人教新课标版数学高二选修1-1检测 椭圆及其标准方程
人教新课标版数学高二选修1-1练习2-1-1椭圆及其标准方程(1)
2.1.1一、选择题2．椭圆2x 2＋3y 2＝12的两焦点之间的距离是( ) A ．210 B.10 C. 2D ．2 2[答案] D[解析] 椭圆方程2x 2＋3y 2＝12可化为：x 26＋y 24＝1，a 2＝6，b 2＝4，c 2＝6－4＝2，∴2c ＝2 2.3．椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点是(0,2)，那么k 的值为( ) A ．－1 B ．1 C. 5D ．－ 5[答案] B[解析] 椭圆方程5x 2＋ky 2＝5可化为：x 2＋y25k＝1，又∵焦点是(0,2)，∴a 2＝5k ，b 2＝1，c 2＝5k －1＝4，∴k ＝1.4．已知方程x 225－m ＋y 2m ＋9＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m的取值范围是( )A ．－9<m <25B ．8<m <25C ．16<m <25D ．m >8 [答案] B[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋9>025－m >0m ＋9>25－m，解得8<m <25.8．已知椭圆过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－4和点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，3，则此椭圆的标准方程是( )A.y 225＋x 2＝1B.x 225＋y 2＝1或x 2＋y225＝1C.x 225＋y 2＝1 D ．以上都不对 [答案] A[解析] 设椭圆方程为：Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0) 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧925A ＋16B ＝11625A ＋9B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝1B ＝125.9．已知椭圆的两个焦点分别是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．射线D ．直线[答案] A[解析] ∵|PQ |＝|PF 2|且|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， 又∵F 1、P 、Q 三点共线，∴|F 1P |＋|PQ |＝|F 1Q |＝2a .即Q 在以F 1为圆心以2a 为半径的圆上． 二、填空题11．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆与x 轴的交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为________．[答案] x 24＋y 23＝1 [解析]由题意可得⎩⎨⎧a ＋c ＝3a －c ＝1，∴⎩⎨⎧a ＝2c ＝1，故b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y23＝1.12．过点(－3,2)且与x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆方程是________．[答案] x 215＋y 210＝1[解析] 因为焦点坐标为(±5，0)，设方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1，将(－3,2)代入方程可得9a 2＋4a 2－5＝1，解得a 2＝15，故方程为x 215＋y 210＝1.三、解答题15．已知F 1、F 2是椭圆x 2100＋y 264＝1的两个焦点，P 是椭圆上任一点，若∠F 1PF 2＝π3，求△F 1PF 2的面积．[解析] 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n .根据椭圆定义有m ＋n ＝20， 又c ＝100－64＝6，∴在△F 1PF 2中，由余弦定理得m 2＋n 2－2mn cos π3＝122， ∴m 2＋n 2－mn ＝144，∴(m ＋n )2－3mn ＝144， ∴mn ＝2563，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2 ＝12×2563×32＝6433.17．求以椭圆9x 2＋5y 2＝45的焦点为焦点，且经过点M (2，6)的椭圆的标准方程．[解析] 由9x 2＋5y 2＝45，得y 29＋x25＝1.其焦点F 1(0,2)、F 2(0，－2)． 设所求椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1.又∵点M (2，6)在椭圆上，∴6a 2＋4b 2＝1① 又a 2－b 2＝4②解①②得a 2＝12，b 2＝8. 故所求椭圆方程为y 212＋x 28＝1.。
(新课标人教A版)选修1-1数学同步课件：2-1-1《椭圆及其标准方程》
(2)∵椭圆的焦点在 y 轴上，所以设它的标准方程为： y2 x2 a2＋b2＝1(a>b>0)． ∵2a＝26,2c＝10，∴a＝13，c＝5. ∴b2＝a2－c2＝144. y2 x2 ∴所求椭圆方程为：169＋144＝1.
[点评]
x2 y2 y2 x2 在椭圆的标准方程a2＋b2＝1 和a2＋b2＝1 中，
＝1上的点，
F1和F2是焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积．
[解析]
y2 x2 在椭圆 5 ＋ 4 ＝1 中，a＝ 5，b＝2，∴c＝
a2－b2＝1， 又∵点 P 在椭圆上，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝2 5① 由 余 弦 定 理 知 |PF1|2 ＋ |PF2|2 － 2|PF1|· |PF2|· cos30° ＝ |F1F2|2＝(2c)2＝4② ①式两边平方得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|· |PF2|＝20③ ③－②得(2＋ 3)|PF1|· |PF2|＝16， ∴|PF1|· |PF2|＝16(2－ 3)， 1 ∴S△PF1F2＝2|PF1|· |PF2|· sin30° ＝8－4 3.
式时，需将它们放在方程的两侧，并使其中一侧只有一个
根式．
1．对椭圆的定义要正确理解、熟练运用，解决过焦点
的问题时，要结合图形看能否运用定义． 2．用待定系数法来求椭圆的标准方程时，要“先定型， 再定量”，不能确定焦点的位置，可进行分类讨论或设为 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)的形式．
1 ．平面内与两个定点 F1 、 F2 的距离之和等于定长 ( 大
2．在理解椭圆的定义时，要注意到对“常数”的限定，
即常数要大于|F1F2|.这样就能避免忽略两种特殊情况，即： 当常数等于|F1F2|时轨迹是一条线段；当常数小于|F1F2|时点 不存在．
人教版高中数学选修1-1 第二章《圆锥曲线与方程》师用
选修1-1 第二章《圆锥曲线与方程》§2.1.1 椭圆及其标准方程【知识要点】● 椭圆的定义：到两个定点 F 1、F 2的距离之和等于定长（12FF >）的点的轨迹．● 标准方程：（1）()222210x y a b a b+=>>，22c a b =-，焦点是 F 1（－c ，0），F 2（c ，0）；（2）()222210y x a b a b+=>>，22c a b =-，焦点是 F 1（0，－c ），F 2（0，c ）．【例题精讲】【例 1】两个焦点坐标分别是(－4，0)、(4，0)，椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和等于 10，写出椭圆的标准方程．【例 2】已知椭圆的两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0，2）且过35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，求椭圆的标准方程．点评：题（1）根据定义求．若将焦点改为(0，－4)、(0，4)其结果如何；题（2）由学生的思考与练习，总结有两种求法：其一由定义求出长轴与短轴长，根据条件写出方程；其二是由已知焦距，求出长轴与短轴的关系，设出椭圆方程，由点在椭圆上的条件，用待定系数的办法得出方程．【例 3】判断下列方程是否表示椭圆，若是，求出 a ，b ，c 的值．【例4】已知ΔABC 的一边BC 的长为6，周长为16，求顶点A 的轨迹方程．【基础达标】1．椭圆221259x y +=上一点 P 到一个焦点的距离为 5，则 P 到另一个焦点的距离为（ ） A ．5 B ．6 C ．4 D ．102．椭圆2211312x y +=上任一点 P 到两个焦点的距离的和为（ ） A ．26 B ．24 C ．2 D ．2133．已知 F 1，F 2是椭圆221259x y +=的两个焦点，过 F 1的直线交椭圆于 M ，N 两点，则△MNF 2周长为（ ）A ．10B ．16C ．20D ．324．椭圆的两个焦点分别是F 1(－8，0)和F 2(8，0)，且椭圆上一点到两个焦点距离之和为 20，则此椭圆的 标准方程为（ ）A ．2212012x y += B ．22140036x y += C ．22110036x y += D ．22136100x y +=5．椭圆2214x y m +=的焦距是 2，则 m 的值为（ ） A ．5或 3 B ．8 C ．5 D ．166．椭圆221169x y +=的焦距是 ，焦点坐标为 ． 7．焦点为（0，4）和（0，－4），且过点()533，-的椭圆方程是 ．1～5 ADCCA【能力提高】8．如果方程 x 2+ky 2=2表示焦点在 y 轴上的椭圆，求实数 k 的取值范围．9．写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）a=4，b =3，焦点在x 轴； （2）a =5，c =2，焦点在y 轴上．10．求到定点（2，0）与到定直线x =8的距离之比为22的动点的轨迹方程．§2.1.2 椭圆的简单几何性质（一）【知识要点】● 熟练掌握椭圆的范围，对称性，顶点，离心率等简单几何性质． ● 掌握标准方程中a ，b ，c 的几何意义，以及a ，b ，c ，e 的相互关系． ● 理解、掌握坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法．【例题精讲】【例 1】已知椭圆的中心在坐标原点 O ，焦点在 x 轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，且离心率为22，求椭圆的方程．【例 2】已知 x 轴上的一定点 A （1，0），Q 为椭圆2214x y +=上的动点，求 A Q 中点 M 的轨迹方程．【例 3】椭圆22110036x y +=上有一点 P ，它到椭圆的左焦点 F 1的距离为 8，求△PF 1F 2的面积．【例 4】设P 是椭圆()22211x y a a+=>短轴的一个端点，Q 为椭圆上的一个动点，求PQ 的最大值．【基础达标】1．已知P 是椭圆22110036x y +=上的一点，若P 到椭圆右焦点的距离是345，则P 点到椭圆左焦点的距离是（ ） A ．165 B ．665 C ．758D ．778 2．若焦点在 x 轴上的椭圆2212x y m+=的离心率为12，则 m =（ ）A ．3B ．32 C ．83 D ．233．已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，且长轴长为 12，离心率为13，则椭圆的方程是（ ）A ．221144128x y += B ．2213620x y += C ．2213236x y += D ．2213632x y += 4．设定点F 1（0，－3）、F 2（0，3），动点P 满足条件()1290PF PF a a a+=+>，则点P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段 5．若椭圆短轴长等于焦距的3倍，则这个椭圆的离心率为（ ）A ．14 B ．22 C ．24D ．12 6．已知椭圆C 的短轴长为6，焦点F 到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆C 的离心率等于 ． 7．离心率12e =，一个焦点是 F （0，－3）的椭圆标准方程为 ．1～5 BBDDD【能力提高】8．求过点A（－1，－2）且与椭圆22169x y+=的两个焦点相同的椭圆标准方程．9．已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率23e=，短轴长为85，求椭圆的方程．10．设有一颗卫星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此卫星离地球相距m万千米和43m万千米时，经过地球和卫星的直线与椭圆的长轴夹角分别为2π和3π，求该卫星与地球的最近距离．