2020届高三文科数学精准培优专练：离心率(附解析)
高中数学专题 双曲线中的离心率问题(含答案解析)
高中数学专题 双曲线中的离心率问题
限时：120 分钟
满分：150 分
一、单选题：本大题共 8 小题，每个小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设F 1、F 2分别是双曲线C :x 2
-y 2
b
=1的左、
右焦点，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A 、B 两点，若△ABF 1为正三角形，则C 的离心率为()
A.
2
B.
6
3
C.22
D.
3
2.若双曲线C :y 2a 2-x 2
b 2=1a >0,b >0 的一条渐近线被圆x 2+y -2 2=4所截得的弦长为23，则C
的离心率为()
A.2
B.
23
3
C.
223
D.4
33
3.已知双曲线C ：x 2
a
2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的右焦点为F ，A 、B 两点在双曲线的左、右两支上，且OA
+OB =0，AF ⋅FB =0，3BF =FC ，且点C 在双曲线上，则双曲线的离心率为()
A.
10
3
B.
102
C.
52
D.
233
4.如图，双曲线x 2
a
2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、
右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过点F 1与双曲线的两条渐近线分别交于P ,Q 两点．若P 是F 1Q 的中点，且F 1Q ⋅F 2Q
=0，则此双曲线的离心率为()
A.3
B.2
C.22
D.23
5.已知双曲线C :x 2
a 2-y 2
b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若在C 上存在点P (不是顶点)，
使得∠PF 2F 1=3∠PF 1F ，则C 的离心率的取值范围为()
2023年高考数学二轮复习讲练测专题11 离心率问题速解(原卷版)
专题11 离心率问题速解
【命题规律】
求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题，多以选择、填空题的形式考查，难度中等．
【核心考点目录】
核心考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题 核心考点二：焦点三角形顶角范围与离心率 核心考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题 核心考点四：椭圆与双曲线的4a 通径体 核心考点五：椭圆与双曲线的4a 直角体 核心考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题 核心考点七：双曲线的4a 底边等腰三角形 核心考点八：焦点到渐近线距离为b
核心考点九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形 核心考点十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题 核心考点十一：渐近线平行线与面积问题
【真题回归】
1．（2022·全国·统考高考真题）椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴
对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为1
4
，则C 的离心率为（ ）
A B C ．12
D ．13
2．（2021·天津·统考高考真题）已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重
合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若|CD AB ．则双曲线的
离心率为（ ） A
B C ．2
D ．3
3．（2021·全国·统考高考真题）设B 是椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足
2020届高三数学精准培优专练17：椭圆(一)
1．若椭圆x 216＋y 2
b 2＝1过点(－2，3)，则其焦距为( )
A ．2 5
B ．2 3
C ．4 5
D ．4 3
2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的焦点分别为F 1，F 2，b ＝4，离心率为3
5.过F 1的直线交椭圆于
A ，
B 两点，则△ABF 2的周长为( )
A ．10
B ．12
C ．16
D ．20
3．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为1
3，则该椭圆方程为( )
A.x 2144＋y 2128＝1
B.x 236＋y 220＝1
C.x 232＋y 236＝1
D.x 236＋y 232＝1 4．若椭圆x 29＋y 24＋k
＝1的离心率为45，则k 的值为( )
A ．－21
B ．21
C ．－1925或21 D.19
25或21
5．若椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，且长轴长是短轴长的两倍．则m 的值为( )
A.14
B.1
2 C ．2 D ．4
6．如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)，其中左焦点为F(－25，0)，P 为C 上一点，满
足|OP|＝|OF|，且|PF|＝4，则椭圆C 的方程为( )
A.x 225＋y 25＝1
B.x 236＋y 216＝1
C.x 236＋y 210＝1
D.x 245＋y 2
25＝1 7．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为1
2
，则m 等于( )
A. 3
B.32
C.83
D.2
3
8．已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与椭圆交于A ，B 两
