九年级上学期开学考试数学试卷(精心原创)

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浙江省杭州十三中2022-2023学年九年级上学期开学考试数学试卷(含答案)

2022-2023学年浙江省杭州十三中九年级（上）开学数学试卷（附答案与解析）一.选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）＝（）A．B．C．D．2．（3分）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，现将其沿AE对折，使得点B 落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm3．（3分）某校六一活动中，10位评委给某个节目的评分各不相同，去掉1个最高分和1个最低分，剩下的8个评分与原始的10个评分相比（）A．平均数一定不发生变化B．中位数一定不发生变化C．方差一定不发生变化D．众数一定不发生变化4．（3分）将抛物线y＝3x2的图象先向右平移2个单位，再向上平移5个单位后，得到的抛物线解析式是（）A．y＝3（x﹣2）2﹣5B．y＝3（x﹣2）2+5C．y＝3（x+2）2﹣5D．y＝3（x+2）2+55．（3分）已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有30个，黑球有n个．随机地从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球，经过如此大量重复试验，发现摸出的黑球的频率稳定在0.4附近，则n 的值约为（）A．20B．30C．40D．506．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（）A．0B．1C．2D．37．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，E是AD的中点，连结OE，AC＝8，BC＝10，若AC⊥CD，则OE等于（）A．3B．4C．5D．68．（3分）已知点A（1，y1），B（2，y2），C（﹣2，y3）都在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，则（）A．y1＞y2＞y3B．y3＞y2＞y1C．y2＞y3＞y1D．y1＞y3＞y2 9．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，∠DHO＝α，则∠DAB的度数是（）A．αB．2αC．90°﹣αD．90°﹣2α10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（﹣1，0），设t＝a+b+1，则t的取值范围为（）A．0＜t＜2B．﹣1＜t＜0C．t＜﹣1D．t＜2二.填空题（每小题4分，共24分）11．（4分）投掷一枚均匀的骰子，偶数朝上的概率是．12．（4分）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，AB的中点，若AC＝4，则EF的长是．13．（4分）如图抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（﹣5，0），则不等式ax2+bx+c＞0的解集为．14．（4分）已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3，a4的大小关系是．（请用“＞”连接排序）15．（4分）对于反比例函数y＝，当x＞2时，y的取值范围是．16．（4分）如图是一张矩形纸片ABCD，点E在AC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线BD上的点F处；点G在AB边上，把△DAG沿直线DG折叠，使点A 落在线段DF上的点H处．若HF＝1，BF＝8，则BD＝，矩形ABCD的面积＝．三.解答题（共66分）17．（6分）（1）计算：．（2）解方程：x2﹣4x﹣1＝0．18．（8分）在探究欧姆定律时，小明发现小灯泡电路上的电压保持不变，通过小灯泡的电流越大，灯就越亮．设选用小灯泡的电阻为R（Ω），通过的电流强度为I（A）．（欧姆定律公式：）（1）若电阻为40Ω，通过的电流强度为0.30A，求I关于R的函数表达式；（2）如果电阻小于40Ω，那么与原来的相比，小灯泡的亮度将发生什么变化？并说明理由．19．（8分）一个不透明的布袋中装有3个只有颜色不同的球，其中1个黄球、2个红球．（1）任意摸出1个球，记下颜色后不放回，再任意摸出1个球，求两次摸出的球恰好都是红球的概率（要求画树状图或列表）；（2）现再将n个黄球放入布袋，搅匀后，使任意摸出1个球是黄球的概率为，求n的值．20．（10分）已知，如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，E是AC上的点，分别连结BE，DE并延长交CD于点F，交BC于点G．（1）求证：BE＝DE；（2）若DG⊥BF，∠BAD＝60°，AB＝2，求CE的长．21．（10分）十三中为了创建城市文明单位，准备在操场的墙（线段MN所示，不考虑墙体长度）外开辟一处长方形的土地进行绿化美化，除墙体外三面要用栅栏围起来，计划用栅栏40米（正好用完）．（1）长方形的各边的长为多少米时，长方形的面积最大？（2）若9≤AB≤12，试求长方形面积S的取值范围．22．（12分）已知二次函数y＝mx2﹣2mx+3，其中m≠0．（1）若二次函数的图象经过（1，4），求二次函数表达式；（2）若该二次函数图象开口向上，当﹣1≤x≤2时，二次函数图象的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为6，求点M和点N的坐标；（3）在二次函数图象上任取两点（x1，y1），（x2，y2），当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2，求a的取值范围．23．（12分）如图①，已知正方形ABCD中，E，F分别是边AD，CD上的点（点E，F不与端点重合），且AE＝DF，BE，AF交于点P，过点C作CH⊥BE交BE于点H．（1）求证：AF⊥BE；（2）若AB＝2，AE＝2，试求线段PH的长；（3）如图②，连接CP并延长交AD于点Q，若点H是BP的中点，试求的值．2022-2023学年浙江省杭州十三中九年级（上）开学数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）＝（）A．B．C．D．【分析】利用二次根式的乘法法则计算即可．【解答】解：原式＝﹣＝，故选：B．【点评】本题考查了二次根式的乘法法则，解题的关键是耍熟练掌握二次根式的乘法法则．2．（3分）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，现将其沿AE对折，使得点B 落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm【分析】根据翻折的性质可得∠B＝∠AB1E＝90°，AB＝AB1，然后求出四边形ABEB1是正方形，再根据正方形的性质可得BE＝AB，然后根据CE＝BC﹣BE，代入数据进行计算即可得解．【解答】解：∵沿AE对折点B落在边AD上的点B1处，∴∠B＝∠AB1E＝90°，AB＝AB1，又∵∠BAD＝90°，∴四边形ABEB1是正方形，∴BE＝AB＝6cm，∴CE＝BC﹣BE＝8﹣6＝2cm．故选：A．【点评】本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，翻折变换的性质，判断出四边形ABEB1是正方形是解题的关键．3．（3分）某校六一活动中，10位评委给某个节目的评分各不相同，去掉1个最高分和1个最低分，剩下的8个评分与原始的10个评分相比（）A．平均数一定不发生变化B．中位数一定不发生变化C．方差一定不发生变化D．众数一定不发生变化【分析】根据平均数、中位数、方差的意义即可求解．【解答】解：根据题意，从10个原始评分中去掉1个最高分和1个最低分，得到8个有效评分．8个有效评分与10个原始评分相比，中位数一定不发生变化．故选：B．【点评】本题考查了平均数、中位数、众数、方差的意义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．4．（3分）将抛物线y＝3x2的图象先向右平移2个单位，再向上平移5个单位后，得到的抛物线解析式是（）A．y＝3（x﹣2）2﹣5B．y＝3（x﹣2）2+5C．y＝3（x+2）2﹣5D．y＝3（x+2）2+5【分析】首先确定抛物线y＝3x2的顶点坐标，再确定平移后的抛物线顶点坐标，然后可得答案．【解答】解：抛物线y＝3x2的顶点坐标为（0，0），∵先向右平移2个单位，再向上平移5个单位，∴新的抛物线顶点坐标为（2，5），∴新抛物线的解析式为：y＝3（x﹣2）2+5，故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握平移的规律：左加右减，上加下减．5．（3分）已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有30个，黑球有n个．随机地从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球，经过如此大量重复试验，发现摸出的黑球的频率稳定在0.4附近，则n 的值约为（）A．20B．30C．40D．50【分析】根据黑球的频率稳定在0.4附近得到黑球的概率约为0.4，根据概率公式列出方程求解可得．【解答】解：根据题意得＝0.4，解得：n＝20，故选：A．【点评】此题考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是了解黑球的频率稳定在0.4附近即为概率约为0.4．6．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得Δ＝4﹣4m＞0，解出m的取值范围即可进行判断．【解答】解：根据题意，得Δ＝4﹣4m＞0，解得m＜1，∵0＜1，故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程根的情况，熟练掌握根的判别式是解题的关键．7．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，E是AD的中点，连结OE，AC＝8，BC＝10，若AC⊥CD，则OE等于（）A．3B．4C．5D．6【分析】利用平行四边形的性质可得AO＝OC，AD＝BC＝10，然后在Rt△ACD中，利用勾股定理求出CD的长，最后利用三角形中位线定理，进行计算即可解答．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC，AD＝BC＝10，∵AC⊥CD，∴∠ACD＝90°，∴CD＝＝＝6，∵E是AD的中点，∴OE是△ACD的中位线，∴OE＝CD＝3，故选：A．【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的性质，三角形中位线定理是解题的关键．8．（3分）已知点A（1，y1），B（2，y2），C（﹣2，y3）都在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，则（）A．y1＞y2＞y3B．y3＞y2＞y1C．y2＞y3＞y1D．y1＞y3＞y2【分析】画出函数图象，利用图象法即可解决问题．【解答】解：函数图象如图所示：y1＞y2＞y3，故选：A．【点评】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．9．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，∠DHO＝α，则∠DAB的度数是（）A．αB．2αC．90°﹣αD．90°﹣2α【分析】由四边形ABCD是菱形，可得OB＝OD，AC⊥BD，又由DH⊥AB，∠DHO＝α，可求得∠OHB的度数，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证得OH＝OB ＝BD，继而求得∠ABD的度数，然后求得∠CAD的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD，AC⊥BD，AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵DH⊥AB，∴OH＝OB＝BD，∵∠DHO＝α，∴∠OHB＝90°﹣∠DHO＝90°﹣α，∴∠ABD＝∠OHB＝∠ADB＝90°﹣α，∴∠DAB＝180°﹣∠ABD﹣∠ADB＝180°﹣90°+α﹣90°+α＝2α，故选：B．【点评】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意证得OH＝OB＝BD是解题的关键．10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（﹣1，0），设t＝a+b+1，则t的取值范围为（）A．0＜t＜2B．﹣1＜t＜0C．t＜﹣1D．t＜2【分析】由二次函数的解析式可知，当x＝1时，所对应的函数值y＝t＝a+b+1．把点（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+1，a﹣b+1＝0，然后根据顶点在第一象限，判断出a与b的符号，进而求出t＝a+b+1的变化范围．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+1的顶点在第一象限，且经过点（﹣1，0），∴a﹣b+1＝0，a＜0，b＞0，由a＝b﹣1＜0得到b＜1，结合上面b＞0，所以0＜b＜1①，由b＝a+1＞0得到a＞﹣1，结合上面a＜0，所以﹣1＜a＜0②，∴由①+②得：﹣1＜a+b＜1，在不等式两边同时加1得0＜a+b+1＜2，∵a+b+1＝t代入得0＜t＜2，∴0＜t＜2．故选：A．【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状、对称轴、特殊点的关系，也要掌握在图象上表示一元二次方程ax2+bx+c ＝0的解的方法．同时注意特殊点的运用．二.填空题（每小题4分，共24分）11．（4分）投掷一枚均匀的骰子，偶数朝上的概率是．【分析】在正方体骰子中，写有偶数的有3面，一共有6面，根据概率公式：概率＝所求情况数与总情况数之比求解即可．【解答】解：在正方体骰子中，朝上的数字为偶数的情况有3种，分别是：2，4，6，骰子共有6面，∴偶数朝上的概率是：．故答案为：．【点评】本题考查了用列举法求概率，解题的关键是熟练掌握概率公式，一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）＝且0≤P（A）≤1．12．（4分）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，AB的中点，若AC＝4，则EF的长是2．【分析】连接BD，由矩形的性质可得AC＝BD＝4，由三角形的中位线定理可求解．【解答】解：如图，连接BD，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD＝4，∵E，F分别是AD，AB的中点，∴EF＝BD＝2，故答案为2．【点评】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，掌握矩形对角线相等是解题的关键．13．（4分）如图抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（﹣5，0），则不等式ax2+bx+c＞0的解集为﹣5＜x＜3．【分析】先根据抛物线的对称性得到A点坐标（3，0），由y＝ax2+bx+c＞0得函数值为正数，即抛物线在x轴上方，然后找出对应的自变量的取值范围即可得到不等式ax2+bx+c ＞0的解集．【解答】解：根据图示知，抛物线y＝ax2+bx+c图象的对称轴是直线x＝﹣1，与x轴的一个交点坐标为（﹣5，0），根据抛物线的对称性知，抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的两个交点关于直线x＝﹣1对称，即抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的另一个交点与（﹣5，0）关于直线x＝﹣1对称，∴另一个交点的坐标为（3，0），∵不等式ax2+bx+c＞0，即y＝ax2+bx+c＞0，∴抛物线y＝ax2+bx+c的图象在x轴上方，∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣5＜x＜3．故答案为：﹣5＜x＜3．【点评】此题主要考查了二次函数与不等式，解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，然后由图象找出当y＞0时，自变量x的范围，本题锻炼了学生数形结合的思想方法．14．（4分）已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3，a4的大小关系是a1＞a2＞a3＞a4．（请用“＞”连接排序）【分析】直接利用二次函数的图象开口大小与a的关系进而得出答案．【解答】解：如图所示：①y＝a1x2的开口小于②y＝a2x2的开口，则a1＞a2＞0，③y＝a3x2的开口大于④y＝a4x2的开口，开口向下，则a4＜a3＜0，故a1＞a2＞a3＞a4．故答案为：a1＞a2＞a3＞a4【点评】此题主要考查了二次函数的图象，正确记忆开口大小与a的关系是解题关键．15．（4分）对于反比例函数y＝，当x＞2时，y的取值范围是0＜y＜3．【分析】先求出x＝2时y的值，再根据反比例函数的性质即可得出结论．【解答】解：当x＝2时，y＝3，∵反比例函数y＝中，k＝6＞0，∴在第一象限内y随x的增大而减小，∴0＜y＜3．故答案为：0＜y＜3．【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数y＝（k≠0）中，当k＞0时，反比例函数图象的两个分支分别位于一三象限是解答此题的关键．16．（4分）如图是一张矩形纸片ABCD，点E在AC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线BD上的点F处；点G在AB边上，把△DAG沿直线DG折叠，使点A落在线段DF上的点H处．若HF＝1，BF＝8，则BD＝29，矩形ABCD的面积＝420．【分析】由折叠的性质得HD＝AD，FD＝CD，设AD＝x，则HD＝x，得AB＝CD＝x+1，BD＝x+9，再在Rt△ABD中，由勾股定理得出方程，解方程，即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠A＝90°，由折叠的性质得：HD＝AD，FD＝CD，设AD＝x，则HD＝x，∴AB＝CD＝FD＝HD+HF＝x+1，∴BD＝FD+BF＝x+9，在Rt△ABD中，由勾股定理得：x2+（x+1）2＝（x+9）2，解得：x＝20或x＝﹣4（舍去），∴AD＝20，AB＝21，BD＝x+9＝29，∴矩形ABCD的面积＝AD•AB＝20×21＝420，故答案为：29，420．【点评】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握翻折变换的性质和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．三.解答题（共66分）17．（6分）（1）计算：．（2）解方程：x2﹣4x﹣1＝0．【分析】（1）先将化为，2×化为2，即可求解；（2）先将方程两边同时加上5进行配方，再进行求解．【解答】解：（1）原式＝×2﹣2＝﹣2＝﹣；（2）∵x2﹣4x﹣1＝0，∴x2﹣4x﹣1+5＝5，∴x2﹣4x+4＝5，∴（x﹣2）2＝5，∴x﹣2＝±，∴x＝2+或x＝2﹣．【点评】本题考查解一元二次方程，二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法和二次根式混合运算的运算法则．18．（8分）在探究欧姆定律时，小明发现小灯泡电路上的电压保持不变，通过小灯泡的电流越大，灯就越亮．设选用小灯泡的电阻为R（Ω），通过的电流强度为I（A）．（欧姆定律公式：）（1）若电阻为40Ω，通过的电流强度为0.30A，求I关于R的函数表达式；（2）如果电阻小于40Ω，那么与原来的相比，小灯泡的亮度将发生什么变化？并说明理由．【分析】（1）应用待定系数法解答便可；（2）根据函数解析式求得通过现在灯泡的电流的取值范围，进而得出结论．【解答】解：（1）根据题意知，I关于R成反比例函数关式，设I＝，则0.3＝，解得U＝12，∴I关于R的函数表达式为I＝；（2）小灯泡的亮度将比原来的灯泡更亮，理由如下：当R＜40时，I＞，即I＞0.3，∴小灯泡的亮度将比原来的灯泡更亮．【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，待定系数法，关键是用待定系数法求出函数解析式．19．（8分）一个不透明的布袋中装有3个只有颜色不同的球，其中1个黄球、2个红球．（1）任意摸出1个球，记下颜色后不放回，再任意摸出1个球，求两次摸出的球恰好都是红球的概率（要求画树状图或列表）；（2）现再将n个黄球放入布袋，搅匀后，使任意摸出1个球是黄球的概率为，求n的值．【分析】（1）画树状图，共有6种等可能的结果，两次摸出的球恰好都是红球的结果有2种，再由概率公式求解即可；（2）由概率公式得出方程，解方程即可．【解答】解：（1）画树状图如下：共有6种等可能的结果，两次摸出的球恰好都是红球的结果有2种，∴两次摸出的球恰好都是红球的概率为＝；（2）根据题意得：＝，解得：n＝5，经检验：n＝5是原分式方程的解，∴n＝5．【点评】此题考查了树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．20．（10分）已知，如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，E是AC上的点，分别连结BE，DE并延长交CD于点F，交BC于点G．（1）求证：BE＝DE；（2）若DG⊥BF，∠BAD＝60°，AB＝2，求CE的长．【分析】（1）由菱形的性质得出CB＝CD，∠BCE＝∠DCE，结合CE＝CE，证明△BCE ≌△DCE，得出∠CBE＝∠CDE，再证明△CBG≌△CDF，即可得出DF＝BG；（2）连接BD交AC于点O，由菱形的性质得出AB＝AD，AO＝OC，OB＝OD＝BD，AC⊥BD，结合∠BAD＝60°，证明△ABD是等边三角形，继而得出BD＝2，OB＝OD＝1，OC＝，由直角三角形斜边上中线的性质得出OE＝OB＝OD＝1，即可求出CE的长度．【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是菱形，∴CB＝CD，∠BCE＝∠DCE，∵CE＝CE，∴△BCE≌△DCE（SAS），∴∠CBE＝∠CDE，在△CBG和△CDF中，，∴△CBG≌△CDF（ASA），∴DF＝BG；（2）解：如图2，连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD是菱形，AB＝2，∴AB＝AD，AO＝OC，OB＝OD＝BD，AC⊥BD，∵∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝2，OB＝OD＝1，OC＝OA＝＝，∵BG⊥DF，∴OE＝OB＝OD＝1，∴CE＝OC﹣OE＝﹣1．【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，掌握菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识是解决问题的关键．21．（10分）十三中为了创建城市文明单位，准备在操场的墙（线段MN所示，不考虑墙体长度）外开辟一处长方形的土地进行绿化美化，除墙体外三面要用栅栏围起来，计划用栅栏40米（正好用完）．（1）长方形的各边的长为多少米时，长方形的面积最大？（2）若9≤AB≤12，试求长方形面积S的取值范围．【分析】（1）设AB，CD长为x，则BC＝40﹣2x，通过矩形面积公式列出S与x的关系，通过配方求解．（2）根据AB的取值范围结合函数的性质求S的取值范围．【解答】解：（1）设AB，CD长为x，则BC＝40﹣2x，∵0＜40﹣2x＜40，∴0＜x＜20．由题意得S＝AB•BC＝（40﹣2x）x＝﹣2（x﹣10）2+200（0＜x＜20），∴x＝10时，40﹣2x＝20，S有最大值为200，即BC长20米，AB＝CD＝10米时，长方形面积最大值为200平方米；（2）∵9≤AB≤12，∴9≤x≤12，∵S＝﹣2（x﹣10）2+200，∴x＝10时，S有最大值，最大值为200，当x＝9时，S＝﹣2×（9﹣10）2+200＝198，当x＝12时，S＝﹣2×（12﹣10）2+200＝192，∴192≤S≤200．∴长方形面积S的取值范围为192≤S≤200．【点评】本题考查二次函数的应用，解题关键是根据题干正确得出函数关系式．22．（12分）已知二次函数y＝mx2﹣2mx+3，其中m≠0．（1）若二次函数的图象经过（1，4），求二次函数表达式；（2）若该二次函数图象开口向上，当﹣1≤x≤2时，二次函数图象的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为6，求点M和点N的坐标；（3）在二次函数图象上任取两点（x1，y1），（x2，y2），当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2，求a的取值范围．【分析】（1）把（1，4）点的坐标代入函数解析式中求出m即可；（2）根据抛物线开口向上得m＞0，根据函数图象的性质确定最高点和最低点，从而得出m的值，即可求出M点和N点的坐标；（3）分开口方向向上和开口方向向下两种情况，根据图象的增减性讨论a的取值范围．【解答】解：（1）把（1，4）代入函数解析式得，m﹣2m+3＝4，∴m＝﹣1，∴函数解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）∵抛物线开口方向向上，∴m＞0，∵y＝mx2﹣2mx+3＝m（x﹣1）2+3﹣m，∴抛物线的顶点为（1，3﹣m），∴当x＜1时y随x增大而减小，当x≥1时，y随x增大而增大，∴最低点N（1，3﹣m），∵当x＝﹣1时，y＝3m+3，当x＝2时，y＝3，且m＞0，∴3m+3＞3，∴最高点M（﹣1，3m+3），∴3m+3＝6，∴m＝1，代入M点和N点坐标得：M（﹣1，6），N（1，2）；（3）①当m＞0时，则有当x≤1时y随x增大而减小，当x≥1时，y随x增大而增大，又∵当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2，此时a+2≤1，∴a≤﹣1，②当m＜0时，则有当x≤1时y随x增大而增大，当x≥1时，y随x增大而减小，又∵当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2，此时a≥1，综上，当m＞0时a≤﹣1；当m＜0时，a≥1．【点评】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质是解题的关键．23．（12分）如图①，已知正方形ABCD中，E，F分别是边AD，CD上的点（点E，F不与端点重合），且AE＝DF，BE，AF交于点P，过点C作CH⊥BE交BE于点H．（1）求证：AF⊥BE；（2）若AB＝2，AE＝2，试求线段PH的长；（3）如图②，连接CP并延长交AD于点Q，若点H是BP的中点，试求的值．【分析】（1）证明△ABE≌△DAF（SAS），得出∠ABE＝∠DAF，得出∠APB＝90°，可得出结论；（2）根据三角形ABE的面积可求出AP＝，证明△ABP≌△BCH（AAS），由全等三角形的性质得出BH＝AP＝，则PH＝BP﹣BH＝BP﹣AP，可求出答案；（3）证得∠CBP＝∠CPB，∠QPE＝∠QEP，可得出QE＝QP＝QA，在四边形QABC中，设QP＝a，CP＝b，则AB＝BC＝b，AQ＝a，QC＝a+b，由b2+（b﹣a）2＝（a+b）2可得出a，b的关系式，则可求出答案．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝DA，∠EAB＝∠D＝90°，又∵AE＝DF，∴△ABE≌△DAF（SAS），∴∠ABE＝∠DAF，又∵∠DAF+∠F AB＝∠EAB＝90°，∴∠ABE+∠F AB＝90°，∴∠APB＝90°，∴AF⊥BE；（2）解：在正方形ABCD中，∠EAB＝90°，AB＝2，AE＝2，∴BE＝＝＝4，∵S△ABE＝AB•AE＝BE•AP，∴AP＝在Rt△ABP中，BP＝＝3，∵∠APB＝∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠HBC＝90°，∠HCB+∠HBC＝90°，∴∠ABP＝∠HCB，∵CH⊥BE，∴∠HCB＝90°，又∵AB＝BC，∴△ABP≌△BCH（AAS），∴BH＝AP＝，∴PH＝BP﹣BH＝BP﹣AP＝3﹣．（3）解：在正方形ABCD中，AB＝BC，AD∥BC，∵CH⊥BP，PH＝BH，∴CP＝BC，∴∠CBP＝∠CPB，∵∠CPB＝∠QPE，∠CBP＝∠QEP，∴∠QPE＝∠QEP，在Rt△APE中，∠QAP＝∠QP A，∴QE＝QP＝QA，在四边形QABC中，设QP＝a，CP＝b，则AB＝BC＝b，AQ＝a，QC＝a+b，∵DC2+DQ2＝CQ2，∴b2+（b﹣a）2＝（a+b）2，∴b2＝4ab，即b＝4a，∴．【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，平行线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想解决问题，学会用方程的思想方法解决问题．。

黑龙江省齐齐哈尔市2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试卷(含详解)

黑龙江省齐齐哈尔市2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列计算正确的是( )A.2．下列各组数作为三角形的三边长,不能构成直角三角形的是( )3．下列说法,正确的是( )A.有一个角是直角的四边形是矩形B.两条对角线互相垂直的四边形是菱形C.一个角是直角的菱形是正方形D.对角线相等且互相平分的四边形是菱形4．若直线经过第一、二、四象限,则函数的大致图象是( )A. B.C. D.5．某健步走运动爱好者用手机软件记录了某个月(30天)每天健步走的步数(单位：万步),将记录结果绘制成了如图所示的统计图.在每天所走的步数这组数据中,众数和中位数分别是( )3+=1==3=y kx b =+y bx k =-A.1.2,1.3B.1.3,1.3C.1.4,1.35D.1.4,1.36．下列方程中,没有实数根的是( )A. B.C. D.7．如图,在中,,D ,E 分别为,的中点,平分,交于点F ,若,则的长为( )D.28．如图1,点P 从矩形的顶点A 出发,沿以2cm/s 的速度匀速运动到点B ,图2是点P 运动时,的面积随时间变化的关系图像,则a 的值为( )A.8 B.6 C.4 D.39．如图,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,矩形的顶点、,点P为矩形内一点,且满足,则的最小值是( )230x x -=26100x x +=-2690x x -+=21x =Rt ABC △90C ∠=︒CA CB BF ABC ∠DE AC =4BC =DF ABCD A D B →→PBC △()2cm y ()s x OABC ()16,0A ()0,12C 13POA OABC S S =矩形△PO PA +A.10．已知a是方程的根,则11．如图,矩形中,,的平分线交于点E ,,垂足为F ,连接,,下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有( )A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题12．函数中自变量x 的取值范围是______.13．如图,在正方形ABCD 中,点E 、F 分别在对角线BD 上,请你添加一个条件______,使四边形AECF 是菱形.14．若,是方程的两个根,则的值为______.15．已知一次函数的图象经过点,与y 轴交于点B ,O 为坐标原点.若的面积为6,则该一次函数的解析式为______.2220x x --=111a ⎛⎫- ⎪+⎝⎭ABCD AD =BAD ∠BC DF AE ⊥BF CF AD AE =DAE DEC ∠=∠DE CF ⊥BF FC =y =+αβ2250x x --=ααββ-+(0)y kx b k =+≠()3,0A AOB △16．如果关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根,则m 的取值范围是______.17．如图,在矩形中,点E 在边上,于F ,若,,则线段的长是______.18．矩形的对角线交于点O ,为的高,,,则______.19．如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形①沿x 轴正半轴滚动并且按一定规律变换,每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形.第一次滚动后点变换到点,得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点变换到点,得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点变换到点,得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点变换到点,得到等腰直角三角形⑤…依此规律,则第2023个等腰直角三角形的面积是______.(2)解方程：①；②.21．“足球运球”是中考体育必考项目之一.某校为了解今年九年级学生足球运球的掌握2(1)210m x x -++=ABCD BC DF AE ⊥1EF CE ==3AB =AF ABCD AE ABD △2OD OE =3AB =AD =()10,2A ()26,0A 2A ()36,0A 3A (410,A 4A ()510A +)1012023----210x x --=()3122x x x -=-情况,随机抽取部分九年级学生足球运球的测试成绩作为一个样本,按A 、B 、C 、D 四个等级进行统计,制成了如下不完整的统计图.(说明：A 级：分,B 级：分,C 级：分,D 级：分),根据所给信息,解答以下问题：(1)在扇形统计图中,D 对应的扇形的圆心角是______度.(2)补全条形统计图.(3)所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在级.(4)该校九年级有450名学生,请估计足球运球测试成绩达到A 级的学生有多少人？22．为推进美丽乡村建设,改善人居环境,创建美丽家园.我市甲、乙两工厂积极生产了某种建设物资共800吨,甲工厂的生产量是乙工厂的2倍少100吨,这批建设物资将运往A 地420吨,B 地380吨,运费如下：(单位：吨)(2)设这批物资从甲工厂运往A 地x 吨,全部运往A ,B 两地的总运费为y 元,求y 与x 之间的函数关系式,写出x 的取值范围并设计使总运费最少的调运方案；(3)由于甲工厂到A 地的路况得到了改善,缩短了运输距离和运输时间,运费每吨降低m元,其余路线运费不变.若到A ,B 两市的总运费的最小值不小于14020元,求m 的取80100-7079-6069-1059-()015m <≤23．骑行是现在流行的健身方式之一,周末“绿色骑行俱乐部”组织了一次从甲地出发,目的地为乙地的骑行活动,在“俱乐部”自行车队出发1小时后,恰有一辆摩托车从甲地出发,沿自行车队行进路线前往乙地,到达乙地后立即按原路返回甲地.自行车队与摩托车行驶速度均保持不变,并且摩托车行驶速度是自行车队行驶速度的3倍.如图所示的是自行车队、摩托车离甲地的路程与自行车队离开甲地的时间的关系图象,请根据图象提供的信息,回答下列问题.(1)摩托车行驶的速度是__________；____________；(2)求出自行车队离甲地的路程与自行车队离开甲地的时间的关系式,并求出自行车队出发多少小时与摩托车相遇；(3)直接写出当摩托车与自行车队相距时,此时离摩托车出发经过了多少小时.24．综合与实践【课本再现】在一次课题学习活动中,老师提出了如下问题：如图1,四边形是正方形,点E 是边的中点,,且交正方形外角平分线于点F .请你探究与存在怎样的数量关系,并证明你的结论.经过探究,小明得出的结论是.而要证明结论,就需要证明和所在的两个三角形全等,但和显然不全等(一个是直角三角形,一个是钝角三角形),考虑到点E 是边的中点,小明想到的方法是如图2,取的中点M ,连接,证明.从而得到.(1)小明的证法中,证明的条件可以为( )A.边边边()km y ()h x a =()km y ()h x 10km ABCD BC 90AEF ∠=︒EF CF AE EF AE EF =AE EF =AE EF ABE △ECF △BC AB EM AEM EFC ≌△△AE EF =AEM EFC ≌△△C.角边角D.斜边直角边【类比迁移】(2)如图3,若把条件“点E 是边的中点”改为“点E 是边上的任意一点”,其余条件不变,是否仍然成立？若成立,请写出证明过程；若不成立,请说明理由.(3)如图4,如果点E 是边延长线上的任意一点,其他条件不变,是否仍然成立___________(填“是”或“否”,不需证明)；【拓展应用】(4)已知：四边形是正方形,点E 是直线上的一点,,且交正方形外角平分线于点F ,若,,则的长为___________.25．综合与探究如图,在平面直角坐标系中,函数的图象分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点,过点A 的直线交y 轴正半轴于点M ,且点M 为线段的中点.(1)A 点坐标为____________,B 点坐标为________________(2)求直线的函数解析式.(3)在直线上找一点P ,使得,请直接写出点P 的坐标.(4)在坐标平面内是否存在点C ,使以A 、B 、M 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请直接写出点C 的坐标；若不存在,请说明理由.BC BC AE EF =BC AE EF =ABCD BC 90AEF ∠=︒EF CF 4AB =2CE =EF 212y x =-+OB AM AM ABP AOM S S =△△参考答案1．答案：D解析：A 、3和,计算正确,符合题意；故选D.2．答案：A解析：A.,不能构成直角三角形；B.,构成直角三角形；C.,构成直角三角形；D.,构成直角三角形.故选：A .3．答案：C解析：A.有一个角是直角的四边形不一定是矩形,故该选项错误,不符合题意；B.两条对角线互相垂直的四边形是菱形,也可能是等腰梯形,故该选项错误,不符合题意；C.一个角是直角的菱形是正方形,故该选项正确,符合题意；D.对角线互相相等平分的四边形是矩形,故该选项错误,不符合题意.故选C.4．答案：B解析：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限,∴,,∴,,∴一次函数图象第一、二、三象限,故选：B.5．答案：D÷==3=22269368111714412+=+=≠=2225122514416913+=+==2221123+=+==2220.30.40.090.160.250.5+=+==y kx b =+0k <0b >0b >0k ->y bx k =-解析：∵这组数据中1.4出现的次数最多,∴在每天所走的步数这组数据中,众数是1.4；每天所走的步数的中位数是：,∴在每天所走的步数这组数据中,众数和中位数分别是1.4、1.3.故选：D.6．答案：B解析：A.,所以原方程有两个不相等的实数根,故A 不符合题意.B.,所以原方程没有实数根,故B 符合题意.C.,所以原方程有一个实数根,故C 不符合题意.D.,所以原方程有两个不相等的实数根,故D 不符合题意.故选：B.7．答案：B 解析：在中,,由勾股定理得：,平分,,,E 分别为,的中点,,,,,,,,故选：B.8．答案：C解析：∵矩形中,,∴当点P 在边上运动时,y 的值不变,由图像可知,当时,点P 与点D 重合,∴,即矩形的长是,()1.3 1.32 1.3+÷=2(3)090∆=--=>2(6)41040∆=--⨯=-<2(6)490∆=--⨯=0(1)10∆=--=>Rt ABC △AC =4=6AB ==BF ABC ∠ABF EBF ∴∠=∠D CA CB //DE AB ∴132DE AB ==122BE BC ==ABF EFB ∴∠=∠EFB EBF ∴∠=∠2EF BE ∴==1DF DE EF ∴=-=ABCD //AD BC AD x a =2AD BC a ==2a,即.当点P 在上运动时,y 逐渐减小,由图像可知：点P 从点D 运动到点B 共用了,∴,在中,,∴,解得.故选：C.9．答案：A 解析：过点P 作交、于点M 、N ,∵,,即,作O 点关于的对称点,连接,则长即为的最小值；则,∴故选A.10．答案：B解析：∵a 是方程的根,∴,即26a AB a ⋅=6AB =DB ()55s a a +-=5210DB =⨯=Rt ABD △222AD AB BD +=()2222610a +=4a =//MN OA OC AB 13POA OABC S S =矩形△13OM OA OC ⨯=⨯2212833OM OC ==⨯=MN 1O 1O A 1O A PO PA +1216O O OM ==1O A ===2220x x --=2220a a --=()221a a =+,故选B.11．答案：C解析：四边形是矩形,,,,平分,,,,,,,故①正确；,,,,,,,,,又,,,3211121a a a a ⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭1111a a a +⎛⎫=- ⎪++⎝⎭1a a =+21a a +=== ABCD AB CD ∴=AD BC =90ABC BAD ∠=∠=︒AE BAD ∠45BAE DAE ∴∠=∠=︒45AEB BAE ∴∠=∠=︒AB BE ∴=AE ∴=AD = AD AE ∴=45BAE DAE ∠=∠=︒ AD AE =90ABE AFD ∠=∠=︒(AAS)ABE AFD ∴≌△△AB AF ∴=BE DF =AB BE AF DF CD ∴====EF CE ∴=45ADF ∠=︒DE DE = (SSS)DEC DEF ∴≌△△DEA DEC ∴∠=∠∴,故②错误；,,垂直平分,故③正确；,,又,,,,故④正确,综上所述：正确的结论有①③④,共3个,故选：C.12．答案：解析：由题意得：,,解得：,故答案为：.13．答案：解析：添加的条件为：,理由：正方形ABCD 中,对角线BD ,∴,.∵,∴.∴∴四边形AECF 是菱形；故答案为：.14．答案：7解析：∵,是方程的两个根,∴,,∴,故答案为：7.()11804567.52DEA DEC ∴∠=∠=︒-︒=︒DAE DEC ∠≠∠DF DC = EF EC =DE ∴FC 9045CDF ADF ∠=︒-∠=︒ 45BAE FDC ∴∠=∠=︒AB DF = AF CD =(SAS)ABF DFC ∴≌△△BF CF ∴=35x -<≤30x +>50x -≥35x -<≤35x -<≤BE DF=BE DF =AB BC CD DA ===45ABE CBE CDF ADF ∠=∠=∠=∠=︒BE DF =()SAS ABE CBE DCF DAF ≌≌≌△△△△AE CE CF AF===BE DF =αβ2250x x --=221αβ-+=-=551αβ-==-()257ααββ-+=--=15．答案：或解析：点,,的面积为6,,,,或,将,代入得：,解得：一次函数的解析式为：,将,代入得：,解得：,一次函数的解析式为：,综上所述：一次函数的解析式为：或,故答案为：或.16．答案：且解析：∵关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根,∴且,即且,∴且.443y x =--443y x =+ (3,0)A 3OA ∴=AOB △∴162OA OB ⋅=∴1362OB ⨯⋅=4OB ∴=(0,4)B ∴(0,4)-(3,0)A (0,4)B (0)y kx b k =+≠304k b b +=⎧⎨=⎩4k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴443y x =-+(3,0)A (0,4)B -(0)y kx b k =+≠304k b b +=⎧⎨=-⎩434k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴443y x =-443y x =-+443y x =-443y x =-+443y x =-2m <1m ≠2(1)210m x x -++=0∆>10m -≠()22410m -->10m -≠2m <1m ≠故答案为：且17．答案：4解析：如图所示,连接,∵四边形是矩形,∴,,,,∴,∵,∴,又∵,,∴,∴,,∴,∴,∴,设,则在中,由勾股定理可得,即,解得,即,∴,故答案为：4.18．答案：解析：如图,∵四边形是矩形,2m <1m ≠DE ABCD //AD BC 90BCD ∠=︒3CD AB ==AD BC =ADE DEC ∠=∠DF AE ⊥90DFE ∠=︒FE CE =DE DE =()Rt Rt HL DEF DEC ≌△△3DF DC ==FED CED ∠=∠FED ADE ∠=∠AE AD BC ==BE BC EC AE EC =-=-AE BC x ==1BE x =-Rt ABE △222AB BE AE +=2223(1)x x +-=5x =5AE =514AF AE EF =-=-=ABCD∴,∵,∴,∴,∵为的高,∴,∴,又∵,∴,∴,∴是等边三角形,∴,∴,∴故答案为：19．答案：解析：∵点,∴第1个等腰直角三角形的两腰长为2,∴第1个等腰直角三角形的面积,∵,∴第2个等腰直角三角形的面积,∵,∴第3个等腰直角三角形的边长为,∴第3个等腰直角三角形的面积,…第n 个等腰直角三角形的面积OD OB OA ==2OD OE =2OB OE =BE OE =AE ABD △AE BO ⊥90AEB AEO ∠=∠=︒AE AE =()SAS ABE AOE ≌△△AB OA OB ==AOB △3OB AB ==6BD =AD ==20232()10,2A 12222=⨯⨯=()26,0A =21422=⨯==(410,A 1064-=3144822=⨯⨯==2n=则第2023个等腰直角三角形的面积是；故答案为：.(2)①②(2)①,∴∴②整理得：,即,∴或,解得：.21．答案：(1)86.4(2)图见解析(3)C(4)27人解析：(1),故答案为：86.4.(2)样本总人数(人),20232202321x =2x =1x =21=)10120232-----312=+---=210x x --=()()22Δ414111450b ac =-=--⨯⨯-=+=>x ==1x =2=()3122x x x-=-2320x x --=()()3210x x +-=320x +=10x -=1x =21=3602486.4︒⨯=︒％122450=÷=％C 级人数(人),∴统计图为：(3)∵共有50个数据,其中第25、26个数据的平均数为中位数,而第25、26个数据均在C 级,∴所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在C 级,故答案为：C.(4)(人),∴估计足球运球测试成绩达到A 级的学生有27人.22．答案：(1)甲、乙两厂分别生产了这批建设物资500吨和300吨(2)(),甲工厂运往A 地120吨,运往B 地380吨；乙工厂运往A 地300吨(3)解析：(1)设这批建设物资甲厂生产了a 吨,乙厂生产了b 吨.根据题意,得,.解得,.答：甲、乙两厂分别生产了这批建设物资500吨和300吨.(2).解不等式组得,,∴y 与x 之间的函数关系式为,503151220=---=34502750⨯=1413420y x =+120420x ≤≤09m <≤8001002a b a b +=⎧⎨+=⎩500300a b =⎧⎨=⎩()()()252050015420243004201413420y x x x x x =+-+-+--⎡=+⎤⎣⎦()0500042003004200x x x x ≥⎧⎪-≥⎪⎨-≥⎪⎪--≥⎩120420x ≤≤()1413420120420y x x =+≤≤∴y 是关于x 的一次函数.∵,y 随x 的增大而增大,∴当时,总运费最小.此时,,,.∴总运费最少的调运的方案是：甲工厂运往A 地120吨,运往B 地380吨；乙工厂运往A 地300吨.(3)由题意可得,.分三种情况：(i)当时,,y 随x 的增大而增大.∴当时,y 取得最小值,此时有.解得,；(ii)当时,,,不合题意,舍去；(iii)当时,,y 随x 的增大而减少.∴当时,y 取得最小值,此时有,.此不等式组无解.∴当时,这种情况不符合题意,舍去.综合上述三种情况,可得m 的取值范围是.23．答案：(1)(2)(3)摩托车与自行车队相距小时.解析：(1)自行车队行驶的速度为则摩托车行驶的速度为140k =>120x =500380x -=420300x -=()3004200x --=⎡⎤⎣⎦()14134201413420y x mx m x =+-=-+014m <<140m ->120x =()141201342014020014m m ⎧-⨯+≥⎨<<⎩09m <≤14m =140m -=1342014020y =<1415m <≤140m -<420x =()1442013420140201415m m ⎧-⨯+≥⎨<≤⎩1415m <≤09m <≤60km/h 20y =()140720km/h ÷=()20360km/h ⨯=故答案(2)设自行车队出发x 小时与摩托车相遇,自行车队的函数关系式为：,根据图像可得：,∴∴自行车队的函数关系式为：,,①首次相遇由题意得,解得②摩托车在返程中与自行车队再次相遇根据题意得,解得(3)设离摩托车出发经过了m 小时与自行车队相距.①当解得②当摩托车在自行车队前面时,,解得当,解得②摩托车从乙地返回,与自行车队相遇后,.解得即摩托车与自行车队相距小时.101140603a =+÷=60km/h y kx =1407k =⨯20k =20y x =()20601x x =-32x =()206011402x x +-=⨯x =10km m <()16010m m +-=m =()6020110m m -+=m =m >()2016014014010m m ++-=-m =()2016014014010m m ++-=+m =1024．答案：(1)C(2)成立,证明见解析(3)是,理由见解析(4)解析：(1)取的中点M ,连接.正方形中,,又,,,是等腰直角三角形,,,又.,在和中,,,故选：C.(2)成立.证明：如图,在上截取,连接,AB ME ABCD AB BC =12AM MB AB ==12BE CE BC ==MB BE ∴=MBE ∴△45BME ∴∠=︒135AME ∴∠=︒180********ECF FCG ∠=︒-∠=︒-︒=︒ AME ECF ∴∠=∠∴AME △ECF △BAE FEC AM ECAME ECF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ASA AME ECF ∴≌△△AE EF =AB BM BE =ME∵四边形是正方形,∴,,∴,,∴.∵是正方形的外角平分线,∴,∴.∵,∴,∴.∵,,∴,在和中,,∴,∴.(3)理由：连接,过点F 作,交BC 延长于G ,在上截取,连接,如图4,∵四边形是正方形,∴,,∴,,∵,∴,∵,ABCD AB BC =90B DCB ∠=∠=︒180452B BME BEM ︒-∠∠=∠==︒90BAE AEB ∠+∠=︒135AME ∠=︒CF 190452DCF ∠=⨯︒=︒135ECF ∠=︒90AEF ∠=︒90AEB FEC ∠+∠=︒BAE FEC ∠=∠AB BC =BM BE =AM EC =AME △ECF △BAE FEC AM EC AME ECF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ASA AME ECF ≌△△AE EF =AC FG BC ⊥FG FH CE =EH ABCD 90B BCD ∠=∠=︒45ACD ∠=︒135ACE ACD DCE ∠=∠+∠=︒90BAE AEB ∠+∠=︒AE EF ⊥90AEB FEG ∠+∠=︒FG BC ⊥∴,∴,∵是正方形的外角平分线,∴,∵,∴,∴,∵,∴,即,∴,∴,∴,在和中,,∴,∴.(4)分两种情况：当点E 在边上时,如图1,∵四边形是正方形,∴,,∴,由勾股定理,得由(2)知,90FEG EFG ∠+∠=︒EFG AEB ∠=∠CF 190452ECF ∠=⨯︒=︒FG BC ⊥45GFE ECF ∠=∠=︒CG FG =FH CE =CG CE FG FH -=-GE GH =45GHE GEH ∠=∠=︒18045135FHE ∠=︒-︒=︒ACE FHE ∠=∠ACE △FHE △AEC EFH CE FHACE FHE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ASA ACE EHF ≌△△AE EF =BC ABCD 90B ∠=︒4BC AB ==422BE BC CE =-=-=AE ===EF AE ==当点E 是直线上的一点时,如图4,∵四边形是正方形,∴,,∴,由勾股定理,得由(3)知,综上,的长为25．答案：(1),(2)(3)和(4)或或解析：(1)∵函数的图象分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点,∴令,得,即：,令,得,即：,故答案为：,；(2)∵点M 为线段的中点,,∴,设直线的函数解析式,将和代入得：,解得：,∴直线的函数解析式：；(3)∵,,BC ABCD 90B ∠=︒4BC AB ==426BE BC CE =+=+=AE ===EF AE ==EF (6,0)(0,12)6y x =-+(0,6)(12,)6-(6,6)(6,6)-(6,18)-212y x =-+0x =12y =(0,12)B 0y =6x =(6,0)A (6,0)(0,12)OB (0,12)B (0,6)M AM (0)y kx b k =+≠(6,0)A (0,6)M 606k b b +=⎧⎨=⎩16k b =-⎧⎨=⎩AM 6y x =-+6OA =6OM =设,∵,∴,解得：,∴,∵点P 关于点A 的对称点为,∴满足条件的点P 坐标为：和；(4)存在点C ,使以A 、B 、M 、C 为顶点的四边形是平行四边形,∵,,,①以,为对角线,根据平移的性质,点,②以,为对角线,根据平移的性质,点,③以,为对角线,根据平移的性质,点,综上所述：点C 的坐标为或或.6(),P x x -+ABP AOM S S =△△18318x -=0x =(0,6)P (12,)6-(0,6)(12,)6-(6,0)A (0,12)B (0,6)M AB CM (6,6)C AM BC (6,6)C -AC BM (6,18)C -(6,6)(6,6)-(6,18)-。

