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一点一练2016版高考数学第五章数列专题演练文(含两年高考一年模拟)

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【名师金典】(教师用书)2016版高考数学大一轮复习 第五章 数列

【名师金典】(教师用书)2016版高考数学大一轮复习 第五章 数列

第五章 数列第一节 数列的概念与简单表示法[考情展望] 1.以数列的前n 项为背景写数列的通项.2.考查由数列的通项公式或递推关系，求数列的某一项.3.考查已知数列的递推关系或前n 项和S n 求通项a n.一、数列的有关概念判断数列递增(减)的方法 (1)作差比较法：①若a n ＋1－a n ＞0，则数列{a n }为递增数列． ②若a n ＋1－a n ＝0，则数列{a n }为常数列． ③若a n ＋1－a n ＜0，则数列{a n }为递减数列．(2)作商比较法：不妨设a n ＞0. ①若a n ＋1a n＞1，则数列{a n }为递增数列． ②若a n ＋1a n＝1，则数列{a n }为常数列． ③若a n ＋1a n＜1，则数列{a n }为递减数列． 三、数列的表示方法数列有三种表示方法，它们分别是列表法、图象法和解析法． 四、a n 与S n 的关系若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1 ，S n －S n －1， n ≥2 .已知S n 求a n 的注意点利用a n ＝S n －S n －1求通项时，注意n ≥2这一前提条件，易忽略验证n ＝1致误，当n ＝1时，a 1若适合通项，则n ＝1的情况应并入n ≥2时的通项；否则a n 应利用分段函数的形式表示．1．已知数列{a n }的前4项分别为2,0,2,0，则下列各式不可以作为数列{a n }的通项公式的一项是( )A ．a n ＝1＋(－1)n ＋1B ．a n ＝2sinn π2C ．a n ＝1－cos n πD ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数0，n 为偶数【答案】 B2．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1，则a 5的值为( ) A ．30 B ．31 C ．32 D ．33 【答案】 B3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝nn ＋1，则这个数列是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列【答案】 A4．数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a n ＝ .【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧2 n ＝12n －1 n ≥25．若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n n ＋4 ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n 中的最大项是第k 项，则k ＝ .【答案】 46．(2013·课标全国卷Ⅰ)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n＝ .【答案】 (－2)n －1考向一 [083] 由数列的前几项归纳数列的通项公式根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．(1)－1,7，－13,19，…； (2)0.8,0.88,0.888，…；(3)12，14，－58，1316，－2932，6164，…. 【尝试解答】 (1)符号可通过(－1)n表示，后面的数的绝对值总比前面的数的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n(6n －5)．(2)数列变为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…，∴a n ＝89⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110n .(3)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－2－32，原数列化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，∴a n ＝(－1)n·2n －32n .规律方法1 1.求数列的通项时，要抓住以下几个特征．(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、化归、联想．2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n ＋1来调整．考向二 [084] 由递推关系求通项公式根据下列条件，求数列的通项公式a n .(1)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n； (2)在数列{a n }中，a n ＋1＝n ＋2na n ，a 1＝4； (3)在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋1.【尝试解答】 (1)由a n ＋1－a n ＝2n，把n ＝1,2,3，…，n －1(n ≥2)代入，得(n －1)个式子，累加即可得(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝2＋22＋23＋…＋2n －1，所以a n －a 1＝2 1－2n －11－2，即a n －a 1＝2n－2，所以a n ＝2n－2＋a 1＝2n－1. 当n ＝1时，a 1＝1也符合， 所以a n ＝2n－1(n ∈N *)． (2)由递推关系a n ＋1＝n ＋2n a n ，a 1＝4，有a n ＋1a n ＝n ＋2n， 于是有a 2a 1＝3，a 3a 2＝42，a 4a 3＝53，…，a n －1a n －2＝nn －2，a n a n －1＝n ＋1n －1，将这(n －1)个式子累乘，得a n a 1＝n n ＋1 2. 所以当n ≥2时，a n ＝n n ＋12a 1＝2n (n ＋1)．当n ＝1时，a 1＝4符合上式，所以a n ＝2n (n ＋1)(n ∈N *)．(3)由a n ＋1＝2a n ＋1得a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，令b n ＝a n ＋1， 所以{b n }是以2为公比的等比数列． 所以b n ＝b 1·2n －1＝(a 1＋1)·2n －1＝2n ＋1，所以a n ＝b n －1＝2n ＋1－1(n ∈N *)．规律方法2 递推式的类型对点训练 (2015·银川模拟)已知f (x )＝1＋x.各项均为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a n＋2＝f (a n )．若a 2 014＝a 2 016，则a 20＋a 11的值是 ． 【答案】135＋326考向三 [085] 由a n 与S n 的关系求通项a n已知数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式：(1)S n ＝2n 2－3n ； (2)S n ＝3n＋b .(b 为常数)【尝试解答】 (1)a 1＝S 1＝2－3＝－1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5， 由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. (2)a 1＝S 1＝3＋b ， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝(3n＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1.当b ＝－1时，a 1适合此等式． 当b ≠－1时，a 1不适合此等式． ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ， n ＝1，2·3n －1， n ≥2.规律方法3 已知S n 求a n 时的三个注意点(1)重视分类讨论思想的应用，分n ＝1和n ≥2两种情况讨论；特别注意a n ＝S n －S n －1中需n ≥2.(2)由S n －S n －1＝a n 推得a n ，当n ＝1时，a 1也适合“a n 式”，则需统一“合写” . (3)由S n －S n －1＝a n 推得a n ，当n ＝1时，a 1不适合“a n 式”，则数列的通项公式应分段表示(“分写”)，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.对点训练 (1)(2015·贵阳模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( )A ．2n －1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1D.12n －1【答案】 B(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ，求下面数列{a n }的通项公式a n . ①S n ＝2n 2－3n ；②S n ＝3n＋b . 【解】 ①a 1＝S 1＝2－3＝－1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5， 由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. ②a 1＝S 1＝3＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝(3n＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1.当b ＝－1时，a 1适合此等式． 当b ≠－1时，a 1不适合此等式． ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋b ，2·3n －1，n ＝1，n ≥2.易错易误之十 明确数列中项的特征，慎用函数思想解题 —————————— [1个示范例] ——————已知数列{a n }中，a n ＝n 2－kn (n ∈N *)，且{a n }单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，3)C ．(－∞，2)D ．(－∞，3]【解析】 ∵a n ＝n 2－kn (n ∈N *)，且{a n }单调递增，∴a n ＋1－a n ＞0对∀n ∈N *都成立， 此处在求解时，常犯“a n 是关于n 的二次函数，若{a n }单调递增，则必有k2≤1，k ≤2”的错误．出错的原因是忽视了数列作为函数的特殊性即自变量是正整数．又a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2－k (n ＋1)－n 2＋kn ＝2n ＋1－k ，所以由2n ＋1－k ＞0，即k ＜2n ＋1恒成立可知k ＜(2n ＋1)min ＝3.,【防范措施】 1.明确函数单调性与数列单调性的关系 (1)若数列所对应的函数是单调的，则该数列一定单调．(2)若数列是单调的，其对应的函数未必单调，原因是数列是定义在n ∈N *上的特殊函数． 2．数列单调性的判断一般通过比较a n ＋1与a n 的大小来判断：若a n ＋1＞a n ，则该数列为递增数列；若a n ＋1＜a n ，则该数列为递减数列．———————— [1个防错练] ———————已知{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是 ．【解析】 法一 (定义法)因为{a n }是递增数列，故对任意的n ∈N *，都有a n ＋1＞a n ，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)＞n 2＋λn ，整理，得2n ＋1＋λ＞0，即λ＞－(2n ＋1)(*)．因为n ≥1，故－(2n ＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ＞－3.法二 (函数法)设f (n )＝a n ＝n 2＋λn ，其对称轴为n ＝－λ2，要使数列{a n }为递增数列，只需满足n ＝－λ2＜32即可，即λ＞－3.【答案】 (－3，＋∞)课时限时检测(二十九) 数列的概念与简单表示法(时间：60分钟 满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．如图5－1－1，关于星星的图案中星星的个数构成一个数列，该数列的一个通项公式是( )图5－1－1A ．a n ＝n 2－n ＋1 B ．a n ＝n n －12 C ．a n ＝n n ＋12D ．a n ＝n n ＋22【答案】 C2．在数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则此数列最大项的值是( ) A ．103 B.8658C.8258D ．108 【答案】 D3．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n，则a 10＝( ) A ．1 024 B ．1 023 C ．2 048 D ．2 047【答案】 B4．已知a 1＝1，a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式是( ) A ．2n －1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n n －1C ．n 2D ．n【答案】 D5．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝( ) A ．3×44 B ．3×44＋1 C ．45D ．45＋1【答案】 A6．对于数列{a n }，“a n ＋1＞|a n |(n ＝1,2，…)”是“{a n }为递增数列”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】 B二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n (n ≥2)，则a 16＝ .【答案】 128．数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝ .【答案】61169．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N *都有S n ＝23a n －13，且1＜S k ＜9(k ∈N *)，则a 1的值为 ，k 的值为 ．【答案】 －1 4三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3；(2)求数列{a n }的通项公式． 【解】 (1)∵S n ＝n ＋23a n ，且a 1＝1，∴S 2＝43a 2，即a 1＋a 2＝43a 2，得a 2＝3.由S 3＝53a 3，得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，得a 3＝6.(2)由题设知a 1＝1. 当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1，即a n a n －1＝n ＋1n －1， 于是a 2a 1＝3，a 3a 2＝42，a 4a 3＝53，…，a n a n －1＝n ＋1n －1，以上n －1个式子的两端分别相乘，得a n a 1＝n n ＋12，∴a n ＝n n ＋12，n ≥2.又a 1＝1适合上式， 故a n ＝n n ＋12，n ∈N *.11．(12分)已知数列{a n }满足前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1，且前n 项和为T n ，设c n ＝T 2n ＋1－T n .(1)求数列{b n }的通项公式； (2)判断数列{c n }的增减性．【解】 (1)a 1＝2，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)． ∴b n＝⎩⎪⎨⎪⎧23， n ＝1 ，1n ， n ≥2 .(2)∵c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1，∴c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1＜0， ∴{c n }是递减数列．12.(13分)在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，a n ＋1－a n ＝6n ＋2，点(a n n，b n )在y ＝x 3＋mx 的图象上，{b n }的最小项为b 3.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求m 的取值范围．【解】 (1)∵a n ＋1－a n ＝6n ＋2， ∴当n ≥2时，a n －a n －1＝6n －4.∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝(6n －4)＋(6n －10)＋…＋8＋2 ＝n －1 [8＋ 6n －4 ]2＋2＝3n 2－3n ＋2n －2＋2 ＝3n 2－n ，显然a 1也满足a n ＝3n 2－n ，∴a n ＝3n 2－n . (2)∵点(a nn，b n )在y ＝x 3＋mx 的图象上， ∴b n ＝(3n －1)3＋m (3n －1)．∴b 1＝8＋2m ，b 2＝125＋5m ，b 3＝512＋8m ，b 4＝1 331＋11m . ∵{b n }的最小项是b 3，∴⎩⎪⎨⎪⎧8＋2m ≥512＋8m ，125＋5m ≥512＋8m ，1 331＋11m ≥512＋8m ，∴－273≤m ≤－129.∵b n ＋1＝(3n ＋2)3＋m (3n ＋2)，b n ＝(3n －1)3＋m (3n －1)， ∴b n ＋1－b n ＝3[(3n ＋2)2＋(3n －1)2＋(3n ＋2)(3n －1)]＋3m ＝3(27n 2＋9n ＋3＋m )，当n ≥4时，27n 2＋9n ＋3＞273，∴27n 2＋9n ＋3＋m ＞0， ∴b n ＋1－b n ＞0，∴n ≥4时，b n ＋1＞b n . 综上可知－273≤m ≤－129， ∴m 的取值范围为[－273，－129]．第二节 等差数列[考情展望] 1.运用基本量法求解等差数列的基本量问题.2.在解答题中对所求结论的运算进行等差数列的判断与证明.3.在具体情景中能识别具有等差关系的数列，并会用等差数的性质解决相应问题．一、等差数列1．定义：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)．2．通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ，a n ＝a m ＋(n －m )d . 3．前n 项和公式：S n ＝na 1＋n n －1 d 2＝n a 1＋a n2.4．a 、b 的等差中项A ＝a ＋b2.证明{a n }为等差数列的方法：(1)用定义证明：a n －a n －1＝d (d 为常数，n ≥2)⇔{a n }为等差数列； (2)用等差中项证明：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2⇔{a n }为等差数列； (3)通项法：a n 为n 的一次函数⇔{a n }为等差数列； (4)前n 项和法：S n ＝An 2＋Bn 或S n ＝n a 1＋a n2.二、等差数列的性质已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．(1)若m 、n 、p 、q 、k 是正整数，且m ＋n ＝p ＋q ＝2k ， 则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a k .(2)a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等差数列，公差为kd . (3)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…，也是等差数列．等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a nm －n＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)． ②S 2n －1＝(2n －1)a n .③n 为偶数时，S 偶－S 奇＝n2d ；n 为奇数时，S 奇－S 偶＝a 中．1．在等差数列{a n }中，a 2＝2，a 3＝4，则a 10＝( ) A ．12 B ．14 C ．16 D ．18 【答案】 D2．在等差数列{a n }中，a 2＝1，a 4＝5，则{a n }的前5项和S 5＝( ) A ．7 B ．15 C ．20 D ．25 【答案】 B3．设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和，若S 10＝S 11，则a 1＝( ) A ．18 B ．20 C ．22 D ．24 【答案】 B4．已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4，则a n ＝ . 【答案】 2n －15．(2013·重庆高考)若2，a ，b ，c,9成等差数列，则c －a ＝ . 【答案】 726．(2013·广东高考)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝ . 【答案】 20考向一 [086] 等差数列的判定与证明在数列{a n }中，a 1＝－3，a n ＝2a n －1＋2n＋3(n ≥2，且n ∈N *)．(1)求a 2，a 3的值； (2)设b n ＝a n ＋32n(n ∈N *)，证明：{b n }是等差数列．【尝试解答】 (1)∵a 1＝－3，a n ＝2a n －1＋2n＋3(n ≥2)． ∴a 2＝2a 1＋4＋3＝－6＋4＋3＝1.a 3＝2a 2＋23＋3＝13.(2)证明：对于任意n ∈N *， ∵b n ＋1－b n ＝a n ＋1＋32n ＋1－a n ＋32n＝12n ＋1[(a n ＋1－2a n )－3]＝12n ＋1[(2n ＋1＋3)－3]＝1，∴数列{b n }是首项为a 1＋32＝－3＋32＝0，公差为1的等差数列．规律方法1 用定义证明等差数列时，常采用的两个式子a n ＋1－a n ＝d 和a n －a n －1＝d ，但它们的意义不同，后者必须加上“n ≥2”，否则n ＝1时，a 0无定义．对点训练 (2014·大纲全国卷)数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2. ①设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列； ②求{a n }的通项公式．【证明】 ①由a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2得a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＋2，即b n ＋1＝b n ＋2. 又b 1＝a 2－a 1＝1，所以{b n }是首项为1，公差为2的等差数列． ②由①得b n ＝1＋2(n －1)＝2n －1， 即a n ＋1－a n ＝2n －1.于是∑k ＝1n(a k ＋1－a k )＝∑k ＝1n(2k －1)，所以a n ＋1－a 1＝n 2，即a n ＋1＝n 2＋a 1.又a 1＝1，所以{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2n ＋2.考向二 [087] 等差数列的基本运算(1)(2013·课标全国卷Ⅰ)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】 C(2)(2013·四川高考)在等差数列{a n }中，a 1＋a 3＝8，且a 4为a 2和a 9的等比中项，求数列{a n }的首项、公差及前n 项和．【尝试解答】 设该数列的公差为d ，前n 项和为S n .由已知可得． 2a 1＋2d ＝8，(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋8d )， 所以a 1＋d ＝4，d (d －3a 1)＝0，解得a 1＝4，d ＝0或a 1＝1，d ＝3，即数列{a n }的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3.所以数列的前n 项和S n ＝4n 或S n ＝3n 2－n2.规律方法2 1.等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知三求二，体现了方程思想的应用．2．数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法，称为基本量法．对点训练 (2014·浙江高考)已知等差数列{a n }的公差d ＞0.设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2·S 3＝36.①求d 及S n ；②求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65. 【解】 ①由题意知(2a 1＋d )(3a 1＋3d )＝36， 将a 1＝1代入上式解得d ＝2或d ＝－5. 因为d ＞0，所以d ＝2，S n ＝n 2(n ∈N *)．②由①得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝(2m ＋k －1)(k ＋1)，所以(2m ＋k －1)(k ＋1)＝65.由m ，k ∈N *知2m ＋k －1＞k ＋1＞1，故⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋k －1＝13，k ＋1＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，k ＝4.考向三 [088] 等差数列的性质及应用(1)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝( )A ．58B ．88C ．143D ．176 【答案】 B(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最后6项的和为180，S n ＝324(n ＞6)，求数列{a n }的项数及a 9＋a 10.【尝试解答】 由题意知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36，①a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180，②①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216， ∴a 1＋a n ＝36， 又S n ＝n a 1＋a n2＝324，∴18n ＝324，∴n ＝18. 由a 1＋a n ＝36，n ＝18.∴a 1＋a 18＝36，从而a 9＋a 10＝a 1＋a 18＝36.规律方法3 1.在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a k 是常用的性质，本例(1)、(2)都用到了这个性质．2．掌握等差数列的性质，悉心研究每个性质的使用条件及应用方法，认真分析项数、序号、项的值的特征，这是解题的突破口．对点训练 (1)已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为( )A ．10B ．20C ．30D ．40(2)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝ . 【答案】 (1)A (2)60考向四 [089] 等差数列前n 项和的最值在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值．【尝试解答】 法一 ∵a 1＝20，S 10＝S 15， ∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，∴d ＝－53.∴a n ＝20＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－53n ＋653. 令a n ≥0得n ≤13，即当n ≤12时，a n ＞0；n ≥14时，a n ＜0. ∴当n ＝12或13时，S n 取得最大值，且最大值为S 12＝S 13＝12×20＋12×112×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝130. 法二 同法一得d ＝－53.又由S 10＝S 15，得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0. ∴5a 13＝0，即a 13＝0.∴当n ＝12或13时，S n 有最大值， 且最大值为S 12＝S 13＝130.规律方法4 求等差数列前n 项和的最值常用的方法(1)先求a n ，再利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0a n ＋1≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0a n ＋1≥0求出其正负转折项，最后利用单调性确定最值．(2)①利用性质求出其正负转折项，便可求得前n 项和的最值．②利用等差数列的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)为二次函数，根据二次函数的性质求最值．对点训练 已知{a n }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝－5. (1)求{a n }的通项a n ；(2)求{a n }前n 项和S n 的最大值．【解】 (1)设{a n }的公差为d ，由已知条件⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝1，a 1＋4d ＝－5，解出a 1＝3，d ＝－2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋5. (2)S n ＝na 1＋n n －12d ＝－n 2＋4n ＝4－(n －2)2，所以n ＝2时，S n 取到最大值4.规范解答之八 等差数列的通项与求和问题 ————————— [1个示范例] ———————(12分)(2013·浙江高考)在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列．(1)求d ，a n ；(2)若d ＜0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.【规范解答】 (1)由题意得，a 1·5a 3＝(2a 2＋2)2，由a 1＝10，{a n }为公差为d 的等差数列得，d 2－3d －4＝0，2分 解得d ＝－1或d ＝4.所以a n ＝－n ＋11(n ∈N *)或a n ＝4n ＋6(n ∈N *). 5分(2)设数列{a n }的前n 项和为S n .因为d ＜0，由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11，6分所以当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝－12n 2＋212n ；当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11＝12n 2－212n ＋110.综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n | ＝⎩⎪⎨⎪⎧－12n 2＋212n ， n ≤11，12n 2－212n ＋110， n ≥12.12分【名师寄语】 1.涉及求数列{|a n |}前n 项和的题目，其解题的关键是找到数列{a n }的正负界点，因此借助绝对值的性质，去掉绝对值符号是解题的着眼点．2．要正确区分“|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |”与“a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ”的差异，明确两者间的转换关系，切忌逻辑混乱．————————— [1个规范练] ———————已知等差数列{a n }前三项的和为－3，前三项的积为8. (1)求等差数列{a n }的通项公式；(2)若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和．【解】 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，易求a 2＝－1， 则a 3＝a 2＋d ，a 1＝a 2－d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1－d ，－1＋d －1－d · －1 ＝8，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝－3.或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3.所以由等差数列通项公式可得a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5，或a n ＝－4＋3(n －1)＝3n －7.故a n ＝－3n ＋5，或a n ＝3n －7.(2)当a n ＝－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4,2，不成等比数列，不合题设条件． 当a n ＝3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．故|a n |＝|3n －7|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋7，n ＝1，2，3n －7，n ≥3.记数列{|a n |}的前n 项和为S n .当n ＝1时，S 1＝|a 1|＝4；当n ＝2时，S 2＝|a 1|＋|a 2|＝5. 当n ≥3时，S n ＝S 2＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a n | ＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n －7) ＝5＋ n －2 [2＋ 3n －7 ]2＝32n 2－112n ＋10.当n ＝2时，满足此式． 综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，32n 2－112n ＋10，n >1.课时限时检测(三十) 等差数列 (时间：60分钟 满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }中的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】 B2．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝( ) A ．8 B ．7 C ．6 D ．5【答案】 D3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】 A4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A ．63B ．45C ．36D ．27 【答案】 B5．(2013·辽宁高考)下面是关于公差d ＞0的等差数列{a n }的四个命题：p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列．其中的真命题为( ) A ．p 1，p 2 B ．p 3，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 1，p 4 【答案】 D6．在等差数列{a n }中，a 1＝－2 012，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 012的值等于( )A ．－2 011B ．－2 012C ．－2 010D ．－2 013 【答案】 B二、填空题(每小题5分，共15分)7．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝ . 【答案】 108．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5－5S 3＝5，则a 4＝ . 【答案】 139．已知等差数列{a n }中，a 1，a 99是函数f (x )＝x 2－10x ＋16的两个零点，则12a 50＋a 20＋a 80＝ .【答案】252三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)(2013·课标全国卷Ⅱ)已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列．(1)求{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.【解】 (1)设{a n }的公差为d ，由题意得a 211＝a 1a 13， 即(a 1＋10d )2＝a 1(a 1＋12d )． 于是d (2a 1＋25d )＝0.又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)，d ＝－2. 故a n ＝－2n ＋27.(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的 等差数列． 从而S n ＝n 2(a 1＋a 3n －2)＝n2(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n .11．(12分)已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求通项a n ； (2)若数列{b n }满足b n ＝S nn ＋c，是否存在非零实数c 使得{b n }为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由．【解】 (1)由等差数列的性质，得a 2＋a 5＝a 3＋a 4＝22， ∴a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的根，且a 4＞a 3， ∴a 3＝9且a 4＝13， 从而a 1＝1，公差d ＝4， 故通项a n ＝1＋4(n －1)＝4n －3. (2)由(1)知S n ＝n 1＋4n －32＝2n 2－n ，所以b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－nn ＋c .法一 所以b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c(c ≠0)． 令2b 2＝b 1＋b 3，解得c ＝－12.当c ＝－12时，b n ＝2n 2－nn －12＝2n ，当n ≥2时，b n －b n －1＝2.故当c ＝－12时，数列{b n }为等差数列．法二 当n ≥2时，b n －b n －1＝2n 2－n n ＋c －2 n －1 2－ n －1n －1＋c＝2n 2＋ 4c －2 n －3cn 2＋ 2c －1 n ＋c c －1 ， 欲使{b n }为等差数列，只需4c －2＝2(2c －1)且－3c ＝2c (c －1)(c ≠0)，解得c ＝－12.故当c ＝－12时，数列{b n }为等差数列．12．(12分)在数列{a n }中，a 1＝1,3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2)．(1)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列；(2)求数列{a n }的通项； (3)若λa n ＋1a n ＋1≥λ对任意n ≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．【解】 (1)证明 由3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2)得， 1a n －1a n －1＝3(n ≥2)，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，3为公差的等差数列．(2)由(1)可得，1a n＝1＋3(n －1)＝3n －2.∴a n ＝13n －2. (3)λa n ＋1a n ＋1≥λ对n ≥2的整数恒成立，即λ3n －2＋3n ＋1≥λ对n ≥2(n ∈N *)恒成立． 整理得λ≤ 3n ＋1 3n －2 3 n －1 (n ≥2，n ∈N *)，令C n ＝ 3n ＋1 3n －2 3 n －1，C n ＋1－C n ＝3n ＋4 3n ＋1 3n － 3n ＋1 3n －23 n －1＝3n ＋1 3n －43n n －1因为n ≥2，所以C n ＋1－C n ＞0，∴{C n }为单调递增数列，C 2最小，且C 2＝283，故λ的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，283.第三节 等比数列[考情展望] 1.运用基本量法求解等比数列问题.2.以等比数列的定义及等比中项为背景，考查等比数列的判定.3.客观题以等比数列的性质及基本量的运算为主，突出“小而巧”的特点，解答题注重函数与方程、分类讨论等思想的综合应用．一、等比数列证明{a n }是等比数列的两种常用方法(1)定义法：若a n a n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2且n ∈N *)，则{a n }是等比数列． (2)中项公式法：在数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列． 二、等比数列的性质1．对任意的正整数m 、n 、p 、q ，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k . 2．通项公式的推广：a n ＝a m qn －m(m ，n ∈N *)3．公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n；当公比为－1时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 不一定构成等比数列．4．若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n (λ≠0)仍是等比数列．等比数列的单调性1．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于( )A ．－12B ．－2C ．2 D.12【答案】 D2．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝( )A ．－11B ．－8C ．5D ．11【答案】 A3．公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 10＝( ) A ．4 B ．5C ．6D ．7 【答案】 B4．(2014·江苏高考)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是 ．【答案】 45．(2013·大纲全国卷)已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－3－10)B.19(1－310) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)【答案】 C6．(2013·江西高考)等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．24【答案】 A考向一 [090] 等比数列的基本运算(1)(2013·北京高考)若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝ ；前n 项和S n ＝ .(2)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列． ①求{a n }的公比q ；②若a 1－a 3＝3，求S n . 【尝试解答】 (1)2,2n ＋1－2(2)①∵S 1，S 3，S 2成等差数列， ∴a 1＋(a 1＋a 1q )＝2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)．由于a 1≠0，故2q 2＋q ＝0，又q ≠0，从而q ＝－12.②由已知可得a 1－a 1(－12)2＝3，故a 1＝4，从而S n ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝83⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n .规律方法1 1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，体现了方程思想的应用．2．在使用等比数列的前n 项和公式时，应根据公比q 的情况进行分类讨论，此外在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算．对点训练 (1)已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝ .【答案】 2n(2)已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝2，且a 2，a 4，a 8成等比数列． ①求数列{a n }的通项公式； ②求数列{3a n }的前n 项和．【解】 ①设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，由题意得a 24＝a 2·a 8，即(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋7d )．又a 1＝2，所以d ＝2或d ＝0(舍去)．∴a n ＝2n .②由①可知3a n ＝32n＝9n.故数列{3a n }的前n 项和为9 1－9n1－9＝98(9n－1)．考向二 [091] 等比数列的判定与证明成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是等比数列．【尝试解答】 (1)设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d . 依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，解得a ＝5. 所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d . 依题意，(7－d )(18＋d )＝100， 解之得d ＝2或d ＝－13(舍去)， ∴b 3＝5，公比q ＝2，因此b 1＝54.故b n ＝54·2n －1＝5·2n －3.(2)证明 由(1)知b 1＝54，公比q ＝2，∴S n ＝54 1－2n 1－2＝5·2n －2－54，则S n ＋54＝5·2n －2，因此S 1＋54＝52，S n ＋54S n －1＋54＝5·2n －25·2n －3＝2(n ≥2)．∴数列{S n ＋54}是以52为首项，公比为2的等比数列．规律方法2 1.本题求解常见的错误：(1)计算失误，不注意对方程的根(公差d )的符号进行判断；(2)不能灵活运用数列的性质简化运算．2．要判定一个数列不是等比数列，则只需判定其任意的连续三项不成等比即可． 对点训练 (2015·武汉模拟)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{b n }中的b 3，b 4，b 5.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是等比数列．【解】 (1)设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d ，依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，解得a ＝5.所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d . 依题意，有(7－d )(18＋d )＝100， 解得d ＝2或d ＝－13(舍去)． 故{b n }的第3项为5，公比为2， 由b 3＝b 1·22，即5＝b 1·22， 解得b 1＝54.所以{b n }是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为b n ＝54·2n －1＝5·2n －3.(2)证明：数列{b n }的前n 项和S n ＝54 1－2n1－2＝5·2n －2－54，即S n ＋54＝5·2n －2.所以S 1＋54＝52，S n ＋1＋54S n ＋54＝5·2n －15·2n －2＝2.因此⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是以52为首项，2为公比的等比数列．考向三 [092] 等比数列的性质及应用(1)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6∶S 3＝1∶2，则S 9∶S 3等于( )A ．1∶2B ．2∶3C ．3∶4D ．1∶3(2)在等比数列{a n }中，若a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝158，a 8a 9＝－98，则1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝ .【答案】 (1)C (2)－53规律方法3 在解决等比数列的有关问题时，要充分挖掘隐含条件，利用性质，特别是“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．对点训练 (1)(2015·兰州模拟)各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n＝2，S 3n ＝14，则S 4n 等于( )A ．80B ．30C ．26D ．16(2)(2014·广东高考)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ .【答案】 (1)B (2)50思想方法之十三 分类讨论思想在等比数列求和中的应用分类讨论的实质是将整体化为部分来解决．其求解原则是不复重，不遗漏，讨论的方法是逐类进行．在数列的学习中，也有多处知识涉及分类讨论思想 ，具体如下所示： (1)前n 项和S n 与其通项a n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1 n ＝1，S n －S n －1 n ≥2；(2)等比数列的公比q 是否为1；(3)在利用公式S n 求和时，数列的项的个数为偶数还是奇数等等． 求解以上问题的关键是找准讨论的切入点，分类求解．————————— [1个示范例] ———————(理)(2013·天津高考)已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n(n ∈N *)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值．【解】 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列，所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3，于是q 2＝a 5a 3＝14.又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－12.故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n .(2)由(1)得S n＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋12n，n 为奇数，1－12n，n 为偶数.当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小，所以1＜S n ≤S 1＝32，故0＜S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56. 当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大，所以34＝S 2≤S n ＜1，故0＞S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712. 所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为－712.————————— [1个对点练] ———————已知数列{d n }满足d n ＝n ，等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10，2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，n ∈N *.(1)求a n ；(2)令c n ＝1－(－1)na n ，不等式c k ≥2014(1≤k ≤100，k ∈N *)的解集为M ，求所有d k ＋a k (k ∈M )的和．【解】 (1)设{a n }的首项为a 1，公比为q ，所以(a 1q 4)2＝a 1q 9，解得a 1＝q ， 又因为2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，所以2(a n ＋a n q 2)＝5a n q ，则2(1＋q 2)＝5q,2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝12(舍)或q ＝2，所以a n ＝2×2n －1＝2n.(2)则c n ＝1－(－1)n a n ＝1－(－2)n，d n ＝n ，当n 为偶数，c n ＝1－2n ≥2014，即2n≤－2013，不成立； 当n 为奇数，c n ＝1＋2n ≥2014，即2n≥2013， 因为210＝1024,211＝2048，所以n ＝2m ＋1,5≤m ≤49 则{d k }组成首项为11，公差为2的等差数列 {a k }(k ∈M )组成首项为211，公比为4的等比数列 则所有d k ＋a k (k ∈M )的和为45 11＋99 2＋2111－4451－4＝2475＋2101－20483＝2101＋53773.课时限时检测(三十一) 等比数列(时间：60分钟 满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝40，a 4＋a 5＋a 6＝20，则前9项之和等于( ) A ．50 B ．70 C ．80 D ．90 【答案】 B2．若等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝16n，则公比为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 【答案】 B3．(2013·课标全国卷Ⅰ)设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )A ．S n ＝2a n －1B ．S n ＝3a n －2C ．S n ＝4－3a nD ．S n ＝3－2a n【答案】 D4．已知数列{a n }，则“a n ，a n ＋1，a n ＋2(n ∈N *)成等比数列”是“a 2n ＋1＝a n a n ＋2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】 A5．已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且54为a 4与2a 7的等差中项，则S 5＝( )A ．35B ．33C ．31D ．29 【答案】 C6．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－5B ．－15C ．5 D.15【答案】 A二、填空题(每小题5分，共15分)7．若等比数列{a n }满足a 2a 4＝12，则a 1a 23a 5＝ .【答案】 148．等比数列{a n }的公比q ＞0，已知a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，则{a n }的前4项和S 4＝ .【答案】1529．设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝ .【答案】 32三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)(2013·重庆高考)设数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝3a n ，n ∈N ＋. (1)求{a n }的通项公式及前n 项和S n ；(2)已知{b n }是等差数列，T n 为其前n 项和，且b 1＝a 2，b 3＝a 1＋a 2＋a 3，求T 20. 【解】 (1)由题意知{a n }是首项为1，公比为3的等比数列， 所以a n ＝3n －1，S n ＝1－3n1－3＝12(3n－1)．(2)b 1＝a 2＝3，b 3＝1＋3＋9＝13，b 3－b 1＝10＝2d ，所以公差d ＝5，故T 20＝20×3＋20×192×5＝1 010.11．(12分)等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和．【解】 (1)设数列{a n }的公比为q . 由a 23＝9a 2a 6得a 23＝9a 24，所以q 2＝19.由条件可知q ＞0，故q ＝13.由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1，所以a 1＝13.故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n .(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n )＝－n n ＋12.故1b n＝－2n n ＋1 ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，1b 1＋1b 2＋…＋1b n＝－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝－2n n ＋1. 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和为－2nn ＋1.12．(13分)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋1＝(1＋q )a n －qa n －1(n ≥2，q ≠0)． (1)设b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，证明：{b n } 是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)若a 3是a 6与a 9的等差中项，求q 的值，并证明：对任意的n ∈N *，a n 是a n ＋3与a n ＋6的等差中项．【解】 (1)证明 由题设a n ＋1＝(1＋q )a n －qa n －1(n ≥2)， 得a n ＋1－a n ＝q (a n －a n －1)，即b n ＝qb n －1，n ≥2. 由b 1＝a 2－a 1＝1，q ≠0，所以{b n }是首项为1，公比为q 的等比数列． (2)由(1)，a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝q ，…，a n －a n －1＝q n －2(n ≥2)将以上各式相加，得a n －a 1＝1＋q ＋…＋q n －2(n ≥2)，即a n ＝a 1＋1＋q ＋…＋qn －2(n ≥2)．所以当n ≥2时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋1－q n －11－q ， q ≠1，n ， q ＝1.上式对n ＝1显然成立．(3)由(2)，当q ＝1时，显然a 3不是a 6与a 9的等差中项，故q ≠1.由a 3－a 6＝a 9－a 3可得q 5－q 2＝q 2－q 8，由q ≠0得q 3－1＝1－q 6，①整理得(q 3)2＋q 3－2＝0，解得q 3＝－2.于是q ＝－32.另一方面，a n －a n ＋3＝q n ＋2－q n －11－q ＝q n －11－q (q 3－1)，a n ＋6－a n ＝q n －1－q n ＋51－q ＝q n －11－q(1－q 6)．由①可得a n －a n ＋3＝a n ＋6－a n ，所以对任意的n ∈N *，a n 是a n ＋3与a n ＋6的等差中项．第四节 数列求和[考情展望] 1.考查等差、等比数列的求和.2.以数列求和为载体，考查数列求和的各种方法和技巧．一、公式法与分组求和法 1．公式法直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和 (1)等差数列的前n 项和公式：S n ＝n a 1＋a n 2＝na 1＋n n －1 2d ；(2)等比数列的前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q＝a 1 1－q n1－q ，q ≠1.2．分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．二、错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n 项和可用错位相减法．三、裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．常用的拆项方法 (1)1n n ＋k ＝1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋k。

