全国新课标2017年高考数学大二轮复习第二编专题整合突破专题四数列第一讲等差与等比数列适考素能特训文

专题四 数列 第一讲 等差与等比数列适考素能特训 文

一、选择题

1．[2015·重庆高考]在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．6

答案 B

解析 设数列{a n }的公差为d ，由a 4＝a 2＋2d ，a 2＝4，a 4＝2，得2＝4＋2d ，d ＝－1，∴

a 6＝a 4＋2d ＝0.故选B.

2．[2016·山西四校联考]等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若公比q >1，a 3＋a 5＝20，a 2a 6

＝64，则S 5＝( )

A ．31

B ．36

C ．42

D ．48

答案 A

解析 由等比数列的性质，得a 3a 5＝a 2a 6＝64，于是由⎩⎪⎨

⎪⎧

a 3＋a 5＝20，

a 3a 5＝64，且公比q >1，得

a 3＝4，a 5＝16，所以⎩

⎪⎨⎪⎧

a 1q 2

＝4，

a 1q 4

＝16，解得⎩

⎪⎨

⎪⎧

a 1＝1，q ＝2 q ＝－2舍 ，所以S 5＝1× 1－25

1－2

＝31，

故选A.

3．[2016·唐山统考]设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4S 2

＝3，则S 6

S 4

＝( ) A ．2 B.73 C.310 D ．1或2

答案 B

解析 设S 2＝k ，S 4＝3k ，由数列{a n }为等比数列，得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4为等比数列，∴

S 2＝k ，S 4－S 2＝2k ，S 6－S 4＝4k ，∴S 6＝7k ，S 4＝3k ，∴S 6S 4＝7k 3k ＝7

3

，故选B.

4．[2015·浙江高考]已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n .若a 3，a 4，

a 8成等比数列，则( )

A ．a 1d >0，dS 4 >0

B ．a 1d <0，dS 4<0

C ．a 1d >0，dS 4<0

D ．a 1d <0，dS 4>0

答案 B

解析 由a 2

4＝a 3a 8，得(a 1＋2d )(a 1＋7d )＝(a 1＋3d )2

，整理得d (5d ＋3a 1)＝0，又d ≠0，∴a 1＝－53d ，则a 1d ＝－53d 2<0，又∵S 4＝4a 1＋6d ＝－23d ，∴dS 4＝－23

d 2

<0，故选B.

5．正项等比数列{a n }满足：a 3＝a 2＋2a 1，若存在a m ，a n ，使得a m ·a n ＝16a 2

1，m ，n ∈N *

，则1m ＋9

n

的最小值为( )

A ．2

B ．16 C.114 D.32

答案 C

解析 设数列{a n }的公比为q ，a 3＝a 2＋2a 1⇒q 2

＝q ＋2⇒q ＝－1(舍)或q ＝2，∴a n ＝a 1·2

n

－1

，a m ·a n ＝16a 21⇒a 21·2

m ＋n －2

＝16a 21⇒m ＋n ＝6，∵m ，n ∈N *

，∴(m ，n )可取的数值组合为(1,5)，

(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，计算可得，当m ＝2，n ＝4时，1m ＋9n 取最小值114

.

6．[2016·吉林长春质量监测]设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝a 2＝1，{nS n ＋(n ＋2)a n }为等差数列，则a n ＝( )

A.n

2

n －1

B.n ＋1

2n －1＋1

C.

2n －1

2n

－1

D.

n ＋1

2

n ＋1

答案 A

解析 设b n ＝nS n ＋(n ＋2)a n ，则b 1＝4，b 2＝8，{b n }为等差数列，所以b n ＝4n ，即nS n ＋

(n ＋2)a n ＝4n ，S n ＋⎝

⎛⎭

⎪⎫1＋2n a n ＝4.

当n ≥2时，S n －S n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2n a n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2n －1a n －1＝0，所以2 n ＋1 n a n ＝n ＋1n －1a n －1，即2·a n n ＝

a n －1n －1，又因为a 11＝1，所以⎩⎨⎧⎭

⎬⎫a n n 是首项为1，公比为12的等比数列，所以a n n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1(n ∈N *

)，a n ＝

n

2

n －1

(n ∈N *

)，故选A.

二、填空题

7．[2015·广东高考]在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________. 答案 10

解析 利用等差数列的性质可得a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝2a 5，从而a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝25，故a 5＝5，所以a 2＋a 8＝2a 5＝10.

8．[2016·辽宁质检]设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋3，则S 4＝________. 答案 66

解析 依题a n ＝2S n －1＋3(n ≥2)，与原式作差得，a n ＋1－a n ＝2a n ，n ≥2，即a n ＋1＝3a n ，n ≥2，可见，数列{a n }从第二项起是公比为3的等比数列，a 2＝5，所以S 4＝1＋5× 1－33

1－3

＝66.

9．[2016·云南统考]在数列{a n }中，a n >0，a 1＝12，如果a n ＋1是1与2a n a n ＋1＋1

4－a 2

n

的等比中项，那么a 1＋a 222＋a 332＋a 442＋…＋a 100

100

2的值是________．

答案

100101