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第五讲函数的定义域与值域回归课本1.函数的定义域函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围.注意:(1)确定函数定义域的原则:①当函数y=f(x)用表格给出时,函数的定义域是指表格中实数x的集合;②当函数y=f(x)用图象给出时,函数的定义域是指图象在x轴上投影所覆盖的实数的集合;原始点疗法③当函数y=f(x)用解析式给出时,函数的定义域是指使解析式有意义的实数的集合;④当函数y=f(x)由实际问题给出时,函数的定义域由实际问题的意义确定.(2)定义域可分为自然定义域与限定定义域两类:①如果只给函数解析式(不注明定义域),其定义域应为使解析式有意义的自变量的取值范围,称为自然定义域;②如果函数受应用条件或附加条件制约,其定义域称为限定定义域.(3)复合函数定义域的求法:若已知函数f(x)的定义域为[a,b],其复合函数f[g(x)]的定义域应由不等式a≤g(x)≤b解出.2.函数的值域在函数y=f(x)中,与自变量x的值相对应的y的值叫函数值,函数值的集合叫做函数的值域.注意:确定函数的值域的原则①当函数y=f(x)用表格给出时,函数的值域是指表格中实数y的集合;②当函数y=f(x)用图象给出时,函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合;③当函数y=f(x)用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域及其对应关系唯一确定;④当函数由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义确定.考点陪练0.51(43)33.,1.,443.(1,).,1(1,41.(2010))log x A B C D =-⎛⎫∞∞∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫++ ⎪⎝⎭g U 湖北函数的定义域为（）()0.5:log 4x 304x 3004x 31. A.,331,1,44x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭->-><-<解析由且得即函数的定义域是选答案:A[)[][)()2.(2010)y A.0, B.0,4C.0,4 D.0,1464x +∞-=g 重庆函数的值域是（） [)x1641:016416,04,y 0,4,.61C 64x x -<=-<=-解析由已知得≤≤即函数的值域是选答案:C3.函数y=x2-2x的定义域为{0,1,2,3},那么其值域为( )A.{-1,0,3}B.{0,1,2,3}C.{y|-1≤y≤3}D.{y|0≤y≤3}答案:A()()23111.,.,133111.,., 4.f x lg 3x 1333x x A B CD -⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫--- =++∞∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭函数的定义域是（）答案:B5.函数y=f(x)的值域是[-2,2],定义域是R,则函数y=f(x-2)的值域是( )A.[-2,2]B.[-4,0]C.[0,4]D.[-1,1]答案:A类型一函数的定义域解题准备:(1)已知解析式求定义域的问题,应根据解析式中各部分的要求,首先列出自变量应满足的不等式或不等式组,然后解这个不等式或不等式组,解答过程要注意考虑全面,最后定义域必须写成集合或区间的形式.(2)确定函数的定义域①当f(x)是整式时,其定义域为R.②当f(x)是分式时,其定义域是使得分母不为0的实数的集合.③当f(x)是偶次根式时,其定义域是使得根号内的式子大于或等于0的实数的集合.④对于x0,x不能为0,因为00无意义.⑤f(x)=tanx 的定义域为⑥f(x)=log a x(a>0且a≠1)的定义域为{x|x>0}.⑦由实际问题确定的函数,其定义域要受实际问题的约束,要具体问题具体分析.⑧分段函数的定义域是各段中自变量取值范围的并集.|,,.2x x R Z ππ+⎧⎫∈≠∈⎨⎬⎩⎭x k k 且⑨抽象函数f(2x+1)的定义域为(0,1),是指x∈(0,1)而非0<2x+1<1;已知函数f(x)的定义域为(0,1),求f(2x+1)的定义域时,应由0<2x+1<1得出x的范围即为所求.()22(2)91f x .lg x x x --=【典例】求函数的定义域[分析] 只需要使解析式有意义,列不等式组求解.()()2220,90,20 [],:3x 02x 3.3,02.33,3,.x x x x x x ⎧->⎪⎨--<<<<>⎪⎩><⎧⎨-<⎩-<⋃解要使函数有意义则只需要或即解得或故函数的定义域是类型二复合函数的定义域解题准备:已知f[g(x)]的定义域为x∈(a,b),求f(x)的定义域,其方法是:利用a<x<b,求得g(x)的范围,此即为f(x)的定义域.