【三维设计】2016届(新课标)高考数学(文)大一轮复习精品讲义：第五章 数列 Word版含答案

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第五章 数 列第一节数列的概念与简单表示法对应学生用书P71基础盘查一 数列的有关概念 (一)循纲忆知了解数列的概念(定义、数列的项、通项公式、前n 项和) (二)小题查验 1．判断正误(1)1,2,3,4和1,2,4,3是相同的数列( ) (2)同一个数在数列中可以重复出现( ) (3)a n 与{a n }是不同的概念( )(4)所有的数列都有通项公式，且通项公式在形式上一定是唯一的( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×2．(人教A 版教材例题改编)写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)1，－12，13，－14；(2)2,0,2,0.答案：(1)a n ＝(－1)n ＋1n(2)a n ＝(－1)n ＋1＋1基础盘查二 数列的表示方法 (一)循纲忆知1．了解数列三种简单的表示方法(列表法、图象法、通项公式法)； 2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数． (二)小题查验 1．判断正误(1)数列是一种特殊的函数( )(2)毎一个数列都可用三种表示法表示( )(3)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n ( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√2．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n2a n ＋3，则a 5等于________．答案：1161基础盘查三 数列的分类 (一)循纲忆知了解数列的分类(按项数分、按项间的大小等)． (二)小题查验1．(人教B 版教材例题改编)已知函数f (x )＝x －1x ，设a n ＝f (n )(n ∈N *)，则{a n }是________数列(填“递增”或“递减”)答案：递增2．对于数列{a n }，“a n ＋1＞|a n |(n ＝1,2…)”是“{a n }为递增数列”的________条件． 答案：充分不必要对应学生用书P71考点一 由数列的前几项求数列的通项公式(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．[提醒] 不是所有的数列都有通项公式，若有，也不一定唯一．[题组练透]1．已知n ∈N *，给出4个表达式：①a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n 为奇数，1，n 为偶数，②a n ＝1＋(－1)n 2，③a n ＝1＋cos n π2，④a n ＝⎪⎪⎪⎪sin n π2.其中能作为数列：0,1,0,1,0,1,0,1，…的通项公式的是( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．②③④D ．①③④解析：选A 检验知①②③都是所给数列的通项公式． 2．根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式： (1)4,6,8,10，…； (2)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…；(3)a ，b ，a ，b ，a ，b ，…(其中a ，b 为实数)； (4)9,99,999,9 999，….解：(1)各数都是偶数，且最小为4，所以通项公式a n ＝2(n ＋1)，n ∈N *.(2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式a n ＝(－1)n ×1n (n ＋1)，n ∈N *.(3)这是一个摆动数列，奇数项是a ，偶数项是b ，所以此数列的一个通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，b ，n 为偶数. (4)这个数列的前4项可以写成10－1,100－1,1 000－1，10 000－1，所以它的一个通项公式a n ＝10n －1，n ∈N *.[类题通法]用观察法求数列的通项公式的技巧(1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n 之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n＋1来调整．(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．考点二 由a n 与S n 的关系求通项a n (重点保分型考点——师生共研)[必备知识]数列的前n 项和通常用S n 表示，记作S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则通项a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.[提醒] 若当n ≥2时求出的a n 也适合n ＝1时的情形，则用一个式子表示a n ，否则分段表示．[典题例析]已知下面数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式： (1)S n ＝2n 2－3n ；(2)S n ＝3n ＋b . 解：(1)a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5， 由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. (2)a 1＝S 1＝3＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1.当b ＝－1时，a 1适合此等式． 当b ≠－1时，a 1不适合此等式．∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.[类题通法]已知S n 求a n 的三个步骤 (1)先利用a 1＝S 1求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写．[演练冲关]已知数列{a n }的前n 项和为S n . (1)若S n ＝(－1)n ＋1·n ，求a 5＋a 6及a n ；(2)若S n ＝3n ＋2n ＋1，求a n .解：(1)a 5＋a 6＝S 6－S 4＝(－6)－(－4)＝－2， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(－1)n ＋1·n －(－1)n ·(n －1)＝(－1)n ＋1·[n ＋(n －1)]＝(－1)n ＋1·(2n －1)，又a 1也适合于此式， 所以a n ＝(－1)n ＋1·(2n －1)．(2)因为当n ＝1时，a 1＝S 1＝6； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋2n ＋1)－[3n －1＋2(n －1)＋1]＝2·3n －1＋2，由于a 1不适合此式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，2·3n －1＋2，n ≥2.考点三 由递推关系式求数列的通项公式(常考常新型考点——多角探明)[必备知识]递推公式：如果已知数列{a n }的第一项(或前几项)，且任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．[多角探明]递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接.n ＋1n n 1．在数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .求数列{a n }的通项公式．解：由题设知，a 1＝1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1. ∴a n a n －1＝n ＋1n －1. ∴a n a n －1＝n ＋1n －1，…，a 4a 3＝53，a 3a 2＝42，a 2a 1＝3.以上n －1个式子的等号两端分别相乘，得到a n a 1＝n (n ＋1)2.又∵a 1＝1，∴a n ＝n (n ＋1)2.角度二：形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，求a n2．(1)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)，求数列{a n }的通项公式．(2)若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n ，求数列{a n }的通项公式． 解：(1)由题意，得a n ＋1－a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋⎝⎛⎭⎫1n －2－1n －1＋…＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫1－12＋2＝3－1n . (2)由题意知a n ＋1－a n ＝2n ，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1＝1－2n 1－2＝2n－1.角度三：形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)，求a n3．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，求数列{a n }的通项公式． 解：∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝3，∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3， 又a 1＋1＝2，∴a n ＋1＝2·3n －1， ∴a n ＝2·3n －1－1.角度四：形如a n ＋1＝Aa n Ba n ＋C(A ，B ，C 为常数)，求a n4．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，求数列{a n }的通项公式．解：∵a n ＋1＝2a na n ＋2，a 1＝1，∴a n ≠0，∴1a n ＋1＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12，又a 1＝1，则1a 1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公差的等差数列．∴1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n 2＋12， ∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)．[类题通法]由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为a n ＋1＝a n ＋f (n )或a n ＋1＝f (n )·a n ，则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式，另外，通过迭代法也可以求得上面两类数列的通项公式，(如角度二)，注意：有的问题也可利用构造法，即通过对递推式的等价变形，(如角度三、四)转化为特殊数列求通项．对应A 本课时跟踪检测(二十九)一、选择题1．数列1，23，35，47，59，…的一个通项公式a n ＝( )A.n 2n ＋1B.n 2n －1C.n 2n －3D.n 2n ＋3解析：选B 由已知得，数列可写成11，23，35，…，故通项为n2n －1.2．数列{a n }的前n 项积为n 2，那么当n ≥2时，a n ＝( ) A ．2n －1 B ．n 2 C.(n ＋1)2n 2D.n 2(n －1)2解析：选D 设数列{a n }的前n 项积为T n ，则T n ＝n 2， 当n ≥2时，a n ＝T n T n －1＝n 2(n －1)2.3．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21为( )A ．5 B.72 C.92D.132解析：选B ∵a n ＋a n ＋1＝12，a 2＝2，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－32，n 为奇数，2， n 为偶数.∴S 21＝11×⎝⎛⎭⎫－32＋10×2＝72.故选B. 4．在各项均为正数的数列{a n }中，对任意m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ·a n .若a 6＝64，则a 9等于( )A ．256B ．510C ．512D ．1 024 解析：选C 在各项均为正数的数列{a n }中，对任意m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ·a n .∴a 6＝a 3·a 3＝64，a 3＝8.∴a 9＝a 6·a 3＝64×8，a 9＝512.故选C.5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝kn 2，若对所有的n ∈N *，都有a n ＋1＞a n ，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，0)解析：选A 由S n ＝kn 2得a n ＝k (2n －1)．因为a n ＋1＞a n ，所以数列{a n }是递增的，因此k ＞0，故选A.6．(2015·北京海淀区期末)若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选B ∵a 1＝19，a n ＋1－a n ＝－3，∴数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列， ∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n . 设{a n }的前k 项和数值最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a k ≥0，a k ＋1≤0，k ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧22－3k ≥0，22－3(k ＋1)≤0， ∴193≤k ≤223， ∵k ∈N *，∴k ＝7.∴满足条件的n 的值为7. 二、填空题7．在数列－1,0，19，18，…，n －2n 2，…中，0.08是它的第____________项．解析：令n －2n 2＝0.08，得2n 2－25n ＋50＝0，即(2n －5)(n －10)＝0. 解得n ＝10或n ＝52(舍去)．答案：108．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3－3×2n ，n ∈N *，则a n ＝________. 解析：分情况讨论：①当n ＝1时，a 1＝S 1＝3－3×21＝－3；②当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3－3×2n )－(3－3×2n －1)＝－3×2n －1.综合①②，得a n ＝－3×2n －1.答案：－3×2n －19．(2015·大连双基测试)数列{a n }满足：a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －1)·a n ＝(n －1)·3n ＋1＋3(n∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)·a n －1＋(2n －1)·a n ＝(n －1)·3n ＋1＋3，把n 换成n －1得，a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)·a n －1＝(n －2)·3n ＋3，两式相减得a n ＝3n .答案：3n10．在一个数列中，如果∀n ∈N *，都有a n a n ＋1a n ＋2＝k (k 为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积．已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝1，a 2＝2，公积为8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝________.解析：依题意得数列{a n }是周期为3的数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，因此a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝4(a 1＋a 2＋a 3)＝4×(1＋2＋4)＝28.答案：28 三、解答题11．已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)． (1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)，可得 a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1； S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2； 同理，a 3＝3，a 4＝4. (2)S n ＝12a 2n ＋12a n ，① 当n ≥2时，S n －1＝12a 2n －1＋12a n －1，② ①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0. 由于a n ＋a n －1≠0， 所以a n －a n －1＝1， 又由(1)知a 1＝1，故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n . 12．已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)．(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围． 解：(1)∵a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)，又∵a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9.结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性，可知1>a 1>a 2>a 3>a 4， a 5>a 6>a 7>…>a n >1(n ∈N *)．∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0. (2)a n ＝1＋1a ＋2(n －1)＝1＋12n －2－a2.∵对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立， 结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性，知5<2－a 2<6，∴－10<a <－8.故a的取值范围为(－10，－8)．第二节等差数列及其前n项和对应学生用书P73基础盘查一等差数列的有关概念(一)循纲忆知理解等差数列的概念(定义、公差、等差中项)．(二)小题查验1．判断正误(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)等差数列的公差是相邻两项的差()(3)数列{a n}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2a n＋1＝a n＋a n＋2()答案：(1)×(2)×(3)√2．(人教A版教材例题改编)判断下面数列是否为等差数列．(只写结果)(1)a n＝2n－1；(2)a n＝pn＋q(p、q为常数)．答案：(1)是(2)是基础盘查二等差数列的有关公式(一)循纲忆知1．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；2．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；3．了解等差数列与一次函数的关系．(二)小题查验1．判断正误(1)等差数列{a n}的单调性是由公差d决定的()(2)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数()(3)已知数列{a n}的通项公式是a n＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{a n}一定是等差数列()答案：(1)√(2)√(3)√2．(人教A 版教材例题改编)已知等差数列5,427，347，…，则前n 项和S n ＝________.答案：114(75n －5n 2)基础盘查三 等差数列的性质 (一)循纲忆知掌握等差数列的性质及其应用． (二)小题查验 1．判断正误(1)在等差数列{a n }中，若a m ＋a n ＝a p ＋a q ，则一定有m ＋n ＝p ＋q ( ) (2)数列{a n }，{b n }都是等差数列，则数列{a n ＋b n }也一定是等差数列( )(3)等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，一定还是等差数列( )(4)数列{a n }的通项公式为a n ＝3n ＋5，则数列{a n }的公差与函数y ＝3x ＋5的图象的斜率相等( )答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√2．(北师大版教材例题改编)已知等差数列{a n }，a 5＝－20，a 20＝－35，则a n ＝________ 答案：－15－n3．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11等于________． 答案：88对应学生用书P74考点一 等差数列的基本运算(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝(a 1＋a n )n2. [题组练透]1．(2014·福建高考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( ) A ．8 B ．10 C ．12D ．14解析：选C 设等差数列{a n }的公差为d ，则S 3＝3a 1＋3d ，所以12＝3×2＋3d ，解得d＝2，所以a 6＝a 1＋5d ＝2＋5×2＝12，故选C.2．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝________. 解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 12＝a 1＋11d ＝－8，S 9＝9a 1＋9d ×82＝－9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝－1. ∴S 16＝16×3＋16×152×(－1)＝－72.答案：－723.在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值． 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d . 由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2. 从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)可知a n ＝3－2n ， 所以S n ＝n [1＋(3－2n )]2＝2n －n 2.由S k ＝－35，可得2k －k 2＝－35，即k 2－2k －35＝0， 解得k ＝7或k ＝－5.又k ∈N *，故k ＝7.[类题通法]等差数列的基本运算的解题策略(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．考点二 等差数列的判断与证明(题点多变型考点——全面发掘)[必备知识](1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．[提醒] 要注意定义中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．[一题多变][典型母题][题点发散1] 试说明本例中数列{a n }是不是等差数列． 解：当n ≥2时，a n ＋1＝－12n (n ＋1)，而a n ＋1－a n ＝－12n (n ＋1)－－12n (n －1)＝－12n ⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n －1＝1n (n －1)(n ＋1).∴当n ≥2时，a n ＋1－a n 的值不是一个与n 无关的常数，故数列{a n }不是等差数列． [题点发散2] 若将本例条件改为“a 1＝2，S n ＝S n －12S n －1＋1(n ≥2)”，问题不变，试求解．解：(1)∵S n ＝S n －12S n －1＋1，∴1S n ＝2S n －1＋1S n －1＝1S n －1＋2. ∴1S n －1S n －1＝2. ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以12为首项，以2为公差的等差数列．(2)由(1)知1S n ＝12＋(n －1)×2＝2n －32，即S n ＝12n －32.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －32－12n －72 ＝－2⎝⎛⎭⎫2n －32⎝⎛⎭⎫2n －72；当n ＝1时，a 1＝2不适合上式，故a n＝⎩⎨⎧2(n ＝1)，－2⎝⎛⎭⎫2n －32⎝⎛⎭⎫2n －72(n ≥2).[题点发散3] 若本例变为：已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，设b n＝1a n －1(n ∈N *)．求证：数列{b n }是等差数列． 证明：∵a n ＝2－1a n －1， ∴a n ＋1＝2－1a n.∴b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝12－1a n－1－1a n －1＝a n －1a n －1＝1， ∴{b n }是首项为b 1＝12－1＝1，公差为1的等差数列． [类题通法]等差数列的判定方法(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数； (2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)成立； (3)通项公式法：验证a n ＝pn ＋q ； (4)前n 项和公式法：验证S n ＝An 2＋Bn .[提醒] 在解答题中常应用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n 项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断．考点三 等差数列的性质及最值(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d ，(n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列.[典题例析]1．等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则2a 9－a 10的值是( ) A ．20 B ．22 C ．24D ．－8解析：选C ∵a 1＋3a 8＋a 15＝5a 8＝120，∴a 8＝24， ∴2a 9－a 10＝a 10＋a 8－a 10＝a 8＝24.2．(2014·北京高考)若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．解析：∵数列{a n }是等差数列，且a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＞0，∴a 8＞0.又a 7＋a 10＝a 8＋a 9＜0，∴a 9＜0.∴当n ＝8时，其前n 项和最大．答案：83．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝________. 解析：∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列，且S 10＝10，S 20＝30，S 20－S 10＝20，∴S 30－30＝10＋2×10＝30，∴S 30＝60. 答案：604．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最后6项的和为180，S n ＝324(n ＞6)，求数列{a n }的项数及a 9＋a 10.解：由题意知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36，① a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180，②①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216，∴a 1＋a n ＝36， 又S n ＝n (a 1＋a n )2＝324，∴18n ＝324，∴n ＝18.∵a 1＋a n ＝36，n ＝18，∴a 1＋a 18＝36， 从而a 9＋a 10＝a 1＋a 18＝36.[类题通法]1．等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a nm －n＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n .2．求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .[演练冲关]1．设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37等于( ) A ．0 B ．37 C ．100D ．－37解析：选C 设{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2，则(a n ＋1＋b n ＋1)－(a n ＋b n )＝(a n ＋1－a n )＋(b n＋1－b n )＝d 1＋d 2，∴{a n ＋b n }为等差数列，又a 1＋b 1＝a 2＋b 2＝100，∴{a n ＋b n }为常数列，∴a 37＋b 37＝100.2．已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为( )A ．10B ．20C ．30D ．40解析：选A 设这个数列有2n 项，则由等差数列的性质可知：偶数项之和减去奇数项之和等于nd ，即25－15＝2n ，故2n ＝10，即数列的项数为10.3．在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n取得最大值，并求出它的最大值．解：∵a 1＝20，S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，∴d ＝－53.法一：由a n ＝20＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫－53＝－53n ＋653. 得a 13＝0.即当n ≤12时，a n ＞0，n ≥14时，a n ＜0. ∴当n ＝12或13时，S n 取得最大值，且最大值为S 12＝S 13＝12×20＋12×112×⎝⎛⎭⎫－53＝130.法二：∴S n ＝20n ＋n (n －1)2·⎝⎛⎭⎫－53＝－56n 2＋1256n ＝－56⎝⎛⎭⎫n －2522＋3 12524. ∵n ∈N *，∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130. 法三： 由S 10＝S 15得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0. ∴5a 13＝0，即a 13＝0.∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130.对应B 本课时跟踪检测(三十)[A 卷——夯基保分]一、选择题1．设S n 为等差数列的前n 项和，公差d ＝－2，若S 10＝S 11，则a 1＝( ) A ．18 B ．20 C ．22D ．24解析：选B 由S 10＝S 11，得a 11＝0.又已知d ＝－2，则a 11＝a 1＋10d ＝a 1＋10×(－2)＝0，解得a 1＝20.2．(2015·兰州、张掖联考)等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则该数列前13项的和是( )A ．13B ．26C ．52D ．156解析：选B ∵3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24， ∴6a 4＋6a 10＝24，∴a 4＋a 10＝4，∴S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13(a 4＋a 10)2＝13×42＝26，故选B.3．已知等差数列{a n }满足a 2＝3，S n －S n －3＝51(n ＞3)，S n ＝100，则n 的值为( )A ．8B ．9C ．10D ．11解析：选C 由S n －S n －3＝51得， a n －2＋a n －1＋a n ＝51，所以a n －1＝17， 又a 2＝3，S n ＝n (a 2＋a n －1)2＝100，解得n ＝10.4．(2015·辽宁鞍山检测)已知S n 表示数列{a n }的前n 项和，若对任意的n ∈N *满足a n ＋1＝a n ＋a 2，且a 3＝2，则S 2 014＝( )A ．1 006×2 013B ．1 006×2 014C ．1 007×2 013D ．1 007×2 014解析：选C 在a n ＋1＝a n ＋a 2中，令n ＝1，则a 2＝a 1＋a 2，a 1＝0，令n ＝2，则a 3＝2＝2a 2，a 2＝1，于是a n ＋1－a n ＝1，故数列{a n }是首项为0，公差为1的等差数列，S 2 014＝2 014×2 0132＝1 007×2 013. 5．(2015·洛阳统考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＞0，a 3＋a 10＞0，a 6a 7＜0，则满足S n ＞0的最大自然数n 的值为( )A ．6B ．7C ．12D ．13解析：选C ∵a 1＞0，a 6a 7＜0，∴a 6＞0，a 7＜0，等差数列的公差小于零，又a 3＋a 10＝a 1＋a 12＞0，a 1＋a 13＝2a 7＜0，∴S 12＞0，S 13＜0，∴满足S n ＞0的最大自然数n 的值为12.6．(2015·河北唐山一模)各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且3S n ＝a n a n ＋1，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝( )A.n (n ＋5)2B.n (5n ＋1)2C.3n (n ＋1)2D.(n ＋3)(n ＋5)2解析：选C 当n ＝1时，3S 1＝a 1a 2,3a 1＝a 1a 2，∴a 2＝3.当n ≥2时，由3S n ＝a n a n ＋1，可得3S n －1＝a n －1a n ，两式相减得3a n ＝a n (a n ＋1－a n －1)，又∵a n ≠0，∴a n ＋1－a n －1＝3，∴{a 2n }为一个以3为首项，3为公差的等差数列，∴a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝3n ＋n (n －1)2×3＝3n (n ＋1)2，选C.二、填空题7．(2014·江西高考)在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前 n 项和为S n ，当且仅当n ＝8 时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．解析：由题意，当且仅当n ＝8时S n 有最大值，可得⎩⎪⎨⎪⎧d <0，a 8>0，a 9<0，即⎩⎪⎨⎪⎧d <0，7＋7d >0，7＋8d <0，解得－1<d <－78.答案：⎝⎛⎭⎫－1，－78 8．已知等差数列{a n }中，a n ≠0，若n ≥2且a n －1＋a n ＋1－a 2n ＝0，S 2n －1＝38，则n 等于________． 解析：∵2a n ＝a n －1＋a n ＋1， 又a n －1＋a n ＋1－a 2n ＝0，∴2a n －a 2n ＝0，即a n (2－a n )＝0.∵a n ≠0，∴a n ＝2.∴S 2n －1＝2(2n －1)＝38，解得n ＝10. 答案：109．(2015·无锡一模)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，当整数n ≥2时，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)都成立，则S 15＝________.解析：由S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)得(S n ＋1－S n )－(S n －S n －1)＝2S 1＝2，即a n ＋1－a n ＝2(n ≥2)，所以数列{a n }从第二项起构成等差数列，则S 15＝1＋2＋4＋6＋8＋…＋28＝211.答案：21110．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a n b n为整数的正整数n 的个数是________．解析：由等差数列前n 项和的性质知，a n b n ＝A 2n －1B 2n －1＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1，故当n ＝1,2,3,5,11时，a n b n 为整数，故使得a nb n为整数的正整数n 的个数是5.答案：5 三、解答题11．(2015·长春调研)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a 1＝3，S 5－S 2＝27. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若S n,22(a n ＋1＋1)，S n ＋2成等比数列，求正整数n 的值． 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ， 则S 5－S 2＝3a 1＋9d ＝27， 又a 1＝3，则d ＝2，故a n ＝2n ＋1.(2)由(1)可得S n ＝n 2＋2n ，又S n ·S n ＋2＝8(a n ＋1＋1)2， 即n (n ＋2)2(n ＋4)＝8(2n ＋4)2，化简得n 2＋4n －32＝0， 解得n ＝4或n ＝－8(舍)，所以n 的值为4.12．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22. (1)求a n 和S n ；(2)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S n n ＋c ，求非零常数c .解：(1)∵数列{a n }为等差数列，∴a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22. 又a 3·a 4＝117，∴a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两实根， 又公差d ＞0，∴a 3＜a 4，∴a 3＝9，a 4＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4.∴通项公式a n ＝4n －3.∴S n ＝na 1＋n (n －1)2×d ＝2n 2－n .(2)由(1)知S n ＝2n 2－n ，∴b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－n n ＋c ，∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c .∵数列{b n }是等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3， 即62＋c ×2＝11＋c ＋153＋c，∴2c 2＋c ＝0， ∴c ＝－12或c ＝0(舍去)，故c ＝－12.[B 卷——增分提能]1．已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝10，S 6＝72，若b n ＝12a n －30，设数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n 的最小值．解：∵2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，∴a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1， 故数列{a n }为等差数列．设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由a 3＝10，S 6＝72得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝10，6a 1＋15d ＝72，解得a 1＝2，d ＝4. ∴a n ＝4n －2，则b n ＝12a n －30＝2n －31，令⎩⎪⎨⎪⎧ b n ≤0，b n ＋1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧2n －31≤0，2(n ＋1)－31≥0，解得292≤n ≤312，∵n ∈N *，∴n ＝15，即数列{b n }的前15项均为负值，∴T 15最小．∵数列{b n }的首项是－29，公差为2， ∴T 15＝15(－29＋2×15－31)2＝－225，∴数列{b n }的前n 项和T n 的最小值为－225.2．(2015·安徽宿州调研)已知函数f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7.(1)设函数y ＝f (x )的图象的顶点的纵坐标构成数列{a n }，求证：{a n }为等差数列； (2)设函数y ＝f (x )的图象的顶点到x 轴的距离构成数列{b n }，求{b n }的前n 项和S n . 解：(1)证明：∵f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7 ＝[x －(n ＋1)]2＋3n －8， ∴a n ＝3n －8，∵a n ＋1－a n ＝3(n ＋1)－8－(3n －8)＝3， ∴数列{a n }为等差数列． (2)由题意知，b n ＝|a n |＝|3n －8|， ∴当1≤n ≤2时，b n ＝8－3n ，S n ＝b 1＋…＋b n ＝n (b 1＋b n )2＝n [5＋(8－3n )]2＝13n －3n 22；当n ≥3时，b n ＝3n －8，S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝5＋2＋1＋…＋(3n －8) ＝7＋(n －2)[1＋(3n －8)]2＝3n 2－13n ＋282.∴S n＝⎩⎨⎧13n －3n 22，1≤n ≤2，3n 2－13n ＋282，n ≥3.3．设同时满足条件：①b n ＋b n ＋22≤b n ＋1(n ∈N *)；②b n ≤M (n ∈N *，M 是与n 无关的常数)的无穷数列{b n }叫“特界”数列．(1)若数列{a n }为等差数列，S n 是其前n 项和，a 3＝4，S 3＝18，求S n ； (2)判断(1)中的数列{S n }是否为“特界”数列，并说明理由． 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1＋2d ＝4，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 1＋3d ＝18， 解得a 1＝8，d ＝－2，∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－n 2＋9n .(2){S n }是“特界”数列，理由如下：由S n ＋S n ＋22－S n ＋1＝(S n ＋2－S n ＋1)－(S n ＋1－S n )2 ＝a n ＋2－a n ＋12＝d2＝－1<0， 得S n ＋S n ＋22<S n ＋1，故数列{S n }适合条件①. 而S n ＝－n 2＋9n ＝－⎝⎛⎭⎫n －922＋814(n ∈N *)， 则当n ＝4或5时，S n 有最大值20， 即S n ≤20，故数列{S n }适合条件②. 综上，数列{S n }是“特界”数列．第三节等比数列及其前n 项和对应学生用书P76基础盘查一 等比数列的有关概念 (一)循纲忆知理解等比数列的概念(定义、公比、等比中项)． (二)小题查验 1．判断正误(1)常数列一定是等比数列( ) (2)等比数列中不存在数值为0的项( )(3)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列( ) (4)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab ( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×2．已知数列a ，a (1－a )，a (1－a )2，…是等比数列，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≠1 B ．a ≠0或a ≠1 C ．a ≠0 D ．a ≠0且a ≠1答案：D基础盘查二 等比数列的有关公式 (一)循纲忆知1．掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式；2．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；3．了解等比数列与指数函数的关系． (二)小题查验 1．判断正误(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1q n ( ) (2)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a( )答案：(1)× (2)×2．(人教A 版教材习题改编)在等比数列{a n }中，已知a 1＝－1，a 4＝64，则q ＝________，S 4＝________.答案：－4 51基础盘查三 等比数列的性质 (一)循纲忆知掌握等比数列的性质及应用． (二)小题查验 1．判断正误(1)q ＞1时，等比数列{a n }是递增数列( )(2)在等比数列{a n }中，若a m ·a n ＝a p ·a q ，则m ＋n ＝p ＋q ( )(3)在等比数列{a n }中，如果m ＋n ＝2k (m ，n ，k ∈N *)，那么a m ·a n ＝a 2k ( )(4)若数列{a n }是等比数列，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等比数列( )(5)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×2．(北师大版教材习题改编)将公比为q 的等比数列a 1，a 2，a 3，a 4…依次取相邻两项的乘积组成新的数列a 1a 2，a 2a 3，a 3a 4，….此数列是( )A ．公比为q 的等比数列B ．公比为q 2的等比数列C ．公比为q 3的等比数列D ．不一定是等比数列答案：B对应学生用书P76考点一 等比数列的基本运算(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]等比数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.[提醒] 运用等比数列的前n 项和公式时，必须对q ＝1与q ≠1分类讨论．[题组练透]1．(2015·东北三校联考)已知数列{a n }满足2a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝1，则数列{a n }的前10项和S 10为( )A.43(210－1) B.43(210＋1) C.43(2－10－1) D.43(2－10＋1) 解析：选C ∵2a n ＋1＋a n ＝0，∴a n ＋1a n ＝－12.又a 2＝1，∴a 1＝－2，∴数列{a n }是首项为－2，公比为q ＝－12的等比数列，∴S 10＝a 1(1－q 10)1－q＝－2(1－2－10)1＋12＝43(2－10－1)，故选C. 2．在等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值为( ) A ．1 B ．－12C ．1或－12D ．－1或12解析：选C 根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝7，a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝21， ∴1＋q ＋q 2q 2＝3.整理得2q 2－q －1＝0， 解得q ＝1或q ＝－12.3．(2015·唐山一模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n＝( )A ．4n －1B ．4n －1C ．2n －1D ．2n －1 解析：选D 设{a n}的公比为q ，∵⎩⎨⎧a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，∴⎩⎨⎧a 1＋a 1q 2＝52①，a 1q ＋a 1q 3＝54②，由①②可得1＋q 2q ＋q3＝2，∴q ＝12，代入①得a 1＝2，∴a n ＝2×⎝⎛⎭⎫12n －1＝42n ， ∴S n ＝2×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝4⎝⎛⎭⎫1－12n ，∴S na n ＝4⎝⎛⎭⎫1－12n 42n＝2n －1，选D.4．设数列{a n }的前n 项和S n 满足6S n ＋1＝9a n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝1a n ，求数列{b n }前n 项和T n .解：(1)当n ＝1时，由6a 1＋1＝9a 1，得a 1＝13.当n ≥2时，由6S n ＋1＝9a n ，得6S n －1＋1＝9a n －1， 两式相减得6(S n －S n －1)＝9(a n －a n －1)， 即6a n ＝9(a n －a n －1)，∴a n ＝3a n －1.∴数列{a n }是首项为13，公比为3的等比数列，其通项公式为a n ＝13×3n －1＝3n －2.(2)∵b n ＝1a n ＝⎝⎛⎭⎫13n －2，∴{b n }是首项为3，公比为13的等比数列，∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝3⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n 1－13＝92⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n .[类题通法]解决等比数列有关问题的常用思想方法(1)方程的思想：等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a 1和q ，问题可迎刃而解．(2)分类讨论的思想：等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q.考点二 等比数列的判定与证明(题点多变型考点——全面发掘)[必备知识]1．定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．定义的表达式为a n ＋1a n＝q .2．等比中项G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab . [提醒] 在等比数列中每项与公比都不为0.[一题多变][典型母题][题点发散1] 在本例条件下，若数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2), 证明：{b n }是等比数列．证明：∵由(2)知a n ＝1－⎝⎛⎭⎫12n ， ∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1 ＝1－⎝⎛⎭⎫12n －⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －1 ＝⎝⎛⎭⎫12n －1－⎝⎛⎭⎫12n ＝⎝⎛⎭⎫12n .又b 1＝a 1＝12也符合上式，∴b n ＝⎝⎛⎭⎫12n . ∴b n ＋1b n ＝12，数列{b n }是等比数列． [题点发散2] 本例条件变为：已知数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝a (a ≠0)，a n ＋2＝p ·a 2n ＋1a n(其中p 为非零常数，n ∈N *)．试判断数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1a n 是不是等比数列． 解：由a n ＋2＝p ·a 2n ＋1a n ，得a n ＋2a n ＋1＝p ·a n ＋1a n .令c n ＝a n ＋1a n，则c 1＝a ，c n ＋1＝pc n .∵a ≠0，∴c 1≠0，c n ＋1c n＝p (非零常数)，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1a n 是等比数列． [类题通法]等比数列的判定方法(1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a na n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)中项公式法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列． (3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n －1(c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．[提醒] (1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明，而后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．考点三 等比数列的性质(重点保分型考点——师生共研)[必备知识](1)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k ；(2)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n bn (λ≠0)仍然是等比数列；(3)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k ；(4)公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n ，当公比为－1时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 4n 不一定构成等比数列．[典题例析]1．(2015·长春调研)在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n ＝________.解析：设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12， 可得q 9＝3，a n －1a n a n ＋1＝a 31q3n －3＝324， 因此q 3n －6＝81＝34＝q 36，所以n ＝14， 答案：142．(2014·广东高考)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________.解析：因为a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5， 所以a 10a 11＝e 5.所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2…a 20) ＝ln [(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)]＝ln(a 10a 11)10＝10ln(a 10a 11)＝10ln e 5＝50. 答案：50[类题通法]等比数列常见性质的应用等比数列的性质可以分为三类：①通项公式的变形，②等比中项的变形，③前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．[演练冲关]1．(2014·江苏高考)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．解析：设等比数列{a n }的公比为q ，q >0，则a 8＝a 6＋2a 4即为a 4q 4＝a 4q 2＋2a 4，解得q 2＝2(负值舍去)，又a 2＝1，所以a 6＝a 2q 4＝4.答案：42．等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q ＝________.解析：由S 10S 5＝3132，a 1＝－1知公比q ≠1，S 10－S 5S 5＝－132.由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5，故q 5＝－132，q ＝－12.答案：－12对应A 本课时跟踪检测(三十一)[A 卷——夯基保分]一、选择题1．(2014·重庆高考)对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列D ．a 3，a 6，a 9成等比数列解析：选D 由等比数列的性质得，a 3·a 9＝a 26≠0，因此a 3，a 6，a 9一定成等比数列，选D.2．(2015·昆明、玉溪统考)等比数列{a n }中，a 1＝1，q ＝2，则T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1的结果可化为( )A ．1－14nB ．1－12nC.23⎝⎛⎭⎫1－14n D.23⎝⎛⎭⎫1－12n 解析：选C 依题意，a n ＝2n －1，1a n a n ＋1＝12n －1·2n ＝122n －1＝12×14n －1，所以T n ＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n 1－14＝23⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n . 3．若正项数列{a n }满足lg a n ＋1＝1＋lg a n ，且a 2 001＋a 2 002＋a 2 003＋…＋a 2 010＝2 014，则a 2 011＋a 2 012＋a 2 013＋…＋a 2 020的值为( )A ．2 014×1010B ．2 014×1011C ．2 015×1010D ．2 015×1011解析：选A 由条件知lg a n ＋1－lg a n ＝lga n ＋1a n ＝1，即a n ＋1a n＝10，所以{a n }是公比为10的等比数列．因为(a 2 001＋…＋a 2 010)·q 10＝a 2 011＋…＋a 2 020，所以a 2 011＋…＋a 2 020＝2 014×1010，选A.4．(2015·山西四校联考)等比数列{a n }满足a n ＞0，n ∈N *，且a 3·a 2n －3＝22n (n ≥2)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 2n －1＝( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2解析：选A 由等比数列的性质，得a 3·a 2n －3＝a 2n ＝22n ，从而得a n ＝2n.法一：log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 2n －1＝log 2[(a 1a 2n －1)·(a 2a 2n －2)·…·(a n －1a n ＋1)a n ]＝log 22n (2n－1)＝n (2n －1)．法二：取n ＝1，log 2a 1＝log 22＝1，而(1＋1)2＝4，(1－1)2＝0，排除B ，D ；取n ＝2，log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＝log 22＋log 24＋log 28＝6，而22＝4，排除C ，选A.5．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足S 2m S m ＝9，a 2m a m ＝5m ＋1m －1，则数列{a n }的公比为( )A ．－2B ．2C ．－3D ．3解析：选B 设公比为q ，若q ＝1，则S 2m S m ＝2，与题中条件矛盾，故q ≠1.∵S 2mS m ＝a 1(1－q 2m )1－q a 1(1－q m )1－q ＝q m ＋1＝9，∴q m ＝8.∴a 2m a m ＝a 1q2m －1a 1q m 1＝q m ＝8＝5m ＋1m －1，∴m ＝3，∴q 3＝8， ∴q ＝2.6．设{a n }是各项为正数的无穷数列，A i 是边长为a i ，a i ＋1的矩形的面积(i ＝1,2，…)，则{A n }为等比数列的充要条件是( )A ．{a n }是等比数列B ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…或a 2，a 4，…，a 2n ，…是等比数列C ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列D ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相同解析：选D ∵A i ＝a i a i ＋1，若{A n }为等比数列，则A n ＋1A n ＝a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝a n ＋2a n 为常数，即A 2A 1＝a 3a 1，A 3A 2＝a 4a 2，….∴a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…成等比数列，且公比相等．反之，若奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相等，设为q ，则A n ＋1A n ＝a n ＋2a n ＝q ，从而{A n }为等比数列．二、填空题7．(2014·安徽高考)数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________.解析：法一：因为数列{a n }是等差数列，所以a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5也成等差数列，又a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，所以a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5是常数列，故q ＝1.法二：因为数列{a n }是等差数列，所以可设a 1＝t －d ，a 3＝t ，a 5＝t ＋d ，故由已知得(t ＋3)2＝(t －d ＋1)(t ＋d ＋5)，得d 2＋4d ＋4＝0，即d ＝－2，所以a 3＋3＝a 1＋1，即q ＝1.答案：18．(2015·兰州模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝m ·2n －1－3，则m ＝________.解析：a 1＝S 1＝m －3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝m ·2n －2，。

2016届高考数学理科一轮复习同步训练6-5数列的综合应用

2016届高考数学理科一轮复习同步训练6-5数列的综合应用

第5讲数列的综合应用A级训练(完成时间：15分钟)1.已知数列{a n}是各项均为正数的等比数列，数列{b n}是等差数列，且a6＝b7，则有()A．a3＋a9≤b4＋b10B．a3＋a9≥b4＋b10C．a3＋a9≠b4＋b10D．a3＋a9与b4＋b10的大小关系不确定2.据科学记算，运载“神七”的“长征”二号系列火箭在点火后第一秒钟通过的路程为2 km，以后每秒钟通过的路程增加2 km，在到达离地面240 km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间是()A．10秒钟B．13秒钟C．15秒钟D．20秒钟3.(2014·广东湛江一模)若等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1＝b1＝1，a2＝b2＝2，则a5b5＝()A．5 B．16C．80 D．1604.若a、b是两个正数，M是a、b的等差中项，N是a、b的等比中项，则()A．M>N B．M≥NC．M<N D．M≤N5.已知等差数列的公差d＜0，前n项和记为S n，满足S20＞0，S21＜0，则当n＝10时，S n达到最大值．6.某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员，第一名得全部奖金的一半多一万元，第二名得余下的一半多一万元，依次类推都得到余下的一半多一万元，到第十名恰好分完，则此单位共拿出2046万元资金进行奖励．7.(2014·天津)已知q和n均为给定的大于1的自然数．设集合M＝{0,1,2，…，q－1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋x n q n－1，x i∈M，i＝1,2，…，n}．(1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A；(2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋a n q n－1，t＝b1＋b2q＋…＋b n q n－1，其中a i，b i∈M，i＝1,2，…，n.证明：若a n＜b n，则s＜t.B级训练(完成时间：30分钟)1.[限时2分钟，达标是()否()]等差数列{a n}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中则a4的值为()A．18 B．15C．12 D．202.[限时2分钟，达标是( )否( )]已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝10，S 5＝55，则过点P (n ，a n )和Q (n ＋2，a n ＋2)(n ∈N *)的直线的斜率是( )A ．4B ．3C ．2D ．13.[限时2分钟，达标是( )否( )]两个正数a 、b 的等差中项是92，一个等比中项是25，且a ＞b 则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为( )A.53B.414C.54D.4154.[限时3分钟，达标是( )否( )](2014·广东广州一模)在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝－1a n ＋1，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2014＝______.5.[限时7分钟，达标是( )否( )]数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋cn (c 是常数，n ＝1,2,3，…)，且a 1，a 2，a 3成公比不为1的等比数列．(1)求c 的值；(2)求{a n }的通项公式；(3)求最小的自然数n ，使a n ≥2013.6.[限时7分钟，达标是( )否( )]已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意正整数n ，有a 2a n ＝S 2＋S n(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)若数列{log 108a 1a n}的前n 项和为T n ，求T n 的最大值．[限时7分钟，达标是()否()](2014·浙江)已知数列{a n}和{b n}满足a1a2a3…a n＝(2)b n(n∈N*)．若{a n}为等比数列，且a1＝2，b3＝6＋b2.(1)求a n与b n；(2)设c n＝1a n－1b n(n∈N *)．记数列{cn}的前n项和为S n.①求S n；②求正整数k，使得对任意n∈N*，均有S k≥S n.C 级训练(完成时间：20分钟)1.[限时10分钟，达标是( )否( )](2014·重庆)设a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋2＋b (n ∈N *)．(1)若b ＝1，求a 2，a 3及数列{a n }的通项公式．(2)若b ＝－1，问：是否存在实数c 使得a 2n ＜c ＜a 2n ＋1对所有n ∈N *成立？证明你的结论．2.[限时10分钟，达标是( )否( )]已知数列{a n }满足13a n ≤a n ＋1≤3a n ，n ∈N *，a 1＝1. (1)若a 2＝2，a 3＝x ，a 4＝9，求x 的取值范围；(2)若{a n }是公比为q 等比数列，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，13S n ≤S n ＋1≤3S n ，n ∈N *，求q 的取值范围．第5讲 数列的综合应用【A 级训练】1．B 解析：记等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，由数列{b n }为等差数列可知b 4＋b 10＝2b 7， 又数列{a n }是各项均为正数的等比数列，所以a 3＋a 9＝a 3(1＋q 6)＝a 6(1＋q 6q 3)＝b 7(1＋q 6q 3)， 又1＋q 6q 3＝1q 3＋q 3≥2(当且仅当q ＝1时，等号成立)， 所以a 3＋a 9≥2b 7，即a 3＋a 9≥b 4＋b 10.2．C 解析：设每一秒钟通过的路程依次为a 1，a 2，a 3，…，a n ，则数列{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝2的等差数列，由求和公式有na 1＋n (n －1)d 2＝240，即2n ＋n (n －1)＝240，解得n ＝15.3．C 解析：在等差数列{a n }中，由a 1＝1，a 2＝2，得公差d ＝1，所以a 5＝a 1＋4d ＝1＋4×1＝5.在等比数列{b n }中，由b 1＝1，b 2＝2，得公比q ＝2，所以b 5＝b 1q 4＝1×24＝16.所以a 5b 5＝5×16＝80.4．B 解析：M ＝a ＋b 2，N ＝±ab .①若N ＝－ab ，显然有M >N .②N ＝ab ，则M －N ＝(a ＋b 2)－ab ＝(a －b )22≥0.所以，M ≥N . 5．10 解析：因为S 20＝10(a 1＋a 20)＝10(a 10＋a 11)＞0，S 21＝21a 11＜0，所以a 10＞0，a 11＜0，所以n ＝10时，S n 最大．6．2046 解析：设第十名到第一名得到的奖金分别是a 1，a 2，…，a 10，则a n ＝12S n ＋1，所以a 1＝2，a n －a n －1＝12a n ，所以a n ＝2a n －1，则每人所得奖金数组成一个以2为首项，公比为2的等比数列，所以S 10＝2(1－210)1－2＝2046. 7．解析：(1)当q ＝2，n ＝3时，M ＝{0,1}，A ＝{x |x ＝x 1＋x 2·2＋x 3·22，x i ∈M ，i ＝1,2,3}，可得，A ＝{0,1,2,3,4,5,6,7}．(2)证明：由s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n q n －1，a i ，b i ∈M ，i ＝1,2，…，n 及a n ＜b n ，可得s －t ＝(a 1－b 1)＋(a 2－b 2)q ＋…＋(a n －1－b n －1)q n －2＋(a n －b n )q n －1≤(q－1)＋(q －1)q ＋…＋(q －1)q n －2－q n －1＝(q －1)(1－q n －1)1－q－q n －1＝－1＜0. 所以，s ＜t .【B 级训练】1．A 解析：由题意可得a 1＝3，a 2＝8，a 3＝13，故此等差数列的公差为5，故a 4＝a 3＋d ＝18.2．A 解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋d ＝10(2a 1＋4d )·52＝55， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3d ＝4. 所以直线的斜率为a n ＋2－a n n ＋2－n＝4. 3．D 解析：⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝9ab ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5b ＝4，所以c 2＝a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝41，c ＝41，e ＝c a ＝415. 4．－20112 解析：因为a 1＝1，a n ＋1＝－1a n ＋1， 所以a 2＝－12，a 3＝－1(－12)＋1＝－2，a 4＝－1(－2)＋1＝1，a 5＝－12， …所以数列{a n }是以3为周期的数列，又S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝1－12－2＝－32， 所以S 2014＝S 2013＋a 2014＝671×(－32)＋1＝－20132＋1＝－20112.5．解析：(1)a 1＝3，a 2＝3＋c ，a 3＝3＋3c ，因为a 1，a 2，a 3成等比数列，所以(3＋c )2＝3(3＋3c )，解得c ＝0或c ＝3.当c ＝0时，a 1＝a 2＝a 3，不符合题意舍去，故c ＝3.(2)当n ≥2时，由a 2－a 1＝c ，a 3－a 2＝2c ，…，a n －a n －1＝(n －1)c ，得a n －a 1＝[1＋2＋…＋(n －1)]c ＝n (n －1)2c ， 又a 1＝3，c ＝3，所以a n ＝3＋32n (n －1)＝32(n 2－n ＋2)(n ＝2,3，…)． 当n ＝1时，上式也成立，所以a n ＝32(n 2－n ＋2)(n ∈N *)． (3)由a n ≥2013得32(n 2－n ＋2)≥2013， 即n 2－n －1340≥0因为n ∈N *，所以n ≥1＋43352>1＋4×182＝3612. 令n ＝37，得a 37＝2001＜2013，令n ＝38，得a 38＝2112＞2013，所以使a n ≥2013成立的最小自然数n ＝38.6．解析：(1)当n ＝1时，a 2a 1＝S 2＋S 1＝2a 1＋a 2，①当n ＝2时，得a 22＝2a 1＋2a 2，②②－①得，a 2(a 2－a 1)＝a 2，③因为数列{a n }各项为正，所以a 2≠0，所以a 2－a 1＝1，④①④联立可得a 1＝2＋1，a 2＝2＋2，(负值舍去) 综上可得，a 1＝2＋1.(2)当n ≥2时，(2＋2)a n ＝S 2＋S n ，(2＋2)·a n －1＝S 2＋S n －1， 两式相减可得(1＋2)a n ＝(2＋2)a n －1，所以a n ＝2a n －1，所以a n ＝(1＋2)·(2)n －1.(3)令b n ＝log 108a 1a n ，则b n ＝7－n 2lg2， 令b n >0，则n <7，令b n <0，则n >7.所以数列{log 108a 1a n}的前6项为正，第7项为0，从第8项开始为负， 所以数列{log 108a 1a n }的前6项或第7项的和取得最大值，最大值为212lg2. 7．解析：(1)由题意知a 1a 2a 3…a n ＝(2)b n ，b 3－b 2＝6， 知a 3＝(2)b 3－b 2＝8.又由a 1＝2，得公比q ＝2(q ＝－2舍去)，所以数列{a n }的通项为a n ＝2n (n ∈N *)， 所以，a 1a 2a 3…a n ＝2n (n ＋1)2＝(2)n (n ＋1)． 故数列{b n }的通项为b n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)．(2)①由(1)知c n ＝1a n －1b n ＝12n －(1n －1n ＋1)(n ∈N *)，所以S n ＝1n ＋1－12n (n ∈N *)． ②因为c 1＝0，c 2＞0，c 3＞0，c 4＞0，当n ≥5时，c n ＝1n (n ＋1)[n (n ＋1)2n －1]， 而n (n ＋1)2n －(n ＋1)(n ＋2)2n ＋1＝(n ＋1)(n －2)2n ＋1＞0， 得n (n ＋1)2n ≤5×(5＋1)25＜1， 所以，当n ≥5时，c n ＜0.综上，对任意n ∈N *恒有S 4≥S n ，故k ＝4.【C 级训练】1．解析：(1)a 2＝2，a 3＝2＋1.再由题设条件知(a n ＋1－1)2＝(a n －1)2＋1.从而{(a n －1)2}是首项为0，公差为1的等差数列， 故(a n －1)2＝n －1，即a n ＝n －1＋1(n ∈N *)．(2)设f (x )＝(x －1)2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )．令c ＝f (c )，即c ＝(c －1)2＋1－1，解得c ＝14. 下面用数学归纳法证明加强命题：a 2n ＜c ＜a 2n ＋1＜1.当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (0)＝2－1，所以a 2＜14＜a 3＜1，结论成立． 假设n ＝k 时结论成立，即a 2k ＜c ＜a 2k ＋1＜1.易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而c ＝f (c )＞f (a 2k ＋1)＞f (1)＝a 2，即1＞c ＞a 2k ＋2＞a 2. 再由f (x )在(－∞，1]上为减函数，得c ＝f (c )＜f (a 2k ＋2)＜f (a 2)＝a 3＜1，故c ＜a 2k ＋3＜1. 因此a 2(k ＋1)＜c ＜a 2(k ＋1)＋1＜1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．综上，符合条件的c 存在，其中一个值为c ＝14. 2．解析：(1)由题得，⎩⎨⎧ 23≤x ≤6x 3≤9≤3x ⇒x ∈[3,6]． (2)由题得，因为13a n ≤a n ＋1≤3a n ，且数列{a n }是等比数列，a 1＝1， 所以13q n －1≤q n ≤3q n －1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧q n －1(q －13)≥0q n －1(q －3)≤0，所以q ∈[13，3]． 又因为13S n ≤S n ＋1≤3S n ， 所以当q ＝1时，n 3≤n ＋1≤3n 对n ∈N *恒成立，满足题意． 当q ≠1时，13·1－q n 1－q ≤1－q n ＋11－q ≤3·1－q n 1－q . 所以①当q ∈[13，1)时，⎩⎪⎨⎪⎧ q n (q －3)≥－2q n (3q －1)≤2，由单调性可得，⎩⎪⎨⎪⎧q 1(q －3)≥－2q 1(3q －1)≤2，解得q ∈[13，1)．②当q ∈(1,3]时，⎩⎪⎨⎪⎧ q n (q －3)≤－2q n (3q －1)≥2，由单调性可得，⎩⎪⎨⎪⎧ q 1(q －3)≤－2q 1(3q －1)≥2，解得q ∈(1,2]． 综上，q ∈13，2]．。

2016版《一点一练》高考数学(文科)专题演练：第十章 推理与证明、算法与复数(含两年高考一年模拟)

2016版《一点一练》高考数学(文科)专题演练：第十章 推理与证明、算法与复数(含两年高考一年模拟)

1．y ∈Z }，B ＝{(x ，y )||x |≤2，|y |≤2，x ，y ∈Z }，定义集合A ⊕B ＝{(x 1＋x 2，y 1＋y 2)|(x 1，y 1)∈A ，(x 2，y 2)∈B }，则A ⊕B 中元素的个数为( )A ．77B ．49C ．45D ．302．(2015·广东)若集合E ＝{(p ，q ，r ，s )|0≤p <s ≤4，0≤q <s ≤4，0≤r <s ≤4且p ，q ，r ，s ∈N }，F ＝{(t ，u ，v ，w )|0≤t <u ≤4，0≤v <w ≤4且t ，u ，v ，w ∈N }，用card(X )表示集合X 中的元素个数，则card(E )＋card(F )＝( )A ．200B ．150C ．100D ．503．(2015·陕西)观察下列等式1－12＝121－12＋13－14＝13＋14 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16……据此规律，第n 个等式可为________．4．(2014·陕西)已知f (x )＝x 1＋x，x ≥0，若f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N ＋则f 2 014(x )的表达式为______．5．(2014·北京)顾客请一位工艺师把A ，B 两件玉石原料各制成一件工艺品．工艺师带一位徒弟完成这项任务．每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客．两件原料每道工序所需时间(单位：工作日)如下：6．(2015·江苏)设a 1，a 2，a 3，a 4是各项为正数且公差为d (d ≠0)的等差数列．(1)证明：2a 1，2a 2，2a 3，2a 4依次构成等比数列；(2)是否存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列？并说明理由；(3)是否存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a n 1，a n ＋k 2，a n ＋2k 3，a n ＋3k 4依次构成等比数列？并说明理由．1．(2015·吉林四校调研)设a 、b 、c 都是正数，则a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a 三个数( )A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于22．(2015·河北保定模拟)定义A B ，B C ，C D ，D B 分别对应下列图形( )那么下列图形中，可以表示A D ，A C 的分别是( )A ．(1)(2)B ．(2)(3)C ．(2)(4)D ．(1)(4)3．(2015·宜昌调研)给出下列两种说法：①已知p 3＋q 3＝2，求证p ＋q ≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2；②已知a ，b ∈R ，|a |＋|b |<1，求证方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时，可假设方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1.以下结论正确的是( )A ．①与②的假设都错误B ．①与②的假设都正确C ．①的假设正确；②的假设错误D ．①的假设错误；②的假设正确4．(2015·淮南模拟)从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为( )A ．2 011B ．2 012C ．2 013D ．2 0145．(2015·泉州模拟)设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2S a ＋b ＋c；类比这个结论可知，四面体ABCD 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，四面体ABCD 的体积为V ，内切球半径为R ，则R ＝________．6．(2015·黄山模拟)在矩形ABCD 中，对角线AC 与相邻两边所成的角为α，β，则有cos 2α＋cos 2β＝1.类比到空间中的一个正确命题是：在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对角线AC 1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则________．7．(2015·莱芜模拟)如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，都有f （x 1）＋f （x 2）＋…＋f （x n ）n≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n .若y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．8．(2015·北京模拟)若f (a ＋b )＝f (a )f (b )(a ，b ∈N *)，且f (1)＝2，则f （2）f （1）＋f （4）f （3）＋…＋f （2 014）f （2 013）＝________．9．(2015·昆明一中检测)甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说真话．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是________．10．(2015·湖北八校一联)观察下列等式：12＝1，12－22＝－3，12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，……，由以上等式推测出一个一般性的结论：对于n∈N*，12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝________．11．(2015·宝鸡市质检)观察等式：①13×13＋12×12＋16×1＝12，②13×23＋12×22＋16×2＝12＋22，③13×33＋12×32＋16×3＝12＋22＋32，…，以上等式都是成立的，照此写下去，第2 015个成立的等式是________．12．(2015·武汉市调研)平面几何中有如下结论：如图1，设O是等腰Rt△ABC底边BC的中点，AB＝1，过点O的动直线与两腰或其延长线的交点分别为Q，R，则有1AQ＋1AR＝2.类比此结论，将其拓展到空间有：如图2，设O是正三棱锥A－BCD底面BCD的中心，AB，AC，AD两两垂直，AB＝1，过点O的动平面与三棱锥的三条侧棱或其延长线的交点分别为Q，R，P，则有________．1．(2015·输入x的值为1，则输出y的值为()A．2 B．7 C．8 D．128第1题图第2题图2．(2015·天津)阅读上边的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为()A．2 B．3 C．4 D．53．(2015·北京)执行如图所示的程序框图，输出的k值为() A．3 B．4 C．5 D．64．(2015·四川)执行如图所示的程序框图，输出S的值为()A．－32 B.32C．－12 D.12第3题图 第4题图 第5题图5．(2015·重庆)执行如图所示的程序框图，则输出s 的值为( ) A.34 B.56 C.1112 D.25246．(2014·新课标Ⅰ)执行下面的程序框图，若输入的a ，b ，k 分别为1，2，3，则输出的M ＝( )A.203B.165C.72D.158第6题图 第7题图 7．(2014·新课标Ⅱ)执行上面的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．78．(2015·新课标全国Ⅰ)已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z ＝( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．2－iD ．2＋i9．(2015·新课标全国Ⅱ)若a 为实数，且2＋a i 1＋i＝3＋i ，则a ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．3 D ．410．(2015·广东)已知i 是虚数单位，则复数(1＋i)2＝( )A ．2iB ．－2iC ．2D ．－211．(2015·山东)若复数z 满足z 1－i＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i12．(2015·安徽)设i 是虚数单位，则复数(1－i)(1＋2i)＝( )A ．3＋3iB ．－1＋3iC ．3＋iD ．－1＋i13．(2014·重庆)实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限14．(2014·福建)复数z ＝(3－2i)i 的共轭复数z 等于( )A ．－2－3iB ．－2＋3iC ．2－3iD ．2＋3i1．(2015·x 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7第1题图 第2题图 2．(2015·云南名校统考)执行如图所示的程序框图，输出的S 值为－4时，则输入的S 0的值为( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．103．(2015·湖北八校一联)如图给出的是计算12＋14＋16＋…＋12 014的值的程序框图，其中判断框内应填入的是( )A ．i ≤2 013?B ．i ≤2 015?C ．i ≤2 017?D ．i ≤2 019?第3题图 第4题图 4．(2015·宝鸡市质检)某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S 的值等于( )A ．1 B.14 C.12 D.185．(2015·四川省统考)某程序框图如图所示，若输出的S ＝57，则判断框内应填( )A ．k >4?B ．k >5?C ．k >6?D ．k >7?第5题图 第6题图 6．(2015·晋冀豫三省调研)执行如图所示的程序框图，输出S 的值为( )A ．3B ．－6C ．10D ．127．(2015·贵阳市模拟)复数z ＝3－2i ，i 是虚数单位，则z 的虚部是( )A ．2iB ．－2iC ．2D ．－28．(2015·郑州一预)设i 是虚数单位，若复数m ＋103＋i(m ∈R )是纯虚数，则m 的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．39．(2015·邯郸市质检)已知i 是虚数单位，则复数z ＝4＋3i 3－4i的虚部是( )A ．0B ．iC ．－iD ．110．(2015·汕头市监测)复数21－i的实部与虚部之和为( ) A ．－1 B ．2 C ．1 D ．011．(2015·唐山一期检测)若复数z ＝a ＋3i 1－2i(a ∈R ，i 是虚数单位)是纯虚数，则z 的值为( )A ．2B ．3C ．3iD ．2i12．(2015·唐山摸底)复数z ＝1－3i 1＋2i，则( ) A ．|z |＝2 B ．z 的实部为1C ．z 的虚部为－iD ．z 的共轭复数为－1＋i13．(2015·福州市质检)在复平面内，两共轭复数所对应的点( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x参考答案第十章推理与证明、算法与复数考点33推理与证明【两年高考真题演练】1．C[如图，集合A表示如图所示的所有圆点“”，集合B表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”，集合A⊕B显然是集合{(x，y)||x|≤3，|y|≤3，x，y∈Z}中除去四个点{(－3，－3)，(－3，3)，(3，－3)，(3，3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点)，即集合A⊕B表示如图所示的所有圆点“”＋所有“”圆点＋所有圆点“”，共45个．故A⊕B中元素的个数为45.故选C.]2．A[当s＝4时，p，q，r都可取0，1，2，3中的一个，有43＝64种，当s＝3时，p，q，r都可取0，1，2中的一个，有33＝27种，当s＝2时，p，q，r都可取0，1中的一个，有23＝8种，当s＝1时，p，q，r都可取0，有1种，∴card(E)＝64＋27＋8＋1＝100.当t＝0时，u可取1，2，3，4中的一个，有4种，当t＝1时，u取2，3，4中的一个，有3种，当t＝2时，u可取3，4中的一个，有2种，当t＝3时，u可取4，有一种，∴t，u取值有1＋2＋3＋4＝10种，同样地，v，w的取值也有10种，则card(F)＝10×10＝100种，∴card(E)＋card(F)＝100＋100＝200种．]3．1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n[等式左边的特征：第1个等式有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n 个等式左边有2n 项且正负交错，应为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n；等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n 个有n 项，且有前几个的规律不难发现第n 个等式右边应为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .] 4．f 2 014(x )＝x 1＋2 014x [f 1(x )＝x 1＋x ，f 2(x )＝x1＋x 1＋x 1＋x＝x 1＋2x ，f 3(x )＝x1＋2x 1＋x 1＋2x＝x 1＋3x ，…，由数学归纳法得f 2 014(x )＝x 1＋2 014x .] 5．42 [为使交货期最短，需徒弟先对原料B 进行粗加工，用时6个工作日，再由工艺师对原料B 进行精加工，用时21个工作日，在此期间徒弟再对原料A 进行粗加工，不会影响工艺师加工完原料B 后直接对原料A 进行精加工，所以最短交货期为6＋21＋15＝42(个)工作日．]6．(1)证明 因为2a n ＋12a n＝2a n ＋1－a n ＝2d (n ＝1，2，3)是同一个常数，所以2a 1，2a 2，2a 3，2a 4依次构成等比数列，(2)解 令a 1＋d ＝a ，则a 1，a 2，a 3，a 4分别为a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d (a ＞d ，a ＞－2d ，d ≠0)．假设存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列，则a 4＝(a －d )(a ＋d )3，且(a ＋d )6＝a 2(a ＋2d )4.令t ＝d a ，则1＝(1－t )(1＋t )3，且(1＋t )6＝(1＋2t )4⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＜t ＜1，t ≠0， 化简得t 3＋2t 2－2＝0(*)，且t 2＝t ＋1.将t 2＝t ＋1代入(*)式，t (t ＋1)＋2(t ＋1)－2＝t 2＋3t ＝t ＋1＋3t ＝4t ＋1＝0，则t ＝－14. 显然t ＝－14不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立．因此不存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列．(3)解 假设存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a n 1，a n ＋k 2，a n ＋2k 3，a n ＋3k 4依次构成等比数列，则a n 1(a 1＋2d )n ＋2k ＝(a 1＋d )2(n ＋k )，且(a 1＋d )n ＋k (a 1＋3d )n ＋3k ＝(a 1＋2d )2(n ＋2k )．分别在两个等式的两边同除以a 2（n ＋k ）1及a 2（n ＋2k ）1， 并令t ＝d a 1⎝⎛⎭⎪⎫t ＞－13，t ≠0， 则(1＋2t )n ＋2k ＝(1＋t )2(n ＋k )，且(1＋t )n ＋k (1＋3t )n ＋3k ＝(1＋2t )2(n ＋2k )．将上述两个等式两边取对数，得(n ＋2k )ln(1＋2t )＝2(n ＋k )ln(1＋t )，且(n ＋k )ln(1＋t )＋(n ＋3k )ln(1＋3t )＝2(n ＋2k )ln(1＋2t )．化简得2k [ln(1＋2t )－ln(1＋t )]＝n [2ln(1＋t )－ln(1＋2t )]，且3k [ln(1＋3t )－ln(1＋t )]＝n [3ln(1＋t )－ln(1＋3t )]．再将这两式相除，化简得ln(1＋3t )ln(1＋2t )＋3ln(1＋2t )ln(1＋t )＝4ln(1＋3t )ln(1＋t )(**)． 令g (t )＝4ln(1＋3t )ln(1＋t )－ln(1＋3t )ln(1＋2t )－3ln(1＋2t )ln(1＋t )，则g ′(t )＝错误!.令φ(t )＝(1＋3t )2ln(1＋3t )－3(1＋2t )2ln(1＋2t )＋3(1＋t )2ln(1＋t )， 则φ′(t )＝6[(1＋3t )ln(1＋3t )－2(1＋2t )ln(1＋2t )＋(1＋t )ln(1＋t )]． 令φ1(t )＝φ′(t )，则φ1′(t )＝6[3ln(1＋3t )－4ln(1＋2t )＋ln(1＋t )]．令φ2(t )＝φ1′(t )，则φ2′(t )＝12（1＋t ）（1＋2t ）（1＋3t ）＞0. 由g (0)＝φ(0)＝φ1(0)＝φ2(0)＝0，φ′2(t )＞0，知φ2(t )，φ1(t )，φ(t )，g (t )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0和(0，＋∞)上均单调． 故g (t )只有唯一零点t ＝0，即方程(**)只有唯一解t ＝0，故假设不成立．所以不存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a n 1，a n ＋k 2，a n ＋2k 3，a n ＋3k 4依次构成等比数列．【一年模拟试题精练】1．D [利用反证法证明．假设三个数都小于2，则a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a ＜6，而a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a ≥2＋2＋2＝6，与假设矛盾．故选D.]2．C [由A B ，B C 知，B 是大正方形，A 是|，C 是—，由C D 知，D 是小正方形，∴A D 为小正方形中有竖线，即(2)正确，A C 为＋，即(4)正确．故选C.]3．D [反证法的实质是否定结论，对于①，其结论的反面是p ＋q >2，所以①错误；对于②，其假设正确．]4．B [设最小的数为x ，则其它8个数分别为x ＋7，x ＋8，x ＋9，x ＋14，x ＋15，x ＋16，x ＋17，x ＋18，故9个数之和为x ＋3(x ＋8)＋5(x ＋16)＝9x ＋104，当x ＝212时，9x ＋104＝2 012.]5.3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4[V ＝13S 1·R ＋13S 2·R ＋13S 3·R ＋13S 4·R ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ，R ＝3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4.] 6．cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝2 [设α，β，γ是AC 1分别与面ABCD 1，面ABB 1A 1，面BCC 1B 1所成的角．cos α＝AC AC 1，cos β＝AB 1AC 1，cos γ＝BC 1AC 1，cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝2（AB 2＋BC 2＋CC 21）AC 21＝2.] 7.332 [f (x )＝sin x ，f （A ）＋f （B ）＋f （C ）3≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋B ＋C 3 即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin A ＋B ＋C 3＝3sin π3＝332.故sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为332.]8．2 014 [令a ＝n ，b ＝1，则f (n ＋1)＝f (n )·f (1)，即：f （n ＋1）f （n ）＝f (1)＝2，故：f （2）f （1）＋f （4）f （3）＋…＋f （2 014）f （2 013）＝2×1 007＝2 014.] 9．甲 [假设甲说的是假话，即丙考满分，则乙也是假话，不成立；假设乙说的是假话，即乙没有考满分，又丙没有考满分，故甲考满分；故答案为：甲．]10．(－1)n ＋1·n （n ＋1）2 [12＝1＝(－1)21×22；12－22＝－3＝(－1)32×32；12－22＋32＝6＝(－1)43×42；12－22＋32－42＝－10＝(－1)54×52，…，12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1·n 2＝(－1)n ＋1·n （n ＋1）2.]11.13×2 0153＋12×2 0152＋16×2 015＝12＋22＋…＋20152 [①：13×13＋12×12＋16×1＝12；②：13×23＋12×22＋16×2＝12＋22；③：13×33＋12×32＋16×3＝12＋22＋32，……；2 015：13×2 0153＋12×2 0152＋16×2 015＝12＋22＋…＋2 0152]12.1AQ ＋1AR ＋1AP ＝3 [设O 到各个平面的距离为d ，而V R －AQP ＝13S △AQP ·AR ＝13·12·AQ ·AP ·AR ＝16AQ ·AP ·AR ，又∵V R －AQP ＝V O －AQP ＋V O －ARP ＋V O －AQR＝13S △AQP ·d ＋13S △ARP ·d ＋13S △AQR ·d＝16(AQ ·AP ＋AR ·AP ＋AQ ·AR )d16AQ ·AP ·AR ＝16(AQ ·AP ＋AR ·AP ＋AQ ·AR )d ， 即1AQ ＋1AR ＋1AP ＝d ，而V A －BDC ＝13S △BDC ·h＝13·34·2·33＝16，V O －ABD ＝13V A －BDC ＝118， 即13·S △ABD ·d ＝13·12·d ＝118⇒d ＝3， ∴1AQ ＋1AR ＋1AP ＝3.]考点34 算法与复数【两年高考真题演练】1．C [当x ＝1时，执行y ＝9－1＝8.输出y 的值为8，故选C.]2．C [运行相应的程序．第1次循环：i ＝1，S ＝10－1＝9；第2次循环：i ＝2，S ＝9－2＝7；第3次循环：i ＝3，S ＝7－3＝4；第4次循环：i ＝4，S ＝4－4＝0；满足S ＝0≤1，结束循环，输出i ＝4.故选C.]3．B [第一次循环：a ＝3×12＝32，k ＝1；第二次循环：a ＝32×12＝34，k ＝2；第三次循环：a ＝34×12＝38，k ＝3；第四次循环：a ＝38×12＝316<14，k ＝4.故输出k ＝4.]4．D [每次循环的结果为k ＝2，k ＝3，k ＝4，k ＝5＞4，∴S ＝sin 5π6＝12.]5．D [s ＝12＋14＋16＋18＝2524，即输出s 的值为2524.]6．D [当n ＝1时，M ＝1＋12＝32，a ＝2，b ＝32；当n ＝2时，M ＝2＋23＝83，a ＝32，b ＝83；当n ＝3时，M ＝32＋38＝158，a ＝83，b ＝158；n ＝4时，终止循环．输出M ＝158.]7．D [k ＝1，M ＝11×2＝2，S ＝2＋3＝5；k ＝2，M ＝22×2＝2，S ＝2＋5＝7；k ＝3，3>t ，∴输出S ＝7，故选D.]8．C [由(z －1)i ＝1＋i ，两边同乘以－i ，则有z －1＝1－i ，所以z ＝2－i.]9．D [由2＋a i 1＋i＝3＋i ，得2＋a i ＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i ，即a i ＝4i ，因为a 为实数，所以a ＝4.故选D.]10．A [(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝1＋2i －1＝2i.]11．A [∵z 1－i＝i ，∴z ＝i(1－i)＝i －i 2＝1＋i ，∴z ＝1－i.] 12．C [(1－i)(1＋2i)＝1＋2i －i －2i 2＝1＋i ＋2＝3＋i ，故选C.]13．B [实部为－2，虚部为1的复数为－2＋i ，所对应的点位于复平面的第二象限，选B.]14．C [因为复数z ＝(3－2i)i ＝2＋3i ，所以z ＝2－3i ，故选C. ]【一年模拟试题精练】1．C [x ＝3，y ＝23＝8<10＋3＋3＝33；x ＝3＋1＝4.y ＝24＝16<10×4＋3＝43；x ＝4＋1＝5，y ＝25＝32<10×5＋3＝53；x ＝5＋1＝6，y ＝26＝64>10×6＋3＝63，故输出的x 值为6.]2．D [由题意知S 0应为偶数，排除选项A 、C.当S 0＝8时，i ＝1<4，S ＝8－2＝6；i ＝2<4，S ＝6－22＝2；i ＝3<4，S ＝2－23＝－6；i ＝4＝4，输出S ＝－6，排除B ，故选D.]3．B [i ＝2，S ＝0；S ＝0＋12，i ＝4；S ＝12＋14，i ＝6；…，S ＝12＋14＋…＋12012，i ＝2 014；要计算S ＝12＋14＋…＋12 012＋12 014，应满足i ≤2 015.]4．C [S ＝1＝1，k ＝1<2 015；S ＝18<1，k ＝2<2 015；s ＝2×12＝14<1，k ＝3<2 015；S ＝14×2＝12<1，k ＝4<2015；S ＝12×2＝1，k ＝5<2 015 循环周期为4，2 015＝4×503＋3，S ＝1＝1，k ＝2 013<2 015；S ＝18，k ＝2 014<2 015；S ＝18×2＝14<1，k ＝2 015＝2 015， S ＝14×2＝12<1，k ＝2 016>2 015，输出S ＝12.]5．A [k ＝1，S ＝1；k ＝2，S ＝2×1＋2＝4；k ＝3，S ＝2×4＋3＝11；k ＝4，S ＝2×11＋4＝26；k ＝5，S ＝2×26＋5＝57要输出S ＝57，需k >4.]6．C [当i ＝1时，1<5为奇数，S ＝－1，i ＝2； 当i ＝2时，2<5为偶数，S ＝－1＋4＝3，i ＝3； 当i ＝3时，3<5为奇数，S ＝3－33＝－5，i ＝4； 当i ＝4时，4<5为偶数，S ＝－6＋42＝10，i ＝5； 当i ＝5时，5≥5，输出S ＝10.]7．D [z ＝3－2i 的虚部为－2.]8．A [∵m ＋103＋i ＝m ＋3－i 为纯虚数，∴m ＋3＝0，即m ＝－3.]9．D [∵z ＝4＋3i 3－4i ＝i ，∴z 的虚部为1.]10．B[21－i＝1＋i，故其实部与虚部之和为1＋1＝2.]11．C[∵z＝a＋3i1－2i＝a－65＋2a＋35i为纯虚数，∴a－65＝0，即a＝6，∴z＝3i.]12．D[∵z＝1－3i1＋2i＝－1－i，∴|z|＝2，z的实部为－1，虚部为－1，z的共轭复数为－1＋i，故选D.]13．A[∵z＝a＋b i的共轭复数z＝a－b i，∴z和z关于x轴对称．]。

