高中数学人教b版必修4学案：2.1.4 数乘向量 含解析
2019-2020学年高中数学 §2.1.4 数乘向量导学案 新人教B版必修4.doc
2019-2020学年高中数学§2.1.4 数乘向量导学案新人教B版必修4◆课前导学（一）学习目标1．知道向量的数乘运算的定义；2．会利用向量的数乘运算解决相关问题．（二）重点难点重点：知道向量的数乘运算的定义；难点：会利用向量的数乘运算解决相关问题．◆课中导学（一）问题引入◎学习目标一：知道向量的数乘运算的定义．引例已知AB，把线段AB三等分，分点分别为P和Q，[问题1] AP[问题2] 请尝试列出它们之间的一个关系式；[问题3] PA与AB可以用什么关系式表示？[问题4] 等式右端系数的符号是由什么决定的？[问题5]系数的绝对值表示什么？[问题6] 请尝试用AB 表示AQ 、QB 、PB 、BP ．（二） 概念形成1． 向量数乘的定义：实数λ和向量a 的乘积是一个____________，记作____________，它的长度和方向的规定：（1） 长度a λ=__________；（2） 当0λ>时，a λ的方向与a 的方向__________；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向__________；当0λ=时，a λ=_________；任何数乘以0，都等于_______．2． 数乘向量运算满足的运算律：设λ，μ为实数，则（1）()a λμ+=__________；（2）()a λμ=__________；（3）()a b λ+=__________．（三）巩固深化◎学习目标二：会利用向量的数乘运算解决相关问题．例1 计算下列各式（1）3()2()a b a b a +--- ；（2）(23)(32)a b c a b c +---+例2 设x 是未知向量，解方程：5()3()0x a x b +++=例3 若,x y 是实数，,a b 是不共线的向量，(1)()0x y a x y b +-+-=，求x 和y ．例4 已知3,3,OA OA A B AB '''==试说明向量OB O B ''与的关系．例 5 已知四边形OADB 是以O A a =，OB b =为邻边的平行四边形，又11,33BM BC CN CD ==，试用,a b 表示OM 、ON 、MN ．◆ 课后导学一、选择题1.13⎣⎢⎡⎦⎥⎤12a ＋8b －a －2b 的结果是( ) A ．2a －b B ．2b －a C ．b －a D ．a －b2．若向量方程2x －3(x －2a )＝0，则向量x 等于( )A.65a B ．－6a C ．6a D ．－65a 3．如图所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →等于( )A.BC →＋12BA → B ．－BC →＋12BA → C ．－BC →－12BA → D.BC →－12BA → 4．设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是( )A ．a 与－λa 的方向相反B ．|－λa |≥|a |C ．a 与λ2a 的方向相同D ．|－λa |＝|λ|a5．若a ＝b ＋c ，化简3(a ＋2b )－2(3b ＋c )－2(a ＋b )＝( )A ．－aB ．－bC ．－cD ．以上都不对6．设x 是未知向量，a 、b 是已知向量，且满足3(x ＋a )＋2(b －a )＋x －a －2b ＝0，则x 等于( )A ．0B ．a ＋bC ．3a －bD ．07．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( )A.PA →＋PB →＝0B.PC →＋PA →＝0C.PB →＋PC →＝0D.PA →＋PB →＋PC →＝08．已知A 、B 、C 三点不共线，O 是△ABC 内的一点，若OA +OB +OC =0，则O 是△ABC 的（ ）A. 重心 B. 垂心 C. 内心 D. 外心9．O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定过△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心二、填空题10．若2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13a －12(b －3x ＋c )＋b ＝0，其中a ，b ，c 为已知向量，则未知向量x ＝________. 11．O 为平行四边形ABCD 的中心，AB →＝4e 1，BC →＝6e 2，则3e 2－2e 1＝________.12．若△ABC 满足|CB →|＝|AB →＋AC →|，则△ABC 的形状一定为________．13．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AE→＝________.三、解答题14．如图所示，已知OA →＝3e 1，OB →＝3e 2，(1) 如图(1)，C 、D 为AB 的三等分点，求OC →，OD →；(2) 如图(2)，C 、D 、E 为AB 的四等分点，求OC →、OE →.15．已知e 、f 为两个不共线的向量，若四边形ABCD 满足AB →＝e ＋2f ，BC →＝－4e －f ，CD →＝－5e －3f .(1)将AD →用e 、f 表示；(2)证明四边形ABCD 为梯形．。
高中数学新人教B版必修4学案：2.1.4 数乘向量
课题: 2.1.4 数乘向量学案高志国课标要求：掌握向量的数乘运算，理解数乘向量的几何意义，运用“类比”的思考方式，在生活中培养用联系的观点分析并解决问题的能力.学习目标：理解数乘向量的含义及其运算律.学习重点：数乘向量的定义及几何意义.学习难点：数乘向量的几何意义的理解.创设情境：一条细绳横贯东西，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，若蚂蚁从点O点向正东方向一秒钟的位移对应的向量为a，那么3秒钟后的位移对应的向量是什么呢？aO A我们知道：求几个相同加数的简便运算叫做乘法，如：3+3+3+3=4×3，（-5）+（-5）+（-5）=3×（-5）,那么向量呢？向量之间是否也存在这样的关系呢？这就需要相关的向量与数相乘的知识，学习了本节后，你就会轻松地解释这个问题了.自学导引：问题1：在图中作出同一方向上3秒钟的位移对应的向量，你能用一个式子表示吗？问题2：学生讨论3a是何种运算？3a是数量还是向量？问题3：蚂蚁向西3秒钟的位移对应的向量又怎样表示？那aλ的大小和方向又如何确定？知识点拨：定义：实数λ和向量a的乘积是一个_______,记作___________.aλ的长度为：.___________=aλ)0(≠aaλ的方向为：⎪⎩⎪⎨⎧<>.______________方向与时，当方向；与时，当aaaaλλλλ特别地当.____,0====λλ或时，或aaaλ中的实数λ叫做向量a的______数乘向量的运算律:设则、,R∈μλ①结合律：;__________=）（aμλ②第一分配律：()_____;__________=+aμλ③第二分配律：().____________=+baλ线性运算:向量的_____、_______和_________的综合运算，通常叫做向量的线性运算。
温馨提示：（1）数乘向量的几何意义：就是把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小；（2）aλ中的系数λ叫做向量a的系数.例题应用：例1 已知向量a 和向量b ，求作 向量a 5.2-和向量b a 3-2.a b例2计算下列各式:（1）;212a ⨯-）（（2）)(3)(2b a b a --+；（3）).)(())((b a b a +---+μλμλ例3设x 是未知量，解方程.0)(3)(5=-++b x a x例4如图，已知,3,3AB B A OA A O =''=' .的关系与说明向量B O OB '跟踪练习： A 组练习：1计算化简下列各式： （1）;223）（）（b a b a +--（2））（）（c b a c b a 24333622-+---+； （3））（b a 54-3+； （4）6）（）（b a b a 2342---. 2如图，已知向量a ，b ，求作向量：① a 2- ② b a +- ③b a -2abBOAB ’A ’B 组练习：3已知向量 212e e a +=, 2153e e b -=, 求b a 34-（用21e e ，表示）.4已知非零向量a ，求向量aa1的模.C 组练习：5．点G 是三角形ABC 的重心，D 是AB 的中点，则GC GB GA -+等于（ ） A ． 4GD B.GD 4- C. 6GD D. GD 6-6．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O,E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F,若,,b BD a AC ==则AF 等于 （ ） A ．b a 2141+B.b a 3132+C. b a 4121+ D. b a 3231+7．在三角形ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，若,31,2CB CA CD DB AD λ+==则λ等于（ ） A ．32 B.31 C. 31-D. 32-自我总结：a λ是一个_____，其模.___________=a λ其方向由___决定，当_____时，与a ______；当_____时，与a ______； 当_____时，________.数乘向量的运算类似__________的运算,解决问题的过程中应结合图形进行分析，体会__________思想. 课后作业：A 组教材第89页练习A 1,2,3B 组教材第89页练习B 1,2,3C 组教材第93页习题2-1A 5,B 4。
高一数学人教B版必修4课件2.1.4数乘向量
b
过O作OA= a
b B 过O作OB= b
以OA,OB为边作
a+b
平行四边形
则对角线
C
OC= a+b
向量的减法
如图,已知向量a和向量b,作向量a-b.
