【厦大习题集】高等数学习题及详细解答5

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【厦大习题集】高等数学习题及详细解答2

1. 计算曲线积分22(),LI x y ds =+⎰其中L 是中心在(,0)R 、半径为R 的上半圆周.解由于上半圆周的参数方程为(1cos )sin x R t y R t =+⎧⎨=⎩(0),t π≤≤ 所以 I 22()Lx y ds =+⎰22220[(1cos )sin ]R t R t π=++⎰302(1cos )R t dt π=+⎰302[sin ]R t t π=+32.R π=2.计算半径为R , 中心角为2α的圆弧L 对于它的对称轴的转动惯量I (设线密度1ρ=).解取坐标系,则2.LI y ds =⎰为计算方便, 利用L 的参数方程cos ,x R t =sin y R t =().t αα-≤≤故 2LI y ds =⎰22sin R ααθ-=⎰32sin R tdt αα-=⎰3sin 222R t t αα-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦ 3(2sin 2)2R αα=-3(sin cos ).R ααα=- 3. 计算Lyds ⎰, 其中积分弧段L 是由折线OAB 组成, 而(1,0),A (1,2).B解在OA 上，0,y =,ds dx = 所以 0.OAyds =⎰在AB 上，1,x =,ds dy =所以AByds ⎰2ydy =⎰ 2.=从而OAByds ⎰OAAByds yds =+⎰⎰02=+ 2.=4.LI xds =⎰，其中L 是圆221x y +=中(0,1)A 到11(,)22B -之间的一段劣弧；解 L AB =的参数方程为：cos ,sin x y θθ==()42ππθ-≤≤，于是2422cos (sin )cos I d ππθθθθ-=-+⎰241cos (1)2d ππθθ-==+⎰． 5.(1)Lx y ds ++⎰，其中L 是顶点为(0,0),(1,0)O A 及(0,1)B 所成三角形的边界；解 L 是分段光滑的闭曲线，如图9－2所示，根据积分的可加性，则有(1)Lx y ds ++⎰(1)OAx y ds =++⎰(1)ABx y ds +++⎰ (1)BOx y ds +++⎰，由于OA :0y =，01x ≤≤，于是2222()()10dx dy ds dx dx dx dx dx=+=+=，故 13(1)(01)2x y ds x dx ++=++=⎰⎰OA，而:AB 1y x =-,01x ≤≤，于是2222()()1(1)2dx dy ds dx dx dx dx dx=+=+-=．故10(1)[(1)1]222ABx y ds x x dx ++=+-+=⎰⎰，同理可知:BO 0x =（01y ≤≤），2222()()01dx dy ds dy dy dy dy dy=+=+=，则 103(1)[01]2BO x y ds y dy ++=++=⎰⎰．xyo(1,0)A (0,1)B xyoABC综上所述33(1)322Lx y ds -+=+=+⎰ 6.2 Lx yzds ⎰，其中L 为折线段ABCD ，这里(0,0,0)A ，(0,0,2),B (1,0,2),C(1,2,3)D ；解如图所示， 2222 LABBCCDx yzds x yzds x yzds x yzds =++⎰⎰⎰⎰．线段AB 的参数方程为 0,0,2(01)x y z t t ===≤≤ds =2dt ==，故12 000220ABx yzds t dt =⋅⋅⋅=⎰⎰．线段BC 的参数方程为,0,2(01)x t y z t ===≤≤，则 ,ds dt == 故122 0020BCx yzds t dt =⋅⋅⋅=⎰⎰，线段CD 的参数方程为1,2,2x y t z t ===+(01)t ≤≤，则ds ==，故11222 0 012(2) (2)CD x yzds t t t t dt =⋅⋅+=+=⎰⎰所以 2222 L AB BC CD x yzds x yzds x yzds x yzds =++=⎰⎰⎰⎰ 7. 设一段曲线ln (0)y x a x b =<≤≤上任一点处的线密度的大小等于该点横坐标的平方，求其质量．解依题意曲线的线密度为2x ρ=，故所求质量为2LM x ds =⎰，其中:ln (0)L y x a x b =<≤≤．则L 的参数方程为ln x xy x =⎧⎨=⎩ (0)a x b <≤≤，故ds ===，所以3221[(1)]3b a aM x ==+⎰3322221[(1)(1)]3b a =+-+．习题9.21 设L 为xOy 面内一直线=y b （b 为常数），证明(,)0=⎰LQ x y dy 。

(整理)厦门大学年下学期高等数学期中考试卷及答案

-------------1. (10分) 求抛物线2=2y x与其上一点1(,1)2A 处的法线围成的平面图形的面积. 解：先求出抛物线2=2y x 在点1(,1)2A 处的法线方程.2=1=11()=12y y dx d y dydy =， ---------2分所求的法线方程为11=(1)()2y x ---，即3=2y x -. ---------3分则法线与抛物线的两个交点分别为19(,1)(3)22-，， ---------2分于是所围平面图形的面积为112233-33131116[()]d =()=222263S y y y y y y -=----⎰. ---------3分 2. (10分) 半径为R (单位为：米)的半球形水池充满了水(单位为：吨)，要把池内的水全部吸尽，需作多少功？解：取坐标系如图，考察区间[,+d ]x x x 所对应的小薄层，此薄层水重为22()d R x x π-(吨)，将此层水提高到水池外面的距离是x ，因此所作的微功为22d ()d W R x x x π=-， ---------6要将水池内的水全部吸尽，所作的总功为22401()d 4R W R x x x R ππ=-=⎰(吨.米) ---------4分 3. (10分) 某战斗机型在机场降落时，为了缩短滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开降落伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下。

现有一质量为9000kg(公斤)的飞机，着陆时的水平速度为700km/h （千米/时）.假设减速伞厦门大学《高等数学》课程期中试卷答案 (2011.4.16)主考教师：理工类教学组试卷类型：（A 卷）打开后飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k=6.0⨯106 kg/h).问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？解：由题设知 m=9000 kg ，着陆时的水平速度0=700v km/h ，从飞机接触跑道开始计时，设t 时刻飞机滑行的距离为x(t )，速度为v(t )。

厦门大学大上微积分(理工类)期中考试题及详解

1．求下列函数的极限：（每小题4分，共16分）（1） 021sin cos sin2x x x x →+- （2）tan sin (11)[ln(1)]x xx x x x →+-+- （3） 21lim (sincos )x x x x →∞+ （4）2211lim[()ln(1)cos ]x x x x x x x→∞++--解：（1）22002222220001sin cos lim (1sin cos )sin 2sin sin sin sin 2lim 2(lim lim )4x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x →→→→→+=+++==+= （2）tan sin sin tan sin 000(1)tan sin 2lim 2lim[ln(1)][ln(1)](11)[ln(1)]x x x x x x x x e e x xx x x x x x x x x -→→→--==+-+-+-+- 21000tan (1cos )22lim lim lim 2[ln(1)]ln(1)(1)1x x x x x x x x x x x x x -→→→-====-+-+-+-（3） 001ln(sin 2cos )sin 2cos 1lim lim 2021lim (sin cos )lim (sin 2cos )t t t t t t x t t tx t t t ee e x x→→++-→∞→+=+=== （4）222211111lim[()ln(1)cos ]lim[ln(1)]lim ln(1)lim cos x x x x x x x x x x x x x x x x x→∞→∞→∞→∞++--=+-++- 1200ln(1)(1)11lim 10lim 122t t t t t t t -→→+-+-=+-=+= 2．求下列数列的极限：（每小题4分，共8分）（1）1lim(123)nn nn →∞++ （2）211lim (arctanarctan )1n n n n →∞-+ 解：（1）13(123)333nn n nn ≤++≤→∞Q ，1lim(123)3nn nn →∞∴++=（2）法一、由拉格朗日定理，知11(,)1n nξ∃∈+，使得22111(arctan arctan )111n n n n n ξ-=⋅+++，211lim (arctanarctan )11n n n n →∞∴-=+ 法二、220arctan arctan111lim (arctanarctan )lim 1n x xx x n n n x +→∞→-+-=+厦门大学《高等数学》课程期中试卷试卷类型：（理工类A 卷）考试日期 2011.11.27高等数学A 类教学组21210(1)(221)lim 12x x x x x+--→+-++== 3．（10分）设数列{}n x 满足12x π=，1sin n n x x +=，1,2,3,...n =，（1）试证明此数列极限存在，并求出lim n n x →∞；（2）试求211lim()n x n n nx x +→∞。

厦门大学《高等数学(AC)》期末试题A及答案

一、解下列各题：（每题5分，共30分）1、已知级数1n n u ∞=∑的前n 项和为121n s n =-，求()121n n n n u u u ∞++=++∑.2、设3tt y =，求3t y ∆.3、求微分方程220dy dx x y +=满足(1)1y =的解. 4、写出二阶非齐次线性微分方程1xy y e ''-=+的通解形式.5、求幂级数0nn n a x ∞=∑的收敛半径3R =，求幂级数21(2)n n n na x ∞+=-∑的收敛区间.6、求二阶齐次线性差分方程21220t t t y y y ++-+=的通解.二、判断下列级数的敛散（每小题6分，共12分）1、111n n n a a -∞=+∑(0)a > 2、11(1)1n n ∞-=⎛-- ⎝∑三、解下列各题：（每小题8分，共48分）1、已知1()tan 1y x x =-，tan 2()tan 1xy x x e -=-+是一阶微分方程()()y P x y Q x '+=的二个特解，求(),()P x Q x 及该方程的通解.2、求差分方程11232tt t y y +⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭的通解. 3、将2()ln(12)f x x x =--展开为x 的幂级数．4、设可导函数()f x 满足 00()()xxf t dt x tf x t dt =+-⎰⎰，求()f x .5、求幂级数211(1)21n n n xn ∞-=--∑的收敛域以及和函数s()x ，并求1(1)21nn n ∞=--∑的和.6、设()f x 具二阶连续导数，已知[]2()()0x f x ydx f x x dy '⎡⎤-++=⎣⎦为一阶全微分方程，且(0)0,(0)1f f '==，求()f x 及此全微分方程的通解.四、证明题：（每小题5分，共10分）1、设正项级数1nn u∞=∑和1nn v∞=∑都收敛，证明21()nn n uv ∞=+∑收敛。

