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2021届江苏省联考高三第四次试卷数学试题(文科)

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2021届江苏省新高考基地学校高三第二学期4月第二次大联考数学【含答案】

2021届江苏省新高考基地学校高三第二学期4月第二次大联考数学【含答案】

2021届江苏省新高考基地学校高三第二学期4月第二次大联考数学2021年4月注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小是，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．设全集为R，集合A＝{x|2＜x＜5}，B＝{x|2x＞16}，则A∩( R B)＝A．{x|4＜x≤5} B．{x|4＜x＜5} C．{x|2＜x≤4} D．{x|2＜x＜4}2．某校组建了甲、乙、丙3支羽毛球球队参加男女混合双打比赛，其中男队员有小王、小张、小李，女队员有小红、小芳、小丽．若小王和小红不是搭档，小张和小丽不是搭档，小李和小芳不是搭档，则A．小王的搭档一定是小芳B．小芳的搭档不可能是小张C．小张的搭档不可能是小红D．小李的搭档可能是小丽3．根据2010~2019年我国16~59岁人口比重统计数据y(%)，拟合了y与年份x的回归方程为ŷ＝－0.74x＋1551，试据此估计我国约从哪一年开始16~59岁人口比重低于50%A．2023 B．2026 C．2029D．20324．碌碡是我国古代人民发明的一种把米、麦、豆等粮食加工成粉末的器具，如图，近似圆柱形碌碡的轴固定在经过圆盘圆心且垂直于圆盘的木桩上，当人推动木柄时，碌碡在圆盘上滚动．若人推动木柄绕圆盘转动1周，碌碡恰好滚动了3圈，则该圆柱形碌碡的高与其底面圆的直径之比约为A ．3：1B ．3：2C ．1：3D ．2：35．若存在复数z 同时满足|z －i|＝1，|z －3＋3i|＝t ，则实数t 的取值范围是A ．[0，4]B ．(4，6)C ．[4，6]D ．(6，＋∞)6．香农定理是所有通信制式最基本的原理，它可以用香农公式C ＝B log 2(1＋SN )来表示，其中C 是信道支持的最大速度或者叫信道容量，B 是信道的带宽(Hz)，S 是平均信号功率(W)，N 是平均噪声功率(W)．已知平均信号功率为1000W ，平均噪声功率为10W ，在不改变平均信号功率和信道带宽的前提下，要使信道容量增大到原来的2倍，则平均噪声功率约降为A ．0.1WB ．1.0WC ．3.2WD ．5.0W7．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为2c (c ＞0)，右焦点为F ，过C 上一点P 作直线x ＝32c的垂线，垂足为Q ．若四边形OPQF 为菱形，则C 的离心率为A ．23B ．63C ．4－2 3D ．3－18．已知函数f (x )＝x －a ex ，且e a＝ln b ＝c ，则 A ．f (a )＜f (b )＜f (c ) B ．f (b )＜f (c )＜f (a ) C ．f (a )＜f (c )＜f (b ) D ．f (c )＜f (b )＜f (a )二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知无穷等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＞0，d ＜0，则A ．数列{a n }单调递减B ．数列{a n }没有最小值C ．数列{S n }单调递减D ．数列{S n }有最大值10．已知a ，b 均为正数，且a －b ＝1，则A ．2a －2b ＞1B ．a 3－b 3＜1C ．4a －1b≤1 D ．2log 2a －log 2b <211．已知函数f (x )＝sin 3xx 2＋1，x ∈(－π，π)，则A ．∀x ∈(－π，π)，f (x )f (－x )≥0B ．∀x ∈(－π，π)，|f (x )|≤1C ． x 1，x 2∈(－π，π)，x 1≠x 2，f (x 1)＝f (x 2)D ．∃x 0∈(－π，π)，∀x ∈(－π，π)，|f (x )|≤f (x 0)12．由倍角公式3cos2x ＝2cos 2x －1，可知cos2x 可以表示为cos x 的二次多项式．一般地，存在一个n (n ∈N *)次多项式P n (t )＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋…＋a n t n (a 0，a 1，a 2，…，a n ∈R )，使得cos nx ＝P n (cos x )，这些多项式P n (t )称为切比雪夫(P ．L ．T s chebyscheff )多项式．则 A ．P 3(t )＝4t 3－3t B ．当n ≥3时，a 0＝0 C ．|a 1＋a 2＋a 2＋…＋a n |≤2 D ．sin18°＝5－14二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．某志愿者服务大队计划在今年“五一”小长假这5天中安排3天到社区进行劳动法宣讲，则这3天中恰有2天连排的概率为_______．14．已知正方形ABCD 的边长为2，当点P 满足_______时，→AP ·→AC ＝4． (注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况) 15．设(x －1x )( x ＋1x)6＝1470ii i a x-=∑，则(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 7＋a 9＋a 11＋a 13)＝_______．16．已知等边三角形ABC 的边长为2，点D ，E 分别在边AC ，BC 上，且DE //AB ，将△CDE 沿DE 折起，则四棱锥C －DABE 的体积的最大值为_______，此时四棱锥C －DABE 的外接球的表面积为_______．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)在①4a sin B cos A ＝3b ，②b sin 2B ＋c sin 2C ＝(b ＋c ) sin 2A ，③3sin A ＋cos A ＝b a ＋ab．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求出cos B 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＝13， ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．(12分)已知数列{a n }满足a 1＝2，(n ＋2)a n ＝3(n ＋1)a n ＋1． (1)求数列{a n }的通项公式(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，求证S n ＜154．19．(12分)阳澄湖大闸蟹又名金爪蟹，产于江苏苏州，蟹身青壳白肚，体大膘肥，肉质膏腻，营养丰富，深受消费者喜爱．某水产品超市购进一批重量为100千克的阳澄湖大闸蟹，随机抽取了50只统计其重量，得到的结果如下表所示： 规格 中蟹大蟹特大蟹重量(单位：克) [160，180)[180，200)[200，220)[220，240)[240，260) [260，280]数量(单位：只)32 15 20 7 3(1)试用组中值来估计该批大闸蟹的有名少只?(所得结果四舍五入保留整数)(2)某顾客从抽取的10只特大蟹中随机购买了4只，记重量在区间[260，280]上的大闸蟹数量为X ，求X 的概率分布和数学期望．20．(12分)已知AB 是圆O 的直径，且长为4，C 是圆O 上异于A 、B 的一点，点P 到A ，B ，C 的距离2 3.设二面角P －AC －B 与二面角P －BC －A 的大小分别为α，β． (1)求1tan 2a ＋1tan 2β的值； (2)若tan β＝3tan α，求二面角A －PC B 的余弦值．21．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，过点M (0，－1)的直线交抛物y 2＝4x 于A ，B 两点． (1)设OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1＋k 2的值；(2)过点A ，B 分别作直线x ＝－4的垂线，垂足为C 、D ，试探究∠AOB 和∠COD 的关系，并说明理由．POC BA22．(12分)已知函数f (x )＝－32x 2＋6x ＋3log a x (a ＞0，且a ≠1)为单调减函数，f (x )的导函数f ′(x )的最大值不小于0． (1) 求a 的值；(2)若f (x 1)＋f (x 2)＝9，求证：x 1＋x 2≥2．数 学 解析版 2021年4月注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

黑龙江哈三中2024届高三第四次联考数学试题文试卷

黑龙江哈三中2024届高三第四次联考数学试题文试卷

黑龙江哈三中2024届高三第四次联考数学试题文试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若(1＋2ai)i ＝1－bi ，其中a ，b ∈R ，则|a ＋bi|＝( )．A ．12B ．5C ．52D ．52． “十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为A ．32fB ．322fC ．1252fD ．1272f 3．函数的定义域为（ ）A ．[，3）∪（3，+∞）B ．（-∞，3）∪（3，+∞）C ．[，+∞）D ．（3，+∞）4．定义域为R 的偶函数()f x 满足任意x ∈R ，有(2)()(1)f x f x f +=-，且当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-.若函数()log (1)a y f x x =-+至少有三个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．3⎛ ⎝⎭C ．5⎛ ⎝⎭D ．60,6⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 5．若不等式32ln(1)20a x x x +-+>在区间(0,)+∞内的解集中有且仅有三个整数，则实数a 的取值范围是( )A ．932,2ln 2ln 5⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．932,2ln 2ln 5⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．932,2ln 2ln 5⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．9,2ln 2⎛⎫+∞⎪⎝⎭ 6．已知复数z 满足i z11=-，则z =（ ）A ．1122i +B ．1122i - C ．1122-+i D ．1122i -- 7．若实数x ，y 满足条件25024001x y x y x y +-≤⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，目标函数2z x y =-，则z 的最大值为( ) A ．52 B ．1 C ．2 D ．08．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的a 的值为（ ）A ．2-3 B ．3-2 C ．52 D ．259．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为()32222x y x y +=.给出下列四个结论：①曲线C 有四条对称轴；②曲线C 上的点到原点的最大距离为14； ③曲线C 第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为18； ④四叶草面积小于4π. 其中，所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②④ 10．已知抛物线2:6C y x =的焦点为F ，准线为l ，A 是l 上一点，B 是直线AF 与抛物线C 的一个交点，若3FA FB =，则||BF =（ ）A ．72B ．3C ．52D ．211．已知集合{}0,1,2,3A =，{|22}B x x =-≤≤，则A B 等于（ ）A ．{}012,,B ．{2,1,0,1,2}--C ．{}2,1,0,1,2,3--D ．{}12, 12．已知0x >，0y >，23x y +=，则23x y xy+的最小值为（ ） A ．322-B ．221 C 21 D 21二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

第四关 以立体几何为背景的新颖问题为背景的填空题-(原卷版)

第四关 以立体几何为背景的新颖问题为背景的填空题-(原卷版)

压轴填空题第四关 以立体几何为背景的新颖问题为背景的填空题【名师综述】以立体几何为背景的新颖问题常见的有折叠问题，与函数图象相结合问题、最值问题，探索性问题等. 对探索、开放、存在型问题的考查，探索性试题使问题具有不确定性、探究性和开放性，对学生的能力要求较高，有利于考查学生的探究能力以及思维的创造性，是新课程下高考命题改革的重要方向之一；开放性问题，一般将平面几何问题类比推广到立体几何的中，不过并非所有平面几何中的性质都可以类比推广到立体几何中，这需要具有较好的基础知识和敏锐的洞察力;对折叠、展开问题的考查，图形的折叠与展开问题（三视图问题可看作是特殊的图形变换）蕴涵了“二维——三维——二维” 的维数升降变化，求解时须对变化前后的图形作“同中求异、异中求同”的思辩，考查空间想象能力和分析辨别能力，是立几解答题的重要题型.类型一 几何体在变化过程中体积的最值问题典例1．如图，等腰直角三角形ABE 的斜边AB 为正四面体A BCD -的侧棱，2AB =，直角边AE 绕斜边AB 旋转一周，在旋转的过程中，三棱锥E BCD -体积的取值范围是___________.【来源】山东省菏泽市2021-2022学年高三上学期期末数学试题【举一反三】如果一个棱锥底面为正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥称为正棱锥.已知正四棱锥P ABCD -内接于半径为1的球，则当此正四棱锥的体积最大时，其高为_____类型二 几何体的外接球或者内切球问题典例2．已知正三棱锥S ABC -的底面边长为32P ，Q ，R 分别是棱SA ，AB ，AC 的中点，若PQR 是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为______．【来源】陕西省宝鸡市2022届高三上学期高考模拟检测（一）文科数学试题【举一反三】已知菱形ABCD 中，对角线23BD =，将ABD △沿着BD 折叠，使得二面角A BD C --为120°，AC 33= ，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为________. 【来源】江西宜春市2021届高三上学期数学（理）期末试题类型三 立体几何与函数的结合典例3. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为线段11A D 上的点，过点E 作垂直于1B D 的平面截正方体，其截面图形为M ，下列命题中正确的是______． ①M 在平面ABCD 上投影的面积取值范围是17,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦；②M 的面积最大值为334； ③M 的周长为定值．【来源】江西省九江市2022届高三第一次高考模拟统一考试数学（理）试题【举一反三】如图，点C 在以AB 为直径的圆周上运动（C 点与A ，B 不重合)，P 是平面ABC 外一点，且PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，过C 点分别作直线AB ，PB 的垂线，垂足分别为M ，N ，则三棱锥B CMN -体积的最大值为______．【来源】百校联盟2020-2021学年高三教育教学质量监测考试12月全国卷（新高考）数学试题类型四 立体几何中的轨迹问题典例4. 已知P 为正方体1111ABCD A B C D -表面上的一动点，且满足2,2PA PB AB ==，则动点P 运动轨迹的周长为__________.【来源】福建省莆田市2022届高三第一次教学质量检测数学试题【举一反三】在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，棱1BB ，11B C 的中点分别为E ，F ，点P 在平面11BCC B 内，作PQ ⊥平面1ACD ，垂足为Q ．当点P 在1EFB △内（包含边界）运动时，点Q 的轨迹所组成的图形的面积等于_____________．【来源】浙江省杭州市2020-2021学年高三上学期期末教学质量检测数学试题【精选名校模拟】1．已知在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上､下底面及母线均相切.过直线12O O 的平面截圆柱得到四边形ABCD ，其面积为8.若P 为圆柱底面圆弧CD 的中点，则平面PAB 与球O 的交线长为___________. 【来源】江苏省南通市2020-2021高三下学期一模试卷2．已知二面角PAB C 的大小为120°，且90PAB ABC ∠=∠=︒，AB AP =，6AB BC +=.若点P 、A 、B 、C 都在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为______.【来源】山东省枣庄市滕州市2020-2021学年高三上学期期中数学试题3．四面体A BCD -中，AB BC ⊥，CD BC ⊥，2BC =，且异面直线AB 和CD 所成的角为60︒，若四面体ABCD 的外接球半径为5，则四面体A BCD -的体积的最大值为_________. 【来源】浙江省宁波市镇海中学2020-2021学年高三上学期11月期中数学试题4．我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童，如图的刍童ABCD EFGH -有外接球，且43,4,26,62AB AD EH EF ====，点E 到平面ABCD 距离为4，则该刍童外接球的表面积为__________.【来源】江苏省苏州市张家港市2020-2021学年高三上学期12月阶段性调研测试数学试题5．已知正三棱柱111ABC A B C -的外接球表面积为40π，则正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长之和的最大值为______．【来源】河南省中原名校2020-2021学年高三第一学期数学理科质量考评二6．已知体积为72的长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为正方形，且13BC BB =，点M 是线段BC 的中点，点N 在矩形11DCC D 内运动（含边界），且满足AND CNM ∠=∠，则点N 的轨迹的长度为______. 【来源】百校联盟2021届普通高中教育教学质量监测考试（全国卷11月）文科数学试卷7．矩形ABCD 中，3,1AB BC ==，现将ACD △沿对角线AC 向上翻折，得到四面体D ABC -，则该四面体外接球的表面积为______；若翻折过程中BD 的长度在710,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦范围内变化，则点D 的运动轨迹的长度是______．【来源】江苏省无锡市江阴市青阳中学2020-2021学年高三上学期1月阶段检测数学试题8．如图，在四面体ABCD 中，AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，BC =2，AB =CD =23，且异面直线AB 与CD 所成的角为60，则四面体ABCD 的外接球的表面积为_________.【来源】山东省新高考2020-2021学年高三上学期联考数学试题9．已知三棱锥P ABC -外接球的表面积为100π，PB ⊥平面ABC ，8PB =，120BAC ∠=︒，则三棱锥体积的最大值为________.【来源】江苏省徐州市三校联考2020-2021学年高三上学期期末数学试题10．已知直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，且内接于球O ，若此三棱柱111ABC A B C -的高为2，体积是1，则球O 的半径的最小值为___________.【来源】广西普通高中2021届高三高考精准备考原创模拟卷（一）数学（理）试题11．如图，已知长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为正方形，P 为棱11A D 的中点，且6PA AB ==，则四棱锥P ABCD -的外接球的体积为______.【来源】2021年届国著名重点中学新高考冲刺数学试题（7）12．如图所示，在三棱锥B ACD -中，3ABC ABD DBC π∠=∠=∠=，3AB =，2BC BD ==，则三棱锥B ACD -的外接球的表面积为______.【来源】江西省南昌市八一中学、洪都中学、十七中三校2021届高三上学期期末联考数学（理）试题13．在三棱锥P ABC -中，平面PAB 垂直平面ABC ，23PA PB AB AC ====120BAC ∠=︒，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为_________.【来源】福建省福州市八县（市）一中2021届高三上学期期中联考数学试题14．已知A ，B ，C ，D 205的球体表面上四点，若4AB =，2AC =，23BC =且三棱维A BCD -的体积为23CD 长度的最大值为________．【来源】福建省四地市2022届高三第一次质量检测数学试题15．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，AB ⊥AD ，22CD AD AB ===，3PA =，若动点Q 在PAD △内及边上运动，使得CQD BQA ∠=∠，则三棱锥Q ABC -的体积最大值为______.【来源】八省市2021届高三新高考统一适应性考试江苏省无锡市天一中学考前热身模拟数学试题16．已知正三棱锥A BCD -的底面是边长为23其内切球的表面积为π，且和各侧面分别相切于点F 、M 、N 三点，则FMN 的周长为______．【来源】湖南省常德市2021-2022学年高三上学期期末数学试题17．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC CB ⊥，4===PA AC BC ．以A 为球心，表面积为36π的球面与侧面PBC 的交线长为______．【来源】山东省威海市2021-2022学年高三上学期期末数学试题18．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，过点A 的平面α分别与棱1BB ，1CC ，1DD 交于点E ，F ，G ，记四边形AEFG 在平面11BCC B 上的正投影的面积为1S ，四边形AEFG 在平面11ABB A 上的正投影的面积为2S .给出下面四个结论：①四边形AEFG 是平行四边形； ②12S S +的最大值为2； ③12S S 的最大值为14；④四边形AEFG 6则其中所有正确结论的序号是___________.【来源】北京西城区2022届高三上学期期末数学试题196，在该圆柱内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该圆柱内可以任意转动，则a 的最大值为__________．【来源】河南省郑州市2021-2022学年高三上学期高中毕业班第一次质量预测数学（文）试题20．在三棱锥P －ABC 中，P A ＝PB ＝PC ＝2，二面角A －PB －C 为直二面角，∠APB ＝2∠BPC (∠BPC <4π)，M ，N 分别为侧棱P A ，PC 上的动点，设直线MN 与平面P AB 所成的角为α.当tan α的最大值为2532时，则三棱锥P －ABC 的体积为__________.【来源】湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期入学摸底考试数学试题21．体积为8的四棱锥P ABCD -的底面是边长为22底面ABCD 的中心为1O ，四棱锥P ABCD -的外接球球心O 到底面ABCD 的距离为1，则点P 的轨迹长度为_______________________．22．如图，在ABC 中，2BC AC =，120ACB ∠=︒，CD 是ACB ∠的角平分线，沿CD 将ACD △折起到A CD'△的位置，使得平面A CD '⊥平面BCD ．若63A B '=，则三棱锥A BCD '-外接球的表面积是________．【来源】河南省2021-2022学年高三下学期开学考试数学理科试题23．在三棱锥P ABC -中，4AB BC ==，8PC =，异面直线P A ，BC 所成角为π3，AB PA ⊥，AB BC ⊥，则该三棱锥外接球的表面积为______．【来源】辽宁省营口市2021-2022学年高三上学期期末数学试题24．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是CD 的中点，F 是1CC 上的动点，则三棱锥A DEF -外接球表面积的最小值为_______.【来源】安徽省淮北市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试理科数学试题25．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别为棱11,B C CD 上的动点(包含端点)，则下列说法正确的是___________．①当M 为棱11B C 的中点时，则在棱CD 上存在点N 使得MN AC ⊥；②当M ，N 分别为棱11,B C CD 的中点时，则在正方体中存在棱与平面1A MN 平行；③当M ，N 分别为棱11,B C CD 的中点时，则过1A ，M ，N 三点作正方体的截面，所得截面为五边形； ④直线MN 与平面ABCD 2；⑤若正方体的棱长为2，点1D 到平面1A MN 2．【来源】四川省成都市第七中学2021-2022学年高三上学期1月阶段性考试理科数学试题11。

2024学年江苏省天一中学高三3月大联考数学试题

2024学年江苏省天一中学高三3月大联考数学试题

2024学年江苏省天一中学高三3月大联考数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）为（ ）A ．163B ．6C ．203D ．2232．设非零向量a ，b ，c ，满足||2b =，||1a =，且b 与a 的夹角为θ，则“||3b a -=”是“3πθ=”的（ ）． A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知函数()(N )k f x k x+=∈，ln 1()1x g x x +=-，若对任意的1c >，存在实数,a b 满足0a b c <<<，使得()()()g a f b g c ==，则k 的最大值是( )A ．3B ．2C ．4D ．54．已知复数z 满足()14i z i -=，则z =（ ）A ．22B ．2C ．4D ．35．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且43a =-，1224S =，若0+=i j a a （*,i j ∈N ，且1i j ≤<），则i 的取值集合是（ ）A ．{}1,2,3B ．{}6,7,8C ．{}1,2,3,4,5D ．{}6,7,8,9,106．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 为棱1DD 的中点，则平面ACM 截该正方体的内切球所得截面面积为（ ）A ．3πB ．23πC ．πD ．43π 7．如图，点E 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，点F ，M 分别在线段AC ，BD 1（不包含端点）上运动，则（ ）A ．在点F 的运动过程中，存在EF //BC 1B ．在点M 的运动过程中，不存在B 1M ⊥AEC ．四面体EMAC 的体积为定值D ．四面体FA 1C 1B 的体积不为定值8．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A ．23B ．43C ．2D ．839．已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，,A B 是C 的左、右顶点，点P 在过1F 3直线上，PAB △为等腰三角形，120ABP ∠=︒，则C 的渐近线方程为（ ）A ．12y x =±B ．2y x =±C ．3y x =D ．3y x =10．设命题p:n ∃>1,n 2>2n ,则⌝p 为（ ）A ．21,2n n n ∀>>B ．21,2n n n ∃≤≤C ．21,2n n n ∀>≤D ．21,2n n n ∃>≤11．盒中装有形状、大小完全相同的5张“刮刮卡”，其中只有2张“刮刮卡”有奖，现甲从盒中随机取出2张，则至少A ．12B ．35C ．710D ．4512．下图所示函数图象经过何种变换可以得到sin 2y x =的图象（ ）A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020-2021学年高三数学(文科)高三毕业4月份联考检测试题及答案解析