b
作法:
a
在平面中任取一点o,
o
b
B
过O作OA= a
过O作OB= b
a a-b
则BA= a-b
A
一只兔每次位移向量 a , 3次位移多少? 3a
n(n N )次位移多少? na
位移与速度的关系： s= tv
已知非零向量 a （如图）
a
试作出： a+a+a 和 (-a)+(-a)+(-a)
aaa
O
A
B
C
-a -a -a
N
M
Q
P
相同向量相加以后， 和的长度与方向有什么变化？
一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，
这种运算叫做向量的数乘运算，记作λa， 它的长度和方向规定如下：
2.1.4 数乘向量
生活中有向量 生活中用向量
向量的加法(三角形法则)
如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.
b 作法: 在平面中任取
一点o,
ao
过O作OA= a
a A
a+b 过A作AB= b
则OB= a+b.
bB
向量的加法(平行四边形法则)
如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.
ao
a A
作法: 在平面中任取一点o,
例3：已知向量 AD 3AB ，
DE 3BC ，试说明
数学人教B版必修4课堂探究：2.1.4数乘向量 含解析 精
课堂探究探究一 数乘向量的理解【例1】 已知λ，μ∈R ，则在以下各命题中，正确的命题共有( )①当λ<0，a ≠0时，λa 与a 的方向一定相反；②当λ>0，a ≠0时，λa 与a 的方向一定相同；③当λ≠0，a ≠0时，λa 与a 是共线向量；④当λμ>0，a ≠0时，λa 与μa 的方向一定相同；⑤当λμ<0，a ≠0时，λa 与μa 的方向一定相反．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个解析：根据实数λ与向量a 的积λa 的方向，易知①②③都是正确的；对于④，由λμ>0可得λ，μ同为正或同为负，所以λa 和μa 或者都与a 同向，或者都与a 反向，所以λa 与μa 是同向的，故④正确；对于⑤，由λμ<0可得λ，μ异号，所以在λa 和μa 中，一个与a 同向，另一个与a 反向，所以λa 与μa 是反向的，故⑤正确．答案：D探究二 向量的线性运算向量的线性运算及解含未知向量的方程类似于代数多项式的运算及代数方程，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形方法在向量线性运算及解含未知向量的方程中同样适用，在运算过程中要注意多观察，恰当分组，简化运算．【例2】 计算下列各题：(1)化简()()2114367334a b b a b ⎡⎤-+--⎢⎥⎣⎦； (2)设向量a ＝3i ＋2j ，b ＝2i －j ，求13a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭－23a b ⎛⎫-⎪⎝⎭＋(2b －a )； (3)解方程5(x ＋a )＋3(x －b )＝0(x 是未知向量)．解：(1)原式＝232137433324a b b a b ⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭ ＝2317433234a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ＝25113212a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝53a －1118b ． (2)原式＝13a －b －a ＋23b ＋2b －a＝1113a ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋2123b ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭ ＝－53a ＋53b ＝－53 (3i ＋2j )＋53 (2i －j ) ＝1053⎛⎫-+⎪⎝⎭i ＋10533⎛⎫-- ⎪⎝⎭j ＝－53i －5j ． (3)由5(x ＋a )＋3(x －b )＝0，得8x ＋5a －3b ＝0．所以8x ＝3b －5a ．所以x ＝38b －58a ． 探究三 向量之间的线性表示在求向量时要尽可能把未知向量转化到平行四边形或三角形中，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解，即充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系，运用加法的三角形法则、平行四边形法则、减法的三角形法则，把已知向量转化为与未知向量有直接关系的向量来求解．【例3】 如图，设O 为△ABC 内一点，PQ ∥BC ，且PQ BC＝t ，OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，求OP ，OQ ，PQ ．解：由平面几何知△APQ ∽△ABC ， 所以AP AB ＝AQ AC＝t ， 所以AP ＝t AB ，AQ ＝t AC ，OP ＝OA ＋AP ＝OA ＋t AB ＝OA ＋t (OB －OA )＝a ＋t (b －a )＝(1－t )a ＋t b ，OQ＝OA＋AQ＝OA＋t AC＝OA＋t(OC－OA)＝(1－t)a＋t c，所以PQ＝OQ－OP＝(1－t)a＋t c－(1－t)a－t b＝t(c－b)．点评点O位置的变化不影响本题的结果，将向量AP，AQ分别转化为t(OB－OA)，t(OC－OA)是本题的关键．。
高二数学人教B版必修4学案：2.1.4 数乘向量 Word版含解析
2.1.4数乘向量明目标、知重点 1.了解数乘向量的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.1.数乘向量(1)定义：实数λ与向量a的乘积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa.(2)规定：|λa|＝|λ||a|.若a≠0，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.(3)几何意义：λa可以看作是把向量a沿着a的方向(λ>0时)或a的反方向(λ<0时)扩大或缩小|λ|倍得到.2.数乘向量的运算律数乘向量运算满足下列运算律：设λ，μ为实数，则(1)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(2)λ(μa)＝(λμ)a；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb(分配律).特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.3.向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.[情境导学]位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与数量的关系常常在物理公式中体现.如力与加速度的关系F＝m a，位移与速度的关系s＝v t.这些公式都是实数与向量间的关系.探究点一数乘向量的物理背景及几何意义思考1一物体作匀速直线运动，一秒钟的位移对应向量v，那么在同方向上3秒钟的位移对应的向量用3v表示，试在直线l上画出3v向量，看看向量3v与v的关系如何？答3v ＝OC →＝OA →＋AB →＋BC →＝v ＋v ＋v . ∴3v 与v 的方向相同，|3v |＝3|v |.思考2 已知非零向量a ，作出a ＋a ＋a 和(－a )＋(－a )＋(－a )，你能说明它们与向量a 之间的关系吗？ 答OC →＝OA →＋AB →＋BC →＝a ＋a ＋a ＝3a ；O ′C ′→＝O ′A ′→＋A ′B ′→＋B ′C ′→ ＝(－a )＋(－a )＋(－a )＝－3a .思考3 一般地，我们规定：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作λa ，该向量的模及方向与向量a 有什么关系？如何理解数乘向量的几何意义？ 答 (1)|λa |＝|λ||a |；(2)λ>0时，λa 与a 方向相同； λ<0时，λa 与a 方向相反； λ＝0时，λa ＝0.向量数乘的几何意义就是把向量a 沿着a 的方向或a 的反方向扩大或缩小.当λ>0时，沿着a 的方向扩大(λ>1)或缩小(0<λ<1)为λ倍；当λ<0时，沿着a 的反方向扩大(|λ|>1)或缩小(|λ|<1)为|λ|倍.探究点二 数乘向量的运算律思考1 根据实数与向量积的定义，数乘向量有哪些运算律？ 答 设λ，μ∈R ，则有①λ(μa )＝(λμ)a ；②(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； ③λ(a ＋b )＝λa ＋λb .思考2 向量等式的证明依据是相等向量的定义，既要证明等式两边的模相等，又要证明方向相同.你能根据这两条证明其中的第①条运算律吗？ 答 ①λ(μa )＝(λμ)a (λ，μ∈R ).如果λ＝0或μ＝0或a ＝0，则①式显然成立； 如果λ≠0，μ≠0，a ≠0，则由向量数乘的定义有|λ(μa )|＝|λ||μa |＝|λ||μ||a |， |(λμ)a |＝|λμ||a |＝|λ||μ||a |， 故|λ(μa )|＝|(λμ)a |.如果λ、μ同号，则①式两边向量的方向都与a 同向；如果λ、μ异号，则①式两边向量的方向都与a 反向.因此，向量λ(μa )与(λμ)a 有相等的模和相同的方向，所以λ(μa )＝(λμ)a . 例1 已知a ，b 是两个非零向量，判断下列各命题的对错，并说明理由. (1)2a 的方向与a 的方向相同，且2a 的模是a 的模的2倍； (2)－2a 的方向与5a 的方向相反，且－2a 的模是5a 的模的25；(3)－2a 与2a 是一对相反向量； (4)a －b 与－(b －a )是一对相反向量； (5)若a ，b 不共线，则λa 与b 不共线.解 (1)正确.∵2>0，∴2a 与a 同向，且|2a |＝2|a |. (2)正确.