已知f(x)的定义域为x∈(a,b),求f[g(x)]的定义域,其方法是:利用a<g(x)<b,求得x的范围,此即为f[g(x)]的定义域.定义域经常作为基本条件出现在试题中,具有一定的隐蔽性.所以在解决函数问题时,必须按照“定义域优先”的原则,通过分析定义域来帮助解决问题.【典例2】(1)已知函数f(x)的定义域为[0,1],求下列函数的定义域:①f(x 2);②(2)已知函数f[lg(x+1)]的定义域是[0,9],则函数f(2x )的定义域为________.1).f x[分析] 根据复合函数定义域的含义求解. [解析] (1)∵f(x)的定义域是[0,1],∴要使f(x2)有意义,则必有0≤x2≤1,解得-1≤x≤1.∴f(x2)的定义域为[-1,1].[]()()[]()()[]()(]x x 011 2.1x 4(x 0,)1,42f lg x 10,9,0x 9,1x 110,0lg x 11f x 0,1.021,x 0.f 2,01.1)x x x f x ∴∴+⎡⎤⎣⎦∴+∴+∴∴--∞-Q ②由≤≤得≤≤≤≤≥时才有意义函数的定义域为的定义域为≤≤≤≤≤≤的定义域为由≤≤解得≤的定义域为[答案] [1,4] (-∞,0]类型三求函数的值域解题准备:求函数值域的总原则:由定义域､对应法则f在等价条件下,巧妙地转化为与y有关的不等式.求值域问题技巧性强,要根据题目特点确定合理的方法,因与函数的最值密切相关,常可转化为求函数的最值问题.2(1)12;4(2);(3);2(4):1.3y x x y x xsinx y cosxy x x =--=+=-=+-【典例】求下列函数的值域[分析] 本题主要考查函数值域问题,考查运算能力､数形转化的思想,对于(1),利用换元法转化为二次函数的值域问题;对于(2),利用基本不等式或利用函数的单调性求解;对于(3),由函数的有界性或由几何法求解;对于(4),用求导数法求解.()22112,2111(1)21(0),2[]1:t(t 0),x 2212y y .t x t t t t --==--=-++⎛⎤-∞ ⎥∴=∴∈⎝⎦解解法一≥得≤≥1,211,.12,221:12x 0,x y x,y ,y 11112,,.2222y x -∴∴∞==⎛⎤⎛⎤--- ⎥⎥⎝⎦⎝⎦⎛⎤--⨯=- ⎥⎝⎦∞∴∴∈∞Q Q 解法二≥≤定义域为函数在上均单调递增≤()(][)444,44(2:x 0,y x x 2,;x 0,y 4)(,x 2,.,,4,.)4x x xx x x x =⎡>=+=<==⎤--+--⎢⎥--=--∞-⋃-⎣⎦+∞g g 解法一当时≥当且仅当时取等号当时≤当且仅当时取等号综上所求函数的值域为()()()()()()()()(][)1212121121212112122:x ,x ,x x ,f x f x x x x 22x x ,f x ,2x 00x 2,f x .x 2,f x f 24,x 2,f x f 24,,4()(4)44,42.x x x x x x x x x <-=∴<≤-≤<-<<<⎛⎫--<=-=-=-===∴-∞-+-+= ⎪⎝⋃+∞⎭Q 极大极小解法二先证此函数的单调性任取且当或时递增当或时递减故时时所求函数的值域为()22222222 3:sinx ycosx 2y,cos sin sin(x )1,3111)2,111,122,|113333,,.333y 1,y 3y y cosx y y y y yy yy y y ϕϕϕ+==∴+++∴==++++=++⎡⎤-∴⎥⎦-⎢⎣g 解法一利用函数的有界性将原函数化为令且平方得≤≤≤原函数的值域为()()()()()()2222:.2,0cosx,sinx ,cosx,sinx x y 1,,x y 12,0.,2,0,,,y 0(k x 2,kx y 2k 0)22,sinx sinx y cosx cosx--+=+==---=--==--解法二数形结合法或图象法原函数式可化为此式可以看作点和连线的斜率而点的轨迹方程为如图所示在坐标系中作出圆和点由图可看出当过的直线与圆相切时斜率分别取得最大值和最小值由直线与圆的位置关系知识可设直线方程为即2|2|31,,k y 3133,,3333,.233k k sinxcosx -=+⎡⎤-⎢⎥⎣⎦⎡⎤=-⎢⎥-⎣⎦∴=±∴解得斜率的范围是即函数的值域为()[][]()()()()()22max 22 41,1.x 1,1,f x 1f x 0,,f 11,f 11,f 1.11210,222,222,()(1)1.2,2x [1].min x x xx x x x x f f f x f ---=----==⎛⎫= ⎪ ⎪⎝-∈-'='=∴-=⎭⎛⎫===--=∴∴-=- ⎪ ⎪⎝⎭函数的定义域为当时令得又值域为[反思感悟] 第(1)小题利用换元法易忽视t≥0的条件,第(2)小题利用基本不等式时易漏掉对x<0的讨论.