河南省郑州实验外国语中学2022-2023学年上学期九年级开学考试数学试卷附答案

2022-2023学年河南省郑州实验外国语中学九年级（上）开学数学试卷（含答案与解析）一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）在下列四个标志中，既是中心对称又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．3．（3分）下列是关于x的一元二次方程的是（）A．x2﹣＝2021B．x（x+6）＝0C．a2x﹣5＝0D．4x﹣x3＝2 4．（3分）解分式方程﹣2＝，去分母得（）A．1﹣2（x﹣1）＝﹣3B．1﹣2（x﹣1）＝3C．1﹣2x﹣2＝﹣3D．1﹣2x+2＝35．（3分）某跳远队准备从甲、乙、丙、丁4名运动员中选取成绩好且稳定的一名选手参赛，经测试，他们的成绩如表，综合分析应选（）成绩甲乙丙丁平均分（单位：米） 6.0 6.1 5.5 4.6方差0.80.20.30.1 A．甲B．乙C．丙D．丁6．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD 为矩形的只有（）A．AC＝BD B．AB＝6，BC＝8，AC＝10C．AC⊥BD D．∠1＝∠27．（3分）如图，已知AB∥CD∥EF，若AC＝6，CE＝3，DF＝2，则BD的长为（）A．4B．4.5C．5.5D．68．（3分）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则不等式kx+b＜0的解集是（）A．x＞﹣2B．x＜﹣2C．x＜﹣3D．x＞﹣39．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，连接AF，若△ABF的周长为6，则▱ABCD的周长为（）A．6B．12C．18D．2410．（3分）将正方形ABCD与正方形BEFG按如图方式放置，点F、B、C在同一直线上，已知BG＝，BC＝3，连接DF，M是DF的中点，连接AM，则AM的长是（）A．B．C．D．二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）11．（3分）因式分解：x3﹣9x＝．12．（3分）已知△ABC∽△A'B'C′，AD和A'D是它们的对应角平分线，若AD：A'D′＝4：3，△ABC的周长为16，则△A'B′C′的周长是．13．（3分）如图，在▱ABCD中，按如下步骤操作：①以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F；②再分别以点B、F为圆心，大于BF的长为半径画弧，两弧交于一点P；③连接AP并延长交BC于点E，连接EF．若BF＝6，AB＝5，则AE的长为．14．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为．三、解答题（本题7个大题，满分55分）16．（6分）先化简，再求值，其中a＝．17．（8分）解下列方程：（1）x2﹣7x+1＝0；（2）2（2x﹣1）＝3（1﹣2x）．18．（8分）2022年8月14日，青海玉树杂多县发生5.9级地震，为救助灾区，某校学生会向全校学生发起了爱心捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图1和图2．请根据相关信息，解答下列问题：（1）本次被调查的学生有人，扇形统计图中m＝．（2）将条形统计图补充完整．（3）本次调查获取的样本数据的众数是，中位数是．（4）若该校有1800名学生，根据以上信息，估计全校本次活动捐款金额为10元的学生有多少人．19．（8分）已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+（a+3）x+a+1＝0的一个根．（1）求实数a的值；（2）求证：方程总有两个不相等的实数根．20．（8分）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点．点M 是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；（2）填空：①当AM的值为时，四边形AMDN是矩形；②当AM的值为时，四边形AMDN是菱形．21．（8分）某商场购进甲、乙两种空调共40台，已知购进一台甲种空调比购进一台乙种空调进价多0.2万元；用36万元购进乙种空调数量是用18万元购进甲种空调数量的4倍．请解答下列问题：（1）求甲、乙两种空调每台进价各是多少万元？（2）若商场预计投入资金不多于11.5万元用于购买甲、乙两种空调，且购进甲种空调至少14台，商场有哪几种购进方案？22．（9分）△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．（1）观察猜想：如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：．②BC，CD，CF之间的数量关系为；（将结论直接写在横线上）（2）数学思考：如图2，当点D在线段CB的延长线上时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．（3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．若已知BC＝4，CD＝1，请直接写出GE的长．2022-2023学年河南省郑州实验外国语中学九年级（上）开学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）在下列四个标志中，既是中心对称又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；B、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；C、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确；D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误．故选：C．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．【分析】根据不等式解集的四种情况，求出其公共解集即可．【解答】解：根据大小小大中间找得出解集为﹣1＜x≤1，故选：B．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．3．（3分）下列是关于x的一元二次方程的是（）A．x2﹣＝2021B．x（x+6）＝0C．a2x﹣5＝0D．4x﹣x3＝2【分析】根据一元二次方程的定义求解即可．【解答】解：A．x2﹣＝2021是分式方程，故本选项不合题意；B．x（x+6）＝0是关于x的一元二次方程，故本选项符合题意；C．当a＝0时，不是一元二次方程，故本选项不合题意；D．未知数是最高次数是3，不是一元二次方程，故本选项不合题意；故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．4．（3分）解分式方程﹣2＝，去分母得（）A．1﹣2（x﹣1）＝﹣3B．1﹣2（x﹣1）＝3C．1﹣2x﹣2＝﹣3D．1﹣2x+2＝3【分析】分式方程变形后，两边乘以最简公分母x﹣1得到结果，即可作出判断．【解答】解：分式方程整理得：﹣2＝﹣，去分母得：1﹣2（x﹣1）＝﹣3，故选：A．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．5．（3分）某跳远队准备从甲、乙、丙、丁4名运动员中选取成绩好且稳定的一名选手参赛，经测试，他们的成绩如表，综合分析应选（）成绩甲乙丙丁平均分（单位：米） 6.0 6.1 5.5 4.6方差0.80.20.30.1 A．甲B．乙C．丙D．丁【分析】分别从平均成绩和方差两个方面判断．【解答】解：从平均数看，甲和乙的平均成绩较好，从方差看，乙和丁的成绩比较稳定，则成绩好且稳定的是乙，故选：B．【点评】本题考查的是方差和平均数，掌握平均数的性质、方差的性质是解题的关键．6．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD 为矩形的只有（）A．AC＝BD B．AB＝6，BC＝8，AC＝10C．AC⊥BD D．∠1＝∠2【分析】根据矩形的判定方法即可一一判断．【解答】解：A、正确．对角线相等的平行四边形是矩形．B、正确．∵AB＝6，BC＝8，AC＝10，∴AB2+BC2＝62+82＝102，∴∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD为矩形．C、错误．对角线垂直的平行四边形是菱形，D、正确，∵∠1＝∠2，∴AO＝BO，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形．故选：C．【点评】本题考查了矩形的判定定理，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法．7．（3分）如图，已知AB∥CD∥EF，若AC＝6，CE＝3，DF＝2，则BD的长为（）A．4B．4.5C．5.5D．6【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式，代入数值即可求出BD．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴，∵AC＝6，CE＝3，DF＝2，∴，∴BD＝4．故选：A．【点评】本题考查了平行线分线段成比例，熟记平行线分线段成比例“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例“是解决问题的关键．8．（3分）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则不等式kx+b＜0的解集是（）A．x＞﹣2B．x＜﹣2C．x＜﹣3D．x＞﹣3【分析】写出函数图象在x轴下方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：当x＞﹣3时，y＜0，所以不等式kx+b＜0的解集是x＞﹣3．故选：D．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．9．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，连接AF，若△ABF的周长为6，则▱ABCD的周长为（）A．6B．12C．18D．24【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AF＝FC，那么由△ABF的周长为6可得AB+BC＝6，再根据平行四边形的性质可得AD＝BC，DC＝AB，进而可得答案．【解答】解：∵对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，∴AF＝CF，∵△ABF的周长为6，∴AB+BF+AF＝AB+BF+CF＝AB+BC＝6．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，DC＝AB，∴▱ABCD的周长为2（AB+BC）＝12．故选：B．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质和线段垂直平分线的性质，关键是掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，平行四边形对边相等．10．（3分）将正方形ABCD与正方形BEFG按如图方式放置，点F、B、C在同一直线上，已知BG＝，BC＝3，连接DF，M是DF的中点，连接AM，则AM的长是（）A．B．C．D．【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质得出BH，进而利用勾股定理解答即可．【解答】解：延长AM交BC于H点，∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，BG＝，BC＝3，∴BF＝BG＝2，AB＝AD＝CD＝BC＝3，∵点F，B，C在同一直线上，∴AD∥CF，∴∠DAM＝∠FHM，∠ADM＝∠HFM，∵M是DF中点，∴DM＝FM，在△ADM和△HFM中，，∴△ADM≌△HFM（AAS），∴AD＝FH＝3，AM＝HM＝AH，∴BH＝FH﹣BF＝1，在Rt△ABH中，AH＝＝＝，∴AM＝AH＝，故选：A．【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质解答．二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）11．（3分）因式分解：x3﹣9x＝x（x+3）（x﹣3）．【分析】先提取公因式x，再利用平方差公式进行分解．【解答】解：x3﹣9x，＝x（x2﹣9），＝x（x+3）（x﹣3）．【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，本题要进行二次分解，分解因式要彻底．12．（3分）已知△ABC∽△A'B'C′，AD和A'D是它们的对应角平分线，若AD：A'D′＝4：3，△ABC的周长为16，则△A'B′C′的周长是12．【分析】根据相似三角形的性质：对应角平分线的比等于相似比，周长的比等于相似比求解即可．【解答】解：∵△ABC∽△A'B'C′，AD和A'D是它们的对应角平分线，AD：A'D′＝4：3，∴△ABC与△A'B'C′的相似比为4：3，∴，∵△ABC的周长为16，∴，解得：L△A'B'C'＝12．故答案为：12．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形周长的比等于相似比是解答此题的关键．13．（3分）如图，在▱ABCD中，按如下步骤操作：①以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F；②再分别以点B、F为圆心，大于BF的长为半径画弧，两弧交于一点P；③连接AP并延长交BC于点E，连接EF．若BF＝6，AB＝5，则AE的长为8．【分析】通过证明四边形ABEF是菱形，可得AO＝EO，BO＝FO＝3，AE⊥BF，由勾股定理AO＝4，即可求AE的长．【解答】解：由尺规作图的过程可知，直线AE是线段BF的垂直平分线，∠F AE＝∠BAE，∴AF＝AB，EF＝EB，∵AD∥BC，∴∠F AE＝∠AEB，∴∠AEB＝∠BAE，∴BA＝BE，∴BA＝BE＝AF＝FE，∴四边形ABEF是菱形，∴AO＝EO，BO＝FO＝3，AE⊥BF∴AO＝＝＝4∴AE＝2AO＝8故答案为8【点评】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定和性质，证明四边形ABEF是菱形是解题的关键．14．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为1．【分析】方法一：连接CH并延长交AD于P，连接PE，根据正方形的性质得到∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，根据全等三角形的性质得到PD＝CF＝，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论．方法二：设DF，CE交于O，根据正方形的性质得到∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD＝AB，根据线段中点的定义得到BE＝CF，根据全等三角形的性质得到CE＝DF，∠BCE＝∠CDF，求得DF⊥CE，根据勾股定理得到CE＝DF＝＝，点G，H分别是EC，PC的中点，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】解：方法一：连接CH并延长交AD于P，连接PE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，∵E，F分别是边AB，BC的中点，∴AE＝CF＝×2＝，∵AD∥BC，∴∠DPH＝∠FCH，∵∠DHP＝∠FHC，∵DH＝FH，∴△PDH≌△CFH（AAS），∴PD＝CF＝，∴AP＝AD﹣PD＝，∴PE＝＝＝2，∵点G，H分别是EC，CP的中点，∴GH＝EP＝1；方法二：设DF，CE交于O，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD＝AB，∵点E，F分别是边AB，BC的中点，∴BE＝CF，∴△CBE≌△DCF（SAS），∴CE＝DF，∠BCE＝∠CDF，∵∠CDF+∠CFD＝90°，∴∠BCE+∠CFD＝90°，∴∠COF＝90°，∴DF⊥CE，∴CE＝DF＝＝，∵点G，H分别是EC，PC的中点，∴CG＝FH＝，∵∠DCF＝90°，CO⊥DF，∴∠DCO+∠FCO＝∠DCO+∠CDO＝90°，∴∠FCO＝∠CDO，∵∠DCF＝∠COF＝90°，∴△COF∽△DOC，∴＝，∴CF2＝OF•DF，∴OF＝＝＝，∴OH＝，OD＝，∵∠COF＝∠COD＝90°，∴△COF∽△DCF，∴，∴OC2＝OF•OD，∴OC＝＝，∴OG＝CG﹣OC＝﹣＝，∴HG＝＝＝1，故答案为：1．【点评】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为或．【分析】分两种情况：当点Q在CD上，当点Q在DC的延长线上，利用勾股定理分别进行计算即可解答．【解答】解：如图：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，∴AB＝AC＝4，∵点D为AB的中点，∴CD＝AD＝AB＝2，∠ADC＝90°，∵∠ADQ＝90°，∴点C、D、Q在同一条直线上，由旋转得：CQ＝CP＝CQ′＝1，分两种情况：当点Q在CD上，在Rt△ADQ中，DQ＝CD﹣CQ＝1，∴AQ＝＝＝，当点Q在DC的延长线上，在Rt△ADQ′中，DQ′＝CD+CQ′＝3，∴AQ′＝＝＝，综上所述：当∠ADQ＝90°时，AQ的长为或，故答案为：或．【点评】本题考查了勾股定理，旋转的性质，等腰直角三角形，分两种情况进行讨论是解题的关键．三、解答题（本题7个大题，满分55分）16．（6分）先化简，再求值，其中a＝．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝•＝，当a＝时，原式＝﹣2．【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17．（8分）解下列方程：（1）x2﹣7x+1＝0；（2）2（2x﹣1）＝3（1﹣2x）．【分析】（1）先计算根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解；（2）先移项合并得到﹣5（1﹣2x）＝0，然后解方程即可．【解答】解：（1）Δ＝（﹣7）2﹣4×1×1＝45＞0，x＝＝，所以x1＝，x2＝；（2）2（2x﹣1）﹣3（1﹣2x）＝0，﹣5（1﹣2x）＝0，解得x＝．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．也考查了解一元一次方程．18．（8分）2022年8月14日，青海玉树杂多县发生5.9级地震，为救助灾区，某校学生会向全校学生发起了爱心捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图1和图2．请根据相关信息，解答下列问题：（1）本次被调查的学生有50人，扇形统计图中m＝32．（2）将条形统计图补充完整．（3）本次调查获取的样本数据的众数是15元，中位数是10元．（4）若该校有1800名学生，根据以上信息，估计全校本次活动捐款金额为10元的学生有多少人．【分析】（1）从两个统计图中可以得到捐款5元的4人占调查人数的8%，即可求出调查人数，捐款10元的百分比就是16人占50人的百分比；（2）计算出捐款15元的人数，即可补全统计图；（3）根据众数、中位数的意义，可以得出中位数、众数；（4）1800人学生中捐款在10元的人数占32%．【解答】解：（1）4÷8%＝50人，16÷50＝32%，故答案为：50，32；（2）50×24%＝12人，补全条形统计图如图所示：（3）捐款10元有16人，出现次数最多，因此众数为10元，从大到小排列后处在第25、26位的数都是15元，因此中位数是15元，故答案为：15元，10元；（4）1800×32%＝576人，答：该校有1800名学生中捐款金额为10元的学生有576人．【点评】此题主要考查条形统计图、扇形统计图的制作方法和特点、众数、中位数的意义，以及样本估计总体的统计方法，理解统计图中数量之间的关系是解决问题的关键．19．（8分）已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+（a+3）x+a+1＝0的一个根．（1）求实数a的值；（2）求证：方程总有两个不相等的实数根．【分析】（1）根据一元二次方程的解的定义，将x＝1代入关于x的一元二次方程x2+（a+3）x+a+1＝0，列出关于a的方程，通过解该方程求得a值即可；（2）求出根的判别式Δ＝（a+1）2+4＞0，据此可得答案；【解答】（1）解：∵x＝1是关于x的一元二次方程x2+（a+3）x+a+1＝0的一个根．∴1+a+3+a+1＝0，解得a＝﹣2.5；（2）证明：∵Δ＝（a+3）2﹣4（a+1）＝a2+6a+9﹣4a﹣4＝a2+2a+5＝（a+1）2+4＞0，∴方程总有两个不相等的实数根．【点评】本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a ≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．20．（8分）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点．点M 是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；（2）填空：①当AM的值为1时，四边形AMDN是矩形；②当AM的值为2时，四边形AMDN是菱形．【分析】（1）利用菱形的性质和已知条件可证明四边形AMDN的对边平行且相等即可；（2）①有（1）可知四边形AMDN是平行四边形，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形即∠DMA＝90°，所以AM＝AD＝1时即可；②当平行四边形AMND的邻边AM＝DM时，四边形为菱形，利用已知条件再证明三角形AMD是等边三角形即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴ND∥AM，∴∠NDE＝∠MAE，∠DNE＝∠AME，又∵点E是AD边的中点，∴DE＝AE，∴△NDE≌△MAE，∴ND＝MA，∴四边形AMDN是平行四边形；（2）解：①当AM的值为1时，四边形AMDN是矩形．理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝2．∵AM＝AD＝1，∴∠ADM＝30°∵∠DAM＝60°，∴∠AMD＝90°，∴平行四边形AMDN是矩形；故答案为：1；②当AM的值为2时，四边形AMDN是菱形．理由如下：∵AM＝2，∴AM＝AD＝2，∴△AMD是等边三角形，∴AM＝DM，∴平行四边形AMDN是菱形，故答案为：2．【点评】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定和性质、矩形的判定、以及等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握特殊图形的判定以及重要的性质．21．（8分）某商场购进甲、乙两种空调共40台，已知购进一台甲种空调比购进一台乙种空调进价多0.2万元；用36万元购进乙种空调数量是用18万元购进甲种空调数量的4倍．请解答下列问题：（1）求甲、乙两种空调每台进价各是多少万元？（2）若商场预计投入资金不多于11.5万元用于购买甲、乙两种空调，且购进甲种空调至少14台，商场有哪几种购进方案？【分析】（1）设甲空调每台的进价为x万元，则乙空调每台的进价为（x﹣0.2）万元，根据“用36万元购进乙种空调数量是用18万元购进甲种空调数量的4倍”列出方程，解之可得；（2）设购进甲种空调m台，则购进乙种空调（40﹣m）台，由“投入资金不多于11.5万元”列出关于m的不等式，解之求得m的取值范围，继而得到整数m的可能取值，从而可得所有方案．【解答】解：（1）设甲空调每台的进价为x万元，则乙空调每台的进价为（x﹣0.2）万元，根据题意，得：＝4×，解得：x＝0.4，经检验：x＝0.4是原分式方程的解，答：甲空调每台的进价为0.4万元，则乙空调每台的进价为0.2万元；（2）设购进甲种空调m台，则购进乙种空调（40﹣m）台，根据题意，得：0.4m+0.2（40﹣m）≤11.5，解得：m≤17.5，又m≥14，∴14≤m≤17.5，则整数m的值可以是14，15，16，17，所以商场共有四种购进方案：①购进甲种空调14台，乙种空调26台；②购进甲种空调15台，乙种空调25台；③购进甲种空调16台，乙种空调24台；④购进甲种空调17台，乙种空调23台．【点评】本题考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键．22．（9分）△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．（1）观察猜想：如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：BC⊥CF．②BC，CD，CF之间的数量关系为BC＝CF+CD；（将结论直接写在横线上）（2）数学思考：如图2，当点D在线段CB的延长线上时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．（3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．若已知BC＝4，CD＝1，请直接写出GE的长．【分析】（1）根据正方形的性质得到∠BAC＝∠DAF＝90°，推出△DAB≌△F AC，根据全等三角形的性质即可得到结论；由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△F AC，根据全等三角形的性质得到CF＝BD，∠ACF＝∠ABD，根据余角的性质即可得到结论；（2）根据正方形的性质得到∠BAC＝∠DAF＝90°，推出△DAB≌△F AC，根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的角的性质可得到结论．（3）过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，如图3所示，由△ADH≌△DEM（AAS），推出EM＝DH＝3，DM＝AH＝2，推出CN＝EM＝3，EN＝CM ＝3，由△BCG是等腰直角三角形，推出CG＝BC＝4，推出GN＝CG﹣CN＝1，再由勾股定理即可解决问题．【解答】解：（1）①∵正方形ADEF中，AD＝AF，∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，在△DAB与△F AC中，，∴△DAB≌△F AC（SAS），∴∠B＝∠ACF，∴∠ACB+∠ACF＝90°，即BC⊥CF；故答案为：BC⊥CF；②∵△DAB≌△F AC，∴CF＝BD，∵BC＝BD+CD，∴BC＝CF+CD；故答案为：BC＝CF+CD；（2）CF⊥BC成立；BC＝CD+CF不成立，CD＝CF+BC．理由如下：∵正方形ADEF中，AD＝AF，∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，在△DAB与△F AC中，，∴△DAB≌△F AC（SAS），∴∠ABD＝∠ACF，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝45°．∴∠ABD＝180°﹣45°＝135°，∴∠BCF＝∠ACF﹣∠ACB＝135°﹣45°＝90°，∴CF⊥BC．∵CD＝DB+BC，DB＝CF，∴CD＝CF+BC．（3）解：过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，如图3所示：∵∠BAC＝90°，BC＝4，∴AB＝AC＝2，∵AH⊥BC，AH＝BC＝BH＝CH＝2，∴DH＝CH+CD＝3，∵四边形ADEF是正方形，∴AD＝DE，∠ADE＝90°，∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，∴四边形CMEN是矩形，∴NE＝CM，EM＝CN，∵∠AHD＝∠ADC＝∠EMD＝90°，∴∠ADH+∠EDM＝∠EDM+∠DEM＝90°，∴∠ADH＝∠DEM，∴△ADH≌△DEM（AAS），∴EM＝DH＝3，DM＝AH＝2，∴CN＝EM＝3，EN＝CM＝3，∵∠ABC＝45°，∴∠BGC＝45°，∴△BCG是等腰直角三角形，∴CG＝BC＝4，∴GN＝1，在Rt△EGN中，EG＝＝．【点评】本题考查了四边形综合题，需要掌握全等三角形的判定和性质，正方形的性质，余角的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．。

安徽省淮北市五校联考2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试卷(含详解)