∵5>0，∴5a 与a 同向，且|5a |＝5|a |. ∵－2<0，∴－2a 与a 反向，且|－2a |＝2|a |. (3)正确.(4)错误.－(b －a )＝－b ＋a ＝a －b .(5)错误.若λ＝0，则0a ＝0，0与任意向量共线.反思与感悟 对数乘运算的理解，关键是对实数的作用的认识，λ>0时，λa 与a 同向，模是|a |的λ倍；λ<0时，λa 与a 反向，模是|a |的－λ倍；λ＝0时，λa ＝0. 跟踪训练1 下面给出四个命题：①对于实数m 和向量a 、b ，恒有m (a －b )＝m a －m b ； ②对于实数m 、n 和向量a ，恒有(m －n )a ＝m a －n a ； ③若m a ＝m b (m ∈R )，则有a ＝b ； ④若m a ＝n a (m ，n ∈R ，a ≠0)，则m ＝n . 其中正确命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C 例2 计算：(1)(－3)×4a ；(2)3(a ＋b )－2(a －b )－a ； (3)(2a ＋3b －c )－(3a －2b ＋c ).解 (1)原式＝(－3×4)a ＝－12a ； (2)原式＝3a ＋3b －2a ＋2b －a ＝5b ；(3)原式＝2a ＋3b －c －3a ＋2b －c ＝－a ＋5b －2c .反思与感悟 向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”、“提取公因式”，但这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数. 跟踪训练2 计算： (1)6(3a －2b )＋9(－2a ＋b )；(2)12⎣⎡⎦⎤(3a ＋2b )－23a －b －76⎣⎡⎦⎤12a ＋37⎝⎛⎭⎫b ＋76a ； (3)6(a －b ＋c )－4(a －2b ＋c )－2(－2a ＋c ). 解 (1)原式＝18a －12b －18a ＋9b ＝－3b . (2)原式＝12⎝⎛⎭⎫3a －23a ＋2b －b －76⎝⎛⎭⎫12a ＋12a ＋37b ＝12⎝⎛⎭⎫73a ＋b －76⎝⎛⎭⎫a ＋37b ＝76a ＋12b －76a －12b ＝0. (3)原式＝6a －6b ＋6c －4a ＋8b －4c ＋4a －2c ＝(6a －4a ＋4a )＋(8b －6b )＋(6c －4c －2c ) ＝6a ＋2b .1.若3x －2(x －a )＝0，则向量x 等于( ) A.2a B.－2a C.25a D.－25a答案 B2.如图所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →等于( ) A.BC →＋12BA →B.－BC →＋12BA →C.－BC →－12BA →D.BC →－12BA →答案 B解析 CD →＝BD →－BC →＝12BA →－BC →.3.设a ＝3i ＋2j ，b ＝2i －j ，试用i ，j 表示向量23[(4a －3b )＋13b －14(6a －7b )].解23⎣⎡⎦⎤(4a －3b )＋13b －14(6a －7b )＝23(4a －3b )＋29b －16(6a －7b ) ＝83a －2b ＋29b －a ＋76b ＝⎝⎛⎭⎫83－1a ＋⎝⎛⎭⎫－2＋29＋76b ＝53a －1118b ＝53(3i ＋2j )－1118(2i －j ) ＝5i ＋103j －119i ＋1118j ＝349i ＋7118j .4.如图所示，在▱ABCD 中，E 、F 分别是BC 、DC 的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试以a 、b 表示DE →和BF →. 解 DE →＝DA →＋AB →＋12BC →＝－b ＋a ＋12b ＝a －12b ；BF →＝BA →＋AD →＋DF →＝－a ＋b ＋12a ＝－12a ＋b .[呈重点、现规律]1.实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a ，λ－a 是没有意义的.2.λa 的几何意义就是把向量a 沿着a 的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍.向量a|a |表示与向量a 同向的单位向量.一、基础过关1.13⎣⎡⎦⎤12(2a ＋8b )－(4a －2b )等于( ) A.2a －b B.2b －a C.b －aD.－(b －a )答案 B2.已知平行四边形ABCD 中，DA →＝a ，DC →＝b ，其对角线交点为O ，则OB →等于( ) A.12a －b B.a －12bC.12(a ＋b ) D.a ＋b答案 C3.下列算式中不正确的是( ) A.AB →＋BC →＋CA →＝0 B.AB →－AC →＝BC → C.0·AB →＝0 D.λ(μa )＝(λμ)a 答案 B解析 AB →－AC →＝CB →，而不是BC →，故B 错误.4.如右图，已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( ) A.AO →＝OD →B.AO →＝2OD →C.AO →＝3OD →D.2AO →＝OD → 答案 A解析 ∵2OA →＋OB →＋OC →＝2OA →＋2OD →＝0，∴AO →＝OD →. 5.若|a |＝3，b 与a 反向，|b |＝2，则a ＝______b (填数量). 答案 －326.若2⎝⎛⎭⎫y －13a －12(c ＋b －3y )＋b ＝0，其中a 、b 、c 为已知向量，则未知向量y ＝________________. 答案421a －17b ＋17c7.如图所示，OADB 是以向量OA →＝a ，OB →＝b 为边的平行四边形.又BM ＝13BC ，CN ＝13CD ，试用a ，b 表示OM →，ON →，MN →. 解 ∵BM →＝13BC →＝16BA →＝16(OA →－OB →)＝16(a －b ).∴OM →＝OB →＋BM →＝b ＋16a －16b ＝16a ＋56b .∵CN →＝13CD →＝16OD →，∴ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23(OA →＋OB →)＝23(a ＋b )， MN →＝ON →－OM →＝23(a ＋b )－16a －56b ＝12a －16b .二、能力提升8.已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P ，且P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则( ) A.P 在△ABC 内部 B.P 在△ABC 外部C.P 在AB 边上或其延长线上D.P 在AC 边上 答案 D解析 P A →＋PB →＋PC →＝PB →－P A →， ∴PC →＝－2P A →，∴P 在AC 边上.9.已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案 B解析 ∵MA →＋MB →＋MC →＝0， ∴点M 是△ABC 的重心. ∴AB →＋AC →＝3AM →，∴m ＝3.10.如图，在正六边形ABCDEF 中，O 为其中心，下列向量：①CA →；②－DF →；③AB →＋FE →；④BC →－DE →；⑤OB →＋OC →＋OD →＋OE →.其中与F A →＋AB →＋2BO →＋ED →相等的向量有________.(填对应向量的序号即可) 答案 ②③④⑤解析 F A →＋AB →＋2BO →＋ED →＝(F A →＋AB →＋BE →)＋ED →＝FE →＋ED →＝FD →＝AC →＝－DF →，与②相等，与①不相等；∵AB →＋FE →＝AB →＋BC →＝AC →，∴与③相等；∵BC →－DE →＝BC →＋ED →＝BC →＋AB →＝AC →，∴与④相等；∵OB →＋OC →＋OD →＋OE →＝OC →＋OD →＝AB →＋BC →＝AC →，∴与⑤相等.故填②③④⑤.11.已知任意平面四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点.求证：EF →＝12(AB →＋DC →).证明 取以A 为起点的向量，应用三角形法则求证. ∵E 为AD 的中点，∴AE →＝12AD →.∵F 是BC 的中点， ∴AF →＝12(AB →＋AC →).又AC →＝AD →＋DC →，∴AF →＝12(AB →＋AD →＋DC →)＝12(AB →＋DC →)＋12AD →.∴EF →＝AF →－AE →＝12(AB →＋DC →).12.如图，四边形OADB 是以向量OA →＝a ，OB →＝b 为边的平行四边形.又BM ＝13BC ，CN ＝13CD ，试用a 、b 表示OM →，ON →，MN →.解 BM →＝13BC →＝16BA →＝16(OA →－OB →)＝16(a －b )，∴OM →＝OB →＋BM →＝16a ＋56b .∵CN →＝13CD →＝16OD →.∴ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23(a ＋b )， MN →＝ON →－OM →＝12a －16b .三、探究与拓展13.在△ABC 的内部有一点O 满足OA →＋OC →＋3OB →＝0，求S △AOB S △AOC 的值.解 设AC 的中点为D ， 则OA →＋OC →＝2OD →，∴2OD →＋3OB →＝0， 即OB →＝－23OD →，∴S △AOB S △AOC ＝S △AOB 2S △AOD ＝12×23＝13.。
高中数学(人教B版)必修4 导学案：第2章 2.1.4 数乘向量 Word版含答案
