高数理科重修答案

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高数重修试题

⾼数重修试题⼀（1）设k j i b k j i a 42,253++=-+=，问λ和µ有什么的关系，能使得b aµλ+与z 轴垂直？（2）已知k i OA 3+=，k j OB 3+=，求OAB ?的⾯积。

（3）已知23,3,2,1,,3A a bB a b a b a b π=+=-===求,BA B prj A ?（4）设向经,522k j i M O ++=从点)1,2,1(P 出发，向M O 作垂线PQ ,求向量Q P和长度。

（5）分别画出223yx z +-=,2211y x z ---=⽅程所表⽰的曲⾯。

（6）求上半球2220yx a z --≤≤与圆柱体)0(22>≤+a axy x 的公共部分在xoy 坐标⾯上的投影。

（7）求两平⾯012=+-+z y x 和012=-++-z y x ⾓平分⾯的⽅程。

42012=--+=--+z y x z y x 的直（8）求过点)1,2,1(-，并且平⾏直线线⽅程。

（9）求直线211232-+=-=+z y x 与平⾯08332=-++z y x 的交点和夹⾓。

（10）求点)0,2,1(-在平⾯012=+-+z y x 上的投影。

（11）求点)1,3,2(在直线322217+=+=+z y x 上的投影。

4201=-+-=+-+z y x z y x 的距离。

（12）求点)2,1,3(-P 到直线（13）求直线22x y z=??=?绕z 轴旋转⼀周的曲⾯⽅程并画出它的⼤致图形。

（14）求过直线026x y x y z +=??-+=?且切于球⾯2229x y z ++=的平⾯⽅程。

（15）设122112:,:112211x y z x y z L L -++-====--（1）判断12,L L 是否相交，若相交求出交点P 和相交平⾯π；（2）在平⾯π上求⼀过P 点直线L ，且L 与1L 和2L 的夹⾓相同。

⼆：（1）求1)sin(1lim)0,0(),(--→xy xy y x 。

高等数学重修A(II)19春

16．求点 (3,1, −1) 到平面 x + y + z − 20 = 0 的投影坐标。
19．求点 (2,1,1) 到平面 x + y − z +1 = 0 的距离。
1
多元函数微分法及其应用
2．求极限 lim x→0 y→0
3．求偏导数
xy +1 −1 xy
（1） z = x3 y + exy − sin(x2 − y2 ) ，求 ∂z 及 ∂z ∂x ∂y
11．求过点
(−1,
2,1)
且平行于直线
⎧ ⎨ ⎩
x x
+ +
y 2
−2 y−
z z
−1 +1
= =
0 0
的直线方程。
12．求过点
(2,1,1)
且垂直于直线
⎧x + 2 ⎨⎩2x +
y y
− −
z z
+1= =0
0
的平面方程。
13．将直线一般式
⎧x − y ⎨⎩2x +
+z y+
=1 z=
4
化为对称式方程和参数式方程。
∫ 6.利用格林公式计算 − x 2 ydx + xy 2dy ，其中 L 为沿圆周 x2 + y2 = a2 正向一圈的 L
路径。
∫ 7. 用两种不同的方法计算曲线积分 (x 2 + y 2 )dx + (x + 2)dy ，其中 L 是以 L
O (0, 0) ， A(1, 0) , B (0,1) 为顶点的三角形的正向边界曲线。
（2） z = ln(x + y ) ，求 ∂z 及 ∂z

【大学资料】贵州财经大学2017-2018第二学期高等数学(2)下重修参考答案

贵州财经大学
2017-2018 学年第二学期重修高等数学（2）下参考答案及其评分标准
一、选择题(每小题 2 分，共 20 分) 1 D 2 C 3 C 4 B 5 C 6 D 7 C 8 D 9 C 10 B
二、填空题 (每小题 2 分，共 20 分) 1. (1 x) e 6. 1 ；
................….6 分 ................….7 分 ................….3 分
dz 4( xdx ydy )
3. 解：令 F e xyz 则 Fx yz ， Fy xz ， Fz e x y x y (z 1)
故当 x 17, y 25 时，总成本最小.
五、证明题（本题 4 分）证明：令 F F ( x , y , z ) ，则
Fy F x z F y ， x z ， y Fx x Fz z Fy
故
.....................…3 分
Fy F F x y z ( )( z )( x ) 1 y z x Fx Fy Fz
......................….4 分
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1
因此，原级数的收敛域为 [ 2 , 4) .
..................….7 分
6. 解： P ( x ) 3 , Q ( x ) 8
P ( x ) dx P ( x ) dx ye [ Q (x ) e dx C ] 3 dx 3 dx e [ 8e dx C ]
2 (4 e 3 x ) . 3
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2 3
................................….7 分