2020-2021学年高三数学(文科)高三毕业4月份联考检测试题及答案解析

最新高三（下）4月联考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则（∁U A）∩B=（）A．{2} B．{4，6} C．{l，3，5} D．{4，6，7，8}2．复数=（）A．1+3i B．﹣1﹣3i C．﹣1+3i D．1﹣3i3．下列有关命题的说法正确的是（）A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件B．若p：．则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．“若，则”的否命题是“若，则”4．若点（sin，cos）在角α的终边上，则sinα的值为（）A．B． C．D．5．某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号001，002，…，699，700．从中抽取70个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第5个样本编号是（）A．607 B．328 C．253 D．0076．若数列{a n}满足﹣=d（n∈N*，d为常数），则称数列{a n}为调和数列．已知数列{}为调和数列，且x1+x2+…+x20=200，则x5+x16=（）A．10 B．20 C．30 D．407．已知函数图象过点，则f（x）图象的一个对称中心是（）A．B．C．D．8．如图，网格纸上正方形小格的边长为1cm，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积为（）A．20πcm3B．16πcm3C．12πcm3D．9．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12 B．24 C．36 D．4810．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且，且||=||，则向量在方向上的投影为（）A．B．3 C．D．﹣311．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）12．已知函数f（x）=x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同，则a∈（0，+∞）时，实数b的最大值是（）A．B． C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数f（x）=，则f[f（）]= ．14．已知A，B，C点在球O的球面上，∠BAC=90°，AB=AC=2．球心O到平面ABC的距离为1，则球O的表面积为．15．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为．16．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，sinA+sinB﹣4sinC=0，且△ABC的周长L=5，面积S=﹣（a2+b2），则cosC= ．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列{a n}为等差数列，a2=3，a4=7；数列{b n}为公比为q（q＞1）的等比数列，且满足集合{b1，b2，b3}={1，2，4}．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n+b n}的前n项和S n．18．某数学教师对所任教的两个班级各抽取20名学生进行测试，分数分布如表，若成绩120分以上（含120分）为优秀．分数区间甲班频率乙班频率[0，30）0.1 0.2[30，60）0.2 0.2[60，90）0.3 0.3[90，120）0.2 0.2[120，150] 0.2 0.1优秀不优秀总计甲班乙班总计2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828k00.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 P（K2≥k0）（Ⅰ）求从乙班参加测试的90分以上（含90分）的同学中，随机任取2名同学，恰有1人为优秀的概率；（Ⅱ）根据以上数据完成上面的2×2列联表：在犯错概率小于0.1的前提下，你是否有足够的把握认为学生的数学成绩是否优秀与班级有关？19．如图所示的多面体中，ABCD是菱形，BDEF是矩形，ED⊥面ABCD，．（1）求证：平面BCF∥面AED；（2）若BF=BD=a，求四棱锥A﹣BDEF的体积．20．已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=25，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过曲线C上的一点作两条直线分别交曲线于A，B两点，已知OA，OB的斜率互为相反数，求直线AB的斜率．21．已知函数f（x）=lnx﹣mx2，g（x）=mx2+x，m∈R，令F（x）=f（x）+g（x）．（Ⅰ）当时，求函数f（x）的单调区间及极值；（Ⅱ）若关于x的不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，求整数m的最小值．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在△ABC中，DC⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE交DC于点F，若BF=FC=3，DF=FE=2．（1）求证：AD•AB=AE•AC；（2）求线段BC的长度．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=2|x﹣2|+|x+1|（1）求不等式f（x）＜6的解集；（2）设m，n，p为正实数，且m+n+p=f（2），求证：mn+np+pm≤3．高三（下）4月联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则（∁U A）∩B=（）A．{2} B．{4，6} C．{l，3，5} D．{4，6，7，8}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，知C U A={4，6，7，8}，由此能求出（C u A）∩B．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，∴C U A={4，6，7，8}，∴（C u A）∩B={4，6}．故选B．2．复数=（）A．1+3i B．﹣1﹣3i C．﹣1+3i D．1﹣3i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，则答案可求．【解答】解：=，故选：B．3．下列有关命题的说法正确的是（）A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件B．若p：．则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．“若，则”的否命题是“若，则”【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】A．f（0）=0推不出函数f（x）是奇函数，例如f（x）=x2；函数f（x）是奇函数，例如f（x）=，则f（0）无意义，即可判断出结论；B．利用非命题的定义即可判断出真假；C．若p∧q为假命题，则p，q至少一个为假命题，即可判断出真假；D．利用否命题的定义即可判断出真假．【解答】解：A．f（0）=0推不出函数f（x）是奇函数，例如f（x）=x2；函数f（x）是奇函数，例如f（x）=，则f（0）无意义，因此．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的既不充分也不必要条件，不正确；B．若p：．则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0，因此不正确；C．若p∧q为假命题，则p，q至少一个为假命题，因此不正确；D．“若，则”的否命题是“若，则”，正确．故选：D．4．若点（sin，cos）在角α的终边上，则sinα的值为（）A．B． C．D．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义转化求解sinα的值．【解答】解：角α的终边上一点的坐标为（sin，cos）即（，），则由任意角的三角函数的定义，可得sinα=，故选：A．5．某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号001，002，…，699，700．从中抽取70个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第5个样本编号是（）A．607 B．328 C．253 D．007【考点】系统抽样方法．【分析】从第5行第6个数2的数开始向右读，依次为253，313，457，860，736，253，007，其中860，736不符合条件故可得结论．【解答】解：从第5行第6个数2的数开始向右读，第一个数为253，符合条件，第二个数为313，符合条件，第三个数为457，符合条件，以下依次为：860，736，253，007，328，其中860，736不符合条件且253与第一个重复了不能取，这样007是第四数，第五个数应为328．故第五个数为328．．故选：B．6．若数列{a n}满足﹣=d（n∈N*，d为常数），则称数列{a n}为调和数列．已知数列{}为调和数列，且x1+x2+…+x20=200，则x5+x16=（）A．10 B．20 C．30 D．40【考点】数列的求和．【分析】由题意知道，本题是构造新等差数列的问题，经过推导可知{x n}是等差数列，运用等差数列的性质可求解答案．【解答】解：由题意知：∵数列{}为调和数列∴﹣=x n+1﹣x n=d∴{x n}是等差数列又∵x1+x2+…+x20=200=∴x1+x20=20又∵x1+x20=x5+x16∴x5+x16=20故选：B．7．已知函数图象过点，则f（x）图象的一个对称中心是（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意可得=2sinφ，结合（|φ|＜）可得φ的值，由五点作图法令2x+=0，可解得：x=﹣，则可求f（x）的图象的一个对称中心．【解答】解：∵函数f（x）=2sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象过点（0，），∴=2sinφ，由（|φ|＜），可得：φ=，∴f（x）=2sin（2x+），∴由五点作图法令2x+=0，可解得：x=﹣，则f（x）的图象的一个对称中心是（﹣，0）．故选：B．8．如图，网格纸上正方形小格的边长为1cm，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积为（）A．20πcm3B．16πcm3C．12πcm3D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求出几何体的体积，再计算原几何体的体积即可．【解答】解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：32π•2+22π•4=34π；底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π；所以切削掉部分的体积为54π﹣34π=20πcm3．故选：A．9．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12 B．24 C．36 D．48【考点】程序框图．【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：B．10．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且，且||=||，则向量在方向上的投影为（）A．B．3 C．D．﹣3【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得，可得四边形OBAC是平行四边形，结合||=||可得四边形OBAC是边长为2的菱形，且∠ABO=∠AC0=60°，可得∠ACB=∠AC0=30°，由投影的定义可得．【解答】解：∵，∴，即，可得四边形OBAC是平行四边形，∵△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，∴||=||=||=2，∴四边形OBAC是边长为2的菱形，且∠ABO=∠AC0=60°，∴∠ACB=∠AC0=30°，∴向量在方向上的投影为：cos∠ACB=2cos30°=．故选：A11．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）【考点】椭圆的简单性质．【分析】作出图形，则易知|AF2|=a+c，|BF2|=，再由∠BAF2是直线的倾斜角，易得k=tan∠BAF2，然后通过0＜k＜，分子分母同除a2得0＜＜求解．【解答】解：如图所示：|AF2|=a+c，|BF2|=，∴k=tan∠BAF2=，又∵0＜k＜，∴0＜＜，∴0＜＜，∴＜e＜1．故选：D．12．已知函数f（x）=x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同，则a∈（0，+∞）时，实数b的最大值是（）A．B． C．D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】分别求出函数f（x）的导数，函数g（x）的导数．由于两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，设为P（x0，y0），则有f（x0）=g（x0），且f′（x0）=g′（x0），解出x0=a，得到b关于a的函数，构造函数，运用导数求出单调区间和极值、最值，即可得到b的最大值．【解答】解：函数f（x）的导数为f'（x）=x+2a，函数g（x）的导数为，由于两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，设为P（x0，y0），则，由于x0＞0，a＞0则x0=a，因此构造函数，由h'（t）=2t（1﹣3lnt），当时，h'（t）＞0即h（t）单调递增；当时，h'（t）＜0即h（t）单调递减，则即为实数b的最大值．故选D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数f（x）=，则f[f（）]= ．【考点】函数的值．【分析】根据分段函数的表达式，直接代入进行求解即可．【解答】解：由分段函数可知，f（）=log，f（﹣1）=，故答案为：．14．已知A，B，C点在球O的球面上，∠BAC=90°，AB=AC=2．球心O到平面ABC的距离为1，则球O的表面积为12π．【考点】球的体积和表面积．【分析】由∠BAC=90°，AB=AC=2，得到BC，即为A、B、C三点所在圆的直径，取BC的中点M，连接OM，则OM即为球心到平面ABC的距离，在Rt△OMB中，OM=1，MB=，则OA可求，再由球的表面积公式即可得到．【解答】解：如图所示：取BC的中点M，则球面上A、B、C三点所在的圆即为⊙M，连接OM，则OM即为球心到平面ABC的距离，在Rt△OMB中，OM=1，MB=，∴OA==，即球的半径R为，∴球O的表面积为S=4πR2=12π．故答案为：12π．15．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为2．【考点】圆的标准方程．【分析】得到圆心坐标和半径．等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，可得|PC|的最大值为直径，即可得出结论．【解答】解：由圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2，∴圆心坐标C（1，2），半径r=．∵等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，∴|PC|的最大值为直径2．故答案为：2．16．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，sinA+sinB﹣4sinC=0，且△ABC的周长L=5，面积S=﹣（a2+b2），则cosC= ．【考点】余弦定理．【分析】利用正弦定理化简已知的第一个等式，得到a+b=4c，代入第二个等式中计算，即可求出c的长，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积S，代入已知的等式中，利用完全平方公式变形后，将a+b=4代入化简，即可求出cosC的值．【解答】解：△ABC中，∵sinA+sinB﹣4sinC=0，∴a+b=4c，∵△ABC的周长L=5，∴a+b+c=5，∴c=1，a+b=4．∵面积S=﹣（a2+b2），∴absinC=﹣（a2+b2）=﹣[（a+b）2﹣2ab]=ab，∴sinC=，∵c＜a+b，C是锐角，∴cosC==．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列{a n}为等差数列，a2=3，a4=7；数列{b n}为公比为q（q＞1）的等比数列，且满足集合{b1，b2，b3}={1，2，4}．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n+b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）通过联立a2=3、a4=7计算可知等差数列{a n}的首项和公差，从而可得其通项公式；通过等比数列{b n}成公比大于1的等比数列可确定b1=1、b2=2、b3=4，进而可求出首项和公比，从而可得通项公式；（Ⅱ）通过（I），利用分组求和法计算即得结论．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列的首项和公差分别为a1、d，∵a2=3，a4=7，∴a1+d=3，a1+3d=7，解得：a1=1，d=2，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∵等比数列{b n}成公比大于1的等比数列且{b1，b2，b3}={1，2，4}，∴b1=1，b2=2，b3=4，∴b1=1，q=2，∴b n=2n﹣1；（Ⅱ）由（I）可知S n=（a1+a2+…+a n）+（b1+b2+…+b n）=+=n2+2n﹣1．18．某数学教师对所任教的两个班级各抽取20名学生进行测试，分数分布如表，若成绩120分以上（含120分）为优秀．分数区间甲班频率乙班频率[0，30）0.1 0.2[30，60）0.2 0.2[60，90）0.3 0.3[90，120）0.2 0.2[120，150] 0.2 0.1优秀不优秀总计甲班乙班总计2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828k00.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 P（K2≥k0）（Ⅰ）求从乙班参加测试的90分以上（含90分）的同学中，随机任取2名同学，恰有1人为优秀的概率；（Ⅱ）根据以上数据完成上面的2×2列联表：在犯错概率小于0.1的前提下，你是否有足够的把握认为学生的数学成绩是否优秀与班级有关？【考点】独立性检验；古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）由图表得到乙班参加测试的90分以上的同学有6人，记为A、B、C、D、E、F．成绩优秀的记为A、B．然后利用枚举法得到从这六名学生随机抽取两名的基本事件个数，进一步得到恰有一位学生成绩优秀的事件个数，由古典概型概率计算公式得答案；（Ⅱ）直接由公式求出K的值，结合图表得答案．【解答】解：（Ⅰ）乙班参加测试的90分以上的同学有6人，记为A、B、C、D、E、F．成绩优秀的记为A、B．从这六名学生随机抽取两名的基本事件有：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}共15个，设事件G表示恰有一位学生成绩优秀，符合要求的事件有：{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}共8个，∴；（Ⅱ）优秀不优秀总计甲班 4 16 20乙班 2 18 20总计 6 34 40．在犯错概率小于0.1的前提下，没有足够的把握说明学生的数学成绩是否优秀与班级有关系．19．如图所示的多面体中，ABCD是菱形，BDEF是矩形，ED⊥面ABCD，．（1）求证：平面BCF∥面AED；（2）若BF=BD=a，求四棱锥A﹣BDEF的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面平行的性质．【分析】（1）证明FB∥平面AED，BC∥平面AED，利用面面平行的判定定理可得结论；（2）连接AC，AC∩BD=O，证明AO⊥面BDEF，即可求出四棱锥A﹣BDEF的体积．【解答】（1）证明：∵ABCD是菱形，∴BC∥AD，∵BC⊄面ADE，AD⊂面ADE，∴BC∥面ADE…∵BDEF是矩形，∴BF∥DE，∵BF⊄面ADE，DE⊂面ADE，∴BF∥面ADE，∵BC⊂面BCF，BF⊂面BCF，BC∩BF=B，∴面BCF∥面ADE…（2）解：连接AC，AC∩BD=O∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD∵ED⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，∴ED⊥AC，∵ED，BD⊂面BDEF，ED∩BD=D，∴AO⊥面BDEF，…∴AO为四棱锥A﹣BDEF的高由ABCD是菱形，，则△ABD为等边三角形，由BF=BD=a，则，∵，∴…20．已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=25，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过曲线C上的一点作两条直线分别交曲线于A，B两点，已知OA，OB的斜率互为相反数，求直线AB的斜率．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）设圆P的半径为r，由题意得|PM|+|PN|=（1+r）+（5﹣r）=6，从而曲线C是以（﹣1，0），（1，0）为焦点，长轴长为6的椭圆，由此能求出曲线C的方程．（Ⅱ）设直线QA、QB的斜率分别为k，﹣k，则A（1+λ，），B（1+μ，），由此能求出直线AB的斜率．【解答】解：（Ⅰ）∵圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=25，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，设圆P的半径为r，由题意得|PM|+|PN|=（1+r）+（5﹣r）=6，∴曲线C是以（﹣1，0），（1，0）为焦点，长轴长为6的椭圆，∴曲线C的方程为．（Ⅱ）设直线QA、QB的斜率分别为k，﹣k，则直线QA、QB的一个方向向量为（1，k），（1，﹣k），则=λ（1，k），=μ（1，﹣k），∴A（1+λ，），B（1+μ，），代入=1，并整理，得，两式相减，得：λ﹣μ=﹣，两式相加，得：λ+μ=﹣，∴直线AB的斜率k AB==．21．已知函数f（x）=lnx﹣mx2，g（x）=mx2+x，m∈R，令F（x）=f（x）+g（x）．（Ⅰ）当时，求函数f（x）的单调区间及极值；（Ⅱ）若关于x的不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，求整数m的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）法一：令，求出函数的导数，通过讨论m的范围求出函数的单调区间，从而求出m的最小值即可；法二：分离参数，得到恒成立，令，根据函数的单调性求出函数h（x）的最大值，从而求出m的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ），所以．…令f′（x）=0得x=1；…由f′（x）＞0得0＜x＜1，所以f（x）的单调递增区间为（0，1）．由f′（x）＜0得x＞1，所以f（x）的单调递增区间为（1，+∞）．…所以函数，无极小值…（Ⅱ）法一：令．所以．…当m≤0时，因为x＞0，所以G′（x）＞0所以G（x）在（0，+∞）上是递增函数，又因为．所以关于x的不等式G（x）≤mx﹣1不能恒成立．…当m＞0时，．令G′（x）=0得，所以当时，G′（x）＞0；当时，G′（x）＜0．因此函数G（x）在是增函数，在是减函数．…故函数G（x）的最大值为．令，因为．又因为h（m）在m∈（0，+∞）上是减函数，所以当m≥2时，h（m）＜0．所以整数m的最小值为2．…法二：由F（x）≤mx﹣1恒成立知恒成立…令，则…令φ（x）=2lnx+x，因为，φ（1）=1＞0，则φ（x）为增函数故存在，使φ（x0）=0，即2lnx0+x0=0…当时，h′（x）＞0，h（x）为增函数当x0＜x时，h′（x）＜0，h（x）为减函数…所以，而，所以所以整数m的最小值为2．…请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在△ABC中，DC⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE交DC于点F，若BF=FC=3，DF=FE=2．（1）求证：AD•AB=AE•AC；（2）求线段BC的长度．【考点】与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定．【分析】（1）推导出B，C，D，E四点在以BC为直径的圆上，由割线定理能证明AD•AB=AE •AC．（2）过点F作FG⊥BC于点G，推导出B，G，F，D四点共圆，F，G，C，E四点共圆，由此利用割线定理能求出BC的长．【解答】证明：（1）由已知∠BDC=∠BEC=90°，所以B，C，D，E四点在以BC为直径的圆上，由割线定理知：AD•AB=AE•AC．…解：（2）如图，过点F作FG⊥BC于点G，由已知，∠BDC=90°，又因为FG⊥BC，所以B，G，F，D四点共圆，所以由割线定理知：CG•CB=CF•CD，①…同理，F，G，C，E四点共圆，由割线定理知：BF•BE=BG•BC，②…①+②得：CG•CB+BG•BC=CF•CD+BF•BE，即BC2=CF•CD+BF•BE=3×5+3×5=30，…所以BC=．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【考点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，即可把圆C的参数方程化为直角坐标方程．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，联立即可解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，同理可解得．利用|PQ|=|ρ1﹣ρ2|即可得出．【解答】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，把圆C的参数方程为参数）化为（x﹣1）2+y2=1，∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由，解得．∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．∴|PQ|=2．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=2|x﹣2|+|x+1|（1）求不等式f（x）＜6的解集；（2）设m，n，p为正实数，且m+n+p=f（2），求证：mn+np+pm≤3．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用零点分段法去掉绝对值符号，转化为不等式组，解出x的范围；（2）由基本不等式，可以解得m2+n2+p2≥mn+mp+np，将条件平方可得（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9，代入m2+n2+p2≥mn+mp+np，即可证得要求证得式子．【解答】（1）解：①x≥2时，f（x）=2x﹣4+x+1=3x﹣3，由f（x）＜6，∴3x﹣3＜6，∴x＜3，即2≤x＜3，②﹣1＜x＜2时，f（x）=4﹣2x+x+1=5﹣x，由f（x）＜6，∴5﹣x＜6，∴x＞﹣1，即﹣1＜x ＜2，③x≤﹣1时，f（x）=4﹣2x﹣1﹣x=3﹣3x，由f（x）＜6，∴3﹣3x＜6，∴x＞﹣1，可知无解，综上，不等式f（x）＜6的解集为（﹣1，3）；（2）证明：∵f（x）=2|x﹣2|+|x+1|，∴f（2）=3，∴m+n+p=f（2）=3，且m，n，p为正实数∴（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9，∵m2+n2≥2mn，m2+p2≥2mp，n2+p2≥2np，∴m2+n2+p2≥mn+mp+np，∴（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9≥3（mn+mp+np）又m，n，p为正实数，∴可以解得mn+np+pm≤3．故证毕．2016年10月19日。