【厦大习题集】高等数学习题及详细解答1

1. 求满足下列条件的平面方程：(1) 过点0(2,9,6)M -且与向量0OM u u u u u r垂直；解所求平面的法线向量为2,9(6),n =-, 由平面的点法式方程，得所求平面的方程为 2299()()(66)0x y z -+---=, 即2961210x y z +--=.(2) 过点(3,0,1)-且与平面375120x y z -+-=平行；解由于平行平面的法向量相同，法向量(3,7,5)n =-，故所求平面方程为()()()3370510,x y z ---++=, 即2751210x y z -+-=(3) 过点(1,0,1)-，且同时平行于向量2=++a i j k 和=-b i j ；解法向量2113110=⨯==+--ij kn a b i j k ，所求平面方程为1(1)1(0)3(1)0x y z ⋅-+⋅--⋅+= 即 340x y z +--=(4) 过三点1(1,0,1)M -、2(1,3,2)M --和3(0,2,3)M ; 解我们可以用→→3121M M M M ⨯作为平面的法线向量n . 因为→)6 ,4 ,3(21--=M M , →)1 ,3 ,2(31--=M M , 所以→→k j i kj i n -+=----=⨯=9141326433121M M M M .根据平面的点法式方程, 得所求平面的方程为 ()(1429(40))1x y z -++--=, 即 149150x y z +--=.(5) 求过点(1,1,1)，且垂直于平面7x y z -+=和051223=+-+z y x 的平面方程.解由条件，所求平面的法向量n 与平面7=+-z y x ,051223=+-+z y x 的法向量都垂直，因此 12111101553212=⨯=-=++-ij kn n n i j k 取(2,3,1)=n ，所求方程为 2(1)3(1)1(1)0⋅-+⋅-+⋅-=x y z 即 2360++-=x y z(6) 平行于xOy 面且经过点(2,5,3)-;解所求平面的法线向量为(0,0,1)j , 于是所求的平面为 0205130,(.(3))()x y z z ⋅-+⋅++⋅-==即. (7) 过点(3,1,2)--和y 轴解所求平面可设为0Ax Cz +=. 因为点(3,1,2)--在此平面上, 所以 320A C --=,将23C A =-代入所设方程得 230Ax Az -=, 所以所求的平面的方程为230x z -= 2. 指出下列平面的特殊位置:⑴ 0y =; ⑵ 310x -=; ⑶ 3260x y --=; ⑷ 0x y -=; ⑸ 1y z +=; ⑹ 230x y z -+= 解 (1) xOz 平面.(2) 垂直于x 轴的平面, 它通过x 轴上的点1(, 0, 0)3.(3) 平行于z 轴的平面, 它在x 轴、y 轴上的截距分别是23-和. (4) 通过z 轴的平面, 它在xOy 面上的投影的斜率为1. (5) 平行于x 轴的平面, 它在y 轴、z 轴上的截距均为1. (6) 通过原点的平面.3.求平面2230x y z -++=与各坐标面的夹角的余弦.解此平面的法线向量为(1,2,2)n =-. 此平面与yOz 面的夹角的余弦为 ^22111cos cos(, )||||32(2)1α⋅====⋅+-+n i n i n i ;此平面与zOx 面的夹角的余弦为321)2(22||||) ,cos(cos 122^-=+-+-=⋅⋅==j n j n j n β; 此平面与xOy 面的夹角的余弦为 ^22122cos cos(, )||||32(2)1γ⋅====⋅+-+n k n k n k .4. 分别在下列条件下确定n m l ,,的值：（1）使08)3()1()3(=+-+++-z n y m x l 和016)3()9()3(=--+-++z l y n x m 表示同一平面；（2）使0532=-++z my x 与0266=+--z y lx 表示二平行平面；（3）使013=+-+z y lx 与027=-+z y x 表示二互相垂直的平面.解：（1）欲使所给的二方程表示同一平面，则：168339133-=--=-+=+-l n n m m l 即： ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=-+092072032n l m n l m ，解之得 97=l ，913=m ，937=n .（2）欲使所给的二方程表示二平行平面，则：6362-=-=m l ，所以4-=l ，3=m . （3）欲使所给的二方程表示二垂直平面，则：7230l ++=所以： 57l =-.5. 求平面011=-+y x 与083=+x 的夹角；解设011=-+y x 与083=+x 的夹角为θ，则 32cos 223θ==⨯所以 4πθ=.6. 求点(1,1,2)到平面2230x y z ++-=的距离. 解利用点到平面的距离公式可得222211122343212d ⨯+⨯+⨯-==++ 7. 已知(5,11,3)A --, (7,10,6)B -和(1,3,2)C ---,求平行于ABC ∆所在的平面且与它的距离等于2的平面的方程.解设所求平面的法向量为n因为n AB ⊥u u u r, n AC ⊥u u u r , (12,21,9)AB =-u u u r , (6,8,5)AC =-u u u r则 AB AC ⨯=u u u r u u u r1221933630685-=-+--i j ki j k所以取n (11,2,10)=-，则设所求的平面方程为 112100x y z D -++=由已知条件得2221112(3)10(2)211(2)10D⨯-⨯-+⨯-+=+-+330D -=, 1233,27D D ==-所以所求平面方程为11210330x y z -++= 或 11210270x y z -+-=习题6.41. 求下列各直线方程:⑴ 通过点1(1,2,2)M -和2(2,1,1)M -的直线解所求直线的方向向量为12(1,3,3)s M M ==-u u u u u u r, 所求的直线方程为122133x y z -+-==-. ⑵ 过点(3,2,1)-且平行于直线121123x y z -++==-的直线解所求直线的方向向量为(1,2,3)s =-所求的直线方程为321123x y z --+==-. ⑶ 过点(1,3,2)A -且和x 轴垂直相交的直线因为直线过A 点和x 轴垂直相交,所以交点为(1,0,0),B 取(0,3,2),BA s −−→==-所求直线方程⑷ 通过点(1,0,2)且与两直线11111x y z -+==-和11110x y z -+==-垂直的直线. 解所求直线的方向向量为12111211=⨯=-=----ij ks n n i j k ，所以，直线方程为：12112--==x y z . (5) 通过点(1,2,1)M -且与z y x ,,三轴分别成︒︒︒120,45,60的直线；解所求直线的方向向量为：()121cos 60,cos 45,cos120,,222︒︒︒⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，故直线方程为：121112x y z --+==-. 2. 求直线1,234x y z x y z ++=-⎧⎨-+=-⎩的点向式方程与参数方程.解先求直线上的一点. 取1x = 有 ⎩⎨⎧=+--=+232z y z y .解此方程组, 得2y =-, 0z =, 即(1,2,0)-就是直线上的一点.再求这直线的方向向量s . 以平面1x y z ++=-和234x y z -+=的法线向量的向量积作为直线的方向向量s : ()(23)11143213=++⨯-+==---ij ks i j k i j k i j k因此, 所给直线的对称式方程为 31241-=-+=-zy x .令tz y x =-=-+=-31241, 得所给直线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧-=--=+=tz t y t x 3241.132.032x y z -+-==-3. 求过点(1,2,3)-且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方程.解所求平面的法线向量n 可取为直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 的方向向量, 即k j i kj i n 111416253421)2 ,5 ,3()4 ,2 ,1(++-=--=-⨯-=.所平面的方程为()()()1611421130,x y z --+++-=,即161411110---=x y z . 4. 求直线l ：21111-=-=-z y x 与平面π：032=--+z y x 的交点坐标和夹角. 解直线l 的参数方程为：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=-=t z t y tx 211设交点处对应的参数为0t ，代入得03)21()1()(2000=-+-++-⨯t t t , 10-=t ，从而交点为101-（，，）. 又设直线l 与平面π的交角为θ，则：21662111)1(2sin =⨯⨯-⨯+-⨯=θ，所以 6πθ=.5. 判别下列直线与平面的位置关系:⑴ 34273x y z++==-- 和 42230x y z ---= ⑵ 121327x y z -+-==- 和 641450x y z -+-= ⑶ 53250210x y z x y z -+-=⎧⎨---=⎩ 和 43770x y z -+-=⑷ 2994x t y t z t =⎧⎪=-+⎨⎪=-⎩和 347100x y z -+-=解（1）所给直线的方向向量为(2,7,3)=--s , 所给平面的法线向量为(4,2,2)=--n . 因为()()(247232)()0⨯=-+--+⨯⨯-=⨯s n , 所以 ⊥s n ,从而所给直线与所给平面平行. 又因为直线上的点(3,4,0)--不满足平面方程4223--=x y z , 所以所给直线不在所给平面上.（2）所给直线的方向向量为, 所给平面的法线向(3,2,7)s =-量为(6,4,14)n =-.因为P s n , 所以所给直线与所给平面是垂直的.（3）直线的方向向量为：1253259211=⨯=-=++--i j ks n n i j k ，平面的法向量为437=-+n i j k ，而(59)(437)0⋅=++⋅-+=s n i j k i j k ，所以直线与平面平行或者直线在平面上；取直线上的点)0,5,2(--M ，显然点在)0,5,2(--M 也在平面上（因为4(2)3(5)70⨯--⨯--=），所以，直线在平面上. （4）直线的方向向量为(1,2,9)=-s ，因为 097)2(413≠⨯+-⨯-⨯ 所以直线与平面相交但不垂直.6. 求下列各平面的方程：⑴ 通过点(2,0,1)M -，且又通过直线32121-=-=+z y x 的平面；解 (1) 解所求平面的法线向量与直线32121-=-=+z y x 的方向向量1(2,1,3)s =-)垂直. 因为点(2,0,1)-和(1,0,2)-都在所求的平面上, 所以所求平面的法线向量与向量2(1,0,2)(2,0,1)(3,0,3)s =---=-也是垂直的. 因此所求平面的法线向量可取为12213533=⨯=-=++-ij k n s s i j k .所求平面的方程为251)),(0(x y z -+++= 即015=-++z y x⑵ 通过直线115312-+=-+=-z y x 且与直线⎩⎨⎧=-+-=+-+01012z y x z y x 平行的平面；解直线⎩⎨⎧=-+-=+-+01012z y x z y x 的方向向量为k j i kj i s 32111121)1 ,1 ,1()1 ,2 ,1(1--=--=-⨯-=,所求平面的法线向量可取为121231323151=⨯=--=-----i j kn s s i j k ,又平面过点(2,3,1)--，由平面点法式方程得，所求平面的方程为 ()()13223310()x y z ---+-+= 即 1323170.x y z ++-=7. 求点(2,1,0)-在平面10.+-+=x y z 上的投影.解平面的法线向量为(1,1,1)n =-. 过点(1,2,0)-并且垂直于已知平面的直线方程为21111-+==-x y z. 将此方程化为参数方程2,1,x t y t z t =+=-+=-,代入平面方程10.+-+=x y z 中, 得 2(1)10++-++=t t t 解得23=t . 再将23=t 代入直线的参数方程, 得83=x , 13=-y , 23=-z . 于是点(2,1,0)-在平面10.+-+=x y z 上的投影为点812(, -, -)333.8. 求点1(2,)1,-P 到直线⎩⎨⎧=-+-=+-+04201z y x z y x 的距离.解直线⎩⎨⎧=-+-=+-+04201z y x z y x 的方向向量为k j kj i s 33112111)1 ,1 ,2()1 ,1 ,1(--=--=-⨯-=.过点P 且与已知直线垂直的平面的方程为 313()(0)2y z -+--=, 即10y z +-=. 解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+-=+-+0104201z y z y x z y x ,得1x =, 21-=y , 23=z .点1(2,)1,-P 到直线⎩⎨⎧=-+-=+-+04201z y x z y x 的距离就是点1(2,)1,-P 与点)23,21 ,1(-间的距离,即 222136(21)(1)(1)222=-+-++-=d . 9. 设0M 是直线外一点, M L 是直线L 上任意一点, 且直线的方向向量为s , 试证: 点0M 到直线L 的距离 →||||0s s ⨯=M M d .证设点0M 到直线L 的距离为的方向L 向量→MN =s , 根据向量积的几何意义, 以和→MN 为邻→M M 0边的平行四边形的面积为→→→||||00s ⨯=⨯M M MN M M ,又以→M M 0和→MN 为邻边的平行四边形的面积为→||||0s s ⨯=⋅M M d . 因此 →||||0s s ⨯=⋅M M d →||||0s s ⨯=M M d .10. 求直线⎩⎨⎧=++-=--+0101z y x z y x 在平面2210--+=x y z 上的投影直线的方程．解设过直线⎩⎨⎧=++-=--+0101z y x z y x 的平面束方程为0)1()1(=++-+--+z y x z y x λ即 01)1()1()1(=-++-+-++λλλλz y x 这平面与已知平面2210--+=x y z 垂直的条件是(1)2(1)(1)(1)(2)0+⋅+-⋅-+-+⋅-=λλλ,解之得3=-λ代入平面束方程中得2220-++=x y z 投影平面方程为，所以投影直线为22202210-++=⎧⎨--+=⎩x y z x y z .习题6.51. 求以点122-（，，）为球心，且通过坐标原点的球面方程.解球的半径2221(2)23=+-+=R , 球面方程为 222()()(9)122-+++-=x y z即 2222440.++-+-=x y z x y z2. 方程22224220+++-++=x y z x y z 表示什么曲面? 解由已知方程得2222()()(1212)++-++=x y z所以此方程表示以1,21(,)--为球心, 以2为半径的球面.3. 将yOz 坐标面上的抛物线2y z =绕z 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程解将方程中的y 换成22±+y x 得旋转曲面的方程222+=y x z4. 将xOz 坐标面上的椭圆22936+=x z 分别绕x 轴及z 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.解椭圆绕x 轴旋转而得的旋转曲面的方程为2229(36.)++=x y z 即 222222 1.622++=x y z椭圆绕z 轴旋转而得的旋转曲面的方程为22236.)(9++=x y z 即 222222 1.662++=x y z5. 指出下列方程在平面解析几何和空间解析几何中分别表示什么图形.⑴1=x ; ⑵2=-+y x ; ⑶ 224x y +=; ⑷ 224x y -=解 (1) 在平面解析几何中, 1=x 表示平行于y 轴的一条直线; 在空间解析几何中,1=x 表示一张平行于yOz 面的平面.(2) 在平面解析几何中, 2=-+y x 表示一条斜率是1-, 在y 轴上的截距也是2的直线; 在空间解析几何中，2=-+y x 表示一张平行于z 轴的平面.(3) 在平面解析几何中, 224+=y x 表示中心在原点, 半径是4的圆; 在空间解析几何中, 224+=y x 表示母线平行于z 轴, 准线为224+=y x 的圆柱面.(4) 在平面解析几何中, 224x y -=表示双曲线; 在空间解析几何中,224x y -=表示母线平行于z 轴的双曲面.6. 说明下列旋转曲面是怎样形成的：⑴2221994x y z ++=; ⑵ 222144-+=x z y ; (3) 222(1)-=+z x y 解 ⑴这是yOz 面上的椭圆22194+=y z 绕z 轴旋转一周而形成的, 或是xOz 面上的椭圆22194+=x z 绕x 轴旋转一周而形成的. ⑵ 这是xOy 面上的双曲线2214-=x y 绕y 轴旋转一周而形成的, 或是yOz 面上的双曲线2214-+=z y 绕y 轴旋转一周而形成的. (3) 这是zOx 面上的曲线22(1)-=z x 绕z 轴旋转一周而形成的, 或是yOz 面上的曲线22(1)-=z y 绕z 轴旋转一周而形成的.7. 指出下列各方程表示哪种曲面,并作图：⑴220+-=x y ax ; ⑵ 20-=y z ; ⑶ 22244+-=x y z ; ⑷ 2294=+x y z ；(1) 220+-=x y ax 表示母线平行z 轴的圆柱面。