第6讲 离心率(解析版)
第6讲离心率
一．焦点三角形中的离心率
1.椭圆
（1）椭圆：设椭圆焦点三角形两底角分别为α、β，则
sin()
sin sin
e(正弦定理)。
12
12
2sin sin()
2sin sin sin sin
F F
c c
e
a a PF PF
θαβ
αβαβ
+
=====
+++
222
1212122121212212122
2
1212212212(2)2cos =()22cos =()2(1cos ) ()2()(1cos )
2
1
=()[1(1cos )]
2
1
=()(F F PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF θθθθθ=+-+--+-++≥+-++-++1222
2
22
2cos )==2111144(cos )cos (12sin )sin 222222
sin
2
PF PF P c c a a e θθθ
θθθ
-∴≥-≥-=--=∴≥（当且仅当取，即在短轴端点处）
即
2.双曲线：利用焦点三角形两底角,αβ来表示:sin()
sin sin
e
。
12122sin sin()
2sin sin sin sin +=====---F F c c e a a PF PF θαβαβαβ
二．双曲线的渐进线与离心率关系 直线与双曲线相交时，两个交点的位置
（1
）两个交点在双曲线的两支：b k e a >⇔=（2）两个交点在双曲线的同一支
:b k e a <⇔=（3）两个交点在双曲线的左支:12120x x 0x x 0>⎧⎪⎪
高考数学离心率专题
高考数学离心率
离心率历年来是圆锥曲线客观题的考查重点，对于求圆锥曲线离心率的问题，通常有两类：一是求椭圆和双曲线的离心率；二是求椭圆和双曲线离心率的取值范围，属于中低档次的题型，对大多数学生来说是没什么难度的。一般来说，求椭圆（或双曲线）的离心率，只需要由条件得到一个关于基本量a ，b ，c ，e 的一个方程，就可以从中求出离心率．但如果选择方法不恰当，则极可能“小题”大作，误入歧途。许多学生认为用一些所谓的“高级”结论可以使结果马上水落石出，一针见血，其实不然，对于这类题，用最淳朴的定义来解题是最好的，此时无招胜有招！ 【例1】
12212(05,,221A.
B. C. 2 2 D. 2122
F F F P F PF ∆全国Ⅲ)设椭圆的两个焦点分别为、过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）－－－
[解法一]（大多数学生的解法）
解：由于12F PF ∆为等腰直角三角形，故有
122F F PF =，而122F F c =，22b PF a =
所以22b c a
=，整理得222
2ac b a c ==-
等式两边同时除以2
a ，得2
21e e =-，即2
210e e +-=， 解得28
122
e -±=
=-±，舍去12e =-- 因此12e =-+，选D
[解法二]（采用离心率的定义以及椭圆的定义求解） 解：如右图所示，有
12222||||
21
21
22221
c c c e
a a PF PF c c c =
==+=
==-++离心率的定义
椭圆的定义
故选D [评]
以上两种方法都是很好的方法，解法一是高手的解法，灵活运用了“通径”这个二级结论，使题目迎刃而解，但计算量偏大，耗时较长；而解法二则是老手，整个过程没有任何高级结论，只运用了最最最简单的、人人皆知的“定义”，通过几个简单的步骤即可。正所谓此时无法胜有法！ 一、用定义求离心率问题
圆锥曲线中的离心率的问题(含解析)
圆锥曲线中的离心率的问题
一、题型选讲
题型一 、求离心率的值
求离心率的值关键是找到等式关系，解出a 与c 的关系，进而求出离心率。常见的等式关系主要有：1、题目中给出等式关系；2、通过几何关系如垂直或者夹角的关系得出等式关系；3、挖掘题目中的等式关系。
例1、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设F 为双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点，O 为坐标原点，
以OF 为直径的圆与圆222
x y a +=交于P ，Q 两点．若PQ OF =，则C 的离心率为
A B
C ．2
D
例2、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知圆2
2
:10210C x y y +-+=与双曲线22
221(0,0)
x y a b a b
-=>>的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（ ）
A B ．
5
3
C ．
52
D
例3、（2020届山东省九校高三上学期联考）已知直线1l ，2l 为双曲线M ：()22
2210,0x y a b a b
-=>>的两
条渐近线，若1l ，2l 与圆N ：2
22
1x y 相切，双曲线M 离心率的值为（ ）
A B
C
D ．
3
例4、（2020届山东省德州市高三上期末）双曲线22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的右焦点为()
1F ，
点A 的坐标为()0,1，点P 为双曲线左支上的动点，且1APF ∆周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（ ）
A
B C ．2
D ．例5、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知点P 为双曲线()22
高考离心率的常用解法及配套习题与答案
高考离心率的常用解法及配套习题与答案
