2018届高考数学二轮复习浙江专用习题大题规范天天练星期四第一周含答案

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高考数学二轮复习(浙江专用)习题大题规范天天练星期一第四周Word版含答案

礼拜一(三角与数列)2017年____月____日
1.三角(命题企图：考察三角恒等变换、余弦定理及面积公式的综合运用)
(本小题满分14分)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，
且2cos Acos C(tan Atan C－1)＝1.
(1)求B的大小；
33
(2)若a＋c＝2，b＝3，求△ABC的面积.
(1)求数列{ an}的通项公式；
(2)设bn＝n，求数列{ bn}的前n项和Tn.
a2n－1
解(1)设等比数列{ an}的公比为q(q>0)，
a1q564a12
a1q3a1q46a1q2q2.
an2n.
n
n
－
(2)bn
a2n－1
22n
1
1
2
3
4
n
Tn2 23
25
27
22n－1
1
1
2
3
n 1
n
Tn
3
（a＋c）2－2ac－b21
∴2ac＝2，
33
又a＋c＝2，b＝3，
275
∴4－2ac－3＝ac，ac＝4，
∴S△ABC＝
1
1
5
3
5
3
2acsin B＝2×4×
2
＝
16.
2.数列(命题企图：考察等比数列的基本运算及错位相减法乞降)
(本小题满分15分)已知递加的等比数列{ an}的前n项和为Sn，a6＝64，且a4，a5的等差中项为3a3.
解(1)由2cos Acos C(tan Atan C－1)＝1，
sin Asin C
得2cos Acos Ccos Acos C－1＝1，∴2(sin Asin C－cos Acos C)＝1，