§2.1.2 椭圆的简单几何性质（二）【知识要点】●掌握椭圆范围、对称性、顶点、离心率、准线方程等几何性质．●能利用椭圆的有关知识解决实际问题，及综合问题．【例题精讲】【例 1】已知椭圆C 的焦点F 1()22,0-和F 2()22,0，长轴长6，设直线y =x +2交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标．【例 2】椭圆的中心为点E （－1，0），它的一个焦点为F （－3，0），且椭圆的离心率255e =，求这个椭圆的方程．【例 3】已知椭圆2212x y +=的左焦点为F ，O 为坐标原点，求过点O 、F ，并且与直线l ：x =－2相切的圆的方程．【例 4】如图，把椭圆2212516x y +=的长轴 AB 分成 8等份，过每个分点作 x 轴的垂线交椭圆的上半部分于 P 1，P 2，P 3，P 4，P 5，P 6，P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则123++PF P F PF +45++P F P F67+P F P F = ．【基础达标】1．椭圆22110036x y +=上的点 P 到它的左焦点的距离是 12，那么点 P 到它的右焦点的距离是（ ） A ．15 B ．12 C ．10 D ．82．已知椭圆()2221525x y a a +=>的两个焦点为F 1、 F 2，且|F 1F 2|=8，弦 A B 过点 F 1，则△ A BF 2的周长为（ ）A ．10B ．20C ．241D ．4413．椭圆221259x y +=的焦点 F 1、F 2，P 为椭圆上的一点，已知 P F 1⊥PF 2，则△ F 1PF 2的 面积为（ ） A ．9 B ．12 C ．10 D ．84．椭圆221164x y +=上的点到直线 x +2y 2-=0 的最大距离是（ ） A ．3 B ．11 C ．22 D ．105．如果椭圆221369x y +=的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） A ． x －2 y =0 B ． x +2 y －4=0 C ． 2x +3y －12=0 D ． x +2 y －8=06．与椭圆22143x y +=具有相同的离心率且过点（2，3-）的椭圆的标准方程是 ． 7．离心率53e =，一个焦点的坐标为5,03⎛⎫- ⎪⎝⎭的椭圆的标准方程是 ． F1～5 DDBAD 【能力提高】8．已知椭圆22194x y+=上的点P到其右焦点的距离是长轴两端点到右焦点的距离的等差中项，求P点坐标．9．过椭圆22194x y+=内一点D（1，0）引动弦A B，求弦A B的中点M的轨迹方程．10．椭圆221164x y+=上有两点P、Q，O是原点，若O P、OQ斜率之积为14-．求证22OP OQ+为定值．§2.2.1双曲线及其标准方程【知识要点】●掌握双曲线的定义，熟记双曲线的标准方程；●掌握双曲线标准方程的推导，会求动点轨迹方程；● 会按y 2特定条件求双曲线的标准方程； ● 理解双曲线与椭圆的联系与区别．【例题精讲】【例 1】判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三量 a ，b ，c 的值．【例 2】已知双曲线的焦点在y 轴上，中心在原点，且点()13,42P -、29,54P ⎛⎫⎪⎝⎭在此双曲线上，求双曲线的标准方程．【例 3】点 A 位于双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上， F 1，F 2是它的两个焦点，求△AF 1F 2的重心G 的轨迹方程．【例 4】已知三点 P （5，2）、 F 1（－6，0）、 F 2（6，0）．（1）求以F 1、F 2为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程；（2）设点 P 、F 1、F 2关于直线 y =x 的对称点分别为 P '、F 1'、F 2'，求以F 1'、F 2'为焦点且过点P '的双曲线的标准方程．【基础达标】1．双曲线22221124x y m m-=+-的焦距是（ ） A ．4 B ．22 C ．8 D ．与 m 有关2．椭圆222+134x y n =和双曲线222116x y n -=有相同的焦点，则实数 n 的值是（ ） A ．±5 B ．±3 C ．5 D ．93．若0k a <<，双曲线22221x y a k b k -=-+与双曲线22221x y a b-=有（ ） A ．相同的虚轴 B ．相同的实轴 C ．相同的渐近线 D ．相同的焦点4．过双曲线221169x y -=左焦点 F 1的弦 A B 长为 6，则 △ABF 2（F 2为右焦点）的周长是（ ） A ．28 B ．22 C ．14 D ．125．设F 1，F 2是双曲线2214x y -=的焦点，点 P 在双曲线上，且 ∠F 1PF 2=90°，则点 P 到x 轴的距离为（ ）A ．1B ．55C ．2D ．5 6．到两定点F 1（－3，0）、F 2（3，0）的距离之差的绝对值等于 6的点 M 的轨迹是 ．7．方程22+111x y k k=+-表示双曲线，则 k 的取值范围是 ．1～5 CBDAB【能力提高】8．求与双曲线221164x y -=有公共焦点，且过点（32，2）的双曲线方程．9．如图，某农场在 P 处有一堆肥，今要把这堆肥料沿道路 P A 或 P B 送到庄稼地 A BCD 中去，已知 P A =100 m ，PB =150m ，∠APB =60°．能否在田地 A BCD 中确定一条界线，使位于界线一侧的点，沿道路 P A 送肥较近；而另一侧的点，沿道路 P B 送肥较近? 如果能，请说出这条界线是一条什么曲线，并求出其方程．10．已知点()3,0A -和()3,0B，动点C 到A 、B 两点的距离之差的绝对值为 2，点 C 的轨迹与直线 y =x －2 交于 D 、E 两点，求线段 D E 的长．§2.2.2 双曲线的简单几何性质（一）【知识要点】● 掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质． ● 掌握等轴双曲线，共轭双曲线等概念．【例题精讲】【例 1】求双曲线2214y x -=的顶点坐标、焦点坐标，实半轴长、虚半轴长和渐近线方程．【例 2】求一条渐近线方程是 3x +4y =0，一个焦点是（4，0）的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率．【例 3】求与双曲线221169x y -=共渐近线且过 A (33，－3)的双曲线的方程．【例 4】已知△ABC 的底边 B C 长为 12，且底边固定，顶点 A 是动点，使sin B －sin C =12sin A ，求点 A 的轨迹．【基础达标】1．下列方程中，以x ±2y =0为渐近线的双曲线方程是（ ）A ．221164x y -= B ．221416x y -= C ．2212x y -= D ．2212y x -= 2．已知双曲线的离心率为 2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线方程为（ ）A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．221106x y -= D ．221610x y -= 3．过点（3，0）的直线 l 与双曲线 4x 2－9y 2=36只有一个公共点，则直线 l 共有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条4．方程mx 2＋ny 2＋mn =0（m <n <0）所表示的曲线的焦点坐标是（ ）A ．()0m n ±-，B ．()0n m ±-，C ．()0m n ±-，D ．()0n m ±-，5．与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且经过点A (－3，23)的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是（ ）A．8 B．4 C．2 D．16．双曲线9y2－4x2=36的渐近线方程是．7．经过点M（3，－1），且对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是．1～5 AACBC【能力提高】8．求一条渐近线方程是3x+4y=0，一个焦点是（5，0）的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率．9．求以椭圆22+16416x y=的顶点为焦点，且一条渐近线的倾斜角为56π的双曲线方程．10．已知双曲线的方程是16x2－9y2=144．（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；（2）设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|=32，求∠F1PF2的大小．§2.2.2 双曲线的简单几何性质（二）【例题精讲】【例 1】如果双曲线的两个焦点分别为F 1(－3，0)、F 2 (3，0)，一条渐近线方程为2y x =，那么它的离心率是（ ）A ．63B ．4C ．2D ．3【例 2】过双曲线221916x y -=的左焦点F 1，作倾斜角为=4πα的直线与双曲线交于两点A 、B ，求AB的长．【例 3】已知动点 P 与双曲线 x 2－y 2=1的两个焦点F 1，F 2的距离之和为定值，且 c os ∠F 1PF 2的最小值为13-．求动点P 的轨迹方程．【例 4】已知不论 b 取何实数，直线 y =kx +b 与双曲线 x 2－2y 2=1总有公共点，试求实数 k 的取值范围．【基础达标】1．到两定点F 1(－3，0)、F 2 (3，0) 的距离之差的绝对值等于 6的点 M 的轨迹（ ） A ．椭圆 B ．线段 C ．双曲线 D ．两条射线 4．双曲线的两个顶点将焦距三等分，则它的离心率为（ ） A ．32 B ．3 C ．43D ．3 5．已知 m ，n 为两个不相等的非零实数，则方程mx －y +n =0与 n x 2+my 2=mn 所表示的曲线可能是（ ）A B C D6．双曲线22197x y -=的右焦点到右顶点的距离为 ． 7．与椭圆22+11625x y =有相同的焦点，且离心率为355的双曲线方程为 ． 1～5 DDCBC【能力提高】8．设双曲线()222210x y a b a b-=<<的半焦距为c ，直线l 过(a ，0)，(0，b )两点，已知原点到直线lyox yox yox yox的距离为34c ，求此双曲线的离心率．9．求过点M (3，－1)且被点M 平分的双曲线2214x y -=的弦所在直线方程．10．设双曲线 C 1的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，A 、B 为其左、右两个顶点，P 是双曲线 C 1上的任意一点，引 Q B ⊥PB ，QA ⊥PA ，AQ 与 B Q 交于点 Q ，求 Q 点的轨迹方程．§2.3.1 抛物线及其标准方程【知识要点】● 掌握抛物线的定义．● 标准方程的不同形式及其推导过程．● 熟练画出抛物线的草图，求出抛物线的标准方程、焦点、准线方程．【例题精讲】【例 1】已知抛物线的标准方程是：（1）y 2=12x ，（2）y =12x 2，求它的焦点坐标和准线方程．【例2】求满足下列条件的抛物线的标准方程：（1）焦点坐标是F（－5，0）；（2）经过点A（2，－3）【例3】直线y=x－3与抛物线y2=4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形A PQB的面积为（）A．48 B．56 C．64 D．72【例4】斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段A B 的长．【基础达标】1．抛物线y 2=ax （a ≠0）的准线方程是 （ ） A ．4a x =-B ．4ax = C ．4a x =- D ．4a x = 2．抛物线的顶点在原点，对称轴为 x 轴，焦点在直线 3x －4y －12=0上，此抛物线的方程是（ ） A ．y 2=16x B ．y 2=12x C ．y 2=－16x D ．y 2=－12x 3．焦点在直线 3x －4y －12=0上的抛物线标准方程是（ ） A ．y 2=16x 或 x 2=16y B ．y 2=16x 或 x 2=12y C ．x 2=－12y 或 y 2=16x D ．x 2=16y 或 y 2=－12x4．已知 M （m ，4）是抛物线 x 2=ay 上的点，F 是抛物线的焦点，若|MF |=5，则此抛物线的焦点坐标是（ ）A ．（0，－1）B ．（0，1）C ．（0，－2）D ．（0，2） 5．过抛物线 y 2=4x 的焦点 F 作倾斜角为34π的直线交抛物线于 A 、B 两点，则 A B 的长是（ ） A ．42 B ．4 C ．8 D ．26．顶点在原点，焦点在 y 轴上，且过点 P （4，2）的抛物线方程是 ． 7．平面上的动点P 到点 A （0，－2）的距离比到直线 l ：y =4的距离小 2，则动点P 的轨迹方程 是 ．1～5 AACBC【能力提高】8．点M 到点（0，8）的距离比它到直线 y =－7的距离大 1，求 M 点的轨迹方程．9．