高等数学参考解答 (5)

（3）平行于X轴（4）平行于X轴
5.对所给方程配方可知
可见，是球面方程，球心坐标半径5
6.（1）椭圆柱面（2）双曲线柱面（3）抛物柱面（4）椭圆柱面
7.椭球
B组
1.选择练习题
(1)空间点关于轴的对称点是
A B
C D
(2)在空间直角坐标系中，点位于
A第5卦限B第4卦限
C第2卦限D第3卦限
(3)在坐标面上与已知三点，和等距的点是
解之得
又在(2，1)点有，，，因此
，
从而函数在(2，1)点处有极小值。
⑵求偏导，联立求驻点
解之得，
在(-3，-2)点有，，，因此
，
从而函数在(-3，-2)点处有极大值；
另一方面，在(-3，2)点有，，，因此此点处有
从而，驻点不是极值点.
7.设长方体的长宽高分别为x, y, z，先给出体积函数
2.(1)(-x,y,z)，(x,-y,-z)，(0,0,z)(2)
(3)c(y-b)+b(z-c)=0。
3.（1）过z轴，则平面的方程为
又过点（，1，），则有，因此平面方程为
x+3y=0
（2）平行于x轴的平面方程为
又过点A（，1，）和B（3，0，5），从而
得
从而所求平面的方程为
（3）平行于xOy面的平面方程为
3.⑴ ,
⑵ ，
⑶ ，
⑷ ，
⑸ ，
⑹ ，
4.⑴先求一阶偏导数
，
因此
，，
⑵先求一阶偏导数
，
因此
，，
⑶先求一阶偏导数
，
因此
，，
⑷先求一阶偏导数

厦门大学《高等数学(AC)》经管类(A卷)期末试卷及答案

一、解下列各题（每小题6分，共42分）1、 220limarctan xt x x e dtx x-→-⎰. 2、设函数()f x 连续，且31()x f t dt x -=⎰，求(7)f .3、设(cos )ln(sin )f x dx x c '=+⎰，求()f x .4、已知点()3,4为曲线2y a =a , b .5、求函数2()2ln f x x x =-的单调区间与极值.6、设函数21()cos x f x x⎧+=⎨⎩0,0.x x ≤> 求2(1)f x dx -⎰.7、求曲线3330x y xy +-=的斜渐近线.二、计算下列积分（每小题6分，共36分）1、31sin cos dx x x ⎰.2、.3、523(23)x dx x +⎰.4、41cos 2xdx x π+⎰. 5、312⎰ 6、2220x x edx +∞-⎰，其中12⎛⎫Γ= ⎪⎝⎭.三、应用题（每小题6分，共12分）1、假设在某个产品的制造过程中，次品数y 是日产量x 的函数为： 2100,102100.x x y xxx ⎧≤⎪=-⎨⎪>⎩并且生产出的合格品都能售出。

如果售出一件合格品可盈利A 元，但出一件次品就要损失3A元。

为获得最大利润，日产量应为多少？ 2、设函数()f x 连续，(1)0f =，且满足方程1()()xf x xe f xt dt -=+⎰，求()f x 及()f x 在[]1,3上的最大值与最小值.四、证明题（每小题5分，共10分）1、当0x >时，证明：(1ln x x +>2、设函数)(x f 在[],a b 上连续，()0f x ≥且不恒为零，证明()baf x dx ⎰0>.一、解下列各题（每小题6分，共42分）1、解：2220023200011lim lim lim arctan 33xxt t x x x x x e dtx e dte x x x x ---→→→---===⎰⎰ 2、解：两边求导有233(1)1xf x -=，令2x =，得1(7)12f =。

厦门大学参考答案--08-09学年第一学期《高等代数》期末考试卷

厦门⼤学参考答案--08-09学年第⼀学期《⾼等代数》期末考试卷特别说明：答案写在答题纸上⼀、单选题（32分. 共8题, 每题4分）1.下列说法错误的是A) 若向量组123,,ααα线性⽆关，则其中任意两个向量线性⽆关； B) 若向量组123,,ααα中任意两个向量线性⽆关，则123,,ααα线性⽆关； C) 向量组122331,,αααααα---线性相关；D) 若向量组123,,ααα线性⽆关，则112123,,αααααα+++线性⽆关.2. 设n 维列向量12,,...,m ααα()m n <线性⽆关, 则n 维列向量12,,...,m βββ线性⽆关的充要条件是A) 向量组12,,...,m ααα可由向量组12,,...,m βββ线性表⽰； B) 向量组12,,...,m βββ可由向量组12,,...,m ααα线性表⽰； C) 向量组12,,...,m ααα与向量组12,,...,m βββ等价； D) 矩阵12(,,...,)m A ααα=与矩阵12(,,...,)m B βββ=相抵.3.设线性⽅程组0Ax =的解都是线性⽅程组0Bx =的解，则A) ()()r A r B <； B) ()()r A r B >； C) ()()r A r B ≥；D) ()()r A r B ≤.4.设n 阶⽅阵A 的伴随矩阵*0A ≠，⾮齐次线性⽅程组Ax b =有⽆穷多组解，则对应的齐次线性⽅程组0Ax =的基础解系 A) 不存在；B) 仅含⼀个⾮零解向量；C) 含有两个线性⽆关的解向量； D) 含有三个线性⽆关的解向量.5.下列⼦集能构成22R的⼦空间的是A) 221{|||0,}V A A A R ?==∈；B) 222{|()0,}V A tr A A R==∈；C) 2223{|,}V A A A A R ?==∈；D) 224{|,}V A A A A A R ?'==-∈或.6.设V 是数域K 上的线性空间, V 上的线性变换?在基12,,...,n ααα下的矩阵为A 且||2A =，若?在基11,,...,n n ααα-下的矩阵为B , 则||B =A) 2n； B) 2； C)12； D) 不能确定.7.设V 是n 维向量空间，?和ψ是V 上的线性变换，则dimIm dimIm ?ψ=的充分必要条件是A) ?和ψ都是可逆变换；B) Ker ?=Ker ψ；C) Im Im ?ψ=； D) ?和ψ在任⼀组基下的表⽰矩阵的秩相同. 8.设?是线性空间V 到U 的同构映射, 则下列命题中正确的有个. (Ⅰ) ?为可逆线性映射；(Ⅱ) 若W 是V 的s 维⼦空间, 则()?W 是U 的s 维⼦空间； (Ⅲ) ?在给定基下的表⽰矩阵为可逆阵；(Ⅳ) 若12V=V V ⊕, 则1212)))⊕=⊕(V V (V (V . A) 1B) 2C) 3D) 4⼆、填空题（32分. 共8题,每题4分）1. 若矩阵1234(,,,)A αααα=经过⾏初等变换化为1003002401050000-??-, 那么向量组1234,,,αααα的⼀个极⼤⽆关组是其余向量由此极⼤⽆关组线性表⽰的表⽰式为.2. 设3维向量空间的⼀组基为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)ααα===，则向量(2,0,0)β=在这组基.3. 设1V ，2V 均为线性空间V 的⼦空间，则12()L V V ?4. 数域K 上所有三阶反对称矩阵构成的线性空间的维数是的⼀组基. 5. 已知12K上的线性变换?定义如下：((,))(0,)ab a ?=-，则Ker ?=Im ?6. 设?是数域K 上n 维线性空间V 到m 维线性空间U 的线性映射, 则?为满射的充分必要条件是（请写出两个）7. 设12,,...,n ααα和12,,...,n βββ是线性空间V 的两组基，从12,,...,n ααα到12,,...,n βββ的过渡矩阵为P . 若?是V 上的线性变换且,()i i ?αβ=1,2,...,i n =，则?在基12,,...,n βββ下的表⽰矩阵是8. 设?是线性空间V 上的线性变换，?在基12,,...,n ααα下的表⽰矩阵为0A B C ??，其中A 为r r ?矩阵，则存在V 的⼀个⾮平凡?-,,)r α.三、(8分) 设线性空间V 的向量组12,,...,m ααα线性⽆关，V β∈，考虑向量组12,,,...,m βααα.求证：或者该向量组线性⽆关，或者β可由12,,...,m ααα线性表⽰. ,,m α线性相关，则存在不全为,,k m 使得+k m m α+=．事实上，若k +k m m α+=12,,...,ααα线性⽆关知1m k ==k =0．m ==k =0．,,k m 不全为０相⽭盾．mm k k α--从⽽，或者该向量组线性⽆关，或者β可由α四、(10分) 设1V ,2V 分别是数域K 上的齐次线性⽅程组12n x x x == =与120n x x x +++=的解空间. 证明112n KV V ?=⊕.1n V V a ?∈n n a a ==++=，则0n a ===1n n K a ??∈，11i V a n∈∑, 21n i i V a n =??∈?∑n a ＝1n i i a n =?∑＋n a1n V V a ∈n n a a ==++=，则0n a ===(1)000011n n-?，1,1,,1)n ?，所以1．故1dim V (1)000011n n-? ?，1,1,,1)n ?，1dim 1,dim V =1n n K a ??∈，11i n V a n ?∈∑, 21n i i n V a n =??∈?∑n a ＝1n i i n a n =?∑＋n n a五、(10分) 设m n A K ?∈. 证明：()r A r =的充分必要条件是存在m r B K ?∈，r n C K ?∈，使得()()r B r C r ==且A BC =.证明：充分性：由于m rB K∈，r nC K∈满⾜()()r B r C r ==且A BC =，所以()()()()()r r B r C r r A r BC r B r =+-≤=≤=故()r A r =．必要性：由于()r A r =，所以存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q 使得000rI A P Q ??=．令,(,0)0r r I B P C I Q ??==，则m r B K ?∈，r n C K ?∈满⾜()()r B r C r ==且A BC =．六、(8分) 设V , U, W 是有限维线性空间，:V U ?→，:W U ψ→是线性映射. 求证：存在线性映射:V W σ→使得?ψσ=的充分必要条件是Im Im ?ψ?.证明：充分性：法⼀：取V 的⼀组基12,,,n ααα，由于Im Im ?ψ?，所以()Im i ?αψ∈，1i n ?≤≤，即存在i W β∈使得()()i i ?αψβ=．定义线性映射:V W σ→满⾜(),1i i i n σαβ=?≤≤，则()()(),1i i i i n ψσαψβ?α==?≤≤．因此，ψσ?=．法⼆：取V 的⼀组基12,,,n ξξξ，U 的⼀组基12,,,m ηηη，W 的⼀组基12,,,s γγγ．设1212(,,,)(,,,)n m m n A ?ξξξηηη?= 1212(,,,)(,,,)s m m s B ψγγγηηη?=其中1212(,,,),(,,,)n s A B αααβββ==．由于I m I m ?ψ?，所以1212(,,,)(,,,)n s L L αααβββ?，即11,sj ij i i j n c αβ=?≤≤=∑．取()ij s n C c ?=，则A B C =．定义线性映射:V W σ→满⾜1212(,,,)(,,,)n s C σξξξγγγ=，则?ψσ=.必要性：对任意Im β?∈，存在V α∈使得()β?α=．由于?ψσ=，所以()β?α=(())Im ψ?αψ=∈从⽽，Im Im ?ψ?．附加题: (本部分不计⼊总分)设V , U, W 是有限维线性空间且dim dim V W =，:V U ?→，:W U ψ→是线性映射. 证明：存在可逆线性映射:V W σ→使得?ψσ=的充分必要条件是Im Im ?ψ=.证明：充分性：法⼀：由于d i m d i m V W =且Im Im ?ψ=，所以由维数公式知：d i m d i m Ke r K e r ?ψ=．取Ker ψ的⼀组基12,,,r ηηη；Ker ?的⼀组基12,,,r ξξξ，将其扩充为V的⼀组基121,,,,,r r n ξξξξξ+，则1(),()r n ?ξ?ξ+是Im ?的⼀组基．由于Im Im ?ψ=，所以1(),()r n ?ξ?ξ+是Im ψ的⼀组基．设()(),1i i r i n ?ξψη=?+≤≤，由于1(),,()r n ψηψη+线性⽆关，所以1,,r n ηη+线性⽆关．我们断⾔，121,,,,,,r r n ηηηηη+线性⽆关．事实上，若1122110r r r r n n k k k k k ηηηηη++++++++=，则将ψ作⽤于上式得11()()0r r n n k k ψηψη++++=．由于1(),,()r n ψηψη+线性⽆关，所以10r n k k +===．于是1122r r k k k ηηη+++＝０．⼜12,,,r ηηη是Ker ψ的⼀组基，故10r k k ===从⽽，121,,,,,,r r n ηηηηη+线性⽆关．注意到dim W n =，故121,,,,,,r r n ηηηηη+是W 的⼀组基．定义线性映射:V W σ→满⾜(),1i i i n σξη=?≤≤．由于12,,,n ξξξ是V 的⼀组基，12,,,n ηηη是W的⼀组基，故σ可逆．⼜()()(),1i i i i n ψσξψη?ξ==?≤≤，从⽽?ψσ=．法⼆：取V 的⼀组基12,,,n ξξξ，U 的⼀组基12,,,s γγγ，W 的⼀组基12,,,n ηηη．设1212(,,,)(,,,)n s s n A ?ξξξγγγ?=1212(,,,)(,,,)n s s n B ψηηηγγγ?=且dimIm dimIm r ?ψ==，则()()r A r B r ==．于是，存在n 阶可逆矩阵,P Q 使得1(,0),AP A =1(,0)BQ B =，其中11,s r A B K ?∈列满秩．由于Im Im ?ψ=，所以同上题证明可知存在n 阶矩阵C 使得A BC =，则11(,0)()A AP BQ Q CP -==．设111212122X X Q CP X X -??=，其中11X 是r 阶⽅阵，则1112112122(,0)(,0)X X A B X X ??=．从⽽，1111A B X =．⼜1A 列满秩，所以存在2r sA K ?∈使得21r A A I =．于是，212111()r I A A AB X ==，即11X 是可逆矩阵．因此，存在可逆矩阵11100n r X X Q P I --??=使得()111111111111100(,0),0(,0)00n r n r X X BX BQ P B P B X P A P A I I ------=====定义线性映射:V W σ→满⾜1212(,,,)(,,,)n n X σξξξηηη=由于X 可逆且A BX =，故σ可逆且?ψσ=．必要性：由于?ψσ=，所以同上题证明可知Im Im ?ψ?．⼜由:V W σ→可逆可知1ψ?σ-=，所以Im Im ψ??．从⽽，Im Im ?ψ=．。