浙江省杭州市2018届高考第二次检查数学试题有答案AlUKAP

2017-2018学年杭州市第二次高考科目教学质量检测高三数学检测试卷 2018.04.23考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷密封线内填写学校、班级和姓名． 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效． 4．考试结束，只需上交答题卷．选择题部分（共40分）一、选择题：（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1．已知集合 A ＝{x | x ＞1}， B ＝{x | x ＜2}，则 A ∩B ＝（） A ． { x | 1＜x ＜2} B ． {x | x ＞1} C ． {x | x ＞2} D ． {x | x ≥1}2．设 a ∈R ，若(1＋3i)(1＋a i)∈R （ i 是虚数单位），则 a ＝（） A ． 3 B ．－3 C ．13 D ．－133．二项式512)xx -（的展开式中 x 3项的系数是（） A ． 80 B ． 48 C ．－40 D ．－804．设圆 C 1： x 2＋y 2＝1 与 C 2： (x －2)2＋(y ＋2)2＝1，则圆 C 1与 C 2的位置关系是（） A ．外离 B ．外切 C ．相交 D ．内含5．若实数 x ， y 满足约束条件 2x+3y-90x-2y-10≥⎧⎨≤⎩，设z ＝x ＋2y ，则（）A ． z ≤0B ．0≤z ≤5C ． 3≤z ≤5D ．z ≥56．设 a ＞b ＞0， e 为自然对数的底数．若 a b＝b a，则（） A ． ab ＝e 2 B ． ab ＝21eC ． ab ＞e 2D ． ab ＜e 2 7．已知 0＜a ＜14，随机变量 ξ 的分布列如下： ξ －1 0 1P3 41 4 －aaA ． E (ξ)增大， D (ξ)增大B ． E (ξ)减小， D (ξ)增大C ． E (ξ)增大，D (ξ)减小 D ．E (ξ)减小， D (ξ)减小 8．已知 a ＞0 且 a ≠1，则函数 f (x )＝(x －a )2ln x （） A ．有极大值，无极小值 B ．有极小值，无极大值C．既有极大值，又有极小值 D．既无极大值，又无极小值9．记M 的最大值和最小值分别为M max 和M min．若平面向量a，b，c 满足| a |＝| b |＝a•b ＝c•(a＋2b－2c)＝2．则（）A． |a－c|max＝372+B． |a＋c|max＝372-C． |a－c|min＝√372+D． |a＋c|min＝372-10．已知三棱锥S－ABC 的底面ABC 为正三角形，SA＜SB＜SC，平面SBC，SCA，SAB 与平面ABC 所成的锐二面角分别为α1，α2，α3，则（）A．α1＜α2 B．α1＞α2C．α2＜α3 D．α2＞α3非选择题部分（共 110 分）二、填空题（本大题共 7 小题，第 11-14 题，每小题 6 分， 15-17 每小题 4 分，共 36 分）11．双曲线222xy-= 1的渐近线方程是________，离心率是_______．12．设各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为Sn，若S4＝80，S2＝8，则公比q＝______，a5＝_______．13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________，表面积是________．14．在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，则cos C＝______；当BC＝1时，则△ABC的面积等于______．15．盒子里有完全相同的6个球，每次至少取出1个球(取出不放回)，取完为止，则共有_______种不同的取法（用数字作答）．16．设函数f(x)（x∈R）满足|f(x)－x2|≤14，|f(x)＋1－x2|≤34，则f(1)＝．17．在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．若对任意λ∈R，不等式恒成立，则的最大值为．三、解答题：（本大题共5小题，共74分）18．（本题满分14分）已知函数f(x)＝（Ⅰ）求f (x )的最小正周期和最大值；（Ⅱ）求函数y ＝f (－x )的单调减区间．19．（本题满分15分）如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝120°，M 为线段BC 的中点，D 为线段BC 上一点，且BD ＝BA ，沿直线AD 将△ADC 翻折至△ADC ′，使AC ′⊥BD ．（Ⅰ）证明：平面AMC ′⊥平面ABD ；（Ⅱ）求直线C ′D 与平面ABD 所成的角的正弦值．20．（本题满分15分）已知函数f (x )＝2lnxx x（Ⅰ）求函数f (x )的导函数f ′(x )；（Ⅱ）证明：f (x )＜2e+e（e 为自然对数的底数）．21．（本题满分15分）如图，过抛物线M ：y ＝x 2上一点A （点A 不与原点O 重合）作抛物线M 的切线AB 交y 轴于点B ，点C 是抛物线M 上异于点A 的点，设G 为△ABC 的重心（三条中线的交点），直线CG 交y 轴于点D ．（Ⅰ）设A (x 0，x 02)（x 0≠0），求直线AB 的方程；（Ⅱ）求|OB||OD|的值．22．（本题满分15分）已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋nca （c ＞0，n ∈N *），（Ⅰ）证明：a n ＋1＞a n ≥1；（Ⅱ）若对任意n ∈N *，都有证明：（ⅰ）对于任意m ∈N *，当n ≥m 时，()n m mca n m a a -+≤ （ⅱ）．51n n a -2017学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测数学试题参考答案及评分标准一、选择题：（共10小题，每小题4分，共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ABDADCACAA二、填空题：（共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分） 11．2y x =6 12．3；162 13．143π；6(613)++π 14．－14315 15．3216．3417．三、解答题：(本大题共5小题，共74分)． 18．（本题满分14分）（Ⅰ）因为sin(x ＋74π)＝cos(x －34π)，所以 f (x )＝2sin(x ＋74π)＝－2sin(x ＋34π)．所以函数f (x )的最小正周期是2π，最大值是2．…………7分（Ⅱ）因为f (－x )＝2sin(x －34π)，所以单调递减区间为(54π＋2kπ，94π＋2kπ)（k ∈Z）．…………14分19．（本题满分15分）（Ⅰ）有题意知AM ⊥BD ，又因为 AC ′⊥BD ，所以 BD ⊥平面AMC ，因为BD ⊂平面ABD ，所以平面AMC ⊥平面AB D ．…………7分（Ⅱ）在平面AC ′M 中，过C ′作C ′F ⊥AM 交AM 于点F ，连接F D ．由（Ⅰ）知，C ′F ⊥平面ABD ，所以∠C ′DF 为直线C ′D 与平面ABD 所成的角．设AM ＝1，则AB ＝AC ＝2，BCMD ＝2DC ＝DC ′＝2，AD．在Rt△C ′MD 中，222222)(2MC C D MD ''=-=-＝9－设AF ＝x ，在Rt△C ′FA 中，AC ′2－AF 2＝MC ′2－MF 2，即 4－x 2＝(9－－(x －1)2，解得，x ＝2，即AF ＝2．所以 C ′F ＝故直线C D '与平面ABD 所成的角的正弦值等于C FAF '． …………15分20．（本题满分15分）（I ）221(21)ln ()()x x xf x x x +-+'=+．…………6分（Ⅱ）设111()ln ln 21242x g x x x x x +=-=+-++，则函数g (x )在(0,)+∞单调递减，且0g >，(e)0g <，ABC′D M F （第19题）所以存在0x ∈，使g (x 0)＝0，即0001ln 021x x x +-=+，所以 x 0＋1－(2x 0＋1)ln x 0＝0，所以 f ′(x )＝0，且f (x )在区间(0，x 0)单调递增，区间(x 0，＋∞)单调递减．所以 f (x )≤f (x 0)＝00ln (1)x x x +＝001(21)x x + …………15分21．（本题满分15分）（Ⅰ）因为 y ′＝2x ，所以直线AB 的斜率k ＝y ′0|x x =＝2x 0．所以直线AB 的方程y －x 0＝2x 0(x －x 0)，即 y ＝2x 0x －20x ．…………6分（Ⅱ）由题意得，点B 的纵坐标y B ＝－20x ，所以AB 中点坐标为0(,0)2x ．设C (x 1，y 1)，G (x 2，y 2)，直线CG 的方程为x ＝my ＋12x 0．由021,2x my x y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，联立得m 2y 2＋(mx 0－1)y ＋2014x ＝0．因为G 为△ABC 的重心，所以y 1＝3y 2．由韦达定理，得y 1＋y 2＝4y 2＝021mx m-，y 1y 2＝3220224x y m=．所以 220042(1)1612mx x mm-=，解得 mx 0＝3-±所以点D 的纵坐标y D＝202x m -=，故||||6||BDy OB OD y ==±． …………15分22．（本题满分15分）（Ⅰ）因为c ＞0，所以 a n ＋1＝a n ＋nca ＞a n （n ∈N *），下面用数学归纳法证明a n ≥1． ①当n ＝1时，a 1＝1≥1； ②假设当n ＝k 时，a k ≥1，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝a k ＋kca ＞a k ≥1．所以，当n ∈N *时，a n ≥1．所以 a n ＋1＞a n ≥1．…………5分（Ⅱ）（ⅰ）当n ≥m 时，a n ≥a m ，所以 a n ＋1＝a n ＋n c a ≤a n ＋mca ，所以 a n ＋1－a n ≤m c a ，累加得 a n －a m ≤mc a (n －m )，所以 ()n m mca n m a a -+≤． …………9分（ⅱ）若12c >，当282(21)c m c ->-时， 21822()1221(21)m c c a c c c ->--=--，所以12m c c a <-．所以当n m ≥时，1()1()2n m mcc n a n m a a ---+≤≤．所以当112m m mcm a a n c c a +->--时，1()1()2m m cc n n m a a -->-+，矛盾．所以 12c ≤．因为 222222125224n nn n nc a a c a c c a a +=+++++≤≤，所以n a …………15分。

2018年度高考浙江数学带内容规范标准答案

绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上。

2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。

参考公式：若事件A ，B 互斥，则()()()P A B P A P B +=+ 若事件A ，B 相互独立，则()()()P AB P A P B = 若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()C (1)(0,1,2,,)k k n k n n P k p p k n -=-=L台体的体积公式121()3V S S h =其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高柱体的体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高球的表面积公式24S R =π球的体积公式343V R =π其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U ={1，2，3，4，5}，A ={1，3}，则=U A ð A ．∅B ．{1，3}C ．{2，4，5}D ．{1，2，3，4，5}2．双曲线221 3=x y -的焦点坐标是A ．(−2，0)，(2，0)B ．(−2，0)，(2，0)C ．(0，−2)，(0，2)D ．(0，−2)，(0，2)3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是俯视图正视图2211A ．2B ．4C ．6D ．84．复数21i- (i 为虚数单位)的共轭复数是 A ．1+iB ．1−iC ．−1+iD ．−1−i5．函数y =||2x sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．6．已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．设0<p <1，随机变量ξ的分布列是则当p 在（0，1）内增大时， A ．D （ξ）减小B ．D （ξ）增大C ．D （ξ）先减小后增大D ．D （ξ）先增大后减小8．已知四棱锥S −ABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点），设SE 与BC 所成的角为θ1，SE 与平面ABCD 所成的角为θ2，二面角S −AB −C 的平面角为θ3，则 A ．θ1≤θ2≤θ3B ．θ3≤θ2≤θ1C ．θ1≤θ3≤θ2D ．θ2≤θ3≤θ19．已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是 A 1BC ．2D ．210．已知1234,,,a a a a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则 A ．1324,a a a a <<B ．1324,a a a a ><C ．1324,a a a a <>D ．1324,a a a a >>非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