抛物线 y 2=16x 上的一点 P 到 x 轴的距离为 12，焦点为 F ，求｜PF ｜的值．10．抛物线拱桥跨度为52米，拱顶离水面6.5米，一竹排上有一4米宽6米高的大木箱，问此木排能否安全通过此桥?§2.3.2 抛物线的简单几何性质（一）【知识要点】● 抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；● 能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论；注意数与形的结合．【例题精讲】【例 1】已知抛物线关于x 轴为对称轴，它的顶点在坐标原点，并且经过点()2,22M -，求它的标准方程．xy O【例2】过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于A、B两点，求证：以A B为直径的圆和这抛物线的准线相切．【例3】正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2=2px()0p>上，求这个正三角形的边长．【例４】抛物线x2=4y的焦点为F，过点（0，－1）作直线L交抛物线A、B两点，再以A F、BF为邻边作平行四边形F ARB，试求动点R的轨迹方程．【基础达标】1．过抛物线 y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y 两点，如果126x x +=，那么|AB | =（ ）A ．10B ．8C ．6D ．42．顶点在原点，焦点在 y 轴上，且过点 P （4，2）的抛物线方程是（ ） A ．x 2=8y B ．x 2=4y C ．x 2=2y D ．x 2=12y 3．已知 M 为抛物线y 2=4x 上一动点，F 为抛物线的焦点，定点 P （3，1），则MP MF +的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．64．已知抛物线 y 2=－12x 上一点 P (x 0，y 0)到焦点的距离为 8，则 x 0的值为（ ） A ．－5 B ．5 C ．－4 D ．45．抛物线 y 2=8x 上一点 P 到顶点的距离等于它们到准线的距离，这点坐标是（ ） A ．()2,4 B ．()2,4± C ．()1,22 D ．()1,22± 6．抛物线 2y 2＋5x =0 的准线方程是 ．7．过抛物线焦点 F 的直线与抛物线交于 A 、B 两点，若 A 、B 在准线上的射影是 A 2，B 2，则∠A 2FB 2等于 ．1～5 BABAD【能力提高】8．抛物线顶点在原点，它的准线经过双曲线22221x y a b-=的一个焦点，并且这条准线与双曲线的实轴垂直，又抛物线与双曲线交于点362⎛⎫ ⎪⎝⎭，，求二者的方程．9．顶点在坐标原点，焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为15，求抛物线的方程．p>的焦点F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准10．设抛物线y2=2px()0线上，且B C∥轴．证明：直线AC经过原点O．§2.3.2 抛物线的简单几何性质（二）【例题精讲】【例１】过抛物线y2=2x的顶点作互相垂直的二弦O A、OB．（1）求A B中点的轨迹方程．（2）证明：AB与x轴的交点为定点．【例２】已知点 A （2，8），B （x 1，y 1），C （x 2，y 2）在抛物线 y 2=2px 上，△ABC 的重心与此抛 物线的焦点 F 重合．（1）写出该抛物线的方程和焦点F 的坐标； （2）求线段BC 中点 M 的坐标； （3）求 B C 所在直线的方程．【例 3】抛物线 y =－x 2上的点到直线 4x +3y －8=0距离的最小值是（ ）A ．43 B ．75 C ．85D ．3【基础达标】1．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线 3x －4y －12=0时，则此抛物线的方 程是（ ）A ．y 2=16xB ．x 2=－12yC ．y 2=8x 或x 2=－6yD ． y 2=16x 或x 2=－12y 2．抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，点()5,25-到焦点距离是6，则抛物线的方程为（ ） A ．y 2=－4x B 、y 2=－2x C 、 y 2=2x D 、 y 2=－4x 或x 2=－36y 3．在抛物线 y =x 2上有三点 A 、B 、C ，其横坐标分别为－1，2，3，在y 轴上有一点D 的纵坐标为 6，那么以 A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是（ ）A ．正方形B ．平行四边形C ．菱形D ．任意四边形4．抛物线 y 2=4x 的焦点F ，准线为l ，交 x 轴于 R ，过抛物线上一点 P （4，4）作 P Q ⊥ l 于Q ，则梯形 PFRQ 的面积是（ ）A ．12B ．14C ．16D ．18 5．抛物线 y 2=－4x 关于直线 x +y =2对称的曲线的顶点坐标为（ ）A ．（2，2）B ．（0，0）C ．（－2，－2）D ．（2，0） 6．若动点M （x ，y ）到点F （4，0）的距离比它到直线x +5=0的距离小1，则M 点的轨迹方程 是 ．7．抛物线y 2=4x 的弦AB 垂直于x 轴，若AB 的长为43，则焦点到AB 的距离为 ．1～5 DABBA【能力提高】8．经过抛物线 y 2=－8x 的焦点且和抛物线的对称轴成 60°角的直线与抛物线交 A 、B 两点，求|AB |．9．求过A（－1，1），且与抛物线y=x2+2有一个公共点的直线方程．10．已知抛物线C：y=x2+4x+72，过C上一点M，且与M处的切线垂直的直线称为C在点M的法线．若C在点M的法线的斜率为12-，求点M的坐标（x0，y0）．第二章圆锥曲线复习（一）【知识要点】●椭圆定义，椭圆的标准方程，椭圆的性质．●双曲线的定义，双曲线的标准方程及特点，双曲线的几何性质．●抛物线定义，抛物线的几何性质．【例题精讲】【例1】椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且这个焦点到长轴上较近顶点的距离是105-，求椭圆方程．【例 2】已知双曲线2214x y -=和定点12,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭． （Ⅰ）过 P 点可以做几条直线与双曲线 C 只有一个公共点；（Ⅱ）双曲线C 的弦中，以 P 点为中点的弦 P 1P 2是否存在? 并说明理由．【例 3】已知点 A （0，2）及椭圆22+14x y =，在椭圆上求一点 P 使PA 的值最大．【例 4】己知点P 在抛物线 x 2=y 上运动，Q 点的坐标是（－1，2），O 是原点，OPQR （O 、P 、Q 、R顺序按逆时针）是平行四边形，求 R 点的轨迹方程．【基础达标】1．平面上到定点 A (1，1)和到定直线 l ：x +2 y =5距离相等的点的轨迹为（ ）A．直线B．抛物线C．双曲线D．椭圆2．若椭圆2kx2＋ky2=1 的一个焦点坐标是（0，4），则k的值为（）A．18B．132C．2D．3163．椭圆22+1259x y=上的点M到焦点F1的距离是2，N是M F1的中点，则ON为（）A．4 B．2 C．8 D．3 24．如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么该双曲线的离心率为（）A．32B．62C．32D．25．椭圆22+1259x y=的两焦点F1，F2，过F2引直线L交椭圆于A、B两点，则△ABF1的周长为（）A．5 B．15 C．10 D．206．在抛物线y2=2px上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为．7．若椭圆的两个焦点为F1(－4，0)、F2(4，0)，椭圆的弦A B过点F1，且△ABF2的周长为20，那么该椭圆的方程为．1～5 BBACD【能力提高】8．若双曲线的两条渐进线的夹角为60°，求该双曲线的离心率．9．正方形的一条边A B在直线y=x+4上，顶点C、D在抛物线y2=x上，求正方形的边长．10．若椭圆x2+4（y－a）2=4与抛物线x2=2y有公共点，求实数a的取值范围．第二章 圆锥曲线复习（二）【例题精讲】【例 1】已知直线 l 交椭圆22+12016x y =于 M 、N 两点，B （0，4）是椭圆的一个顶点，若△BMN 的重心恰是椭圆的右焦点，求直线 l 的方程．【例 2】已知倾斜角为4π的直线 l 被双曲线 x 2－4y 2=60截得的弦长82AB =，求直线l 的方程及以AB 为直径的圆的方程．【例 3】已知直线l ：x =－1，点F （1，0），以F 为焦点，l 为准线的椭圆中，短轴一端点为B ，P为FB 的中点．（Ⅰ）求 P 点的轨迹方程，并说明它是什么曲线； （Ⅱ）M （m ，0）为定点，求｜PM ｜的最小值．【例 4】已知两定点A （－2，0），B （1，0），如果动点P 满足2PA PB =，求点P 的轨迹所包围的图形的面积．【基础达标】1．已知 M （－2，0），N （2，0），4P M P N -=，则动点P 的轨迹是（ ）A ．双曲线B ．双曲线左支C ．一条射线D ．双曲线右支2．若圆 x 2+y 2=4上每个点的横坐标不变．纵坐标缩短为原来的13，则所得曲线的方程是（ ） A ．22+1412x y = B ．22+1436x y = C ．229+144x y = D ．22+1364x y = 3．已知 F 1，F 2是椭圆22+1169x y =的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于点A ，B ，若5AB =，则12AF BF -=（ ）A ．3B ．8C ．13D ．164．曲线()()22346225x y x y ---+-=的离心率为（ ） A ．110 B ．12C ．2D ．无法确定5．抛物线y2=14x 关于直线x－y=0对称的抛物线的焦点坐标是（）A．（1，0）B．116⎛⎫⎪⎝⎭，C．（0，1）D．116⎛⎫⎪⎝⎭，6．与椭圆4x2+ 9y2=36有相同的焦点，且过点(－3，2)的椭圆方程为．7．以双曲线22145x y-=的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是．1～5 C CABD 【能力提高】8．设F1，F2为双曲线2214xy-=的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°，求△F1PF2的面积．9．设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，求直线l的斜率的取值范围．10．设椭圆22+162x y=和双曲线2213xy-=的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个公共点，求cos∠F1PF2的值．。
人教版高中数学选修1-1 2.1.1椭圆及其标准方程 优质课件
(3)找关系：依据已知条件，建立关于 a，b，c 或 m，n 的方程组；
(4)得方程：解方程组，将 a，b，c 或 m，n 代入所设方 程即为所求.
方法二 设椭圆的一般方程为 Ax2＋By2＝1(A>0，B>0， A≠B)．将两点(2，－ 2)，(－1， 214)代入，
4A＋2B＝1 得A＋144B＝1
，解得AB＝＝1184
，
所以所求椭圆的标准方程为x82＋y42＝1.
椭圆的焦点三角形问题
例 3 如图所示，点 P 是椭圆y52＋x42＝1 上的一点，F1 和 F2 是焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2 的面积．
椭圆的标准方程 例 2 求经过两点 P1(13，13)， P2(0，－12)的椭圆的标准方程．
[分析] 求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”， 即要先判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆 的标准方程，最后由条件确定待定系数即可．
[解] 解法一：①当椭圆的焦点在 x 轴上时，设椭圆的 标准方程为xa22＋by22＝1(a>b>0)，
练 2 求经过两点(2，－ 2)，(－1， 214)的椭圆的标准 方程．
[解] 方法一 ＋by22＝1(a>b>0)．
若焦点在 x 轴上，设椭圆的标准方程为xa22
由已知条件得a42＋b22＝1 a12＋41b42＝1
，解得a12＝81 b12＝41
.
所以所求椭圆的标准方程为x82＋y42＝1.
人教版-高中数学选修1-1 椭圆
① 长轴长和短轴长分别为8和6，焦点在x轴上 ② 长轴和短轴分别在y轴，x轴上，经过P(-2,0)， Q(0,-3)两点. ③一焦点坐标为（－3，0）一顶点坐标为（0，5） ④两顶点坐标为（0，±6），且经过点（5，4） ⑤焦距是12，离心率是0.6，焦点在x轴上。
(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0)
(b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c)
长半轴长为a, 短半轴长为b.