《高等数学》练习题库及答案,DOC

《高等数学》练习测试题库及答案一．选择题1.函数y=112+x 是（） A.偶函数B.奇函数C 单调函数D 无界函数2.设f(sin 2x )=cosx+1,则f(x)为（） A2x 2－2B2－2x 2C1＋x 2D1－x 23A ．C ．4.A C.5A C 6．→lim 1x7．设x 8.当x A.x 2A.必要条件B.充分条件C.充分必要条件D.无关条件10、当|x|<1时，y=（）A 、是连续的B 、无界函数C 、有最大值与最小值D 、无最小值11、设函数f （x ）=（1-x ）cotx 要使f （x ）在点：x=0连续，则应补充定义f （0）为（）A 、B 、eC 、-eD 、-e -112、下列有跳跃间断点x=0的函数为（）A、xarctan1/xB、arctan1/xC、tan1/xD、cos1/x13、设f(x)在点x0连续，g(x)在点x不连续，则下列结论成立是（）A、f(x)+g(x)在点x必不连续B、f(x)×g(x)在点x必不连续须有C、复合函数f[g(x)]在点x必不连续f(x)=0 14、设1516、函数17AC18、AC、充要条件D、无关条件19、下列函数中能在区间(0,1)内取零值的有（）A、f(x)=x+1B、f(x)=x-1C、f(x)=x2-1D、f(x)=5x4-4x+120、曲线y=x2在x=1处的切线斜率为（）A、k=0B、k=1C、k=2D、-1/221、若直线y=x与对数曲线y=logax相切，则（）A、eB、1/eC、e xD、e1/e22、曲线y=lnx平行于直线x-y+1=0的法线方程是（）A、x-y-1=0B、x-y+3e-2=0C、x-y-3e-2=0D、-x-y+3e-2=023、设直线y=x+a与曲线y=2arctanx相切，则a=（）A、±1B、±л/2C、±(л/2+1)D、±(л/2-1)24、设f(x)为可导的奇函数，且f`(x0)=a，则f`(-x)=（）A、aB、-aC、|a|D、025、设26、设27、设28、已知29、已知30A、3132、圆A、-1B、0C、1D、233、函数f(x)在点x0连续是函数f(x)在x可微的（）A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件34、函数f(x)在点x0可导是函数f(x)在x可微的（）A、充分条件B、必要条件C 、充要条件D 、无关条件35、函数f(x)=|x|在x=0的微分是（）A 、0B 、-dxC 、dxD 、不存在36、极限)ln 11(lim 1xx x x --→的未定式类型是（） A 、0/0型B 、∞/∞型C 、∞-∞D 、∞型37、极限012)sin lim(→x x x x 的未定式类型是（） A 、00型38、极限A 39、x x A C 40A C 41、曲线A 42A 、0B 、43A 44、若∫f(x)dx=2e x/2+C=（）A 、2e x/2B 、4e x/2C 、e x/2+CD 、e x/245、∫xe -x dx=（D ）A 、xe -x -e -x +CB 、-xe -x +e -x +CC 、xe -x +e -x +CD 、-xe -x -e -x +C46、设P（X）为多项式，为自然数，则∫P(x)(x-1)-n dx（）A、不含有对数函数B、含有反三角函数C、一定是初等函数D、一定是有理函数47、∫-10|3x+1|dx=（）A、5/6B、1/2C、-1/2D、148、两椭圆曲线x2/4+y2=1及(x-1)2/9+y2/4=1之间所围的平面图形面积等于（）A、лB、2лC、4лD、6л49、曲线A50、点（A51A、52、平面A53、方程AC54、方程A55、方程A56AC、两发散数列之和必发散D、两收敛数列之和必收敛57.f(x)在点x=x0处有定义是f(x)在x=x处连续的（）A、.必要条件B、充分条件C、充分必要条件D、无关条件58函数f(x)=tanx能取最小最大值的区间是下列区间中的（）A、[0,л]B、（0,л）C、[-л/4,л/4]D、（-л/4,л/4）59下列函数中能在区间(0,1)内取零值的有（）A、f(x)=x+1B、f(x)=x-1C 、f(x)=x 2-1D 、f(x)=5x 4-4x+160设y=(cos)sinx ，则y’|x=0=（）A 、-1B 、0C 、1D 、不存在二、填空题1、求极限1lim -→x (x 2+2x+5)/(x 2+1)=（） 2、求极限0lim →x [(x 3-3x+1)/(x-4)+1]=（） 3、求极限2lim →x x-2/(x+2)1/2=（） 456、已知78、已知910、函数11、函数12、函数13、函数14、函数15、点（16、∫xx 17、若18、若∫19、d/dx ∫a b arctantdt =（）20、已知函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠⎰-0,0,022)1(1x a x x t dt e x 在点x=0连续，则a=（） 21、∫02(x 2+1/x 4)dx =（）22、∫49x 1/2(1+x 1/2)dx=（）23、∫031/2a dx/(a 2+x 2)=（）1dx/(4-x2)1/2=（）24、∫25、∫л/3лsin(л/3+x)dx=（）9x1/2(1+x1/2)dx=()26、∫49x1/2(1+x1/2)dx=（）27、∫49x1/2(1+x1/2)dx=（）28、∫49x1/2(1+x1/2)dx=（）29、∫49x1/2(1+x1/2)dx=（）30、∫49x31、∫9x32、∫43334、设35、函数36、37、383940（）41424344、通过45lim[x/(x+1)]x=（）46求极限∞x→47函数y=x2-2x+3的极值是y(1)=（）9x1/2(1+x1/2)dx=（）48∫449y=sinx,y=cosx直线x=0,x=л/2所围成的面积是（）50求过点（3，0，-1），且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程是（）三、解答题1、设Y=2X-5X2，问X等于多少时Y最大？并求出其最大值。

高等数学课后习题及参考答案(第五章)