(教师用书)2018年浙江高考数学二轮复习技法强化训练及答案(4份)

技法强化训练(一) 函数与方程思想(对应学生用书第159页)题组1 运用函数与方程思想解决数列、不等式等问题1．已知{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ≠0，S n 是其前n 项和，若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8的值为( ) A ．16 B ．32 C ．64D ．62C [由题意可知a 22＝a 1a 5，即(1＋d )2＝1³(1＋4d )，解得d ＝2， ∴a n ＝1＋(n －1)³2＝2n －1.∴S 8＝ a 1＋a 8 ³82＝4³(1＋15)＝64.]2．若2x ＋5y ≤2－y ＋5－x，则有( ) A ．x ＋y ≥0 B ．x ＋y ≤0 C ．x －y ≤0D ．x －y ≥0B [原不等式可化为2x－5－x≤2－y－5y，构造函数y ＝2x－5－x，其为R 上的增函数，所以有x ≤－y ，即x ＋y ≤0.]3．若关于x 的方程x 2＋2kx －1＝0的两根x 1，x 2满足－1≤x 1＜0＜x 2＜2，则k 的取值范围是( ) 【导学号：68334007】A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－34，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34 B [构造函数f (x )＝x 2＋2kx －1，因为关于x 的方程x 2＋2kx －1＝0的两根x 1，x 2满足－1≤x 1＜0＜x 2＜2，所以⎩⎪⎨⎪⎧f －1 ≥0，f 0 ＜0，f 2 ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2k ≥0，－1＜0，4k ＋3＞0，所以－34＜k ≤0，所以k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－34，0.]4．已知数列{a n }满足a 1＝60，a n ＋1－a n ＝2n (n ∈N *)，则a n n的最小值为________．292[由a n ＋1－a n ＝2n ，得 a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2(n －1)＋2(n －2)＋…＋2＋60 ＝n 2－n ＋60.∴a n n ＝n 2－n ＋60n ＝n ＋60n－1.令f (x )＝x ＋60x－1，易知f (x )在(0,215)上单调递减，在(215，＋∞)上单调递增．又n ∈N *，当n ＝7时，a 77＝7＋607－1＝1027，当n ＝8时，a 88＝8＋608－1＝292.又292＜1027，故a n n 的最小值为292.] 5．已知函数f (x )＝x ln x ＋a ，g (x )＝12x 2＋ax ，其中a ≥0.(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与曲线y ＝g (x )也相切，求a 的值； (2)证明：x ＞1时，f (x )＋12＜g (x )恒成立．【导学号：68334008】[解] (1)由f (x )＝x ln x ＋a ，得f (1)＝a ，f ′(x )＝ln x ＋1，所以f ′(1)＝1. 1分所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线为y ＝x ＋a －1.因为直线y ＝x ＋a －1与曲线y ＝g (x )也相切，所以两方程联立消元得12x 2＋ax ＝a ＋x －1，即12x 2＋(a －1)x ＋1－a ＝0，3分所以Δ＝(a －1)2－4³12³(1－a )＝0，得a 2＝1.因为a ≥0，所以a ＝1.4分(2)证明：x ＞1时，f (x )＋12＜g (x )恒成立，等价于12x 2＋ax －x ln x －a －12＞0恒成立．令h (x )＝12x 2＋ax －x ln x －a －12，则h (1)＝0且h ′(x )＝x ＋a －ln x －1.6分令φ(x )＝x －ln x －1，则φ(1)＝0且φ′(x )＝1－1x ＝x －1x，8分所以x ＞1时，φ′(x )＞0，φ(x )单调递增，所以φ(x )＞φ(1)＝0.又因为a ≥0，所以h ′(x )＞0，h (x )单调递增，所以h (x )＞h (1)＝0，所以x ＞1时，12x 2＋ax －x ln x －a －12＞0恒成立，11分即x ＞1时，f (x )＋12＜g (x )恒成立.12分题组2 利用函数与方程思想解决几何问题6．设抛物线C ：y 2＝3px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B ．y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16xC [由抛物线的定义可知MF ＝x M ＋3p 4＝5，∴x M ＝5－3p 4，y 2M ＝15p －9p24，故以MF 为直径的圆的方程为(x －x M )(x －x F )＋(y －y M )(y －y F )＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫0－5＋3p 4⎝ ⎛⎭⎪⎫0－3p 4＋(2－y M )(2－0)＝0.∴y M ＝2＋15p 8－9p 232＝2＋y 2M 8⇒y M ＝4，p ＝43或163.∴C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .]7．(2017²宁波市镇海中学高三模拟考试)在直三棱柱A 1B 1C 1ABC 中，∠BAC ＝π2，AB ＝AC ＝AA 1＝1，已知G 和E 分别为A 1B 1和CC 1的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点(不包括端点)，若GD ⊥EF ，则线段DF 的长度的取值范围为( )【导学号：68334009】A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫55，1 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤55，1 C.⎝⎛⎭⎪⎫255，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫255，1 A [建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，1，设F (x,0,0)，D (0，y,0)，则GD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y ，－1，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，－1，－12，x ，y ∈(0,1)．由于GD ⊥EF ，所以x ＋2y －1＝0，x ＝1－2y ∈(0,1)，解得0＜y ＜12.DF ＝x 2＋y 2＝5y 2－4y ＋1＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫y －252＋15，当且仅当y ＝25时，线段DF 长度的最小值是55，当y ＝0时，线段DF 的最大值是1，由于不包括端点，故y ＝0不能取，所以线段DF 的长度的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫55，1，故选A.] 8．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝32，并且经过定点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12.(1)求椭圆E 的方程；(2)问：是否存在直线y ＝－x ＋m ，使直线与椭圆交于A ，B 两点，且满足OA →²OB →＝125？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由. 【导学号：68334010】[解] (1)由e ＝c a ＝32且3a 2＋14b2＝1，c 2＝a 2－b 2，解得a 2＝4，b 2＝1，即椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1.4分(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝－x ＋m⇒x 2＋4(m －x )2－4＝0⇒5x 2－8mx ＋4m 2－4＝0.(*) 所以x 1＋x 2＝8m 5，x 1x 2＝4m 2－45，8分y 1y 2＝(m －x 1)(m －x 2)＝m 2－m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＝m 2－85m 2＋4m 2－45＝m 2－45，由OA →²OB →＝125得(x 1，y 1)²(x 2，y 2)＝125，即x 1x 2＋y 1y 2＝125，4m 2－45＋m 2－45＝125，m ＝±2.