a>b
c e a
a2=b2+c2
例1已知椭圆方程为9x2+25y2=225,
它的长轴长是：
10 。短轴长是：
范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率 a、b、c的 关系
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 a b
|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成 中心对称 (a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0) 长半轴长为a,短半轴长为b. a>b
o c
B1 (0,-b)
根据前面所学有关知识画出下列图形
x y 1 （1） 25 16
y
4 B2 3 2 1
2 2
x2 y2 1 （2） 25 4
y
4 3 B 2 2 1
A1
A2 x
A1
A2 x
-5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4
123 4 5
B1
-5 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 5 -2 -3 B1 -4
2. 已知椭圆的一个焦点为F（6，0）点B，C是短 轴的两端点，△FBC是等边三角形，求这个椭圆的 标准方程。
人教版高中数学高二选修1-1 椭圆及其标准方程
2.1.1 椭圆及其标准方程问题导学一、椭圆的定义及应用活动与探究1(1)椭圆x 225＋y 29＝1上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为( )A ．5B ．6C ．4D ．10(2)已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，在△AF 1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为______．迁移与应用 设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列，则|AB |＝______．椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程．因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解．椭圆上一点P 与椭圆的两焦点F 1，F 2构成的△F 1PF 2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识，对于求焦点三角形的面积，若已知∠F 1PF 2，可利用S ＝12ab sin C 把|PF 1||PF 2|看成一个整体，运用公式|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|及余弦定理求出|PF 1||PF 2|，而无需单独求出，这样可以减少运算量．二、椭圆的标准方程及应用活动与探究2求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，并且椭圆上一点P 与两焦点的距离的和等于10；(2)焦点分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,32)； (3)经过两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142．迁移与应用1．若方程x 25－k ＋y 2k －3＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则k 的取值范围是__________．2．两焦点坐标分别为(3,0)和(－3,0)且经过点(5,0)的椭圆的标准方程为__________．(1)利用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤可总结如下：①由焦点坐标确定方程是x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，还是y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)；②运用定义、平方关系等求出a ，b ． (2)当焦点不确定时，可设方程为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，且A ≠B )，这样可以避免讨论．三、焦点三角形问题活动与探究3如图所示，已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，若点P 在第二象限，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．迁移与应用已知P 是椭圆x 225＋y 29＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．四、与椭圆有关的轨迹问题活动与探究4(1)已知圆x 2＋y 2＝9，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ′，点M 在PP ′上，并且PM →＝2MP ′→，求点M 的轨迹．(2)已知在△ABC 中，|BC |＝6，周长为16，那么顶点A 在怎样的曲线上运动？迁移与应用如图，在圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝25内有一点A (1,0)，Q 为圆C 上一点，AQ 的垂直平分线与C ，Q 的连线交于点M ，求点M 的轨迹方程．解决与椭圆有关的轨迹问题，一般有两种方法： (1)定义法用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．(2)相关点法有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．用相关点法求轨迹方程的步骤：①设所求轨迹上的动点P (x ，y )，再设具有某种运动规律f (x ，y )＝0上的动点Q (x ′，y ′)；②找出P ，Q 之间坐标的关系，并表示为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝φ1x ，y ，y ′＝φ2x ，y ；③将x ′，y ′代入f (x ，y )＝0, 即得所求轨迹方程． 答案： 课前·预习导学 【预习导引】1．距离之和 常数 两个定点 两焦点间的距离 |MF 1|＋|MF 2|＝2a预习交流1 (1)提示：当2a ＝|F 1F 2|时，点M 的轨迹是线段F 1F 2；当2a ＜|F 1F 2|时，点M 的轨迹不存在．(2)提示：B2．x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0) F 1(－c,0)，F 2(c,0) F 1(0，－c )，F 2(0，c )a2＝b2＋c2预习交流2(1)提示：相同点：它们都有a＞b＞0，a2＝b2＋c2，焦距都是2c，椭圆上的点到两焦点距离的和均为2a．方程右边为1，左边是两个非负分式的和，并且分母不相等．不同点：两类椭圆的焦点位置不同，即焦点所在坐标轴不同，因此焦点坐标也不相同，焦点在x轴上的椭圆两焦点坐标分别为(－c,0)和(c,0)，焦点在y轴上的椭圆两焦点坐标分别为(0，－c)和(0，c)．当椭圆焦点在x轴上时，含x2项的分母大；当椭圆焦点在y轴上时，含y2项的分母大．(2)提示：534(4,0)，(－4,0)课堂·合作探究【问题导学】活动与探究1(1)思路分析：求出a→|PF1|＋|PF2|＝2a>|F1F2|→求出P到另一个焦点的距离A解析：点P到椭圆的两个焦点的距离之和为2a＝10,10－5＝5．(2)思路分析：结合图形，利用定义求第三边．6解析：由已知a2＝16，a＝4．从而由椭圆定义得|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，|BF1|＋|BF2|＝2a＝8，∴△AF1B的周长为|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝16．又知三角形有两边之和为10，∴第三边的长度为6．迁移与应用43解析：由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，所以|AB|＝43．活动与探究2思路分析：(1)由已知可得a，c的值，由b2＝a2－c2可求出b，再根据焦点位置写出椭圆的方程．(2)利用两点间的距离公式求出2a ，再写方程；也可用待定系数法．(3)利用待定系数法，但需讨论焦点的位置．也可利用椭圆的一般方程Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0， A ≠B )直接求A ，B 得方程．解：(1)由题意可知椭圆的焦点在x 轴上，且c ＝4，2a ＝10， 所以a ＝5，b ＝a 2－c 2＝25－16＝3．所以椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1．(2)(方法一)因为椭圆的焦点在y 轴上， 所以可设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由椭圆的定义知2a ＝(4－0)2＋(32＋2)2＋(4－0)2＋(32－2)2＝12，所以a ＝6． 又c ＝2，所以b ＝a 2－c 2＝42． 所以椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1．(方法二)因为椭圆的焦点在y 轴上， 所以可设其标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧18a 2＋16b 2＝1，a 2＝b 2＋4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝36，b 2＝32.所以椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1．(3)(方法一)若椭圆的焦点在x 轴上， 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由已知条件得⎩⎨⎧4a 2＋2b 2＝1，1a 2＋144b 2＝1，解得⎩⎨⎧1a 2＝18，1b 2＝14.所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1．同理可得：焦点在y 轴上的椭圆不存在．综上，所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1．(方法二)设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，A ≠B )． 将两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142代入， 得⎩⎪⎨⎪⎧4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝18，B ＝14，所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1．迁移与应用1．(3,4) 解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧5－k >k －3，k －3>0，解得3＜k ＜4．2．x 225＋y 216＝1 解析：易知c ＝3，a ＝5，则b 2＝a 2－c 2＝16． 又椭圆的焦点在x 轴上， ∴所求椭圆的方程为x 225＋y 216＝1．活动与探究3 思路分析：由余弦定理和椭圆定义分别建立|PF 1|，|PF 2|的方程，求出|PF 1|，|PF 2|后，再求△PF 1F 2的面积．解：由已知a ＝2，b ＝3， 所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1，|F 1F 2|＝2c ＝2，在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|cos 120°， 即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|，① 由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4， 即|PF 2|＝4－|PF 1|，② 将②代入①解得|PF 1|＝65．∴12PF F S ∆＝12|PF 1|·|F 1F 2|·sin 120°＝12×65×2×32＝335，即△PF1F2的面积是353．迁移与应用解：在椭圆x225＋y29＝1中，a＝5，b＝3，c＝4，则|F1F2|＝8，|PF1|＋|PF2|＝10．①由余弦定理，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos 60°＝64．②①2－②得|PF1||PF2|＝12．∴S＝12|PF1|·|PF2|·sin 60°＝12×12×32＝33．活动与探究4(1)思路分析：先设出M的坐标(x，y)，用x，y表示出点P的坐标代入圆方程即可．解：设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则x0＝x，y0＝3y．因为P(x0，y0)在圆x2＋y2＝9上，所以x20＋y20＝9．将x0＝x，y0＝3y代入圆方程，得x2＋9y2＝9．即x29＋y2＝1．又y≠0，所以点M的轨迹是一个椭圆，且除去(3,0)和(－3,0)两点．(2)思路分析：利用椭圆的定义解决，最后要注意检验．解：由|AB|＋|BC|＋|AC|＝16，|BC|＝6，可得|AB|＋|AC|＝10＞6＝|BC|，故顶点A在以B，C为焦点，到两焦点距离的和等于10的一个椭圆上运动，且除去BC 直线与椭圆的两个交点．迁移与应用解：由题意知M 在线段CQ 上，从而有|CQ |＝|MQ |＋|MC |． 又M 在AQ 的垂直平分线上，连接AM ，则|MA |＝|MQ |， ∴|MA |＋|MC |＝|CQ |＝5＞|AC |＝2．∴M 的轨迹是以C (－1,0)，A (1,0)为焦点的椭圆，且2a ＝5， ∴a ＝52，c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝214．∴M 的轨迹方程为x 2254＋y 2214＝1，即4x 225＋4y 221＝1．当堂检测1．设P 是椭圆22=12516x y +上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( ) A ．4 B ．5 C ．8 D ．10 答案：D 解析：由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ． ∵a 2＝25，∴2a ＝10． ∴|PF 1|＋|PF 2|＝10．2．椭圆22=1167x y +的焦点坐标为( ) A ．(－4,0)和(4,0) B ．(0，)和(0) C ．(－3,0)和(3,0) D ．(0，－9)和(0,9)答案：C 解析：由已知椭圆的焦点在x 轴上，且a 2＝16，b 2＝7， ∴c 2＝9，c ＝3．∴椭圆的焦点坐标为(－3,0)和(3,0)．3．已知椭圆的焦点是F 1，F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．无法确定答案：A解析：由题意得|PF1|＋|PF2|＝2a(a为大于零的常数，且2a＞|F1F2|)，|PQ|＝|PF2|，∴|PF1|＋|PF2|＝|PF1|＋|PQ|＝2a，即|F1Q|＝2a．∴动点Q到定点F1的距离等于定长2a，故动点Q的轨迹是圆．4．已知P是椭圆22=12516x y+上一点，F1，F2为焦点，且∠F1PF2＝90°，则△PF1F2的面积是______．答案：16解析：由椭圆定义知：|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，①又∵∠F1PF2＝90°，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2＝36．②①2－②得|PF1|·|PF2|＝32．∴S＝12|PF1|·|PF2|＝16．5．已知椭圆22=1259x y+上一点M到左焦点F1的距离为6，N是MF1的中点，则|ON|＝______．答案：2解析：设右焦点为F2，连接F2M，∵O为F1F2的中点，N是MF1的中点，∴|ON|＝12|MF2|．又∵|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，|MF1|＝6，∴|MF2|＝4，∴|ON|＝2．。
人教版高二数学选修1-1《椭圆及标准方程、几何性质》
椭圆及标准方程、几何性质一、椭圆定义及标准方程【知识要点】 1. 椭圆的定义第一定义：平面内,到两定点21,F F 距离之和等于定长（大于21F F ）的点的轨迹叫椭圆. 第二定义：平面内与一定点F 和一条定直线)(l F l ∉的距离之比是常数))1,0((∈e e 的点的轨迹叫椭圆. 2. 椭圆的方程(1)标准方程: )0(12222>>=+b a b y a x 或 )0(12222>>=+b a by a y(2)一般方程：),0,0(122B A B A By Ax ≠>>=+ 【基础训练】1．已知点)2,0(1-F ,)2,0(2F ，动点P 满足621=+PF PF ，则动点P 的轨迹是（ ） A.椭圆B.双曲线C.线段D.射线2．已知椭圆192522=+y x 上一点P 到椭圆一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ） A.2B.3C.4D.53．到两定点)0,2(),0,2(B A -的距离之和为8的动点的轨迹方程为 。
4．两个焦点的坐标分别为)0,2(),0,2(-，并且经过)3,2(的椭圆的标准方程是 。
【典例精析】例1．【标准方程的识别】方程13522=++-my m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的范围是（ ）A.53<<-mB.51<<mC.13<<-mD.43<<-m 例2．【求标准方程】根据下列条件分别求出椭圆的的方程. (1)和椭圆364922=+y x 有相同的焦点,经过点)3,2(-Q .(2)中心在原点,焦点在x 轴上,从一个焦点看短轴的两端点的视角为直角且这个焦点到长轴上较近的顶点的距离为510-.例3．（2011全国）在平面直角坐标系中，椭圆C 的中心为原点，焦点21,F F 在x 轴上，离心率为22 过点1F 的直线l 交C 于B A ,两点，且2ABF ∆的周长为16，那么C 的方程为 。
2021-2022高二人教版数学选修1-1练习：2.1.1椭圆及其标准方程 Word版含答案
►基础梳理1．椭圆的定义及标准方程．(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两点间的距离叫做椭圆的焦距．(2)椭圆的标准方程(请同学们自己填写表中空白的内容)：焦点在x 轴上 焦点在y 轴上标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)焦点 (±c ，0) (0，±c )a ，b ，c 的关系：c 2＝a 2－b 22.只有当||PF 1＋||PF 2＝2a >||F 1F 2时，点P 的轨迹才是椭圆； 当||PF 1＋||PF 2＝2a ＝||F 1F 2时，点P 的轨迹是线段F 1F 2； 当||PF 1＋||PF 2＝2a <||F 1F 2时，点P 的轨迹不存在． 3．正确理解椭圆的两种标准形式． (1)要熟记a ，b ，c 三个量的关系．椭圆方程中，a 表示椭圆上的点M 到两焦点间距离和的一半，正数a ，b ，c 恰构成一个直角三角形的三条边，a 是斜边，所以a ＞b ，a ＞c ，且a 2＝b 2＋c 2，其中c 是焦距的一半，叫做半焦距．(2)通过标准方程可以推断焦点的位置，其方法是：看x 2，y 2的分母大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上．4．用待定系数法求椭圆标准方程的步骤．(1)作推断：依据条件推断椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上． (2)设方程：①依据上述推断设方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1或x 2b 2＋y 2a2＝1．②在不能确定焦点位置的状况下也可设mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0且m ≠n )． (3)找关系，依据已知条件，建立关于a ，b ，c 或m ，n 的方程组． (4)解方程组，代入所设方程即为所求．,►自测自评1．到两定点F 1(－4，0)和F 2(4，0)的距离之和为8的点M 的轨迹是线段F 1F 2．2．椭圆的焦点坐标为(4，0)，(－4，0)，椭圆上一点到两焦点的距离之和为10，则椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1． 3．已知a ＝4，c ＝3，焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为x 27＋y 216＝1．4．椭圆x 225＋y 29＝1的焦点坐标为(4，0)，(－4，0)．1．已知两定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，点P 是平面上一动点，且|PF 1|＋|PF 2|＝6，则点P 的轨迹是(C ) A ．圆 B ．直线 C ．椭圆 D ．线段2．若椭圆的两焦点为(－2，0)，(2，0)，且过点⎝⎛⎭⎫52，－32，则该椭圆的方程是(D ) A.y 28＋x 24＝1 B.y 210＋x26＝1 C.y 24＋x 28＝1 D.y 26＋x 210＝1 解析：由题意知，所求椭圆的焦点在x 轴上，可以排解A 、B ；再把点⎝⎛⎭⎫52，－32代入方程，可知应选D. 3．过椭圆4x 2＋2y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一焦点F 2构成△ABF 2，那么△ABF 2的周长是______．答案：2 24．写出适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)a ＝4，b ＝3焦点在x 轴上； (2)a ＝5，c ＝2焦点在y 轴上；(3)求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过点⎝⎛⎭⎫63，3和点⎝⎛⎭⎫223，1.答案：(1)x 216＋y 29＝1；(2)y 225＋x 221＝1；(3)x 2＋y 29＝1.5．设F 1、F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1，(a ＞b ＞0)的左右两焦点，若椭圆C上的点A ⎝⎛⎭⎫1，32到F 1、F 2两点的距离之和为4，求椭圆C 的方程及焦点坐标．解析：椭圆C 的焦点在x 轴上，由椭圆上的点A 到F 1，F 2两点的距离之和是4，得2a ＝4，即a ＝2.又A ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆C 上， ∴122＋⎝⎛⎭⎫322b 2＝1，解得b 2＝3. ∴c 2＝a 2－b 2＝1.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，焦点坐标为F (±1，0)．。
人教新课标A版高二数学《选修1-1》2.1.1 椭圆及其标准方程(二)
1 1 6 3 ∴S＝ |PF1|·|F1F2|·sin 120°＝ × ×2× 2 2 5 2 3 3 ＝ ， 5 3 即△PF1F2 的面积是 3. 5
题目类型二、利用椭圆的定义求轨迹方程
例2.已知动圆M过定点A(－3,0)，并且内切于定圆 B：(x －3)2＋y2＝64，求动圆圆心M的轨迹方程． [策略点睛]
2 所以 x2 0＋y0＝9.