安徽省淮北市五校联考2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．志愿服务,传递爱心,传递文明,下列志愿服务标志为中心对称图形的是( )A.B.C. D.2．已知点P 在半径为r 的内，且，则r 的值可能为( )A.1B.2C.3D.43．将抛物线的图象先向左平移2个单位,再向下平移1个单位,得到的抛物线对应的函数表达式为( )A. B.C.D.4．若关于x 的方程有两个不相等的实数根,则反比例函数的图象在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5．在中,,,的长为( )6．已知点D 、E 分别在边、的延长线上,下列条件中一定能判断的是( )A. B.C. D.7．如图,过x 轴正半轴上的任意一点P 作y 轴的平行线交反比例函数和O e 3OP =2y x =()221y x =-+()221y x =++()221y x =--()221y x =+-210x x m -++=()0m y x x=<Rt ABC △90C ∠=︒4AB =tan A =ABC △BA CA //DE BC ::AD AB DE BC=::AD AB AE EC =::AD AB AE AC =::AD AC AE AB=()20y x x=>的图象于A ,B 两点,C 是y 轴上任意一点,则的面积为( )A.2 B.3 C.6 D.128．把球放在长方体纸盒内,球的一部分露出盒外,其截面如图所示,已知,则球的半径长是( )A. B. C. D.9．如图,E 是的边延长线上一点,连接,交于点F ,连接,,则等于( )A. B. C. D.10．如图是抛物线()图象的一部分,抛物线的顶点坐标是,与x 轴的一个交点,下列结论：①；②；③抛物线与x 轴的另一个交点是；④方程有两个相等的实数根；⑤若,且,则,则命题正确的个数为( )()40y x x=->ABC △4cm EF CD ==2.5cm 3cm 3.5cm 4cmABCD Y BC AE CD BF 3CD CF =:BEF ADF S S △△4:134:4:34:92y ax bx c =++0a ≠()1,3A ()4,0B 20a b +=30a c +=()2,0-23ax bx c ++=221122ax bx ax bx +=+12x x ≠121x x =+A.5B.4C.3D.2______.12．正方形网格中,如图放置,则______.13．已知,在二次函数的图像上,比较______.(填>、<或=)14．如图,是的直径,点C ,D 在上,且在两侧,于点H 交线段于点E ,,.______；(2)若,则______.三、解答题15．计算：.16．某气球内充满了一定量的气体,当温度不变时,气球内气体的压强是气体体积的反比例函数,其图象如图所示.当气体压强为时,求V 的值.==AOB ∠tan AOB ∠=()11,y -()22,y 22y x x m =-+1y 2y AB O e O e AB DE AB ⊥AC CB CE =3cos 5B ==5AD =AB =223cos 602sin 45tan 30sin 302-︒+︒-︒︒()kPa P ()3m V 48kPa17．如图,的顶点和定点O 都在单位为1的正方形网格的格点上.(1)画出以点B 为旋转中心、按顺时针方向旋转后得到的；(2)以点O 为位似中心,在网格纸中画出的位似图形,使它与的相似比为,且位于点O 的右侧.18．如图,是的内切圆,与,,分别相切于点D ,E ,F ,若,求的度数.19．如图,A 处有一垂直于地面的标杆,热气球沿着与的夹角为的方向升空,到达B 处,这时在A 处的正东方向200米的C 处测得B 的仰角为(、B 、C 在同)ABC △ABC △90︒11A BC △ABC △222A B C △ABC △2:1I e ABC △AB BC CA 50DEF ∠=︒A ∠AM AM 15︒30︒AM 1.414≈20．已知抛物线交x 轴于,两点,与y 轴交于点C .(1)求抛物线对应的函数表达式；(2)已知P 为抛物线上一点(不与点B 重合),若点P 关于x 轴对称的点恰好在直线上,求点的长.21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数象交于，两点，与x 轴、y 轴交于点C ，D 两点.（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）若点P 是第四象限内反比例函数图象上的一点，的面积是的面积的2倍，求点P 的坐标.22．一家水果超市以每斤4元的价格购进橘子若干斤,然后以每斤6元的价格出售,每天可售出80斤,通过调查发现,这种橘子每斤的售价每降低0.1元,每天可多售出20斤.(1)若将橘子每斤的售价降低x 元,则每天的销售量是____________斤(用含x 的代数式表示)；(2)销售这批橘子要想每天盈利280元,且保证每天至少售出220斤,那么水果店需将每斤的售价降低多少元？(3)当每斤橘子售价为多少元时,才能在一天内获得最大利润？最大利润是多少?1y k x b =+(),1A m COP △2y x bx c =-++()1,0A -()3,0B 2y x bx c =-++P 'BC PP 'y =2,33B ⎛⎫- ⎪⎝⎭AOD △23．如图,是的直径,点C 为上一点,,垂足为F ,交于点E ,与交于点H ,点D 为的延长线上一点,且.(1)求证：是的切线；(2)求证：；(3)若的长.AB O e O e OF BC ⊥O e AE BC OE ODB AEC ∠=∠BD O e 2CE EH EA =⋅O e A =参考答案1．答案：B解析：选项A 、C 、D 都不能找到这样的一个点,使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合,所以不是中心对称图形.选项B 能找到这样的一个点,使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合,所以是中心对称图形.故选：B.2．答案：D解析：点P 在半径为r 的内，且，.故选：D.3．答案：D 解析：将抛物线的图象先向左平移2个单位,再向下平移1个单位,得到的抛物线对应的函数表达式为,故选：D.4．答案：B解析：∵关于x 的方程有两个不相等的实数根,∴,解得∴反比例函数的图象在第二象限,故选：B.5．答案：D 解析：在中,.,180︒180︒ O e 3OP=∴3r >2y x =()221y x =+-210x x m -++=()()2Δ14110m =--⨯⨯+>m <()0m y x x=<Rt ABC △tan BC A AC == AC BC ∴=222AC BC AB +=..故选：D.6．答案：C解析：如图：根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似,∵,要使三角形,即：.故选：C.7．答案：B解析：设,则点A 、B 的横坐标都为a ,将代入得出,；将代入得出,；∴∴.故选：B.8．答案：A解析：取的中点M ,作于点M ,取上的球心O ,连接,DAE BAC ∠=∠=222)4BC BC ∴+=212BC ∴=BC ∴=ADE ABC △△∽::AD AB AE AC =()(),00P a a >x a =()20y x x =>y =2A a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，x a =()40y x x =->y =4a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，24AB a a ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭ABC △1632AB a a⋅=⋅=EF MN AD ⊥MN OF∵四边形为矩形,∴,∴四边形为矩形,∴,设,则,∴,在中,,∴,即,解得,故选：A.9．答案：B 解析：是的边延长线上一点,,,,,,,,,,故选：B.10．答案：C//CE AD ∴AD CE ∴=2AD DF CE CF ∴==2AD CE =:3:1BEF ECF S S ∴=△△ABCD 90C D ∠=∠=︒CDMN 4cm MN CD ==OF x =ON OF =14,22OM MN ON x MF EF =-=-==Rt OMF △90OMF ∠=︒222OM MF OF +=()22242x x -+=2.5x =E ABCD Y BC ADF ECF ∴∽△△3CD CF = :4:1ADF ECF S S ∴=△△2BC CE ∴=:3:4BEF ADF S S ∴=△△解析：对称轴为直线,,故①正确；,当时,,即,故②错误；对称轴是直线,与x 轴的一个交点是,则与x 轴的另一个交点是,故③正确；将抛物线向下平移3个单位,得到,顶点坐标变为,此时抛物线与x 轴只有一个交点,方程有两个相等的实数根,故④正确；若,则,即,,关于抛物线的对称轴对称,,故⑤错误.故选C.,则,.12．答案：2解析：如图, 12b x a=-=20a b ∴+=2b a =- ∴3x =960y a a c =-+>30a c +> 1x =()4,0B ()2,0-21y ax bx c =++23y ax bx c =++-∴()1,0∴23ax bx c ++=221122ax bx ax bx +=+221122ax bx c ax bx c ++=++12y y =1x ∴2x 1x =122x x ∴+=25=5b =5k b ==2a k =5b k ==,故答案为2.13．答案：>解析：∵二次函数,∴其对称轴为直线,又∵二次项系数,∴二次函数开口向上,图像上的点的横坐标距离对称轴越远,点的纵坐标越大,,∴.故答案为：>.解析：(1)是直径,,在中,,设,则,,,,,,又∵,,tan 2CD AOB DO∠==22y x x m =-+2121x -=-=⨯10a =>1-=11-=12y y >AB 90ACB ∴∠=︒Rt ABC △3cos 5B =BC AB ∴=3BC x =5AB x =4AC x ∴=3CB CE x == AE x ∴=DE AB ∵⊥90AHE ACB ∴∠=∠=︒CAB HAE ∠=∠AEH ABC ∴∽△△AE AB ∴==,(2)如图,连接,是直径,,又∵,,,,,解得15．答案：解析：原式45AH x ∴=455x AH AB x ∴==BD AB 90ADB AHD ∴∠=∠=︒BAD DAH ∠=∠ADH ABD ∴∽△△AD AB ∴=2AD AH AB ∴=⋅5AD = 45255x x ∴⋅=x =x =5552AB x ∴==⨯=12-221312222=-⨯+⨯-11311222232=-⨯+⨯-1111222=-+-=16．答案：当气球内的气压为时,气球的体积为2立方米.解析：设P 与V 的函数关系式为：则,解得,∴函数关系式为将代入,解得,∴当气球内的气压为时,气球的体积为2立方米.17．答案：(1)图见解析(2)图见解析解析：(1)如图,即为所求；(2)如图,即为所求；18．答案：解析：连接、,如图,48kPa P =08120k =⨯.96k =P =48P =P =48=2V =48kPa 11A BC △222A B C △80︒ID IF∵,∴,∵是的内切圆,与,,分别相切于点D ,E ,F ,∴,,∴,∴,∴.19．答案：A 、B 之间的距离约为141米解析：过点A 作,垂足为D ,由题意得：米,,∴,在中,,∴(米),在中,(米),∴A 、B 之间的距离约为141米.20．答案：(1)(2)10解析：(1)将,代入,得,解得,抛物线对应的函数表达式为；(2)由题意得,点C 的坐标为,设直线的表达式为,50DEF ∠=︒2100DIF DEF ∠=∠=︒I e ABC △AB BC CA ID AB ⊥IF AC ⊥90ADI AFI ∠=∠=︒180A DIF ∠+∠=︒18010080A ∠=︒-︒=︒AD BC ⊥200AC =9015105,30BAC C ∠=︒+︒=︒∠=︒18045ABD BAC C ∠=︒-∠-∠=︒Rt ACD △30C ∠=︒11002AD AC ==Rt ABD△141sin 45AD AB ===≈︒223y x x =-++()1,0A -()3,0B 2y x bx c =-++01093b c b c =--+⎧⎨=-++⎩23b c =⎧⎨=⎩∴223y x x =-++()0,3BC 3y kx =+将代入,得,解得,∴直线的表达式为,设点的坐标为,点P 与点关于x 轴对称,点P 的坐标为,∵点P 在抛物线上,,解得,,点P 不与点B 重合,,点P 的坐标为,点的坐标为,.21．答案：（1）（2）解析：（1）点在反比例函数，反比例函数的表达式为点在反比例函数的图象上，，，点，在一次函数的图象上，，解得一次函数的表达式为：.（2）由（1）得，一次函数的解析式为，则；2=- 2,33B ⎛⎫- ⎪⎝⎭1112233k bk b =-+⎧⎪∴⎨-=+⎪⎩∴322y x =--()3,0B 033k =+1k =-BC 3y x =-+P '(),3a a -+ P '∴(),3a a -2323a a a ∴-=-++13a =22a =- 2a ∴=-∴()2,5--P '()2,5-()5510PP ∴=--='322y x =--1,63P ⎛⎫- ⎪⎝⎭2,33B ⎛⎫- ⎪⎝⎭y =3∴-=22=-∴y = (),1A m 2y =-1∴=()2,1A ∴-()2,1A -1y k x b =+1k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩322y x =--2y =-令，则，，，，，，设点，，解得.22．答案：(1)(2)水果店需将每斤橘子的售价降低1元(3)当每斤橘子售价为5.2元时,才能在一天内获得最大利润,最大利润是288元解析：(1)由题意得：斤,故答案为：(2)设：水果店需将每斤橘子的售价降低x 元,则每斤橘子售价为元,由题意得：,解之得：,为保证每天至少售出220斤,即水果店需将每斤橘子的售价降低1元.(3)设将这种橘子每斤的售价降低m 元,一天内获得的利润为w 元,由题意得：当时,每斤橘子的售价为答：当每斤橘子售价为5.2元时,才能在一天内获得最大利润,最大利润是288元23．答案：(1)证明见解析0y =x =()0,2D -2=11||22222AOD A S OD x =⋅⋅=⨯⨯=△24COP AOD S S ==△△∴n =3022x =--4,03C ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭∴OC =∴∴2,P n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭121424223COP S OC n n =⋅⋅=⨯⋅=△1,63P ⎛⎫- ⎪⎝⎭()80200x +()8020802000.1x x +⨯=+()80200x +()6x -()()6480200280x x --+=11x =20.6x =80200220x +≥0.7x ∴≥11x ∴=∴()()()2264802002003201602000.8288w m m m m m =--+=-++=--+0.8m =288w =最大值∴60.8 5.2-=(2)证明见解析解析：(1),,,,,,,即,,是的直径,是的切线；(2)如图,连接,,,,,,；(3)如图,连接,ODB AEC ∠=∠ AEC ABC ∠=∠ODB ABC ∴∠=∠OF BC ⊥ 90BFD ∠=︒∴90ODB DBF ∴∠+∠=︒90ABC DBF ∴∠+∠=︒90OBD ∠=︒BD OB ∴⊥AB O e BD ∴O e AC OF BC ⊥ »»BECE ∴=CAE ECB ∠=∠∴CEA HEC ∠=∠ AEC CEH ∴∽△△CE EH ∴=2CE EH EA ∴=⋅BE是的直径,,,,又,,,,.,垂足为F,在中,由(1)知,,,ABOe90AEB∴∠=︒e5AB∴=sin BAE∠=3sin535BE AB BAE∴=⋅∠=⨯=»»BE CE=3BE CE∴==BAE BCE∠=∠sin sinBCE BAE∴∠=∠OF BC⊥∴Rt CFE△3sin35FE CE BCE=⋅∠=⨯= CF∴===BF CF∴==OF∴===ODB ABC∠=∠tan tanODB ABC∴∠=∠BFDF∴=2BF OF DF∴=⋅,2127510DF ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭DF ∴=。

岳阳市九年级上学期数学开学考试试卷

岳阳市九年级上学期数学开学考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为（）A . 5B . 4C .D .2. （2分）如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A . ∠ABD=∠AC BB . ∠ADB=∠ABCC . AB2=AD•ACD .3. （2分） (2018九上·番禺期末) 关于的二次函数，下列说法正确的是（）A . 图象的开口向上B . 图象与轴的交点坐标为（0，2）C . 当时，随的增大而减小D . 图象的顶点坐标是（－1，2）4. （2分） (2018八上·焦作期末) 如果一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象经过第一、二、四象限，那么k、b应满足的条件是（）A . k＞0，且b＞0B . k＜0，且b＞0C . k＞0，且b＜0D . k＜0，且b＜05. （2分）(2017·南山模拟) 如图，△ABC内接于⊙O，∠A的度数为60°，∠ABC、∠ACB的角平分线分别交于AC、AB于点D、E，CE、BD相交于点F．以下四个结论：①cos∠BFE= ；②BC=BD；③EF=FD；④BF=2DF．其中结论一定正确的序号数是（）A . ①②B . ①③C . ③④D . ②④6. （2分） (2019·盘锦) 如图，四边形ABCD是矩形，BC＝4，AB＝2，点N在对角线BD上（不与点B，D重合），EF，GH过点N，GH∥BC交AB于点G，交DC于点H，EF∥AB交AD于点E，交BC于点F，AH交EF于点M.设BF ＝x，MN＝y，则y关于x的函数图象是（）A .B .C .D .7. （2分）在Rt△ABC中，∠C=90°，若cosB=，则sinB的值得是（）A .B .C .D .8. （2分）(2013·柳州) 小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米（如图），然后在A 处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为（）A . 10米B . 12米C . 15米D . 22.5米9. （2分）如图所示,CD是Rt△ABC斜边上的高,AC=4,BC=3,则cos∠BCD的值是（）A .B .C .D .10. （2分） (2015九上·罗湖期末) 小亮根据取x的值为：1.1，1.2，1.3，1.4，1.5时，代入x2﹣12x﹣15求值，估算一元二次方程的解（）x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 x2+12x﹣15﹣.590.84 2.29 3.76 5.25A . 1.1＜x＜1.2B . 1.2＜x＜1.3C . 1.3＜x1.4D . 1.4＜x＜1.511. （2分） (2019九上·番禺期末) 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB=40°，则∠A的度数为（）A . 60°B . 50°C . 40°D . 30°12. （2分）已知一元二次方程的两个根是1和3，则b，c的值分别是（）A . b=4,c=－3B . b=3,c=2C . b=－4,c=3D . b=4,c=3二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016九上·盐城开学考) 当a=________时，最简二次根式与是同类二次根式．14. （1分） (2016九上·嘉兴期末) 如图，半圆O的直径AC=2 ，点B为半圆的中点，点D在弦AB上，连结CD，作BF⊥CD于点E，交AC于点F，连结DF，当△BCE和△DEF相似时，BD的长为________．15. （1分） (2019九上·潮南期末) 已知正方形中，点在边上，，（如图所示）把线段绕点旋转，使点落在直线上的点处，则、两点的距离为________．16. （1分） (2016九上·博白期中) 二次函数y=2（x﹣3）2﹣4的最小值为________．三、解答题 (共5题；共37分)17. （10分） (2020·宜宾)（1）计算：（2）化简：18. （5分）(2018·安顺) 计算： .19. （12分）(2019·凉山) 某校初中部举行诗词大会预选赛，学校对参赛同学获奖情况进行统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合图中相关数据解答下列问题：（1）参加此次诗词大会预选赛的同学共有________人；（2）在扇形统计图中，“三等奖”所对应的扇形的圆心角的度数为________；（3）将条形统计图补充完整；（4）若获得一等奖的同学中有来自七年级，来自九年级，其余的来自八年级，学校决定从获得一等奖的同学中任选两名同学参加全市诗词大会比赛，请通过列表或树状图方法求所选两名同学中，恰好是一名七年级和一名九年级同学的概率．20. （5分）泰兴鑫都小商品市场以每副60元的价格购进800副羽毛球拍．九月份以单价100元销售，售出了200副．十月份如果销售单价不变，预计仍可售出200副，鑫都小商品市场为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，销售单价每降低5元，可多售出10副，但最低销售单价应高于购进的价格．十月份结束后，批发商将对剩余的羽毛球拍一次性清仓，清仓时销售单价为50元．设十月份销售单价降低x元．（1）填表：月份九月十月清仓销售单价（元）10050销售量（件）200（2）如果鑫都小商品市场希望通过销售这批羽毛球拍获利9200元，那么十月份的销售单价应是多少元？21. （5分） (2017八下·宜兴期中) 如图所示的正方形网格中，△ABC 的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：①以A点为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△AB1C1 ，画出△AB1C1.②作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2.③作出点C关于x轴的对称点P. 若点P向右平移x个单位长度后落在△A2B2C2的内部(不含落在△A2B2C2的边上)，请直接写出x的取值范围．.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共37分)17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、19-3、19-4、20-1、21-1、。

广东中山部分学校2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试题(解析版)

2023−2024学年广东省中山市部分学校九年级（上）开学数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 下列四组线段，能构成直角三角形的是（）A. 1，1，2B. 2C. 5，6，7D. 6，8，10【答案】D【解析】【分析】勾股定理的逆定理：一个三角形中，如果有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，根据定理逐一判断即可.【详解】解：2221122,+=≠ 故A 不符合题意； 22227,+=≠ 故B 不符合题意； 22256617,+=≠ 故C 不符合题意；2226810010,+ 故D 符合题意；故选：.D【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，掌握利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形是解题的关键.2. 下列式子中，属于最简二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．【详解】解：A =，故原数不是最简二次根式，不合题意；B =C =，故原数不是最简二次根式，不合题意；D ，是最简二次根式，符号题意；故选：D ．【点睛】此题主要考查了最简二次根式，正确掌握相关定义是解题关键．3. 下列计算正确的是（）A.B. 1−=C.D. 8= 【答案】C【解析】【详解】分析：根据二次根式的加减法对A 、B 进行判断；根据二次根式的乘法法则对C 进行判断；根据二次根式的除法法则对D 进行判断．详解：A不能合并，所以A 选项错误；B 、原式B 选项错误；C 、原式，所以C 选项错误；D 、原式=D 选正确．故选C ．点睛：本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．4. 下列图像中，不能表示y 是x ）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的概念，对于自变量x 的每一个值，y 都有唯一的值和它对应，判断即可．【详解】解：A 、对于自变量x 的每一个值，y 都有唯一的值和它对应，所以能表示y 是x 的函数，故A 不符合题意；B 、对于自变量x 的每一个值，y 都有唯一的值和它对应，所以能表示y 是x 的函数，故B 不符合题意；C 、对于自变量x 的每一个值，y 都有唯一的值和它对应，所以能表示y 是x 的函数，故C 不符合题意；D 、对于自变量x 的每一个值，y 不是有唯一的值和它对应，所以不能表示y 是x 的函数，故D 符合题意；故选：D ．.【点睛】本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键．5. 如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2AB ，E 为AD 边中点，连接BE ，CE ，则∠BEC ＝（）A. 45°B. 60°C. 90°D. 100°【答案】C【解析】【分析】根据矩形的性质可得90A D ∠=∠=°，根据题意AD ＝2AB ，E 为AD 边中点，可得,ABE DEC △△是等腰直角三角形，进而求得BEC ∠．【详解】四边形ABCD 是矩形，∴90A D ∠=∠=°,AB CD =，AD ＝2AB ，E 为AD 边中点，,AB AE CD DE ∴==，∴,ABE DEC △△是等腰直角三角形，45AEB DEC ∴∠=∠=°18090BEC AEB DEC ∴∠=°−∠−∠=°．故选C【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，证明,ABE DEC △△是等腰直角三角形是解题的关键．6. 将一元二次方程2850x x −−=化成2()x a b +=（a ，b 为常数）的形式，则a ，b 的值分别是（） A. 4−，21B. 4−，11C. 4，21D. 8−，69【答案】A【解析】分析】根据配方法步骤解题即可．【详解】解：2850x x −−=移项得285x x −=，配方得2284516x x −+=+，【x−=，即()2421∴a=-4，b=21．故选：A【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是配方：在二次项系数为1时，方程两边同时加上一次项系数一半的平方．7. 在平行四边形ABCD中，∠A比∠B大40°，那么∠D的度数为（）A. 60°B. 70°C. 80°D. 110°【答案】B【解析】【分析】根据平行四边形的对角相等，邻角之和为180°，即可求出该平行四边形各个内角的度数．【详解】解：画出图形如下所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，∠A＋∠B＝180°又∵∠A−∠B＝40°，∴∠A＝110°，∠B＝70°，∴∠D＝∠B＝70°．故选：B．【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题关键是掌握平行四边形的对角相等，邻角之和为180°，难度一般．8. 的值应在（）A. 3和4之间B. 4和5之间C. 5和6之间D. 6和7之间【答案】C【解析】【分析】先根据二次根式的乘法运算化简，再估算无理数的大小．++2<<34∴526<<故选C【点睛】本题考查了二次根式的乘法运算，无理数大小的估算，先根据二次根式的乘法法则化简是解题的关键．9. 若一次函数y＝ax+b的图象经过一、二、四象限，则下列不等式中能成立的是（）A. a＞0B. b＜0C. a+b＞0D. a﹣b＜0【答案】D【解析】【分析】根据一次函数的图象和性质得出a＜0，b＞0，再逐个判断即可．【详解】解：∵一次函数y＝ax+b的图象经过一、二、四象限，∴a＜0，b＞0，∴a﹣b＜0，即选项A、B、C都错误，只有选项D正确；故选：D．【点睛】本题考查的是一次函数的图像与性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．10. 如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝3.5cm，BC＝5cm，AE平分∠BAD，CF∥AE，则AF的长度是（）A. 1.5cmB. 2.5cmC. 3.5cmD. 0.5cm【答案】A【解析】【分析】首先证明四边形AECF 是平行四边形，推出AF ＝CE ，想办法求出CE 即可解决问题．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠DAE ＝∠AEB ，∵AE ∥CF ，∴四边形AECF 是平行四边形，∴AF ＝CE ，∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE ＝∠EAD ，∴∠BAE ＝∠AEB ，∴AB ＝BE ＝3.5cm ，∴EC ＝BC −B E ＝5−3.5＝1.5（cm ∴AF =1.5cm故选：A ．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．二、填空题（本大题共5小题，共15分）11. 把直线3y x =的图象向上平移2个单位，则平移后直线的解析式为_________．【答案】32y x =+##23y x =+ 【解析】【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：把直线y =3x 的图象向上平移2个单位，则平移后直线的解析式为y =3x +2．故答案为：y =3x +2．【点睛】本题考查的是一次函数的图象的平移，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．12. 甲、乙两个样本，甲的方差为0.102，乙的方差为0.06，哪个样本的数据波动大？答：________．【答案】甲的波动比乙的波动大．【解析】【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定，故可得到正确答案．【详解】解：根据方差的意义，甲样本的方差大于乙样本的方差，故甲的波动比乙的波动大．故答案：甲的波动比乙的波动大．【点睛】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．13. 已知点1(2,)y −，2(8,)y 均在一次函数3y x m =+的图象上，则1y __2y （填“>”“ <”或“=” )．【答案】<【解析】【分析】由30k =>，利用一次函数的性质可得出y 随x 的增大而增大，结合28−<，即可得出12y y <．【详解】解：30k => ，y ∴随x 的增大而增大．点1(2,)y −，2(8,)y 均在一次函数3y x m =+的图象上，且28−<，12y y ∴<．故答案为：<．【点睛】本题考查了一次函数的性质，牢记“0k >，y 随x 的增大而增大；0k <，y 随x 的增大而减小”是解题的关键．14. 如图，一架梯子AB 长10米，底端离墙的距离BC 为6米，当梯子下滑到DE 时，2AD =米，则BE =______米．【答案】2【解析】【分析】在Rt ABC 中，根据勾股定理得出AC ，进而得出DC ，利用勾股定理得出CE ，进而解答即可．【详解】解：在Rt ABC 中，根据勾股定理，可得：AC 8=（米）， 826DC AC AD ∴=−=−=（米），在Rt DCE 中，8CE =（米）， 862BE CE BC ∴=−=−=（米），故答案为：2．【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中正确的使用勾股定理求CE15. 如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过A （1，2），B （0，1）两点，与x 轴交于点C ，则△AOC 的面积为____．【答案】1【解析】【分析】根据点A ，B 的坐标，利用待定系数法可求出直线AB 的解析式，代入y ＝0求出与之对应的x 值，进而可得出点C 的坐标及OC 的长，再利用三角形的面积公式即可求出△AOC 的面积．详解】解：将A （1，2），B （0，1）代入y ＝kx ＋b ，得：21k b b += = ，【解得：11k b = =， ∴直线AB 的解析式为y ＝x ＋1．当y ＝0时，x ＋1＝0，解得：x ＝−1，∴点C 的坐标为（−1，0），OC ＝1，∴S △AOC ＝12OC •y A ＝12×1×2＝1．故答案为：1．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，根据点A ，B 的坐标，利用待定系数法求出直线AB 的解析式是解题的关键．三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （1）解方程：2220x x +−=（2(21．【答案】（1）1211x x =−+=−−（2）4−．【解析】【分析】（1）用公式法解方程即可．（2）先化简二次根式和除法，利用完全平方公式展开，再算二次根式的减法和加法，即可求解．【详解】解：（1）2220x x +−=∴1a =，2b =，2c =−，∴()2242412120b ac −=−××−=>， ∴原方程有两个不相等的实数根，∴1x =−±，解得，1211x x =−+=−（22(113=+−4=．【点睛】本题考查解一元二次方程和二次根式的运算，选择适当的方法解方程，熟练掌握二次根式的混合运算法则以及二次根式的性质，计算含有二次根式的完全平方公式，是解决本题的关键．17. 已知一次函数的图象经过点A（﹣4，9）与点B（6，3），求这个一次函数的解析式．【答案】33355 y x=−+【解析】【分析】设函数解析式为y=kx+b，把经过的两个点的坐标代入得到关于k、b的二元一次方程组，求解得到k、b的值，即可得解．【详解】解：设函数解析式为y kx b=+，一次函数的图象经过点(4,9)−和点(6,3)，∴49 63k bk b−+=+=，解得35335kb=−=，所以，这个函数的解析式为33355y x=−+．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，待定系数法是求函数解析式常用的方法，一定要熟练掌握．18. 某药店有2500枚口罩准备出售．从中随机抽取了一部分口罩，根据它们的价格（单位：元），绘制出如图的统计图．请根据相关信息，解答下列问题：（1）图①中m的值为______．（2）统计的这组数据的平均数为______，众数为______，中位数为______．（3）根据样本数据，估计这2500枚口罩中，价格为2.0元的约有______枚．【答案】（1）28 （2）1.52，1.8，1.5（3）200【解析】【分析】（1）根据扇形统计图中的数据，可以计算出%m 的值，从而可以得到m 的值；（2）根据平均数、众数和中位数的定义求解；（3）利用样本估计总体思想求解．【小问1详解】解：%110%22%32%8%28%m =−−−−=，即m 的值是28，故答案为：28；【小问2详解】解：平均数是：1.010% 1.222% 1.528% 1.832% 2.08% 1.52×+×+×+×+×=（元），单价为1.8元的数量最多，则众数为：1.8元；随机抽取了口罩的总数为510%50÷=（枚），则中位数是第25枚和第26枚的平均数，即：1.5 1.5 1.52+=（元），故答案为：1.52，1.8，1.5；【小问3详解】解：估计这2500枚口罩中，价格为2.0元的约有：25008%200×=（枚），故答案为：200．【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、中位数、平均数、众数、用样本估计总体，解答本题的关键19. 如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，E ，F 分别为边AC ，BC 的中点，连接DE ，EF ．（1）若∠B ＝40°，∠C ＝55°，求∠DEF 的度数；（2）若AD ＝6，BD ＝8，CD ＝4，求△DEF 的周长．【答案】（1）15°；（2）7+ 【解析】【分析】（1）根据已知条件可得EF //AB ，ED EC =，进而求得,EDC EFD ∠∠，根据三角形外角性质即可求得DEF ∠的度数；（2）根据勾股定理求得AB ，AC ，进而根据中位线的性质可求得12EF AB =，根据FD FC DC =−即可求得DF ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得DE ，进而即可求得△DEF 的周长．【详解】（1） E ，F 分别为边AC ，BC 的中点，//EF AB ∴40EFD B ∴∠=∠=°AD ⊥BC∴ED EC =55EDC C ∴∠=∠=°554015DEF EDC EFD ∴∠=∠−∠=°−°=°（2） AD ⊥BC ，AD ＝6，BD ＝8，CD ＝4，10,AB AC ∴==E ，F 分别为边AC ，BC 的中点，115,22EF AB ED AC ∴==== 11()222FD FC DC BC DC BD DC DC =−=−=+−= ∴△DEF的周长为257DF DE ++=++=+【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，三角形的中位线定理，掌握以上知识是解题的关键．20. 如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m 的住房墙，另外三边用25m 长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m 宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m 2？【答案】所围矩形猪舍长为10m 、宽为8m 时，猪舍面积为80m 2【解析】【分析】可以设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm ，可以得出平行于墙的一边的长为(2521)x −+m ，由题意得出方程(2521)80x x −+=求出边长的值．的【详解】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为x m ，可以得出平行于墙的一边的长为(2521)x −+m ，由题意得 (2521)80x x −+=，化简，得213400x x −+=，解得：125,8x x ==，当5x =时，2521252511612x −+−×+>（舍去），当8x =时，2521252811012x −+−×+<，答：所围矩形猪舍的长为10m 、宽为8m ．【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解法的运用，解答时寻找题目的等量关系是关键．21. 已知1x ，2x 是一元二次方程2220x x k −++=的两个实数根．（1）求k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使得等式12112k x x +=−成立？如果存在，请求出k 的值，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）1k ≤−；（2）k =【解析】【分析】（1）根据方程的系数结合∆≥0，即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出k 的取值范围；（2）根据根与系数的关系可得出x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝k ＋2，结合12112k x x +=−，即可得出关于k 的方程，解之即可得出k 值，再结合（1）即可得出结论．【详解】解：（1）∵一元二次方程有两个实数根，∴2(2)4(2)0k ∆=−−+解得1k ≤−；（2）由一元二次方程根与系数关系，12122,2x x x x k +==+ ∵12112k x x +=−，∴1212222x x k x x k +==−+ 即(2)(2)2k k +−=，解得k =．又由（1）知：1k ≤−，∴k =．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合12112k x x +=−，找出关于k 的方程． 22. 如图，在矩形ABCD 中，8AB =，16BC =，点P 从点D 出发向点A 运动，运动到点A 停止，同时，点Q 从点B 出发向点C 运动，运动到点C 即停止，点P 、Q 的速度都是每秒1个单位，连接PQ 、AQ 、CP ．设点P 、Q 运动的时间为t 秒（1）当t 为何值时，四边形ABQP 是矩形；（2）当6t =时，判断四边形AQCP 的形状，并说明理由；【答案】（1）8t =；（2）当6t =时，四边形AQCP 为菱形,理由见解析．【解析】【分析】（1）由矩形性质得出16BC AD ==，8AB CD ==，由已知可得，BQDP t ==，16AP CQ t ==−，当BQ AP =时，四边形ABQP 为矩形，得出方程，解方程即可；（2）6t =时，BQ 6=，6DP =，得出16610CQ =−=，16610AP =−=，AP CQ =，//AP CQ ，四边形AQCP 为平行四边形，在Rt ABQ ∆中，与勾股定理求出10AQ，得出AQ CQ =，即可得出结论．【详解】解：（1）在矩形ABCD 中，8AB =，16BC =，16BC AD ∴==，8AB CD ==，由已知可得，BQDP t ==，16AP CQ t ==−，在矩形ABCD 中，90B ∠=︒，//AD BC ，当BQ AP =时，四边形ABQP 为矩形，16t t ∴=−，解得：8t =，∴当8t s =时，四边形ABQP 为矩形；（2）四边形AQCP 为菱形；理由如下：6t = ，6BQ ∴=，6DP =，16610CQ ∴=−=，16610AP =−=，AP CQ ∴=，//AP CQ ，∴四边形AQCP 为平行四边形，在Rt ABQ ∆中，10AQ ，AQ CQ ∴=，∴平行四边形AQCP 为菱形，∴当6t =时，四边形AQCP 为菱形；【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的判定、勾股定理、平行四边形的判定等知识；熟练掌握判定与性质是解题的关键．23. 如图，在平面直角坐标系中，直线15l y x =−+：与y 轴交于点A ，直线2l 与x 轴、y 轴分别交于点()40B −，和点C ，且与直线1l 交于点()2D m ，．（1）求直线2l 的解析式；（2）若点E 为线段BC 上一个动点，过点E 作EF x ⊥轴，垂足为F ，且与直线1l 交于点G ，当6EG =时，求点G 的坐标；（3）若在平面上存在点H ，使得以点A C D H ，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点H 的坐标．【答案】（1）122y x =+ （2）()27G −，（3）()20，或()26，或()24−，【解析】【分析】（1）先利用已知函数求出点D 的坐标，再利用待定系数法解答即可；（2）利用两条直线的解析式表示出G E ，两点的坐标，进而得出线段GE 的长，列出方程即可解答；（3）分四边形AHCD 为平行四边形、四边形AHDC 为平行四边形、四边形ADHC 为平行四边形，三种情形解答，先求得经过点H 的解析式，再联立，解方程组即可求解．【小问1详解】解：当2x =时，253y m =−+==， ∴()23D ，．设直线2l 的解析式为=y kx b +，由题意得：2340k b k b += −+=，解得：122k b = = ．∴直线2l 解析式为122y x +=．【小问2详解】解：EF x ⊥ 轴， G E ∴，的横坐标相同．设()5G n n −+，，则122E n n +，． E 为线段BC 上一个动点， 5>0n ∴−+，122>0n +， 5FG n ∴=−+，122FE n =+．的3362EG FG FE n ∴−−+===．解得：=2n −．()27G ∴−，．【小问3详解】解：如下图，当四边形AHCD 为平行四边形时，令0x =，则10222y =×+=，()02C ∴，．CH AD ∥ ，∴直线CH 的解析式为：2y x =−+．令=0x ，则1055y =−×+=，()05A ∴，．AH CD ∥ ，∴直线AH 的解析式为：152y x =+．∴2152y x y x =−+ =+ ．解得：24x y =− = ． ()24H ∴−，．如下图，当四边形AHDC 为平行四边形时，DH AC ∥ ，∴直线DH 的解析式为2x =，AH DC ∥ ，∴直线AH 的解析式为152y x =+， ∴当=2x 时，12562y =×+=， ()26H ∴，．当四边形ADHC 为平行四边形时，如下图，DH AC ∥ ，∴直线DH 的解析式为2x =，CH AD ∥ ，∴直线CH 的解析式为：2y x =−+，当2x =时，220y =−+=， ()20H ∴，．综上，存在点H ，使得以点A C D H ，，，为顶点的四边形是平行四边形，点H 的坐标为：()20，或()26，或()24−，．【点睛】本题是一道一次函数的综合题，主要考查了一次函数的解析式的求法，待定系数法，平行四边形的性质，一次函数图象上点的坐标的特征．待定系数法是确定函数解析式的重要方法，也是解答本题的关键．。

2024-2025学年初中九年级上学期数学第一次月考卷及答案(北师大版)

2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：120分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．测试范围：第1章～第3章（北师版）。