2.1.4 数乘向量1.掌握数乘向量的定义并理解其几何意义.(重点)2.理解数乘向量的运算律.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.(难点)[基础·初探]教材整理1 数乘向量阅读教材P86～P87以上内容，完成下列问题.1.定义：实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且λa的长度|λa|＝|λ||a|.若a≠0，当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反.当λ＝0或a＝0时，0a＝0或λ0＝0.2.数乘向量的几何意义：把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小.3.数乘向量的运算律：设λ，μ为实数，则(1)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(2)λ(μa)＝(λμ)a；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb(分配律).设a是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正确的有________.①a与－λa的方向相反；②|－λa|≥|a|；③a与λ2a方向相同；④|－2λa|＝2|λ|·|a|.【解析】由向量数乘的几何意义知③④正确.【答案】③④教材整理2 向量的线性运算阅读教材P88“例1”以上内容，完成下列问题.向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫做向量的线性运算.如图2126，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________.图2126【解析】 由向量加法的平行四边形法则知AB →＋AD →＝AC →， 又∵O 是AC 的中点，∴AC ＝2AO ， ∴AC →＝2AO →，∴AB →＋AD →＝2AO →， ∴λ＝2. 【答案】 2[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问4：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________[小组合作型](1)若两个非零向量a 与(2x －1)a 方向相同，则x 的取值范围为______.(2)若平面内不共线的四点O ，A ，B ，C 满足OB →＝13OA →＋23OC →，则|AB →||BC →|＝___.(3)已知点C 在线段AB 的延长线上(在B 点右侧)，且AB ∶AC ＝2∶3. ①用BC →表示AB →； ②用CB →表示AC →.【精彩点拨】 对数乘运算的理解，关键是对系数λ的作用的认识： λ>0时，λa 与a 同向，模是|a |的λ倍； λ<0时，λa 与a 反向，模是|a |的－λ倍； λ＝0时，λa ＝0.【自主解答】 (1)由定义可知，2x －1>0，即x >12.(2)因为OB →＝13OA →＋23OC →，所以OB →－OA →＝13OA →＋23OC →－OA →，即AB →＝23AC →，所以|AB →|＝23|AC →|， ①同理可得|CB →|＝13|CA →|， ②①÷②得|AB →||CB →|＝2.【答案】 (1)x >12(2)2(3)如图a ，因为点C 在线段AB 的延长线上，且AB ∶AC ＝2∶3，所以AB ＝2BC ，AC ＝3BC .①如图b ，向量AB →与BC →方向相同，所以AB →＝2BC →； ②如图c ，向量AC →与CB →方向相反，所以AC →＝－3CB →.对向量数乘运算的三点说明：(1)λa 中的实数λ叫做向量a 的系数.(2)向量数乘运算的几何意义是把a 沿着a 的方向或a 的反方向扩大或缩小. (3)当λ＝0或a ＝0时，λa ＝0.注意是0，而不是0. [再练一题]1.已知a ，b 是两个非零向量，判断下列各命题的真假，并说明理由. (1)2a 的方向与a 的方向相同，且2a 的模是a 的模的2倍； (2)－3a 的方向与6a 的方向相反，且－3a 的模是6a 的模的12；(3)－4a 与4a 是一对相反向量； (4)a －b 与－(b －a )是一对相反向量； (5)若a ，b 不共线，则0·a 与b 不共线. 【解】 (1)真命题.∵2>0，∴2a 与a 同向， ∵|2a |＝2|a |，∴2a 的模是a 的模的2倍. (2)真命题.∵－3<0，∴－3a 与a 方向相反且|－3a |＝3|a |， 又∵6>0，∴6a 与a 方向相同且|6a |＝6|a |， ∴－3a 与6a 方向相反且模是6a 的模的12.(3)真命题.由数乘定义和相反向量定义可知. (4)假命题.∵a －b 与b －a 是相反向量， ∴a －b 与－(b －a )是相等向量. (5)假命题.0·a ＝0，∴0·a 与b 共线.(1)化简：(2a ＋3b －c )－(3a －2b ＋c )＝________.(2)已知向量a ，b ，x ，且(x －a )－(b －x )＝x －(a ＋b )，则x ＝________. 【精彩点拨】 (1)可类比实数运算中的合并同类项方法化简； (2)可类比解方程方法求解.【自主解答】 (1)(2a ＋3b －c )－(3a －2b ＋c )＝2a －3a ＋3b ＋2b －c －c ＝－a ＋5b －2c. (2)因为(x －a )－(b －x )＝x －(a ＋b )，所以2x －a －b ＝x －a －b ，即：x ＝0. 【答案】 (1)－a ＋5b －2c (2)0向量数乘运算的方法：(1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算.[再练一题]2.(2016·枣庄高一检测)化简： 13⎣⎢⎡⎦⎥⎤122a ＋8b －4a －2b 的结果是( )A.2a －bB.2b －aC.b －aD.a －b【解析】 原式＝13(a ＋4b －4a ＋2b )＝13(6b －3a )＝2b －a .【答案】 B[探究共研型]探究【提示】 λa 的几何意义就是把向量a 沿着a 的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍.探究2 如何用已知向量表示所求向量？【提示】 在向量的线性运算中，用已知向量表示所求向量，要尽可能的转化到平行四边形或三角形中，结合图形的有关性质及联想到相关的法则来求.如图2127所示，已知▱ABCD 的边BC ，CD 上的中点分别为K ，L ，且AK→＝e 1，AL →＝e 2，试用e 1，e 2表示BC →，CD →.【导学号：72010048】图2127【精彩点拨】 解答本题可先将BC →，CD →视为未知量，再利用已知条件找等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)求出BC →，CD →.【自主解答】 设BC →＝x ，CD →＝y ，则BK →＝12x ，DL →＝－12y .由AB →＋BK →＝AK →，AD →＋DL →＝AL →得 ⎩⎪⎨⎪⎧－y ＋12x ＝e 1， ①x －12y ＝e 2， ②用－2乘以②与①相加得12x －2x ＝e 1－2e 2，解得x ＝23(2e 2－e 1)，即BC →＝23(2e 2－e 1)，同理得y ＝23(－2e 1＋e 2)，即CD →＝－43e 1＋23e 2.1.由已知向量表示未知向量时，要善于利用三角形法则、平行四边形法则以及向量线性运算的运算律，还应重视平面几何定理的应用.2.当用已知向量表示未知向量比较困难时，应考虑方程思想，利用方程的观点进行求解. [再练一题]3.已知任意四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 的中点.求证：EF →＝12(AB →＋DC →).【证明】 取以点A 为起点的向量，应用三角形法则求证，如图.∵E 为AD 的中点， ∴AE →＝12AD →.∵F 是BC 的中点， ∴AF →＝12(AB →＋AC →).又∵AC →＝AD →＋DC →，∴AF →＝12(AB →＋AD →＋DC →)＝12(AB →＋DC →)＋12AD →， ∴EF →＝AF →－AE →＝12(AB →＋DC →)＋12AD →－12AD →＝12(AB →＋DC →).1.下列各式中不表示向量的是( ) A.0·a B.a ＋3b C.|3a |D.1x －ye (x ，y ∈R ，且x ≠y ) 【解析】 向量的数乘运算结果仍为向量，显然只有|3a |不是向量. 【答案】 C2.下列计算正确的个数是( )①(－3)·2a ＝－6a ；②2(a ＋b )－(2b －a )＝3a ；③(a ＋2b )－(2b ＋a )＝0. A.0 B.1 C.2D.3【解析】 因为(－3)·2a ＝－6a 故①正确；②中左边＝2a ＋2b －2b ＋a ＝3a 成立，故②正确；③中左边＝a ＋2b －2b －a ＝0≠0，故③错误.【答案】 C3.化简：⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋12b ＋c －⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋34b －c 等于( ) A.a －14b ＋2cB.5a －14b ＋2cC.a ＋54b ＋2cD.5a ＋54b【解析】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋12b ＋c －⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋34b －c ＝(3a －2a )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12b －34b ＋(c ＋c )＝a －14b ＋2c.故选A.【答案】 A4.O 为平行四边形ABCD 的中心，AB →＝4e 1，BC →＝6e 2，则3e 2－2e 1＝________.【导学号：72010049】【解析】 设点E 为平行四边形ABCD 的BC 边中点，点F 为AB 边中点，则3e 2－2e 1＝BE →＋BF →＝BO →＝OD →.【答案】 OD →(或BO →) 5.化简下列各式：(1)2(3a －2b )＋3(a ＋5b )－5(4b －a )； (2)16[2(2a ＋8b )－4(4a －2b )]. 