将 x0＝x，y0＝3y 代入，得 x2＋9y2＝9， x2 2 即 ＋y ＝1. 9 所以点 M 的轨迹是一个椭圆．
3.如图所示，圆x2＋y2＝1上任意的一点P，过点P作x轴 的 垂 线 段 PP′ ， P′ 为 垂 足 ， M 为 直 线 PP′ 上 一 点 ， 且 |P′M|＝ λ|PP′|(λ为大于零的常数 ) ．当点 P在圆上运动时， 点M的轨迹是什么？为什么？
y2 x2 解：在椭圆 ＋ ＝1 中， 5 4 a＝ 5，b＝2， ∴c＝ a2－b2＝1. 又∵P 在椭圆上， ∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝2 5① 由余弦定理知：|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 30° ＝|F1F2|2＝(2c)2＝4② ①式两边平方，得
|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝20③ ③－②，得(2＋ 3)|PF1|·|PF2|＝16， ∴|PF1|·|PF2|＝16(2－ 3)， 1 ∴S＝ |PF1|·|PF2|·sin 30°＝8－4 3. 2
解：设 M(x，y)，P(x0，y0)， ∵PP′⊥ห้องสมุดไป่ตู้ 轴，且|P′M|＝λ|PP′|， 1 ∴x＝x0，y＝λy0，即 x0＝x，y0＝ y. λ 2 ∵点 P(x0，y0)在圆 x2＋y2＝1 上，∴x2 0＋y0＝1. 2 1 y 把 x0＝x，y0＝ y 代入上式得：x2＋ 2＝1. λ λ 当 0<λ<1 时，点 M 的轨迹是焦点在 x 轴上的椭圆；
人教版数学高二同步文科选修1-1第二章椭圆及其标准方程(共35张)
由椭圆的定义可知，点的集合 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}(其 中|F1F2|＝2c)表示的轨迹有三种情况：当 a>c 时，集合 P 为椭圆； 当 a＝c 时，集合 P 为线段 F1F2；当 a<c 时，集合 P 为空集．在 利用椭圆的定义判断有关点的轨迹问题时一定要注意所给常数 与已知两定点之间距离的大小关系．因为椭圆上的点与两个焦点 构成一个三角形，所以可联系三角形两边之和大于第三边来帮助 记忆．
[解] (1)由焦点坐标知焦点在 x 轴上，且参数 c＝4，由 P 到 两焦点的距离之和是 10，得 a＝5，则 b2＝9，
∴椭圆的方程为2x52 ＋y92＝1. (2)由题意得 a＝2，b＝1，且焦点在 y 轴上，所以椭圆方程 为y42＋x2＝1.
求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，即要先判断 焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程，最 后由条件确定待定系数即可．当所求椭圆的焦点位置不能确定 时，应按焦点在 x 轴上和焦点在 y 轴上进行分类讨论，但要注意 a>b>0 这一条件．当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时， 把椭圆的方程设成 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式有两个 优点：(1)列出的方程组中分母不含字母；(2)不用讨论焦点所在的 坐标轴，从而简化求解过程．
[跟踪训练] 已知椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)，F1，F2 是它的焦点．过 F1 的直 线 AB 与椭圆交于 A、 ∵|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a， 又∵△ABF2 的周长＝|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2| ＋|BF2|＝4a， ∴△ABF2 的周长为 4a.
3.用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置， 可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解； 也可设 Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)求解，避免分类讨论，达 到了简化运算的目的．
人教新课标版数学高二选修1-1练习2-1-1椭圆及其标准方程(2)
1．设定点F 1(0，－3)，F 2(0,3)，动点P (x ，y )满足条件|PF 1|＋|PF 2|＝a (a >0)，则动点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．线段C ．椭圆、线段或不存在D ．不存在 [答案] C[解析] 当a >|F 1F 2|＝6时，动点P 的轨迹为椭圆； 当a ＝|F 1F 2|＝6时，动点P 的轨迹为线段； 当a <|F 1F 2|＝6时，动点P 的轨迹不存在．5．椭圆mx 2＋ny 2＋mn ＝0(m <n <0)的焦点坐标是( ) A ．(0，±m －n ) B ．(±m －n ，0) C ．(0，±n －m ) D ．(±n －m ，0) [答案] C[解析] 椭圆方程mx 2＋ny 2＋mn ＝0可化为x 2－n ＋y2－m＝1，∵m <n <0，∴－m >－n ，椭圆的焦点在y 轴上，排除B 、D ， 又n >m ，∴m －n 无意义，排除A ，故选C.6．若△ABC 的两个焦点坐标为A (－4,0)、B (4,0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为( )A.x 225＋y 29＝1B.y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.x 216＋y 29＝1(y ≠0) D.x 225＋y 29＝1(y ≠0) [答案] D[解析] |AB |＝8，|AC |＋|BC |＝10>|AB |，故点C 轨迹为椭圆且两焦点为A 、B ，又因为C 点的纵坐标不能为零，所以选D.7．点P 为椭圆x 25＋y 24＝1上一点，以点P 以及焦点F 1、F 2为顶点的三角形的面积为1，则P 点的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫±152，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫152，±1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫152，1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫±152，±1 [答案] D[解析] S △PF 1F 2＝12×|F 1F 2|·|y P | ＝12×2×|y P |＝1，∴|y P |＝1，y P ＝±1，代入椭圆方程得，x P ＝±152.10．AB 为过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中心的弦，F (c,0)为椭圆的左焦点，则△AFB 的面积最大值是( )A ．b 2B ．bcC ．abD ．ac[答案] B[解析] S △ABF ＝S △AOF ＋S △BOF ＝12|OF |·|y A －y B |，当A 、B 为短轴两个端点时，|y A －y B |最大，最大值为2b . ∴△ABF 面积的最大值为bc .13．(2009·上海文，12)已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.[答案] 3[解析] 本题考查椭圆的定义及整体代换的数学思想． 由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2，又∵PF 1→⊥PF 2→，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2， ∴2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2－4c 2＝4b 2，∴|PF 1|·|PF 2|＝2b 2，S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝b 2＝9，∴b ＝3.14．椭圆x 212＋y 23＝1的两个焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 1|是|PF 2|的____________倍．[答案] 7 [解析] 如图，PF 1的中点M 在y 轴上，O 为F 1F 2的中点， ∴OM ∥PF 2，∴PF 2⊥x 轴，|PF 2|＝b 2a ＝32， |PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝43， ∴|PF 1|＝43－32＝723＝7|PF 2|.16．已知点P (x 0，y 0)是椭圆x 28＋y 24＝1上一点，A 点的坐标为(6,0)，求线段PA 中点M 的轨迹方程．[解析] 设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋62＝x ，y 0＋02＝y ，∴⎩⎨⎧x 0＝2x －6，y 0＝2y .∵点P 在椭圆x 28＋y 24＝1上，∴x 208＋y 204＝1.把⎩⎨⎧x 0＝2x －6，y 0＝2y代入x 208＋y 204＝1，得(2x －6)28＋(2y )24＝1，即(x －3)22＋y 2＝1为所求．18．若长度为8的线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上滑动，点M 在AB 上且AM→＝2MB →，求点M 的轨迹方程． [解析] 设A (x 0,0)、B (0，y 0)、M (x ，y )，∵AM →＝2MB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋2×01＋2，y ＝0＋2y1＋2.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x ，y 0＝32y .∵|AB |＝8，∴x 20＋y 20＝8.∴x 20＋y 20＝64.把x 0＝3x ，y 0＝32y 代入x 20＋y 20＝64，得(3x )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3y 22＝64，即964x 2＋9256y 2＝1为点M 的轨迹方程．。
人教新课标版数学高二B版选修1-1素材 预习导航 椭圆及其标准方程
预习导航
1．椭圆的定义
思考1椭圆的定义中去掉限制条件后，动点M的轨迹还是椭圆吗？
提示：不一定是．当2a＜|F1F2|时，动点M的轨迹不存在．当2a＝|F1F2|时，动点M的轨迹为线段F1F2.