前言：椭圆的离心率10 已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式a c e = 来解决。 例1：已知双曲线1222 =-y a x （0>a ）的一条准线方程是23=x ，则该双曲线的离心率为（ ） A. 23 B. 23 C. 26 D. 3 3 2 解：双曲线右准线23122=-==c c c a x ，则02322=--c c ，解得2=c ，3=a ，3 3 2= =a c e ，故选D 变式练习1.1：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ） A. 23 B. 26 C. 2 3 D 2 二、构造a 、c 的齐次式，解出e 根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。 例2：已知1F 、2F 是双曲线122 22=-b y a x （0,0>>b a ）的两焦点，以线段21F F 为边作正三角形21F MF ， 若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） A. 324+ B. 13- C. 2 1 3+ D. 13+ 解：如图，设1MF 的中点为P ，则P 的横坐标为2c -，由焦半径公式 a ex PF p --=1，即a c a c c -⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-=2，得0222 =-⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛a c a c ，解得31+==a c e （31-舍去），故选D 变式练习2.1：设双曲线122 22=-b
2020年高考数学一轮复习专题10.6椭圆双曲线抛物线的离心率与渐进线练习(含解析)
第六讲 椭圆双曲线抛物线的离心率与渐进线
求离心率的三种方法
（1）直接求出a ，c 来求解e .通过已知条件列方程组，解出a ，c 的值．
（2）构造a ，c 的齐次式，解出e .由已知条件得出关于a ，c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e 的一元二次方程求解．
（3）通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
注意：在解关于离心率e 的二次方程时，要注意利用不同曲线的离心率范围进行根的取舍，否则将产生增根．
考向一 椭圆的离心率
【例1】（1）设椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2
＝30°，则C 的离心率为 。
（2）若将（1）中“PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°”改为“∠PF 2F 1＝75°，∠PF 1F 2＝45°”，求C 的离心率． （3）若将（1）中“PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°”改为“C 上存在点P ，使∠F 1PF 2为钝角”，求C 的离心率的取值范围．
【答案】（1）
33 （2）6－22 （3）⎝ ⎛⎭
⎪⎫22，1 【解析】解法一：由题意可设|PF 2|＝m ，结合条件可知|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝3m ，
故离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝3m 2m ＋m ＝3
3
．
解法二：由PF 2⊥F 1F 2可知P 点的横坐标为c ，将x ＝c 代入椭圆方程可解得y ＝±b 2a ，所以|PF 2|＝b 2
(完整版)椭圆离心率高考练习题
椭圆的离心率专题训练
一．选择题（共29小题）
1．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）
A．B．C．D．
2．在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）
A．B．C．D．
3．已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（）
A．B．C． D．
4．斜率为的直线l与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）
A． B．C． D．
5．设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）
A． B．C．D．
6．已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P为椭圆C上除长轴端点外的任一点，△F1PF2的重心为G，内心I，且有（其中λ为实数），椭圆C的离心率e=（）
A．B．C．D．
7．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）
A．B． C．D．
8．椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为（）
A．B．2﹣C．2（2﹣）D．
9．椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足，则椭圆C的离心率e的取值范围是（）
2023年高考数学复习---离心率问题专项练习题(含答案解析)
2023年高考数学复习---离心率问题专项练习题（含答案解析）
一、单选题
1．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知双曲线C ：2
221x y a −=()0a >的右焦点
为F ，点()0,A a −，若双曲线的左支上存在一点P ，使得7PA PF +=，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ）
A ．⎛ ⎝⎦
B ．(
C ．2⎫
+∞⎪⎢
⎣⎭
D ．)
+∞
【答案】C 【解析】
设双曲线左焦点为1F ，因为点P 在双曲线左支上，所以有12PF PF a −=， 即12PF PF a =+.
由已知得，存在点P ，使得7PA PF +=，即172PA PF a +=−，显然720a −>，所以7
2
a <.
又11PA PF AF +≥=P 位于图中1P 位置时，等号成立，
72a −，又221c a =+，
72a −，整理可得，214240a a −+≥，解得2a ≤或12a ≥（舍去）， 所以02a <≤，则2
04a <≤，则2114a ≥，所以22222115
14
c a a a a +==+≥，
所以c e a ===. 故选：C.
