双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左右焦点分别为F1,F2,P为双曲线右支上的任意一点，∴PF1-PF2=2a,PF1=2a+PF2，∴PF12PF2=2a+PF22PF2=4a2PF2+4a+PF2≥8a，当且仅当4a2PF2=PF2，即PF2=2a时取等号，∴PF1=2a+PF2=4a，∵PF 1 -PF 2 =2a <2c ，PF 1 +PF 2 =6a ≥2c ⇒e =ca≤3，∴e ∈1,3 ，故双曲线的离心率e 的取值范围为：1,3 ..18.已知椭圆C 1:x 2a 21+y 2b 21=1a 1>b 1>0 与双曲线C 2:x 2a 22-y 2b 22=1a 2>0,b 2>0 ，有相同的左、右焦点F 1，F 2，若点P 是C 1与C 2在第一象限内的交点，且F 1F 2 =4PF 2 ，设C 1与C 2的离心率分别为e 1，e 2，求e 2-e 1的取值范围.【解析】设PF 1 =m ，PF 2 =n ，F 1F 2 =2c ，由椭圆的定义可得m +n =2a 1，由双曲线的定义可得m -n =2a 1，解得m =a 1+a 2，n =a 1-a 2，由F 1F 2 =4PF 1 ，可得n =12c ，即a 1-a 2=12c ，由e 1=c a 1，e 2=c a 2，可得1e 1-1e 2=12，由0<e 1<1，可得1e 1>1，可得1e 2>12，即1<e 2<2，则e 2-e 1=e 2-2e 22+e 2=e 222+e 2，设2+e 2=t 3<t <4 ，则e 222+e 2=t -2 2t =t +4t-4，由于函数f t =t +4t -4在3，4 上递增，所以f t ∈13，1 ，即e 2-e 1的取值范围为13，1.19.已知双曲线T ：x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)离心率为e ，圆O ：x 2+y 2=R 2R >0 ．(1)若e =2，双曲线T 的右焦点为F 2,0 ，求双曲线方程；(2)若圆O 过双曲线T 的右焦点F ，圆O 与双曲线T 的四个交点恰好四等分圆周，求b 2a 2的值；(3)若R =1，不垂直于x 轴的直线l ：y =kx +m 与圆O 相切，且l 与双曲线T 交于点A ，B 时总有∠AOB =π2，求离心率e 的取值范围．【解析】(1)因e =2，双曲线T 的右焦点为F 2,0 ，则c =2，ca =2，a =1，b 2=c 2-a 2=3，则双曲线方程为x 2-y 23=1.(2)如图所示，因为圆O与双曲线T的四个交点恰好四等分圆周，则OA=c，∠AOF=45°，则A22c,22c，代入双曲线方程x2a2-y2b2=1，可得b2a2-a2b2=2，令x=b2a2x>0，则x-1x=2，解得x=1+2，即b2a2=2+1.(3)由题知，作图如下，因为直线l：y=kx+m与圆O相切，且R=1，则圆心到直线l距离为mk2+1=1，化简得m2=k2+1，①又∠AOB=π2，设A x1,y1,B x2,y2，则k OA⋅k OB=-1，即y1x1⋅y2x2=-1，则k2x1x2+km x1+x2+m2x1x2=-1，②联立y=kx+mx2a2-y2b2=1得b2-a2k2x2-2a2kmx-a2m2-a2b2=0，则x1+x2=2a2kmb2-a2k2，x1x2=-a2m2+b2b2-a2k2，③联立①②③，得k2+1a2+a2b2-b2=0，则a2+a2b2-b2=0，又c2=a2+b2，则c2a2=c2-a2+2=b2+2>2，则e=ca>2，即离心率e的取值范围为2,+∞.20.已知点P 是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)右支上一点，F 1、F 2是双曲线的左、右焦点，PF 1=(2+3) PF 2 ，∠F 1PF 2=60°．(1)求双曲线的离心率；(2)设R 、r 分别是△F 1PF 2的外接圆半径和内切圆半径，求Rr．【解析】(1)由P 为双曲线的右支上一点，可得|PF 1|-|PF 2|=2a ，又PF 1=(2+3) PF 2 ，可得PF 1 =(3+1)a ，PF 2 =(3-1)a ，在△F 1PF 2中，∠F 1PF 2=60°，由余弦定理可得4c 2=(4+23)a 2+(4-23)a 2-2(3+1)(3-1)a 2⋅12=8a 2-2a 2=6a 2，即c =62a ，可得e =c a =62；(2)由2R =2csin60°=6a32=22a ，即R =2a ；因为S △PF 1F 2=12PF 1⋅ PF 2 ⋅sin60°=12(3+1)(3-1)a 2⋅32=32a 2，又S △PF 1F 2=12PF 1+ PF 2 +2c r =12(23a +6a )r ，所以r =323+6a =2-22a ，所以R r =222-2=2+22．21.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，A 为双曲线C 左支上一点，AF 2 -AF 1 =2b ．(1)求双曲线C 的离心率；(2)设点A 关于x 轴的对称点为B ，D 为双曲线C 右支上一点，直线AD ,BD 与x 轴交点的横坐标分别为x 1,x 2，且x 1x 2 =1，求双曲线C 的方程．【解析】(1)由于A 为双曲线C 左支上一点，由双曲线的定义可知AF 2 -AF 1 =2a =2b ，所以2a 2=b 2=c 2-a 2．整理，得3a 2=c 2，所以ca=3，所以双曲线C 的离心率为3．(2)由(1)可设双曲线C 的标准方程为x 2a 2-y 22a2=1．设A x3,y3，B x3,-y3，D x4,y4．直线AD的方程为y-y3=y3-y4x3-x4x-x3．令y=0，则x1=-x3y4-x4y3y3-y4．直线BD的方程为y+y3=-y3-y4x3-x4x-x3，令y=0，则x2=x3y4+x4y3y3+y4．所以x1x2=-x3y4-x4y3y3-y4⋅x3y4+x4y3y3+y4=x23y24-x24y23y23-y24．因为A x3,y3，D x4,y4满足方程x2a2-y22a2=1，所以x23=a2+y232，x24=a2+y242,所以x1x2=x23y24-x24y23y23-y24=a2+y232y24-a2+y242y23y23-y24=a2=1,所以双曲线C的方程为x2-y22=1．22.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，若直线l与双曲线C交于A,B两点，线段AB的中点为M，且k AB⋅k OM=34(O为坐标原点).(1)求双曲线C的离心率；(2)若直线l不经过双曲线C的右顶点N2,0，且以AB为直径的圆经过点N，证明直线l恒过定点E，并求出点E的坐标.【解析】(1)设A x1,y1,B x2,y2，则Mx1+x22,y1+y22，由题意得x21a2-y21b2=1,x22a2-y22b2=1,所以x21-x22a2-y21-y22 b2=0，y21-y22x21-x22=b2a2,y1-y2x1-x2∙y1+y22x1+x22=b2a2,k AB=y1-y2x1-x2,k OM=y1+y22x1+x22，∴k AB⋅k OM=b2a2，即b2a2=34，a2=43b2,c2=a2+b2=73b2,e2=c2a2=74，∴e=72；(2)因为双曲线的右顶点N 2,0 ，所以双曲线C 的标准方程为x 24-y 23=1，因为k AB ⋅k OM =34，所以直线l 的斜率一定存在，并且k ≠±32(如果k =±32，则k OM =±32,AB ⎳OM ，这不可能)，设直线l 的方程为y =kx +m ，联立方程y =kx +m x 24-y 23=1 得：3-4k 2 x 2-8kmx -4m 2-12=03-4k 2≠0 ，所以Δ=64k 2m 2-43-4k 2-4m 2-12 >0，即m 2-4k 2+3>0，所以x 1+x 2=8km 3-4k 2,x 1⋅x 2=-4m 2-123-4k 2.因为以AB 为直径的圆经过点N ，所以NA ⊥NB ，所以NA ⋅NB =0，又因为NA =x 1-2,y 1 ,NB =x 2-2,y 2 ，所以NA ⋅NB =x 1-2 x 2-2 +y 1y 2=x 1x 2-2x 1+x 2 +4+y 1y 2=0，又因为y 1y 2=kx 1+m kx 2+m =k 2x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2，所以NA ⋅NB =k 2+1 x 1x 2+km -2 x 1+x 2 +m 2+4=0，即k 2+1 ×-4m 2-123-4k 2+km -2 ×8km 3-4k 2+m 2+4=0，化简得m 2+16km +28k 2=0，即m +14k m +2k =0，解得m =-14k 或m =-2k ，且均满足m 2-4k 2+3>0，当m =-2k 时，y =kx -2k =k x -2 ，因为直线l 不过定点N 2,0 ，故舍去；当m =-14k 时，y =kx -14k =k x -14 ，所以直线l 恒过定点E 14,0 ；综上，e =72，直线l 恒过定点E 14,0 .·15·。
2020届高考数学专题十七离心率精准培优专练文
培优点十七 离心率例1：已知椭圆2221(0)12x y a a +=>的一个焦点与抛物线28y x =的焦点重合，则该椭圆的离心率为（）A ．14B ．12C．2D．4【答案】B【解析】由题可得，抛物线的焦点坐标为(2,0)，所以212416a =+=，所以4a =，所以离心率12c e a ==．例2：已知点P 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>右支上一点，1F 是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段1PFA B D【答案】D二、构造a ，c 的齐次式求解e一、直接求出a ，c 或求出a 与b 的比值求解e【解析】设直线1:()a PF y x c b =+，则与渐近线b y x a =-的交点为2(,)a abM c c-，因为M 是1PF 的中点，利用中点坐标公式，得222(,)a abP c c c -+，因为点P 在双曲线上，所以满足222222222()41b a a b a c b c--=， 整理得4225c a c =，解得e =例3：已知1F ，2F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，点P 在C 上，12||3||PF PF =，且121cos 3F PF ∠=A B D ．3【答案】A【解析】由双曲线定义及12||3||PF PF =，得1||3PF a =，2||PF a =，三、利用离心率的定义以及圆锥曲线的定义求解e由余弦定理得221221041cos 63a c F PF a -∠==，得c e a ==例4：设点P 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点，1F ，2F 分别是左右焦点，I 是12PF F △的内心，若1IPF △，2IPF △，12IF F △的面积1S ，2S ，3S 满足1232()S S S -=，则双曲线的离心率为（）A ．2B D【答案】A【解析】设r 是12IF F ∆的内切圆的半径，因为1232()S S S -=，∴12121||||||2PF r PF r F F r -=， 两边约去r 得12121||||||2PF PF F F -=， 根据双曲线定义，得12||||2PF PF a -=，12||2F F c =，∴2a c =⇒离心率为2ce a==．四、利用平面几何性质求解e一、选择题1．渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是（）A B ．1CD ．2【答案】C【解析】因为双曲线的渐近线为0x y ±=，所以a b =，则c ，双曲线的离心率ce a== 2．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，则（）A ．222a b =B ．2234a b =C ．2a b =D ．34a b =【答案】B【解析】由题意知，222114b e a =-=，所以2234a b =．3．已知点(0,3)到双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线的距离为2，则C 的离心率是（）A ．32B C D ．94【答案】A对点增分集训【解析】∵双曲线22221x y a b-=的渐近线为0bx ay ±=，∴点(0,3)P 到0bx ay ±=的距离2d ==，∴32c a =，∴32c e a ==．4．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为（）A B C ．2 D【答案】D【解析】由题意知(1,0)F ，:1l x =-，||4AB =，所以24b a =，e == 5．已知抛物线22(0)y px p =>与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个公共点，且AF x ⊥轴，则椭圆的离心率为（）A 1B 1C D ．12- 【答案】B【解析】由于抛物线和椭圆有相同的焦点，因此2pc =，不妨设A 是第一象限的点， 由AF x ⊥轴可知A 的横坐标为c ，代入椭圆可得纵坐标为2b a ，即2bAF a=，设椭圆的左焦点设为1F ，则根据抛物线定义可得12AF FF c ==，所以有22b c a=，化简可得222a c ac -=，即2210e e +-=，解得1e =．6．设F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点，若||||PQ OF =，则C 的离心率为（）ABC ．2D【答案】A【解析】∵||||PQ OF c ==，∴90POQ ∠=︒，又||||OP OQ a ==，∴222a a c +=，解得ca=e =7．设1A ，2A ，1B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右、上顶点，O 为坐标原点，D 为线段1OB 的中点，过2A 作直线1A D 的垂线，垂足为H，若2||3A H =，则C 的离心率为（） A．4BC．2D【答案】C【解析】易得1AOD △与21A HA △相似，所以2112OD A HA D A A =，即1212OD A A A D A H ⋅=⋅，所以223b a ⋅=，即222a b =，∴2e ====．8．已知1F ，2F 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，P 为椭圆上一点，O 为坐标原点，且22()0OP OF F P +⋅=，12||2||PF PF =，则该椭圆的离心率为（）A B C D 【答案】C【解析】由已知22()0OP OF F P +⋅=，可得22()()0OP OF OP OF +⋅-=， 即2||||OP OF =，又12||||OF OF =，所以1290F PF ∠=︒， 又12||2||PF PF =，且11||||2PF PF a+=，则可得22||3PF a =，则14||3PF a =，所以22224()()(2)33a a c +=，所以3c a =，即3e =．二、填空题9．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别为1F ，2F ，以12F F 为一边作正三角形，若椭圆恰好平分三角形的另两边，则该椭圆的离心率为．1【解析】如图，设椭圆与正三角形另两条边的交点分别是M ，N ，由题设条件知，1290F MF ∠=︒，1||MF c =，2||MF =，∴21)a c =，∴1c e a ===．10．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若1F A AB =，120FB F B ⋅=，则C 的离心率为． 【答案】2【解析】由1F A AB =u u u r u u u r ，120F B F B ⋅=uuu r uuu r ，知A 是1BF 的中点，12F B F B ⊥u u u r u u u r， 又O 是1F ，2F 的中点，所以OA 为中位线且1OA BF ⊥，所以1OB OF =，因此1FOA BOA ∠=∠， 又根据两渐近线对称，12FOA F OB ∠=∠，所以260F OB ∠=︒，2e ===．11．设1F ，2F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，若在直线2a x c=上存在点P ，使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆的离心率的取值范围是．【答案】3【解析】设直线2a x c=与x轴的交点为Q ，连接2PF ，∵1PF 的中垂线过点2F ，∴122||||F F PF =，可得2||2PF c =，又∵22||a QF c c =-，且22||||PF QF ≥，∴22a c c c ≥-，即223c a ≥，∴22213c e a =≥，e ≥结合椭圆的离心率(0,1)e ∈1e ≤<，故离心率的取值范围是．三、解答题12．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，以线段12F F 为直径的圆与直线:20l ax by +=相切，若直线l 与椭圆交于P ，Q 两点，坐标原点为O ．（1）求椭圆的离心率；（2）若3OP OQ ⋅=，求椭圆的方程．【答案】（1）2；（2）22184x y +=． 【解析】（1）∵12||2F F c =，∴圆222:O x y c +=，∵圆O 与:20l ax by +=相切，∴d c ==，∴222a b =，222112b e a =-=，∴2e =．（2）设直线l 与椭圆的交点为11(,)P x y ，22(,)Q x y ，∵1212OP OQ x x y y ⋅=+，a =，∴直线:0l x +=，椭圆222220x y b +-=，联立直线与椭圆222220x x y b ⎧=⎪⎨+-=⎪⎩，消去x得2240y b -+=，∴12y y +=，21214y y b =，221212*********()()3()34x x y y y y y y y y b b +=++=++=，∴2334b =，∴24b =，28a =，∴22184x y +=． 13．已知1F ，2F 是椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点．（1）若2POF △为等边三角形，求C 的离心率；（2）如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围．【答案】（11；（2）4b =，a ≥【解析】（1）若2POF △为等边三角形，则P的坐标为(,)2c ，代入方程22221x y a b +=，可得22223144c c a b+=，解得24e =±1e =．（2）由题意可得12||||2PF PF a +=，因为12PF PF ⊥，所以22212||||4PF PF c +=， 所以221212||||)2||||4PF PF PF PF c +-⋅=(，所以222122||||444PF PF a c b⋅=-=，所以212||||2PF PF b⋅=，所以122121||||162PF F S PF PF b =⋅==△，解得4b =， 因为21212(||||)4||||PF PF PF PF +≥⋅，即212(2)4||||a PF PF ≥⋅， 即212||||a PF PF ≥⋅，所以232a ≥，所以a ≥．14．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B ，|2||OA OB =（O为原点）．（1）求椭圆的离心率； （2）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线4x =上．且OC AP ∥，求椭圆的方程．【答案】（1）12；（2）2211612x y +=．【解析】（1）设椭圆的半焦距为c2b =，又由222a b c =+，消去b得222(2)a a c =+，解得12c a =．所以椭圆的离心率为12． （2）由（1）知，2a c =，b =，故椭圆方程为2222143x y c c+=，由题意，(,0)F c -，则直线l 的方程为3()4y x c =+，点P 的坐标满足22221433()4x y c c y x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y 并化简，得到2276130x cx c +-=，解得1x c =，2137cx =-． 代入到l 的方程，解得132y c =，2914y c =-． 因为点P 在x 轴上方，所以2()3,P c c ， 由圆C 在直线4x =上，可设(4,)c t ，因为OC AP ∥，且由（1）知(2,0)A c -，故3242ct c c=+，解得2t =． 因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径长为2，又由圆C 与l||3(4)22c +-=，可得2c =， 所以椭圆的方程为2211612x y +=．15．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，1F ，2F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0,)b ，连接2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接1F C ．（1）若点C 的坐标为41(,)33，且2BF =，求椭圆的方程；（2）若1FC AB ⊥，求椭圆离心率e 的值．【答案】（1）2212x y +=；（2）e = 【解析】设椭圆的焦距为2c ，则1(,0)F c -，2(,0)F c（1）∵(0,)B b ，∴2BF a ==，又2BF =a =∵点41(,)33C 在椭圆上，∴22161991a b+=，解得21b =， 故所求椭圆的方程为2212x y +=．（2）∵(0,)B b ，2(,0)F c 在直线AB 上，∴直线AB 的方程为1x yc b+=，解方程组222211x yc b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得2122221222()a c x a cb c a y a c ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，220x y b =⎧⎨=⎩， ∴点A 的坐标为22222222()(,)a c b c a a c a c -++，又AC 垂直于x 轴，由椭圆的对称性，可得点C 的坐标为22222222()(,)a c b a c a c a c -++．∵直线1F C 的斜率为22222222322()0()23()b a c b a c a c a c a c c c a c ---+=+--+，直线AB的斜率为b c-， 且1FC AB ⊥，∴2223()()13b a c ba c c c-⋅-=-+， 又222b a c =-，整理得225a c =，故215e =，因此e =。
第十八篇离心率01—2020年高考数学选填题专项测试(文理通用)(解析版)
2020高考数学选填题专项测试01（离心率）（文理通用）第I 卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2019·河北安平中学高三月考）已知m 是两个数2，8的等比中项，则圆锥曲线221yx m+=的离心率为（ ）A ．2B ．2C ．2D 【答案】B【解析】由题意得216m =，解得4m =或4m =-．当4m =时，曲线方程为2214y x +=，故离心率为2c e a ====；当4m =-时，曲线方程为2214y x -=，故离心率为c e a ====B ． 2．（2020·梅河口市第五中学高三）已知直线()0y kx k =≠与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>交于,A B 两点，以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若ABF ∆的面积为24a ，则双曲线的离心率为A B C ．2D 【答案】D 【解析】【分析】通过双曲线和圆的对称性，将ABF ∆的面积转化为FBF ∆'的面积；利用焦点三角形面积公式可以建立a 与b 的关系，从而推导出离心率.【详解】由题意可得图像如下图所示：F '为双曲线的左焦点AB Q 为圆的直径 90AFB ∴∠=o ，根据双曲线、圆的对称性可知：四边形AFBF '为矩形12ABFAFBF FBF S S S ''∆∆∴==，又2224tan 45FBF b S b a ∆'===o ，可得：225c a =，25e ∴=e ⇒=。
【点睛】本题考查双曲线的离心率求解，离心率问题的求解关键在于构造出关于,a c 的齐次方程，从而配凑出离心率的形式.3．（2019·河北安平中学高三月考）设双曲线C ：22221(0)x y a b a b-=>>的两条渐近线的夹角为α，且cos α=13，则C 的离心率为（ ） ABCD ．2【答案】B 【解析】【分析】由0a b ＞＞，渐近线b y x a =的斜率小于1，从而判断渐近线的倾斜角为α，得到ba 的值，再根据222c ab =+，得到离心率． 【详解】∵0a b ＞＞，∴渐近线b y x a =的斜率小于1，因为两条渐近线的夹角为α，cos α=13， 222211cos ,sin ,tan 232322ααα===，∴2212b a =，所以22212c a a -=，∴232e =，∴e =． 【点睛】本题考查双曲线的性质及其应用，解题的关键是由渐近线的夹角α，判断渐近线的斜率，考查转化思想以及计算能力．4．（2020·山西高二月考）已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上的任意一点，若212||PF PF 的最小值为8a ，则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ．(]1,3B ．[)3,+∞ C．⎤⎦D．(【答案】A 【解析】【分析】首先利用双曲线的定义求出关系式，进一步利用均值不等式建立关系式，212||PF PF =2(2)a m m +=24a m+4a+m≥8a ，最后求出结果．【详解】设|PF 2|=m ，（m≥c ﹣a ），则：根据双曲线的定义：|PF 1|=2a+m ，所以212||PF PF =2(2)a m m +=24a m+4a+m≥8a 当且仅当m=2a 时成立．因为m≥c ﹣a ，所以c ﹣a≤2a ，即解得：1＜e≤3，故选A ． 【点睛】（1）本题考查的知识要点：双曲线的定义的应用．双曲线的离心率，均值不等式的应用，属于中等题型．（2）求离心率的取值范围常用的方法有以下三种：①利用圆锥曲线的变量的范围，建立不等关系；②直接根据已知中的不等关系，建立关于离心率的不等式；③利用函数的思想分析解答.5．（2019·吉林长春外国语学校高二期中）已知12,A A 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右顶点，椭圆C 上异于12,A A 的点P 恒满足1249PA PA k k ⋅=-，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．49B ．23C ．59D【答案】D【解析】因为12,A A 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右顶点，椭圆C 上异于12,A A 的点P 恒满足122249PA PA b ck k e a a⋅=-=-∴=既可以解得为D6．（2020·山西大同一中高三月考）若实数数列：1，a ，81成等比数列，则圆锥曲线221yx a+=的离心率是（ ）ABCD ．13或10 【答案】A 【解析】【分析】由等比数列的性质可得a 的值，分类讨论可求曲线的离心率．【详解】由1，a ，81成等比数列有：281a =，所以9a =±，当9a =时，方程为2219yx +=，表示焦点在y 轴的椭圆，其中13a =，1c =，故离心率11c e a ==；当9a =-时，方程为2219y x -=，表示焦点在x 轴的双曲线，其中21a =，2c ==，故离心率22c e a ==，故选择A . 【点睛】本题考查知识点有等比数列的性质和圆锥曲线的离心率，属于综合题型，根据题意得出未知量代入圆锥曲线方程即可求离心率，难度不大，注重基础的应用，属于简单题.7．（2020·山东高三期末）已知F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，点M 在C 的右支上，坐标原点为O ，若||2FM OF =，且120OFM ∠=︒，则C 的离心率为（ ）A ．32B．12C ．2 D．12【答案】D 【解析】【分析】设双曲线的左焦点为1,F运用余弦定理可得1||MF =，再由双曲线的定义可得1||||2MF MF a -=，即为22c a -=，运用离心率公式计算即可得到所求值．【详解】设双曲线的左焦点为1,F 由题意可得1||||2MF F F c ==，1120MFF ∠=︒，即有2221111||||||2||||cos MF M F M F F F F F F F M =+-∠g222214424()122c c c c =+--=g g，即有1||MF =，由双曲线的定义可得1||||2MF MF a -=，即为22c a -=，即有c =，可得c e a ==．故选D ． 【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用余弦定理和双曲线的定义，考查运算能力，属于中档题．8．（2020·河南南阳中学高三月考）己知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+->>的左、右焦点分别为12,F F ，点()11,P x y ，()1,l Q x y --在椭圆C 上，其中1>0x ，10y >，若2||2PQ OF =，11||3QF PF ≥，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ）A．⎛ ⎝⎦B．2]C．1]2D．1]【答案】C 【解析】【分析】设12,PF n PF m ==，计算13m n <，得到23m n n m <+…，计算得到答案. 【详解】设12,PF n PF m ==，由110,0x y >>知m n <，由()()1111,,,P x y Q x y --在椭圆C 上，2||2PQ OF =可知四边形12PFQF 为矩形，12QF QF =； 由113QF PF …13m n<，由椭圆的定义可得2222,4m n a m n c +=+=，平方相减可得()222mn a c =-，所以()2222242c m n m n mn n m a c +==+-，而23m n n m <+…，即()222422c a c <-…由()222422c a c <-可得222,2c a c e a <=>，由()222432c a c -…，可得22241)c a =-=…，所以1c e a =…1e <….故选：C .【点睛】本题考查椭圆的方程与性质，考查运算求解能力.9．（2020·河北衡水中学高三月考）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右顶点分别为A ，B ，P 为双曲线左支上一点，ABP ∆，则该双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】C 【解析】【详解】由题意知等腰ABP ∆中，||2AB AP a ==，设ABP APB θ∠=∠=，则12F AP θ∠=，其中θ必为锐角．∵ABP ∆，∴2sin a θ=，∴sin θ=，cos θ=∴243sin 22,cos 22155θθ===⨯-=．设点P 的坐标为(,)x y ，则118(cos 2),sin 255a a x a AP y AP θθ=-+=-==，故点P 的坐标为118(,)55a a-．由点P 在双曲线上得2222118()()551a aa b -=，整理得2223b a =，∴3c e a ===．选C ． 点睛：本题将解三角形和双曲线的性质结合在一起考查，综合性较强，解题时要抓住问题的关键和要点，从所要求的离心率出发，寻找双曲线中,a c 之间的数量关系，其中通过解三角形得到点P 的坐标是解题的突破口．在得到点P 的坐标后根据点在椭圆上可得,a b 间的关系，最后根据离心率的定义可得所求．10．（2020·江西临川一中高三月考）已知双曲线2222x y 1(a 0,b 0)a b-=>>，过原点作一条倾斜角为π3直线分别交双曲线左、右两支P ，Q 两点，以线段PQ 为直径的圆过右焦点F ，则双曲线离心率为( )A 1B 1C ．2D 【答案】B 【解析】【分析】求得直线PQ 的方程，联立直线的方程和双曲线的方程，求得,P Q 两点坐标的关系，根据FQ FP ⊥列方程，化简后求得离心率.【详解】设()()1122,,,P x y Q x y ，依题意直线PQ 的方程为y =，代入双曲线方程并化简得222222222223,333a b a b x y x b a b a ===--，故221212220,,3a b x x x x b a -+=⋅=- 12y y ⋅= 221222333a b x x b a-⋅=-，设焦点坐标为(),0F c ，由于以PQ 为直径的圆经过点F ，故0FP FQ ⋅=u u u v u u u v，即()()1122,,0x c y x c y -⋅-=，即21240x x c +=，即4224630b a b a --=，两边除以4a 得42630b b a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得23b a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故1e ===，故选B.【点睛】本小题主要考查直线和双曲线的交点，考查圆的直径有关的几何性质，考查运算求解能力，属于中档题.11．（2020·山西高三月考）已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>满足以下条件：①双曲线E 的右焦点与抛物线24y x =的焦点F 重合；②双曲线E 与过点(4,2)P 的幂函数()f x x α=的图象交于点Q ，且该幂函数在点Q 处的切线过点F 关于原点的对称点．则双曲线的离心率是（ ）A B C ．32D 1【答案】B【解析】【分析】由已知可求出焦点坐标为(1,0)(-1,0)，，可求得幂函数为()f x =方程的斜率，利用斜率相等列出方程，即可求出切点坐标，然后求解双曲线的离心率．【详解】依题意可得，抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ，F 关于原点的对称点(1,0)-；24α=，12α=，所以12()f x x ==，()f x '=，设0(Q x=01x =，∴ ()1,1Q ，可得22111a b -=，又1c =，222c a b =+，可解得12a =，故双曲线的离心率是12ce a ===. 故选B ．【点睛】本题考查双曲线的性质，已知抛物线方程求焦点坐标，求幂函数解析式，直线的斜率公式及导数的几何意义，考查了学生分析问题和解决问题的能力，难度一般.12．（2020·黑龙江实验中学高三期末）设椭圆C ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的右焦点为F ，椭圆C 上的两点A ，B 关于原点对称，且满足0FA FB ⋅=u u u v u u u v，|FB |≤|F A |≤2|FB |，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A．2⎣⎦ B．⎫⎪⎪⎣⎭C．1⎤⎥⎣⎦D．)1,1【答案】A 【解析】【分析】设椭圆左焦点为F '，由椭圆的对称性可知且0FA FB ⋅=u u u r u u u r，可得四边形AFBF ′为矩形，设|AF ′|=n ，|AF |=m ，根据椭圆的定义以及题意可知mn =2b 2 ，从而可求得22cb的范围，进而可求得离心率.【详解】设椭圆左焦点为F '，由椭圆的对称性可知，四边形AFBF '为平行四边形，又0FA FB ⋅=u u u r u u u r，即F A⊥FB ，故平行四边形AFBF ′为矩形，所以|AB |=|FF ′|=2c .设|AF ′|=n ，|AF |=m ，则在Rt △F ′AF 中，m ＋n =2a ①，m 2＋n 2=4c 2 ②，联立①②得mn =2b 2 ③.②÷③得222m n c n m b +=，令m n =t ，得t ＋2212ct b=.又由|FB |≤|F A |≤2|FB |得m n =t ∈[1，2]，所以t ＋2212c t b =∈52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故椭圆C 的离心率的取值范围是23⎣⎦.【点睛】本题考查了椭圆的离心率的取值范围的求法，考查了椭圆焦点三角形问题，需掌握椭圆的定义，属于中档题.第II 卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2023年高考数学复习---离心率问题专项练习题(含答案解析)