2．椭圆的标准方程
提示：椭圆的标准方程的几何特征是中心在坐标原点，焦点在坐标轴上．椭圆的标准方程的代数特征是方程的右边为1，左边是平方和的形式，并且分母为不相等的正数．思考3如何根据椭圆的标准方程确定焦点的位置？
提示：依据分母的大小来判断．焦点所在轴的对应分母大．
特别提醒在已知椭圆的标准方程解题时，应特别注意a＞b＞0这个条件．。
人教新课标版数学高二B版选修1-1优化训练 椭圆及其标准方程
1．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( ) A ．4 B ．5C ．8D ．10答案：D2．椭圆x 216＋y 225＝1的焦点坐标是( ) A ．(±4,0) B ．(0，±4)C ．(±3,0)D ．(0，±3)答案：D3．已知椭圆的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且2a ＝6，则椭圆的标准方程为________．答案：x 29＋y 28＝1 4．已知B 、C 是两定点，|BC |＝8，且△ABC 的周长等于18，求这个三角形顶点A 的轨迹方程．解：以过B 、C 两点的直线为x 轴，线段BC 的中点为原点，建立平面直角坐标系(图略)． 由|BC |＝8，可设B (－4,0)，C (4,0)．由|AB |＋|BC |＋|AC |＝18，得|AB |＋|AC |＝10>|BC |＝8.因此，点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和为2a ＝10，即a ＝5，且点A 不能在x 轴上．由a ＝5，c ＝4，得b 2＝9.所以A 点的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．一、选择题1．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P (2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为( ) A.x 24＋y 23＝1 B.x 24＋y 2＝1 C.y 24＋x 23＝1 D.y 24＋x 2＝1 解析：选A.c ＝1，a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3.∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. 2．椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为F 1、F 2，AB 是椭圆过焦点F 1的弦，则△ABF 2的周长是( ) A ．20 B ．12C ．10D ．6解析：选A.∵AB 过F 1，∴由椭圆定义知 ⎩⎪⎨⎪⎧|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，∴|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝4a ＝20.3．椭圆x 225＋y 2＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为( ) A ．5 B ．6C ．7D ．8解析：选D.设到另一焦点的距离为x ，则x ＋2＝10，x ＝8.4．已知椭圆x 2a 2＋y 22＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是( ) A.x 24＋y 22＝1 B.x 23＋y 22＝1 C ．x 2＋y 22＝1 D.x 26＋y 22＝1 解析：选D.由题意知a 2－2＝4，∴a 2＝6.∴所求椭圆的方程为x 26＋y 22＝1. 5．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于( ) A ．4 B ．5C ．7D ．8解析：选D.焦距为4，则m －2－(10－m )＝⎝⎛⎭⎫422，∴m ＝8.6．椭圆的两焦点为F 1(－4,0)、F 2(4,0)，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2的面积最大为12，则椭圆方程为( )A.x 216＋y 29＝1B.x 225＋y 29＝1 C.x 225＋y 216＝1 D.x 225＋y 24＝1 解析：选B.S △PF 1F 2＝12×8b ＝12，∴b ＝3， 又∵c ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝25，∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1. 二、填空题7．椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为________．解析：∵2a ＝8，∴a ＝4，∵2c ＝215，∴c ＝15，∴b 2＝1.即椭圆的标准方程为y 216＋x 2＝1. 答案：y 216＋x 2＝1 8．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin C sin B＝________. 解析：由题意知，|AC |＝8，|AB |＋|BC |＝10.所以，sin A ＋sin C sin B ＝|BC |＋|AB ||AC |＝108＝54. 答案：549．若方程x 25－k ＋y 2k －3＝1表示椭圆，则k 的取值范围是________． 解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 5－k >0，k －3>0，5－k ≠k －3，解得3<k <5且k ≠4.答案：3<k <5且k ≠4三、解答题10．已知椭圆8x 281＋y 236＝1上一点M 的纵坐标为2. (1)求M 的横坐标；(2)求过M 且与x 29＋y 24＝1共焦点的椭圆的方程． 解：(1)把M 的纵坐标代入8x 281＋y 236＝1，得8x 281＋436＝1，即x 2＝9. ∴x ＝±3.即M 的横坐标为3或－3.(2)对于椭圆x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上且c 2＝9－4＝5，故设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1(a 2>5)，把M 点坐标代入得9a 2＋4a 2－5＝1，解得a 2＝15. 故所求椭圆的方程为x 215＋y 210＝1. 11．已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4,3)．若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程．解：设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 设焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)．∵F 1A ⊥F 2A ，∴F 1A →·F 2A →＝0，而F 1A →＝(－4＋c,3)，F 2A →＝(－4－c,3)，∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0，∴c 2＝25，即c ＝5.∴F 1(－5,0)，F 2(5,0)．∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝ (－4＋5)2＋32＋ (－4－5)2＋32 ＝10＋90＝410.∴a ＝210，∴b 2＝a 2－c 2＝(210)2－52＝15.∴所求椭圆的标准方程为x 240＋y 215＝1.12．已知椭圆的两焦点为F1(－1,0)、F2(1,0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|.(1)求此椭圆方程；(2)若点P满足∠F1PF2＝120°，求△PF1F2的面积．解：(1)由已知得|F1F2|＝2，∴|PF1|＋|PF2|＝4＝2a，∴a＝2.∴b2＝a2－c2＝4－1＝3，∴椭圆的标准方程为x24＋y23＝1.(2)在△PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 120°，即4＝(|PF1|＋|PF2|)2－|PF1||PF2|，∴4＝(2a)2－|PF1||PF2|＝16－|PF1||PF2|，∴|PF1||PF2|＝12，∴S△PF1F2＝12|PF1||PF2|sin120°＝12×12×32＝3 3.。
人教新课标版数学高二B版选修1-1课时作业7 椭圆及其标准方程
课时分层作业(七)椭圆及其标准方程(建议用时：40分钟)1．已知椭圆x210－m＋y2m－2＝1的长轴在y轴上．若焦距为4，则m等于()A．4B．7C．5D．8 D2．已知椭圆x28＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，则|PF1|·|PF2|的最大值是()A．8 B．2 2 C．10 D．4 2A4．若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为()【导学号：73122098】A.x25＋y2＝1B.x24＋y25＝1C.x25＋y2＝1或x24＋y25＝1D.以上答案都不对C5．过椭圆4x2＋y2＝1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则A与B和椭圆的另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为()A．2 B．4 C．8 D．2 2B6．下列命题是真命题的是________(将所有真命题的序号都填上).【导学号：73122099】①已知定点F1(－1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝2的点P的轨迹为椭圆；②已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝4的点P 的轨迹为线段；③到定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)距离相等的点的轨迹为椭圆；④若点P 到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和等于点M (5,3)到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和，则点P 的轨迹为椭圆．②④ [①2<2，故点P 的轨迹不存在；②因为2a ＝|F 1F 2|＝4，所以点P 的轨迹是线段F 1F 2；③到定点F 1(－3，0)，F 2(3,0)距离相等的点的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线(y 轴)；④点M (5,3)到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和为410>8，故点P 的轨迹为椭圆．故填②④.]7．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)，P 2(－3，－2)，则椭圆的方程为________．x 29＋y 23＝18．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin C sin B的值为________.【导学号：73122100】549．求适合下列条件的椭圆的方程．(1)焦点在x 轴上，且经过点(2,0)和点⎝⎛⎭⎪⎫1，32；(2)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，点P 到离它较近的一个焦点的距离等于2.(1)∵椭圆焦点在x 轴上，∴设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． ∵椭圆经过(2,0)和⎝⎛⎭⎪⎫1，32，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝11a 2＋34b 2＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝1∴所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)． ∵P (0，－10)在椭圆上，∴a ＝10. ∵P 到离它较近的一个焦点的距离为2， ∴－c －(－10)＝2， ∴c ＝8，∴b 2＝a 2－c 2＝36， ∴椭圆的标准方程为y 2100＋x 236＝1.10．一动圆过定点A (2,0)，且与定圆x 2＋4x ＋y 2－32＝0内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．将圆的方程化为标准形式为(x ＋2)2＋y 2＝62， ∴圆心坐标为B (－2,0)，半径为6，如图：由于动圆M 与已知圆B 相内切，设切点为C .∴已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的距离，即 |BC |－|MC |＝|BM |， 而|BC |＝6，|CM |＝|AM |， ∴|BM |＋|AM |＝6.根据椭圆的定义知M 的轨迹是以点B (－2,0)和点A (2,0)为焦点的椭圆，且2a ＝6.∴a ＝3，c ＝2，b ＝a 2－c 2＝5，∴所求圆心的轨迹方程为x 29＋y 25＝1.1．以圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为椭圆的右焦点，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32的椭圆的标准方程为( )【导学号：73122101】A ．x 23＋y 24＝1 B ．x 24＋y 23＝1 C ．4x 29＋y 2＝1 D ．x 2＋4y 29＝1B2．一个椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆的方程为 ( )A ．x 28＋y 26＝1 B ．x 216＋y 26＝1 C ．x 24＋y 22＝1 D ．x 28＋y 24＝1 A3．已知F 1、F 2是椭圆x 2100＋y 264＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥PF 2，则△F 1PF 2的面积为________.【导学号：73122102】64 [∵F 1，F 2为椭圆焦点， ∴|F 1F 2|＝12.∵P 是椭圆上一点，∴根据椭圆性质，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝20 ① ∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝122 ② 联立①②可求得|PF 1|·|PF 2|＝128. ∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝64.]4．如图2-1-4，A ，B 是椭圆的两个顶点，C 是AB 的中点，F 为椭圆的右焦点，OC 的延长线交椭圆于点M ，且|OF |＝2，若MF ⊥OA ，则此椭圆的方程为________．图2-1-4x 24＋y 22＝15．如图2-1-5，设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，|F 1F 2||DF 1|＝22，△DF 1F 2的面积为22.求椭圆的标准方程.【导学号：73122103】图2-1-5设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c 2＝a 2－b 2. 由|F 1F 2||DF 1|＝22，得|DF 1|＝|F 1F 2|22＝22c .从而S △DF 1F 2＝12|DF 1|·|F 1F 2|＝22c 2＝22， 故c ＝1. 从而|DF 1|＝22. 由DF 1⊥F 1F 2，得|DF 2|2＝|DF 1|2＋|F 1F 2|2＝92， 因此|DF 2|＝322，所以2a ＝|DF 1|＋|DF 2|＝22， 故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.因此，所求椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.。
人教新课标版数学高二数学选修1-1练习2-1-1椭圆及其标准方程
