河南省南阳市2019届高三第三次模拟考试数学(理)试题Word版含答案

河南省南阳市2019届高三第三次模拟考试
数学（理）试题
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1.
已知集合{
(){}2|,|log 2M x y N x y x ====-，则M
N =
A. [)1,2
B.()
[),12,-∞+∞ C.[]0,1 D.()[),02,-∞+∞
2.在复平面内，复数z
满足z =
，则z 对应的点坐标为
A. ()1,1
B. ()1,1-
C. ()1,1-
D.()1,1--
3.若等差数列{}n a 的前17项和1751S =，则5791113a a a a a -+-+等于
A. 3
B. 6
C. 17
D. 51
4.从4台甲型和5台乙型电视剧中任意取出3台，要求至少有甲型与乙型电视剧各1台，则不同的取法共有
A. 140种
B. 84种
C. 70种
D.35种
5.执行如图所示的程序框图，如果输入的,x y R ∈，那么输出的S 的最大值
为
A. 0
B.1
C. 2
D. 3
6.若双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的一条渐近线与圆
()
2
222x y -+=相切，则该双曲线的离心率为
2
7.已知函数()2y f x =+的图象关于直线2x =-对称，且当()0,x ∈+∞时，()2log f x x =，若
()()13,,24a f b f c f ⎛⎫
=-== ⎪⎝⎭
，则,,a b c 的大小关系是
A. a b c >>
B. b c a >>
C. c a b >>
D. a c b >> 8.在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PA AB =该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图所示，则
截去部分体积与剩余部分体积之比为
A.
12 B. 13 C. 14 D. 15
9.已知,x y 均为正实数，且满足22x y xy +=，那么4x y +的最小值为
A. 3
B. 3+310.在三棱锥A BCD -中，底面BCD 是边长为2的正三角形，顶点A 在底面BCD 上的射影为BCD ∆的中
心，若E 为BC 的中点，且直线AE 与底面BCD 所成角的正切值为则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为
A. 3π
B.4π
C. 5π
D.6π
11.过抛物线24y x =的焦点F 作相互垂直的弦AC,BD 则点A,B,C,D 所构成的四边形面积的最小值为 A. 16 B. 32 C. 48 D. 64
12.已知曲线21:C y x =与曲线2:ln 2C y x x ⎛=> ⎝⎭
，直线l 是曲线1C 和曲线2C 的公切线，设直线l 与曲线1C 的切点为P ，则点P 的横坐标满足
A. 102t e <<
B. 1122t e <<
C. 12t <<t <<二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3,10AM BC ==,则AB AC ⋅= . 14.()
()
2
4
12x x +-的展开式中含3
x 项的系数为 .
15.若函数()()22f x x πϕϕ⎛
⎫=
+< ⎪⎝
⎭的图象关于直线12x π=对称，且当
1212172,,,123x x x x ππ⎛⎫
∈--
≠ ⎪⎝
⎭
时，()()12f x f x =，则()12f x x += . 16.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且满足()
111,3n n n a a a n N *
+==∈，则2017S = .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）已知ABC ∆是等边三角形，D 在边BC 的延长线上，
且2CD =，ABD S ∆= （1）求AB 的长；
（2）求sin CAD ∠的值.
18.（本题满分12分）
某公司即将推出一款新型智能手机，为了更好地对产品进行宣传，需预估市民购买该款手机是否与年龄有关，现随机抽取了50名市民进行购买意愿的问卷调查，若得分低于60分，说明购买意愿弱，若得分不低于60分，说明购买意愿强，调查结果用茎叶图表示如图所示.
列联表，并判断是否有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年（1）根据茎叶图中的数据完成22
龄有关？
（2）从购买意愿弱的市民中按年龄进行分层抽样，共抽取5人，从这5人中随机抽取2人进行采访，记抽到的2人中年龄大于40岁的市民人数为X，求X的分布列和数学期望.
19.（本题满分12分）在如图所示的五面体中，面ABCD 是直角梯形，2
BAD ADC π
∠=∠=,平面ADE ⊥
平面ABCD ，ADE ∆是边长为2的正三角形. （1）证明：BE ⊥平面ACF ；
（2）求二面角A BC F --的余弦值.