2023年高考数学复习---离心率问题专项练习题（含答案解析）一、单选题1．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知双曲线C ：2221x y a −=()0a >的右焦点为F ，点()0,A a −，若双曲线的左支上存在一点P ，使得7PA PF +=，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎦B ．(C ．2⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．)+∞【答案】C 【解析】设双曲线左焦点为1F ，因为点P 在双曲线左支上，所以有12PF PF a −=， 即12PF PF a =+.由已知得，存在点P ，使得7PA PF +=，即172PA PF a +=−，显然720a −>，所以72a <.又11PA PF AF +≥=P 位于图中1P 位置时，等号成立，72a −，又221c a =+，72a −，整理可得，214240a a −+≥，解得2a ≤或12a ≥（舍去）， 所以02a <≤，则204a <≤，则2114a ≥，所以2222211514c a a a a +==+≥，所以c e a ===. 故选：C.2．（2022春·河南·高三校联考阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b −=>>，F 为C 的下焦点．O 为坐标原点，1l 是C 的斜率大于0的渐近线，过Fl 交1l 于点A ，交x 轴的正半轴于点B ，若||||OA OB =，则C 的离心率为（ ） A ．2 BCD【答案】C【解析】因为F 为双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b −=>>的下焦点，不妨设()0,F c −，所以过Fy x c =−，所以),0B . 因为1l 是C 的斜率大于0的渐近线，所以可设1:al y x b=.由y ca y x b⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩联立解得：A .因为||||OA OB =，所以2223c +=，解得：a .所以离心率c e a ====.故选：C3．（2022春·福建福州·高三福州四中校考阶段练习）设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M ，N 在C 上（M 位于第一象限），且点M ，N 关于原点O 对称，若12MN F F =，22NF =，则椭圆C 的离心率为（ ） AB ．12CD【答案】C【解析】依题意作图，由于12MN F F =，并且线段MN ，12F F 互相平分，∴四边形12MF NF 是矩形，其中12π2F MF ∠=，12NF MF =， 设2MF x =，则12MF a x =−，根据勾股定理，2221212MF MF F F +=，()22224a x x c −+=，整理得22220x ax b −+=，由于点M 在第一象限，x a =由22NF =，得23MN MF =，即(32a c =，整理得227690c ac a +−=，即27690e e +−=，解得37e =． 故选：C ．4．（2022春·江苏南通·高三期末）如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC ，BD ，若直线AC 与BD 的斜率之积为14−，则椭圆的离心率为（ ）A ．12 B C D ．34【答案】C【解析】设内层椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由离心率相同可知，外层椭圆的方程为22221()()x y ma mb +=，如图，设切线AC 的方程为1()y k x ma =−， 则1222()()()()y k x ma bx ay ab =−⎧⎨+=⎩， 消去y 得22223224222111()20b a k x ma k x m a k a b +−+−=由Δ0=，得2212211b k a m =⋅−，设切线BD 的方程为2y k x mb =+， 联立2222()()()y k x mb bx ay ab =+⎧⎨+=⎩，消去y 得222222222222()20b b a k x ma k x m a b a b +++−=，由Δ0=得22222(1)b k m a=⋅−，422124,b k k a∴⋅=又直线AC 与BD 的斜率之积为14−，2214b a ∴=2,,a b c ∴=e ∴故选：C5．（2022春·山东聊城·高三山东聊城一中校考阶段练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，A ，B 分别为C 的左右顶点，222:()(0)G x y m m m +−=>e 与y 轴的一个交点为D ，直线AD ，BG 的交点为M ，且MF x ⊥轴，则C 的离心率为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】A【解析】解法一：由题意可知(,0),(,0),(0,2),(0,),(,0)A a B a D m G m F c −−， 故直线AD 的方程为2020()m y m x a −−=−−，即22my x m a=+， 直线BG 的方程为00m y m x a −−=−，即my x m a=+−， 联立直线AD ，BG 的方程，解得3M ax =−.又MF x ⊥轴，所以,33ac a c −=−=，所以C 的离心13c e a ==， 故选：A.解法二：设O 为坐标原点，由题意知(,0),(,0),(0,),(,0),(0,2),//A a B a G m F c D m MF OD −−， 故OAD FAM ，所以||||||||MF AF OD OA =，即2MF a c m a−=，解得2()m a c MF a −=. 又OGB FMB ，所以||||||||MF BF OG OB =，即MF a cm a+= ， 解得()||m a c MF a +=，则()()2m a c m a c a a+−=，得3a c =，所以C 的离心率13c e a == 故选：A.6．（2022春·陕西·高三陕西省榆林中学校联考阶段练习）已知如图，椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，斜率为12的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，若AN NM MB ==，则椭圆C 的离心率e 为（ ）A ．12 BCD【答案】C【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ， ∵AN NM MB ==，∴()1,0M x −，10,2y N ⎛⎫ ⎪⎝⎭．则112,2y B x ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，得211222x x y y =−⎧⎪⎨=−⎪⎩，由22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得：()()()()1212121222x x x x y y y y a b +−+−+=， 即2121221212y y y y b x x x x a−+⋅=−−+， 其中121212y y x x −=−，且11112121113122232y yy y y x x x x x +−===−+，解得：111y x =， 故111121121111122222y y y y y y x x x x x x −+===−=−+−−， 故221122b a ⎛⎫⋅−=− ⎪⎝⎭，解得2214b a =， 故22214a c a −=，∴e =故选：C7．（2022春·广东·高三校联考阶段练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，直线l 过坐标原点并交椭圆于,P Q 两点（P 在第一象限），点A 是x 轴正半轴上一点，其横坐标是点P 横坐标的2倍，直线QA 交椭圆于点B ，若直线BP 恰好是以PQ为直径的圆的切线，则椭圆的离心率为（ ） A ．12 BCD【答案】D【解析】依题意，设()()()()1111221,,,,,,2,0P x y Q x y B x y A x −−，直线,(),PQ QB QA BP 的斜率一定存在,分别为123,,k k k ， 直线BP 恰好是以PQ 为直径的圆的切线,则PQ PB ⊥,则131k k =−, 则()()112111101233y y k k x x x −−===−−，∴3213k k =−，∵2222112222221,1x y x y a b a b +=+=，两式相减得22221212220x x y y a b −−+=， ∴2121221212y y y y b x x x x a +−⋅=−+−，即2232b k k a=−， ∴2213b a −=−，∴2213b a =，∴22222213c b e a a ==−=，∴椭圆的离心率e =， 故选:D ．8．（2022春·浙江金华·高三期末）设O 为坐标原点，12,F F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b −=>>的两个焦点，12,l l 为双曲线的两条渐近线，1F A 垂直1l 于1,A F A 的延长线交2l 于B ，若2OA OB AB +=，则双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】B【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的渐近线方程为：0bx ay ±=，不妨令12:0,:0l bx ay l bx ay +=−=，因为直线1F A 垂直1l ，则111F A l k k ⋅=−，故1F A ak b=，又1(,0)F c −，1OF c = 则点1(,0)F c −到直线1:0l bx ay +=的距离为1AFb =，所以OA a ===，1F A a k b=，又1(,0)F c −，可知直线1F A 的方程为：()ay x c b =+，与2l 联立方程组可得：()ay x c bb y x a⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则()b a x x c a b =+ ，解得22222a cx b a abc y b a ⎧=⎪⎪−⎨⎪=⎪−⎩，故22222,a c abc B b a b a ⎛⎫ ⎪−−⎝⎭, 由||||2||OA OB AB +=,则222||ac OB b a ==−, Rt OAB 中，由勾股定理可得:()()()()224222244222222222222224a c a b a a ca b AB OB OA a bababa −−=−=−==−−−,故2222||ba AB b a =−；又||||2||OA OB AB +=,则2222224ac ba a b a b a +=−−，即2222241c ab b a b a +=−−，因为1F A 的延长线交2l 于B ，此时B 点的纵坐标大于0，即220abcb a>−，故220b a −>，所以2222b a b a −=− ，所以2222241c ab b a b a +=−−化简得2224b a c ab −+=.则224b ab =，故2b a =，则c e a ===故选：B.9．（2022春·广东广州·高三校考期中）已知1F 、2F 为双曲线()222210,0x ya b a b−=>>的左、右焦点，P 为双曲线的渐近线上一点，满足1260F PF ∠=︒，12OP F （O 为坐标原点），则该双曲线的离心率是（ ）A B C D 【答案】A【解析】由题可知，()1,0F c −，()2,0F c ， 根据对称性，不妨设P 为渐近线b y x a =上一点，坐标为,b m m a ⎛⎫⎪⎝⎭，0m >，因为12OP F =2c ，则222212b m c a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故m ，故)P，在12PF F △中，1260F PF ∠=︒，由余弦定理得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+−⋅⋅∠， 即222224))))c c c =+++−+122−，即22224424c a c b =++则22c =4422498c c a c =−， 即22485a c c =，即2285a c =，即2285c a =，所以c e a ==故选：A.10．（2022春·江苏·高三校联考阶段练习）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左､右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与C 交于,A B 两点.若23,2AB a AF AB =⊥，则C 的离心率为（ ）A B C ．23D ．13【答案】A【解析】令1213,2,,2aAF m AF a m BF m ==−=−则 则212BF a m =+， 又22,Rt AF AB ABF ⊥中，222196(2),245a a m a a m m ⎛⎫+=+−∴=⎪⎝⎭， 1264,55a aAF AF ∴==， 12Rt AF F 中，22223616524252525a a a c =+=，所以，离心率e =故选：A. 二、多选题11．（2022春·黑龙江绥化·高三校考阶段练习）已知双曲线2221(0)4x y b b −=>右焦点为1F ，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，点()4,0F −，若ABF △为锐角三角形，则下列说法正确的是（ ） A ．双曲线过点()2,0−B ．直线30x y −=与双曲线有两个公共点C ．双曲线的一条渐近线2b y x =D．双曲线的离心率取值范围为⎛ ⎝⎭【答案】ACD【解析】A 选项：将点()2,0−代入双曲线，得到2222014b−=，符合，所以双曲线过()2,0−点，故A 选项正确；D 选项：因为ABF △是锐角三角形，所以14AFF π∠<，则212tan tan 144b AFFc π∠=<=+，即282b c <+.因为双曲线22214x y b−=中2a =，所以22224b c a c =−=−，所以2482c c −<+，解得11c <c a <.因为1c e a =>，则1e <<，所以双曲线的离心率的取值范围是⎛ ⎝⎭，D 选项正确；C 选项：双曲线的一条渐近线为2b y x =，则斜率为2b ，22241444b c c −==−，又2c c a =<则221144b c =−−=4，所以2942b <<，即2b <故C 选项正确，B 选项：联立2221(0)430x y b b x y ⎧−=>⎪⎨⎪−=⎩，得()222314x x b −=，即()2224360b x b −−=，则()2260316b b ∆−=+，由C 选项得，6b <，此时Δ0<，故B 选项错误. 故选：ACD.12．（2022春·江苏常州·高三统考阶段练习）如图，椭圆1C 与椭圆2C 有公共的左顶点和左焦点，且椭圆2C 的右顶点为椭圆1C 的中心，设椭圆1C 与椭圆2C 的长半轴长分别为1a 和2a ，半焦距分别为1c 和2c ，离心率分别为1e 和2e ，则以下结论中正确的是（ ）A ．2121e e =−B ．1221a c a c >C ．1221a c a c +=+D ．122122a c a c −>−【答案】ACD【解析】由题知1222112,,a a a c a c =⎧⎨−=−⎩①②，由②两边同时加21c c +得1221a c a c +=+，故C 正确； 将①代入②得21222a c a c −=−， 两边同时除以2a 得：112212211222222c c ca a c a a −=−=−=−，即2121e e =−，故A 正确； 由②得11222222c a a c a c c =−+=+>，③③式两边同乘以2a 得1222122c a a c a c >=，故B 错误；由③式得122c c −<−，故两边同加1a 得21111222a c a c c a =−<−−，故D 正确. 故选：ACD13．（2022·浙江·模拟预测）如图，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，且AB ⊥BF ，则C 的离心率为（ ）A ．BF AFB ．22||||AB AFC ．2||AF BF AB ⋅ D【答案】ABD 【解析】由题意知，(,0)A a −，(0,)B b ，(c,0)F ，则(,)AB a b =，(,)BF c b =−， ∵ AB BF ⊥，∴0AB BF ⋅=，即：20ac b −=， ① 又∵ 222b a c =−，②∴由①②得：220c ac a +−=，即：210e e +−=， 又∵ 01e <<，∴e =，故D 项正确；∴c =，∴222222)b a c a =−=−=，∴||||BF aeAF a c=====+，故A 项正确；∴2222222||||()a AB a b e AF a c +====+，故B 项正确；∴222()||||()1||a aAF BF a c a e AB a b ⋅+==≠+，故C 项错误； 故选：ABD.14．（2022春·吉林通化·高三梅河口市第五中学校考期末）如图，P是椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线22222:1(0,0)x y C m n m n −=>>在第一象限的交点，且12,C C 共焦点121212,,,,F F F PF C C ∠θ=的离心率分别为12,e e ，则下列结论不正确的是（ ）A ．12,PF m a PF m a =+=−B ．若60θ=︒，则2221314e e += C ．若90θ=︒，则2212e e +的最小值为2D ．tan2b nθ=【答案】ACD【解析】依题意，121222PF PF aPF PF m ⎧+=⎪⎨−=⎪⎩，解得12,PF a m PF a m =+=-，A 不正确；令12||2F F c =，由余弦定理得：22222222212122212||||||()()42cos 2||||2()()PF PF F F a m a m c a m c PF PF a m a m a m θ+−++−−+−===+−−，当60θ=︒时，22234a m c +=，即22()3()4a m c c+=，因此2221314e e +=，B 正确；当90θ=︒时，2222a m c +=，即22()()2a m c c+=，有2212112e e +=，而221201e e <<<，则有22222222121122()22e e e e e e +<+=，解得22122e e >+，C 不正确； 22222222222222222221()2()()cos ()()1()n a m c a c c m b n b n a m a c c m b n bθ−+−−−−−====−−+−++， 22222222cos sin 1tan 222cos cos sin 22cos sin 1tan 222θθθθθθθθθ−−=−==++，于是得22221()1tan 21tan 1()2n b n bθθ−−=++，解得22tan()2n b θ=，而tan 0,02n b θ>>，因此tan 2nbθ=，D 不正确. 故选：ACD15．（2022春·山西运城·高三校考阶段练习）已知12F F 、分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b −=>>的左、右焦点，过点2F 的直线与双曲线的右支交于AB 、两点，记12AF F △的内切圆1I 的半径为112,r BF F 的内切圆2I 的半径为2r ，若212r r a =，则（ ）A ．1I 、2I 在直线x a =上B ．双曲线的离心率2e =C ．1ABF 内切圆半径最小值是32aD ．12r r +的取值范围是2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】ABC 【解析】对A ：过1I 分别作1AF 、2AF 、12F F 的垂线，垂足分别为D 、E 、F ，则1122,,AD AE F D F F F E F F ===，∵122AF AF a −=，则()()112122AD DF AE EF F F F F a +−+=−=， 又∵12122F F F F F F c =+=，则11FF OF OF a c =+=+， ∴OF a =，即1I 在直线x a =上， 同理可得：2I 在直线x a =上， A 正确； 对B ：∵2212121221，A B I F I F F I F I F F ∠∠∠∠==，则1221212121222I F I F I F F I F F F I A B I ∠∠∠∠∠++==， ∴122π2I F I ∠=， 又∵1222I F F F F FI F=，则2122I F I F F F =，即2212()r r c a a =−=，∴2c a =，故离心率为2ce a==，B 正确； 对C ：∵2e =，则2,c a b =，∴()22,0F a，双曲线的渐近线方程为y =，则直线AB 的倾斜角π2π,33θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设AB 直线方程为2x my a =+，()()1122,,,,m A x y B x y ⎛∈ ⎝⎭，联立方程2222213x my ax y a a=+⎧⎪⎨−=⎪⎩，消去x 得：()222311290m y may a −++=，∴2121222129,3131ma a y y y y m m +=−=−−，则()2121226113a m y y AB y m +−==−=−， 设1ABF 内切圆半径为r ，其周长()()()1112122242L AF BF AB AF AF BF BF AF BF AB a AB =++=−+−+++=+()2221211641313a m a a m m +=+=−−，根据1ABF 的面积可得：1212112222Lr c y y a y y =⨯⨯−=−，则122431316213a y y m r a a L m −−==≥−，C 正确； 对D ：由题意不妨设12I F F ∠α=，ππ,32θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，∵2παθ+=，则πππ,243θα−⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭，令tan t α⎡=∈⎣，∴12tan r FF at α==，22πtan 2a r FF t α⎛⎫=−= ⎪⎝⎭，121r r a t t ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，又∵1y t t=+在⎡⎣上单调递增，∴1212r r a t a t ⎡⎫⎛⎫+=+∈⎪⎢ ⎪⎪⎝⎭⎣⎭，D 错误； 故选：ABC.16．（2022春·福建厦门·高三厦门双十中学校考期中）已知1F ，2F 是双曲线E ：()222210,0x y a b a b−=>>的左、右焦点，过1F 作倾斜角为30°的直线分别交y 轴与双曲线右支于点M ，P ，1PM MF =，下列判断正确的是（ ） A ．21π3PF F B ．2112MF PF =C ．ED ．E 的渐近线方程为y =【答案】BD【解析】如下图所示，因为1PM MF =，即M 为1PF 中点，O 为12F F 中点，所以2//OM PF ，因为12OM F F ⊥，所以212PF F F ⊥，所以21π2PF F ∠=，2112MF PF =，A 错误，B 正确； 由212PF F F ⊥知222221PF ca b−=，所以22b PF a=，又122F F c =，1230PF F ∠=，2c =)222c a ac −=220e −，解得：e =C 错误；所以==c e a 223c a =，所以22222b c a a =−=，所以ba= 所以E 的渐近线方程为y =，D 正确．故选：BD ．三、填空题17．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线2222:1x yC a b−=上，点H 在直线x a =上，且满足122340HP HF HF ++=.若存在实数λ使得122112sin sin PF PF OH OP PF F PF F λ⎛⎫=++ ⎪∠∠⎝⎭，则双曲线C 的离心率为_____________ 【答案】2【解析】设直线PH 交x 轴于点Q ，如图，设12PF F △的外接圆半径为R ，由122112sin sin PF PF OH OP PF F PF F λ⎛⎫=++ ⎪∠∠⎝⎭，有12211222sin 2sin PF PF OH OP R R PF F R PF F λ⎛⎫=+⋅+ ⎪∠∠⎝⎭，故12122PF PF PH R PF PF λ⎛⎫⎪=⋅+ ⎪⎝⎭，所以直线PH 过12PF F △的内心， 设12PF F △的内切圆圆心为I ，内切圆圆I 分别切1PF 、2PF 、12F F 于点M 、N 、T ，由切线长定理可得11F M FT =，22F N F T =，PM PN =， 所以，()()1212122PF PF PM F M PN F N FT F T a −=+−+=−=， 结合图形可得()()22T T T x c c x x a +−−==，所以，T x a =， 故12PF F △的内心的横坐标为a ，因为点H 在直线x a =上，所以点H 为12PF F △的内心.由122340HP HF HF ++=可得()()122340PH PF PH PF PH −+−+−=， 所以，12934PH PF PF =+，记12934777PH PF PF =+，设123477PG PF PF =+，则()()214377PG PF PF PG −=−，所以，2134F G GF =， 所以，点G 在直线12F F 上，又因为12PH F F Q =，故点G 与点Q 重合，且有12934777PH PF PF PQ =+=，由角平分线的性质可知点Q 到直线1PF 、2PF 的距离相等， 故12112243PF Q PF QS PF FQ S PF F Q===△△，同理可得1212PH PF PF HQ FQ F Q ==，令23PF m =，则14PF m =，且1212121272PH PF PF PF PF HQFQ F QFQ F Q +====+， 故12122FQ F Q F F m +==. 则双曲线C 的离心率12122243F F c me a PF PF m m====−−.故答案为：2.18．（2022·河南·模拟预测）已知椭圆1C 和双曲线2C 有共同的左、右焦点12,F F ，M 是它们的一个交点，且12π4F MF ∠=，记1C 和2C 的离心率分别为12,e e ，则12e e 的最小值是___________.【解析】不妨设M 为第一象限的点．如图，设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，则根据椭圆及双曲线的定义知1212MF MF a +=，1222MF MF a −=， 所以112MF a a =+，212MF a a =−， 设122=F F c 在12MF F △中，12π4∠=F MF ， 由余弦定理得，()()()()22212121212π42cos4=++−−+−c a a a a a a a a ，化简得((22212224a a c +=，124=()1201,1e e <<>，所以124=≥所以12e e12=2212==e e 等号成立， 所以12e e．19．（2022·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考二模）第24届冬奥会，是中国历史上第一次举办的冬季奥运会，国家体育场(鸟巢)成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD ，且两切线斜率之积等于916−，则椭圆的离心率为______．【解析】设内层椭圆方程为22221x y a b +=()0a b >>，由于内外椭圆离心率相同，由题意可设外层椭圆方程为()()22221x y ma mb +=()1m >.所以A 点坐标为(),0ma −，B 点坐标为()0,mb ，设切线AC 的方程为()1y k x ma =+，切线BD 的方程为2y k x mb =+，联立直线AC 的方程与内层椭圆方程()222211x y a b y k x ma ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得，()2222322242211120k ab x ma k x m k a a b +++−=，因为直线AC 与椭圆相切，所以()()()23222222422111Δ240ma k k a b m k a a b =−+−=，整理可得，2212211b k a m =⋅−.同理，联立直线BD 的方程与内层椭圆方程222221x y a b y k x mb⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，可推出()222221b k m a =−，所以()224222122224111b b b k k m a m a a=⋅⨯−=−.因为12916k k =−，所以22916b a =，则222222c a b e a a −==227116b a =−=，所以e =.20．（2022·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考一模）双曲线 22221(00)x y a b a b−=>>，的左顶点为A ， 右焦点()0F c ，， 若直线x c =与该双曲线交于B C 、两点，ABC 为等腰直角三角形， 则该双曲线离心率为__________ 【答案】2【解析】联立 22222221x cx y a b c a b =⎧⎪⎪−=⎨⎪=+⎪⎩， 可得2b y a =±， 则22b BC a =，因为点 B C 、关于x 轴对称， 且F 为线段BC 的中点， 则AB AC =.又因为 ABC 为等腰直角三角形， 所以，2BC AF =， 即()222b c a a=+， 即 ()222a c abc a +==−， 所以，a c a =−， 可得2c a =，因此， 该双曲线的离心率为 2ce a==． 故答案为：221．（2022·上海崇明·统考一模）已知椭圆1Γ与双曲线2Γ的离心率互为倒数，且它们有共同的焦点1F 、2F ，P 是1Γ与2Γ在第一象限的交点，当12π6F PF ∠=时，双曲线2Γ的离心率等于______.【答案】2【解析】设椭圆1Γ标准方程为()2211221110x y a b a b +=>>，椭圆离心率为1e ，设双曲线2Γ标准方程为()2222222210,0x y a b a b −=>>，双曲线离心率为2e ，由题可知：121e e ⋅=．设1PF m =，2PF n =，则122222,2,π42cos ,6m n a m n a c m n mn ⎧⎪+=⎪−=⎨⎪⎪=+−⋅⎩①②③， 由①②得，12m a a =+，12n a a =−，代入③整理得，((22212422c a a =+，两边同时除以2c得，124=即(22242e =即(42222420e e −+=，解得222(2e =，即2e=2故答案为：222．（2022·广东广州·统考一模）如图是数学家Germinal Dandelin 用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切，设图中球1O ，球2O 的半径分别为4和2，球心距离12O O =面分别与球1O ，球2O 相切于点,E F （,E F 是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于__________.【答案】13【解析】设12O O EF D ⋂=，由22112112O D O F O D O E O D O D ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，解得21O D O D =所以42,33DE DF ====， 所以4222,133c c =+==， 设直线EF 与圆锥的母线相交于点A ， 圆锥的母线与球相切于,B C 两点，如图所示， 则,AB AE AC AF ==，两式相加得2AB AC AE AF a c a c a +=+=−++=，即2BC a =， 过2O 作21O G O B ⊥，垂直为G ， 则四边形2BGO C 为矩形，所以26a BC ===，3a =，所以椭圆的离心率为13c a=. 故答案为：13。
高中数学《圆锥曲线的离心率问题》基础知识与练习题(含答案解析)
高中数学《圆锥曲线的离心率问题》基础知识与练习题（含答案解析）离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，一方面刻画了椭圆，双曲线的形状，另一方面也体现了参数,a c 之间的联系。
一、基础知识： 1、离心率公式：ce a=（其中c 为圆锥曲线的半焦距） （1）椭圆：()0,1e ∈ （2）双曲线：()1,+e ∈∞2、圆锥曲线中,,a b c 的几何性质及联系 （1）椭圆：222a b c =+，① 2a ：长轴长，也是同一点的焦半径的和：122PF PF a += ② 2b ：短轴长 ③ 2:c 椭圆的焦距 （2）双曲线：222c b a =+① 2a ：实轴长，也是同一点的焦半径差的绝对值：122PF PF a −=② 2b ：虚轴长 ③ 2:c 椭圆的焦距3、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数,,a b c 的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向：（1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a 有关，另一条边为焦距。
从而可求解 （2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用,,a b c 进行表示，再利用条件列出等式求解2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：（1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求。
如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用,,a b c 表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口（2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可（3）通过一些不等关系得到关于,,a b c 的不等式，进而解出离心率注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：()0,1e ∈，双曲线：()1,+e ∈∞ 二、典型例题：例1：设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=，则椭圆的离心率为（ ） A ．33 B ．36C ．13D ．16思路：本题存在焦点三角形12PF F ，由线段1PF 的中点在y 轴上，O 为12F F 中点可得2PF y ∥轴，从而212PF F F ⊥，又因为1230PF F ∠=，则直角三角形12PF F 中，1212::2:1:3PF PF F F =，且12122,2a PF PF c F F =+=，所以12122323F F c c e a a PF PF ∴====+ 答案：A小炼有话说：在圆锥曲线中，要注意O 为12F F 中点是一个隐含条件，如果图中存在其它中点，则有可能与O 搭配形成三角形的中位线。
高考数学复习选填题专项练习35---离心率(解析版)