高数课后题答案及详解

第一章函数与极限习题 1-11．求下列函数的自然定义域：（1）211y x =- 解：依题意有21020x x ⎧-≠⎨+≥⎩，则函数定义域{}()|2x 1D x x x =≥-≠±且．（2）21arccosx y -=解：依题意有2211360x x x ⎧-≤⎪⎨⎪-->⎩，则函数定义域()D x =∅．（3）2ln(32)y x x =-+-；解：依题意有2320x x -+->，则函数定义域{}()|12D x x x =<<．（4）312x x y -=；解：依题意有30x x -≠，则函数定义域{}()|x 0,1D x x x =-∞<<+∞≠±且．（5）1sin1,121;x y x x ⎧≠⎪=-⎨⎪=⎩, ，解：依题意有定义域{}()|D x x x =-∞<<+∞．（6）1arctan y x=解：依题意有030x x ≠⎧⎨-≥⎩，则函数定义域{}()|3x 0D x x x =≤≠且． 2．已知()f x 定义域为[0,1]，求2(), (sin ), (), ()()f x f x f x a f x a f x a +++-(0a >)的定义域．解：因为()f x 定义域为[0,1]，所以当201x ≤≤时，得函数2()f x 的定义域为[1,1]-；当0sin 1x ≤≤时，得函数(sin )f x 定义域为[2π,(21)π]k k +；当01x a ≤+≤时，得函数()f x a +定义域为[,1]a a --+；当0101x a x a ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩时，得函数()()f x a f x a ++-定义域为：（1）若12a <，[],1x a a ∈-；（2）若12a =，12x =；（3）若12a >，x ∈∅． 3．设21()1,f x x ⎛⎫=- ⎝其中0,a >求函数值(2),(1)f a f ．解：因为21()1f x x ⎛⎫=- ⎝，则 2211(2)142a f a a a a -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，20 ,>1,11(1)1 2 ,0<<111a a f a a ⎛⎫⎧-=-= ⎪⎨ ⎪-⎩⎝⎭． 4．设1||1,()0||1,()21|| 1.xx f x x g x x <⎧⎪===⎨⎪->⎩，求(())f g x 与(())g f x ，并做出函数图形．解：121(())0211 21x x xf g x ⎧<⎪==⎨⎪->⎩，即10(())001 0x f g x x x <⎧⎪==⎨⎪->⎩，1012||1(())2||12||1x g f x x x -⎧<⎪==⎨⎪>⎩，即2||1(())1||11 ||12x g f x x x ⎧⎪<⎪==⎨⎪⎪>⎩，函数图形略．5．设1,0,()1,0,x x f x x +<⎧=⎨≥⎩试证：2,1,[()]1, 1.x x f f x x +<-⎧=⎨≥-⎩证明：1(),()0[()]1,()0f x f x f f x f x +<⎧=⎨≥⎩，即2,1,[()]1,1x x f f x x +<-⎧=⎨≥-⎩，得证． 6．下列各组函数中，()f x 与()g x 是否是同一函数？为什么？（1）))()ln ,()ln 3f x x g x ==- ；不是，因为定义域和对应法则都不相同．（2）()()f x g x ==；是．（3）22()2,()sec tan f x g x x x ==-；不是，因为对应法则不同．（4）2()2lg ,()lg f x x g x x ==；不是，因为定义域不同．7．确定下列函数在给定区间内的单调性：（1）3ln y x x =+，(0,)x ∈+∞；解：当(0,)x ∈+∞时，函数13y x =单调递增，2ln y x =也是单调递增，则12y y y =+在(0,)+∞内也是递增的．（2）1xy x-=-，(,1)x ∈-∞．解：(1)111111x x y x x x ---===+---，当(,1)x ∈-∞时，函数11y x =-单调递增，则21111y y x ==-是单调递减的，故原函数1x y x-=-是单调递减的．8. 判定下列函数的奇偶性．（1）lg(y x =+；解：因为1()lg(lg(lg(()f x x x x f x --=-+==-+=-，所以lg(y x =+是奇函数．（2）0y =；解：因为()0()f x f x -==，所以0y =是偶函数．（3）22cos sin 1y x x x =++-；解：因为2()2cos sin 1f x x x x -=+--，()()()()f x f x f x f x -≠-≠-且，所以22cos sin 1y x x x =++-既非奇函数，又非偶函数．（4）2x xa a y -+=.解：因为()()2x x a a f x f x -+==，所以函数2x xa a y -+=是偶函数．9．设()f x 是定义在[,]l l -上的任意函数，证明：（1）()()f x f x +-是偶函数，()()f x f x --是奇函数；（2）()f x 可表示成偶函数与奇函数之和的形式. 证明：（1）令()()(),()()()g x f x f x h x f x f x =+-=--，则()()()(),()()()()g x f x f x g x h x f x f x h x -=-+=-=--=-，所以()()f x f x +-是偶函数，()()f x f x --是奇函数．（2）任意函数()()()()()22f x f x f x f x f x +---=+，由（1）可知()()2f x f x +-是偶函数，()()2f x f x --是奇函数，所以命题得证． 10．证明：函数在区间I 上有界的充分与必要条件是：函数在I 上既有上界又有下界.证明：（必要性）若函数()f x 在区间I 上有界，则存在正数M ，使得x I ∈，都有()f x M ≤成立，显然()M f x M -≤≤，即证得函数()f x 在区间I 上既有上界又有下界（充分性）设函数()f x 在区间I 上既有上界2M ，又有下界1M ，即有12()()f x M f x M ≥≤且，取12max{,}M M M =，则有()f x M ≤，即函数()f x 在区间I 上有界．11．下列函数是否是周期函数？对于周期函数指出其周期：（1）|sin |y x =；周期函数，周期为π．（2）1sin πy x =+；周期函数，周期为2．（3）tan y x x =；不是周期函数．（4）2cos y x =.周期函数，周期为π．12．求下列函数的反函数：（1）331xx y =-；解：依题意，31x y y =-，则3log 1y x y =-，所以反函数为13()log ,(,0)(1,)1xf x x x -=∈-∞⋃+∞-．（2）()ax b y ad bc cx d+=≠+；解：依题意，b dy x cy a -=-，则反函数1()()b dx f x ad bc cx a--=≠-．（3）(lg y x =；解：依题意，1(1010)2y y x -=+，所以反函数11()(1010),2x x f x x R --=+∈．（4）ππ3cos 2,44y x x ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭．解：依题意，arccos32yx =，所以反函数1arccos 3(),[0,3]2x f x x -=∈． 13．在下列各题中，求由所给函数构成的复合函数，并求这函数分别对应于给定自变量值1x 和2x 的函数值：（1）212e ,1,0,2u y u x x x ====＋；（2）2121,e 1,1,1,1v y u u v x x x =+=-=+==-．解：（1）215()e ,(0),(2)x y f x f e f e +====（2）12()(e 1)1x y f x +==-+，42(0)22f e e =-+，(1)1f -=．14．在一圆柱形容器内倒进某种溶液，该容器的底半径为r ，高为H ．当倒进溶液后液面的高度为h 时，溶液的体积为V ．试把h 表示为V 的函数，并指出其定义区间．解：依题意有2πV r h =，则22,[0,π]πVh V r H r=∈． 15．某城市的行政管理部门，在保证居民正常用水需要的前提下，为了节约用水，制定了如下收费方法：每户居民每月用水量不超过4.5吨时，水费按0.64元／吨计算．超过部分每吨以5倍价格收费．试建立每月用水费用与用水数量之间的函数关系．并计算用水量分别为3.5吨、4.5吨、5.5吨的用水费用．解：依题意有0.64,0 4.5() 4.50.64( 4.5) 3.2, 4.5x x f x x x ≤≤⎧=⎨⨯+-⨯>⎩，所以(3.5) 2.24(4.5) 2.88(5.5) 6.08f f f ===元，元，元．习题 1-21．设21(1,2,3,)31n n a n n +==+L ，（1）求110100222||,||,||333a a a ---的值；（2）求N ，使当n N >时，不等式42||103n a --<成立；（3）求N ，使当n N >时，不等式2||3n a ε-<成立．解：(1) 12321||||,34312a -=-= 1022121||||,331393a -=-=100220121||||33013903a -=-=．（2）要使 42||10,3n a --< 即 4113310<（n+1），则只要9997,9n >取N ＝99971110,9⎡⎤=⎢⎥⎣⎦故当n>1110时，不等式42||103n a --<成立．（3）要使2||3n a ε-<成立，13,9n εε-> 取139N εε-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，那么当n N >时， 2||3n a ε-<成立.2．根据数列极限的定义证明：（1）1lim 0!n n →∞=；（2）1n →∞=．解：（1）0ε∀>，要使111|0|!!n n n ε-<<＝，只要取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以，对任意0ε>，存在1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n N >时，总有1|0|!n ε-<，则1lim 0!n n →∞=.(2) 0ε∀>,要使221|2nε=<<, 即n >,只要取N =,所以,对任意的ε>0,存在N =, 当n N >, 总有|1|ε<, 则1n →∞=. 3．若lim n n x a →∞=，证明lim ||||n n x a →∞=．并举例说明：如果数列}{||n x 有极限，但数列}{n x 未必有极限．证明: 因为lim n n x a →∞=, 所以0ε∀>, 1N ∃, 当1n N >时, 有||n x a ε-<.不妨假设a>0, 由收敛数列的保号性可知:2N ∃, 当2n N >时, 有0n x >, 取{}12max ,N N N =, 则对0ε∀>, N ∃, 当n N >时, 有||||||||n n x a x a ε-=-<.