5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一．单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．下列方程中，是一元二次方程的是（）A．xx2−3xx−5=−5B．2xx2−yy−1=0C．xx2−xx(xx+2.5)=0D．aaxx2+bbxx+cc=02．下列命题为真命题的是（）A．有两边相等的平行四边形是菱形B．有一个角是直角的平行四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形D．有三个角是直角的四边形是矩形3．若关于xx的方程xx2+mmxx−6=2．则mm为（）A．−2B．1 C．4 D．−34．a是方程xx2+2xx−1=0的一个根，则代数式aa2+2aa+2020的值是（）A．2018 B．2019 C．2020 D．20215．如图，在正方形AAAAAAAA中，EE为AAAA上一点，连接AAEE，AAEE交对角线AAAA于点FF，连接AAFF，若∠AAAAEE=35°，则∠AAFFAA的度数为（）A．80°B．70°C．75°D．45°6．有一块长40m，宽32m的矩形种植地，修如图等宽的小路，使种植面积为1140m2，求小路的宽．设小路的宽为x，则可列方程为（）A．（40﹣2x）（32﹣x）=1140 B．（40﹣x）（32﹣x）=1140C．（40﹣x）（32﹣2x）=1140 D．（40﹣2x）（32﹣2x）=11407．在一个不透明的袋子中放有若干个球，其中有6个白球，其余是红球，这些球除颜色外完全相同.每次把球充分搅匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回袋子.通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右，则红球的个数约是（）A．2 B．12 C．18 D．248．如图，在菱形AAAAAAAA中，对角线AAAA，AAAA相交于点OO，EE是AAAA的中点，若菱形的周长为20，则OOEE的长为（）A．10 B．5 C．2.5D．19．在一次新年聚会中，小朋友们互相赠送礼物，全部小朋友共互赠了110件礼物，若假设参加聚会小朋友的人数为xx人，则根据题意可列方程为（）A．xx(xx−1)=110B．xx(xx+1)=110C．(xx+1)2=110D．(xx−1)2=11010．关于xx的一元二次方程kkxx2−2xx−1=0有两个不相等的实数根，则kk的取值范围是（）A．kk>−1B．kk>−1且kk≠0C．kk<1D．kk<1且kk≠011．如图，在菱形纸片ABCD中，AB=2，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则EF的长为（）A．74B．95C．1910D．76�312．如图，在正方形AAAAAAAA中，AAAA=4，E为对角线AAAA上与点A，C不重合的一个动点，过点E作EEFF⊥AAAA于点F，EEEE⊥AAAA与点G，连接AAEE，FFEE，有下列结论：①AAEE=FFEE．②AAEE⊥FFEE．③∠AAFFEE=∠AAAAEE．④FFEE的最小值为3，其中正确结论的序号为（）A．①②B．②③C．①②③D．①③④第Ⅱ卷二．填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）13．一元二次方程5xx2+2xx−1=0的一次项系数二次项系数常数项．14．xx1,xx2为一元二次方程xx2−2xx−10=0的两根，则1xx1+1xx2=．15．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OB＝2，∠ACB＝30°，则AB的长度为．16．如图所示，菱形AAAAAAAA的对角线AAAA、AAAA相交于点OO．若AAAA=6，AAAA=8，AAEE⊥AAAA，垂足为EE，则AAEE的长为．17．如图，将一张长方形纸片AAAAAAAA沿AAAA折起，重叠部分为ΔΔAAAAEE，若AAAA=6,AAAA=4，则重叠部分ΔΔAAAAEE的面积为．18．如图，在正方形AAAAAAAA中，AAAA=6，点E，F分别在边AAAA,AAAA上，AAEE=AAFF=2，点M在对角线AAAA上运动，连接EEEE和EEFF，则EEEE+EEFF的最小值等于．三、解答题（本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（6分）解下列方程：（1）3xx2−4xx−1=0；（2）2�xx−3�2=xx2−920．（8分）已知方程xx2+�kk+1−6=0是关于xx的一元二次方程．(1)求证：对于任意实数kk方程中有两个不相等的实数根．(2)若xx1，xx2是方程的两根，kk=6，求1xx1+1xx2的值．21．（8分）如图，在菱形AAAAAAAA中，对角线AAAA，AAAA交于点OO，AAEE⊥AAAA交AAAA延长线于EE，AAFF∥AAEE交AAAA延长线于点FF．(1)求证：四边形AAEEAAFF是矩形；(2)若AAEE=4，AAAA=5，求AAAA的长．22．（10分）“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗，某食品公司为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如图两幅统计图．请根据以上信息回答：(1)参加本次调查的有______人，若该居民区有8000人，估计整个居民区爱吃D粽的有______人．(2)请将条形统计图补充完整；(3)食品公司推出一种端午礼盒，内有外形完全相同的A、B、C、D粽各一个，小王购买了一个礼盒，并从中任意取出两个食用，请用列表或画树状图的方法，求他恰好能吃到C粽的概率．23．（8分）阅读材料，回答问题．材料1：为了解方程�xx2�2−13xx2+36=0，如果我们把xx2看作一个整体，然后设yy=xx2，则原方程可化为yy2−13yy+36=0，经过运算，原方程的解为xx1,2=±2，xx3,4=±3，我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．材料2：已知实数mm，nn满足mm2−mm−1=0，nn2−nn−1=0，且mm≠nn，显然mm，nn是方程xx2−xx−1=0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知mm+nn=1，mmnn=−1．根据上述材料，解决以下问题：(1)为解方程xx4−xx2−6=0，可设yy=____，原方程可化为____．经过运算，原方程的解是____．(2)应用：若实数aa，bb满足：2aa4−7aa2+1=0，2bb4−7bb2+1=0且aa≠bb，求aa4+bb4的值；24．（10分）中秋期间，某商场以每盒140元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为180元时，每天可售出60盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价2元，那么商场每天就可以多售出5盒．(1)设售价每盒下降xx元，则每天能售出______盒（用含xx的代数式表示）；(2)当月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到2550元；(3)该商场每天所获得的利润是否能达到2700元？请说明理由．25．（12分）在数学实验课上，老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践探究活动．定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．(1)概念理解：如图1，将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展平，折痕为四边形AAAAAAAA．判断四边形AAAAAAAA的形状：筝形（填“是”或“不是”）；(2)性质探究：如图2，已知四边形AAAAAAAA纸片是筝形，请用测量、折叠等方法猜想筝形的角、对角线有什么几何特征，然后写出一条性质并进行证明；(3)拓展应用：如图3，AAAA是锐角△AAAAAA的高，将△AAAAAA沿边AAAA翻折后得到△AAAAEE，将△AAAAAA沿边AAAA翻折后得到△AAAAFF，延长EEAA,FFAA交于点G．①若∠AAAAAA=50°，当△AAAAEE是等腰三角形时，请直接写出∠AAAAAA的度数；②若∠AAAAAA=45°，AAAA=2,AAAA=5,AAEE=EEEE=FFEE，求AAAA的长．26．（12分）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组学习正方形以后做了以下探究：在正方形AAAAAAAA中，E，F为平面内两点．【初步感知】（1）如图1，当点E在边AAAA上时，AAEE⊥AAFF，且B，C，F三点共线．请写出AAEE与FFAA的数量关系______；【深入探究】（2）如图2，当点E在正方形AAAAAAAA外部时，AAEE⊥AAFF，AAEE⊥EEFF，E，C，F三点共线．若AAEE=2，AAEE=4，求AAEE的长；【拓展运用】（3）如图3，当点E在正方形AAAAAAAA外部时，AAEE⊥EEAA，AAEE⊥AAFF，AAEE⊥AAEE，且D，F，E三点共线，猜想并证明AAEE，AAEE，AAFF之间的数量关系．2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：120分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

2024年九年级上学期开学考数学(人教版)试题及答案

九年级上学期开学摸底卷02 重难点检测卷【考试范围：人教版八下全部内容+九年级上衔接内容】注意事项：本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共26题。

答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置一、选择题（10小题，每小题2分，共20分）1．（2024·山东潍坊·模拟预测）计算()23−的结果是（）A ．3B ．9C ．23D ．3 2．（23-24八年级上·甘肃酒泉·期末）如图，一张长方形纸片剪去一个角后剩下一个梯形，则这个梯形的周长为（）A ．30B ．32C ．34D ．363．（23-24八年级下·云南昆明·期末）已知正比例函数的解析式为7x y =，下列结论正确的是（） A ．图象是一条线段B ．图象必经过点(1,6)−C ．图象经过第一、三象限D ．y 随x 的增大而减小4．（23-24八年级下·湖北恩施·期末）七位评委对参加普通话比赛的选手评分，比赛规则规定要去掉一个最高分和一个最低分，然后计算剩下了5个分数的平均分作为选手的比赛分数，规则“去掉一个最高分和一个最低分”一定不会影响这组数据的（）A ．平均数B ．中位数C ．极差D ．众数5．（22-23八年级下·广东揭阳·期中）如图，在ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，下列结论一定成立的是（）A ．AC BD ⊥B ．=AC BD C ．OB OD =D ．ABC BAC∠=∠6．（22-23八年级下·四川广安·期末）如图，在作线段AB 的垂直平分线时，小聪是这样操作的：分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点C ，D ，则直线CD 即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC 一定是（）A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．平行四边形7．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）下图中表示一次函数y mx n =+与正比例函数y mnx = (m ，n 是常数，且<0mn )图象是（）A ．B ．C ．D ．8．（23-24八年级下·云南昭通·期末）为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题，分析问题，解决问题的能力．2024年昭通市某学校的156班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点F 与欲到达地点E 相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程HF 比河的宽度EH 多2米，则河的宽度EH 是（）．A ．8米B ．12米C ．16米D ．24米9．（2024·重庆·模拟预测）设一元二次方程()200ax bx ca ++=≠的两个根分别为1x ，2x ，则方程可写成()()12a x x x x 0−−=，即()212120ax a x x x ax x −++=．容易发现：12b x x a +=−，12c x x a=．设一元三次方程()3200ax bx cx d a +++=≠的三个非零实根分别为1x ，2x ，3x ，则以下正确命题的序号是（） ①123b x x x a ++=−；②122313c x x x x x x a ++=；③123111cx x x d ++=；④123d x x x a =−． A ．①②③ B ．①②④ C ．②③④ D ．①③④10．（2023·湖北黄冈·模拟预测）如图，抛物线()20y ax bx c a ++≠与x 轴的一个交点坐标为(1,0)−，抛物线的对称轴为直线1x =，下列结论：①0abc <；②30a c +=；③当0y >时，x 的取值范围是13x −≤<；④点1(2,)y −，2(2,)y 都在抛物线上，则有120.y y <<其中结论正确的个数是（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）11．（23-24八年级下·广东惠州·期中）如果最简二次根式1a +与21a −是同类二次根式，那么a = ．12．（23-24八年级下·山西晋城·期末）若点()13,A y ，()25,B y 都在一次函数y x b =+的图象上，则1y 2y ．（填“>”“<”“=”）13．（2024·四川乐山·二模）若关于x 的方程()22140x m x m −+++=两根互为负倒数，则m 的值为．14．（22-23八年级下·广东惠州·阶段练习）如图，Rt ABC △中，90C ∠=°，AB 比AC 长1，3BC =，则AC = ．15．（22-23八年级下·湖南衡阳·期末）如图，已知直线y ax b =+和直线y kx =交于点P ，则关于x ，y 的二元一次方程组y kx y ax b = =+ 的解是．16．（23-24八年级下·广东惠州·期中）如图，在平行四边形ABCD 中，DDDD 平分ADC ∠，5AD =，2BE =，则平行四边形ABCD 的周长是．17．（22-23八年级下·湖北黄冈·期中）如图，电工黄师傅为了确定新栽的电线杆与地面是否垂直，他从电线杆上离地面2.5m 处向地面拉一条长6.5m 的缆绳，当黄师傅量得这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部距离为 m 时，这根电线杆便与地面垂直了．18．（2024·吉林·模拟预测）已知抛物线2y ax bx c ++（a ，b ，c 是常数，0a c <<）经过点()1m −，，其中0m >．下列结论：①0b <；②当12x >−时，y 随x 的增大而减小； ③关于x 的方程()20ax b m x c n ++++=有实数根，则n 是非负数；④代数式3m a b++的值大于0．其中正确的结论是（填写序号）．三、解答题（8小题，共64分）19．（23-24八年级下·广东广州·期末）计算：()243332+−．20．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）用适当的方法解下列方程：(1)21690x −=；(2)231212x x −=−；(3)()33x x x +=+；(4)24240x x −+=．21．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，在 Rt ABC △中，90ACB ∠=°，68AC BC ==，，以点 A 为圆心，AC 长为半径画弧交AB 于点 D ，求BD 的长．22．（23-24八年级上·四川达州·期末）如图，在ABC 中，5cm AB =，26cm BC =，AD 是BC 边上的中线，12cm AD =，求ABC 的面积．23．（23-24八年级下·福建泉州·期末）某公司随机抽取一名职员，统计了他一个月 (30天) 每日上班通勤费用通勤费用 (元/天) 0 48 36 天数(天) 8 12 64 (1)该名职工上班通勤费用的中位数是元，众数是元：(2)若该公司每天补贴该职员上班通勤费用6元，请你利用统计知识判断该职员是否还需自行补充上班通勤费用?24．（23-24八年级下·山东临沂·期中）如图，点D ，C 在BF 上，AC DE ∥，A E ∠=∠，BD CF =．(1)求证：AB EF =；(2)连接AF ，BE ，猜想四边形ABEF 的形状，并说明理由．25．（22-23八年级下·四川广安·期末）如图，已知函数12y x b =−+的图象与x 轴，y 轴分别交于点A 、B ，与函数y x =的图象交于点M ，点M 的横坐标为2，在x 轴上有一点(,0)P a （其中2)a >，过点P 作x 轴的垂线，分别交函数12y x b =−+和y x =的图象于点C 、D ．(1)求点A 的坐标；(2)若OB CD =，求a 的值．26．（2024·山西晋中·模拟预测）鹰眼技术助力杭州亚运，提升球迷观赛体验．如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O ，守门员位于点A ，OA 的延长线与球门线交于点B ，且点A ，B 均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．水平距离s 与离地高度h 的鹰眼数据如表： /m s 0 9 12 1518 21 … /m h 0 4.2 4.8 5 4.8 4.2 …(2)求h关于s的函数解析式．九年级上学期开学摸底卷02 重难点检测卷【考试范围：人教版八下全部内容+九年级上衔接内容】注意事项：本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共26题。

清华附中本部2023年九年级上学期开学考试数学试题(原卷版)

2023-2024学年北京市海淀区清华附中本部九年级（上）统练数学试卷（一）一、选择题（共2小题，本题共8分，每题4分）1. 实数,a b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A. 2a >−B. a b >C. 0a b +>D. 0b a −< 2. 如图，将ABC 绕点C 顺时针旋转得到DEC ，使点A 的对应点D 恰好落在边AB 上，点B 的对应点为E ，连接BE ，下列四个结论：①AC CD =；②A EBC ∠=∠；③AB EB ⊥；④CD 平分ADE ∠（）A. ①②④B. ①②③C. ①③④D. ①②③④ 二.填空题（共2小题，本题共8分，每题4分）3. 有甲､乙两组数据，如表所示：甲 11 12 13 14 15乙 12 12 13 14 14甲､乙两组数据的方差分别为22,s s 甲乙，则2s 甲______________2s 乙（填“＞”，“＜”或“＝”）． 4. 有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，排列规则如下：①左至右，按数字从小到大的顺序排列；②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则白卡片数字1摆在了标注字母_______的位置，标注字母e 的卡片写有数字_______．三.解答题（共12小题，本题共84分，第5-6题每题5分，第7-11题每题6分，第12-13每题8分，14-15题每题10分，第16题8分）5.计算：021)|1()2π−−−−. 6. 解不等式组：247412x x x x −<+ +−≤． 7. 已知关于x 的方程mx 2+(3﹣m)x ﹣3=0(m 为实数，m≠0)．(1) 试说明：此方程总有两个实数根．(2) 如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m 的值.8. 下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l 及直线l 外一点P ．求作：直线PQ ，使得PQ l ∥．作法：如图，①在直线l 上取一点A ，作射线PA ，以点A 为圆心，交PA 延长线于点B ；②在直线l 上取一点C （不与点A 重合），作射线BC ，以点C 为圆心，交BC 的延长线于点Q ； ③作直线PQ ．所以直线PQ 就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AB = ，CB = ，∴PQ l ∥（）（填推理依据）．9. 列分式方程解应用题．的的倍时，装裱前是一个长为150厘米，宽为82厘米的矩形．现要0.618≈）10. 如图，在四边形ABCD 中，6810AB CD AC BC ABC BCD ====∠=∠，，，．过点D 作DE BC ⊥，延长DE 至点F ，使E F ＝D E ，连接CF ．（1）求证：四边形ABFC 是矩形；（2）求DE 的长．11. 在平面直角坐标系xOy 中，点1A m （-，）是直线2y x =−+上一点，点A 向右平移4个单位长度得到点B（1）求B 点的坐标；（2）若直线l ：20y kx k =−≠（）与线段AB 有公共点，直接写出k 的取值范围． 12. 2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在中国空间站的问天实验舱开讲，“太空教师”陈冬、刘洋、蔡旭哲为广大青少年带来一场精彩的太空科普课．为了激发学生的航天兴趣，弘扬科学精神，某校甲、乙两个校区的八年级所有学生（两个校区八年级各有200名学生）参加了“格物致知叩问苍穹”为主题的太空科普知识竞赛．为了解八年级学生的太空科普知识掌握情况，从每个校区八年级的科技小组中分别随机抽取了20名学生的竞赛成绩，并整理成部分信息如下：a ．乙校区学生成绩频数分布直方图如下（数据分为5组：6580x ≤<；8085x ≤<；8590x ≤<；9095x ≤<；95100x ≤<）：的b ．乙校区的学生成绩数据在9095x ≤<这一组的是： 91 91 92 94c ．两个校区学生成绩的平均数、中位数、方差如下表所示：校区平均数中位数方差甲校区89.3 88.5 42.6 乙校区 89.3 m 87.2根据上述信息，解答问题：（1）m =______；（2）对于抽取的八年级学生竞赛成绩，高于本校区平均分的人数更多的是______校区，成绩更整齐的是______校区（填“甲”或“乙”；（3）抽样调查中，两个校区共有30%的学生竞赛成绩不低于95分．该校计划从两个校区选派成绩不低于95分的学生参加全区的竞赛，估计参赛的八年级学生中，甲校区有______人被选中．13. 如图，在一次学校组织的社会实践活动中，小龙看到农田上安装了很多灌溉喷枪，他发现这种喷枪射程是可调节的，且喷射的水流越高射程越远，水流的最高点与喷枪的水平距离记为x ，水流的最高点到地面的距离记为y ．y 与x 的几组对应值如下表：（1）该喷枪的出水口到地面的距离为 m ；（2）在平面直角坐标系xOy 中，描出表中各组数值所对应的点，并画出y 与x 的函数图象；（3）结合（2）中的图象，估算当水流的最高点与喷枪的水平距离为6m 时，水流的最高点到地面的距离为 m （精确到1m ）．根据估算结果，计算此时水流的射程约为 m （精确到1m ）． 14. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线222=−+−y x tx t t ．（1）求抛物线的顶点坐标（用含t 的代数式表示）；（2）点()()1122,,,P x y Q x y 在抛物线上，其中1212,1−≤≤+=−t x t x t ．①若1y 最小值是2−，求1y 的最大值；②若对于12,x x ，都有12y y <，直接写出t 的取值范围．15. 已知ADE 和ABC 都是等腰直角三角形，90ADE BAC ∠=∠=°，P 为AE 的中点（1）如图1，点A 、B 、D 在同一条直线上，直接写出DP 与BC 的位置关系；（2）将图1中ADE 绕点A 逆时针旋转，当AD 落在图2所示的位置时，点C 、D 、P 恰好在同一条直线上．①在图2中，按要求补全图形，并证明BAE ACP ∠=∠；②连接BD ，交AE 于点F ，判断线段BF 与DF 的数量关系16. 在平面直角坐标系xOy 中，对于线段AB 和点C ，若ABC 是以AB 为一条直角边，且满足AC AB >的直角三角形，则称点C 为线段AB 的“从属点”．已知点A 的坐标为(0,1)．的的（1）如图1，若点B 为()2,1，在点()10,2C −，()22,2C ，()31,0C ，()40,3C 中，线段AB 的“从属点”是___________；（2）如图2，若点B 为()1,0，点P 在直线23y x =−−上，且点P 为线段AB 的“从属点”，求点P 的坐标；（3）点B 为x 轴上的动点，直线()40y x b b =+≠与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，若存在某个点B ，使得线段MN 上恰有2个线段AB 的“从属点”，直接写出b 的取值范围．。

河南省郑州枫杨外国语学校2022-2023学年九年级上学期开学考试数学试卷

BA GEF DBCA 郑州枫杨外国语中学2022-2023学年九年级上期开学考试数学试卷时间：90分钟满分：120分一、选择题(每题3分，共30分)1.在学习《图形变化的简单应用》这一节时，老师要求同学们利用图形变化设计图案.下列设计的图案中，是中心对称图形不是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．2.下列性质中，正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )A .对角线互相垂直B .对角线互相平分C .对角线相等D . 四个角都是直角 3把一个多边形割去一个角后，得到的多边形内角和为1440°，请问这个多边形原来的边数为( ) A .9 B .10 C .11 D .以上都有可能4.为响应国家传统文化进校园的号召，某校准备购进一批毕加索笔来奖励经典诵读优秀生.某文具超市为让利给学校，经过两次降价，每支毕加索笔单价由121元降为100元，两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x ，根据题意列方程得( )A .121(1-x 2)=100B . 121(1+x )2=100C . 121(1-2x )=100D . 121(1-x )2=100 5.已知关于x 的方程3x =3k x的解是正整数，且k 为整数，则k A .0 B . -2 C . 0或6 D . -2或66. 如图，在平面直角坐标系中，若菱形ABCD 的顶点A ，B (2，0)，点D 在y 轴上，则点C 的坐标是( )A .(5，4)B .(4，5)C .(4，4)D .(5，3)7.如图，已知∠BAC =60°，AD 是角平分线且AD =10，作AD 的垂直平分线交AC 于点F ，作DE ⊥AC ，则△DEF 的长为()A . 10 BC . D8.如图，在平行四边形ABCD 中，将△ABC 沿着AC 得到△AB 'C ，B 'C 交AD 于点E ，连接B 'D ，若∠B =60°，∠ACB ACB ，D 的长是( )A .2 BC D .9. 如图，A ，B 为5×5的正方形网格中的两个格点，称四个顶点都是格点的矩形为格点矩形，在此图中以A ，B 为顶点的格点矩形共可以画出( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个10.如图，正方形ABCD 的边长为10，E 为AD 的史点，连接CE ，过点B 作BF ⊥CE 交CD 于点F ，垂足为G，连接AG 、DG ，下列结论：①BF =CE；②MG =CD ； ③∠CDG =∠AGE ；④EG ；⑤DG .其中在确结论有( ) A . ①②④ B ．②③⑤ C ． ①②⑤ D ．①④⑤GE FDB CAGEF DBCA二、填空题(每题3分，共15分)11. 对于非零的两个实数a ，b ，规定a ✞b =a 3-ab ，那么将a ✞16进行分解因式的结果为 . 12. 已知关于x 的不等式组2311142x x a --≤⎧⎪⎨--≤⎪⎩无实数解，则a 的取值范围是 .13.已知△MBC ∽△A ，B ，C ，，AD 和A ，D 是对应的角平分线，若AD ：AD '=4:3，△ABC的周长为16，则△AB 'C 的周长是 .14.如图在平行四边形ABCD 中，E 是CD 的中点，F 是AE 的中点，CF 交BE 于点G ，若BE =8，则GE = .15. 如图，矩形ABCD 中，点P 、Q 分别是边AD 和BC 的中点，沿过C 点的直线折叠矩形ABCD 使点B 落在线段PQ 上的点F 处，折痕交AB 边于点E ，交线段PQ 于点G ，若BC 长为3，则线段FG 的长为 .三、解答题(本大题共8个小题，共75分)16. (8分)解方程： ⑴22x x +-1xx -=1 ⑵x 2-4x +1=017.(9分)先化简(213a a ---a -1)÷2169a a a +-+，然后从-1，0，1，3中选一个合适的数作为a 的值代入求值.18.(9分)如图，在网格中建立平面直角坐标系，每个小正方形边长都是1，其顶点叫做格点，△ABC 的顶点都在格点上，A ，B ，C 三点的坐标分别为(-1，0)，(0，3)，(-2，2). ⑴将△ABC 向右平移3个单位长度，得到△A 1B 1C 1，画出△A 1B 1C 1；⑵以点O 为对称中心，画出△A 1B 1C 1的中心对称图形△A 2B 2C 2；⑶在⑴问的平移过程中，△ABC 扫过的图形面积为 .H G E FD B C A 19.(9分)已知：关于x 的一元二次方程x 2-(2k +3)x +k 2+3k +2=0. ⑴证明无论k 取何值时方程总有两个实数根.⑵△ABC 中，BC =5，AB 、AC 的长是这个方程的两个实数根，求k 为何值时，△ABC 是等腰三角形？20.(11分)已知：如图，四边形ABCD 四条边上的中点分别为E 、F 、G 、H ，顺次连接EF 、FG 、GH 、HE ，得到四边形EFGH (即四边形ABCD 的中点四边形).(1)四边形EFGH 的形状是，并证明你的结论. (2)当AC 、BD 满足时，四边形EFGH 是菱形. (3)当AC 、BD 满足时，四边形EFGH 是矩形.(4)当AC 、BD 满足时，四边形EFGH 是正方形.21.(9分)某学校计划为“建党百年，铭记党史”演讲比赛购买奖品.已知购买3件A 种奖品和2件B 种奖品共需130元；购买5件A 种奖品和4件B 种奖品共需230元. (1)求A ，B 两种奖品的单价各是多少元？(2)学校准备购买A ，B 两种奖品共40件，A 奖品的数量不少于B 奖品数量的13，且购买总费用不超过920元.当购买A 种奖品多少件时，购买总费用最少？总费用最少是多少？22.(10分)【感知】如图①在△ABC 中，点D 为边BA 延长线上的点，若AD AB =12，过点D 作DE ∥BC 交CA 延长线于点E .若DE =5，求BC 的长.【探究】如图②，在△ABC 中，点D 是边AB 上的点，点E 为边AC 的中点，连接BE 、CD 交于点F ，若DF CF =23.小明尝试探究EF BF 的值，在图②中.小明过点D 作DM ∥AC 交BE 于点M ，易证△DFM ∽△CFE ，则DM CE =DF CF =23.从而得到DM AE 的值为，易证△DBM ∽△ABE ，则BM BE =DM AE ，从而得到BM ME 的值为，从而得到EFBF的值为 . 【应用】如图③，在△ABC 中，点D 是边AB 上的点，E 为边CA 延长线上的点，连接BE ，延长CD ，交BE 于点F .AD BD =12，AE AC =13，且△ACD 的面积为1，则△BDF 的面积为 .23.(10分) 在平面直角坐标系xOy中，直线y=3x+6分别与x、y轴相交于A、B两点，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC．连接BC交x轴于点D.⑴求点C的坐标；⑵P为x轴上的动点，连接PB，PC，当|PB-PC|的值最大时，求此时点P的坐标．⑶点E在直线AC上，点F在x轴上，若以B、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点F 的坐标；备用图郑州枫杨外国语中学2022-2023学年九年级上期开学考试数学试卷答案参考一、选择题1. C2. A3. D4. D5. D6. A7. B8. D9. D 10. C 二、填空题11. a (a -4)(a +4) 12. a <-2 13. 12 14. 2 15. 3三、解答题16. 解：⑴经检验，x =25是原方程的解； ⑵ x 13，x 2317.解：化简结果=2a -6，∵a -3≠0，a +1≠0， ∴a ≠3，a ≠-1，当a =0时，原式=2×0-6=-6． 18. 解：解：⑴如图，△A 1B 1C 1即为所求； ⑵如图，△A 2B 2C 2即为所求；⑶∵S △ABC =2×3-12×1×2−12×1×3−12×1×2=52，由平移知，△ABC 扫过的面积为S △ABC + 平行四边形AA 1B 1B 的面积=52+3×3=11.5，故答案为：11.5．19. 解：⑴∵Δ=[-(2k +3)]2-4×1×(k 2+3k +2)=1＞0，∴无论k 取何值时方程总有两个实数根.⑵∵方程x 2-(2k +3)x +k 2+3k +2=0的解为：∴x =(23)1k +±=(23)12k +±，即x 1=k +2，x 2=k +1，∵AB 、AC 是方程的两个实数根，∴AB ≠AC ，∵BC =5，∴当k +2=5，或k +1=5时，△ABC 是等腰三角形， ∴k =3或4．20. ⑴结论：四边形EFGH 是平行四边形.证明：连接AC ，BD ，∵四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点， ∴EH ∥BD ，FG ∥BD ，∴EH ∥FG ，同理：GH ∥EF ， ∴四边形EFGH 是平行四边形． ⑵AC ⊥BD ； ⑶AC =BD ；⑷AC ⊥BD 且AC =BD .21. 解：⑴设A 的单价为x 元，B 的单价为y 元，根据题意得：3213054230x y x y +=⎧⎨+=⎩，∴3020x y =⎧⎨=⎩．∴A 的单价30元，B 的单价20元． ⑵设购买A 奖品m 个，则购买B 奖品为(40-m )个，由题意可知1(40)33020(40)920m m m m ⎧≥-⎪⎨⎪+-≤⎩，∴10≤m ≤12，P C 'xO y B A DCHx Oy BA DC∴w =30m +20×(40-m )=10m +800(10≤m ≤12)，∵10＞0，∴当m =10时，W 取最小值，最小值为900元．∴购买A 种奖品10件时，购买总费用最少；总费用最少是900元． 22. 解：【感知】如图①中，∵DE ∥BC ，∴△AED ∽△ACB ，∴AD AB =DE BC=12，∵DE =5，∴BC =10．【探究】如图②中，过点D 作DM ∥AC 交BE 于M ．∵DM ∥EC ，∴△DFM ∽△CFE ， ∴DM CE =DF CF =MF EF =23，∵AE =EC ，∴DM AE =23，∵DM ∥AE ，∴△DBM ∽△ABE ，∴BM BE =DM AE =23，∴BM ME=2，设MF =2k ，EF =3k ，则BM =10k ，∴BF =12k ，∴EF BF =312k k =14．故答案为：23，2，14.【应用】如图③中，连接DE ，作AR ∥CF 交BE 于R ． ∵AR ∥CF ，∴ER RF =EA AC =13，∵DF ∥AR ，∴BF RF =BD AD=2，设ER =m ，FR =3m ，则BF =6m ，EF =4m ， ∴EF FB =46m m =23，∵S △ADC =1，BD =2AD ，AC =3AE ， ∴S △DCB =2，S △DEA =13，∴S △ABC =3，S △AEB =1，∴S △DEB =23， ∴S △BDF =35•S △BDE =25．故答案为：2523. 解：⑴∵直线y =3x +6与x 、y 轴相交于A 、B 两点，∴A (-2，0)、B (0，6)， ∴OA =2，BO =6，过点C 作CH ⊥x 轴于H ，∵∠CAD +∠BAO =90°，∠BAO +∠ABO =90°，∴∠CAD =∠ABO ， ∴∠AHC =∠BOA =90°，由旋转得AB =AC ，∴△ABO ≌△CAH (AAS ， ∴CH =OA =2，AH =BO =6，∴OH =AH -OA =4， ∴点C 的坐标为(4，-2)；⑵如图，作点C 关于x 轴的对称点C ，，则C ，(4，2),连接BC ，并延长交x 轴于点P ，则点P 就是所求的最大值点.∵BC ，的解析式为：y =-x +6， ∴P (6，0).⑶∵A (-2，0)，C (4，-2)，B (0，6)， ∴直线AC ：y =-13x -23，直线BC ：y =-2x +6，∴D (3，0).∵以B 、D 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形，利用中点坐标公式来解决. 抓对角线来分类讨论：①若BD 是对角线，则EF 是另一对角线，由中点坐标公式，得x B +x D =x E +x F ，y B +y D =y E +y F ，即0+3=x E +x F ，6+0=y E +0，得y E =6，代入E 点所在直线解析式y =-13x -23，解得x E =-20，再代入0+3=x E +x F ，得x F=23，∴F(23，0).②若BE是对角线，则DF为另一对角线，于是x B+x E=x D+x F，y B+y E=y D+y F，即0+ x E=3+ x F，6+y E=0+0，解得y E=-6，代入E点所在直线解析式y=-13x-23，解得x E=16，再代入0+ x E=3+ x F，得x F=13，∴F(13，0)；③若BF是对角线，则DE为另一对角线，于是x B+x F=x D+x E，y B+y F=y D+y E，即0+ x F=3+ x E，6+ 0=0+y E，解得y E=6，代入E点所在直线解析式y=-13x-23，解得x E=-20，再代入0+ x F=3+ x E，得x F=-17，∴F(-17，0)；综上所述，点F的坐标为(-17，0)或(13，0)或(23，0)；。

广东省深圳中学2024-2025学年九年级上学期开学数学试题(解析版)