【解】 (1)原式＝6a －4b ＋3a ＋15b －20b ＋5a ＝14a －9b ； (2)原式＝16(4a ＋16b －16a ＋8b )＝16(－12a ＋24b )＝－2a ＋4b .我还有这些不足：(1)_________________________________________________________ (2)_________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________________ (2)_________________________________________________________学业分层测评(十六) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.(2016·德州高一检测)若向量方程2x －3(x －2a )＝0，则向量x 等于( ) A.65a B.－6aC.6aD.－65a【解析】 由题意得：2x －3x ＋6a ＝0， 所以有x ＝6a . 【答案】 C2.设P 是△ABC 所在平面内一点，且BC →＋BA →＝2BP →，则( ) A.PA →＋PB →＝0 B.PC →＋PA →＝0 C.PB →＋PC →＝0D.PA →＋PB →＋PC →＝0【解析】 因为BC →＋BA →＝2BP →，所以点P 为线段AC 的中点，故选项B 正确. 【答案】 B3.(2016·北京高一检测)四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，BD →＝－5a －3b ，其中a ，b 不共线，则四边形ABCD 是( )A.梯形B.平行四边形C.菱形D.矩形【解析】 因为AB →＝a ＋2b ，又DC →＝BC →－BD →＝－4a －b －(－5a －3b )＝a ＋2b ＝AB →. 又因在四边形ABCD 中，有|AB →|＝|DC →|且AB ∥DC ， 所以四边形ABCD 为平行四边形. 【答案】 B4.已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( ) A.AO →＝OD → B.AO →＝2OD → C.AO →＝3OD →D.2AO →＝OD → 【解析】 由2OA →＋OB →＋OC →＝0，得OB →＋OC →＝－2OA →，又因为OB →＋OC →＝2OD →，所以AO →＝OD →. 【答案】 A5.如图2128，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF →＝( )图2128A.12AB →－13AD →B.14AB →＋12AD →C.13AB →＋12DA →D.12AB →－23AD → 【解析】 EC →＝12AB →，CF →＝23CB →＝－23AD →，所以EF →＝EC →＋CF →＝12AB →－23AD →.【答案】 D 二、填空题6.(2016·郑州高一检测)已知P 1P →＝23PP 2→，若PP 1→＝λP 1P 2→，则λ等于________.【解析】 因为P 1P →＝23PP 2→，所以－PP 1→＝23(PP 1→＋P 1P 2→)，即PP 1→＝－25P 1P 2→＝λP 1P 2→，所以λ＝－25.【答案】 －257.已知|a |＝6，b 与a 的方向相反，且|b |＝3，a ＝m b ，则实数m ＝__________. 【解析】|a ||b |＝63＝2，∴|a |＝2|b |，又a 与b 的方向相反， ∴a ＝－2b ，∴m ＝－2. 【答案】 －28.(2016·南宁高一检测)若AP →＝tAB →(t ∈R )，O 为平面上任意一点，则OP →＝________.(用OA →，OB →表示)【解析】 AP →＝tAB →，OP →－OA →＝t (OB →－OA →)，OP →＝OA →＋tOB →－tOA →＝(1－t )OA →＋tOB →.【答案】 (1－t )OA →＋tOB →三、解答题9.设a ＝3i ＋2j ，b ＝2i －j ，试用i ，j 表示向量23⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －3b ＋13b －14a －7b . 【导学号：72010050】【解】 23⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －3b ＋13b －14a －7b ＝23(4a －3b )＋29b －16(6a －7b ) ＝83a －2b ＋29b －a ＋76b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83－1a ＋⎝⎛⎭⎪⎫－2＋29＋76b ＝53a －118b ＝53(3i ＋2j )－1118(2i －j ) ＝5i ＋103j －119i ＋1118j ＝349i ＋7118j . 10.如图2129所示，OADB 是以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边的平行四边形.又BM ＝13BC ，CN ＝13CD ，试用a ，b 表示OM →，ON →，MN →.图2129【解】 BM →＝13BC →＝16BA →＝16(OA →－OB →) ＝16(a －b )， 所以OM →＝OB →＋BM →＝b ＋16a －16b ＝16a ＋56b ，CN →＝13CD →＝16OD →， 所以ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD → ＝23OD →＝23(OA →＋OB →) ＝23(a ＋b )＝23a ＋23b . MN →＝ON →－OM →＝23(a ＋b )－16a －56b ＝12a －16b .[能力提升]1.在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝( ) A.23B.－23C.25D.13 【解析】 由题意知CD →＝CA →＋AD →，①CD →＝CB →＋BD →，②且AD →＋2BD →＝0.①＋②×2得3CD →＝CA →＋2CB →，∴CD →＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23. 【答案】 A2.已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝( )A.2B.3C.4D.5【解析】 因为MA →＋MB →＋MC →＝0，所以MA →＋MA →＋AB →＋MA →＋AC →＝0，从而有AB →＋AC →＝－3MA →＝3AM →＝mAM →，故有m ＝3.【答案】 B3.(2016·济宁高一检测)若OA →＝3e 1，OB →＝3e 2，且P 是线段AB 靠近点A 的一个三等分点，则向量OP →用e 1，e 2可表示为OP →＝________.【解析】 如图，OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋13AB → ＝OA →＋13(OB →－OA →) ＝13OB →＋23OA →＝13×3e 2＋23×3e 1＝2e 1＋e 2. 【答案】 2e 1＋e 24.如图2130所示，点P 在直线AB 上，O 为直线外任意一点，且OP →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，求证：λ＋μ＝1.图2130【证明】 ∵点P 在直线AB 上，∴AP →∥AB →，设AP →＝xAB →，∵AP →＝OP →－OA →，AB →＝OB →－OA →，∴OP →－OA →＝x (OB →－OA →)，∴OP →＝(1－x )OA →＋xOB →.又OP →＝λOA →＋μOB →，∴λ＝1－x ，μ＝x ，∴λ＋μ＝1.。
人教B版数学必修四讲义：第2章 2.1 2.1.4 数乘向量 Word版含答案
§2.3 平面向量的数量积2．3.1 向量数量积的物理背景与定义学习目标 1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F 的作用下产生位移s 所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直．知识点一 向量的夹角思考1 平面中的任意两个向量都可以平移至同一起点，它们存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？ 答案 存在夹角，不一样．思考2 △ABC 为正三角形，设AB →＝a ，BC →＝b ，则向量a 与b 的夹角是多少？ 答案 如图，延长AB 至点D ，使AB ＝BD ，则BD →＝a ，∵△ABC 为等边三角形，∴∠ABC ＝60°，则∠CBD ＝120°， 故向量a 与b 的夹角为120°. 梳理 两个向量夹角的定义(1)已知两个非零向量a ，b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 称作向量a 和向量b 的夹角，记作〈a ，b 〉，并规定它的范围是0≤〈a ，b 〉≤π.在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有〈a ，b 〉＝〈b ，a 〉．(2)当〈a ，b 〉＝π2时，我们说向量a 和向量b 互相垂直，记作a ⊥b .知识点二 向量在轴上的正射影思考 向量在轴上的正射影是向量还是数量？其在轴上的坐标的符号取决于谁？答案 向量b 在轴上的射影是一个向量，其在轴上的坐标为数量，其符号取决于夹角θ的范围：当θ为锐角时，该数量为正值；当θ为钝角时，该数量为负值；当θ为直角时，该数量为0；当θ＝0°时，该数量为|b |；当θ＝180°时，该数量为－|b |. 梳理 向量在轴上的正射影 已知向量a 和轴l (如图)．作OA →＝a ，过点O ，A 分别作轴l 的垂线，垂足分别为O 1，A 1，则向量O 1A 1—→叫做向量a 在轴l 上的正射影(简称射影)，该射影在轴l 上的坐标，称作a 在轴l 上的数量或在轴l 的方向上的数量.OA →＝a 在轴l 上正射影的坐标记作a l ，向量a 的方向与轴l 的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有a l ＝|a |cos θ. 