故lim ||||n n x a →∞=. 同理可证0a <时, lim ||||n n x a →∞=成立. 反之,如果数列{}||n x 有极限, 但数列{}||n x 未必有极限.如：数列()1nn x =-, ||1n x =，显然lim ||1n n x →∞=, 但lim n n x →∞不存在．4．设数列{}n x 有界，又lim 0n n y →∞=．证明：lim 0n n n x y →∞=．证明: 依题意,存在M>0, 对一切n 都有||n x M ≤，又lim 0n n y →∞=, 对0ε∀>, 存在N ,当n N>时,|0|n y ε-<, 因为对上述N , 当n N>时,|0|||||n n n n n x y x y M y M ε-=≤<,由ε的任意性, 则lim 0n n n x y →∞=． 5．设数列{}n x 的一般项(3)π2n n x +=，求lim n n x →∞．解: 因为0x =, (3)π|cos |12n +≤, 所以 (3)π02x n +=. 6．对于数列{}n x ，若21()k x A k -→→∞，2()k x A k →→∞，证明：()n x A n →→∞．证明: 由于21lim k k x A -→∞=, 所以, 0ε∀>, 10N ∃>, 当1>k N 时，有21||k x A ε--<, 同理, 0ε∀>,20N ∃>, 当2k N >时, 有2||k x A ε-<．取N =max {}12,N N , 0ε∀>, 当n N >时, ||n x A ε-<成立, 故()n x A n →→∞．习题 1-31．当1x →时，234y x =+→．问δ等于多少，使当|1|x δ-<时，|4|0.01y -<？解：令 1|1|2x -<，则35|1|22x <+<，要使225|4||34||1||1||1||1|0.012y x x x x x -=+-=-=-+<-<，只要|1|0.004x -<，所以取0.004δ=，使当 |1|x δ-< 时，|4|0.01y -<成立．2．当x →∞时，222123x y x +=→-．问X等于多少，使当||x X >时，|2|0.001y -<？解：要使222217|2||2|3|3|x y x x +-=-=--<0.001, 只要2|3|7000x ->, 即237000x ->. 因此,只要||x >,所以取X3．根据函数极限的定义证明：（1）3lim(21)5x x →-=；（2）35lim 31x x x →∞+=-；（3）224lim42x x x →--=-+；（4）lim 0x =. 证明:(1) 由于|(21)5|2|3|x x --=-, 任给0ε>,要使|(21)5|x ε--<,只要|3|2x ε-<．因此取2εδ=,则当0|3|x δ<-<时, 总有|(21)5|x ε--<,故3lim(21)5x x →-=．(2) 由于358|3|1|1|x x x +-=--,任给0ε>, 要使35|3|1x x ε+-<-,只要8|1|x ε<-,即81x ε>+或81x ε<-, 因为0ε>,所以88|1||1|εε+>-, 取8|1|M ε=+，则当||x M >时, 对0ε∀>,总有35|3|1x x ε+-<-,故有35lim 31x x x →∞+=-． (3)由于24|(4)||2|2x x x ---=++,任给0ε>,,要使24|(4)|2x x ε---<+,只要|2|x ε+<,因此取δε=,则当0|(2)|x δ<--<时,总有24|(4)|2x x ε---<+,故224lim 42x x x →--=-+. (4) 由于0|-=,任给0ε>,要使0|ε-<,只要ε<,即21x ε>,因此取21M ε=,则当x>M 时,总有0|ε-<,故lim 0x =. 4．用X ε-或εδ-语言，写出下列各函数极限的定义：（1）lim ()1x f x →-∞=；（2）lim ()x f x a →∞=；（3）lim ()x a f x b +→=；（4）3lim ()8x f x -→=-．解: (1) 0,ε∀> 0M ∃>, 当x<-M 时, 总有|()1|f x ε-<;(2) 0,ε∀> 0M ∃>, 当||x M >, 总有|()|f x a ε-<;(3) 0,ε∀> 0δ∃>, 当a x a δ<<+时, 总有|()|f x b ε-<; (4) 0,ε∀> 0δ∃> 当33x δ-<<时, 总有|()8|f x ε+<． 5．证明:0lim ||0x x →=. 证明: 由于00lim ||lim 0x x x x ++→→==, 00lim ||lim()0x x x x --→→=-=,所以0lim ||0x x →=. 6．证明：若x →+∞及x →-∞时，函数()f x 的极限都存在且都等于A ，则lim ()x f x A →∞=．证明: 由于lim ()x f x A→+∞=,则对0ε∀>,10M ∃>,当1x M >时,有|()|f x A ε-<．又lim ()x f x A→-∞=,则20M ∃>,当2x M <-,有|()|f x A ε-<.取{}12max ,M M M =那么对0ε∀>,当||x M>时,总有|()|f x A ε-<,故有lim ()x f x A →∞=.习题 1-41．根据定义证明：（1）211x y x -=+为当1x →时的无穷小；（2）1sin y x x=为当x →∞时的无穷小；（3）13xy x+=为当0x →时的无穷大．证明:(1) 0ε∀>,因为21|0||1|1x x x --=-+,取δε=,则当0|1|x δ<-<时, 总有0x ≠,故 211lim 01x x x →-=+．(2) 0ε∀>,因为111|sin 0||sin |||||x x xx x -=≤,取1M ε=, 则当||x M >时,总有1|sin |1|sin 0|||||x x x x x ε-=≤<, 故1lim sin 0x x x→∞=.(3) 0M ∀>, 13M δ∃=+,当0||x δ<<时,总有1311|||3|3||x M xx x +=+>->,所以013limx xx→+=∞. 2．函数sin y x x =在(0,)+∞内是否有界？该函数是否为x →+∞时的无穷大？解答: 取2πn x n =,则0n y =,因此当2πn x n =()n →∞时, ()0n n y x →→+∞故函数sin y x x = 当x →+∞时,不是无穷大量．下证该函数在()0,+∞内是无界的.M ∀>,π2π2n x n ∃=+且()n x n →+∞→∞,πππ2πsin 2π2π222n y n n n ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取[]01N M =+, 00π2π(0,)2x N ∃=+∈+∞,有0π2π2n y N M =+≥，所以sin y x x =是无界的.3．证明：函数11cos y xx=在区间(0,1]上无界，但这函数不是0x +→时的无穷大．证明: 令1t x=,类似第2题可得．习题 1-51．求下列极限：（1）23231lim 41n n n n n →∞+++-；（2）111lim 1223(1)n n n →∞⎡⎤+++⎢⎥⋅⋅+⎣⎦L ；（3）22212lim n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪⎝⎭L ；（4）1132lim 32n nn n n ++→∞+-；（5）2211lim 54x x x x →--+；（6）3221lim 53x x x x →+-+；（7）lim x →+∞-；（8）2221lim 53x x x x →∞+++；（9）330()limh x h x h→+-；（10）2121lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭；（11）23lim 531x x xx x →∞+-+；（12）x → （13）3lim 21x x x →∞+；（14）3lim(236)x x x →∞-+．解:(1) 23231lim 41n n n n n →∞+++- = 233311lim 0411n n n n n n→∞++=+-． (2) 111lim 1223(1)n n n →∞⎡⎤+++⎢⎥⋅⋅+⎣⎦L = 111111lim ()()()12231n n n →∞⎡⎤-+-++-⎢⎥+⎣⎦L = 1lim(1)11n n →∞-=+． (3) 22212lim n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪⎝⎭L =21(1)12lim 2n n n n →∞+=． (4) 1132lim 32n nn n n ++→∞+-=21()13lim 2332()3n n n →∞+=-⋅． (5) 2211lim 54x x x x →--+=1(1)(1)lim (1)(4)x x x x x →-+--=112lim 43x x x →+=--．(6) 3221lim 53x x x x →+-+=322132523+=--⨯+．(7) lim x →+∞=limx=lim x111lim 2x -=．(8) 2221lim53x x x x →∞+++=2212lim 2531x x x x→∞+=++． (9) 330()lim h x h x h →+-=322330(33)limh x x h xh h x h→+++-=3220lim(33)3h x xh h x →++=． (10) 2121lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭=212(1)lim 1x x x →-+⎛⎫⎪-⎝⎭=1(1)lim (1)(1)x x x x →--+ =111lim 12x x →=+． (11) 23lim 531x x x x x →∞+-+=22311lim 0315x x x x x→∞+=-+．(12) x →=x →=1x →．(13) 3lim 21x x x →∞+=2lim12x x x→∞=+∞+． (14) 3lim(236)x x x →∞-+=32336lim (2)x x x x→∞-+=∞． 2．设e ,0,()2,0.x x f x x a x ⎧<=⎨+≥⎩ 问当a 为何值时，极限0lim ()x f x →存在．解：因为lim ()lim e 1,lim ()lim(2)x x x x x f x f x x a a --++→→→→===+=，所以，当00lim ()lim ()x x f x f x -+→→=，即1a =时，0lim ()x f x →存在．3．求当x 1→时，函数1211e 1x x x ---的极限．解：因为11211111lim e lim(1)e 0,1x x x x x x x ----→→-=+=- 11211111lim e lim(1)e ,1x x x x x x x ++--→→-=+=+∞- 所以12111lim e 1x x x x -→--不存在。