安徽省皖中名校联盟2024届高三上学期12月第四次联考数学含答案解析

安徽省皖中名校联盟2024届高三上学期12月第四次联考数学含答案解析

绝密★启用前皖中名校联盟2023-2024学年（上）高三第四次联考数学试题考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号一二三四总分得分注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合AA={−2,1,3}，BB={xx|√ 2xx+3>0}，则AA∩BB=( )A. (−32,+∞)B. {1,3}C. {−1}D. {3}2.若复数zz满足(1+ii)zz=3−ii，则|zz|=( )A. √ 5B. 5C. 2√ 5D. 203.若角αα的终边上有一点PP(−2,mm)，且sinαα=−√ 55，则mm=( )A. 4B. ±4C. −1D. ±14.已知ll，mm是两条不同的直线，αα，ββ是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A. 若αα⊥ββ，ll⊂αα，mm⊂ββ，则ll⊥mmB. 若mm⊥ββ，αα⊥ββ，则mm//ααC. 若ll//mm，ll⊥αα，mm⊥ββ，则αα//ββD. 若αα//ββ，且ll与αα所成的角和mm与ββ所成的角相等，则ll//mm5.设aa∈RR，则“aa>0”是“aa3>aa2的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.粮食是关系国计民生的重要战略物资.如图为储备水稻的粮仓，中间部分可近似看作是圆柱，圆柱的底面直径为10mm ，上、下两部分可以近似看作是完全相同的圆锥，圆柱的高是圆锥高的4倍，且这两个圆锥的顶点相距12mm ，每立方米的空间大约可装0.75吨的水稻，则该粮仓最多可装水稻( )A. 175ππ吨B. 200ππ吨C. 225ππ吨D. 250ππ吨7.镇国寺塔亦称西塔，是一座方形七层楼阁式砖塔，顶端塔刹为一青铜铸葫芦，葫芦表面刻有“风调雨顺、国泰民安”八个字，是全国重点文物保护单位、国家3AA 级旅游景区.小胡同学想知道镇国寺塔的高度MMMM ，他在塔的正北方向找到一座建筑物AABB ，高为7.5mm ，在地面上点CC 处(BB ,CC ,MM 在同一水平面上且三点共线)测得建筑物顶部AA ，镇国寺塔顶部MM 的仰角分别为15∘和60∘，在AA 处测得镇国寺塔顶部MM 的仰角为30∘，则镇国寺塔的高度约为 ( )(参考数据：√ 3≈1.73)A. 31.42mmB. 33.26mmC. 35.48mmD. 37.52mm( )A. (0,2√ 2)B. (0,4)C. (2√ 2,+∞)D. (4,+∞)二、多选题（本大题共4小题，共20分。

江苏省G4联盟(苏州中学、扬州中学、盐城中学、常州中学)22-23学年高三12月联考数学试题 附答案

江苏省G4联盟(苏州中学、扬州中学、盐城中学、常州中学)22-23学年高三12月联考数学试题 附答案

G4联盟—苏州中学、扬州中学、常州中学、盐城中学2022－2023学年第一学期12月联合调研高三数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{－1，0}，B ＝{x |－2＜x ＜0}，则A ∩B ＝ A ．{－1}B ．{－1，0}C ．{x |－2＜x ＜0}D ．{x |－2＜x ≤0}2．若复数z 的共轭复数z 满足i ⋅z ＝4＋3i （其中i 为虚数单位），则z z ⋅的值为AB ．5C ．7D ．253．下图是近十年来全国城镇人口、乡村人口的折线图（数据来自国家统计局）．根据该折线图，下列说法错误的是 A ．城镇人口与年份星现正相关B ．乡村人口与年份的相关系数r 接近1C ．城镇人口逐年增长率大致相同D ．可预测乡村人口仍呈现下降趋势4．函数y ＝2x 2－e |x |在[－2，2]的图象大致为A ．B ．C ．D ．5．若椭圆的焦点为F 1，F 2，过F 1的最短弦PQ 的长为10，△PF 2Q 的周长为36，则此椭圆的离心率为A ．13B ．3C ．23D ．36．南宋时期，秦九韶就创立了精密测算雨量、雨雪的方法，他在《数学九章》载有“天池盆测雨”题，使用一个圆台形的天池盆接雨水．观察发现体积一半时的水深大于盆高的一半，体积一半时的水面面积大于盆高一半时的水面面积，若盆口半径为a ，盆地半径为b （0＜b ＜a ），根据如上事实，可以抽象出的不等关系为A <B <C ．22222a b a b ++⎛⎫<⎪⎝⎭D ．33322a b a b ++⎛⎫<⎪⎝⎭7．在数列{a n }中，()()111sin sin 10n n n n a a a a ++-⋅+=，则该数列项数的最大值为 A ．9B ．10C ．11D ．128．在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝3，CA ＝2，点P 在该三角形的内切圆上运动，若AP mAB nAC =+（m ，n 为实数），则m ＋n 的最小值为 A ．518B ．13C ．718D ．49二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则A ．114a b+≤B ．22a b+≥C ．log 2a ＋log 2b ≤－2D ．1sin sin 2sin2a b +≤ 10．已知函数()x a a x f x e e --=+，()x a a x g x e e --=-，则 A ．函数y ＝g （x ）有且仅有一个零点B ．f ′（x ）＝g （x ）且g ′（x ）＝f （x ）C ．函数y ＝f （x ）g （x ）的图象是轴对称图形D ．函数()()g x y f x =在R 上单调递增 11．乒乓球（tabletennis ），被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目，是推动外交的体育项目，被誉为“小球推动大球”．某次比赛采用五局三胜制，当参赛甲、乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束．每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前已赛结果影响．假设甲在任一局赢球的概率为p （0≤p ≤1），实际比赛局数的期望值记为f （p ），下列说法正确的是 A ．三局就结束比赛的概率为p 3＋（1－p ）3B ．f （p ）的常数项为3C ．1435f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D ．13328f ⎛⎫=⎪⎝⎭ 12．在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝AB ＝1．G 为PC 的中点，M 为平面PBD 上一点下列说法正确的是A ．MGB ．若MA ＋MG ＝1，则点M 的轨迹是椭圆C．若MA =M 的轨迹围成图形的面积为12π D ．存在点M ，使得直线BM 与CD 所成角为30°三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在6x ⎛⎝的展开式中，常数项为 ．14．如图，将绘有函数()sin 2f x M πϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭（M ＞0，0＜φ＜π）部分图象的纸片沿x 轴折成直二面角，此时A ，Bφ＝ ．15．我们利用“错位相减”的方法可求等比数列的前n 项和，进而可利用该法求数列{（2n －1）⋅3n }的前n 项和S n ，其操作步骤如下：由于S n ＝1×31＋3×32＋…＋（2n －1）⋅3n ，()23131333213n n S n +=⨯+⨯++-⋅，从而()()21232323213n n n S n +=--⨯++⨯+-⋅，所以()1133n n S n +=-⋅+，始比如上方法可求数列{n 2⋅3n }的前n 项和T n ，则2T n ＋3＝ ．16．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f （x ）＝2x ．若对任意x ∈[1，3]，不等式f （x ＋a ）≤f 2（x ）恒成立，则实数a 的取值范围是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）在数列{a n }中，a ＝1，其前n 项和S n 满足2S n ＝（n ＋1）a n ，n ∈N *． （1）求数列{a n }的通项公式a n ；（2）若m 为正整数，记集合22n nn a a m a ⎧⎫⎪⎪+⎨⎬⎪⎪⎩⎭≤的元素个数为b m ，求数列{b m }的前20项和． 18．（本小题满分12分）在轴截面为正方形ABCD 的圆柱中，M ，N 分别为弧AD ，弧BC 的中点，且在平面ABCD 的两侧．（1）求证：四边形ANCM 是矩形； （2）求二面角B －MN －C 的余弦值．19．（本小题满分12分）文化月活动中，某班级在宣传栏贴出标语“学好数学好”，可以不同断句产生不同意思，“学/好数学/好”指要学好的数学，“学好/数学/好”强调数学学习的重要性，假设一段时间后，随机有N 个字脱落． （1）若N ＝3，用随机变量X 表示脱落的字中“学”的个数，求随机变量X 的分布列及期望； （2）若N ＝2，假设某同学检起后随机贴回，求标语恢复原样的概率． 20．（本小题满分12分）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝1，c ＝2． （1）若2CD DB =，2AD CB ⋅=，求A ； （2）若23C B π-=，求△ABC 的面积． 21．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 在抛物线C 1：y 2＝4x 上，圆C 2：（x －2）2＋y 2＝r 2（0＜r ＜2）． （1）若r ＝1，Q 为圆C 2上的动点，求线段PQ 长度的最小值；（2）若点P 的纵坐标为4，过P 的直线m ，n 与圆C 2相切，分别交抛物线C 1于A ，B （异于点P ），求证：直线AB 过定点．22．（本小题满分12分）若对实数x 0，函数f （x ），g （x ）满足f （x 0）＝g （x 0）且f ′（x 0）＝g ′（x 0），则称()()()0,,f x x x F x g x x x <⎧⎪=⎨⎪⎩≥为“平滑函数”，x 0为该函数的“平滑点”．已知()323122x f x ax x x =-+，g （x ）＝bx ln x ． （1）若1是平滑函数F （x ）的“平滑点”， （ⅰ）求实数a ，b 的值；（ⅱ）若过点P （2，t ）可作三条不同的直线与函数y ＝F （x ）的图象相切，求实数t 的取值范围； （2）对任意b ＞0，判断是否存在a ≥1，使得函数F （x ）存在正的“平滑点”，并说明理由．G4联盟—苏州中学、扬州中学、常州中学、盐城中学2022-2023学年第一学期12月联合调研高三数学答案及其解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】A 2．【答案】D【解析】4334i z i z i ⋅=+⇒=-，所以25z z ⋅= 3．【答案】B【解析】因为乡村人口与年份望负线性相关关系，所以r 接近－1，故选B 4．【答案】D 5．【答案】C【解析】由题意得22245109436b b a a a ⎧⎧==⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎩，所以6c ==，故椭圆离心率为23c e a == 6．【答案】D 7．【答案】C【解析】()()()()()()11112111cos cos sin sin sin 2n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a +++++++--+--++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦-⋅+==-21sin 10n a =，所以{}2sin n a 为等差数列，公差为110，所以()2211sin sin 1110n a a n =+-⨯≤，所以110n -211sin 111a n -⇒≤≤≤，故选C8．【答案】B【解析】()m n AP mAB nAC m n AB AC m n m n ⎛⎫=+=++⎪++⎝⎭，由P 在内切圆上，故APm n m n AB AC m n m n +=⎛⎫+⎪++⎝⎭，则11cos 16A =，所以BC 边上高为2h =6r =，故由平行线等比关系，可得213h r m n h -+=≥，故选B 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．【答案】BCD 【解析】选项A ，应该是114a b +≥，B ：22221a ba b+++≥，B 正确；C ：222log log 2log 22a b a b ++=-≤，C 正确；D ：1sin sin 2sin cos 2sin 222a b a b a b +-+=⋅≤，D 正确；答案为BCD 10．【答案】ABD【解析】AB 正确，因为()f x 关于x a =轴对称，()g x 关于(),0a 中心对称，故()()f x g x 为中心对称图形，C 错误：而()()()()()220'g x f x q x f x B x ⎡⎤-=>⎢⎥∠⎣⎦或根据一般得分离常数变形可知D 正确；答案为：ABD 11．【答案】ABD 【解析】 显然A 正确；()()()()()323131223343141151f p p p C p p C p p C p p ⎡⎤⎡⎤=+-+-+-+⨯-⎣⎦⎣⎦()03f =，13328f B ⎛⎫=⇒ ⎪⎝⎭，D 正确； 求导或根据()f p 关于12对称，且p 越极端，越可能快结束，有11412352--≤，得1435f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故答案为：ABD 12．【答案】ABC 【解析】A 选项判断：应用等体积法，可()()min min 1122MG AG =≥A 正确；B 选项：因为面PBD 不与AG 垂直，也不平行，故轨迹不可能时圆，即为椭圆，B 正确；C 选项判断：设MH ⊥面PBD ，H ∈面PBD ，2112MA HM =⇒=，故C 正确； D 选项判断：由于CD 与面PBD 夹角θ满足1sin2θ=>，故[],6πθπθ∉-，D 错误；综上所述，答案为ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】15【解析】展开式的通项为()()36621661rr r r Tr Cx C x --+⎛==- ⎝，当31602r -=，4r =时，为常数项15 14．【答案】56π【解析】如图，因为()f x 的周期为242T ππ==，所以22T CD ==，22TCD ==，所以AB ===解得M =所以()2f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()0f ϕ==，1sin 2ϕ=，因为0ϕπ<<，所以6πϕ=或56π，又因为函数()f x 在y 轴右侧单调递减，所以56πϕ=． 15．【答案】()2113n n n +-+⋅【解析】2122213233n n T n =⨯+⨯+⋯+⋅① 222321313233n n T n +=⨯+⨯+⨯+⋅②②－①()()()222222322123123233133n n n T n n n +⎡⎤=-+-⋅+-⋅++--⋅+⋅⎣⎦()()3321333532133n n n n +=--⋅+⋅++-⋅+⋅()()212112333313n n n n n S n S n n n +++=---+⋅=-+⋅=-+⋅所以()212313n n T n n ++=-+⋅16．【答案】[]3,1-． 【解析】()()()()[]2221,3f x a fx f x f x x +==⇒∀∈≤，[]23,1x a a +⇒∈-≤四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分） 解析：（1）()()()()()111212221212nn n n n n n n n n a S n a a S S n a na n n a na n n---=+⇒=-=+-⇒-=⇒=≥≥11111n n a a a n n -===⇒=-（2）2214222n n a n m m n m a n n ⎛⎫+⇒+⇒-+ ⎪⎝⎭≤≤≤， 因为1422n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥，当且仅当2n =时成立， 所以10b =，21b =，当3n ≥，35b =，47b =，59b =，611b =，…，2339b = 所以{}m b 的前20项和为()135739378+++++=．18．（本小题满分12分） 【解析】（1）设轴截面正方形ABCD 边长为2a ，取弧BC 另一侧的中点Q ， 则BC 与NQ 垂直平分，且2BC NQ a ==， 所以四边形BNCQ为正方形，BQ NC ==，因为M 为弧AD 中点，所以MQ AB ∥，四边形ABQM 为矩形， 所以AM BQ ∥，所以AM CN ∥，所以四边形AMCN 为平行四边形，因为AN ==，MN ==，所以22228AM AN MN a +==，所以AM ⊥AN ，所以四边形ANCM 为矩形； （2）由（1）知，MB MC ===，BN CN ==，MN =，所以2MNB MNC π∠=∠=所以MNB MNC ∆∆≌，Rt △MBN 斜边MN上的高2h a ==， 作BP ⊥MN ，则CP ⊥MN ，∠BPC 即为二面角B -MN -C的平面角，2BP CP ==，2BC a =， 在△BPC 中，由余弦定理得222222341cos 233BP CP BC a a BPC BP CP a +--∠===-⨯，二面角B -MN -C 的余弦值为13- 19．（本小题满分12分） 【解析】（1）随机变量X 的可能取值为0，1，2，12C()33351010C P X C ===，()1223356110C C P X C ===，()2123353210C C P X C ===，随机变量X 的分布列如下表：随机变量X 的期望为()163012 1.2101010E X =⨯+⨯+⨯= 法二：随机变量X 服从超几何分布X ～H （3，2，5），所以()26355E X =⨯= （2）设脱落一个“学”为事件A ，脱落一个“好”为事件B ，脱落一个“数”为事件C ，事件M 为脱落两个字M AA BB AB AC BC =++++，()2225110C P AA C ==，()2225110C P BB C ==，()112225410C C P AB C ⋅==，()112125210C C P AC C ⋅==，()112125210C C P BC C ⋅==， 所以某同学捡起后随机贴回，标语恢复原样的概率为()()()()()()()11413125525P P AA P BB P AB P AC P BC =+⨯+++⨯=+⨯=，法二：掉下的两个字不同的概率为1020.810p -==， 所以标语恢复原样的概率为()110.62p p -+=． 20．（本小题满分12分） 解：（1）()112123333CD DB AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =⇒=+=+=+-=+ 所以()22212118112cos 233333333AD CB AB AC AB AC AB AC AB AC A ⎛⎫⋅=+-=--⋅=--⨯⨯=⇒⎪⎝⎭1cos 2A =，因为()0,A π∈，所以3A π=（2）法一： 因为23C B π-=，所以562A C π=-，62AB π=-， 因为2c b =，sin 2sinC B =， 则5sin 2sin 6262A A ππ⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简整理得tan 29A =，所以22tan2sin 1tan 2AA A ==+故面积为1sin 214S bc A == 法二：因为2sin 2sin c b C B =⇒=， 因为23C B π-=，所以2sin 2sin sin 3B B B B π⎛⎫+=⇒=⎪⎝⎭①， 联立22sin cos 1B B +=②解得sin cos B B ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以sin 2sin C B ==，232C B ππ=+> 所以cos 0C <，则cos C ==所以()sin sin sin cos cos sin 14A B C B C B C =+=+= 所以△ABC的面积为1sin 214ABC S bc A ∆==． 21．（本小题满分12分）【解析】 （1）设()2,2P t t ，则211PQ PC -=≥，当()0,0P ，Q 为2PC 线段与圆2C 的交点时，min 1PQ =（2）题意可知()4,4P ，过P 点直线()44y k x -=-与圆2C 相切，r =，即()222416160r k k r --+-=，①设直线AB 为：()()441m x n y -+-=，则与抛物线C 的交点方程可化为：()()()()()()24844444(4)4y y m x n y x m x n y -+--+-=--+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 令44y z x -=-，则：()()2188440n z m n z m ++--=，② 题意有，①②方程同解，故有()()()[]()2233164164818444y r r m n m n -⎡⎤⎣=---+⨯=--+-⎦-， 即：2111m n -=，故：直线AB 恒过()6,7-．22．（本小题满分12分）【解析】（1）（ⅰ）()21'332f x ax a =-+，()[]'1lng x b x =+， 由题意可知10a -=，且532a b -=， 故解得：1a =，12b =， （ⅱ）进一步()323,122ln ,12x x x x F x x x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪⎪⎩≥，过点()2,P t 作()F x 的切线，切点()(),x F x 满足方程：()()()2F x t F x x -=-，故题意等价于方程：()()()'2t F x F x x =--有3个不同根，()()()()'2p x F x F x x =--，()()()''2p x F x x =--， 代入得1,2x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时， ()p x 单调递减，1,22x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()p x 单调递增，[)2,x ∈+∞时，()p x 单调递减， 故()13,2,ln 228t p x x ⎧⎫⎛⎫⎛⎫∈∈=-⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭ （2）题意等价于：0b ∀>，是否1a ∃≥，使得[]3223ln 221331ln 2x ax x bx x ax x b x ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=+⎪⎩有解 消a 有：()313212ln 122ln 1x x b x b x ---=-⇒=-，其中由0b >，可得23x ⎛∈ ⎝，故题意进一步化简23x ⎛∀∈ ⎝，是否1a ∃≥，使得()3ln 3122ln 1x x x a x x -+=-成立，23x ⎛⇔∀∈ ⎝，()23ln 3122ln 1x x x x x -+-≤是否恒成立 设()()2243ln 231q x x x x x x =--+-，()()'83ln q x x x =-，故2,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，单调递减，(x ∈，()q x 单调递增，故：()()10q x q =≥得证，即0b ∀>，31a ≥，使得()F x 存在的“平滑点”．。

陕西省榆林市米脂中学2021-2022学年高三上学期第四次模拟文科数学试题(含答案解析)

陕西省榆林市米脂中学2021-2022学年高三上学期第四次模拟文科数学试题(含答案解析)