高考数学复习选填题专项练习35---离心率第I 卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2020·甘肃高三模拟）若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线6310x y -+=垂直，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2 BC D ．【答案】B 【解析】【分析】由题中垂直关系，可得渐近线的方程，结合222c a b =+，构造齐次关系即得解【详解】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线6310x y -+=垂直．∴双曲线的渐近线方程为12y x =±．12b a ∴=，得2222214,4b a c a a =-=．则离心率2c e a ==．故选：B【点睛】本题考查了双曲线的渐近线和离心率，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算的能力，属于中档题.2．（2020·山西高三模拟）已知椭圆C ：22221,(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，若点F 关于直线0x y +=的对称点G 在椭圆C 上，则椭圆的离心率为（ ）A B C ．23D 【答案】B 【解析】【分析】根据椭圆的几何性质及点关于直线的对称点可得G 点坐标，代入椭圆方程即可确定a 与c 的关系，进而得离心率.【详解】椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，则椭圆焦点(,0)F c -，点F 关于直线0x y +=的对称点G 在椭圆C 上，则(0,)G c ，因为G 在椭圆上，代入可得22201c a b+=，则b c =，由222a b c =+可得a =，所以2c e a ==，故选：B. 【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质及简单应用，点关于直线对称点问题，属于基础题.3．（2020·河北石家庄二中高三月考）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，P 是双曲线上在第一象限内的点，直线PO 、2PF 分别交双曲线C 左、右支于另一点M 、N ，122PF PF =，且260MF N ∠=o ，则双曲线C 的离心率为（ ）A B CD 【答案】B 【解析】【分析】利用定义求出14PF a =，22PF a =，根据双曲线的对称性可得12MF PF 为平行四边形，从而得出1260F PF ∠=o，在12F PF ∆内使用余弦定理可得出a 与c 的等量关系，从而得出双曲线的离心率.【详解】由题意，122PF PF =，122PF PF a -=，14PF a ∴=，22PF a =.连接1MF 、2MF ，根据双曲线的对称性可得12MF PF 为平行四边形，260MF N ∠=oQ ，1260F PF ∴∠=o ，由余弦定理可得2224164242cos60c a a a a =+-⋅⋅⋅o ，c ∴=，ce a∴==，故选B. 【点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的等式，从而求出e 的值.本题是利用点到直线的距离等于圆半径构造出关于e 的等式，最后解出e 的值.4．（2020·河南高三月考）已知点,M N 是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>上的两点，且线段MN 恰为圆()2220x y r r +=>的一条直径，A 为椭圆C 上与,M N 不重合的一点，且直线,AM AN 斜率之积为13-，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．13 B ．23 C．3D．3【答案】D 【解析】【分析】由题意知点,M N 关于原点对称，设出,,M N A 的坐标并代入椭圆方程，利用直线,AM AN 斜率之积为13-列方程，化简后求得22b a，由此求得椭圆离心率.【详解】由题意知点,M N 关于原点对称，设(),M s t ，则(),N s t --，设()00,A x y ，由22221s t a b+=，2200221x y a b +=相减得22202220t y b s x a -=--，所以222000222000AM AN t y t y t y b k k s x s x s x a ----⋅=⋅==-----，所以2213b a =，椭圆C的离心率为3e ==.故选：D ． 【点睛】本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.5．（2020·河南高三月考）已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>的离心率与双曲线22222:1x y C a b-=的离心率的一个等比中项为2，则双曲线2C 的渐近线方程为（ ） A ．14y x =±B ．12y x =±C．y x =D．y = 【答案】D 【解析】【分析】根据等比中项的性质列方程，化简后求得ba，进而求得双曲线2C 的渐近线方程. 【详解】由题意得222222916a b a b a a -+⋅=，所以4716b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，b a=，所以双曲线2C 渐近线方程为2y x =±.故选：D ． 【点睛】本小题主要考查等比中项的性质，考查椭圆和双曲线的离心率，考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题.6．（2020·广东省普宁市华美实验学校高三月考）若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为 （ ）A ．2 BCD【答案】A【解析】由几何关系可得，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心()2,0到渐近线距离为d =()2,0到直线0bx ay +=的距离为2bd c=== 即2224()3c a c -=，整理可得224c a =，双曲线的离心率2e ===．故选A ． 【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．7．（2020·重庆一中高三月考）椭圆C ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 交于A ，B 两点，F 1A 与y 轴相交于点D ，若BD ⊥F 1A ，则椭圆C 的离心率等于（ ）A ．13BC ．12D【答案】D 【解析】【分析】由题意可得A ，B 的坐标，且知点D 为1F A 的中点，再由1BD F A ⊥，利用斜率之积等于1-列式求解．【详解】由题意可得，2(,)b A c a ，2(,)b B c a -，则点D 为1F A 的中点，2(0,)2b D a∴，由1BD F A ⊥，得11BD F A k k =-g ，即222212b b b a a a c c--=-g22ac =，∴22)2a c ac -=2+20e =，解得3e =．【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，考查两直线垂直与斜率的关系，是中档题．8．（2020·浙江省桐乡市高级中学高三一模）已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PA m PF =，若m 取得最大值时，点P 恰好在以,A F 为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ） A1 B1C．12D．12【答案】B 【解析】【分析】设(),P x y ，利用两点间的距离公式求出m 的表达式，结合基本不等式的性质求出m 的最大值时的P 点坐标，结合椭圆的定义以及椭圆的离心率公式求解即可.【详解】设(),P x y ，因为A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，所以()()0,1,0,1A F -，则PA m PF====，当0y =时，1m =，当0y >时，m ==≤= 当且仅当1y =时取等号，∴此时()2,1P ±，2PA PF ==，Q 点P 在以,A F 为焦点的椭圆上，22c AF ==，∴由椭圆的定义得22a PA PF =+=，所以椭圆的离心率212c c e a a ====，故选B. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．9．（2020·全国高三月考）双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的上焦点为(1F ，点A 的坐标为(1,0)，点P 为双曲线下支上的动点，且1APF ∆周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（ ）A B C ．2D ．【答案】D 【解析】【分析】由题意可得1||3AF =，可得1||||PA PF +的最小值为5，设2F 为双曲线的下焦点，由双曲线的定义可得2||||2PA PF a ++的最小值为4，当A ，P ，2F 三点共线时，取得最小值，可得1a =，由离心率公式可得所求值．【详解】双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的上焦点为1(0F ，，点A 的坐标为(1,0)，1||3AF =，三角形1APF 的周长的最小值为8，可得1||||PA PF +的最小值为5，又2F 为双曲线的左焦点，可得12||||2PF PF a =+，当A ，P ，2F 三点共线时，1||||PA PF +取得最小值，且为2||3AF =，即有325a +=，即1a =，c =ce a==D ．【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率的求法，考查三点共线取得最小值的性质，考查方程思想和运算能力．10. （2020·福建省连城县第一中学高三一模）已知椭圆22y a +22x b=1(a >b >0)与直线1y a x b -=交于A ，B 两点，焦点F (0，-c )，其中c 为半焦距，若△ABF 是直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ）A ．2B ．2C ．14D ．14【答案】A 【解析】【分析】联立直线与椭圆方程求出交点A ，B 两点，利用平面向量垂直的坐标表示得到关于,,a b c 的关系式，解方程求解即可.【详解】联立方程222211y x a b y x a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解方程可得0x y a =⎧⎨=⎩或0x b y =-⎧⎨=⎩，不妨设A (0，a )，B (-b ，0)，由题意可知，BA u u u r ·BF u u u r=0，因为(),BA b a =u u u r ，(),BF b c =-u u u r ，由平面向量垂直的坐标表示可得，0b b ac ⋅-=，因为222b a c =-，所以a 2-c 2=ac ，两边同时除以2a 可得，210e e +-=，解得e=2或12e -=（舍去），所以该椭圆的离心率为2.故选：A 【点睛】本题考查椭圆方程及其性质、离心率的求解、平面向量垂直的坐标表示；考查运算求解能力和知识迁移能力；利用平面向量垂直的坐标表示得到关于,,a b c 的关系式是求解本题的关键；属于中档题、常考题型。
高考数学二轮复习专题11 离心率问题速解(精讲精练)(解析版)
专题11离心率问题速解【命题规律】求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题，多以选择、填空题的形式考查，难度中等．【核心考点目录】核心考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题核心考点二：焦点三角形顶角范围与离心率核心考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题核心考点四：椭圆与双曲线的4a 通径体核心考点五：椭圆与双曲线的4a 直角体核心考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题核心考点七：双曲线的4a 底边等腰三角形核心考点八：焦点到渐近线距离为b核心考点九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形核心考点十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题核心考点十一：渐近线平行线与面积问题【真题回归】1．（2022·全国·统考高考真题）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（）A2B．2C ．12D ．13【答案】A【解析】[方法一]：设而不求设()11,P x y ，则()11,Q x y -则由14AP AQk k ⋅=得：21112211114AP AQ y y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+-+-+，由2211221x y a b +=，得()2221212b a x y a -=，所以()2221222114b a x ax a -=-+，即2214b a =，所以椭圆C 的离心率c e a = A.[方法二]：第三定义设右端点为B ，连接PB ，由椭圆的对称性知：PB AQk k =-故14AP AQ PA AQ k k k k ⋅=⋅-=-，由椭圆第三定义得：22PA AQb k k a⋅=-，故2214b a =所以椭圆C 的离心率c e a = A.2．（2021·天津·统考高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若|CD AB ．则双曲线的离心率为（）A BC ．2D ．3【答案】A【解析】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c y a b -=，解得2b y a =±，所以22b AB a=,又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bc a =c =，所以222212a c b c =-=，所以双曲线的离心率ce a==故选：A.3．（2021·全国·统考高考真题）设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（）A ．⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C【解析】设()00,P x y ，由()0,B b ，因为2200221x y a b+=，222a b c =+，所以()()2223422222220000022221y c b b PB x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0b y b -≤≤，当32bb c-≤-，即22b c ≥时，22max 4PB b =，即max 2PB b =，符合题意，由22b c ≥可得222a c ≥，即0e <≤；当32b b c ->-，即22b c <时，42222max b PB a b c=++，即422224b a b b c ++≤，化简得，()2220c b -≤，显然该不等式不成立．故选：C ．4．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）双曲线C 的两个焦点为12,F F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且123cos 5F NF ∠=，则C 的离心率为（）A B ．32C ．2D ．2【答案】AC【解析】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用情况一M 、N 在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为B ，所以1OB F N ⊥，因为123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的左支，OB a =，1OF c =，1FB b =，设12F NF α∠=，由即3cos 5α=，则4sin 5α=，235NA NF 22a a ==，21NF NF 2a-=532222a a b a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，2b e a =∴=，选A 情况二若M 、N 在双曲线的两支，因为123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的右支，所以OB a =，1OF c =，1FB b =，设12F NF α∠=，由123cos 5F NF ∠=，即3cos 5α=，则4sin 5α=，235NA NF 22a a ==，12NF NF 2a -=352222a b a a +-=，所以23b a =，即32b a =，所以双曲线的离心率2c e a ==选C[方法二]：答案回代法A e =选项特值双曲线())22121,F ,F 4x y -=∴，过1F 且与圆相切的一条直线为(y 2x =+，两交点都在左支,N ⎛∴ ⎝，2112NF 5,NF 1,FF ∴===则123cos 5F NF ∠=，C e =选项特值双曲线())2212x y 1,F ,F 49-=∴，过1F 且与圆相切的一条直线为(2y x 3=，两交点在左右两支，N 在右支，N ∴，2112NF 5,NF 9,FF ∴===则123cos 5F NF ∠=，[方法三]：依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为G ，若,M N 分别在左右支，因为1OG NF ⊥，且123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的右支，又OG a =，1OF c =，1GF b =，设12F NF α∠=，21F F N β∠=，在12F NF △中，有()212sin sin sin NF NF cβαβα==+，故()122sin NF NF cαββα-=+-即()sin sin sin a c αββα=+-，所以sin cos cos sin sin sin a cαβαββα=+-，而3cos 5α=，sin a c β=，cos b c β=，故4sin 5α=，代入整理得到23b a =，即32b a =，所以双曲线的离心率c e a ==若,M N 均在左支上，同理有()212sin sin sin NF NF c βαβα==+，其中β为钝角，故cos bcβ=-，故()212sin sin sin NF NF c βαβα-=-+即sin sin cos cos sin sin a cβαβαβα=--，代入3cos 5α=，sin a c β=，4sin 5α=，整理得到：1424a b a =+，故2a b =，故2e ==，故选：AC.5．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE V 的周长是________________．【答案】13【解析】∵椭圆的离心率为12c e a ==，∴2a c =，∴22223b a c c =-=，∴椭圆的方程为222222213412043x y x y c c c+=+-=，即，不妨设左焦点为1F ，右焦点为2F ，如图所示，∵222AF a OF c a c ===，，，∴23AF O π∠=，∴12AF F △为正三角形，∵过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，DE 为线段2AF 的垂直平分线，∴直线DE 的斜率为3，斜率直线DE 的方程：x c -，代入椭圆方程22234120x y c +-=，整理化简得到：221390y c --=，判别式()22224139616c c ∆=+⨯⨯=⨯⨯，∴122264613cDE y =-=⨯⨯⨯⨯=，∴138c =，得1324a c ==，∵DE 为线段2AF 的垂直平分线，根据对称性，22AD DF AE EF ==，，∴ADE V 的周长等于2F DE △的周长，利用椭圆的定义得到2F DE △周长为22221121222413DF EF DE DF EF DF EF DF DF EF EF a a a ++=+++=+++=+==.故答案为：13.6．（2022·浙江·统考高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，过F 且斜率为4ba的直线交双曲线于点()11,A x y ，交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<．若||3||FB FA =，则双曲线的离心率是_________．【解析】过F 且斜率为4ba 的直线:()4b AB y xc a =+，渐近线2:b l y x a=，联立()4b y x c a b y xa ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得,33c bc B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由||3||FB FA =，得5,,99c bc A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭而点A 在双曲线上，于是2222222518181c b c a a b -=，解得：228124c a =，所以离心率e 4=.故答案为：4．7．（2022·全国·统考高考真题）记双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为e ，写出满足条件“直线2y x =与C 无公共点”的e 的一个值______________．【答案】2（满足1e <≤【解析】2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，所以C 的渐近线方程为b y x a =±,结合渐近线的特点，只需02b a <≤，即224b a≤，可满足条件“直线2y x =与C 无公共点”所以==c e a 又因为1e >，所以1e <≤故答案为：2（满足1e <≤皆可）【方法技巧与总结】求离心率范围的方法一、建立不等式法：1、利用曲线的范围建立不等关系．2、利用线段长度的大小建立不等关系．12,F F 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，P 为椭圆上的任意一点，[]1,PF a c a c ∈-+；12,F F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，1PF c a ≥-．3、利用角度长度的大小建立不等关系．12,F F 为椭圆22221x y a b +=的左、右焦点，P 为椭圆上的动点，若12F PF θ∠=，则椭圆离心率e 的取值范围为sin12e θ≤<．4、利用题目不等关系建立不等关系．5、利用判别式建立不等关系．6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．7、利用基本不等式，建立不等关系．【核心考点】核心考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题【典型例题】例1．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,124ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则该椭圆的离心率e 的取值范围是（）A ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2⎝⎭C ．,23⎛ ⎝⎭D ．23⎫⎪⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题意椭圆22221x y a b+=()00a b >>，上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，设左焦点为N ，连接AN ，BN ，因为AF ⊥BF ，所以四边形AFBN 为长方形．根据椭圆的定义：2AF AN a +=，由题∠ABF ＝α，则∠ANF ＝α，所以22cos 2sin a c c αα+＝，利用2112sin cos 4c e a πααα===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∵,124ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴342πππα<+<14πα<⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即椭圆离心率e 的取值范围是23⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，故选B .例2．（2022春·辽宁葫芦岛·高二统考期中）已知点12F F ，分别是椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的左、右焦点，点P 12PF F ∆是直角三角形的动点P 恰好有6个，则该椭圆的离心率为（）A ．12BC．2D【答案】C【解析】由题意知，椭圆的最大张角为090，所以b c =，所以a =，所以c e a ===，故应选C ．例3．（2022秋·安徽·高二校联考开学考试）若P 是以1F ，2F 为焦点的椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上的一点，且120PF PF ⋅= ，125tan 12PF F ∠=，则此椭圆的离心率为（）AB ．1517C ．1315D ．1317【答案】D【解析】因为120PF PF ⋅=，所以12PF PF ⊥，在12Rt PF F 中，设25PF m =（0m >），则112PF m =，1213F F m ==，所以213c m =，12217a PF PF m =+=，所以213217c e a ==.故选：D.核心考点二：焦点三角形顶角范围与离心率【典型例题】例4．（2022春·福建漳州·高二校联考期中）已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>），椭圆的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的任意一点，且满足120PF PF ⋅>，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．122⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由已知得1(,0)F c -，2(,0)F c ，设()00,P x y ，则()100,PF c x y =--- ，()200,PF c x y =--，因为120PF PF ⋅> ，所以()()0000,,0c x y c x y ---⋅-->，即222000c x y -++>，即22200x y c +>，因为点P 是椭圆上的任意一点，所以2200x y +表示椭圆上的点到原点的距离的平方，因为()22200minx y b +=，所以22b c >，所以222a c c ->，即2212c a <，所以2c e a ⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，故选：B ．例5．（2022春·北京·高二人大附中校考期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若C 上存在一点P ，使得12120F PF ︒∠=，且12F PF △，则C 的离心率的取值范围是（）A ．⎛ ⎝⎦B ．110,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．311212⎫⎪⎢⎣⎭D ．11,112⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】设12||2=F F c ，12F PF △内切圆的半径为r ．因为12||+||2PF PF a =，所以()22212121212||||||2||||(1cos1204|||)|F F PF PF PF PF a PF PF ︒=+-+=-，则212||||4PF PF b =．由等面积法可得)22211(22)4sin12022a c rb ac ︒+=⨯⨯=-，整理得)r a c =-，又12r a >故1112c a <．又12120F PF ︒∠=，所以16900F PO ︒∠≤≤则c a ≥11212e ≤<．故选：C例6．（2022春·新疆乌鲁木齐·高二乌市八中校考阶段练习）已知1F ，2F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点，若存在点P 为椭圆上一点，使得1260F PF ∠=︒，则椭圆离心率e 的取值范围是（）．A ．,12⎫⎪⎪⎣⎭B ．2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．122⎡⎫⎢⎣⎭【答案】C 【解析】如图，当动点P 在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P 对两个焦点的张角12F PF ∠渐渐增大，当且仅当P 点位于短轴端点0P 处时，张角12F PF ∠达到最大值．由此可得：存在点P 为椭圆上一点，使得1260F PF ∠=︒，012P F F ∴△中，10260F P F ∠≥︒，可得02Rt P OF △中，0230OP F ∠≥︒，所以02P O ，即b ≤，其中c =2223a c c ∴-≤，可得224a c ≤，即2214c a ≥椭圆离心率ce a=，且0a c >>112e ∴≤<故选:C例7．（2022春·吉林辽源·高三辽源市第五中学校校考期中）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且ππ[,]64α∈，则该椭圆离心率e 的最大值为___________.1-【解析】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B 、F 为其右焦点，设椭圆的左焦点为N ，连接,,,AF AN BF BN ，所以四边形AFBN为长方形，根据椭圆的定义2AF AN a +=，且ABF α∠=，则ANF α∠=，所以22cos 2sin a c c αα=+，又由离心率的公式得211π2sin cos )4c e a ααα==++，由ππ[,]64α∈，则5πππ1242α≤+≤，所以112)π4α≤≤+1-.1例8．（2022春·黑龙江佳木斯·高二建三江分局第一中学校考期中）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,63ππα⎡⎤∈⎢⎣⎦，则该椭圆的离心率e 的取值范围是___________.【答案】2,312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】椭圆上点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，设左焦点为1F ，连接11AF AF BF BF ，，，，则四边形1AFF B 为矩形.根据椭圆的定义：12AF AF a ABF α+=∠=，，则1BAF α∠=.∴1||2c sin ||2cos 22cos 2AF AF c a c c sin αααα=⋅=⋅=⋅+⋅，，椭圆的离心率2112sin cos 2sin 4c e a πααα===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴51242πππα≤+≤，则2(31)sin 144πα+⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，∴213122sin()4πα≤≤-+，∴椭圆离心率e 的取值范围2312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，.故答案为：2312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，例9．（2022·高二单元测试）椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF θ∠=，且5,412ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率的取值范围为________.【答案】2623⎢⎣⎦【解析】记椭圆C 的左焦点为F '，连AF '，BF '，由椭圆的对称性和性质知BF AF '=，2AF B AFB π∠∠=='，由2AF BF a +=，可得2cos 2sin 2c c a θθ+=，得11sin cos 4c e a πθθθ===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由5,412ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得2,423πππθ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦sin 14πθ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，所以23e ≤≤.故答案为：2⎢⎣⎦.核心考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题【典型例题】例10．（2022春·江苏苏州·高二江苏省苏州第十中学校校考阶段练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点12,,,F F P Q 分别是它们在第一象限和第三象限的交点，且260QF P ∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，则221231e e +等于_______．【答案】4【解析】设椭圆长半轴长为1a ，双曲线实半轴长为2a ，()1,0F c -，()2,0F c ，P 为两曲线在第一象限的交点，Q 为两曲线在第三象限的交点.由椭圆和双曲线定义知：1212+=PF PF a ，1222-=PF PF a ，112PF a a ∴=+，212=-PF a a ，由椭圆和双曲线对称性可知：四边形12PF QF 为平行四边形，260QF P ∠= ，12120F PF ∴∠= ，222121212122cos F F PF PF PF PF F PF ∴=+-∠，即()()()()22222121212121243c a a a a a a a a a a =++-++-=+，22122222123314a a e e c c∴+=+=.故答案为：4.例11．（2022春·山东青岛·高二统考期末）已知椭圆1C 和双曲线2C 有共同的焦点1F ，2F ，P 是它们的一个交点，且1223F PF π∠=，记椭圆1C 和双曲线2C 的离心率分别为1e ，2e ，则2212484w e e =+的最小值为（）A ．24B ．37C ．49D ．52【答案】C【解析】设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长2a ，焦距2c ,则1212+=PF PF a ，1222-=PF PF a ，解得112=+PF a a ，212=-PF a a，如图在△F1PF2中,根据余弦定理可得：()()()22212121222cos3F F PF PF PF PF π=+-⋅，整理得2221243c a a =+，即2212314e e +=，所以()2222222112122222121231213148448437494e e w e e e e e e e e ⎛⎫=+=⨯+⨯+=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当1242e e ==时，取等号.故选:C.例12．（2022春·广西·高三校联考阶段练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F ，2F ，P 是它们的一个交点，且12π3F PF ∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则12e e ⋅的最小值为（）A2B ．34CD ．3【答案】A【解析】如图，设椭圆的长半轴为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，则根据椭圆及双曲线的定义：1211222,2PF PF a PF PF a +=-=，所以112212,PF a a PF a a =+=-，设122F F c =，因为12π3F PF ∠=，则在12PF F △中，由余弦定理得：22212121212π4()()2()()cos3c a a a a a a a a =++--+-，化简得：2221234a a c +=，即2212134e e +=，从而有2212134e e =+≥整理得12e e ⋅≥=（当且仅当122e e =时等号成立）故选：A.例13．（2022春·辽宁沈阳·高二沈阳市第三十一中学校考阶段练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F ，2F ，P 是它们的一个交点，且123F PF π∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则当121e e 取最大值时，1e ，2e 的值分别是（）A2，2B ．12C．3D．4【答案】A【解析】不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为：()222210x y a b a b+=>>，c =2222111x y a b -=，c =设1PF m =，2PF n =．m n >．则2m n a +=，12m n a -=，∴1m a a =+，1n a a =-．因为123F PF π∠=，所以()22221cos322m n c mnπ+-==，即()()()()22211114a a a a c a a a a ++--=+-．∴2221340a a c +-=，∴2221314e e +=，∴4≥，则121e e ≤12e =2e =时取等号．故选：A ．例14．（2022·河南洛阳·校联考模拟预测）已知椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>和双曲线2C ：()222210,0x y m n m n-=>>有共同的焦点1F ，2F ，P 是它们在第一象限的交点，当1260F PF ∠=︒时，1C 与2C 的离心率互为倒数，则双曲线2C 的离心率是（）ABC ．2D【答案】B【解析】设1C ，2C 的离心率分别为1e ，2e ，焦距为2c ，因为122PF PF a +=，122PF PF m -=，所以1PF a m =+，2PF a m =-，由余弦定理，得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅∠，即()()()()22242cos 60c a m a m a m a m =++--+-︒，化简，得22243c a m =+，两边同除以2c ，得2212134e e =+.又121e e =，所以222234=+e e .又21e >，所以2e =.故选：B核心考点四：椭圆与双曲线的4a 通径体【典型例题】例15．（2022·广西南宁·南宁市第八中学校考一模）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于,A B 两点，直线2AF 与椭圆的另一个交点为C ，若222=AF F C ，则椭圆的离心率为（）ABCD【答案】A【解析】过点C 作CD x ⊥轴于D ，则122~ AF F CDF ，由222=AF F C ，则122||2||=F F F D ，12AF CD =，所以点22,2⎛⎫⎪⎝⎭b C c a ，由点C 在椭圆上，所以有222222(2)1b ac a b ⎛⎫⎪⎝⎭+=，即225c a =，所以e ==c a 故选：A.例16．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左､右焦点分别为1F ，2F ，过2F 直线与椭圆C 交于M ，N 两点，设线段1NF 的中点D ，若10MD NF ⋅=，且12//MF DF，则椭圆C 的离心率为（）A ．13BC ．12D【答案】B【解析】因为10MD NF ⋅=，所以1MD NF ⊥，又D 是1NF 中点，所以1MF MN =，因为12//MF DF，所以2F 是MN 中点，则22MF NF =，因此MN x ⊥轴，设2MF m =，则12MF m =，1232MF MF m a +==，23a m =，在12MF F △中，由勾股定理得22242(((2)33m m c +=，变形可得3c e a ==．故选：B ．例17．（2022春·云南·高三校联考阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点为1F ，2F ，过1F 且垂直于x 轴的直线交C 于M ，N 两点，若22MF NF ⊥，则C 的离心率为（）A 1+B ．2CD【答案】A【解析】由题可得:MN x c =-，代入双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，解得2b y a=±，又22MF NF ⊥，∴112F M F F =，即22bc a=，222c a ac ∴-=，2210e e ∴--=，1e ∴=1e > ，1e ∴.故选：A例18．（2022春·江苏宿迁·高三校考阶段练习）如图，已知A ，B ，C 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上的三个点，AB 经过原点O ，AC 经过右焦距F ，若BF AC ⊥且2CF FA =，则该双曲线的离心率等于_____．【答案】3【解析】若E 是左焦点，连接,,AE BE EC ，设||BF m =，||AF n =，∴由双曲线的对称性且BF AC ⊥知：AEBF 是矩形，则||AE m =，||BE n =，又2CF FA =，即||2FC n =，则||2||22EC a FC a n =+=+，∴在Rt EAC △中，222||||||AE AC EC +=，即22294()m n a n +=+，而2m n a -=，∴23an =，83a m =，∵在Rt EAF V 中，2224m n c +=，即226849a c =，可得3e =..核心考点五：椭圆与双曲线的4a 直角体【典型例题】例19．（2022春·福建福州·高二福建省福州格致中学校考阶段练习）已知1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点，过1F l ，l 分别交y 轴和双曲线右支于点M ，P ，且212F F PM F M -=uuu u r uuu r uuuu r，则E 的离心率为______.【答案】2【解析】因为212F F PM F M -=uuu u r uuu r uuuu r ，所以1MF PM =uuu r uuu r，即M 为1PF 的中点.又O 为1F 2F 的中点，所以OM 为中位线.所以2//OM PF ,即2PF x ⊥轴.因为直线l 过1F 122F F c =，所以212PF F ==,11224PF F F c ==.由双曲线的定义可得：122PF PF a -=,即42c a -=，解得：2c a ==心率为2e =故答案为：2例20．