高等数学课后习题及参考答案（第五章）习题5-11. 利用定积分定义计算由抛物线y =x 2+1, 两直线x =a 、x =b (b >a )及横轴所围成的图形的面积.解第一步: 在区间[a , b ]内插入n -1个分点i nab a x i -+=(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 把区间[a , b ]分成n 个长度相等的小区间, 各个小区间的长度为: nab x i -=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 第二步: 在第i 个小区间[x i -1, x i ] (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n )上取右端点i nab a x i i -+==ξ, 作和 nab i n a b a x f S ni i i ni n -⋅+-+=∆=∑∑==]1)[()(211ξ ∑=+-+-+-=n i i na b i n a b a a n a b 12222]1)()(2[ ]6)12)(1()(2)1()(2[)(222n n n n n a b n n n a b a na n a b +++⋅-++⋅-+-= ]16)12)(1()()1)(()[(222+++-++-+-=n n n a b n n a b a a a b . 第三步: 令λ=max{∆x 1, ∆x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , ∆x n }nab -=, 取极限得所求面积 ∑⎰=→∆==ni i i ba x f dx x f S 10)(lim )(ξλ]16)12)(1()()1)(()[(lim 222+++-++-+-=∞→n n n a b n n a b a a a b n a b a b a b a b a a a b -+-=+-+-+-=)(31]1)(31)()[(3322.2. 利用定积分定义计算下列积分:(1)xdx ba ⎰(a <b ); (2)dx e x ⎰10.解 (1)取分点为i n a b a x i -+=(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 则nab x i -=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间上取右端点i nab a x i i -+==ξ (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 于是 ∑∑⎰=∞→=∞→-⋅-+=∆=ni n ni i i n ba nab i n a b a x xdx 11)(lim lim ξ )(21]2)1()()([lim )(22222a b n n n a b a b a a b n -=+-+--=∞→. (2)取分点为n i x i =(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 则nx i 1=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间上取右端点nix i i ==ξ (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 于是) (1lim 1lim 21110n n n n n n i n i n xe e e nn e dx e +⋅⋅⋅++==∞→=∞→∑⎰1)1(]1[lim1])(1[1lim 11111-=--=--⋅=∞→∞→e e n e e e e e nnn n nn n n n .3. 利用定积分的几何意义说明下列等式: (1)1210=⎰xdx ; (2)41102π=-⎰dx x ;(3)⎰-=ππ0sin xdx ;(4)⎰⎰=-2022cos 2cos πππxdx xdx .解 (1)⎰102xdx 表示由直线y =2x 、x 轴及直线x =1所围成的面积, 显然面积为1.(2)⎰-1021dx x 表示由曲线21x y -=、x 轴及y 轴所围成的四分之一圆的面积, 即圆x 2+y 2=1的面积的41:41411212ππ=⋅⋅=-⎰dx x .(3)由于y =sin x 为奇函数, 在关于原点的对称区间[-π, π]上与x 轴所夹的面积的代数和为零, 即⎰-=ππ0sin xdx .(4)⎰-22cos ππxdx 表示由曲线y =cos x 与x 轴上]2,2[ππ-一段所围成的图形的面积. 因为cos x为偶函数, 所以此图形关于y 轴对称. 因此图形面积的一半为⎰20cos πxdx , 即⎰⎰=-2022cos 2cos πππxdx xdx .4. 水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力, 已知闸门上水的压强p (单位面积上的压力大小)是水深h 的函数, 且有p =9⋅8h (kN/m 2). 若闸门高H =3m , 宽L =2m , 求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P .解建立坐标系如图. 用分点i nHx i =(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1)将区间[0, H ]分为n 分个小区间, 各小区间的长为nHx i =∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间[x i -1, x i ]上, 闸门相应部分所受的水压力近似为 ∆P i =9.8x i l ⋅∆x i . 闸门所受的水压力为22118.42)1(lim 8.9lim 8.98.9lim H L nn n H L n Hi n H L x L x P n ni n ni i i n ⋅=+⋅=⋅=∆⋅⋅=∞→=∞→=∞→∑∑.将L =2, H =3代入上式得P =88.2(千牛).5. 证明定积分性质: (1)⎰⎰=ba b a dx x f k dx x kf )()(; (2)a b dx dx ba b a -==⋅⎰⎰1.证明 (1)⎰∑∑⎰=∆=∆==→=→ba ni i i ni i i ba dx x f k x f k x kf dx x kf )()(lim )(lim )(1010ξξλλ.(2)a b a b x x dx ni i ni i ba -=-=∆=∆⋅=⋅→=→=→∑∑⎰)(lim lim 1lim 101010λλλ.6. 估计下列各积分的值: (1)⎰+412)1(dx x ; (2)⎰+ππ4542)sin 1(dx x ;(3)⎰331arctan xdx x ;(4)⎰-022dx e xx.解 (1)因为当1≤x ≤4时, 2≤x 2+1≤17, 所以 )14(17)1()14(2412-⋅≤+≤-⋅⎰dx x , 即 51)1(6412≤+≤⎰dx x . (2)因为当ππ454≤≤x 时, 1≤1+sin 2x ≤2, 所以 )445(2)sin 1()445(14542ππππππ-⋅≤+≤-⋅⎰dx x ,即 ππππ2)sin 1(4542≤+≤⎰dx x .(3)先求函数f (x )=x arctan x 在区间]3 ,31[上的最大值M 与最小值m .21arctan )(xx x x f ++='. 因为当331≤≤x 时, f '(x )>0, 所以函数f (x )=x arctan x 在区间]3 ,31[上单调增加. 于是3631arctan31)31(π===f m , 33arctan 3)3(π===f M .因此)313(3arctan )313(36331-≤≤-⎰ππxdx x ,即32arctan 9331ππ≤≤⎰xdx x . (4)先求函数xx e x f -=2)(在区间[0, 2]上的最大值M 与最小值m .)12()(2-='-x e x f xx , 驻点为21=x .比较f (0)=1, f (2)=e 2,41)21(-=e f ,得41-=e m , M =e 2. 于是)02()02(220412-⋅≤≤-⎰--e dx e e xx,即 41022222---≤≤-⎰e dx dx e e xx .7. 设f (x )及g (x )在[a , b ]上连续, 证明:(1)若在[a , b ]上 f (x )≥0, 且0)(=⎰ba dx x f , 则在[a ,b ]上f (x )≡0; (2)若在[a , b ]上, f (x )≥0, 且f (x )≢0, 则0)(>⎰ba dx x f ;(3)若在[a , b ]上, f (x )≤g (x ), 且⎰⎰=b a ba dx x g dx x f )()(, 则在[ab ]上f (x )≡g (x ).证明 (1)假如f (x )≢0, 则必有f (x )>0. 根据f (x )在[a , b ]上的连续性, 在[a , b ]上存在一点x 0, 使f (x 0)>0, 且f (x 0)为f (x )在[a , b ]上的最大值.再由连续性, 存在[c , d ]⊂[a , b ], 且x 0∈[c , d ], 使当x ∈[c , d ]时, 2)()(0x f x f >. 于是0)(2)()()()()()(0>-≥≥++=⎰⎰⎰⎰⎰c d x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dc bd d c c a b a . 这与条件0)(=⎰ba dx x f 相矛盾. 因此在[a ,b ]上f (x )≡0.(2)证法一因为f (x )在[a , b ]上连续, 所以在[a , b ]上存在一点x 0, 使f (x 0)>0, 且f (x 0)为f (x )在[a , b ]上的最大值.再由连续性, 存在[c , d ]⊂[a , b ], 且x 0∈[c , d ], 使当x ∈[c , d ]时, 2)()(0x f x f >. 于是⎰⎰>-≥≥badcc d x f dx x f dx x f 0)(2)()()(0. 证法二因为f (x )≥0, 所以0)(≥⎰ba dx x f . 假如0)(>⎰ba dx x f 不成立. 则只有0)(=⎰ba dx x f , 根据结论(1), f (x )≡0, 矛盾. 因此0)(>⎰ba dx x f . (3)令F (x )=g (x )-f (x ), 则在[a ,b ]上F (x )≥0且0)()()]()([)(=-=-=⎰⎰⎰⎰ba b a b a b a dx x f dx x g dx x f x g dx x F ,由结论(1), 在[a , b ]上F (x )≡0, 即f (x )≡g (x ).4. 根据定积分的性质及第7题的结论, 说明下列积分哪一个的值较大: (1)⎰102dx x 还是⎰103dx x ？(2)⎰212dx x 还是⎰213dx x ？ (3)⎰21ln xdx 还是⎰212)(ln dx x ？ (4)⎰10xdx 还是⎰+10)1ln(dx x ？ (5)⎰10dx e x 还是⎰+10)1(dx x ？解 (1)因为当0≤x ≤1时, x 2≥x 3, 所以⎰⎰≥103102dx x dx x . 又当0<x <1时, x 2>x 3, 所以⎰⎰>103102dx x dx x . (2)因为当1≤x ≤2时, x 2≤x 3, 所以⎰⎰≤213212dx x dx x . 又因为当1<x ≤2时, x 2<x 3, 所以⎰⎰<213212dx x dx x .(3)因为当1≤x ≤2时, 0≤ln x <1, ln x ≥(ln x )2, 所以⎰⎰≥21221)(ln ln dx x xdx . 又因为当1<x ≤2时, 0<ln x <1, ln x >(ln x )2, 所以⎰⎰>21221)(ln ln dx x xdx . (4)因为当0≤x ≤1时, x ≥ln(1+x ), 所以⎰⎰+≥1010)1ln(dx x xdx . 又因为当0<x ≤1时, x >ln(1+x ), 所以⎰⎰+>1010)1ln(dx x xdx .(5)设f (x )=e x -1-x , 则当0≤x ≤1时f '(x ) =e x -1>0, f (x )=e x -1-x 是单调增加的. 因此当0≤x ≤1时, f (x )≥f (0)=0, 即e x ≥1+x , 所以⎰⎰+≥1010)1(dx x dx e x .又因为当0<x ≤1时, e x >1+x , 所以⎰⎰+>1010)1(dx x dx e x .习题5-21. 试求函数⎰=xtdt y 0sin 当x =0及4π=x 时的导数.解 x tdt dx dy x sin sin 0=='⎰, 当x =0时, y '=sin0=0;当4π=x 时, 224sin =='πy .2. 求由参数表示式⎰=tudu x 0sin , ⎰=tudu y 0cos 所给定的函数y 对x的导数.解 x '(t )=sin t , y '(t )=cos t ,t t x t y dx dy cos )()(=''=. 3. 求由⎰⎰=+xy ttdt dt e 00cos 所决定的隐函数y 对x 的导数dxdy. 解方程两对x 求导得 0cos =+'x y e y , 于是ye x dx dy cos -=. 4. 当x 为何值时, 函数⎰-=xt dt te x I 02)(有极值？解 2)(x xe x I -=', 令I '(x )=0, 得x =0.因为当x <0时, I '(x )<0; 当x >0时, I '(x )>0, 所以x =0是函数I (x )的极小值点. 5. 计算下列各导数:(1)⎰+2021x dt t dx d ; (2)⎰+32411x x dt tdx d ; (3)⎰x x dtt dxd cos sin 2)cos(π.解 (1)dxdu dt t du d u x dt t dx d u x ⋅+=+⎰⎰02202112令 421221x x x u +=⋅+=.(2)⎰⎰⎰+++=+323204044111111x x x x dt t dx d dt t dx d dt t dx d ⎰⎰+++-=3204041111x x dt t dx d dt t dx d )()(11)()(11343242'⋅++'⋅+-=x x x x 12281312xx x x +++-=. (3)⎰⎰⎰+-=x x x x dt t dx d dt t dx d dt t dx d cos 02sin 02cos sin 2)cos()cos()cos(πππ))(cos cos cos())(sin sin cos(22'+'-=x x x x ππ )cos cos(sin )sin cos(cos 22x x x x ππ⋅-⋅-= )sin cos(sin )sin cos(cos 22x x x x πππ-⋅-⋅-= )sin cos(sin )sin cos(cos 22x x x x ππ⋅+⋅-= )sin cos()cos (sin 2x x x π-=.6. 计算下列各定积分: (1)⎰+-adx x x 02)13(;解a a a x x x dx x x a a+-=+-=+-⎰230230221|)21()13(.(2)⎰+2142)1(dx xx ;解852)11(31)22(31|)3131()1(333321332142=---=-=+---⎰x x dx x x . (3)⎰+94)1(dx x x ;解94223942194|)2132()()1(x x dx x x dx x x +=+=+⎰⎰6145)421432()921932(223223=+-+=.(4)⎰+33121x dx ; 解 66331arctan 3arctan arctan 13313312πππ=-=-==+⎰x x dx . (5)⎰--212121x dx ; 解3)6(6)21arcsin(21arcsin arcsin 1212121212πππ=--=--==---⎰x x dx .(6)⎰+ax a dx 3022;解aa a ax a x a dx a a30arctan 13arctan 1arctan 1303022π=-==+⎰.(7)⎰-1024x dx ;解60arcsin 21arcsin 2arcsin 41012π=-==-⎰x x dx .(8)dx x x x ⎰-+++012241133; 解 01301221224|)arctan ()113(1133---+=++=+++⎰⎰x x dx x x dx x x x 41)1arctan()1(3π+=----=.(9)⎰---+211e xdx ; 解1ln 1ln ||1|ln 12121-=-=+=+------⎰e x xdx e e .