2016版《一点一练》高考数学(理科)专题演练：第七章 立体几何(含两年高考一年模拟)

2016版《一点一练》高考数学(理科)专题演练：第七章 立体几何(含两年高考一年模拟)

1.(2015·山东)在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.2π3B.4π3C.5π3 D ．2π2．(2015·浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )A ．8 cm 3B ．12 cm 3C.323 cm 3D.403 cm 3 3．(2015·北京)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( )A．2＋ 5 B．4＋ 5 C．2＋2 5 D．54．(2014·福建)某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是()A．圆柱B．圆锥C．四面体D．三棱柱5．(2014·江西)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是()6．(2014·安徽)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为()A．21＋ 3 B．18＋ 3C ．21D ．187．(2014·陕西)将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )A ．4πB ．3πC ．2πD ．π8．(2014·湖北)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈275L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A.227B.258C.15750D. 3551139．(2015·江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为________．10．(2014·山东)三棱锥P －ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D －ABE 的体积为V 1，P －ABC 的体积为V 2，则V 1V 2＝________．1．(2015·山东莱芜模拟)某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是( )A ．2 B.92 C.32 D ．32．(2015·山东省实验中学模拟)设下图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.2π3 B ．8－π3 C ．8－2π D. 8－2π33．(2015·河南天一大联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．12＋πB ．8＋πC ．12－πD ．6－π4．(2015·湖北七州模拟)某个几何体的三视图如图所示(其中正视图中的圆弧是半径为2的半圆)，则该几何体的表面积为( )A ．92＋24πB ．82＋24πC ．92＋14πD ．82＋14π5．(2015·安徽安庆模拟)一个正方体的棱长为m ，表面积为n ，一个球的半径为p ，表面积为q .若m p ＝2，则n q ＝( )A.8πB.6πC.π6D.π8 6．(2015·福建龙岩模拟)如图所示是一个几何体的三视图，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的表面积是( )A.33B.32C.3＋7D.3＋7＋17．(2015·福建莆田模拟)某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则其侧视图的面积是( )A.12B.32 C ．1 D. 38．(2015·广东中山模拟)已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积(单位：cm 3)为________．1.(2015·安徽)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是()A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面2．(2015·福建)若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．(2015·浙江)如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD翻折成△A′CD，所成二面角A′－CD－B的平面角为α，则()A．∠A′DB≤αB．∠A′DB≥αC．∠A′CB≤αD．∠A′CB≥α4．(2015·广东)若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值()A．大于5 B．等于5C．至多等于4 D．至多等于35．(2014·辽宁)已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α6．(2014·浙江)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则正确的结论是()A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α7．(2014·广东)在空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是()A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定8．(2014·课标全国Ⅱ)直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为()A.110 B.25 C.3010 D.229．(2015·浙江)如图，三棱锥A－BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________．10．(2015·四川)如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点．设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cos θ的最大值为________．1．(2015·山东泰安模拟)已知m ，n 为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法正确的是( )A ．m ⊂α，n ∥m ⇒n ∥αB ．m ⊂α，n ⊥m ⇒n ⊥αC ．m ⊂α，n ⊂β，n ∥m ⇒α∥βD ．n ⊂β，n ⊥α⇒α⊥β2．(2015·山东省实验中学模拟)对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使得α、β都平行于γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l 、m ，使得l ∥α，l ∥β，m ∥α，m ∥β，其中，可以判定α与β平行的条件有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．(2015·安徽安庆模拟)b 、c 表示两条不重合的直线，α、β表示两个不重合的平面，下列命题中正确的是( )A.⎭⎪⎬⎪⎫c ∥αb ⊂α⇒c ∥b B. ⎭⎪⎬⎪⎫c ∥αα⊥β⇒c ⊥β C. ⎭⎪⎬⎪⎫c ⊥αc ⊥β⇒α∥β D. ⎭⎪⎬⎪⎫b ∥c c ⊂α⇒b ∥α 4．(2015·湖南怀化一模)设m ，n ，是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；④若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m ∥n，则α∥β.其中正确命题的序号是()A．①和③B．②和③C．③和④D．①和④5．(2015·福建厦门模拟)长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2AD，G为CC1中点，则直线A1C1与BG所成角的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°6．(2015·福建泉州模拟)设a，b是互不垂直的两条异面直线，则下列命题成立的是()A．存在唯一直线l，使得l⊥a，且l⊥bB．存在唯一直线l，使得l∥a，且l⊥bC．存在唯一平面α，使得a⊂α，且b∥αD．存在唯一平面α，使得a⊂α，且b⊥α7．(2015·四川成都高三摸底)已知a，b是两条不同直线，α是一个平面，则下列说法正确的是()A ．若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥αB ．若a ∥α，b ⊂α，则a ∥bC ．若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥bD ．若a ⊥b ，b ⊥α，则a ∥α8．(2015·浙江温州十校期末联考)已知α，β是两个不同的平面， m ，n 是两条不同的直线，则下列命题不正确的是( )A ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥αB ．若m ∥α，α∩β＝n ，则m ∥nC ．若m ⊥β，m ⊥α，则α∥βD ．若m ⊥α，m ⊂β，则α⊥β9．(2015·河北衡水模拟)已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的大小为( )A.5π12B.π3C.π4D.π610．(2015·东北三省三校模拟)P 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1对角线BD 1上的一点，且BP ＝λBD 1(λ∈(0，1))．下面结论：①A 1D ⊥C 1P ；②若BD 1⊥平面P AC ，则λ＝13；③若△P AC 为钝角三角形，则λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12；④若λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1，则△P AC 为锐角三角形．其中正确的结论为________(写出所有正确结论的序号)． 11．(2015·安徽黄山模拟)一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P，如果：将容器倒置，水面也恰好过点P有下列四个命题：①正四棱锥的高等于正四棱柱的高的一半；②若往容器内再注a 升水，则容器恰好能装满；③将容器侧面水平放置时，水面恰好经过点P；④任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P.其中正确命题的序号为________(写出所有正确命题的序号)．考点24平行关系、垂直关系两年高考真题演练1.(2015·新课标全国Ⅰ)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．2．(2015·湖南)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点．(1)证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F－AEC 的体积．3．(2015·江苏)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.求证：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.4．(2014·四川)在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形．(1)若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1；(2)设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．考点24平行关系、垂直关系一年模拟试题精练1．(2015·四川德阳模拟)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱DD1、C1D1的中点．(1)求直线BE和平面ABB1A1所成角θ的正弦值；(2)证明：B1F∥平面A1BE.2．(2015·江西红色六校模拟)如图，已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△P AD是正三角形，平面P AD⊥平面ABCD，E，F，G分别是PD，PC，BC的中点．(1)求证：平面EFG⊥平面P AD；(2)若M是线段CD上一点，求三棱锥M－EFG的体积．3．(2015·安徽黄山模拟)如图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，棱AB，BB′，B′C′，C′D′的中点分别是E，F，G，H.(1)求证：AD′∥平面EFG；(2)求证：A′C⊥平面EFG：(3)判断点A，D′，H，F是否共面？并说明理由．4．(2015·湖北八市模拟)如图，ABC－A1B1C1是底面边长为2，高为32的正三棱柱，经过AB的截面与上底面相交于PQ，设C1P＝λC1A1(0<λ<1)．(1)证明：PQ∥A1B1；(2)是否存在λ，使得平面CPQ⊥截面APQB？如果存在，求出λ的值；如果不存在，请说明理由．考点25 空间向量与立体几何两年高考真题演练1．(2015·天津)如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AC ，AB ＝1，AC ＝AA 1＝2，AD ＝CD ＝5，且点M 和N 分别为B 1C 和D 1D 的中点．(1)求证：MN ∥平面ABCD ；(2)求二面角D 1－AC －B 1的正弦值；(3)设E 为棱A 1B 1上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段A 1E 的长．2.(2015·湖北)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P －ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝CD ，过棱PC 的中点E ，作EF ⊥PB 交PB 于点F ，连接DE 、DF 、BD 、BE .(1)证明：PB ⊥平面DEF .试判断四面体DBEF 是否为鳖臑．若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由；(2)若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，求DC BC 的值．3．(2014·江西)如图，四棱锥P－ABCD中，ABCD为矩形，平面P AD⊥平面ABCD.(1)求证：AB⊥PD；(2)若∠BPC＝90°，PB＝2，PC＝2，问AB为何值时，四棱锥P－ABCD的体积最大？并求此时平面PBC与平面DPC夹角的余弦值．考点25 空间向量与立体几何一年模拟试题精练1．(2015·福建厦门模拟)已知等边三角形P AB 的边长为2，四边形ABCD 为矩形，AD ＝4，平面P AB ⊥平面ABCD ，E ，F ，G 分别是线段AB ，CD ，PD 上的点．(1)如图(1)，若G 为线段PD 的中点，BE ＝DF ＝23，证明：PB ∥平面EFG ；(2)如图(2)，若E, F 分别为线段AB ，CD 的中点，DG ＝2GP ，试问：矩形ABCD 内(包括边界)能否找到点H ，使之同时满足下列两个条件，并说明理由．(ⅰ)点H 到点F 的距离与点H 到直线AB 的距离之差大于4； (ⅱ)GH ⊥PD .2．(2015·广东六校联盟模拟)如图，将长为4，宽为1的长方形折叠成长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的四个侧面，记底面上一边AB ＝t ，(0<t <2)，连接A 1B ，A 1C ，A 1D .(1)当长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积最大时，求二面角B －A 1C －D 的值；(2)线段A 1C 上是否存在一点P ，使得A 1C ⊥平面BPD ，若有，求出P 点的位置，没有请说明理由．3．(2015·山东潍坊一模)如图，已知平行四边形ABCD 与直角梯形ABEF 所在的平面互相垂直，其中BE ∥AF ，AB ⊥AF ，AB ＝BE ＝12AF ，BC ＝2AB ，∠CBA＝π4，P 为DF 的中点．(1)求证：PE ∥平面ABCD ；(2)求平面DEF 与平面ABCD 所成角(锐角)的余弦值．4．(2015·湖北八市模拟)如图1在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，D 、E 分别为线段AB 、AC 的中点，AB ＝4，BC ＝2 2.以DE 为折痕，将Rt △ADE 折起到图2的位置，使平面A ′DE ⊥平面DBCE ，连接A ′C ，A ′B ，设F 是线段A ′C 上的动点，满足CF →＝λCA ′→.(1)证明：平面FBE ⊥平面A ′DC ；(2)若二面角F －BE －C 的大小为45°，求λ的值．第七章立体几何考点22空间几何体的结构、三视图，几何体的表面积与体积【两年高考真题演练】1．C[如图，由题意，得BC＝2，AD＝AB＝1.绕AD所在直线旋转一周后所得几何体为一个圆柱挖去一个圆锥的组合体．所求体积V＝π×12×2－13π×12×1＝53π.]2．C[该几何体是棱长为2 cm的正方体与一底面边长为2 cm的正方形，高为2 cm的正四棱锥组成的组合体，V＝2×2×2＋13×2×2×2＝323(cm3)．故选C.]3.C[该三棱锥的直观图如图所示：过D作DE⊥BC，交BC于E，连接AE，则BC＝2，EC＝1，AD＝1，ED＝2，S表＝S△BCD＋S△ACD＋S△ABD＋S△ABC＝12×2×2＋12×5×1＋12×5×1＋12×2×5＝2＋2 5.]4．A[因为圆锥、四面体、三棱柱的正视图均可以是三角形，而圆柱无论从哪个方向看均不可能是三角形，所以选A.]5．B [俯视图为在水平投射面上的正投影，结合几何体可知选B.]6．A[由三视图知，该多面体是由正方体割去两个角所成的图形，如图所示，则S ＝S 正方体－2S 三棱锥侧＋2S 三棱锥底＝6×4－2×3×12×1×1＋2×34×(2)2＝21＋ 3.]7．C [依题意，知所得几何体是一个圆柱，且其底面半径为1，母线长也为1，因此其侧面积为2π×1×1＝2π，故选C.]8．B [由题意可知：L ＝2πr ，即r ＝L 2π，圆锥体积V ＝13Sh ＝13πr 2h ＝13π·⎝ ⎛⎭⎪⎫L 2π2h ＝112πL 2h ≈275L 2h ，故112π≈275，π≈258，故选B.]9.7 [设新的底面半径为r ，由题意得13πr 2·4＋πr 2·8＝13π×52×4＋π×22×8，解得r ＝7.] 10.14 [由题意，知V D －ABE ＝V A －BDE ＝V 1，V P －ABC ＝V A －PBC ＝V 2.因为D ，E 分别为PB ，PC 中点，所以S △BDE S △PBC ＝14.设点A 到平面PBC 的距离为d ，则V 1V 2＝13S △BDE·d 13S △PBC ·d＝S △BDE S △PBC ＝14.] 【一年模拟试题精练】1．D第1题解析图[根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：V ＝13×1＋22×2x ＝3⇒x ＝3.故选D.]2．D [由三视图可知，几何体为正方体内挖去一个圆锥，所以该几何体的体积为V 正方体－V 锥＝23－13(π×12×2)＝8－23π.] 3．C [由三视图可知，原几何体是底面边长为2的正方形，高为3的棱柱，里面挖去一个半径为1的球，所以所求几何体的体积为12－π，故选C.]第4题解析图4．C [该几何体是个半圆柱与长方体的组合体，直观图如右图，表面积为S ＝5×4＋2×4×4＋2×4×5＋2π×5＋π×22＝92＋14π.]5．B [由题意可以得到n ＝6m 2，q ＝4πp 2，所以n q ＝6m 24πp 2＝32π×4＝6π，故选B.] 6．D [根据三视图可以得到原几何体为底面的等腰直角三角形且斜边为2的三棱锥，所以一侧面上的斜高为72，所以侧面积为3＋7，底面积为1，则全面积为3＋7＋1，故选D.]7．B [有三视图可以得到原几何体是以1为半径，母线长为2的半圆锥，故侧视图的面积是32，故选B.]8．π＋33 [由三视图，该组合体上部是一个三棱锥，下部是一圆柱由图中数据知V 圆柱＝π×12×1＝π三棱锥垂直于底面的侧面是边长为2的等边三角形，且边长是2，故其高即为三棱锥的高，高为3，故棱锥高为3由于棱锥底面为一等腰直角三角形，且斜边长为2，故两直角边长都是2，底面三角形的面积是12×2×2＝1, 故V棱锥＝13×1×3＝33 ，故该几何体的体积是π＋33.]考点23 点、线、平面之间的位置关系【两年高考真题演练】1．D [对于A ，α，β垂直于同一平面，α，β关系不确定，A 错；对于B ，m ，n 平行于同一平面，m ，n 关系不确定，可平行、相交、异面，故B 错；对于C ，α，β不平行，但α内能找出平行于β的直线，如α中平行于α，β交线的直线平行于β，故C 错；对于D，若假设m，n垂直于同一平面，则m∥n，其逆否命题即为D选项，故D正确．]2．B[m垂直于平面α，当l⊂α时，也满足l⊥m，但直线l与平面α不平行，∴充分性不成立，反之，l∥α，一定有l⊥m，必要性成立．故选B.]3．B[极限思想：若α＝π，则∠A′CB＜π，排除D；若α＝0，如图，则∠A′DB，∠A′CB都可以大于0，排除A，C.故选B.]4．C[当n＝3时显然成立，故排除A，B；由正四面体的四个顶点，两两距离相等，得n＝4时成立，故选C.]5．B[对A：m，n还可能异面、相交，故A不正确．对C：n 还可能在平面α内，故C不正确．对D：n还可能在α内，故D不正确．对B：由线面垂直的定义可知正确．]6．C[当m⊥n，n∥α时，可能有m⊥α，但也有可能m∥α或m⊂α，故A选项错误；当m∥β，β⊥α时，可能有m⊥α，但也有可能m∥α或m⊂α，故选项B错误；当m⊥β，n⊥β，n⊥α时，必有α∥β，从而m⊥α，故选项C正确；在如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1中，取m为B1C1，n为CC1，β为平面ABCD，α为平面ADD1A1，这时满足m⊥n，n⊥β，β⊥α，但m⊥α不成立，故选项D 错误．]7．D [如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，取l 1为BC ，l 2为CC 1，l 3为C 1D 1.满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3.若取l 4为A 1D 1，则有l 1∥l 4；若取l 4为DD 1，则有l 1⊥l 4.因此l 1与l 4的位置关系不确定，故选D.]8．C9.78 [连接DN ，作DN 的中点O ，连接MO ，OC .在△AND 中．M为AD 的中点，则OM 綉12AN .所以异面直线AN ，CM 所成角为∠CMO ，在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则AN ＝22，∴OM ＝ 2.在△ACD 中，同理可知CM ＝22，在△BCD 中，DN ＝22，在Rt △ONC 中，ON ＝2，CN ＝1∴OC ＝ 3.在△CMO 中，由余弦定理cos ∠CMO ＝|MC |2＋|MO |2－|OC |22|MC |·|MO |＝8＋2－32×22×2＝78.] 10.25 [建立空间直角坐标系如图所示，设AB ＝1，则AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，设M (0，y ，1)(0≤y ≤1)， 则EM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y ，1， ∴cos θ＝－12＋12y1＋1414＋y 2＋1＝－1－y52·4y 2＋5. 设异面直线所成的角为α，则cos α＝|cos θ|＝1－y52·4y 2＋5＝255·1－y 4y 2＋5， 令t ＝1－y ，则y ＝1－t ，∵0≤y ≤1，∴0≤t ≤1，那么cos α＝|cos θ|＝255·t 4t 2－8t ＋9＝255t 24t 2－8t ＋9 ＝25514－8t ＋9t 2，令x ＝1t ，∵0≤t ≤1，∴x ≥1，那么cos α＝25514－8x ＋9x 2， 又∵z ＝9x 2－8x ＋4在[1，＋∞)上单增，∴x ＝1，z min ＝5，此时cos α的最大值＝255·15＝255·55＝25.] 【一年模拟试题精练】1．D [A.因为m ⊂α，n ∥m ⇒n ⊂α或n ∥α，所以不正确；B. m ⊂α，n ⊥m 不能确定n 与α关系，所以不正确；C.m ⊂α，n ⊂β，n ∥m若两平面相交且m，n都平行于交线，也可以满足，所以不正确；D.直线垂直于平面，则过该直线的所有的面都与此面垂直，所以正确．故选D.]2．B[平面α、β都垂直于平面γ，平面α与平面β可能平行，也可能相交，故①错误；②正确；当平面α与平面β相交时，在平面α的两侧也存在三点到平面β的距离相等，故③错误；由面面平行的判定定理可知，当l、m移成相交直线时确定的平面与α、β都垂直，所以α∥β，故④正确，故选B.]3．C[根据直线与平面垂直的性质，可以得到C正确，故选C.] 4．A[②中平面α，β可能相交；④平面α，β可能相交，故选A.]5．C 6.C7．C[A选项中直线a还可能在平面α内，所以错误，B选项直线a与b可能平行还可能异面，所以错误，C选项由直线与平面垂直的性质可知正确，因为正确的选项只有一个，所以选C.] 8．B[A选项正确，因为两条平行线中的一条垂直于某个平面，则另一条必垂直于这个平面；B选项不正确，因为由线面平行的性质定理知，线平行于面，过线的面与已知面相交，则交线与已知线平行，由于m与β的位置关系不确定，故不能得出线线平行；C选项正确，两个平面垂直于同一条直线，则此两平面必平行；D选项正确，一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．综上，B选项不正确，故选B.]9．B [如右图所示，S △ABC ＝12×3×3×sin 60°＝334，∴VABC－A 1B 1C 1＝S △ABC ×OP ＝334×OP ＝94，∴OP ＝3，又OA ＝32×3×23＝1，∴tan ∠OAP ＝OP OA ＝3，由∠OAP ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，得∠OAP ＝π3.]10．①②④ [以DA ，DA 1，DD 1分别为x ，y ，z 轴建立坐标系，设正方体的棱长为1，则A (0，0，1)，B (1，1，0)，C (0，1，0)，D 1(0，0，1)，设P (x ，y ，z )，则BD 1→＝(－1，－1，1)，BP →＝λ(－1，－1，1)＝(x －1，y －1，z )，③中利用P A →·PC→<0可以得，则x ＝y ＝1－λ，z ＝λ，则P (1－λ，1－λ，λ)，是错误的，然后可以计算出①②④正确．]11．②③ [设图(1)水的高度h 2，几何体的高为h 1，底面边长为b,图(1)中水的体积为23b 2h 2，图(2)中水的体积为b 2h 1－b 2h 2＝b 2(h 1－h 2)，所以23b 2h 2＝b 2(h 1－h 2)，所以h 1＝ 53h 2，故①错误；又水占容器内空间的一半，所以②正确；当容器侧面水平放置时，P 点在长方体中截面上，所以③正确；假设④正确，当水面与正四棱锥的一个侧面重合时，经计算得水的体积为2536b 2h 2＞23b 2h 2，矛盾，故④不正确．故答案为：②③.]考点24 平行关系、垂直关系【两年高考真题演练】1．解 (1)交线围成的正方形EHGF 如图：(2)作EM ⊥AB ，垂足为M ，则AM ＝A 1E ＝4，EB 1＝12，EM ＝AA 1＝8.因为EHGF 为正方形，所以EH ＝EF ＝BC ＝10.于是MH ＝EH 2－EM 2＝6，AH ＝10，HB ＝6.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为97(79也正确)．2．(1)证明∵△ABC 为正三角形，E 为BC 中点，∴AE ⊥BC ，∴又B 1B ⊥平面ABC ，AE ⊂平面ABC ，∴B 1B ⊥AE ，∴由B 1B ∩BC ＝B 知，AE ⊥平面B 1BCC 1，又由AE ⊂平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面B 1BCC 1.(2)解 设AB 中点为M ，连接CM ，则CM ⊥AB ，由平面A 1ABB 1⊥平面ABC 且平面A 1ABB 1∩平面ABC ＝AB 知，CM ⊥面A 1ABB 1，∴∠CA 1M 即为直线A 1C 与平面A 1ABB 1所成的角．∴∠CA 1M ＝45°，易知CM ＝32×2＝3，在等腰Rt △CMA 中，AM ＝CM ＝3，在Rt △A 1AM 中，A 1A ＝A 1M 2－AM 2＝ 2.∴FC ＝12A 1A ＝22，又S △AEC ＝12×34×4＝32，∴V 三棱锥F －AEC ＝13×32×22＝612.3.证明 (1)由题意知，E 为B 1C 的中点，又D 为AB 1的中点，因此DE ∥AC .又因为DE ⊄平面AA 1C 1C ，AC ⊂平面AA 1C 1C ，所以DE ∥平面AA 1C 1C .(2)因为棱柱ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CC 1⊥平面ABC .因为AC ⊂平面ABC ，所以AC ⊥CC 1.又因为AC ⊥BC ，CC 1⊂平面BCC 1B 1，BC ⊂平面BCC 1B 1，BC ∩CC 1＝C ，所以AC ⊥平面BCC 1B 1.又因为BC 1⊂平面BCC 1B 1，所以BC 1⊥AC .因为BC ＝CC 1，所以矩形BCC 1B 1是正方形，因此BC 1⊥B 1C . 因为AC ，B 1C ⊂平面B 1AC ，AC ∩B 1C ＝C ，所以BC 1⊥平面B 1AC .又因为AB 1⊂平面B 1AC ，所以BC 1⊥AB 1.4．(1)证明 因为四边形ABB 1A 1和ACC 1A 1都是矩形， 所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC .因为AB ，AC 为平面ABC 内两条相交直线，所以AA 1⊥平面ABC .因为直线BC ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥BC .又由已知，AC ⊥BC ，AA 1，AC 为平面ACC 1A 1内两条相交直线， 所以BC ⊥平面ACC 1A 1.(2)解 取线段AB 的中点M ，连接A 1M ，MC ，A 1C ，AC 1，设O 为A 1C ，AC 1的交点．由已知，O 为AC 1的中点．连接MD ，OE ，则MD ，OE 分别为△ABC ，△ACC 1的中位线．所以，MD 綉12AC ，OE 綉12AC ，因此MD 綉OE .连接OM ，从而四边形MDEO 为平行四边形，则DE ∥MO .因为直线DE ⊄平面A 1MC ，MO ⊂平面A 1MC ，所以直线DE ∥平面A 1MC .即线段AB 上存在一点M (线段AB 的中点)，使直线DE ∥平面A 1MC .【一年模拟试题精练】1．(1)解 设G 是AA 1的中点，连接GE ，BG .∵E 为DD 1的中点，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，∴GE ∥AD ，又∵AD ⊥平面ABB 1A 1，∴GE ⊥平面ABB 1A 1，且斜线BE 在平面ABB 1A 1内的射影为BG ，∴Rt △BEG 中的∠EBG 是直线BE 和平面ABB 1A 1所成角，即∠EBG ＝θ.设正方体的棱长为a ，∴GE ＝a ，BG ＝52a ， BE ＝BG 2＋GE 2＝32a ，∴直线BE 和平面ABB 1A 1所成角θ的正弦值为：sin θ＝GE BE ＝23；(2)证明 连接EF 、AB 1、C 1D ，记AB 1与A 1B 的交点为H ，连接EH .∵H 为AB 1的中点，且B 1H ＝12C 1D ，B 1H ∥C 1D ，而EF ＝12C 1D ，EF ∥C 1D ，∴B 1H ∥EF 且B 1H ＝EF ，四边形B 1FEH 为平行四边形，即B 1F ∥EH ，又∵B 1F ⊄平面A 1BE 且EH ⊂平面A 1BE ，∴B 1F ∥平面A 1BE .2．(1)证明 ∵平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，CD ⊂平面ABCD ，CD ⊥AD ，∴CD ⊥平面P AD ，又∵△PCD 中，E 、F 分别是PD 、PC 的中点，∴EF ∥CD ，可得EF ⊥平面P AD ，∵EF ⊂平面EFG ，∴平面EFG ⊥平面P AD;(2)解 ∵EF ∥CD ，EF ⊂平面EFG ，CD ⊄平面EFG ，∴CD ∥平面EFG ，因此CD 上的点M 到平面EFG 的距离等于点D 到平面EFG 的距离，∴V M －EFG ＝V D －EFG ，取AD 的中点H ，连接GH 、EH ，则EF ∥GH ，∵EF ⊥平面P AD ，EH ⊂平面P AD ，∴EF ⊥EH .于是S △EFH ＝12EF ×EH ＝2＝S △EFG ，∵平面EFG ⊥平面P AD ，平面EFG ∩平面P AD ＝EH ，△EHD 是正三角形，∴点D 到平面EFG 的距离等于正△EHD 的高，即为3，因此，三棱锥M－EFG的体积V M－EFG＝V D－EFG＝13×S△EFG×3＝233.3．(1)证明连接BC′，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝C′D′，AB∥C′D′.所以，四边形ABC′D′是平行四边形，所以，AD′∥BC′.因为F，G分别是BB′，B′C′的中点，所以FG∥BC′，所以，FG∥AD′.因为EF，AD′是异面直线，所以AD′⊄平面EFG.因为FG⊂平面EFG，所以AD′∥平面EFG.(2)证明连接B′C，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，A′B′⊥平面BCC′B′，BC′⊂平面BCC′B′，所以，A′B′⊥BC′.在正方形BCC′B′中，B′C⊥BC′，因为A′B′⊂平面A′B′C，B′C⊂平面A′B′C，A′B′∩B′C＝B′，所以，BC′⊥平面A′B′C.因为A′C⊂平面A′B′C，所以，BC′⊥A′C.因为FG∥BC′，所以，A′C⊥FG，同理可证：A′C⊥EF.因为EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EF∩FG＝F，所以，A′C⊥平面EFG.(3)解点A，D′，H，F不共面．理由如下：假设A，D′，H，F共面．连接C′F，AF，HF.由(1)知，AD′∥BC′，因为BC′⊂平面BCC ′B ′，AD ′⊄平面BCC ′B ′，所以，AD ′∥平面BCC ′B ′.因为C ′∈D ′H ，所以，平面AD ′HF ∩平面BCC ′B ′＝C ′F .因为 AD ′⊂平面AD ′HF ，所以AD ′∥C ′F .所以C ′F ∥BC ′，而C ′F 与BC ′相交，矛盾．所以点A ，D ′，H ，F 不共面．4．(1)证明 由正三棱柱的性质可知，上下两个底面平行，且截面APQB ∩上底面A 1B 1C 1＝PQ ，截面APQB ∩下底面ABC ＝AB ，由两个平面平行的性质定理可得，PQ ∥AB ，又AB ∥A 1B 1， ∴PQ ∥A 1B 1.(2)解 假设存在这样的λ满足题设，分别取AB 的中点D ，PQ 的中点E ，连接DE ，由(1)及正三棱柱的性质可知△CPQ 为等腰三角形，APQB 为等腰梯形，∴CE ⊥PQ ，DE ⊥PQ .∴∠CED 为二面角A －PQ －C 的平面角，连接C 1E 并延长交A 1B 1于F ，由(1)得，C 1P C 1A 1＝C 1E C 1F ＝λ，C 1A 1＝2，C 1F ＝3，∴C 1E ＝3λ，EF ＝3(1－λ)，在Rt △CC 1E 中求得CE 2＝34＋3λ2，在Rt △DFE 中求得DE 2＝34＋3(1－λ)2，若平面CPQ ⊥截面APQB ，则∠CED ＝90°，∴CE 2＋DE 2＝CD 2，将以上数据代入整理，得3λ2－3λ＋34＝0，解得λ＝12. 考点25 空间向量与立体几何【两年高考真题演练】 1.如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得A (0，0，0)，B (0，1，0)，C (2，0，0)，D (1，－2，0)，A 1(0，0，2)，B 1(0，1，2)，C 1(2，0，2)，D 1(1，－2，2)，又因为M ，N 分别为B 1C 和D 1D 的中点，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，1，N (1，－2，1)． (1)证明 依题意，可得n ＝(0，0，1)为平面ABCD 的一个法向量，MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－52，0，由此可得MN →·n ＝0，又因为直线MN ⊄平面ABCD ，所以MN ∥平面ABCD .(2)解 AD 1→＝(1，－2，2)，AC →＝(2，0，0)，设n 1＝(x ，y ，z )为平面ACD 1的法向量，则⎩⎨⎧n 1·AD 1→＝0，n 1·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2z ＝0，2x ＝0. 不妨设z ＝1，可得n 1＝(0，1，1)．设n 2＝(x ，y ，z )为平面ACB 1的法向量，则⎩⎨⎧n 2·AB 1→＝0，n 2·AC→＝0，又AB 1→＝(0，1，2)， 得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2z ＝0，2x ＝0，不妨设z ＝1，可得n 2＝(0，－2，1)． 因此有cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－1010，于是sin 〈n 1，n 2〉＝31010.所以，二面角D 1－AC －B 1的正弦值为31010.(3)依题意，可设A 1E →＝λA 1B 1→，其中λ∈[0，1]，则E (0，λ，2)，从而NE→＝(－1，λ＋2，1)，又n ＝(0，0，1)为平面ABCD 的一个法向量，由已知，得cos 〈NE →，n 〉＝NE →·n |NE →|·|n |＝1（－1）2＋（λ＋2）2＋12＝13，整理得λ2＋4λ－3＝0，又因为λ∈[0，1]，解得λ＝7－2，所以，线段A 1E 的长为7－2.2．解 法一 (1)因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD ⊥BC ， 由底面ABCD 为长方形，有BC ⊥CD ，而PD ∩CD ＝D ， 所以BC ⊥平面PCD .而DE ⊂平面PCD ，所以BC ⊥DE .又因为PD ＝CD ，点E 是PC 的中点，所以DE ⊥PC .而PC ∩BC ＝C ，所以DE ⊥平面PBC .而PB ⊂平面PBC ， 所以PB ⊥DE .又PB ⊥EF ，DE ∩EF ＝E ，所以PB ⊥平面DEF .由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB ，∠DEF ，∠EFB ，∠DFB .(2)如图，在面PBC 内，延长BC 与FE 交于点G ，则DG 是平面DEF 与平面ABCD 的交线．由(1)知，PB ⊥平面DEF ，所以PB ⊥DG .又因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD ⊥DG ，而PD ∩PB ＝P ，所以DG ⊥平面PBD .故∠BDF 是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角，设PD ＝DC ＝1，BC ＝λ，有BD ＝1＋λ2，在Rt △PDB 中，由DF ⊥PB ，得∠DPF ＝∠FDB ＝π3，则tan π3＝tan ∠DPF ＝BD PD ＝1＋λ2＝3，解得λ＝ 2.所以DC BC ＝1λ＝22. 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，DC BC ＝22. 法二(1)如图，以D 为原点，射线DA ，DC ，DP 分别为x ，y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系．设PD ＝DC ＝1，BC ＝λ，则D (0，0，0)，P (0，0，1)，B (λ，1，0)，C (0，1，0)，PB→＝(λ，1，－1)，点E 是PC 的中点，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12， 于是PB→·DE →＝0，即PB ⊥DE . 又已知EF ⊥PB ，而DE ∩EF ＝E ，所以PB ⊥平面DEF .因PC→＝(0，1，－1)，DE →·PC →＝0，则DE ⊥PC ， 所以DE ⊥平面PBC .由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB ，∠DEF ，∠EFB ，∠DFB .(2)由PD ⊥平面ABCD ，所以DP→＝(0，0，1)是平面ABCD 的一个法向量；由(1)知，PB ⊥平面DEF ，所以BP→＝(－λ，－1，1)是平面DEF 的一个法向量．若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，则cos π3＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪BP →·DP →|BP →|·|DP →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1λ2＋2＝12， 解得λ＝ 2.所以DC BC ＝1λ＝22. 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，DC BC ＝22.3．(1)证明 ABCD 为矩形，故AB ⊥AD ；又平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ， 所以AB ⊥平面P AD ，故AB ⊥PD .(2)解 过P 作AD 的垂线，垂足为O ，过O 作BC 的垂线，垂足为G ，连接PG .故PO ⊥平面ABCD ，BC ⊥平面POG ，BC ⊥PG ，在Rt △BPC 中，PG ＝233，GC ＝263，BG ＝63，设AB ＝m ，则OP ＝PG 2－OG 2＝43－m 2，故四棱锥P －ABCD 的体积为V ＝13·6·m ·43－m 2＝m 38－6m 2. 因为m 8－6m 2＝8m 2－6m 4＝－6⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2－232＋83， 故当m ＝63，即AB ＝63时，四棱锥P －ABCD 的体积最大．此时，建立如图所示的坐标系，各点的坐标为O (0，0，0)， B ⎝ ⎛⎭⎪⎫63，63，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫63，263，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，263，0，P ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，63.故PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫63，263，－63，BC →＝(0，6，0)，CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－63，0，0， 设平面BPC 的法向量n 1＝(x ，y ，1)，则由n 1⊥PC →，n 1⊥BC →得 ⎩⎨⎧63x ＋263y －63＝0，6y ＝0，解得x ＝1，y ＝0，n 1＝(1，0，1)．同理可求出平面DPC 的法向量n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1，从而平面BPC 与平面DPC 夹角θ的余弦值为cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝12·14＋1＝105.【一年模拟试题精练】1．(1)证明 取AB 中点O ，连接PO ，则PO ⊥AB ，∵平面P AB ⊥平面ABCD ，平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ，PO ⊂平面P AB ，PO ⊥平面ABCD ，分别以OB ，ON ，OP 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系， P (0，0，3)，D (－1，4，0)，B (1，0，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，4，0，则PB →＝(1，0，－3)． 设平面EFG 的法向量n ＝(x ，y ，z )，∵GE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫56，－2，－32，FE →＝⎝⎛⎭⎪⎫23，－4，0，∴GE→·n ＝0，FE →·n ＝0， ∴⎩⎨⎧56x －2y －32z ＝0，23x －4y ＝0 故n ＝(6，1，23)，∴PB→·n ＝0，∴PB →⊥n . ∵PB ⊄平面EFG ，∴PB ∥平面EFG .(2)解 连接PE ，则PE ⊥AB ，∵平面P AB ⊥平面ABCD ，平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ，PE ⊂平面P AB ，∴PE ⊥平面ABCD ，分别以EB ，EN ，EP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，∴P (0，0，3)，D (－1，4，0)，PD→＝(－1，4，－3)， ∵PG →＝13PD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，43，－33.∴G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，43，233. 设点H (x ，y ，0)，且－1≤x ≤1，0<y ≤4，依题意得：x 2＋（y －4）2>y ＋4，∴x 2>16y ，(－1≤x ≤1)①又GH →＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13，y －43，－233， ∵GH ⊥PD ，∴GH→·PD →＝0， ∴－x －13＋4y －163＋2＝0，即y ＝114x ＋1112②把②代入①得：3x 2－12x －44>0. ∴x >2＋2423，或x <2－2423.∵满足条件的点H 必在矩形ABCD 内，则有－1≤x ≤1， ∴矩形ABCD 内不能找到点H ，使之同时满足(ⅰ)(ⅱ)条件．2．解 法一 (1)根据题意，长方体体积为V ＝t (2－t )×1＝t (2－t )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋2－t 22＝1， 当且仅当t ＝2－t ，即t ＝1时体积V 有最大值为1，所以当长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积最大时，底面四边形ABCD 为正方形，作BM ⊥A 1C 于M ，连接DM ，BD ，。

(新课标)高考数学一轮总复习 第五章 数列 5-3 等比数列及其前n项和课时规范练 文(含解析)新人

(新课标)高考数学一轮总复习 第五章 数列 5-3 等比数列及其前n项和课时规范练 文(含解析)新人

5-3 等比数列及其前n 项和课时规X 练A 组 基础对点练1．已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( B ) A ．21 B.42 C ．63D.842．(2018·某某质检)在等比数列{a n }中，a 2＝2，a 5＝16，则a 6＝( C ) A ．14 B.28 C ．32D.643．(2017·某某摸底考试)已知数列{a n }为等比数列，a 5＝1，a 9＝81，则a 7＝( B ) A ．9或－9 B.9 C ．27或－27D.27解析：∵数列{a n }为等比数列，且a 5＝1，a 9＝81， ∴a 27＝a 5a 9＝1×81＝81， ∴a 7＝±9.当a 7＝－9时，a 26＝1×(－9)＝－9不成立，舍去． ∴a 7＝9.故选B.4．(2018·某某调研测试)已知等差数列{a n }的公差为2，且a 4是a 2与a 8的等比中项，则{a n }的通项公式a n ＝( B ) A ．－2n B.2n C ．2n －1D.2n ＋1解析：由题意，得a 2a 8＝a 24，又a n ＝a 1＋2(n －1)，所以(a 1＋2)(a 1＋14)＝(a 1＋6)2，解得a 1＝2，所以a n ＝2n .故选B.5．在等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，若a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q 等于( D ) A ．－3 B.－1 C ．1D.3解析：在等比数列{a n }中， ∵a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，∴a 4－a 3＝2S 3＋1－(2S 2＋1)＝2(S 3－S 2)＝2a 3， ∴a 4＝3a 3， ∴q ＝a 4a 3＝3.故选D.6．我国古代有用一首诗歌形式提出的数列问题：远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增．共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？( C ) A ．5 B.4 C ．3D.27．若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( D ) A ．5 B.9 C ．log 345D.10解析：由等比数列性质知a 5a 6＝a 4a 7，又a 5a 6＋a 4a 7＝18，∴a 5a 6＝9， 则原式＝log 3a 1a 2…a 10＝log 3(a 5a 6)5＝10.8．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 25＝2a 3a 6，S 5＝－62，则a 1的值是__－2__. 9．(2018·某某调研)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 5＝5，则log 5a 1＋log 5a 2＋…＋log 5a 9＝ __9__.解析：因为数列{a n }是各项均为正数的等比数列，所以由等比数列的性质，可得a 1·a 9＝a 2·a 8＝a 3·a 7＝a 4·a 6＝a 25＝52，则log 5a 1＋log 5a 2＋…＋log 5a 9＝log 5(a 1·a 2·…·a 9) ＝log 5[(a 1·a 9)·(a 2·a 8)·(a 3·a 7)·(a 4·a 6)·a 5]＝log 5a 95＝log 559＝9.10．(2018·某某统考)已知各项均不为零的数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝4，a n ＋1＝3S n ＋4(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足a n b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <89.解析：(1)因为a n ＋1＝3S n ＋4， 所以a n ＝3S n －1＋4(n ≥2)，两式相减，得a n ＋1－a n ＝3a n ，即a n ＋1＝4a n (n ≥2)． 又a 2＝3a 1＋4＝16＝4a 1，所以数列{a n }是首项为4，公比为4的等比数列，所以a n ＝4n. (2)证明：因为a n b n ＝log 2a n ，所以b n ＝2n4n ，所以T n ＝241＋442＋643＋ (2)4n ，14T n ＝242＋443＋644＋ (2)4n ＋1，两式相减得，34T n ＝24＋242＋243＋244＋…＋24n －2n4n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋142＋143＋144＋…＋14n －2n 4n ＋1＝2×14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14－2n 4n ＋1＝23－23×4n －2n4n ＋1＝23－6n ＋83×4n ＋1， 所以T n ＝89－6n ＋89×4n <89.11．(2017·某某质检)在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝n ＋12n a n ，n ∈N *.(1)求证：数列{a nn}为等比数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n . 解析：(1)证明：由a n ＋1＝n ＋12n a n ，知a n ＋1n ＋1＝12·a nn， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以12为首项，12为公比的等比数列．(2)由(1)知⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为12，公比为12的等比数列，∴a n n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，∴a n ＝n2n ， ∴S n ＝121＋222＋…＋n2n ，①则12S n ＝122＋223＋…＋n2n ＋1，② ①－②，得12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1＝1－n ＋22n ＋1，∴S n ＝2－n ＋22n.B 组 能力提升练1．已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( C )A ．2B.1C.12D.18解析：设等比数列{a n }的公比为q ，a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，由题可知q ≠1，则a 1q 2×a 1q 4＝4(a 1q 3－1)，∴116×q 6＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫14×q 3－1，∴q 6－16q 3＋64＝0，∴(q 3－8)2＝0，∴q 3＝8，∴q ＝2，∴a 2＝12.故选C.2．(2018·某某质检)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马，”马主曰：“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还粟a 升，b 升，c 升，1斗为10升，则下列判断正确的是( D )A ．a ，b ，c 依次成公比为2的等比数列，且a ＝507B ．a ，b ，c 依次成公比为2的等比数列，且c ＝507C ．a ，b ，c 依次成公比为12的等比数列，且a ＝507A ．a ，b ，c 依次成公比为12的等比数列，且c ＝507解析：由题意，可得a ，b ，c 依次成公比为12的等比数列，b ＝12a ，c ＝12b ，故4c ＋2c ＋c ＝50，解得c ＝507.故选D.3．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a m ＋1·a m －1＝2a m (m ≥2)，数列{a n }的前n 项积为T n ，若T 2m －1＝512，则m 的值为( B ) A ．4 B.5 C ．6D.7解析：由等比数列的性质，可知a m ＋1·a m －1＝a 2m ＝2a m (m ≥2)，所以a m ＝2，即数列{a n }为常数列，a n ＝2，所以T 2m －1＝22m －1＝512＝29，即2m －1＝9，所以m ＝5，故选B.4．(2018·某某适应性考试)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝12，a 2a 6＝8(a 4－2)，则S 2 018＝( A )A ．22 017－12 B.1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12 2 017C ．22 018－12D.1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12 2 018解析：由a 1＝12，a 2a 6＝8(a 4－2)，得q 6－16q 3＋64＝0，所以q 3＝8，即q ＝2，所以S 2 018＝a 11－q 2 0181－q ＝22 017－12.故选A.5．(2016·高考某某卷)设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的( C ) A ．充要条件 B.充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件解析：由题意，得a n ＝a 1qn －1(a 1>0)，a 2n －1＋a 2n ＝a 1q2n －2＋a 1q2n －1＝a 1q2n －2(1＋q )．若q <0，因为1＋q 的符号不确定，所以无法判断a 2n －1＋a 2n 的符号；反之，若a 2n －1＋a 2n <0，即a 1q 2n －2(1＋q )<0，可得q <－1<0.故“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的必要而不充分条件，故选C.6．若等比数列{a n }的各项均为正数，前4项的和为9，积为814，则前4项倒数的和为( D )A.32B.94 C ．1D.2解析：设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则第2,3,4项分别为a 1q ，a 1q 2，a 1q 3，依题意得a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝9①，a 1·a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝814⇒a 21q 3＝92②，①÷②得a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3a 21q 3＝1a 1＋1a 1q ＋1a 1q 2＋1a 1q3＝2.故选D. 7．已知等比数列{a n }的各项都是正数，且3a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 8＋a 9a 6＋a 7＝( D )A ．6 B.7 C ．8D.9解析：∵3a 1，12a 3,2a 2成等差数列，∴a 3＝3a 1＋2a 2，∴q 2－2q －3＝0，∴q ＝3或q ＝－1(舍去)．∴a 8＋a 9a 6＋a 7＝a 1q 7＋a 1q 8a 1q 5＋a 1q 6＝q 2＋q 31＋q＝q 2＝32＝9.故选D.8．(2018·某某质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若3S n ＝2a n －3n ，则a 2 018＝( A ) A ．22 018－1 B.32 018－6C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12 2 018－72D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13 2 018－103解析：因为3S n ＝2a n －3n ，所以当n ＝1时，3S 1＝3a 1＝2a 1－3，所以a 1＝－3；当n ≥2时，3a n ＝3S n －3S n －1＝(2a n －3n )－(2a n －1－3n ＋3)，所以a n ＝－2a n －1－3，即a n ＋1＝－2(a n －1＋1)，所以数列{a n ＋1}是以－2为首项，－2为公比的等比数列．则a n ＋1＝－2×(－2)n －1＝(－2)n，所以a n ＝(－2)n－1，所以a 2 018＝(－2)2 018－1＝22 018－1，故选A.9．(2018·某某质量预测)已知数列{a n }满足log 2a n ＋1＝1＋log 2a n (n ∈N *)，且a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝1，则log 2(a 101＋a 102＋…＋a 110)＝__100__.解析：由log 2a n ＋1＝1＋log 2a n ，可得log 2a n ＋1＝log 22a n ，即a n ＋1＝2a n ，所以数列{a n }是以a 1为首项，2为公比的等比数列．又a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，所以a 101＋a 102＋…＋a 110＝(a 1＋a 2＋…＋a 10)×2100＝2100， 所以log 2(a 101＋a 102＋…＋a 110)＝log 22100＝100.10．已知等比数列{a n }中，a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值X 围是__(－∞，－1]∪[3，＋∞)__．解析：当q >0时，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝1＋a 1＋a 3≥1＋2a 1a 3＝1＋2a 22＝3； 当q <0时，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝1＋a 1＋a 3≤1－2a 1a 3＝1－2a 22＝－1， 所以S 3的取值X 围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．11．(2018·某某质检)已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，若a 1＝1，a 2·a 4＝16. (1)设b n ＝log 2a n ，求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和S n . 解析：(1)设数列{a n }的公比为q (q >0)，由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 2a 4＝16，得q 4＝16，所以q ＝2，则a n ＝2n －1.又b n ＝log 2a n ，所以b n ＝n －1. (2)由(1)可知a n ·b n ＝(n －1)·2n －1，则S n ＝0×20＋1×21＋2×22＋…＋(n －1)·2n －1，2S n ＝0×21＋1×22＋2×23＋…＋(n －1)·2n， 两式相减，得－S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －1－(n －1)·2n＝2－2n1－2－(n －1)·2n ＝2n (2－n )－2， 所以S n ＝2n(n －2)＋2.12．(2016·高考全国卷Ⅲ)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{}a n 是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.解析：(1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1， 故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1，得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ， 即(λ－1)a n ＋1＝λa n ，由a 1≠0，λ≠0，得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1. 因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1.(2)由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫λλ－1n .由S 5＝3132，得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132，解得λ＝－1.。