高数重修习题

一、单项选择题1．设非零向量},,{},,,{z y x z y x b b b b a a a a ==,则b a ,共线的充要条件是（ c ）（A ）、z z y y x x b a b a b a ===,, （B ）、0=++zz y y x x b a b a b a（C ）、zzyy xxb a b a b a == （D ）、z y x zy x b b b a a a ++=++2．直线212111+=--=-z y x 与平面322=--z y x 的关系是( a )。

A ．垂直相交 B. 相交但不垂直 C ．平行，但直线不在平面内 D. 直线在平面内 3．函数()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,0,00,0,,22y x y x y x xy y x f ，则()y x f ,在()0,0处（）(A).不连续 (B)．连续但不可微 (C).可微 (D).偏导数不存在4．极限=+→→22200)sin(limy x y x y x ( C)。

A 0B 1C 2D 不存在5．改换积分⎰⎰---11122),(y y dx y x f dy 的次序，则下列结果正确的是（A ）（A ）⎰⎰--21011),(x dy y x f dx （B ）⎰⎰21/1),(xxdy y x f dx（C ）⎰⎰xxdyy x f dx /131),( （D ）⎰⎰-2121),(x xdy y x f dx6 改变积分次序后⎰⎰⎰⎰--+xx x dy y x f dx dy y x f dx 20212010),(),(2=（）A ⎰⎰-21010),(y dx y x f dyB ⎰⎰-ydx y x f dy 2010),(C ⎰⎰-+-=22111110),(y ydx y x f dyD ⎰⎰--=yydx y x f dy 211102),(7.下列级数中条件收敛的是（ D ）（A ）、∑∞=121n n （B ）、∑∞=11n n（C ）、∑∞=-121cos)1(n nn(D)、∑∞=-11)1(n nn8、如果∑代表球面,1222=++z y x 则dS z y x ⎰⎰∑++222=（B ）（A ）π2 （B ）π4 （C ）π34 （D ）π3二、填空题1．给定函数xyz u =和点)1,2,1(-A ，)1,0,1(-B ，则所给函数在点A 沿→AB 方向的方向导数为。

高等数学A2重修——第七章作业解答

2 2 2
( y 2 z 2 )2 1 ，表示双叶旋转双曲面，是由 xoy 1 2 2 2 y 2 z2 x 1 x 1 1 1 平面内的双曲线绕 x 轴旋转所得曲面，或者 xoz 平面内的双曲线绕 2 2 z0 y0
（4）将 x 2y 2z 1 变形为： x 2 x 轴旋转所得曲面。（5） x y 4 z 表示双曲抛物面（马鞍面）
2 2 2
x2 y 2 3z ; （3） 4 9
（5） x y 4 z ;
2 2
（4） x 2 y 2 z 1 ;
2 2 2
（6） x y 3 .
2 2
( x 2 z 2 )2 y 2 x2 y 2 z 2 1 变形为： 1 ，该方程是旋转椭球面的方程， 3 8 3 8 3 x2 y2 1 是由 xoy 平面内的椭圆 3 绕 y 轴旋转所得曲面，或者 yoz 平面内的椭圆 8 z0
)．
A C
平行但直线不在平面上；垂直相交；
B D
直线在平面上；相交但不垂直．
解：由题意，直线的方向向量为 s {2, 7, 3} ，平面的法向量为 n {4, 2, 2} ，
s n {2, 7, 3} {4, 2, 2} 8 14 6 0 ，所以 s n ，则直线与平面平行，又因为直线上一点 ( 3, 4,0) 代入平面方程得 4 (3) 2 (4) 2 0 12 8 4 3 ，所以直线不
(10) 直线 L1 : x 1
A
； 6
B
； 4
C
； 3