知识点三 向量的数量积(内积)思考1 如图，一个物体在力F 的作用下产生位移s ，且力F 与位移s 的夹角为θ，那么力F 所做的功W 是多少？答案 W ＝|F ||s |cos θ.思考2 对于两个非零向量a 与b ，我们把数量|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做a 和b 的数量积(或内积)，记作a·b ，即a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉，那么a·b 的运算结果是向量还是数量？特别地，零向量与任一向量的数量积是多少？ 答案 a·b 的运算结果是数量． 0·a ＝0.梳理 向量数量积的定义|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a 和b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉． 知识点四 向量数量积的性质思考1 设a 与b 都是非零向量，若a ⊥b ，则a·b 等于多少？反之成立吗？答案 a ⊥b ⇔a·b ＝0.思考2 当a 与b 同向时，a·b 等于什么？当a 与b 反向时，a·b 等于什么？特别地，a·a 等于什么？答案 当a 与b 同向时，a·b ＝|a ||b |；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a ||b |； a·a ＝a 2＝|a |2或|a |＝a·a .思考3 |a·b |与|a ||b |的大小关系如何？为什么？对于向量a ，b ，如何求它们的夹角θ？ 答案 |a·b |≤|a ||b |，设a 与b 的夹角为θ， 则a·b ＝|a ||b |cos θ.两边取绝对值得|a·b |＝|a ||b ||cos θ|≤|a ||b |. 当且仅当|cos θ|＝1，即cos θ＝±1，θ＝0或π时，取“＝”． 所以|a·b |≤|a ||b |. cos θ＝a·b |a ||b |.梳理 两个向量内积有如下重要性质(1)如果e 是单位向量，则a ·e ＝e ·a ＝|a |cos 〈a ，e 〉(a ≠0)． (2)a ⊥b ⇒a ·b ＝0，且a ·b ＝0⇒a ⊥b (a ≠0，b ≠0)． (3)a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a .(4)cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |(|a ||b |≠0)．(5)|a ·b |≤|a ||b |.1．向量数量积的运算结果是向量．( × )2．向量a 在向量b 方向上的射影一定是正数．( × ) 3．在等边△ABC 中，向量AB →与向量BC →夹角为60°.( × ) 提示 向量AB →与向量BC →夹角为120°.类型一 求两向量的数量积例1 已知|a |＝4，|b |＝5，a 与b 的夹角为θ，当(1)a ∥b ；(2)a ⊥b ；(3)a 与b 的夹角为30°时，分别求a 与b 的数量积．解 (1)当a ∥b 时，若a 与b 同向，则θ＝0°， a ·b ＝|a ||b |cos 0°＝4×5＝20； 若a 与b 反向，则θ＝180°，∴a ·b ＝|a ||b |cos 180°＝4×5×(－1)＝－20. (2)当a ⊥b 时，θ＝90°，∴a ·b ＝|a ||b |cos 90°＝0. (3)当a 与b 的夹角为30°时，a ·b ＝|a ||b |cos 30° ＝4×5×32＝10 3. 反思与感悟 求平面向量数量积的步骤：(1)求a 与b 的夹角θ，θ∈[0°，180°]；(2)分别求|a |和|b |；(3)求数量积，即a·b ＝|a ||b |cos θ，要特别注意书写时a 与b 之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去．跟踪训练1 已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60° ，则BD →·CD →等于( ) A ．－32a 2B ．－34a 2C.34a 2 D.32a 2 答案 D解析 如图所示，由题意，得BC ＝a ，CD ＝a ，∠BCD ＝120°. ∴BD →·CD →＝(BC →＋CD →)·CD → ＝BC →·CD →＋CD →2 ＝a ·a ·cos 60°＋a 2 ＝32a 2. 类型二 求向量的模例2 已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角θ为π3，求|a ＋b |，|a －b |.解 a·b ＝|a ||b |cos θ＝5×5×12＝252.|a ＋b |＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝25＋2×252＋25＝5 3.|a －b |＝(a －b )2＝|a |2－2a·b ＋|b |2＝25－2×252＋25＝5.引申探究若本例中条件不变，求|2a ＋b |，|a －2b |. 解 a ·b ＝|a ||b |cos θ＝5×5×12＝252，|2a ＋b |＝(2a ＋b )2＝4|a |2＋4a ·b ＋|b |2＝4×25＋4×252＋25＝57.|a －2b |＝(a －2b )2＝|a |2－4a ·b ＋4|b |2＝25－4×252＋4×25＝5 3.反思与感悟 此类求解向量模的问题就是要灵活应用a 2＝|a |2，即|a |＝a 2，勿忘记开方． 跟踪训练2 已知|a |＝|b |＝5，且|3a －2b |＝5，求|3a ＋b |的值． 解 ∵|3a －2b |2＝9|a |2－12a ·b ＋4|b |2 ＝9×25－12a ·b ＋4×25＝325－12a ·b ， ∵|3a －2b |＝5，∴325－12a ·b ＝25， ∴a ·b ＝25.∴|3a ＋b |2＝(3a ＋b )2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2＝9×25＋6×25＋25＝400， 故|3a ＋b |＝20. 类型三 求向量的夹角例3 设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角．解 ∵|n |＝|m |＝1且m 与n 的夹角是60°， ∴m·n ＝|m ||n |cos 60°＝1×1×12＝12.|a |＝|2m ＋n |＝(2m ＋n )2＝4×1＋1＋4m·n＝4×1＋1＋4×12＝7，|b |＝|2n －3m |＝(2n －3m )2＝4×1＋9×1－12m·n＝4×1＋9×1－12×12＝7，a·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )＝m·n －6m 2＋2n 2 ＝12－6×1＋2×1＝－72. 设a 与b 的夹角为θ， 则cos θ＝a·b|a ||b |＝－727×7＝－12.又∵θ∈[0，π]，∴θ＝2π3，故a 与b 的夹角为2π3.反思与感悟 当求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角，注意向量夹角的范围是[0，π]．跟踪训练3 已知a·b ＝－9，a 在b 方向上的正射影的数量为－3，b 在a 方向上的正射影的数量为－32，求a 与b 的夹角θ.解 ∵⎩⎪⎨⎪⎧|a |cos θ＝－3，|b |cos θ＝－32， ∴⎩⎨⎧a ·b|b |＝－3，a ·b |a |＝－32，即⎩⎪⎨⎪⎧－9|b |＝－3，－9|a |＝－32，∴⎩⎪⎨⎪⎧|a |＝6，|b |＝3.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－96×3＝－12.又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.1．已知|a |＝8，|b |＝4，〈a ，b 〉＝120°，则向量b 在a 方向上的正射影的数量为( ) A ．4 B ．－4 C ．2 D ．－2 答案 D解析 向量b 在a 方向上的正射影的数量为 |b |cos 〈a ，b 〉＝4×cos 120°＝－2.2．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5 答案 A解析 ∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝10，① |a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝6，② 由①－②得4a ·b ＝4， ∴a ·b ＝1.3．若a ⊥b ，c 与a 及与b 的夹角均为60°，|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，则(a ＋2b －c )2＝________. 答案 11解析 (a ＋2b －c )2＝a 2＋4b 2＋c 2＋4a ·b －2a ·c －4b ·c ＝12＋4×22＋32＋4×0－2×1×3×cos 60°－4×2×3×cos 60°＝11.4．在△ABC 中，|AB →|＝13，|BC →|＝5，|CA →|＝12，则AB →·BC →的值是________． 答案 －25解析 易知|AB →|2＝|BC →|2＋|CA →|2，C ＝90°. ∴cos B ＝513.又cos 〈AB →，BC →〉＝cos(180°－B )， ∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos(180°－B ) ＝13×5×⎝⎛⎭⎫－513＝－25. 5．已知正三角形ABC 的边长为1，求： (1)AB →·AC →；(2)AB →·BC →；(3)BC →·AC →.解 (1)∵AB →与AC →的夹角为60°， ∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12.