2016版《一点一练》高考数学(文科)专题演练：第六章 不等式(含两年高考一年模拟)

2016版《一点一练》高考数学(文科)专题演练：第六章 不等式(含两年高考一年模拟)
13．(2015·三明模拟)若x，y满足约束条件且z＝kx＋y取得最小值时的点有无数个，则k＝________．
14．(2015·厦门市质检)点P(x，y)在直线y＝kx＋2上，记T＝|x|＋|y|，若使T取得最小值的点P有无数个，则实数k的取值是________．
15．(2015·赤峰市测试)已知O(x，y)为区域内的任意一点，当该区域面积为4时，z＝2x－y的最大值为________．
16．(2015·吉林市高三摸底)已知正项等比数列{an}的公比q＝2，若存在两项am，an，使得＝4a1，则＋的最小值为________．
考点20二元一次不等式(组)与简单的线性规划
两年高考真题演练
1．(2015·天津)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x＋y的最大值为()
A．7B．8C．9D．14
6．(2015·贵州七校一联)一个平行四边形的三个顶点的坐标为(－1，2)，(3，4)，(4，－2)，点(x，y)在这个平行四边形的内部或边上，则z＝2x－5y的最大值是()
A．16B．18C．20D．36
7．(2015·云南师大附中适应性考试)设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为4，则a＋b的值为()
甲
乙
原料限额
A(吨)
3
2
12
B(吨)
1
2
8
A.12万元B．16万元
C．17万元D．18万元
5．(2015·四川)设实数x，y满足则xy的最大值为()
A.B.C．12D．14
6．(2015·重庆)若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为()
A．－3B．1C.D．3
7．(2015·福建)变量x，y满足约束条件若z＝2x－y的最大值为2，则实数m等于()

高考讲坛高考数学一轮复习 第5章 第5节 数列的综合应

高考讲坛高考数学一轮复习 第5章 第5节 数列的综合应

【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习 第5章 第5节 数列的综合应用课后限时自测 理 苏教版[A 级 基础达标练]一、填空题1．(2014·南通质检)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n >0，a 2n ＋1－a 2n ＝1(n ∈N *)，那么使a n <5成立的n 的最大值________．[解析] 由a 2n ＋1－a 2n ＝1(n ∈N *)知，数列{a 2n }是首项为1，公差为1的等差数列，则a 2n ＝1＋(n －1)×1＝n .由a n <5得n <5，∴n <25，则n 的最大值为24. [答案] 242．数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }中连续的三项，则数列{b n }的公比q ＝________.[解析] 设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，由a 23＝a 1a 7得(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，解得a 1＝2d .故数列{b n }的公比q ＝a 3a 1＝a 1＋2d a 1＝2a 1a 1＝2.[答案] 23．(2014·泰州模拟)设数列{a n }是首项大于零的等比数列，则“a 1<a 2”是“数列{a n }是递增数列”的________条件．[解析] {a n }为等比数列，a 1>0，当a 1<a 2时，q >1.{a n }为递增数列；若{a n }为递增数列，则q >1，a 1<a 2成立．[答案] 充要4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1，n ∈N *)，第k 项满足750＜a k ＜900，则k ＝________.[解析] 由a n ＋1＝3S n 及a n ＝3S n －1(n ≥2)， 得a n ＋1－a n ＝3a n ，即a n ＋1＝4a n (n ≥2)， 又a 2＝3S 1＝3，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1n ＝1，3×4n －2n ≥2，又750＜a k ＜900，验证得k ＝6. [答案] 65．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝________.[解析] 设等比数列的公比为q ，由题意知a 3＝a 1＋2a 2，即a 1q 2＝a 1＋2a 1q ， ∴q 2－2q －1＝0，解得q ＝1＋2或q ＝1－2(舍去)．∴a 9＋a 10a 7＋a 8＝a 7＋a 8q 2a 7＋a 8＝q 2＝(1＋2)2＝3＋2 2. [答案] 3＋2 26．(2014·盐城模拟)已知a ，b ，c (a <b <c )成等差数列，将其中的两个数交换，得到的三个数依次成等比数列，则a 2＋c 22b2的值为________．[解析] ∵a ，b ，c (a <b <c )成等差数列， ∴设a ＝b －d ，c ＝b ＋d (d >0)，①若交换a ，b ，则b ，b －d ，b ＋d 成等比数列，得(b －d )2＝b (b ＋d )，解得d ＝3b ，∴a ＝－2b ，c ＝4b .∴a 2＋c 22b 2＝20b 22b2＝10.②若交换a ，c ，则d ＝0(舍去)．③若交换b ，c 也可得a 2＋c 22b 2＝10，综上，a 2＋c 22b2＝10.[答案] 107．从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升纯酒精，然后填满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒________次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%.[解析] 设倒n 次后纯酒精与总溶液的体积比为a n ，则a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，由题意知⎝ ⎛⎭⎪⎫12n<10%，∴n ≥4.[答案] 48．已知数列{a n }为等差数列，公差为d ，若a 11a 10<－1，且它的前n 项和S n 有最大值，则使得S n <0的n 的最小值为________．[解析] 根据S n 有最大值知，d <0，则a 10>a 11， 由a 11a 10<－1知，a 10>0>a 11， 且a 11<－a 10即a 10＋a 11<0，从而S 19＝19a 1＋a 192＝19a 10>0，S 20＝20a 1＋a 202＝10(a 10＋a 11)<0，则使S n <0的n 的最小值为20. [答案] 20 二、解答题9．(2013·天津高考)已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：S n ＋1S n ≤136(n ∈N *)．[解] (1)设等比数列{a n }的公比为q . 因为－2S 2，S 3,4S 4成等差数列， 所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3，即S 4－S 3＝S 2－S 4，可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3＝－12.又因为a 1＝32，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n .(2)证明：S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ，S n ＋1S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋12n2n＋1，n 为奇数，2＋12n2n－1，n 为偶数，当n 为奇数时，S n ＋1S n随n 的增大而减小．所以S n ＋1S n ≤S 1＋1S 1＝136.当n 为偶数时，S n ＋1S n随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2＝2512.故对于n ∈N *，有S n ＋1S n ≤136.10．某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%.(1)求第n 年初M 的价值a n 的表达式； (2)设A n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn，若A n 大于80万元，则M 继续使用，否则需在第n 年初对M更新．证明：需在第9年初对M 更新．[解] (1)当n ≤6时，数列{a n }是首项为120，公差为－10的等差数列，a n ＝120－10(n －1)＝130－10n .当n ≥7时，数列{a n }是以a 6为首项，公比为34的等比数列，又a 6＝70，所以a n ＝70×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －6.因此，第n 年初，M 的价值a n 的表达式为 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧130－10n ，n ≤6，70×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －6，n ≥7.(2)设S n 表示数列{a n }的前n 项和，由等差及等比数列的求和公式得当1≤n ≤6时，S n＝120n －5n (n －1)，A n ＝120－5(n －1)＝125－5n ；当n ≥7时，由于S 6＝570， 故S n ＝S 6＋(a 7＋a 8＋…＋a n ) ＝570＋70×34×4×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －6＝780－210×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －6.A n ＝780－210×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －6n.因为{a n }是递减数列，所以{A n }是递减数列，又A 8＝780－210×⎝ ⎛⎭⎪⎫3428＝824764>80，A 9＝780－210×⎝ ⎛⎭⎪⎫3439＝767996<80，所以需在第9年初对M 更新．[B 级 能力提升练]一、填空题1．(2014·盐城模拟)已知{a n }是公差不为0的等差数列，{b n }是等比数列，其中a 1＝2，b 1＝1，a 2＝b 2,2a 4＝b 3，且存在常数α，β，使得a n ＝log αb n ＋β对每一个正整数n 恒成立，则αβ＝________.[解析] 由题意，可设a n ＝2＋(n －1)d ，b n ＝qn －1，于是由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2，2a 4＝b 3，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋d ＝q ，2×2＋3d ＝q 2，∵d ≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝4，∴a n ＝2n ，b n ＝22n －2，代入a n ＝log αb n ＋β，即2n ＝(2n －2)log α2＋β， 即2n (1－log α2)＝β－2log α2，∴⎩⎪⎨⎪⎧log α2＝1，β－2log α2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧α＝2，β＝2，故αβ＝22＝4.[答案] 42．(2013·江苏高考)在正项等比数列{a n }中，a 5＝12，a 6＋a 7＝3，则满足a 1＋a 2＋…＋a n ＞a 1a 2…a n 的最大正整数n 的值为________．[解析] 设{a n }的公比为q (q ＞0)， 则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 4＝12，12q ＋q2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝132，q ＝2.于是a 1＋a 2＋…＋a n ＝1321－2n1－2＝132(2n－1)，a 1a 2…a n ＝a n 1qn n －12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132n 2n n －12.由a 1＋a 2＋…＋a n ＞a 1a 2…a n 得132(2n －1)＞⎝ ⎛⎭⎪⎫132n 2n n －12，则2n－1＞212n 2－112n ＋5 .由2n＞212n 2－112n ＋5，得n ＞12n 2－112n ＋5，∴n 2－13n ＋10＜0，解得13－1292＜n ＜13＋1292，验证当n ＝12时，满足a 1＋a 2＋…＋a n ＞a 1a 2…a n .n ≥13时，不满足a 1＋a 2＋…＋a n ＞a 1a 2…a n .故n 的最大值为12.[答案] 12 二、解答题3．(2012·江苏高考)已知各项均为正数的两个数列{a n }和{b n }满足：a n ＋1＝a n ＋b na 2n ＋b 2n，n ∈N *.(1)设b n ＋1＝1＋b na n，n ∈N *，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫b n a n 2是等差数列；(2)设b n ＋1＝2·b n a n，n ∈N *，且{a n }是等比数列，求a 1和b 1的值． [解] (1)证明：由题设知a n ＋1＝a n ＋b na 2n ＋b 2n＝1＋b na n1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b n a n 2＝b n ＋11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b n a n 2，所以b n ＋1a n ＋1＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b n a n 2，从而⎝ ⎛⎭⎪⎫b n ＋1an ＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫b n a n 2＝1(n ∈N *)，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎪⎫b n an2是以1为公差的等差数列．(2)因为a n >0，b n >0，所以a n ＋b n22≤a 2n ＋b 2n <(a n ＋b n )2，从而1<a n ＋1＝a n ＋b na 2n ＋b 2n≤ 2.(*) 设等比数列{a n }的公比为q ，由a n >0知q >0.下证q ＝1. 若q >1，则a 1＝a 2q<a 2≤2，故当n >log q2a 1时，a n ＋1＝a 1q n>2，与(*)矛盾；若0<q <1，则a 1＝a 2q>a 2>1，故当n >log q 1a 1时，a n ＋1＝a 1q n<1，与(*)矛盾．综上，q ＝1，故a n ＝a 1(n ∈N *)，所以1<a 1≤ 2.又b n ＋1＝2·b n a n＝2a 1·b n (n ∈N *)，所以{b n }是公比为2a 1的等比数列．若a 1≠2，则2a 1>1，于是b 1<b 2<b 3.又由a 1＝a 1＋b n a 21＋b 2n得b n ＝a 1±a 212－a 21a 21－1，所以b 1，b 2，b 3中至少有两项相同，矛盾．所以a 1＝2，从而b n ＝a 1±a 212－a 21a 21－1＝ 2.所以a 1＝b 1＝ 2.。

2016届高考数学大一轮复习 第五章 数列同步练习 文(完整资料).doc

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【最新整理，下载后即可编辑】2016届高考数学大一轮复习第五章数列同步练习文第一节数列的概念与简单表示法1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．2．数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列a n＋1>a n其中n∈N*递减数列a n＋1<a n常数列a n＋1＝a n数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．4．数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．1．a n 与S n 的关系若数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.2．数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)1,1,1,1，…不能构成一个数列．( )(2)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．( ) (3)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( )(4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个．( )(5)已知a n ＋2＝f (a n ＋1，a n )时，如果要确定这个数列，则必须知道初始值a 1，a 2.( )(6)如果数列{a n }的前n 项和为 S n ，则对∀n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( )答案： (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ (6)√ 2．数列－3,7，－11,15，…的通项公式可能是( ) A ．a n ＝4n －7 B ．a n ＝(－1)n (4n ＋1) C ．a n ＝(－1)n (4n －1) D ．a n ＝(－1)n ＋1(4n －1)答案： C3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝pn ＋qn(p ，q 为常数)，且a 2＝32，a 4＝32，则a 8＝( )A ．54B ．94C ．34D ．2解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2p ＋q 2＝324p ＋q 4＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝14q ＝2. ∴a 8＝8p ＋q8＝8×14＋28＝94.答案： B4．已知数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫n 2n 2＋1，则0.98是它的第________项．解析： n 2n 2＋1＝0.98＝4950，∴n ＝7.答案： 75．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －3，则数列{a n }的通项公式是________．解析： 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－3＝－1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n －3)－(2n －1－3)＝2n －2n －1＝2n －1.故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥2.答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥2.由数列的前几项求数列的通项公式自主练透型写出下列各数列的一个通项公式： (1)3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…； (3)－1，32，－13，34，－15，36，…；(4)3,33,333,3333，….解析： (1)各项减去1后为正偶数， 所以a n ＝2n ＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以a n ＝2n －12n .(3)奇数项为负，偶数项为正，故第n 项的符号为(－1)n ；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以a n ＝(－1)n ·2＋－1nn，也可写为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1n ，n 为正奇数，3n，n 为正偶数.(4)将数列各项改写为：93，993，9993，99993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，….所以a n ＝13(10n－1)．由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同．对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k 或(－1)k＋1，k∈N*处理．由a n与S n的关系求通项a n分层深化型已知数列{a n}的前n项和为S n.(1)若S n＝(－1)n＋1·n，求a5＋a6及a n；(2)若S n＝3n＋2n＋1.求a n.解析：(1)因为a5＋a6＝S6－S4＝(－6)－(－4)＝－2，当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，a n＝S n－S n＝(－1)n＋1·n－(－1)n·(n－1)－1＝(－1)n＋1·[n＋(n－1)]＝(－1)n＋1·(2n－1)，又a1也适合于此式，所以a n＝(－1)n＋1·(2n－1)．(2)因为当n＝1时，a1＝S1＝6；当n≥2时，a n＝S n－S n＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1]＝2×3n－1＋－12，由于a 1不适合此式， 所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，2×3n －1＋2，n ≥2.1．已知下面数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式： (1)S n ＝2n 2－3n ；(2)S n ＝3n ＋b .解析： (1)a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. (2)a 1＝S 1＝3＋b ， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝(3n ＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1. 当b ＝－1时，a 1适合此等式． 当b ≠－1时，a 1不适合此等式． ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1； 当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝kc n －k (其中c ，k 为常数)，且a 2＝4，a 6＝8a 3，求a n .解析： 由S n ＝kc n －k 得a n ＝S n －S n －1＝kc n －kc n －1(n ≥2)， 由a 2＝4，a 6＝8a 3得kc (c －1)＝4，kc 5(c －1)＝8kc 2(c －1)，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，k ＝2，所以a n ＝kc n －kc n －1＝2n (n ≥2)，又a 1＝S 1＝2，于是a n ＝2n .3．(2014·陕西四校联考)已知数列{a n }满足条件12a 1＋122a 2＋123a 3＋…＋12n a n ＝2n ＋5，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2n ＋1B ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧14n ＝12n ＋1n ≥2C ．a n ＝2nD ．a n ＝2n ＋2解析： 由题意可知，数列{a n }满足条件12a 1＋122a 2＋123a 3＋…＋12n a n ＝2n ＋5， 则12a 1＋122a 2＋123a 3＋…＋12n －1a n －1 ＝2(n －1)＋5，n >1，两式相减可得：a n2n ＝2n ＋5－2(n －1)－5＝2，∴a n ＝2n ＋1，n >1，n ∈N *.当n ＝1时，a 12＝7，∴a 1＝14，综上可知，数列{a n }的通项公式为：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧14n ＝1，2n ＋1n ≥2.故选B ． 答案： B4．数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ≥1，n ∈N )，则数列{a n }的通项公式是________．解析： 由a n ＋1＝2S n ＋1，可得a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)，两式相减，得a n ＋1－a n ＝2a n ，a n ＋1＝3a n (n ≥2)．∵a 2＝2S 1＋1＝3，∴a 2＝3a 1，故数列{a n }是首项为1，公比为3的等比数列．∴a n ＝3n －1.故填a n ＝3n －1(n ≥1，且n ∈N )． 答案： a n ＝3n －1(n ≥1，且n ∈N )已知数列{a n }的前n 项和S n ，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：(1)先利用a 1＝S 1求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写．由递推关系式求数列的通项公式互动讲练型 根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式： (1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1；(2)a 1＝1，a n ＝n －1na n －1(n ≥2)；(3)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2.解析： (1)由题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋(2＋3＋…＋n )＝2＋n －12＋n2＝n n ＋12＋1.又a 1＝2＝1×1＋12＋1，符合上式， 因此a n ＝n n ＋12＋1.(2)∵a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，∴a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1.以上(n －1)个式子相乘得 a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n.当n ＝1时，a 1＝1，上式也成立． ∴a n ＝1n.(3)∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝3，∴数列{a n ＋1} 为等比数列，公比q ＝3， 又a 1＋1＝2，∴a n ＋1＝2·3n －1， ∴a n ＝2·3n －1－1.根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式： (1)a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n . (2)a 1＝1，a n ＋1＝2n a n .解析： (1)a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n－1＋2n －2＋…＋2＋1＝1－2n1－2＝2n －1.(2)由于a n ＋1a n＝2n，故a 2a 1＝21，a 3a 2＝22，…，a n a n －1＝2n －1， 将这n －1个等式叠乘，得a n a 1＝21＋2＋…＋(n －1)＝2n n －12，故a n ＝2n n －12.由数列递推式求通项公式常用方法有：累加法、累积法、构造法．形如a n ＝pa n －1＋m (p 、m 为常数，p ≠1，m ≠0)时，构造等比数列；形如a n ＝a n －1＋f (n )({f (n )}可求和)时，用累加法求解；形如a na n ＋1＝f (n )({f (n )}可求积)时，用累积法求解．A 级 基础训练1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( ) A ．1，12，13，14，…B ．－1，－2，－3，－4，…C ．－1，－12，－14，－18，…D ．1，2，3，…，n解析： 根据定义，属于无穷数列的是选项A 、B 、C(用省略号)，属于递增数列的是选项C 、D ，故同时满足要求的是选项C ．答案： C2．数列{a n }的前n 项积为n 2，那么当n ≥2时，a n ＝( ) A ．2n －1B ．n 2C ．n ＋12n 2D ．n 2n －12解析： 设数列{a n }的前n 项积为T n ，则T n ＝n 2，当n ≥2时，a n ＝T n T n －1＝n 2n －12.答案： D3．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21为( )A ．5B ．72C ．92D ．132解析： ∵a n ＋a n ＋1＝12，a 2＝2，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－32，n 为奇数，2， n 为偶数.∴S 21＝11×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32＋10×2＝72.故选B ．答案： B4．(2014·吉林普通中学摸底)已知数列{a n }，a n ＝－2n 2＋λn ，若该数列是递减数列， 则实数λ的取值范围是( )A ．(－∞，6]B ．(－∞，4]C ．(－∞，5]D ．(－∞，3]解析： 数列{a n }的通项公式是关于n (n ∈N *)的二次函数，若数列是递减数列， 则－λ2·－2≤32，即λ≤6. 答案： A5．(2014·安徽合肥二检)数列{a n }满足a 1＝2，a n ＝a n ＋1－1a n ＋1＋1，其前n 项积为T n ，则T 2 014＝( )A ．16B ．－16C ．6D ．－6解析： 由a n ＝a n ＋1－1a n ＋1＋1，得a n ＋1＝1＋a n1－a n，而a 1＝2，则有a 2＝－3，a 3＝－12，a 4＝13，a 5＝2，故数列{a n }是以4为周期的周期数列，且a 1a 2a 3a 4＝1， 所以T 2 014＝(a 1a 2a 3a 4)503a 1a 2＝1503×2×(－3)＝－6.故选D ． 答案： D6．(2014·海南三亚一模)在数列1,2，7，10，13，…中，219是这个数列的第________项．解析： 因为a 1＝1＝1，a 2＝2＝4，a 3＝7，a 4＝10，a＝13，…，所以a n＝3n－2.令a n＝3n－2＝219＝76，5得n＝26.答案：267．(2014·天津六校第三次联考)数列{a n}中，已知a1＝1，a＝2，a n＋1＝a n＋a n＋2(n∈N*)，则a7＝________.2解析：由已知a n＋1＝a n＋a n＋2，a1＝1，a2＝2，能够计算出a＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，a7＝1.3答案： 18．数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1，S n＝na n，则a n＝________.解析：当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝na n－(n－1)a n－1，∴a n＝a n－1(n≥2)．又∵a1＝1，∴a n＝1.答案： 19．数列{a n}的通项公式是a n＝n2－7n＋6.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？(3)该数列从第几项开始各项都是正数？解析：(1)当n＝4时，a4＝42－4×7＋6＝－6.(2)令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150， 解得n ＝16或n ＝－9(舍去)， 即150是这个数列的第16项．(3)令a n ＝n 2－7n ＋6＞0，解得n ＞6或n ＜1(舍)． ∴从第7项起各项都是正数．10．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝2－b n .求数列{a n }与{b n }的通项公式．解析： ∵当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋2n )－[2(n －1)2＋2(n －1)]＝4n ，当n ＝1时，a 1＝S 1＝4也适合， ∴{a n }的通项公式是a n ＝4n (n ∈N *)．∵T n ＝2－b n ，∴当n ＝1时，b 1＝2－b 1，b 1＝1. 当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝(2－b n )－(2－b n －1)， ∴2b n ＝b n －1.∴数列{b n }是公比为12，首项为1的等比数列．∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1.B 级 能力提升1．定义：称nP 1＋P 2＋…＋P n为n 个正数P 1，P 2，…，P n 的“均倒数”．若数列{a n}的前n项的“均倒数”为12n－1，则数列{a n}的通项公式为( )A．a n＝2n－1 B．a n＝4n－1C．a n＝4n－3 D．a n＝4n－5解析：na1＋a2＋…＋a n＝12n－1，∴a1＋a2＋…＋a nn＝2n－1，∴a1＋a2＋…＋a n＝(2n－1)n；a1＋a2＋…＋a n－1＝(2n－3)(n－1)(n≥2)，当n≥2时，a n＝(2n－1)n－(2n－3)(n－1)＝4n－3；a1＝1也适合此等式，∴a n＝4n－3.答案： C2．下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是________．解析：从题图中可观察星星的构成规律，n＝1时，有1个；n＝2时，有3个；n＝3时，有6个；n＝4时，有10个；…∴a n＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝n n＋12.答案：a n＝n n＋123．已知数列{a n}满足前n项和S n＝n2＋1，数列{b n}满足b n＝2a n ＋1，且前n 项和为T n ，设c n ＝T 2n ＋1－T n . (1)求数列{b n }的通项公式； (2)判断数列{c n }的增减性．解析： (1)a 1＝2，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1 n ≥22 n ＝1∴b n＝⎩⎪⎨⎪⎧1nn ≥223n ＝1.(2)∵c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1 ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1， ∴c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1＝12n ＋3－12n ＋2＝－12n ＋32n ＋2＜0，∴{c n }是递减数列．4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝32a n －1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)在数列{b n }中，b 1＝5，b n ＋1＝b n ＋a n ，求数列{b n }的通项公式．解析： (1)当n ＝1时，S 1＝a 1＝32a 1－1，所以a 1＝2. 由S n ＝32a n －1，①可知当n ≥2时，S n －1＝32a n －1－1，②①－②，得a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32a n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32a n －1－1， 所以a n ＝3a n －1，又a 1≠0， 故a n －1≠0， 所以a na n －1＝3，故数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列， 所以a n ＝2·3n －1.(2)由(1)知b n ＋1＝b n ＋2·3n －1. 当n ≥2时，b n ＝b n －1＋2·3n －2， …，b 3＝b 2＋2·31， b 2＝b 1＋2·30，将以上n －1个式子相加并整理， 得b n ＝b 1＋2×(3n －2＋…＋31＋30)＝5＋2×1－3n －11－3＝3n －1＋4.当n ＝1时，31－1＋4＝5＝b 1， 所以b n ＝3n －1＋4(n ∈N *)．第二节 等差数列及其前n 项和1．理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n＝a1＋(n－1)d.(2)前n项和公式：S n＝na1＋n n－12d＝a1＋a n n2.1．等差数列的性质已知数列{a n}是等差数列，S n是其前n项和．(1)通项公式的推广：a n＝a m＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则a k＋a l＝a m＋a n.(3)若{a n}的公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.(4)若{b n}是等差数列，则{pa n＋qb n}也是等差数列．(5)数列S m，S2m－S m，S3m－S2m，…构成等差数列．2．等差数列的四种判断方法(1)定义法：a n＋1－a n＝d(d是常数)⇔{a n}是等差数列．(2)等差中项法：2a n＋1＝a n＋a n＋2(n∈N*)⇔{a n}是等差数列．(3)通项公式：a n＝pn＋q(p，q为常数)⇔{a n}是等差数列．(4)前n项和公式：S n＝An2＋Bn(A、B为常数)⇔{a n}是等差数列．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( )(3)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( )(5)数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝n ，则数列{a n }是等差数列．( )(6)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列．( )答案： (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)× (6)√2．已知在等差数列{a n }中，a 2＝7，a 4＝15，则前10项和S 10＝( )A ．100B ．210C ．380D ．400解析： 因为a 2＝7，a 4＝15，所以d ＝4，a 1＝3，故S 10＝10×3＋12×10×9×4＝210. 答案： B3．(2014·北京海淀区期末)若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析： ∵a 1＝19，a n ＋1－a n ＝－3，∴数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列，∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n .答案： B4．(2013·重庆卷)若2，a ，b ，c,9成等差数列，则c －a ＝________.解析： 设公差为d ，∵2，a ，b ，c,9成等差数列，∴9－2＝4d ，∴d ＝74. 又∵c －a ＝2d ，∴c －a ＝2×74＝72. 答案： 725．在等差数列40,37,34，…中，第一个负数项是________． 解析： ∵a 1＝40，d ＝37－40＝－3，∴a n ＝40＋(n －1)×(－3)＝－3n ＋43，令a n ＜0，即－3n ＋43＜0，解得n ＞433， 故第一个负数项是第15项，即a 15＝－3×15＋43＝－2.答案： －2等差数列的基本运算自主练透型1．(2014·福建卷)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( )A ．8B ．10C ．12D ．14 解析： 因为S 3＝3a 1＋3×3－12d ＝3×2＋3×22d ＝12，所以d ＝2.所以a 6＝a 1＋(6－1)d ＝2＋5×2＝12.故选C ．答案： C2．(2014·天津卷)设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为________．解析： 由已知得S 1＝a 1，S 2＝a 1＋a 2＝2a 1－1，S 4＝4a 1＋4×32×(－1)＝4a 1－6，而S 1，S 2，S 4成等比数列，所以(2a 1－1)2＝a 1(4a 1－6)，整理得2a 1＋1＝0，解得a 1＝－12. 答案： －123．(2014·福建福州一模)已知等差数列{a n }，其中a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 的值为________．解析： 在等差数列{a n }中，a 2＋a 5＝2a 1＋5d ＝23＋5d ＝4，所以d＝23，又a n＝13＋23(n－1)＝33，解得n＝50.答案：504．已知a n＝－2n＋27，则a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2＝________.解析：由a n＝－2n＋27，知a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2＝n2(a1＋a3n－2)＝n2(－6n＋56)＝－3n2＋28n.答案：－3n2＋28n等差数列基本运算的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，a n，d，n，S n，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想．等差数列的判定与证明分层深化型已知数列{a n}满足：a1＝2，a n＋1＝3a n＋3n＋1－2n.设b n＝a n－2n3n.证明：数列{b n}为等差数列，并求{a n}的通项公式．证明：∵b n＋1－b n＝a n＋1－2n＋13n＋1－a n－2n3n＝3a n＋3n＋1－2n－2n＋13n＋1－3a n－3·2n3n＋1＝1，∴{b n}为等差数列，又b1＝a1－23＝0.∴b n＝n－1，∴a n＝(n－1)·3n＋2n.1．已知数列{a n}中，a1＝2，a n＝2－1a n－1(n≥2，n∈N*)．设b n＝1a n－1(n∈N*)，求证：数列{b n}是等差数列．证明：∵a n＝2－1a n－1，∴a n＋1＝2－1a n.∴b n＋1－b n＝1a n＋1－1－1a n－1＝12－1a n－1－1a n－1＝a n－1a n－1＝1，∴{b n}是首项为b1＝12－1＝1，公差为1的等差数列．2．在数列{a n}中，a1＝1,3a n a n－1＋a n－a n－1＝0(n≥2)．(1)证明数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n是等差数列；(2)求数列{a n}的通项公式．解析： (1)证明：将 3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2)整理得1a n －1a n －1＝3(n ≥2)．所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 是以1为首项，3为公差的等差数列．(2)由(1)可得1a n＝1＋3(n －1)＝3n －2， 所以a n ＝13n －2.3．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．解析： (1)证明：由题设知a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1，两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1，由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)由题设知a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得a 2＝λ－1.由(1)知，a 3＝λ＋1.令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4.故a n ＋2－a n ＝4，由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.所以a n＝2n－1，a n＋1－a n＝2，因此存在λ＝4，使得数列{a n}为等差数列．等差数列的判定方法大全(1)等差数列的判定通常有两种方法：第一种是定义法，a n－a n＝d(常数)(n≥2)；第二种方法是利用等差中项，即2a n＝a n－1－1＋a n＋1(n≥2)．(2)解答选择题和填空题时也可以用通项公式与前n项和公式直接判定．(3)若判定一个数列不是等差数列，则只需要说明某连续3项(如前三项)不是等差数列即可．等差数列的性质互动讲练型(1)设数列{a n}，{b n}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a＋b2＝100，则a37＋b37等于( )2A．0 B．37C．100 D．－37(2)(2014·北京卷)若等差数列{a n}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a<0，则当n＝________时，{a n}的前n项和最大．10(3)(2014·上海虹口二模)等差数列{a n}的通项公式为a n＝2n－8，下列四个命题．α1：数列{a n}是递增数列；α2：数列{na n}是递增数列；α3：数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n n 是递增数列；α4：数列{a 2n }是递增数列．其中真命题是________．解析： (1)设{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2，则(a n ＋1＋b n ＋1)－(a n ＋b n )＝(a n ＋1－a n )＋(b n ＋1－b n )＝d 1＋d 2，∴{a n ＋b n }为等差数列，又a 1＋b 1＝a 2＋b 2＝100，∴{a n ＋b n }为常数列，∴a 37＋b 37＝100.(2)由等差数列的性质可得a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，即a 8>0；而a 7＋a 10＝a 8＋a 9<0，故a 9<0.所以数列{a n }的前8项和最大．(3)由已知a n ＝2n －8可知等差数列{a n }的公差d 为2， ∴{a n }是递增数列，命题α1正确；而na n ＝2n 2－8n ＝2(n －2)2－8，易知数列{na n }不是递增数列，命题α2错误；a n n ＝2－8n，易证数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n n 是递增数列，命题α3正确；a 2n ＝4(n －4)2，有a 21>a 22>a 23>a 24<a 25<a 26<…，∴{a 2n }不是递增数列，命题α4错误．综上，真命题是α1，α3.答案： (1)C (2)8 (3)α1，α31．等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则2a 9－a 10的值是( )A ．20B ．22C ．24D ．－8解析：∵a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，∴a8＝24，∴2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24.答案： C2．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S10＝10，S20＝30，则S30＝________.解析：∵S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，且S10＝10，S20＝30，S20－S10＝20，∴S30－30＝10＋2×10＝30，∴S30＝60.答案：603．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知前6项和为36，最后6项的和为180，S n＝324(n>6)，则数列{a n}的项数n＝________.解析：由题意知a1＋a2＋…＋a6＝36，①a n＋a n－1＋a n－2＋…＋a n－5＝180，②①＋②得(a1＋a n)＋(a2＋a n－1)＋…＋(a6＋a n－5)＝6(a1＋a n)＝216，∴a1＋a n＝36，又S n＝n a1＋a n2＝324，∴18n＝324，∴n＝18.答案：184．在等差数列{a n}中，已知a1＝20，前n项和为S n，且S10＝S15，求当n取何值时，S n取得最大值，并求出它的最大值．解析： 法一：∵a 1＝20，S 10＝S 15， ∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，∴d ＝－53.∴a n ＝20＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－53＝－53n ＋653.∴a 13＝0.即当n ≤12时，a n >0，n ≥14时，a n <0.∴当n ＝12或13时，S n 取得最大值，且最大值为S 12＝S 13＝12×20＋12×112×⎝⎛⎭⎪⎪⎫－53＝130. 法二：同方法一求得d ＝－53.∴S n ＝20n ＋n n －12·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－53＝－56n 2＋1256n＝－56⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫n －2522＋3 12524.∵n ∈N *，∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130.等差数列的最值的处理方法：(1)利用S n ＝an 2＋bn 转化为二次函数求最值时要注意n 的取值．(2)若{a n }是等差数列，求其前n 项和的最值时，①若a 1＞0，d ＜0，且满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1<0，前n 项和S n 最大．②若a 1＜0，d ＞0，且满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0a n ＋1>0，前n 项和S n 最小．A 级 基础训练1．(2014·海淀质检)等差数列{a n }中，a 2＝3，a 3＋a 4＝9，则a 1a 6的值为( )A ．14B ．18C ．21D ．27解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝3，2a 1＋5d ＝9，由此解得d ＝1，a 1＝2，a 6＝a 1＋5d ＝7，a 1a 6＝14.答案： A2．(2014·陕西五校三模)等差数列{a n }中，如果a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则数列{a n }前9项的和为( )A ．297B ．144C ．99D ．66解析： 由等差数列的性质可知，2(a 2＋a 5＋a 8)＝(a 1＋a 4＋a 7)＋(a3＋a6＋a9)＝39＋27＝66，∴a2＋a5＋a8＝33，则数列{a n}前9项的和为66＋33＝99.答案： C3．(2014·河北唐山一中调研)已知等差数列{a n}中，a7＋a9＝16，S11＝992，则a12的值是( )A．15 B．30C．31 D．64解析：由题意可知2a8＝a7＋a9＝16⇒a8＝8，S11＝11a1＋a112＝11×2a62＝11a6＝992，a6＝92，则d＝a8－a62＝74，所以a12＝a8＋4d＝15，故选A．答案： A4．(2014·安徽六校联考)数列{a n}的首项为3，{b n}为等差数列，且b n＝a n＋1－a n(n∈N*)，若b3＝－2，b10＝12，则a8＝( ) A．0 B．3C．8 D．11解析：设{b n}的公差为d，∵b10－b3＝7d＝12－(－2)＝14，∴d＝2.∵b3＝－2，∴b1＝b3－2d＝－2－4＝－6.∴b 1＋b 2＋…＋b 7＝7b 1＋7×62·d ＝7×(－6)＋21×2＝0.又b 1＋b 2＋…＋b 7＝(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a 8－a 7)＝a 8－a 1＝a 8－3＝0，∴a 8＝3.故选B ．答案： B5．(2014·辽宁鞍山检测)已知S n 表示数列{a n }的前n 项和，若对任意的n ∈N *满足a n ＋1＝a n ＋a 2，且a 3＝2，则S 2 014＝( )A ．1 006×2 013B ．1 006×2 014C ．1 007×2 013D ．1 007×2 014解析： 在a n ＋1＝a n ＋a 2中，令n ＝1，则a 2＝a 1＋a 2，a 1＝0，令n ＝2，则a 3＝2＝2a 2，a 2＝1，于是a n ＋1－a n ＝1，故数列{a n }是首项为0，公差为1的等差数列，S 2 014＝2 014×2 0132＝1 007×2 013.故选C ．答案： C6．(2014·江苏连云港二调)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－3，a k ＋1＝32，S k ＝－12，则正整数k ＝________.解析： 由S k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝－12＋32＝－212，又S k ＋1＝k ＋1a 1＋a k ＋12＝k ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－3＋322＝－212，解得k＝13.答案：137．设数列{a n}的通项公式为a n＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________.解析：由a n＝2n－10(n∈N*)知{a n}是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n＝2n－10≥0得n≥5，∴当n≤5时，a n≤0，当n＞5时，a n＞0，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋…＋a15)＝20＋110＝130.答案：1308．设等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，若对任意自然数n都有S nT n＝2n－34n－3，则a9b5＋b7＋a3b8＋b4的值为________．解析：∵{a n}，{b n}为等差数列，∴a9b5＋b7＋a3b8＋b4＝a92b6＋a32b6＝a9＋a32b6＝a6b6.∵S11T11＝a1＋a11b1＋b11＝2a62b6＝2×11－34×11－3＝1941，∴a6b6＝1941.答案：19 419．各项均为正数的数列{a n}满足a2n＝4S n－2a n－1(n∈N*)，其中S n为{a n}的前n项和．(1)求a1，a2的值；(2)求数列{a n}的通项公式．解析：(1)当n＝1时，a21＝4S1－2a1－1，即(a1－1)2＝0，解得a1＝1.当n＝2时，a22＝4S2－2a2－1＝4a1＋2a2－1＝3＋2a2，解得a2＝3或a2＝－1(舍去)．(2)a2n＝4S n－2a n－1，①a2n＝4S n＋1－2a n＋1－1.②＋1②－①得a2n＋1－a2n＝4a n＋1－2a n＋1＋2a n＝2(a n＋1＋a n)，即(a n＋1－a n)(a n＋1＋a n)＝2(a n＋1＋a n)．∵数列{a n}各项均为正数，∴a n＋1＋a n＞0，a n＋1－a n＝2，∴数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列．∴a n＝2n－1.10．(2014·湖北卷)已知等差数列{a n}满足：a1＝2，且a1，a2，a成等比数列．5(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记S n为数列{a n}的前n项和，是否存在正整数n，使得S n>60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．解析：(1)设等差数列{a n}的公差为d.∵a1，a2，a5成等比数列，∴a22＝a1a5，即(a1＋d)2＝a1(a1＋4d)，解得d＝0或d＝4.∴a n＝2或a n＝4n－2.(2)当a n＝2时，S n＝2n.由2n>60n＋800及n∈N*得n无解；当a n＝4n－2时，S n＝n a1＋a n2＝2n2，由2n2>60n＋800得n>40.∵n∈N*，∴n的最小值为41.B级能力提升1．数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝r·a n＋r(n∈N*，r∈R且r≠0)，则“r＝1”是“数列{a n}为等差数列”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：当r＝1时，易知数列{a n}为等差数列；由题意易知a2＝2r，a3＝2r2＋r，当数列{a n}是等差数列时，a2－a1＝a3－a2，即2r－1＝2r2－r，解得r＝12或r＝1，当r＝12时，a n＝1，故“r＝1”是“数列{a n}为等差数列”的充分不必要条件，选A．答案： A2．已知数列{a n}是首项为a，公差为1的等差数列，b n＝1＋a n a n，若对任意的n∈N*，都有b n≥b8成立，则实数a的取值范围为________．解析： 依题意得b n ＝1＋1a n，对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8，即数列{b n }的最小项是第8项，于是有1a n ≥1a 8.又数列{a n }是公差为1的等差数列，因此有⎩⎪⎨⎪⎧a 8<0a 9>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7<0a ＋8>0，由此解得－8<a <－7，即实数a 的取值范围是(－8，－7)． 答案： (－8，－7)3．已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝10，S 6＝72，若b n ＝12a n －30，设数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n 的最小值．解析： ∵2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，∴a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1. 故数列{a n } 为等差数列．设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由a 3＝10，S 6＝72得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝106a 1＋15d ＝72，解得a 1＝2，d ＝4.∴a n ＝4n －2，则b n ＝12a n －30＝2n －31，令⎩⎪⎨⎪⎧b n ≤0b n ＋1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧2n －31≤02n ＋1－31≥0，解得292≤n ≤312，∵n ∈N *，∴n ＝15，即数列{b n}的前15项均为负值，∴T15最小．∵数列{b n}的首项是－29，公差为2，∴T15＝15－29＋2×15－312＝－225，∴数列{b n}的前n项和T n的最小值为－225.4．设同时满足条件：①b n＋b n＋22≤b n＋1(n∈N*)；②b n≤M(n∈N*，M是与n无关的常数)的无穷数列{b n}叫“特界”数列．(1)若数列{a n}为等差数列，S n是其前n项和，a3＝4，S3＝18，求S n；(2)判断(1)中的数列{S n}是否为“特界”数列，并说明理由．解析：(1)设等差数列{a n}的公差为d，则a1＋2d＝4，S3＝a1＋a2＋a3＝3a1＋3d＝18，解得a1＝8，d＝－2，∴S n＝na1＋n n－12d＝－n2＋9n.(2){S n}是“特界”数列，理由如下：由S n＋S n＋22－S n＋1＝S n＋2－S n＋1－S n＋1－S n2＝a n＋2－a n＋12＝d2＝－1＜0，得S n ＋S n ＋22＜S n ＋1，故数列{S n }适合条件①.而S n ＝－n 2＋9n ＝－⎝⎛⎭⎪⎪⎫n －922＋814(n ∈N *)，则当n ＝4或5时，S n 有最大值20， 即S n ≤20，故数列{S n }适合条件②. 综上，数列{S n }是“特界”数列．第三节 等比数列及其前n 项和1．理解等比数列的概念．2．掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．了解等比数列与指数函数的关系．1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q .(2)等比中项：如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .2．等比数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1.a 11－q n 1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.1．等比数列的性质已知数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和． (1)若m ＋n ＝p ＋q ＝2r ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2r .(2)若数列{a n }、{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }、⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 、{a 2n }、{a n ·b n }、⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n b n (λ≠0)仍然是等比数列． (3)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k .(4)公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n ，当公比为－1时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 不一定构成等比数列．2．等比数列的三种判定方法(1)定义：a n ＋1a n＝q (q 是不为零的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．(2)通项公式：a n ＝cq n －1(c 、q 均是不为零的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．(3)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列．( )(2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( )(3)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( )(4)如果{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( )答案： (1)× (2)× (3)× (4)×2．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为( )A ．63B ．64C ．127D ．128解析：由a1＝1，a5＝16，得q4＝a5a1＝16(q>0)，q＝2，S7＝a11－q71－q＝127.答案： C3．(2014·重庆卷)对任意等比数列{a n}，下列说法一定正确的是( )A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列解析：设等比数列的公比为q，因为a6a3＝a9a6＝q3，即a26＝a3a9，所以a3，a6，a9成等比数列．故选D．答案： D4．在等比数列{a n}中，已知a7·a12＝5，则a8a9a10a11＝________.解析：∵a7a12＝5，∴a8a9a10a11＝(a8a11)(a9a10)＝(a7a12)2＝25.答案：255．设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2＋a5＝0，则S5 S2＝________.解析：∵8a2＋a5＝0，∴8a2＝－a5，即a5a2＝－8.∴q3＝－8，∴q＝－2.∴S5S2＝a11－q51－qa11－q21－q＝1－q51－q2＝1－－251－－22＝－11.答案：－11等比数列的基本运算自主练透型1．(2014·北京朝阳一模)在各项均为正数的等比数列{a n}中，a1＝2，a2＋a3＝12，则该数列的前4项和为________．解析：设等比数列{a n}的公比为q，由a1＝2，a2＋a3＝12，则a1q＋a1q2＝12，解得q＝2，故S4＝2×1－241－2＝30.答案：302．(2014·扬州中学期中测试)设等比数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，若a1＝1，a3＝4，S k＝63，则k＝________.解析：设等比数列{a n}公比为q，由已知a1＝1，a3＝4，得q2＝a3a1＝4.又{a n}的各项均为正数，∴q＝2.而S k＝1－2k1－2＝63，∴2k －1＝63，解得k＝6.答案： 63．已知等比数列{a n}为递增数列，且a25＝a10,2(a n＋a n＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n}的通项公式a n＝________.解析： 设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，∵a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 21·q 8＝a 1·q 9， ①21＋q 2＝5q ， ②由①得a 1＝q ，由②知q ＝2或q ＝12， 又数列{a n }为递增数列，∴a 1＝q ＝2，从而a n ＝2n .答案： 2n4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，求a n 和S n .解析： 设{a n }的公比为q ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q ＝6，6a 1＋a 1q 2＝30， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝3q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2q ＝3，当a 1＝3，q ＝2时，a n ＝3×2n －1，S n ＝3×(2n －1)；当a 1＝2，q ＝3时，a n ＝2×3n －1，S n ＝3n －1.1.等比数列基本运算方法(1)使用两个公式，即通项公式和前n 项和公式．(2)使用通项公式的变形：a n ＝a m q n －m (m ，n ∈N *)．2．等比数列前n 项和公式的应用在使用等比数列前n 项和公式时，应首先判断公比q 能否为1，若能，应分q ＝1与q ≠1两种情况求解． 等比数列的判定与证明分层深化型 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋S n ＝n .(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式．解析： (1)证明：∵a n ＋S n ＝n ，①∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1.②②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(a n ＋1－1)＝a n －1，∴a n ＋1－1a n －1＝12. ∵首项c 1＝a 1－1，又a 1＋a 1＝1，∴a 1＝12，c 1＝－12. 又c n ＝a n －1，故{c n }是以－12为首项，12为公比的等比数列． (2)由(1)知c n ＝－12×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n ∴a n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n .1．已知数列{a n }的首项a 1＝5，前n 项和为S n ，且S n ＋1＝2S n ＋n ＋5(n ∈N *)．证明数列{a n ＋1}是等比数列．证明： 由已知S n ＋1＝2S n ＋n ＋5(n ∈N *)可得当n ≥2时，S n ＝2S n －1＋n ＋4，两式相减得S n ＋1－S n ＝2(S n －S n －1)＋1，即a n ＋1＝2a n ＋1，从而a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，当n ＝1时，S 2＝2S 1＋1＋5，即a 2＋a 1＝2a 1＋6，又a 1＝5，所以a 2＝11，从而a 2＋1＝2(a 1＋1)．故a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，对n ∈N *恒成立，又a 1＝5，a 1＋1≠0，从而a n ＋1＋1a n ＋1＝2. 所以数列{a n ＋1}是等比数列．2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝1，S 11＝33.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14a n ， 求证：{b n }是等比数列，并求其前n 项和T n .解析： (1)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝111a 1＋11×102d ＝33，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝12d ＝12，∴a n ＝n2.(2)证明：∵b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n ， ∴b n ＋1b n ＝12为常数． ∴{b n }是以12为首项，12为公比的等比数列， ∴T n ＝12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n 1－12＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n .3．已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝λ，a n ＋1＝23a n ＋n －4，b n ＝(－1)n (a n －3n ＋21)，其中λ为实数，n 为正整数．(1)证明：对任意实数λ，数列{a n }不是等比数列；(2)证明：当λ≠－18时，数列{b n }是等比数列．证明： (1)假设存在一个实数λ，使{a n }是等比数列，则有a 22＝a 1a 3，即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23λ－32＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫49λ－4 ⇔49λ2－4λ＋9＝49λ2－4λ⇔9＝0，矛盾． 所以{a n }不是等比数列．(2)b n ＋1＝(－1)n ＋1[a n ＋1－3(n ＋1)＋21]＝(－1)n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23a n －2n ＋14 ＝－23(－1)n ·(a n －3n ＋21)＝－23b n . 又λ≠－18，所以b 1＝－(λ＋18)≠0.由上式知b n ≠0，所以b n ＋1b n ＝－23(n ∈N *)． 故当λ≠－18时，数列{b n }是以－(λ＋18)为首项，－23为公比的等比数列．等比数列的判断与证明的常用方法(1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a n a n －1＝q (q 为非零常数，且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列；(2)中项公式法：若数列{a n }中，a n ≠0，且a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列；(3)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定某连续三项不成等比数列即可．等比数列的性质互动讲练型(1)(2014·山东淄博期末)已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3a 9＝2a 25，a 2＝2，则a 1＝( )A ．12B ．22C． 2 D．2(2)(2014·广东珠海质量监测)等比数列{a n}共有奇数项，所有奇数项和S奇＝255，所有偶数项和S偶＝－126，末项是192，则首项a1＝( )A．1 B．2C．3 D．4解析：(1)由等比数列的性质得a3a9＝a26＝2a25，∵q>0，∴a6＝2a5，q＝a6a5＝2，a1＝a2q＝2，故选C．(2)设等比数列{a n}共有2k＋1(k∈N*)项，则a2k＋1＝192，则S奇＝a1＋a3＋…＋a2k－1＋a2k＋1＝1q(a2＋a4＋…＋a2k)＋a2k＋1＝1q S偶＋a2k＋1＝－126q＋192＝255，解得q＝－2，而S奇＝a1－a2k＋1q21－q2＝a1－192×－221－－22＝255，解得a1＝3，故选C．答案：(1)C (2)C1．(2014·北京丰台一模)已知等比数列{a n}中，a2＋a3＝1，a4＋a5＝2，则a6＋a7等于( )A．2 B．2 2C．4 D．4 2。

2016版2018-2019学年度《一点一练》高考数学(理科)专题演练：第五章数列(含两年高考一年模拟)

2016版2018-2019学年度《一点一练》高考数学(理科)专题演练：第五章数列(含两年高考一年模拟)

6． (2015 ・ 广东 )在等差数列 { an } 中，若 a3 ＋ a4 ＋ a5＋ a6＋ a7＝ 25，
则 a2＋ a8＝ ________． 7． (2014 ・ 江西 )在等差数列 { an } 中， a1 ＝ 7，公差为 d，前 n 项和 为 Sn， 当且仅当 n＝ 8 时 Sn 取得最大值，则 d 的取值范围为 ________． 8．(2014 ・ 北京 )若等差数列 { an } 满足 a7＋ a8＋ a9 >0，a7 ＋ a10<0，则 当 n＝ ________时， { an } 的前 n 项和最大． 9． (2014 ・ 湖北 )已知等差数列 { an} 满足： a1＝ 2，且 a1， a2， a5 成 等比数列． (1) 求数列 { an } 的通项公式； (2) 记 Sn 为数列 { an} 的前 n 项和，是否存在正整数 n，使得 Sn>60n ＋ 800？若存在，求 n 的最小值；若不存在，说明理由．
an＋ an ＋ 1 ＜ an ， n∈ N ＋ ，则 { an } 为递 4． (2014 ・ 陕西 )原命题为“若 2 减数列”，关于其逆命题， 否命题，逆否命题真假性的判断依次如下， 正确的是 ( ) B ．假，假，真 D ．假，假，假
A ．真，真，真 C ．真，真，假
5． (2014 ・ 辽宁 )设等差数列 { an } 的公差为 d.若数列 {2 a1an} 为递减 数列，则 ( A ． d<0 C ． a1d<0 ) B ． d>0 D ． a1 d>0
2
C． 63
2． (2015 ・ 福建 )若 a， b 是函数 f(x) ＝ x － px＋ q(p＞ 0， q＞ 0) 的两 个不同的零点，且 a，b，－ 2 这三个数可适当排序后成等差数列，也 可适当排序后成等比数列，则 A ．6 B． 7 C． 8 p＋ q 的值等于 ( )