陕西省榆林市米脂中学2021-2022学年高三上学期第四次模拟文科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集{1U =，2，3，4，5}，{2A =，4，5}，{3B =，5}，则()U A B =⋃ð（）A ．{3}B ．{2，4}C ．{1，2，3，4}D ．{1，2，4，5}2．命题p ：“x ∃∈R ，()214204x a x +-+≤”，则p ⌝为（）A ．x ∀∈R ，()214204x a x +-+>B ．x ∀∈R ，()214204x a x +-+≤C ．x ∃∈R ，()214204x a x +-+≥D ．x ∃∈R ，()214204x a x +-+>3．下列四个函数中，在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数的是（）A ．sin y x =-B ．cos y x =C ．tan y x=D ．tan y x=-4．若函数()1,012,02x x f x x ⎧⎪=⎨+<⎪⎩，则()()1f f -=（）A ．－2B ．－1C ．0D ．15．已知函数()()1xf x a a a =->，则函数()f x 的图像不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．若命题p ：函数()()log 11a f x x =-+（0a >且1a ≠的图像过定点()2,1，命题q ：函数()2xg x =的值域为[)0,∞+，则下列命题是真命题的是（）A ．p q ∧B ．p q ∨C ．()p q⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝7．函数()()sin x xf x e e x -=+的图象可能是（）A．B．C．D．8．已知x∈R，则“x>”是“22x>”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．若0.70.5a=，0.50.7b=，0.11.1c=，则a，b，c的大小关系是（）A．a b c>>B．c b a>>C．c a b>>D．a c b>>10．函数()()πsin0,2f x xωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象如图所示，将函数()f x的图象向右平移π6个单位长度，得到函数()g x的图象，则（）A．()sin2g x x=B．()cos2g x x=C．()2πsin23g x x⎛⎫=+⎪⎝⎭D．()2πcos23g x x⎛⎫=+⎪⎝⎭11．给出定义：若函数()f x在区间D上可导，即()f x'存在，且导函数()f x'在D上也可导，则称()f x在D上存在二阶导函数.记()()()f x f x''''=，若()0f x''<在D上恒成立，则称()f x在D上为凸函数.若()2ln5axg x x=+在()0,1上是凸函数，则实数a可取的最大整数值为（）A．0B．1C．2D．312．已知定义在()0,+¥的函数()f x满足：()()()0,,0x f xx f x'+∞-∀∈<，其中()f x¢为()f x的导函数，则不等式()()()(231)123x f x x f x-+>+-的解集为（）A ．3,42⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()4,+∞C ．()1,4-D ．(),4-∞二、填空题13．函数()()1lg 12f x x x =++-的定义域为______.14．若1tan 42⎛⎫-=- ⎪⎝⎭πα，则tan 2α=______.15．设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()1f x f x +=-，则()21f -=______.16．数学中处处存在着美，机械学家莱洛沷现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC ，再分别以点A ，B ，C 为圆心，线段AB 长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形．若线段AB 长为2，则莱洛三角形的面积是________．三、解答题17．设函数()()sin cos R f x x x x =∈.(1)求函数()f x 的最小正周期；(2)求函数π6f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭图象的对称中心的坐标.18．已知函数()32f x ax bx =+在1x =时取得极大值3.(1)求a ，b 的值；(2)求曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线方程.19．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x (不低于进价，单位：元)与日销售量y (单位：件)之间有如下关系：x 4550y2712(1)确定x 与y 的一个一次函数关系式y ＝f (x )(注明函数定义域)．(2)若日销售利润为P 元，根据(1)中的关系式写出P 关于x 的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？20．已知ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，()sin 2b A a B =-.(1)求B ；(2)若D 为BC 边的中点AD =，BC =ABC 的面积.21．已知函数()232log f x x =-，()2log g x x =.(1)当[]2,8x ∈时，求函数()()()1h x f x g x =+⋅⎡⎤⎣⎦的值域(2)如果对任意的[]2,8x ∈，()()22f x fk gx ⋅>⋅恒成立，求实数k 的取值范围.22．已知函数()e 1xf x ax =--，其中e 为自然对数的底数.(1)求()f x 的单调区间：(2)若函数()f x 在区间()0,1上存在零点，求实数a 的取值范围.参考答案：1．D【分析】根据并集和补集的知识求得正确答案.【详解】 全集{1U =，2，3，4，5}，{3B =，5}，{1U B ∴=ð，2，4}，{2A = ，4，5}，(){1U A B ∴=⋃ð，2，4，5}，故选：D 2．A【分析】根据命题的否定的定义，直接选出答案即可.【详解】写出命题的否定，则“x ∃∈R ，()214204x a x +-+≤”的否定为，p ⌝为：x ∀∈R ，()214204x a x +-+>故选：A 3．C【分析】根据正弦、余弦、正切函数的单调性判断即可.【详解】对A ，因为sin y x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，所以sin y x =-在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故A 错误；对B ，cos y x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故B 错误；对C ，tan y x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，故C 正确；对D ，由C 知，tan y x =-在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故D 错误.故答案为：C 4．C【分析】首先求()1f -，再代入求()()1f f -的值.【详解】()111212f --=+=，所以()()()1110f f f -===.故选：C 5．B【分析】根据函数()1xy a a =＞的单调性和函数平移规则分析.【详解】()1xy a a =＞是单调递增的函数，经过()0,1，渐近线为0y =，当0x =时，()000f a a =-＜，()10f a a =-=，渐近线为y a=-，所以图像如下图：故选：B.6．B【分析】根据函数过点可以判断命题p 的真假，由函数的值域可以判断命题q ，然后逐项判断命题的真假即可.【详解】命题p :当2x =时，()()2log 2111a f =-+=，函数过定点()2,1，所以p 为真命题；命题q ：由x ∈R ,所以()20xg x =>，所以值域为：()0,∞+，所以命题q 为假命题，选项A:p 为真命题，q 为假命题，故p q ∧为假命题，所以A 错误；选项B:p 为真命题，q 为假命题，故p q ∨为真命题，所以B 正确；选项C:p 为真命题，p ⌝为假命题，故()p q ⌝∧为假命题，所以C 错误；选项D:p 为真命题，q 为假命题，所以p ⌝为假命题，q ⌝为真命题故()()p q ⌝∧⌝为假命题，故选：B.7．B【分析】分析函数()f x 的奇偶性及2f π⎛⎫⎪⎝⎭与2的大小关系，结合排除法可得出合适的选项.【详解】函数()()sin x xf x e e x -=+的定义域为R ，()()()()()sin sin x x x x f x e e x e e x f x---=+-=-+=-，即函数()f x 为奇函数，排除CD 选项；2222f e e e πππ-⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭，排除A 选项.故选：B.8．A【分析】利用充分性和必要性的定义求解即可.【详解】由22x >解得x >或x <所以“x >是“22x >”的充分不必要条件，故选：A 9．B【分析】根据指数函数和幂函数的单调性，将a ，b ，c 与中间值0，1进行比较，即可得出.【详解】解：0.5x y = 在R 上是减函数，0.70.50.50.05<∴<，0.5y x = 在[)0,∞+上是增函数，0.7x y =在R 上是减函数，0.50.500.50.70.71∴<<=，则0.70.50.50.7<，即01a b <<<，又 1.1x y =在R 上是增函数，0.101.111.1>=∴，即1c >，综上所述，可知c b a >>，故选：B.10．A【分析】先由图像中周期求得ω，再由点代入求得ϕ，从而利用三角函数图像平移求得()g x 的解析式即可.【详解】结合图像，易得17πππ41234T =-=，则πT =，所以由2πT ω=得2ππω=，所以2ω=，又0ω>，所以2ω=，则()()sin 2f x x ϕ=+，又因为7π,112⎛⎫- ⎪⎝⎭落在()f x 上，所以7πsin 2112ϕ⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭，即7πsin 16ϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以7π3π2π,Z 62k k ϕ+=+∈，得ππ,Z k k ϕ=+∈23，因为π2ϕ<，所以当且仅当0k =时，π3ϕ=满足要求，所以()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图象，所以()ππsin 2sin 263x g x x ⎡⎤⎛⎫-+= ⎪⎢⎥⎣⎦=⎝⎭.故选：A.11．C【分析】根据题意求得()g x ''，将问题转化为()0g x ''<在()0,1x ∈恒成立，解出不等式即可得到结果.【详解】因为()215a g x x x '=+，()2215a g x x ''=-由凸函数的定义可得，()0g x ''<在()0,1x ∈恒成立，即22215052a a x x-<⇒<在()0,1x ∈恒成立，且当1x =时，2min 5522x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以52a ≤，则实数a 可取的最大整数值为2故选:C.12．A【分析】先构造函数()()f x g x x=，由()()()0,,0x f x x f x '+∞-∀∈<可得()g x 在()0,+¥上单调递增，则所求的不等式等价于()()123123f x f x x x +->+-，列出不等式组，解出x 的范围即可.【详解】设()()()()()2,f x xf x g x g x f x x x ''==-，因为()()()0,,0x f x x f x '+∞-∀∈<，所以在()0,+¥上()0g x ¢>，所以()g x 在()0,+¥上单调递增，由已知，()f x 的定义域为()0,+¥，所以10,230x x +>->，所以()()23 11 2)()3(x f x x f x -+>+-等价于()()123123f x f x x x +->+-，即(()13)2g g x x >-+，所以10230123x x x x +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩，解得342x <<，所以原不等式的解集是3,42⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A.13．()()1,22,-⋃+∞【分析】根据函数的解析式，列出函数有意义时满足的不等式，求得答案.【详解】函数()()1lg 12f x x x =++-需满足1020x x +>⎧⎨-≠⎩，解得1x >-且2x ≠，故函数()()1lg 12f x x x =++-的定义域为()()1,22,-⋃+∞，故答案为：()()1,22,-⋃+∞14．34-##0.75-【分析】展开1tan 42⎛⎫-=- ⎪⎝⎭πα，求出tan α，再代入22tan tan 21tan ααα=-，即可求解．【详解】解：πtantan π1tan 14tan π41+tan 21+tan tan 4ααααα--⎛⎫-===- ⎪⎝⎭，解得tan 3α=，所以222tan 236t 4an 2==1tan 1383ααα==---⨯-，故答案为：34-.15．0【分析】结合函数的奇偶性、周期性等知识求得正确答案.【详解】依题意，()f x 是定义域为R 的奇函数，()00f =，由()()1f x f x +=-令0x =得()()100f f ==，()()()()()()21111f x f x f x f x f x f x +=++=--=-+=--=，所以()f x 是周期为2的周期函数，所以()()()212111210f f f -=-+⨯==.故答案为：016．2π-##2π-【分析】由题意，可先求解出正三角形扇形面积，再利用莱洛三角形与扇形之间的关系转化即可求解.【详解】由已知得2π3AB BC AC ===，则AB =BC =AC =2，故扇形的面积为2π3，由已知可得，莱洛三角形的面积扇形面积的3倍减去三角形面积的2倍，∴所求面积为22π3222π3⨯-=-故答案为：2π-或2π-+．17．(1)π(2)ππ,026k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，Z k ∈【分析】（1）利用正弦函数的倍角公式化简()f x ，再由最小正周期公式即可得解；（2）结合（1）中结论求得π6f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，再结合正弦函数的对称性即可得解.【详解】（1）因为()1sin cos sin 22f x x x x ==，所以2ππ2T ==，故函数()f x 的最小正周期为π.（2）由（1）知()1sin 22f x x =，所以π1πsin 2623f x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令π2π3x k -=，Z k ∈，则ππ26k x =+，Z k ∈，所以函数π6f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭图象的对称中心的坐标为ππ,026k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，Z k ∈.18．(1)6,9a b =-=(2)36210x y ++=【分析】（1）解方程组(1)3(1)320f a b f a b =+=⎧⎨=+='⎩即可求解；（2）只需求出()1f '-，()1f -，再利用点斜式写直线方程即可.【详解】（1）()232f x ax bx '=+，由题意可得(1)3(1)320f a b f a b =+=⎧⎨=+='⎩，解得69a b =-⎧⎨=⎩，检验：()21818f x x x '=-+，令()0f x '=，解得0x =或1x =，当()(),01,x ∞∞∈-⋃+时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()0,1x ∈时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，满足题意；（2）由（1）得()3269f x x x =-+，所以()21818f x x x '=-+.所以()115f -=，()136f '-=-.所以所求切线方程为()15361y x -=-+，即36210x y ++=.19．(1)f (x )＝－3x ＋162，x ∈[30，54]；(2)P=-3(x-42)2+432,x ∈[30,54]，销售单价为42元.【分析】（1）设出函数的解析式，进而根据表格中的数据求得答案；（2）先求出P ，然后根据二次函数求最值的方法解得答案.【详解】（1）因为f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b ，由表格得方程组452735012162a b a a b b +==-⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩，所以y ＝f (x )＝－3x ＋162.又y ≥0，所以30≤x ≤54，故所求函数关系式为f (x )＝－3x ＋162，x ∈[30，54]．（2）由题意得，P ＝(x －30)y ＝(x －30)(162－3x )232524860x x =-+-()[]2342432,30,54x x =--+∈.当x ＝42时，最大的日销售利润P ＝432，即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润．20．(1)π6B =(2)【分析】（1）利用正弦定理、辅助角公式化简已知条件，从而求得B .（2）利用余弦定理求得AB ，进而求得三角形ABC 的面积【详解】（1）在ABC 中由正弦定理及已知条件，可得()sin sin sin 2A B A B =，∵()0,πA ∈，∴sin 0A >，∴sin 2B B =-，∴πsin 13B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.∵()0,πB ∈，∴ππ4π333B <+<.∴πππ,326B B +==.（2）∵D 为BC 边的中点，BC =，∴BD =.在ABD △中，由余弦定理得2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅，∴2π7326AB AB =+-，∴2340AB AB --=，解得4AB =或1AB =-（舍去）.∴11sin 4sin 3022ABC S AB BC B =⋅⋅=⨯⨯︒=△21．(1)[]6,2-(2)9,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【分析】（1）()()2222log 1h x x =--+，[]2log 1,3x ∈，计算得到值域.（2）令2log t x =，[]1,3t ∈，题目转化为3341k t t ⎛⎫⎛⎫<-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭对任意的[]1,3t ∈恒成立，[]31,3t ∈，计算最值得到答案.【详解】（1）()()()2222242log log 2log 1h x x x x =-=-+-，[]2,8x ∈，[]2log 1,3x ∈，设[]2log 1,3m x =∈，()()2221m k m --=+，()()max 12k m g ==，()()min 36k m g ==-，故函数()h x 的值域为[]6,2-.（2）()()22f x f k g x ⋅>⋅，即()()()222234log 3log log x x k x -->，令2log t x =，[]1,3t ∈，()()2343t t k t -->⋅对任意的[]1,3t ∈恒成立.3341k t t ⎛⎫⎛⎫<-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭对任意的[]1,3t ∈恒成立，[]1,3t ∈，设[]31,3n t =∈.设()()()2594124F n n n n ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，()min 5924F n F ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，故94k <-.实数k 的取值范围为9,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.22．(1)见解析(2)()1,e 1-【分析】(1)对函数求导，分0a ≤和0a >两种情况进行讨论，利用导函数的正负来判断函数的单调区间即可求解；(2)结合（1）的结论，分三种情况进行讨论，根据条件和零点存在性定理即可求解.【详解】（1）∵()e 1x f x ax =--，∴()e x f x a '=-，当0a ≤时，()0f x ¢>恒成立，所以()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，无单调递减区间.当0a >时，令()'0f x <，得ln x a <：令()'0f x >，得ln x a >，所以()f x 的单调递减区间为(),ln a -∞，单调递增区间为()ln ,a +∞.综上：当0a ≤时，函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，无单调递减区间；当0a >时，函数()f x 的单调递减区间为(),ln a -∞，单调递增区间为()ln ,a +∞.（2）由（1）知()e x f x a '=-.当1a ≤时，函数()f x 在区间()0,1上单调递增且()00f =，所以函数()f x 在区间()0,1上不存在零点.所以当e a ≥时，()f x 在区间()0,1上单调递减且()00f =，所以函数()f x 在区间()0,1上不存在零点.所以当1e a <<时，函数()f x 在区间()0,ln a 上单调递减，在()ln ,1a 上单调递增，又∵()00f =，()1e 1f a =--，∴当e 10a --≤，即e 1e a -≤<时，函数()f x 在区间()0,1上不存在零点；当e 10a -->，即1e 1a <<-时，函数()f x 在区间()0,1上存在零点.综上，实数a 的取值范围为()1,e 1-.【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；(2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.。

专题03 复数必刷100题(原卷版)

专题03 复数必刷100题(原卷版)