技能演练1.已知两定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)，点P 是平面上一动点，且|PF 1|＋|PF 2|＝8，则点P 的轨迹是( )A ．圆B ．直线C ．椭圆D ．线段答案 D2．椭圆x 225＋y 2169＝1的焦点坐标为( )A ．(5,0)，(－5,0)B ．(0,5)，(0，－5)C ．(0,12)，(0，－12)D ．(12,0)，(－12,0) 答案 C3．设F 1，F 2是椭圆x 225＋y 29＝1的焦点，P 为椭圆上一点，则△PF 1F 2的周长为( )A ．16B ．18C ．20D ．不确定 答案 B4．如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是( )A ．(0,2)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(0,1) 解析 将方程化为标准方程为x 22＋y 22k ＝1，∴k >0.又因为焦点在y 轴上，∴2k >2，即k <1，故0<k <1. 答案 D5．椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 2作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 1|等于( )A. 3B.32C.72D ．4解析 由PF 2⊥x 轴，得|PF 2|＝12，|PF 1|＝2a －|PF 2|＝72.答案 C6．与椭圆x 2＋4y 2＝4有公共的焦点，且经过点A (2,1)的椭圆的方程为________．解析 椭圆x 2＋4y 2＝4的标准方程为x24＋y 2＝1，∴c ＝a 2－b 2＝4－1＝ 3.设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－3＝1.(a 2＞3)，把点A (2,1)代入4a 2＋1a 2－3＝1，解得a 2＝6，或a 2＝2(舍去)， ∴所求椭圆方程为x 26＋y 23＝1.答案 x 26＋y 23＝17．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________；∠F 1PF 2的大小为________．解析 ∵|PF 1|＋|PF 2|＝2×3＝6，且|PF 1|＝4， ∴|PF 2|＝2.在△F 1PF 2中，|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，|F 1F 2|＝27， ∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝－12，∴∠F 1PF 2＝120°.答案 2 120°8．已知圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝100，圆A 内一定点B (3,0)，圆P 过B 点且与圆A 内切，则圆心P 的轨迹方程为________．解析 ∵圆P 与圆A 内切，圆A 的半径为10， ∴两圆的圆心距|PA |＝10－|PB |， 即|PA |＋|PB |＝10(大于|AB |)．∴点P 的轨迹是以A ，B 两点为焦点的椭圆． ∴2a ＝10,2c ＝6.∴a ＝5，c ＝3，b 2＝52－32＝16. ∴点P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.答案 x 225＋y 216＝19．设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右两焦点，若椭圆C 上的点A (1，32)到F 1，F 2两点的距离之和为4，求椭圆C 的方程及焦点坐标．解 椭圆C 的焦点在x 轴上，由椭圆上的点A 到F 1，F 2两点的距离之和是4，得2a ＝4，即a ＝2.又A (1，32)在椭圆C 上，∴122＋(32)2b 2＝1，解得b 2＝3. ∴c 2＝a 2－b 2＝1.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，焦点坐标为F (±1,0)．10．已知M (4,0)，N (1,0)，若动点P 满足MN →·MP →＝ 6|NP→|，求动点P 的轨迹方程． 解 设动点P (x ，y )，MP→＝(x －4，y )，MN →＝(－3,0)，NP →＝(x －1，y )，由MN →·MP →＝6|NP →|，得－3(x －4)＝6(x －1)2＋y 2，平方化简得3x 2＋4y 2＝12，即x 24＋y 23＝1.∴点P 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.感悟高考(2010·湖北)已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的两焦点为F 1，F 2，点P (x 0，y 0)满足0<x 202＋y 20<1，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围为________．解析依题意知，点P在椭圆内部．画出图形，由数形结合可得，当P在原点处时(|PF1|＋|PF2|)min＝2，当P在椭圆顶点时，取到(|PF1|＋|PF2|)max＝(2－1)＋(2＋1)＝22，故范围为[2,22)．答案[2,22)。
高中数学新人教A版选修1-1课堂测试 椭圆及其标准方程
课时跟踪检测（六） 椭圆及其标准方程层级一 学业水平达标1．若椭圆x 225＋y 24＝1上一点P 到焦点F 1的距离为3，则点P 到另一焦点F 2的距离为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选B 根据椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2×5＝10， 因为|PF 1|＝3，所以|PF 2|＝7.2．若椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距为2，则m 的值为( )A ．5B ．3C ．5或3D ．8解析：选C 由题意得c ＝1，a 2＝b 2＋c 2. 当m >4时，m ＝4＋1＝5； 当m <4时，4＝m ＋1，∴m ＝3.3．命题甲：动点P 到两定点A ，B 的距离之和|PA |＋|PB |＝2a (a >0，常数)；命题乙： P 点轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选B 利用椭圆定义．若P 点轨迹是椭圆，则|PA |＋|PB |＝2a (a >0，常数)， ∴甲是乙的必要条件．反过来，若|PA |＋|PB |＝2a (a >0，常数)是不能推出P 点轨迹是椭圆的．这是因为：仅当2a >|AB |时，P 点轨迹才是椭圆；而当2a ＝|AB |时，P 点轨迹是线段AB ； 当2a <|AB |时，P 点无轨迹，∴甲不是乙的充分条件． 综上，甲是乙的必要不充分条件．4．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )A ．a >3B ．a <－2C ．a >3或a <－2D ．a >3或－6<a <－2解析：选D 由a 2>a ＋6>0得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－a －6>0，a ＋6>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <－2或a >3，a >－6，所以a >3或－6<a <－2.5．已知P 为椭圆C 上一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，且|F 1F 2|＝23，若|PF 1|与|PF 2|的等差中项为|F 1F 2|，则椭圆C 的标准方程为( )A.x 212＋y 29＝1 B.x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1 C.x 29＋y 212＝1 D.x 248＋y 245＝1或x 245＋y 248＝1 解析：选B 由已知2c ＝|F 1F 2|＝23，∴c ＝ 3. ∵2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝43， ∴a ＝2 3.∴b 2＝a 2－c 2＝9.故椭圆C 的标准方程是x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.6．已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.解析：由直线AB 过椭圆的一个焦点F 1，知|AB |＝|F 1A |＋|F 1B |， ∴在△F 2AB 中，|F 2A |＋|F 2B |＋|AB |＝4a ＝20， 又|F 2A |＋|F 2B |＝12，∴|AB |＝8. 答案：87．已知椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点，则椭圆C 的标准方程为________________．解析：法一：依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且可知左焦点为F ′(－2,0)．从而有⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12， 故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1.法二：依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋9b 2＝1，a 2－b 2＝4，解得b 2＝12或b 2＝－3(舍去)，从而a 2＝16. 所以椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1.答案：x 216＋y 212＝18．椭圆的两焦点为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2的面积最大为12，则椭圆方程为__________．解析：如图，当P 在y 轴上时△PF 1F 2的面积最大， ∴12×8b ＝12，∴b ＝3. 又∵c ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝25. ∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.答案：x 225＋y 29＝19．求符合下列条件的椭圆的标准方程． (1)过点⎝⎛⎭⎫63，3和⎝⎛⎭⎫223，1； (2)过点(－3,2)且与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦点．解：(1)设所求椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )． ∵椭圆过点⎝⎛⎭⎫63，3和⎝⎛⎭⎫223，1， ∴⎩⎨⎧m ·⎝⎛⎭⎫632＋n ·(3)2＝1，m ·⎝⎛⎭⎫2232＋n ·12＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝19. ∴所求椭圆的标准方程为x 2＋y 29＝1.(2)由题意得已知椭圆x 29＋y 24＝1中a ＝3，b ＝2，且焦点在x 轴上，∴c 2＝9－4＝5. ∴设所求椭圆方程为x 2a ′2＋y 2a ′2－5＝1.∵点(－3,2)在所求椭圆上， ∴9a ′2＋4a ′2－5＝1.∴a ′2＝15或a ′2＝3(舍去)． ∴所求椭圆的标准方程为x 215＋y 210＝1.10．已知椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦点分别是F 1(0，－1)，F 2(0,1)，且3a 2＝4b 2.(1)求椭圆的标准方程；(2)设点P 在这个椭圆上，且|PF 1|－|PF 2|＝1，求∠F 1PF 2的余弦值．解：(1)依题意，知c 2＝1，又c 2＝a 2－b 2，且3a 2＝4b 2， 所以a 2－34a 2＝1，即14a 2＝1，所以a 2＝4，b 2＝3，故椭圆的标准方程为y 24＋x 23＝1.(2)由于点P 在椭圆上，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2×2＝4. 又|PF 1|－|PF 2|＝1，所以|PF 1|＝52，|PF 2|＝32.又|F 1F 2|＝2c ＝2，所以由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝⎝⎛⎭⎫522＋⎝⎛⎭⎫322－222×52×32＝35. 故∠F 1PF 2的余弦值等于35.层级二 应试能力达标1．下列说法中正确的是( )A ．已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，平面内到F 1，F 2两点的距离之和等于8的点的轨迹 是椭圆B ．已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，平面内到F 1，F 2两点的距离之和等于6的点的轨迹 是椭圆C ．平面内到点F 1(－4,0)，F 2(4,0)两点的距离之和等于点M (5,3)到F 1，F 2的距离之和的点的轨迹是椭圆D ．平面内到点F 1(－4,0)，F 2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆解析：选C A 中，|F 1F 2|＝8，则平面内到F 1，F 2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段，所以A 错误；B 中，到F 1，F 2两点的距离之和等于6，小于|F 1F 2|，这样的轨迹不存在，所以B 错误；C 中，点M (5,3)到F 1，F 2两点的距离之和为(5＋4)2＋32＋(5－4)2＋32＝410> |F 1F 2|＝8，则其轨迹是椭圆，所以C 正确；D 中，轨迹应是线段F 1F 2的垂直平分线，所以D 错误．故选C.2．椭圆x 225＋y 29＝1的焦点为F 1，F 2，P 为椭圆上的一点，已知PF 1―→·PF 2―→＝0，则△F 1PF 2的面积为( )A ．9B ．12C ．10D ．8解析：选A ∵PF 1―→·PF 2―→＝0，∴PF 1⊥PF 2. ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2且|PF 1|＋|PF 2|＝2a . 又a ＝5，b ＝3，∴c ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|2＋|PF 2|2＝64， ①|PF 1|＋|PF 2|＝10. ② ②2－①，得2|PF 1|·|PF 2|＝36， ∴|PF 1|·|PF 2|＝18，∴△F 1PF 2的面积为S ＝12·|PF 1|·|PF 2|＝9.3．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫π4，π2 B.⎝⎛⎦⎤0，π4 C.⎝⎛⎭⎫0，π4 D.⎣⎡⎭⎫π4，π2解析：选A 易知sin α≠0，cos α≠0，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1可化为x 21sin α＋y 21cos α＝1.因为椭圆的焦点在y 轴上，所以1cos α>1sin α>0，即sin α>cos α>0.又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以π4<α<π2. 4．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．5B ．7C ．13D ．15解析：选B 由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心：且|PF 1|＋|PF 2|＝10， 从而|PM |＋|PN |的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7.5．若椭圆2kx 2＋ky 2＝1的一个焦点为(0，－4)，则k 的值为________． 解析：易知k ≠0，方程2kx 2＋ky 2＝1变形为y 21k ＋x 212k＝1，所以1k －12k ＝16，解得k ＝132.答案：1326．已知椭圆C ：x 29 ＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则 |AN |＋|BN |＝________.解析：取MN 的中点G ，G 在椭圆C 上，因为点M 关于C 的焦点F 1，F 2的对称点分别为A ，B ，故有|GF 1|＝12|AN |，|GF 2|＝12|BN |，所以|AN |＋|BN |＝2(|GF 1|＋|GF 2|)＝4a ＝12. 答案：127．已知点P 在椭圆上，且P 到椭圆的两个焦点的距离分别为5,3.过P 且与椭圆的长轴垂直的直线恰好经过椭圆的一个焦点，求椭圆的标准方程．解：法一：设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝5＋3，(2c )2＝52－32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，c ＝2， 所以b 2＝a 2－c 2＝12.于是所求椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1.法二：设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，两个焦点分别为F 1，F 2.由题意知2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝3＋5＝8，所以a ＝4.在方程x 2a 2＋y 2b 2＝1中，令x ＝±c ，得|y |＝b 2a ；在方程y 2a 2＋x 2b 2＝1中，令y ＝±c ，得|x |＝b 2a .依题意有b 2a＝3，得b 2＝12.于是所求椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1.8. 如图在圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝25内有一点A (1,0)．Q 为圆C 上一点，AQ 的垂直平分线与C ，Q 的连线交于点M ，求点M 的轨迹方程．解：如图，连接MA .由题意知点M 在线段CQ 上， 从而有|CQ |＝|MQ |＋|MC |. 又点M 在AQ 的垂直平分线上， 则|MA |＝|MQ |，故|MA |＋|MC |＝|CQ |＝5.又A (1,0)，C (－1,0)，故点M 的轨迹是以(1,0)，(－1,0)为焦点的椭圆，且2a＝5，故a＝52，c＝1，b2＝a2－c2＝254－1＝214.故点M的轨迹方程为x2254＋y2214＝1.。