2．（2022春·河南·高三校联考阶段练习）已知双曲线22
22:1(0,0)y x C a b a b −=>>，F 为C 的
下焦点．O 为坐标原点，1l 是C 的斜率大于0的渐近线，过F
l 交1l 于点A ，交x 轴的正半轴于点B ，若||||OA OB =，则C 的离心率为（ ） A ．2 B
C
D
【答案】C
【解析】因为F 为双曲线22
2020高考文科数学二轮分层特训卷：热点问题专练(十一)离心率含解析
[20xx·××市普通高中毕业班综合测试(一)](双曲线离心
率)如图、在梯形ABCD 中、已知|AB |＝2|CD |、AE →＝25
AC →、双曲线过C 、D 、E 三点、且以A 、B 为焦点、则双曲线的离心率为( )
A.7 B ．22 C ．3 D.10 答案：A
解析：取AB 的中点O 为坐标原点、AB →的方向为x 轴正方向、建立直角坐标系、设双曲线的方程为x2a2－y2
b2
＝1(a >0、
b >0)、|AB |＝2|CD |＝2
c 、E (x E 、y E )、则A (－c,0)、B (c,0)、
C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c 2，yC 、
D ⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫－c 2，yC 、由c2
4a2－y2C b2＝1、得y C ＝b 2a b2－3a2、故C ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫c 2，b 2a b2－3a2.
高中数学高考数学离心率题型总结
F 2
P F 1
x
y O
F 2
P
F 1x
y O
F 2
P
F 1x
y
O
Q
F 2P
F 1x
y
O
高中数学 高考数学离心率题型总结 求解含直角三角形的椭圆离心率
二．典例剖析：
例.若椭圆)0(,12
2
22>>=+b a b y a x 短轴端点为P 满足2
1PF PF ^，求椭
圆离心率。圆离心率。
分析：利用椭圆半焦距、短半轴长的相等关系即2OF OP =，得到
2
2
21
222222=
Þ=
Þ=+=e e c c b a 的结论。的结论。
变 式1.在椭圆)0(,12
2
22
>>=+b a b y a x 上有一点P （除短轴端
点外），若21PF PF ^，求椭圆离心率取值范围。，求椭圆离心率取值范围。
分析：点P 在椭圆上Þ b OP >；点P 在以O 为圆心，OP 为半径的圆上Þ
c OF OF OP ===2
1,所以得到c>b ，进而得到÷÷ø
öççèæÎÞ>Þ<+=1,2221
222222e e c c b a 的结论。 变 式2. 满足21PF PF ^的所有点P 都在椭圆
)0(,12
2
22>
>=+b a b y a x 内，求椭圆离心率取值范围。内，求椭圆离心率取值范围。
分析：满足21PF PF ^的所有点P 都在椭圆内Þ以O 为圆心，OP 为半径的圆都在椭圆内Þb c <，进而得到÷÷ø
öççèæÎÞ<Þ>+=22,021
222222e e c c b a 的结论。的结论。
变 式3.过椭圆)0(,12
2
22>>=+b a b y a x 右焦点2
2020届高考数学专题十七离心率精准培优专练文
培优点十七 离心率
例1：已知椭圆22
21(0)12
x y a a +=>的一个焦点与抛物线28y x =的焦点重合，则该椭圆的离心率为（）
A ．
1
4
B ．
12
C
．
2
D
．
4
【答案】B
【解析】由题可得，抛物线的焦点坐标为(2,0)，
所以212416a =+=，所以4a =，所以离心率12
c e a ==．
例2：已知点P 是双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>右支上一点，1F 是双曲线的左焦点，且双曲线的一条
渐近线恰是线段1PF
A B D 【答案】D
二、构造a ，c 的齐次式求解e
一、直接求出a ，c 或求出a 与b 的比值求解e
【解析】设直线1:()a PF y x c b =+，则与渐近线b y x a =-的交点为2(,)a ab
M c c
-，
因为M 是1PF 的中点，利用中点坐标公式，得222(,)a ab
P c c c
-+，
因为点P 在双曲线上，所以满足22222
22
22()41b a a b a c b c
--=， 整理得4225c a c =
，解得e =
例3：已知1F ，2F 为双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点，点P 在C 上，12||3||PF PF =，
且121
cos 3
F PF ∠=
A B D ．3
【答案】A
【解析】由双曲线定义及12||3||PF PF =，得1||3PF a =，2||PF a =，
三、利用离心率的定义以及圆锥曲线的定义求解e
由余弦定理得221221041
高考复习圆锥曲线中的离心率问题（含详细答案）
圆锥曲线中的离心率问题（答案）圆锥曲线中的离心率问题（答案）
一、直接求出a 、c ，求解e
已知标准方程或a 、c 易求时，可利用离心率公式a
c
e =
来求解。来求解。
例1. 过双曲线C ：)0b (1b
y x 22
2
>=-的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M
的两条渐近线分别相交于点B 、C ，且|AB|=|BC|，则双曲线M 的离心率是（的离心率是（ ）
A. 10
B. 5
C.