专题03 复数必刷100题任务一:善良模式(基础)1-50题一、单选题1．（四川省资阳市2021-2022学年高三第一次诊断考试数学（文）试题）已知复数2i1i-=-（）A．3i22+B．13i22-C．33i22-D．1i22+2．（广东省清远市博爱学校2022届高三上学期11月月考数学试题）在复平面内，复数3i1iz+=-（其中i为虚数单位）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（山西省太原市第五中学2022届高三上学期第四次模块诊断数学（文）试题）已知复数z满足i2z z+=，则复数z的虚部为（）A．1 B．i-C．i D．1-4．（四川省成都市第七中学2021-2022学年高三上学期期中考试文科数学试题）复数43i2iz-=+（其中i为虚数单位）的虚部为（）A．2-B．1-C．1D．25．（云南省师范大学附属中学2022届高三高考适应性月考卷（四）数学（理）试题）复数i(,)a b a b+∈R 与1i+之积为实数的充要条件是（）A．0a b==B．0ab=C．0a b+=D．0a b-=6．（四川省南充市2022届高考适应性考试（零诊）理科数学试题）已知2(1i)34iz-=+，其中i为虚数单位，则复数z在复平面内对应的点在第（）象限A．一B．二C．三D．四7．（黑龙江省大庆市东风中学2021-2022学年高三上学期10月质量检测数学（文）试题）设复数1z =（i 是虚数单位），则z z +的值为（ ） A ．B ．C ．1D ．28．（江苏省南京市中华中学2021-2022学年高三上学期10月阶段检测数学试题）设4-，则z 的共轭复数的虚部为（ ） A ．32 B ．3i 2C ．32-D ．3i 2-9．（西南四省名校2021-2022学年高三上学期第一次大联考数学（理）试题）已知复数2,2,d q =⎧⎨=⎩，则z 的虚部为（ ） A ．1- B ．i -C ．1D ．2i -10．（广东省深圳市普通中学2022届高三上学期质量评估（新高考I 卷）数学试题）若复数1ii iz a +=-+为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1- B ．12-C ．0D ．111．（广东省深圳市罗湖区2022届高三上学期第一次质量检测数学试题）已知复数1(2)i z a a=+-（i 为虚数单位）在复平面内所对应的点在直线y x =上，若a ∈R ，则z =（ ） AB ．2C D ．1012．（全国2022届高三第一次学业质量联合检测文科数学（老高考）试题）复数112i1iz +=+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限13．（神州智达省级联测2021-2022学年高三上学期第一次考试数学试题）在复平面内，点A 和C 对应的复数分别为42i -和24i -+，若四边形OABC 为平行四边形，O （为坐标原点），则点B 对应的复数为（ ） A ．1i + B ．1i - C ．22i - D ．22i +14．（广东省广州市西关外国语学校2022届高三上学期8月月考数学试题）已知复数()()1i 12i z =--，其中i 是虚数单位，则z 的共轭复数虚部为（ ） A ．3- B ．3C ．3i -D ．3i15．（广东省深圳市龙岗布吉中学2020-2021学年高一下学期中数学试题）已知i 是虚数单位，则复数202120212i 2i z -=+对应的点所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限16．（湖南省岳阳市岳阳县第一中学2021-2022学年高三上学期入学考试数学试题）已知复数122,i(R)1iz z a a ==+∈+，若12,z z 在复平面内对应的向量分别为12,OZ OZ （O 为直角坐标系的坐标原点），且12||2OZ OZ +=，则a =（ ） A ．1 B ．-3 C ．1或-3 D ．-1或317．（甘肃省天水市秦州区2020-2021学年高二下学期第一阶段检测数学（文）试题）关于复数z 的方程31z -=在复平面上表示的图形是（ ）A ．椭圆B ．圆C ．抛物线D ．双曲线18．（江苏省无锡市辅仁高级中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题）欧拉是一位杰出的数学家，为数学发展作出了巨大贡献，著名的欧拉公式：i cos isin e θθθ=+，将三角函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.结合欧拉公式，复数i412i 1iz π-=+在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限19．（福建省2021届高三高考考前适应性练习卷（二）数学试题）法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的公式()cos isin cos isin nx x nx nx +=+推动了复数领域的研究．根据该公式，可得4ππcos isin 88⎛⎫+=⎪⎝⎭（ ）． A ．1 B ．i C ．1- D ．i -20．（福建省三明第一中学2021届高三5月校模拟考数学试题）复数z 满足21z -=，则z 的最大值为（ ） A ．1 BC ．3D21．（重庆一中2021届高三高考数学押题卷试题（三））系数的扩张过程以自然数为基础，德国数学家克罗内克(Kronecker ，1823﹣1891)说“上帝创造了整数，其它一切都是人造的”设为虚数单位，复数Z 满足()202012Z i i =+，则Z 的共轭复数是（ ） A ．2i + B ．2i - C ．12i - D ．12i +22．（福建省福州市八县（市、区）一中2022届高三上学期期中联考数学试题）下面是关于复数2i1iz =-（i 为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ） A ．2z =B ．复数z 在复平面内对应点在直线y x =上C ．Z 的共轭复数为1i --D ．z 的虚部为1-23．（江苏省南通市如皋市2021-2022学年高三上学期教学质量调研（一）数学试题）已知复数z 满足1i z z -=-，则在复平面上z 对应点的轨迹为（ ）A ．直线B ．线段C ．圆D ．等腰三角形24．（北京一零一中学2022届高三9月开学练习数学试题）已知复数z 满足z ＋z ＝0，且z ·z ＝4，则z＝（ ） A ．±2 B ．2C ．2i ±D ．2i25．（第十章复数10.1复数及其几何意义10.1.2复数的几何意义）向量1OZ 对应的复数是54i -，向量2OZ 对应的复数是54i -+，则1OZ ＋2OZ 对应的复数是（ ）A ．108i -+B ．108i -C ．0D ．108i +26．（广东省肇庆市2022届高三上学期一模考前训练（二）数学试题）已知i 为虚数单位，复数112i z =-，22i z =+，则复数12z z 在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限27．（福建省泉州科技中学2022届高三上学期第一次月考数学试题）若1i Z =+，则20202021()()Z Z ZZ --+的虚部为（ ） A ．i B ．i - C ．1 D ．1-28．（河南省部分名校2021-2022学年高三上学期第一次阶段性测试文科数学试题）已知i 为虚数单位，复数z 满足1i 1iz +＝+，则|z |等于（ ） A ．12BCD29．（河南省许昌市2022届高三第一次质量检测（一模）理科数学试题）已知复数z 满足12(1i)iz +=+，其中i 为虚数单位，则复数z 在复平面内所对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限30．（广西南宁市2022届高三高中毕业班上学期摸底测试数学（理）试题）已知复数13i z =+和21i z =+，则1122z z z z +=（ ） A ．34i + B ．43i + C ．36i + D ．63i +二、多选题31．（河北省石家庄市藁城新冀明中学2022届高三上学期第一次月考数学试题）设()1i 2i z -=+，则下列叙述中正确的是（ ）A ．z 的虚部为32-B ．13i 22z =- C ．∣z ∣D ．在复平面内，复数z 对应的点位于第四象限32．（广东省珠海市艺术高级中学2020-2021学年高二下学期期中数学试题）若复数35i1iz -=-，则（ ） A．z =B ．z 的实部与虚部之差为3C ．4i z =+D ．z 在复平面内对应的点位于第四象限33．（重庆市第八中学2021届高三下学期高考适应性考试（三）数学试题）已知复数20211i 11iz +=+-（i 为虚数单位）、则下列说法正确的是（ ） A ．z 的实部为1 B ．z 的虚部为1-C．z =D ．1i z =+34．（湖南师范大学附属中学2020-2021学年高一下学期第一次大练习数学试题）已知i 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ） A ．2340i i i i +++= B ．复数3z i =-的虚部为i -C ．若2(12)z i =+，则复平面内z 对应的点位于第二象限D ．已知复数z 满足11z z -=+，则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线35．（2021届新高考同一套题信息原创卷（四））已知,a b ∈R ，()1i 32i a b --=-，()1i a b z -=+，则（ ） A ．z 的虚部是2i B ．2z =C ．2i z =-D ．z 对应的点在第二象限36．（在线数学135高一下）下面关于复数()1z i i =-+（i 是虚数单位）的叙述中正确的是（ ）A ．z 的虚部为i -B ．z =C ．22z i =D ．z 的共轭复数为1i +37．（云南省曲靖市罗平县第二中学2020-2021学年高一下期期末测试数学试题）已知复数21iz =+，则正确的是（ ） A ．z 的实部为﹣1 B ．z 在复平面内对应的点位于第四象限 C ．z 的虚部为﹣i D ．z 的共轭复数为1i +38．（河北省唐山市英才国际学校2020-2021学年高一下学期期中数学试题）复数1i z =-，则（ ） A ．z 在复平面内对应的点的坐标为()1,1- B ．z 在复平面内对应的点的坐标为()1,1 C ．2z = D ．z =39．（2021·湖北·高三月考）设1z ，2z 是复数，则（ ） A ．1212z z z z -=-B ．若12z z ∈R ，则12z z =C ．若120z z -=，则12z z =D ．若22120z z +=，则120z z ==40．（2021·山东临沂·高三月考）已知m ，n R ∈，复数2i z m =+，()235i i z z n +=+，则（ ）A ．1m =-B ．1n =C ．i m n +=D ．m ni +在复平面内对应的点所在象限是第二象限第II 卷（非选择题）三、填空题41．（山西省新绛中学2022届高三上学期10月月考数学（文）试题）已知1?21z i +=，则z 的最大值为_______.42．（北京市第十三中学2022届高三上学期期中考试数学试题）在复平面内，复数z 所对应的点的坐标为(1,1)-，则z z ⋅=_____________.43．（安徽省合肥市庐阳高级中学2020-2021学年高三上学期10月第一次质检理科数学试题）复数z 满足22i z z =++，则1i z -+的最小值为___________.44．（广东省湛江市第二十一中学2022届高三上学期9月第2次月考数学试题）已知复数3i1iz +=+，则z =__________．45．（天津市第二中学2021-2022学年高三上学期期中数学试题）若复数z 满足ii i1z +=（i 为虚数单位），则z =_____．46．（上海市交通大学附属中学2022届高三上学期10月月考数学试题）若复数z 满足3iiz +=（其中i 是虚数单位），z 为z 的共轭复数，则z =___________.47．（上海市向明中学2022届高三上学期9月月考数学试题）已知复数()()()13i 1i 12i z +-=-，则z=___________.48．（双师301高一下）若复数()i z a a =+∈R 与它的共轭复数z 所对应的向量互相垂直，则a =_______．49．（2021·上海·格致中学高三期中）定义运算()(),,a b c d ad bc =-，则满足()(),1,232i z z =+的复数z =______.50．（2021·全国·高三月考（理））已知复数z 满足||||z i z i ++-=z 的最小值是_______．任务二:中立模式(中档)1-30题一、单选题1．（云南省昆明市第一中学2022届高三上学期第三次双基检测数学（理）试题）已知i 为虚数单位，则232021i i i i +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．iB ．i -C ．1D ．-12．（辽宁省名校联盟2021-2022学年高三上学期10月联合考试数学试题）已知复数202120221111i i i i z -+⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭，则z 的共轭复数z =（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --3．（上海市曹杨第二中学2022届高三上学期10月月考数学试题）设b 、c ∈R ，若2i -（i 为虚数单位）是一元二次方程20x bx c ++=的一个虚根，则（ ） A ．4b =，5c = B ．4b =，3c = C ．4b =-，5c = D ．4b =-，3c =4．（第3章本章复习课-2020-2021学年高二数学（理）课时同步练（人教A 版选修2-2））若1是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ） A ．2,3b c == B ．2,1b c ==- C ．2,1b c =-=- D ．2,3b c =-=5．（专题1.3集合与幂指对函数相结合问题-备战2022年高考数学一轮复习一网打尽之重点难点突破）设集合{}22||cos sin |,M y y x x x R ==-∈，1N x =<⎧⎫⎨⎬⎩⎭，i 为虚数单位，x ∈R ，则M ∩N 为（ ） A ．（0，1） B ．（0，1]C ．[0，1）D ．[0，1]6．（考点38复数-备战2022年高考数学一轮复习考点帮（新高考地区专用））若2ii(,,)1ia x y a x y +=+∈+R ，且1xy >，则实数a 的取值范围是（ ） A ．)+∞B ．(,)-∞-⋃+∞C ．()-⋃+∞ D ．(,2)(2,)-∞-+∞7．（四川省成都市树德中学2021-2022学年高三上学期入学考试文科数学试题）已知复数()2231i z a a a =-+-，R a ∈，则“0a =”是“z 为纯虚数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件8．（第25讲数系的扩充与复数的引入（练）-2022年高考数学一轮复习讲练测（课标全国版））设复数1i1iz -=+，()202020191f x x x x =++++，则()f z =（ ）A ．iB ．i -C ．1D ．1-9．（河北正中实验中学2021届高三上学期第二次月考数学试题）棣莫弗定理：若两个复数111cos isin z θθ=+，222cos isin z θθ=+，则()()121212cos isin z z θθθθ⋅=+++，已知1i2a =，2021b a =，则a b +的值为（ ）A ．i - B ．i C ．D10．（第25讲数系的扩充与复数的引入（讲）-2022年高考数学一轮复习讲练测（课标全国版））欧拉公式i co sin s i x e x x +=(i 是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，i3e π表示的复数位于复平面中的（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．（山东省济宁邹城市2021-2022学年高三上学期期中考试数学试题）定义运算a bad bc c d=-，若复数z 满足i 11i 1z z -=-，则z =（ ） A ．1i + B ．1i - C ．i - D ．i12．（上海市徐汇中学2022届高三上学期期中数学试题）已知方程()20x x m m R ++=∈有两个虚根,αβ，若3αβ-=，则m 的值是（ ） A ．2-或52B ．2-C ．52 D ．52-13．（专题12.3复数的几何意义（重点练）-2020-2021学年高一数学十分钟同步课堂专练（苏教版2019必修第二册））若z 是复数，|z +2-2i|＝2，则|z +1-i|+|z |的最大值是（ ） AB ．C ．2D ．414．（专题07复数-备战2022年高考数学一轮复习核心知识全覆盖（新高考地区专用））如果复数z 满足|z ＋i|＋|z －i|＝2，那么|z ＋i ＋1|的最小值是（ ） A ．1 B ．12C ．2D15．（百师联盟2021届高三二轮复习联考（三）数学（理）全国Ⅰ卷试题）已知i 是虚数单位，复数z 的共轭复数为z ，下列说法正确的是（ ）A ．如果12z z +∈R ，则1z ，2z 互为共轭复数B ．如果复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z ⋅=C ．如果2z z =，则1z =D ．1212z z z z =16．（黑龙江省哈尔滨市第六中学2021届高三第四次模拟数学（理）试题）设z 为复数，则下列命题中错误的是（ ） A ．2z zz = B ．若1z =，则i z +的最大值为2 C ．22z z = D ．若11z -=，则02z ≤≤17．（陕西省汉中市2021-2022学年高三上学期第一次校际联考文科数学试题）设复数1z ，2z 满足121z z ==，1212z z -=-，则12z z +=（ ）A ．1B ．12CD18．（江苏省常州市前黄高级中学2021届高三下学期学情检测（三）数学试题）设12,z z 为复数，则下列四个结论中不正确的是（ ） A ．1212z z z z +=+ B ．1212||||||z z z z ⋅=⋅ C ．11z z +一定是实数 D ．22z z -一定是纯虚数19．（重庆市名校联盟2021届高三三模数学试题）若复数z 满足|1||12|z i i -+=-，其中i 为虚数单位，则z 对应的点(x ，y )满足方程（ ）A ．22(1)(1)x y -++=B ．22(1)(1)5x y -++= C ．22(1)(1)x y ++-D ．22(1)(1)5x y ++-=20．（陕西省西安中学2021届高三下学期第六次模拟数学（文）试题）已知复数122(z i i =-为虚数单位)在复平面内对应的点为1P ，复数2z 满足21z i -=，则下列结论不正确的是（ ） A ．1P 点的坐标为()2,2- B ．122z i =+C ．21z z -1 D ．21z z -的最小值为二、多选题21．（江苏省扬州市公道中学2020-2021学年高二下学期第二次学情测试数学试题）在下列命题中，正确命题的个数为（ ） A ．两个复数不能比较大小；B ．若22(1)(32)i x x x -+++是纯虚数，则实数1x =±；C ．z R ∈的一个充要条件是z z =；D ．||1z =的充要条件是1z z=.22．（江苏省常州市溧阳市2020-2021学年高一下学期期末数学试题）下列结论正确的是（ ） A ．若复数z 满足0z z +=，则z 为纯虚数B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数z 满足1R z ∈，则z R ∈D ．若复数z 满足3i 1z -=，则||[2,4]z ∈23．（第七章复数7.2复数的四则运算7.2.1复数的加、减运算及其几何意义）已知复数012z i =+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点为0P ，复数z 满足|1|||z z i -=-，下列结论正确的是（ ） A ．0P 点的坐标为(1,2)B ．复数0z 的共轭复数对应的点与点0P 关于虚轴对称C ．复数z 对应的点Z 在一条直线上D ．0P 与z 对应的点Z24．（山东省济南市2020届高三6月针对性训练（仿真模拟）数学试题）已知复数ππ1cos 2sin 222z i θθθ⎛⎫=++-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位）下列说法正确的是（ ）A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．2cos z θ=D ．1z 的实部为1225．（2021·安徽·六安一中高一期末）设复数z 的共轭复数为z ，i 为虚数单位，则下列命题正确的是（ ）A ．若0z z ⋅=，则0z =B ．若z z R -∈，则z R ∈C ．若2cos isin55z ππ=+，则1z =D ．若12i 3i z z --=++，则z 的最小值是12第II 卷（非选择题）三、填空题26．（福建省仙游第一中学2020-2021学年高一下学期第一次月考数学试题）若12400z z ==，且12z z +=12z z -=___________.27．（重庆市万州纯阳中学2020-2021学年高二下学期第一次月考数学试题）已知复数z 满足21i z z -=--，则2i z z -+的最小值为_______.28．（江苏省南通市如东县2020-2021学年高一下学期期中数学试题）设复数1z ，2z ，满足13z =，22z =，124z z i +=，则12z z -=__________．29．（上海市2022届高三上学期一模暨春考模拟卷（五）数学试题）已知复数1z ，2z ，3z 满足1231z z z ===, 123||z z z r ++=（其中r 是给定的实数），则312231z z z z z z ++的实部是___________（用含有r 的式子表示）.30．（2020·上海·高三专题练习）若z a bi =+，21zR z ∈+，则实数a ，b 应满足的条件为________.任务三:邪恶模式(困难)1-20题一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）已知复数()()cos sin 1i k k k z R θθθ=++∈对应复平面内的动点为()1,2k Z k =，模为1的纯虚数3z 对应复平面内的点为3Z ，若313212Z Z Z Z =，则12z z -=（ ）A ．1 BCD ．32．（2022·上海·高三专题练习）已知1z 、2z C ∈，且141z i -=，222z z i -=-（i 是虚数单位），则12z z -的最小值为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．13．（2021·全国·高三专题练习（理））已知i 为虚数单位，则复数22019202012i 3i 2020i 2021i z =+++++的虚部为（ ）A ．1011-B ．1010-C ．1010D ．10114．（2022·全国·高三专题练习）瑞士数学家欧拉被认为是历史上最伟大的数学家之一，他发现了欧拉公式cos sin ix e x i x =+()x ∈R ，它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系．特别是当x π=时，得到一个令人着迷的优美恒等式10i e π+=，这个恒等式将数学中五个重要的数（自然对数的底e ，圆周率π，虚数单位i ，自然数的单位1和数字0）联系到了一起，若i e α表示的复数对应的点在第二象限，则α可以为（ ） A ．3πB ．23π C ．32π D ．116π5．（2021·江苏·高三月考）若存在复数z 同时满足1z i -=，33z i t -+=，则实数t 的取值范围是（ ） A ．[0,4] B ．(4,6) C ．[4,6] D ．(6,)+∞6．（2022·全国·高三专题练习（理））已知复数z 的模为1，复数23w z z =+.则在复平面内，复数w 所对应的点与点()4,0的距离的最大值是（ ） A ．6 B ．254C ．D ．7．（2022·江苏·高三专题练习）已知复数123,,z z z 满足：1233421, 41, 1z i z i z z i +-=-=-=-，那么3132+z z z z --的最小值为（ ）A ．2 B ．C ．2 D ．8．（2020·全国·高三专题练习）设复数21ix i=-（i 是虚数单位），则112233202020202020202020202020C x C x C x C x +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．1i +B ．i -C ．iD ．09．（2022·全国·高三专题练习）若集合()(){}|cos arcsin cos arccos ,,1N z z t i t t R t ==+⋅∈≤⎤⎦，1|,,1,01t t M z z i t R t t t t +⎧⎫==+∈≠-≠⎨⎬+⎩⎭，则MN 中元素的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．410．（2021·全国·高三专题练习（理））已知复数z 满足z z ⋅=4且z z ++|z |=0，则z 2019的值为 A ．﹣1 B ．﹣22019C ．1D ．2201911．（2020·湖南·湘潭一中高三月考（理））设i 是虚数单位，则2320192342020i i i i +++⋅⋅⋅+的值为（ ） A ．10101010i -- B ．10111010i -- C ．10111012i -- D ．10111010i -12．（2019·贵州·贵阳一中高三月考（文））已知复数232019i i i i 1iz ++++=+，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=（ ）A ．0B ．12C ．1D ．2二、多选题13．（2021·全国·高三专题练习）下列说法正确的是（） A ．若2z =，则4z z ⋅=B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数z 的平方是纯虚数，则复数z 的实部和虚部相等D ．“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件14．（2021·山东山东·高三月考）欧拉公式cos sin xi e x i x =+（其中i 为虚数单位，x ∈R ）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ） A ．复数2i e 对应的点位于第三象限 B ．π2i e 为纯虚数Cxi 的模长等于12D ．π6i e 的共轭复数为1215．（2020·湖北·武汉大学高三）设复数z 的实部和虚部都是整数，则（ ）A ．2z z -的实部都能被2 整除B ．3z z -的实部都能被3 整除C ．4z z -的实部都能被4 整除D ．5z z -的实部都能被5 整除16．（2020·湖北·武汉大学高三）设12z z ，（ ） AB ．没有最小值C ．最大值为2D ．没有最大值第II 卷（非选择题）三、填空题17．（2021·全国·高三专题练习）在复平面内，等腰直角三角形12OZ Z 以2OZ 为斜边（其中O 为坐标原点），若2Z对应的复数21z =+，则直角顶点1Z 对应的复数1z =_____________.18．（2021·全国·高三专题练习）若复数z 满足2z =，则33z z ++-的取值范围是______．19．（2022·全国·高三专题练习）设复数1z =在复平面上对应的向量为OZ ，将OZ 绕原点O 逆时针旋转n 个56π角后得到向量()*1OZ n N ∈，向量1OZ 所对应的复数为1z ，若10z <，则自然数n 的最小数值为___________20．（2020·上海市奉贤区曙光中学高三期中）已知z C ∈，函数()()()13log 312x z f x x x R =++∈为偶函数，则212z z --＝________.。

2024-2025学年高三上学期第一次联考(9月月考) 数学试题[含答案]

2024-2025学年高三上学期第一次联考(9月月考) 数学试题[含答案]