(2)∵AB →与BC →的夹角为120°， ∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos 120° ＝1×1×⎝⎛⎭⎫－12＝－12. (3)∵BC →与AC →的夹角为60°，∴BC →·AC →＝|BC →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12.1．两向量a 与b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a ≠0，b ≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a ≠0，b ≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a ＝0或b ＝0或θ＝90°时)． 2．两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆．3．在a·b ＝|a ||b |cos θ中，|b |cos θ和|a |cos θ分别叫做b 在a 方向上的正射影的数量和a 在b 方向上的正射影的数量，要结合图形严格区分． 4．求射影有两种方法(1)b 在a 方向上的正射影的数量为|b |cos θ(θ为a ，b 的夹角)，a 在b 方向上的正射影的数量为|a |cos θ.(2)b 在a 方向上的正射影的数量为a ·b |a |，a 在b 方向上的正射影的数量为a ·b |b |.5．两非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔a ·b ＝0，求向量模时要灵活运用公式|a |＝a 2.一、选择题1．已知|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝19，则|a－b|等于()A.7B.13C.15D.17答案 A解析因为|a＋b|2＝19，所以a2＋2a·b＋b2＝19，所以2a·b＝19－4－9＝6.于是|a－b|＝|a－b|2＝4－6＋9＝7.2．已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b的夹角θ＝150°，则a·b等于() A．－6 B．6 C．－6 3 D．6 3答案 C3．已知|a|＝9，|b|＝62，a·b＝－54，则a与b的夹角θ为() A．45°B．135°C．120°D．150°答案 B解析∵cos θ＝a·b|a||b|＝－549×62＝－22，又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝135°.4．若|a|＝2，|b|＝4，向量a与向量b的夹角为120°，则向量a在向量b方向上的正射影的数量等于()A．－3 B．－2 C．2 D．－1答案 D解析向量a在向量b方向上的正射影的数量是|a|cos θ＝2×cos 120°＝－1.5．已知向量a，b和实数λ，下列选项中错误的是()A．|a|＝a·a B．|a·b|＝|a||b|C．λ(a·b)＝λa·b D．|a·b|≤|a||b|答案 B解析因为|a·b|＝|a||b||cos θ|(θ为向量a与b的夹角)，当且仅当θ＝0或π时，|a·b|＝|a||b|，故B错．6．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π6 B.⎣⎡⎦⎤π3，π C.⎣⎡⎦⎤π3，2π3 D.⎣⎡⎦⎤π6，π答案 B解析 ∵Δ＝a 2－4|a ||b |cos θ(θ为向量a 与b 的夹角)， 若方程有实根，则有Δ≥0，即a 2－4|a ||b |cos θ≥0， 又|a |＝2|b |，∴Δ＝4|b |2－8|b |2cos θ≥0， ∴cos θ≤12.又∵0≤θ≤π，∴π3≤θ≤π.7．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( ) A ．－58 B.18 C.14 D.118答案 B解析 如图所示，∵AF →＝AD →＋DF →＝12AB →＋34AC →，BC →＝AC →－AB →，∴AF →·BC →＝⎝⎛⎭⎫12AB →＋34AC →·(AC →－AB →) ＝－12|AB →|2－14AB →·AC →＋34|AC →|2＝－12×1－14×1×1×12＋34＝18.故选B.8．定义：a ×b ＝|a ||b |·sin θ，其中θ为向量a 与b 的夹角，若|a |＝2，|b |＝5，a ·b ＝－6，则a ×b 等于( )A ．－8B ．8C ．－8或8D ．6答案 B解析 由|a |＝2，|b |＝5，a ·b ＝－6，得cos θ＝－35， ∴sin θ＝45， ∴a ×b ＝|a ||b |·sin θ＝2×5×45＝8. 二、填空题9．已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，若向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________.答案 223解析 ∵|a |＝(3e 1－2e 2)2 ＝9＋4－12×1×1×13＝3， |b |＝(3e 1－e 2)2＝9＋1－6×1×1×13＝22， a ·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝9e 21－9e 1·e 2＋2e 22＝9－9×1×1×13＋2＝8， ∴cos β＝83×22＝223. 10．已知向量a 在向量b 方向上的正射影的数量是23，|b |＝3，则a·b 的值为________． 答案 2解析 a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝|b ||a |cos 〈a ，b 〉＝3×23＝2. 三、解答题11．已知非零向量a ，b ，且a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角． 解 由向量垂直，得⎩⎪⎨⎪⎧ (a ＋3b )·(7a －5b )＝0，(a －4b )·(7a －2b )＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧7a 2＋16a ·b ＝15b 2，7a 2－30a ·b ＝－8b 2， 化简得⎩⎪⎨⎪⎧a ·b ＝12|b |2，|a |＝|b |，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝12|b |2|b |2＝12. 又∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为π3. 12．已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是60°，计算：(1)(2a ＋b )·(2a －b )；(2)|4a －2b |.解 (1)(2a ＋b )·(2a －b )＝(2a )2－b 2＝4|a |2－|b |2＝4×42－82＝0.(2)∵|4a －2b |2＝(4a －2b )2＝16a 2－16a ·b ＋4b 2＝16×42－16×4×8×cos 60°＋4×82＝256，∴|4a －2b |＝16.13．在△ABC 中，已知|AB →|＝5，|BC →|＝4，|AC →|＝3，求：(1)AB →·BC →；(2)AC →在AB →方向上的正射影的数量；(3)AB →在BC →方向上的正射影的数量．解 ∵|AB →|＝5，|BC →|＝4，|AC →|＝3，∴△ABC 为直角三角形，且C ＝90°.∴cos A ＝AC AB ＝35，cos B ＝BC AB ＝45. (1)AB →·BC →＝－BA →·BC →＝－5×4×45＝－16. (2)|AC →|·cos 〈AC →，AB →〉＝AC →·AB →|AB →|＝5×3×355＝95.(3)|AB →|·cos 〈AB →，BC →〉＝BC →·AB →|BC →|＝－BA →·BC →|BC →|＝－5×4×454＝－4. 四、探究与拓展14．已知点A ，B ，C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →的值是________．答案 －25解析 ∵|CA →|2＝|AB →|2＋|BC →|2，∴∠B ＝90°，∴AB →·BC →＝0.∵cos C ＝45，cos A ＝35， ∴BC →·CA →＝|BC →||CA →|cos (180°－C )＝4×5×⎝⎛⎭⎫－45＝－16. CA →·AB →＝|CA →||AB →|cos(180°－A )＝5×3×⎝⎛⎭⎫－35＝－9. ∴AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝－25.15．已知向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，且|a |＝3，|b |＝5，|c |＝7.(1)求a 与b 的夹角θ；(2)是否存在实数μ使μa ＋b 与a －2b 垂直？解 (1)∵a ＋b ＋c ＝0，∴a ＋b ＝－c ，∴|a ＋b |＝|c |.∴(a ＋b )2＝c 2，即a 2＋2a ·b ＋b 2＝c 2，∴a ·b ＝c 2－a 2－b 22＝|c |2－|a |2－|b |22＝49－9－252＝152. 又∵a ·b ＝|a ||b |cos θ，∴152＝3×5×cos θ， ∴cos θ＝12，θ＝60°. (2)∵(μa ＋b )⊥(a －2b )，∴(μa ＋b )·(a －2b )＝0，∴μa 2－2b 2－2μa ·b ＋a ·b ＝0，∴9μ－2×25－2μ×152＋152＝0， ∴μ＝－8512. ∴存在μ＝－8512，使得μa ＋b 与a －2b 垂直．。
2018高中数学人教b版必修四2.1.4数乘向量word学案
2．1．4数乘向量一．学习要点：数乘向量、向量共线和三点共线的判断。