三年高考两年模拟(浙江版)高考数学一轮复习第五章数列5.2等差数列及其前n项和知能训练

三年高考两年模拟(浙江版)高考数学一轮复习第五章数列5.2等差数列及其前n项和知能训练

§5.2等差数列及其前n项和Ａ组基础题组1.(2015课标Ⅰ,7,5分)已知{a n}是公差为1的等差数列,S n为{a n}的前n项和.若S8=4S4,则a10=( )A. B. C.10 D.122.(2015浙江五校一联,2,5分)在等差数列{a n}中,a4=2-a3,则数列{a n}的前6项和为( )A.12B.3C.36D.63.(2016超级中学原创预测卷五,3,5分)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且S10=12,则a5+a6=( )A. B.12 C.6 D.5.(2015浙江宁波十校联考,3)已知等差数列{a n}的公差为2,项数为偶数,所有奇数项的和为15,所有偶数项的和为25,则这个数列的项数为( )A.10B.20C.30D.406.(2015浙江测试卷,2,5分)设等差数列{a n}的前n项和为S n.若公差d<0,且|a7|=|a8|,则使S n>0的最大正整数n是( )A.12B.13C.14D.157.(2015金华十校高三模拟文,4,5分)设等差数列{a n}的前n项和为S n,且满足S19>0,S20<0,则使S n取得最大值的n为( )A.8B.9C.10D.118.(2015绍兴一中回头考,6,5分)设等差数列{a n}的前n项和为S n,且满足S15>0,S16<0,则,,…,中最大的项为( )A. B. C. D.9.(2015浙江杭州塘栖中学月考)已知S n为等差数列{a n}的前n项和,若S1=1,=4,则的值为( )A. B. C. D.410.(2015浙江,3,5分)已知{a n}是等差数列,公差d不为零,前n项和是S n.若a3,a4,a8成等比数列,则( )A.a1d>0,dS4>0B.a1d<0,dS4<0C.a1d>0,dS4<0D.a1d<0,dS4>011.(2016上海普陀调研测试,17,5分)设等差数列{a n}的前n项和为S n.在同一个坐标系中,a n=f(n)及S n=g(n)的部分图象如图所示(图中的三个点).根据图中所提供的信息,下列结论正确的是( )A.当n=3时,S n取得最大值B.当n=4时,S n取得最大值C.当n=3时,S n取得最小值D.当n=4时,S n取得最小值12.(2015安徽,13,5分)已知数列{a n}中,a1=1,a n=a n-1+(n≥2),则数列{a n}的前9项和等于.13.(2015浙江测试卷,10,6分)设等差数列{a n}的公差为6,且a4为a2和a3的等比中项.则a1= ,数列{a n}的前n项和S n= .14.(2015稽阳联考,10,6分)在等差数列{a n}中,若a4+a10=10,a6+a12=14,a k=13,则k= ;数列{a n}的前n项和S n= .15.(2015嘉兴一模,11,4分)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且a7=-2,S9=18,则S11= .16.(2015浙江萧山中学摸底测试)正项数列{a n}满足:a1=1,a2=2,2=+(n∈N*,n≥2),则a7= .17.(2015嘉兴测试一,12,6分)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a2+a4+a9=24,则S9= ;·的最大值为.18.(2015浙江五校一联,15,4分)设a1,a2,…,a n,…是按先后顺序排列的一列向量,若a1=(-2014,13),且a n-a n-1=(1,1),则其中模最小的一个向量的序号n= .19.(2014浙江,19,14分)已知等差数列{a n}的公差d>0.设{a n}的前n项和为S n,a1=1,S2·S3=36.(1)求d及S n;(2)求m,k(m,k∈N*)的值,使得a m+a m+1+a m+2+…+a m+k=65.20.(2016台州中学第三次月考文,17,15分)设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n,满足4S n=-4n-1,n∈N*,且a1=1.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)证明:对一切正整数n,有++…+<.B组提升题组1.(2014课标Ⅱ,5,5分)等差数列{a n}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{a n}的前n项和S n=( )A.n(n+1)B.n(n-1)C. D.2.(2016超级中学原创预测卷八,6,5分)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若a n+a n+1+a n+2=18,S2n+1=54,则n的值为( )A.2B.3C.4D.63.(2016温州高三联考,6,5分)等差数列{a n}的前n项和为S n,其中n∈N*,则下列命题错误的是( )A.若a n>0,则S n>0B.若S n>0,则a n>0C.若a n>0,则{S n}是单调递增数列D.若{S n}是单调递增数列,则a n>04.(2015浙江杭州学军中学第五次月考,7)设等差数列{a n}满足<-1,且其前n项的和S n有最大值,则当数列{S n}的前n项的和取得最大值时,正整数n的值是( )A.12B.11C.23D.225.(2015浙江名校(衢州二中)交流卷二,4)等差数列{a n}中,a1>0,3a8=5a13,则前n项的和S n中最大的是( )A.S10B.S11C.S20D.S216.(2015浙江温州十校期中,7)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S6>S7>S5,则满足S n S n+1<0的正整数n的值为( )A.13B.12C.11D.107.(2015诸暨高中毕业班检测,5,5分)已知数列{a n}、{b n}都是公差为1的等差数列,b1是正整数,若a1+b1=10,则++…+=( )A.81B.99C.108D.1178.(2015杭州学军中学仿真考,11,6分)已知{a n}为等差数列,若a1+a5+a9=8π,则前9项的和S9= ,cos(a3+a7)的值为.9.(2015江苏淮安调研)在等差数列{a n}中,已知a2+a8=11,则3a3+a11的值为.10.(2015宁波高考模拟,12,6分)设S n为数列{a n}的前n项和,a1=1,a2=3,S k+2+S k-2S k+1=2对任意正整数k成立,则a n= ,S n= .11.(2015浙江镇海中学阶段测试,15,4分)已知数列{a n}满足:a1=,a n+1=1-,且a n≠0(n∈N*),则数列{a n}的通项为a n= .12.(2016宁波效实中学期中,11,6分)数列{a n}的前n项和S n=n2-6n,则a2= ,数列{|a n|}的前10项和|a1|+|a2|+…+|a10|= .13.(2015浙江名校(杭州二中)交流卷六,12)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,等差数列{b n}的前n项和为T n,若=,则= ;若S n+T n=an2+2n,且a7+b7=15,则实数a= .14.已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n,若-1,S5,S10成等差数列,则S10-2S5= ,S15-S10的最小值为.15.(2016台州中学第三次月考,13,4分)设等差数列{a n}的前n项和为S n,且满足S2014>0,S2015<0,对任意正整数n,都有|a n|≥|a k|,则k的值为.16.(2013安徽,14,5分)如图,互不相同的点A1,A2,…,A n,…和B1,B2,…,B n,…分别在角O的两条边上,所有A n B n相互平行,且所有梯形A n B n B n+1A n+1的面积均相等.设OA n=a n.若a1=1,a2=2,则数列{a n}的通项公式是.17.(2014大纲全国,17,10分)数列{a n}满足a1=1,a2=2,a n+2=2a n+1-a n+2.(1)设b n=a n+1-a n,证明{b n}是等差数列;(2)求{a n}的通项公式.18.(2015浙江丽水一模,17)已知等差数列{a n},首项a1和公差d均为整数,其前n项和为S n.(1)若a1=1,且a2,a4,a9成等比数列,求公差d;(2)当n≠5时,恒有S n<S5,求a1的最小值.19.(2015浙江杭州七校联考,19)已知数列{a n}满足a n=3a n-1+3n-1(n∈N*,n≥2)且a3=95.(1)求a1,a2的值;(2)是否存在一个实数t,使得b n=(a n+t)(n∈N*)且{b n}为等差数列?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;(3)求数列{a n}的前n项和T n.Ａ组基础题组1.B 由S8=4S4得8a1+×1=4×,解得a1=,∴a10=a1+9d=,故选B.2.D 由等差数列性质可知a3+a4=2=a1+a6,故S6==3(a1+a6)=6,故选D.3.A 由于S10==5(a5+a6)=12,所以a5+a6=,故选A.4.D S9-S6=a7+a8+a9=27,得a8=9,所以d==,a1=a3-2d=,故选D.5.A 设项数为2k,则由(a2+a4+…+a2k)-(a1+a3+…+a2k-1)=k×2=25-15,得k=5,故这个数列的项数为10.故选A.6.B 由d=a8-a7<0及|a7|=|a8|,得a8=-a7且a8<0,a7>0.则S13=×13=13a7>0,S15=×15=15a8<0,又S14=×14=7(a7+a8)=0,则使S n>0的最大正整数n是13.7.C 因为{a n}是等差数列,所以S19=19a10>0,S20=10(a10+a11)<0,则a10>0,a11<0,即(S n)max=S10,故选C.8.C因为S15>0,故15a8>0,即a8>0.因为S16<0,故<0,即a9<0,故该等差数列中a1>a2>…>a8>0>a9>…,0<S1<S2<…<S8>S9>…>S15>0,故,,…,中,最大项为,故选C.9.A 由=4得=3,即S4-S2=3S2,S4=4S2,由等差数列的性质可知S2,S4-S2,S6-S4成等差数列,得S6-S4=5S2,所以S6=9S2,所以=.10.B由=a3a8,得(a1+2d)(a1+7d)=(a1+3d)2,整理得d(5d+3a1)=0,又d≠0,∴a1=-d,则a1d=-d2<0,又∵S4=4a1+6d=-d,∴dS4=-d2<0,故选B.11.B 不妨记A(7,0.7),B(7,-0.8),C(8,-0.4),a n=f(n)是关于n的一次函数;S n=g(n)是关于n的二次函数且常数项为0.若A,C或B,C为a n=f(n)的图象上两点,计算可知S n=g(n)的图象不过第三点.若S n=g(n)的图象过B,C两点也不满足题意.若S n=g(n)的图象过A,C两点,即S7=0.7,S8=-0.4,则计算可知a1=1,d=-0.3,a n=1.3-0.3n,a7=-0.8,符合题意,且a4>0,a5<0,故选B.12.答案27解析由题意得{an}为等差数列,且公差d=,∵a1=1,∴S9=9×1+×=27.13.答案-14;3n2-17n解析依条件有(a1+6)(a1+12)=,得a1=-14,则S n=-14n+n(n-1)×6=3n2-17n.14.答案15;解析因为a4+a10=2a7=10,所以a7=5,同理得a9=7,所以a n=n-2,则a k=k-2=13,得k=15.a1=1-2=-1,所以S n===.15.答案0解析设等差数列的首项和公差分别为a1,d,则有解得d=-2,a1=10,故S11=11×10+×(-2)=0.16.答案解析因为2=+(n∈N*,n≥2),所以数列{}是以=1为首项,d=-=4-1=3为公差的等差数列,所以=1+3(n-1)=3n-2,所以a n=,所以a7==.17.答案72;64解析设等差数列的公差为d,则a2+a4+a9=3a1+12d=24,即a1+4d=8,所以S9=9a1+36d=9×8=72.==a1+d=8-4d+d,则=8-4d+d=8-,=8-4d+d=8+,·==64-≤64,当且仅当d=0时取等号,所以·的最大值为64.18.答案1001或1002解析因为故a n=(n-2015,n+12),故|a n|==.由二次函数性质可知当n==1001时,|a n|有最小值,又n∈N*,故n=1001或n=1002.19.解析(1)由题意知(2a 1+d)(3a1+3d)=36,将a1=1代入上式解得d=2或d=-5.因为d>0,所以d=2.从而a n=2n-1,S n=n2(n∈N*).(2)由(1)得a m+a m+1+a m+2+…+a m+k=(2m+k-1)(k+1),所以(2m+k-1)(k+1)=65.由m,k∈N*知2m+k-1≥k+1>1,故所以20.解析(1)由a1=1,a n>0,4S n=-4n-1,n∈N *,得a2=3.当n≥2时,4S n-1=-4(n-1)-1,则4a n=4S n-4S n-1=--4,=+4a n+4=(a n+2)2,∵a n>0,∴a n+1=a n+2,∴当n≥2时,{a n}是公差d=2的等差数列. ∴{a n}是首项a1=1,公差d=2的等差数列.∴数列{a n}的通项公式为a n=2n-1.(2)证明:++…+=+++…+=·+++…+-=·<.B组提升题组1.A ∵a2,a4,a8成等比数列,∴=a2·a8,即(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),将d=2代入上式,解得a1=2,∴S n=2n+=n(n+1),故选A.2.C设{a n}的公差为d,由已知可得a1+(n-1)d+a1+nd+a1+(n+1)d=18,可得a1+nd=6,又S2n+1==54,即=54,得2n+1=9,故n=4,选C.3.D 易判断A、B、C均正确.D中,可取a1<0,公差d>0.4.D ∵等差数列{a n}前n项的和S n有最大值,∴{a n}的公差是负数.∵<-1,∴a12<0,∴a11>-a12,即a11+a12>0,∴S22==>0,S23==23a12<0.∴前22项的和最大.故选D.5.C 设{a n}的公差为d,3a8=5a13⇒3(a1+7d)=5(a1+12d)⇒d=-a1,又a1>0,所以d<0.所以{a n}是单调递减数列.由a n=a1+(n-1)= a1>0⇒n≤20.由此可得当n=20时,S n最大.故选C.6.B 由S6>S7>S5,得a7=S7-S6<0,a6=S6-S5>0,a6+a7=S7-S5>0.从而有S13=×13=13a7<0,S11=×11=11a6>0,S12=×12=6(a6+a7)>0,所以n≤12时,S n>0;n≥13时,S n<0,故S12S13<0,故选B.7.D设{a n}的公差为d1,{b n}的公差为d2.因为a n=a1+(n-1)×d1=a1+n-1,b n=b1+(n-1)×d2=b1+n-1,所以-=a1+b n-1-(a1+b n-1-1)=b n-b n-1=1,所以{}是以a1+b1-1=9为首项,公差为1的等差数列,所以++…+=9×9+×1=117,故选D.8.答案24π;-解析因为{an}是等差数列,所以a1+a5+a9=3a5=8π,所以a5=π,所以S9===9×π=24π,cos(a3+a7)=cos2a5=cosπ=cosπ=-.9.答案22解析由等差数列的性质知3a3+a11=2a3+a3+a11=2a3+2a7=2(a2+a8)=22.10.答案2n-1;n2解析因为Sk+2+S k-2S k+1=2,所以a k+2-a k+1=2,又a2-a1=2,故数列{a n}为等差数列.又a1=1,故a n=2n-1,故S n==n2.11.答案解析∵an+1=1-=,且a n≠0,∴-=1,故数列是首项为4,公差为1的等差数列.则=4+(n-1)×1=n+3,即a n=.12.答案-3;58解析 a2=S 2-S 1=-3.由S n =n 2-6n 可得a n =2n-7,所以a 1<a 2<a 3<0<a 4<…<a 10,所以|a 1|+|a 2|+…+|a 10|=S 10-2S 3=58. 13.答案 ;1解析 ====;a7+b 7=S 7+T 7-(S 6+T 6)=72a+2×7-(62a+2×6)=13a+2=15⇒a=1. 14.答案 1;4解析 由题意知2S5=-1+S 10,所以S 10-2S 5=1,由{a n }为等比数列可知S 5,S 10-S 5,S 15-S 10成等比数列,所以(S 10-S 5)2=S 5(S 15-S 10),S 15-S 10===+S 5+2≥4,当且仅当S 5=1时,等号成立. 15.答案 1008解析 因为S2014>0,所以a 1+a 2014=a 1007+a 1008>0.因为S 2015<0,所以a 1+a 2015=2a 1008<0,因此d<0,且a 1>a 2>…>a 1007>0>a 1008>a 1009>…,显然|a 1009|>|a 1008|,|a 1007|>|a 1008|,所以k=1008. 16.答案 a n =解析 记△OA1B 1的面积为S,则△OA 2B 2的面积为4S. 从而四边形A n B n B n+1A n+1的面积均为3S. 可得△OA n B n 的面积为S+3(n-1)S=(3n-2)S. ∴=3n-2,即a n =.17.解析 (1)证明:由a n+2=2a n+1-a n +2得, a n+2-a n+1=a n+1-a n +2,即b n+1=b n +2. 又b 1=a 2-a 1=1.所以{b n }是首项为1,公差为2的等差数列.(5分) (2)由(1)得b n =1+2(n-1),即a n+1-a n =2n-1.(8分) 于是所以a n+1-a 1=n 2,即a n+1=n 2+a 1.又a 1=1,所以{a n }的通项公式为a n =n 2-2n+2.(10分) 18.解析 (1)由题意得=a 2·a 9, 所以(1+3d)2=(1+d)·(1+8d),(4分) 解得d=0或d=3.(6分) (2)∵当n ≠5时,S n <S 5恒成立, ∴S 5最大且d<0,由⇒ ∴⇒-4d<a 1<-5d.(10分) 又∵a 1,d ∈Z,d<0,∴当d=-1时,4<a 1<5,此时a 1不存在;(12分) 当d=-2时,8<a 1<10,则a 1=9;当d=-3时,12<a 1<15,则a 1=13或a 1=14; ……易知当d ≤-3时,a 1>9.(14分) 综上,a 1的最小值为9.(15分) 19.解析 (1)当n=2时,a 2=3a 1+8. 当n=3时,a 3=3a 2+26=95, ∴a 2=23,∴23=3a 1+8,∴a 1=5.(2)存在.当n≥2时,b n-b n-1=(a n+t)-(a n-1+t)=(a n+t-3a n-1-3t)=(3n-1-2t)=1-.要使{b n}为等差数列,则必须使1+2t=0,解得t=-,∴存在t=-,使得{b n}为等差数列.(3)因为当t=-时,{b n}为等差数列,且b n-b n-1=1(n≥2),b1=, 所以b n=+(n-1)×1=n+,所以a n=·3n+=n·3n+×3n+,所以a1=1×3+×3+,a2=2×32+×32+,a3=3×33+×33+,……所以T n=+=.。

一点一练高考数学 第五章 数 列专题演练 文(含两年高考一年模拟)

一点一练高考数学 第五章 数 列专题演练 文(含两年高考一年模拟)

1n 246A ．－1 B ．0 C ．1 D ．62．(2015·新课标全国Ⅱ)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( )A ．5B ．7C ．9D ．113．(2015·浙江)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( )A ．a 1d ＞0，dS 4＞0B ．a 1d ＜0，dS 4＜0C ．a 1d ＞0，dS 4＜0D ．a 1d ＜0，dS 4＞04．(2015·新课标全国Ⅰ)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．若S 8＝4S 4，则a 10＝( )A.172B.192C ．10D ．12 5．(2014·新课标全国Ⅱ)等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( )A ．n (n ＋1)B ．n (n －1) C.n （n ＋1）2D.n （n －1）26．(2014·重庆)在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋a 5＝10，则a 7＝( ) A ．5 B ．8 C ．10 D ．147．(2015·陕西)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为________．8．(2015·浙江)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零．若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，则a 1＝________，d ＝________．9．(2015·安徽)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________．10．(2015·广东)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________． 11．(2010·新课标全国Ⅱ)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝____________．12．(2015·北京)已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＝10，a 4－a 3＝2.(1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 2＝a 3，b 3＝a 7；问：b 6与数列{a n }的第几项相等？13．(2014·新课标全国Ⅰ)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n－1，其中λ为常数．(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．1n 17a 3＝2，则{a n }的公差d ＝( )A ．－1B ．－2C ．－3D ．－42．(2015·惠州市三调)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 1＝4，则公差d 等于( )A ．1 B.53C ．－2D ．33．(2015·西安八校联考)在等差数列{a n }中，a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，则m 的值为( )A ．37B ．36C ．20D ．194．(2015·杭州七校联考)已知数列{a n }满足a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，若a 1＝1，a 5＝8，则a 3＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D.725．(2015·唐山一中高三期中)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2＝2a n ＋1－a n ，a 5＝4－a 3，则S 7＝( )A ．7B ．12C ．14D ．216．(2015·邯郸市质检)已知在等差数列{a n }中，a 1＝1，前10项的和等于前5项的和，若a m ＋a 6＝0，则m ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．27．(2015·赣州十二县高三联考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝3，S 6＝15，则S 9＝( )A ．27B ．36C ．44D ．548．(2015·长春调研)已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若S 4＝20，S 6－S 2＝36，则该等差数列的公差d ＝( )A ．－2B ．2C ．－4D ．49．(2015·郑州市一预)已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 1a 2a 3＝10，且5S 1S 5＝15，则a 2＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．510．(2015·济南一中高三期中)等差数列{a n }中，已知a 1＝－12，S 13＝0，使得a n ＞0的最小正整数n 为( )A ．7B ．8C ．9D ．1011．(2015·河北五市一中监测)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 2＝10，S 4＝36，则过点P (n ，a n )和Q (n ＋2，a n ＋2)(n ∈N *)的直线的一个方向向量是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2 B ．(－1，－1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12 12．(2015·泰安市检测)在各项均不为零的等差数列{a n }中，若a n ＋1－a 2n ＋a n －1＝0(n ≥2)，则S 2n －1－4n 等于( )A ．－2B ．0C ．1D ．213．(2015·巴蜀中学一模)在等差数列{a n }中，a n ＞0，且a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 8＝40，则a 4·a 5的最大值是( )A ．5B ．10C ．25D ．5014．(2015·宿迁市摸底)已知{a n }是等差数列，若2a 7－a 5－3＝0，则a 9的值是________． 15．(2015·眉山市一诊)有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为________．16．(2015·大同市调研)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等差数列{b n }的前n 项和为T n ，若S n T n ＝n ＋1n －1，则a 2b 4＋b 6＋a 8b 3＋b 7＝________．17．(2015·宝鸡市质检)已知等差数列{a n }的公差不为零，a 3＝5，且a 1，a 7，a 5成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1.1n 113＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( )A ．21B ．42C ．63D ．842．(2015·新课标全国Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A ．2B ．1 C.12 D.183．(2015·广东)若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中a ＝5＋26，c ＝5－26，则b ＝________．4．(2015·新课标全国Ⅰ)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n＝126，则n ＝________．5．(2015·安徽)已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________．6．(2015·湖南)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，且3S 1，2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________．7．(2014·江苏)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．8．(2014·安徽)数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________．9．(2015·重庆)已知等差数列{a n }满足a 3＝2，前3项和S 3＝92.(1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝a 15，求{b n }的前n 项和T n .10．(2015·四川)设数列{a n }(n ＝1，2，3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求T n .1．(2015·绵阳市一诊)设各项均不为0的数列{a n }满足a n ＋1＝2a n (n ≥1)，若a 2a 4＝2a 5，则a 3＝( )A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．42．(2015·邢台市摸底)已知数列{a n }为等比数列，a 5＝1，a 9＝81，则a 7＝( ) A ．9或－9 B ．9 C ．27或－27 D ．273．(2015·泰安市高三统考)正项等比数列{a n }的公比为2，若a 2a 10＝16，则a 9的值是( )A ．8B ．16C ．32D ．644．(2015·安阳市高三摸底)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝7a 1，则数列{a n }的公比q 的值为( )A ．2B ．3C ．2或－3D ．2或35．(2015·云南师大附中适应性考试)各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2，12a 3，a 1成等差数列，则公比q 的值为( )A.5－12 B.5＋12 C.1－52 D.5－12或5＋126．(2015·天津六校一联)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2，3S 2＝a 3－2，则公比q ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．67．(2015·赤峰市高三统考)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( )A ．7B ．5C ．－5D ．－78．(2015·沈阳市四校联考)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝( ) A ．2 B.73 C.83D ．39．(2015·湖北八校一联)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列结论一定成立的是( )A ．若a 3＞0，则a 2 013＜0B ．若a 4＞0，则a 2 014＜0C ．若a 3＞0，则S 2 013＞0D ．若a 4＞0，则S 2 014＞010．(2015·济南一中检测)已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n＋1＝( )A ．16(1－4－n) B ．16(1－2－n) C.323(1－4－n ) D.323(1－2－n ) 11．(2015·桂林市检测)设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝1，a 4＝－8，则S 5＝________．12．(2015·乐山市调研)等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝9n，则{a n }的公比为________． 13．(2015·晋冀豫三省二调)设{a n }是等比数列，公比q ＝2，S n 为{a n }的前n 项和，记T n ＝17S n －S 2n a n ＋1，n ∈N *，设Tn 0为数列{T n }的最大项，则n 0＝________．14．(2015·豫南九校二联)设数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意的正整数n ，都有a n ＝5S n ＋1成立．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 4⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n·bn ＋1前n 项和T n .考点18 数列求和与数列的综合应用两年高考真题演练1．(2015·福建)在等差数列{a n}中，a2＝4，a4＋a7＝15.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝2a n－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值．2．(2015·安徽)已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设S n为数列{a n}的前n项和，b n＝a n＋1S n S n＋1，求数列{b n}的前n项和T n.3．(2015·安徽)设n∈N*，x n是曲线y＝x2n＋2＋1在点(1，2)处的切线与x轴交点的横坐标．(1)求数列{x n}的通项公式；(2)记T n＝x21x23…x22n－1，证明T n≥14n .4．(2014·新课标全国Ⅱ)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.1n n 231a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( )A ．29B ．31C ．33D ．36 2．(2015·青岛模拟)已知S n ＝12＋1＋13＋2＋12＋3＋…＋1n ＋1＋n，若S m ＝10，则m ＝( )A ．11B ．99C ．120D ．1213．(2015·重庆模拟)已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，那么数列{b n }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和S n 为( )A.nn ＋1 B.4n n ＋1C.3n n ＋1 D.5n n ＋14．(2015·衡水中学四调)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且a n ＝2n ＋λ，若数列{S n }在n ≥7时为递增数列，则实数λ的取值范围为( )A ．(－15，＋∞)B ．[－15，＋∞)C ．[－16，＋∞)D ．(－16，＋∞) 5.(2015·武汉市调考)如图，互不相同的点A 1，A 2，…，A n ，和B 1，B 2，…，B n ，分别在角O 的两条边上，所有A n B n 相互平行，且所有梯形A n B n B n ＋1A n ＋！的面积均相等．设OA n ＝a n ，若a 1＝1，a 2＝2，则a 9＝( )A.19B.22 C ．5 D ．276．(2015·济南一中高三期中)11×4＋14×7＋…＋1（3n －2）（3n ＋1）＝________．7．(2015·厦门市质检)数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝a n －1a n，则该数列的前22项和等于________．8．(2015·南昌市调研)一牧羊人赶着一群羊通过4个关口，每过一个关口，守关人将拿走当时羊的一半，然后退还1只给牧羊人，过完这些关口后，牧羊人只剩下2只羊，则牧羊人在过第一个关口前有________只羊．9．(2015·衡水中学四调)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…其中从第三个数起，每一个数都等于他前面两个数的和，该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性，比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887.人们称该数列为{a n }“斐波那契数列”，若把该数列{a n }的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列{b n }，在数列{b n }中第2 014项的值是________．10．(2015·衡水中学四调)数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1，数列{b n }为等差数列，且b 3＝3，b 5＝9.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若对任意的n ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫S n ＋12·k ≥b n 恒成立，求实数k 的取值范围．参考答案 第五章 数 列 考点16 等差数列【两年高考真题演练】1．B [由等差数列的性质，得a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0，选B.]2．A [∵{a n }为等差数列，∴a 1＋a 5＝2a 3，∴a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3，得a 3＝1， ∴S 5＝5（a 1＋a 5）2＝5a 3＝5.故选A.]3．B [∵a 3，a 4，a 8成等比数列，∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋7d )，整理得a 1＝－53d ，∴a 1d ＝－53d 2＜0，又S 4＝4a 1＋4×32d ＝－2d 3，∴dS 4＝－2d23＜0，故选B.]4．B [由S 8＝4S 4知，a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝3(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)，又d ＝1，∴a 1＝12，a 10＝12＋9×1＝192. 5．A [因为a 2，a 4，a 8成等比数列，所以a 24＝a 2·a 8，所以(a 1＋6)2＝(a 1＋2)·(a 1＋14)，解得a 1＝2.所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n (n ＋1)．故选A.]6．B [由等差数列的性质得a 1＋a 7＝a 3＋a 5，因为a 1＝2，a 3＋a 5＝10，所以a 7＝8，选B.]7．5 [由题意设首项为a 1，则a 1＋2 015＝2×1 010＝2 020，∴a 1＝5.]8.23 －1 [因为a 2，a 3，a 7成等比数列，所以a 23＝a 2a 7，即(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋6d )，∴a 1＝－23d ，∵2a 1＋a 2＝1，∴2a 1＋a 1＋d ＝1即3a 1＋d ＝1，∴a 1＝23，d ＝－1.]9．27 [由已知数列{a n }是以1为首项，以12为公差的等差数列．∴S 9＝9×1＋9×82×12＝9＋18＝27.]10．10 [因为{a n }是等差数列，所以a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝25，即a 5＝5，a 2＋a 8＝2a 5＝10.]11．－1n[由题意，得S 1＝a 1＝－1，又由a n ＋1＝S n S n ＋1，得S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1，所以S n ≠0，所以S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n ＝－1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1＝－1为首项，－1为公差的等差数列，得1S n ＝－1－(n －1)＝－n ，所以S n ＝－1n.]12．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 4－a 3＝2，所以d ＝2.又因为a 1＋a 2＝10，所以2a 1＋d ＝10，故a 1＝4. 所以a n ＝4＋2(n －1)＝2n ＋2(n ＝1，2，…)． (2)设等比数列{b n }的公比为q . 因为b 2＝a 3＝8，b 3＝a 7＝16， 所以q ＝2，b 1＝4. 所以b 6＝4×26－1＝128.由128＝2n ＋2，得n ＝63， 所以b 6与数列{a n }的第63项相等．13．(1)证明 由题设知，a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1. 两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1. 由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)解 由题设知，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得a 2＝λ－1. 由(1)知，a 3＝λ＋1.令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4.故a n ＋2－a n ＝4，由此可得 {a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3； {a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1. 所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列． 【一年模拟试题精练】1．C [a 1＋a 7＝a 3－2d ＋a 3＋4d ＝2a 3＋2d ＝－2，得d ＝－3.] 2．C [∵a 1＝4，S 3＝6，∴S 3＝4×3＋3×22d ＝6，得d ＝－2.]3．A [a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 1＋9×82d ＝36d ＝a 37.]4．C [a 3＝a 2＋a 1＝a 2＋1，a 4＝a 3＋a 2＝2a 2＋1，a 5＝a 4＋a 3＝2a 2＋1＋a 2＋1＝3a 2＋2，故a 2＝2，因此a 3＝a 2＋a 1＝3.]5．C [∵a n ＋2＝2a n ＋1－a n ，∴a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1，故{a n }为等差数列，∵a 5＝4－a 3，∴a 3＋a 5＝4，故S 7＝（a 1＋a 7）·72＝（a 3＋a 5）·72＝4×72＝14.]6．A [∵S 10＝S 5，∴a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝5a 8＝0，即a 8＝0.a m ＋a 6＝a 8＋(m －8)d ＋a 8－2d ＝0，得m ＝10.]7．B [∵{a n }为等差数列，∴S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等差数列，即：S 3＋(S 9－S 6)＝2(S 6－S 3)得S 9＝36.]8．B [由题意，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝20，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝36，作差可得8d ＝16，即d ＝2.] 9．A [依题意得55a 1a 3＝15，a 1a 3＝5，a 2＝10a 1a 3＝2.]10．B [法一 S 13＝（a 1＋a 13）132＝0，a 13＝－a 1＝12，d ＝a 13－a 113－1＝2，故a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －14，解a n ＞0，得n ＞7，故使a n ＞0的最小正整数n 为8.法二 S 13＝（a 1＋a 13）132＝13a 7＝0，得a 7＝0，故a 8＞0，故a n ＞0的最小正整数n 为8.]11．A [设等差数列{a n }的公差为d ，则由题设得：⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝10，4a 1＋6d ＝36，解得：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝4.所以a n ＝4n －1，PQ →＝(n ＋2－n ，a n ＋2－a n )＝(2，8)＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2，所以过点P (n ，a n )和Q (n ＋2，a n ＋2)(n ∈N *)的直线的一个方向向量是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2，故选A.]12．A [∵{a n }为等差数列，∴a n ＋1＋a n －1＝2a n ，又∵a n ＋1＋a n －1＝a 2n ，∴a 2n ＝2a n ，∵a n ≠0，∴a n ＝2，故S 2n －1－4n ＝(2n －1)·2－4n ＝－2.]13．C [由a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 8＝40得4(a 4＋a 5)＝40即a 4＋a 5＝10，a 4＋a 5≥2a 4·a 5，得：a 4·a 5≤25，故a 4·a 5的最大值为25.]14．3 [2a 7－a 5＝a 7＋(a 7－a 5)＝a 7＋2d ＝a 9＝3.]15．1 472 [2，6，10，…，190的通项公式为a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2； 2，8，14，…，200的通项公式为b m ＝2＋(m －1)·6＝6m －4，由4n －2＝6m －4， 得：n ＝3m －12，当m ＝1时，n ＝1；当m ＝3时，n ＝4；当m ＝5时，n ＝7，…；当m ＝31时，n ＝46构成一个新数列为2，14，26，…，182，其通项公式为C n ＝2＋(n －1)·12＝12n －10.其各项之和为C 1＋C 2＋…＋C 16＝（C 1＋C 16）·162＝1 472.]16.54 [a 2b 4＋b 6＋a 8b 3＋b 7＝a 22b 5＋a 82b 5＝2a 52b 5＝a 1＋a 9b 1＋b 9＝S 9T 9＝9＋19－1＝54.] 17．解 (1)设{a n }的首项为a 1，公差为d ，由题意，a 27＝a 1a 5， 即(a 1＋6d )2＝a 1(a 1＋4d )，又a 3＝a 1＋2d ＝5(d ≠0)， 得a 1＝9，d ＝－2，故a n ＝－2n ＋11.(2)令S n ＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1，由(1)知a 2n －1＝－4n ＋13，故{a 2n －1}是首项为9，公差为－4的等差数列． ∴S n ＝n 2(a 1＋a 2n －1)＝n2(－4n ＋22)＝－2n 2＋11n .考点17 等比数列【两年高考真题演练】1．B [设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21得3(1＋q 2＋q 4)＝21，解得q 2＝－3(舍去)或q 2＝2，于是a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42，故选B.]2．C [由{a n }为等比数列，得a 3a 5＝a 24，所以a 24＝4(a 4－1)，解得a 4＝2，设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4＝a 1q 3，得2＝14q 3，解得q ＝2，所以a 2＝a 1q ＝12.选C.]3．1 [∵三个正数a ，b ，c 成等比数列， ∴b 2＝ac ＝(5＋26)(5－26)＝1. ∵b 为正数，∴b ＝1.]4．6 [由a n ＋1＝2a n 知，数列{a n }是以a 1＝2为首项，公比q ＝2的等比数列，由S n ＝2（1－2n ）1－2＝126，解得n ＝6.]5．2n －1 [由等比数列性质知a 2a 3＝a 1a 4，又a 2a 3＝8，a 1＋a 4＝9，所以联立方程⎩⎪⎨⎪⎧a 1a 4＝8，a 1＋a 4＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，a 4＝1，又数列{a n }为递增数列，∴a 1＝1，a 4＝8，从而a 1q 3＝8，∴q ＝2.∴数列{a n }的前n 项和为S n ＝1－2n1－2＝2n－1.]6．3n －1[由3S 1，2S 2，S 3成等差数列知，4S 2＝3S 1＋S 3，可得a 3＝3a 2，∴公比q ＝3，故等比数列通项a n ＝a 1q n －1＝3n －1.]7．4 [设等比数列{a n }的公比为q ，q >0.则a 8＝a 6＋2a 4即为a 4q 4＝a 4q 2＋2a 4，解得q 2＝2(负值舍去)，又a 2＝1，所以a 6＝a 2q 4＝4.]8．1 [设{a n }公差为d ，则a 3＝a 1＋2d ，a 5＝a 1＋4d ， 所以(a 1＋2d ＋3)2＝(a 1＋1)(a 1＋4d ＋5)， 解得d ＝－1， 所以q ＝a 3＋3a 1＋1＝a 1＋2d ＋3a 1＋1＝a 1＋1a 1＋1＝1.] 9．解 (1)设{a n }的公差为d ，则由已知条件得a 1＋2d ＝2，3a 1＋3×22d ＝92， 化简得a 1＋2d ＝2，a 1＋d ＝32，解得a 1＝1，d ＝12，故通项公式a n ＝1＋n －12，即a n ＝n ＋12.(2)由(1)得b 1＝1，b 4＝a 15＝15＋12＝8. 设{b n }的公比为q ，则q 3＝b 4b 1＝8，从而q ＝2， 故{b n }的前n 项和T n ＝b 1（1－q n ）1－q ＝1×（1－2n ）1－2＝2n－1.10．解 (1)由已知S n ＝2a n －a 1，有a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)， 即a n ＝2a n －1(n ≥2)， 从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1，又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)， 所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2，所以，数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列， 故a n ＝2n.(2)由(1)得1a n ＝12n ，所以T n ＝12＋122＋…＋12n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－12n .【一年模拟试题精练】1．D [由a n ＋1＝2a n (n ≥1)知数列{a n }是以2为公比的等比数列，因为a 2a 4＝2a 5，所以a 1q ·a 1q 3＝2a 1q 4⇒a 1＝2，所以a 3＝4.]2．B [依题意得a 27＝a 5·a 9＝81，又注意到a 7a 5＝q 2＞0(其中q 为公比)，因此a 5，a 7的符号相同，故a 7＝9.]3．C [∵a n ＞0，∴a 2a 10＝a 26＝16，即a 6＝4. 故a 9＝a 6·q 3＝4×8＝32.]4．C [由公比不为1的等比数列前n 项和的公式得：a 1（1－q 3）1－q＝7a 1，解得q ＝2或q＝－3.]5．B [因为a 2，12a 3，a 1成等差数列，所以a 1＋a 2＝2×12a 3＝a 3，即a 1＋a 1q ＝a 1q 2，所以q 2－q －1＝0，解得q ＝1＋52或q ＝1－52＜0(舍去)．] 6．B [由3(S 3－S 2)＝3a 3＝(a 4－2)－(a 3－2)＝a 4－a 3得a 4＝4a 3，即q ＝a 4a 3＝4.]7．D [a 5·a 6＝a 4·a 7＝－8，故a 4，a 7是方程x 2－2x －8＝0的两根，得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2.当a 4＝－2，a 7＝4时，q 3＝a 7a 4＝－2，a 1＋a 10＝a 4q3＋a 7·q 3＝－7；当a 4＝4，a 7＝－2时，q 3＝a 7a 4＝－12，a 7＋a 10＝a 4q 3＋a 7·q 3＝－7.]8．B [设公比为q ，则S 6S 3＝a 1（1－q 6）1－q a 1（1－q 3）1－q ＝1－q 61－q3＝1＋q 3＝3，所以q 3＝2，所以S 9S 6＝1－q 91－q 6＝1－231－22＝73.故选B.]9．C [对于A ：1，－1，1，－1，…，满足a 3＞0，但a 2 013＝1＞0，排除A ；对于B ：－1，1，－1，1，…，满足a 4＞0，但a 2 014＝－100，排除B ；对于D ：－1，1，－1，1，…，满足a 4＞0，但S 2 014＝0，排除D ，故选C.]10．C [∵a 2＝2，a 5＝14，∴q 3＝a 5a 2＝18，即q ＝12，得a n ＝a 2q n －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3，则b n ＝a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －5，故a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝323(1－4－n)．]11．11 [∵a 4a 1＝－8＝q 3，∴q ＝－2，S 5＝a 1（1－q 5）1－q＝11.]12．3 [设{a n }的公比为q ，∵a n a n ＋1a n －1a n＝q 2＝9，则q ＝±3， ∵a n a n ＋1＝9n＞0，∴q ＝3.] 13．4 [设等比数列的首项为a 1， 则a n ＝a 1(2)n －1，S n ＝a 1[1－（2）n ]1－2，所以T n ＝17S n －S 2na n ＋1＝17a 1[1－（2）n ]1－2－a 1[1－（2）2n ]1－2a 1（2）n＝11－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2）n ＋16（2）n－17，因为(2)n＋16（2）n ≥8，当且仅当(2)n＝16（2）n，即n ＝4时取等号，故当n 0＝4，Tn 0最大．]14．(1)解 当n ＝1时，a 1＝5S 1＋1，∵a 1＝－14，又∵a n ＝5S n ＋1，a n ＋1＝5S n ＋1＋1 ∴a n ＋1－a n ＝5a n ＋1， 即a n ＋1a n ＝－14， ∴数列{a n }是首项为a 1＝－14，公比为q ＝－14的等比数列，∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14n.(2)b n ＝log 4|(－4)n|＝n ， 所以1b n b n ＋1＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，T n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝nn ＋1.考点18 数列求和与数列的综合应用【两年高考真题演练】1．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝4，（a 1＋3d ）＋（a 1＋6d ）＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝1.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋2. (2)由(1)可得b n ＝2n＋n ，所以b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10) ＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10) ＝2（1－210）1－2＋（1＋10）×102＝(211－2)＋55 ＝211＋53＝2 101.2．解 (1)由题设知a 1·a 4＝a 2·a 3＝8.又a 1＋a 4＝9.可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，a 4＝1(舍去)． 由a 4＝a 1q 3得公比q ＝2，故a n ＝a 1qn －1＝2n －1.(2)S n ＝a 1（1－q n ）1－q＝2n－1，又b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1， 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 1－1S 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 2－1S 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S n －1S n ＋1＝1S 1－1S n ＋1＝1－12n ＋1－1.3．(1)解 y ′＝(x 2n ＋2＋1)′＝(2n ＋2)x2n ＋1，曲线y ＝x2n ＋2＋1在点(1，2)处的切线斜率为2n ＋2，从而切线方程为y －2＝(2n ＋2)(x －1)． 令y ＝0，解得切线与x 轴交点的横坐标x n ＝1－1n ＋1＝nn ＋1. (2)证明 由题设和(1)中的计算结果知T n ＝x 21x 23…x 22n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122⎝ ⎛⎭⎪⎫342…⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －12n 2. 当n ＝1时，T 1＝14.当n ≥2时，因为x22n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －12n 2＝（2n －1）2（2n ）2>（2n －1）2－1（2n ）2＝2n －22n ＝n －1n . 所以T n >⎝ ⎛⎭⎪⎫122×12×23×…×n －1n ＝14n .综上可得对任意的n ∈N *，均有T n ≥14n.4．证明 (1)由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋12.又a 1＋12＝32，所以{a n ＋12}是首项为32，公比为3的等比数列．a n ＋12＝3n2，因此{a n }的通项公式为a n ＝3n－12.(2)由(1)知1a n ＝23n －1.因为当n ≥1时，3n－1≥2×3n －1，所以13n －1≤12×3n －1.于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1＝32⎝⎛⎭⎪⎫1－13n <32.所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.【一年模拟试题精练】1．B [∵a 2a 3＝2a 1，∴a 1q 3＝a 4＝2. 又∵a 4＋2a 7＝54×2，∴a 7＝14，故q ＝12，a 1＝16，因此S 5＝a 1（1－q 5）1－q＝31.]2．C [∵S n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n －n －1)＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1. ∴S m ＝m ＋1－1＝10，得m ＝120.]3．B [∵a n ＝1＋2＋3＋…＋nn ＋1＝n （n ＋1）2n ＋1＝n2， ∴b n ＝1a n a n ＋1＝4n （n ＋1）＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n －1n ＋1.故S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝4n n ＋1.]4．D [∵a n ＝2n ＋λ，∴a 1＝2＋λ， ∴S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n （2＋λ＋2n ＋λ）2＝n 2＋(λ＋1)n ，又因为n ∈N *，由二次函数的性质和n ∈N *， 可知－λ＋12＜7.5，即可满足数列{S n }为递增数列，解不等式可得λ＞－16.故选D.] 5．C [由题意可知，△OA 1B 1∽△OA 2B 2，∴S △OA 1B 1S △OA 2B 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫OA 1OA 22＝14，∴S △OA 1B 1SA 1B 1B 2A 2＝13， 同理△OA 1B 1∽△OA 9B 9，∴S △OA 1B 1S △OA 9B 9＝11＋3×8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫OA 1OA 92⇒OA 9＝5，即a 9＝5.] 6.n 3n ＋1 [a n ＝1（3n －2）（3n ＋1）＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤13n －2－13n ＋1，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－14＋14－17＋…＋13n －2－13n ＋1＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－13n ＋1＝n 3n ＋1.] 7．11 [a n ＋1＝a n －1a n ＝1－1a n ，∵a 1＝12，∴a 2＝1－1a 1＝－1，a 3＝1－1a 2＝2，a 4＝1－1a 3＝12，故{a n }为周期为3的数列，即a 1＝a 3n ＋1，a 2＝a 3n ＋2，a 3＝a 3n ＋3，故a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 22＝(a 1＋a 2＋a 3)·7＋a 22＝11.]8．2 [记此牧羊人通过第1个关口前、通过第2个关口前、……、通过第4个关口前剩下的羊的只数组成数列{a n }(n ＝1，2，3，4)，则由题意得a 2＝12a 1＋1，a 3＝12a 2＋1，a 4＝12a 3＋1，而12a 4＋1＝2，解得a 4＝2，因此得a 3＝2，…，a 1＝2.] 9．3 [1，1，2，3，5，8，13，…，除以4得的余数分别为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…，即新数列{b n }是周期为6的周期数列，b 2 014＝b 235×6＋3＝b 3＝3，所以第2 014项的值是3.]10．解 (1)由a n ＋1＝2S n ＋1① 得a n ＝2S n －1＋1②，①－②得a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)，∴a n ＋1＝3a n (n ≥2)，又a 2＝3，a 1＝1也满足上式， ∴a n ＝3n －1；b 5－b 3＝2d ＝6，∴d ＝3.∴b n ＝3＋(n －3)·3＝3n －6.(2)S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝1－3n 1－3＝3n －12，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫3n－12＋12k ≥3n －6，对n ∈N *恒成立，∴k ≥6n －123n对n ∈N *恒成立， 令c n ＝3n －63n ，c n －c n －1＝3n －63n －3n －93n －1＝－2n ＋73n －1，当n ≤3时，c n ＞c n －1，当n ≥4时，c n ＜c n －1，(c n )max ＝c 3＝19，所以实数k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫29，＋∞.。