2024~2025学年高三第一次联考（月考）试卷数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：集合､常用逻辑用语､不等式､函数､导数及其应用.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则集合的真子集的个数为（）{}4,3,2,0,2,3,4A =---{}2290B x x =-≤A B ⋂A.7B.8C.31D.322.已知，，则“，”是“”的（ ）0x >0y >4x ≥6y ≥24xy ≥A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆､绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水､雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为()mg /L N t （为最初污染物数量，且）.如果前4个小时消除了的污染物，那么污染物消0e kt N N -=0N 00N >20%除至最初的还需要（ ）64%A.3.8小时 B.4小时C.4.4小时D.5小时4.若函数的值域为，则的取值范围是（）()()2ln 22f x x mx m =-++R m A.B.()1,2-[]1,2-C.D.()(),12,-∞-⋃+∞(][),12,-∞-⋃+∞5.已知点在幂函数的图象上，设，(),27m ()()2n f x m x =-(4log a f =，，则，，的大小关系为（ ）()ln 3b f =123c f -⎛⎫= ⎪⎝⎭a b c A.B.c a b <<b a c<<C. D.a c b <<a b c<<6.已知函数若关于的不等式的解集为，则的()()2e ,0,44,0,x ax xf x x a x a x ⎧->⎪=⎨-+-+≤⎪⎩x ()0f x ≥[)4,-+∞a 取值范围为（ ）A.B. C. D.(2,e ⎤-∞⎦(],e -∞20,e ⎡⎤⎣⎦[]0,e 7.已知函数，的零点分别为，，则（ ）()41log 4xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()141log 4xg x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭a b A. B.01ab <<1ab =C.D.12ab <<2ab ≥8.已知，，，且，则的最小值为（ ）0a >0b >0c >30a b c +-≥6b a a b c ++A. B. C. D.29495989二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（ ）A.函数是相同的函数()f x =()g x =B.函数6()f x =C.若函数在定义域上为奇函数，则()313xx k f x k -=+⋅1k =D.已知函数的定义域为，则函数的定义域为()21f x +[]1,1-()f x []1,3-10.若，且，则下列说法正确的是（）0a b <<0a b +>A. B.1a b >-110a b+>C. D.22a b <()()110a b --<11.已知函数，则下列说法正确的是（ ）()()3233f x x x a x b=-+--A.若在上单调递增，则的取值范围是()f x ()0,+∞a (),0-∞B.点为曲线的对称中心()()1,1f ()y f x =C.若过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是()2,m ()()3y f x a x b =+-+m ()5,4--D.若存在极值点，且，其中，则()f x 0x ()()01f x f x =01x x ≠1023x x +=三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.__________.22lg 2lg3381527log 5log 210--+⋅+=13.已知函数称为高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，则不等式[]y x =x []3.43=[]1.62-=-的解集为__________；当时，的最大值为__________.[][]06x x <-0x >[][]29x x +14.设函数，若，则的最小值为__________.()()()ln ln f x x a x b =++()0f x ≥ab 四､解答题：本题共5小题､共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知全集，集合，.U =R {}231030A x x x =-+≤{}220B x xa =+<（1）若，求和；8a =-A B ⋂A B ⋃（2）若，求的取值范围.()UA B B ⋂= a 16.（本小题满分15分）已知关于的不等式的解集为.x 2280ax x --<{}2x x b-<<（1）求，的值；a b （2）若，，且，求的最小值.0x >2y >-42a bx y +=+2x y +17.（本小题满分15分）已知函数.()()()211e 2x f x x ax a =--∈R （1）讨论的单调性；()f x （2）若对任意的恒成立，求的取值范围.()e x f x x ≥-[)0,x ∈+∞a 18.（本小题满分17分）已知函数是定义在上的奇函数.()22x xf x a -=⋅-R（1）求的值，并证明：在上单调递增；a ()f x R （2）求不等式的解集；()()23540f x x f x -+->（3）若在区间上的最小值为，求的值.()()442x x g x mf x -=+-[)1,-+∞2-m 19.（本小题满分17分）已知函数.()()214ln 32f x x a x x a =---∈R （1）若，求的图像在处的切线方程；1a =()f x 1x =（2）若恰有两个极值点，.()f x 1x ()212x x x <（i ）求的取值范围；a （ii ）证明：.()()124ln f x f x a+<-数学一参考答案､提示及评分细则1.A 由题意知，又，所以{}2290B x x ⎡=-=⎢⎣∣ {}4,3,2,0,2,3,4A =---，所以的元素个数为3，真子集的个数为.故选.{}2,0,2A B ⋂=-A B ⋂3217-=A 2.A 若，则，所以“”是“”的充分条件；若，满足4,6x y 24xy 4,6x y 24xy 1,25x y ==，但是，所以“”不是“”的必要条件，所以“”是24xy 4x <4,6x y 24xy 4,6x y “”的充分不必要条件.故选A.24xy 3.B 由题意可得，解得，令，可得4004e 5N N -=44e 5k -=20004e 0.645t N N N -⎛⎫== ⎪⎝⎭，解得，所以污染物消除至最初的还需要4小时.故选B.()248e e ek kk---==8t =64%4.D 依题意，函数的值域为，所以，解得()()2ln 22f x x mx m =-++R ()2Δ(2)420m m =--+ 或，即的取值范围是.故选D.2m 1m - m ][(),12,∞∞--⋃+5.C 因为是軍函数，所以，解得，又点在函数的图()()2nf x m x =-21m -=3m =()3,27()n f x x =象上，所以，解得，所以，易得函数在上单调递增，又273n=3n =()3f x x =()f x (),∞∞-+，所以.故选C.1241ln3lne 133log 2log 2->==>=>=>a c b <<6.D 由题意知，当时，；当时，；当时，(),4x ∞∈--()0f x <[]4,0x ∈-()0f x ()0,x ∞∈+.当时，，结合图象知；当时，，当()0f x 0x ()()()4f x x x a =-+-0a 0x >()e 0x f x ax =- 时，显然成立；当时，，令，所以，令，解0a =0a >1e x x a (),0e x x g x x =>()1e xxg x -='()0g x '>得，令0，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以01x <<()g x '<1x >()g x ()0,1()1,∞+，所以，解得综上，的取值范围为.故选D.()max 1()1e g x g ==11e a0e a < a []0,e 7.A 依题意得，即两式相减得4141log ,41log ,4a b a b ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩441log ,41log ,4a ba b ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-= ⎪⎪⎝⎭⎩.在同一直角坐标系中作出的图()44411log log log 44a ba b ab ⎛⎫⎛⎫+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4141log ,log ,4xy x y x y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭象，如图所示：由图象可知，所以，即，所以.故选A.a b >1144ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()4log 0ab <01ab <<8.C 因为，所以，所以30a b c +- 30a b c +> 11911121519966399939911b a b a b b b b a b c a b a b a a a a ⎛⎫++=+=++--=-= ⎪+++⎝⎭++ ，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选C.1911991b b a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭+29b a =6b aa b c ++599.AD 由解得，所以，由，解得10,10x x +⎧⎨-⎩ 11x - ()f x =[]1,1-210x -，所以的定义域为，又，故函数11x - ()g x =[]1,1-()()f x g x ===与是相同的函数，故A 正确；，()f x ()g x ()6f x ==当且仅当方程无解，等号不成立，故B 错误；函数=2169x +=在定义域上为奇函数，则，即，即()313x x k f x k -=+⋅()()f x f x -=-331313x xx x k k k k ----=-+⋅+⋅，即，整理得，即，()()33313313x x xxxxk k k k ----=-+⋅+⋅313313x x x x k kk k ⋅--=++⋅22919x x k k ⋅-=-()()21910x k -+=所以，解得.当时，，该函数定义域为，满足，210k -=1k =±1k =()1313xx f x -=+R ()()f x f x -=-符合题意；当时，，由可得，此时函数定义域为1k =-()13311331x x xxf x --+==--310x -≠0x ≠，满足，符合题意.综上，，故C 错误；由，得{}0x x ≠∣()()f x f x -=-1k =±[]1,1x ∈-，所以的定义域为，故D 正确.故选AD.[]211,3x +∈-()f x []1,3-10.AC 因为，且，所以，所以，即，故A 正确；0a b <<0a b +>0b a >->01a b <-<10ab -<<因为，所以，故В错误；因为，所以，0,0b a a b >->+>110a ba b ab ++=<0a b <<,a a b b =-=由可得，所以，故C 正确；因为当，此时，故0a b +>b a >22a b <11,32a b =-=()()110a b -->D 错误.故选AC.11.BCD 若在上单调递增，则在上佰成立，所以()f x ()0,∞+()23630f x x x a '=-+- ()0,x ∞∈+，解得，即的取值范围是，故A 错误；因为()min ()13630f x f a '==--'+ 0a a (],0∞-，所以，又()()32333(1)1f x x x a x b x ax b =-+--=---+()11f a b =--+，所以点()()()332(21)21(1)1222f x f x x a x b x ax b a b -+=-----++---+=--+为曲线的对称中心，故B 正确；由题意知，所以()()1,1f ()y f x =()()3233y f x a x b xx =+-+=-，设切点为，所以切线的斜率，所以切线的方程为236y x x =-'()32000,3x x x -20036k x x =-，所以，整理得()()()3220000336y x x x x x x --=--()()()322000003362m xx x x x --=--.记，所以3200029120x x x m -++=()322912h x x x x m =-++()26h x x '=-，令，解得或，当时，取得极大值，当时，1812x +()0h x '=1x =2x =1x =()h x ()15h m =+2x =取得极小值，因为过点可作出曲线的三条切线，所以()h x ()24h m=+()2,m ()()3y f x a x b =+-+解得，即的取值范围是，故C 正确；由题意知()()150,240,h m h m ⎧=+>⎪⎨=+<⎪⎩54m -<<-m ()5,4--，当在上单调递增，不符合题意；当，()223633(1)f x x x a x a =-+-=--'()0,a f x (),∞∞-+0a >令，解得，令，解得在()0f x '>1x <-1x >+()0f x '<11x -<<+()f x 上单调递增，在上单调递堿，在上单调递增，因为,1∞⎛- ⎝1⎛+ ⎝1∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭存在极值点，所以.由，得，令，所以，()f x 0x 0a >()00f x '=()2031x a-=102x x t+=102x t x =-又，所以，又，()()01f x f x =()()002f x f t x =-()()32333(1)1f x x x a x b x ax b =-+--=---+所以，又，所以()()()330000112121x ax b t x a t x b ---+=-----+()2031x a-=，化简得()()()()()()()322320000000013112121312x x x b x x b t x x t x b----=----=------，又，所以，故D 正确.故选BCD.()()20330t x t --=010,30x x x t ≠-≠103,23t x x =+=12. 由题意知10932232862log 184163381255127log 5log 210log 5log 121027---⎛⎫+⋅+=+⋅-+ ⎪⎝⎭62511411410log 5log 2109339339=-⋅+=-+=13.（2分）（3分） 因为，所以，解得，又函数[)1,616[][]06x x <-[][]()60x x -<[]06x <<称为高斯函数，表示不超过的最大整数，所以，即不等式的解集为.当[]y x =x 16x < [][]06x x <-[)1,6时，，此时；当时，，此时01x <<[]0x =[]2[]9x x =+1x []1x ，当且仅当3时等号成立.综上可得，当时，的[][][]2119[]96x x x x ==++[]x =0x >[]2[]9x x +最大值为.1614. 由题意可知：的定义域为，令，解得令，解21e -()f x (),b ∞-+ln 0x a +=ln ;x a =-()ln 0x b +=得.若，当时，可知，此时，不合题1x b =-ln a b -- (),1x b b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +>+<()0f x <意；若，当时，可知，此时，不合ln 1b a b -<-<-()ln ,1x a b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +>+<()0f x <题意；若，当时，可知，此时；当ln 1a b -=-(),1x b b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +<+<()0f x >时，可知，此时，可知若，符合题意；若[)1,x b ∞∈-+()ln 0,ln 0x a x b ++ ()0f x ln 1a b -=-，当时，可知，此时，不合题意.综上所ln 1a b ->-()1,ln x b a ∈--()ln 0,ln 0x a x b +<+>()0f x <述：，即.所以，令，所以ln 1a b -=-ln 1b a =+()ln 1ab a a =+()()ln 1h x x x =+，令，然得，令，解得，所以在()ln 11ln 2h x x x '=++=+()0h x '<210e x <<()0h x '>21e x >()h x 上单调递堿，在上单调递增，所以，所以的最小值为.210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭21,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭min 2211()e e h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ab 21e -15.解：（1）由题意知，{}2131030,33A x x x ⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦∣ 若，则，8a =-{}()22802,2B x x =-<=-∣所以.(]1,2,2,33A B A B ⎡⎫⋂=⋃=-⎪⎢⎣⎭（2）因为，所以，()UA B B ⋂= ()UB A ⊆ 当时，此时，符合题意；B =∅0a 当时，此时，所以，B ≠∅0a <{}220Bx x a ⎛=+<= ⎝∣又，U A ()1,3,3∞∞⎛⎫=-⋃+ ⎪⎝⎭13解得.209a -< 综上，的取值范围是.a 2,9∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭16.解：（1）因为关于的不等式的解集为，x 2280ax x --<{2}xx b -<<∣所以和是关于的方程的两个实数根，且，所以2-b x 2280ax x --=0a >22,82,b a b a⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得.1,4a b ==（2）由（1）知，所以1442x y +=+()()()221141422242241844242y xx y x y x y x y y x ⎡⎤+⎛⎫⎡⎤+=++-=+++-=+++-⎢⎥ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎣⎦，179444⎡⎢+-=⎢⎣ 当且仅当，即时等号成立，所以.()2242y x y x +=+x y ==2x y +74-17.解：（1）由题意知，()()e e x x f x x ax x a=-=-'若，令.解得，令，解得，所以在上单调递琙，在0a ()0f x '<0x <()0f x '>0x >()f x (),0∞-上单调递增.()0,∞+若，当，即时，，所以在上单调递增；0a >ln 0a =1a =()0f x ' ()f x (),∞∞-+当，即时，令，解得或，令，解得，ln 0a >1a >()0f x '>0x <ln x a >()0f x '<0ln x a <<所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；()f x (),0∞-()0,ln a ()ln ,a ∞+当，即时，令，解得或，令，解得，ln 0a <01a <<()0f x '>ln x a <0x >()0f x '<ln 0a x <<所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.()f x (),ln a ∞-()ln ,0a ()0,∞+综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在0a ()f x (),0∞-()0,∞+01a <<()f x 上单调递增，在上单调递减，在上单调递增当时，在上(,ln )a ∞-()ln ,0a ()0,∞+1a =()f x (),∞∞-+单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.1a >()f x (),0∞-()0,ln a ()ln ,a ∞+（2）若对任意的恒成立，即对任意的恒成立，()e xf x x - [)0,x ∞∈+21e 02xx ax x -- [)0,x ∞∈+即对任意的恒成立.1e 102x ax -- [)0,x ∞∈+令，所以，所以在上单调递增，当()1e 12x g x ax =--()1e 2x g x a=-'()g x '[)0,∞+，即时，，所以在上单调递增，所以()10102g a =-' 2a ()()00g x g '' ()g x [)0,∞+，符合题意；()()00g x g = 当，即时，令，解得，令，解得，所()10102g a =-<'2a >()0g x '>ln 2a x >()0g x '<0ln 2a x < 以在上单调递减，()g x 0,ln 2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭所以当时，，不符合题意.0,ln 2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()00g x g <=综上，的取值范围是.a (],2∞-18.（1）证明：因为是定义在上的奇函数，所以，()f x R ()010f a =-=解得，所以，1a =()22x xf x -=-此时，满足题意，所以.()()22x x f x f x --=-=-1a =任取，所以12x x <，()()()()211122121211122222122222222122x x x x x x x x x x x x f x f x x x --⎛⎫--=---=--=-+ ⎪++⎝⎭又，所以，即，又，12x x <1222x x <12220x x -<121102x x ++>所以，即，所以在上单调递增.()()120f x f x -<()()12f x f x <()f x R （2）解：因为，所以，()()23540f x x f x -+->()()2354f x x f x ->--又是定义在上的奇函数，所以，()f x R ()()2354f x x f x ->-+又在上单调递增，所以，()f x R 2354x x x ->-+解得或，即不等式的解集为.2x >23x <-()()23540f x x f x -+->()2,2,3∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭（3）解：由题意知，令，()()()44244222xxxxxxg x mf x m ---=+-=+--322,,2x x t t ∞-⎡⎫=-∈-+⎪⎢⎣⎭所以，所以.()2222442x xxxt --=-=+-()2322,,2y g x t mt t ∞⎡⎫==-+∈-+⎪⎢⎣⎭当时，在上单调递增，所以32m -222y t mt =-+3,2∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭，解得，符合题意；2min317()323224g x m m ⎛⎫=-++=+=- ⎪⎝⎭2512m =-当时，在上单调递减，在上单调递增，32m >-222y t mt =-+3,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭(),m ∞+所以，解得或（舍）.222min ()2222g x m m m =-+=-=-2m =2m =-综上，的值为或2.m 2512-19.（1）解：若，则，所以，1a =()214ln 32f x x x x =---()14f x x x =--'所以，又，()14112f =--='()1114322f =--=所以的图象在处的切线方程为，即.()f x 1x =()1212y x -=-4230x y --=（2）（i ）解：由题意知，()22444a x a x x x af x x x x x '---+=--==-又函数恰有两个极值点，所以在上有两个不等实根，()f x ()1212,x x x x <240x x a -+=()0,∞+令，所以()24h x x x a =-+()()00,240,h a h a ⎧=>⎪⎨=-<⎪⎩解得，即的取值范围是.04a <<a ()0,4（ii ）证明：由（i ）知，，且，12124,x x x x a +==04a <<所以()()2212111222114ln 34ln 322f x f x x a x x x a x x ⎛⎫⎛⎫+=---+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2212121214ln ln 62x x a x x x x =+-+-+-，()()()21212121214ln 262x x a x x x x x x ⎡⎤=+--+--⎣⎦()116ln 1626ln 22a a a a a a =----=-+要证，即证，只需证.()()124ln f x f x a+<-ln 24ln a a a a -+<-()1ln 20a a a -+-<令，所以，()()()1ln 2,0,4m a a a a a =-+-∈()11ln 1ln a m a a a a a -=-++=-'令，所以，所以即在上单调递减，()()h a m a ='()2110h a a a =--<'()h a ()m a '()0,4又，所以，使得，即，()()1110,2ln202m m '-'=>=<()01,2a ∃∈()00m a '=001ln a a =所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在()00,a a ∈()0m a '>()0,4a a ∈()0m a '<()m a ()00,a 上单调递减，所以.()0,4a ()()()max 00000000011()1ln 2123m a m a a a a a a a a a ==-+-=-+-=+-令，所以，所以在上单调递增，所以()()13,1,2u x x x x =+-∈()2110u x x =->'()u x ()1,2，所以，即，得证.()000111323022u a a a =+-<+-=-<()0m a <()()124ln f x f x a +<-。

江苏省淮阴中学2024年高三第四次模拟考试数学试卷含解析

江苏省淮阴中学2024年高三第四次模拟考试数学试卷含解析

2024年高考数学模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A={y|y=|x|﹣1，x ∈R}，B={x|x≥2}，则下列结论正确的是（ ） A ．﹣3∈A B ．3∉B C ．A∩B=B D ．A ∪B=B2．设双曲线22221y x a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线与抛物线213y x =+有且只有一个公共点，且椭圆22221x y a b +=的焦距为2，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22143x y -= B ．22143y x -=C ．22123x y -=D ．22132y x -=3．已知命题p ：“a b >”是“22a b >”的充要条件；:q x ∃∈R ，|1|x x +≤，则（ ） A ．()p q ⌝∨为真命题 B ．p q ∨为真命题 C ．p q ∧为真命题D ．()p q ∧⌝为假命题4．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、M 分别是AB 、AD 、1AA 的中点，又P 、Q 分别在线段11A B 、11A D 上，且11(0)A P AQ m m a ==<<，设平面MEF 平面MPQ l =，则下列结论中不成立的是（ ）A ．//l 平面11BDDB B ．l MC ⊥C ．当2am =时，平面MPQ MEF ⊥ D ．当m 变化时，直线l 的位置不变5．如图，抛物线M ：28y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线M 交于A ，B 两点，若直线l 与以F 为圆心，线段OF （O 为坐标原点）长为半径的圆交于C ，D 两点，则关于AC BD ⋅值的说法正确的是（ ）A ．等于4B ．大于4C ．小于4D ．不确定6．若x ，y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩且z ax y =+的最大值为26a +，则a 的取值范围是（ ）A ．[1,)-+∞B ．(,1]-∞-C ．(1,)-+∞D ．(,1)-∞-7．已知数列{}n a 的通项公式为22n a n =+，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为（ ）A ．10112020B ．20192020C ．20202021D ．101020218．在区间[]3,3-上随机取一个数x ，使得301xx -≥-成立的概率为等差数列{}n a 的公差，且264a a +=-，若0n a >，则n 的最小值为（ ） A ．8B ．9C ．10D ．119．已知函数()sin3cos3f x x x =-，给出下列四个结论：①函数()f x 的值域是2,2⎡-⎣；②函数4f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数；③函数()f x 在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减；④若对任意x ∈R ，都有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12x x -的最小值为3π；其中正确结论的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．i 为虚数单位,则32i 1i-的虚部为（ ）A ．i -B ．iC ．1-D ．111．已知数列满足：.若正整数使得成立，则( ) A ．16B ．17C ．18D ．1912．一物体作变速直线运动，其v t -曲线如图所示，则该物体在1s~6s 2间的运动路程为（ ）m ．A ．1B ．43C ．494D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省南京市2021-2022第一学期高三12月联考数学试卷

江苏省南京市2021-2022第一学期高三12月联考数学试卷

南京市2021—2022学年第一学期12月六校联合调研试题高三数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的．1．若复数z 满足 z －·i ＝2+i,其中i 为虚数单位，则z =A ．1+2iB ．1－2iC ．－1+2iD ．－1－2i2．记A ＝{x |log 2(x －1)<2}，A ∩N ＝B ，则B 的元素个数为A ．2B ．3C ．4D ．53．已知cos θ＝13 ，则sin(2θ＋π2)＝A ．－79B ．79C ．23D ．－234．设a ，b 为非零向量，则“存在负数λ，使得a=λb ”是“a ·b <0”的 A ．充分必要条件 B ．必要而不充分条件 C ． 充分而不必要条件 D ．既不充分也不必要条件5．将3名教师，3名学生分成3个小组，分别安排到甲、乙、丙三地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和1名学生组成，若教师A 与学生B 要安排在同一地点，则不同的安排方案共有A ．72种B ．36种C ．24种D ．12种6．国务院新闻办公室8月12日发表《全面建成小康社会：中国人权事业发展的光辉篇章》白皮书指出：2020年，全国万元国内生产总值二氧化碳排放较2005年下降48.4%，提前完成比2005年下降40%-45%的碳排放目标.某工厂产生的废气经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过1%.已知过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t （单位：时）之间的函数关系为P =P 0·e －kt (k 为正常数，P 0为原污染物数量）.该工厂某次过滤废气时，若前3个小时废气中的污染物被过滤掉了90%，那么要按规定排放废气，至少还需要过滤 A ．6小时B ．3小时C ．1.5小时D ．59小时7．设F 1、F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，M 是椭圆E 准线上一点，∠F 1MF 2的最大值为60°，则椭圆E 的离心率为A ．2124B ． 32C ． 22D ．2848．已知a ＝sin 13，b ＝13，c ＝1π则A ．c ＜b ＜aB ．a ＜b ＜cC ．a ＜c ＜bD ．c ＜a ＜b二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题意．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7在这次射击中，下列说法正确的是 A ．甲成绩的极差比乙成绩的极差大B ．甲成绩的众数比乙成绩的众数大C ．甲的成绩没有乙的成绩稳定D ．甲成绩的中位数比乙成绩的中位数大10．已知函数f (x )满足f (1－x )＝f (1＋x )，当x [1，＋∞)时，f (x )＝x 3，则 A ．f (0)＝0B ．对任意的正实数a ，都有f (a +4a )≥f (4)C ．f (1＋x )为偶函数D ．不等式f (x+1)<f (3)的解集为(-1,3)11．在平面直角坐标系中，三点A (－1，0)，B (1，0)，C (0，7)，动点P 满足P A=2PB ，则 A ．点P 的轨迹方程为(x －3)2+y 2=8 B ．△PAB 面积最大时P A=26 C ．∠P AB 最大时，P A=26 D ．P 到直线AC 距离最小值为42512．在底面棱长为2侧棱长为23的正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点E 为AC 1的中点，BD →=λBC →(0≤λ≤1),则以下结论正确的是A ．当λ=12时，A 1D →=12AB →+ 12AC →－AA 1→ B ．当λ=12时，AB 1//平面A 1C 1DC ．存在λ使得DE ⊥平面A 1B 1CD ．四面体E －ABC 外接球的半径为153三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．13．已知(x ＋ay )3的展开式中含x 2y 项的系数为6．则实数a 的值为 ▲ ．14．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别为正方形OABC 的边OA ,OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为4，则a = ▲ ．15．若一个等差数列{a n }满足：①每项均为正整数；②首项与公差的积大于该数列的第二项且小于第三项，写出一个满足条件的数列的通项公式a n ＝ ▲ ． 16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3(tanA+tanB)=tanA cosB +tanB cosA ，则a +bc= ▲ ；c =4，D 为AB 的中点且CD =33 ，则△ABC 的面积为 ▲ ．四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本题满分10分）已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2，x ∈R )的部分图象如图所示． (1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的t (t ＞0)倍，得到y ＝g(x )的图象．若π4为函数y ＝g(x )的一个零点，求t 的最大值．Ox y 第17题2π3 5π618．（本题满分12分）我国脱贫攻坚战取得全面胜利，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹．某农户计划于2021年初开始种植新型农作物．根据前期各方面调查发现，该农作物的亩产量和市场价格均具有随机性，且两者互不影响，其具体情况如表：该农作物亩产量（kg）9001200概率0.50.5该农作物市场价格（元/kg）3040概率0.40.6（1）设2021年该农户种植该农作物一亩的收入为X元，求X的分布列；（2）若该农户从2021年开始，连续三年种植该农作物，假设三年内各方面条件基本不变，求这三年中该农户种植该农作物一亩至少有两年的收入超过30000元的概率．19.（本题满分12分）在①6S n=a n2+3a n－4；①a n=2a n-1－3n+5;两个条件中选择一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.已知正项等差数列{a n}和等比数列{b n}，数列{a n}前n项和为S n，满足a2＝2b2－1．a3=b3＋2，_______.（1）求{a n}和{b n}的通项公式；（2）数列{a n}和{b n}中的所有项分别构成集合A，B，将A①B的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{c n}，求数列{c n}的前70项和.20．（本题满分12分）如图，在四棱锥中P﹣ABCD，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝2，BC＝4，PA＝2．（1）求证：AB⊥PC；（2）点M在线段PD上，二面角M﹣AC﹣D的余弦值为33，求三棱锥M﹣ACB体积．21．(本小题满分12分)已知抛物线C：y2＝4x，点M(a，0) (a＞0)，直线l过点M且与抛物线C相交于A，B两点．（1）若a＝2，直线l的斜率为2，求AB的长；第20题（2）在x 轴上是否存在异于点M 的点N ，对任意的直线l ，都满足AN BN ＝AMBM ? 若存在，指出点N 的位置并证明，若不存在请说明理由．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x +a +b sin x －1的图象在原点处的切线方程为y =2x ． (1)求函数y ＝f (x )的解析式． (2)证明：f (x )≥2x ．。