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别交于A 、B 两点，A 是1F B 的中点，且12F B F B ⊥，则双曲线C 的离心率e =（）AB ．2CD1【答案】B【解析】 A 是1F B 的中点，AO ∴为△12F F B 的中位线，12F B F B ⊥，所以1OA F B ⊥，所以1OB F O c ==．设1(B x ，1)y ，2(A x ，2)y ，点B 在渐近线by x a=上，∴2221111x y c b y x a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得11x a y b =⎧⎨=⎩．又A 为1F B 的中点，∴2222c a x b y -+⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，A 在渐近线by x a=-上，∴22b b a c a -=-⋅，得2c a =，则双曲线的离心率2c e a==．故选：B例21．（2022·天津·统考一模）设12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，O 为坐标原点，过左焦点1F 作直线1F P 与圆222x y a +=切于点E ，与双曲线右支交于点P ，且满足()112OE OP OF =+，OE =()A ．221612x y -=B ．22169x y -=C ．22136x y -=D ．221312x y -=【答案】D【解析】∵E 为圆222x y a +=上的点，OE a ∴==()112OE OP OF =+，∴E 是1PF 的中点，又O 是12F F 的中点，222PF OE a ∴===，且2//PF OE ，又12124PF PF a PF a -==∴==1PF 是圆的切线，121,OE PF PF PF ∴⊥∴⊥，又222222212122460,15,12F F c c PF PF c b c a =∴=+=∴=∴=-=，，∴双曲线方程为221312x y -=．故选：D例22．（2022·四川广元·统考三模）设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，且120AF AF ⋅= ，222AF F B =，则椭圆E 的离心率为（）A ．23B ．34C D 【答案】C【解析】因为222AF F B =，不妨令()22220B AF F m m ==>，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，由椭圆的定义可得，122AF AF a +=，122BF BF a +=，则12BF a m =-，122AF a m =-，又120AF AF ⋅=，所以12AF AF ⊥，则12AF F △和1AF B △都是直角三角形，则22211AF AB BF +=，即()()2222292a m m a m -+=-，解得3a m =，所以143AF a =，223AF a =，又122F F c =，2221212AF AF F F +=，所以222164499a a c +=，因此2259c a =，所以椭圆E 的离心率为c a =故选：C.例23．（2022春·江西抚州·高二江西省临川第二中学校考阶段练习）如图，已知1F ，2F 为双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F ，2F 分别作直线1l ，2l 交双曲线E 于A ，B ，C ，D 四点，使得四边形ABCD 为平行四边形，且以AD 为直径的圆过1F ，11DF AF =，则双曲线E 的离心率为（）A BC ．52D ．2【答案】D【解析】设11DF AF x ==，则22DF x a =-，由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知：21CF AF x ==，连接1CF ，则有1222CF CF x a =+=+，2222DC DF CF x a=+=-由于1F 在以AD 为直径的圆周上，11DF AF ∴⊥，∵ABCD 为平行四边形，//AB CD ，1DF DC ∴⊥，在直角三角形1CDF 中，22211CF DF CD =+，()()222222x a x x a +=+-，解得：3x a =，123,DF a DF a ==；在直角三角形12F F D 中，2221212DF DF F F +=，()()22232a a c +=，得2252a c =，c e a =，故选：D.核心考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题【典型例题】例24．（2022春·陕西西安·高二期末）设1F ，2F 是椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，过点()2,0F c 且倾斜角为60°的直线l 与直线2a x c=相交于点P ，若12PF F △为等腰三角形，则椭圆E 的离心率e 的值是（）A2B ．13C．3D．2【答案】A【解析】直线l的方程为)y x c =-，由)2y x c a x c ⎧=-⎪⎨=⎪⎩解得2y c =，则2a P c ⎛ ⎝⎭，由于12PF F △为等腰三角形，所以21cos 6022a c c c -︒==，222212,,22c c a c a a ===.故选：A例25．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线22221x y a b-=的左焦点为1F ，过1F 作一倾斜角为15 的直线交双曲线右支于P 点，且满足1POF △（O 为原点）为等腰三角形，则该双曲线离心率e 为（）A．e =B ．2e =C．e =D．12e =【答案】C【解析】记右焦点为2F ，由题意知，1215PF F ∠=，且1POF △为等腰三角形，则只能是1OF OP =，所以212230POF PF F ∠∠==，OP c =，所以直线OP的方程为y x =，由2222331y x x y a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，得2222222222333P Pa b x b a a b y b a ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩所以222222222333a b a b c b a b a+=--，整理，得42243840c a c a -+=，即423840e e -+=，解得22e =或23（舍去），所以2e =．故选：C ．例26．（2022·河南鹤壁·鹤壁高中校考模拟预测）已知12F F 、是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点，点P 为抛物线28(0)y ax a =->准线上一点，若12F PF △是底角为15︒的等腰三角形，则椭圆的离心率为（）A ．31-B ．21-C ．312-D ．212-【答案】A【解析】如图，抛物线的准线与x 轴的交点为M因为12,F F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点，所以12(,0),(,0)F c F c -抛物线28(0)y ax a =->准线为：直线2x a =，所以(2,0)M a 因为12F PF △是底角为15︒的等腰三角形，则1212==15PF F F PF ∠∠︒则22122=30,==2PF M F F PF c ∠︒则222223cos ===22F M a c PF M PF c -∠，整理得：2=(3+1)a c 所以离心率23131c e a==+.故答案为：A.例27．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点为12,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（）A ．111,,1322⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．110,,132⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】法一：显然，P 是短轴端点时，12PF PF =，满足12F F P 为等腰三角形，因此由对称性，还有四个点在四个象限内各有一个，设(,)P x y 是第一象限内使得12F F P 为等腰三角形的点，若112PF F F =，则222212x y a b c ⎧+=⎪=，又222a b c =+，消去y 整理得：222224240c x a cx a c a +-+=，解得22a ac x c --=(舍去)或22a acx c -+=，由0x a <<得220a aca c-+<<，所以112c a <<，即112e <<，若212PF F F =，则222212x y a b c ⎧+=⎪=，又222a b c =+，消去y 整理得：222224240c x a cx a c a --+=，解得22a ac x c -=或22a ac x c +=，22a aca c +>舍去．所以220a aca c-<<，所以1132c a <<，即1132e <<，12e =时，2a c =，12PF F △是等边三角形，P 只能是短轴端点，只有2个，不合题意．综上，e 的范围是111(,)(,1)322⋃．法二：①当点P 与短轴的顶点重合时，12F F P 构成以12F F 为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的12F F P ；②当12F F P 构成以12F F 为一腰的等腰三角形时，根据椭圆的对称性，只要在第一象限内的椭圆上恰好有一点P 满足12F F P 为等腰三角形即可，则1122PF F F c ==或2122PF F F c ==当12PF c =时，则2c a >，即12c e a =>，则112e <<，当22PF c =时，则有22c a c c a>-⎧⎨<⎩，则1132e <<，综上所述，椭圆的离心率取值范围是111,,1322⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A.核心考点七：双曲线的4a 底边等腰三角形【典型例题】例28．（2022·全国·高三专题练习）已知1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点，过点1F作斜率为2的直线l 与双曲线的左，右两支分别交于M ，N 两点，以2F 为圆心的圆过M ，N ，则双曲线C 的离心率为（）ABC ．2D【答案】B【解析】取MN 中点A ，连AF 2，由已知令22||||MF NF m ==，则2AF MN ⊥，如图：因点M ，N 为双曲线左右两支上的点，由双曲线定义得12||||22MF MF a m a =-=-，12||||22NF NF a m a =+=+，则11||||||4,||2MN NF MF a MA a =-==，令双曲线半焦距为c ，12Rt AF F △中，12||,||AF m AF =2Rt AMF中，2||AF=22222m a c =+，因直线l的斜率为2，即12tan 2AF F ∠=，而2121||tan ||AF AF F AF ∠=，即21||||AF AF =，2221||1||2AF AF =，于是有2222221222c a c a -=+，c =，==c e a ，所以双曲线C故选：B例29．（2022·全国·高三专题练习）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左､右焦点分别为12,F F ，过点1Fl 与双曲线C 的左､右两支分别交于,M N 两点，且()220F M F N MN +⋅=，则双曲线C 的离心率为（）ABCD ．2【答案】A【解析】如图，设D 为MN 的中点，连接2F D .易知2222F M F N F D +=，所以()22220F M F N MN F D MN +⋅=⋅= ，所以2F D MN ⊥.因为D 为MN 的中点，所以22F M F N =.设22F M F N t ==，因为212MF MF a -=，所以12MF t a =-.因为122NF NF a -=，所以12NF t a =+.所以114MN NF MF a =-=.因为D 是MN 的中点，11F D F M MD =+，所以12,MD ND a F D t ===.在Rt 12F F D中，2F D =；在Rt 2MF D中，2F D ==22222t a c =+.所以21F D F D t ===因为直线l所以2121tan F D DF F F D ∠===，所以2222221,23c a c a a c -==+，c =，所以离心率为ca=故选：A核心考点八：焦点到渐近线距离为b 【典型例题】例30．（2022·全国·模拟预测）设1F ，2F 分别是双曲线C ：()222210,0x ya b a b-=>>的左､右焦点，O 为坐标原点，过右焦点2F 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为A .若12212AF F S OF =△，则双曲线C 的离心率为（）AB ．2C D 【答案】D【解析】根据对称性，不妨取双曲线C 的一条渐近线的方程为by x a=，即0bx ay -=，点()2,0F c b =.因为2OF c =，所以AO a =，所以122124422AF F AOF S S ab ab ==⨯=△△.由题意知2222ab c a b ==+，所以a b =，离心率e ==，故选：D.例31．（2022·全国·高三专题练习）设1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x yC a b a b-=>>的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1||||PF OP ，则C 的离心率为（）AB ．2CD【答案】B【解析】不妨设双曲线的一条渐近线方程为b y x a=，则2b c a PF b ⨯==，2OF c =，PO a ∴=，1|||PF OP ==在2Rt POF △中，222cos PF b PF O OF c∠==， 在12Rt PF F 中，22221212212cos 2PF F F PF b PF O PF F F c∠+-==，b c=，即224c a =，e=2，故选：B ．例32．（2022·全国·高三专题练习）设1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b u b -=>>的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P，若1PF ，则C 的离心率为（）A．B ．2CD【答案】C【解析】双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线为b y x a =±，焦点()2,0F c 到直线b y x a=的距离d b ==，所以2PF b =，由勾股定理得OP a =，所以2cos a POF c ∠=，在1POF △中，()122cos cos cos aPOF POF POF cπ∠=-∠=-∠=-，因为1PF 由余弦定理可得22211112cos PF OP OF OP OF POF =+-⋅∠，即)2222a a c ac c ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，即222a c =，所以离心率c e a ==故选：C例33．（多选题）（2022秋·广东·高二校联考阶段练习）过双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的右焦点F 引C 的一条渐近线的垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B ．若FB AF λ=，23λ≤≤，则C 的离心率可以是（）A B C ．2D ．2【答案】BC【解析】右焦点(c,0)F ，设一渐近线OA 的方程为b y x a=，则另一渐近线OB 的方程为b y x a=-，由FA 与OA 垂直可得FA 的方程为()a y x c b=--，联立方程2222()b y x a c a ax a a b c y x c b ⎧=⎪⎪⇒==⎨+⎪=--⎪⎩，可得A 的横坐标为2a c，联立方程()2222222b y x a c ca ax a a b a c y x c b ⎧=-⎪⎪⇒==⎨--⎪=--⎪⎩可得B 的横坐标为2222ca a c-．因为FB AF λ= ，所以()2222222222()22c c a ca a c a c c a c c a c cλλ---=-⇒=⨯--，可得2222222c e a c e λ==--，因为23λ≤≤，所以22322e e ≤-≤，即22222340432*******2e e e e e e ⎧-≥⎪⎪-⇒≤≤⇒≤⎨-⎪≤⎪-⎩，BC 满足题意，AD 不合题意，故选：BC.核心考点九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形【典型例题】例34．（2022·陕西西安·西安中学校考模拟预测）已知双曲线:C 22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线l ，垂足为H ，直线l 与双曲线C 的左支交于E 点，且H 恰为线段2EF 的中点，则双曲线C 的离心率为（）ABC ．2D【答案】D【解析】连结1EF ，因为点,O H 分别为12F F 和2EF 的中点，所以1//OH EF ，且12EF EF ⊥设点()2,0F c 到一条渐近线by x a=的距离d b ==，所以22EF b =，又212EF EF a -=，所以122EF b a =-，12Rt EF F 中，满足()2222244b a b c -+=，整理为：2b a =，双曲线的离心率ce a===故选：D例35．（2022秋·安徽·高二校联考期中）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，以1OF 为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M （异于坐标原点O ），若线段1MF 交双曲线于点P ，且2//MF OP 则该双曲线的离心率为（）ABCD【答案】A【解析】不妨设渐近线的方程为by x a=-，因为2//MF OP ，O 为12F F 的中点，所以P 为1MF 的中点，将直线OM ，1MF 的方程联立()b y x aa y x cb ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，可得2,a ab M c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又()1,0F c -，所以2,22a c cab P c ⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪ ⎪⎝⎭即22,22a c ab P c c ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，又P 点在双曲线上，所以()2222222144c ac a a c+-=，解得c a =故选：A.例36．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左焦点为1F ，过点1F 的直线与两条渐近线的交点分别为M N 、两点(点1F 位于点M 与点N 之间)，且112MF F N =，又过点1F 作1F P OM ⊥于P (点O 为坐标原点)，且||||ON OP =，则双曲线E 的离心率e =（）ABCD ．62【答案】C【解析】不妨设M 在第二象限，N在第三象限，如下图所示：因为ON OP =，11F OP F ON ∠=∠，所以11F OP F ON ≅ ，所以1190F PO F NO ∠=∠=︒，11F P F N =，又()1:,,0OM bl y x F c a=--，所以11F F N b ==，所以ON OP a ==，所以1122MF F N b ==，因为113tan ,tan tan 2b b F OP MON F OP a a∠=∠=∠=，所以22231bba b a a =-，所以222222113b c a e a a -==-=，所以e =故选：C.例37．（2022·全国·统考模拟预测）设F 是双曲线22221(0)x y b a a b-=>>的一个焦点，过F 作双曲线的一条渐近线的垂线，与两条渐近线分别交于,P Q 两点．若2FP FQ =，则双曲线的离心率为（）A BC ．2D ．5【答案】C【解析】不妨设(,0)F c -，过F 作双曲线一条渐近线的垂线方程为()ay x c b=+，与b y x a =-联立可得2a x c =-；与b y x a =联立可得222a cx b a=-，∵2FP FQ = ，∴22222a ca c cb ac ⎛⎫+=-+ ⎪-⎝⎭，整理得，22222c b a =-，即224c a =，∵1e >，∴2e =．故选：C ．核心考点十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题【典型例题】例38．（2022春·四川宜宾·高二四川省宜宾市第四中学校校考阶段练习）已知F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为,M N ，若0OM MF ⋅= ，||MN b =，则C 的离心率为________.【答案】2【解析】因为0OM MF ⋅= ，所以OM MF ⊥，即⊥OM MF所以MF 为点(),0F c 到渐近线0bx ay -=的距离，bcMF b c===，所以MF MN b ==，可得点M 为NF 的中点，又因为⊥OM MF ，所以ON OF c ==，所以222OM c b a =-=，设双曲线的左焦点为1F ，1F ON θ∠=，(),N x y 则()tan tan tan b FON FON aθπ=-∠=-∠=，因为222c a b =+，所以cos a c θ=，sin b cθ=所以cos a x ON c a c θ=-=-⋅=-，sin by ON c b cθ==⋅=，所以(),N a b -，因为M 为NF 中点，所以,22a M c b -⎛⎫⎪⎝⎭，222222c a b OMa -⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将222b c a =-代入整理可得：()22224c a c a a -+-=即222240c ac a --=，所以220e e --=，可得()()210e e -+=，解得：2e =或1e =-（舍），故答案为：2例39．（2022·山西运城·统考模拟预测）已知双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为1F ，过点1F 的直线与两条渐近线的交点分别为M ，N 两点（点1F 位于点M 与点N 之间），且13MN F N =，又过点1F 作1F P OM ⊥于P （点О为坐标原点），且ON OP =，则双曲线E 的离心率e 为__________.【解析】双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，如图所示，设11,b M x x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，22,b N x x a ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,0F c -，。
专题06 离心率(新高考地区专用)(解析版)
专题06 离心率一．焦点三角形中的离心率1.椭圆（1）椭圆：设椭圆焦点三角形两底角分别为α、β，则sin()sin sine(正弦定理)。
12122sin sin()2sin sin sin sinF Fc cea a PF PFθαβαβαβ+=====+++222121212212121221212221212212212(2)2cos =()22cos =()2(1cos ) ()2()(1cos )21=()[1(1cos )]21=()(F F PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF θθθθθ=+-+--+-++≥+-++-++12222222cos )==2111144(cos )cos (12sin )sin 222222sin2PF PF P c c a a e θθθθθθ-∴≥-≥-=--=∴≥（当且仅当取，即在短轴端点处）即2.双曲线：利用焦点三角形两底角,αβ来表示:sin()sin sine。
12122sin sin()2sin sin sin sin +=====---F F c c e a a PF PF θαβαβαβ二．双曲线的渐进线与离心率关系 直线与双曲线相交时，两个交点的位置（1）两个交点在双曲线的两支：b k e a >⇔=（2）两个交点在双曲线的同一支:b k e a <⇔=（3）两个交点在双曲线的左支:12120x x 0x x 0>⎧⎪⎪+<⎨⎪>⎪⎩（4）两个交点在双曲线的右支:12120x x 0x x 0>⎧⎪⎪+>⎨⎪>⎪⎩三．焦点弦与离心率关系BF AF λ=，则有11cos +-=λλθe (θ为直线与焦点所在轴的夹角)。
技巧1 焦点三角形中的离心率【例1】(1)．已知1F ，2F 是双曲线E ：22221x y a b-=的左、右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，12tan FMF ∠=E 的离心率为（ ） A ．B ．2CD （2）（2020·安徽省高三三模）已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，若在椭圆E 上存在点P ，使得12PF PF ⊥，则椭圆E 的离心率的取值范围为（ ）A ．,12⎫⎪⎪⎣⎭ B ．0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ C ．,12⎫⎪⎪⎣⎭D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭【答案】（1）C （2）A【解析】（1）不妨设(,),0M c y y ->代入双曲线方程得22,(,)b b y M c a a =∴-21212222,tan 0,c F F c F MF ac ba=∠==-= 2220ac e --=--=，()10,e e -+=∴=故答案选：C（2）12PF PF ⊥，2221212PF PF F F ∴+=()()()()222212122212121212222PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF +++=+-⋅≥+-=（当且仅当12PF PF =时取等号），()2122122PF PF F F +∴≥，由椭圆定义知：122PF PF a +=，又122F F c =，2242c a ∴≥，212e ∴≥，2e ∴≥，又1e <，∴离心率e的取值范围为,12⎫⎪⎪⎣⎭.故选：A . 【举一反三】1．（2020·沙坪坝区·重庆一中高三月考）已知点P 在以12,F F 为左，右焦点的椭圆()2222:102x y C b b b+=>上，在12PF F △中，若12PF F α∠=，21PF F β∠=，则()sin sin sin αβαβ+=+（ ）A ．12BC．2D【答案】B【解析】12PF F △中，()()12121212||||||||||||sin sin sin sin sin sin PF PF F F PF PF F F αβαβαβαβ+==∴=+++ 所以()1212sin ||2sin sin ||||22F F c c PF PF a a αβαβ+=====++故选：B 2．（2020·全国高三专题练习）已知点P 是以1F 、2F 为焦点的椭圆()222210x y a b a b +=>>上一点，若12PF PF ⊥，21tan 2PF F ∠=，则椭圆的离心率e =（ ）AB ．13C ．23D ．12【答案】A【解析】点P 是以1F 、2F 为焦点的椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点，12PF PF ⊥，1212tan 2PF PF F PF ∠==，122PF PF ∴=， 122PF PF a +=，可得143a PF =，223a PF =， 由勾股定理可得2221212PF PF F F +=，即222049a c =，2259ca ∴=，因此，该椭圆的离心率为3e =. 故选：A.3．（2019·辽宁沈阳市·沈阳二中高三月考（理））椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，1F 、2F是椭圆的两个焦点，P 是圆上一动点，则12cos F PF ∠的最小值是（ ） A ．13- B ． C ．1-D ．0【答案】A【解析】椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，即2223c a =.122PF PF a +=≥212PF PF a ⋅≤，当12PF PF a ==时等号成立.根据余弦定理：()222221211212121212122cos 22PF PF PF PF F F PF PF F F F PF PF PF PF PF +-⋅-+-∠==⋅⋅22222124444111223a c a c PF PF a --=-≥-=-⋅.故选：A .技巧2 点差法中的离心率【例2】（1）（2020·四川外国语大学附属外国语学校）过点()1,2M 作直线16y x m =-+与椭圆()222210x y a b a b+=>>相交于,A B 两点，若M 是线段AB 的中点，则该椭圆的离心率是（ ） A ．23B．3C ．1112D．6（2）（2020·安徽省潜山第二中学）已知A ，B 是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点，M 是E 上不同于A ，B 的任意一点，若直线AM ，BM 的斜率之积为49-，则E 的离心率为() A．3BC ．23D【答案】（1）B （2）D【解析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ， 由直线AB 的斜率为16-可得121216y y x x ， 由线段AB 的中点为()1,2M 可得1212x x +=，1222y y+=， 由点,A B 在椭圆上可得22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，作差得22221212220x x y y a b --+=， 所以()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=，即()()121222240x x y y a b --+=，所以()212212213y y b a x x -=-=-，所以该椭圆的离心率c e a ===故选：B.（2）由题意方程可知，(,0),(,0)A a B a -，设00(,)M x y ,0000,,AM BM y y k k x a x a∴==+- 则000049y y x a x a ⋅=-+- ,，整理得：2022049y x a =--，① 又2200221x y a b+=，得2222002()b y a x a =-，即2202220y b x a a =--，② 联立①②，得2249b a -=-，即22249a c a -=，解得e =． 故选D ． 【举一反三】1．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>，斜率为2的直线与双曲线C 相交于点A 、B ，且弦AB 中点坐标为()1,1，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2 BCD ．3【答案】B【解析】设11(,)A x y 、22(,)B x y ，则2211221x y a b -=，2222221x y a b-=， 所以2222121222x x y y a b --=，所以2121221212y y x x b x x a y x -+=⨯-+， 又弦AB 中点坐标为()1,1，所以122x x +=，122y y +=，又12122y y x x --=，所以22222b a =⨯，即222b a=，所以双曲线的离心率c e a ======. 故选：B.2．（2020·全国高三专题）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）.A ．1(0)2， B ．(02， C ．1(22， D ．1)2【答案】B【解析】∵120MF MF ⋅=，∴12MF MF ⊥，∴点M 在以12F F 为直径的圆上，又点M 在椭圆内部，∴c b <，∴2222<=-c b a c ，即222c a <，∴2212c a <，即c a <0e >，∴02e <<，故选：B.3．（2020·全国高三专题练习）若1F ，2F 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，当12PF PF ⊥，且1230PF F ∠=︒，则椭圆的离心率为（ ）A 1B ．3C 1D ．2【答案】C【解析】依题意可知1290F PF ∠=︒，12||2F F c =，1230PF F ∠=︒，112PF F F ∴==，21212PF F F c ==，由椭圆定义可知1221)PF PF a c +==，1ce a∴==.故选：C. 技巧3 渐近线与离心率【例3】已知圆223(1)4x y -+=的一条切线y kx =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>有两个交点，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ）A ．B ．(1,2)C ．)+∞D ．(2,)+∞【答案】D【解析】由题意，圆心到直线的距离2d ==，解得k =圆223(1)4x y -+=的一条切线y kx =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>有两个交点，所以b a >22214b e a=+>，所以2e >.故选：D.【举一反三】1．若双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）与直线y x =无公共点，则离心率e 的取值范围是（ ）A ．(B ．(C ．(]1,2D ．()1,2【答案】A 【解析】若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线y x =无公共点，∴等价为双曲线的渐近线b y x a =的斜率1ba，即b a ，即22b a ，即222c a a -，即222c a ， 则2ca ，则2e ，1e >，∴离心率满足12e<，即双曲线离心率的取值范围是(，故选：A ．2．已知双曲线22221x y a b-= (a>0，b>0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e 的取值范围是（ ） A ．[2,)+∞ B ．(1,2),C ．(2,)+∞D ．(1,2]【答案】A【解析】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为3π的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率b a， ∴3b a，离心率22224a b e a +=，2e ∴，故选A ．3．（2020·河南新乡市·高三）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过原点O的直线交C 的右支于点A ，若1223F AF π∠=，则双曲线的离心率为（ ） AB1CD【答案】D【解析】题可知123FOA π∠=，121AFO F AF ∠=∠，112FOA F AF ∠=∠，112FOA F AF ∴△△， 所以11112FO F A F AF F =，可得1F A =.在12F AF 中，由余弦定理可得22212121222cos3F F AF AF AF AF π=+-⋅，即222220AF AF c ⋅-=，解得22AF c=.双曲线的离心率为1212F FeAF AF===-.故选：D.技巧4 焦点弦与离心率【例4】（2020·石嘴山市第三中学高三三模）已知椭圆22221x ya b+=的左右焦点分别为12,F F，过1F作倾斜角为45的直线与椭圆交于,A B两点，且112F B AF=，则椭圆的离心率=（）A．3B．2C．2D．3【答案】D【解析】椭圆22221x ya b+=的左右焦点分别为12F F、，过1F c-（，）且斜率为1k=的直线为y x c=+联立直线与椭圆方程22221x ya by x c⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消x后，化简可得2222222220a b y cb y c b a b+++-=（）因为直线交椭圆于A，B，设1122A x yB x y（，），（，）由韦达定理可得22222121222222y y,y ycb c b a ba b a b-+=-=++且112F B AF=，可得212y y=-，代入韦达定理表达式可得2222221122222,2cb c b a by ya b a b--=--=++即222222222222cb c b a ba b a b⎛⎫--=⎪++⎝⎭化简可得229c2a=所以cea==故选：D．【举一反三】1．（2020·河南省高三月考）倾斜角为4π的直线经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>右焦点F ，与椭圆交于A 、B 两点，且2AF FB =，则该椭圆的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．3【答案】B【解析】设B 到右准线距离为d ，则BF ed =，因为2AF FB =，则2AF ed =，所以 A 到右准线距离为2d ，从而3AB ed= 倾斜角为4π，cos 433d e ed π∴=∴=，选B. 2．（2020·全国高三专题练习）已知1F 、2F 是双曲线22221x y a b-=(0a >，0b >)的左、右焦点，过2F 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A ，交另一条渐近线于点B ，且2213AF F B =，则该双曲线的离心率为（ ） A ．3或332B ．