又方程(*)要有两个不等实根，所以Δ＝(－8m )2－4³5(4m 2－4)＞0，解得－5＜m ＜5，所以m ＝±2.12分9．如图1，直三棱柱ABC A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝5，AA ′＝AB ＝6，D ，E 分别为AB 和BB ′上的点，且AD DB ＝BE EB ′＝λ.图1(1)求证：当λ＝1时，A ′B ⊥CE ；(2)当λ为何值时，三棱锥A ′CDE 的体积最小，并求出最小体积． [解] (1)证明：∵λ＝1，∴D ，E 分别为AB 和BB ′的中点. 1分又AA ′＝AB ，且三棱柱ABC A ′B ′C ′为直三棱柱， ∴平行四边形ABB ′A ′为正方形，∴DE ⊥A ′B . 2分 ∵AC ＝BC ，D 为AB 的中点，∴CD ⊥AB . 3分 ∵三棱柱ABC A ′B ′C ′为直三棱柱， ∴CD ⊥平面ABB ′A ′，∴CD ⊥A ′B ， 4分又CD ∩DE ＝D ，∴A ′B ⊥平面CDE . ∵CE ⊂平面CDE ，∴A ′B ⊥CE .6分(2)设BE ＝x ，则AD ＝x ，DB ＝6－x ，B ′E ＝6－x .由已知可得C 到平面A ′DE 的距离即为△ABC 的边AB 所对应的高h ＝AC 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫AB 22＝4， 8分 ∴V A ′CDE ＝V C A ′DE ＝13(S 四边形ABB ′A －S △AA ′D －S △DBE －S △A ′B ′E )²h＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤36－3x －12 6－x x －3 6－x ²h ＝23(x 2－6x ＋36)＝23[(x －3)2＋27](0＜x ＜6)，14分 ∴当x ＝3，即λ＝1时，V A ′CDE 有最小值18. 15分技法强化训练(二) 数形结合思想(对应学生用书第160页)题组1 利用数形结合思想解决方程的根或函数零点问题 1．方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a ＞0)的解的个数是( )【导学号：68334011】A ．1B ．2C ．3D ．4B [∵a ＞0，∴a 2＋1＞1. 而y ＝|x 2－2x |的图象如图，∴y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有2个交点．]2．已知函数f (x )＝|log 2|x ||－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，则下列结论正确的是( )A ．f (x )有三个零点，且所有零点之积大于－1B ．f (x )有三个零点，且所有零点之积小于－1C ．f (x )有四个零点，且所有零点之积大于1D ．f (x )有四个零点，且所有零点之积小于1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象， A [在同一坐标系中分别作出f 1(x )＝|log 2|x ||与f 2(x )如图所示，由图象知f 1(x )与f 2(x )有三个交点，设三个交点的横坐标从左到右分别是x 1，x 2，x 3，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＞0，所以－12＜x 1＜－14，同理12＜x 2＜1,1＜x 3＜2，即－1＜x 1x 2x 3＜－18，即所有零点之积大于－1.]3．设函数f (x )的定义域为R ，f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 3，则函数g (x )＝|cos(πx )|－f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，52上的所有零点的和为( )A ．7B ．6C ．3D ．2A [函数g (x )＝|cos(πx )|－f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，52上的零点为函数h (x )＝|cos(πx )|与函数f (x )的交点的横坐标．因为f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，所以函数f (x )为关于x ＝1对称的偶函数，又因为当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 3，则在平面直角坐标系内画出函数h (x )＝|cos(πx )|与函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，52内的图象，如图所示，由图易得两函数图象共有7个交点，不妨设从左到右依次为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，x 7，则由图易得x 1＋x 2＝0，x 3＋x 5＝2，x 4＝1，x 6＋x 7＝4，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6＋x 7＝7，即函数g (x )＝|cos(πx )|－f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，52上的零点的和为7，故选A.]4．若函数f (x )＝a ＋sin x 在[π，2π]上有且只有一个零点，则实数a ＝________.【导学号：68334012】1 [函数f (x )＝a ＋sin x 在[π，2π]上有且只有一个零点，即方程a ＋sin x ＝0在[π，2π]上只有一解，即函数y ＝－a 与y ＝sin x ，x∈[π，2π]的图象只有一个交点，由图象可得a ＝1.]5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤a ，x 2，x ＞a ，若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，则a 的取值范围是________．(－∞，0)∪(1，＋∞) [函数g (x )有两个零点，即方程f (x )－b ＝0有两个不等实根，则函数y ＝f (x )和y ＝b 的图象有两个公共点．①若a ＜0，则当x ≤a 时，f (x )＝x 3，函数单调递增；当x ＞a 时，f (x )＝x 2，函数先单调递减后单调递增，f (x )的图象如图(1)实线部分所示，其与直线y ＝b 可能有两个公共点．②若0≤a ≤1，则a 3≤a 2，函数f (x )在R 上单调递增，f (x )的图象如图(2)实线部分所示，其与直线y ＝b 至多有一个公共点．③若a ＞1，则a 3＞a 2，函数f (x )在R 上不单调，f (x )的图象如图(3)实线部分所示，其与直线y ＝b 可能有两个公共点．综上，a ＜0或a ＞1.]题组2 利用数形结合思想求解不等式或参数范围6．若不等式log a x ＞sin 2x (a ＞0，a ≠1)对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4都成立，则a 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，π4B.⎝⎛⎭⎪⎫π4，1C.⎝⎛⎭⎪⎫π4，π2D ．(0,1)A [记y1＝log a x (a ＞0，a ≠1)，y 2＝sin 2x ，原不等式即为y 1＞y 2，由题意作出两个函数的图象，如图所示，知当y 1＝log a x 的图象过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1时，a ＝π4，所以当π4＜a ＜1时，对任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4都有y 1＞y 2.]7．函数f (x )是定义域为{x |x ≠0}的奇函数，且f (1)＝1，f ′(x )为f (x )的导函数，当x ＞0时，f (x )＋xf ′(x )＞1x，则不等式xf (x )＞1＋ln|x |的解集是( )【导学号：68334013】A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(－1,1)A [令g (x )＝xf (x )－ln|x |，则g (x )是偶函数，且当x ＞0时，g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )－1x＞0，∴g (x )在(0，＋∞)上单调递增．故不等式xf (x )＞1＋ln|x |⇔g (|x |)＞g (1)， ∴|x |＞1，解得x ＞1或x ＜－1.故选A.]8．