2024-2025学年第一学期假期学习诊断九年级数学试卷注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、学号等填写在答题卷规定的位置上．2．考生必须在答题卷上按规定作答：凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效．3．全卷共4页，考试时间90分钟，满分100分．一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分）1. 2024年巴黎奥运会是第三十三届夏季奥林匹克运动会，将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行．下面2024年巴黎奥运会项目图标是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转关键．【详解】A 、不是中心对称图形，该选项不符合题意；B 、是中心对称图形，该选项符合题意；C 、不是中心对称图形，该选项不符合题意；D 、不是中心对称图形，该选项不符合题意；故选：B ．2. 若a b >，则下列不等式不一定成立是（）A. 22a b −>−B. 22a b >C. 33a b −<−D. 22a b >【答案】D【解析】【分析】本题考查不等式的基本性质，根据不等式的基本性质逐项判断即可．【详解】解：A 、不等式两边同时减去2，不等号方向不变，故22a b −>−，本选项的不等式一定成立； B 、不等式两边同乘2，不等号方向不变，故22a b >，本选项的不等式一定成立；的C 、不等式两边同乘13−，不等号方向改变，故33a b −<−，本选项的不等式一定成立； D 、若1a =−，2b =−，满足a b >，但22a b <，故本选项的不等式不成立．故选：D3. 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围为（） A. 0x ≥且3x ≠B. 0x ≥C. 3x ≠D. 0x >且3x ≠ 【答案】A【解析】在实数范围内有意义得到20≥x 且30x −≠，求出结果即可．【详解】解：在实数范围内有意义， 20x ∴≥且30x −≠，0x ∴≥且3x ≠，故选：A ．4. 把多项式22x ax +−分解因式，结果是()()1x x b ++，则a ，b 的值为（）A. 32a b ==，B. 32a b =−=，C. 12a b ==−，D. 12a b =−=−，【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了整式乘法，解二元一次方程组，因式分解的定义等知识点，根据多项式乘法将因式展开，然后组成方程组，解方程组即可得解，熟练掌握整式乘法法则是解决此题的关键．【详解】解：∵()()()22112x x b x b x b x ax ++=+++=+−， ∴12b a b += =−， ∴12a b =− =− ．故选：D ．5. 如图，在ABCD 中，按照如下尺规作图的步骤进行操作：①以点B 为圆心，以适当长为半径画弧，分别与AB ，BC 交于点E ，F ；②分别以E ，F 为圆心，以适当长为半径画弧，两弧交于点G ，作射线BG ，与边AD 交于点H ；③以B 为圆心，BA 长为半径画弧，交于边BC 于点M ．若5AB =，8BH =，则点A ，M 之间的距离为（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【解析】【分析】本题考查了作图−基本作图，菱形的判定与性质，勾股定理，证明四边形ABMH 是菱形是解题的关键．连接AM 、MH ，设AM 交BH 于点O ，根据题意证明四边形ABMH 是菱形，从而得出OB 的长，再根据勾股定理即可得出结果．【详解】解：如图，连接AM 、MH ，设AM 交BH 于点O ，由题意可知，BH 是ABC ∠的角平分线，ABH CBH ∴∠=∠，又四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴∥，AHB CBH ∴∠=∠，ABH AHB ∴∠=∠，AB AH ∴=，以B 圆心，BA 长为半径画弧，交于边BC 于点M ，AB BM ∴=，AH BM ∴=，又AH BM ∥，∴四边形ABMH 是平行四边形，为又AB AH =，∴四边形ABMH 是菱形，AM BH ∴⊥，142OBOH BH ===，OA OM =， 90AOB ∠=°∴，3OA ∴，26AM OA ∴==，故选：B6. 下列命题中，假命题是（）A. 顺次连接任意四边形各边中点形成的四边形都是平行四边形B. 等腰三角形的高、中线、角平分线重合C. 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形D. 用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先要假设“这个三角形中每一个内角都大于60°”【答案】B【解析】【分析】选项A 中根据三角形的中位线定理结合平行四边形的判定即可证明，选项B 根据等腰三角形的性质进行判断，选项C D 根据反证法的步骤进行判断即可．【详解】解：A 、顺次连接任意四边形各边中点形成的四边形都是平行四边形是真命题，如图，∵点,,,E F G H 为,,,AB AD CD BC 的中点，∴,EF BD GH BD∥∥，11,22EF BD GH BD ==， ∴,EF GH EF GH =∥， ∴四边形EFGH 为平行四边形，∴故本选项不符合题意；B 、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合，是假命题，故本选项符合题意；C 、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形是真命题，故本选项不符合题意；D 、用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先要假设“这个三角形中每一个内角都大于60°”，是真命题，故本选项不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查的是命题的真假判断、反证法的应用，平行四边形的判定与性质，三角形的中位线定理，菱形的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．7. 如图，用长为20m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为11m ），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC 上用其他材料做了宽为1m 的两扇小门，若花圃的面积刚好为240m ，则此时花圃AB 段的长为（）m ．A. 4或103B. 103C. 4D. 10【答案】C【解析】【分析】本题考查一元二次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键．设AB x =米，则()2032BC x =−+米，根据围成的花圃的面积刚好为40平方米，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出x 的值，再结合BC 的长度不超过11米，即可确定x 的值，此题得解．【详解】解：设AB x =米，则()2032BC x =−+米，依题意，得：203240x x −+=（），整理，得：2322400x x −+=，解得：1013x =，24x =．当1013x =时，20321211x −+=>，不合题意，舍去；当4x =时，203210x −+=，符合题意．故选C ．8. 如图，在矩形ABCD 中，8AB AD ==，，点E 为边AD 上一动点，点F 为CE 的中点，连接BE ，点G 在BE 上，且EF GF =，则下列结论：①在点E 从点D 运动到点A 的过程中，点F 运动的路径长为AF DF +的最小值为16；③点G 到BC 的中点的距离为定值EFG S 的最小值为24 ．其中正确的是（）A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ①②③④【答案】D【解析】【分析】取CD 的中点H ，连接FH ，根据中位线的性质可得点F 在直线FH 上运动，点F 运动的路径长为12AD ，即可判断结论①；连接AC ，由直角三角形斜边上的中线的性质得到DF CF =，从而AF DF AF CF AC +=+≥，根据勾股定理求出AC 的长，即可判断结论②；取BC 的中点I ，连接GI ，则GI 的长为点G 到BC 的中点的距离，连接DF ，CG ，由DF EF CF GF ===，得到点D ，E ，G ，C 在以点F 为圆心，EC 为直径的圆上，从而得到90BGC ∠=°，根据直角三角形斜边上的中线的性质即可判断结论③；当GI BC ⊥时，BGC 的面积最大，进而由CEGBCE BCG S S S =− 求出CEG 的最EFG 的最小值，从而判断结论④．【详解】解：取CD 的中点H ，连接FH ，∵点F 是CE 的中点，∴FH AD ∥，12FH AD =， ∴点F 在直线FH 上运动，当点E 和点A 重合时，FH 有最大值，∴点F 运动的路径长为1122AD =× 连接AC ，∵在矩形ABCD 中，90ADC ∠=°，又点F 是CE 的中点， ∴12DF CE CF ==， ∴AF DF AF CF AC +=+≥，∵在矩形ABCD 中，8CD AB ==，∴在Rt ACD △中，16AC =，∴AF DF +的最小值为16．故结论②正确；取BC 的中点I ，连接GI ，则GI 的长为点G 到BC 的中点的距离，连接DF ，CG ，∵90CDE ∠=°，点F 是CE 的中点，∴12DF CE =，12EF CF CE ==， ∵EF GF =，∴DF EF CF GF ===，∴点D ，E ，G ，C 在以点F 为圆心，EC 为直径的圆上，∴90CGE ∠=°，∴18090BGC CGE ∠=°−∠=°，∵点I 是BC 的中点，∴1122GI BC ==×∴点G 到BC 的中点的距离为定值 ∵点E 是AD 上的动点，∴11822BCE S BC CD =⋅=××=∵GI BI CI ===∴点G 在以点I 为圆心，∴当GI BC ⊥时，BGC 的面积最大，最大值为114822BGC S BC GI =⋅=×=，此时48CEG BCE BCG S S S =−= 为最小值，∵点F 是EC 的中点，∴EFG 的最小值为()11482422EFG CEG S S ==−= ．故结论④正确．综上所述，结论正确的是①②③④．故选：D【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线的性质，三角形中位线的性质，圆周角定理，矩形的性质，勾股定理等，综合运用相关知识，正确作出辅助线是解题的关键．二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分）9. 因式分解：22x y xy −=________．【答案】()xy x y −##()yx x y −【解析】【分析】本题主要考查因式分解，原式提取公因式xy 即可．【详解】解：()22x y xy xy x y −=−，故答案为：()xy x y −10. 若a 为方程2250x x +−=的解，则2368a a +−的值为______．【答案】7【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，熟练掌握一元二次方程的解与一元二次方程的关系是解题的关键．由题意得2250a a +−=，将其变形与2368a a +−进行关联，即可求解．【详解】解：∵a 为方程2250x x +−=的解，∴2250a a +−=，∴225a a +=，∴()223683283587a a a a +−=+−=×−=．故答案为：7．11. 如图，在ABCD 中，37AB AD ABC ==∠，，的平分线交AD 于E ，交CD 的延长线于点F ，则DF =______．【答案】4【解析】【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．根据平行四边形的对边相等且平行和利用平行四边形的性质以及平行线的基本性质求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD ∥，7AD BC ==，3CD ==，ABE CFE ∴∠=∠，∵ABC ∠的平分线交AD 于点E ，ABE CBF ∴∠=∠，CBF CFB ∴∠=∠，7CF BC ∴==，734DF CF CD ∴=−=−=故答案为：4．12. 若关于x 的方程2122x m x x −=−−解为正数，则m 的取值范围是_____．【答案】2m >且4m ≠【解析】【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程是解题的关键．解分式方程得2x m =−，由关于x 的方程2122x m x x −=−−解为正数，可得2022m m −>−≠，，计算求解，然后作答即可．【详解】解：2122x m x x −=−−， 22x x m −+=，解得，2x m =−，∵关于x 的方程2122x m x x −=−−解为正数， ∴2022m m −>−≠，，解得，2m >，4m ≠，故答案为：2m >且4m ≠．13. 在Rt ABC △中，9035ABC AB BC ∠=°==，，，D 为AC 的中点，MDN ∠分别交直线AB ，BC 于点E ，F ，且90MDN ∠=°，连接EF ，当1AE =时，EF 的长为______．【答案】135【解析】【分析】过点E 作EG AC ⊥于点G ，连接BD ，根据勾股定理求出AC =AGE ABC △∽△，利用相似三角形的性质求出AG ，EG ，进而求出DG ，根据勾股定理求出DE ，由90EDF ABC ∠=∠=°，证得点D 、E 、B 、F 四点共圆，因此DEF DBC ∠=∠，根据直角三角形斜边上的中线的性质与等边对等角得到DEF C ∠=∠，即可证明DEF BCA ∽，根据相似三角形的性质即可解答．【详解】解：过点E 作EG AC ⊥于点G ，连接BD∵9035ABC AB BC ∠=°==，，，∴AC∵EG AC ⊥，∴90EGA ∠=°，∴EGA ABC ∠=∠，∵A A ∠=∠，∴AGE ABC △∽△， ∴AG AE EG AB AC BC ==，即35AG EG =，∴AG =，EG =∵点D 是AC 的中点，∴12AD AC ==∴DG AD AG =−== ∴Rt DEG中，DE === ∵90EDF ABC ∠=∠=°，∴点D 、E 、B 、F 四点共圆，∴DEF DBC ∠=∠，∵点D 是AC 的中点，90ABC ∠=°， ∴12CD AC =，12BD AC =， ∴BD CD =，∴∠=∠DBC C ，∴DEF C ∠=∠，∵90EDF ABC ∠=∠=°，在∴DEF BCA ∽， ∴DE EF BC AC == ∴135EF =．故答案为：135 【点睛】本题考查勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，四点共圆的判定，圆周角定理，等边对等角，相似三角形的判定及性质，综合运用相关知识，证明四点共圆是解题的关键．三、解答题（本大题共7小题，共61分）14. （1）解不等式组：()31242113x x x x −≥− +>−①②；（2）解方程：210240x x −−=．【答案】（1）14x −≤<；（2）112x =，22x =− 【解析】【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解一元二次方程，熟练掌握解法是解题的关键．（1（2）因式分解法求解即可．【详解】解：（1）解不等式①得，1x ≥−，解不等式②得，4x <，∴不等式组的解集为14x −≤<；（2）210240x x −−=()()1220x x −+=120−=x 或20x +=解得12x =或2x =−，∴原方程的解为：112x =，22x =−．15. 先化简22121124x x x x −+ +÷ −−，然后从1−，1，2-，2中选取一个合适的数作为x 的值代入求值．【答案】21x x +−，12− 【解析】【分析】本题考查了分式的化简求值，先把括号内通分，再进行同分母的加法运算，接着把除法运算化为乘法运算，则约分得到原式21x x +−，然后根据分式有意义的条件确定1x =−，最后把1x =−代入计算即可．【详解】解：原式()()()2222121x x x x x −+−+⋅−− ()()()222121x x x x x −+−==⋅−− 21x x +=− ∵20x −≠且20x +≠且10x −≠，∴1−，1，2-，2中x 只能取1−，当1x =−时，原式121112−+==−−− 16. 如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点()()()1,14,23,3A B C −−−，，．（1）平移ABC ，若点A 的对应点1A 的坐标为()3,1−，画出平移后的111A B C △；（2）将ABC 以点(0,2)为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的222A B C △；（3）已知将111A B C △绕某一点旋转可以得到222A B C △，则旋转中心的坐标为______；（4）若第二象限内存在点D ，使得以A 、B 、C 、D 四个点为顶点的四边形是平行四边形，则点D 的坐标为______．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）()2,1（4）()6,4-【解析】【分析】本题考查旋转的性质，旋转作图和中心对称作图，平行四边形的性质，掌握旋转和中心对称的性质是解题的关键．（1）根据点A 的对应点1A 的坐标为()3,1−确定平移方式，再根据平移方程确定其它两点的对应点，最后连线即可；（2）根据中心对称的性质，找到三个顶点的对应点，再连线即可；（3）连接对应点，对应点的交点就是旋转中心（对称中心）；（4）根据平行四边形的性质即可求解．【小问1详解】解：如图，111A B C △即为所求，【小问2详解】解：如图，222A B C △即为所求．小问3详解】解：如图，连接1212,A A C C ，对应点的交点就是旋转中心（对称中心），即点()21，，故答案是：()21，．【【小问4详解】解：如图，以A 、B 、C 、D 四个点为顶点的四边形是平行四边形时，AB CD ∥，AB CD =， ∵()()()1,14,23,3A B C −−−，，∴点D 的坐标为()6,4−．故答案为：()6,4−．17. 如图，ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，BE AC AE BD ∥，∥，OE 与AB 交于点F ．（1）在不添加新的点和线的前提下，增加一个条件：______，使得四边形AOBE 是矩形，并说明理由；（2）若1016AC BD OE AC ⊥==，，，求ABCD 的面积．【答案】（1）AC BD ⊥，理由见解析（2）96【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定及性质，菱形的判定及性质．（1）由BE AC AE BD ∥，∥，可得四边形AOBE 是平行四边形，只需添加条件使得90AOB ∠=°即可得到矩形AOBE ；（2）由（1）可得当AC BD ⊥时，四边形AOBE 是矩形，得到10AB OE ==，根据平行四边形的对角线互相平分并结合勾股定理求出12BD =，证明ABCD 是菱形，根据菱形的性质即可求出面积．【小问1详解】解：添加条件：AC BD ⊥，理由如下：∵BE AC AE BD ∥，∥，∴四边形AOBE 是平行四边形，∵AC BD ⊥，∴90AOB ∠=°，∴AOBE 是矩形．【小问2详解】解：由（1）可得当AC BD ⊥时，四边形AOBE 是矩形，∴10AB OE ==，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴1116822AO AC ==×=，∵AC BD ⊥∴在Rt ABO △中，6BO =，∴在ABCD 中，212BD BO ==，∵AC BD ⊥，∴ABCD 是菱形， ∴1116129622ABCD S AC BD =⋅=××= ． 18. 深圳市某商场准备购买足球、排球两种商品，每个足球的进价比排球多30元，用3000元购进足球和2100元购进排球的数量相同．（1）每个足球和排球的进价分别是多少？（2）根据对运动用品的市场调查，商场计划用不超过4800元的资金购进足球和排球共60个，其中足球数量不低于排球数量13倍，该商场有几种进货方案？（不用写出具体方案）【答案】（1）每个排球进价70元，每个足球进价100元（2）该商场有6种进货方案【解析】【分析】本题考查分式方程、一元一次不等式不等式组，正确理解题意，熟练掌握解法是解题的关键．（1）设排球每个进价为x 元，则足球每个进价为(30)x +元，根据用3000元购进足球和2100元购进排球的数量相同列出方程，解方程即可；（2）设商场购买足球a 个，则购买排球(60)a −个，根据商场计划用不超过4800元的资金购进足球和排球共60个，其中足球数量不低于排球数量的13，列不等式组，解不等式组即可．【小问1详解】解：设每个排球进价为x 元，则每个足球进价为()30x +元，由题意得：3000210030x x=+，解得：70x =，经检验，70x =是原方程的解且符合题意，∴307030100x +=+=（元），答：每个排球进价70元，每个足球进价100元；【小问2详解】解：设商场购买足球a 个，则购买排球(60)a −个，根据题意得：10070(60)48001(60)3a a a a +−≤ ≥−，解得：1520a ≤≤，a 是正整数，a ∴的取值为15，16，17，18，19，20，∴该商场有6种进货方案．19. 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程()220040ax bx c a b ac ++=≠−≥，的两根12x x ，有如下的关系（韦达定理）：1212b c x x x x a a+=−⋅=，；材料2：如果实数m 、n 满足221010m m n n −−=−−=、，且m n ≠，则可利用根定义构造一元二次方程210x x −−=，然后将m 、n 看作是此方程的两个不相等实数根．请根据上述材料解决下面问题：（1）①已知一元二次方程22350x x −−=的两根分别为12x x ，，则12x x +=______，12x x ⋅=______． ②已知实数a ，b 满足：22430430()a a b b a b +−=+−=≠，，则11a b+=______．（2）已知实数m 、n 、t 满足：22411411m m t n n t −=+−=+，，且0m n <<，求(1)(1)m n ++的取值范围．的（3）设实数a ，b 分别满足22319120121930a a b b ++=++=，，且1ab ≠，求353ab a b++的值．【答案】（1）①32，52−；②43 （2）()()5119m n <++<（3）1【解析】【分析】本题考查韦达定理，一元二次方程的解，分式的计算与求值．读懂材料是解题的关键．（1）①直接根据韦达定理求解；②根据材料2可得a ，b 是一元二次方程2430x x +−=的两个不相等的实数根，根据韦达定理得到4a b +=−，3ab =−，进而根据分式的加减法则计算后代入求值即可；（2）由材料2可得m ，n 是关于x 的一元二次方程2411x x t −=+，即24110x x t −−−=的两个不相等的实数根，从而0∆>，4m n +=，11mn t =−−，结合0m n <<，可求出t 的取值范围，将()()11m n ++展开代入整理后即可求解；（3）方程2121930b b ++=可变形为211319120b b +⋅+=，从而得到a ，1b 是方程2319120x x ++=的两个不相等的实数根，根据韦达定理得到1193a b+=−，14a b ⋅=，将所求式子变形整理后代入即可解答．【小问1详解】解：①∵一元二次方程22350x x −−=的两根分别为12x x ，，∴根据韦达定理，可得 213322x x −+=−=，125522x x −⋅==−．故答案为：32，52− ②∵22430430()a a b b a b +−=+−=≠，，∴a ，b 是一元二次方程2430x x +−=的两个不相等的实数根，∴4a b +=−，3ab =−，∴114433a b a b ab +−+===−．故答案为：43【小问2详解】解：∵实数m 、n 、t 满足：22411411m m t n n t −=+−=+，，∴m ，n 是关于x 的一元二次方程2411x x t −=+，即24110x x t −−−=的两个不相等的实数根， ∴Δ=(−4)2−4(−11−tt )>0，即15t >−， 4m n +=，11mn t =−−，∵0m n <<，∴110mn t =−−>，即11t <−，∴1511t −<<−，∵(1)(1)111416m n mn m n t t ++=+++=−−++=−−，且569t <−−<，∴()()5119m n <++<；【小问3详解】解：∵实数a ，b 分别满足22319120121930a a b b ++=++=，，且1ab ≠，∴0b ≠，∴方程2121930b b ++=可变形为211319120b b +⋅+=， ∴a ，1b是方程2319120x x ++=的两个不相等的实数根， ∴1193a b +=−，11243a b ⋅ ∴3533119353535413ab a a a a a b b b b b ++ =+⋅+=++⋅=×−+×=． 20. 垂美四边形定义如下：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．（1）如图1，四边形ABCD 是“垂美四边形”，猜想22AB CD 、与22BC AD 、之间的数量关系：______，并说明理由．（2）如图2，分别以Rt ABC △的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE ，连接BG CE 、，若4AB AC ==，，求EG 的长．（3）如图3，在Rt ABC △中，90ABC ∠=°，点P 是Rt ABC △外一点，连接BP ，10BP AC ==，已知2BC AB −=，若以A 、B 、C 、P 为顶点的四边形为垂美四边形，请直接写出AP 的长．【答案】（1）2222AD BC AB CD +=+，理由见详解（2）（3）或【解析】【分析】全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．（1）分别对Rt ,Rt ,Rt ,Rt AOD BOC AOB DOC △△△△运用勾股定理，再根据等式的性质即可求证；（2）先证明()SAS AGB ACE ≌，得到四边形BCGE 为“垂美四边形”，则2222BC GE GC BE +=+，再运用勾股定理求得24BC =，2232,24BE CG ==，代入即可求解；（3）①当BC AB >时，对Rt ABC △中，由勾股定理求得6AB =，8CB =，过点P 作BA 延长线的垂线，垂足为点D ，可证明BDP CBA △≌△，则6,8PDBA BD BC ====，2AD =，在Rt ADP中，由勾股定理得AP =；②当AB BC >时，同上AP =．【小问1详解】解：数量关系为：2222AD BC AB CD +=+记,AC BD 交于点O ，∵AC BD ⊥，∴在Rt ,Rt AOD BOC △△中，由勾股定理得：222222,AO OD AD BO OC BC +=+=，∴222222AD BC AO OD BO OC +=+++，同理可得：222222AB CD AO OD BO OC +=+++， ∴2222AD BC AB CD +=+；【小问2详解】解：如图，∵四边形,ACFG ABDE 是正方形，ABC 为直角三角形， ∴,,1290AC AG AB AE ACF ACB ==∠=∠=°=∠=∠， ∴GAB CAE ∠=∠，∴()SAS AGB ACE ≌， ∴3=4∠∠，∵56∠=∠，∴3546∠+∠=∠+∠，∵290∠=°，∴354690∠+∠=∠+∠=°， ∴BG CE ⊥，∴四边形BCGE 为“垂美四边形”， ∴2222BC GE GC BE +=+，在Rt ACB △中，由勾股定理得：222AC BC AB +=， ∴216124BC =−=，同理可求2232,24BE CG ==, ∴243224GE +=+，解得：GE =；【小问3详解】解：①当BC AB >时，则2BC AB =+，在Rt ABC △中，90ABC ∠=°， ∴由勾股定理得，222AB BC AC += ∴()222100AB AB ++=，解得：6AB =（舍负），∴8CB =，过点P 作BA 延长线的垂线，垂足为点D ，由题意得，AC BP ⊥，∴21290ACB ∠+∠=∠+∠=°， ∴1ACB ∠=∠，而90D ABC ∠=∠=°，AC BP = ∴BDP CBA △≌△，∴6,8PD BA BD BC ====，∴862AD =−=，∴在Rt ADP 中，由勾股定理得AP =②当AB BC >时，同上可求此时8,6AB BC ==，过点P 作PD AB ⊥于点D ，同上可证：BDP CBA △≌△，∴8,6DPBA BD BC ====， ∴2AD =，∴在Rt ADP 中，由勾股定理求得AP =，综上：AP =AP =．。

广东广雅中学2024~2025学年九年级上学期开学考试数学试题(解析版)

2024学年第一学期九年级综合素质评估试卷数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，共25小题，满分120分，考试用时120分钟．注意事项：1．开考前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、班级、考号等相关信息填写在答题卡指定区域内．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．第一部分选择题部分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 下列各式中，属于最简二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了最简二次根式以及二次根式的性质，根据最简二次根式的定义：二次根式的被开方式中不含分母，并且不含有能开得尽方的因式或因数，进行判断即可．【详解】解：AB=C=，不是最简二次根式，不符合题意；D故选：A．2. 一组数据5，4，5，6，5，3，4的众数是（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】此题考查众数的定义，根据众数的概念，找到该组数据中出现次数最多的数即可选出正确答案．【详解】解：数据5出现了3次，最多，所以众数为5，故选：C ．3. 下列各组数据中，是勾股数的是（）A.B. 6，7，8C. 1，2，3D. 9，12，15【答案】D【解析】【分析】本题考查勾股定理逆定理，两条较短线段的平方和等于较长线段的平方．根据勾股定理逆定理判断即可．【详解】解：A 、222+≠，不能组成直角三角形，不符合题意；B 、222678+≠，不能组成直角三角形，不符合题意；C 、123+=，不能组成三角形，不符合题意；D 、22291215+=，能组成直角三角形，符合题意；故选：D ．4. 甲、乙、丙、丁四人参加射击比赛，经过几轮初赛后，他们的平均数相同，方差分别为：22220.34,0.21,0.4,0.5s s s s ≡===甲乙丁丙．如果要从这四人中选取成绩稳定的一人参加决赛，你认为最应该派去参加决赛的是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】B【解析】【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义，根据方差的定义进行判断即可得出答案．【详解】解：∵22220.34,0.21,0.4,0.5s s s s ≡===甲乙丁丙， 2222s s s s ∴<<<乙甲丁丙， ∴乙的成绩更加稳定，故选：B ．5. 如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列说法正确的是（）A. 若AB BC ⊥，则ABCD 是菱形B. 若AC BD ⊥，则ABCD 是正方形C. 若AC BD =，则ABCD 是矩形D. 若AB AD =，则ABCD 是正方形【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了矩形和正方形以及菱形的判定，熟练掌握矩形和正方形以及菱形的判定定理是解题的关键．根据矩形和正方形以及菱形的判定定理逐项判断，即可解答．【详解】解：A 、邻边互相垂直的平行四边形不一定是菱形，故A 错误，不符合题意；B 、因为对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B 错误，不符合题意；C 、若AC BD =，则ABCD 是矩形，故C 正确，符合题意；D 、因为邻边相等的平行四边形是菱形，故D 错误，不符合题意；故选：C ．6. 已知方程2210kx x +−=有实数根，则k 的取值范围是（）A. 1k ≥−B. 1k ≥C. 1k ≤且0k ≠D. 1k ≥−且0k ≠ 【答案】A【解析】【分析】本题考查了根的判别式．讨论：当0k =时，方程化为一元一次方程，有一个实数解；当0k ≠时，根据根的判别式的意义得到224(1)0k ∆=−×−≥，解得1k ≥−且0k ≠，然后综合两种情况得到k 的取值范围．【详解】解：当0k =时，方程化为210x −=，解得12x =；当0k ≠时，则224(1)0k ∆=−×−≥，解得1k ≥−且0k ≠，综上所述，k 取值范围为1k ≥−．故选：A ．7. 如图，矩形ABCD 中，8AB =，12AD =，E 为AD 的中点，F 为CD 边上任意一点，G ，H 分别为EF，的BF 的中点，则GH 的长是（）A. 6B. 5.5C. 6.5D. 5【答案】D【解析】【分析】本题考查矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，关键是由三角形中位线定理推出12GH BE =，由勾股定理求出BE 的长．连接BE ，由矩形的性质得到90A ∠=°，由勾股定理求出10BE，由三角形中位线定理得到152GH BE ==．【详解】解：连接BE ，∵四边形ABCD 是矩形，90A ∴∠=°，12AD =∵，E 为AD 中点，162AE AD ∴==， 8AB = ，10BE ∴=，∵G ，H 分别为EF ，BF 中点，GH ∴是BEF △的中位线，152GH BE ∴==．故选：D ．8. 已知直线1l ：y kx b =−+与直线2l ：3y kx b =−在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质，数形结合是本题的关键．根据两个一次函数的图象逐一分析系数符号即可解决．【详解】解：A 、直线1:l y kx b =−+中0k >，0b >，2:3l y kx b =−中0k >，0b <，b 的取值相矛盾，故本选项不符合题意；B 、直线1:l y kx b =−+中0k <，0b >，2:3l y kx b =−中0k <，0b >，k 、b 的取值一致，故本选项符合题意；C 、直线1:l y kx b =−+中0k >，0b >，2:3l y kx b =−中0k <，0b >，k 的取值相矛盾，故本选项不符合题意；D 、直线1:l y kx b =−+中0k <，0b <，2:3l y kx b =−中0k <，0b >，b 的取值相矛盾，故本选项不符合题意．故选：B ．9. 在平面直角坐标系中，以方程组1y x m y x =−+ =−的解为坐标的点位于第三象限，则m 的取值范围是（） A. 1m <−B. 1m <C. 1m >D. 11m −<<【答案】A【解析】【分析】此题考查了解不等式组、解二元一次方程组，利用了消去的思想，消去的方法有：加减消去法与代入消元法，还考查了点的坐标．先求出方程组1y x m y x =−+ =−的解．根据以方程组的解为坐标的点位于第三象限列出不等式组求解即可；【详解】解：解方程组1y x m y x =−+ =− 得：1212m x m y + = − =， ∵以方程组1y x m y x =−+ =− 的解为坐标的点位于第三象限， ∴102102m m + < − <，解得：1m <−，故选：A ．10. 如图，在矩形ABCD 中，点E 在BC 上，10AE AD ==，6CD =，作AF DE ⊥于点G ，交CCCC 于F ，则CCCC 的长是（）A. 103B. 83C. 3D. 2【答案】B【解析】【分析】根据题意，10AD BC AE ===，6AB CD ==，可得8BE =，这样得2EC BC BE =−=，设CF x =，则6FE DF x ==−，利用勾股定理计算即可．本题考查了矩形的性质，勾股定理，线段的垂直平分线的判定和性质，熟练掌握勾股定理，线段的垂直平分线的判定和性质是解题的关键．【详解】解：∵矩形 ABCD ，10AD AE ==，6CD =，∴10AD BC AE ===，6AB CD ==，90B C ∠=∠=°，∴8BE =，∴2EC BC BE =−=，∵10AD AE ==，AF DE ⊥，∴直线AF 是线段DE 的垂直平分线，∴FE FD =，设CF x =，则6FE DF x ==−，则()2264x x −=+，解得83x =，故选：B ．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）11. 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是__________．【答案】3x ≥【解析】【分析】根据二次根式被开方数的非负性求出答案．【详解】解：由题意得30x −≥，解得3x ≥，故答案为：3x ≥．【点睛】此题考查了二次根式的非负性，熟记二次根式的被开方数大于等于零的性质是解题的关键． 12. 已知()211350mm x x +−+−=是关于x 的一元二次方程，则m 的值为______．【答案】1−【解析】【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次幂是2次的整式方程，特别注意二次项系数不为0，正确把握定义是解题关键．直接利用一元二次方程的定义知道二次项系数不为0同时x 的最高次幂为2，得出m 的值进而得出答案．【详解】解：由题意知：212m +=且10m −≠，解得1m =−，故答案为：1−．13. 已知正比例函数的图象过点()2,1A −，则该函数的解析式为______．【答案】12y x =−【解析】【分析】本题考查的是求解正比例函数的解析式，直接利用待定系数法求解函数解析式即可．【详解】解：设正比例函数解析式为y kx =，∵正比例函数的图象过点()2,1A −21k ∴−=，解得：12k =−， ∴该函数的解析式为12y x =−；故答案为：12y x =− 14.已知1x =，1y =−，则22x y −的值为____________．【答案】【解析】【分析】先将22x y −因式分解，然后将1x =+、1y =−代入计算即可．详解】解：()())221111x y x y x y −=+−+++=−+故答案为键．15. 若关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根分别为13x =，22x =−，则方程()()2(1)100a x b x c a −+−+=≠的两根分别为______．【答案】14x =，21x =−【解析】【分析】本题考查一元二次方程的解的概念，根据一元二次方程的解即可求得结果．关键是把方程()()22230a x b x ++++=中的2x +看成一个新的未知数，则关于2x +的方程的解等于关于x 的一元二次方程230ax bx ++=的解．【详解】解：由题意得：关于1x −的方程()()2(1)100a x b x c a −+−+=≠的解为：13x −=，12x −=−，【解得：14x =，21x =−，故答案为：14x =，21x =−．16. 如图，点()03B ，，A 为x 轴上一动点，将线段AB 绕点A 顺时针旋转90°得到.AC 连接.OC 当OC 取最小值时，点A 的坐标是_______________．【答案】302 −，【解析】【分析】本题考查了直线与图形的变化，垂线段最短，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题；如图，在x 轴的正半轴上取一点H ，使得3OH OB ==，在OB 上取一点D ，使得OD OA =．证明点C 在直线3y x =−上运动，根据垂线段最短即可解决问题．【详解】解：在x 轴的正半轴上取一点H ，使得3OH OB ==，在OB 上取一点D ，使得OD OA =．OB OH = ，OD OA =，BD AH ∴=，90HAC OAB ∠+∠=° ，90OAB ABO∠+∠=°， HAC DBA ∴∠=∠，BA AC = ，()SAS BDA AHC ∴ ≌，AHC ADB ∴∠=∠，OD OA = ，90AOD ∠=°，45ADO ∴∠=°，135AHC ADB ∴∠=∠=°，45CHx ∴∠=°，设直线CH 的解析式为y x b =+，()30H ，，∴直线CH 的解析式为3y x =−，∴点C 在直线3y x =−上运动，作OP CH ⊥于点P ，OP = 此时点3322P − ，，即3322C −，，设()0A m ，， AB AC = ，222233322m m ∴+=−+，解得32m =−， ∴点302A −，故答案为：3,02 −．三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. ()03π1−−．【答案】3−【解析】【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算．先算乘除法和零次幂，并化简二次根式，最后合并同类二次根式即可．()03π1+−1= 261=−+3=−18. 如图，在ABCD 中，E ，F 分别是,AB CD 的中点．求证：AF CE =．【答案】见解析【解析】【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，线段中点的有关计算，解题的关键是掌握平行四边形的判定和性质．根据平行四边形的判定和性质和线段中点的有关计算，证明四边形AECF 是平行四边形，进而即可证明．【详解】证明：四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD ∥，AB CD =，E ，F 分别是ABCD 的边AB ，CD 上的中点， ∴12CF CD =，12AE AB =， ∴CF AE =，CF AE ∥，∴四边形AECF 是平行四边形，∴AF CE =．19. 如图，已知CD AB ⊥，垂足为D ，1BD =，2CD =，4=AD ．判断ABC 的形状，并说明理由．【答案】ABC 是直角三角形，理由见解析【解析】【分析】根据勾股定理分别求出2BC ，2AC ，再根据勾股定理逆定理，即可得出结论．【详解】解：ABC 是直角三角形．理由：CD AB ⊥ ，垂足为D ，1BD =，2CD =，4=AD ．22222125BC BD CD ∴=+=+=，222224220AC AD CD =+=+=．415AB AD BD =+=+= ，22225205AB AC BC ∴==+=+．ABC ∴ 是直角三角形．【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方，两边平方和等于第三边平方的三角形是直角三角形．20. （1）化简：24211326x x x x −+ −÷ ++；（2）若x 是一元二次方程2320x x −+=的解，请求出上面化简后的代数式的值．【答案】（1）21x −；（2）2 【解析】【分析】本题考查分式的化简求值、解一元二次方程，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．（1）根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子即可；（2）根据因式分解法解一元二次方程，可以得到x 的值，然后将使得原分式有意义的x 的值代入化简后的式子即可解答本题．【详解】解：（1）24211326x x x x −+ −÷ ++ 234(1)32(3)x x x x +−−÷++ 212(3)3(1)x x x x −+×+− 21x =−；（2）解方程：2320x x −+=∴(1)(2)0x x −−=∴121,2x x ==， ∵1x =时分式无意义∴当xx =2 时，原式2221=−． 21. 某校学生会决定从三名学生会干事中选拔一名干事，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试，三人的测试成绩如下表所示：根据录用程序，学校组织200名学生采用投票推荐的方式，对三人进行民主测评，三人得票率（没有弃权，每位同学只能推荐1人）如扇形统计图所示，每得一票记1分．（1）分别计算三人民主评议的得分；（2）根据实际需要，学校将笔试、面试、民主评议三项得分按4:3:3的比例确定个人成绩，三人中谁的得分最高？【答案】（1）甲50，乙80，丙70；（2）丙．【解析】【分析】本题考查了加权平均数、扇形统计图等知识点，熟记相关公式是解题关键．（1）分别用200乘以三人的得票率，求出三人民主评议的得分各是多少即可．（2）根据加权平均数的计算方法列式计算，分别求出三人的得分各是多少；然后比较大小，判断出三人中谁的得分最高即可．小问1详解】解：甲民主评议得分是：20025%50×=（分）；乙民主评议的得分是：20040%80×=（分）；丙民主评议的得分是：20035%70×=（分）．【小问2详解】解：甲的成绩是：()()7549335034337291072.9×+×+×÷++=÷=（分），乙的成绩是：()()8047038034337701077×+×+×÷++=÷=（分），丙的成绩是：()()9046837034337741077.4×+×+×÷++=÷=（分），【的∵77.47772.9>>，∴丙的得分最高．22. 如图，在平面直角坐标中，直线26y x =−+与x 轴相交于点B ，与直线2y x =相交于点A ．（1）求AOB 的面积；（2）点P 为y 轴上一点，当PA PB +取最小值时，求点P 的坐标，【答案】（1）92（2）()0,2P【解析】【分析】本题考查两直线相交问题，一次函数的性质以及轴对称−最短线路问题，解题的关键是掌握待定系数法．（1）先求出点B 的坐标，联立两直线解析式构成方程组，得262y x y x=−+= ，解方程组求出3,32A 即可求解；（2）直线26y x =−+与y 轴的交点()3,0B ，作点B 关于y 轴的对称点(3,0)B ′−，连接,AB PB ′，交x 轴于点P ，利用待定系数法求出AB ′的解析式并令函数值为0即可求出点P 的坐标．【小问1详解】解： 026B x =−+， ∴3B x =，即()3,0B ，联立262y x y x =−+ =，解得：323x y = = ，∴点A 的坐标为3,32， ∴AOB 的面积为：11933222A OB y ⋅=××=；【小问2详解】解：作点B 关于y 轴的对称点B ′，连接AB ′，交y 轴于点P ，PB PB ′= ，PB PA PB PA ′∴+=+，此时，,,B P A ′三点共线，PB PA +有最小值，()3,0B ，3,32A， (3,0)B ′∴−设直线AB ′的解析式为y k x b ′′=+，代入(3,0)B ′−，3,32A ，的坐标得03332k b k b ′′′=−+ =+，解得：223b k ==′′， ∴直线AB ′的解析式为223yx =+，令0x =，得2y =， ∴点()0,2P 使PB PC +最小．23. 为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元．经过市场调研发现，每台售价为35万元时，年销售量为550台；每台售价为40万元时，年销售量为500台．假定该设备的年销售量y （单位：台）和销售单价x（单位：万元）成一次函数关系．（1）求年销售量y 与销售单价x 的函数关系式；（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于60万元，如果该公司想获得8000万元的年利润．则该设备的销售单价应是多少万元？【答案】（1）10900y x =−+ （2）50万元【解析】【分析】（1）设年销售量y 与销售单价x 的函数关系式yy =kkxx +bb (kk ≠0)，根据点的坐标，利用待定系数法即可求解；（2）设此设备的销售单价为m 万元/台，则每台设备的利润为()30m −万元，销售数量为()10900m −+台，根据总利润=单台利润×销售数量，即可得出关于m 的一元二次方程，解之取其小于60的值即可得出结论．【小问1详解】解：设年销售量y 与销售单价x 的函数关系式yy =kkxx +bb (kk ≠0)，将()35,550，()40,500代入解析式，得：3555040500k b k b += +=，解得：10900k b =− =， ∴年销售量y 与销售单价x 的函数关系式为10900y x =−+；【小问2详解】设此设备的销售单价为m 万元/台，则每台设备的利润为()30m −万元，销售数量为()10900m −+台，根据题意得：()()30109008000m m −−+=，整理得：212035000m m −+=，解得：150m =， 270m =，此设备的销售单价不得高于60万元，50m ∴=，则该设备的销售单价应是50万元．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．24. 某条城际铁路线共有A ，B ，C 三个车站，每日上午均有两班次列车从A 站驶往C 站，其中D 1001次列车从A 站始发，经停B 站后到达C 站，G 1002次列车从A 站始发，直达C 站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示．列车运行时刻表车次A 站B 站C 站发车时刻到站时刻发车时刻到站时刻D 10018：00 9：30 9：50 10：50 G 1002 8：25 途经B 站，不停车10：30 请根据表格中的信息，解答下列问题：（1）D 1001次列车从A 站到B 站行驶了______分钟，从B 站到C 站行驶了______分钟；（2）记D 1001次列车的行驶速度为1v ，离A 站的路程为1d ；G 1002次列车的行驶速度为2v ，离A 站的路程为2d ．①12v v =______； ②从上午8：00开始计时，时长记为t 分钟（如：上午9：15，则75t =），已知1240v =千米/小时（可换算为4千米/分钟），在G 1002次列车的行驶过程中()25150t ≤≤，若1260d d −=，求t 的值．【答案】（1）90，60（2）①56；②75t =或125 【解析】【分析】本题考查了一元一次方程的应用，速度、时间、路程的关系，明确题意，合理分类讨论是解题的关键．（1）直接根据表中数据解答即可；（2）①分别求出D 1001次列车、G 1002次列车从A 站到C 站的时间，然后根据路程等于速度乘以时间求解即可；②先求出2v ， A 与B 站之间的路程，G 1002次列车经过B 站时，对应t 的值，从而得出当90110t ≤≤时，D 1001次列车在B 站停车． G 1002次列车经过B 站时，D 1001次列车正在B 站停车，然后分2590t ≤<，90100t ≤≤，100110t <≤，110150t <≤讨论，根据题意列出关于t 的方程求解即可．【小问1详解】解：D 1001次列车从A 站到B 站行驶了90分钟，从B 站到C 站行驶了60分钟，故答案为：90，60；【小问2详解】解：①根据题意得：D 1001次列车从A 站到C 站共需9060150+=分钟，G 1002次列车从A 站到C 站共需356030125++=分钟，∴12150125v v =， ∴1256v v =，故答案为：56； ②14v = （千米/分钟），1256v v =， 2 4.8v ∴=（千米/分钟）．490360×= ，∴A 与B 站之间的路程为360．360 4.875÷=， ∴当100t =时，G 1002次列车经过B 站．由题意可如，当90110t ≤≤时，D 1001次列车在B 站停车．∴G 1002次列车经过B 站时，D 1001次列车正在B 站停车．ⅰ．当2590t ≤<时，12d d >，1212d d d d ∴−=−，()4 4.82560t t ∴−−=，75t =（分钟）；ⅱ．当90100t ≤≤时，12d d ≥，1212d d d d ∴−=−，()360 4.82560t ∴−−=，87.5t =（分钟），不合题意，舍去； ⅲ．当100110t <≤时，12d d <，1221d d d d ∴−=−，()4.82536060t ∴−−=，112.5t =（分钟），不合题意，舍去；ⅳ．当110150t <≤时，12d d <，1221d d d d ∴−=−，()()4.825360411060t t ∴−−+−=，125t =（分钟）．综上所述，当75t =或125时，1260d d −=． 25. 如图，等边ABD △中，8AB =．（1）尺规作图：在图1中作点A 关于BD 的对称点C ，连接BC DC ，，并证明四边形ABCD 是菱形；（2）在（1）的条件下，点O 是四边形ABCD 对角线交点，动点E ，F ，G 分别在线段CD AC BC ，，上，且满足EF AD EG EF ⊥∥，，H 是FG 中点；①当OH AB ∥时，求证12OH DE =； ②当OH BC ⊥时，求OH 长度．【答案】（1）作图见解析，证明见解析（2 【解析】【分析】（1）作BAD ∠的平分线，交BD 于O ，截取OC OA =，点C 即为所作；由等边ABD △，可得AC 垂直平分BD ，即AC BD ⊥，OD OB =，进而可证四边形ABCD 是菱形；（2）①由题意证，EF CE =，如图2，作EP CF ⊥，则EP BD ∥，由EF CE =，可得P 是CF 的中点，如图2，连接PH ，则PH CG ∥，由OH AB ∥，AB CD ∥，可得30POH BAC OPH ∠=∠=°=∠，OH CD ∥，则OH PH =，如图2，作HQ EP ∥交EF 于M ，则HQ OD ∥，证明四边形ODQH 是平行四边形，证明四边形MEPH 是平行四边形，证明MEQ △是等边三角形，则QE ME PH ==，由2DE DQ QE OH PH OH =+=+=，可得12OH DE =；②由题意求2BP =，6CP =，2CE CG =，如图3，作EN CF 于H ，连接HN ，延长OH ，交BC 于P ，交EF于Q ，则四边形EGPQ 是矩形，QE PG PQ EG ==，，设CG a PG b ==，，则2EF CE a ==，PQ EG =，12HN a =，QE PG b ==，2FQ EF QE a b =−=−，6a b +=，证明()AAS FHQ GHP ≌，则12QH PH PQ ===，由题意知，2OF OQ =，2ON OH =，由勾股定理得，2FQ a b =−，则OQ =OH =，由QH OQ OH =++，可求a b =，则3a b ==，进而可求OH 的长．【小问1详解】解：作BAD ∠的平分线，交BD 于O ，截取OC OA =，点C 即为所作； ∵等边ABD △，∴AC 垂直平分BD ，即AC BD ⊥，OD OB =，又∵OC OA =，∴四边形ABCD 菱形；【小问2详解】①证明：∵菱形ABCD ，∴30DAC DCA BAC BCA ∠=∠=∠=∠=°，60CDB ∠=°，120ADC ∠=°，BD AC ⊥，AB CD ∥，∵EF AD ∥，∴EFC DAC DCA ∠=∠=∠，120FEC ADC ∠=∠=°，60DEF ∠=°， ∴EF CE =，如图2，作EP CF ⊥，则EP BD∥，是图2∵EF CE =，∴P 是CF 的中点，如图2，连接PH ，∵H 是FG 中点，∴PH CG ∥，∴30OPH ACB ∠=∠=°， ∵OH AB ∥，AB CD ∥，∴30POH BAC OPH ∠=∠=°=∠，OH CD ∥，∴OH PH =，如图2，作HQ EP ∥交EF 于M ，则HQ OD ∥，∴四边形ODQH 是平行四边形，60CQH CDB ∠=∠=°， ∴DQ OH =，∵120EPH EPF OPH ∠=∠+∠=°，1602FEP CEF ∠=∠=°， ∴180EPH FEP ∠+∠=°，∴PH ME ∥，∴四边形MEPH 是平行四边形，∴PH ME =，∵60QEM MQE ∠=°=∠，∴MEQ △是等边三角形， ∴QEME PH ==， ∴2DE DQ QE OH PH OH =+=+=， ∴12OH DE =； ②解：∵菱形ABCD ，8AB =， ∴11422OB BD AB ===， ∵60DBC ∠=°，OHBC ⊥，∴30BOP ∠=°，∴2BP =，6CP =，∵60BCD ∠=°，90EGC FEG ∠=∠=°，∴30CEG ∠=°，∴2CE CG =，如图3，作EN CF 于H ，连接HN ，延长OH ，交BC 于P ，交EF 于Q ，则四边形EGPQ 是矩形，图3∴QE PGPQ EG ==，，由①可知，EF CE =，HN CG ∥，12HN CG =， ∴90OHN QPC ∠=∠=°，30ONH BCA ∠=∠=°，设CG a PG b ==，，则2EF CE a ==，PQ EG =，12HN a =，QE PG b ==，2FQ EF QE a b =−=−，6a b +=，∵90FQH GPH ∠=°=∠，FHQ GHP ∠=∠，FH GH =， ∴()AAS FHQ GHP ≌，∴12QH PH PQ ===，由题意知，2OF OQ =，2ON OH =，由勾股定理得，2FQ a b =−，解得，OQ =，同理，OH =， ∵QHOQ OH =+，a ，解得，a b =，∴3a b ==，∴OH =∴OH 【点睛】本题考查了作角平分线，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，中位线，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，含30°的直角三角形，勾股定理等知识．熟练掌握作角平分线，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，中位线，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，含30°的直角三角形，勾股定理是解题的关键．。