高等数学重修课考试试卷(B)答案及评分标准

北方交通大学1999-2000学年第二学期高等数学重修课考试试卷（B ）答案及评分标准一．填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中．1． ()()()=++-∞→5028020152312limxx x x _________．2．曲线⎩⎨⎧==t e y te x tt cos 2sin 在点()10，处的法线方程为 ______________________． 3．设函数()x f 在区间()∞+∞-，上连续，且()20=f ，且设()()⎰=2sin x xdt t f x F ，则()='0F _________． 4．已知()x xe x f =2，则()=⎰-11dx x f ________________．5．抛物线()a x x y -=与直线x y =所围图形的面积为 ___________________．答案： ⒈ 508020532⋅； ⒉ 012=-+y x ； ⒊ 2-；⒋ ee 34--；⒌()613a +．二．选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。

以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效． 1．指出下列函数中，当0+→x 时，_____________为无穷大量．（A ）．12--x ；（B ）．xx s e c 1s i n +；（C ）．xe -；（D ）．x e 1-．2．设()⎪⎩⎪⎨⎧>≤=113223x xx x x f ，则()x f 在点1=x 处的______________ ．（A ）．左右导数都存在；（B ）．左导数存在，但右导数不存在；（C ）．左导数不存在，但右导数存在；（D ）．左、右导数都不存在． 3．已知函数()()()()()4321----=x x x x x f ，则方程()0='x f 有______________ ．（A ）．分别位于区间()21，，()31，，()41，内的三个根；（B ）．分别位于区间()21，，()32，，()43，内的三个根；（C ）．四个实根，分别位于区间()10，，()21，，()32，，()43，内；（D ）．四个实根，它们分别为11=x ，22=x ，33=x ，44=x ． 4．设函数()x f 有原函数x x ln ，则()=⎰dx x xf ___________ ．（A ）．C x x +⎪⎭⎫⎝⎛+ln 41212；（B ）．C x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+ln 21412；（C ）．C x x +⎪⎭⎫⎝⎛-ln 41212；（D ）．C x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛-ln 21412． 5．设区间[]b a连续函数()x f 满足关系式：()0=⎰badx x f ，则________ ．（A ）．在区间[]b a的某个小区间上有()0=x f ；（B ）．对区间[]b a 上的所有点x ，有()0=x f ；（C ）．在区间[]b a 内至少有一点x ，使得()0=x f ；（D ）．在区间[]b a 内不一定有()0=x f ．答案：⒈ （D ）； ⒉ （A ）； ⒊ （B ）； ⒋ （B ）； ⒌ （C ）．三．（本题满分6分）讨论函数()x x x x f nnn 2211lim+-=∞→的连续性，若有间断点，判断其类型．解： ()⎪⎩⎪⎨⎧<=>-=+-=→∞110111lim22x x x x x x x x x f nnn ……3 由于 ()()1l i m l i m 11=-=---→-→x x f x x ()1l i m l i m 11-==++-→-→x x f x x 因此1-=x 是()x f 的第一类跳跃型间断点． (4)由于 ()1l i m l i m 11==--→→x x f x x ()()1lim lim 11-=-=++→→x x f x x 因此1=x 是()x f 的第一类跳跃型间断点． ......5 ()x f 除1±=x 外处处连续． (6)四．（本题满分6分）设()x x x a a a y arccos 12-+= （其中0>a ，1≠a 为常数），试求dy ．解：()x x xx x x x aa a a a a a a a a dx dy 22221ln 1arccos 1ln ln -⋅----= ()xxx a aa a a r c c o s1ln 22--= ……4 所以，()dx a a aa dx y dy x xx arccos 1ln 22--='= (6)五．（本题满分6分）设()x x x f 22tan sin 2cos +=+'，试求()x f ．解：()()()C x d x f x f +++'=+⎰2c o s 2c o s 2c o s (2)()()C x d x x ++=⎰c o s t a n s i n 22()C x d x x +⎪⎭⎫⎝⎛-+-=⎰c o s 1c o s 1c o s 122()C x d x x+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰c o s c o s c o s 122 C x x +--=3c o s 31c o s 1 ……4 所以，()()C x x x f +----=32213 (6)六．（本题满分7分）计算定积分⎰---222324dx x x ．解：令t x sec 2=，则dt t t dx tan sec 2=，当2-=x 时，π=t ；当22-=x 时，43π=t ．并且由于t tan 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ，43上取负值，因此t t t t x x 23232c o s s i n 41s e c 84s e c 44-=-=- (3)⎰⎰⋅-=---43222232t a n s e c 2c o s s i n 414ππdt t t t t dx x x ⎰=ππ432s i n 21dt t162-=π (7)七．（本题满分7分）设函数()x y y =由方程()y y f e xe=所确定，其中函数f 具有二阶导数，且1≠'f ，试求22dxy d ．解：两端取对数，得()y y f x =+ln 上式两端对x 求导，得 ()y y y f x'=''+1所以，()()y f x dx dy '-=11 ……3 因此，()()()()()()()()()32222221111y f x y f y f y f x y y f x y f dx y d '-''-'-='-'''-'-= (7)八．（本题满分7分）研究函数()1--=x e x x f 的极值．解：()⎪⎩⎪⎨⎧>≤<≤-=---1100111x xe x xex xe x f xx x ， ()x f 在()∞+∞-，上处处连续．所以，()()()()⎪⎩⎪⎨⎧>-<<+<+-='---1110101111x e x x e x x e x x f xx x在点0=x 及1=x 处，()x f 不可导．再令()0='x f ，得()x f 的驻点1-=x ． (4)因此，()x f 有极大值()21-=-e f ，()11=f ；极小值()00=f ． (7)九．（本题满分7分）求由圆()16522=-+y x 绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积．解：因为，2165x y -±= ()44≤≤-x ，而所求环体的体积是由半圆2165x y -+=与半圆2165x y --=绕x 轴旋转生成的旋转体的体积之差，即 ()()⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡----+=442222165165dx xx V π (4)⎰--=4421620dx x π2160π= (7)十．（本题满分8分）证明：当0>x 时，()()221ln 1-≥-x x x．解：令()()()221ln 1---=x x x x ϕ，则()01=ϕ， (2)()xx x x x 12ln 2-+-='ϕ令()0='x ϕ，得1=x ，即1=x 是函数()x ϕ在区间()∞+，0上的唯一驻点． (4)()211ln 2x x x -+=''ϕ，所以()11>''ϕ，故1=x 是函数()()()221ln 1---=x x x x ϕ的极小值点，由于它是唯一的极值点，从而也是函数()()()221ln 1---=x x x x ϕ的最小值点． (6)即当0>x 时，()()()()011ln 122=≥---=ϕϕx x x x因此，当0>x 时，()()221ln 1-≥-x x x ． (8)十一．（本题满分8分）设()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎰⎰000sin 12002x x xdtdu u t x f x t ϕ ，其中()u ϕ为连续函数，试讨论()x f 在0=x 点处的连续性与可导性．解：()()()xdt du u t x f xt x x 20000sin 1lim lim 2⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=→→ϕ， ()()200021l i m xdt du u t x t x ⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=→ϕ ()()xduu x x x 21lim2⎰-=→ϕ()()()221lim22xx x du u xx ⋅-+=⎰→ϕϕ()00f ==因此函数()x f 在0=x 点处连续． (4)()()()()xx dt du u t x f x f xt x x 0sin 1lim 0lim 200002-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=-⎰⎰→→ϕ ()()300021l i m xdt du u t x t x ⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=→ϕ()()()xx x x du u x x 621lim22⋅-+=⎰→ϕϕ()()()x xx x x duu x xx 621lim6lim2002⋅-+=→→⎰ϕϕ ()()03162l i m 20ϕϕ-⋅=→x x x()031ϕ-=所以，函数()x f 在在0=x 点处可导，且()()0310ϕ-='f (8)十二．（本题满分8分）已知平面曲线L 的方程为()x y x 8222=+ ，考虑把曲线L 围在内部且各边平行于坐标轴的矩形，试求这些矩形中的最小值．解：由()x y x 8222=+，知0≥x ，所以228x x y -=，因此082≥-x x ，由此得2≤x ．故定义域为[]20，．又曲线关于x 轴对称，令0=y ，得01=x ，2=x ；令0=x ，得0=y ．因此曲线与x 轴的交点为()00，与()02，；与y 轴的交点只有()00，．对曲线方程的两端求导，得()()822222='++y y x y x 即 x yx y y -+='228．得驻点321=x ，对应的323±=y ．又 ()()12222222-+'+⋅-=''+'yxy y x y y y ，因此在点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛332321，处，0<''y ；在点⎪⎪⎭⎫⎝⎛-332321，处，0>''y ．即函数()x y y =的最大值为323，最小值为323-．过点()00，，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛332321，，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-332321，，()02，作平行于坐标轴的直线所围成的矩形即为所求，该矩形的面积为3234．。