若不等式|x －2a |≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 [作出y ＝|x －2a |和y ＝12x ＋a －1的简图，依题意知应有2a ≤2－2a ，故a ≤12.]9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0＜x ≤10，－12x ＋6，x ＞10.若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是________．(10,12) [作出f (x )的大致图象．由图象知，要使f (a )＝f (b )＝f (c )，不妨设a ＜b ＜c ，则－lg a ＝lg b ＝－12c ＋6.∴lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1， ∴abc ＝c .由图知10＜c ＜12，∴abc ∈(10,12)．]10．(2017²杭州市高三年级第二学期教学质量检测)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos π2x ，|x |≤1，x 2－1，|x |＞1，若|f (x )＋f (x ＋l )－2|＋|f (x )－f (x ＋l )|≥2(l ＞0)对任意实数x 都成立，则l 的最小值为________. 【导学号：68334014】23 [作出函数f (x )的图象如图，要使原不等式对任意实数x 都成立，由不等式|a |＋|b |≥|a ±b |得|f (x )＋f (x ＋l )－2|＋|f (x )－f (x ＋l )|≥|[f (x )＋f (x ＋l )－2]±[f (x )－f (x ＋l )]|≥2，化简得⎩⎪⎨⎪⎧|2f x －2|≥2，|2f x ＋l －2|≥2，即⎩⎪⎨⎪⎧f x ≥2，f x ＋l ≥2对任意实数恒成立，当x ＝－3时，f (－3＋l )≥2，l ＞0，则l －3≥3，l ≥23，故l 的最小值是2 3.]题组3 利用数形结合解决解析几何问题11．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m ＞0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( ) A ．7 B ．6 C ．5D ．4B [根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m ，因为∠APB ＝90°，连接OP ，易知|OP |＝12|AB |＝m .要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离．因为|OC |＝32＋42＝5，所以|OP |max ＝|OC |＋r ＝6，即m 的最大值为6.]12．(2017²杭州高级中学高三最后一模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C 的某一条渐近线交于两点P ，Q ，若∠PAQ ＝π3且OQ →＝5OP →，则双曲线C 的离心率为( )【导学号：68334015】A.213 B ．2C.72D ．3A [由图知△APQ 是等边三角形，设PQ 的中点为H ，圆的半径为r ，则AH ⊥PQ ，AH ＝32r ，PQ ＝r ，由题易知，点P ，Q 在原点O 的同侧，因为OQ →＝5OP →，所以OP ＝14r ，PH ＝12r ，即OH ＝14r ＋12r ＝34r ，所以tan ∠HOA ＝AH OH ＝233，即b a ＝233，b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝43，从而得e ＝c a ＝213，故选A.]13．已知P 是直线l ：3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，则四边形PACB 面积的最小值为________． 22 [从运动的观点看问题，当动点P 沿直线3x ＋4y ＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形PAC 的面积S Rt △PAC ＝12|PA |²|AC |＝12|PA |越来越大，从而S 四边形PACB 也越来越大；当点P 从左上、右下两个方向向中间运动时，S 四边形PACB变小，显然，当点P 到达一个最特殊的位置，即CP 垂直于直线l 时，S 四边形PACB 应有唯一的最小值，此时|PC |＝|3³1＋4³1＋8|32＋42＝3，从而|PA |＝|PC |2－|AC |2＝2 2.所以(S 四边形PACB )min ＝2³12³|PA |³|AC |＝2 2.]14．已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B . (1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由. 【导学号：68334016】[解] (1)圆C 1的方程x 2＋y 2－6x ＋5＝0可化为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆心坐标为(3,0). (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)，M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.由题意可知直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为y ＝tx . 将上述方程代入圆C 1的方程，化简得(1＋t 2)x 2－6x ＋5＝0.5分由题意，可得Δ＝36－20(1＋t 2)＞0(*)，x 1＋x 2＝61＋t 2，所以x 0＝31＋t 2，代入直线l 的方程，得y 0＝3t1＋t2. 6分因为x 20＋y 20＝9 1＋t 2 2＋9t 2 1＋t 2 2＝9 1＋t 21＋t 2 2＝91＋t 2＝3x 0，所以⎝⎛⎭⎪⎫x 0－322＋y 20＝94. 由(*)解得t 2＜45，又t 2≥0，所以53＜x 0≤3.所以线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94⎝ ⎛⎭⎪⎫53＜x ≤3. 8分图，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，253，(3)由(2)知，曲线C 是在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤53，3上的一段圆弧．如E 53，－253，F (3,0)，直线L 过定点G (4,0).11分联立直线L 的方程与曲线C 的方程，消去y 整理得(1＋k 2)x 2－(3＋8k 2)x ＋16k 2＝0.令判别式Δ＝0，解得k ＝±34，由求根公式解得交点的横坐标为x H ，I ＝125∈⎝ ⎛⎦⎥⎤53，3.由图可知：要使直线L 与曲线C 只有一个交点，则k ∈[k DG ，k EG ]∪{k GH ，k GI }，即k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－257，257∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－34，34. 15分技法强化训练(三) 分类讨论思想(对应学生用书第161页)题组1 由概念、法则、公式引起的分类讨论1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝P n－1(P 是常数)，则数列{a n }是( )【导学号：68334017】A ．等差数列B ．等比数列C ．等差数列或等比数列D ．以上都不对D [∵S n ＝P n－1，∴a 1＝P －1，a n ＝S n －S n －1＝(P －1)Pn －1(n ≥2)．当P ≠1且P ≠0时，{a n }是等比数列；当P ＝1时，{a n }是等差数列；当P ＝0时，a 1＝－1，a n ＝0(n ≥2)，此时{a n }既不是等差数列也不是等比数列．]2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋ax ，x ≤1，2ax －5，x ＞1.若存在x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，使得f (x 1)＝f (x 2)成立，则实数a 的取值范围是( ) 【导学号：68334018】A ．(－∞，2)B ．(－∞，4)C ．[2,4]D ．(2，＋∞)B [当－a－2＜1，即a ＜2时，显然满足条件；当a ≥2时，由－1＋a ＞2a －5得2≤a ＜4，综上可知a ＜4.]3．已知函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )为f (x )的导函数，函数y ＝f ′(x )的图象如图1所示，且f (－2)＝1，f (3)＝1，则不等式f (x 2－6)＞1的解集为( )图1A ．