三年高考两年模拟(浙江版)高考数学一轮复习第五章数列5.5数列的综合应用知能训练

三年高考两年模拟(浙江版)高考数学一轮复习第五章数列5.5数列的综合应用知能训练

§5.5数列的综合应用Ａ组基础题组2.(2015浙江绍兴模拟,7)将石子摆成如图所示的梯形形状,称数列5,9,14,20,…为“梯形数”.根据图形的构成,可知此数列的第2014项与5的差,即a2014-5=( )A.2018×2012B.2020×2013C.1009×2012D.1010×20133.(2015福建,8,5分)若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于( )A.6B.7C.8D.94.(2016领航高考冲刺卷五文,10,4分)已知数列{a n},{b n}满足a1=b1=1,a n+1-a n==2,n∈N*,则= ,数列{}的前4项和S4= .5.(2016领航高考冲刺卷二文,15,4分)已知函数f(x)=x2+2x(x>0),f1(x)=f(x),f n+1(x)=f(f n(x)),n∈N*,则f1(2)= ,f4(x)= ,不等式f4(x)<1的解集为.6.(2014安徽,12,5分)如图,在等腰直角三角形ABC中,斜边BC=2.过点A作BC的垂线,垂足为A1;过点A1作AC的垂线,垂足为A2;过点A2作A1C的垂线,垂足为A3;…,依此类推.设BA=a1,AA1=a2,A1A2=a3,…,A5A6=a7,则a7= .7.(2015镇海中学仿真考,13,4分)已知{a n}是公差不为0的等差数列,{b n}是等比数列,其中a1=2,b1=1,a2=b2,2a4=b3,且存在常数α、β,使得a n=logαb n+β对每一个正整数n都成立,则αβ= .8.(2015浙江湖州模拟,18,15分)已知在数列{a n}中,a1=1,当n≥2时,其前n项和S n满足=a n.(1)求S n的表达式;(2)设b n=,数列{b n}的前n项和为T n,证明:T n<.9.(2015宁波高考模拟文,17,15分)设数列{a n}是公比小于1的正项等比数列,S n为数列{a n}的前n项和,已知S3=14,且a1+13,4a2,a3+9成等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=a n·(n+2-λ),且数列{b n}是单调递减数列,求实数λ的取值范围.10.(2014浙江,19,14分)已知数列{a n}和{b n}满足a1a2a3…a n=((n∈N*).若{a n}为等比数列,且a1=2,b3=6+b2.(1)求a n与b n;(2)设c n=-(n∈N*).记数列{c n}的前n项和为S n.(i)求S n;(ii)求正整数k,使得对任意n∈N*均有S k≥S n.11.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且a2=3,S6=36.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{b n}是等比数列且满足b1+b2=3,b4+b5=24.设数列{a n·b n}的前n项和为T n,求T n.12.(2015山东青岛高三自主诊断,19)已知数列{a n}的前n项和S n=n2+2n,正项等比数列{b n}满足:b1=a1-1,且b4=2b2+b3.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式;(2)若数列{c n}满足c n=,其前n项和为T n,证明:≤T n<5.13.已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=2-a n(n∈N*).(1)求证:数列是等比数列;(2)设数列{2n a n}的前n项和为T n,A n=+++…+,试比较A n与的大小.14.(2015山东德州期末,19)已知数列{a n}是公差为d(d≠0)的等差数列,数列{b n}为等比数列,函数f(x)=b1x2+b2x+b3的图象在y轴上的截距为-4,f(x)的最大值为a6-.(1)若f(a2+a8)=f(a3+a11),求数列{b n}的通项公式;(2)若a2=-,T n为数列的前n项和,求当T n=-时,正整数n的值.B组提升题组1.(2016鄂豫晋冀陕五省二联,20,12分)已知数列{a n}中,a1=2,当n≥2时,a n=2a n-1+3·2n-1(n ∈N*).(1)求数列及数列{a n}的通项公式;(2)令c n=2a n-3·2n,设T n为数列{c n}的前n项和,求T n.2.(2015镇海中学仿真考文,17,15分)在数列{a n}中,已知a1=,=,b n+2=3loa n(n∈N*).(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)设数列{c n}满足c n=(-1)n+1b n b n+1,其前n项和为S n,若S n≥tn2对n取任意正偶数均成立,求实数t的取值范围.3.(2016绍兴一中期中文,17,15分)数列{a n}满足a1=1,a n+1=(n∈N*).(1)证明:数列是等差数列;(2)求数列{a n}的通项公式;(3)设b n=n(n+1)a n,求数列{b n}的前n项和S n.4.(2015浙江六校联考,19,15分)已知数列{a n}的前n项和为S n,S n=a n-n(n∈N*).(1)求证{a n+1}是等比数列,并求数列{a n}的通项公式;(2)证明:+++…+>-.5.(2014广东,19,14分)设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n,且S n满足-(n2+n-3)S n-3(n2+n)=0,n∈N*.(1)求a1的值;(2)求数列{a n}的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有++…+<.6.(2015浙江名校(绍兴一中)交流卷五,18)已知数列{a n}的前n项和S n满足:S n=(a n-1)(t为常数,且(t-1)t≠0).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=3+(n≥2),若数列{b n}为等比数列且设c n=-,数列{c n}的前n项和为T n.求证:T n>-.7.(2013广东,19,14分)设数列{a n}的前n项和为S n.已知a1=1,=a n+1-n2-n-,n∈N*.(1)求a2的值;(2)求数列{a n}的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有++…+<.8.(2015浙江杭州一模,19)设数列{a n}的前n项和为S n,若S n+a n=n(n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求证:+++…+<2.9.(2015浙江宁波十校联考,19)已知数列{a n}满足a1=1,点(a n,a n+1)在直线y=2x+1上.数列{b n}满足b1=a1,b n=a n++…+(n≥2且n∈N*).(1)(i)求{a n}的通项公式;(ii)证明:=(n≥2且n∈N*);(2)求证:…<.Ａ组基础题组1.D 由题意得=a5a1,即(a1+d)2=a1(a1+4d),可得d=2a1.又a6+a9=5a3+3,所以2a1+13d=5a1+10d+3,所以a1=1,d=2,所以S n=n2,=,易知<<,>>>…,所以=.2.D 因为a n-a n-1=n+2(n≥2),a1=5,所以a2014=(a2014-a2013)+(a2013-a2012)+…+(a2-a1)+a1=2016+2015+…+4+5=+5=1010×2013+5,所以a2014-5=1010×2013,故选D.3.D 由题意可知a,b是x2-px+q=0的两根,∴a+b=p>0,ab=q>0,故a,b均为正数.∵a,b,-2适当排序后成等比数列,∴-2是a,b的等比中项,得ab=4,∴q=4.又a,b,-2适当排序后成等差数列,所以-2是第一项或第三项,不妨设a<b,则-2,a,b成递增的等差数列,∴2a=b-2,联立得消去b得a2+a-2=0,得a=1或a=-2,又a>0,∴a=1,此时b=4,∴p=a+b=5,∴p+q=9,选D.4.答案4n-1;85解析根据题意可知,数列{an}为等差数列,数列{b n}为等比数列,所以a n=2n-1,b n=2n-1,所以==22n-2=4n-1,所以S4==×(44-1)=85.5.答案80;(x+1)16-1(x>0);(0,-1+)解析令an=f n(x),则a1=x 2+2x(x>0),a2=+2a1,a n+1=+2a n,所以a n+1+1=(a n+1)2,lg(a n+1+1)=lg(a n+1)2=2lg(a n+1),所以{lg(a n+1)}是以lg(a1+1)为首项,2为公比的等比数列,则lg(a n+1)=2n-1lg(a1+1),故a n+1=(a1+1=[(x+1)2=(x+1,a n=(x+1-1,即f n(x)=(x+1-1,所以f2(2)=80,f4(x)=(x+1-1=(x+1)16-1(x>0).由f4(x)<1,得(x+1)16<2,即-1-<x<-1+,又x>0,所以f4(x)<1的解集为(0,-1+).6.答案解析由BC=2得AB=a1=2⇒AA1=a2=⇒A1A2=a3=×=1,由此可归纳出{a n}是以a1=2为首项,为公比的等比数列,因此a7=a1×q6=2×=.7.答案 4解析设{an}的公差为d,{b n}的公比为q.根据已知可得解得或(舍去),故a n=2n,b n=4n-1,又2n=logα4n-1+β对每一个正整数n都成立,即n(logα4-2)+β-logα4=0,只需logα4-2=β-logα4=0,解得α=2,β=2,故αβ=22=4.8.解析(1)当n≥2时,a n=S n-S n-1,代入=a n,得2S n S n-1+S n-S n-1=0,由于S n≠0时,所以-=2.所以是首项为1,公差为2的等差数列,从而=1+(n-1)×2=2n-1,所以S n=.(2)证明:b n===,所以T n=++…+-=<.9.解析(1)设a n=a1q n-1,其中a1>0,0<q<1.因为a1+13,4a2,a3+9成等差数列,所以8a2=a1+13+a3+9,又S3=14,所以a1+a2+a3=14,所以a2=4,代入+a2+a2q=14,由0<q<1得q=.所以数列{a n}的通项公式为a n=4·=24-n.(7分)(2)b n=a n(n+2-λ)=(n+2-λ)·24-n,由b n>b n+1,得(n+2-λ)·24-n>(n+3-λ)·23-n,(13分)即λ<n+1,所以λ<(n+1)min=2.故λ<2.(15分)10.解析(1)由a 1a2a3…a n=(,b3-b2=6,知a3=(=8.又由a1=2,得公比q=2(q=-2舍去),所以数列{a n}的通项为a n=2n(n∈N*),所以,a1a2a3…a n==()n(n+1).故数列{b n}的通项为b n=n(n+1)(n∈N*).(2)(i)由(1)知c n=-=-(n∈N*),所以S n=-(n∈N*).(ii)因为c1=0,c2>0,c3>0,c4>0;当n≥5时,c n=,而-=>0,得≤<1,所以,当n≥5时,c n<0.综上,对任意n∈N*,恒有S4≥S n,故k=4.11.解析(1)∵数列{a n}是等差数列,∴S6=3(a1+a6)=3(a2+a5)=36,则a2+a5=12,由于a2=3,所以a5=9,从而d=2,a1=a2-d=1,∴a n=2n-1.(2)设数列{b n}的公比为q.∵b1+b2=3,b4+b5=24,∴=q3=8,则q=2.从而b1+b2=b1(1+q)=3b1=3,∴b1=1,b n=2n-1,∴a n·b n=(2n-1)·2n-1.∴T n=1×1+3×2+5×22+…+(2n-3)·2n-2+(2n-1)·2n-1,则2T n=1×2+3×22+5×23+…+(2n-3)·2n-1+(2n-1)·2n,两式相减,得(1-2)T n=1×1+2×2+2×22+…+2·2n-2+2·2n-1-(2n-1)·2n, 即-T n=1+2(21+22+…+2n-1)-(2n-1)·2n=1+2(2n-2)-(2n-1)·2n=(3-2n)·2n-3.∴T n=(2n-3)·2n+3.12.解析(1)由题意,当n=1时,a 1=S1=12+2×1=3;当n≥2时,a n=S n-S n-1=(n2+2n)-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1.当n=1时,a1=3也适合上式,所以a n=2n+1.设等比数列{b n}的公比为q,由题意知b n>0且q>0.由b4=2b2+b3得b2q2=2b2+b2q,整理得q2-q-2=0,即(q+1)(q-2)=0.解得q=2或q=-1(舍去).又b1=a1-1=2,故数列{b n}的通项公式为b n=b1q n-1=2×2n-1=2n.(2)证明:由已知及(1)得c n==.故T n=c1+c2+c3+…+c n=+++…++①,2T n=3++++…+②,②-①,得T n=3+++…+-=3+2-=3+2×-=3+2×-=5-.因为>0,所以T n<5.又c n=>0,所以T n≥T1=.综上,≤T n<5.13.解析(1)证明:由已知得a 1=S1=2-3a1,解得a1=,当n≥2时,由a n=S n-S n-1可得=×,所以数列是首项和公比均为的等比数列.(2)由(1)得=,于是2n·a n=n,T n=1+2+3+…+n=.所以=2,于是A n=2=,而=,所以问题转化为比较与的大小.设f(n)=,g(n)=,易知当n≥4时,f(n)≥f(4)=1,而g(n)<1,所以当n≥4时,f(n)>g(n).经验证当n=1,2,3时,仍有f(n)>g(n).因此对任意的正整数n,都有f(n)>g(n),即A n<.14.解析(1)由函数f(x)=b 1x2+b2x+b3的图象在y轴上的截距为-4,f(x)的最大值为a6-可得,b3=-4,=b3-b3=a6-,解得a6=.又因为f(a2+a8)=f(a3+a11),且函数f(x)的图象关于直线x=-对称,所以=-,所以-==2a6=1.设数列{b n}的公比为q,则q==-2,所以数列{b n}的通项公式为b n=b3q n-3=-4×(-2)n-3=-(-2)n-1.(2)因为a2=-,a6=,所以公差d==1,所以a n=a2+(n-2)d=,所以==2,所以数列的前n项和T n=++…+=2++…+=2--,令T n=-,则--=-,解得n=9.B组提升题组1.解析(1)当n≥2时,=+.令b n=,则数列{b n}是以b1=1为首项,为公差的等差数列,所以b n=,即=,∴a n=(3n-1)·2n-1.(2)c n=2a n-3·2n=(3n-1)·2n-3·2n=3n·2n-4·2n,∴T n=3(2×1+22×2+…+2n×n)-4(2+22+…+2n),记S n=2×1+22×2+…+2n×n,①则2S n=22×1+23×2+…+2n+1×n,②①-②得-S n=2×1+22+…+2n-2n+1×n=(1-n)·2n+1-2.∴S n=(n-1)·2n+1+2.故T n=3×[(n-1)·2n+1+2]-4×=(3n-7)·2n+1+14.2.解析(1)∵=,∴数列{a n}是首项为,公比为的等比数列,∴a n=.∵b n=3loa n-2,∴b n=3n-2.(2)由(1)知b n=3n-2,当n为偶数时,S n=b1b2-b2b3+b3b4-…+b n-1b n-b n b n+1=b2(b1-b3)+b4(b3-b5)+…+b n(b n-1-b n+1)=-6(b2+b4+…+b n)=-6·=-n(3n+2)≥tn2,即t≤-对n取任意正偶数都成立,所以t≤-6.3.解析(1)证明:由已知可得=,即=+1,即-=1,∴数列是首项为2,公差为1的等差数列.(2)由(1)知=2+(n-1)×1=n+1,∴a n=.(3)由(2)知b n=n·2n,S n=1·2+2·22+3·23+…+n·2n,①2S n=1·22+2·23+…+(n-1)·2n+n·2n+1,②①-②得-S n=2+22+23+…+2n-n·2n+1=-n·2n+1=2n+1-2-n·2n+1=(1-n)·2n+1-2, ∴S n=(n-1)·2n+1+2.4.证明(1)∵S n=a n-n,∴a1=2.当n≥2时,S n-1=a n-1-(n-1),∴a n=a n-a n-1-1,即a n=3a n-1+2,∴a n+1=3(a n-1+1),又a1+1=2+1=3>0,∴a n+1≠0,∴=3,∴{a n+1}是以3为首项,3为公比的等比数列,∴a n=3n-1.(2)∵==-=-=-≥-,∴++…+≥-+-+…+-=-=->-.5.解析(1)∵-(n2+n-3)S n-3(n2+n)=0,∴令n=1,得+a1-6=0,解得a1=2或a1=-3.又a n>0,∴a1=2.(2)由-(n2+n-3)S n-3(n2+n)=0,得[S n-(n2+n)](S n+3)=0,又a n>0,所以S n+3≠0,所以S n=n2+n,所以当n≥2时,a n=S n-S n-1=n2+n-[(n-1)2+n-1]=2n,又由(1)知,a1=2,符合上式,所以a n=2n.(3)证明:由(2)知,=,所以++…+=++…+<+++…+=+++…+-=+<+×=.6.解析(1)∵S1=(a1-1)=a1,∴a1=t.当n≥2时,a n=S n-S n-1=(a n-a n-1),整理得a n=ta n-1,又∵a1=t≠0,∴a n≠0,∴{a n}是等比数列.∴a n=t·t n-1=t n(t为常数,且(t-1)t≠0).(5分)(2)证明:由(1)知,b n=3+(n≥2),若{b n}为等比数列,则有=b2b4,而b2=3+,b3=3+,b4=3+,代入解得t=,所以b n=3n(n≥2),又{b n}为等比数列,从而b1=3,所以b n=3n(n∈N*).(10分)所以c n=-=-.由<,>,得-<-,所以c n=->-,从而T n=c1+c2+…+c n>----…-=-++…+-=->-,即T n>-.(15分)7.解析(1)依题意,得2S 1=a2--1-,又S1=a1=1,所以a2=4.(2)当n≥2时,2S n=na n+1-n3-n2-n,2S n-1=(n-1)a n-(n-1)3-(n-1)2-(n-1),两式相减得2a n=na n+1-(n-1)a n-(3n2-3n+1)-(2n-1)-,整理得(n+1)a n=na n+1-n(n+1),即-=1,又-=1,故数列是首项为=1,公差为1的等差数列,所以=1+(n-1)×1=n,所以a n=n2.(3)证明:当n=1时,=1<;当n=2时,+=1+=<;当n≥3时,=<=-,此时++…+=1++++…+<1++++…+=1++-=-<.综上,对一切正整数n,有++…+<.8.解析(1)当n=1时,a 1+a1=1,解得a1=.由S n+a n=n①,得S n-1+a n-1=n-1(n≥2)②,①-②得a n+a n-a n-1=1(n≥2),∴a n-1=(a n-1-1)(n≥2),又a1-1=-,∴数列{a n-1}是等比数列,∴a n-1=-×,∴a n=1-.(2)证明:∵=≤,∴+++…+≤1+++…+==2<2.∴+++…+<2.9.解析(1)(i)因为点(a n,a n+1)在直线y=2x+1上, 所以a n+1=2a n+1,所以a n+1+1=2(a n+1),所以a n+1=2n-1(a1+1)=2n,所以a n=2n-1.(4分)(ii)证明:因为b n=a n(n≥2),所以=++…+(n≥2),则=++…++,所以=+=(n≥2),所以=(n≥2且n∈N*).(8分)(2)证明:b1=a1=1,b2=a2·=3,n≥2时,=.令T n=…,则T n=···…·=···…··b n+1=···…··b n+1=·=2·=2.(10分)又因为==<=2·=2(其中k=2,3,4,…,n),(13分)所以T n=++…++<1+2++…+-=1+2<1+=,所以T n<,即…<.(15分)。

2016版《一点一练》高考数学(理科)专题演练：第六章 不等式(含两年高考一年模拟)

2016版《一点一练》高考数学(理科)专题演练：第六章 不等式(含两年高考一年模拟)

1.(2015·重庆)函数f (x )＝log 2(x 2＋2x －3)的定义域是( ) A ．[－3，1] B ．(－3，1)C ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞) 2．(2015·天津)设x ∈R ，则“|x －2|＜1”是“x 2＋x －2＞0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．(2015·四川)如果函数f (x )＝12(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n≥0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递减，那么mn 的最大值为( )A ．16B ．18C ．25 D.8124．(2014·四川)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a c >b d B.a c <b d C.a d >b c D.a d <b c5．(2014·北京)设a ，b 是实数，则“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．(2014·山东)已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2＋1>1y 2＋1B ．ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1)C ．sin x ＞sin yD ．x 3＞y 37．(2014·浙江)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( )A ．c ≤3B ．3<c ≤6C ．6<c ≤9D ．c >98．(2014·大纲全国)不等式组⎩⎨⎧x （x ＋2）>0，|x |<1的解集为( )A ．{x |－2＜x ＜－1}B ．{x |－1＜x ＜0}C ．{x |0＜x ＜1}D ．{x |x ＞1}9．(2015·江苏)不等式2x 2－x ＜4的解集为________．10．(2014·湖南)若关于x 的不等式|ax －2|＜3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－53<x <13，则a ＝________．11．(2014·江苏)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是________．12．(2014·浙江)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0，若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________．13．(2014·浙江)已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a 2＋b 2＋c 2＝1，则a 的最大值是________．1．(2105·烟台一模)设集合M ＝{x |x 2－2x －3<0}，N ＝{x |log 2x <0}，则M ∩N 等于( )A ．(－1，0)B ．(－1，1)C ．(0，1)D ．(1，3)2．(2015·北京昌平区期末)已知a >b >0，则下列不等式成立的是( )A ．a 2<b 2 B.1a >1b C ．|a |<|b | D ．2a >2b3．(2015·江西师大模拟)若a <0，b <0，则p ＝b 2a ＋a 2b 与q ＝a ＋b 的大小关系为( )A ．p <qB ．p ≤qC ．p >qD ．p ≥q4．(2015·山东枣庄一模)关于x 的不等式x 2－ax ＋a >0(a ∈R )在R 上恒成立的充分不必要条件是( )A ．a <0或a >4B ．0<a <2C ．0<a <4D ．0<a <85．(2015·威海一模)若a >b ，则下列不等式成立的是( ) A ．ln a >ln b B ．0.3a >0.3bC ．a 12>b 12 D.3a >3b6．(2015·湖北利川模拟)设p: |2x ＋1|>a .q ：x －12x －1>0.使得p 是q的必要但不充分条件的实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，－2]C ．[－2，3]D ．[3，＋∞)7．(2015·四川模拟)设k ∈R ，若关于x 方程x 2－kx ＋1＝0的两根分别在区间(0，1)和(1，2)内，则k 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52C ．(1，3)D ．(－∞，2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞ 8．(2015·威海一模)函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则f (2－x )>0的解集为( )A ．{x |x >2或x <－2}B ．{x |－2<x <2}C ．{x |x <0或x >4}D ．{x |0<x <4}9．(2015·江西师大模拟)若不等式ax 2－3x ＋5>0的解集为{x |m <x <1}，则实数m ＝________．10．(2015·浙江余姚模拟)已知关于x 的不等式ax 2－3x ＋2>0的解集为{x |x <1或x >b }．(1)求a ，b 的值；(2)当c ∈R 时，解关于x 的不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0(用c 表示)．1.(2015·福建)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，x －2y ＋2≥0，则z ＝2x－y 的最小值等于( )A ．－52B ．－2C ．－32 D ．22．(2015·山东)已知x ，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax ＋y的最大值为4，则a ＝( )A ．3B ．2C ．－2D ．－33．(2015·四川)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤10，x ＋2y ≤14，x ＋y ≥6，则xy 的最大值为( )A.252B.492 C ．12 D ．164．(2015·重庆)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( )A ．－3B ．1 C.43 D ．35．(2015·陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元 B ．16万元 C ．17万元 D ．18万元6．(2014·课标全国Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z＝2x －y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．27．(2014·天津)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．58．(2014·山东)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( )A ．5B ．4 C. 5 D ．29．(2014·安徽)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A.12或－1 B ．2或12 C ．2或1 D ．2或－110．(2014·北京)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－1211．(2014·广东)若变量x ，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1且z ＝2x＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．812．(2015·新课标全国Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx 的最大值为________．13．(2014·浙江)当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．1．(2015·河南郑州模拟)如果实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥1，目标函数z ＝kx －y 的最大值为6，最小值为0，则实数k 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．42．(2015·江南十校模拟)已知点A (－2，0)，点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，上的一个动点，则|AM |的最小值是( )A ．5B ．3C ．2 2 D. 6553．(2015·江西重点中学模拟)实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0（x －2y ）（x －2y ＋6）≤0，若t ≤y ＋2x 恒成立，则t 的取值范围是( )A ．t ≤13B ．t ≤－5C ．t ≤－13D ．t ≤54．(2015·德州一模)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ≥a ，若x＋2y ≥－5恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]B ．[－1，＋∞)C ．[－1，1]D ．[－1，1)5．(2015·江西赣县模拟)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，8x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为8，则ab 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．46．(2015·辽宁师大附中模拟)已知实数x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，z ＝|2x －2y －1|，则z 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，5 B ．[0，5] C ．[0，5) D. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，57．(2015·北京西城模拟)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≤0，x ＋y －1≥0，x －y ＋1≥0，表示的平面区域为D . 则区域D 上的点到坐标原点的距离的最小值是( )A ．1 B.22 C.12 D ．58．(2015·黑龙江绥化模拟)已知关于x 的方程x 2＋(a ＋1)x ＋a ＋2b ＋1＝0的两个实根分别为x 1，x 2，且0<x 1<1，x 2>1，则ba 的取值范围是________．9．(2015·湖北八校模拟)已知直线l ：x ＝my ＋n (n >0)过点A (53，5)，若可行域⎩⎪⎨⎪⎧x ≤my ＋n ，x －3y ≥0，y ≥0的外接圆直径为20，则n ＝________． 10．(2015·山东菏泽一模)设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x －m <0，y ＋m >0.表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，则m 的取值范围是________．11．(2015·河北衡水模拟)已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，则z ＝|x ＋3y |的最小值________．12．(2015·江西重点中学模拟)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，y ≤4，4x ＋3y ≥12所表示的平面区域为D .若圆C 落在区域D 中，则圆C 的半径r 的最大值为________．13．(2015·威海一模)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，e x －y ≥0，0≤x ≤2，则M (x ，y )所在平面区域的面积为________．14．(2015·潍坊一模)若x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥2|x |－1，y ≤x ＋1，则 z ＝x ＋3y 的最大值为________．1.(2015·福建)若直线x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，则a ＋b的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．52．(2014·重庆)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3C ．6＋4 3D ．7＋4 33．(2015·山东)定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy (x ，y ∈R ，xy ≠0)，当x ＞0，y ＞0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________．4．(2015·重庆)设a ，b ＞0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________．5．(2014·辽宁)对于c ＞0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，3a －4b ＋5c 的最小值为________．6．(2014·江苏)若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________．7．(2014·福建)要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．8．(2014·浙江)如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小．若AB＝15 m，AC＝25 m，∠BCM＝30°，则tan θ的最大值是________．(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)9．(2014·湖北)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝76 000vv2＋18v＋20l.(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/时；(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时．1．(2015·湖北利川模拟)设a、b、c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是()A．a＋b>2ab B．(a－b)＋1a－b≥2 C．a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca D．|a－b|≤|a－c|＋|c－b|2．(2015·辽宁师大附中模拟)函数y＝log a(x＋3)－1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n均大于0，则1m＋2n的最小值为()A．2 B．4 C．8 D．163．(2015·广东广州模拟)某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3 000元时，这70套公寓能全租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租．设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出的房子不需要花这些费用)．要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为()A．3 000 B．3 300 C．3 500 D．4 0004．(2015·湖北省荆门模拟)设x∈R, 对于使－x2＋2x≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做－x2＋2x的上确界. 若a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＝1，则－12a－2b的上确界为()A ．－5B ．－4 C.92 D. －925．(2015·河北衡水模拟)给出下列四个命题：①若a <b ，则a 2<b 2；②若a ≥b >－1，则a 1＋a ≥b 1＋b；③若正整数m 、n 满足m <n ，则m （n －m ）≤n 2； ④若x >0，则ln x ＋1ln x ≥2.其中正确命题的序号是________．6．(2015·潍坊一模)若α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin 2αsin 2α＋4cos 2α的最大值为________．7．(2015·山东德州模拟)若正数x ，y 满足2x ＋y －3＝0，则x ＋2y xy的最小值为________．8．(2015·潍坊一模)已知a >b >0，ab ＝1，则a 2＋b 2a －b的最小值为________．9．(2015·鹤岗模拟)若a ，b ，c >0，且a 2＋ab ＋ac ＋bc ＝4，则2a ＋b ＋c 的最小值为________．10．(2015·日照模拟)已知x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围________．11．(2015·江苏省盐城模拟)已知x >0，y >0，n >0，nx ＋y ＝1，1x ＋4y 的最小值为16，则n 的值为________．12．(2015·山东省日照模拟)已知不等式x 2－5ax ＋b >0的解集为{x |x >4，或x <1}．(1)求实数a ，b 的值；(2)若0<x <1, f (x )＝a x ＋b 1－x，求f (x )的最小值．第六章 不等式考点19 不等式的性质及不等式的解法【两年高考真题演练】1．D [需满足x 2＋2x －3＞0，解得x ＞1或x ＜－3，所以f (x )的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．]2．A [由|x －2|＜1得，1＜x ＜3，由x 2＋x －2＞0，得x ＜－2或x ＞1，而1＜x ＜3⇒x ＜－2或x ＞1，而x ＜－2或x ＞1⇒/ 1＜x ＜3，所以，“|x －2|＜1”是“x 2＋x －2＞0”的充分而不必要条件，选A.]3．B [令f ′(x )＝(m －2)x ＋n －8＝0，∴x ＝－n －8m －2，当m ＞2时，对称轴x 0＝－n －8m －2，由题意，－n －8m －2≥2，∴2m ＋n ≤12， ∵2mn ≤2m ＋n 2≤6，∴mn ≤18，由2m ＋n ＝12且2m ＝n 知m ＝3，n ＝6，当m ＜2时，抛物线开口向下，由题意－n －8m －2≤12，即2n ＋m ≤18， ∵2mn ≤2n ＋m 2≤9，∴mn ≤812，由2n ＋m ＝18且2n ＝m ，得m ＝9(舍去)，∴mn 最大值为18，选B.]4．D [∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0，∴0<1－c <1－d .即1－d >1－c >0.又∵a >b >0，∴a －d >b －c，∴a d <b c .] 5．D [当a ＝0，b ＝－1时，a ＞b 成立，但a 2＝0，b 2＝1，a 2＞b 2不成立，所以“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的不充分条件．反之，当a ＝－1，b ＝0时，a 2＝1，b 2＝0，即a 2＞b 2成立，但a ＞b 不成立，所以“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的不必要条件．综上，“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的既不充分也不必要条件，应选D.]6．D [由a x <a y (0<a <1)，可得x >y ，又因为函数f (x )＝x 3在R 上递增，所以f (x )>f (y )，即x 3>y 3.]7．C8．C [⎩⎨⎧x （x ＋2）>0，①|x |<1，②由①得，x <－2或x >0，由②得，－1<x <1，因此原不等式组的解集为{x |0<x <1}，故选C.]9．{x |－1＜x ＜2} [∵2x 2－x ＜4＝22，∴x 2－x ＜2，即x 2－x －2＜0，解得－1<x <2.]10．－3 [由|ax －2|<3，得－1<ax <5.若a ≥0，显然不符合题意，当a <0时，解得5a <x <－1a ，故－1a ＝13，5a ＝－53，解得a ＝－3.]11.⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 [根据题意，得⎩⎨⎧f （m ）＝m 2＋m 2－1<0，f （m ＋1）＝（m ＋1）2＋m （m ＋1）－1<0，解得－22<m <0.]12．(－∞，2] [由题意得⎩⎨⎧f （a ）<0f 2（a ）＋f （a ）≤2或⎩⎨⎧f （a ）≥0，－f 2（a ）≤2，即⎩⎨⎧a <0，a 2＋a ≥－2或⎩⎨⎧a ≥0，－a 2≥－2，解得a ≤ 2.] 13.63 [由a ＋b ＋c ＝0可得c ＝－(a ＋b )．又a 2＋b 2＋c 2＝1， 所以a 2＋b 2＋[－(a ＋b )]2＝1，整理得2b 2＋2ab ＋2a 2－1＝0.又由a 2＋b 2＋c 2＝1易知0≤b 2≤1，－1≤b ≤1，因此关于b 的方程2b 2＋2ab ＋2a 2－1＝0在[－1，1]上有解，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－8（2a 2－1）≥0，－1≤a 2≤1，2－2a ＋2a 2－1≥0，2＋2a ＋2a 2－1≥0，解得a ≤63，即a 的最大值是63.]【一年模拟试题精练】1．C [因为，M ＝{x |x 2－2x －3<0}＝{x |－1<x <3}，N ＝{x |log 2x <0}＝{x |0<x <1}，所以M ∩N ＝{x |0<x <1}，选C.]2．D [利用不等式的性质，选D.]3．B [因为p －q ＝b 2a ＋a 2b －a －b ＝（b －a ）2（b ＋a ）ab≤0，所以p ≤q ，则选B.]4．B [因为不等式x 2－ax ＋a >0(a ∈R )在R 上恒成立的充分条件是Δ＝a 2－4a <0，即0<a <4，所以不等式x 2－ax ＋a >0(a ∈R )在R 上恒成立的充分不必要条件是0<a <2，故选B.]5．D6．A [设|2x ＋1|>a 的解集为A ，x －12x －1>0的解集为B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >1，或x <12，因为p 是q 的必要但不充分条件，所以B ⊆A ，然后利用排除法选A ；]7．B [令f (x )＝x 2－kx ＋1，因为方程x 2－kx ＋1＝0的二根分别在区间(0，1)和(1，2)内，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （0）>0，f （1）<0，f （2）>0即k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52.] 8．C [由题意可知f (－x )＝f (x )，即(－x －2)(－ax ＋b )＝(x －2)(ax ＋b )，(2a －b )x ＝0恒成立，故2a －b ＝0，即b ＝2a ，则f (x )＝a (x －2)(x ＋2)．又函数在(0，＋∞)上单调递增，所以a >0.f (2－x )>0即ax (x －4)>0，解得x <0或x >4.故选C]．9．－52 [因为不等式ax 2－3x ＋5>0的解集为{x |m <x <1}，所以a－3＋5＝0，得a ＝－2，由－2x 2－3x ＋5＝0解得x ＝1或x ＝－52，所以m ＝－52.]10．解 (1)已知得1，b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b >1，a >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＝3a ，1×b ＝2a即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2. (2)由(1)得原不等式可化为x 2－(2＋c )x ＋2c <0即(x －2)(x －c )<0所以当c >2时，所求不等式的解集为{x |2<x <c }当c <2时，所求不等式的解集为{x |c <x <2}当c ＝2时，所求不等式的解集为∅.考点20 二元一次不等式(组)与简单的线性规划【两年高考真题演练】1．A[如图，可行域为阴影部分，线性目标函数z ＝2x －y 可化为y ＝2x－z ，由图形可知当y ＝2x －z 过点⎝⎛⎭⎪⎫－1，12时z 最小，z min ＝2×(－1)－12＝－52，故选A.]2．B [不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．易知A (2，0)， 由⎩⎨⎧x －y ＝0，x ＋y ＝2，得B (1，1)． 由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z .∴当a ＝－2或a ＝－3时，z ＝ax ＋y 在O (0，0)处取得最大值，最大值为z max ＝0，不满足题意，排除C ，D 选项；当a ＝2或3时，z ＝ax ＋y 在A (2，0)处取得最大值，∴2a ＝4，∴a ＝2，排除A ，故选B.]3．A [xy ＝12×2xy ≤12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋y 22≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫1022＝252，当且仅当x ＝52，y ＝5时，等号成立，把x ＝52，y ＝5代入约束条件，满足．故xy 的最大值为252.]4．B[不等式组表示的区域如图，则图中A 点纵坐标y A ＝1＋m ，B 点纵坐标y B ＝2m ＋23，C 点横坐标x C ＝－2m ，∴S ＝S △ACD －S △BCD ＝12×(2＋2m )×(1＋m )－12×(2＋2m )×2m ＋23＝（m ＋1）23＝43， ∴m ＋1＝2或－2(舍)，∴m ＝1.]5．D [设甲、乙的产量分别为x 吨，y 吨，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝3x ＋4y ，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：可得目标函数在点A 处取到最大值．由⎩⎨⎧x ＋2y ＝8，3x ＋2y ＝12，得A (2，3)．则z max ＝3×2＋4×3＝18(万元)．]6．B [线性目标函数z ＝2x －y 满足的可行域如图所示．将直线l 0：y ＝2x 平行移动，当直线l 0经过点M (5，2)时，直线y ＝2x －z 在y 轴上的截距最小，也就是z 取最大值，此时z max ＝2×5－2＝8.]7．B [画出不等式组所确定的可行域(如图阴影部分)．由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋12z ，作直线l ：y ＝－12x ，平移l ，由图形可知当l 经过可行域中的点A (1，1)时，z 取最小值，且z min ＝1＋2×1＝3，故选B.]8．B [约束条件⎩⎨⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0满足的可行域如图中的阴影部分所示．由图可知，目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)取最小值时，最优解为(2，1)．所以2a ＋b ＝25，则b ＝25－2a ，所以a 2＋b 2＝a 2＋(25－2a )2＝5a 2－85＋20＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫a －4552＋4， 即当a ＝455，b ＝255时，a 2＋b 2有最小值4.]9．D 10.D11．B [画出约束条件所确定的可行域(如图阴影部分的区域)．作直线l 0：y ＝－2x ，平移直线l 0，由图形可知，当l 0经过可行域内的点A (2，－1)时，z 取最大值，即m ＝2×2＋(－1)＝3；当l 0经过可行域内的点B (－1，－1)时，z 取最小值，即n ＝2×(－1)＋(－1)＝－3，故m －n ＝3－(－3)＝6.故选B.]12．3 [约束条件的可行域如下图，由y x ＝y －0x －0，则最大值为3.]13.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32 [作出题中线性规划条件满足的可行域如图阴影部分所示，令z ＝ax ＋y ，即y ＝－ax ＋z .要使1≤z ≤4恒成立，则a >0.作直线l 0：y ＝－ax ，平移l 0，最优解可在A (1，0)，B (2，1)处取得．故由1≤z ≤4恒成立，可得⎩⎪⎨⎪⎧1≤a ≤4，1≤2a ＋1≤4，解得1≤a ≤32.] 【一年模拟试题精练】1．B [不等式组表示的可行域如图，A (1，2)，B (1，－1)，C (3，0)∵目标函数z ＝kx －y 的最小值为0，∴目标函数z ＝kx －y 的最小值可能在A 或B 时取得；∴①若在A 上取得，则k －2＝0，则k ＝2，此时，z ＝2x －y 在C 点有最大值，z ＝2×3－0＝6，成立；②若在B 上取得，则k ＋1＝0，则k ＝－1，此时，z ＝－x －y ，在B 点取得的应是最大值，故不成立，∴k ＝2，故答案为B. ]2．D [不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0表示的平面区域如图，结合图象可知|AM |的最小值为点A 到直线2x ＋y －2＝0的距离，即|AM |min ＝|2×（－2）＋0－2|5＝655.] 3．B [不等式组⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，（x －2y ）（x －2y ＋6）≤0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≥0，x －2y ＋6≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x －2y ＋6≥0画出不等式组表示的平面区域，得到z ＝y ＋2x 的最小值为－5，故t ≤－5.]4．C [作出满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ≥a的可行域，如图△ABC 内部(含边界)，由此可见，必有a ≤1，作出直线x ＋2y ＝－5，由题设△ABC 必定在直线x ＋2y ＝－5的上面，当点A 在直线x ＋2y ＝－5时，a ＝－1，所以－1≤a ≤1，选C.]5．D [由题意作出其平面区域，则由目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为8，a ＋4b ＝8，则由a ·4b ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋4b 22得，ab ≤4，(当且仅当a ＝4，b ＝1时，等号成立)．故选D.]6．C [由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x <2，x ＋y －1≥0.作出可行域如图，联立⎩⎨⎧x ＝2，x ＋y －1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－1，∴A (2，－1)，联立⎩⎨⎧x ＋y －1＝0x －2y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝23，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23. 令u ＝2x －2y －1，则y ＝x －u 2－12，由图可知，当y ＝x －u 2－12经过点A (2，－1)时，直线y ＝x －u 2－12在y 轴上的截距最小，u最大，最大值为u ＝2×2－2×(－1)－1＝5；当y ＝x －u 2－12经过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23时，直线y ＝x －u 2－12在y 轴上的截距最大，u 最小，最小值为u ＝2×13－2×23－1＝－53，∴－53≤u <5，∴z ＝|u |∈[0，5)，故选C.]7．B [作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知，当OQ 垂直直线x ＋y －1＝0时，此时区域D 上的点到坐标原点的距离最小，最小值为原点到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝|－1|2＝22，故选B.]8.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－14 9．10 310.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ [不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x －m <0，y ＋m >0表示的平面区域如下图中的阴影部分所示：要使平面区域内存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，必须使点A 位于直线x －2y －2＝0的右下侧，所以，m －2(－m )－2>0，∴m >23，所以，答案填：⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞.]11．6 [作出现行约束条件的可行域，如右图所示：|x ＋3y |＝10×|x ＋3y |10，其中|x ＋3y |10表示可行域内的点到直线x ＋3y ＝0的距离，易知B (3，1)到直线x ＋3y ＝0的距离最小为|3＋3×1|10＝610，所以|x ＋3y |的最小值为6.]12．1 [画出平面区域D ，可得到一个直角三角形，要使圆C 的半径r 最大，只要圆C 和直角三角形相内切，由平面几何知识可求得r 的最大值为1.]13．e 2－2 [画出⎩⎨⎧x ＋2y ≥2，e x－y ≥0，0≤x ≤2对应的平面区域，如图所示．M (x ，y )所在平面区域的面积为⎠⎛02e xd x －S △AOB ＝e x⎪⎪⎪20－12×2×1＝e 2－e 0－1＝e 2－2.]14．11 [不等式组在直角坐标平面内所对应的区域如下图阴影部分所示：由z ＝x ＋3y 得：y ＝－13x ＋z 3，它表示斜率为－13，在y 轴上的截距为z3的一组平行直线，并且在y 轴上的截距越大则z 越大；由图可知，当直线经过点A 时，截距最大；解方程组⎩⎨⎧y ＝2x －1y ＝x ＋1，得⎩⎨⎧x ＝2y ＝3所以当⎩⎨⎧x ＝2y ＝3时，z 取得最大值：11故答案应填：11.]考点21 基本不等式【两年高考真题演练】1．C [由题意1a ＋1b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab ≥4，当且仅当a ＝b ＝2时，取等号．故选C.]2．D [由log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，得12log 2(3a ＋4b )＝12log 2(ab )，所以3a ＋4b ＝ab ，即3b ＋4a ＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫3b ＋4a ＝3a b ＋4b a ＋7≥43＋7，当且仅当3a b ＝4ba ，即a ＝23＋4，b ＝3＋23时取等号．故选D.]3.2 [由题意，得x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋（2y ）2－x 22yx ＝x 2＋2y 22xy ≥2x 2·2y 22xy ＝2，当且仅当x ＝2y 时取等号．] 4．32 [∵a ，b ＞0，a ＋b ＝5，∴(a ＋1＋b ＋3)2＝a ＋b ＋4＋2a ＋1b ＋3≤a ＋b ＋4＋(a ＋1)2＋(b ＋3)2＝a ＋b ＋4＋a ＋b＋4＝18，当且仅当a ＝72，b ＝32时，等号成立，则a ＋1＋b ＋3≤32，即a ＋1＋b ＋3最大值为3 2.]5．－26.6－24 [由sin A ＋2sin B ＝2sin C 及正弦定理可得a ＋2b ＝2c .故cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋2b 222ab＝3a 2＋2b 2－22ab 8ab ≥26ab －22ab 8ab ＝6－24， 当且仅当3a 2＝2b 2，即a b ＝23时等号成立．所以cos C 的最小值为6－24.]7．160 [设池底长x m ，宽y m ，则xy ＝4，所以y ＝4x ，则总造价为：f (x )＝20xy ＋2(x ＋y )×1×10＝80＋80x ＋20x ＝20⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ＋80，x ∈(0，＋∞)．所以f (x )≥20×2x ·4x ＋80＝160，当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时，等号成立．所以最低总造价是160元．]8.539 [由于AB ⊥BC ，AB ＝15 m ，AC ＝25 m ，所以BC ＝252－152＝20 m.过点P 作PN ⊥BC 交BC 于N ，连接AN (如图)，则∠P AN ＝θ，tan θ＝PN AN .设NC ＝x (x >0)，则BN ＝20－x ，于是AN ＝AB 2＋BN 2＝152＋（20－x ）2＝x 2－40x ＋625，PN ＝NC ·tan 30°＝33x ， 所以tan θ＝33xx 2－40x ＋625＝331－40x ＋625x 2＝33625x 2－40x ＋1，令1x ＝t ，则625x 2－40x ＋1＝625t 2－40t ＋1，当t ＝4125时，625t 2－40t ＋1取最小值925，因此625x 2－40x ＋1的最小值为925＝35，这时tan θ的最大值为33×53＝539⎝ ⎛⎭⎪⎫此时x ＝1254.] 9．(1)1 900 (2)100 [(1)l ＝6.05，则F ＝76 000v v 2＋18v ＋121＝76 000v ＋18＋121，由基本不等式v ＋121v ≥2121＝22，得F ≤7600022＋18＝1 900(辆/时)，故答案为1 900.(2)l ＝5，F ＝76 000vv 2＋18v ＋100＝76 000v ＋18＋100v ，由基本不等式v ＋100v ≥2100＝20，得F ≤76 00020＋18＝2 000(辆/时)，增加2 000－1 900＝100(辆/时)，故答案为100.]【一年模拟试题精练】1．B [(a －b )＋1a －b ≥2中必须满足a －b >0，故选B.]2．C [∵x ＝－2时，y ＝log a 1－1＝－1，∴函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点(－2，－1)即A (－2，－1)，∵点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上， ∴－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1，∵mn >0，∴m >0，n >0，1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋4m ＋2n n ＝2＋n m ＋4mn ＋2≥4＋2·n m ·4mn ＝8，当且仅当m ＝14，n ＝12时取等号．]3．B [由题意，设利润为y 元，租金定为3 000＋50x 元(0≤x ≤70，x ∈N )，则y ＝(3 000＋50x )(70－x )－100(70－x )＝(2 900＋50x )(70－x )＝50(58＋x )(70－x )≤50⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫58＋x ＋70－x 22， 当且仅当58＋x ＝70－x ，即x ＝6时，等号成立，故每月租金定为3 000＋300＝3 300(元)，故选B.]4．D [因为12a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2b (a ＋b )＝52＋b 2a ＋2a b ≥52＋2＝92，所以－12a －2b ≤－92，则选D.]5．②③ [①中，若a <b <0时不成立；②若a ≥b >－1，则a ＋1≥b ＋1>0，则a (1＋b )－b (1＋a )＝a －b ≥0，即a (1＋b )≥b (1＋a )，∴a 1＋a ≥b 1＋b，故②正确；③中正整数m ，n 满足m <n ，有均值不等式得m （n －m ）≤n2，故③正确；④中，0<x <1时，ln x <0，结论不成立．综上，正确命题的序号是②③.]6.12 [∵α∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，∴tan α∈(0，＋∞)， ∴sin 2αsin 2α＋4cos 2α＝2sin α·cos αsin 2α＋4cos 2α＝2tan αtan 2α＋4 ＝2tan α＋4tan α≤22tan α×4tan α＝12当且仅当tan α＝4tan α，即tan α＝2时，等号成立所以，答案应填12.]7．3 [因为正数x ，y 满足2x ＋y －3＝0，所以13(2x ＋y )＝1，∴x ＋2y xy ＝13(2x ＋y )x ＋2y xy ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫2x y ＋2y x ＋5≥3.]8．22 [∵a >b >0，∴a －b >0 ∴a 2＋b 2a －b ＝（a －b ）2＋2aba －b ＝(a －b )＋2a －b≥2（a －b ）·2a －b≥2 2.当且仅当(a －b )＝2a －b 即：a ＝b ＋2时等号成立．所以答案应填2 2.]9．4 [由已知得a 2＋ab ＋ac ＋bc ＝(a ＋b )(a ＋c )＝4， 则2a ＋b ＋c ＝(a ＋b )＋(a ＋c )≥2（a ＋b ）（a ＋c ）＝4，∴2a ＋b ＋c 的最小值为4.]10．(－4，2) [∵2x ＋1y ＝1，∴x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋xy ≥8∵x ＋2y ≥m 2＋2m 恒成立，∴m 2＋2m <8，求得－4<m <2，故答案为：－4<m <2.]11．4 [∵x >0，y >0，n >0，nx ＋y ＝1，∴1x ＋4y ＝(nx ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝n ＋4＋2y x ·4ny ＝n ＋4＋4n ，当且仅当y ＝2nx 时取等号．∴n ＋4＋4n ＝16，解得n ＝4.故答案为：4.]12．解 (1)依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧4＋1＝5a ，4×1＝b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4，(2)由(1)知f (x )＝1x ＋41－x，∵0<x <1，∴0<1－x <1, 1x >0，41－x>0，∴1x ＋41－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋41－x [x ＋(1－x )]＝1－x x ＋4x 1－x＋5≥9，当且仅当1－x x ＝4x 1－x ，即x ＝13时，等号成立． ∴f (x )的最小值为9.。

2016高考数学(文)一轮模拟训练第五章数列5-4b(新课标)

2016高考数学(文)一轮模拟训练第五章数列5-4b(新课标)

限时·规范·特训[A 级 基础达标]1. [2015·山东省泰安市联考]在等差数列{a n }中，a 9＝12a 12＋6，则数列{a n }的前11项和S 11等于( )A ．24 B. 48 C. 66D. 132解析：解法一：设数列{a n }的公差为d ，首项为a 1， 则由题意得a 1＋8d ＝12(a 1＋11d )＋6， 整理得a 1＋5d ＝12，即a 6＝12， 因此S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11a 6＝132.故选D. 解法二：由a 9＝12a 12＋6得a 6＋a 122＝12a 12＋6， 所以a 6＝12，S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11a 6＝132， 故选D. 答案：D2. 若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和S n 为( )A. 2n ＋n 2－1B. 2n ＋1＋n 2－1C. 2n ＋1＋n 2－2D. 2n ＋n 2－2解析：S n ＝(2＋22＋23＋…＋2n )＋[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＝2(1－2n )1－2＋n (1＋2n －1)2＝2n ＋1－2＋n 2. 答案：C3. [2015·西安模拟]数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，且a 1＝1，S n是数列{a n }的前n 项和，则S 21＝( )A. 212B. 6C. 10D. 11解析：依题意得a n ＋a n ＋1＝a n ＋1＋a n ＋2＝12，则a n ＋2＝a n ，即数列{a n }中的奇数项、偶数项分别相等，则a 21＝a 1＝1，S 21＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 19＋a 20)＋a 21＝10(a 1＋a 2)＋a 21＝10×12＋1＝6.故选B.答案：B4. 数列1，11＋2，11＋2＋3，…，11＋2＋3＋…＋n 的前n 项和为95，则正整数n 的值为( )A. 6B. 8C. 9D. 10解析：由1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2， ∴S n ＝21·2＋22·3＋…＋2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝95. ∴1－1n ＋1＝1－110，∴n ＋1＝10即n ＝9.故选C.答案：C5. 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －12n ，前n 项和S n ＝32164，则项数n 等于( )A. 13B. 10C. 9D. 6解析：∵a n ＝1－12n ，∴S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－18＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＝n －⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋18＋…＋12n ＝n －12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12 ＝n －1＋12n .则S n ＝32164＝n －1＋12n ，观察可得n ＝6.故选D. 答案：D6. 已知等差数列{a n }的公差d ＝－2，a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝50，那么a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99的值是( )A. －78B. －82C. －148D. －182解析：∵a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝(a 1＋2d )＋(a 4＋2d )＋(a 7＋2d )＋…＋(a 97＋2d ) ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＋2d ×33 ＝50＋66×(－2) ＝－82. 答案：B7. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝________.解析：由S 3＝－3S 2可得a 1＋a 2＋a 3＝－3(a 1＋a 2)，即a 1(1＋q ＋q 2)＝－3a 1(1＋q )，化简整理得q 2＋4q ＋4＝0，解得q ＝－2.答案：－28. 等差数列{a n }中a 1＝1，前n 项和S n 满足S 4S 2＝4，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.解析：设公差为d ，则由S 4S 2＝4得d ＝2，∴S n ＝na 1＋n (n －1)d 2＝n ＋n (n －1)＝n 2. 答案：n 29. [2015·辽宁五校联考]已知数列{a n }满足a n ＝1＋2＋3＋…＋nn，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和为________．解析：a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＝n ＋12，1a n a n ＋1＝ 4(n ＋1)(n ＋2)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2，所求的前n 项和为4⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2 ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n ＋2＝2nn ＋2. 答案：2n n ＋210. [2015·郑州模拟]已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2，且a 2，a 3，a 4＋1成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n ＋2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)由a 2，a 3，a 4＋1成等比数列，得a 23＝a 2(a 4＋1)． 设数列{a n }的公差为d ，且a 1＝2， 则(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋3d ＋1)，即d 2－d －2＝0，解得d ＝－1或d ＝2.当d ＝－1时，a 3＝0，与a 2，a 3，a 4＋1成等比数列矛盾， ∴d ＝2，数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋2(n －1)＝2n (n ∈N *)．11. 已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n2n －1，①故S 1＝1，S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n2n .② 所以，当n >1时，①－②得 S n2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n 2n＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋…＋12n －1－2－n 2n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1－2－n 2n ＝n 2n . 所以S n ＝n2n －1.当n ＝1时也成立． 综上，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n2n －1.12. [2015·济宁模拟]设数列{a n }满足a 1＝5，a n ＋1＋4a n ＝5(n ∈N *)． (1)是否存在实数t ，使数列{a n ＋t }是等比数列？ (2)设数列b n ＝|a n |，求数列{b n }的前2015项和S 2015. 解：(1)由a n ＋1＋4a n ＝5得a n ＋1＝－4a n ＋5. 令a n ＋1＋t ＝－4(a n ＋t )，得a n ＋1＝－4a n －5t ，则－5t ＝5，t ＝－1， 从而a n ＋1－1＝－4(a n －1)．又a 1－1＝4，∴数列{a n －1}是首项为4，公比为－4的等比数列， ∴存在实数t ＝－1，使数列{a n ＋t }是等比数列．(2)由(1)得a n －1＝4·(－4)n －1，∴a n ＝1－(－4)n ，∴b n ＝|a n |＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋4n，n 为奇数，4n －1，n 为偶数，∴S 2015＝b 1＋b 2＋…＋b 2015＝(1＋41)＋(42－1)＋(1＋43)＋(44－1)＋…＋(1＋42015)＝41＋42＋43＋…＋42015＋1＝4－420161－4＋1＝42016－13.[B 级 知能提升]1. 已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且满足2a n －a 1＝S 1·S n (a 1≠0，n ∈N *)，则a 7等于( )A. 16B. 32C. 64D. 128解析：令n ＝1，则a 1＝1，当n ＝2时，2a 2－1＝S 2＝1＋a 2，解得a 2＝2，当n ≥2时，由2a n －1＝S n ，得2a n －1－1＝S n －1，两式相减， 解得2a n －2a n －1＝a n ，即a n ＝2a n －1，于是数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列， 因此a n ＝2n －1.故a 7＝26＝64. 答案：C2. [2015·江门模拟]数列{a n }、{b n }满足a n b n ＝1，a n ＝n 2＋3n ＋2，则{b n }的前10项之和为( )A. 13B. 512C. 12D. 712解析：b n ＝1a n ＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2，S 10＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10＝12－13＋13－14＋14－15＋…＋111－112＝12－112＝512. 答案：B3. [2015·河南省平顶山模拟]设数列{a n }的通项为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________.解析：∵a n ＝2n －10，∴a 1＝－8，公差d ＝2. ∴当1≤n ≤5时，a n ≤0， 当n >5时，a n >0， 则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋…＋a 5)＋(a 6＋a 7＋…＋a 15) ＝－S 5＋S 15－S 5 ＝S 15－2S 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－8×15＋15×142×2－2×⎝⎛⎭⎪⎫－8×5＋5×42×2 ＝130. 答案：1304. [2014·山东高考]已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝(－1)n －14na n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×12×2＝2a 1＋2， S 4＝4a 1＋4×32×2＝4a 1＋12， 由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)， 解得a 1＝1， 所以a n ＝2n －1. (2)b n ＝(－1)n －14na n a n ＋1＝(－1)n －14n(2n －1)(2n ＋1)＝(－1)n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1. 当n 为偶数时，T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＋12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1＝1－12n ＋1＝2n 2n ＋1. 当n 为奇数时，T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋…－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＋12n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1. 所以T n＝⎩⎨⎧2n ＋22n ＋1，n 为奇数，2n2n ＋1，n 为偶数.⎝ ⎛⎭⎪⎫或T n ＝2n ＋1＋(－1)n －12n ＋1。

2016版《一点一练》高考数学(理科)专题演练：第三章-三角函数、解三角形(含两年高考一年模拟)

2016版《一点一练》高考数学(理科)专题演练：第三章-三角函数、解三角形(含两年高考一年模拟)