本科高数重修试题及答案

本科高数重修试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 函数f(x)=x^2在点x=1处的导数是：A. 1B. 2C. 3D. 42. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值是：A. 0B. 1C. πD. ∞3. 曲线y=x^3在点(1,1)处的切线斜率是：A. 1B. 3C. 9D. 274. 以下哪个选项是定积分∫(0 to 1) x dx的结果：A. 1/2B. 1/3C. 1/4D. 1/65. 级数∑(1 to ∞) (1/n^2)是：A. 收敛的B. 发散的C. 条件收敛的D. 绝对收敛的6. 以下哪个函数是周期函数：A. y=e^xB. y=ln(x)C. y=sin(x)D. y=x^2二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^3的反导数是______。

2. 函数y=x^2+2x+1的极小值点是______。

3. 函数y=ln(x)在区间(0,1)上是______函数。

4. 定积分∫(0 to 1) e^x dx的值是______。

三、解答题（每题10分，共50分）1. 求函数f(x)=sin(x)在区间[0, π]上的原函数。

2. 证明函数f(x)=x^3在R上是连续的。

3. 计算定积分∫(0 to 2) (x^2-2x+1) dx。

4. 求级数∑(1 to ∞) (1/n)的和。

5. 讨论函数f(x)=x^2-4x+4在R上的极值。

四、附加题（10分）1. 给定函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，求其在R上的单调区间和极值点。

答案：一、选择题1. B2. B3. B4. A5. A6. C二、填空题1. x^4/4 + C2. x=-13. 减4. e - 1三、解答题1. 原函数为：-cos(x) + C2. 由于f(x)=x^3在R上处处可导，故连续。

3. ∫(0 to 2) (x^2-2x+1) dx = (2x^3/3 - 2x^2 + x) | (0 to 2)= 4/34. 调和级数发散，无和。

高数重修试题答案2-1A09-10第一学期

重庆大学高等数学Ⅱ-1（重修）课程试卷2009 ~2010 学年第一学期开课学院：数理学院课程号：考试日期2009年12月考试方式：考试时间：120 分一、填空题（3分/每小题，共15分）⒈1lim(1)x x x →+ e 。

2．设(0)0(1)8f f ='=，则 1()(1)lim1x f f x x →-=- 8 。

3 当a = 1 时，()00xf x e x a x x ⎧⎨⎩=<+≥在点0x =处连续。

41011211dx x x -=+⎰ 0 。

5． arc n ta y x =的单调增加区间是 R 。

二、计算题（7分/每小题，共14分）⒈求极限3tan lim x x x x →- 解：30tan lim x x x x →-=222200sec 1tan 1limlim 333x x x x x x →→-== 2．求极限 23l n (1)li m xx td tx→+⎰解：运用罗比塔法则：23ln(1)lim xx t dtx →+⎰220ln(1)1lim 33x x x →+==三、计算题（7分/每小题，共28分）1．．已知()f x=ln(x ⎡⎤⎣⎦'，求积分()xf x dx '⎰解：因为()ln(f x dx x =+⎰C +所以 ()f x == 则积分()xf x dx '⎰[()]()()xd f x xf x f x dx ==-⎰⎰ln(x C =-+命题人：组题人：审题人：命题时间：教务处制学院专业、班年级学号姓名公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封密2．由方程 10x y e xy ++-= 确定了隐函数 ()y y x =，求(0)y ''以方程两边对x 求导得：()0x y x y x yx ye x e y y y e y x e ++++'+++=--'=+当0x =时，(0)0y =，所以 (0)1y '=- 再将以上方程对x 求导有：(1)(1(1))()0x y x y x y e y y e y x e y y +++''''''+++++++=整理得：22(1)x y x yy e y y x e ++''++''=+所以 (0)2y ''=-3．设{2ln(1)arctan x t y t t=+=- 求dy dx22222111122211t t t y dy t t t t t dx x t t -'++===='++ 4求.22cos2cos sin xdx x x⎰222222cos sin 11()cos sin sin cos (cot tan )x x dx x x x x x x C-==-=-++⎰⎰解:原式四、计算题（7分/每小题，共14分）1．计算定积分2π-⎰2-⎰43xdx ==⎰2．求函数 11x y e-=的间断点，并判断其类型。

高数2重修试题答案(考试原题少于30%,大部分题目已修改)