62或3C 或D 【答案】B【解析】（1）当2213AF F B =时，设2F OA α∠=，则2AOB α∠=，设1a =，由题意可知1OA a ==，2OF c e ==，2AF b =，23BF b =，则4AB b =，tan b b a α==，4tan 24b b a α==， 代入得222tan 2tan 241tan 1bb b ααα===--，即2244b =-，解得b =2e c ====，（2）当2213F A F B =时，设2F OA α∠=，AOB β∠=，设1a =，则2F OB αβ∠=+，1()FOB παβ∠=-+， 由题意可知1OA a ==，2OF c e ==，2AF b =，23BF b =， 则2AB b =，tan b b a α==，2tan 2b b aβ==， 则1tan tan[()]tan()tan FOB παβαβα∠=-+=-+=， 则tan tan tan()tan 1tan tan αβαβααβ++==--⋅，代入得212b bb b b+=--⋅，即2321b =-，解得b =则e c === 故选：B .3．（2019·浙江高三其他模拟）已知过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点F ，且与双曲线的渐近线平行的直线l 交双曲线于点A ，交双曲线的另一条渐近线于点B （A ，B 在同一象限内），满足2FB FA =，则该双曲线的离心率为（ ）A ．43BC D ．2【答案】B【解析】双曲线的渐近线方程为by x a=±，如图，不妨设,A B 在第一象限，直线l 的方程为()b y x c a =--，与22221x y a b-=联立，得32A b y ac =；直线l 与by x a =联立，得2B bc y a=． 由||2||FB FA =，得2B A y y =，即3222bc b a ac=⨯， 得222c b =，即222c a =，则e =B ．1．已知倾斜角为π4的直线与双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）相交于A ，B 两点，(4,2)M 是弦AB的中点，则双曲线的离心率为（ ） A BC ．32D 【答案】D【解析】因为倾斜角为π4的直线与双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）相交于A ，B 两点，所以直线的斜率tan14πk ==， 设()()1122,,,A x y B x y ，则2211221x y a b -=①2222221x y a b-=②由①-②得()()()()1212121222x x x x y y y y a b -+-+=则2121221212y y b x x k x x a y y -+==⋅-+因为(4,2)M 是弦AB 的中点，12128,4x x y y ∴+=+=因为直线的斜率为122814b a ∴=⋅即222211,22b b a a==所以2222112c a b a ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭232e ∴=，则2e =，故选：D2．设F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点.过点F 作斜率为-3的直线l 与双曲线左、右支均相交.则双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．B ．C ．)+∞D ．)+∞【答案】C【解析】因为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线方程为b y x a=±，当过点F 且斜率为-3的直线l 与渐近线by x a=-平行时. 直线l 只与双曲线右支有一个交点，数形结合可知， 当渐近线by x a =-的斜率满足3b a -<-，即3b a>时， 直线l 与双曲线左、右支均相交，所以22223910b a b a c a e >⇒>⇒>⇒>故选:C.3．（2019·黑龙江佳木斯市·佳木斯一中高三月考）已知1F ，2F 分别是椭圆22142x y +=的左、右焦点，P 是此椭圆上一点，若为12F PF △直角三角形，则这样的点P 有（ ）.A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个【答案】C【解析】由题意2,a b ==，则c =P 为椭圆短轴顶点时，122PF PF ==，12F F =2221212PF PF F F +=，即12PF PF ⊥，短轴顶点有2 个，过1F 或2F 作x 轴垂直与椭圆相交的点P 在4个，12PF F ∆都是直角三角形，因此共有6个． 故选：C.4．（2020·广东广州市）已知1F ,2F 分别是椭圆C ()2222:10x y a b a b+=>>的左, 右焦点, 椭圆C 上存在点P 使12F PF ∠为钝角, 则椭圆C 的离心率的取值范围是A．2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C．2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A【解析】设椭圆的上顶点为0A b （，），则∵椭圆上存在点P ，使12F PF ∠为钝角, 121212904511bF AF AF F tan AF F c∠>︒∴∠<︒∴∠<∴≤2220112a c e e e ∴∴∴<＜＜＜故答案为A 5．（2020·河北石家庄市）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>> ，点M,N 为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点H ，使1(,0)2MH NH k k ∈- ,则离心率e 的取值范围为 A ．2 B ．2C ．D ． 【答案】A【解析】由题意00M a N a -（，），（，）． 设00H x y （，） ，则222202 ()b y a x a．=- 2222202000222220000()1,02MH NHb a x y y y b a k k x a x a x a x a a -⎛⎫∴=⋅===-∈- ⎪+---⎝⎭可得：22221 1(0)1)22c a e e a -=-∈-∴∈，， 故选A ．6．（2020·全国高三专题练习）椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，若F ＋y ＝0的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12B．12CD1【答案】D【解析】设F （－c ,0＋y ＝0的对称点为A （m ，n ），则(1022nm c m c n ⎧⋅=-⎪⎪+-+=，解得m ＝2c ，n =，代入椭圆方程可得22223441c c a b +=化简可得 e 4－8e 2＋4＝0， 又0＜e ＜1，解得e1. 故选：D .7．（2020·全国高三专题练习）已知椭圆（a>b>0）的左右焦点分别为F 1，F 2．P 是椭圆上一点．PF 1F 2为以F 2P 为底边的等腰三角形，当60°<PF 1F 2<120°，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．（）B ．（）C ．（）D ．（0）【答案】B 【解析】由题意可得，即，所以，又，则，所以，则，即．故答案选B ．8．（2020·广东肇庆市）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右顶点分别为,A B ，P 是椭圆上异于,A B的一点，若直线PA 的斜率PA k 与直线PB 的斜率PB k 乘积14PA PB k k =-，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．14B ．12C ．34D．2【答案】D【解析】依题意可知()(),0,,0A a B a -.设()00,P x y ，代入椭圆方程得2222002b y x b a=-+.代入1·4PA PBk k =-得000014y y x a x a ⋅=-+-，即22200144a y x =-+，与2222002b y x b a =-+对比后可得2214b a =，所以椭圆离心率为2c e a ====.故选D. 9．（2020·全国高三专题练习）已知双曲线：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，焦距为2c，直线)y x c =+与双曲线的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠，则双曲线的离心率为（ ）ABC ．2D1【答案】D【解析】由题意，直线)y x c =+过左焦点1F 且倾斜角为60°，12212MF F MF F ∠=∠∴1260MF F ∠=︒，2130MF F ∠=︒，∴1290F MF ∠=︒，即12F M F M ⊥ ∴11212MF F F c ==，∴212sin 60MF F F ︒==，双曲线定义有212MF MF c a -=-=，∴离心率e 1ca==. 11．（2020·全国）若A 、B 为椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)长轴的两个端点，垂直于x 轴的直线与椭圆交于点M 、N ，且14AM BN k k ⋅=，则椭圆C 的离心率为______【解析】设()M x y ，、()N x y -，，因为(),0A a -，(,0)B a ， 所以2222222222214AM BNb x b y y y b a k k x a x a x a x a a ---⋅=⋅====+---， 所以22222222314c a b b e a a a -===-=，所以e =故答案为：212．（2020·全国高三专题练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，过右焦点F 作倾斜角60°的直线l 交C 于A ，B 两点（A 在第一象限），则AF BF=________.【答案】35【解析】 因为离心率为12，所以2,a c b ==, 设直线AB的方程)y x c =-代入椭圆方程：2222143x y c c+=得：2580x cx -=，又∵点A 在第一象限，故8c 50A B x x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以8|||3.||5c c AF BF -==13．（2020·全国高三专题练习）设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，若在双曲线的右支上存在一点P ，使得122PF PF =，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是____.【答案】(]1,3【解析】由双曲线的定义可得1222222PF PF PF PF PF a -=-==， 又22PF a c a =≥-，则3c a ≤，1e >，所以，13e <≤.因此，双曲线C 的离心率e 的取值范围是(]1,3. 故答案为：(]1,3.14．（2020·台州市书生中学高三其他）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，A 是椭圆的下顶点，直线2AF 交椭圆于另一点P ，若1PF PA =，则椭圆的离心率为【答案】3【解析】如图，点P 在椭圆上，所以12+2PF PF a =，由1222,PF PA PF AF AF a ==+=，代入上式得，123,22a aPF PF == 在1APF △，222222111133122cos 32322a a a AF AP PF PAF a AF APa ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭∠===⨯，又2111cos 12sin 3PAF OAF ∠=-∠=，所以1sin 3OAF ∠=，即1sin 3c OAF e a ∠===， 15．（2020·开鲁县第一中学）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形，若12(0,)3PF F π∠∈，则该椭圆的离心率的取值范围是【答案】11(,)32【解析】由题意可得 PF 2=F 1F 2=2c ，再由椭圆的定义可得 PF 1 =2a-PF 2=2a-2c ．设∠PF 2F 1 =θ，则1,1cos 32πθπθ<<∴-<<，△PF 1F 2中，由余弦定理可得 cos θ=22222ac c a c+- 由-1＜cos θ 可得 3e 2+2e-1＞0，e ＞13，由cos θ＜12，可得 2ac ＜a 2，e= 12c a <，综上1132e << 16．（2020·四川省绵阳南山中学高三）设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，且120AF AF ⋅=，222AF F B =，则椭圆E 的离心率为【答案】3【解析】222AF F B =设2BF x =，则22AF x =由椭圆的定义，可以得到1122,2AF a x BF a x =-=-120AF AF ⋅=,12AF AF ∴⊥在1Rt AF B 中，有()()()2222232a x x a x -+=-，解得3a x = 2124,33a a AF AF ∴== 在12Rt AF F △中，有()22242233a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理得225=9c a ，c e a ∴==17．（2020·河北省高三）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，()0,2P ，()0,2Q -，过点P 的直线1l 与椭圆交于A ，B ，过点Q 的直线2l 与椭圆交于C ，D ，且满足12//l l ，设AB 和CD 的中点分别为M ，N ，若四边形PMQN 为矩形，且面积为，则该椭圆的离心率为【解析】如图，不妨设1l ，2l 两条直线的斜率大于零时，连结OM ，由题意知2216PM MQ PM MQ ⎧⋅=⎪⎨+=⎪⎩， 解得2PM =，MQ =PM =2MQ =（舍）2PM =，MQ =在PMQ 中，因为2OM PM PO ===，所以60BPO POM ∠=∠=︒，故此时tan 30AB k =︒=tan150OM k =︒=． 设()11,A x y ，()22,B x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得()()()()12121212220x x x x y y y y a b -+-++=， 即2121221212y y y y b x x x x a -+⋅=--+，即2213AB OM b k k a⋅=-=-， 因此离心率22222213c b e a a ==-=，所以e ． 18．（2020·广东省高三月考）已知F 是椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，若3PF QF =，且120PFQ ∠=︒，则椭圆E 的离心率为【解析】设椭圆的右焦点F '，连接PF '，QF '，根据椭圆对称性可知四边形PFF Q '为平行四边形，则QF PF '=，且由120PFQ ∠=︒，可得60FPF '∠=︒， 所以42PF PF PF a ''+==，则12PF a '=，32PF a =由余弦定理可得()()222222cos603c PF PF PF PF PF PF PF PF ''''=+-︒=+-， 即2222974444c a a a =-=，∴椭圆的离心率e ===。
圆锥曲线的离心率专项练习(含解析)
圆锥曲线的离心率专项练习一、单选题1．已知双曲线2221(0)3y x a a-=>的离心率为2，则a =（ ）A ．2BCD ．12．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A 是椭圆短轴的一个顶点，且123cos 4F AF ∠=，则椭圆的离心率e =（ ）A ．12B ．2C ．14D 3．已知A ､B 为椭圆的左、右顶点，F 为左焦点，点P 为椭圆上一点，且PF ⊥x 轴，过点A 的直线与线段PF 交于M 点，与y 轴交于E 点，若直线BM 经过OE 中点，则椭圆的离心率为（ ）A ．12B ．2C ．13D ．34．设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，O 是坐标原点，过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若12PF =，则C 的离心率为（ ）A B ．2C D 5．已知F 是椭圆C ：22221x y a b +=(a>b>0)的右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 与圆222()39c b x y -+=相切于点Q ，（其中c 为椭圆的半焦距），且2PQ QF =则椭圆C 的离心率等于（ ）A ．3B ．23C ．2D ．126．已知双曲线2222:1x y C a b-=的渐近线方程为y x =±，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．37．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，过F 点作x 轴的垂线交椭圆于A ，B 两点，若0OA OB ⋅=，则椭圆的离心率等于（ ）A ．152-+ B ．132-+ C ．12D ．32- 8．已知过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点F ，且与双曲线的渐近线平行的直线l 交双曲线于点A ，交双曲线的另一条渐近线于点B （A ，B 在同一象限内），满足2FB FA =，则该双曲线的离心率为（ ）A ．43B ．2C ．3D ．29．已知双曲线2221,(0)x y a a-=>的焦距为4，则该双曲线的离心率为（ ）A ．3 B ．3 C ．23D ．3310．已知双曲线22212x y a -=的一条渐近线的斜率为3，则双曲线的离心率为（ ） A ．23 B ．263C ．3D ．211．过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点F 的直线过C 的上端点B ，且与椭圆相交于点A ，若3BF FA =，则C 的离心率为（ ）A ．13B ．33C ．32D ．2212．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 的直线与双曲线的右支交于两点,A B ，若1:3:4AF AB =，且2F 是AB 的一个四等分点，则双曲线C 的离心率是（ ） A 5B 10C ．52D ．5二、填空题13．已知焦点在x 轴上的椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线l 过2F ，且和椭圆C 交于A ，B 两点，11||3||5AF BF =，12AF F △与12BF F △的面积之比为3：1，则椭圆C 的离心率为______________.14．已知12F F ，是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12PF PF >，线段1PF 的垂直平分线过2F ，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则2134e e +的最小值为________.15．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，直线l 过点2F 交双曲线右支于P ，Q 两点，若123PF PF =，23PQ PF =，则双曲线 C 的离心率为__________.16．已知直线y a =与双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的一条渐近线交于点P ，双曲线C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，若212PA A A =，则双曲线C 的离心率为_____. 17．设1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点.若在C 上存在一点P ，使12PF PF ⊥，且1245PF F ∠=︒，则C 的离心率为__.18．设F 为椭圆2222:1x y C a b+=的左焦点，P 为C 上第一象限的一点.若6FPO π∠=，PF =，则椭圆C 的离心率为___________19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点，直线2by =与椭圆交于B ，C 两点，且90BFC ∠=，则该椭圆的离心率是_______.20．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右顶点分别为A 、B ，点2(0)C b ,，若线段AC 的垂直平分线过点B ，则该双曲线的离心率为______.例21设双曲线22221x y a b-= (0<a <b )的半焦距为c ，直线l 过(a,0)，(0，b )两点，且原点到直线l 的距离为34c ，求双曲线的离心率．例22．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF (O 为原点)的垂直平分线上，求双曲线的离心率.23．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点为12,F F ，P 是双曲线上一点，满足212PF F F =，直线1PF 与圆222x y a +=相切，求双曲线的离心率.一、单选题1．已知双曲线2221(0)3y x a a-=>的离心率为2，则a =（ ）A ．2 B．2CD ．1【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线的性质，直接表示离心率，求a . 【详解】由双曲线方程可知223c a =+，因为2c e a ==，所以22234a e a+==，解得：21a = ， 又0a >，所以1a =. 故选：D 【点睛】本题考查双曲线基本性质，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法： 1.直接法：直接求出,a c ，然后利用公式ce a=求解；2.公式法：c e a ===，3.构造法：根据条件，可构造出,a c 的齐次方程，通过等式两边同时除以2a ，进而得到关于e 的方程.2．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A 是椭圆短轴的一个顶点，且123cos 4F AF ∠=，则椭圆的离心率e =（ ） A ．12B．2C ．14D【答案】D 【解析】 【分析】依题意，不妨设点A 的坐标为()0b ，，在12F AF 中，由余弦定理得22142a c =，再根据离心率公式计算即可. 【详解】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2(0)c c >，则椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点1F 的坐标为()0c -，，右焦点2F 的坐标为()0c ，，依题意，不妨设点A 的坐标为()0b ，， 在12F AF 中，由余弦定理得：22212121212||||2cos F F AF AF AF AF F AF ∠=+-⋅⋅， 123cos 4F AF ∠=， 22223142242c a a a ∴=-⨯=，22218c e a ∴==，解得e =故选：D . 【点睛】本题考查椭圆的几何性质，在12F AF 中，利用余弦定理求得22142a c =是关键，属于中档题.3．已知A ､B 为椭圆的左、右顶点，F 为左焦点，点P 为椭圆上一点，且PF ⊥x 轴，过点A 的直线与线段PF 交于M 点，与y 轴交于E 点，若直线BM 经过OE 中点，则椭圆的离心率为（ ） A ．12BC ．13D【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件求出,,B H M 三点坐标，再由三点共线可得斜率相等，从而得出3a c =可得答案. 【详解】由题意可设(,0),(,0),(,0)F c A a B a --，设直线AE 的方程（由题知斜率存在）为()y k x a =+，令x c =-，可得(),()M c k a c --，令0x =，可得(0,)E ka ，设OE 的中点为H ，可得0,2ka H ⎛⎫⎪⎝⎭，由,,B H M 三点共线，可得BH BM k k =，即()2kak a c a c a-=---，即为3a c =，可得13c e a ==，故选：C.【点睛】本题考查求椭圆的离心率，解题关键是根据三点共线找到关于,a c 的等量关系.4．设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，O 是坐标原点，过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若1213PF =，则C 的离心率为（ ） A ．5B ．2C 3D 23【答案】D 【解析】 【分析】双曲线的渐近线方程为by x a=,则2PF b =，1OF c =，可得OP a =，在2OPF 和1OPF ∆中，分别求出2cos aPOF c∠=和1cos POF ∠，利用12cos cos 0POF POF ∠+∠=，可得22213PF a c =+结合222b c a =-，ce a=即可求解. 【详解】由题可得双曲线的渐近线方程为0bx ay -=，()2,0F c2PF b ==，1OF c =，OP a =，因为12PF =，所以222121313PF PF b ==，在2OPF 中，2cos aPOF c∠=， 1OPF ∆中，22211cos a c PF POF c+-∠=，因为12POF POF π∠+∠=，所以12cos cos 0POF POF ∠+∠=， 所以22210a c PF acc+-+= 可得22213PF a c =+， 所以222213133c a a c -=+，所以c a =，所以e = 故选：D 【点睛】本题主要考查了利用双曲线的性质求双曲线的离心率，属于中档题.5．已知F 是椭圆C ：22221x y a b +=(a>b>0)的右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 与圆222()39c b x y -+=相切于点Q ，（其中c 为椭圆的半焦距），且2PQ QF =则椭圆C 的离心率等于（ ） A．B ．23CD ．12【答案】A 【解析】 【分析】由题意首先利用几何关系找到a 、b 的比例关系，然后计算椭圆的离心率即可. 【详解】如图所示，设椭圆的左焦点为F 1,连接PF 1，设圆心为C ，则圆心坐标为,03c ⎛⎫ ⎪⎝⎭,半径为3b r =， ∴|F 1F |=3|FC |，∵PQ =2QF ,∴PF 1∥QC ,|PF 1|=b ， ∴|PF |=2a −b ，∵线段PF 与圆相切于点Q ， ∴CQ ⊥PF ， ∴PF 1⊥PF ， ∴b 2+(2a −b )2=4c 2，()2222(2)4b a b a b ∴+-=-，32a b ∴=,则23b a =，22513c b e a a ∴==-=. 故选：A . 【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．6．已知双曲线2222:1x y C a b-=的渐近线方程为y x =±，则该双曲线的离心率为（ ）A 2B 3C ．2D ．3【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得出1b a =，再由e =可求得该双曲线的离心率的值. 【详解】由于双曲线2222:1x y C a b-=的渐近线方程为y x =±，则1b a =，因此，该双曲线的离心率为c e a =====故选：A. 【点睛】本题考查利用双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率，利用公式e =计算较为方便，考查计算能力，属于基础题.7．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，过F 点作x 轴的垂线交椭圆于A ，B 两点，若0OA OB ⋅=，则椭圆的离心率等于（ ）A．BC ．12D【答案】A 【解析】 【分析】由0OA OB ⋅=可得OAB 是等腰直角三角形，结合椭圆的几何性质列出方程，可求解椭圆的离心率． 【详解】椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，过F 作x 轴的垂线交椭圆C 于A ，B 两点，由2b xc y a=⇒=±，若0OA OB ⋅=，则OAB 是等腰直角三角形(O 为坐标原点），可得2b c a=，即22a c ac -=，可得210e e +-=且(0,1)e ∈，解得512e -=． 故选：A ． 【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，考查了椭圆的几何性质，同时考查了垂直关系的向量表示，是基本知识的考查．8．已知过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点F ，且与双曲线的渐近线平行的直线l 交双曲线于点A ，交双曲线的另一条渐近线于点B （A ，B 在同一象限内），满足2FB FA =，则该双曲线的离心率为（ ）A ．43B ．2C ．3D ．2【答案】B 【解析】 【分析】将直线l 的方程分别与双曲线方程及渐近线方程联立，求出,A B 的纵坐标，再利用已知条件求解． 【详解】双曲线的渐近线方程为by x a=±，如图，不妨设,A B 在第一象限，直线l 的方程为()b y x c a =--，与22221x y a b-=联立，得32A b y ac =；直线l 与by x a =联立，得2B bc y a=． 由||2||FB FA =，得2B A y y =，即3222bc b a ac=⨯， 得222c b =，即222c a =，则2e =故选：B ．【点睛】本题考查双曲线的几何性质等，考查数形结合思想和考生的运算求解能力，解题关键是利用题目条件建立a 、b 、c 的等量关系，从而求解离心率，属于中等题.9．已知双曲线2221,(0)x y a a-=>的焦距为4，则该双曲线的离心率为（ ）A．BCD【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线焦距求得c ，根据222c a b =+求得a 的值，由此得到离心率. 【详解】由已知得2,1c b ==，由222c a b =+，解得222413a c b =-=-=，所以e =故选：C . 【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是由已知双曲线方程和焦距找到关于a b c 、、的等量关系.10．已知双曲线22212x y a -=的一条渐近线的斜率为3，则双曲线的离心率为（ ） A．3B．3CD ．2【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的渐进线方程，可得到a 值，再由,,a b c 的关系和离心率公式，即可得到答案. 【详解】由渐近线方程为y ==，解得a =所以c ==，所以双曲线的离心率为3cea===.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率的求法，解题关键是利用渐近线方程的斜率与a b、的关系，找到关于a b c、、的等量关系，考查学生基本的运算能力，属于基础题. 11．过椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的左焦点F的直线过C的上端点B，且与椭圆相交于点A，若3BF FA=，则C的离心率为（）A．13B3CD【答案】D【解析】【分析】首先设出点的坐标，然后利用点在椭圆上即可求得椭圆的离心率.【详解】由题意可得()()0,,,0B b F c-，由3BF FA=，得4,33bA c⎛⎫--⎪⎝⎭，点A在椭圆上，则：22224331bca b⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，整理可得：222221681,,9922c ce ea a⋅=∴===.故选D.【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式cea=；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．12．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 的直线与双曲线的右支交于两点,A B ，若1:3:4AF AB =，且2F 是AB 的一个四等分点，则双曲线C 的离心率是（ ） A．5B ．102C ．52D ．5【答案】B 【解析】 【分析】设2AF m =，根据1:3:4AF AB =，且2F 是AB 的一个四等分点可知，13AF m =，4AB m =，23BF m =，再利用双曲线的定义可得1222AF AF m a -==，即a m =， 且15BF a =，然后解出21210F F c a ==，则可解得离心率的值. 【详解】如图所示，连接1BF ，设2AF m =，则4AB m =，因为1:3:4AF AB =，则13AF m =，所以1222AF AF m a -==，得a m =， 又122BF BF a -=，且233BF m a ==，所以1325BF m a a =+=， 所以22211AF AB BF +=，即12AF AF ⊥， 故2110F F a =，即210c a = 所以10c e a ==. 故选：B.【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系，考查双曲线的定义运用，焦点弦长的计算、离心率计算问题，难度一般，根据几何条件得出a ，c 的关系即可.二、填空题13．已知焦点在x 轴上的椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线l 过2F ，且和椭圆C 交于A ，B 两点，11||3||5AF BF =，12AF F △与12BF F △的面积之比为3：1，则椭圆C 的离心率为______________. 【答案】22【解析】 【分析】设13AF x =，15BF x =，23AF y =，2BF y =，根据椭圆的定义可得x y =，进而得出12AF F △为等腰直角三角形，从而求得离心率. 【详解】11||3||5AF BF =，不妨设13AF x =，15BF x =， 由点B 作BP x ⊥轴，同时也过点A 向x 轴引垂线，1212:3:1AF F BF F SS=，且22AOF BPF22:3:1AF BF ∴=，设23AF y =，2BF y =，由12122AF AF BF BF a +=+=，335x y x y ∴+=+，x y ∴=，所以12556AF AF x y x x x +=+=+=， 所以23AF x =，12AF F ∴为等腰三角形，34AB x x x ∴=+=，15BF x =，22211AF AB BF ∴+=，1AF B ∴为直角三角形，12AF AF ∴⊥，∴12AF F △为等腰直角三角形，112OF OA AF ∴==， 11,OF c AF a ==,即2c e a ==.故答案为：2【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的离心率问题，关键是利用椭圆的定义判断出12AF F △为等腰直角三角形，考查了计算求解能力，属于中档题.14．已知12F F ，是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12PF PF >，线段1PF 的垂直平分线过2F ，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则2134e e +的最小值为________.【答案】6+ 【解析】 【分析】由于线段1PF 的垂直平分线过2F ，所以有122F F PF =，再根据双曲线和椭圆的定义，求出2c 的表达式，然后利用基本不等式求得最小值. 【详解】设椭圆对应的参数为11,,a b c ， 双曲线对应的参数为22,,a b c ，由于线段1PF 的垂直平分线过2F ， 所以有1222F F PF c ==.根据双曲线和椭圆的定义有11122222PF c a PF c a ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩， 两式相减得到()1242c a a =-， 即121222a a c a c a -=⇒+=.所以2121223364344e a a c c e c a c a +=+=++66≥+=+当且仅当2c =取等号， 则2134e e +的最小值为6.故答案为：6. 【点睛】思路点睛：考查双曲线的定义和几何性质，考查椭圆的定义和几何性质.由于椭圆和双曲线有公共的焦点，所以焦距相同，也就是有相同c .对于两个曲线的公共交点来说，即满足椭圆的定义，又满足双曲线的定义，根据定义可列出方程.再利用基本不等式可得最小值.15．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，直线l 过点2F 交双曲线右支于P ，Q 两点，若123PF PF =，23PQ PF =，则双曲线 C 的离心率为__________.【解析】 【分析】设2||PF m =，则1||3PF m =，3PQ m =，推出22QF m =，由双曲线的定义得14QF a m a⎧=⎨=⎩，再在1PQF △和12QF F 应用余弦定理得2225243a c a -=，进而得答案. 【详解】解：设2||PF m =，则1||3PF m =，3PQ m =，∴22QF m =，由双曲线的定义，得12112122422PF PF m aQF a m a QF QF QF m a ⎧-==⎧=⎪⇒⎨⎨=-=-=⎩⎪⎩， 此时，在1PQF △和12QF F 应用余弦定理得：2222221112116992cos 22433QF PQ PF a a a FQF QF PQa a +-+-∠===⨯⨯2222222212121221216445cos 22424QF QF F F a a c a c FQF QF QF a a a+-+--∠===⨯⨯； 所以2225243a c a -=，即2237c a =，故2273c a =，所以c e a ==．. 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．16．已知直线y a =与双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的一条渐近线交于点P ，双曲线C 的左、右顶点分别为1A ，2A，若212PA A A =，则双曲线C 的离心率为_____.【解析】 【分析】解出点P 的坐标，用两点间距离公式求出212,PA A A ，化简整理出,,a b c 的关系式，从而求得离心率． 【详解】若渐近线的方程为by x a =，则点P 的坐标为2,a a b ⎛⎫⎪⎝⎭.