黑龙江哈尔滨市第四十七中学校2024-2025学年九年级上学期开学测试数学试题(只含选择、填空答案)

哈47中学2024—2025 学年度上学期开学验收初四数学试题考生须知：1．本试卷满分为120分，考试时间为 120分钟。

2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、 “座位号”在答题卡上填写清楚。

3．请按照题号的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草纸、试题纸上答题无效。

4．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米的黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔记清楚。

5．保持卡面整洁、不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题3分，共计30分）1．下列式子中，表示y 是 x 的正比例函数的是（）A ．y =-0.1xB ．y =3xC ．y =2x ²D ．y ²=4x2．在△ABC 中, AB :AC :BC =3:4:5, 则三角形 ABC 是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形3．下列一次函数，y 随x 增大而减小的是（）A ．y =12xB ．y =2x 3―5 C ．y=4x+2D ．y=-0.8x-1.64．如图所示，数轴上点 A 表示的数为（）A ．2B ．3 C.5 D ．75．要组织一场排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少队伍参加比赛? 设应邀请x 个队参赛，则可列方程（）A ．x (x ―1)2=4×7 B ．x (x ―1)=4×72C ．x （x --1）=4×7D ．x (x +1)2=4×76．如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点C 处测得树的顶端A 仰角为37°，同时测得 BC =20米, 则树的高 AB （单位: 米）为（）A．B ．C ．D ．7．若菱形的周长为8，高为1，则菱形两邻角的度数比为（）A ．3:1B ．4:1C ．5:1D ．6:18．下列一元二次方程有两个相等实数根的是（）A ．x ²―4x ―7=0B ．2x 2―22x +1=0C ．5x ²―3x =x +1D ．x ²+17=8x9．如图, 在△ABC 中, D 、E 分别为AB 、AC 边上的点 DE ∥BC , 点F 为BC 边上一点，连接AF 交 DE 于点G ．则下列结论中一定正确的是（）A ．AD AB =AEEC B ．AG GF =AEBD C ．AGGF =ACECD ．BDAD =CEAE10．已知1号探测气球从海拔5米处出发，以1m / min 的速度上升．与此同时，2号探测气球从海拔15米处出发，以0.5m / min 的速度上升．两个气球都上升了 1h ．图像表示两个探测气球的海拔高度差y （单位：m ）与上升时间t （单位：min ）之间的函数图像．下列说法正确的有（）个．①A 点纵坐标为 10;②B 时刻，1 号气球的海拔高度为25；③当t =40时, y =35;④C 点纵坐标为20；20sin 37︒20tan 37︒20tan 37︒20sin 37︒A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个二、填空题（每小题3分，共计30分）11．在函数y=x―3中，自变量x的取值范围是．12．关于x的一元二次方程x²―x+a―1=0有一个根为1，则a的值为．13．如图,在Rt△ABC中, ∠ACB=90° ,CD⊥AB于D, ∠ACD=3∠BCD, E是斜边AB的中点,连接CE, 则∠ECD 的度数为．14．如图所示，铁道口的栏杆短臂长1m，长臂长16 m，当短臂的端点下降0．5m时，长臂端点应升高．15．如图, 平行四边形ABCD中, AF平分∠BAD, 交CD于点F, DE⊥AF, 交AB于点E,AD=5, DE=6, 则AF= ．16．如图, 函数y= ax+b和y= kx的图象交于点A（-3, -2）, 根据图象可知, 关于x的不等式kx> ax+b的解集为．17．在平行四边形ABCD中, AB=5, BC=4, 过A作AH⊥BC交BC边于点H, 若CH=1, 则四边形ABCD的面积为．18．某品牌运动服原来每件售价640元，经过两次降价，售价降低了280元，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为．19．如图, △ABC折叠后B记为点B',折痕为EF．已知AB=AC=3,BC=4,若以点B',F,C为顶点的三角形与△ABC 相似，那么BF的长度是．20．已知: 四边形ABCD, ∠B=∠ADC=90° , ∠CAB=2∠ACD, 连接对角线AC, 过D作DE⊥AC于E, 若DE=4, AB=6, 则AC的长为．三．解答题（21题8分, 22、23题各7分, 24题8分, 25-27题各10分, 共60分）21．先化简，再求代数式(1―3x+2)÷x2―1的值，其中x=4sin45°―2cos60°x+222．如图, 在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB于D, 若BD:AD=1:3,求tan∠BCD．23．如图：网格中每个小正方形的边长均为1，等腰△ABC的三个顶点在小正方形的顶点上，按要求完成以下问题：（1）在图1中，用一条线段AD将△ABC分成2个全等的直角三角形；（2）将图1中分割形成的2个三角形进行重新拼接，形成平行四边形，在图2、图3、图4中画出拼成的平行四边形，并直接写出每种情况中非拼线接形成的对角线的长度．24．如图，在平面直角坐标系中，直线l的解析式为y=2x-6，点A，B的坐标分别为（1，0）, （0, 2）, 直线AB与直线l相交于点P．（1）求直线AB的解析式；（2）点Q在第一象限的直线l上, 连接AQ, 且AQ=AP, 求点Q的坐标．25．某商店欲购进A、B两种商品，若购进A种商品5件和B种商品4件需300元；购进A种商品6件和B 种商品8件需440 元．（1）求A、B两种商品每件的进价分别为多少元?（2）若该商店每销售1件A种商品可获利8元，每销售1件B种商品可获利6元，该商店准备购进A、B两种商品共50件，且这两种商品全部售出后总获利超过344元，则至少购进多少件A商品?26．已知: 矩形ABCD,E、F分别是AD、BC边上两点, 连接EF交对角线AC于G, CF=CG．图1 图2图3（1）求证: 2∠AEG ―∠ACD =90°;（2）取EF 中点 N , 过N 作 MN ⊥EF 交AC 于M , 求证: AM =CG ;（3）延长MN 交 CD 于K , 若, ,,求线段MN 长．27．平面直角坐标系中，直线 y =3x +3交x 轴于 B 、交 y 轴于C , 直线 AC 交 x 轴正半轴于点 A , 且OA =3OB ．图1 图2图3（1）求直线 AC 的解析式;12NK EF =:3:5CK DK =120ABCD S =Y（2）点D是线段AC是一动点, 连接BD, 点D的横坐标为t, △BCD的面积为S，求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；（3）在（2）的条件下, 过A作AE‖BD,，交直线BC于E，交y轴于F，G是第四象限内一点, 连接GA、GE, 使GA=GE,∠AGE=90°,, M是线段BD上一点, 过M作MN⊥AE于N,连接CM、NG, 当AF=BD时，求CM+NG的最小值，并求出此时点N的坐标．哈47中学2024—2025学年度上学期开学验收初四数学试题参考答案考生须知：1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟．2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚．3．请按照题号的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草纸、试题纸上答题无效．4．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔记清楚．5．保持卡面整洁、不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液修正带、刮纸刀．一、选择题（每小题3分，共计30分）1．A2．B3．D4．C 5．A6．B 7．C8．B9．D 10．C二、填空题（每小题3分，共计30分）11． 12．1 13．4514．815．816．17．1618．25%19．2或20．103x ≥3x >-127。

2023—2024学年湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学光谷分校九年级上学期开学考试数学试卷

2023—2024学年湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学光谷分校九年级上学期开学考试数学试卷一、单选题1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．2，1，5B．2，1，－5C．2，0，－5D．2，0，52. 二次函数图像的顶点坐标是（）A．B．C．D．3. 下列四幅图案是四所大学校徽的主体标识，其中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4. 在平面直角坐标系中，若直线不经过第一象限，则关于的方程的实数根的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．1或2个5. 已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（）A ．，B ．，C ．，D ．，6. 已知抛物线，抛物线与轴交于，两点，则，，，的大小关系是（）A ．B ．C ．D ．7. 已知，是一元二次方程的两个实数根，求的值（）A ．B ．2023C ．D ．8. 如图，在平面直角坐标系中，风车图案的中心为正方形，四片叶片为全等的平行四边形，其中一片叶片上的点 A ， C 的坐标分别为，，将风车绕点 O 顺时针旋转，每次旋转，则经过第2023次旋转后，点 D 的坐标为（）A ．B ．C ．D ．9. 如图，点 E 是边长为8的正方形 ABCD 的边 CD 上一动点，连接 AE，将线段AE绕点E逆时针旋转90°到线段EF，连接AF，BF，AF交边BC于点G，连接EG，当AF+ BF取最小值时，线段EG的长为（）A．8B．7C．9D．10. 对于二次函数，规定函数是它的相关函数．已知点，的坐标分别为，，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则的取值范围为（）A．或B．或C．或D．或二、填空题11. 一元二次方程的根的判别式的值为 _________ ．12. 如图，在中，弦，点A是圆上一点，且，则的半径是 ________ ．13. 已知二次函数，当时，函数值的取值范围是__________ ．14. 已知二次函数与x轴有两个交点，把当k取最小整数时的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若新图象与直线有三个不同的公共点，则m的值为 ______ ．15. 如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是 ______ 填序号．16. 如图，长方形中，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，将绕着点E顺时针旋转到的位置，连接和，则的最小值为 ____________________ ．三、解答题17. 解方程(1)(2)18. 已知是关于的一元二次方程的一个根.(1)求.(2)求此方程的另一个根.19. 某校学生会组织周末爱心义卖活动，义卖所得利润将全部捐献给希望工程，活动选在一块长40米、宽28米的矩形空地上．如图，空地被划分出6个矩形区域，分别摆放不同类别的商品，区域之间用宽度相等的小路隔开，已知每个区域的面积均为128平方米，小路的宽应为多少米？20. 如图，抛物线的对称轴为，抛物线与轴相交于、两点，与轴交于点，其中点的坐标为．(1)求点的坐标；(2)若点在抛物线上，，且，求点的坐标．21. 在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系xoy，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标是（4，4），请解答下列问题：（1）在图中画出△ABC关于y轴对称的△A 1B 1C 1，并直接写出点A的对应点A 1的坐标；（2）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到△A 2B 2C 2，在图中画出△A 2B 2C，并直接写出点A的对应点A 2的坐标；2（3）将△A 2B 2C 2沿直线折叠，刚好和△A 1B 1C 1重合，请直接写出直线的解析式为．22. 如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为1.2m．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，灌溉车到绿化带的距离为d（单位：m）．(1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；(2)求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围． 23. 如图（1）正方形和正方形，边在边上．，．将正方形绕点逆时针旋转．(1)如图（2）正方形旋转到此位置，求证：；(2) BE的延长线交直线于点，当正方形由图（1）绕点逆时针旋转，请直接写出旋转过程中点运动的路线长；(3)在旋转的过程中，是否存在某时刻？若存在，试求出的长；若不存在，请说明理由．（点即（2）中的点）24. 已知抛物线与轴交于A，B两点(A在B 左边)，与轴交于C点，顶点为P，OC=2AO.(1)求与满足的关系式；(2)直线AD//BC，与抛物线交于另一点D，△ADP的面积为，求的值；(3)在(2)的条件下，过(1，-1)的直线与抛物线交于M、N两点，分别过M、N且与抛物线仅有一个公共点的两条直线交于点G，求OG长的最小值.。

重庆市南开中学2024-2025学年九年级上学期数学开学考试模拟试卷(含答案)

重庆市南开中学2024-2025学年九年级上学期数学开学考试模拟试卷一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的为（）A．B．C．D．2．（4分）下列方程中，有两个相等实数根的是（）A．x2＝x B．C．x2﹣4＝0D．x2+2x+4＝03．（4分）在反比例函数图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（）A．k＞3B．k＞0C．k＜3D．k＜04．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△ADE是以点A为位似中心的位似图形，相似比为1：3，点A 在x轴上，点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（﹣2，2），则点D的坐标是（）A．（﹣3，4）B．（﹣4，6）C．（﹣4，5）D．（﹣3，5）5．（4分）某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（）A．y＝10（1+x）3B．y＝10+10（1+x）+10（1+x）2C．y＝10+10x+x2D．y＝10（1+x）26．（4分）估计的值应在（）A．8和9之间B．9和10之间C．10和11之间D．11和12之间7．（4分）若，则的值为（）A．B．1C．1.5D．38．（4分）下列按照一定规律排列一组图形，其中图形①中共有2个小三角形，图形②中共有6个小三角形，图形③中共有11个小三角形，图形④中共有17个小三角形，……．按此规律，图形⑩中共有n个小三角形，这里的n＝（）A．87B．74C．62D．539．（4分）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD的交于点O，点E为边AB上一动点，连接DE，作CF⊥DE 于点F，连接OF，若∠BDE＝α，则∠DOF的度数为（）A．2αB．30°+αC．45°﹣αD．60°﹣2α10．（4分）给定一列数，我们把这列数中第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，以此类推，第n 个数记为a n（n为正整数），已知a1＝x．并规定：a n+1＝，T n＝a1•a2•a3…a n，S n＝a1+a2+a3+…+a n．则：①a2＝a5；②T1+T2+T3+…+T1000＝；③对于任意正整数k，T3k+3（S3k﹣S3k+2）＝T3k﹣T3k﹣1﹣T3k﹣2成立，以上结论中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）11．（4分）计算：（）﹣1+（π﹣2）0＝．12．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m＝0的一个根是2，则m2＝．13．（4分）一个不透明的箱子里装有a个球，其中红球有5个，这些球除颜色外都相同．每次将箱子里的球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25，那么可以估算出a的值为．14．（4分）若一个多边形的内角和为720°，则从该多边形一个顶点出发可画的对角线条数是．15．（4分）如图，矩形ABCD的顶点A、B分别在反比例函数y＝（x＞0）与y＝﹣（x＜0）的图象上，点C、D在x轴上，AB、BD分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积为．16．（4分）若关于x的不等式组的解集为x＞0，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数m的值的和是．17．（4分）如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°，过点B作BE⊥AB交CD于点E，连接AE，F为AE 的中点，H为BE的中点，连接FH和CF，CF交BE于点G，则GF的长为．18．（4分）若一个四位自然数A，满足百位数字与千位数字的平方差恰好是A去掉千位与百位数字后得的两位数，则称这个四位数A为“活泼数”，例如A＝2521，因为52﹣22＝21，故2521是一个“活泼数”；若一个四位自然数B，各个数位上的数字互不相等且满足十位数字比千位数字大1，个位数字比百位数字大1，则称这个四位数B为“可爱数”，例如1425，因为2﹣1＝1，5﹣4＝1，故1425是一个“可爱数”，对于一个“活次数”，规定：，对于一个“可爱数”B＝，规定：G（B）＝p﹣n，则F（5611）×G（3142）＝；当B的百位数字为4时，若是整数，则所有满足条件的奇数四位数A 的和是．三．解答题（共8小题，满分78分）19．（8分）（1）解方程：（2）解不等式组：．20．（10分）先化简，再求值：，其中x满足x2﹣x﹣1＝0．21．（10分）学习了平行四边形的知识后，同学们进行了拓展性研究．他们发现作平行四边形一组对角的角平分线与另一组对角的顶点所连对角线相交，则这两个交点与这条对角线两侧的对角顶点的连线所围成的封闭图形是一个特殊四边形．他的解决思路是通过证明对应线段平行且相等得出结论．请根据她的思路完成以下作图和填空：用直尺和圆规，过点B作∠ABC的角平分线，交AC于点F，连接BE、DF．（只保留作图痕迹）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线，DE平分∠ADC，交AC于点E．求证：四边形BEDF 是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，① ，∴∠DAC＝∠BCA．∵DE平分∠ADC，BF平分∠CBA，∴，．∵∠ADC＝∠CBA，∴② ，∴△ADE≌△CBF（ASA）．∴DE＝BF，∠DEA＝∠BFC．∴③ ，∴四边形BEDF是平行四边形．同学们再进一步研究发现，过平行四边形任意一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，均具有此特征．请你依照题意完成下面命题：过平行四边形一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，则④ ．22．（10分）教育部制定了独立的《义务教育劳动课程标准》，其中规定：以劳动项目为载体，以孩子经历体验劳动过程为基本要求，培养学生的核心劳动素养．某校分别从该校七、八年级学生中各随机调查了100名学生，统计他们上周的劳动时间，劳动时间记为x分钟，将所得数据分为5个组别（A组：90≤x≤100；B组：80≤x＜90；C组：70≤x＜80；D组：60≤x＜70；E组：0≤x＜60），将数据进行分析，得到如下统计：①八年级B组学生上周劳动时间从高到低排列，排在最后的10个数据分别是：82，82，81，81，81，81，80，80，80，80．②八年级100名学生上周劳动时间频数分布统计表：分组A B C D E频数14b28136③七、八年级各100名学生上周带动时间的平均数、中位数、众数如表：年级平均数中位数众数七年级81.379.582八年级81.3c83请你根据以上信息，回答下列问题：（1）a＝，b＝，c＝；（2）根据以上数据分析，你认为七、八年级哪个年级学生上周劳动情况更好，请说明理由；（写出一条理由即可）（3）已知七年级有800名学生，八年级有600名学生，请估计两个年级上周劳动时间在80分钟以上（含80分钟）的学生一共有多少人？23．（10分）四边形ABCD中，AB∥CD，BC⊥AB，AB＝12，DC＝6，BC＝8．动点P从A点出发，沿A→B方向以每秒1个单位的速度运动，同时，动点Q从点A出发，沿折线A→D→C方向以每秒2个单位的速度运动，当Q点到达C点时，P、Q两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒，y1＝AP+DQ．（1）请直接写出y1关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y1的图象，并写出函数y1的一条性质；（3）若函数y2＝x+b的图象跟函数y1的图象有两个交点，请直接写出b的取值范围．24．（10分）新学期学校门口开了一家文具店，为了更好的迎接同学们，商家购进了一批笔记本和签字笔．商家用1600元购买笔记本，800元购买签字笔，每本笔记本比每支签字笔的进价贵6元，且购进签字笔的数量是笔记本的2倍．（1）求商家购买每本笔记本和每支签字笔的进价？（2）商家在销售过程中发现，当笔记本的售价为每本14元，签字笔的售价为每支5元时，平均每天可售出20本笔记本，40支签字笔．据调查，笔记本的售价每降低0.5元平均每天可多售出5本，且开学活动力度大，降价幅度不低于10%．商家在保证签字笔的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使笔记本和签字笔平均每天的总获利为270元，则每本笔记本的售价为多少元？25．（10分）如图，直线y＝x+2分别与x轴，y轴交于点A，点C，点P是反比例函数y＝（k≠0）图象与直线AC在第一象限内的交点，过点P作PB⊥x轴于点B，且AB＝6．（1）求反比例函数的表达式；（2）点D是直线PB右侧反比例函数图象上一点，且S△APD＝，直线PD交y轴于点E，点M，N是直线AC 上两点，点M在点N的左侧且MN＝AP，求EM+DN的最小值及此时点N的坐标；（3）在（2）的条件下，点F为反比例函数图象上一点，若∠PEF﹣∠PAB＝45°，请直接写出所有符合条件的点F的横坐标．26．（10分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为线段BC上一点（点D不与B，C重合），连接AD．（1）如图1，∠ADB＝105°，CD＝，求BD的长度；（2）如图2，D为BC中点，E为平面内一点，连接DE，CE，AE，BE，将线段DE绕D顺时针旋转90°得到线段DF，连接AF，∠FAC+∠ECB＝90°，G为线段EC上一点，AG⊥CE，求证：CE＝AF+2AG；（3）如图3，P，H为射线AD上两个点，∠BHA＝90°，AP＝2BH，将△BNP沿直线BP翻折至△BHP所在平面内得到△BKP，直线PK与直线AB交于点T．若，当线段BP取得最小值时，请直接写出△APT的面积．重庆市南开中学2024-2025学年九年级上学期数学开学考试模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的为（）A．B．C．D．【答案】D2．（4分）下列方程中，有两个相等实数根的是（）A．x2＝x B．C．x2﹣4＝0D．x2+2x+4＝0【答案】B3．（4分）在反比例函数图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（）A．k＞3B．k＞0C．k＜3D．k＜0【答案】A4．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△ADE是以点A为位似中心的位似图形，相似比为1：3，点A 在x轴上，点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（﹣2，2），则点D的坐标是（）A．（﹣3，4）B．（﹣4，6）C．（﹣4，5）D．（﹣3，5）【答案】B5．（4分）某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（）A．y＝10（1+x）3B．y＝10+10（1+x）+10（1+x）2C．y＝10+10x+x2D．y＝10（1+x）2【答案】B6．（4分）估计的值应在（）A．8和9之间B．9和10之间C．10和11之间D．11和12之间【答案】B7．（4分）若，则的值为（）A．B．1C．1.5D．3【答案】A8．（4分）下列按照一定规律排列一组图形，其中图形①中共有2个小三角形，图形②中共有6个小三角形，图形③中共有11个小三角形，图形④中共有17个小三角形，……．按此规律，图形⑩中共有n个小三角形，这里的n＝（）A．87B．74C．62D．53【答案】B9．（4分）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD的交于点O，点E为边AB上一动点，连接DE，作CF⊥DE 于点F，连接OF，若∠BDE＝α，则∠DOF的度数为（）A．2αB．30°+αC．45°﹣αD．60°﹣2α【答案】C10．（4分）给定一列数，我们把这列数中第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，以此类推，第n 个数记为a n（n为正整数），已知a1＝x．并规定：a n+1＝，T n＝a1•a2•a3…a n，S n＝a1+a2+a3+…+a n．则：①a2＝a5；②T1+T2+T3+…+T1000＝；③对于任意正整数k，T3k+3（S3k﹣S3k+2）＝T3k﹣T3k﹣1﹣T3k﹣2成立，以上结论中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】D二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）11．（4分）计算：（）﹣1+（π﹣2）0＝　3　．【答案】3．12．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m＝0的一个根是2，则m2＝　1　．【答案】1．13．（4分）一个不透明的箱子里装有a个球，其中红球有5个，这些球除颜色外都相同．每次将箱子里的球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25，那么可以估算出a的值为　20　．【答案】20．14．（4分）若一个多边形的内角和为720°，则从该多边形一个顶点出发可画的对角线条数是　3　．【答案】3．15．（4分）如图，矩形ABCD的顶点A、B分别在反比例函数y＝（x＞0）与y＝﹣（x＜0）的图象上，点C、D在x轴上，AB、BD分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积为．【答案】．16．（4分）若关于x的不等式组的解集为x＞0，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数m的值的和是　﹣8　．【答案】﹣8．17．（4分）如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°，过点B作BE⊥AB交CD于点E，连接AE，F为AE 的中点，H为BE的中点，连接FH和CF，CF交BE于点G，则GF的长为．【答案】．18．（4分）若一个四位自然数A，满足百位数字与千位数字的平方差恰好是A去掉千位与百位数字后得的两位数，则称这个四位数A为“活泼数”，例如A＝2521，因为52﹣22＝21，故2521是一个“活泼数”；若一个四位自然数B，各个数位上的数字互不相等且满足十位数字比千位数字大1，个位数字比百位数字大1，则称这个四位数B为“可爱数”，例如1425，因为2﹣1＝1，5﹣4＝1，故1425是一个“可爱数”，对于一个“活次数”，规定：，对于一个“可爱数”B＝，规定：G（B）＝p﹣n，则F（5611）×G（3142）＝；当B的百位数字为4时，若是整数，则所有满足条件的奇数四位数A的和是　83600　．【答案】；83600．三．解答题（共8小题，满分78分）19．（8分）（1）解方程：（2）解不等式组：．【答案】见试题解答内容20．（10分）先化简，再求值：，其中x满足x2﹣x﹣1＝0．【答案】，1．21．（10分）学习了平行四边形的知识后，同学们进行了拓展性研究．他们发现作平行四边形一组对角的角平分线与另一组对角的顶点所连对角线相交，则这两个交点与这条对角线两侧的对角顶点的连线所围成的封闭图形是一个特殊四边形．他的解决思路是通过证明对应线段平行且相等得出结论．请根据她的思路完成以下作图和填空：用直尺和圆规，过点B作∠ABC的角平分线，交AC于点F，连接BE、DF．（只保留作图痕迹）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线，DE平分∠ADC，交AC于点E．求证：四边形BEDF 是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，①　AD∥BC　，∴∠DAC＝∠BCA．∵DE平分∠ADC，BF平分∠CBA，∴，．∵∠ADC＝∠CBA，∴②　∠ADE＝∠CBF　，∴△ADE≌△CBF（ASA）．∴DE＝BF，∠DEA＝∠BFC．∴③　∠DEA＝∠BFC　，∴四边形BEDF是平行四边形．同学们再进一步研究发现，过平行四边形任意一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，均具有此特征．请你依照题意完成下面命题：过平行四边形一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，则④　这两个交点与这条对角线两侧的对角顶点的连线所围成的四边形是平行四边形　．【答案】AD∥BC，∠ADE＝∠CBF，∠DEA＝∠BFC；这两个交点与这条对角线两侧的对角顶点的连线所围成的四边形是平行四边形．22．（10分）教育部制定了独立的《义务教育劳动课程标准》，其中规定：以劳动项目为载体，以孩子经历体验劳动过程为基本要求，培养学生的核心劳动素养．某校分别从该校七、八年级学生中各随机调查了100名学生，统计他们上周的劳动时间，劳动时间记为x分钟，将所得数据分为5个组别（A组：90≤x≤100；B组：80≤x＜90；C组：70≤x＜80；D组：60≤x＜70；E组：0≤x＜60），将数据进行分析，得到如下统计：①八年级B组学生上周劳动时间从高到低排列，排在最后的10个数据分别是：82，82，81，81，81，81，80，80，80，80．②八年级100名学生上周劳动时间频数分布统计表：分组A B C D E频数14b28136③七、八年级各100名学生上周带动时间的平均数、中位数、众数如表：年级平均数中位数众数七年级81.379.582八年级81.3c83请你根据以上信息，回答下列问题：（1）a＝　10　，b＝　39　，c＝　80　；（2）根据以上数据分析，你认为七、八年级哪个年级学生上周劳动情况更好，请说明理由；（写出一条理由即可）（3）已知七年级有800名学生，八年级有600名学生，请估计两个年级上周劳动时间在80分钟以上（含80分钟）的学生一共有多少人？【答案】（1）10，39，80；（2）八年级的较好，理由：八年级学生参加劳动的时间的中位数、众数均比七年级的大；（3）七、八年级上周劳动时间在80分钟以上（含80分钟）的学生大约有718人．23．（10分）四边形ABCD中，AB∥CD，BC⊥AB，AB＝12，DC＝6，BC＝8．动点P从A点出发，沿A→B方向以每秒1个单位的速度运动，同时，动点Q从点A出发，沿折线A→D→C方向以每秒2个单位的速度运动，当Q点到达C点时，P、Q两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒，y1＝AP+DQ．（1）请直接写出y1关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y1的图象，并写出函数y1的一条性质；（3）若函数y2＝x+b的图象跟函数y1的图象有两个交点，请直接写出b的取值范围．【答案】（1）y1＝；（2）作图见解答过程；当0≤x≤5时，函数值随x的增大而减小；当5＜x≤8时，函数值随x的增大而增大（答案不唯一）；（3）0＜b≤6．24．（10分）新学期学校门口开了一家文具店，为了更好的迎接同学们，商家购进了一批笔记本和签字笔．商家用1600元购买笔记本，800元购买签字笔，每本笔记本比每支签字笔的进价贵6元，且购进签字笔的数量是笔记本的2倍．（1）求商家购买每本笔记本和每支签字笔的进价？（2）商家在销售过程中发现，当笔记本的售价为每本14元，签字笔的售价为每支5元时，平均每天可售出20本笔记本，40支签字笔．据调查，笔记本的售价每降低0.5元平均每天可多售出5本，且开学活动力度大，降价幅度不低于10%．商家在保证签字笔的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使笔记本和签字笔平均每天的总获利为270元，则每本笔记本的售价为多少元？【答案】（1）商家购买每本笔记本的进价是8元，每支签字笔的进价是2元；（2）每本笔记本的售价为11元．25．（10分）如图，直线y＝x+2分别与x轴，y轴交于点A，点C，点P是反比例函数y＝（k≠0）图象与直线AC在第一象限内的交点，过点P作PB⊥x轴于点B，且AB＝6．（1）求反比例函数的表达式；（2）点D是直线PB右侧反比例函数图象上一点，且S△APD＝，直线PD交y轴于点E，点M，N是直线AC 上两点，点M在点N的左侧且MN＝AP，求EM+DN的最小值及此时点N的坐标；（3）在（2）的条件下，点F为反比例函数图象上一点，若∠PEF﹣∠PAB＝45°，请直接写出所有符合条件的点F的横坐标．【答案】（1）反比例函数解析式为y＝；（2）EM+DN的最小值为3，此时N（4，4）；（3）符合条件的点F的横坐标为或﹣5+．26．（10分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为线段BC上一点（点D不与B，C重合），连接AD．（1）如图1，∠ADB＝105°，CD＝，求BD的长度；（2）如图2，D为BC中点，E为平面内一点，连接DE，CE，AE，BE，将线段DE绕D顺时针旋转90°得到线段DF，连接AF，∠FAC+∠ECB＝90°，G为线段EC上一点，AG⊥CE，求证：CE＝AF+2AG；（3）如图3，P，H为射线AD上两个点，∠BHA＝90°，AP＝2BH，将△BNP沿直线BP翻折至△BHP所在平面内得到△BKP，直线PK与直线AB交于点T．若，当线段BP取得最小值时，请直接写出△APT的面积．【答案】（1）；（2）证明过程详见解答；（3）．。