类型四定义域与值域的综合应用解题准备:函数的定义域､值域问题主要转化为方程或不等式解决,可求解相关参数或其它综合应用.【典例4】(2009·广东六校联考)已知函数若至少存在一个正实数b,使得函数f(x)的定义域与值域相同,求实数a 的值.[分析] 函数f(x)的定义域因a 的取值不同而不同,因此应对a 进行讨论.2().ax bx =+f x()[)()()[)22, []a 0,b,f x 0,,a 0;a 0,b,f x D {x |ax bx 0}f x A 0,[0,),D A a ,,0;bxax bx b a =+⎛⎤=--+ ⎥==+∞=>=+≥∞∞⊆+∞≠⎝⎦>U 解①若则对于每个正数的定义域和值域都是故满足条件②若则对于正数的定义域为但的值域故即不符合条件()()()2max 0,,,a 0,b,f x D f x f x a 4.:a 0 4.220,,20,22.ax bx b b b f a a ab a a b b a a a a =+⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥-⎣⎦⎝⎭⎡⎤⎢⎥-⎣⎦<⎧⎪-=⇒⎨--=-<=⇒=-⎩-⎪③若则对于正数的定义域由于此时故的值域为则综上所述的值为或[反思感悟] 对于函数g(x)=ax2+bx,由于a的取值不同,将影响到其值域,所以在研究其定义域､值域时,应对a进行讨论,对每一种情况分别进行讨论,求解.错源一求函数值域不考虑定义域()2f .111x x x -=+【典例】求函数的值域()21(1)(1 []f x )1,1R 1.x x x x x x -+-===-++错解因为所以函数的值域为[剖析] 错解在求解时没有考虑函数的定义域且化简过程不等价,所以出现错误.()2 []{x |x R,x 11(1)(1)()1,},x 1,f x 2.{y |y R y 2}.11x x x f x x x x -+-∈≠-≠-≠-===-+∈≠+-正解函数的定义域为且因为所以故函数的值域为且[评析] 处理函数问题时,必须树立定义域优先考虑的意识.错源二“定义域”､“有意义”､“恒成立”混矣!(](]()(]()x x1241111,22y ,1,a .[]?,12a 40,1.a g x ,1,g x 4243,43. a a 4x xa x x x x ++⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥=-∞++-∞=--∞-⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦-g g 【典例】已知函数的定义域为求实数的取值范围错解依题意不等式≥在上恒成立即≥而在上单调递增所以最大值为故的取值范围是≥[剖析] 本题的错误在于将函数f(x)的定义域为(-∞,1]同函数f(x)在(-∞,1]上有意义混淆了.事实上,f(x)的定义域为(-∞,1],说明f(x)在(-∞,1]上且只在(-∞,1]上有意义.(](]1x 12x 2 [],12a 40,1.,1.1120221114221114,22114,2114(,),x l 31,.243.4og a a a x x a ax ax aa log ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦---⎛⎫⎪⎝++⎭-+-⎛⎫ ⎪⎝⎭--∞-∞∴=+--+-=--=g 正解依题意≥的解集恰为即≥的解集是由于≤不合题意舍去或≥≤因此有解得即实数的取值范围是技法求函数值域的方法()()(]2221y x .12112,221[]t 0),x y t 11t 0,y ,1.(1222)x t x t t -=-+-++==+=-=-+∈--∞一､换元法【典例】求函数的值域解令≥则所以≥所以也可画图象得出[方法与技巧] 对于一些无理函数通过换元把它化成有理函数,然后利用有理函数求值域的一些方法可间接地把原函数的值域求出来.二､配方法【典例2】求二次函数y=x2-5x+6(-3≤x≤2)的值域.[]22a n 22m xmi 51.2 []y x 45x 6,3x 2,3x 2,y y 0,30.(,51330,245120,241,).4y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭⎛⎫---= ⎪⎝⎭⎛⎫--= ⎪=-+--==∞⎝⎭⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭解因为且≤≤所以因为≤≤是函数减区间的一部分所以所以函数的值域是若不限定定义域值域为[方法与技巧] 对于含有二次三项式的有关题型,常常根据求解问题的要求,用配方法来解决.三､图象法(数形结合法)[]()23y x 4x 2,.433=+-∈-【典例】求的值域。