(－3，－2)∪(2,3)B ．(－2，2)C ．(2,3)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)A [由导函数图象知，当x ＜0时，f ′(x )＞0，即f (x )在(－∞，0)上为增函数，当x ＞0时，f ′(x )＜0，即f (x )在(0，＋∞)上为减函数，又不等式f (x 2－6)＞1等价于f (x 2－6)＞f (－2)或f (x 2－6)＞f (3)，故－2＜x 2－6≤0或0≤x 2－6＜3，解得x ∈(－3，－2)∪(2,3)．]4．已知实数m 是2,8的等比中项，则曲线x 2－y 2m＝1的离心率为( )A. 2B.32C. 5D.5或32D [由题意可知，m 2＝2³8＝16，∴m ＝±4. (1)当m ＝4时，曲线为双曲线x 2－y 24＝1.此时离心率e ＝ 5.(2)当m ＝－4时，曲线为椭圆x 2＋y 24＝1.此时离心率e ＝32.] 5．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和S n >0(n ＝1,2,3，…)，则q 的取值范围是________. (－1,0)∪(0，＋∞) [因为{a n }是等比数列，S n >0，可得a 1＝S 1>0，q ≠0. 当q ＝1时，S n ＝na 1>0；当q ≠1时，S n ＝a 1 1－q n1－q>0，即1－q n1－q >0(n ∈N *)，则有⎩⎪⎨⎪⎧1－q >0，1－q n>0 ①或⎩⎪⎨⎪⎧1－q <0，1－q n<0，②由①得－1<q <1，由②得q >1.故q 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．]6．若x ＞0且x ≠1，则函数y ＝lg x ＋log x 10的值域为________． (－∞，－2]∪[2，＋∞) [当x ＞1时，y ＝lg x ＋1lg x ≥2lg x ²1lg x＝2，当且仅当lg x ＝1，即x ＝10时等号成立；当0＜x ＜1时，y ＝lg x ＋1lg x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤ －lg x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1lg x ≤－2－lg x ²1 －lg x ＝－2，当且仅当lg x ＝1lg x ，即x ＝110时等号成立．∴y ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．]题组2 由参数变化引起的分类讨论7．已知集合A ＝{x |1≤x ＜5}，C ＝{x |－a ＜x ≤a ＋3}．若C ∩A ＝C ，则a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，－1B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32C ．(－∞，－1]D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞C [因为C ∩A ＝C ，所以C ⊆A .①当C ＝∅时，满足C ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，得a ≤－32；②当C ≠∅时，要使C ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧－a ＜a ＋3，－a ≥1，a ＋3＜5，解得－32＜a ≤－1.由①②得a ≤－1.]8．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≥－1y ≥0，所表示的平面区域为D ，若直线y ＝kx －3与平面区域D 有公共点，则k 的取值范围为( ) 【导学号：68334020】 A ．[－3,3]B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－13∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞C ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 C [满足不等式组的平面区域如图中阴影部分所示．∵y ＝kx －3过定点(0，－3)，∴当y ＝kx －3过点C (1,0)时，k ＝3；当y ＝kx －3过点B (－1,0)时，k ＝－3.∴k ≤－3或k ≥3时，直线y ＝kx －3与平面区域D 有公共点，故选C.] 9．已知函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋ax 2＋1，试讨论函数f (x )的单调性． [解] 由题意知f (x )的定义域为(0，＋∞)，1分 f ′(x )＝a ＋1x ＋2ax ＝2ax 2＋a ＋1x.2分 ①当a ≥0时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增. 4分 ②当a ≤－1时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减. 6分 ③当－1<a <0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝－a ＋12a， 7分则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 时，f ′(x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞时，f ′(x )<0. 故f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞上单调递减.10分综上，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ≤－1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当－1<a <0时，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞上单调递减.题组3 根据图形位置或形状分类讨论10．已知中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，则双曲线的离心率为( ) A.54B.53C.54或53D.35或45C [若双曲线的焦点在x 轴上，则b a ＝34，e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝54；若双曲线的焦点在y 轴上，则b a ＝43，e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝53，故选C.] 11．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为________.【导学号：68334021】43或833[若侧面矩形的长为6，宽为4，则V ＝S 底³h ＝12³2³2³sin 60°³4＝4 3.若侧面矩形的长为4，宽为6，则V ＝S 底³h ＝12³43³43³sin 60°³6＝833.] 12．已知中心在原点O ，左焦点为F 1(－1,0)的椭圆C 的左顶点为A ，上顶点为B ，F 1到直线AB 的距离为77|OB |.图2(1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 1的方程为：x 2m 2＋y 2n 2＝1(m ＞n ＞0)，椭圆C 2的方程为：x 2m 2＋y 2n2＝λ(λ＞0，且λ≠1)，则称椭圆C 2是椭圆C 1的λ倍相似椭圆．如图2，已知C 2是椭圆C 的3倍相似椭圆，若椭圆C 的任意一条切线l 交椭圆C 2于两点M ，N ，试求弦长|MN |的取值范围. 【导学号：68334022】[解] (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，∴直线AB 的方程为x －a ＋yb＝1，∴F 1(－1,0)到直线AB 的距离d ＝|b －ab |a 2＋b 2＝77b ，2分a 2＋b 2＝7(a －1)2，又b 2＝a 2－1，解得a ＝2，b ＝3， 3分故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.4分(2)椭圆C 的3倍相似椭圆C 2的方程为x 212＋y 29＝1，5分①若切线l 垂直于x 轴，则其方程为x ＝±2，易求得|MN |＝2 6. 6分②若切线l 不垂直于x 轴，可设其方程y ＝kx ＋b ，将y ＝kx ＋b 代入椭圆C 的方程，得(3＋4k 2)x 2＋8kbx ＋4b 2－12＝0，7分∴Δ＝(8kb )2－4(3＋4k 2)(4b 2－12)＝48(4k 2－3－b 2)＝0，即b 2＝4k 2＋3，(*)8分记M ，N 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．