因为212PA A =，所以22225a a a a b ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则214a b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以3a b =，从而e ==若渐近线的方程为by x a =-，则点P 的坐标为2,a a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理可得e =【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查运算求解能力与分类讨论的数学思想.17．设1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点.若在C 上存在一点P ，使12PF PF ⊥，且1245PF F ∠=︒，则C 的离心率为__.. 【解析】 【分析】由已知可得三角形是等腰直角三角形，则根据椭圆定义可得三角形三边长度，利用勾股定理即可求解. 【详解】由已知可得三角形12PF F 是等腰直角三角形，且1290F PF ∠=︒，12||||PF PF =， 由椭圆的定义可得12||||2PF PF a +=，12PF PF a ∴==，又12||2F F c =，∴在△12PF F 中，由勾股定理可得：221122||PF F F =，即2224a c =，2c e a ∴==，故答案为：2. 【点睛】该题考查了椭圆定义以及直角三角形中的勾股定理问题，属于基础题目.18．设F 为椭圆2222:1x y C a b+=的左焦点，P 为C 上第一象限的一点.若6FPO π∠=，PF =，则椭圆C 的离心率为___________1 【解析】【分析】连接1PF ，由余弦定理结合平面几何的知识得11PF OF =，再由椭圆的定义及离心率公式即可得解. 【详解】设(),0F c -，椭圆的右焦点()1,0F c ，连接1PF ，如图，因为6FPO π∠=，3PF =，所以2222223cos 2223PF OP OFOP OFFPO PF OPOP OF+-+∠===⋅⋅， 所以OP OF =，所以1OP OF =，13POF π∠=，所以1POF 为等边三角形，11PF OF =， 所以)113312PF PF OF c a +=+==，所以离心率3131ce a===+. 31. 【点睛】解决本题的关键是利用余弦定理及平面几何的知识转化条件为11PF OF =，再由椭圆的定义、离心率公式即可得解.19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点，直线2b y =与椭圆交于B ，C 两点，且90BFC ∠=，则该椭圆的离心率是_______. 6 【解析】【分析】 首先联立直线与椭圆的方程求出B ，C 两点坐标，由此求出BF 、CF ，由90BFC ∠=得0BF CF ⋅=，从而可得a c 、的关系式，进而求得椭圆的离心率.【详解】222142233c e a ==⨯= 由222212x y a b b y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得32x b y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以3,2b B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3,22b C a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，由题意可知(),0F c ，所以3,22b BF c a ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭，3,22b CF c a ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭， 因为90BFC ∠=，所以BF CF ⊥，所以0BF CF ⋅=，即3302222b b c c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯-+-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以22231044c a b -+=，因为222b a c =-， 所以22223110444c a a c -+-=，即223142c a =，所以22223c e a ==，所以6e =， 故答案为：63【点睛】方法点睛：求椭圆离心率的常用方法：（1）直接求出a 、c 的值，利用离心率公式直接求解；（2）列出含有a 、b 、c 的其次方程或不等式，借助于222b a c =-消去b ，转化为含有e 的方程和不等式求解；（3）数形结合，根据图形观察，通过取特殊值和特殊位置求出离心率；20．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右顶点分别为A 、B ，点2(0)C b ,，若线段AC 的垂直平分线过点B ，则该双曲线的离心率为______.【答案】2【解析】【分析】 由题中条件，得到BC BA =，由此得到2234a b =，再由双曲线中222c a b =+，即可求出离心率.【详解】 因为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右顶点分别为A 、B ， 则2AB a =，(),0A a -，(),0B a ，又2(0)C b ,，线段AC 的垂直平分线过点B ， 所以BC BA =2a =，则2234b a =， 所以2222223744c a b a a a =+=+=，因此2c e a ===.故答案为：2. 例21设双曲线22221x y a b-= (0<a <b )的半焦距为c ，直线l 过(a,0)，(0，b )两点，且原点到直线l，求双曲线的离心率． 【答案】e ＝2.【解析】【分析】先求出直线l 的方程，利用原点到直线l 的距离为3 c ，222c a b =+，求出22a c 的值，进而根据0a b <<求出离心率．【详解】由l 过两点(a,0)，(0，b )，得l 的方程为bx ＋ay －ab ＝0.由原点到l 的距离为c ，得＝c . 将b ＝代入平方后整理，得162－16·＋3＝0.解关于的一元二次方程得＝或.∵e ＝，∴e ＝或e ＝2.又0<a <b ，故e ＝＝＝>. ∴应舍去e ＝.故所求离心率e ＝2.【点睛】 本题考查双曲线性质，考查求双曲线的离心率常用的方法即构造出关于,,a b c 的等式，属于中档题．22．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF (O 为原点)的垂直平分线上，求双曲线的离心率.2.【解析】【分析】设F 为右焦点，过F 作FP 垂直于一条渐近线，垂足为P ，过P 作PM OF ⊥于M .由射影定理知2||||||PF FM FO =，可得,,a b c 的关系，可求得双曲线的离心率.【详解】如图所示，不妨设F 为右焦点，过F 作FP 垂直于一条渐近线，垂足为P ，过P 作PM OF ⊥于M .由已知得M 为OF 的中点，由射影定理知2||||||PF FM FO =，又(c,0)F ，渐近线OP 的方程为0bx ay -=，所以22bc PF b b a ==+，于是22c bc =⋅， 即22222b c a b ==+，因此22a b =，故2212c b e a a==+=.【点睛】本题考查双曲线的简单的几何性质，求双曲线的离心率，属于基础题.23．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点为12,F F ，P 是双曲线上一点，满足212PF F F =，直线1PF 与圆222x y a +=相切，求双曲线的离心率.【答案】53e =【解析】【分析】设直线1PF 与圆222x y a +=相切点M ，连接OM ，根据212PF F F =和直线1PF 与圆222x y a +=相切得到2b a c =+，再求离心率即可.【详解】设直线1PF 与圆222x y a +=相切点M ，连接OM ，如图所示：因为212PF F F =，所以12FF P 为等腰三角形，又因为1OM PF ⊥，所以1114MF PF =.在1RT MF O △中，1MF b ===， 所以14PF b =. 因为122PF PF a -=，所以422b c a -=，即2b a c =+.所以22242b a c ac =++，2222442c a a c ac -=++223520c a ac --=，23250e e --=， 解得53e =或1e =-（舍去）. 【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，同时考查了直线与圆的位置关系，属于中档题.。
高三离心率专题含解析
高三离心率专题含解析椭圆的离心率，双曲线的离心率，抛物线的离心率．10<<e 1>e 1=e 一、直接求出、，求解a c e已知圆锥曲线的标准方程或、易求时，可利用率心率公式来解2012年5月6日星期日决. 例1：已知双曲线〔〕的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线的离心率为〔 〕A. B. C. D.232326332 解：抛物线的准线是，即双曲线的右准线，则，解得，，，故选D x y 62-=23=x 23122=-==c c c a x 02322=--c c 2=c 3=a 332==a c e变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为、，则其离心率为〔 〕A. B. C. D.43322141解：由、知 ，∴，又∵椭圆过原点，∴，，∴，，所以离心率.故选C.()0,11F ()0,32F 132-=c 1=c 1=-c a 3=+c a 2=a 1=c 21==a c e 变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为〔 〕A. B. C. D 2326232解：由题设，，则，，因此选C 2=a 62=c 3=c 23==a c e变式练习3：点P 〔-3，1〕在椭圆〔〕的左准线上，过点且方向为的光线，经直线反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为〔 〕A B C D 33312221解：由题意知，入射光线为，关于的反射光线〔对称关系〕为，则解得，，则，故选A 二、构造、的齐次式，解出a c e根据题设条件，借助、、之间的关系，构造、的关系〔特别是齐二次式〕，进而得到关于的一元方程，从而解得离心率.例2：已知、是双曲线〔〕的两焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是〔 〕A. B. C. D. 324+13-213+13+ 解：如图，设的中点为，则的横坐标为，由焦半径公式，1MF P P 2c-a ex PF p --=1 即，得，解得ac a c c -⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-=20222=-⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛a c a c 〔舍去〕，故选D变式练习1：设双曲线〔〕的半焦距为，直线过，两点.已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为〔 〕A. B. C. D. 232332解：由已知，直线的方程为，由点到直线的距离公式，得，L 0=-+ab ay bx c b a ab4322=+ 又, ∴,两边平方，得，整理得，222b a c +=234c ab =()4222316c a c a =-01616324=+-e e 得或，又 ，∴，∴，∴，故选A42=e 342=e b a <<02122222222>+=+==a b a b a a c e 42=e 2=e 变式练习2：双曲线虚轴的一个端点为，两个焦点为、，，则双曲线的离心率为〔 〕A B C D 3263633解：如图所示，不妨设，，，则()b M ,0()0,1c F -()0,2c F2221b c MF MF +==，又，cF F 221=在中， 由余弦定理，得,21MF F ∆212212221212cos MF MF F F MF MF MF F ⋅-+=∠即，∴，()()()22222222421b c c b c b c +-+++=-212222-=+-c b c b ∵，∴，∴，∴，∴，故选B 222a c b -=212222-=--ac a 2223c a =232=e 26=e 三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例3：设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________.解：12121222222221-=+=+=+===cc c PF PF c a c a c e 四、根据圆锥曲线的统一定义求解例4：设椭圆〔〕的右焦点为，右准线为，若过且垂直于轴的弦的长等于点到的距离，则椭圆的离心率是 .解：如图所示，是过且垂直于轴的弦，∵于，∴为到准线的距离，根据椭圆的第二定义， AB 1F x 1l AD ⊥D AD 1F 1l 21211===AD AB AD AF e变式练习：在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为，则该椭圆的离心率为〔 〕A B C D 2222142解：221222===ADAF e五、构建关于的不等式，求的取值范围e e例5：设，则二次曲线的离心率的取值范围为〔 〕A. B. C. D.21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22,21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2,22()+∞,2 另：由，，得，,1tan cot 22=-θθy x ⎪⎭⎫ ⎝⎛∈4,0πθθtan 2=a θcot 2=b ∴,∴θθcot tan 222+=+=b a c θθθθ2222cot 1tan cot tan +=+==a c e∵，∴,∴，∴，故选D⎪⎭⎫ ⎝⎛∈4,0πθ1cot 2>θ22>e 2>e例6：如图，已知梯形中，，点分有向线段所成的比为，双曲线过、、三点，且以、为焦点．当时，求双曲线离心率的取值范围.解：以的垂直平分线为轴，直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，则轴.因为双曲线经过点、，且以、为焦点，由双曲线的对称性知、关于轴对称．依题意，记，，，其中为双曲线的半焦距，是梯形的高．AB y ABx xoy y CD ⊥C D A B C D y ()0,c A -⎪⎭⎫ ⎝⎛h c C ,2()00,y x E AB c 21=h 由定比分点坐标公式得，，设双曲线的方程为，则离心率，由点、在双曲线上，所以，将点的坐标代入双曲线方程得①()()λλλλ+-=+⋅+-=122120ccc x λλ+=10h y 12222=-b y a x a c e =C E C 142222=-b h a c将点的坐标代入双曲线方程得②E 11124222222=⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-λλλλb h a c再将①、②得，∴③a c e =14222=-b h e 14222-=e b h 1112422222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛+-λλλλb h e ④将③式代入④式，整理得，∴，由题设得：()λλ214442+=-e 2312+-=e λ4332≤≤λ 43231322≤+-≤e ，解得，所以双曲线的离心率的取值范围为107≤≤e []10,7配套练习1. 设双曲线〔〕的离心率为，且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为〔 〕A. B. C. D.1241222=-y x 1964822=-y x 132322=-y x 16322=-y x 2．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于〔 〕 A ． B ． C ．D ．313321233．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为〔 〕A B C D 353445234．在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为A B C D 222221425．在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为，则该双曲线的离心率为〔 〕A B C D 2222226．如图，和分别是双曲线〔〕的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为〔 〕A B C D 352513+ 8．设、分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，使，且，则双曲线离心率为〔 〕A B CD 252102155 9．已知双曲线〔〕的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是〔 〕A B C D []2,1()2,1[)+∞,2()+∞,210．椭圆〔〕的焦点为、，两条准线与轴的交点分别为、，若，则该椭圆离心率的取值范围是〔 〕A ．B ．C ．D ．⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0⎥⎦⎤ ⎝⎛22,0⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,22答案：1.由可得故选D ca=21a c = 3.a b c ===2.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，∴ ，椭圆的离心率，选D.3.双曲线焦点在x 轴,由渐近线方程可得,故选A 45,33b c e a a ====可得 4.不妨设椭圆方程为〔a>b>0〕，则有，据此求出e ＝5.不妨设双曲线方程为〔a>0，b>0〕，则有，据此解得e ＝，选C6.解析：如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△是等边三角形，连接AF1，∠AF2F1=30°，|AF1|=c ，|AF2|=c ，∴ ，双曲线的离心率为，选D.7.由已知P 〔〕，所以化简得．8.设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点.若双曲线上存在点A ，使∠F1AF2=90º，且|AF1|=3|AF2|，设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中，，∴ 离心率，选B.9.双曲线的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，∴ ≥，离心率e2=，∴ e ≥2，选C 22221(0,0)x y a b a b -=>>60o b a b a 322222c a b a a+=≥4 10.椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若，，，则，该椭圆离心率e ≥，选D 22221(0)x y a b a b +=>>1F 2F x M N ，2||2a MN c =12||2F F c =12MN F F 2≤22a c c≤22。
高三数学精准培优专题练习18：离心率
培优点十八 离心率1．离心率的值例1：设1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=︒，则椭圆的离心率为（ ）A ．3B ．3 C ．13D ．16【答案】A【解析】本题存在焦点三角形12PF F △，由线段1PF 的中点在y 轴上，O 为12F F 中点可得2PF y ∥轴，从而212PF F F ⊥，又因为1230PF F ∠=︒，则直角三角形12PF F △中，1212::2:1:3PF PF F F =，且122a PF PF =+，122c F F =，所以1212232F F c c e a a PF PF ∴====+，故选A ． 2．离心率的取值范围例2：已知F 是双曲线22221x y a b -=()0,0a b >>的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若ABE △是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（ ）A ．()1,+∞B ．()1,2C ．(1,12+D ．(2,12【答案】B【解析】从图中可观察到若ABE △为锐角三角形，只需要AEB ∠为锐角．由对称性可得只需π0,4AEF ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭即可．且AF ，FE 均可用a ，b ，c 表示，AF 是通径的一半，得：2b AF a =，FE a c =+，所以()()222tan 1112AFb c a c aAEF e FE a a c a a c a--==<⇒<⇒<⇒<++，即()1,2e ∈，故选B ．一、单选题1．若双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的一条渐近线经过点()2,1-，则该双曲线C 的离心率为（ ） ABCD【答案】D【解析】Q 双曲线的渐近线过点()2,1-，∴代入b y x a =-，可得：21ba -=-，即12b a =，e ∴==，故选D ． 2．倾斜角为π4的直线经过椭圆()222210x y a b a b +=>>右焦点F ，与椭圆交于A 、B 两点，且2AF FB =u u u r u u u r，则该椭圆的离心率为（ ） ABCD【答案】A【解析】设直线的参数方程为x c y ⎧⎪=+⎨=⎪⎪⎪⎩，代入椭圆方程并化简得2222411022a b t ct b ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，所以12t t +=，412222b t t a b ⋅=-+，由于2AF FB =u u u r u u u r ，即122t t =-，代入上述韦达定理，化简得2228c a b =+，即2229c a =，c a =A ．3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，还提出了一元二次方程的解法问题．直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”．设对点增分集训1F 、2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>，的左、右焦点，P 是该双曲线右支上的一点，若1PF ，2PF 分别是12Rt F PF △的“勾”“股”，且124PF PF ab ⋅=，则双曲线的离心率为（ ）A B C ．2 D【答案】D【解析】由双曲线的定义得122PF PF a -=，所以()22124PF PF a -=，即222121224PF PF PF PF a +-⋅=，由题意得12PF PF ⊥，所以222212124PF PF F F c +==，又124PF PF ab ⋅=，所以22484c ab a -=，解得2b a =，从而离心率ce a=D ． 4．已知双曲线()2212210,0:x y C a b a b -=>>的一个焦点F 与抛物线()2220:C y px p =>的焦点相同，它们交于A ，B 两点，且直线AB 过点F ，则双曲线1C 的离心率为（ ）A B C 1D ．2【答案】C【解析】设双曲线1C 的左焦点坐标为()',0F c -，由题意可得：(),0F c ，2pc =， 则,2p A p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,2p B p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即(),2A c c ，(),2B c c -，又：'2AF AF a -=，'AF ，据此有：22c a -=，即)1c a =，则双曲线的离心率：1c e a ==．本题选择C 选项． 5．已知点()()000,P x y x a ≠±在椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>上，若点M 为椭圆C 的右顶点，且PO PM ⊥（O 为坐标原点），则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．()0,1C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．⎛ ⎝⎭【答案】C【解析】由题意PO PM ⊥，所以点P 在以OM 为直径的圆上，圆心为,02a ⎛⎫⎪⎝⎭，半径为2a ，所以圆的方程为：22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，与椭圆方程联立得：222210b x ax b a ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，此方程在区间()0,a 上有解，由于a 为此方程的一个根，且另一根在此区间内，所以对称轴要介于2a与a 之间，所以22221a a a b a <<⎛⎫- ⎪⎝⎭，结合222a b c =+，解得221122a c <<，1e <<．故选C ． 6．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>，点A ，B 是长轴的两个端点，若椭圆上存在点P ，使得120APB ∠=︒，则该椭圆的离心率的最小值为（ ） ABCD ．34【答案】C【解析】设M 为椭圆短轴一端点，则由题意得120AMB APB ∠≥∠=︒，即60AMO ∠≥︒， 因为tan a OMA b ∠=，所以tan60a b ≥︒=，a ∴，()2223a a c ≥-，2223a c ∴≤，223e ≥，e ≥，故选C ． 7．已知双曲线22221x y a b -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，且124PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为（ ）A ．43B ．53C ．2D ．73【答案】B【解析】由双曲线的定义知122PF PF a -= ①；又124PF PF =， ② 联立①②解得183PF a =，223PF a =，在12PF F △中，由余弦定理，得222212644417999cos 8288233a a c F PF e a a +-∠==-⋅⋅，要求e 的最大值，即求12cos F PF ∠的最小值， 当12cos 1F PF ∠=-时，解得53e =，即e 的最大值为53，故选B ． 解法二：由双曲线的定义知122PF PF a -= ①，又124PF PF =， ②，联立①②解得183PF a =，223PF a =，因为点P 在右支所以2PF c a ≥-，即23a c a ≥-故53a c ≥，即e 的最大值为53，故选B ．8．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，O 为坐标原点， 若1212OP F F =，且212PF PF a =，则该椭圆的离心率为（ ） A ．34B ．3 C ．12D ．2 【答案】D【解析】由椭圆的定义可得，122PF PF a +=，又212PF PF a ⋅=，可得12PF PF a ==，即P 为椭圆的短轴的端点，OP b =，且1212OP F F c ==，即有22c b a c ==-，即为2a c =，2c e a ==．故选D ． 9．若直线2y x =与双曲线()222210x y a b a b -=>>有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ） A ．()1,5 B ．(1,5⎤⎦C ．)5,⎡+∞⎣ D ．()5,+∞【答案】D【解析】双曲线()222210x y a b a b -=>>的渐近线方程为by x a=±，由双曲线与直线2y x =有交点，则有2b a >，即有21+145c b e a a ⎛⎫==>+= ⎪⎝⎭，则双曲线的离心率的取值范围为()5,+∞，故选D ．10．我们把焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知1F ，2F 是一对相关曲线的焦点，1e ，2e 分别是椭圆和双曲线的离心率，若为它们在第一象限的交点，1260F PF ∠=︒，则双曲线的离心率2e =（ ）AB ．2 CD ．3【答案】C【解析】设()1,0F c -，()2,0F c ，椭圆的长半轴长为a ，双曲线的实半轴长为m ， 可得122PF PF a +=，122PF PF m =-，可得1PF a m =+，2PF a m =-， 由余弦定理可得2221212122cos60F F PF PF PF PF -⋅=+︒， 即有()()()()2222243c a m a m a m a m a m =++--+-=+， 由离心率公式可得2212134e e +=，121e e =，即有4222430e e -+=，解得2e =，故选C ． 11．又到了大家最喜（tao ）爱（yan ）的圆锥曲线了．已知直线:210l kx y k --+=与椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>交于A 、B 两点，与圆()()222:211C x y -+-=交于C 、D 两点．若存在[]2,1k ∈--，使得AC DB =u u u r u u u r，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（ ） A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．⎛ ⎝⎦ D．⎫⎪⎪⎣⎭【答案】C【解析】直线:210l kx y k --+=，即()210k x y --+=， Q 直线l 恒过定点()2,1，∴直线l 过圆2C 的圆心，AC DB =u u u r Q u u u r，22AC C B ∴=，2C ∴的圆心为A 、B 两点中点， 设()11,A x y ，()22,B x y ，22112222222211x y a b x y a b ⎧⎪⎪⎨+=+=⎪⎪⎩， 上下相减可得：()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-=-，化简可得2121221212x x y y b k y y a x x +--⋅==+-，222b k a -⋅=， 221,122b k a ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，e ⎛= ⎝⎦，故选C ． 12．已知点P 为双曲线()222210x y a b a b-=>>右支上一点，点1F ，2F 分别为双曲线的左右焦点，点I 是12PF F △的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有121213IPF IPF IF F S S S -≥△△△成立，则双曲线的离心率取值范围是（ ） A ．(]1,2 B ．()1,2C ．(]0,3D ．(]1,3【答案】D 【解析】设12PF F △的内切圆半径为r ，由双曲线的定义得122PF PF a -=，122F F c =， 1112PF S PF r =⋅△，2212PF S PF r =⋅△，12122PF F S c r cr =⋅⋅=△， 由题意得12111223PF r PF r cr ⋅-⋅≥，故()12332c PF PF a ≤-=， 故3ce a=≤，又1e >，所以，双曲线的离心率取值范围是(]1,3，故选D ． 二、填空题13．已知抛物线()220y px p =>与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，若直线AF 的斜率为3，则双曲线的离心率为______． 【答案】72+ 【解析】如图所示，设双曲线的另外一个焦点为1F ，由于AF 360BAF ∠=︒，且AF AB =，所以ABF △是等边三角形， 所以130F BF ∠=︒，所以13BF c =，4BF c =， 所以2221164242cos12028AF c c c c =+-⨯⨯⨯︒=，所以1AF =，由双曲线的定义可知24a c =-． 14．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>，其左右焦点分别为1F ，2F ，若M 是该双曲线右支上一点， 满足123MF MF =，则离心率e 的取值范围是__________．【答案】(]1,2【解析】设M 点的横坐标为x ，∵123MF MF =，M 在双曲线右支上()x a ≥，根据双曲线的第二定义， 可得223a a e x e x c c ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2ex a ∴=，x a ≥Q ，ex ea ∴≥，2a ea ∴≥，2e ∴≤，1e >Q ，12e ∴<≤，故答案为(]1,2．15．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与椭圆交于A ，B 的两点，且2AF x ⊥轴，若P 为椭圆上异于A ，B 的动点且14PAB PBF S S =△△，则该椭圆的离心率为_______．【解析】根据题意，因为2AF x ⊥轴且()2,0F c ，假设A 在第一象限，则2,b A c a ⎛⎫⎪⎝⎭，过B 作BC x ⊥轴于C ，则易知121AF F BFC △～△， 由14PAB PBF S S =△△得113AF BF =，所以23AF BC =，1213F F CF =， 所以25,33b B c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入椭圆方程得222225199c b a a +=，即222259c b a +=，又222b a c =-，所以223c a =，所以椭圆离心率为c e a ==．． 16．在平面直角坐标系xOy 中，记椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，若该椭圆上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P △为等腰三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是____________．【答案】111,,1322⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U【解析】椭圆上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P △为等腰三角形，6个不同的点有两个为椭圆短轴的两个端点，另外四个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称， 设P 在第一象限，11PF PF >，当1122PF F F c ==时，21222PF a PF a c =-=-， 即222a a c >-，解得12e >， 又因为1e <，所以112e <<， 当2122PF F F c ==时，12222PF a PF a c =-=-， 即222a c c ->且2c a c >-，解得：1132e <<，综上112e <<或1132e <<．三、解答题17．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>（1）求双曲线C 的渐进线方程．（2）当1a =时，已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆225x y +=上，求m 的值．【答案】（1）y =；（2）1m =±．【解析】（1）由题意，得ce a=223c a ∴=， ∴22222b c a a =-=，即222b a=，∴所求双曲线C 的渐进线方程by x a=±=．（2）由（1）得当1a =时，双曲线C 的方程为2212y x -=．设A ，B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，线段AB 的中点为()00,M x y ，由2212yxx y m-⎧=++=⎪⎨⎪⎩，得22220x mx m---=（判别式0Δ>），∴1202x xx m+==，002y x m m=+=，∵点()00,M x y在圆225x y+=上，∴()2225m m+=，∴1m=±．18．已知椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的左焦点为()1,0F-，离心率2e=．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知直线l交椭圆C于A，B两点．①若直线l经过椭圆C的左焦点F，交y轴于点P，且满足PA AFλ=u u u r u u u r，PB BFμ=u u u r u u u r．求证：λμ+为定值；②若OA OB⊥，求OAB△面积的取值范围．【答案】（1）2212xy+=；（2）①见解析，②322OABS≤<△．【解析】（1）由题设知，2ca=1c=，所以22a=，1c=，21b=，所以椭圆C的标准方程为2212xy+=．（2）①由题设知直线l斜率存在，设直线l方程为()1y k x=+，则()0,P k．设()11,A x y，()22,B x y，直线l代入椭圆2212xy+=得()2222124220k x k x k+++-=，所以2122412kx xk+=-+，21222212kx xk-=+，由PA AFλ=u u u r u u u r，PB BFμ=u u u r u u u r知111xxλ=-+，221xxμ=-+，2222121222121222444212124422111212k kx x x x k kk kx x x xk kλμ--++++++=-=-=--++++-+++．高三数学总复习精准培优专题练习11 ②当直线OA ，OB分别与坐标轴重合时，易知OAB S =△． 当直线OA ，OB 斜率存在且不为0时，设:OA y kx =，1:OB y x k=-， 设()11,A x y ，()22,B x y ，直线y kx =代入椭圆C 得到222220x k x +-=， 所以212212x k =+，2212212k y k =+，同理2222212k x k =+，212212y k =+212OAB S OA OB =⨯==△， 令211t k =+>，则OAB S ==△ 因为()10,1t∈，所以291192424t ⎛⎫<--≤ ⎪⎝⎭，故32OAB S ≤△，综上32OAB S ≤<△．。