2021届全国金太阳联考新高三原创预测试卷(一)理科数学

2021届全国金太阳联考新高三原创预测试卷(一)理科数学
【答案】B
【解析】
【分析】
根据 在 上投影为 ，以及 ，可得 ；再对所求模长进行平方运算，可将问题转化为模长和夹角运算，代入 即可求得 .
【详解】 在 上投影为 ，即
又
本题正确选项：
【点睛】本题考查向量模长的运算，对于含加减法运算的向量模长的求解，通常先求解模长的平方，再开平方求得结果；解题关键是需要通过夹角取值范围的分析，得到 的最小值.
【答案】A
【解析】
【分析】
考虑既属于 又属于 的集合，即得.
【详解】 .
故选：
【点睛】本题考查集合的交运算，属于基础题.
2.已知复数z满足 ,则 在复平面上对应的点在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】
设 ，由 得： ，由复数相等可得 的值，进而求出 ，即可得解.
该几何体的体积为 ，
故选：D.
【点睛】本题考查三视图，几何体的体积，对于二十四等边体比较好的处理方式是由正方体各棱的中点得到，属于中档题.
11.定义 ，已知函数 ， ，则函数 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据分段函数 定义得 ， ，则 ,再根据基本不等式构造出相应的所需的形式，可求得函数的最小值.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）由已知条件和正弦定理进行边角互化得 ，再根据余弦定理可求得值.
（2）由正弦定理得 ， ，代入得 ，运用三角形的面积公式可求得其值.
【详解】（1）由 及正弦定理得 ，即
由余弦定理得 ， ， .
（2）设 外接圆的半径为 ，则由正弦定理得 ，

扬州市2021-2022学年高二上学期期末四校联考数学试卷(解析版)

扬州市2021-2022学年高二上学期期末四校联考数学试卷(解析版)

扬州市2021-2022学年度第一学期期末四校联考 高二数学试题 2022.01一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的）.1.（苏教版教材课本P98页第3题）若双曲线经过点（），且它的两条渐近线方程是3y x =，则双曲线的方程是（ ）A. 2219y x -=B. 219x y -=C. 221273y x -= D. 221273x y -=【答案】A2.(苏教版教材P9页第7题)设m 为实数，过两点222(2,3),(3,2)A m m B m m m +---的直线l 的倾斜角为45︒。

求m 的值（ ）A. 12m m =-=-或B. 2m =-C. 12m = D. 1m =- 【答案】B3. (2021年全国新课标卷1卷)等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（ ）A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B4.（苏教版教材P71页14题改编）已知直线12:230,:230l x y l x y --=-+=，若圆C 的圆心在x 轴上，且圆C 与直线12,l l 都相切，求圆C 的半径（ ）A.B. C. D. 98155或 【答案】C5. (2021年全国新课标卷1卷)已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF ∠=︒=，则C 的离心率为（ ）A.72B.132C.7D.13【答案】A6.( 2019新人教版A 选择性必修二P55页3（2）)《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目,请给出答案：把100个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份为（ ） A.53 B. 103 C. 56 D. 116【答案】A7.(苏教版教材P215页10)设a R ∈,若3()axy e x x R =+∈有大于零的极值点，则（ ）A.3a >-B. 3a <-C. 1-3a > D. 1-3a < 【答案】B8. 已知f (x )为R 上的可导函数，其导函数为f ′(x )，且对于任意的x ∈R ，均有f (x )＋f ′(x )>0，则( ) A ．e －2 021f (－2 021)>f (0)，e 2 021f (2 021)<f (0) B ．e－2 021f (－2 021)<f (0)，e 2 021f (2 021)<f (0) C ．e－2 021f (－2 021)>f (0)，e 2 021f (2 021)>f (0) D ．e－2 021f (－2 021)<f (0)，e 2 021f (2 021)>f (0)【答案】D二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对得5分，部分选对得2分，有项选错得0分）.1. 9. 已知三个数1,,9a 成等比数列，则圆锥曲线22+=12x y a 的离心率为（ ）.A.B.C.2D. 【答案】BC10. (苏教版教材P168页16题改编)设数列{a }n 满足：1=1a ，且对任意的*n N ∈,都有121n n a a +=+，n S 为数列{a }n 的前n 项和，则（ ）A.{a }n 为等比数列；B. a =21nn -C.1{}a +1n 为等比数列 D. 2n n S n =- 【答案】BC11．(2021 新课标全国1卷)已知点P 在圆()()225516x y -+-=上,点()4,0A 、()0,2B ,则（ ）A. 点P 到直线AB 的距离小于10B. 点P 到直线AB 的距离大于2C. 当PBA ∠最小时,PB = D. 当PBA ∠最大时,PB =【答案】ACD12. （来源于苏教版、人教版教材）下列结论正确的是（ ） A.当(0,),sin x x x π∈>； B. 10,1ln x x x >-≥当 C. 211)-x x e e +≥（ D.21x x>- 【答案】AC三、填空题：(本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应．．．．．位置．．上.) 13. 直线y ＝x －1过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，且与C 交于A ，B 两点，则|AB |＝ ． 【答案】814. (2021 新高考全国1卷)曲线212x y x -=+在点()1,3--处的切线方程为__________． 【答案】520x y -+=15. （2021·全国·高考真题）函数()212ln f x x x =--的最小值为______. 【答案】116. (2021 新高考全国1卷)某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折,规格为20dm 12dm ⨯的长方形纸,对折1次共可以得到10dm 12dm ⨯,20dm 6dm ⨯两种规格的图形,它们的面积之和21240dm S =,对折2次共可以得到5dm 12dm ⨯,10dm 6dm ⨯,20dm 3dm ⨯三种规格的图形,它们的面积之和22180dm S =,以此类推,则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折n 次,那么1nkk S==∑______2dm .(本小题第一空2分，第二空3分）【答案】 (1). 5 (2). ()41537202n n -+-解答题：（本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本题10分）（2019新人教版A 选择性必修二P66页4题）已知ABC ∆的顶点A(1,5),边AB 上的中线CM 所在的直线方程为250x y --=，边AC 上的高BH 所在直线方程为250x y --=，求（1）顶点C 的坐标；（2）直线BC 的方程； 【答案】（1） 设 C 点的坐标为,)x y （，则由题知25033,1511112x y x C y y x --=⎧=⎧⎪∴-⎨⎨==-⎩⎪-⎩得点坐标为（） ---------------------------------------5分 （2）设B 点的坐标为,)n （m ，则中点M 坐标15,)22m n ++（代入中线CM 方程 则由题知25077,115125022m n m B m n n --=⎧=⎧⎪∴⎨⎨++=--=⎩⎪⎩得点坐标为（）,则直线BC 方程为1y = ---------------------------------------5分18.（本题12分）(苏教版教材P56页7题类似)已知圆M 过A ，(10,4)B ,且圆心M 在直线y x =上.（1）求圆M 的标准方程；（2）过点(0,4)-的直线m 截圆M 所得弦长为m 的方程； 【答案】（1）圆心M在直线y x =上，∴设圆M 的标准方程为：222()()x a ya r -+-=，圆M 过点A ，(10,4)B ，222222)()(10)(4)a a r a a r ⎧+=⎪∴⎨-+-=⎪⎩，解得46a r =⎧⎨=⎩ ∴圆M 的标准方程为22(4)(4)36x y -+-=.-----------------------------6分（2）①当斜率不存在时，直线m 的方程为：0x =，直线m 截圆M 所得弦长为l =8分②当斜率存在时，设直线m ：4y kx =-，圆心M 到直线m 的距离为d ==∴根据垂径定理可得，222r d =+，∴216=，解得34k =．-----10分∴直线m 的方程为34160x y --=，或0x =.-----------------------12分19. （本题12分）(2021 新高考全国1卷)已知数列{}n a 的各项均为正数，记n S 为{}n a 的前n 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①数列{}n a 是等差数列：②数列{}nS 是等差数列；③213aa =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】【详解】选①②作条件证明③：设{}-1(0)2-=n n n nS an b a S S a S =+>≥，(n 时，，故是等差数列成立），则()2n S an b =+，--------------------------------------------------------3分当1n =时，()211a S a b ==+；------------------------------------------5分 当2n ≥时，()()221n n n a S S an b an a b -=-=+--+()22a an a b =-+；------8分因为{}n a 也是等差数列，所以()()222a b a a a b +=-+，解得0b =；-------10分所以()221n aa n =-，所以213a a =.-------------------------------------12分选①③作条件证明②：因为213a a =，{}n a 是等差数列， 所以公差2112d a a a =-=， 所以()21112n n n S na d n a -=+=，即1n S a n =， 因为()11111n n S S a n a n a +-=+-=，所以{}nS 是等差数列.选②③作条件证明①：设(0)nS an b a=+>，则()2nS an b=+，当1n=时，()211a S a b==+；当2n≥时，()()221n n na S S anb an a b-=-=+--+()22a an a b=-+；因为213a a=，所以()()2323a ab a b+=+，解得0b=或43ab=-；当0b=时，()221,21na a a a n==-，当2n≥时，2-1-2n na a a=满足等差数列的定义，此时{}n a为等差数列；当43ab=-时，4=3nS an b an a=+-，13aS=-<不合题意，舍去.综上可知{}n a为等差数列.20. （本题12分）（2021江苏高考真题）已知椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>（1）证明：a；（2）若点9,10M⎛⎝⎭在椭圆C的内部，过点M的直线l交椭圆C于P、Q两点，M为线段PQ的中点，且OP OQ⊥.①求直线l的方程；②求椭圆C的标准方程.【答案】（1）cea==ba∴=a；------4分（2）①由（1）知，椭圆C的方程为222213x yb b+=，即22233x y b+=，当9,10⎛⎝⎭在椭圆C的内部时，22293310b⎛⎛⎫+⋅<⎪⎝⎭⎝⎭，可得b>设点()11,P x y、()22,Q x y，则121292102x xy y+⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩1212y yx x+=+22211222223333x y bx y b⎧+=⎨+=⎩，两式作差得()()()()1212121230x x x x y y y y+-++-=，所以()12121212133y y x x x x y y -+⎛=-=-⨯= -+⎝ 所以，直线l方程为910y x ⎛⎫-=- ⎪ ⎭⎝⎭，即y 所以，直线l0y -；--------------------------------8分②联立)222331x y by x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，消去y 可得221018930x x b -+-=.()222184093120360b b ∆=--=->，由韦达定理可得1295x x +=，2129310b x x -=，--------------------------10分又OP OQ ⊥，而()11,OP x y =，()22,OQ x y =，))()12121212121211433OP OQ x x y y x x x x x x x x ∴⋅=+=--=-++()22293271566055b b --+-===，解得21b =合乎题意，故2233a b ==，因此，椭圆C 的方程为2213x y +=.-------------------------------------12分21.（本题12分）数列{}n a 中，112a =-，()*1212,n n a a n n n -=--≥∈N ，设n n b a n =+． （1）求证：数列{}n b 是等比数列； （2）求数列{}n nb 的前n 项和n T ；（3）若12n n n c a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，n P 为数列212n n n n c c c c +⎧⎫+⎨⎬+⎩⎭的前n 项和，求不超过2021P 的最大的整数．【答案】（1）将121n n a a n -=--两边都加2n ，得()()121n n a n a n -+=+-，而1112a +=，即有()1112n n a n a n -+=+-，又n n b a n =+，则()*112,2n n b n n b -=≥∈N ，11112b a =+=， 所以数列{}n b 是首项为12，公比为12的等比数列；——————————————4分 （2）由（1）知，1()2nn b =，则1()22nn n n nb n =⋅=， 234112341222222n n n n nT --=++++++， 234511123412222222n n n n nT +-=++++++， 因此，2341111111111222222222n n n n n n n T ++=+++++-=--， 所以222n n nT +=-；——————————————————————————8分 （3）由（2）知1()2nn b =，于是得1()2n n n a b n n =-=-，则n c n =，因此，()2212211111111n n n n c c n n c c n n n n n n ++++==+=+-++++，———————————10分20211111111111(1)(1)(1)(1)(1)1223342020202120212022P =+-++-++-+++-++-120222022=-所以不超过2021P 的最大的整数是2021．——————————————————12分 22.（本题12分）已知函数2()(2)(0)x x f x e a e ax a =-++> （1）求函数()f x 的单调区间；（2）设()()(2)(1)x g x f x a e ax x =++-+在()0,∞+上存在极大值M ，证明：4a M <. 【答案】1）由题意，函数2()(2)(0)x x f x e a e ax a =-++>，则2()2(2)(2)(1)x x x x f x e a e a e a e '=-++=--，——————————————2分当2a =时，令2()02(1)x e f x -'=≥，所以函数()f x 单调递增； 当2a >时，令()0f x '>，即(2)(1)0x x e a e -->，解得ln2ax >或0x <， 令()0f x '<，即(2)(1)0x x e a e --<，解得0ln2a x <<， 所以函数()f x 在区间(),0,ln,2a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在区间0,ln 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭中单调递减， 当02a <<时，令()0f x '>，即(2)(1)0x x e a e -->，解得0x >或ln 2ax <， 令()0f x '>，即(2)(1)0x x e a e -->，解得ln02ax <<， 所以函数()f x 在(),ln,0,2a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在ln ,02a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减. —————4分 综上所述：当02a <<时，函数()f x 在(),ln,0,2a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在ln ,02a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减； 当2a =时，令2()02(1)x e f x -'=≥，所以函数()f x 在R 上单调递增；当2a >时，函数()f x 在区间(),0,ln,2a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在区间0,ln 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭中单调递减. ——————5分 （2）由函数22()x g x e ax =-，则2()2()x g x e ax '=-，令2()x m x e ax =-，可得2()2x m x e a '=-令()0m x '=，解得1ln 22ax =， 当02a <≤时. ()0m x '>，函数()m x 在()0,∞+ 单调递增，此时()(0)1m x m >=， 所以()0g x '>，函数()g x 在()0,∞+上单调递增，此时不存在极大值，————7分当2a >时，令()0,m x '> 解得1ln 22a x >，令()0m x '<，解得1ln 22a x <， 所以()'g x 在10,ln 22a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 因为()g x 在()0,∞+上存在极大值，所以1(ln )ln 0222a ag a a '=-<，解得2a e >， ——————9分因为2ln 1(0)20,(=20,(ln )22ln 2(ln )02ag g e a g a e a a a a a '''=>-<=-=->），11ln ln 222aa << 易证明ln 0a a ->，存在11(0,)2x ∈时，()1211220xg x e ax '=-=，存在21(ln,ln )22ax a ∈使得2()0g x '=， 当()g x 在区间()10,x 上单调递增，在区间()12,x x 单调递减，所以当1x x =时，函数()g x 取得极大值M ，即1221x M e ax =-，1102x <<， 由112211220,x x eax e ax -==，所以1222111()244x a aM e ax a x =-=--+<——————————————————12分。

【九省联考模式】江苏省四校联合2024届高三新题型适应性考试数学试题

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加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好! 经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！1江苏省四校联合2024届高三新题型适应性考试数 学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．使用斜二测画法作一个五边形的直观图，则直观图的面积是原来五边形面积的A ．12倍 B C ．14倍 D 倍 2．已知a ，b 是两个不共线的单位向量，向量 (,)c a b λµλµ=+∈R，则“0λ>且0µ>”是“()0c a b ⋅+>”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，41S =，84S =，则17181920a a a a +++=A ．7B ．8C ．9D ．104．设i 为虚数单位，若复数1i1ia −+为纯虚数，则a = A ．1−B ．1C ．0D ．25．甲、乙、丙、丁四人参加书法比赛，四人对于成绩排名的说法如下．甲说：“乙在丙之前”，乙说：“我在第三名”，丙说：“丁不在第二名，也不在第四名”，丁说：“乙在第四名”．若四人中只有一个人的说法是错误的，则甲的成绩排名为 A ．第一名B ．第二名C ．第三名D ．第四名6．已知P 为抛物线24x y =上一点，过P 作圆22(3)1x y +−=的两条切线，切点分别为A ，B ，则cos APB ∠的最小值为 A ．12B ．23C ．34D ．787．若全集为U ，定义集合A 与B 的运算：{|}A B x x A B x A B ⊗=∈∉ 且，则()A B B ⊗⊗= A ．A B ．BC ．U A BD ．U B A8．设14a =，112ln(sin cos )88b +，55ln 44c =，则A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．b a c <<二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

江苏省常熟市第一中学2025届高三两校下学期联考数学试题

江苏省常熟市第一中学2025届高三两校下学期联考数学试题

江苏省常熟市第一中学2025届高三两校下学期联考数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．2(1ii +=- ) A ．132i +B ．32i+ C ．32i- D ．132i-+ 2．连接双曲线22122:1x y C a b -=及22222:1y x C b a-=的4个顶点的四边形面积为1S ，连接4个焦点的四边形的面积为2S ，则当12S S 取得最大值时，双曲线1C 的离心率为（ ） AB．2CD3．若0,0a b >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数13()4sin 2,0,63f x x x π⎛⎫⎡⎤=-∈π ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，若函数()()3F x f x =-的所有零点依次记为123,,,...,n x x x x ，且123...n x x x x <<<<，则123122...2n n x x x x x -+++++=（ ）A ．503πB ．21πC ．1003πD ．42π5．已知正项等比数列{}n a 满足76523a a a =+，若存在两项m a ，n a ，使得219m n a a a ⋅=，则19m n+的最小值为（ ）. A ．16 B ．283C ．5D ．46．函数()5sin 20312f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值域为（ ）A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,1D ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点.若2211||,||,||,||QF PF PF QF 依次构成等差数列，且1||PQ PF =，则椭圆C 的离心率为A ．23B ．34C ．155D ．105158．已知函数()2tan()(0)f x x ωω=>的图象与直线2y =的相邻交点间的距离为π，若定义{},max ,,a a ba b b a b⎧=⎨<⎩，则函数()max{()h x f x =，()cos }f x x 在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭内的图象是( ) A ． B ．C ．D ．9．已知，都是偶函数，且在上单调递增，设函数，若，则（ ）A ．且B ．且C ．且D ．且10．已知双曲线2222:1(0)x y M b a a b -=>>的焦距为2c ，若M 的渐近线上存在点T ，使得经过点T 所作的圆222()a c y x +=-的两条切线互相垂直，则双曲线M 的离心率的取值范围是（ ）A ．2]B ．(2,3]C ．2,5]D ．3,5]11．给出50个数 1，2，4，7，11，，其规律是：第1个数是1，第2个数比第1个数大 1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，以此类推，要计算这50个数的和．现已给出了该问题算法的程序框图如图，请在图中判断框中的①处和执行框中的②处填上合适的语句，使之能完成该题算法功能( )A ．i 50≤；p p i =+B ．i 50<；p p i =+C ．i 50≤；p p 1=+D ．i 50<；p p 1=+12．若集合{|2020}A x N x =∈=，22a = ）A ．{}a A ⊆B ．a A ⊆C ．{}a A ∈D ．a A ∉二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024届江苏省百师联盟高三下学期开年摸底联考数学试题及答案