重庆西南附中2023年九年级上学期数学开学考试试题(原卷版)

重庆市西南大学附属中学2023－2024学年九年级上学期数学开学考试同步练习（满分150分，考试120分钟）一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1. 下列各图是选自历届世界大运会的会徽图案，其中是轴对称图形的是（）A. B. C. D. 2. 如图，△ABC 与△DEF 位似，点O 为位似中心，已知OA ：OD=1：3，且△ABC 的周长为4，则△DEF 的周长为（）A. 8B. 12C. 16D. 36 3. 对于二次函数()234y x =+，其图象的顶点坐标为（）A. ()0,4B. ()0,4−C. ()4,0D. ()4,0− 4.2÷的运算结果在哪两个整数之间（）A. 3和4B. 4和5C. 5和6D. 6和75. 如图，是由一些小棒搭成的图案，按照这种方式摆下去，摆第9个图案所用小棒的数量为（）A 33 B. 36 C. 37 D. 416. 我市某家快递公司，今年8月份与10月份完成投递的快递总件数分别为2万件和2.88万件．若设该快递公司由8月份到10月份投递总件数的月平均增长率为x ，则以下所列方程正确的是（）A. ()21 2.88x +=B. ()212 2.88x +=.C. ()221 2.88x +=D. ()()222121 2.88x x ++++= 7. 如图，在ABC 中，60ABC ∠=°，45C ∠=°，AD BC ⊥，垂足为D ，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，若AE =，则AC 的长为（）A. B. C. D. 8. 二次函数()20y ax bx c a ++≠的图象的一部分如图所示．已知图象经过点()10−，，其对称轴为直线=1x ，下列结论：①<0abc ；②80a c <＋；③2a b am bm ≥＋＋；④不等式20ax bx c >＋＋的解集是13x −<<；⑤若抛物线经过点()3n −，，则关于x 的一元二次方程()200ax bx c n a ++−=≠的两根分别为124,3x x ==−，上述结论中正确结论的个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9. 如图，在矩形ABCD 中，60ABD ∠=°，BC =，连接BD ，将BCD △绕点D 顺时针旋转()090n n °<<°，得到B C D ′′△，连接BB ′，CC ′，延长CC ′交BB ′于点N ，连接AB ′，当BAB BNC ′∠=∠时，则ABB ′ 的面积为（）．A. B. 2110 C. D. 9410. 已知()1n nx f x x=+，123()()()()()n n T x f x f x f x f x =+++…+（n 为正整数），下列说法：①1(2023)2023n n f f n += ；②2123123(1)(2)(3)()1111123n n f f f f n n n f f f f n ++++=+；③1()()1n n T x n T x n −>+；④若1()()3t t t y f t T t t +=−+，则y 的最小值为3．其中正确选项的个数是（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）11. 计算：)20122−= −− _______． 12. 有四张正面写有数字1，2，3，4的卡片，卡片除数字外其余完全相同，将其背面向上并洗匀，随机抽取1张后，不放回，再随机抽取1张，那么两张卡片的数字之和为偶数的概率是______．13. 小颖在地面E 处放一面镜子，当他垂直于地面AC 站立于点C 处时，刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B ，FE ⊥AC ，根据光的反射定律有∠FEB =∠FED ，此时EA =20米，CE =2.5米．已知眼睛距离地面的高度DC =1.6米，则教学楼的高度为_____________米．14. 已知实数m ，n 满足等式m 2+2m ﹣1＝0，n 2+2n ﹣1＝0，那么求n m m n+的值是_____． 15. 如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=°，点D 是边AB 的中点，连接CD ，将BCD △沿直线CD 翻折得到ECD ，连接AE ．若65AC CD ==，，则线段AE 的长为_______．16. 若关于x 的一元一次不等式组27,122x x x x a ≥−+ −−<无解，且使关于y 的分式方程31222ay y y −−+=−−有整数解，则所有符合题意的整数a 的值之和是______．17. 如图，平行四边形ABCD 的BC 边过原点O ，顶点D 在x 轴上，反比例函数()0k yk x =≠的图象过AD 边上的A ，E 两点，已知平行四边形ABCD 的面积为8，12DE EA =，则k 的值为______．18. 对任意一个四位数m ，如果m 各个数位上的数字都不为零且互不相同，满足个位与千位上的数字的和等于十位与百位上的数字和，那么称这个数为“同和数”，将一个“同和数”m 的个位与千位两个数位上的数字对调后得到一个新的四位数1m ，将m 的十位与百位两个数位上的数字对调后得到另一个新四位数2m ，记()121111m m m F +=．若s ，t 都是“同和数”，其中540010s y x ++，100010076t f e =++（1x ≤，y ，e ，9f ≤），且x ，y ，e ，f 都是正整数，规定：()()s t F k F =，用含“x ，f ”的代数式表示k =______，当()()s t F F +能被20整除时，k 的所有取值之积为______．三．解答题（共8小题，满分分）19. 解方程：（1）（x +3）2＝9；（2）2x 2﹣4x +1＝020. 如图，BD 是平行四边形ABCD 的对角线，AE 平分BAD ∠，交CD 于点E ．（1）请用尺规作BCD ∠的角平分线CF ，交AB 于点F （只保留作图痕迹，不写作法）；（2）根据图形证明四边形AECF 为平行四边形．请完成下面的填空．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形．∴AB CD BAD BCD ∠∠∥，＝∴ ．（两直线平行，内错角相等）．又∵AE 平分BAD ∠，CF 平分BCD ∠，∴EAF ∠＝，ECF ∠＝．∴EAF ∠＝．∴AE ∥ ．又∵四边形ABCD 是平行四边形．∴CE AF ∥．∴四边形AECF 为平行四边形（）（填推理的依据）． 21. 4月，某校初2021级800名学生进行了一次政治测试（满分：50分）．测试完成后，在甲乙两班各抽取了20名学生的测试成绩，对数据进行整理分析，并给出了下列信息：甲班20名同学的测试成绩统计如下：41，47，43，45，50，49，48，50，50，49，48，47，44，50，43，50，50，50，49，47．乙班20名同学的测试成绩统计如下：组别4042x <≤ 4244x <≤ 4446x <≤ 4648x <≤ 4850x <≤ 频数 1 1 a 69其中，乙班20名同学的测试成绩高于46，但不超过48分的成绩如下：47，48，48，47，48，48．甲乙两班抽取的学生的测试成绩的平均数、中位数、众数如表所示：（1）根据以上信息可以求出：=a _____，b =_____，c =_____；（2）你认为甲乙两个班哪个班的学生政治测试成绩较好，请说明理由（理由写出一条即可）；（3）若规定49分及以上为优秀，请估计该校初2021级参加此次测试学生中优秀的学生有多少人？ 22. 如图所示，在长方形ABCD 中，BC ，ADC ∠的平分线交边BC 于点E ，AH DE ⊥于点H ，连接CH 并延长交边AB 于点F ，连接AE 交CF 于点O ．（1）求证：AEB AEH ∠=∠；（2）试探究DH 与EH 的数量关系，并说明理由；的（3）若AB =，求AFH 的面积．23. 某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作完成．甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多用30天完成此项工程,甲工程队30天完成的工程与甲、乙两工程队10天完成的工程相等．（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？（2）如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？ 24. 如图，在ABC 中，8AB =，AD BC ⊥，30B ∠=°，3CD =，点E 在BD 上且2DE =，动点P 从点B 出发，沿B →A →C 运动，到达点C 时停止．设点P 运动路程为x ，PED 的面积为1y ．（1）求1y 关于x 函数关系式，并写出x 的取值范围；（2）在坐标系中画出1y 的函数图象；（3）观察函数图象，请写出一条该函数的性质____________________；（4）在坐标系中画出210y x=的函数图象，并结合图象直接写出12y y ＞时x 的取值范围． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线224233y x x =+−与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求线段AC 长度；的的（2）点P 为直线AC 下方抛物线上的一动点，且点P 在抛物线对称轴左侧，过点P 作PD y ∥轴，交AC 于点D ，作PE x ∥轴，交抛物线于点E ．求3PD PE ＋的最大值及此时点P 的坐标；（3）在（2）中3PD PE ＋取得最大值条件下，将该抛物线沿着射线CA个单位长度，得到一条新抛物线y ′，M 为射线CA 上的动点，过点M 作MF x ∥轴交新抛物线y ′的对称轴于点F ，点N 为直角坐标系内一点，请直接写出所有使得以点P ，F ，M ，N 为顶点的四边形是菱形的点N 的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程．26. 在△ABC 中，90°＜∠BAC ＜120°，将线段AB 绕点A 逆时针旋转120°得到线段AD ，连接CD ．（1）如图1，若AB ＝8，∠ABC ＝45°，BA ⊥CD ，延长BA ，CD 交于点K ，求四边形ABCD 的面积；（2）如图2，点E 是CA 延长线上一点，点G 是AE 的中点，连接BE ，BG ，点F 在线段AC 上，点H 在线段BG 上，连接HF ，若BG ＝GF ，HF ＝BE ，GA ＝GH ，2∠ACB ＝∠EBG +∠ABC ，求证：BC +CDAC ；（3）如图3，在（1）的条件下，点P 是线段BC 上的一个动点，连接DP ，将线段DP 绕点D 逆时针旋转45°得到线段DP '，连接AP '，BP '，点M 是△ABP '内任意一点，点P 在运动过程中，AM +BM +P 'M 是否存在最小值；若存在，请直接写出：AM +BM +P 'M 的最小值；若不存在，请说明理由．的。

辽宁省沈阳市皇姑区虹桥中学2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷(含解析)

辽宁省沈阳市皇姑区虹桥中学2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷（解析版）一、选择题（每题2分，共20分）1．（2分）下列图案中，是中心对称图形，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（2分）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（）A．（a+3）2＝a2+6a+9B．a2﹣4a+4＝a（a﹣4）+4C．5ax2﹣5ay2＝5a（x+y）（x﹣y）D．a2﹣2a﹣8＝（a﹣2）（a+4）3．（2分）一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数（）A．9B．8C．7D．64．（2分）已知x＝2是方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则c的值是（）A．﹣12B．﹣4C．4D．125．（2分）分式有意义的条件是（）A．x≠0B．x＝﹣2C．x≠2D．x≠﹣26．（2分）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（）A．1B．﹣1C．1或﹣1D．7．（2分）在下列命题中，正确的是（）A．一组对边平行的四边形是平行四边形B．有一个角是直角的四边形是矩形C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形8．（2分）受今年五月份雷暴雨影响，深圳某路段长120米的铁路被水冲垮了，施工队抢分夺秒每小时比原计划多修5米，则所列方程正确的是（）A．﹣＝4B．﹣＝4C．﹣＝4D．﹣＝49．（2分）不解方程，判断方程3x2﹣4x+1＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实根B．有两个不相等的实数根C．无实数根D．无法确定10．（2分）在平面直角坐标系中，把△ABC先沿x轴翻折，再向右平移3个单位1B1C1，把这两步操作规定为翻移变换，如图，已知等边三角形ABC的顶点B（1，1），（3，1）．把△ABC经过连续3次翻移变换得到△A3B3C3，则点A的对应点A3的坐标是（）A．（5，﹣）B．（8，1+）C．（11，﹣1﹣）D．（14，1+）二、填空题（每题3分，共18分）11．（3分）不等式组的解集是．12．（3分）方程（x﹣1）（x+1）＝x﹣1的解是．13．（3分）若a（a≠0）是关于方程x2+bx﹣2a＝0的一个根，则a+b的值为．14．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，P是AB边上的一点，E、F分别是DP、BP的中点．15．（3分）如图，将边长为8厘米的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，折痕为MN，则线段MN的长是．16．（3分）四边形ABCD是正方形，点E是直线AD上的一点，连接CE（C、E、F、G四个点按照逆时针方向排序），直线BE与直线GD交于点H，若AE＝2，则点F到GH的距离为．三、解答题（17题10分，18题5分，19题8分，共23分）17．（10分）计算：（1）（3﹣π）0﹣|﹣|++2﹣2；（2）÷（﹣）．18．（5分）解方程：x2﹣2x＝2x+1．19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC（不与点B，C重合），在AD的右侧作△ADE，使得AE＝AD，连接CE．（1）当D在线段BC上时，求证：△BAD≌△CAE；（2）当CE∥AB时．①若D在线段BC上，判断△ABC的形状，并说明理由；②若△ABD中的最小角为20°，直接写出∠ADB的度数．四、解答题（20题10分，21题8分，共18分）20．（10分）“早黑宝”是我省农科院研制的优质新品种，在我省被广泛种植．清徐县某葡萄种植基地2016年种植“早黑宝”100亩，到2018年“早黑宝”的种植面积达到225亩．（1）求该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率；（2）市场调查发现，当“早黑宝”售价为20元/千克时，每天能售出200千克，每天可多售出50千克，为了推广宣传，已知该基地“早黑宝”的平均成本价为12元/千克，若使销售“早黑宝”每天获利1800元21．（8分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（4，2）（3，4）．（1）请画出与△ABC关于原点O成中心对称的图形△A1B1C1；（2）若△ABC以点A为旋转中心逆时针旋转90°后得到的图形为△AB2C2（B的对应点为B2，C的对应点为C2），在网格中画出旋转后的图形；（3）点P为x轴上一点，使PA+PB的值最小，则点P的坐标为．五、解答题（本题8分）22．（8分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“画出函数的图象——根据图象研究函数的性质﹣运用函数的性质解决问题”的学习过程，结合上面的学习过程（1）请用你喜欢的方法在给出的平面直角坐标系中，直接画出这个函数的图象；（2）小明同学通过图象得到了以下性质，其中正确的有；①当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时；②当x＝0时，此函数有最大值为4；③此函数的图象关于y轴对称；（3）画出函数y＝x﹣2的图象，结合你所画的函数图象，直接写出不等式﹣2|x|+x+4≥x﹣2的解集为．六、解答题（本题9分）23．（9分）将一个矩形纸片OABC放置于平面直角坐标系中，点O（0，0），点B（10，6），点C在y轴，在AB边上取一点D，点B恰好落在边OA上的点E处．（1）如图1，求点D的坐标；（2）如图2，当点P在线段OA（不包含断点A、O）上运动时，过点P作直线l⊥x轴，直线l把△CED的面积分成1：9的两部分七、解答题（本题12分）24．（12分）【课本再现】把两个全等的矩形ABCD和矩形CEFG拼成如图1的图案，则∠ACF＝ °；【迁移应用】如图2，在正方形ABCD中，E是CD边上一点（不与点C，D重合），将BE 绕点E顺时针旋转90°至FE，作射线FD交BC的延长线于点G；【拓展延伸】在菱形ABCD中，∠A＝120°，E是CD边上一点（不与点C，D重合），将BE绕点E顺时针旋转120°至FE，作射线FD交BC的延长线于点G．①线段CG与BC的数量关系是；②若AB＝6，E是CD的三等分点，则△CEG的面积为．八、解答题（本题12分）25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x+18的图象分别交x轴、y轴于A、B 两点，且点M为线段OB的中点．（1）求直线AM的解析式；（2）将△AMB沿着AM翻折，点B落在点B1处，连接OB1，则四边形AMB1O的形状为；（3）若点H是直线AM上的动点，在坐标平面内是否存在这样的点Q，使以A、B、Q、H为顶点的四边形是矩形？若存在，若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（每题2分，共20分）1．（2分）下列图案中，是中心对称图形，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．【解答】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；B、不是中心对称图形，不符合题意；C、是中心对称图形，符合题意；D、是轴对称图形，符合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．2．（2分）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（）A．（a+3）2＝a2+6a+9B．a2﹣4a+4＝a（a﹣4）+4C．5ax2﹣5ay2＝5a（x+y）（x﹣y）D．a2﹣2a﹣8＝（a﹣2）（a+4）【分析】本题考查因式分解﹣十字相乘，提公因式等相关知识．【解答】解：A：（a+3）2＝a7+6a+9是完全平方公式，不是因式分解的形式，B：a3﹣4a+4＝（a﹣5）2，故选项B错误，C：5ax7﹣5ay2＝8a（x2﹣y2）＝6a（x+y）（x﹣y），故选项C正确，D：a2﹣2a﹣7＝（a+2）（a﹣4），故选项D错误．故答案为：C．【点评】本题考查因式分解，提公因式等相关知识．解题的关键是能够熟悉因式分解的定义，熟练运用因式分解中的提公因式，十字相乘等方法．3．（2分）一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数（）A．9B．8C．7D．6【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可．【解答】解：设多边形的边数是n，根据题意得，（n﹣2）•180°＝3×360°，解得n＝2，∴这个多边形的边数为8．故选：B．【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键．4．（2分）已知x＝2是方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则c的值是（）A．﹣12B．﹣4C．4D．12【分析】根据一元二次方程的解，把x＝2代入x2﹣4x+c＝0可求出c的值．【解答】解：把x＝2代入x2﹣7x+c＝0得4﹣3+c＝0，解得c＝4．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．5．（2分）分式有意义的条件是（）A．x≠0B．x＝﹣2C．x≠2D．x≠﹣2【分析】根据分式有意义的条件，分母不为零，得出x+2≠0，即可求解．【解答】解：∵分式有意义，∴x+2≠5，解得：x≠﹣2，故选：D．【点评】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键．6．（2分）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（）A．1B．﹣1C．1或﹣1D．【分析】根据方程的解的定义，把x＝0代入方程，即可得到关于a的方程，再根据一元二次方程的定义即可求解．【解答】解：根据题意得：a2﹣1＝5且a﹣1≠0，解得：a＝﹣3．故选：B．【点评】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，特别需要注意的条件是二次项系数不等于0．7．（2分）在下列命题中，正确的是（）A．一组对边平行的四边形是平行四边形B．有一个角是直角的四边形是矩形C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形【分析】要找出正确命题，可运用相关基础知识分析找出正确选项，也可以通过举反例排除不正确选项，从而得出正确选项．两组对边平行的四边形是平行四边形；有一个角是直角的四边形是矩形、直角梯形、总之，只要有一个角是直角即可；有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．【解答】解：A、应为两组对边平行的四边形是平行四边形；B、有一个角是直角的四边形是矩形、总之；C、符合菱形定义；D、应为对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．故选：C．【点评】本题考查平行四边形、矩形和菱形及正方形的判定与命题的真假区别．8．（2分）受今年五月份雷暴雨影响，深圳某路段长120米的铁路被水冲垮了，施工队抢分夺秒每小时比原计划多修5米，则所列方程正确的是（）A．﹣＝4B．﹣＝4C．﹣＝4D．﹣＝4【分析】关键描述语为：提前4小时开通了列车；等量关系为：计划用的时间﹣实际用的时间＝4．【解答】解：题中原计划修小时小时，可列得方程﹣＝3，故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，从关键描述语找到等量关系是解决问题的关键．9．（2分）不解方程，判断方程3x2﹣4x+1＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实根B．有两个不相等的实数根C．无实数根D．无法确定【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出Δ＝4＞0，从而得出方程有两个不相等的实数根．【解答】解：∴在方程3x2﹣4x+1＝0中，Δ＝（﹣3）2﹣4×5×1＝4＞3，∴方程3x2﹣4x+1＝0有两个不相等的实数根．故选：B．【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根．”是解题的关键．10．（2分）在平面直角坐标系中，把△ABC先沿x轴翻折，再向右平移3个单位1B1C1，把这两步操作规定为翻移变换，如图，已知等边三角形ABC的顶点B（1，1），（3，1）．把△ABC经过连续3次翻移变换得到△A3B3C3，则点A的对应点A3的坐标是（）A．（5，﹣）B．（8，1+）C．（11，﹣1﹣）D．（14，1+）【分析】首先把△ABC先沿x轴翻折，再向右平移3个单位得到△A1B1C1得到点A1的坐标为（2+3，﹣1﹣），同样得出A2的坐标为（2+3+3，1+），…由此得出A3的坐标为（2+3×3，﹣1﹣），进一步选择答案即可．【解答】解：∵把△ABC先沿x轴翻折，再向右平移3个单位得到△A1B4C1得到点A1的坐标为（3+3，﹣1﹣），同样得出A2的坐标为（2+8+3，1+），…A3的坐标为（2+5×3，﹣1﹣），﹣1﹣）．故选：C．【点评】此题考查点的坐标变化，解答本题的关键是读懂题意，知道一次变换的定义，利用对称和平移的特点，找出规律解决问题．二、填空题（每题3分，共18分）11．（3分）不等式组的解集是　﹣1＜x＜　．【分析】根据不等式的性质求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．【解答】解：，∵解不等式①得：x＞﹣2，解不等式②得：x＜，∴不等式组的解集是﹣4＜x＜，故答案为：﹣4＜x＜．【点评】本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式（组）的应用，关键是能找出不等式组的解集，题目比较典型，难度不大．12．（3分）方程（x﹣1）（x+1）＝x﹣1的解是　x1＝1，x2＝0　．【分析】将方程右边看作一个整体，移项到左边，提取公因式x﹣1化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【解答】解：（x﹣1）（x+1）＝（x﹣4），因式分解得：（x﹣1）（x+1﹣7）＝0，可得x﹣1＝8或x＝0，解得：x1＝4，x2＝0．故答案为：x5＝1，x2＝7．【点评】此题考查了解一元二次方程—因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．13．（3分）若a（a≠0）是关于方程x2+bx﹣2a＝0的一个根，则a+b的值为　2　．【分析】将x＝a代入x2+bx﹣2a＝0即可解决，【解答】解：∵a（a≠0）是关于方程x2+bx﹣6a＝0的一个根，∴当x＝a时，则a2+ba﹣6a＝0，∴a（a+b﹣2）＝6，∵a≠0，∴a+b﹣2＝5，∴a+b＝2，故答案为：2．【点评】本题考查一元二次方程的概念，体现整体思想的应用．14．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，P是AB边上的一点，E、F分别是DP、BP的中点　2　．【分析】如图连接BD．首先证明△ADB是等边三角形，可得BD＝8，再根据三角形的中位线定理即可解决问题．【解答】解：如图连接BD．∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝4，∵∠ADC＝120°，∴∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BA＝AD＝4，∵PE＝ED，PF＝FB，∴EF＝BD＝2．故答案为：7．【点评】本题考查菱形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明△ADB是等边三角形．15．（3分）如图，将边长为8厘米的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，折痕为MN，则线段MN的长是　4cm　．【分析】过点M作MF⊥CD于F，根据翻折变换的性质可得MN⊥DE，然后求出∠MNF ＝∠DEC，再利用“角角边”证明△DCE和△MFN全等，根据全等三角形对应边相等可得MN＝DE，再利用勾股定理列式求出DE，从而得解．【解答】解：如图，过点M作MF⊥CD于F，易得四边形AMFD是矩形，所以，MF＝AD，由翻折变换的性质得MN⊥DE，∵∠CDE+∠MNF＝90°，∠CDE+∠DEC＝90°，∴∠MNF＝∠DEC，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∴MF＝CD，在△DCE和△MFN中，，∴△DCE≌△MFN（AAS），∴MN＝DE，∵点E是BC的中点，∴CE＝BC＝，在Rt△CDE中，由勾股定理得＝＝4，所以，MN的长为4．故答案为：7cm．【点评】本题考查了翻折变换的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．16．（3分）四边形ABCD是正方形，点E是直线AD上的一点，连接CE（C、E、F、G四个点按照逆时针方向排序），直线BE与直线GD交于点H，若AE＝2，则点F到GH的距离为．【分析】由正方形的性质可得CD＝CB，CG＝CE，∠GCE＝∠DCB＝90°，由“SAS”可证△GCD≌△ECB，过点F作FN⊥GH于点N，过点C作CM⊥GH于点M，由勾股定理求EB，CE的长，由△FGN≌△GCM，可得FN＝GM，由勾股定理列出方程，可求GM的长，即可得点F到GH的距离．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，四边形FGCE是正方形，∴CD＝CB，CG＝CE，∴∠GCD＝∠ECB，且CD＝CB，∴△GCD≌△ECB（SAS），如图，过点F作FN⊥GH于点N，∵AE＝2，AB＝4∴AD＝CD＝AB＝7，DE＝AD﹣AE＝3＝2，∴CE＝＝2，∴CG＝CE＝2，∵△GCD≌△ECB，∴BE＝DG＝8，∵∠FGC＝90°，∴∠FGD+∠DGC＝90°，∠FGD+∠GFD＝90°，∴∠GFN＝∠DGC，且FG＝GC，∴△FGN≌△GCM（AAS），∴FN＝GM，∵CM2＝CG3﹣GM2，CM2＝CD5﹣MD2，∴20﹣GM2＝16﹣（2﹣GM）2，∴GM＝，∴点F到GH的距离FD＝，故答案为：．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用勾股定理列出方程是本题的关键．三、解答题（17题10分，18题5分，19题8分，共23分）17．（10分）计算：（1）（3﹣π）0﹣|﹣|++2﹣2；（2）÷（﹣）．【分析】（1）先计算零指数幂、绝对值、算术平方根和负整数指数幂，然后计算加减即可；（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则计算即可．【解答】解：（1）原式＝1﹣+6+＝7；（2）原式＝÷[﹣]＝÷＝•＝．【点评】此题主要考查了实数的运算和分式的混合运算，熟练掌握实数的运算法则和分式的运算法则是关键．18．（5分）解方程：x2﹣2x＝2x+1．【分析】先移项，把2x移到等号的左边，再合并同类项，最后配方，方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．【解答】解：∵x2﹣2x＝8x+1，∴x2﹣8x＝1，∴x2﹣4x+4＝1+8，（x﹣2）2＝8，∴x﹣2＝±，∴x7＝2+，x2＝2﹣．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC（不与点B，C重合），在AD的右侧作△ADE，使得AE＝AD，连接CE．（1）当D在线段BC上时，求证：△BAD≌△CAE；（2）当CE∥AB时．①若D在线段BC上，判断△ABC的形状，并说明理由；②若△ABD中的最小角为20°，直接写出∠ADB的度数．【分析】（1）利用SAS证明△BAD≌△CAE；（2）①根据平行线的性质、等腰三角形的性质及全等三角形的性质推出∠ABC＝∠ACB ＝∠BAC，根据等边三角形的判定定理即可得解；②分D在线段BC上、当点D在CB的延长线上、点D在BC的延长线上三种情形根据等边三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．【解答】（1）证明：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS）；（2）解：①当D在线段BC上时，△ABC为等边三角形∵CE∥AB，∴∠ACE＝∠BAC，∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD＝∠ACE，∴∠ABD＝∠BAC，又AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC，∴△ABC为等边三角形；②当D在线段BC上时，如图，∵CE∥AB，∴∠ACE＝∠BAC，∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD＝∠ACE，∴∠ABD＝∠BAC，又∠ABC＝∠ACB，∴△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°，当△ABD中的最小角是∠BAD＝20°时，∴∠ADB＝180°﹣60°﹣20°＝100°，当点D在CB的延长线上时，如图，∵CE∥AB，∴∠BAE＝∠AEC，∠BCE＝∠ABC，∵△DAB≌△EAC，∴∠ADB＝∠AEC，∠ABD＝∠ACE，∴∠BAC＝∠BAE+EAC＝∠AEC+∠EAC＝180°﹣∠ACE＝180°﹣∠ABD＝∠ABC＝∠ACB，∴△ABC是等边三角形，当△ABD中的最小角是∠BAD＝20°时，∠ADB＝∠ABC﹣∠BAD＝40°，当△ABD中的最小角是∠ADB时，∠ADB＝20°；当点D在BC的延长线上时，只能∠ADB＝20°，综上所述，∠ADB的度数为100°或40°或20°．【点评】本题是三角形综合题，考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的首先思考问题．四、解答题（20题10分，21题8分，共18分）20．（10分）“早黑宝”是我省农科院研制的优质新品种，在我省被广泛种植．清徐县某葡萄种植基地2016年种植“早黑宝”100亩，到2018年“早黑宝”的种植面积达到225亩．（1）求该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率；（2）市场调查发现，当“早黑宝”售价为20元/千克时，每天能售出200千克，每天可多售出50千克，为了推广宣传，已知该基地“早黑宝”的平均成本价为12元/千克，若使销售“早黑宝”每天获利1800元【分析】（1）设该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为x，根据该基地2016年及2018年种植“早黑宝”的面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）设售价应降低y元，则每天可售出（200+50y）千克，根据总利润＝每千克的利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出结论．【解答】解：（1）设该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为x，根据题意得：100（1+x）2＝225，解得：x4＝0.5＝50%，x5＝﹣2.5（不合题意，舍去）．答：该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为50%．（2）设售价应降低y元，则每天可售出（200+50y）千克，根据题意得：（20﹣12﹣y）（200+50y）＝1800，整理得：y5﹣4y+4＝2，解得：y1＝y2＝3．答：售价应降价2元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．21．（8分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（4，2）（3，4）．（1）请画出与△ABC关于原点O成中心对称的图形△A1B1C1；（2）若△ABC以点A为旋转中心逆时针旋转90°后得到的图形为△AB2C2（B的对应点为B2，C的对应点为C2），在网格中画出旋转后的图形；（3）点P为x轴上一点，使PA+PB的值最小，则点P的坐标为　（2，0）　．【分析】（1）根据中心对称图形的性质找出对应点即可求解；（2）根据旋转变换的性质找出对应点即可求解；（3）作点A关于x轴对称点A'，连接A'B交x轴于点P，则点P即为所求，再写出点P 的坐标即可．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C6即为所求；（2）如图所示，△AB2C2即为所求；（3）如图所示，点P即为所求，6），故答案为：（2，0）．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换、轴对称﹣最短路径问题，熟练掌握旋转变换的性质是解题的关键．五、解答题（本题8分）22．（8分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“画出函数的图象——根据图象研究函数的性质﹣运用函数的性质解决问题”的学习过程，结合上面的学习过程（1）请用你喜欢的方法在给出的平面直角坐标系中，直接画出这个函数的图象；（2）小明同学通过图象得到了以下性质，其中正确的有　①②　；①当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时；②当x＝0时，此函数有最大值为4；③此函数的图象关于y轴对称；（3）画出函数y＝x﹣2的图象，结合你所画的函数图象，直接写出不等式﹣2|x|+x+4≥x﹣2的解集为　﹣3≤x≤3　．【分析】（1）根据表格数据，描点连线即可画出该函数的图象．（2）根据图象判断即可；（3）观察图象即可求得．【解答】解：（1）列表：x…﹣3﹣2﹣60183…y…﹣5﹣514721…描点、连线画出函数y＝﹣7|x|+x+4的图象如图所示：（2）由图象可知：①当x＜0时，y随x的增大而增大，y随x的增大而减小；②当x＝3时，此函数有最大值为4；③此函数的图象关于y轴对称，错误；故答案为：①②；（3）观察图象，不等式﹣2|x|+x+3≥x﹣2的解集为﹣3≤x≤2，故答案为：﹣3≤x≤3．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，一次函数的图象和性质，画出函数的图象利用数形结合是解题的关键．六、解答题（本题9分）23．（9分）将一个矩形纸片OABC放置于平面直角坐标系中，点O（0，0），点B（10，6），点C在y轴，在AB边上取一点D，点B恰好落在边OA上的点E处．（1）如图1，求点D的坐标；（2）如图2，当点P在线段OA（不包含断点A、O）上运动时，过点P作直线l⊥x轴，直线l把△CED的面积分成1：9的两部分【分析】（1）根据矩形性质可得在Rt△COE利用勾股定理求OE＝8，则AE＝2，在Rt△ADE中，利用勾股定理求AD＝即可得D点坐标；（2）直线l⊥x轴，直线l把△CED的面积分成1：9的两部分，分两种情况：当0＜t≤8时，当8＜t＜10时，利用待定系数法求CD、CE、DE解析式，借助铅锤高求解即可．【解答】解：（1）∵在矩形纸片OABC中，∴B（10，6），∴BC＝OA＝10，AB＝6＝OC，由折叠可得△DEC≌△DBC，∴CE＝BC＝10，BD＝DE，设AD＝x，则BD＝DE＝AB＝AD＝6﹣x，在Rt△COE中，OE＝＝4，∴E（8，0），∴AE＝AO﹣OE＝5，在Rt△ADE中，AE2+AD2＝DE3，∴4+x2＝（6﹣x）2解得：x＝∴，∴AD＝，∴D（10，）；（2）由（1）知AD＝，∴DE＝6﹣x＝，∵CE＝10，∴S△CDE＝CE•DE＝＝，∵C（5，6），），∴直线CD为：y＝﹣x+3，又∵E（8，0），∴直线CE为：y＝﹣x+6，∵直线l⊥x轴，若交CD于M，则M（t，﹣t+6），﹣t+6），∴MN＝﹣t+6﹣（﹣t，（注6＜t≤8），∴S△CNM＝MN•t＝×t2，（铅垂高），∵直线l把△CED的面积分成6：9的两部分，分两种情况：①S△CNM：S△CED＝1：10，∴t2：＝5：10，解得：t＝±2，∵2＜t≤8，∴t＝2；②S△CNM：S△CED＝9：10，∴t7：＝9：10，解得：t＝±6（舍；当8＜t＜10时，如图：由于E（2，0），），则直线为DE ：y ＝x ﹣，∵直线l ⊥x 轴，直线l 把△CED 的面积分成1：9的两部分，设交CD 于M （t ，﹣t +6），t ﹣），∴MQ ＝﹣t +6﹣（）＝﹣，∴S △MDQ ＝×MQ ×（10﹣t ）＝2，由已知得：S △MDQ ：S △CDE ＝1：10，∴（10﹣t ）2：＝1：10，解得：t ＝10±，∵3＜t ＜10，∴t ＝10﹣，综上所述：直线l 把△CED 的面积分成1：8的两部分，此时t ＝10﹣．【点评】本题考查矩形的性质、勾股定理、待定系数法求函数解析式，三角形的面积公式，理解题意是解决问题的关键．七、解答题（本题12分）24．（12分）【课本再现】把两个全等的矩形ABCD 和矩形CEFG 拼成如图1的图案，则∠ACF ＝　90　°；【迁移应用】如图2，在正方形ABCD 中，E 是CD 边上一点（不与点C ，D 重合），将BE 绕点E 顺时针旋转90°至FE ，作射线FD 交BC 的延长线于点G ；【拓展延伸】在菱形ABCD 中，∠A ＝120°，E 是CD 边上一点（不与点C ，D 重合），将BE 绕点E 顺时针旋转120°至FE ，作射线FD 交BC 的延长线于点G ．①线段CG 与BC 的数量关系是 CG ＝BC ；②若AB ＝6，E 是CD 的三等分点，则△CEG 的面积为或3　．【分析】【课本再现】根据矩形的性质得出AB ＝CE ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E ＝90°，根据SAS推出△ABC≌≌△CEF，根据全等得出∠BAC＝∠FCE，AC＝CF，求出△ACF是等腰直角三角形，即可得出答案；【迁移应用】由AAS证明△BEC≌△EFH，得到FH＝EC，EH＝BC，即EH＝CD，从而可得CE＝DH＝FH，可得∠CDG＝∠FDH＝45°，可知△DCG是等腰直角三角形，即可得出结论；【拓展延伸】①由AAS证明△BEC≌△EFH，得到∠H＝∠BCD＝120°，EH＝BC，FH ＝CE，由CD＝EH证明DH＝CE，可得到∠FDH＝30°，再由∠DCG＝60°可知△DCG 是直角三角形，由直角三角形的性质即可得出结论；②当CE＝CD时，根据△CEG和△DCG底边CE、CD边上的高相等可知S△CEG＝S△DCG，即可求得CG、DG的长，从而可得E△CEG的面积；当ED＝CD时，可得S△CEG＝S△DCG，同理可求解．【解答】【课本再现】解：∵四边形ABCD和四边形CEFG是全等的矩形，∴AB＝CE，BC＝EF，∴△ABC≌△CEF（SAS），∴∠BAC＝∠FCE，AC＝CF，∵∠B＝90°，∴∠BAC+∠ACB＝90°，∴∠ACB+∠FCE＝90°，∴∠ACF＝90°，故答案为：90．【迁移应用】证明：过点F作FH⊥CD，交CD的延长线于H，∵四边形ABCD是正方形，∴CB＝CD，∠BCD＝90°，∴∠H＝∠BCD＝90°，由旋转得∠BEF＝90°，EF＝BE，∴∠BEC+∠CBE＝∠BEC+∠FEH＝90°，∴∠CBE＝∠FEH，∴△BEC≌△EFH（AAS），∴FH＝EC，EH＝BC，∴EH＝CD，即CE+DE＝DH+DE，∴CE＝DH＝FH，∴∠CDG＝∠FDH＝45°，∵∠DCG＝BCD＝90，∴△DCG是等腰直角三角形，∴CG＝CD＝BC；【拓展延伸】解：①过点F作∠EFH＝∠BEC，与ED的延长线交于点H，∵四边形ABCD是菱形，∴CB＝CD，∠A＝∠BCD＝120°，由旋转得∠BEF＝120°，EF＝BE，∴∠BEC+∠CBE＝∠BEC+∠FEH＝60°，∴∠CBE＝∠FEH，∴△BEC≌△EFH（AAS），∴∠H＝∠BCD＝120°，EH＝BC，∴CD＝EH，∴DH＝CE，∴DH＝FH，∴∠FDH＝∠DFH＝30°，∴∠CDG＝30°，∵∠DCG＝180°﹣∠BCD＝60°，∴∠G＝90°，∴△DCG是直角三角形，∵∠CDG＝30°，∴CG＝CD＝，故答案为：CG＝BC；②当CE＝CD时AB＝2，由①知，CG＝，∴DG＝＝＝3，∵△CEG和△DCG底边CE、CD边上的高相等，∴S△CEG＝S△DCG＝×CG•DG＝×＝；当ED＝CD时AB＝2，∴DG＝＝＝3，∵△CEG和△DCG底边CE、CD边上的高相等，∴S△CEG＝S△DCG＝×CG•DG＝×＝4；故答案为：或3．【点评】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，矩形的性质，菱形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．八、解答题（本题12分）25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x+18的图象分别交x轴、y轴于A、B 两点，且点M为线段OB的中点．（1）求直线AM的解析式；（2）将△AMB沿着AM翻折，点B落在点B1处，连接OB1，则四边形AMB1O的形状为　平行四边形　；（3）若点H是直线AM上的动点，在坐标平面内是否存在这样的点Q，使以A、B、Q、H为顶点的四边形是矩形？若存在，若不存在，请说明理由．【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）由B1M＝BM，AB＝AB1，求出点B1的坐标，即可求解；（3）当AB为对角线时，由中点坐标公式和AB＝QH列出方程组，即可求解；当AQ是对角线、AH是对角线时，同理可解．【解答】解：（1）对于y＝2x+18，令x＝0，令y＝5x+18＝0，则x＝﹣9，即点A、B的坐标分别为：（﹣7、（0，∵点M为线段OB的中点，则点M（0，设直线AM的表达式为：y＝kx+3，将点A的坐标代入上式得：0＝﹣9k+2，则k＝1，即直线AM的表达式为：y＝x+9；（2）设点B8的坐标为：（x，y），由题意得，B1M＝BM，AB＝AB1，则，解得：（不合题意的值已舍去），即点B8的坐标为：（9，9）；由点A、M的坐标得＝OB1，∵AO＝B1M＝7，∴四边形AMB1O的形状为平行四边形，故答案为：平行四边形；（3）存在，理由：设点Q（s，t），m+9），由点AB的坐标得，AB3＝405，同理可得：AH2＝2（m+4）2，当AB为对角线时，由中点坐标公式和AB＝QH得：，解得：，即点Q的坐标为：（﹣，）；当AQ是对角线时，由中点坐标公式和AQ＝BH得：，解得：，即点Q的坐标为：（﹣，）；当AH是对角线时，由中点坐标公式和AH＝BQ得：，解得：，即点Q的坐标为：（﹣8，﹣3），综上，点Q的坐标为：（﹣，，）或（﹣3．【点评】本题主要考查一次函数的性质，矩形的性质、图象的翻折等知识点，熟练掌握。