二．学习进程：一、温习引入：一、向量的加法：二、向量的减法：二、讲解新课：一、实数与向量的积引例1：已知非零向量，作出++和)()(a a -+-。
探讨：相同向量相加后，和的长度与方向有什么转变？概念：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ 。
其大小和方向规定如下：大小：方向：二、运算律：引例2：(1)按照概念，求作向量)2(3和6(为非零向量)，并进行比较。
结论：6)2(3= ， 42)42(+=+(2) 已知向量、，求作向量)(2+和22+，并进行比较。
结论：22)(2+=+ 归纳得：设、为任意向量，λ、μ为任意实数，则有：结合律： ；第一分派律：第二分派律：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。
对于任意向量、及任意实数λ、μ,恒有b a b a 2121)(λμλμμμλ±=±。
3、向量共线定理问题① 若是 a b λ=, 那么，向量a 与b 是不是共线？问题② 若是非零向量a 与b 共线， 那么，a b λ=成立么 ？向量共线定理 向量b 与非零．．向量a 共线当且仅当有唯一．．．．．．．一个实数λ，使得 . 三、例题解析：例1：计算(口答)：(1) 4)3(⨯-；(2) ---+)(2)(3 (3) )23()32(+---+例2 已知x 是未知向量，解方程：5()3()0x a x b ++-=例3 已知任意两非零向量、，试作+=, 2+=，3+=。
你能判断A 、B 、C 三点之间的位置关系吗？为何？例4如图，已知3=、3=，试判断与是不是共线?四、课堂练习:教材89页练习.五、课堂小结: 1、概念与定理① a λ的概念及运算律；② 向量共线定理 (0≠a )：a b λ=⇔向量与共线。
2、知识应用：① 证明 向量共线；② 证明 三点共线: λ=⇒A,B,C 三点共线；六、课后作业:见作业（16）C E A B D。
高中数学新人教B版4学案：2.1.4 数乘向量
§2。
1。
4数乘向量一． 基础知识：1．定义:实数λ和向量a 的乘积是一个_______,记作___________. 2．长度：.___________=3．方向:)0(≠a a λ的方向⎪⎩⎪⎨⎧〈〉方向。
时，与当方向；时，与当_______0_______0a a λλ特别地，当.______0_____000====λλ或时，或a a a λ中的实数λ，叫做向量._________的a 4．数乘向量的运算律：设则、,R ∈μλ ①结合律：;__________=）（a μλ②第一分配律：()_____;__________=+a μλ ③第二分配律：().____________=+b a λ5．线性运算：向量的_____、_______和_________的综合运算，通常叫做向量的线性运算。
二． 例题讲解:例1． 计算下列各式: (1);214a ⨯-）（ (2）)(2)(3b a b a --+； （3）).)(())((b a b a -+-+-μλμλ例2． 设x 是未知量，解方程.0)(3)(4=-++b x a x三． 反馈练习：1．下列计算正确的个数是( ）①（-3）;62a a -=• ②;3)2()(2a a b b a =--+ ③.0)2()2(=+-+a b b aA.0个B.1个C.2个D.3个2.将[]化成最简式为（)24(4)822121b a b a --+（ ） A ．b a -2 B 。
a b -2 C 。
b a - D 。
a b - 3．若0)(23=--a x x ,则向量x 等于( ）A ．a 2B 。
a 2- C. a 52 D 。
a 52- 4．在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 为三条中线，G 是它们的交点，则下列等式错误的是( ）A ．BE BG 32= B. AG DG 21= C 。
FG CG 2-= D 。
BC FC DA 213231=+ 5．点G 是三角形ABC 的重心，D 是AB 的中点，则GC GB GA -+等于（ ）A ． 4GDB 。
高中数学必修四导学案：2.1.4数乘向量
正确的运用法则、运算律，进行向量的线性运算。
☆新课引入
相同的几个数相加可以转化为数乘运算，如3＋3＋3＋3＋3=5×3=15.那么相等的几个向量相加是否也能转化为数乘运算呢？这需要从理论上进行探究.
☆合作探究
探究一：向量的数乘运算及其几何意义
思考1：已知非零向量a，求作向量a＋a＋a和（－a）＋（－a）＋（－a）
λ=0时,λa=.
探究二:向量的数乘运算性质
思考2：一般地，设λ，μ为实数，则λ(μa)，(λ＋μ)a，λ(a＋b)分别等于什么？
☆典型例题
例1计算
（1）（－3）×4a；
（2）3（a＋b）－2（a－b）－a；
（3）（2a＋3b－c）－（3a－2b＋c）.
例2在平面上任画一向量 ，求作下列向量：
（1） ，
（2） ，
☆我的收获与困惑
师生学习目标
（一）知识与技能：
学会数乘向量的运算，及其几何意义。
（二）过程与方法：
经历用向量方法解决某些简单的几何问题的过程，体会向量是一种处理几何问题的工具。
（三）情感、态度与价值观：
体会向量语言或运算在解决数学问题和实际问题中的工具作用。
学习重点
数乘向量的定义、运算律
思考2：向量a＋a＋a和（－a）＋（－a）＋（－a）分别如何简化其表示形式？
思考3：设a为非零向量，那么3a和-3a还是向量吗？向量3a和－3a与向量a的大小和方向有什么关系？
实数λ与向量a的积是一个向量，记作，该向量的长度与方向与向量a有什么关系？
（1）|λa|=
（2）λ>0时,λa与a方向；
λ<0时,λa与a方向；
高中数学人教B版必修4学案2.1.4 数乘向量 Word版含解析
数乘向量
.掌握数乘向量的定义并理解其几何意义.(重点)
.理解数乘向量的运算律.
.了解向量线性运算的性质及其几何意义.(难点)
[基础·初探]
教材整理数乘向量
阅读教材～以上内容，完成下列问题.
.定义：实数λ和向量的乘积是一个向量，记作λ，且λ的长度λ＝λ.若≠，当λ＞时，λ的方向与的方向相同；当λ＜时，λ的方向与的方向相反.当λ＝或＝时，＝或λ＝.
.数乘向量的几何意义：把向量沿着的方向或的反方向放大或缩小.
.数乘向量的运算律：
设λ，μ为实数，则
()(λ＋μ)＝λ＋μ；
()λ(μ)＝(λμ)；
()λ(＋)＝λ＋λ(分配律).
设是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正确的有.
①与－λ的方向相反；
②－λ≥；
③与λ方向相同；
④－λ＝λ·.
【解析】由向量数乘的几何意义知③④正确.
【答案】③④
教材整理向量的线性运算
阅读教材“例”以上内容，完成下列问题.
向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫做向量的线性运算.
如图--，在平行四边形中，对角线与交于点，＋＝λ，则λ＝.
图--
【解析】由向量加法的平行四边形法则知＋＝，
又∵是的中点，∴＝，
∴＝，∴＋＝，
∴λ＝.
【答案】
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问：
解惑：
疑问：
解惑：
疑问：
解惑：
疑问：
解惑：
[小组合作型]。
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2.1.4 数乘向量
1.掌握数乘向量的定义并理解其几何意义.(重点)
2.理解数乘向量的运算律.
3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.(难点)
[基础·初探]
教材整理1 数乘向量
阅读教材P86～P87以上内容，完成下列问题.
1.定义：实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且λa的长度|λa|＝|λ||a|.若a≠0，当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a 的方向相反.当λ＝0或a＝0时，0a＝0或λ0＝0.
2.数乘向量的几何意义：把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小.
3.数乘向量的运算律：
设λ，μ为实数，则
(1)(λ＋μ)a＝λa＋μa；
(2)λ(μa)＝(λμ)a；
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb(分配律).
设a是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正确的有________.
①a 与－λa 的方向相反；
②|－λa|≥|a|；
③a 与λ2a 方向相同；
④|－2λa|＝2|λ|·|a|.
【解析】 由向量数乘的几何意义知③④正确.
【答案】 ③④
教材整理2 向量的线性运算
阅读教材P 88“例1”以上内容，完成下列问题. 向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫做向量的线性运算.
如图2-1-26，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →
＋AD →＝λAO →
，则λ＝________.
图2-1-26
【解析】 由向量加法的平行四边形法则知AB →＋AD →＝AC →
，
又∵O 是AC 的中点，∴AC ＝2AO ，
∴AC →＝2AO →，∴AB →＋AD →＝2AO →
，
∴λ＝2.
【答案】 2
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问4：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________
[小组合作型]
(1)若两个非零向量a 与(2x －1)a 方向相同，则x 的取值范
围为______.
(2)若平面内不共线的四点O ，A ，B ，C 满足OB →＝13OA →＋23OC →，则|AB →
||BC →|
＝___. (3)已知点C 在线段AB 的延长线上(在B 点右侧)，且AB ∶AC ＝2∶3.。