20.（本题满分12分）已知椭圆C 的两个焦点坐标分别是()()2,0,2,0-，并且经过点)
P
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）过椭圆C 的右焦点F 作直线l ，直线l 与椭圆C 相交于A,B 两点，与圆22:6O x y +=相交于D,E 两点，当AOB ∆的面积最大时，求弦DE 的长.
21.（本题满分12分）已知函数()222,.x f x e ax a a R =+-∈ （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）若0x ≥时，()23f x x ≥-恒成立，求实数a 的取值范围.
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

22.（本题满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系 已知曲线E 的极坐标方程为4tan cos θ
ρθ
=
，倾斜角为α的直线过点()2,2.P （1）求曲线E 的直角坐标方程和直线的参数方程；
（2）设12,l l 是过点P 且关于直线2x =对称的两条直线，1l 与E 交于,A B 两点，2l 与E 交于,C D 两点，求证：::PA PD PC PB =.
23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()()1
1, 3.2
f x x x a
g x x =-++=
+ （1）当2a =-时，求不等式()()f x g x <的解集；
（2）若1a >-，且当[],1x a ∈-时，不等式()()f x g x ≤有解，求实数a 的取值范围.
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数学（理）试题答案
一、ACACC ABBBD BB二、 8 31009－2
17.（Ⅰ）设．因为是等边三角形，所以．因为，所以．即，所以，（舍）．所以．
（Ⅱ）因为，所以．所以
．在中，因为，所以
．
18.解：（1）由茎叶图可得：
由列联表可得：K2=≈3.46＜3.841，
所以，没有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关．
（2）购买意愿弱的市民共有20人，抽样比例为=，
所以年龄在20～40岁的抽取了2人，年龄大于40岁的抽取了3人，
则X的可能取值为0，1，2，
P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，
所以分布列为
数学期望为E（X）=0×+1×+2×=
19.．证明：（Ⅰ）取AD中点O，以O为原点，OA为x轴，过O作AB的平行线为y轴，OE为z轴，
建立空间直角坐标系，则B（1，1，0），E（0，0，），A（1，0，0），C（﹣1，2，0），F（0，4，
），=（﹣1，﹣1，），=（﹣1，4，），=（﹣2，2，0），=1﹣4+3=0，
=2﹣2=0，∴BE⊥AF，BE⊥AC，
又AF∩AC=A，∴BE⊥平面ACF．
（Ⅱ）=（﹣2，1，0），=（﹣1，3，），设平面BCF的法向量=（x，y，z），则
，取x=1，得=（1，2，﹣），
平面ABC的法向量=（0，0，1），设二面角A﹣BC﹣F的平面角为θ，
则cosθ= = = ．∴二面角A﹣BC﹣F的余弦值为．
20.（1）设椭圆的标准方程为，
依椭圆的定义可得：
∴，∵，∴，
∴椭圆的标准方程为：.
（2）设直线的方程为，代入椭圆方程化简得：，
设，则，
的面积，
令，则，当且仅当，即时取等号.此时，直线的方程为，圆心到的距离为，又圆半径为，故所求弦长为
21.解：（Ⅰ），
①时，恒成立，此时在上单调递增；
②当时，由，得；由，得，
此时在上递减，在上递增．
（Ⅱ）令，，则，又令
，则，在上递增，且．
①当时，恒成立，即函数在上递增，从而须满足，解得
，又，；
②当时，则，使，且时，，即，即递减，
时，，即，即递增．
，又，从而，解得，由，令，，则，
在上递减，
则，又，故，
综上．
22.解：（1），（为参数）.
（2）∵，关于直线对称，
∴，的倾斜角互补，设的倾斜角为，则的倾斜角为，
把直线（为参数）代入并整理得：，
根据韦达定理，，即，同理即，
∴，即.
23.解：（1）当时，，
∴等价于或或，解得或或，即.∴不等式的解集为.
（2）∵，∴，不等式，∴，∴实数的取值范围是.。