2024届江苏省百师联盟高三下学期开年摸底联考数学试题及答案

2024届高三开年摸底联考数学试题1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号，座位号、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合210,14A x x B −≤=≥=，则A B = （ ） A ．10,2B ．10,2C ．(]0,1D ．[]0,12．复数()32i2ia a z−∈R 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．命题“221,log 0x x ∀<−>”的否定为（ ） A ．221,log 0x x ∀<−≤B ．221,log 0x x ∀≥−>C ．221,log 0x x ∃≥−>D ．221,log 0x x ∃<−≤4．若双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的实轴长为2，则双曲线的左焦点F 到一条渐近线的距离为（ ）AB ．C ．1D ．25．，下底面半径为的圆台存在内切球（与上、下底面及侧面都相切的球），则该圆台的体积为（ ）A ．B ．56πC D ．563π6．已知实数,m n 满足10m n >>>，设ln ln ln ,,n m n a m b n c n ==，则（ ）A ．a b c =>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c a b >=7．在ABC △中，D 为边BC 上一点，2,4,23DAC AD AB BD π∠===，且ADC △的面积为sin ABD ∠=（ ）A B C D 8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若m n ≠，且221122,m nn m a a a a nm +=+=，则m n S +=（ ） A ．2()m n +B ．2()m n −+C ．22m n −D ．22n m −二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是（ ）A ．若随机变量()2,0.2XB ∼，则()20.2P X ==B ．若经验回归方程 y x ba =+ 中的0b > ，则变量x 与y 正相关 C ．若随机变量()20,N ξσ∼，且12P p ξ <−= ，则11022P p ξ<<=−D ．若事件A 与B 为互斥事件，则A 的对立事件与B 的对立事件一定互斥10．已知函数()22sin cosf x x = ） A ．π为()f x 的一个周期B ．()f x 在3,22ππ−上有2个零点C ．()f x 在3x π=−处取得极小值D ．对()()1221,,f x f x x x ≤−∀∈R11．已知定义在R 上的函数()22yf x +为奇函数，且对x ∀∈R ，都有1322f x f x+=−，定义在R 上的函数()f x ′为()f x 的导函数，则以下结论一定正确的是（ ） A ．()2f x +为奇函数B ．1722f f=C ．1322f f =− ′′D ．()f x ′为偶函数三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．小明上学要经过两个有红绿灯的路口，已知小明在第一个路口遇到红灯的概率为14，若他在第一个路口遇到红灯，第二个路口没有遇到红灯的概率为34，在第一个路口没有遇到红灯，第二个路口遇到红灯的概率为14，则小明在第二个路口遇到红灯的概率为_______． 13．已知,0,2παβ∈，若sin sin2cos cos P αβαβ=+，则P 的最大值为_______．14．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，直线l 与抛物线C 相切于点P （异于坐标原点O ），与x 轴交于点Q ，若2,1PF FQ ==，则p =_______；向量FP 与PQ的夹角为_______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数()1e xf x ax =+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若直线1y =与曲线()y f x =相切，求a 的值．（15分）如图，在三棱台111ABC B C −中，11122AB AC A B AA ====，113A AB A AC π∠=∠=，2BAC π∠=．（1）证明：111A A B C ⊥；（2）求直线1BB 与平面1A ACC 所成角的正弦值．17．（15分）某数学兴趣小组模拟“刮刮乐”彩票游戏，每张彩票的刮奖区印有从10个数字1，2，3，…，10中随机抽取的3个不同数字，刮开涂层即可兑奖，中奖规则为：若3个数的积为3的倍数且不为5的倍数时，中三等奖；若3个数的积为5的倍数且不为3的倍数时，中二等奖；若3个数的积既为3的倍数，又为4的倍数，且为7的倍数时，中一等奖；其他情况不中奖． （1）随机抽取一张彩票，求这张彩票中奖的概率； （2）假设每张彩票售价为()*a a ∈N元，且三、二、一等奖的奖金分别为5元，10元，50元，从出售该彩票可获利的角度考虑，求a 的最小值．18．（17分）已知椭圆22:143x y C +=的右焦点为,F A 为椭圆上一点，O 为坐标原点，直线OA 与椭圆交于另一点B ，直线AF 与椭圆交于另一点D （点B D 、不重合）． （1）设直线,AD BD 的斜率分别为,AD BD k k ，证明：34AD BD k k ⋅=−；（2）点P 为直线4x =上一点，记,,PA PF PD 的斜率分别为123,,k k k ，若12324k k k ++=，求点P 的坐标． 19．（17分）在数列{}n a 中，若存在常数t ，使得()*1123n n a a a a a t n +=+∈N 恒成立，则称数列{}na 为“()H t 数列”． （1）若11n c n=+，试判断数列{}n c 是否为“()H t 数列”，请说明理由； （2）若数列{}n a 为“()H t 数列”，且12a =，数列{}n b 为等比数列，且2121log nin n i aa b t +==+−∑，求数列{}n b 的通项公式；（3）若正项数列{}n a 为“()H t 数列”，且11,0a t >>，证明：ln 1n n a a <−．2024届高三开年摸底联考 数学参考答案及评分意见1．B 【解析】(]11,,0,122A B=−=，所以10,2A B=．故选B ． 2．C 【解析】1332i 2i 2i 2a a z −−=−−=，因为120a −>，所以复数z 在复平面内对应的点在第三象限．故选C ．3．D 【解析】全称量词命题的否定为存在量词命题，所以“221,log 0x x ∀<−>”的否定为“221,log 0x x ∃<−≤”．故选D ．4．A 【解析】设双曲线的焦距为2c，由题，1,ca e a===，得c =，故2222b c a =−=，所以()F ，不妨取渐近线y =，则左焦点F到渐近线y =．故选A ． 5．D 【解析】由题可得圆台的母线长为4h，所以该圆台的体积(15642833V πππ=××++=，故选D ． 6．D 【解析】因为10m n >>>，所以ln ln m n >，又x y n =为减函数，所以ln ln mn nn <，即b c <，又ln ln ln ln ln ln ,ln ln ln ln n m a m m n b n m n ==⋅==⋅，故a b =，所以c a b >=，故选D ． 7．A【解析】11sin 422ADC S AD AC DAC AC =×××∠=××△，解得4AC =，所以ADC △为等腰三角形，6ADC π∠=，故56ADB ABD π∠=⋅△中，由正弦定理得sin sin AB BDADB BAD=∠∠，即21sin 2BDBD BAD =∠，得1sin 4BAD ∠=．因为56ADB π∠=，所以BAD ∠为锐角，故cos BAD ∠()1sin sin sin cos 26ABD ADC BAD BAD BAD BAD π =−=∠∠==−∠−∠∠∠．故选A ．8．B 【解析】由题，()()2211,22n m n m n a a m a a m S n S ++====，所以()2112m m d n a m −+=①，()2112n n d m a n −+=②，两式作差得()222212m n m n a m n d n m −−+−+=−，化简得()112m n a d m n +−+=−+，即()()()211()2m n m n a m n d m n ++−++=−+，所以2()m n S m n +=−+，故选B ．9．BC 【解析】222(2)C (0.2)0.04P X ===，A 错误；若经验回归方程 y bx a =+ 中斜率0b > ，则变量x 与y 正相关，B 正确；易得正态曲线关于直线0x =对称，故1(0)2P x >=，又1122P P p ξξ >=<−=，所以11022P p ξ <<=−，C 正确；掷一枚骰子，设事件:A 出现的点数为1，事件:B 出现的点数为2，则A 与B 互斥，但A 与B 不互斥，D 错误．故选BC ．10．BC 【解析】()()()222sin cos 2sin sin 22x x f x x x f x πππ+ ++=≠=−，A 错误；令()0f x =，得sin 0x =或cos02x =，当3,22x ππ ∈− 时，解得0x =或x π=，故()f x 在3,22ππ−上有2个零点，B 正确；()()222sin cossin sin cos ,2cos cos 12xf x x x x x f x x x ==+=+−′，令()0f x ′=，得cos 1x =−或1cos 2x =，且当,3x ππ ∈−− 时，()()0,f x f x ′<单调递减，当,03x π∈−时，()()0,f x f x ′>单调递增，所以()f x 在3x π=−处取得极小值，C 正确；可知()f x 的极大值为23f k k ππ+=∈Z ，这个极大值即为函数的最大值，()f x 的极小值为23f k k ππ−∈Z ，这个极小值即为函数的最小值，故()()1221,,f x f x x x −∀∈≤R ，D 错误．故选BC ． 11．ACD 【解析】因为()22f x +为奇函数，所以()()2222f x f x −+=−+，所以()()22f x f x −+=−+，故()2f x +为奇函数，A 正确；又1322f x f x +=−，故()()11f x f x +=−，所以()()()22f x f x f x =−=−+，故()()4f x f x +=，所以()f x 是以4为周期的周期函数，所以1722f f=− ，且不能确定1122f f=−一定成立，故B 错误；因为()()11f x f x +=−，所以()()11f x f x +=−′−′，所以1322f f=− ′′，C 正确；因为()()22f x f x −+=−+，所以()()22f x f x −+=′+′，故()()4f x f x ′′−=+，又()()4f x f x ′′=+，所以()()f x f x ′−=′，所以()f x ′为偶函数，D 正确，故选ACD ． 12．14【解析】记“小明在第一个路口遇到红灯”为事件A ，“小明在第二个路口遇到红灯”为事件B ，则()()31,44P AP B B A ==，又()()31,44A P P A ==，所以()()()PB P A P B A =+()()P A P B A =1131144444×+×=． 13．54【解析】()P αϕ+，其中cos 1tan sin22sin βϕββ==，所以()sin αϕ+的最大值为1，设t 25cos 8β=时，t 取得最大值54，所以P 的最大值为54． 14．1；56π 【解析】由题得0,2p F ，设2,2t P t p，由22x py =得22x y p =，求导得x y p ′=，所以直线l 的斜率t k p =，则直线l 的方程为()22t ty x t p p −−，易得,02t Q ，所以22,122t pPF FQ p +，解得1,p t ==．当t =时，)3,2FP PQ =−，则cos ,FP PQ FP PQ PQ FP ⋅==[],0,FP PQ π∈，故向量FP 与PQ 的夹角为56π，当t =56π．（第一空2分，第二空3分） 15．解：（1）()f x 的定义域为()1,e xf x a =−′R ， 当0a ≤时，()()0,f x f x ′<单调递减； 当0a >时，令()0f x ′=，得ln x a =−， 当(),ln x a ∈−∞−时，()()0,f x f x ′<单调递减； 当()ln ,x a ∈−+∞时，()()0,f x f x ′>单调递增． 综上，当0a ≤时，()f x 在R 上单调递减；当0a >时，()f x 在(),ln a −∞−上单调递减；在()ln ,a −+∞上单调递增． （2）由题，()1e xf x a −′=，设切点为()()00,x f x ，则()0010ex f x a =−=′， 易知0a >，故0ln x a =−． 又()01f x =，即0011e x ax +=，将0ln x a =−代入，得ln 10a a a −−=． 设()ln 1(0)h x x x x x =−−>，则()ln h x x ′=−． 当()0,1x ∈时()()0,h x h x ′>单调递增； 当()1,x ∈+∞时()()0,h x h x ′<单调递减． 所以()()10h x h ≤=，所以1a =．16．（1）证明：取BC 中点D ，连接111,,,A B AC A D AD ．因为AB AC =，所以AD BC ⊥．因为11,3A AB A AC AB AC π∠=∠==，且1A A 是公共边，所以()11SAS A AB A AC △≌△， 所以11AC A B =， 所以1A D BC ⊥．因为11,,AD A D D AD A D =⊂ 平面1A AD ，所以BC ⊥平面1A AD ． 又因为1A A ⊂平面1A AD ， 所以1A A BC ⊥． 又11BC B C ∥， 所以111A A B C ⊥（2）解：如图，过点1A 作AD 的垂线，垂足为O ，过点O 作OF 垂直于AB ，垂足为F ，连接1A F ．不难得出，11,O AB AO OF AO ⊥= ，则AB ⊥平面1AOF ．又1A F ⊂平面1AOF ，则1AB A F ⊥．由1,32A AF BAC ππ∠=∠=，可得12,2,4AF OF AO AO OD BD ======． 过点O 作BC 的平行线，交AB 于点E ，由（1）得1,,OE OD OA 三条直线两两垂直，分别以1,,OE OD OA 为x ，,y z 轴建立空间直角坐标系，则()()()()()110,2,0,4,2,0,0,0,2,4,2,0,2,2,2A C A B B −−，()()()111110,2,2,4,4,0,2,0,2AA AC BB BA AA A B ==−=++=−． 设平面11A ACC 的一个法向量为(),,m x y z =， 则10,0,m AA m AC ⋅= ⋅=即220,440.y z x y += −+= 令1x =，得1,1y z ==−，所以()1,1,1m =− ．又直线1BB 的一个方向向量()2,0,2n =−，所以cos ,m nm n nm ⋅===⋅， 所以直线1BB 与平面1A ACC．17．解：（1）获得三等奖的概率()321111233522343310C C C C C 1C C 13C 40P ++++==； 获得二等奖的概率122125252310C C C C 5C 24P +==； 获得一等奖的概率1111111221141310C C C C C C 1C 15P +==． 所以随机抽取一张彩票，这张彩票中奖的概率12379120P P P P =++=． （2）一张彩票的奖金ξ的取值可能为0，5，10，50元，其分布列为：所以ξ的期望()21351169051050540241524E ξ=×+×+×+×=． 若盈利，需()16924a E ξ>=，因为*a ∈N ，故a 的最小值为818．（1）证明：设()()0011,,,D x y A x y ，则()11,B x y −−，则2210101022010101AD BD y y y y y y k k x x x x x x −+−=×⋅=−+−． 又222211001,14343x y x y +=+=，两式作差得：22220101043x x y y −−+=，即2201220134y y x x −=−−， 所以34AD BD k k ⋅=−，得证．（2）解：由题，A 不与长轴两端点重合，设()4,,0P m m ≠，直线:1AF x ty =+， 与椭圆方程联立，并消去x 得()2234690t y ty ++−=． 设()()1122,,,A x y D x y ，则12122296,3434t y y y y t t −−+==++， 所以20413m m k −==−， ()()()()()()211212131212444444x m y x m y m y m y k k x x x x −−+−−−−+=+=−−−−． 又11221,1x ty x ty =+=+，代入上式化简得()()()()22212121322221212223618663222234341899333393434tm t t m m tm y y ty y mt m m t t k k t t t y y t y y t t t +×+−++−+++++====−++++−++， 所以1234243m k k k ++==．故3m =， 所以点P 的坐标为()4,3．19．（1）解：数列{}n c 不是“()H t 数列”．理由如下：因为111n n c n n +=+=，所以121n n c n ++=+． 又1223411123n n c c c n n+=××××=+ ， 所以()11221111n nn c c c c n n n n ++=−−+=−++ ， 因为11n n −+不是常数，所以数列{}n c 不是“()H t 数列”． （2）解：因为数列{}n a 为“()H t 数列”，由2121log n i n n i aa b t +==+−∑，得21221log ni n n i a a a a b ==+∑ ，所以12121121log n i n n n i a a a a a b +++==+∑ ，两式作差得：()21111221log n n n n n b a a a a a b +++=−+ ． 又数列{}n a 为“()H t 数列”，故112n n a t a a a +−= ．设数列{}n b 的公比为q ，所以()()211121log n n n a a a t q +++=−−+，即()()121log 0n t a t q ++−+=对*n ∀∈N 成立，则210,log 0,t t q += +=得1,2t q =−=． 又2111212,log a a a b ==+，得14b =， 所以11422n n n b −+=×=，所以数列{}n b 的通项公式为12n n b +=．（3）证明：设函数()ln 1f x x x =−+，则()111x f x x x−=−=′， 当()1,x ∈+∞时，()0f x ′<，则()f x 在()1,+∞上单调递减，且()()10f x f <=． 因为数列{}n a 为“()H t 数列”，则()*112n n a a a a t n +−=∈N ． 因为11,0a t >>，则2111a a t a =+>>，故312121a a a t a a =+>>， 以此类推，可得对*,1n n a ∀∈>N ，所以()()10n f a f <=，即ln 10n n a a −+<，所以ln 1n n a a <−．得证．。

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2021届江苏省联考高三年级第四次试卷
数学文试题
第I 卷（必做题，共160分）
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）
1．已知集合A ＝{2，5}，B ＝{3，5}，则A B ＝ ． 2．已知复数z 满足
12i
i z
+=（i 为虚数单位），则复数z 的实部为 ． 3．A ，B ，C 三所学校举行高三联考，三所学校参加联考的人数分别为160，240，400，为了调查联考数学学科的成绩，现采用分层抽样的方法在这三所学校中抽取样本，若在B 学校抽取的数学成绩的份数为30，则抽取的样本容量为 ． 4．根据如图所示的伪代码，若输入的x 的值为2，则输出的y 的值 为 ．
5．某同学周末通过抛硬币的方式决定出去看电影还是在家学习，抛 一枚硬币两次，若两次都是正面朝上，就在家学习，否则出去看 电影，则该同学在家学习的概率为 ．
6．已知数列{}n a 满足11a =，且1130n n n n a a a a +++-=恒成立，则
6a 的值为 ． 第4题
7．已知函数()Asin()f x x ωϕ=+(A ＞0，ω＞0，ϕ＜2
π
)的部分图象如图所示，则(0)f 的值为 ．
第11题 第12题 第7题
8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22
221x y a b
-=(a ＞0，b ＞0)的焦距为2c ，若过右焦点且
与x 轴垂直的直线与两条渐近线围成的三角形面积为c 2，则双曲线的离心率为 ． 9．已知m ，n 为正实数，且m ＋n ＝mn ，则m ＋2n 的最小值为 ． 10．已知函数()4f x x x =-，则不等式(2)(3)f a f +>的解集为 ．
11．如图，在一个倒置的高为2的圆锥形容器中，装有深度为h 的水，再放入一 个半径为1
的不锈钢制的实心半球后，半球的大圆面、水面均与容器口相平，则h 的值为 ．
12．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝2，AD ＝4，E ，F 分别是BC ，CD 的中
点，若AE DE 1⋅=-，则AF CD ⋅的值为
．
13．函数()f x 满足()(4)f x f x =-，当x ∈[﹣2，2)时，3223 2()1, 2
x x a x a
f x x a x ⎧++-≤≤=⎨-<<⎩,，
若函数()f x 在[0，2020)上有1515个零点，则实数a 的范围为 ．
14．已知圆O ：2
2
4x y +=，直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，A(2，2)，若AP 2＋AQ 2＝40，则弦PQ 的长度的最大值为 ．
二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）
如图，已知在三棱锥P —ABC 中，PA ⊥平面ABC ，E ，F ，G 分别为AC ，PA ，PB 的中点，且AC ＝2BE ．
（1）求证：PB ⊥BC ；
（2）设平面EFG 与BC 交于点H ，求证：H 为BC 的中点．
16．（本小题满分14分）
在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若m ＝(a ，b ﹣c )，n ＝(sinA ﹣sinB ，sinB ＋sinC)，p ＝(1，2)，且m ⊥n ．
（1）求角C 的值； （2）求n p ⋅的最大值．
17．（本小题满分14分）
已知椭圆C ：22
221x y a b +=(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，左右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12
，
P 是椭圆上的一个动点（不与左，右顶点重合），且△PF 1F 2的周长为6，点P 关于原点的对
称点为Q ，直线AP ，QF 2交于点M ．
（1）求椭圆方程；
（2）若直线PF 2与椭圆交于另一点N ，且22AF M AF N 4S S =△△，求点P 的坐标．
18．（本小题满分16分）
管道清洁棒是通过在管道内释放清洁剂来清洁管道内壁的工具，现欲用清洁棒清洁一个如图1所示的圆管直角弯头的内壁，其纵截面如图2所示，一根长度为L crn 的清洁棒在弯头内恰好处于AB 位置（图中给出的数据是圆管内壁直径大小，θ∈(0，
2
π)）． （1）请用角θ表示清洁棒的长L ；
（2）若想让清洁棒通过该弯头，清洁下一段圆管，求能通过该弯头的清洁棒的最大长度．
19．（本小题满分16分）
已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的各项均为整数，它们的前n 项和分别为n S ，n T ，且1122b a ==，2354b S =，2211a T +=．
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求112233n n n M a b a b a b a b =++++；
（3）是否存在正整数m ，使得
1
m m m m
S T S T +++恰好是数列{}n a 或{}n b 中的项？若存在，求
出所有满足条件的m 的值；若不存在，说明理由． 20．（本小题满分16分）
已知函数4
()(1)e x
f x x
=-，()1a
g x x
=
-(a ∈R)（e 是自然对数的底数，e ≈2.718…）． （1）求函数()f x 的图像在x ＝1处的切线方程；
（2）若函数()
()
f x y
g x =
在区间[4，5]上单调递增，求实数a 的取值范围； （3）若函数()()()h x f x g x =+在区间(0，+∞)上有两个极值点1x ，2x (1x ＜2x )，且
1()h x m <恒成立，求满足条件的m 的最小值（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）
如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，且AD// BC ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2AD ＝2，侧面PAB 为等边三角形，且平面PAB ⊥平面ABCD ．
（1）求平面PAB 与平面PDC 所成的锐二面角的大小；
（2）若CQ CP λ=(0≤λ≤1)，且直线BQ 与平面PDC 所成角为
3
π
，求λ的值．
23．（本小题满分10分）
如图，正方形AGIC 是某城市的一个区域的示意图，阴影部分为街道，各相邻的两红绿灯之间的距离相等，A~I 处为红绿灯路口，红绿灯统一设置如下：先直行绿灯30秒，再左转绿灯30秒，然后是红灯1分钟，右转不受红绿灯影响，这样独立的循环运行．小明上学需沿街道从I 处骑行到A 处（不考虑A ，I 处的红绿灯），出发时的两条路线(I →F ，I →H)等可能选择，且总是走最近路线．
（1）请问小明上学的路线有多少种不同可能？
（2）在保证通过红绿灯路口用时最短的前提下，小明优先直行，求小明骑行途中恰好经过E 处，且全程不等红绿灯的概率；
（3）请你根据每条可能的路线中等红绿灯的次数的均值，为小明设计一条最佳的上学路线，且应尽量避开哪条路线？
备用图
参考答案。

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