所以 y ′ = −C1 e
+ 3C2 e 3 x . 把初始条件代入得 C1 = 0, C2 = 1 ，故所求特解为 y = e 3 x .
15、求方程 y ′′ + 4 y ′ + 4 y = 0 满足初始条件 y 解
x =0
= 1,
y′ x =0 = 2 的特解
特征方程为 r 2 + 4r + 4 = 0, 解得 r1 = r2 = −2, 故所求通解为 y = (C1 + C 2 x )e −2 x .
�
�
�
�
� � 解 (1) a ⋅ b = 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ (−2) + (−4) ⋅ 2 = −9.
(2) cos θ =
a x bx + a y b y + a z bz a2 x+ a2 y+
2 az 2 2 bx + by + 2 bz
=−
,
∴θ =
i � � � � � � � � � a ⋅b (3) a ⋅ b =| b | Pr j b a, ∴ Pr j b a = � = −3. （4） a × b = 1 |a|
4 4 ⎛ y2 ⎞ ⎟dy = 18. dA = ∫ ⎜ y + 4 − −2 ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠
解所求面积: A =
∫
−2
3、求由 x = a cos3 t , y = a sin 3 t 所围平面图形的面积
a
0 0
解
A=4
∫
ydx = 4
∫
π 2
a sin 3 t 3a cos 2 t (− sin t ) dt = 12a 2

08-09学年2学期重修班高等数学A(II)模拟试题答案

2.
： x 2 y2 z
1 x2 y2 ， f
x， y ， z
在上连续
f ( x，y， z） dv 化为球面坐标系下的三次积分
2
d
4
d
1
f ( r sin
cos ， r sin
sin ，r cos ) r 2 sin dr 解： z
0
0
0
z
1 x2 y2 x2 y2
2sin2 =1， =
0
2x 2
3
x= 3
－dye=x，d, u 2解xxz得，x y
y(z2y)
求x 出2一x个=函Ce数－2
解：增加平面
1 ： z=0
x2
y2 ≤ 1 下侧，
xdydz ydzdx ( z 3)dxdy =
3dv
( z 3)dxdy
1 3
13
3dxdy
3
x2 y2 1
1
x
2
31 4
14. (8 分 )
f ( x)
x2
2x
展开成
3
x
f ( x)
x x2 2 x 3
1( 3
1)
4x 3 x 1
1
n
[ (x 2)
xy 2dx 5xydy
L
L
1
[ x( x2 ) 2 5xx2 2x] dx
1
1
(x 5
10 x 4 )dx
2x5
|1 1
4
1
三、计算 ( 共 70 分 )
11.(6 分 ) 计算
sin y dxdy ，D ： y2= x 和 y = x 围成的闭区域。解：

13-14-1《高数2》重修班练习卷答案

13-14-1《高数2》重修班练习卷一、单项选择题（每题2分）1、当0x →时，与x 相比不是等价无穷小的是（ C ）． A.sin x B. 1x e - C.1cos x - D.ln(1)x +2、函数()f x 在点0x 可导是函数()f x 在点0x 可微的（ C ）A . 充分条件B . 必要条件C . 充要条件D . 无关条件 3、函数()1ln 1y x =-的定义域是（ D ）A. 1x <B. 1x ≤C. 0x ≠D. 1,0x x <≠且4、已知0()f x A '=，则000(2)()limx f x x f x x∆→+∆-=∆ （ B ）A. AB. 2AC. 3AD. A -5、函数()sin xf x x=,间断点0x =的类型是（ A ） A.可去间断点 B.跳跃间断点 C.无穷间断点 D.震荡间断点 6、下列结论中，错误的是（ C ） A .无界数列必发散B .函数的驻点未必是函数的极值点C .有界数列必收敛D .若函数在其极值点可导，则该点是函数的驻点二、填空题（每题3分）1、若函数()121, 0(), 0x x x f x a x x ⎧⎪->=⎨⎪+≤⎩　在点0x =连续，则常数a =1e -2、函数32()231f x x x =--在[]1,2-上的最大值为 33、曲线2xy e =在(0,1)处的切线方程为21y x =+ 24、曲线x y xe -=的拐点为2(2,2)e -5、已知函数ln y x =的n 阶导数()n y =1(1)!(1)n nn x --- 6、函数2sin y x x =+的微分dy =()cos 2x x dx +7、某商品的成本C 为产量Q 的函数2150C Q =+，则价格10Q =时的边际成本为 20三、计算题（每题8分）1. 0lim sin x xx e e x-→-0000lim lim 2sin cos cos0x x x x x x e e e e e e x x --→→-++===(用洛必达法则) 2. 0lim xx x +→ 0000ln lim1/1lim ln limlim ()ln ln 01/0lim lim lim 1x xx x x xx x xx x xx xx xx x x x e e eeeee +→+++→→→+++--→→→========3.212lim 11x xx x →⎛⎫-⎪--⎝⎭322211122213lim lim lim 11122x x x x x x x x x x x →→→+-+⎛⎫-=== ⎪---⎝⎭4. 参数方程2ln x t t y t ⎧=+⎨=⎩确定函数()y y x =，求dy dx1()y x dye xy x y y x dx=-=+=或方程确定隐函数，求解： 221/(ln )1/()212dy dy dt t t dx dx dt t t t t t '===='+++或方程两边对x 求导，得到()1y e y y xy ''-+=1y y y e x +'=-解得0,0x y ==当时0001=1x y x y dy y dxe x===+=-所以5. 求复合函数1lnsin y x=的导数1ln siny x =由1ln ,sin ,y u u v v x===复合而成 2221cot11111cos ()cos ()1sin dy du dv xy v du dv dx u x x x x x'=⋅⋅=⋅⋅-=⋅⋅-=-6.利用夹逼准则求2lim n n →∞++++ 参考P56,例5四、应用题（每题9分）设生产某商品的总成本为2()1000050()C x x x x =++为产量，问产量为多少时，每件产品的平均成本最低？解：平均成本2()100005010000()50C x x x f x x x x x ++===++ 210000()1f x x '=-+ 令210000()10f x x'=-+= 解得100x =320000()f x x ''=，320000(100)0100f ''=>所以10000(100)50100250100f =++=为平均成本的极小值。

高等数学理工科用教材答案

高等数学理工科用教材答案高等数学是大部分理工科专业学生必修的一门基础课程，它在培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力方面起着重要的作用。

然而，由于该课程的难度较高，学生常常在自学过程中遇到一些难题，需要及时找到相应的答案和解析。

本文将为大家提供高等数学理工科用教材的答案，以帮助学生更好地掌握相关知识。

一、导数与微分1. 判断下列函数在给定点处的可导性，并求出其导数：(1) f(x) = 3x^2 - 2x + 1, 在点x = 2处的可导性及导数；(2) g(x) = |x|，在点x = 0处的可导性及导数。

2. 求下列函数的高阶导数：(1) f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 1的三阶导数；(2) g(x) = sin(2x)的四阶导数。