1.(2015·福建)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( ) A.125 B ．－125 C.512 D ．－5122．(2015·新课标全国Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A ．－32 B.32 C ．－12 D.123．(2015·重庆)若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π5＝( )A ．1B ．2C ．3D ．44．(2014·新课标全国Ⅰ)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2 C ．3α＋β＝π2 D ．2α＋β＝π25．(2015·四川)sin 15°＋sin 75°的值是________．6．(2015·四川)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________．7．(2015·江苏)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________． 8．(2015·广东)已知tan α＝2.(1)求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值；(2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．9．(2014·江西)已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值．(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4＝－25，a ∈(π2，π)，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋π3的值．10．(2014·四川)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．1．(2015·蚌埠市模拟)设a ＝tan 130°，b ＝cos(cos 0°)，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋120，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >b >cD ．b >c >a2．(2015·辽宁丹东模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则tan α＝( )A.43B.34 C ．－34 D ．±343．(2015·河北正定模拟)已知角α的终边经过点P (m ，4)，且cos α＝－35，则m ＝( )A ．－3B ．－92 C.92 D ．34．(2015·甘肃模拟)定义行列式运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1 a 2a 3 a 4＝a 1a 4－a 2a 3.若将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－sin x cos x 1 －3的图象向左平移m (m >0)个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m 的最小值是( )A.π6B.π3C.2π3D.5π65．(2015·福建宁德模拟)已知函数f (x )＝23sin(π－x )·cos x －1＋2cos 2 x ，其中x ∈R ，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )的一条对称轴是x ＝π2B ．f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6上单调递增C ．f (x )是最小正周期为π的奇函数D ．将函数y ＝2sin 2x 的图象左移π6个单位得到函数f (x )的图象6．(2015·江西师大模拟)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2且tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝3，则lg(sin α＋2cos α)－lg(3sin α＋cos α)＝________．7．(2015·东北三省三校模拟)已知函数y ＝sin(πx ＋φ)－2cos(πx ＋φ)(0<φ<π)的图象关于直线x ＝1对称，则sin 2φ＝________．8．(2015·江苏启东模拟)设常数a 使方程sin x ＋3cos x ＝a 在闭区间[0，2π]上恰有三个解x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝________．9．(2015·北京四中模拟)设f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ，其中a ，b ∈R ，ab ≠0.若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对一切x ∈R 恒成立，则以下结论正确的是________(写出所有正确结论的编号)．①f ⎝⎛⎭⎪⎫11π12＝0；②⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5；③f (x )既不是奇函数也不是偶函数；④f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )；⑤经过点(a ，b )的所有直线均与函数f (x )的图象相交．10．(2015·江苏启东模拟)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3(0≤x ≤5)，点A ，B 分别是函数y ＝f (x )图象上的最高点和最低点． (1)求点A ，B 的坐标以及OA→·OB →的值； (2)设点A ，B 分别在角α，β(α，β∈[0，2π])的终边上，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－2β的值．考点11 三角函数的图象与性质两年高考真题演练1.(2015·新课标全国Ⅰ)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈ZC.⎝⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 2．(2015·陕西)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．103．(2015·四川)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )A ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x4．(2014·山东)函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )5．(2014·新课标全国Ⅰ)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③6．(2014·福建)将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0对称7．(2014·江西)已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a ∈R ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.(1)若a ＝2，θ＝π4时，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与最小值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，f (π)＝1，求a ，θ的值．1．(2015·x ＝π6对称，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值为( )A ．0B ．3C ．－2D ．2或－22．(2015·朝阳区模拟)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象为C ，下面结论中正确的是( )A ．函数f (x )的最小正周期是2πB ．图象C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称C ．图象C 可由函数g (x )＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位得到D ．函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π2上是增函数3．(2015·河北正定模拟)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期为π，则( )A ．f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫0，12B ．f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，2π3上是减函数C ．f (x )的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0D ．将f (x )的图象向右平移|φ|个单位得到y ＝2sin ωx 的图象4．(2015·广东江门模拟)函数f (x )＝sin(x ＋φ)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3上单调递增，常数φ的值可能是( )A ．0 B.π2 C ．π D.3π25．(2015·辽宁丹东模拟)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ⎝⎛⎭⎪⎫|θ|<π2，且其图象关于y 轴对称，则函数y ＝f (x )的一个单调递减区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πC.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－π4D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π 6．(2015·安徽淮南模拟)将函数y ＝cos x 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移π4个单位，所得函数图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝πB ．x ＝π2 C ．x ＝π3 D ．x ＝π47．(2015·江苏泰州模拟)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π6的最小正周期为________．8．(2015·福建龙岩模拟)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)在某一个周期的图象时，列表并填入的部分数据如下表：(1)求x 123(2)将函数f (x )的图象向左平移π个单位，可得到函数g (x )的图象，求函数y ＝f (x )·g (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，5π3的最小值．1．a ，b ，c .若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2Asin 2 A的值为( )A ．－19 B.13 C ．1 D.722．(2014·广东)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的( )A ．充分必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件3．(2014·新课标全国Ⅱ)钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5 B. 5 C ．2 D ．14．(2014·湖北)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A ＝π6，a ＝1，b ＝3，则B ＝________．5．(2015·福建)若锐角△ABC 的面积为103，且AB ＝5，AC ＝8，则BC 等于________．6．(2015·广东)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________．7．(2015·湖北)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.8．(2014·广东)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .已知b cos C ＋c cos B ＝2b ，则ab ＝________.9．(2014·四川)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m ，则河流的宽度BC 约等于________m ．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，3≈)10．(2014·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝14a ，2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为________．11．(2014·新课标全国Ⅰ)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．12．(2014·安徽)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B .(1)求a 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4的值．考点12 解三角形 一年模拟试题精练1．(2015·大兴区模拟)在△ABC 中，a ＝2，b ＝3，B ＝π3，则A 等于( ) A.π6 B.π4 C.3π4 D.π4或3π42．(2015·宿州市模拟)在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin Bsin C 的值为( )A.35B.53C.58D.853．(2015·宣城市模拟)在△ABC 中，已知AB ＝43，AC ＝4，∠B ＝30°，则△ABC 的面积是( )A ．4 3B ．8 3C ．43或8 3 D. 34．(2015·皖江名校模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a b ＝b ＋3ca ，sin C ＝23sin B ，则tan A ＝( )A. 3 B ．1 C.33 D ．－ 35．(2015·江西师大模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，b ＝c ，且满足sin B sin A ＝1－cos B cos A ，若点O 是△ABC 外一点，∠AOB ＝θ(0<θ<π)，OA ＝2OB ＝2，则平面四边形OACB 面积的最大值是( )A.8＋534B.4＋534 C ．3 D.4＋526．(2015·东城区模拟)在△ABC 中，a ＝3，b ＝13，B ＝60°，则c ＝________；△ABC 的面积为________．7．(2015·广东茂名模拟)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝3，C ＝120°，△ABC 的面积S ＝1534，则c 为________．8．(2014·江苏扬州模拟)如图，在△ABC 中，已知AB ＝4，AC ＝3，∠BAC ＝60°，点D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且DE ＝2，则S 四边形BCEDS △ABC的最小值等于________．9．(2015·泰州市模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若∠B ＝∠C 且7a 2＋b 2＋c 2＝43，则△ABC 面积的最大值为________．10．(2015·甘肃模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且b cos C ＝3a cos B －c cos B .(1)求cos B 的值；(2)若BA →·BC →＝2，且b ＝22，求a 和c 的值．第三章 三角函数、解三角形考点10 同角三角函数的基本关系、诱导公式、三角恒等变换 【两年高考真题演练】1．D [∵sin α＝－513，且α为第四象限角，∴cos α＝1213，∴tan α＝sin αcos α＝－512，故选D.]2．D [sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝12.]3．C [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π5sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－π5 ＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin α·cos π5－cos αsin π5＝tan αtan π5＋1tan αtan π5－1＝2＋12－1＝3.]4．B [由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋sinβcos α，所以sin(α－β)＝cos α，又cos α＝sin(π2－α)，所以sin(α－β)＝sin(π2－α)，又因为α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，所以－π2<α－β<π2，0<π2－α<π2，因此α－β＝π2－α，所以2α－β＝π2，故选B.]5.62 [sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝2sin(15°＋45°)＝2sin 60°＝62.]6．－1 [sin α＋2cos α＝0，∴sin α＝－2cos α，∴tan α＝－2， 又∵2sin αcos α－cos 2α＝2sin α·cos α－cos 2x sin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1， ∴原式＝2×（－2）－1（－2）2＋1＝－1.] 7．3 [∵tan α＝－2，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－2＋tan β1＋2tan β＝17，解得tan β＝3.]8．解 (1)tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝tan α＋11－tan α＝2＋11－2＝－3；(2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－（2cos 2α－1）－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α ＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×222＋2－2 ＝1.9．解 (1)因为f (x )＝(a ＋2cos 2 x )cos(2x ＋θ)是奇函数，而y 1＝a ＋2cos 2 x 为偶函数，所以y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函数．又θ∈(0，π)，得θ＝π2，所以f (x )＝－sin 2x ·(a ＋2cos 2x )，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0得－(a ＋1)＝0，即a ＝－1.(2)由(1)得，f (x )＝－12sin 4x ，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4＝－12sin α＝－25， 即sin α＝45，又a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，从而cos a ＝－35，所以有sin ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋π3＝sin a cos π3＋cos a sin π3＝4－3310.10．解 (1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ， 得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z .所以，函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z . (2)由已知，有sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45cos(α＋π4)(cos 2 α－sin 2 α)，所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2 α－sin 2 α)，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，知α＝3π4＋2k ，k ∈Z . 此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，有(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，知cos α－sin α<0，此时cos α－sin α＝－52. 综上所述，cos α－sin α＝－2或－52. 【一年模拟试题精练】1．B [a ＝tan 130°<0，b ＝cos(cos 00)＝cos 1，∴0<b <1；c ＝1，故选B.]2．B [因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，3π2，所以sin α＝－35，cos α＝－45，∴tan α＝34，故选B.]3．A [cos α＝m16＋m2＝－35，∴m ＝－3，故选A.]4．A[f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－sin x cos x 1 －3＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π6向左平移m (m >0)个单位后，所得图象对应的函数f (x )＝2sin(x －π6＋m )为奇函数，所以m 的最小值是π6，故选A.]5．B [因为f (x )＝23sin(π－x )·cos x －1＋2cos 2 x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6，可以排除A ，C ，D ，故选B.] 6．0 [由tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝3得1＋tan α1－tan α＝3，cos α＋sin αcos α－sin α＝3有cos α＝2sin α，lg(sin α＋2cos α)－lg(3sin α＋cos α)＝lg 1＝0.]7．－45 [因为y ＝sin(πx ＋φ)－2cos(πx ＋φ)的图象关于直线x ＝1对称，所以f (1＋x )＝f (1－x )，所以得到tan φ＝－12，则sin φ＝55，cos φ＝－255，所以sin 2φ＝－45.]8.7π3 [sin x ＋3cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π3＝a ，直线与三角函数图象的交点，在[0，2π]上，当a ＝3时，直线与三角函数图象恰有三个交点，令sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π3＝32⇒x ＋π3＝2k π＋ π3或x －π3＝k π－2π3(k ∈Z )，即x ＝2k π或x ＝2k π＋π3(k ∈Z )，∴此时x 1＝0，x 2＝π3，x 3＝2π，∴x 1＋x 2＋x 3＝7π3.]9．①③⑤ [f (x )＝a 2＋b 2sin(2x ＋θ)，θ为参数．因为f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6，所以x ＝π6是三角函数的对称轴，且周期为T ＝2πω＝2π2＝π，所以2×π6＋θ＝π2＋k π，k ∈Z ，所θ＝π6＋k π，k ∈Z ，所以f (x )＝a 2＋b 2sin(2x ＋π6＋k π)＝±a 2＋b 2sin(2x ＋π6)．①f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫11π12＝±a 2＋b 2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2×11π12＋π6＝±a 2＋b 2sin 2π＝0，所以正确． ②⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫7π12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪±a 2＋b 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4π3＝32a 2＋b 2， ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪±a 2＋b 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2π5＋π6＝a 2＋b 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫17π30， 因为sin 17π30>sin 2π3＝32，所以|f (π5)|>32a 2＋b 2，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π5>⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪7π12，所以②错误．③函数既不是奇函数也不是偶函数，所以③正确．因为f (x )＝a 2＋b 2sin(2x ＋π6＋k π)＝±a 2＋b 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以单调性需要分类讨论，所以④不正确．假设使经过点(a ，b )的直线与函数f (x )的图象不相交，则此直线须与横轴平行，有|b |>a 2＋b 2，即b 2>a 2＋b 2，所以矛盾，故不存在经过点(a ，b )的直线于函数f (x )的图象不相交故⑤正确．所以正确的是①③⑤.]10．解 (1)∵0≤x ≤5，∴π3≤π6x ＋π3≤7π6∴－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3≤12， 当π6x ＋π3＝π3，即x ＝0时，f (x )取得最大值1，当π6x ＋π3＝π即x ＝4时，f (x )取得最小值－2.因此，所求的坐标为A (0，1)，B (4，－2)．则OA→＝(0，1)，OB →＝(4，－2)，∴OA →·OB →＝－2； (2)∵点A (0，1)，B (4，－2)．分别在角α，β(α，β∈[0，2π])的终边上，则α＝π2，sin β＝－55，cos β＝255，则sin 2β＝2sin βcos β＝2×⎝⎛⎭⎪⎫－55×255＝－45， cos 2β＝2cos 2β－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2552－1＝35， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－2β＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2β＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫35＋45＝7210. 考点11 三角函数的图象与性质 【两年高考真题演练】1．D [由图象知T 2＝54－14＝1，∴T D 正确．]2．C [由题干图易得y min ＝k －3＝2，则k ＝5.∴y max ＝k ＋3＝8.]3．A [A 选项：y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，T ＝π，且关于原点对称，故选A.]4．D [因f (－x )＝－x ·cos(－x )＋sin(－x )＝－(x cos x ＋sin x )＝－f (x )，故该函数为奇函数，排除B ，又x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，y >0，排除C ，而x ＝π时，y ＝－π，排除A ，故选D.]5．A [①y ＝cos|2x |，最小正周期为π；②y ＝|cos x |，最小正周期为π；③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6，最小正周期为π；④y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π4，最小正周期为π2，所以最小正周期为π的所有函数为①②③，故选A.]6．D [函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位后，得到函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π2＝cos x 的图象，f (x )＝cos x 为偶函数，排除A ；f (x )＝cos x 的周期为2π，排除B ；因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＝cos π2＝0，所以f (x )＝cos x 不关于直线x ＝π2对称，排除C ；故选D.]7．解 (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2 ＝22(sin x ＋cos x )－2sin x ＝22cos x －22sin x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ， 因为x ∈[0，π]，从而π4－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4， 故f (x )在[0，π]上的最大值为22，最小值为－1.(2)由⎩⎨⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0f （π）＝1得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ（1－2a sin θ）＝02a sin 2θ－sin θ－a ＝1， 又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2知cos θ≠0， 解得⎩⎨⎧a ＝－1θ＝－π6. 【一年模拟试题精练】1．D [利用排除法，因为f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω≠0)的图象关于直线x ＝π6对称，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＝±2，故选D.] 2．B [函数f (x )的最小正周期是π，故A 错误；图象C 可由函数g (x )＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位得到故C 错；函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π12，5π12上是增函数，故D 错；故选B.]3．C [因为设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的图象关于直线x＝2π3对称，它的周期为π，所以φ＝π6，ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋π6)(ω>0，－π2<φ<π2)，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5π12＝0，所以f (x )的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5π12，0，故选C.] 4．D [当φ＝3π2时，f (x )＝－cos x 在区间⎝⎛⎭⎪⎪⎫π3，2π3上单调递增，故选D.] 5．C [因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ＋θ－π3的图象关于y 轴对称，所以θ＝－π6，所以f (x )＝－2cos 12x 在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，－π4递减，故选C.] 6．D [由题意知f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x －π8，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12·π4－π8＝1，故选D.] 7.2π3 [T ＝2πω＝2π3.] 8．解 (1)由2π3ω＋φ＝0，8π3ω＋φ＝π可得：ω＝12，φ＝－π3.由12x 1－π3＝π2；12x 2－π3＝3π2；12x 3－π3＝2π可得：x 1＝5π3，x 2＝11π3，x 3＝14π3.又∵A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×5π3－π3＝2，∴A ＝2. ∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3. (2)由f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3的图象向左平移π个单位， 得g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3＋π2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的图象， ∴y ＝f (x )·g (x )＝2×2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －2π3 ∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5π3时，x －2π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，π ∴当x －2π3＝－π2时，即x ＝π6时，y min ＝－2.考点12 解三角形【两年高考真题演练】1．D [由正弦定理可得2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin B sin A 2－1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－1，因为3a ＝2b ，所以b a ＝32，所以2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－1＝72.] 2．A [由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ，故a ≤b ⇔sin A ≤sin B ，选A.]3．B [S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×1×2sin B ＝12，∴sin B ＝22，若B ＝45°，则由余弦定理得AC ＝1，∴△ABC 为直角三角形，不符合题意，因此B ＝135°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2－2×1×2×(－22)＝5，∴AC ＝ 5.故选B.]4.π3或2π3 [由正弦定理a sin A ＝b sin B 得sin B ＝b sin A a ＝32，又B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6，5π6，所以B ＝π3或2π3.] 5．7 [S ＝12AB ·AC ·sin A ，∴sin A ＝32，在锐角三角形中A ＝π3，由余弦定理得BC ＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝7.]6．1 [因为sin B ＝12且B ∈(0，π)，所以B ＝π6或B ＝5π6.又C ＝π6，所以B ＝π6，A ＝π－B －C ＝2π3.又a ＝3，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即3sin 2π3＝b sin π6，解得b ＝1.] 7．1006 [在△ABC 中，AB ＝600，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝75°－30°＝45°，由正弦定理得BC sin ∠BAC ＝AB sin ∠ACB，即BC sin 30°＝600sin 45°，所以BC ＝300 2.在△BCD 中，∠CBD ＝30°，CD ＝BC tan∠CBD ＝3002·tan 30°＝100 6.]8．2 [由正弦定理可得sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin B ，sin(B ＋C )＝2sin B ，sin A ＝2sin B ，∴a ＝2b ，则a b ＝2.]9．6010．－14 [由已知及正弦定理，得2b ＝3c ，因为b －c ＝14a ，不妨设b ＝3，c ＝2，所以a ＝4，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－14.] 11.3 [因为a ＝2，所以(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 可化为(a ＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，由正弦定理可得(a ＋b )(a －b )＝(c －b )c ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，又0<A <π，故A＝π3，又cos A ＝12＝b 2＋c 2－42bc ≥2bc －42bc ，所以bc ≤4，当且仅当b ＝c 时取等号，由三角形面积公式知S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ·32＝34bc ≤3，故△ABC 面积的最大值为 3.]12．解 (1)因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B .由正、余弦定理得a ＝2b ·a 2＋c 2－b 22ac .因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，a ＝2 3.(2)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－13.由于0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－19＝223. 故sin(A ＋π4)＝sin A cos π4＋cos A sin π4＝223×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×22＝4－26. 【一年模拟试题精练】1．B [因为b >a ，有正弦定理得到sin A ＝22，∴A ＝π4，故选B.]2．A [根据余弦定理cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB ·AC＝25＋AC 2－492·5·AC ＝－12. ∴AC ＝3或AC ＝－8(排除)，根据正弦定理AC sin B ＝AB sin C ，即或3sin B ＝5sin C ，∴sin B sin C ＝35，故答案为35，故选A.]3．C4．C [因为a b ＝b ＋3c a ，sin C ＝23sin B ，所以c ＝23b ，a 2＝7b 2，由余弦定理得到cos A ＝32，∴tan A ＝33，故选C.]5．A [由已知得sin(A ＋B )＝sin A ⇒sin C ＝sin A ⇒c ＝a ，又b ＝c ，∴等边三角形ABC ，∴AB 2＝5－4cos θ，S OACB ＝12×1×2sin θ＋34AB 2＝sin θ－3cos θ＋534＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ－π3＋543≤2＋543＝8＋534选A.] 6．4 33 [由余弦定理得到b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，所以c 2－3c －4＝0，所以c ＝4；S △ABC ＝12ac sin B ＝12·3·4·32＝3 3.]7．7 [∵a ＝3，C ＝120°，△ABC 的面积S ＝1534， ∴1534＝12ab sin C ＝12×3b sin 120°，解得b ＝5. 由余弦定理可得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝32＋52－2×3×5×cos 120°＝49.解得c ＝7.故答案为：7.]8.23 [设AD ＝x ，AE ＝y (0<x ≤4，0<y ≤3)，则因为DE 2＝x 2＋y 2－2xy cos 60°， 所以x 2＋y 2－xy ＝4 ，从而4≥2xy －xy ＝xy ，当且仅当x ＝y ＝2时等号成立，所以S 四边形BCED S △ABC ＝1－S △ADE S △ABC ＝1－12xy sin 60°12×3×4sin 60°＝1－xy 12≥1－412＝23.] 9.55 [由∠B ＝∠C 得b ＝c ，代入7a 2＋b 2＋c 2＝43得， 7a 2＋2b 2＝43，即2b 2＝43－7a 2，由余弦定理得，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2b ，所以sin C ＝1－cos 2C ＝4b 2－a 22b ＝83－15a 22b， 则△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12ab ×83－15a 22b ＝14a 83－15a 2====Word 行业资料分享--可编辑版本--双击可删====源-于-网-络-收-集 ＝14a 2（83－15a 2）＝14×11515a 2（83－15a 2）≤14×115×15a 2＋83－15a 22＝14×115×43＝55，当且仅当15a 2＝83－15a 2取等号，此时a 2＝4315， 所以△ABC 的面积的最大值为55，故答案为：55.]10．解 (1)由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ， 则2R sin B cos C ＝6R sin A cos B －2R sin C cos B ，故sin B cos C ＝3sin A cos B －sin C cos B ，可得sin B cos C ＋sin C cos B ＝3sin A cos B ，即sin(B ＋C )＝3sin A cos B ，可得sin A ＝3sin A cos B ．又sin A ≠0，因此cos B ＝13.(2)由BA →·BC →＝2，可得ac cos B ＝2，又cos B ＝13，故ac ＝6，由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，可得a 2＋c 2＝12，所以(a －c )2＝0，即a ＝c ，所以a ＝c ＝ 6.。

2016届高考数学(理)总复习同步训练第5章数列(含解析)

2016届高考数学(理)总复习同步训练第5章数列(含解析)

第五章 数列、推理与证明 第1讲 数列的概念与简单表示法1．数列1，23，35，47，59，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝n 2n ＋1B ．a n ＝n 2n －1C ．a n ＝n2n －3 D ．a n ＝n2n ＋32．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝n 2＋2n －1，则( )A ．a n ＝2n ＋1(n ∈N *)B ．a n ＝2n －1(n ∈N *)C ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2 n ＝，2n ＋n ≥2，n ∈N * D ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＝，2n －n ≥2，n ∈N *3．在数列{a n }中，已知a 1＝1，且当n ≥2时，a 1a 2…a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝( )A.73B.6116C.3115D.1144．(2013年福建)阅读如图X5­1­1所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数n 后，输出的S ∈(10,20)，那么n ＝( )图X5­1­1A ．3B ．4C ．5D ．65．(2014年新课标Ⅱ)数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n，a 8＝2，则a 1＝________.6．已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N *，则a 2009＝________，a 2014＝________.7．(2013年浙江乐清一模)已知递增数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋kn ＋2，则实数k 的取值范围为________．8．(2013年广东江门一模)将集合{2s ＋2t|0≤s <t ，且s ，t ∈Z }中的元素按上小下大，左小右大的原则排成如图X5­1­2所示的三角形数表，将数表中位于第i 行第j 列的数记为b ij (i ≥j >0)，则b 43＝________.3 5 69 10 12 … … … …图X5­1­29．已知在等差数列{a n }和等比数列{b n }中，a 1＝b 1＝1，b 4＝8，{a n }的前10项和S 10＝55. (1)求a n 和b n ；(2)现分别从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率．10．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n (n ∈N *)，则当n 为多大时，a n 最大？第2讲等差数列1．(2014年福建)设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝2，S3＝12，则a6＝( ) A．8 B．10C．12 D．142．(2013年安徽)设S n为等差数列{a n}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝( ) A．－6 B．－4C．－2 D．23．(2014年天津)设{a n}是首项为a1，公差为－1的等差数列，S n为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1＝( )A．2 B．－2C.12D．－124．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＋a7＋a13的值是一个确定的常数，则下列各式：①a21；②a7；③S13；④S14；⑤S8－S5.其结果为确定常数的是( )A．②③⑤ B．①②⑤C．②③④ D．③④⑤5．(2013年新课标Ⅰ)设等差数列{a n}的前n项和为S n，S m－1＝－2，S m＝0，S m＋1＝3，则m ＝( )A．3 B．4C．5 D．66．(2014年辽宁)设等差数列{a n}的公差为d，若数列{2a1a n}为递减数列，则( ) A．d<0 B．d>0C．a1d<0 D．a1d>07．(2012年广东)已知递增的等差数列{a n}满足a1＝1，a3＝a22－4，则a n＝________.8．(2013年广东)在等差数列{a n}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________.9．(2013年四川)在等差数列{a n}中，a1＋a3＝8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{a n}的首项、公差及前n项和．10．(2013年新课标Ⅱ)已知等差数列{a n}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．(1)求{a n }的通项公式；(2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.第3讲 等比数列1．在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 7·a 10＝36，则a 15＝( ) A ．12 B ．－12 C ．6 D ．－62．(2013年江西)等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项为( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．243．设在公差d ≠0的等差数列{a n }中，a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 5a 2＋a 4＋a 6＝( )A.75B.57C.34D.434．(2014年重庆)对任意的等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比例列 D ．a 3，a 6，a 9成等比数列5．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝( ) A ．11 B ．5 C ．－8 D ．－116．(2013年新课标Ⅰ)设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )A ．S n ＝2a n －1B ．S n ＝3a n －2C ．S n ＝4－3a nD ．S n ＝3－2a n7．(2013年重庆)已知{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ≠0，S n 为其前n 项和．若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8＝________.8．(2013年江西)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *)等于__________．9．(2013年四川)在等比数列{a n }中，a 2－a 1＝2，且2a 2为3a 1和a 3的等差中项，求数列{a n }的首项、公比及前n 项和．10．(2014年北京)已知{a n }是等差数列，满足a 1＝3，a 4＝12，数列{b n }满足b 1＝4，b 4＝20，且{}b n －a n 是等比数列．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和．第4讲 数列的求和1．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( ) A ．33 B ．72 C ．84 D ．1892．(2013年新课标Ⅱ)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )A.13 B ．－13 C.19 D ．－193．(2014年新课标Ⅱ)等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( )A ．n (n ＋1)B ．n (n －1) C.n n ＋2 D.n n －24．(2014年大纲)在等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．35．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为( )A.100101 B.99101 C.99100 D.1011006．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n·(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( ) A ．15 B ．12 C ．－12 D ．－157．(2013年广东揭阳一模)已知等差数列{a n }满足a 1>0，5a 8＝8a 13，则当前n 项和S n 取最大值时，n ＝( )A ．20B ．21C ．22D ．23 8．如图X5­4­1，它满足：①第n 行首尾两数均为n ；②图中的递推关系类似杨辉三角．则第n (n ≥2)行的第2个数是______________．1 2 2 3 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5…… 图X5­4­19．(2014年新课标Ⅰ)已知{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2－5x ＋6＝0的根． (1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和．10．(2014年广东佛山一模)数列{a n }，{b n }的每一项都是正数，a 1＝8，b 1＝16，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列，n ＝1,2,3，….(1)求a 2，b 2的值；(2)求数列{}a n ，{}b n 的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，1a 1－1＋1a 2－1＋1a 3－1＋…＋1a n －1<27成立．第5讲 利用几类经典的递推关系式求通项公式1．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m ＝( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．122．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10，…这样的数称为“三角形数”，而把1,4,9,16，…这样的数称为“正方形数”．如图X5­5­1，可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的表达式是( )图X5­5­1①13＝3＋10；②25＝9＋16；③36＝15＋21；④49＝18＋31；⑤64＝28＋36. A ．①④ B．②⑤ C ．③⑤ D．②③3．数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列，且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝( )A ．0B ．3C ．8D ．11 4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若8a 2＋a 5＝0，则下列式子中数值不能确定的是( )A.a 5a 3B.S 5S 3C.a n ＋1a nD.S n ＋1S n5．(2013年新课标Ⅰ)若数列{a n }的前n 项和为S n ＝23a n ＋13，则数列{a n }的通项公式是a n＝________________________________________________________________________.6．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n3a n ＋1，则a n ＝________. 7．已知在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋n ，则数列{a n }的通项公式是a n ＝________________.8．已知在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋3n，则a n ＝________.9．(2014年新课标Ⅱ)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明：1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32.10．(2014年安徽)数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *. (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(2)设b n ＝3n·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .第6讲 合情推理和演绎推理1．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x .由归纳推理，得若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )2．(2014年广东茂名一模)已知21×1＝2,22×1×3＝3×4，23×1×3×5＝4×5×6,24×1×3×5×7＝5×6×7×8，…，依此类推，第n 个等式为________________ ________________________________________________________________________________________________________________________.3．(2013年陕西)观察下列等式：12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10照此规律，第n 个等式为_____________________________________________________． 4．如图X5­6­1，在平面上，用一条直线截正方形的一个角，则截下的一个直角三角形按如图X5­6­1(1)所标边长，由勾股定理，得c 2＝a 2＋b 2.设想把正方形换成正方体，把截线换成如图X5­6­1(2)所示的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O ­ABC ，若用s 1，s 2，s 3表示三个侧面面积，s 4表示截面面积，则可以类比得到的结论是__________________．(1) (2)图X5­6­15．已知cos π3＝12，cos π5·cos 2π5＝14，cos π7·cos 2π7·cos 3π7＝18，…，根据以上等式，可猜想出的一般结论是__________________________________________________．6．(2012年广东汕头一模)观察下列一组等式：21＋2＝4，21×2＝4，32＋3＝92，32×3＝92，43＋4＝163，43×4＝163，…，根据这些等式反映的结果，可以得出一个关于自然数n 的等式，这个等式可表示为_______________________________________________________．7．(2014年福建龙岩模拟)代数式1＋11＋11＋…(“…”表示无限重复)是一个固定值，可以令原式＝t ，由1＋1t ＝t ，解得其值为t ＝5＋12，用类似方法可得2＋2＋2＋…＝______________.8．某同学在一次研究性学习中发现，以下5个式子的值都等于同一个常数．①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°；②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°；③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°. (1)试从上述5个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．9．(2014年广东广州一模)在等差数列{a n }中，a 1＋a 2＝5，a 3＝7，记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和为S n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数m ，n ，且1<m <n ，使得S 1，S m ，S n 成等比数列？若存在，求出所有符合条件的m ，n 的值；若不存在，请说明理由．第7讲 直接证明与间接证明1．下列各式中，对x ∈R 都成立的是( )A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x )B ．x 2＋1＞2xC.1x 2＋1≤1 D．x ＋1x≥2 2．要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证( )A ．2ab －1－a 2b 2≤0B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0C.a ＋b 2－1－a 2b 2≤0D ．(a 2－1)(b 2－1)≥03．若a ，b ，c 是不全相等的实数，求证：a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac .其证明过程如下：∵a ，b ，c ∈R ，∴a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，a 2＋c 2≥2ac .又a ，b ，c 不全相等，∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ac )．∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac .此证法是( ) A ．分析法 B ．综合法C ．反证法D ．分析法与综合法并用 4．如下是证明7－1>11－5的过程： 要证7－1>11－5， 只需证7＋5>11＋1，即证(7＋5)2>(11＋1)2，即证35>11，即证35>11，显然成立． ∴7－1>11－ 5.其证法是( ) A ．分析法 B ．综合法C ．间接证法D ．分析法与综合法并用5．(2014年山东)用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 2＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根6．α，β是两个不同的平面，m ，n 是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α.以其中的三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题____________________．78．(2014年福建)已知集合{a ，b ，c }＝{0,1,2}，且下列三个关系：①a ≠2；②b ＝2；③c ≠0有且只有一个正确，则100a ＋10b ＋c ＝__________.9．(2013年湖北)已知等比数列{a n }满足|a 2－a 3|＝10，a 1a 2a 3＝125. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m≥1？若存在，求m 的最小值；若不存在，请说明理由．10．(2014年浙江)已知等差数列{a n}的公差d>0，设{a n}的前n项和为S n，a1＝1，S2·S3＝36.(1)求d及S n；(2)求m，k(m，k∈N*)的值，使得a m＋a m＋1＋a m＋2＋…＋a m＋k＝65成立．第8讲数学归纳法1．用数学归纳法证明：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n＋1)(n∈N*)，从“n＝k”到“n＝k＋1”左端需乘的代数式是( )A．2k＋1 B．2(2k＋1)C.2k＋1k＋1D.2k＋3k＋12．用数学归纳法证明：12＋22＋…＋n2＋…＋22＋12＝n n2＋3，第二步证明由“k到k＋1”时，左边应加( )A．k2 B．(k＋1)2C．k2＋(k＋1)2＋k2 D．(k＋1)2＋k23．对一切正整数n，n2与2n的大小关系为 ( )A．对一切n∈N*，恒有n2<2nB．对一切n∈N*，恒有n2≤2nC．当n＝1或n≥5时，n2<2n，n＝2,3,4时，n2≥2nD．以上都不对4．f(n)和g(n)都是定义在正整数集上的函数，满足：①f(1)＝g(1)；②对n∈N*，f(n)－f(n－1)＝g(n)－g(n－1)．那么猜想对n∈N*时，有( )A．f(n)>g(n)B．f(n)<g(n)C．f(n)＝g(n)D ．f (n )与g (n )大小关系不能确定5．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋25n －1是31的整数倍时，当n ＝1时，上式等于( )A ．1＋2B ．1＋2＋22C ．1＋2＋22＋23D ．1＋2＋22＋23＋246．已知S k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k (k ＝1,2,3，…)，则S k ＋1＝( )A ．S k ＋12k ＋1B ．S k ＋12k ＋2－1k ＋1C ．S k ＋12k ＋1－12k ＋2D ．S k ＋12k ＋1＋12k ＋27．若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n >m 2015对于一切n ∈N *成立，则正整数m 的最大值为__________．8．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n2，则下列说法正确的是________．①f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13；②f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14；③f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13；④f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14.9．(2014年广东深圳一模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足4(n ＋1)(S n ＋1)＝(n ＋2)2a n (n ∈N *)．(1)求a 1，a 2的值； (2)求a n ；(3)设b n ＝n ＋1a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <34.10．(2014年重庆)设a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋2＋b (n ∈N *)． (1)若b ＝1，求a 2，a 3及数列{a n }的通项公式；(2)若b ＝－1，问：是否存在实数c 使得a 2n <c <a 2n ＋1对所有n ∈N *恒成立？证明你的结论．第五章 数列、推理与证明 第1讲 数列的概念与简单表示法1．B 2.C 3.B4．B 解析：根据题意，该算法的功能为 第一步：k ＝1，S ＝2×0＋1＝1，k ＝2； 第二步：S ＝2×1＋1＝3，k ＝3； 第三步：S ＝2×3＋1＝7，k ＝4； 第四步：S ＝2×7＋1＝15，k ＝5.此时S ＝15∈(10,20)，应该退出程序．那么此时判断框中的条件是5>4，故n 的值为4. 5.12 解析：由已知，得a n ＝1－1a n ＋1，a 8＝2， ∴a 7＝1－1a 8＝12，a 6＝1－1a 7＝－1，a 5＝1－1a 6＝2.同理，a 4＝12，a 3＝－1，a 2＝2，a 1＝12.6．1 0 解析：a 2009＝a 4×503－3＝1，a 2014＝a 2×1007＝a 1007＝a 4×252－1＝0.7．(－3，＋∞) 解析：由{a n }为递增数列，得a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋2－n 2－kn －2＝2n ＋1＋k >0恒成立，即k >－(2n ＋1)恒成立，即k >[－(2n ＋1)]max ＝－3.8．20 解析：3＝20＋21；5＝20＋22,6＝21＋22；9＝20＋23,10＝21＋23,12＝22＋23；17＝20＋24,18＝21＋24,20＝22＋24，….故b 43＝20.9．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，则S 10＝10a 1＋45d ＝55⇒d ＝1⇒a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，b 4＝b 1q 3＝8⇒q ＝2⇒b n ＝b 1q n －1＝2n －1，则a n ＝n ，b n ＝2n －1.(2)a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4，从{a n }，{b n }的前3项中各随机抽取一项写出相应的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，共9个，符合题意的有(1,1)，(2,2)，共2个，故抽取的两项的值相等的概率为29.10．解：∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ·9－n 11，而⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n >0， ∴当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a 10＝a 9； 当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 因此a 1<a 2<…<a 9＝a 10>a 11>a 12>….∴当n ＝9或n ＝10时，数列{a n }有最大项，最大项为a 9或a 10.第2讲 等差数列1．C 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，a 1＝2，S 3＝(a 1＋a 3)＋a 2＝3a 2＝12，a 2＝4，d＝2，则a 6＝a 1＋5d ＝12.2．A 解析：S 8＝8a 1＋8×72d ＝4a 3＝4(a 1＋2d )，4a 1＝－20d ，a 1＝－5d .又∵a 7＝a 1＋6d ＝d ＝－2，∴a 1＝10，a 9＝a 1＋8d ＝10＋8×(－2)＝－6.3．D 解析：S 1，S 2，S 4成等比数列，∴S 22＝S 1S 4，即(2a 1－1)2＝a 1(4a 1－6)．解得a 1＝－12.4．A 解析：由a 1＋a 7＋a 13是一个确定的常数，得3a 7是确定的常数，故②正确；S 13＝a 1＋a 132＝13a 7是确定的常数，故③正确；S 8－S 5＝a 6＋a 7＋a 8＝3a 7是确定的常数，故⑤正确．5．C 解析：S m －S m －1＝a m ＝2，S m ＋1－S m ＝a m ＋1＝3，两式相减，得a m ＋1－a m ＝d ＝1.⎩⎪⎨⎪⎧S m ＝ma 1＋m m －2＝0，Sm ＋1＝m ＋a 1＋m m ＋2＝3.解得m ＝5.6．C 解析：由已知，得2<2，即<1,2<1.又a n －a n －1＝d ，故2<1，从而a 1d <0.7．2n －1 解析：由a 3＝a 22－4，得1＋2d ＝(1＋d )2－4，即d 2＝4.因为{a n }是递增的等差数列，所以d ＝2，故a n ＝2n －1.8．20 解析：a 3＋a 8＝a 1＋2d ＋a 1＋7d ＝2a 1＋9d ＝10,3a 5＋a 7＝ 3(a 1＋4d )＋(a 1＋6d )＝4a 1＋18d ＝2(2a 1＋9d )＝2×10＝20. 9．解：设该数列公差为d ，前n 项和为S n .由已知，可得2a 1＋2d ＝8，(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋8d )． 所以a 1＋d ＝4，d (d －3a 1)＝0.解得a 1＝4，d ＝0，或a 1＝1，d ＝3.所以，数列{a n }的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3.所以，数列的前n 项和S n ＝4n 或S n ＝3n 2－n2.10．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，且d ≠0，由题意a 1，a 11，a 13成等比数列，∴a 211＝a 1a 13.∴(a 1＋10d )2＝a 1(a 1＋12d )，化为d (2a 1＋25d )＝0. ∵d ≠0，∴2×25＋25d ＝0.解得d ＝－2. ∴a n ＝25＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋27.(2)由(1)，得a 3n －2＝－2(3n －2)＋27＝－6n ＋31.可知此数列是以25为首项，－6为公差的等差数列．∴S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2＝n a 1＋a 3n －22＝n －6n ＋2＝－3n 2＋28n .第3讲 等比数列1．A 解析：由等比数列的性质，得a 2·a 15＝a 7·a 10＝36，则a 15＝12.故选A.2．A 解析：方法一：6x ＋63x ＋3＝2＝q ，有3x ＋3x＝2,3x ＋3＝2x ，即x ＝－3，则等比数列－3，－6，－12，…的第四项为－24.方法二：(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，9x 2＋18x ＋9＝6x 2＋6x ，3x 2＋12x ＋9＝0，x ＝－3或x ＝－1(舍)．则等比数列－3，－6，－12，…的第四项为－24.3．C4．D 解析：因为数列{a n }是等比数列，a 26＝a 3a 9，所以a 3，a 6，a 9成等比数列．5．D 解析：设{a n }的公比为q ，则8a 2＋a 5＝8a 2＋a 2q 3＝0，解得q ＝－2.∴S 5S 2＝1－q 51－q 2＝－11.6．D 解析：由题意，得S n ＝a 1－a n q1－q ＝1－23a n1－23＝3－2a n .7．64 解析：a 1，a 2，a 5成等比数列，有a 22＝a 1a 5，即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋4d )，d ＝2a 1＝2，S 8＝8a 1＋8×72d ＝8＋56＝64.8．6 解析：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2，S n ＝－2n1－2＝2n ＋1－2，S 5＝62，S 6＝126.所以至少需要6天．9．解：设等比数列{a n }的公比为q .由已知，得a 2－a 1＝a 1(q －1)＝2，则a 1≠0.∵2×2a 2＝3a 1＋a 3，∴4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2.∴a 1(4q －3－q 2)＝0，即q 2－4q ＋3＝0. 解得q ＝3或q ＝1.由于a 1(q －1)＝2，则q ＝1不合题意，应舍去． 故公比q ＝3，首项a 1＝1.∴数列{a n }的前n 项和S n ＝3n－12.10．解：(1)由{a n }是等差数列，得d ＝a 4－a 13＝12－33＝3.∴a n ＝3＋(n －1)×3＝3n .设q 是等比数列{b n －a n }的公比，有q 3＝b 4－a 4b 1－a 1＝20－124－3＝8，∴q ＝2.∴b n －a n ＝(b 1－a 1)×2n －1＝2n －1.从而b n ＝a n ＋2n －1＝3n ＋2n －1. (2)数列{b n }的前n 项和为S n ＝(3＋6＋9＋…＋3n )＋(1＋2＋22＋…＋2n －1) ＝3n n ＋2＋2n －1.第4讲 数列的求和1．C2．C 解析：S 3＝a 2＋10a 1＝a 1＋a 2＋a 3，a 3＝9a 1，q 2＝9.a 5＝a 1q 4＝81a 1＝9，a 1＝19.3．A 解析：由已知，得a 24＝a 2a 8，(a 1＋6)2＝(a 1＋2)(a 1＋14)，a 1＝2.∴S n ＝na 1＋n n －2d ＝2n ＋n (n －1)＝n 2＋n .4．C 解析：由已知，得q ＝a 5a 4＝52.∴a 1＝a 4q 3＝2÷⎝ ⎛⎭⎪⎫523＝16125.∴lg a 1＝lg 16125.∵{a n }为等比数列，∴lg a n －lg a n －1＝lg a n a n －1＝lg 52(n ≥2)，∴{lg a n }为等差数列．∴所求和为8lg 16125＋8×72lg 52＝8(4lg2－3lg5)＋28(lg5－lg2)＝4lg2＋4lg5＝4.故选C.5．A 解析：由a 5＝5，S 5＝15，得a 1＝1，d ＝1.∴a n ＝1＋(n －1)＝n .故1a n a n ＋1＝1n n ＋＝1n －1n ＋1.∴1a 1a 2＋…＋1a 100a 101＝11－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101.故选A. 6．A7．B 解析：由5a 8＝8a 13，得5(a 1＋7d )＝8(a 1＋12d )．∴d ＝－361a 1.由a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a 1＋(n －1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－361a 1≥0⇒n ≤643＝2113. ∴数列{a n }的前21项都是正数，以后各项都是负数． 故S n 取最大值时，n 的值为21.故选B. 8.n 2－n ＋22解析：设第n (n ≥2)行的第2个数构成数列{a n }，则有a 3－a 2＝2，a 4－a 3＝3，a 5－a 4＝4，…，a n －a n －1＝n －1，相加，得a n －a 2＝2＋3＋…＋(n －1)＝2＋n －12×(n －2)＝n ＋n －2，a n ＝2＋n ＋n －2＝n 2－n ＋22.9．解：(1)方程x 2－5x ＋6＝0的根为2,3，又因为{a n }是递增的等差数列，则a 2＝2，a 4＝3. 设数列的公差为d ，a 4－a 2＝2d ＝1，∴d ＝12，a 1＝32.∴{a n }的通项公式为a n ＝32＋(n －1)×12＝n2＋1.(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和为S n ，由(1)知，a n 2n ＝n ＋22n ＋1，则S n ＝322＋423＋524＋…＋n ＋22n ＋1，12S n ＝323＋424＋525＋…＋n ＋22n ＋2， 两式相减，得12S n ＝322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋124＋…＋12n ＋1－n ＋22n ＋2＝34＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1－n ＋22n ＋2＝1－n ＋42n ＋2.∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和为S n ＝2－n ＋42n ＋1.10．解：(1)由2b 1＝a 1＋a 2，得a 2＝2b 1－a 1＝24. 由a 22＝b 1b 2，得b 2＝a 22b 1＝36.(2)∵a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，∴2b n ＝a n ＋a n ＋1. ①∵b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列，∴a 2n ＋1＝b n b n ＋1.∵数列{a n }，{b n }的每一项都是正数，∴a n ＋1＝b n b n ＋1.② 于是当n ≥2时，a n ＝b n －1b n . ③将②，③代入①式，得2b n ＝b n －1＋b n ＋1，因此数列{b n }是首项为4，公差为2的等差数列．∴b n ＝b 1＋(n －1)d ＝2n ＋2，于是b n ＝4(n ＋1)2. 由③式，得当n ≥2时， a n ＝b n －1b n ＝4n 2n ＋2＝4n (n ＋1)． 当n ＝1时，a 1＝8，满足该式子，∴对一切正整数n ，都有a n ＝4n (n ＋1)．(3)由(2)知，所证明的不等式为 17＋123＋147＋…＋14n 2＋4n －1<27.方法一：首先证明14n 2＋4n －1<27⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1(n ≥2)．∵14n 2＋4n －1<27⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1⇔14n 2＋4n －1<27n 2＋7n ⇔7n 2＋7n <8n 2＋8n －2⇔n 2＋n －2>0⇔(n －1)(n ＋2)>0，当n ≥2时，该式恒成立，∴当n ≥2时，17＋123＋…＋14n 2＋4n －1<17＋27⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝17＋27⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n ＋1<17＋27×12＝27. 当n ＝1时，17<27.综上所述，对一切正整数n ，有1a 1－1＋1a 2－1＋1a 3－1＋…＋1a n －1<27.方法二：14n 2＋4n －1<14n 2＋4n －3＝1n －n ＋＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋3.当n ≥3时，17＋123＋…＋14n 2＋4n －1<17＋123＋14⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫15－19＋⎝ ⎛⎭⎪⎫17－111＋…＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3－12n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋3 <17＋123＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋17<27. 当n ＝1时，17<27；当n ＝2时，17＋123<17＋17＝27.综上所述，对一切正整数n ，有1a 1－1＋1a 2－1＋1a 3－1＋…＋1a n －1<27.方法三：14n 2＋4n －1<14n 2－1＝1n －n ＋＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1.当n ≥4时，17＋123＋…＋14n 2＋4n －1<17＋123＋147＋12⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫17－19＋⎝ ⎛⎭⎪⎫19－111＋…＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3－12n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 <17＋123＋147＋114<27. 当n ＝1时，17<27；当n ＝2时，17＋123<17＋17＝27；当n ＝3时，17＋123＋147<17＋114＋114＝27.综上所述，对一切正整数n ，有1a 1－1＋1a 2－1＋1a 3－1＋…＋1a n －1<27.第5讲 利用几类经典的递推关系式求通项公式1．C 2.C3．B 解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＋2d ＝－2，b 1＋9d ＝12.解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝－6，d ＝2.∵b n ＝a n ＋1－a n ，∴b 1＋b 2＋…＋b n ＝a n ＋1－a 1.∴a 8＝b 1＋b 2＋…＋b 7＋3＝7×(－6)＋7×62×2＋3＝3.4．D 解析：数列{a n }为等比数列，则8a 2＋a 5＝a 2(8＋q 3)＝0.∵a 2≠0，∴q ＝－2.∴a 5a 3＝q 2＝4；S 5S 3＝1－q 51－q 3＝113；a n ＋1a n ＝q ＝－2；S n ＋1S n ＝1－q n ＋11－qn ，其值与n 有关．故选D.5．(－2)n －1解析：⎩⎪⎨⎪⎧S n＝23a n＋13，S n －1＝23a n －1＋13.两式相减，得a n ＝23a n －23a n －1，13a n ＝－23a n －1，a na n －1＝－2，a 1＝1，则a n ＝(－2)n －1.6.13n －2 解析：由a n ＋1＝a n 3a n ＋1，得1a n ＋1＝3a n ＋1a n ＝1a n ＋3⇒1a n ＋1－1a n ＝3⇒1a n＝1＋3(n －1)．∴a n ＝13n －2.7．3×2n －1－n －1 解析：令a n ＋1＋A (n ＋1)＋B ＝2(a n ＋An ＋B )，运用待定系数法，得A＝1，B ＝1.∴a n ＋1＋(n ＋1)＋1＝2(a n ＋n ＋1)．∴a n ＋n ＋1＝3×2n －1.∴a n ＝3×2n －1－n －1.8．n 3n －1解析：∵a n ＋1＝3a n ＋3n，∴a n ＋13n＝a n3n －1＋1.令a n3n －1＝b n ，∴数列{b n }是首项为1，公差为1的等差数列，∴b n ＝1＋1(n －1)＝n .∴a n ＝n 3n －1.9．证明：(1)由a n ＋1＝3a n ＋1，得a n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋12.又a 1＋12＝32，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是首项为32，公比为3的等比数列．所以a n ＋12＝3n2.因此数列{a n }的通项公式为a n ＝3n－12.(2)由(1)知，1a n ＝23n －1.因为当n ≥1时，3n －1≥2×3n －1，所以13n －1≤12×3n －1，即1a n ＝23n－1≤13n －1. 于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1＝32⎝⎛⎭⎪⎫1－13n <32.所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.10．(1)证明：a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *，等式两边同除以n (n ＋1)，得a n ＋1n ＋1＝a nn＋1， 即a n ＋1n ＋1－a nn＝1. ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为1，公差为1的等差数列．(2)解：由(1)，得a n n＝1＋(n －1)×1＝n ，即a n ＝n 2.从而b n ＝3n ·a n ＝n ·3n.S n ＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋n ·3n ，3S n ＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n ·3n ＋1，两式相减，得－2S n ＝31＋32＋33＋…＋3n －n ·3n ＋1＝－3n 1－3－n ·3n ＋1＝－2n n ＋1－32.∴S n ＝n －n ＋1＋34.第6讲 合情推理和演绎推理1．D2．2n×1×3×5×…×(2n －1)＝(n ＋1)×(n ＋2)×(n ＋3)×…×(n ＋n )3．12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2＝(－1)n ＋1n n ＋24．s 24＝s 21＋s 22＋s 235．cos π2n ＋1cos 2π2n ＋1·…·cos n π2n ＋1＝12n ，n ∈N *6.n ＋1n ＋(n ＋1)＝n ＋1n×(n ＋1)，n ∈N *解析：由于n ＋1n ＋(n ＋1)＝n ＋1＋n 2＋n n ＝n ＋2n，n ＋1n ×(n ＋1)＝n ＋2n ，故n ＋1n ＋(n ＋1)＝n ＋1n×(n ＋1)，n ∈N *. 7．2 解析：类似令原式＝t ，有2＋t ＝t,2＋t ＝t 2，解得t ＝－1(舍去)或t ＝2.8．解：(1)选择②，由sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°＝1－12sin30°＝34，故这个常数是34.(2)推广，得到三角恒等式sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.9．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，因为⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＝5，a 3＝7，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋d ＝5，a 1＋2d ＝7.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝3.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋3(n －1)＝3n －2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2(n ∈N *)．(2)因为1a n a n ＋1＝1n －n ＋＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2－13n ＋1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和 S n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 3a 4＋…＋1a n －1a n ＋1a n a n ＋1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫17－110＋…＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －5－13n －2＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2－13n ＋1 ＝13⎝⎛⎭⎪⎫1－13n ＋1＝n 3n ＋1. 假设存在正整数m ，n ，且1<m <n ，使S 1，S m ，S n 成等比数列，则S 2m ＝S 1S n ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3m ＋12＝14×n 3n ＋1. 所以n ＝－4m 23m 2－6m －1. 因为n >0，所以3m 2－6m －1<0.因为m >1，所以1<m <1＋2 33<3. 因为m ∈N *，所以m ＝2.此时n ＝－4m 23m 2－6m －1＝16. 故存在满足题意的正整数m ，n ，且只有一组值，即m ＝2，n ＝16.第7讲 直接证明与间接证明1．C 解析：A ，D 中x 必须大于0，故排除A ，D ，B 中应为x 2＋1≥2x ，故B 不正确．2．D 3.B 4.A5．A 解析：反证法的步骤第一步是假设命题反面成立，而“至少有一个实根”的否定是“没有实根”．故选A.6．若①③④，则②(或若②③④，则①)解析：依题意可得以下四个命题：(1)m ⊥n ，α⊥β，n ⊥β⇒m ⊥α；(2)m ⊥n ，α⊥β，m ⊥α⇒n ⊥β；(3)m ⊥n ，n ⊥β，m ⊥α⇒α⊥β；(4)α⊥β，n ⊥β，m ⊥α⇒m ⊥n .不难发现，命题(3)，(4)为真命题，而命题(1)，(2)为假命题．7．lg15＝3a －b ＋c 解析：如果lg3＝2a －b 是正确的，那么lg9＝2lg3＝2(2a －b )＝4a －2b ；如果lg3＝2a －b 是错误的，那么lg9＝4a －2b 也是错误的，这与题意矛盾．反过来，lg9＝4a －2b 也不是错误的，否则lg3＝2a －b 是错误的．同样，如果lg5＝a ＋c ，那么lg8＝3lg2＝3(1－lg5)＝3(1－a －c )，如果lg5＝a ＋c 是错误的，那么lg8＝3－3a －3c ，也错误，这与题意矛盾；显然lg8＝3－3a －3c 也不是错误的，否则lg5＝a ＋c 也错误．∴lg15＝lg(3×5)＝lg3＋lg5＝(2a －b )＋(a ＋c )＝3a －b ＋c .∴应将最后一个改正为lg15＝3a －b ＋c .8．201 解析：由已知，若a ≠2正确，则a ＝0或a ＝1，即a ＝0，b ＝1，c ＝2或a ＝0，b ＝2，c ＝1或a ＝1，b ＝0，c ＝2或a ＝1，b ＝2，c ＝0均与“三个关系有且只有一个正确”矛盾；若b ＝2正确，则a ≠2正确，不符合题意；所以c ≠0正确，a ＝2，b ＝0，c ＝1，故100a ＋10b ＋c ＝201.9．解：(1)∵a 1a 2a 3＝a 32＝125，∴a 2＝5.又a 2|q －1|＝10，∴q ＝－1或q ＝3.即⎩⎪⎨⎪⎧ q ＝－1，a 1＝－5或⎩⎪⎨⎪⎧ q ＝3，a 1＝53. ∴a n ＝－5·(－1)n －1或a n ＝5×3n －2.(2)若q ＝－1，则1a 1＋1a 2＋…＋1a m ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －15，m 为奇数，0，m 为偶数.若q ＝3，则1a 1＋1a 2＋…＋1a m ＝15⎝⎛⎭⎪⎫3＋1＋13＋…＋13m －2 ＝910⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13m <910<1. 综上所述，不存在满足题意的正整数m .10．解：(1)S 2·S 3＝(2a 1＋d )(3a 1＋3d )＝36，将a 1＝1代入上式，解得d ＝2或d ＝－5.∵公差d >0，∴d ＝2，a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，S n ＝＋2n －n 2＝n 2(n ∈N *)． (2)由(1)知，a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k＝[2m －1＋m ＋k －k ＋2＝(2m ＋k －1)(k ＋1)＝65. ∵m ，k ∈N *,2m ＋k －1>1，k ＋1>1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋k －1＝5，k ＋1＝13.解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－3，k ＝12，(舍去)． 或⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋k －1＝13，k ＋1＝5.解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝5，k ＝4.综上所述，m ＝5，k ＝4.第8讲 数学归纳法1．B 2.D 3.C 4.C5．D 解析：原等式共有5n 项，当n ＝1时，25－1＝24，选D.6．C 解析：S k ＋1＝1k ＋1＋1＋1k ＋1＋2＋…＋12k ＋1＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝S k ＋12k ＋1－12k ＋2. 7．1007 解析：记f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋ (12)， 则f (n ＋1)－f (n )＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2>0，数列{f (n )}是递增数列，则f (n )min ＝f (1)＝12，∴m ≤1007. 8．④9．(1)解：当n ＝1时，有4×(1＋1)(a 1＋1)＝(1＋2)2a 1，解得a 1＝8.当n ＝2时，有4×(2＋1)(a 1＋a 2＋1)＝(2＋2)2a 2，解得a 2＝27.(2)解：方法一：当n ≥2时，有4(S n ＋1)＝n ＋2a n n ＋1. ① 4(S n －1＋1)＝n ＋2a n －1n. ② ①－②，得4a n ＝n ＋2a n n ＋1－n ＋2a n －1n， 即a n a n －1＝n ＋3n 3. ∴a n n ＋3＝a n －1n 3＝a n －2n －3＝…＝a 233＝1. ∴a n ＝(n ＋1)3(n ≥2)．方法二：根据a 1＝8，a 2＝27，猜想：a n ＝(n ＋1)3.①当n ＝1时，有a 1＝8＝(1＋1)3，猜想成立．②假设当n ＝k 时，猜想也成立，即a k ＝(k ＋1)3.那么当n ＝k ＋1时，有4(k ＋1＋1)(S k ＋1＋1)＝(k ＋1＋2)2a k ＋1，即4(S k ＋1＋1)＝k ＋1＋2a k ＋1k ＋1＋1， ① 又 4(S k ＋1)＝k ＋2a k k ＋1， ② ①－②，得4a k ＋1＝k ＋2a k ＋1k ＋2－k ＋2a k k ＋1＝k ＋2a k ＋1k ＋2－k ＋2k ＋3k ＋1， 解得a k ＋1＝(k ＋2)3＝(k ＋1＋1)3 .∴当n ＝k ＋1时，猜想也成立．因此，由数学归纳法证得a n ＝(n ＋1)3成立．(3)证明：∵b n ＝n ＋1a n ＝1n ＋2<1n n ＋＝1n －1n ＋1， ∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n －1＋b n ＝122＋132＋142＋…＋1n 2＋1n ＋2<122＋12×3＋13×4＋…＋1n －n ＋1n n ＋＝14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝14＋12－1n ＋1<34. 10．解：(1)方法一：a 2＝2，a 3＝2＋1.再由题设条件知，(a n ＋1－1)2＝(a n －1)2＋1.从而{(a n －1)2}是首项为0，公差为1的等差数列．故(a n －1)2＝n －1，即a n ＝n －1＋1(n ∈N *)．方法二：a 2＝2，a 3＝2＋1.可写为a 1＝1－1＋1，a 2＝2－1＋1，a 3＝3－1＋1. 因此猜想a n ＝n －1＋1.下面用数学归纳法证明上式：当n ＝1时，结论显然成立．假设n ＝k 时结论成立，即a k ＝k －1＋1，则a k ＋1＝a k －2＋1＋1＝k －＋1＋1＝k ＋－1＋1， 这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．所以a n ＝n －1＋1(n ∈N *)．(2)方法一：设f (x )＝x －2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )．令c ＝f (c )，即c ＝c －2＋1－1.解得c ＝14. 下面用数学归纳法证明a 2n <c <a 2n ＋1<1.当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (0)＝2－1，所以a 2<14<a 3<1，结论成立． 假设n ＝k 时结论成立，即a 2k <c <a 2k ＋1<1.易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而c ＝f (c )>f (a 2k ＋1)>f (1)＝a 2，即1>c >a 2k ＋2>a 2.再由f (x )在(－∞，1]上为减函数，得c ＝f (c )<f (a 2k ＋2)<f (a 2)＝a 3<1.故c <a 2k ＋3<1，因此a 2(k ＋1)<c <a 2(k ＋1)＋1<1，这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．综上所述，存在c ＝14使得a 2n <c <a 2n ＋1对所有n ∈N *成立． 方法二：设f (x )＝x －2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )．先证0≤a n ≤1(n ∈N *)． ①当n ＝1时，结论显然成立．假设n ＝k 时结论成立，即0≤a k ≤1. 易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而 0＝f (1)≤f (a k )≤f (0)＝2－1<1， 即0≤a k ＋1≤1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立． 故①成立．再证a 2n <a 2n ＋1(n ∈N *)． ②当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (a 2)＝f (0)＝2－1， 所以a 2<a 3，即n ＝1时②成立．假设n ＝k 时，结论成立，即a 2k <a 2k ＋1. 由①及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得 a 2k ＋1＝f (a 2k )>f (a 2k ＋1)＝a 2k ＋2，a 2(k ＋1)＝f (a 2k ＋1)<f (a 2k ＋2)＝a 2(k ＋1)＋1. 这就是说，当n ＝k ＋1时②成立．所以②对一切n ∈N *成立．由②，得a 2n <a 22n －2a 2n ＋2－1，即(a 2n ＋1)2<a 22n －2a 2n ＋2.因此a 2n <14. ③ 又由①②及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得 f (a 2n )>f (a 2n ＋1)，即a 2n ＋1>a 2n ＋2.所以a 2n ＋1>a 22n ＋1－2a 2n ＋1＋2－1.解得a 2n ＋1>14. ④ 综上所述，由②③④知，存在c ＝14使得a 2n <c <a 2n ＋1对一切n ∈N *成立．。