3
10
D.
2
5 分析：这里的1b ，c 1a 2
+==，故关键是求出2
b ，即可利用定义求解。，即可利用定义求解。
解：易知A （-1，0），则直线l 的方程为1x y +=。直线与两条渐近线bx y -=和bx y =的交点分别为B )1b b ,1b 1(++-、C )1
b b ,1b 1(--，又|AB|=|BC|，可解得9b 2=，则10
c =故有10a
c e ==
，从而选A 。
二、变用公式，整体求出e
例2. 已知双曲线)0b ,0a (1b
y a x 2
222
>>=-的一条渐近线方程为x 34y =，则双曲线的离心率为（心率为（ ）
A.
3
5
B.
3
4
C.
4
5
D.
2
3 分析：本题已知=a b 34
，不能直接求出a 、c ，可用整体代入套用公式。，可用整体代入套用公式。
解：由2
2
22222
2
k 1a b 1a b a a
b a a
c
e +
=+=+=+=
=
（其中k 为渐近线的斜率）。这里3
4
a b =，则35)34(1a c e 2=+==，从而选A 。
三、第二定义法三、第二定义法
高中数学-高考数学离心率题型总结
高中数学 高考数学离心率题型总结 求解含直角三角形的椭圆离心率
二．典例剖析：
例.若椭圆)0(,122
22>>=+b a b
y a x 短轴端点为P 满足21PF PF ⊥，求椭
圆离心率。
分析：利用椭圆半焦距、短半轴长的相等关系即2OF OP =，得到
2
2
21222222=
⇒=
⇒=+=e e c c b a 的结论。
变式1.在椭圆
)0(,12
2
22
>>=+b a b y a x 上有一点P 外〕，若21PF PF ⊥，求椭圆离心率取值X 围。
分析：点P 在椭圆上⇒b OP >；点P 在以O 为圆心，OP 为半径的圆上⇒
c OF OF OP ===21,所以得到c>b ，进而得到⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛∈⇒>⇒<+=1,222
1222222e e c c b a 的结论。
变式2.满足21PF PF ⊥的所有点P 都在椭圆
)0(,122
22
>>=+b a b
y
a x 内，求椭圆离心率取值X 围。
分析：满足21PF PF ⊥的所有点P 都在椭圆内⇒以O 为圆心，OP 为半径的圆都在椭圆
内⇒b c <，进而得到⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛∈⇒<⇒>+=22,02
1222222e e c c b a 的结论。
变式3.过椭圆)0(,122
22>>=+b a b
y a x 右焦点2F 的直线交椭圆于P 、两点且满足PQ PF ⊥1，若13
5
sin 1=∠QP F ，求该椭圆离心率。
分析：在前面例题1和变式的基础上，将线段2PF 拉长和椭圆交于点Q ，此时内含于椭
2019-2020年高中数学专题05探索离心率问题特色训练新人教A版选修
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一、选择题
1．【山西实验中学、南海桂城中学xx 届高三上学期联考】已知双曲线离心率为，则其渐近线与圆的位置关系是（ ）
A . 相交
B . 相切
C . 相离
D . 不确定
【答案】C
【解析】因为一条渐近线方程为，又离心率为，所以，所以渐近线方程为，由知圆心，半径，圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，故选C .