将y ＝kx ＋b 代入椭圆C 2的方程，得(3＋4k 2)x 2＋8kbx ＋4b 2－36＝0， 9分此时x 1＋x 2＝－8kb 3＋4k ，x 1x 2＝4b 2－363＋4k ，|x 1－x 2|＝43 12k 2＋9－b 23＋4k ， 10分∴|MN |＝1＋k 2³43 12k 2＋9－b 23＋4k2＝461＋k23＋4k2＝261＋13＋4k2. ∵3＋4k 2≥3，∴1＜1＋13＋4k 2≤43，即26＜261＋13＋4k2≤4 2. 综合①②得：弦长|MN |的取值范围为[26，42]. 15分技法强化训练(四) 转化与化归思想(对应学生用书第162页)题组1 正与反的相互转化1．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( ) A.15B.35 C.710D.910D [甲或乙被录用的对立面是甲、乙均不被录用，故所求事件的概率为1－110＝910.]2．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值c ，使得f (c )＞0，则实数p 的取值范围为________. 【导学号：68334023】⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32 [如果在[－1,1]内没有值满足f (c )＞0，则⎩⎪⎨⎪⎧f －1 ≤0，f 1 ≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧p ≤－12或p ≥1，p ≤－3或p ≥32⇒p ≤－3或p ≥32，取补集为－3＜p ＜32，即为满足条件的p 的取值范围．故实数p 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－3，32.]3．若椭圆x 22＋y 2＝a 2(a ＞0)与连接两点A (1,2)，B (3,4)的线段没有公共点，则实数a 的取值范围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，322∪⎝ ⎛⎭⎪⎫822，＋∞ [易知线段AB 的方程为y ＝x ＋1，x ∈[1,3]，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 22＋y 2＝a 2，得a 2＝32x 2＋2x ＋1，x ∈[1,3]，∴92≤a 2≤412.又a ＞0， ∴322≤a ≤822. 故当椭圆与线段AB 没有公共点时，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，322∪⎝ ⎛⎭⎪⎫822，＋∞.]4．已知点A (1,1)是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点，F 1，F 2是椭圆的两焦点，且满足|AF 1|＋|AF 2|＝4.(1)求椭圆的两焦点坐标；(2)设点B 是椭圆上任意一点，当|AB |最大时，求证：A ，B 两点关于原点O 不对称．[解] (1)由椭圆定义，知2a ＝4，所以a ＝2.所以x 24＋y 2b＝1.2分把A (1,1)代入，得14＋1b 2＝1，得b 2＝43，所以椭圆方程为x 24＋y 243＝1.4分所以c 2＝a 2－b 2＝4－43＝83，即c ＝263.故两焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫263，0.6分(2)反证法：假设A ，B 两点关于原点O 对称，则B 点坐标为(－1，－1)，7分此时|AB |＝22，而当点B 取椭圆上一点M (－2,0)时，则|AM |＝10，所以|AM |>|AB |. 从而知|AB |不是最大，这与|AB |最大矛盾，所以命题成立. 15分题组2 主与次的相互转化5．设f (x )是定义在R 上的单调递增函数，若f (1－ax －x 2)≤f (2－a )对任意a ∈[－1,1]恒成立，则x 的取值范围为________. 【导学号：68334024】 (－∞，－1]∪[0，＋∞) [∵f (x )是R 上的增函数， ∴1－ax －x 2≤2－a ，a ∈[－1,1]．①①式可化为(x －1)a ＋x 2＋1≥0，对a ∈[－1,1]恒成立．令g (a )＝(x －1)a ＋x 2＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧g －1 ＝x 2－x ＋2≥0，g 1 ＝x 2＋x ≥0，解得x ≥0或x ≤－1.即实数x 的取值范围是(－∞，－1]∪[0，＋∞)．]6．已知函数f (x )＝x 3＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5，其中f ′(x )是f (x )的导函数．对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )＜0，则实数x 的取值范围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1 [由题意，知g (x )＝3x 2－ax ＋3a －5，令φ(a )＝(3－x )a ＋3x 2－5，－1≤a ≤1. 对－1≤a ≤1，恒有g (x )＜0，即φ(a )＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧φ 1 ＜0，φ －1 ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－x －2＜0，3x 2＋x －8＜0，解得－23＜x ＜1.故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1时，对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )＜0.] 7．对于满足0≤p ≤4的所有实数p ，使不等式x 2＋px ＞4x ＋p －3成立的x 的取值范围是________． (－∞，－1)∪(3，＋∞) [设f (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3，则当x ＝1时，f (p )＝0，所以x ≠1.f (p )在0≤p ≤4上恒正，等价于⎩⎪⎨⎪⎧f 0 ＞0，f 4 ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －3 x －1 ＞0，x 2－1＞0，解得x ＞3或x ＜－1.]8．已知函数f (x )＝13x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－43x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫43－23a x (0＜a ＜1，x ∈R )．若对于任意的三个实数x 1，x 2，x 3∈[1,2]，都有f (x 1)＋f (x 2)＞f (x 3)恒成立，求实数a 的取值范围.【导学号：68334025】[解] 因为f ′(x )＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －83x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫43－23a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23(x ＋a －2)，2分所以令f ′(x )＝0，解得x 1＝23，x 2＝2－a .3分由0＜a ＜1，知1＜2－a ＜2.所以令f ′(x )＞0，得x ＜23或x ＞2－a ；4分令f ′(x )＜0，得23＜x ＜2－a ，所以函数f (x )在(1,2－a )上单调递减，在(2－a,2)上单调递增.5分所以函数f (x )在[1,2]上的最小值为f (2－a )＝a6(2－a )2，最大值为max{f (1)，f (2)}＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫13－a 6，23a .6分因为当0＜a ≤25时，13－a 6≥23a ；7分当25＜a ＜1时，23a ＞13－a6，8分由对任意x 1，x 2，x 3∈[1,2]，都有f (x 1)＋f (x 2)＞f (x 3)恒成立，得2f (x )min ＞f (x )max (x ∈[1,2])．所以当0＜a ≤25时，必有2³a 6(2－a )2＞13－a 6，12分结合0＜a ≤25可解得1－22＜a ≤25；当25＜a ＜1时，必有2³a 6(2－a )2＞23a ，结合25＜a ＜1可解得25＜a ＜2－ 2.综上，知所求实数a 的取值范围是1－22＜a ＜2－ 2. 15分。