_黑龙江省哈尔滨市南岗区松雷中学2020-2021学年九年级上学期开学数学试卷(五四学制) 解析版

2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市南岗区松雷中学九年级（上）开学数学试卷（5）（五四学制）一、选择题（每小题3分，共计30分1．﹣2的倒数是（）A．B．﹣C．2D．﹣22．下列计算中，结果正确的是（）A．a3•a2＝a6B．（a2）3＝a6C．（2a）（3a）＝6a D．a6÷a2＝a33．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．如图，在△ABC中，AB＝1，AC＝2，现将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C′，连接AB′，并有AB′＝3，则∠A′的度数为（）A．125°B．130°C．135°D．140°5．如图，已知正方形ABCD中，G、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、GP的中点，当P在BC上从B向C移动而G不动时，下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不改变D．线段EF的长不能确定6．如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是（）A．6米B．8米C．18米D．24米7．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、AC、BC边上，DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是（）A．B．C．D．8．如图，已知D、E分别是△ABC的AB，AC边上的点，DE∥BC，且S△ADE：S四边形DBCE ＝1：8，那么AE：AC等于（）A．1：9B．1：3C．1：8D．1：29．如图，E是AB边上的中点，将△ABC沿过E的直线折叠，使点A落在BC上F处，折痕交边AC于点D，若△ABC的周长为8，则△DEF的周长等于（）A．4+B．8C．4D．610．小明和小亮相约晨练跑步．小明比小亮早1分钟离开家门，3分钟后迎面遇到从家跑来的小亮，两人沿滨江路跑了2分钟后，决定进行长跑比赛，比赛时小明的速度始终是180米/分，小亮的速度始终是220米/分．如图是两人之间的距离y（米）与小明离开家的时间x（分）之间的函数图象．下列说法：①小明家与小亮家距离为540米；②相遇前小亮的速度为120米/分；③小明出发7分钟时，两人距离为80米；④若小亮从家出门跑了14分钟后，按原路以比赛时的速度返回，则再经过1分钟两人相遇．其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（每小题3分，共计30分）11．把69600用科学记数法表示是．12．把多项式y2﹣4x2分解因式的结果是．13．函数的自变量x的取值范围是．14．化简：＝．15．不等式组的整数解是．16．一次函数的图象y＝kx+b不经过第四象限，则b的取值范围是．17．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO 的中点．若AC+BD＝24cm，△OAB的周长是18cm，则EF的长为．18．某种过季绿茶的价格两次大幅下降，原来每袋250元，现在每袋90元，则平均每次下调的百分率是．19．在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点P为对角线BD垂直平分线上一点，且PD＝5，则AP的长是．20．如图，已知AB＝BC，AB⊥BC，点D为平面内一点，连接BD，∠CBD＝30°，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°后得到线段DE，∠CDF＝∠EDF，连接AE并延长与BD的延长线交于点F，AF＝6，则CF＝．三、解答题（其中21～24题各6分，25～26题各8分，27～28题各10分，共60分）21．先化简，再求代数式﹣的值，其中x＝+1．22．如图，图1和图2都是7×4正方形网格，每个小正方形的边长是1，请按要求画出下列图形，所画图形的各个顶点均在所给小正方形的顶点上．（1）在图1中画出一个等腰直角△ABC；（2）在图2中画出一个钝角△ABD，使△ABD的面积是3．23．“小组合作学习”成为我区推动课堂教学改革，打造自主高效课堂的重要举措．某中学从全校学生中随机抽取100人作为样本，对“小组合作学习”实施前后学生的学习兴趣变化情况进行调查分析，统计如下：请结合图中信息解答下列问题：（1）小组合作学习前学生学习兴趣为“高”的所占的百分比为多少；（2）补全小组合作学习后学生学习兴趣的统计图；（3）通过“小组合作学习”前后学生学习兴趣的对比，请你估计小组合作学习后，全校2000名学生中学习兴趣低的学生还有多少人？24．如图，已知点A、C在EF上，AD∥BC，DE∥BF，AE＝CF．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）直接写出图中所有相等的线段（AE＝CF除外）．25．哈尔滨地铁“二号线”正在进行修建，现有大量的残土需要运输．某车队有载重量为8吨、10吨的卡车共12台，全部车辆运输一次可以运输110吨残土．（1）求该车队有载重量8吨、10吨的卡车各多少辆？（2）随着工程的进展，该车队需要一次运输残土不低于165吨，为了完成任务，该车队准备新购进这两种卡车共6辆，则最多购进载重量为8吨的卡车多少辆？26．已知△ABC和△DEF均为等边三角形．（1）如图1，求证：AF＝BE；（2）如图2，若AF：BF＝2：3，EF的延长线交CA的延长线于点M．求EF：FM的值；（3）在（2）的条件下，若FM＝4，求△ABC的面积．27．平面直角坐标系中，点A（6，0）过点A作x轴的垂线AD，点C、D均为第一象限内一点，连接OC，DC且DC＝OC，OC⊥DC．（1）如图1，求证：AC平分∠OAD；（2）如图2，延长AC交y轴于点E，直线CM的解析式为y＝mx+m，直线CM交y 轴于点F，设△EFM的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围；（3）如图3，在（2）的条件下，取AC的中点Q，过点Q作y轴的平行线交直线FC于点P，交CD于点K，连接PE、QF，当四边形PEFQ为平行四边形时，求QK的长．2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市南岗区松雷中学九年级（上）开学数学试卷（5）（五四学制）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．﹣2的倒数是（）A．B．﹣C．2D．﹣2【分析】根据倒数定义可知，﹣2的倒数是﹣．【解答】解：﹣2的倒数是﹣．故选：B．2．下列计算中，结果正确的是（）A．a3•a2＝a6B．（a2）3＝a6C．（2a）（3a）＝6a D．a6÷a2＝a3【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方、单项式乘单项式、同底数幂的除法的法则分别进行计算，即可得出答案．【解答】解：a3•a2＝a5，A错误；（a2）3＝a6，B正确；（2a）（3a）＝6a2，C错误；a6÷a2＝a4，D错误．故选：B．3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误．故选：B．4．如图，在△ABC中，AB＝1，AC＝2，现将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C′，连接AB′，并有AB′＝3，则∠A′的度数为（）A．125°B．130°C．135°D．140°【分析】如图，作辅助线；首先证明∠AA′C＝45°，然后证明AB′2＝AA′2+A′B′2，得到∠AA′B′＝90°，进而得到∠A′＝135°，即可解决问题．【解答】解：如图，连接AA′．由题意得：AC＝A′C，A′B′＝AB，∠ACA′＝90°，∴∠AA′C＝45°，AA′2＝22+22＝8；∵AB′2＝32＝9，A′B′2＝12＝1，∴AB′2＝AA′2+A′B′2，∴∠AA′B′＝90°，∠A′＝135°，故选：C．5．如图，已知正方形ABCD中，G、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、GP的中点，当P在BC上从B向C移动而G不动时，下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不改变D．线段EF的长不能确定【分析】因为G不动，所以AG不变．根据三角形中位线定理可得EF＝AG，因此线段EF的长不变．【解答】解：如图，连接AG．∵E、F分别是AP、GP的中点，∴EF为△APG的中位线，∴EF＝AG，AG为定值．∴线段EF的长不改变．故选：C．6．如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是（）A．6米B．8米C．18米D．24米【分析】由已知得△ABP∽△CDP，则根据相似形的性质可得，解答即可．【解答】解：由题意知：光线AP与光线PC，∠APB＝∠CPD，∴Rt△ABP∽Rt△CDP，∴，∴CD＝＝8（米）．故选：B．7．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、AC、BC边上，DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是（）A．B．C．D．【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，再分别对每一项进行判断即可．【解答】A．∵EF∥AB，∴＝，故本选项正确，B．∵DE∥BC，∴＝，∵EF∥AB，∴DE＝BF，∴＝，∴＝，故本选项正确，C．∵EF∥AB，∴＝，∵CF≠DE，∴≠，故本选项错误，D．∵EF∥AB，∴＝，∴＝，故本选项正确，故选：C．8．如图，已知D、E分别是△ABC的AB，AC边上的点，DE∥BC，且S△ADE：S四边形DBCE ＝1：8，那么AE：AC等于（）A．1：9B．1：3C．1：8D．1：2【分析】由题可知：△ADE∽△ABC，相似比为AE：AC，由S△ADE：S四边形DBCE＝1：8，得S△ADE：S△ABC＝1：9，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADE：S△ABC＝AE2：AC2，∵S△ADE：S四边形DBCE＝1：8，∴S△ADE：S△ABC＝1：9，∴AE：AC＝1：3．故选：B．9．如图，E是AB边上的中点，将△ABC沿过E的直线折叠，使点A落在BC上F处，折痕交边AC于点D，若△ABC的周长为8，则△DEF的周长等于（）A．4+B．8C．4D．6【分析】根据翻折变换以及E为AB的中点，得出ED∥BC，DE为△ABC的中位线，最后根据△DEF的周长为△ABC周长的一半，即可得出△DEF的周长．【解答】解：∵△DEF是△DEA沿直线DE翻折变换而来，∴AE＝EF，∠AED＝∠FED，∵E是AB边的中点，∴AE＝EB，∴BE＝EF＝AB，∴∠B＝∠BFE＝∠AEF＝∠AED，∴ED∥BC，∵E为AB的中点，∴DE＝BC，D为AC的中点，∴DF＝AD＝AC，∴△DEF的周长为△ABC周长的一半，即△DEF的周长＝×8＝4，故选：C．10．小明和小亮相约晨练跑步．小明比小亮早1分钟离开家门，3分钟后迎面遇到从家跑来的小亮，两人沿滨江路跑了2分钟后，决定进行长跑比赛，比赛时小明的速度始终是180米/分，小亮的速度始终是220米/分．如图是两人之间的距离y（米）与小明离开家的时间x（分）之间的函数图象．下列说法：①小明家与小亮家距离为540米；②相遇前小亮的速度为120米/分；③小明出发7分钟时，两人距离为80米；④若小亮从家出门跑了14分钟后，按原路以比赛时的速度返回，则再经过1分钟两人相遇．其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据函数图象可以求出小明的速度威（540﹣440）÷1＝100米/分，小明和小亮两家的距离为540米，根据路程＝速度×时间，就可以求出小亮比赛前的速度．再根据比赛时两人的速度关系可以求出比赛2分钟时两人的距离．先求出14分钟时小亮在小明前面的距离，再由相遇问题求出结论．【解答】解；由函数图象知：当x＝0时y＝540，∴小明与小亮家相距540米．故①正确．②由题意，比赛前小明的速度为（540﹣440）÷1＝100米/分．2（小明速度+小亮速度）＝440．∴小亮速度＝120米/分．故②正确．③小明出发7分钟后两人之间的距离为：（7﹣5）×（220﹣180）＝80米．故③正确．④小亮从出家门14分钟后两人相距：（15﹣5）×（220﹣180）＝400米．小亮返回时与小明相遇的时间为：400÷（180+220）＝1分钟．故④正确．∴正确的个数有4个．故选：D．二．填空题11．把69600用科学记数法表示是 6.96×104．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：69600＝6.96×104．故答案为：6.96×104．12．把多项式y2﹣4x2分解因式的结果是（y+2x）（y﹣2x）．【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：y2﹣4x2＝（y+2x）（y﹣2x）．故答案为：（y+2x）（y﹣2x）．13．函数的自变量x的取值范围是x≠1．【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x﹣1≠0，解得x≠1．故答案为：x≠1．14．化简：＝．【分析】首先化简二次根式，进而合并得出即可．【解答】解：＝2﹣＝．故答案为：．15．不等式组的整数解是﹣2．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式2x+2＜0，得：x＜﹣1，解不等式﹣x+1≤3，得：x≥﹣2，则不等式组的解集为﹣2≤x＜﹣1，∴不等式组的整数解为﹣2，故答案为：﹣216．一次函数的图象y＝kx+b不经过第四象限，则b的取值范围是b≥0．【分析】分一次函数的图象y＝kx+b经过第一、二、三象限和一次函数的图象y＝kx+b 经过第一、三象限两种情况，利用一次函数图象与系数的关系即可找出k，b的取值范围．【解答】解：∵一次函数的图象y＝kx+b不经过第四象限，∴一次函数的图象y＝kx+b经过第一、二、三象限或一次函数的图象y＝kx+b经过第一、三象限．当一次函数的图象y＝kx+b经过第一、二、三象限时，k＞0，b＞0；当一次函数的图象y＝kx+b经过第一、三象限时，k＞0，b＝0．∴b的取值范围是b≥0．故答案为：b≥0．17．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO 的中点．若AC+BD＝24cm，△OAB的周长是18cm，则EF的长为3cm．【分析】根据AC+BD＝24厘米，可得出出OA+OB＝12cm，继而求出AB，判断EF是△OAB的中位线即可得出EF的长度．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，又∵AC+BD＝24厘米，∴OA+OB＝12cm，∵△OAB的周长是18厘米，∴AB＝6cm，∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，∴EF是△OAB的中位线，∴EF＝AB＝3cm．故答案为：3cm．18．某种过季绿茶的价格两次大幅下降，原来每袋250元，现在每袋90元，则平均每次下调的百分率是40%．【分析】问题求的是某种过季绿茶的价格两次大幅下降，平均每次的下降率；以原来每袋250元为基数，结果为每袋90元，降低后的价格＝降低前的价格×（1﹣降低率），如果设平均每次降价的百分率是x，则第一次降低后的价格是250（1﹣x），那么第二次后的价格是250（1﹣x）2，即可列出方程求解．【解答】解：设平均每次下调的百分率为x，依题意得250（1﹣x）2＝90，（1﹣x）2＝，1﹣x＝±，x1＝40%，x2＝160%（舍去）．答：平均每次下调的百分率为40%．故答案为：40%．19．在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点P为对角线BD垂直平分线上一点，且PD＝5，则AP的长是3或．【分析】根据题意画出图形，如图所示，利用线段垂直平分线定理得到BM＝DM，可得出AM+BM＝AM+MD＝AD＝8，设AM＝x，则有BM＝8﹣x，在直角三角形ABM中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到AM与DM的长，根据DM＝5，得到此时P与M重合，AP的长即为AM的长；当P与N重合时，在直角三角形ABN中，由AB与BN的长，利用勾股定理求出AN的长即为AP的长．【解答】解：连接矩形ABCD对角线BD，做出BD的垂直平分线MN，交AD、BC分别于M，N点，连接BM，DN，AN，∴BM＝MD，AM+MD＝AM+BM＝AD＝8，在Rt△ABM中，设AM＝x，BM＝8﹣x，AB＝4，根据勾股定理得：x2+42＝（8﹣x）2，解得：x＝3，∴AM＝3，MD＝5，当P与M重合时，PD＝5，此时AP＝3；连接AN，当P与N重合时，由对称性得到PD＝ND＝BN＝5，在Rt△ABN中，AB＝4，BN＝5，根据勾股定理得：AN＝＝，此时AP＝．故答案为：3或．20．如图，已知AB＝BC，AB⊥BC，点D为平面内一点，连接BD，∠CBD＝30°，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°后得到线段DE，∠CDF＝∠EDF，连接AE并延长与BD的延长线交于点F，AF＝6，则CF＝2．【分析】连接BE，过点A作AG⊥BF于点G，过C点作CH⊥BF于点H，证明△BCD ≌△BED得BC＝BE＝BA，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得∠BAE的度数，进而得∠GAF＝∠GF A＝45°，通过一系列的解直角三角形求得CH，再证明△CDF ≌△EDF得∠CFD＝∠EFD＝45°，再解直角三角形得结果．【解答】解：连接BE，过点A作AG⊥BF于点G，过C点作CH⊥BF于点H，∵∠CDF＝∠EDF，∴∠CDB＝∠EDB，∵CD＝ED，BD＝BD，∴△BCD≌△BED（SAS），∴∠CBD＝∠EBD＝30°，BC＝BE，∵BC＝BA，∴BA＝BE，∵∠ABC＝90°，∴∠ABE＝30°，∴∠BAE＝∠BEA＝75°，∵∠AGB＝90°，∴∠BAG＝90°﹣∠ABG＝30°，∴∠GAF＝45°，∴∠AFB＝45°，∴AG＝GF＝＝3，∴BC＝BA＝，∴，∵DC＝DE，∠CDF＝∠EDF，DF＝DF，∴△CDF≌△EDF（SAS），∴∠CFD＝∠EFD＝45°，∴CF＝CD＝2．故答案为：2．三．解答题（共7小题）21．先化简，再求代数式﹣的值，其中x＝+1．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝﹣＝＝，当x＝+1时，原式＝＝1+．22．如图，图1和图2都是7×4正方形网格，每个小正方形的边长是1，请按要求画出下列图形，所画图形的各个顶点均在所给小正方形的顶点上．（1）在图1中画出一个等腰直角△ABC；（2）在图2中画出一个钝角△ABD，使△ABD的面积是3．【分析】（1）连接AB，以B点为圆心，以BA长为半径作圆弧交7×4正方形网格图与C点，再连接AC、BC即可；（2）作底边长为2，高为3的钝角三角形ABD即可．【解答】解：（1）作图如下：三角形ABC即为所求；（2）作图如下：三角形ABD即为所求．23．“小组合作学习”成为我区推动课堂教学改革，打造自主高效课堂的重要举措．某中学从全校学生中随机抽取100人作为样本，对“小组合作学习”实施前后学生的学习兴趣变化情况进行调查分析，统计如下：请结合图中信息解答下列问题：（1）小组合作学习前学生学习兴趣为“高”的所占的百分比为多少；（2）补全小组合作学习后学生学习兴趣的统计图；（3）通过“小组合作学习”前后学生学习兴趣的对比，请你估计小组合作学习后，全校2000名学生中学习兴趣低的学生还有多少人？【分析】（1）用整体1减去极高、低、中所占的百分比，即可求出小组合作学习前学生学习兴趣为“高”的所占的百分比；（2）用抽查的总人数减去学习兴趣极高、高和低的人数，求出学习兴趣“中”的人数，从而补全统计图；（3）用总人数乘以学习后学习兴趣低的学生所占的百分比即可．【解答】解：（1）小组合作学习前学生学习兴趣为“高”的所占的百分比为：1﹣25%﹣20%﹣25%＝30%；（2）“小组合作学习”学习兴趣“中”的人数是：100﹣30﹣35﹣5＝30（人），补全统计图如下：（3）根据题意得：2000×＝100（人），答：全校2000名学生中学习兴趣低的学生还有100人．24．如图，已知点A、C在EF上，AD∥BC，DE∥BF，AE＝CF．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）直接写出图中所有相等的线段（AE＝CF除外）．【分析】（1）证△ADE≌△CBF，得AD＝CB，从而得出四边形ABCD是平行四边形；（2）由全等三角形的性质和平行四边形的性质容易得出结果．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，DE∥BF，∴∠E＝∠F，∠DAC＝∠BCA，∴∠DAE＝∠BCF，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（ASA），∴AD＝CB，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）解：AD＝BC、EC＝AF、ED＝BF、AB＝DC；理由如下：∵△ADE≌△CBF，∴AD＝BC，ED＝BF，∵AE＝CF，∴EC＝AF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC．25．哈尔滨地铁“二号线”正在进行修建，现有大量的残土需要运输．某车队有载重量为8吨、10吨的卡车共12台，全部车辆运输一次可以运输110吨残土．（1）求该车队有载重量8吨、10吨的卡车各多少辆？（2）随着工程的进展，该车队需要一次运输残土不低于165吨，为了完成任务，该车队准备新购进这两种卡车共6辆，则最多购进载重量为8吨的卡车多少辆？【分析】（1）根据车队有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆，全部车辆运输一次能运输120吨沙石”分别得出等式组成方程组，求出即可；（2）利用车队需要一次运输沙石165吨以上”得出不等式求出购买方案，求出最多购进载重量为8吨的卡车辆数即可．【解答】解：（1）设车队载重量为8吨、10吨的卡车分别有x辆、y辆，根据题意得：，解得：．答：车队载重量为8吨的卡车有5辆，10吨的卡车有7辆；（2）设载重量为8吨的卡车增加了z辆，依题意得：8（5+z）+10（7+6﹣z）≥165，解之得：z≤，∵z＞0且为整数，∴z＝1，2；所以最多购进载重量为8吨的卡车为2辆．26．已知△ABC和△DEF均为等边三角形．（1）如图1，求证：AF＝BE；（2）如图2，若AF：BF＝2：3，EF的延长线交CA的延长线于点M．求EF：FM的值；（3）在（2）的条件下，若FM＝4，求△ABC的面积．【分析】（1）由△DEF为等边三角形，根据等边三角形的性质得EF＝FD，∠EFD＝60°，再由平角性质得∠BFE+∠AFD＝120°，由三角形内角和与等边三角形的性质得∠BEF+∠BFE＝120°，得∠BEF＝∠AFD，再由AAS定理得结论；（2）过E作EG⊥AC于点G，过点F作FH⊥AC于点F，证明△MFH∽△MEG，得，再由三角形的面积公式求得FH：EG便可得出结果；（3）过B作BN⊥AC于点N，由（2）中结论求得EF，设AF＝2x，用x表示AH，FH，DH，由勾股定理列出x的方程求得x便可得等边△ABC的边长，进而解直角三角形求得BN，最后由三角形的面积公式求得结果．【解答】解：（1）∵△DEF为等边三角形∴EF＝FD，∠EFD＝60°，∴∠BFE+∠AFD＝120°，∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝∠A＝60°，∴∠BEF+∠BFE＝120°，∴∠BEF+∠BFE＝∠BFE+∠AFD，∴∠BEF＝∠AFD，在△ADF和△BFE中，，∴△ADF≌△BFE（AAS），∴AF＝BE；（2）过E作EG⊥AC于点G，过点F作FH⊥AC于点F，如图2，则EG∥FH，∴△MFH∽△MEG，∴，仿照（1）证法可得△ADF≌△BEF≌△CDE，∴AD＝BF＝CE，AF＝BE＝CD，S△ADF＝S△CED，∴，∴，∵AF：BF＝2：3，∴，∴EF：FM＝1：2；（3）∵EF：FM＝1：2，FM＝4，∴EF＝2，∴DF＝EF＝2，设AF：AD＝AF：BF＝2：3，∴设AF＝2x，则AD＝3x，∴FN＝AF•sin60°＝x，AH＝＝x，∴DH＝AD﹣AH＝2x，∵DH2+FH2＝DF2，∴4x2+3x2＝4，解得，x＝，或x＝﹣（舍），∴AC＝AB＝BC＝5x＝，过B用BN⊥AC于点N，如图2，∴BN＝AB•sin60°＝，∴＝25．27．平面直角坐标系中，点A（6，0）过点A作x轴的垂线AD，点C、D均为第一象限内一点，连接OC，DC且DC＝OC，OC⊥DC．（1）如图1，求证：AC平分∠OAD；（2）如图2，延长AC交y轴于点E，直线CM的解析式为y＝mx+m，直线CM交y 轴于点F，设△EFM的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围；（3）如图3，在（2）的条件下，取AC的中点Q，过点Q作y轴的平行线交直线FC于点P，交CD于点K，连接PE、QF，当四边形PEFQ为平行四边形时，求QK的长．【分析】（1）先判断出四边形AHCG是矩形，得出∠HCG＝90°，再判断出△OGC≌△DHC，得出CG＝CH，进而判断出矩形AHCG为正方形，即可得出结论；（2）先判断出OA＝OE，进而求出OE＝6，再求出OM＝4，即可得出结论；（3）先判断出CE＝CQ＝AQ，再判断出△AGC∽△AOE，得出，求出AG ＝CG＝4，进而求出OG＝2，进而求出AH＝4，DH＝2，AD＝2，再判断出QK是△ACD 的中位线，即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，过点C作CG⊥x轴于G，CH⊥AD于H，∴∠AGC＝∠AHC＝90°，∵AD⊥x轴，∴∠HAG＝90°，∴∠AGC＝∠AHC＝∠HAG＝90°，∴四边形AHCG是矩形，∴∠HCG＝90°，∵OC⊥DC，∴∠OCD＝90°，∴∠OCD＝∠GCH，∴∠OCG＝∠DCH，∵OC＝DC，∴△OGC≌△DHC（AAS），∴CG＝CH，∴矩形AHCG为正方形，∴AC平分∠OAD；（2）由（1）知，AC平分∠OAD，∴∠OAC＝45°，∴∠OEA＝90°﹣∠OAC＝45°＝∠OAC，∴OA＝OE，∵A（6，0），∴OA＝6，∴OE＝6，∴E（0，6），针对于直线CM的解析式为y＝mx+m，当x＝0时，y＝m，∴F（0，m），当y＝0时，0＝mx+m，∴x＝﹣4，∴M（﹣4，0），∴OM＝4，∴S＝S△EFM＝EF•OM＝（6﹣m）×4＝﹣2m+12，∵点C在第一象限内，∴点F在线段OE上，∴0＜m＜6，即S＝﹣2m+12（0＜m＜6）；（3）如图3，由（2）知，E（0，6），∴OE＝6，∵点Q是AC的中点，∴AQ＝CQ，∵四边形PEFQ是平行四边形，∴CQ＝CE，∴CE＝CQ＝AQ，过点C作CH⊥AD，交AD的延长线于H，作CG⊥x轴G，∴CG∥OE，∴△AGC∽△AOE，∴，∴，∴AG＝CG＝4，∴OG＝OA﹣AG＝2，由（1）知，四边形AHCG是正方形，∴AH＝CG＝4，由（1）知，△OGC≌△DHC，∴DH＝OG＝2，∴AD＝AH﹣DH＝2，∵四边形EFQP是平行四边形，∴PQ∥AD，∵点Q是AC的中点，∴QK是△ACD的中位线，∴QK＝AD＝1．。

广东省2024届九年级上学期开学考试数学试卷(含答案)

2023-2024学年人教版数学九年级上学期开学摸底测验试题一、选择题（本大题共12小题．每小题只有一个正确选项，每小题3分，共36分）1．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．B．C．D．2．下列运算正确的是（）A．+=B．-=1C．=D．=3．如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( )A．2，3，4B．3，4，5C．6，8，10D．5，12，134．矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行B．对角线相等C．对角线互相平分D．两组对角分别相等5．在国内投寄到外地质量为80g以内的普通信函应付邮资如下表：信件质量m/g0＜m≤2020＜m≤4040＜m≤6060＜m≤80邮资y/元 1.20 2.40 3.60 4.80某同学想寄一封质量为15g的信函给居住在外地的朋友，他应该付的邮资是（）A．4.80B．3.60C．2.40D．1.20 6．我市某中学举办了一次以“我的中国梦”为主题的演讲比赛，最后确定9名同学参加决赛，他们的决赛成绩各不相同，其中小辉已经知道自己的成绩，但能否进前5名，他还必须清楚这9名同学成绩的（）A．众数B．平均数C．中位数D．方差7．某班班长统计去年1∼8月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量(单位：本),绘制了如图折线统计图,下列说法正确的是( )A．每月阅读数量的平均数是50B．众数是42C．中位数是58D．每月阅读数量超过40的有4个月8．如图，直线l1：y＝x+3与l2：y＝mx+n交于点A（﹣1，b），则不等式x+3＞mx+n的解集为（）A．x≥﹣1B．x＜﹣1C．x≤﹣1D．x＞﹣1 9．如图，正方体的棱长为2cm，点B为一条棱的中点.蚂蚁在正方体表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是（）A．B．C．D．10．如图，在中，E为边上一点，且，的度数为（）A．B．C．D．11．已知在等腰三角形ABC中，D为BC的中点AD=12，BD=5，AB=13，点P为AD边上的动点，点E为AB边上的动点，则PE+PB的最小值是（）A．10B．12C．D．12．如图，正方形的对角线相交于点，将正方形沿直线折叠，点C落在对角线上的E处，折痕与交于点G，则（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）13．化简： .（其中a＞0，b＞0）14．已知一次函数y = kx + b图像不经过第二象限，那么b的取值范围是 . 15．某运动队要从甲、乙、丙三名跳高运动员中选拔一人参加比赛，教练组统计了最近几次队内选拔赛的成绩并进行了分析，得到下表：甲乙丙平均数（cm）176173176方差（）10.510.542.1根据表中数据，教练组应该选择参加比赛（填“甲”或“乙”或“丙”）16．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，点E是CD的中点，连接OE，则OE的长是 .三、解答题（本答题共8小题，共56分）17．计算（1）；（2）18．某商场家电销售部有营业员20名，为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，即确定一个月的销售额目标，根据目标完成情况对营业员进行适当的奖惩．为此，商场统计了这20名营业员在某月的销售额，数据如下：（单位：万元）2526211728262025263020212026302521192826（1）请根据以上信息完成下表：销售额（万元）1719202125262830频数（人数）1133（2）上述数据中，众数是万元，中位数是万元，平均数是万元；（3）如果将众数作为月销售额目标，能否让至少一半的营业员都能达到目标？请说明理由．19．某旅游商品经销店欲购进A、B两种纪念品，若用380元购进A种纪念品7件，B种纪念品8件；也可以用380元购进A种纪念品10件，B种纪念品6件．（1）求A、B两种纪念品的进价分别为多少？（2）若该商店每销售1件A种纪念品可获利5元，每销售1件B种纪念品可获利7元，该商店准备用不超过900元购进A、B两种纪念品40件，且这两种纪念品全部售出后总获利不低于216元，有哪几种进货方案？（3）通过计算说明：在（2）问的前提下应该怎样进货，才能使总获利最大？20．如图所示，一个梯子长2.5米，顶端A靠墙上，这时梯子下端B与墙角C的距离为1.5米，梯子滑动后停在上的位置上，如图，测得的长0.5米，求梯子顶端A下落了多少米？21．如图，在中，，，在中，是边上的高，，的面积为60．（1）求的长．（2）求四边形的面积．22．如图，直线与直线相交于点A，直线与y轴相交于点B．（1）求点A的坐标；（2）P为x轴上一动点，当的值最小时，求点P的坐标．23．如图，E，F分别是正方形ABCD的边CB，DC延长线上的点，且BE＝CF，过点E作EG∥BF，交正方形外角的平分线CG于点G，连接GF．（1）求∠AEG的度数；（2）求证：四边形BEGF是平行四边形．24．如图，平行四边形的对角线与相交于点O，点E为的中点，过点A作交的延长线于点F，连接．（1）求证：四边形是平行四边形．（2）若，，，求平行四边形的面积．参考答案：1．B 2．C 3．A 4．B 5．D 6．C 7．C 8．D 9．C 10．B 11．D 12．A 13．14．b≤015．甲16．17．（1）解：=（2）解：=.18．（1）根据销售额统计表中的数据可得：25 26 28 30的人数依次为3，5，2，2；（2）众数即出现次数最多的数据，分析可得众数为26；第10名、11名的平均数为25，所以中位数为25；先将20个人的销售额相加可得其和为480，所以平均数为480/20=24；答：上述数据中，众数是26万元，中位数是25万元，平均数是24万元。