2020届高考复习——离心率满分训练
专题讲座：离心率离心率问题包括两大问题：1、求离心率的值；2、求离心率的取值范围一、求离心率问题的常用结论：1、a PF PF 221=+（椭圆）；a PF PF 2||21=-（双曲线）2、半通径为ab 23、双曲线的焦点到渐近线的距离为b4、c a PF c a +≤≤-||1（椭圆）；a c PF a c +≤≤-||1（双曲线）5、在椭圆中，焦点三角形21F PF 中21PF F ∠当P 为短轴顶点时最大。
6、椭圆离心率越接近1，图象越扁；双曲线离心率越接近1，图象开口越小7、在焦点在x 轴的双曲线中，过原点的直线l 在两渐近线围成区域上下部分（ab k a b l <<-）时，直线与双曲线无交点，在左右部分时有两个交点。
8、过原点的直线与曲线交的两个点关于原点对称。
9、正弦定理、余弦定理、定比分点坐标公式定比分点坐标公式：设),(),,(),,(221100y x B y x A y x P 且λ=则有：.1,1210210λλλλ++=++=y y y x x x 中点坐标公式是此公式的特例10、中线定理：三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍。
如图：)(22222BI AI AC AB +=+11、焦半径：由圆锥曲线第二定义推得(1)椭圆22221(0)x y a b a b+=>>：0201,ex a PF ex a PF -=+=；（左“+”右“-”） (2)双曲线12222=-b y a x ：(“长加短减”原则)aex MF aex MF -=+=0201 构成满足a MF MF 221=-aex F M a ex F M +-='--='0201（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号） (3)抛物线：20p x PF +=二、以下结论可以秒杀特殊类型的离心率（也称二级公式） 1、垂径定理与圆周角定理的推广：（1）若点P 是椭圆或双曲线的弦AB 中点，其中AB 不平行于对称轴且不过曲线的中心，则1(22222-=-=⋅e ab a b k k op AB （双曲线））椭圆）（（圆的垂径定理推广）；（2）若B A ,为椭圆或双曲线的顶点，P 为曲线上异于顶点的点，则122222-=-=⋅e ab a b k k PBPA （双曲线））（椭圆）（2、㮋圆：2)(1abe -= 双曲线：α22tan 1)(1+=+=ab e （α为渐近线与x 轴的夹角）3、过椭圆或双曲线焦点倾斜角为θ的直线l 与曲线交于B A ,两点，且FB AF λ=，则有|1||1||cos |=-=λλθe4、 若P 为椭圆或双曲线上一点，曲线的两焦点为21,F F ，则有： 椭圆：122121sin sin sin F PF F PF PF F e ∠+∠∠=双曲线：122121sin sin sin F PF F PF PF F e ∠-∠∠=题型一 求离心率的值一、几何解法：ace 22=几何解法也叫定义法，对题目出现焦点三角形或能直（间）接求出c b a ,,的可用此法。
2020届高三文科数学精准培优专练十七：离心率的求法与应用(解析版)
2020届高三文科数学精准培优专练十七：离心率的求法与应用（解析版）1．离心率的值例1：设1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=︒，则椭圆的离心率为（ ） ABC ．13D ．16【答案】A【解析】本题存在焦点三角形12PF F △，由线段1PF 的中点在y 轴上，O 为12F F 中点可得2PF y ∥轴， 从而212PF F F ⊥，又因为1230PF F ∠=︒，则直角三角形12PF F △中，1212::2PF PF F F = 且122a PF PF =+，122c F F =，所以121222F F c c e a a PF PF ∴====+，故选A ．2．离心率的取值范围例2：已知F 是双曲线22221x y a b -=()0,0a b >>的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若ABE △是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（ ）A ．()1,+∞B ．()1,2C．(1,1+D．(2,1【答案】B【解析】从图中可观察到若ABE △为锐角三角形，只需要AEB ∠为锐角．由对称性可得只需π0,4AEF ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭即可．且AF ，FE 均可用a ，b ，c 表示，AF 是通径的一半，得：2b AF a =，FE ac =+，所以()()222tan 1112AFb c a c aAEF e FE a a c a a c a--==<⇒<⇒<⇒<++，即()1,2e ∈，故选B ．对点增分集训一、单选题1．若双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的一条渐近线经过点()2,1-，则该双曲线C 的离心率为（ ）ABCD【答案】D【解析】双曲线的渐近线过点()2,1-，∴代入b y x a =-，可得：21ba -=-，即12b a =，e ∴==，故选D ． 2．倾斜角为π4的直线经过椭圆()222210x y a b a b +=>>右焦点F ，与椭圆交于A 、B 两点，且2AF FB =，则该椭圆的离心率为（ ） ABCD【答案】A【解析】设直线的参数方程为x c y ⎧⎪=+⎨=⎪⎪⎪⎩，代入椭圆方程并化简得2222411022a b t ct b ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，所以12t t +=，412222b t t a b ⋅=-+，由于2AF FB =，即122t t =-，代入上述韦达定理，化简得2228c a b =+，即2229c a =，c a =A ． 3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，还提出了一元二次方程的解法问题．直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”．设1F 、2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>，的左、右焦点，P 是该双曲线右支上的一点，若1PF ，2PF 分别是12Rt F PF △的“勾”“股”，且124PF PF ab ⋅=，则双曲线的离心率为（ ）A B C ．2 D【答案】D【解析】由双曲线的定义得122PF PF a -=，所以()22124PF PF a -=，即222121224PF PF PF PF a +-⋅=，由题意得12PF PF ⊥，所以222212124PF PF F F c +==，又124PF PF ab ⋅=，所以22484c ab a -=，解得2b a =，从而离心率ce a=D ． 4．已知双曲线()2212210,0:x y C a b a b -=>>的一个焦点F 与抛物线()2220:C y px p =>的焦点相同，它们交于A ，B 两点，且直线AB 过点F ，则双曲线1C 的离心率为（ ）A B C 1D ．2【答案】C【解析】设双曲线1C 的左焦点坐标为()',0F c -，由题意可得：(),0F c ，2pc =， 则,2p A p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,2p B p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即(),2A c c ，(),2B c c -，又：'2AF AF a -=，'AF ，据此有：22c a -=，即)1c a =，则双曲线的离心率：1c e a ==．本题选择C 选项． 5．已知点()()000,P x y x a ≠±在椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>上，若点M 为椭圆C 的右顶点，且PO PM ⊥（O为坐标原点），则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．()0,1C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．⎛ ⎝⎭【答案】C【解析】由题意PO PM ⊥，所以点P 在以OM 为直径的圆上，圆心为,02a ⎛⎫⎪⎝⎭，半径为2a ，所以圆的方程为：22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，与椭圆方程联立得：222210b x ax b a ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，此方程在区间()0,a 上有解，由于a 为此方程的一个根，且另一根在此区间内，所以对称轴要介于2a与a 之间，所以22221a a a b a <<⎛⎫- ⎪⎝⎭，结合222a b c =+，解得221122a c <<，1e <<．故选C ． 6．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>，点A ，B 是长轴的两个端点，若椭圆上存在点P ，使得120APB ∠=︒，则该椭圆的离心率的最小值为（ ） A．2BCD ．34【答案】C【解析】设M 为椭圆短轴一端点，则由题意得120AMB APB ∠≥∠=︒，即60AMO ∠≥︒， 因为tan a OMA b ∠=，所以tan60a b ≥︒=，a ∴≥，()2223a a c ≥-，2223a c ∴≤，223e ≥，e ≥，故选C ．7．已知双曲线22221x y a b -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，且124PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为（ ） A ．43B ．53C ．2D ．73【答案】B【解析】由双曲线的定义知122PF PF a -= ①；又124PF PF =， ② 联立①②解得183PF a =，223PF a =，在12PF F △中，由余弦定理，得222212644417999cos 8288233a a c F PF e a a +-∠==-⋅⋅，要求e 的最大值，即求12cos F PF ∠的最小值，当12cos 1F PF ∠=-时，解得53e =，即e 的最大值为53，故选B ． 解法二：由双曲线的定义知122PF PF a -= ①，又124PF PF =， ②，联立①②解得183PF a =，223PF a =，因为点P 在右支所以2PF c a ≥-，即23a c a ≥-故53a c ≥，即e 的最大值为53，故选B ．8．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，O 为坐标原点，若1212OP F F =，且212PF PF a =，则该椭圆的离心率为（ ）A ．34B C ．12D 【答案】D【解析】由椭圆的定义可得，122PF PF a +=，又212PF PF a ⋅=，可得12PF PF a ==，即P 为椭圆的短轴的端点，OP b =，且1212OP F F c ==，即有c b ==，即为a =，2c e a ==．故选D ． 9．若直线2y x =与双曲线()222210x y a b a b -=>>有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）A ．(B ．(C ．)+∞D ．)+∞【答案】D【解析】双曲线()222210x y a b a b -=>>的渐近线方程为by x a=±，由双曲线与直线2y x =有交点，则有2b a >，即有c e a ==>则双曲线的离心率的取值范围为)+∞，故选D ．10．我们把焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知1F ，2F 是一对相关曲线的焦点，1e ，2e 分别是椭圆和双曲线的离心率，若为它们在第一象限的交点，1260F PF ∠=︒，则双曲线的离心率2e =（ ）A B ．2C D ．3【答案】C【解析】设()1,0F c -，()2,0F c ，椭圆的长半轴长为a ，双曲线的实半轴长为m ，可得122PF PF a +=，122PF PF m =-，可得1PF a m =+，2PF a m =-， 由余弦定理可得2221212122cos60F F PF PF PF PF -⋅=+︒， 即有()()()()2222243c a m a m a m a m a m =++--+-=+， 由离心率公式可得2212134e e +=，121e e =，即有4222430e e -+=，解得2e =，故选C ． 11．又到了大家最喜（tao ）爱（yan ）的圆锥曲线了．已知直线:210l kx y k --+=与椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>交于A 、B 两点，与圆()()222:211C x y -+-=交于C 、D 两点．若存在[]2,1k ∈--，使得AC DB =，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．⎛ ⎝⎦ D．⎫⎪⎪⎣⎭【答案】C【解析】直线:210l kx y k --+=，即()210k x y --+=， 直线l 恒过定点()2,1，∴直线l 过圆2C 的圆心，AC DB =，22AC C B ∴=，2C ∴的圆心为A 、B 两点中点， 设()11,A x y ，()22,B x y ，22112222222211x y a b x y a b ⎧⎪⎪⎨+=+=⎪⎪⎩， 上下相减可得：()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-=-，化简可得2121221212x x y y b k y y a x x +--⋅==+-，222b k a -⋅=， 221,122b k a ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，e ⎛= ⎝⎦，故选C ． 12．已知点P 为双曲线()222210x y a b a b-=>>右支上一点，点1F ，2F 分别为双曲线的左右焦点，点I 是12PF F △的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有121213IPF IPF IF F S S S -≥△△△成立，则双曲线的离心率取值范围是（ ）A ．(]1,2B ．()1,2C ．(]0,3D ．(]1,3【答案】D 【解析】设12PF F △的内切圆半径为r ，由双曲线的定义得122PF PF a -=，122F F c =， 1112PF S PF r =⋅△，2212PF S PF r =⋅△，12122PF F S c r cr =⋅⋅=△， 由题意得12111223PF r PF r cr ⋅-⋅≥，故()12332c PF PF a ≤-=， 故3ce a=≤，又1e >，所以，双曲线的离心率取值范围是(]1,3，故选D ．二、填空题13．已知抛物线()220y px p =>与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，若直线AF ______．【解析】如图所示，设双曲线的另外一个焦点为1F ，由于AF 60BAF ∠=︒，且AF AB =，所以ABF △是等边三角形，所以130F BF ∠=︒，所以1BF =，4BF c =， 所以2221164242cos12028AF c c c c =+-⨯⨯⨯︒=，所以1AF =，由双曲线的定义可知24a c =-． 14．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>，其左右焦点分别为1F ，2F ，若M 是该双曲线右支上一点，满足123MF MF =，则离心率e 的取值范围是__________．【答案】(]1,2【解析】设M 点的横坐标为x ，∵123MF MF =，M 在双曲线右支上()x a ≥，根据双曲线的第二定义，可得223a a e x e x c c ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2ex a ∴=，x a ≥，ex ea ∴≥，2a ea ∴≥，2e ∴≤，1e >，12e ∴<≤，故答案为(]1,2．15．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与椭圆交于A ，B 的两点，且2AF x ⊥轴，若P 为椭圆上异于A ，B 的动点且14PAB PBF S S =△△，则该椭圆的离心率为_______．【解析】根据题意，因为2AF x ⊥轴且()2,0F c ，假设A 在第一象限，则2,b A c a ⎛⎫⎪⎝⎭，过B 作BC x ⊥轴于C ，则易知121AF F BFC △～△， 由14PAB PBF S S =△△得113AF BF =，所以23AF BC =，1213F F CF =， 所以25,33b B c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入椭圆方程得222225199c b a a +=，即222259c b a +=，又222b a c =-，所以223c a =，所以椭圆离心率为c e a ==．． 16．在平面直角坐标系xOy 中，记椭圆()222210x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，若该椭圆上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P △为等腰三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是____________．【答案】111,,1322⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【解析】椭圆上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P △为等腰三角形，6个不同的点有两个为椭圆短轴的两个端点，另外四个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称， 设P 在第一象限，11PF PF >，当1122PF F F c ==时，21222PF a PF a c =-=-， 即222a a c >-，解得12e >， 又因为1e <，所以112e <<， 当2122PF F F c ==时，12222PF a PF a c =-=-， 即222a c c ->且2c a c >-，解得：1132e <<，综上112e <<或1132e <<．三、解答题17．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>（1）求双曲线C 的渐进线方程．（2）当1a =时，已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆225x y +=上，求m 的值．【答案】（1）y =；（2）1m =±．【解析】（1）由题意，得ce a=223c a ∴=， ∴22222b c a a =-=，即222b a=，∴所求双曲线C 的渐进线方程by x a=±=．（2）由（1）得当1a =时，双曲线C 的方程为2212y x -=．设A ，B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，线段AB 的中点为()00,M x y ，由22120y x x y m -⎧=++=⎪⎨⎪⎩，得22220x mx m ---=（判别式0Δ>）， ∴1202x x x m +==，002y x m m =+=， ∵点()00,M x y 在圆225x y +=上，∴()2225m m +=，∴1m =±．18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为()1,0F -，离心率e =．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．①若直线l 经过椭圆C 的左焦点F ，交y 轴于点P ，且满足PA AF λ=，PB BF μ=．求证：λμ+为定值； ②若OA OB ⊥，求OAB △面积的取值范围．【答案】（1）2212x y +=；（2）①见解析，②32OAB S ≤<△．【解析】（1）由题设知，c a =1c =，所以22a =，1c =，21b =， 所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=．（2）①由题设知直线l 斜率存在，设直线l 方程为()1y k x =+，则()0,P k ．设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 代入椭圆2212x y +=得()2222124220k x k x k +++-=，所以2122412k x x k +=-+，21222212k x x k -=+，由PA AF λ=，PB BF μ=知111x x λ=-+，221xx μ=-+，2222121222121222444212124422111212k k x x x x k k k k x x x x k k λμ--++++++=-=-=--++++-+++．②当直线OA ，OB分别与坐标轴重合时，易知OAB S =△． 当直线OA ，OB 斜率存在且不为0时，设:OA y kx =，1:OB y x k=-， 设()11,A x y ，()22,B x y ，直线y kx =代入椭圆C 得到222220x k x +-=， 所以212212x k =+，2212212k y k =+，同理2222212k x k =+，212212y k =+212OAB S OA OB =⨯==△， 令211t k =+>，则OAB S =△ 因为()10,1t ∈，所以291192424t ⎛⎫<--≤⎪⎝⎭，故322OABS ≤<△，综上322OAB S ≤<△．。
2020年高考模拟复习知识点试卷试题之高考数学椭圆离心率高考练习题
椭圆的离心率专题训练一．选择题（共29小题）1．在区间[1 ，5]和[2 ，4]分别取一个数，记为a ，b ，则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．2．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P ，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．3．已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B ，F为其右焦点，若AF⊥BF ，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．4．斜率为的直线l与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．5．设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．6．已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P为椭圆C上除长轴端点外的任一点，△F1PF2的重心为G ，内心I ，且有（其中λ为实数），椭圆C的离心率e=（）A．B．C．D．7．已知F1（﹣c ，0），F2（c ，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．8．椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M ，若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为（）A．B．2﹣C．2（2﹣）D．9．椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足，则椭圆C的离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．或10．设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．11．设A1，A2分别为椭圆=1（a＞b＞0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点P ，使得＞﹣，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0 ，）B．（0 ，）C．D．12．设椭圆C的两个焦点为F1、F2，过点F1的直线与椭圆C交于点M ，N ，若|MF2|=|F1F2| ，且|MF1|=4 ，|NF1|=3 ，则椭圆Г的离心率为（）A．B．C．D．13．（2015•高安市校级模拟）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F ，若F关于直线x+y=0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．一l14．已知F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上一点，且PF2垂直于x轴．若|F1F2|=2|PF2| ，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．15．已知椭圆（a＞b＞0）的两焦点分别是F1，F2，过F1的直线交椭圆于P ，Q两点，若|PF2|=|F1F2| ，且2|PF1|=3|QF1| ，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．16．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，M为y轴正半轴上一点，直线MF2交C于点A ，若F1A⊥MF2，且|MF2|=2|OA| ，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．17．已知椭圆C的中心为O ，两焦点为F1、F2，M是椭圆C上一点，且满足||=2||=2|| ，则椭圆的离心率e=（）A．B．C．D．18．设F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点，若在直线x=上存在点P ，使△PF1F2为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0 ，）B．（0 ，）C．（，1）D．（，1）19．点F为椭圆+=1（a＞b＞0）的一个焦点，若椭圆上在点A使△AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为（）A．B．C．D．﹣120．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）和圆O：x2+y2=b2，若C上存在点M ，过点M引圆O的两条切线，切点分别为E ，F ，使得△MEF为正三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．[，1） B．[，1）C．[，1）D．（1 ，]21．在平面直角坐标系xOy中，以椭圆+=1（a＞b＞0）上的一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B ，C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（，）B．（，1） C．（，1）D．（0 ，）22．设F1、F2为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，直线l过焦点F2且与椭圆交于A ，B两点，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，设椭圆离心率为e ，则e2=（）A．2﹣B．3﹣C．11﹣6D．9﹣623．直线y=kx与椭圆C：+=1（a＞b＞0）交于A、B两点，F为椭圆C的左焦点，且•=0 ，若∠ABF∈（0 ，]，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．（0 ，]B．（0 ，]C．[，]D．[，1）24．已知F1（﹣c ，0），F2（c ，0）为椭圆=1（a＞b＞0）的两个焦点，若椭圆上存在点P满足•=2c2，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．[，]B．（0 ，]C．[，1）D．[，]25．已知F1（﹣c ，0），F2（c ，0）是椭圆=1（a＞b＞0）的左右两个焦点，P为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．26．已知两定点A（﹣1 ，0）和B（1 ，0），动点P（x ，y）在直线l：y=x+2上移动，椭圆C以A ，B为焦点且经过点P ，则椭圆C的离心率的最大值为（）A．B．C． D．27．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B ，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F ，若0＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0 ，）B．（，1）C．（0 ，）D．（，1）28．已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上存在点P ，过P作圆的切线PA ，PB ，切点为A ，B使得∠BPA=，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．29．已知圆O1：（x﹣2）2+y2=16和圆O2：x2+y2=r2（0＜r＜2），动圆M与圆O1、圆O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1＞e2），则e1+2e2的最小值是（）A．B．C．D．参考答案与试题解析一．选择题（共29小题）1．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P ，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解答：解：①当点P与短轴的顶点重合时，△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P；②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P作为等腰三角形的底边为例，∵F1F2=F1P ，∴点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足条件的等腰△F1F2P ，在△F1F2P1中，F1F2+PF1＞PF2，即2c+2c＞2a﹣2c ，由此得知3c＞a．所以离心率e＞．当e=时，△F1F2P是等边三角形，与①中的三角形重复，故e≠同理，当F1P为等腰三角形的底边时，在e且e≠时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P这样，总共有6个不同的点P使得△F1F2P为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e∈（，）∪（，1）2．在区间[1 ，5]和[2 ，4]分别取一个数，记为a ，b ，则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．解答：解：∵表示焦点在x轴上且离心率小于，∴a＞b＞0 ，a＜2b它对应的平面区域如图中阴影部分所示：则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为P==，故选B．3．已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B ，F为其右焦点，若AF⊥BF ，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．解答：解：已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B ，F为其右焦点，设左焦点为：N则：连接AF ，AN ，AF ，BF所以：四边形AFNB为长方形．根据椭圆的定义：|AF|+|AN|=2a∠ABF=α，则：∠ANF=α．所以：2a=2ccosα+2csinα利用e==所以：则：即：椭圆离心率e的取值范围为[]故选：A4．斜率为的直线l与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．解答：解：两个交点横坐标是﹣c ，c所以两个交点分别为（﹣c ，﹣c）（c ，c）代入椭圆=1两边乘2a2b2则c2（2b2+a2）=2a2b2∵b2=a2﹣c2c2（3a2﹣2c2）=2a^4﹣2a2c22a^4﹣5a2c2+2c^4=0（2a2﹣c2）（a2﹣2c2）=0=2 ，或∵0＜e＜1所以e==故选A5．设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．解答：解：设|PF2|=x ，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，∴|PF1|=2x ，|F1F2|=x ，又|PF1|+|PF2|=2a ，|F1F2|=2c∴2a=3x ，2c=x ，∴C的离心率为：e==．故选A．6．已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P为椭圆C上除长轴端点外的任一点，△F1PF2的重心为G ，内心I ，且有（其中λ为实数），椭圆C的离心率e=（）A．B．C．D．解答：解：设P（x0，y0），∵G为△F1PF2的重心，∴G点坐标为 G（，），∵，∴IG∥x轴，∴I的纵坐标为，在焦点△F1PF2中，|PF1|+|PF2|=2a ，|F1F2|=2c∴=•|F 1F2|•|y0|又∵I为△F1PF2的内心，∴I的纵坐标即为内切圆半径，内心I把△F1PF2分为三个底分别为△F1PF2的三边，高为内切圆半径的小三角形∴=（|PF1|+|F1F2|+|PF2|）||∴•|F1F2|•|y0|=（|PF1|+|F1F2|+|PF2|）||即×2c•|y0|=（2a+2c）|| ，∴2c=a ，∴椭圆C的离心率e==故选A7．已知F1（﹣c ，0），F2（c ，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．B． C．D．解答：解：设P（m ，n ），=（﹣c﹣m ，﹣n）•（c﹣m ，﹣n）=m2﹣c2+n2，∴m2+n2=2c2，n2=2c2﹣m2①．把P（m ，n ）代入椭圆得b2m2+a2n2=a2b2②，把①代入②得m2=≥0 ，∴a2b2≤2a2c2，b2≤2c2，a2﹣c2≤2c2，∴≥．又 m2≤a2，∴≤a2，∴≤0 ，故a2﹣2c2≥0 ，∴≤．综上，≤≤，故选：C．8．椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M ，若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为（）A．B．2﹣C．2（2﹣）D．解答：解：如图，在Rt△MF1F2中，∠MF2F1=60°，F1F2=2c∴MF2=4c ，MF1=2 cMF1+MF2=4c+2c=2a⇒e==2﹣，故选B．9．椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足，则椭圆C的离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．或解答：解：∵椭圆C上的点P满足，∴|PF1|==3c ，由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a ，∴|PF2|=2a﹣3c．利用三角形的三边的关系可得：2c+（2a﹣3c）≥3c ，3c+2c≥2a﹣3c ，化为．∴椭圆C的离心率e的取值范围是．故选：C．10．设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解答：解：F1（﹣c ，0），F2（c ，0），c＞0 ，设P（x1，y1），则|PF1|=a+ex1，|PF2|=a﹣ex1．在△PF1F2中，由余弦定理得cos120°==，解得x12=．∵x12∈（0 ，a2]，∴0≤＜a2，即4c2﹣3a2≥0．且e2＜1∴e=≥．故椭圆离心率的取范围是 e∈．故选A．11．设A1，A2分别为椭圆=1（a＞b＞0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点P ，使得＞﹣，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0 ，）B．（0 ，）C．D．解答：解：设P（asinα，bcosα），A1（﹣a ，0），A2（a ，0）；∴，；∴；∴；∴，a ，c＞0；∴解得；∴该椭圆的离心率的范围是（）．故选：C．12．设椭圆C的两个焦点为F1、F2，过点F1的直线与椭圆C交于点M ，N ，若|MF2|=|F1F2| ，且|MF1|=4 ，|NF1|=3 ，则椭圆Г的离心率为（）A．B．C．D．解答：解：设椭圆（a＞b＞0），F1（﹣c ，0），F2（c ，0），|MF2|=|F1F2|=2c ，由椭圆的定义可得|NF2|=2a﹣|NF1|=2a﹣3 ，|MF2|+|MF1|=2a ，即有2c+4=2a ，即a﹣c=2 ，①取MF1的中点K ，连接KF2，则KF2⊥MN ，由勾股定理可得|MF2|2﹣|MK|2=|NF2|2﹣|NK|2，即为4c2﹣4=（2a﹣3）2﹣25 ，化简即为a+c=12 ，②由①②解得a=7 ，c=5 ，则离心率e==．故选：D．13．椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F ，若F关于直线x+y=0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．一l解答：解：设F（﹣c ，0）关于直线x+y=0的对称点A（m ，n），则，∴m=，n= c ，代入椭圆方程可得，化简可得e4﹣8e2+4=0 ，∴e=﹣1 ，故选：D．14．已知F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上一点，且PF2垂直于x轴．若|F1F2|=2|PF2| ，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．解答：解：F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，设F1（﹣c ，0），F2（c ，0），（c＞0），P为椭圆上一点，且PF2垂直于x轴．