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北京市2016届高三数学理优题精练数 列一、选择、填空题1、（2015年北京高考）设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是A.若021>+a a ，则032>+a aB.若031>+a a ，则021<+a aC.若210a a <<，则312a a a >D.若01<a ，则()0)(3212>--a a a a2、（2014年北京高考）若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =______时，{}n a 的前n 项和最大.3、（2013年北京高考）若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝__________；前n 项和S n ＝__________.4、（朝阳区2015届高三一模）设S n 为等差数列的前n 项和。

若，则通项公式＝＿＿＿＿。

5、（东城区2015届高三二模）已知{}n a 为各项都是正数的等比数列，若484a a ⋅=，则567a a a ⋅⋅=（A ）4 （B ）8 （C ）16 （D ）646、（丰台区2015届高三一模）在等比数列}{n a 中，344a a +=，22a =，则公比q 等于(A) -2(B) 1或-2(C) 1(D)1或27、（海淀区2015届高三二模）若等比数列{}n a 满足2664a a =，3432a a =，则公比q =_____；22212n a a a +++= ．8、（石景山区2015届高三一模）等差数列{}n a 中，11,m k a a k m==()m k ≠，则该数列前mk 项之和为（ ） A ．12mk - B ．2mkC ．12mk +D ．12mk + 9、（西城区2015届高三一模）若数列a n 满足a 1 = －2，且对于任意的m , n ∈N ＊，都有m n m n a a a += , 则3a = ；数列{ a n } 前10 项的和S 10 = .10、（大兴区2015届高三上学期期末）已知数列{}n a 为等差数列，若134a a +=，2410a a +=，则{}n a 的前n 项和n S =_____．11、（丰台区2015届高三上学期期末）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，如果12a =，3522a a +=，那么3S 等于_____12、（北京四中2015届高三上学期期中）在等差数列{}n a 中，已知4816a a +=，则该数列前11项和11S ＝ .13、（东城区示范校2015届高三上学期综合能力测试）数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若02,2111=+=+n n S a a ，...,2,1=n ，则数列{}n a 的通项公式为=n a _______________ 14、（东城区2015届高三4月综合练习（一））设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若28S =，412S =，则{}n a 的公差d = ．15、（）已知,4,m n 是等差数列，那么m n ⋅=______；mn 的最大值为______二、解答题 1、（2015年北京高考）已知数列{}n a 满足：*1a ∈N ， 361≤a ，且⎩⎨⎧>-≤=+18,36218,2.1n nn n n a a a a a () 2,1=n ． 记集合{}*∈=N n a M n ．（Ⅰ）若61=a ，写出集合M 的所有元素；（Ⅱ）若集合M 存在一个元素是3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数； （Ⅲ）求集合M 的元素个数的最大值．2、（2014年北京高考）对于数对序列1122(,),(,),,(,)n n P a b a b a b ，记111()T P a b =+，112()max{(),}(2)k k k k T P b T P a a a k n -=++++≤≤，其中112max{(),}k k T P a a a -+++表示1()k T P -和12k a a a +++两个数中最大的数，（1）对于数对序列(2,5),(4,1)P P ，求12(),()T P T P 的值. （2）记m 为,,,a b c d四个数中最小值，对于由两个数对(,),(,)a b c d 组成的数对序列(,),(,)P a b c d 和'(,),(,)P a b c d ，试分别对m a =和m d =的两种情况比较2()T P 和2(')T P 的大小.（3）在由5个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使5()T P 最小，并写出5()T P 的值.（只需写出结论）.3、（2013年北京高考）已知{a n }是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为A n ，第n 项之后各项a n ＋1，a n ＋2，…的最小值记为B n ，d n ＝A n －B n .(1)若{a n }为2,1,4,3,2,1,4,3，…，是一个周期为4的数列(即对任意n ∈N *，a n ＋4＝a n )，写出d 1，d 2，d 3，d 4的值；(2)设d 是非负整数，证明：d n ＝－d (n ＝1,2,3，…)的充分必要条件为{a n }是公差为d 的等差数列； (3)证明：若a 1＝2，d n ＝1(n ＝1,2,3，…)，则{a n }的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.4、（朝阳区2015届高三一模）若数列 中不超过 f (m )的项数恰为b m (m ∈N * )，则称数列是数列 的生成数列，称相应的函数 f (m )是生成的控制函数。

高考数学一轮复习 第五章 数列 5.5 数列综合练习(含解析)(1)(2021年最新整理)

高考数学一轮复习 第五章 数列 5.5 数列综合练习(含解析)(1)(2021年最新整理)

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数列综合时间:50分钟总分:70分班级：姓名:一、选择题（共6小题，每题5分，共30分）1．在等比数列{a n}中,各项都是正数，且a1，错误!a3，2a2成等差数列，则错误!＝（）A．1＋ 2 B．1－错误!C．3＋2错误!D．3－2错误!【答案】C【解析】设等比数列{a n｝的公比为q（q＞0),则由题意得a3＝a1＋2a2，所以a1q2＝a1＋2a1q，所以q2－2q－1＝0，解得q＝1±错误!.又q＞0，因此有q＝1＋错误!，故错误!＝错误!＝q2＝(1＋错误!）2＝3＋2错误!。

2．数列｛a n}是公差不为0的等差数列，且a1，a3,a7为等比数列｛b n}中连续的三项，则数列｛b n}的公比为（）A.错误!B．4C．2 D.错误!【答案】C【解析】设数列{a n｝的公差为d(d≠0），由a错误!＝a1a7得（a1＋2d)2＝a1（a1＋6d),解得a1＝2d，故数列｛b n｝的公比q＝错误!＝错误!＝错误!＝2。

3．《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题,《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织,日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一月(按30天计）,共织390尺布”,则每天比前一天多织布的尺数是（）A。

2016届(新课标)高考数学(理)一轮复习板块命题点专练(八)数列

2016届(新课标)高考数学(理)一轮复习板块命题点专练(八)数列

板块命题点专练(八) 数 列(研近年高考真题——找知识联系，找命题规律，找自身差距)命题点一 数列的概念及表示 命题指数：☆☆☆☆难度：中、低 题型：选择题、填空题1．(2014·辽宁高考)设等差数列{a n }的公差为d ，若数列{2a 1a n }为递减数列，则( ) A ．d <0 B ．d >0 C ．a 1d <0D ．a 1d >02．(2014·新课标全国卷Ⅱ)数列 {a n }满足 a n ＋1＝11－a n ，a 8＝2，则a 1 ＝________.3．(2013·新课标全国卷Ⅰ)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝________.4．(2014·安徽高考)如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝2 2.过点 A 作BC 的垂线，垂足为A 1 ；过点 A 1作 AC 的垂线，垂足为 A 2；过点A 2 作A 1C 的垂线，垂足为A 3 ；…，依此类推．设BA ＝a 1 ，AA 1＝a 2 , A 1A 2＝a 3 ，…， A 5A 6＝a 7 ，则 a 7＝________.1．(2014·天津高考)设{a n } 是首项为a 1 ，公差为－1 的等差数列，S n 为其前n 项和．若 S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1＝( )A ．2B ．－2 C.12D ．－122．(2013·新课标全国卷Ⅱ)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2 ＋10a 1 ，a 5＝9，则a 1＝( )A.13 B ．－13C.19D ．－193．(2013·新课标全国卷Ⅰ)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．64．(2014·安徽高考)数列{a n } 满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(2)设 b n ＝3n ·a n ，求数列{b n }的前 n 项和 S n .5．(2014·新课标全国卷Ⅱ)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1. (1)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明：1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.6.(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．7．(2014·湖北高考)已知等差数列{a n}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记S n为数列{a n}的前n项和，是否存在正整数n，使得S n>60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．命题点三数列的综合应用命题指数：☆☆☆难度：高、中题型：解答题1．(2014·浙江高考)已知数列{a n}和{b n}满足a1a2a3…a n＝(2)b n(n∈N*)．若{a n}为等比数列，且a1＝2，b3＝6＋b2.(1)求a n与b n；(2)设c n ＝1a n －1b n (n ∈N *)．记数列{c n }的前n 项和为S n .①求S n ；②求正整数k ，使得对任意n ∈N *，均有S k ≥S n .2．(2014·湖南高考)已知数列{a n }满足a 1＝1，|a n ＋1－a n |＝p n ，n ∈N *. (1)若{a n }是递增数列，且a 1,2a 2,3a 3成等差数列，求p 的值；(2)若p ＝12，且{a 2n －1}是递增数列，{a 2n }是递减数列，求数列{a n }的通项公式．答案命题点一1．选C ∵数列{2a 1a n }为递减数列，a 1a n ＝a 1[a 1＋(n －1)d ]＝a 1dn ＋a 1(a 1－d )，等式右边为关于n 的一次函数，∴a 1d <0.2．解析：将a 8＝2代入a n ＋1＝11－a n ，可求得a 7＝12；再将a 7＝12代入a n ＋1＝11－a n，可求得a 6＝－1；再将a 6＝－1代入a n ＋1＝11－a n ，可求得a 5＝2；由此可以推出数列{a n }是一个周期数列，且周期为3，所以a 1＝a 7＝12.答案：123．解析：当n ＝1时，由已知S n ＝23a n ＋13，得a 1＝23a 1＋13，即a 1＝1；当n ≥2时，由已知得到S n －1＝23a n －1＋13，所以a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎫23a n ＋13－⎝⎛⎭⎫23a n －1＋13＝23a n －23a n －1, 所以a n ＝－2a n －1，所以数列{a n }为以1为首项，以－2为公比的等比数列，所以a n ＝(－2)n －1.答案：(－2)n －14．解析：法一：直接递推归纳：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，A 1A 2＝a 3＝1，…，A 5A 6＝a 7＝a 1×⎝⎛⎭⎫226＝14. 法二：求通项：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，…，A n －1A n ＝a n ＋1＝sin π4·a n ＝22a n ＝2×⎝⎛⎭⎫22n ，故a 7＝2×⎝⎛⎭⎫226＝14.答案：14命题点二1．选D 由S 1＝a 1，S 2＝2a 1－1，S 4＝4a 1－6成等比数列可得(2a 1－1)2＝a 1(4a 1－6)，解得a 1＝－12.2．选C 由已知及S 3＝a 1＋a 2＋a 3， 得a 3＝9a 1，设数列{a n }的公比为q ， 则q 2＝9，所以a 5＝9＝a 1·q 4＝81a 1，得a 1＝19.3．选C 由S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3， 得a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3， 所以等差数列的公差为d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1， 由⎩⎪⎨⎪⎧a m ＝a 1＋(m －1)d ＝2，S m ＝a 1m ＋12m (m －1)d ＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋m －1＝2，a 1m ＋12m (m －1)＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，m ＝5. 4．解：(1)证明：由已知可得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，即a n ＋1n ＋1－a n n＝1. 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝1为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)得a nn ＝1＋(n －1)·1＝n ，所以a n ＝n 2.从而b n ＝n ·3n .S n ＝1·31＋2·32＋3·33＋…＋n ·3n ，① 3S n ＝1·32＋2·33＋…＋(n －1)·3n ＋n ·3n ＋1. ②①－②得－2S n ＝31＋32＋…＋3n －n ·3n ＋1＝3·(1－3n )1－3－n ·3n ＋1＝(1－2n )·3n ＋1－32.所以S n ＝(2n －1)·3n ＋1＋34.5．证明：(1)由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎫a n ＋12. 又a 1＋12＝32，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是首项为32，公比为3的等比数列．所以a n ＋12＝3n2，因此{a n }的通项公式为a n ＝3n －12.(2)由(1)知1a n ＝23n －1.因为当n ≥1时，3n －1≥2×3n －1，所以13n －1≤12×3n －1.于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1＝32⎝⎛⎭⎫1－13n <32. 所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.6．解：(1)证明：由题设，a n a n ＋1＝λS n －1， a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1.两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1. 由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)由题设，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得a 2＝λ－1. 由(1)知，a 3＝λ＋1. 令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4.故a n ＋2－a n ＝4，由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3；{a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1.所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列．7．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，依题意，2,2＋d,2＋4d 成等比数列，故有(2＋d )2＝2(2＋4d )，化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2，从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n . 显然2n <60n ＋800，此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立． 当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋(4n －2)]2＝2n 2.令2n 2>60n ＋800，即n 2－30n －400>0， 解得n >40或n <－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的n ，其最小值为41. 命题点三1．解：(1)由题意a 1a 2a 3…a n ＝(2)b n ，b 3－b 2＝6， 知a 3＝(2)b 3－b 2＝8.又由a 1＝2，得公比q ＝2(q ＝－2舍去)， 所以数列{a n }的通项为a n ＝2n (n ∈N *)． 所以a 1a 2a 3…a n ＝2n (n ＋1)2＝(2)n (n ＋1)．故数列{b n }的通项为b n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)． (2)①由(1)知c n ＝1a n －1b n ＝12n －⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1(n ∈N *)，所以S n ＝12＋122＋…＋12n －⎝⎛1－12＋12－13＋…＋⎭⎫1n －1n ＋1＝1－12n －⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝1n ＋1－12n (n ∈N *)． ②因为c 1＝0，c 2>0，c 3>0，c 4>0； 当n ≥5时， c n ＝1n (n ＋1)⎣⎡⎦⎤n (n ＋1)2n－1， 而n (n ＋1)2n －(n ＋1)(n ＋2)2n ＋1＝(n ＋1)(n －2)2n ＋1>0， 得n (n ＋1)2n≤5·(5＋1)25<1， 所以，当n ≥5时，c n <0.综上，对任意n ∈N *恒有S 4≥S n ，故k ＝4. 2．解：(1)因为{a n }是递增数列， 所以a n ＋1－a n ＝|a n ＋1－a n |＝p n .而a 1＝1，因此a 2＝p ＋1，a 3＝p 2＋p ＋1. 又a 1,2a 2,3a 3成等差数列，所以4a 2＝a 1＋3a 3， 因而3p 2－p ＝0， 解得p ＝13或p ＝0.当p ＝0时，a n ＋1＝a n ，这与{a n }是递增数列矛盾，故p ＝13.(2)由于{a 2n －1}是递增数列，因而a 2n ＋1－a 2n －1>0， 于是(a 2n ＋1－a 2n )＋(a 2n －a 2n －1)>0.① 但122n <122n －1，所以|a 2n ＋1－a 2n |<|a 2n －a 2n －1|. ②由①②知，a 2n －a 2n －1>0，因此a 2n －a 2n －1＝⎝⎛⎭⎫122n －1＝(－1)2n22n －1.③因为{a 2n }是递减数列，同理可得，a 2n ＋1－a 2n <0，故 a 2n ＋1－a 2n ＝－⎝⎛⎭⎫122n ＝(－1)2n ＋122n.④由③④即知，a n ＋1－a n ＝(－1)n ＋12n.于是a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝1＋12－122＋…＋(－1)n 2n －1＝1＋12·1－⎝⎛⎭⎫－12n －11＋12＝43＋13·(－1)n2n －1. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝43＋13·(－1)n2n －1.。

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第五章 数 列考点16 等差数列 两年高考真题演练1．(2015·重庆)在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．62．(2015·新课标全国Ⅱ)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( )A ．5B ．7C ．9D ．113．(2015·浙江)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( )A ．a 1d ＞0，dS 4＞0B ．a 1d ＜0，dS 4＜0C ．a 1d ＞0，dS 4＜0D ．a 1d ＜0，dS 4＞04．(2015·新课标全国Ⅰ)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．若S 8＝4S 4，则a 10＝( )A.172B.192C ．10D ．12 5．(2014·新课标全国Ⅱ)等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( )A ．n (n ＋1)B ．n (n －1) C.n （n ＋1）2D.n （n －1）26．(2014·重庆)在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋a 5＝10，则a 7＝( ) A ．5 B ．8 C ．10 D ．147．(2015·陕西)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为________．8．(2015·浙江)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零．若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，则a 1＝________，d ＝________．9．(2015·安徽)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________．10．(2015·广东)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________． 11．(2010·新课标全国Ⅱ)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝____________．12．(2015·北京)已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＝10，a 4－a 3＝2.(1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 2＝a 3，b 3＝a 7；问：b 6与数列{a n }的第几项相等？13．(2014·新课标全国Ⅰ)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n－1，其中λ为常数．(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．考点16 等差数列 一年模拟试题精练1．(2015·黄冈中学检测)已知{a n }是等差数列，a 1＋a 7＝－2，a 3＝2，则{a n }的公差d ＝( )A ．－1B ．－2C ．－3D ．－42．(2015·惠州市三调)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 1＝4，则公差d 等于( )A ．1 B.53C ．－2D ．33．(2015·西安八校联考)在等差数列{a n }中，a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，则m 的值为( )A ．37B ．36C ．20D ．194．(2015·杭州七校联考)已知数列{a n }满足a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，若a 1＝1，a 5＝8，则a 3＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D.725．(2015·唐山一中高三期中)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2＝2a n ＋1－a n ，a 5＝4－a 3，则S 7＝( )A ．7B ．12C ．14D ．216．(2015·邯郸市质检)已知在等差数列{a n }中，a 1＝1，前10项的和等于前5项的和，若a m ＋a 6＝0，则m ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．27．(2015·赣州十二县高三联考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝3，S 6＝15，则S 9＝( )A ．27B ．36C ．44D ．548．(2015·长春调研)已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若S 4＝20，S 6－S 2＝36，则该等差数列的公差d ＝( )A ．－2B ．2C ．－4D ．49．(2015·郑州市一预)已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 1a 2a 3＝10，且5S 1S 5＝15，则a 2＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．510．(2015·济南一中高三期中)等差数列{a n }中，已知a 1＝－12，S 13＝0，使得a n ＞0的最小正整数n 为( )A ．7B ．8C ．9D ．1011．(2015·河北五市一中监测)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 2＝10，S 4＝36，则过点P (n ，a n )和Q (n ＋2，a n ＋2)(n ∈N *)的直线的一个方向向量是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2 B ．(－1，－1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12 12．(2015·泰安市检测)在各项均不为零的等差数列{a n }中，若a n ＋1－a 2n ＋a n －1＝0(n ≥2)，则S 2n －1－4n 等于( )A ．－2B ．0C ．1D ．213．(2015·巴蜀中学一模)在等差数列{a n }中，a n ＞0，且a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 8＝40，则a 4·a 5的最大值是( )A ．5B ．10C ．25D ．5014．(2015·宿迁市摸底)已知{a n }是等差数列，若2a 7－a 5－3＝0，则a 9的值是________． 15．(2015·眉山市一诊)有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为________．16．(2015·大同市调研)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等差数列{b n }的前n 项和为T n ，若S n T n ＝n ＋1n －1，则a 2b 4＋b 6＋a 8b 3＋b 7＝________．17．(2015·宝鸡市质检)已知等差数列{a n }的公差不为零，a 3＝5，且a 1，a 7，a 5成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1.考点17 等比数列 两年高考真题演练1．(2015·新课标全国Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( )A ．21B ．42C ．63D ．842．(2015·新课标全国Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A ．2B ．1 C.12 D.183．(2015·广东)若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中a ＝5＋26，c ＝5－26，则b ＝________．4．(2015·新课标全国Ⅰ)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n＝126，则n ＝________．5．(2015·安徽)已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________．6．(2015·湖南)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，且3S 1，2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________．7．(2014·江苏)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．8．(2014·安徽)数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________．9．(2015·重庆)已知等差数列{a n }满足a 3＝2，前3项和S 3＝92.(1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝a 15，求{b n }的前n 项和T n .10．(2015·四川)设数列{a n }(n ＝1，2，3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求T n .考点17 等比数列 一年模拟试题精练1．(2015·绵阳市一诊)设各项均不为0的数列{a n }满足a n ＋1＝2a n (n ≥1)，若a 2a 4＝2a 5，则a 3＝( )A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．42．(2015·邢台市摸底)已知数列{a n }为等比数列，a 5＝1，a 9＝81，则a 7＝( ) A ．9或－9 B ．9 C ．27或－27 D ．273．(2015·泰安市高三统考)正项等比数列{a n }的公比为2，若a 2a 10＝16，则a 9的值是( )A ．8B ．16C ．32D ．644．(2015·安阳市高三摸底)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝7a 1，则数列{a n }的公比q 的值为( )A ．2B ．3C ．2或－3D ．2或35．(2015·云南师大附中适应性考试)各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2，12a 3，a 1成等差数列，则公比q 的值为( )A.5－12 B.5＋12 C.1－52 D.5－12或5＋126．(2015·天津六校一联)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2，3S 2＝a 3－2，则公比q ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．67．(2015·赤峰市高三统考)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( )A ．7B ．5C ．－5D ．－78．(2015·沈阳市四校联考)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝( ) A ．2 B.73 C.83D ．39．(2015·湖北八校一联)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列结论一定成立的是( )A ．若a 3＞0，则a 2 013＜0B ．若a 4＞0，则a 2 014＜0C ．若a 3＞0，则S 2 013＞0D ．若a 4＞0，则S 2 014＞010．(2015·济南一中检测)已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n＋1＝( )A ．16(1－4－n) B ．16(1－2－n) C.323(1－4－n ) D.323(1－2－n ) 11．(2015·桂林市检测)设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝1，a 4＝－8，则S 5＝________．12．(2015·乐山市调研)等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝9n，则{a n }的公比为________． 13．(2015·晋冀豫三省二调)设{a n }是等比数列，公比q ＝2，S n 为{a n }的前n 项和，记T n ＝17S n －S 2n a n ＋1，n ∈N *，设Tn 0为数列{T n }的最大项，则n 0＝________．14．(2015·豫南九校二联)设数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意的正整数n ，都有a n ＝5S n ＋1成立．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 4⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n·bn ＋1前n 项和T n .考点18 数列求和与数列的综合应用两年高考真题演练1．(2015·福建)在等差数列{a n}中，a2＝4，a4＋a7＝15.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝2a n－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值．2．(2015·安徽)已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设S n为数列{a n}的前n项和，b n＝a n＋1S n S n＋1，求数列{b n}的前n项和T n.3．(2015·安徽)设n∈N*，x n是曲线y＝x2n＋2＋1在点(1，2)处的切线与x轴交点的横坐标．(1)求数列{x n}的通项公式；(2)记T n＝x21x23…x22n－1，证明T n≥14n .4．(2014·新课标全国Ⅱ)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.考点18 数列求和与数列的综合应用一年模拟试题精练1．(2015·大庆市质检二)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( )A ．29B ．31C ．33D ．36 2．(2015·青岛模拟)已知S n ＝12＋1＋13＋2＋12＋3＋…＋1n ＋1＋n，若S m ＝10，则m ＝( )A ．11B ．99C ．120D ．1213．(2015·重庆模拟)已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，那么数列{b n }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和S n 为( )A.nn ＋1 B.4n n ＋1C.3n n ＋1 D.5n n ＋14．(2015·衡水中学四调)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且a n ＝2n ＋λ，若数列{S n }在n ≥7时为递增数列，则实数λ的取值范围为( )A ．(－15，＋∞)B ．[－15，＋∞)C ．[－16，＋∞)D ．(－16，＋∞) 5.(2015·武汉市调考)如图，互不相同的点A 1，A 2，…，A n ，和B 1，B 2，…，B n ，分别在角O 的两条边上，所有A n B n 相互平行，且所有梯形A n B n B n ＋1A n ＋！的面积均相等．设OA n ＝a n ，若a 1＝1，a 2＝2，则a 9＝( )A.19B.22 C ．5 D ．276．(2015·济南一中高三期中)11×4＋14×7＋…＋1（3n －2）（3n ＋1）＝________．7．(2015·厦门市质检)数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝a n －1a n，则该数列的前22项和等于________．8．(2015·南昌市调研)一牧羊人赶着一群羊通过4个关口，每过一个关口，守关人将拿走当时羊的一半，然后退还1只给牧羊人，过完这些关口后，牧羊人只剩下2只羊，则牧羊人在过第一个关口前有________只羊．9．(2015·衡水中学四调)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…其中从第三个数起，每一个数都等于他前面两个数的和，该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性，比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887.人们称该数列为{a n }“斐波那契数列”，若把该数列{a n }的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列{b n }，在数列{b n }中第2 014项的值是________．10．(2015·衡水中学四调)数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1，数列{b n }为等差数列，且b 3＝3，b 5＝9.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若对任意的n ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫S n ＋12·k ≥b n 恒成立，求实数k 的取值范围．参考答案 第五章 数 列 考点16 等差数列【两年高考真题演练】1．B [由等差数列的性质，得a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0，选B.]2．A [∵{a n }为等差数列，∴a 1＋a 5＝2a 3，∴a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3，得a 3＝1， ∴S 5＝5（a 1＋a 5）2＝5a 3＝5.故选A.]3．B [∵a 3，a 4，a 8成等比数列，∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋7d )，整理得a 1＝－53d ，∴a 1d ＝－53d 2＜0，又S 4＝4a 1＋4×32d ＝－2d 3，∴dS 4＝－2d23＜0，故选B.]4．B [由S 8＝4S 4知，a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝3(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)，又d ＝1，∴a 1＝12，a 10＝12＋9×1＝192. 5．A [因为a 2，a 4，a 8成等比数列，所以a 24＝a 2·a 8，所以(a 1＋6)2＝(a 1＋2)·(a 1＋14)，解得a 1＝2.所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n (n ＋1)．故选A.]6．B [由等差数列的性质得a 1＋a 7＝a 3＋a 5，因为a 1＝2，a 3＋a 5＝10，所以a 7＝8，选B.]7．5 [由题意设首项为a 1，则a 1＋2 015＝2×1 010＝2 020，∴a 1＝5.]8.23 －1 [因为a 2，a 3，a 7成等比数列，所以a 23＝a 2a 7，即(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋6d )，∴a 1＝－23d ，∵2a 1＋a 2＝1，∴2a 1＋a 1＋d ＝1即3a 1＋d ＝1，∴a 1＝23，d ＝－1.]9．27 [由已知数列{a n }是以1为首项，以12为公差的等差数列．∴S 9＝9×1＋9×82×12＝9＋18＝27.]10．10 [因为{a n }是等差数列，所以a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝25，即a 5＝5，a 2＋a 8＝2a 5＝10.]11．－1n[由题意，得S 1＝a 1＝－1，又由a n ＋1＝S n S n ＋1，得S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1，所以S n ≠0，所以S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n ＝－1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1＝－1为首项，－1为公差的等差数列，得1S n ＝－1－(n －1)＝－n ，所以S n ＝－1n.]12．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 4－a 3＝2，所以d ＝2.又因为a 1＋a 2＝10，所以2a 1＋d ＝10，故a 1＝4. 所以a n ＝4＋2(n －1)＝2n ＋2(n ＝1，2，…)． (2)设等比数列{b n }的公比为q . 因为b 2＝a 3＝8，b 3＝a 7＝16， 所以q ＝2，b 1＝4. 所以b 6＝4×26－1＝128.由128＝2n ＋2，得n ＝63， 所以b 6与数列{a n }的第63项相等．13．(1)证明 由题设知，a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1. 两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1. 由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)解 由题设知，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得a 2＝λ－1. 由(1)知，a 3＝λ＋1.令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4.故a n ＋2－a n ＝4，由此可得 {a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3； {a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1. 所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列． 【一年模拟试题精练】1．C [a 1＋a 7＝a 3－2d ＋a 3＋4d ＝2a 3＋2d ＝－2，得d ＝－3.] 2．C [∵a 1＝4，S 3＝6，∴S 3＝4×3＋3×22d ＝6，得d ＝－2.]3．A [a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 1＋9×82d ＝36d ＝a 37.]4．C [a 3＝a 2＋a 1＝a 2＋1，a 4＝a 3＋a 2＝2a 2＋1，a 5＝a 4＋a 3＝2a 2＋1＋a 2＋1＝3a 2＋2，故a 2＝2，因此a 3＝a 2＋a 1＝3.]5．C [∵a n ＋2＝2a n ＋1－a n ，∴a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1，故{a n }为等差数列，∵a 5＝4－a 3，∴a 3＋a 5＝4，故S 7＝（a 1＋a 7）·72＝（a 3＋a 5）·72＝4×72＝14.]6．A [∵S 10＝S 5，∴a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝5a 8＝0，即a 8＝0.a m ＋a 6＝a 8＋(m －8)d ＋a 8－2d ＝0，得m ＝10.]7．B [∵{a n }为等差数列，∴S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等差数列，即：S 3＋(S 9－S 6)＝2(S 6－S 3)得S 9＝36.]8．B [由题意，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝20，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝36，作差可得8d ＝16，即d ＝2.] 9．A [依题意得55a 1a 3＝15，a 1a 3＝5，a 2＝10a 1a 3＝2.]10．B [法一 S 13＝（a 1＋a 13）132＝0，a 13＝－a 1＝12，d ＝a 13－a 113－1＝2，故a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －14，解a n ＞0，得n ＞7，故使a n ＞0的最小正整数n 为8.法二 S 13＝（a 1＋a 13）132＝13a 7＝0，得a 7＝0，故a 8＞0，故a n ＞0的最小正整数n 为8.]11．A [设等差数列{a n }的公差为d ，则由题设得：⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝10，4a 1＋6d ＝36，解得：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝4.所以a n ＝4n －1，PQ →＝(n ＋2－n ，a n ＋2－a n )＝(2，8)＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2，所以过点P (n ，a n )和Q (n ＋2，a n ＋2)(n ∈N *)的直线的一个方向向量是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2，故选A.]12．A [∵{a n }为等差数列，∴a n ＋1＋a n －1＝2a n ，又∵a n ＋1＋a n －1＝a 2n ，∴a 2n ＝2a n ，∵a n ≠0，∴a n ＝2，故S 2n －1－4n ＝(2n －1)·2－4n ＝－2.]13．C [由a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 8＝40得4(a 4＋a 5)＝40即a 4＋a 5＝10，a 4＋a 5≥2a 4·a 5，得：a 4·a 5≤25，故a 4·a 5的最大值为25.]14．3 [2a 7－a 5＝a 7＋(a 7－a 5)＝a 7＋2d ＝a 9＝3.]15．1 472 [2，6，10，…，190的通项公式为a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2； 2，8，14，…，200的通项公式为b m ＝2＋(m －1)·6＝6m －4，由4n －2＝6m －4， 得：n ＝3m －12，当m ＝1时，n ＝1；当m ＝3时，n ＝4；当m ＝5时，n ＝7，…；当m ＝31时，n ＝46构成一个新数列为2，14，26，…，182，其通项公式为C n ＝2＋(n －1)·12＝12n －10.其各项之和为C 1＋C 2＋…＋C 16＝（C 1＋C 16）·162＝1 472.]16.54 [a 2b 4＋b 6＋a 8b 3＋b 7＝a 22b 5＋a 82b 5＝2a 52b 5＝a 1＋a 9b 1＋b 9＝S 9T 9＝9＋19－1＝54.] 17．解 (1)设{a n }的首项为a 1，公差为d ，由题意，a 27＝a 1a 5， 即(a 1＋6d )2＝a 1(a 1＋4d )，又a 3＝a 1＋2d ＝5(d ≠0)， 得a 1＝9，d ＝－2，故a n ＝－2n ＋11.(2)令S n ＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1，由(1)知a 2n －1＝－4n ＋13，故{a 2n －1}是首项为9，公差为－4的等差数列． ∴S n ＝n 2(a 1＋a 2n －1)＝n2(－4n ＋22)＝－2n 2＋11n .考点17 等比数列【两年高考真题演练】1．B [设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21得3(1＋q 2＋q 4)＝21，解得q 2＝－3(舍去)或q 2＝2，于是a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42，故选B.]2．C [由{a n }为等比数列，得a 3a 5＝a 24，所以a 24＝4(a 4－1)，解得a 4＝2，设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4＝a 1q 3，得2＝14q 3，解得q ＝2，所以a 2＝a 1q ＝12.选C.]3．1 [∵三个正数a ，b ，c 成等比数列， ∴b 2＝ac ＝(5＋26)(5－26)＝1. ∵b 为正数，∴b ＝1.]4．6 [由a n ＋1＝2a n 知，数列{a n }是以a 1＝2为首项，公比q ＝2的等比数列，由S n ＝2（1－2n ）1－2＝126，解得n ＝6.]5．2n －1 [由等比数列性质知a 2a 3＝a 1a 4，又a 2a 3＝8，a 1＋a 4＝9，所以联立方程⎩⎪⎨⎪⎧a 1a 4＝8，a 1＋a 4＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，a 4＝1，又数列{a n }为递增数列，∴a 1＝1，a 4＝8，从而a 1q 3＝8，∴q ＝2.∴数列{a n }的前n 项和为S n ＝1－2n1－2＝2n－1.]6．3n －1[由3S 1，2S 2，S 3成等差数列知，4S 2＝3S 1＋S 3，可得a 3＝3a 2，∴公比q ＝3，故等比数列通项a n ＝a 1q n －1＝3n －1.]7．4 [设等比数列{a n }的公比为q ，q >0.则a 8＝a 6＋2a 4即为a 4q 4＝a 4q 2＋2a 4，解得q 2＝2(负值舍去)，又a 2＝1，所以a 6＝a 2q 4＝4.]8．1 [设{a n }公差为d ，则a 3＝a 1＋2d ，a 5＝a 1＋4d ， 所以(a 1＋2d ＋3)2＝(a 1＋1)(a 1＋4d ＋5)， 解得d ＝－1， 所以q ＝a 3＋3a 1＋1＝a 1＋2d ＋3a 1＋1＝a 1＋1a 1＋1＝1.] 9．解 (1)设{a n }的公差为d ，则由已知条件得a 1＋2d ＝2，3a 1＋3×22d ＝92， 化简得a 1＋2d ＝2，a 1＋d ＝32，解得a 1＝1，d ＝12，故通项公式a n ＝1＋n －12，即a n ＝n ＋12.(2)由(1)得b 1＝1，b 4＝a 15＝15＋12＝8. 设{b n }的公比为q ，则q 3＝b 4b 1＝8，从而q ＝2， 故{b n }的前n 项和T n ＝b 1（1－q n ）1－q ＝1×（1－2n ）1－2＝2n－1.10．解 (1)由已知S n ＝2a n －a 1，有a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)， 即a n ＝2a n －1(n ≥2)， 从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1，又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)， 所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2，所以，数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列， 故a n ＝2n.(2)由(1)得1a n ＝12n ，所以T n ＝12＋122＋…＋12n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－12n .【一年模拟试题精练】1．D [由a n ＋1＝2a n (n ≥1)知数列{a n }是以2为公比的等比数列，因为a 2a 4＝2a 5，所以a 1q ·a 1q 3＝2a 1q 4⇒a 1＝2，所以a 3＝4.]2．B [依题意得a 27＝a 5·a 9＝81，又注意到a 7a 5＝q 2＞0(其中q 为公比)，因此a 5，a 7的符号相同，故a 7＝9.]3．C [∵a n ＞0，∴a 2a 10＝a 26＝16，即a 6＝4. 故a 9＝a 6·q 3＝4×8＝32.]4．C [由公比不为1的等比数列前n 项和的公式得：a 1（1－q 3）1－q＝7a 1，解得q ＝2或q＝－3.]5．B [因为a 2，12a 3，a 1成等差数列，所以a 1＋a 2＝2×12a 3＝a 3，即a 1＋a 1q ＝a 1q 2，所以q 2－q －1＝0，解得q ＝1＋52或q ＝1－52＜0(舍去)．] 6．B [由3(S 3－S 2)＝3a 3＝(a 4－2)－(a 3－2)＝a 4－a 3得a 4＝4a 3，即q ＝a 4a 3＝4.]7．D [a 5·a 6＝a 4·a 7＝－8，故a 4，a 7是方程x 2－2x －8＝0的两根，得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2.当a 4＝－2，a 7＝4时，q 3＝a 7a 4＝－2，a 1＋a 10＝a 4q3＋a 7·q 3＝－7；当a 4＝4，a 7＝－2时，q 3＝a 7a 4＝－12，a 7＋a 10＝a 4q 3＋a 7·q 3＝－7.]8．B [设公比为q ，则S 6S 3＝a 1（1－q 6）1－q a 1（1－q 3）1－q ＝1－q 61－q3＝1＋q 3＝3，所以q 3＝2，所以S 9S 6＝1－q 91－q 6＝1－231－22＝73.故选B.]9．C [对于A ：1，－1，1，－1，…，满足a 3＞0，但a 2 013＝1＞0，排除A ；对于B ：－1，1，－1，1，…，满足a 4＞0，但a 2 014＝－100，排除B ；对于D ：－1，1，－1，1，…，满足a 4＞0，但S 2 014＝0，排除D ，故选C.]10．C [∵a 2＝2，a 5＝14，∴q 3＝a 5a 2＝18，即q ＝12，得a n ＝a 2q n －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3，则b n ＝a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －5，故a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝323(1－4－n)．]11．11 [∵a 4a 1＝－8＝q 3，∴q ＝－2，S 5＝a 1（1－q 5）1－q＝11.]12．3 [设{a n }的公比为q ，∵a n a n ＋1a n －1a n＝q 2＝9，则q ＝±3， ∵a n a n ＋1＝9n＞0，∴q ＝3.] 13．4 [设等比数列的首项为a 1， 则a n ＝a 1(2)n －1，S n ＝a 1[1－（2）n ]1－2，所以T n ＝17S n －S 2na n ＋1＝17a 1[1－（2）n ]1－2－a 1[1－（2）2n ]1－2a 1（2）n＝11－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2）n ＋16（2）n－17，因为(2)n＋16（2）n ≥8，当且仅当(2)n＝16（2）n，即n ＝4时取等号，故当n 0＝4，Tn 0最大．]14．(1)解 当n ＝1时，a 1＝5S 1＋1，∵a 1＝－14，又∵a n ＝5S n ＋1，a n ＋1＝5S n ＋1＋1 ∴a n ＋1－a n ＝5a n ＋1， 即a n ＋1a n ＝－14， ∴数列{a n }是首项为a 1＝－14，公比为q ＝－14的等比数列，∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14n.(2)b n ＝log 4|(－4)n|＝n ， 所以1b n b n ＋1＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，T n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝nn ＋1.考点18 数列求和与数列的综合应用【两年高考真题演练】1．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝4，（a 1＋3d ）＋（a 1＋6d ）＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝1.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋2. (2)由(1)可得b n ＝2n＋n ，所以b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10) ＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10) ＝2（1－210）1－2＋（1＋10）×102＝(211－2)＋55 ＝211＋53＝2 101.2．解 (1)由题设知a 1·a 4＝a 2·a 3＝8.又a 1＋a 4＝9.可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，a 4＝1(舍去)． 由a 4＝a 1q 3得公比q ＝2，故a n ＝a 1qn －1＝2n －1.(2)S n ＝a 1（1－q n ）1－q＝2n－1，又b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1， 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 1－1S 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 2－1S 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S n －1S n ＋1＝1S 1－1S n ＋1＝1－12n ＋1－1.3．(1)解 y ′＝(x 2n ＋2＋1)′＝(2n ＋2)x2n ＋1，曲线y ＝x2n ＋2＋1在点(1，2)处的切线斜率为2n ＋2，从而切线方程为y －2＝(2n ＋2)(x －1)． 令y ＝0，解得切线与x 轴交点的横坐标x n ＝1－1n ＋1＝nn ＋1. (2)证明 由题设和(1)中的计算结果知T n ＝x 21x 23…x 22n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122⎝ ⎛⎭⎪⎫342…⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －12n 2. 当n ＝1时，T 1＝14.当n ≥2时，因为x22n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －12n 2＝（2n －1）2（2n ）2>（2n －1）2－1（2n ）2＝2n －22n ＝n －1n . 所以T n >⎝ ⎛⎭⎪⎫122×12×23×…×n －1n ＝14n .综上可得对任意的n ∈N *，均有T n ≥14n.4．证明 (1)由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋12.又a 1＋12＝32，所以{a n ＋12}是首项为32，公比为3的等比数列．a n ＋12＝3n2，因此{a n }的通项公式为a n ＝3n－12.(2)由(1)知1a n ＝23n －1.因为当n ≥1时，3n－1≥2×3n －1，所以13n －1≤12×3n －1.于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1＝32⎝⎛⎭⎪⎫1－13n <32.所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.【一年模拟试题精练】1．B [∵a 2a 3＝2a 1，∴a 1q 3＝a 4＝2. 又∵a 4＋2a 7＝54×2，∴a 7＝14，故q ＝12，a 1＝16，因此S 5＝a 1（1－q 5）1－q＝31.]2．C [∵S n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n －n －1)＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1. ∴S m ＝m ＋1－1＝10，得m ＝120.]3．B [∵a n ＝1＋2＋3＋…＋nn ＋1＝n （n ＋1）2n ＋1＝n2， ∴b n ＝1a n a n ＋1＝4n （n ＋1）＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n －1n ＋1.故S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝4n n ＋1.]4．D [∵a n ＝2n ＋λ，∴a 1＝2＋λ， ∴S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n （2＋λ＋2n ＋λ）2＝n 2＋(λ＋1)n ，又因为n ∈N *，由二次函数的性质和n ∈N *，可知－λ＋12＜7.5，即可满足数列{S n }为递增数列，解不等式可得λ＞－16.故选D.] 5．C [由题意可知，△OA 1B 1∽△OA 2B 2，∴S △OA 1B 1S △OA 2B 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫OA 1OA 22＝14，∴S △OA 1B 1SA 1B 1B 2A 2＝13， 同理△OA 1B 1∽△OA 9B 9，∴S △OA 1B 1S △OA 9B 9＝11＋3×8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫OA 1OA 92⇒OA 9＝5，即a 9＝5.] 6.n 3n ＋1 [a n ＝1（3n －2）（3n ＋1）＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤13n －2－13n ＋1，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－14＋14－17＋…＋13n －2－13n ＋1＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－13n ＋1＝n 3n ＋1.] 7．11 [a n ＋1＝a n －1a n ＝1－1a n ，∵a 1＝12，∴a 2＝1－1a 1＝－1，a 3＝1－1a 2＝2，a 4＝1－1a 3＝12，故{a n }为周期为3的数列，即a 1＝a 3n ＋1，a 2＝a 3n ＋2，a 3＝a 3n ＋3，故a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 22＝(a 1＋a 2＋a 3)·7＋a 22＝11.]8．2 [记此牧羊人通过第1个关口前、通过第2个关口前、……、通过第4个关口前剩下的羊的只数组成数列{a n }(n ＝1，2，3，4)，则由题意得a 2＝12a 1＋1，a 3＝12a 2＋1，a 4＝12a 3＋1，而12a 4＋1＝2，解得a 4＝2，因此得a 3＝2，…，a 1＝2.] 9．3 [1，1，2，3，5，8，13，…，除以4得的余数分别为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…，即新数列{b n }是周期为6的周期数列，b 2 014＝b 235×6＋3＝b 3＝3，所以第2 014项的值是3.]10．解 (1)由a n ＋1＝2S n ＋1① 得a n ＝2S n －1＋1②，①－②得a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)，∴a n ＋1＝3a n (n ≥2)，又a 2＝3，a 1＝1也满足上式， ∴a n ＝3n －1；b 5－b 3＝2d ＝6，∴d ＝3.∴b n ＝3＋(n －3)·3＝3n －6.(2)S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝1－3n 1－3＝3n －12，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫3n－12＋12k ≥3n －6，对n ∈N *恒成立，∴k ≥6n －123n对n ∈N *恒成立， 令c n ＝3n －63n ，c n －c n －1＝3n －63n －3n －93n －1＝－2n ＋73n －1，当n ≤3时，c n ＞c n －1，当n ≥4时，c n ＜c n －1，(c n )max ＝c 3＝19，所以实数k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫29，＋∞.。

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