高中数学新人教A版选修1-1课堂测试椭圆及其标准方程
课时跟踪检测（六） 椭圆及其标准方程层级一学业水平达标2 2务+ y = 1上一点P 到焦点F 1的距离为3，则点P 到另一焦点F 2的距离为（ ）25 4B . 7解析：选B 根据椭圆的定义知,|PF i |+ |PF 2| = 2a = 2X 5= 10,因为 |PF 1|= 3,所以 |PF 2| = 7.2 22.若椭圆X + y= 1的焦距为2,m 4B . 3的距离之和|PA|+ |PB|= 2a （a>0，常数）;命题乙:P 点轨迹是椭圆.则命题甲是命题乙的A .充分不必要条件B .必要不充分条件D .既不充分又不必要条件•••甲是乙的必要条件.这是因为：仅当2a>|AB|时，P 点轨迹才是椭圆；而当2a = |AB|时，P 点轨迹是线段 AB ; 当2a<|AB|时，P 点无轨迹，.••甲不是乙的充分条件. 综上，甲是乙的必要不充分条件.2 24.如果方程X 2+ J = 1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数 a 的取值范围是（）a a + 6 A . a>3B . av — 2C . a>3 或 a<— 2D . a>3 或一6<a< — 2-a 2 — a — 6>0, a< — 2 或 a>3, 解析：选D 由a 2>a + 6>0得所以a +6>o ,a>—6,所以 a>3 或—6<a< — 2.5 .已知P 为椭圆C 上一点，F 1, F 2为椭圆的焦点，且|F 1F 2|= 2 3,若|PF 1|与|PF 2|的 等差中项为|F 1F 2|,则椭圆C 的标准方程为()解析：选C由题意得 c = 1, a 2= b 2 + c 2.当m>4时, m = 4+ 1= 5; 当m<4时, 4= m + 1,二 m = 3.解析：选B 利用椭圆定义.若 P 点轨迹是椭圆，则|PA|+ |PB|= 2a （a>0 ,常数）, 则m 的值为（3.命题甲：动点 P 到两定点A ,C .充要条件反过来，若 常数）是不能推出P 点轨迹是椭圆的.22=i2 X解析：选 B 由已知2C=|F1F2|= 2 c= 3.••• 2a = |PF11+ |PF 2|= 2|F 1F 2= 4 3, a= 2 3. —b2= a2—C2= 9.2 2 2 2故椭圆C的标准方程是令+ y= 1或x+ y= 1.12 9 9 122 26.已知F1, F2为椭圆25 + * = 1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A, B两点.若|F2A|+ |F2B|= 12,则|AB| = __________ ,解析：由直线AB过椭圆的一个焦点F1,知AB| = |F 1A|+ |F1B|,•••在△ F2AB 中，|F2A|+ |F2B|+ |AB|= 4a= 20, 又|F2A汁|F2B|= 12,. |AB|= 8. 答案：87•已知椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点，则椭圆C的标准方程为2 2解析：法一：依题意，可设椭圆C的方程为字+器=1(a>b>0),且可知左焦点为 F '(—2,0).C= 2, C= 2,从而有/ 解得1I2a = |AF|+ AF ' |= 3 + 5 = 8, l a = 4.又a2= b2+ C2,所以b2= 12,2 2故椭圆C的标准方程为士+ ± = 1.16 122 2法二：依题意，可设椭圆C的方程为字+器=1(a>b>0),4+ 活=1, 2 2 2则心b解得b2= 12或b2=—3(舍去)，从而a2= 16.b2= 4,2 2所以椭圆C的标准方程为-+ y= 1.16 12答案：2 2話+y=1.石+ 9 =22X , y•9 + 12=22X y―+.4845i C1 D2 2或45+48=18.椭圆的两焦点为 F i (— 4,0), F 2(4,0)，点P 在椭圆上，若△ PF 1F 2的面积最大为12,则椭圆方程为 ___________ .解析：如图，当P 在y 轴上时 △ PF 1F 2的面积最大，又T c = 4,「. a 2= b 2 + c 2 = 25.2 2•椭圆的标准方程为x5+9 = i.2 2答案：25+9 =19•求符合下列条件的椭圆的标准方程.2 2⑵过点(一3,2)且与椭圆9 + 丁 = 1有相同的焦点.解：(1)设所求椭圆方程为 mx 2 + ny 2= 1(m>0, n>0, m ^ n).•••椭圆过点于，3和^3^, 1 ,m= 1， 解得 1n= i2•••所求椭圆的标准方程为x 2+ y =1.92 2(2)由题意得已知椭圆 :+ 4 = 1中a = 3,b = 2, 且焦点在 x 轴上，•c 2= 9— 4= 5.2 2•设所求椭圆方程为虽+ 占 =1.a a — 5 •••点(—3,2)在所求椭圆上， + 4= 1. • a ' 2= 15 或 a ' 2= 3(舍去).a a — 52 2•••所求椭圆的标准方程为 15+1o =1.2 210.已知椭圆 字+ b 2= 1(a>b>0)的焦点分别是 F 1(0, (1)求椭圆的标准方程；⑵设点P 在这个椭圆上，且|PF 1| —|PF 2| = 1,求/ F 1PF 2的余弦值.•••h 8b = 12,.・.b = 3.2m •36 2+ n • 32= 1, [m/+ n 42= 1,1）, F 2（0,1）,且 3a 2= 4b 2.解：⑴依题意，知c 2= 1,又c 2= a 2— b 2,且3a 2 = 4b 2, 所以 a 2— 3a 2 = 1,即 ga 2= 1,所以 a 2= 4, b 2= 3,4 422故椭圆的标准方程为y +x = 1.4 3(2)由于点P 在椭圆上，所以|PF i |+ |PF 2| = 2a = 2X 2= 4. 又|PF i |— |PF 2| = 1,所以 |PF i |= 5, |PF 2| = 2.色'21 i3— 2怎丿十Q 丿 2 3又|F i F 2|= 2c = 2，所以由余弦定理得 cos / F i PF 2=厂3—=牙 2 X ；X - 2 2故/ F i PF 2的余弦值等于3.5的点的轨迹是椭圆所以B 错误；C 中，点 M(5,3)到 F i , F 2 两点的距离之和为 ，5+ 4 2+ 32+ . 5 — 4 2+ 32= 4 10>|F i F 2|= 8，则其轨迹是椭圆，所以C 正确；D 中，轨迹应是线段 F 1F 2的垂直平分线，所以 D 错误.故选C.x 2 y 2 一一2.椭圆—+扌=1的焦点为F i , F 2, P 为椭圆上的一点， 已知PF i PF 2 = 0,则厶F 1PF 2的面积为()B . 12C . 10解析：选 A •••苹 P F != 0,「. PF i 丄 PF 2. •- |PF i |2+ |PF 2|2= |F i F 2|2 且 |PF i |+ |PF 2|= 2a. 又 a = 5, b = 3,「. c = 4,层级二应试能力达标1.下列说法中正确的是( )A .已知 F i ( — 4,0), F 2(4,0)，平面内到 是椭圆F i , F 2两点的距离之和等于8的点的轨迹B .已知 F i ( — 4,0), F 2(4,0)，平面内到 是椭圆F i ，F 2两点的距离之和等于6的点的轨迹C •平面内到点 F i (— 4,0), F 2(4,0)两点的距离之和等于点 M(5,3)到F i ,F 2的距离之和F i (— 4,0), F 2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆中，l F i F 2= 8,则平面内到F i , F 2两点的距离之和等于是线段，所以A 错误；D .平面内到点解析：选C A 8的点的轨迹B 中，到F i , F 2两点的距离之和等于 6,小于|F i F 2|,这样的轨迹不存在,|PF 『+ |PF 『=64, ① …|PF i |+ |PF 2|= 10.②②2—①，得 2|PF i | |PF 2|= 36, •- |PF i | |PF 2|= 18,1•••△ F 1PF 2 的面积为 S = 2 |PF i | |PF 2|= 9.3 .若a€ \o , n，，方程x 2sin a+ y 2cos a= 1表示焦点在y 轴上的椭圆，则 a 的取值范围是（）B. 0, nC.p , n )2 22Xx sin a+ y cos a= 1 可化为—+1sin a cos a1.因为椭圆的焦点在 y 轴上，所以>=L>0,即sin a >cos a >0.又a€ 0,，所以承a <ncos a sin a .24 22 24.已知P 为椭圆25+ ^6=1上的一点，M , N 分别为圆（x + 3）2 + /= 1和圆（x — 3）2 + y 2=4上的点，贝U |PM|+ |PN|的最小值为（）A . 5B . 7C . 13D . 15解析：选B 由题意知椭圆的两个焦点F 1, F 2分别是两圆的圆心： 且|PF 1|+ |PF 2|= 10,从而 |PM|+ |PN|的最小值为 |PF 1|+ |PF 2|— 1 — 2= 7.5.若椭圆2kx 2+ ky 2= 1的一个焦点为（0, — 4），贝V k 的值为 _________ .2 2解析：易知 心0，方程2kx 2 + ky 2= 1变形为y + x = 1,1 丄k 2k2 26.已知椭圆C ： 9 +: = J 点M 与C 的焦点不重合.若分别为 A , B ，线段MN 的中点在 C 上，贝U |AN|+ |BN|= __________ ,解析：取MN 的中点G , G 在椭圆C 上,因为点M 关于C 的焦点F 1, F 2的对称点分别为 A , B ,A. 解析：选A 易知sin a 0, cos a 0，方程1 1 所以 k -2k = 16, 1 解得k =32.答案:丄32M关于C的焦点的对称点1 1 故有 l GF i |= 2|AN|, |GF 2|= Q IBNI ,所以 |AN|+ |BN|= 2(|GF i |+ |GF 2|)= 4a = 12. 答案：127.已知点P 在椭圆上，且P 到椭圆的两个焦点的距离分别为5,3.过P 且与椭圆的长轴垂直的直线恰好经过椭圆的一个焦点，求椭圆的标准方程.2 2 2 2予 + b = 1(a>b>0)或 含=1(a>b>0), 由已知条件得僞=所以 b 2= a 2- c 2= 12.b 2依题意有-=3,得b 2= 12.a8.如图在圆C : (x + 1)2+ y 2= 25内有一点 A(1,0). Q 为圆C 上一点，AQ 的垂直平分线与 C , Q 的连线交于点 M ，求点M 的轨迹方程.解：如图，连接 MA.由题意知点 M 在线段CQ 上, 从而有 |CQ|= |MQ| + |MC|. 又点M 在AQ 的垂直平分线上,于是所求椭圆的标准方程为2 X+ 16 122 2(=1 或 16 2X , + = 1. 12则|MA|= |MQ|,故 |MA|+ |MC| = |CQ|= 5. 又 A(1,0), C(- 1,0),故点M 的轨迹是以(1,0), (- 1,0)为焦点的椭圆,解：法一：设所求的椭圆方程为 解得a =4,|c = 2,于是所求椭圆的标准方程为 216+2 2 2挣1或16吃=1.法二：设所求的椭圆方程为 2 2 2 2予+ y 2= 1(a>b>0)或字 + f 2= 1(a>b>0),两个焦点分别为F 1，F 2.由题意知 2a = |PF 1|+ |PF 2| = 3+ 5= 8，所以 a = 4.2 2在方程筲b 2=1中，令x= ± 得 |y|=f ；2 2 在方程»詁=1中，令y = 乂,得 |x|= a.47P1且2a= 5,故a= 2, A 1, b2= a2- c2= 25- 1=2 2故点M的轨迹方程为X+ y= 1.25 214 4 21 ~4。
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一、选择题
1．已知平面内两定点A，B及动点P，设命题甲是：“|PA|＋|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆”，那么甲是乙的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】由椭圆定义知甲乙，但乙⇒甲，故甲是乙的必要不充分条件．【答案】 B
2．设椭圆x2
m2＋
y2
m2－1
＝1(m＞1)上一点P到其左、右焦点的距离分别为3和
1，则m＝()
A．6B．3C．2D．4
【解析】由题意椭圆焦点在x轴上，则2m＝3＋1＝4，∴m＝2.
【答案】 C
3．设P是椭圆x2
16＋
y2
12＝1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则
△PF1F2是()
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰直角三角形
【解析】由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，不妨设|PF1|＞|PF2|，∵|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝5，|PF2|＝3，又∵|F1F2|＝2c＝4，∴△PF1F2为直角三角形．【答案】 B
4．若方程x2
a2＋
y2
a＋6
＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是
()
A．a＞3 B．a＜－2
C．a＞3或a＜－2 D．a＞3或－6＜a＜－2
【解析】 ∵椭圆的焦点在x 轴上，∴⎩⎨⎧
a 2＞a ＋6，a ＋6＞0，
∴a ＞3或－6＜a ＜－2.
【答案】 D
5．(2013·天水高二检测)设集合A ＝{1,2,3,4}，m 、n ∈A ，则方程x 2m ＋y 2n ＝1表示焦点在x 轴上椭圆的个数是( )
A ．6
B ．8
C ．12
D ．16 【解析】 ∵椭圆焦点在x 轴上，∴m ＞n ，因此，当m ＝4时，n ＝1,2,3；当m ＝3时，n ＝1,2；当m ＝2时，n ＝1，共6种情况．
【答案】 A
二、填空题
6．若方程x 2a ＋ay 2＝1表示椭圆，则实数a 应满足的条件是________．
【解析】 将方程化为x 2a ＋y 21a ＝1，此方程表示椭圆须满足：⎩⎨⎧ a ＞0，a ≠1a ，解得
a ＞0且a ≠1.
【答案】 a ＞0且a ≠1
7．已知椭圆x 210－m ＋y 2
m －2
＝1的焦点在y 轴上，且焦距为4，则实数m ＝________.
【解析】 由题意，焦点在y 轴上，焦距为4，则有m －2－(10－m )＝(42
)2，解得m ＝8.
【答案】 8
图2－1－1
8．(2013·临沂高二检测)如图2－1－1所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是________．
【解析】 ∵折叠后的M 与F 重合，∴|PM |＝|PF |，又∵|PM |＋|PO |＝r ，∴|PF |＋|PO |＝r ＞|OF |，故点P 的轨迹是以O 、F 为焦点的椭圆．
【答案】 椭圆
三、解答题
9．求符合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)过点A (63，3)和B (223，1)的椭圆．
(2)过点(－3,2)且与x 29＋y 2
4
＝1有相同焦点的椭圆． 【解】 (1)设所求椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )． ∵椭圆过点A (63，3)和B (223，1)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ·(63)2＋n ·(3)2＝1，m ·(223)2＋n ·
12＝1，
解得m ＝1，n ＝19. ∴所求椭圆的标准方程为x 2＋y 29＝1. (2)∵已知椭圆x 29＋y 2
4＝1中a ＝3，b ＝2，且焦点在x 轴上，∴c 2＝9－4＝5.
∴设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－5
＝1.
∵点(－3,2)在所求椭圆上，
∴9a 2＋4a 2－5
＝1. ∴a 2＝15.
∴所求椭圆方程为x 215＋y 210＝1.
10．已知椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1、F 2，P 是该椭圆上一点，且|PF 1|＝4，求：
(1)|PF 2|的值；
(2)∠F 1PF 2的大小．
【解】 由题意知：a ＝3，b 2＝2，∴c ＝
a 2－
b 2＝7.
(1)由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6.
∵|PF 1|＝4，∴|PF 2|＝2.
(2)∵|F 1F 2|＝2c ＝27，由余弦定理：
cos ∠F 1PF 2＝22＋42－(27)22×2×4
＝－12， ∴∠F 1PF 2＝120°.
11．已知点M 在椭圆x 236＋y 2
9＝1上，MP ′垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P ′，并且M 为线段PP ′的中点，求P 点的轨迹方程．
【解】 设P 点的坐标为(x ，y )，M 点的坐标为(x 0，y 0)． ∵点M 在椭圆x 236＋y 29＝1上，∴x 2036＋y 209＝1.
∵M 是线段PP ′的中点，
∴x 0＝x 且y 0＝y 2.
把⎩⎨⎧ x 0＝x ，
y 0＝y 2代入x 2036＋y 209＝1中，得x 236＋y 236＝1， 即x 2＋y 2＝36.
∴P 点的轨迹方程为x 2＋y 2＝36.。