2．【黑龙江省哈尔滨市第六中学xx 学年高二上学期期中考】过双曲线右焦点作一条直线，当直线的斜率为2时，直线与双曲线左右两支各有一个交点；当直线的斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线的离心率的取值范围是
A .
B .
C .
D .
【答案】B
3．【天津市耀华中学xx 届高三第一次月考】已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的离线率为 （ ）
A .
B .
C .
D .
【答案】D
【解析】由题意得222435
a a e +=⇒=∴=
= ,选D . 4．【山西省山大附中等晋豫名校xx 届高三第四次调研诊断考试】已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点在椭圆上， ， ，则椭圆的离心率（ ）
A .
B .
C .
D .
【答案】C
5．设、分别为双曲线（， ）的左、右焦点， 为双曲线右支上任一点．若的最小值为，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）．
A .
B .
C .
D .
【答案】B
【解析】由定义知： 12122,2PF PF a PF a PF -=∴=+
()2
2
2
2
122
2
2
2448a PF PF a a PF a PF PF PF +∴
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2020届高三文科数学精准培优专练：离心率（附解析）
例1：已知椭圆2221(0)12
x y a a +=>的一个焦点与抛物线28y x =的焦点重合，则该椭圆
的离心率为（ ）
A ．
14 B ．12 C
例2：已知点P 是双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>右支上一点，
1F 是双曲线的左焦点， ）
A C ．
例3：已知1F ，2F 为双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，点P 在C 上，
12||3||PF PF =，且121
cos 3
F PF ∠=
，则双曲线的离心率e =（ ）
三、利用离心率的定义以及圆锥曲线的定义求解e
二、构造a ，c 的齐次式求解e
一、直接求出a ，c 或求出a 与b 的比值求解e
例4：设点P 为双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>上一点，1F ，2F 分别是左右焦点，I 是
12PF F △的内心，若1IPF △，2IPF △，12IF F △的面积1S ，2S ，3S 满足1232()S S S -=，
则双曲线的离心率为（
A ．2 B
一、选择题
1．渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是（ ）
A B ．1 C D ．2 对点增分集训
2．已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的离心率为12，则（ ）
A ．222a b =
B ．2234a b =
C ．2a b =
D ．34a b =
3．已知点(0,3)到双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的渐近线的距离为2，则C 的离心
率是（ ）
A ．
32 B ．94 4．已知抛物线2
4y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的
两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为（ ）
A C ．2 D 5．已知抛物线2
2(0)y px p =>与椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>有相同的焦点F ，点A 是
两曲线的一个公共点，且AF x ⊥轴，则椭圆的离心率为（ ）
A 1
B 1
C 6．设F 为双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径
的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点，若||||PQ OF =，则C 的离心率为（ ）
A C ．2 D 7．设1A ，2A ，1
B 分别是椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右、上顶点，O 为坐标
原点，D 为线段1OB 的中点，过2A 作直线1A D 的垂线，垂足为H ，若2||3
A H =，则C 的离心率为（ ）
A ．
4 B ．
5 C ．2 D ．5
8．已知1F ，2F 分别为椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点，P 为椭圆上一点，O
为坐标原点，
且22()0OP OF F P +⋅=，12||2||
PF PF =，则该椭圆的离心率为（ ）
A ．
．二、填空题
9．椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的两个焦点分别为1F ，2F ，以12F F 为一边作正三角形，
若椭圆恰好平分三角形的另两边，则该椭圆的离心率为 ．
10．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线
与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若1F A AB =，120FB F B ⋅=，则C 的离心率为 ．
11．设1F ，2F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，若在直线2a x c
=上存
在点P ，使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆的离心率的取值范围是 ． 三、解答题
12．设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，以线段12F F 为直径的
圆与直线:20l ax by +=相切，若直线l 与椭圆交于P ，Q 两点，坐标原点为O ．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若3OP OQ ⋅=，求椭圆的方程．
13．已知1F ，2F 是椭圆22
22:1(0,0)x y C a b a b
+=>>的两个焦点，P 为C 上一点，O 为
坐标原点．
（1）若2POF △为等边三角形，求C 的离心率；
（2）如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围．
14．设椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B ，已知
|2||OA OB =（O 为原点）．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设经过点F 且斜率为
3
4
的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线4x =上．且OC AP ∥，求椭圆的方程．