(10)⎰402tan πθθd ;解4144tan )(tan )1(sec tan 4040242πππθθθθθθπππ-=-=-=-=⎰⎰d d .(11)dx x ⎰π20|sin |;解⎰⎰⎰-=ππππ2020sin sin |sin |xdx xdx dx xπππ20cos cos x x +-==-cos π +cos0+cos2π-cos π=4. (12)⎰2)(dx x f , 其中⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=1 2111)(2x x x x x f . 解38|)61(|)21(21)1()(213102212102=++=++=⎰⎰⎰x x x dx x dx x dx x f . 7. 设k 为正整数. 试证下列各题: (1)⎰-=ππ0cos kxdx ;(2)⎰-=ππ0sin kxdx ;(3)⎰-=πππkxdx 2cos ;(4)⎰-=πππkxdx 2sin .证明 (1)⎰--=-=--==ππππππ000)(sin 1sin 1|sin 1cos k kk k kx k kxdx . (2))(cos 1cos 1cos 1sin ππππππ-+-=-=--⎰k kk k x k k kxdxcos 1cos 1=+-=ππk kk k(3)πππππππππ=+=+=+=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21cos 2kx k x dx kx kxdx . (4)πππππππππ=+=-=-=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21sin 2kx k x dx kx kxdx . 8. 设k 及l 为正整数, 且k ≠l . 试证下列各题: (1)⎰-=ππ0sin cos lxdx kx ;(2)⎰-=ππ0cos cos lxdx kx ;(3)⎰-=ππ0sin sin lxdx kx .证明 (1)⎰⎰----+=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])sin()[sin(21sin cos0])cos()(21[])cos()(21[=----++-=--ππππx l k l k x l k l k .(2)⎰⎰---++=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21cos cos0])sin()(21[])sin()(21[=--+++=--ππππx l k l k x l k l k .(3)⎰⎰----+-=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21sin sin . 0])sin()(21[])sin()(21[=--+++-=--ππππx l k l k x l k l k .9. 求下列极限: (1)xdt t xx ⎰→020cos lim ; (2)⎰⎰→xt xt x dttedt e 0220022)(lim.解 (1)11cos lim cos lim20020==→→⎰x xdt t x xx . (2)22222200022)(2lim)(limx xt x t x xt xt x xedt e dt e dttedt e '⋅=⎰⎰⎰⎰→→222220202lim2limx xt x x x xt x xedte xeedt e ⎰⎰→→=⋅=2212lim 22lim 2020222=+=+=→→x e x e e x x x x x . 10. 设⎩⎨⎧∈∈=]2 ,1[ ]1 ,0[ )(2x x x x x f . 求⎰=x dt t f x 0)()(ϕ在[0, 2]上的表达式,并讨论ϕ(x )在(0, 2)内的连续性.解当0≤x ≤1时, 302031)()(x dt t dt t f x xx===⎰⎰ϕ;当1<x ≤2时, 6121212131)()(2211020-=-+=+==⎰⎰⎰x x tdt dt t dt t f x xxϕ.因此 ⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤=21 612110 31)(23x x x x x ϕ.因为31)1(=ϕ, 3131lim )(lim 30101==-→-→x x x x ϕ,316121)6121(lim )(lim 20101=-=-=+→+→x x x x ϕ,所以ϕ(x )在x =1处连续, 从而在(0, 2)内连续.11. 设⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤=ππx x x x x f 或0 00 sin 21)(. 求⎰=x dt t f x 0)()(ϕ在(-∞, +∞)内的表达式.解当x <0时,00)()(0===⎰⎰xxdt dt t f x ϕ;当0≤x ≤π时,21cos 21|cos 21sin 21)()(000+-=-===⎰⎰x t tdt dt t f x xxxϕ;当x >π时,πππϕ000|cos 210sin 21)()(t dt tdt dt t f x x x-=+==⎰⎰⎰10cos 21cos 21=+-=π.因此 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-<=ππϕx x x x x 10 )cos 1(210 0)(.12. 设f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导且f '(x )≤0,⎰-=x a dt t f ax x F )(1)(. 证明在(a , b )内有F '(x )≤0.证明根据积分中值定理, 存在ξ∈[a , x ], 使))(()(a x f dt t f xa -=⎰ξ.于是有)(1)()(1)(2x f ax dt t f a x x F x a -+--='⎰ ))(()(1)(12a x f a x x f a x ----=ξ )]()([1ξf x f ax --=.由 f '(x )≤0可知f (x )在[a , b ]上是单调减少的, 而a ≤ξ≤x , 所以f (x )-f (ξ)≤0. 又在(a , b )内, x -a >0, 所以在(a , b )内)]()([1)(≤--='ξf x f a x x F .习题5-31. 计算下列定积分:(1)⎰+πππ2)3sin(dx x ;解 0212132cos 34cos)3cos()3sin(22=-=+-=+-=+⎰ππππππππx dx x . (2)⎰-+123)511(x dx;解51251110116101)511(2151)511(22122123=⋅+⋅-=+-⋅=+-----⎰x x dx. (3)⎰203cos sin πϕϕϕd ;解⎰⎰-=20323sin cos cos sin ππϕϕϕϕϕd s d410cos 412cos 41cos 4144204=+-=-=πϕπ.(4)⎰-πθθ03)sin 1(d ; 解⎰⎰⎰⎰-+=+=-πππππθθθθθθθθ02002003cos )cos 1(cos sin )sin 1(d d d d34)cos 31(cos 03-=-+=πθθππ.(5)⎰262cos ππudu ;解2626262622sin 4121)2cos 1(21cos ππππππππu u du u udu +=+=⎰⎰836)3sin (sin 41)62(21-=-+-=πππππ.(6)dx x ⎰-2022;解dt t tdt t t x dx x ⎰⎰⎰+=⋅=-202022)2cos 1(cos 2cos 2sin 22ππ令2)2sin 21(20ππ=+=t t .(7)dy y ⎰--22228;解⎰⎰⎰---⋅=-=-44222222cos 2cos 22sin 24228ππxdx x xy dy y dy y 令)2(2)2sin 21(22)2cos 1(224444+=+=+=--⎰πππππy x dx x .(8)⎰-121221dx xx ;解41)cot ()1sin 1(cos sin cos sin 12424224212122πππππππ-=--=-=⋅=-⎰⎰⎰t t dt t tdt t t t x dx x x 令.(9)⎰-adx x a x 0222; 解⎰⎰⎰=⋅⋅=-2024202202222sin4cos cos sin sin ππtdt a tdt a t a t a t a x dx x a xa令164sin 328)4cos 1(84204204204ππππa t a t a dt t a =-=-=⎰. (10)⎰+31221xxdx ;解⎰⎰⋅⋅=+34223122secsec tan 1tan 1ππtdt t t tx xxdx 令3322sin 1sin cos 34342-=-==⎰ππππt dt tt. (11)⎰--1145xxdx ;解61)315(81)5(81454513133211=--=-=--⎰⎰-u u du u u x x xdx 令. (12)⎰+411xdx ;解)32ln 1(2|)1|ln (2)111(2211121212141+=+-=+-=⋅+=+⎰⎰⎰u u du u udu u u x x dx 令.(13)⎰--14311x dx ;解2ln 21|)1|ln (2)111(2)2(11111210210021143-=-+=-+=-⋅-=---⎰⎰⎰u u du u du u u ux x dx 令.(14)⎰-axa xdx 20223;解)13(3)3(3121320202222222022-=--=---=-⎰⎰a x a x a d x a xa xdx a a a.(15)dt te t ⎰-1022;解2110102221021)2(222-----=-=--=⎰⎰e etd e dt tet t t .(16)⎰+21ln 1e x x dx; 解)13(2ln 12ln ln 11ln 1222111-=+=+=+⎰⎰e e e xx d xxx dx .(17)⎰-++02222x x dx;解 2)1arctan(1arctan )1arctan()1(112202022022π=--=+=++=++---⎰⎰x dx x x x dx .(18)⎰-222cos cos ππxdx x ;解32)sin 32(sin sin )sin 21(2cos cos 22322222=-=-=---⎰⎰ππππππx x x d x xdx x . (19)⎰--223cos cos ππdx x x ;解⎰⎰---=-222223cos 1cos cos cos ππππdx x x dx x x34cos 32cos 32sin cos )sin (cos 20230223202=-=+-=--⎰⎰ππππx xxdx x dx x x (20)⎰+π02cos 1dx x .解22cos 2sin 22cos 1000=-==+⎰⎰πππxxdx dx x .2. 利用函数的奇偶性计算下列积分: (1)⎰-ππxdx x sin 4;解因为x 4sin x 在区间[-π, π]上是奇函数, 所以0sin 4=⎰-ππxdx x . (2)⎰-224cos 4ππθθd ;解⎰⎰⎰+==-202204224)22cos 1(8cos 42cos 4ππππθθθθθd x d d ⎰⎰++=++=20202)4cos 212cos 223(2)2cos 2cos 21(2ππθθd x x d x x23)4sin 412sin 23(20πθπ=++=x x . (3)⎰--2121221)(arcsin dx xx ;解⎰⎰⎰=-=--21221022212122)(arcsin )(arcsin 21)(arcsin 21)(arcsin x d x dx xx dx xx324)(arcsin 3232103π==x .(4)⎰-++55242312sin dx x x xx . 解因为函数12sin 2423++x x x x 是奇函数, 所以012sin 552423=++⎰-dx x x x x .3. 证明:⎰⎰-=aa adx x dx x 022)(2)(ϕϕ, 其中ϕ(u )为连续函数.证明因为被积函数ϕ(x 2)是x 的偶函数, 且积分区间[-a , a ]关于原点对称, 所以有⎰⎰-=aa adx x dx x022)(2)(ϕϕ.4. 设f (x )在[-b , b ]上连续, 证明⎰⎰---=bb bb dx x f dx x f )()(. 证明令x =-t , 则dx =-dt , 当x =-b 时t =b , 当x =b 时t =-b , 于是⎰⎰⎰----=--=b b bb bbdt t f dt t f dx x f )()1)(()(,而 ⎰⎰---=-bb bb dx x f dt t f )()(, 所以⎰⎰---=bb bb dx x f dx x f )()(.5. 设f (x )在[a , b ]上连续., 证明⎰⎰-+=ba ba dx xb a f dx x f )()(. 证明令x =a +b -t , 则dx =d t , 当x =a 时t =b , 当x =b 时t =a , 于是 ⎰⎰⎰-+=--+=b a ba ab dt t b a f dt t b a f dx x f )()1)(()(, 而 ⎰⎰-+=-+ba badx x b a f dt t b a f )()(,所以⎰⎰-+=ba ba dx xb a f dx x f )()(.6. 证明:⎰⎰>+=+11122)0(11x x x x dxx dx. 证明令t x 1=, 则dt tdx 21-=, 当x =x 时x t 1=, 当x =1时t =1, 于是⎰⎰⎰+=-⋅+=+11121122211)1(1111xx xdt t dt t tx dx , 而 ⎰⎰+=+x x dx x dt t 1121121111,所以 ⎰⎰+=+1112211x xxdx x dx.7. 证明:⎰⎰-=-1010)1()1(dx x x dx x xm n n m.证明令1-x =t , 则⎰⎰⎰⎰-=-=--=-10100110)1()1()1()1(dx x x dt t t dt t t dx x x m n n m n m n m , 即⎰⎰-=-1010)1()1(dx x x dx x x m n n m . 8. 证明: ⎰⎰=ππ020sin 2sinxdx xdx n n.证明 ⎰⎰⎰+=ππππ2020sin sin sin xdx xdx xdx nn n,而⎰⎰⎰⎰==---=2020202sin sin ))((sin sinπππππππxdx tdt dt t t x xdx n n nn 令,所以⎰⎰=ππ020sin 2sinxdx xdx n n.9. 设f (x )是以l 为周期的连续函数, 证明⎰+1)(a a dx x f 的值与a 无关.证明已知f (x +l )=f (x ). ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+=++=+++ala ll la ll a a adx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f 00001)()()()()()()(,而 ⎰⎰⎰⎰=+=++=+a a ala ldx x f dx l x f dt l t f l t x dx x f 000)()()()(令,所以 ⎰⎰=+la adx x f dx x f 01)()(.因此⎰+1)(a adx x f 的值与a 无关.10. 若f (t )是连续函数且为奇函数, 证明⎰xdt t f 0)(是偶函数; 若f (t )是连续函数且为偶函数, 证明⎰xdt t f 0)(是奇函数. 证明设⎰=xdt t f x F 0)()(.若f (t )是连续函数且为奇函数, 则f (-t )=-f (t ), 从而)()()()1)(()()(0000x F dx x f dx u f du u f u t dt t f x F x x xx ===---==-⎰⎰⎰⎰-令,即⎰=xdt t f x F 0)()(是偶函数.若f (t )是连续函数且为偶函数, 则f (-t )=f (t ), 从而)()()()1)(()()(0000x F dx x f dx u f du u f u t dt t f x F x x x x -=-=-=---==-⎰⎰⎰⎰-令,即⎰=xdt t f x F 0)()(是奇函数.11. 