若|F1F2|=2|PF2| ，可得2c=2，即ac=b2=a2﹣c2．可得e2+e﹣1=0．解得e=．故选：D．15．已知椭圆（a＞b＞0）的两焦点分别是F1，F2，过F1的直线交椭圆于P ，Q两点，若|PF2|=|F1F2| ，且2|PF1|=3|QF1| ，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．解答：解：由题意作图如右图，l1，l2是椭圆的准线，设点Q（x0，y0），∵2|PF1|=3|QF1| ，∴点P（﹣c﹣x0，﹣y0）；又∵|PF1|=|MP| ，|QF1|=|QA| ，∴2|MP|=3|QA| ，又∵|MP|=﹣c﹣x0+，|QA|=x0+，∴3（x0+）=2（﹣c﹣x0+），解得，x0=﹣，∵|PF2|=|F1F2| ，∴（c+x0+）=2c；将x0=﹣代入化简可得，3a2+5c2﹣8ac=0 ，即5﹣8+3=0；解得，=1（舍去）或=；故选：A．16．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，M为y轴正半轴上一点，直线MF2交C于点A ，若F1A⊥MF2，且|MF2|=2|OA| ，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．解答：解：如图所示，在Rt△AF1F2中，|F1F2|=2|OA|=2c．又|MF2|=2|OA| ，在Rt△OMF2中，∴∠AF2F1=60°，在Rt△AF1F2中，|AF2|=c ，|AF1|=c．∴2a=c+ c ，∴=﹣1．故选：C．17．已知椭圆C的中心为O ，两焦点为F1、F2，M是椭圆C上一点，且满足||=2||=2|| ，则椭圆的离心率e=（）A．B．C．D．解答：解：∵|MF1|=|MO|=|MF2| ，由椭圆定义可得2a=|MF1|+|MF2|=3|MF2| ，即|MF2|= a ，|MF1|= a ，在△F1OM中，|F1O|=c ，|F1M|= a ，|OM|= a ，则cos∠MOF1==，在△OF2M中，|F2O|=c ，|M0|=|F2M|= a ，则cos∠MOF2==，由∠MOF1=180°﹣∠MOF2得：cos∠MOF1+cos∠MOF2=0 ，即为+=0 ，整理得：3c2﹣2a2=0 ，即=，即e2=，即有e=．故选：D．18．设F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点，若在直线x=上存在点P ，使△PF1F2为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0 ，）B．（0 ，）C．（，1）D．（，1）解答：解：由已知P（，y），得F1P的中点Q的坐标为（），∴，∵，∴y2=2b2﹣，∴y2=（a2﹣c2）（3﹣）＞0 ，∴3﹣＞0 ，∵0＜e＜1 ，∴＜e＜1．故选：C．19．点F为椭圆+=1（a＞b＞0）的一个焦点，若椭圆上存在点A使△AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为（）A．B．C．D．﹣1解答：解：如下图所示：设椭圆的右焦点为F ，根据椭圆的对称性，得直线OP的斜率为k=tan60°=，∴点P坐标为：（ c ，c），代人椭圆的标准方程，得，∴b2c2+3a2c2=4a2b2，∴e=．故选：D．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）和圆O：x2+y2=b2，若C上存在点M ，过点M引圆O的两条切线，切点分别为E ，F ，使得△MEF为正三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．[，1） B．[，1）C．[，1）D．（1 ，]解答：解：如图所示，连接OE ，OF ，OM ，∵△MEF为正三角形，∴∠OME=30°，∴OM=2b ，则2b≤a ，∴，∴椭圆C的离心率e==．又e＜1．∴椭圆C的离心率的取值范围是．故选：C．21．在平面直角坐标系xOy中，以椭圆+=1（a＞b＞0）上的一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B ，C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（，）B．（，1） C．（，1）D．（0 ，）解答：解：如图所示，设椭圆的右焦点F（c ，0），代入椭圆的标准方程可得：，取y=，A．∵△ABC是锐角三角形，∴∠BAD＜45°，∴1＞，化为，解得．故选：A．22．设F1、F2为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，直线l过焦点F2且与椭圆交于A ，B两点，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，设椭圆离心率为e ，则e2=（）A．2﹣B．3﹣C．11﹣6D．9﹣6解答：解：可设|F1F2|=2c ，|AF1|=m ，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF1|=m ，|BF1|=m ，由椭圆的定义可得△ABF1的周长为4a ，即有4a=2m+m ，即m=2（2﹣）a ，则|AF2|=2a﹣m=（2）a ，在直角三角形AF1F2中，|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2，即4c2=4（2﹣）2a2+4（）2a2，即有c2=（9﹣6）a2，即有e2==9﹣6．故选D．23．直线y=kx与椭圆C：+=1（a＞b＞0）交于A、B两点，F为椭圆C的左焦点，且•=0 ，若∠ABF∈（0 ，]，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．（0 ，]B．（0 ，]C．[，]D．[，1）解答：解：设F2是椭圆的右焦点．∵•=0 ，∴BF⊥AF ，∵O点为AB的中点，OF=OF2．∴四边形AFBF2是平行四边形，∴四边形AFBF2是矩形．如图所示，设∠ABF=θ，∵BF=2ccosθ，BF2=AF=2csinθ，BF+BF2=2a ，∴2ccosθ+2csinθ=2a ，∴e=，sinθ+cosθ=，∵θ∈（0 ，]，∴∈，∴∈．∴∈，∴e∈．故选：D．24．已知F1（﹣c ，0），F2（c ，0）为椭圆=1（a＞b＞0）的两个焦点，若椭圆上存在点P满足•=2c2，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．[，]B．（0 ，]C．[，1）D．[，]解答：解：设P（x0，y0），则2c2==（﹣c﹣x0，﹣y0）•（c﹣x0，﹣y0）=+，化为．又，∴=，∵，∴，∵b2=a2﹣c2，∴，∴．故选：A．25．已知F1（﹣c ，0），F2（c ，0）是椭圆=1（a＞b＞0）的左右两个焦点，P为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．解答：解：设P（x0，y0），则，∴=．∵，∴（﹣c﹣x0，﹣y0）•（c﹣x0，﹣y0）=c2，化为=c2，∴=2c2，化为=，∵，∴0≤≤a2，解得．故选：D．26．已知两定点A（﹣1 ，0）和B（1 ，0），动点P（x ，y）在直线l：y=x+2上移动，椭圆C以A ，B为焦点且经过点P ，则椭圆C的离心率的最大值为（）A．B．C． D．解答：解：由题意知c=1 ，离心率e=，椭圆C以A ，B为焦点且经过点P ，则c=1 ，∵P在直线l：y=x+2上移动，∴2a=|PA|+|PB|．过A作直线y=x+2的对称点C ，设C（m ，n），则由，解得，即有C（﹣2 ，1），则此时2a=|PA|+|PB|≥|CD|+|DB|=|BC|=，此时a有最小值，对应的离心率e有最大值，故选C．27．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B ，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F ，若0＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0 ，）B．（，1）C．（0 ，）D．（，1）解答：解：如图所示：|AF2|=a+c ，|BF2|=，∴k=tan∠BAF2=，又∵0＜k＜，∴0＜＜，∴0＜＜，∴＜e＜1．故选：D．28．已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上存在点P ，过P作圆的切线PA ，PB ，切点为A ，B使得∠BPA=，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解答：解：连接OA ，OB ，OP ，依题意，O、P、A、B四点共圆，∵∠BPA=，∠APO=∠BPO=，在直角三角形OAP中，∠AOP=，∴cos∠AOP==，∴|OP|==2b ，∴b＜|OP|≤a ，∴2b≤a ，∴4b2≤a2，即4（a2﹣c2）≤a2，∴3a2≤4c2，即，∴，又0＜e＜1 ，∴≤e＜1 ，∴椭圆C的离心率的取值范围是[，1），故选：A．29．已知圆O1：（x﹣2）2+y2=16和圆O2：x2+y2=r2（0＜r＜2），动圆M与圆O1、圆O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1＞e2），则e1+2e2的最小值是（）A ．B ．C ．D ．解答：解：①当动圆M与圆O1、O2都相内切时，|MO2|+|MO1|=4﹣r=2a ，∴e1=．②当动圆M与圆O1相内切而与O2相外切时，|MO1|+|MO2|=4+r=2a′，∴e2=∴e1+2e2=+=，令12﹣r=t（10＜t＜12），e1+2e2=2×≥2×==故选：A．。
2020届高考数学专题十七离心率精准培优专练(文)
培优点十七 离心率例1：已知椭圆2221(0)12x y a a +=>的一个焦点与抛物线28y x =的焦点重合，则该椭圆的离心率为（）A ．14B ．12C．2D．4【答案】B【解析】由题可得，抛物线的焦点坐标为(2,0)，所以212416a =+=，所以4a =，所以离心率12c e a ==．例2：已知点P 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>右支上一点，1F 是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段1PFA B D【答案】D二、构造a ，c 的齐次式求解e一、直接求出a ，c 或求出a 与b 的比值求解e【解析】设直线1:()a PF y x c b =+，则与渐近线b y x a =-的交点为2(,)a abM c c-，因为M 是1PF 的中点，利用中点坐标公式，得222(,)a abP c c c -+，因为点P 在双曲线上，所以满足222222222()41b a a b a c b c--=， 整理得4225c a c =，解得e =例3：已知1F ，2F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，点P 在C 上，12||3||PF PF =，且121cos 3F PF ∠=A B D ．3【答案】A【解析】由双曲线定义及12||3||PF PF =，得1||3PF a =，2||PF a =，三、利用离心率的定义以及圆锥曲线的定义求解e由余弦定理得221221041cos 63a c F PF a -∠==，得c e a ==例4：设点P 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点，1F ，2F 分别是左右焦点，I 是12PF F △的内心，若1IPF △，2IPF △，12IF F △的面积1S ，2S ，3S 满足1232()S S S -=，则双曲线的离心率为（）A ．2B D【答案】A【解析】设r 是12IF F ∆的内切圆的半径，因为1232()S S S -=，∴12121||||||2PF r PF r F F r -=， 两边约去r 得12121||||||2PF PF F F -=， 根据双曲线定义，得12||||2PF PF a -=，12||2F F c =，∴2a c =⇒离心率为2ce a==．四、利用平面几何性质求解e一、选择题1．渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是（）A B ．1CD ．2【答案】C【解析】因为双曲线的渐近线为0x y ±=，所以a b =，则c ，双曲线的离心率ce a== 2．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，则（）A ．222a b =B ．2234a b =C ．2a b =D ．34a b =【答案】B【解析】由题意知，222114b e a =-=，所以2234a b =．3．已知点(0,3)到双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线的距离为2，则C 的离心率是（）A ．32B C D ．94【答案】A对点增分集训【解析】∵双曲线22221x y a b-=的渐近线为0bx ay ±=，∴点(0,3)P 到0bx ay ±=的距离2d ==，∴32c a =，∴32c e a ==．4．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为（）A B C ．2 D【答案】D【解析】由题意知(1,0)F ，:1l x =-，||4AB =，所以24b a =，e == 5．已知抛物线22(0)y px p =>与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个公共点，且AF x ⊥轴，则椭圆的离心率为（）A 1B 1C D ．12- 【答案】B【解析】由于抛物线和椭圆有相同的焦点，因此2pc =，不妨设A 是第一象限的点， 由AF x ⊥轴可知A 的横坐标为c ，代入椭圆可得纵坐标为2b a ，即2bAF a=，设椭圆的左焦点设为1F ，则根据抛物线定义可得12AF FF c ==，所以有22b c a=，化简可得222a c ac -=，即2210e e +-=，解得1e =．6．设F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点，若||||PQ OF =，则C 的离心率为（）ABC ．2D【答案】A【解析】∵||||PQ OF c ==，∴90POQ ∠=︒，又||||OP OQ a ==，∴222a a c +=，解得ca=e =7．设1A ，2A ，1B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右、上顶点，O 为坐标原点，D 为线段1OB 的中点，过2A 作直线1A D 的垂线，垂足为H，若2||3A H =，则C 的离心率为（） A．4BC．2D【答案】C【解析】易得1AOD △与21A HA △相似，所以2112OD A HA D A A =，即1212OD A A A D A H ⋅=⋅，所以223b a ⋅=，即222a b =，∴2e ====．8．已知1F ，2F 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，P 为椭圆上一点，O 为坐标原点，且22()0OP OF F P +⋅=u u u r u u u u r u u u r ，12||2||PF PF =u u u r u u u r，则该椭圆的离心率为（）A B C D 【答案】C【解析】由已知22()0OP OF F P +⋅=u u u r u u u u r u u u r ，可得22()()0OP OF OP OF +⋅-=u u u r u u u u r u u u r u u u u r，即2||||OP OF =u u u r u u u u r ，又12||||OF OF =u u u r u u u u r ，所以1290F PF ∠=︒， 又12||2||PF PF =u u u r u u u r ，且11||||2PF PF a +=u u u r u u u r，则可得22||3PF a =u u u r ，则14||3PF a =u u u r ，所以22224()()(2)33a a c +=，所以3c a =，即3e =．二、填空题9．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别为1F ，2F ，以12F F 为一边作正三角形，若椭圆恰好平分三角形的另两边，则该椭圆的离心率为．1【解析】如图，设椭圆与正三角形另两条边的交点分别是M ，N ，由题设条件知，1290F MF ∠=︒，1||MF c =，2||MF =，∴21)a c =，∴1c e a ===．10．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若1F A AB =u u u r u u u r ，120FB F B ⋅=u u u r u u u r，则C 的离心率为． 【答案】2【解析】由1F A AB =u u u r u u u r ，120F B F B ⋅=uuu r uuu r ，知A 是1BF 的中点，12F B F B ⊥u u u r u u u r， 又O 是1F ，2F 的中点，所以OA 为中位线且1OA BF ⊥，所以1OB OF =，因此1FOA BOA ∠=∠， 又根据两渐近线对称，12FOA F OB ∠=∠，所以260F OB ∠=︒，2e ===．11．设1F ，2F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，若在直线2a x c=上存在点P ，使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆的离心率的取值范围是．【答案】3【解析】设直线2a x c=与x轴的交点为Q ，连接2PF ，∵1PF 的中垂线过点2F ，∴122||||F F PF =，可得2||2PF c =，又∵22||a QF c c =-，且22||||PF QF ≥，∴22a c c c ≥-，即223c a ≥，∴22213c e a =≥，e ≥，结合椭圆的离心率(0,1)e ∈1e ≤<，故离心率的取值范围是．三、解答题12．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，以线段12F F 为直径的圆与直线:20l ax by +=相切，若直线l 与椭圆交于P ，Q 两点，坐标原点为O ．（1）求椭圆的离心率；（2）若3OP OQ ⋅=u u u r u u u r，求椭圆的方程．【答案】（1；（2）22184x y +=． 【解析】（1）∵12||2F F c =，∴圆222:O x y c +=，∵圆O 与:20l ax by +=相切，∴d c ==，∴222a b =，222112b e a =-=，∴2e =．（2）设直线l 与椭圆的交点为11(,)P x y ，22(,)Q x y ，∵1212OP OQ x x y y ⋅=+u u u r u u u r，a =，∴直线:0l x +=，椭圆222220x y b +-=，联立直线与椭圆222220x x y b ⎧=⎪⎨+-=⎪⎩，消去x得2240y b -+=，∴12y y +=，21214y y b =，221212*********()()3()34x x y y y y y y y y b b +=++=++=，∴2334b =，∴24b =，28a =，∴22184x y +=． 13．已知1F ，2F 是椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点．（1）若2POF △为等边三角形，求C 的离心率；（2）如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围．【答案】（11；（2）4b =，a ≥【解析】（1）若2POF △为等边三角形，则P的坐标为(,)2c ，代入方程22221x y a b +=，可得22223144c c a b+=，解得24e =±1e =．（2）由题意可得12||||2PF PF a +=u u u r u u u r ，因为12PF PF ⊥，所以22212||||4PF PF c +=u u u r u u u r ， 所以221212||||)2||||4PF PF PF PF c +-⋅=u u u r u u u u r u u u r u u u u r (，所以222122||||444PF PF a c b⋅=-=u u u r u u u r ，所以212||||2PF PF b ⋅=u u u r u u u r ，所以122121||||162PF F S PF PF b =⋅==u u u r u u u u r △，解得4b =， 因为21212(||||)4||||PF PF PF PF +≥⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，即212(2)4||||a PF PF ≥⋅u u u r u u u r ， 即212||||a PF PF ≥⋅u u u r u u u r ，所以232a ≥，所以a ≥．14．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B ，|2||OA OB =（O为原点）．（1）求椭圆的离心率； （2）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线4x =上．且OC AP ∥，求椭圆的方程．【答案】（1）12；（2）2211612x y +=．【解析】（1）设椭圆的半焦距为c2b =，又由222a b c =+，消去b得222)a c =+，解得12c a =．所以椭圆的离心率为12． （2）由（1）知，2a c =，b =，故椭圆方程为2222143x y c c+=，由题意，(,0)F c -，则直线l 的方程为3()4y x c =+，点P 的坐标满足22221433()4x y c c y x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y 并化简，得到2276130x cx c +-=，解得1x c =，2137cx =-． 代入到l 的方程，解得132y c =，2914y c =-． 因为点P 在x 轴上方，所以2()3,P c c ， 由圆C 在直线4x =上，可设(4,)c t ，因为OC AP ∥，且由（1）知(2,0)A c -，故3242ct c c=+，解得2t =． 因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径长为2，又由圆C 与l||3(4)22c +-=，可得2c =， 所以椭圆的方程为2211612x y +=．15．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，1F ，2F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0,)b ，连接2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接1F C ．（1）若点C 的坐标为41(,)33，且2BF =，求椭圆的方程；（2）若1FC AB ⊥，求椭圆离心率e 的值．【答案】（1）2212x y +=；（2）e = 【解析】设椭圆的焦距为2c ，则1(,0)F c -，2(,0)F c（1）∵(0,)B b，∴2BF a ==，又2BF =a =∵点41(,)33C 在椭圆上，∴22161991a b+=，解得21b =， 故所求椭圆的方程为2212x y +=．（2）∵(0,)B b ，2(,0)F c 在直线AB 上，∴直线AB 的方程为1x yc b+=，解方程组222211x yc b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得2122221222()a c x a cb c a y a c ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，220x y b =⎧⎨=⎩， ∴点A 的坐标为22222222()(,)a c b c a a c a c -++，又AC 垂直于x 轴，由椭圆的对称性，可得点C 的坐标为22222222()(,)a c b a c a c a c -++．∵直线1F C 的斜率为22222222322()0()23()b a c b a c a c a c a c c c a c ---+=+--+，直线AB的斜率为b c-， 且1FC AB ⊥，∴2223()()13b a c ba c c c-⋅-=-+， 又222b a c =-，整理得225a c =，故215e =，因此e =。
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2020届高三文科数学精准培优专练：离心率（附解析）例1：已知椭圆2221(0)12x y a a +=>的一个焦点与抛物线28y x =的焦点重合，则该椭圆的离心率为（ ）A ．14 B ．12 C例2：已知点P 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>右支上一点，1F 是双曲线的左焦点， ）A C ．例3：已知1F ，2F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，点P 在C 上，12||3||PF PF =，且121cos 3F PF ∠=，则双曲线的离心率e =（ ）三、利用离心率的定义以及圆锥曲线的定义求解e二、构造a ，c 的齐次式求解e一、直接求出a ，c 或求出a 与b 的比值求解e例4：设点P 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点，1F ，2F 分别是左右焦点，I 是12PF F △的内心，若1IPF △，2IPF △，12IF F △的面积1S ，2S ，3S 满足1232()S S S -=，则双曲线的离心率为（A ．2 B一、选择题1．渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是（ ）A B ．1 C D ．2 对点增分集训2．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，则（ ）A ．222a b =B ．2234a b =C ．2a b =D ．34a b =3．已知点(0,3)到双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线的距离为2，则C 的离心率是（ ）A ．32 B ．94 4．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为（ ）A C ．2 D 5．已知抛物线22(0)y px p =>与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个公共点，且AF x ⊥轴，则椭圆的离心率为（ ）A 1B 1C 6．设F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点，若||||PQ OF =，则C 的离心率为（ ）A C ．2 D 7．设1A ，2A ，1B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右、上顶点，O 为坐标原点，D 为线段1OB 的中点，过2A 作直线1A D 的垂线，垂足为H ，若2||3A H =，则C 的离心率为（ ）A ．4 B ．5 C ．2 D ．58．已知1F ，2F 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，P 为椭圆上一点，O为坐标原点，且22()0OP OF F P +⋅=，12||2||PF PF =，则该椭圆的离心率为（ ）A ．．二、填空题9．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别为1F ，2F ，以12F F 为一边作正三角形，若椭圆恰好平分三角形的另两边，则该椭圆的离心率为 ．10．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若1F A AB =，120FB F B ⋅=，则C 的离心率为 ．11．设1F ，2F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，若在直线2a x c=上存在点P ，使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆的离心率的取值范围是 ． 三、解答题12．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，以线段12F F 为直径的圆与直线:20l ax by +=相切，若直线l 与椭圆交于P ，Q 两点，坐标原点为O ．（1）求椭圆的离心率；（2）若3OP OQ ⋅=，求椭圆的方程．13．已知1F ，2F 是椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点．（1）若2POF △为等边三角形，求C 的离心率；（2）如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围．14．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B ，已知|2||OA OB =（O 为原点）．（1）求椭圆的离心率；（2）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线4x =上．且OC AP ∥，求椭圆的方程．15．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，1F ，2F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0,)b ，连接2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接1F C ．（1）若点C 的坐标为41(,)33，且2BF =，求椭圆的方程；（2）若1FC AB ⊥，求椭圆离心率e 的值．例1：【答案】B【解析】由题可得，抛物线的焦点坐标为(2,0)，所以212416a =+=，所以4a =，所以离心率12c e a ==． 例2：【答案】D【解析】设直线1:()a PF y x c b =+，则与渐近线b y x a =-的交点为2(,)a abM c c-，因为M 是1PF 的中点，利用中点坐标公式，得222(,)a abP c c c -+，因为点P 在双曲线上，所以满足222222222()41b a a b a c b c--=，整理得4225c a c =，解得e = 例3：【答案】A【解析】由双曲线定义及12||3||PF PF =，得1||3PF a =，2||PF a =，由余弦定理得221221041cos 63a c F PF a -∠==，得c e a == 例4：【答案】A【解析】设r 是12IF F ∆的内切圆的半径， 因为1232()S S S -=，∴12121||||||2PF r PF r F F r -=， 离心率 答案两边约去r 得12121||||||2PF PF F F -=， 根据双曲线定义，得12||||2PF PF a -=，12||2F F c =， ∴2a c =⇒离心率为2ce a==． 一、选择题 1．【答案】C【解析】因为双曲线的渐近线为0x y ±=，所以a b =，则c =，双曲线的离心率ce a== 2．【答案】B【解析】由题意知，222114b e a =-=，所以2234a b =．3．【答案】A【解析】∵双曲线22221x y a b-=的渐近线为0bx ay ±=，∴点(0,3)P 到0bx ay ±=的距离2d ==，∴32c a =，∴32c e a ==． 4．【答案】D【解析】由题意知(1,0)F ，:1l x =-，||4AB =，所以24b a =，e == 5．【答案】B【解析】由于抛物线和椭圆有相同的焦点，因此2pc =，不妨设A 是第一象限的点， 由AF x ⊥轴可知A 的横坐标为c ，代入椭圆可得纵坐标为2b a ，即2bAF a=，设椭圆的左焦点设为1F ，则根据抛物线定义可得12AF FF c ==，所以有22b c a=，化简可得222a c ac -=，即2210e e +-=，解得1e =．6．【答案】A【解析】∵||||PQ OF c ==，∴90POQ ∠=︒，又||||OP OQ a ==，∴222a a c +=，解得ca=e =7．【答案】C【解析】易得1A OD △与21A HA △相似，所以2112OD A HA D A A =，即1212OD A A A D A H ⋅=⋅，所以223b a ⋅=即222a b =，∴2e =．8．【答案】C【解析】由已知22()0OP OF F P +⋅=，可得22()()0OP OF OP OF +⋅-=， 即2||||OP OF =，又12||||OF OF =，所以1290F PF ∠=︒，又12||2||PF PF =，且11||||2PF PF a+=，则可得22||3PF a =，则14||3PF a =，所以22224()()(2)33a a c +=，所以c a =e =二、填空题9．1【解析】如图，设椭圆与正三角形另两条边的交点分别是M ，N ，由题设条件知，1290F MF ∠=︒，1||MF c =，2||MF =，∴21)a c =，∴1c e a ===．10．【答案】2【解析】由1F A AB =uuu r uu u r ，120F B F B ⋅=uuu r uuu r ，知A 是1BF 的中点，12F B F B ⊥uuu r uuu r，又O 是1F ，2F 的中点，所以OA 为中位线且1OA BF ⊥，所以1OB OF =，因此1FOA BOA ∠=∠， 又根据两渐近线对称，12FOA F OB ∠=∠，所以260F OB ∠=︒，2e ===．11．【答案】 【解析】设直线2a x c=与x轴的交点为Q ，连接2PF ，∵1PF 的中垂线过点2F ，∴122||||F F PF =，可得2||2PF c =，又∵22||a QF c c =-，且22||||PF QF ≥，∴22a c c c ≥-，即223c a ≥，∴22213c e a =≥，e ≥结合椭圆的离心率(0,1)e ∈1e ≤<，故离心率的取值范围是．三、解答题12．【答案】（1；（2）22184x y +=．【解析】（1）∵12||2F F c =，∴圆222:O x y c +=，∵圆O与:20l ax by +=相切，∴d c ==，∴222a b =，222112b e a =-=，∴2e =．（2）设直线l 与椭圆的交点为11(,)P x y ，22(,)Q x y ，∵1212OP OQ x x y y ⋅=+，a =，∴直线:0l x =，椭圆222220x y b +-=，联立直线与椭圆222220x x y b ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩，消去x得2240y b -+=，∴122y y +=，21214y y b =，221212*********()()3()34x x y y y y y y y y b b +=++=++=，∴2334b =，∴24b =，28a =，∴22184x y +=． 13．【答案】（11；（2）4b =，a ≥，【解析】（1）若2P O F △为等边三角形，则P的坐标为(,)22c c ±，代入方程22221x y a b +=， 可得22223144c c a b+=，解得24e =±1e =．（2）由题意可得12||||2PF PF a +=，因为12PF PF ⊥，所以22212||||4PF PF c +=， 所以221212||||)2||||4PF PF PF PF c +-⋅=(，所以222122||||444PF PF a c b ⋅=-=，所以212||||2PF PF b⋅=，所以122121||||162PF F S PF PF b =⋅==△，解得4b =， 因为21212(||||)4||||PF PF PF PF +≥⋅，即212(2)4||||a PF PF ≥⋅， 即212||||a PF PF ≥⋅，所以232a ≥，所以a ≥ 14．【答案】（1）12；（2）2211612x y +=．【解析】（1）设椭圆的半焦距为c2b =，又由222a b c =+，消去b得2222)a a c=+，解得12c a =． 所以椭圆的离心率为12． （2）由（1）知，2a c =，b =，故椭圆方程为2222143x y c c+=，由题意，(,0)F c -，则直线l 的方程为3()4y x c =+，点P 的坐标满足22221433()4x y c c y x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y 并化简，得到2276130x cx c +-=，解得1x c =，2137c x =-． 代入到l 的方程，解得132y c =，2914y c =-． 因为点P 在x 轴上方，所以2()3,P c c ， 由圆C 在直线4x =上，可设(4,)c t ，因为OC AP ∥，且由（1）知(2,0)A c -，故3242ct c c=+，解得2t =．因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径长为2，又由圆C 与l||3(4)22c +-=，可得2c =， 所以椭圆的方程为2211612x y +=．15．【答案】（1）2212x y +=；（2）e =【解析】设椭圆的焦距为2c ，则1(,0)F c -，2(,0)F c（1）∵(0,)B b，∴2BF a ==，又2BFa =∵点41(,)33C 在椭圆上，∴22161991a b+=，解得21b =， 故所求椭圆的方程为2212x y +=．（2）∵(0,)B b ，2(,0)F c 在直线AB 上，∴直线AB 的方程为1x yc b+=， 解方程组222211x yc b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得2122221222()a c x a c b c a y a c ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，220x y b=⎧⎨=⎩， ∴点A 的坐标为22222222()(,)a c b c a a c a c -++，又AC 垂直于x 轴，由椭圆的对称性，可得点C 的坐标为22222222()(,)a c b a c a c a c -++．∵直线1F C 的斜率为22222222322()0()23()b a c b a c a c a c a c c c a c ---+=+--+，直线AB的斜率为b c-，且1FC AB ⊥，∴2223()()13b a c ba c c c-⋅-=-+， 又222b a c =-，整理得225a c =，故215e =，因此5e =。