二、定积分与不定积分1. 计算下列定积分：(1) ∫(0 to π/2) sin(x)dx；(2) ∫(1 to 2) x^2dx。

2. 计算下列不定积分：(1) ∫(x^3 + 2x^2 + 3x + 1)dx；(2) ∫sin^2(x)dx。

三、级数与收敛性1. 判断下列级数的收敛性：(1) ∑(n=1 to ∞) (1/2^n)；(2) ∑(n=1 to ∞) (n/(n+1))^n。

2. 计算下列级数的和：(1) ∑(n=1 to ∞) (1/2^n)；(2) ∑(n=1 to ∞) (n/(n+1))^n。

四、常微分方程1. 求解下列常微分方程的通解：(1) dy/dx = 3x^2 - 2x + 1；(2) dy/dx = x^2 + y。

2. 求解下列常微分方程的特解，满足给定的初始条件：(1) dy/dx = 3x^2 - 2x + 1, y(0) = 1；(2) dy/dx = x^2 + y, y(0) = 0。

五、行列式与矩阵1. 计算下列行列式的值：(1) |1 2||3 4|(2) |2 1 0||0 3 1||1 2 1|2. 求解下列线性方程组：(1) 2x + y = 5x + 3y = 7(2) x + y + z = 62x + 4y + z = 143x + 6y + 3z = 24六、傅里叶级数1. 求下列函数的傅里叶级数展开式：(1) f(x) = x, -π < x < π；(2) g(x) = |x|, -π < x < π。

高等数学修订本课后练习题含答案

高等数学修订本课后练习题含答案引言高等数学是理工科学生必修的一门学科，对于很多学生来说，高等数学课程的难度不亚于其他专业课。

因此，练习题的重要性不言而喻。

在完成课堂内容的同时，课后的练习题可以巩固知识点，提高解题能力和独立思考能力。

但是，练习题数量越来越多，难度逐渐增加，不同章节、不同难度的练习还需要对应的答案进行参考。

高等数学修订本课后练习题含答案为大家提供了相对全面的参考和解答。

修订本练习内容本文所提供的练习题及答案均来自《高等数学修订版》一书。

该书覆盖了高等数学的大部分内容，包括函数、极限、连续、导数、微分、积分、微分方程等知识点，每章节末尾都配有对应的练习题和答案。

此外，本文还涵盖了一定数量的真实考试试题和典型例题，方便读者进行系统性的练习和模拟测试。

练习题的数量和难度设置适宜，既包含了基础知识的练习，又包含了拓展性、深入性的思考题，能够满足不同层次的读者需求。

修订本答案形式《高等数学修订版》的课后练习题虽然涵盖了很详细的答案解析，但是其答案形式可能单一、过于抽象，不利于学生掌握和运用。

为了更好地解决这个问题，本文提供了大量的答案解析和详细的步骤证明，增强了答案的可读性和灵活性，方便读者更好地理解、消化练习内容。

此外，本文还附带了一些解题技巧和注意事项，帮助读者更好地解决各种难题和疑难点。

同时，基于本文的题集和答案解析还可以配合一些在线答题系统进行练习，更利于读者灵活应用和掌握知识。

结语本文提供的高等数学修订本课后练习题含答案和答案解析是针对该课程的全面性、系统性的思考和设计，旨在为读者提供一种更加便捷、灵活、实用的学习和练习方式。

同时，本文还强调了练习题的重要性和实用性，希望读者在学习高等数学过程中多加练习，消化和掌握知识，提高解题能力和技巧。

重庆大学《高等数学 Ⅱ-2》重修试题A0812月(答案)

重庆大学高等数学Ⅱ-2（重修）课程试卷A卷B卷2009 ~2010 学年第二学期开课学院：数理学院课程号：考试日期2010年6月考试方式：开卷闭卷其他考试时间：120 分一、填空题（每空3分，共15分）⒈过点M （1，2，-3）且平行于直线31135yx z --==的直线方程为123135x y z --+==。

2．已知22ln()z x y =，则(1,1)dz=22dx dy +。

⒊级数112n n ∞=∑的和为1 。

4．设积分区域D 是由曲线2,,1y x y x y ===围成的区域，则 2Ddxdy =⎰⎰1/2。

⒌已知二阶常系数线性齐次微分方程的两个解分别为312,1x y e y ==，则该微分方程为30y y '''-=。

二、计算题（共18分）⒈（9分）设yx z e =，求z z x y∂∂∂∂和及dz ．解：21()yx y z z dz dx dy dx dy x y x xe ∂∂=+=-+∂∂.2．（9分）求函数u xyz =在点(1,1,2)处沿从点(1,1,2)到点(2,4,3)的方向导数。

uuuyz xz xy x yz ∂∂∂===∂∂∂(1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)221u u u xyz∂∂∂===∂∂∂{}1,3,1191l l ==++=cos cos cos αβγ===cos cos cos 221u u u ul x y xαβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂=+=三、计算题（共18分）1．（9分）求旋转抛物面22z x y =+在点15(1,,)24-处的法线方程和切平面方程．解：抛物面2222z x y =+的法向量为(2,2,1)n x y =--，在点15(1,,)24-处(2,1,1)n =-，命题人：组题人：审题人：命题时间：教务处制学院专业、班年级学号姓名公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密法线方程为 15124211y z x --+==-. 切平面方程：84410x y z -++=。

重庆理工大学高数理工类习题册答案(1)

原式=
4、
原式=
习题二十四
一、1、 2、
二、1、C 2、C
三、1、原式=
2、
原式=
3、
原式=
四、（1）
原式=
（2）外侧法向量
原式=
习题二十五
一、1、 2、
3、
二、1、原式=
=
2、原式=
3、原式=
三、1、
2、
3、
第十一章复习题
一、1、 2、 3、 4、
二、B
三、1、 2、 3、
四、
五、
习题二十六常数项级数的概念与性质
一、× × √ ×
二D B A
三1、1
2、 ;
3、
4、2
四发散;发散;发散;发散;发散
五级数收敛
存在
而 ,得到级数的部分和收敛,得到此级数收敛.
习题二十七正项级数及审敛法
一×√ √
二1、p<-2;
2、
3、
三1、 ,此级数发散;
2、 ,此级数收敛;
3、 ,此级数收敛;
4、时收敛, 时发散
四、1发散; 2收敛; 3收敛
习题一
一． √√√√
二．ADC
三．xoy面(-2,3,0) -2 yoz坐标面
四．（）
五．（1）（－1，3，3）（2）（3）
习题二
一． √
二．CD
三．1．（－4，2，－4）2.－10, 2
3. 74. 5.
四．
五．（5，－8，2）
习题三
一． √
二．CDDCC
三．1． 2. 3. 4.
四．1．由xoz面上的曲线绕z轴旋转得到的
2． 3．
五、