计算下列定积分: (1)⎰-10dx xe x ; 解11011010101021--------=--=+-=-=⎰⎰⎰e e e dx e xe xde dx xe xx x x x .(2)⎰e xdx x 1ln ; 解)1(414121121ln 21ln 21ln 21220212121+=-=⋅-==⎰⎰⎰e x e dx x x x x xdx xdx x ee e e e.(3)⎰ωπω20sin tdt t (ω为常数); 解⎰⎰⎰+-=-=ωπωπωπωπωωωωωωω20202020cos 1cos 1cos 1sin tdt tt t td tdt t 220222sin 12ωπωωωπωπ-=+-=t.(4)⎰342sin ππdx xx;解34343434342sin ln 4313cot cot cot sin ππππππππππππxxdx xx x xd dx x x++⋅-=+-=-=⎰⎰⎰23ln 21)9341(+-=π.(5)⎰41ln dx x x; 解 ⎰⎰⎰⋅-==4141414112ln 2ln 2ln dx xx x x x xd dx xx )12ln 2(442ln 8122ln 84141-=-=-=⎰x dx x.(6)⎰10arctan xdx x ;解x d x x x x xdx xdx x ⎰⎰⎰+⋅-==1022102102101121arctan 21arctan 21arctan214)41(218)arctan (218)111(21810102-=--=--=+--=⎰πππππx x x d x. (7)⎰202cos πxdx e x ; 解⎰⎰⎰-==202202202202sin 2sin sin cos ππππxdx e xe x d e xdx e x x x x⎰⎰⎰-+=-+=+=202202202202cos 42cos 4cos 2cos 2πππππππxdx e e xdx e xe e x d e e x x xx所以)2(51cos 202-=⎰ππe xdx e x ,于是(8)⎰212log xdx x ; 解⎰⎰⎰⋅-==212212221222122ln 121log 21log 21log dx x x x x xdx xdx x2ln 432212ln 212212-=⋅-=x . (9)⎰π02)sin (dx x x ; 解⎰⎰⎰-=-=ππππ02302022sin 4161)2cos 1(21)sin (x d x x dx x x dx x x πππππππ03000332cos 41622sin 412sin 416⎰⎰-=⋅+-=xxd xdx x xx 462sin 81462cos 412cos 416303003ππππππππ-=+-=+-=⎰x xdx x x .(10)⎰edx x 1)sin(ln ; 解法一 ⎰⎰⋅=101sin ln )sin(ln dt e t tx dxx te令.因为⎰⎰⎰-==⋅10101010cos sin sin sin tdt e te tde dt e t t tt t⎰⎰--⋅=-⋅=101010sin cos 1sin cos 1sin tdt e t e e tde e t t t⎰-+⋅-⋅=10sin 11cos 1sin tdt e e e t , 所以 )11cos 1sin (21sin 10+⋅-⋅=⎰e e tdt e t .因此)11cos 1sin (21)sin(ln 1+⋅-⋅=⎰e e dx x e. 解法二⎰⎰⎰-⋅=⋅⋅-⋅=e e eedx x e dx x x x x x dx x 1111)cos(ln 1sin 1)cos(ln )sin(ln )sin(ln ⎰⋅⋅-⋅-⋅=e edx x x x x x e 111)sin(ln )cos(ln 1sin ⎰-+⋅-⋅=edx x e e 0)sin(ln 11cos 1sin , 故)11cos 1sin (21)sin(ln 1+⋅-⋅=⎰e e dx x e . (11)dx x e e⎰1|ln |; 解⎰⎰⎰⎰⎰-++-=+-=eee eee e e dx dx xx x x dx x dx x dx x 1111111111ln ln ln ln |ln |)11(2)1()11(1ee e e e -=---++-=.(12)⎰-1022)1(dx xm (m 为自然数); 解⎰⎰+=-2011022cos sin )1(πtdt t x dx xm m 令.根据递推公式⎰⎰--=20220cos 1cos ππxdx n n xdx n n ,⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=-⎰为偶数为奇数m m m m m m m m m m m m m m dx x m325476 34121 2214365 34121)1(1022π. (13)⎰=π0sin xdx x J m m (m 为自然数). 解因为⎰⎰⎰⎰-=----=ππππππππ0000sin sin )1)((sin )(sin tdt t tdt dt t t t x xdx x mm m m 令,所以 ⎰⎰⎰⎰=⋅===20200sin sin 22sin 2sin πππππππxdx xdx xdx xdx x J m m mmm (用第8题结果).根据递推公式⎰⎰--=20220sin 1sin ππxdx n n xdx n n , ⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=为奇数为偶数m m m m m m m m m m m m m m J m 325476 45231 2214365 452312ππ.习题5-71. 判别下列各反常积分的收敛性, 如果收敛, 计算反常积分的值:(1)⎰+∞14xdx; 解因为3131)31(lim 3131314=+-=-=-+∞→+∞-+∞⎰x x x dx x , 所以反常积分⎰+∞14x dx收敛, 且3114=⎰∞+x dx . (2)⎰+∞1xdx ;解因为+∞=-==+∞→+∞∞+⎰22lim 211x xxdx x , 所以反常积分⎰+∞1xdx 发散.(3)dx e ax ⎰+∞-0(a >0); 解因为aa e a e adx e ax x ax ax 11)1(lim 100=+-=-=-+∞→+∞-+∞-⎰, 所以反常积分dx e ax ⎰+∞-0收敛, 且adx e ax 10=⎰+∞-.(4)⎰+∞-0ch tdt e pt (p >1); 解因为1]1111[21][21ch 2)1()1(0)1()1(0-=+--=+=+∞+--∞++--∞+-⎰⎰p p e pe p dt e e tdt e tp t p t p tp pt ,所以反常积分⎰+∞-0ch tdt e pt 收敛, 且1ch 20-=⎰∞+-p p tdt e pt .(5)⎰+∞-0sin tdt e pt ω(p >0, ω>0); 解⎰⎰+∞-+∞--=0cos 1sin t d e tdt e pt pt ωωω⎰⎰+∞-+∞-+∞--=-⋅+-=020sin 1)(cos 1cos 1t d e pdt pe t te pt pt pt ωωωωωωω⎰+∞-+∞--⋅+-=0202)(sin sin 1dt pe t pte p ptpt ωωωωω⎰+∞--=022sin 1tdt e p pt ωωω,所以 22sin w p tdt e pt +=⎰+∞-ωω.(6)⎰+∞∞-++222x x dx;解 πππ=--=+=++=++⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞-)2(2)1arctan()1(12222x x dxx x dx .(7)dx xx ⎰-121;解这是无界函数的反常积分, x =1是被积函数的瑕点.11)1(lim 112110212=+--=--=--→⎰x x dx x x x . (8)⎰-22)1(x dx;解这是无界函数的反常积分, x =1是被积函数的瑕点. 因为⎰⎰⎰-+-=-212102202)1()1()1(x dxx dx x dx , 而 +∞=--=-=--→⎰111lim 11)1(110102xx x dx x ,所以反常积分⎰-202)1(x dx发散. (9)⎰-211x xdx ;解这是无界函数的反常积分, x =1是被积函数的瑕点.21232121]12)1(32[)111(1-+-=-+-=-⎰⎰x x dx x x x xdx322]12)1(32[lim 38231=-+--=+→x x x . (10)⎰-ex x dx 12)(ln 1.解这是无界函数的反常积分, x =e 是被积函数的瑕点.2)arcsin(ln lim )arcsin(ln ln )(ln 11)(ln 111212π===-=--→⎰⎰x x x d x x x dx ex e ee.2. 当k 为何值时, 反常积分⎰+∞)(ln kx x dx收敛? 当k 为何值时, 这反常积分发散? 又当k 为何值时, 这反常积分取得最小值?解当k <1时, +∞=-==+∞+-+∞+∞⎰⎰2122)(ln 11ln )(ln 1)(ln k k k x k x d x x x dx ;当k =1时, +∞===+∞+∞+∞⎰⎰222)ln(ln ln ln 1)(ln x x d x x x dxk ; 当k >1时,k k kkk x kx d x x x dx -+∞+-+∞+∞-=-==⎰⎰12122)2(ln 11)(ln 11ln )(ln 1)(ln . 因此当k >1时, 反常积分⎰+∞0)(ln k x x dx 收敛; 当k ≤1时, 反常积分⎰+∞0)(ln k x x dx发散. 当k >1时, 令k kk x x dx k f -∞+-==⎰10)2(ln 11)(ln )(, 则 )2ln ln 11()1(2ln ln )2(ln 2ln ln )2(ln 11)2(ln )1(1)(21112+---=----='---k k k k k f k kk. 令f '(k )=0得唯一驻点2ln ln 11-=k . 因为当2ln ln 111-<<k 时f '(k )<0, 当2ln ln 11->k 时f '(k )>0, 所以2ln ln 11-=k 为极小值点,同时也是最小值点, 即当2ln ln 11-=k 时, 这反常积分取得最小值 3. 利用递推公式计算反常积分⎰+∞-=0dx e x I x n n . 解因为101000-+∞--+∞-+∞-+∞-=+-=-==⎰⎰⎰n x n x n x n x n n nI dx e x n e x de x dx e x I ,所以 I n = n ⋅(n -1)⋅(n -2)⋅ ⋅ ⋅2⋅I 1. 又因为 1000001=-=+-=-==+∞-+∞-+∞-+∞-+∞-⎰⎰⎰xx xx x e dx e xe xde dx xe I ,所以 I n = n ⋅(n -1)⋅(n -2)⋅ ⋅ ⋅2⋅I 1=n !.总习题五1. 填空:(1)函数f (x )在[a , b ]上(常义)有界是f (x )在[a , b ]上可积的______条件, 而f (x )在[a , b ]上连续是f (x )在[a , b ]上可积______的条件;解函数f (x )在[a , b ]上(常义)有界是f (x )在[a , b ]上可积的___必要___条件, 而f (x )在[a , b ]上连续是f (x )在[a , b ]上可积___充分___的条件;(2)对[a , +∞)上非负、连续的函数f (x ), 它的变上限积分⎰xa dx x f )(在[a , +∞)上有界是反常积分⎰+∞a dx x f )(收敛的______条件;解对[a , +∞)上非负、连续的函数f (x ), 它的变上限积分⎰xa dx x f )(在[a , +∞)上有界是反常积分⎰+∞a dx x f )(收敛的___充分___条件;(3)绝对收敛的反常积分⎰+∞a dx x f )(一定______; 解绝对收敛的反常积分⎰+∞a dx x f )(一定___收敛___;(4)函数f (x )在[a , b ]上有定义且|f (x )|在[a , b ]上可积, 此时积分⎰ba dx x f )(______存在. 解函数f (x )在[a ,b ]上有定义且|f (x )|在[a , b ]上可积, 此时积分⎰b a dx x f )(___不一定___存在.2. 计算下列极限:(1)∑=∞→+n i n nin 111lim ;解 )122(32)1(32111lim 103101-=+=+=+⎰∑=∞→x dx x n i n n i n . (2)121lim+∞→+⋅⋅⋅++p pp p n nn (p >0);解 11111])( )2()1[(lim 21lim 101101+=+==⋅⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅+++∞→+∞→⎰p x p dx x n n n n n n n p p p p p n p p p p n . (3)nn nn !lnlim ∞→; 解 ]ln 1)ln 2ln 1(ln 1[lim !lnlim n n nn n n n n nn ⋅-+⋅⋅⋅++=∞→∞→nn n n n n 1)]ln (ln )ln 2(ln )ln 1[(ln lim ⋅-+⋅⋅⋅+-+-=∞→⎰=⋅+⋅⋅⋅++=∞→10ln 1)ln 2ln 1(ln lim xdx n n n n n n1)ln ()ln (10101010-=-=-=⎰xx x dx x x .(4)⎰-→xaa x dt t f a x x )(lim, 其中f (x )连续; 解法一 )()(lim )(lima af xf dt t f ax x axa ax ==-→→⎰ξξ (用的是积分中值定理). 解法二 )(1)()(lim )(lim )(lim a af x xf dt t f a x dt t f x dt t f a x x xaa x xa a x x a a x =+=-=-⎰⎰⎰→→→ (用的是洛必达法则). (5)1)(arctan lim 22+⎰+∞→x dtt xx .解4)(arctan 1lim 1)(arctan lim 1)(arctan lim 22222202π=+=+=+∞→+∞→+∞→⎰x x x x x x x dtt x x xx . 3. 下列计算是否正确, 试说明理由:(1)⎰⎰----=-=+-=+111111222)1arctan ()1(1)1(1πx xx d x dx ;解计算不正确, 因为x 1在[-1, 1]上不连续. (2)因为⎰⎰--++-=++111122111t t dt tx x x dx , 所以⎰-=++11201x x dx .解计算不正确, 因为t1在[-1, 1]上不连续.(3)01lim 122=+=+⎰⎰-∞→+∞∞-A A A dx x xdx x x . 解不正确, 因为⎰⎰⎰⎰-+∞→+∞→+∞∞--∞→+≠+++=+A A A b b a a dx xxdx x x dx x x dx x x 2020221lim 1lim 1lim 1. 4. 设p >0, 证明⎰<+<+10111p x dx p p. 证明 p pp p p p px x x x x x x ->+-=+-+=+>11111111. 因为⎰⎰⎰<+<-1010101)1(dx x dxdx x pp,而 110=⎰dx , pp p x x dx x p p+=+-=-+⎰1)1()1(10110, 所以⎰<+<+10111pxdx p p. 5. 设f (x )、g (x )在区间[a , b ]上均连续, 证明: (1)⎰⎰⎰⋅≤ba ba ba dx x g dx x f dx x g x f )()(])()([222;证明因为[f (x )-λg (x )]2≥0, 所以λ2g 2(x )-2λ f (x )g (x )+f 2(x )≥0, 从而 0)()()(2)(222≥+-⎰⎰⎰ba ba ba dx x f dx x g x f dx x g λλ.上式的左端可视为关于λ的二次三项式, 因为此二次三项式大于等于0, 所以其判别式小于等于0, 即0)()(4])()([4222≤⋅-⎰⎰⎰ba ba ba dx x g dx x f dx x g x f ,亦即 ⎰⎰⎰⋅≤ba ba ba dx x g dx x f dx x g x f )()(])()([222. (2)()()()212212212)()()]()([⎰⎰⎰+≤+b ab a b a dx x g dx x f dx x g x f , 证明⎰⎰⎰⎰++=+ba ba ba ba dx x g x f dx x g dx x f dx x g x f )()(2)()()]()([222。

厦门理工学院高数答案练习题微分中值定理与导数的应用

高等数学练习题第三章微分中值定理与导数的应用系专业班姓名学号§3.1 微分中值定理一．选择题1．在区间[]1,1-上，下列函数满足罗尔中值定理的是 [ A ](A)()2321f x x =+ （B ）()211f x x=- （C ）()f x = （D ）()2132f x x x =-+ 2．若)(x f 在),(b a 内可导,1x 、2x 是),(b a 内任意两点，且21x x <，则至少存在一点ξ，使得 [ C ] （A ）))(()()(a b f a f b f -'=-ξ （b a <<ξ）；（B ）))(()()(11x b f x f b f -'=-ξ （b x <<ξ1）；（C ）))(()()(1212x x f x f x f -'=-ξ （21x x <<ξ）；（D ）))(()()(22a x f a f x f -'=-ξ （2x a <<ξ）3．下列函数在给定区间上不满足拉格朗日定理条件的有 [ B ] （A ）212)(xxx f +=,[1,1]- （B ）x x f =)(,[1,2]- （C ）254)(23-+-=x x x x f , [0,1] （D ）)1ln()(2x x f +=,[0,3]4．设)(x f ，)(x g 是恒大于零的可导函数，且0)()()()(<'-'x g x f x g x f ，则当b x a <<时，有 [ A ] （A ）)()()()(x g b f b g x f > （B ）)()()()(x g a f a g x f > （C ）)()()()(b g b f x g x f > （D ）)()()()(a g a f x g x f > 二．填空题1．对函数r qx px x f ++=2)(在区间],[b a 上应用拉格朗日定理时,所求的拉格朗日定理结论中的ξ 2．若)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导,则至少存在一点),(b a ∈ξ,使得 =-)()(a f b f e e成立3．设()(1)(2)(3)f x x x x x =---,则()0f x '=有 3 个根,它们分别位于区间（0,1）; (1,2); (2,3) 内. 三．证明题1．当0a b <<，试证：ln b a b b ab a a--<< 证：令=)(x f x ln ，可知 )(x f 在],[b a 连续，在),(b a 上可导由拉格朗日定理可知，存在 ),(b a ∈ξ 使得 a ba b a b a b f ln ln ln )(1))(('=-=-=-ξξ 又b a <<<ξ0，所以ab 111<<ξ，且 0)(>-a b ，即ln b a b b ab a a--<<。

厦门理工学院高数练习题答案(第五版)第2章高数

五. 证：设双曲线上任意一点为( x0 , y0 )，则x0 y0 = a 2 a2 y 又因y ′ = − 2 = − ，所以双曲线在该点的切线方程为 x x y0 y = − ( x − x0 ) + y0，故它与两坐标轴的交点分别为 x0 (0, 2 y 0 )和(2 x0 ,0)，所以三角形的面积 1 S = ⋅ (2 x0 ) ⋅ ( 2 y0 ) = 2 x0 y0 = 2a 2为定值. 2
习题六函数的微分
(1) 一、 0.31; 0.3 (2) 0.003001; 0.003 2 3 1 π 1 (1) (x + )+ (2) y = (sin1 − cos1) x + cos1 (3) 3 + 二、 y = 3 2 3 54 1 tan xdx 三、 1. 2θ (2sin θ + θ cos θ )dθ 2. − 2 x 2ln(1 − x ) 1 1 2 ′(arctan )dx dx 4. (tan x + sec x )dx 5. − 2 f 3. − 1− x x +1 x x ⋅ cos x − sin x 6. - cot x 7. 8. 1 − 4 x 3 + 3 x 6 2 x3 2 3 1 2 x + C ; (2) − cos(3 x − 2)+ C ; (3) x 3 + x 2 + C; 四. (1) 3 3 1 −2 x 1 1 x (4) − e + C ; (5) tan + C ; (6) ln 2 x + 3 + C 2 a a 2 1 ln 2 x x2 (7 ) e + C ; (8) sin 2 x + C ; (9) arcsin x + C (10) +C 2 2

高等数学.厦门大学出版社徐荣聪.高数课后习题详细参考答案

第三章参考答案习题3-1（P66） 1、（1）不满足，在1=x 处不连续；（2）不满足，在2=x 处不可导； 2、（1）、1-=e ξ；（2）ππξ-=4；3、证明：设任意区间),(],[+∞-∞⊂b a ，显然函数在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，所以函数满足拉格朗日中值定理的条件，所以有q b a p ab r qa pa r qb pb f ++=-++-++=')()()()(22ξ 又q p r qx px f x +='++='=ξξξ2)()(2所以q p q b a p +=++ξ2)(，从而2ba +=ξ 所以命题成立。

4、方程有2个根，分别位于区间)2,1(和)3,2(内；5、)4,2(；6、证明：设x x f arctan )(=，显然函数)(x f 在),(+∞-∞内处处连续，处处可导，设区间),(],[+∞-∞⊂a b ，则)(x f 在],[a b 上满足拉格朗日子中值定理的条件所以),(a b 内至少存在一点ξ，使)(11arctan arctan 2b a b a -+=-ξ，所以b a b a b a -≤-⋅+=-211arctan arctan ξ，即b a b a -≤-arctan arctan习题3-2（P70）1、（1）1；（2）2；（3）a cos ；（4）53-；（5）81-；（6）0；（7）21-；（8）π2；（9）0；（10）21；2、（1）1，不能；（2）1，不能；习题3-3（P77）1、（1）)1,(-∞增加，),1(+∞减少；（2）),(+∞-∞减少；（3）)1,(--∞和),1(+∞增加，)1,1(-减少；（4）)2,0(减少，),2(+∞增加；2、（1）)3,(-∞减少，),3(+∞增加；（2）),0(1-e 减少，),(1+∞-e 增加；（3）)0,(-∞增加，),0(+∞减少；（4）)1,(-∞和),2735(+∞增加，)2735,1(减少； 3、证明：设1)(--=x e x f x ，则1)(-='xe xf ，当0>x 时，0)(>'x f所以函数)(x f 在),0(+∞上单调增加，所以当0>x 时，0)0()(=>f x f ，即01>--x e x ，从而x e x+>1 4、证明：设13)(23+-=x x x f ，显然函数)(x f 在]1,0[上连续，且01)1(,01)0(<-=>=f f由零点存在定理知，函数)(x f 在)1,0(至少有一个零点，又当)1,0(∈x 时，0)2(363)(2<-=-='x x x x x f ，函数单调减少所以函数)(x f 在)1,0(至多只有一个零点，即方程01323=+-x x 在)1,0(至多只有一个实根，因为0)1(,0)0(≠≠f f ，所以1,0==x x 不是方程的根，所以方程01323=+-x x 在]1,0[至多只有一个实根。

厦门大学2020年《高等数学》期末考试试题及答案解析

一、单选题（32 分. 共 8 题, 每题 4 分）1)设b 为 3 维行向量， 123123 V {(,,)|(,,)} x x x x x x b == ，则____。

C A)对任意的b ，V 均是线性空间；B)对任意的b ，V 均不是线性空间；C)只有当 0 b = 时，V 是线性空间；D)只有当 0 b ¹ 时，V 是线性空间。

2)已知向量组 I ： 12 ,,..., s a a a 可以由向量组 II ： 12 ,,..., t b b b 线性表示，则下列叙述正确的是____。

AA)若向量组 I 线性无关，则s t £ ；B)若向量组 I 线性相关，则s t > ；C)若向量组 II 线性无关，则s t £ ；D)若向量组 II 线性相关，则s t > 。

3)设非齐次线性方程组AX b = 中未定元个数为 n ，方程个数为m ，系数矩阵 A 的秩为 r ，则____。

DA)当r n < 时，方程组AX b = 有无穷多解； B) 当r n = 时，方程组AX b = 有唯一解；C)当r m < 时，方程组AX b = 有解；D)当r m = 时，方程组AX b = 有解。

4)设 A 是m n ´ 阶矩阵，B 是n m ´ 阶矩阵，且AB I = ，则____。

A A)(),() r A m r B m == ；B)(),() r A m r B n == ；C)(),() r A n r B m == ；D)(),() r A n r B n == 。

5)设 K 上 3 维线性空间 V 上的线性变换j 在基 123 ,, x x x 下的表示矩阵是 111 101 111 æöç÷ç÷ ç÷ èø，则j 在基123 ,2, x x x 下的表示矩阵是____。