理科数学_2018年高三浙江省第二次模拟考试

2018年高考真题模拟卷（含答案）理科数学 2018年高三浙江省第二次模拟考试理科数学单选题（本大题共10小题，每小题____分，共____分。

）已知复数z1=2﹣i，z2=1+i，其中i为虚数单位，设复数z=，若a﹣z为纯虚数，则实数a的值为（）A.B.C. ﹣D. ﹣命题“∀x∈[0，+∞），sinx+x≥0”的否定是（）A. ∃x0∈（﹣∞，0），sinx0+x0＜0B. ∀x∈（﹣∞，0），sinx+x≥0C. ∃x0∈[0，+∞），sinx0+x0＜0D. ∃x0∈[0，+∞），sinx0+x0≥0已知集合M={x|y=lg（x﹣2），N={x|x≥a}，若集合M∩N=N，则实数a的取值范围是（）A. （2，+∞）B. [2，+∞）C. （﹣∞，0）D. （﹣∞，0]已知中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x则该双曲线的离心率为（）A.B.C. 或D. 或甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排照相，要求甲不站在两侧，且乙、丙两人站在一起，那么不同的排法种数为（）A. 12B. 24C. 36D. 72将函数f（x）=2sin（πx）的图象向左平移φ（0＜φ＜4）个单位，得到函数y=g（x）的图象，若实数x1，x2满足|f（x1）﹣g（x2）|=4，且|x1﹣x2|min=2，则φ=（）A. 1B. 2C. 3D. 1或3若如图的程序框图运行的结构为S=﹣，则判断框①中可以填入的是（）A. i＞4？B. i≥4？C. i＞3？D. i≥3？多项式（x2﹣x﹣y）5的展开式中，x7y项的系数为（）A. 20B. 40C. ﹣15D. 160如图，是圆锥一部分和四分之一球组成的组合体的三视图，则此几何体的体积为（）A.B.C.D.已知函数f（x）=+bx﹣2a（a∈R），其中b=（2sin•cos）dt，若∃x ∈（1，2），使得f′（x）•x+f（x）＞0成立，则实数a的取值范围为（）A. （﹣∞，1）B. （0，1]C. （﹣∞，）D. （﹣∞，]多选题（本大题共2小题，每小题____分，共____分。

2018届高考数学二轮复习浙江专用大题规范天天练星期

星期五 (综合限时练) 2017年____月____日解答题综合练(设计意图：训练考生在规定时间内得高分，限时：80分钟)1.(本小题满分14分)在公比为2的等比数列{a n }中，a 2与a 5的等差中项是9 3.(1)求a 1的值；(2)若函数y ＝a 1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ(其中0<φ<π)的一部分图象如图所示，M (－1，a 1)，N (3，－a 1)为图象上的两点，设∠MON ＝θ，其中O 为坐标原点，0<θ<π，求cos(θ－φ)的值.解 (1)由题可知a 2＋a 5＝183，又a 5＝8a 2，故a 2＝23，∴a 1＝ 3.(2)∵点M (－1，a 1)在函数y ＝a 1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ的图象上， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋φ＝1，又∵0<φ<π，∴φ＝34π. 连接MN ，在△MON 中，由余弦定理得cos θ＝|OM |2＋|ON |2－|MN |22|OM ||ON |＝4＋12－2883＝－32.又∵0<θ<π， ∴θ＝56π，∴cos(θ－φ)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－3π4＝cos 5π6cos 3π4＋sin 5π6sin 3π4＝6＋24. 2.(本小题满分15分)A ，B 两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：A 组：10，11，12，13，14，15，16B 组：12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间互相独立，从A ，B 两组随机各选1人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙.(1)求甲的康复时间不少于14天的概率；(2)如果a ＝25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(3)当a 为何值时，A ，B 两组病人康复时间的方差相等？(结论不要求证明) 解设事件A i 为“甲是A 组的第i 个人”，事件B i 为“乙是B 组的第i 个人”，i ，j ＝1，2， (7)由题意可知P (A i )＝P (B i )＝17，i ，j ＝1，2， (7)(1)由题意知，事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A 组的第5人，或者第6人，或者第7人”，所以甲的康复时间不少于14天的概率是P (A 5∪A 6∪A 7)＝P (A 5)＋P (A 6)＋P (A 7)＝37.(2)设事件C 为“甲的康复时间比乙的康复时间长”.由题意知，C ＝A 4B 1∪A 5B 1∪A 6B 1∪A 7B 1∪A 5B 2∪A 6B 2∪A 7B 2∪A 7B 3∪A 6B 6∪A 7B 6.因此P (C )＝P (A 4B 1)＋P (A 5B 1)＋P (A 6B 1)＋P (A 7B 1)＋P (A 5B 2)＋P (A 6B 2)＋P (A 7B 2)＋P (A 7B 3)＋P (A 6B 6)＋P (A 7B 6)＝10P (A 4B 1)＝10P (A 4)P (B 1)＝1049.(3)a ＝11或a ＝18.3.(本小题满分15分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AC ⊥AB ，AD ⊥DC ，∠DAC ＝60°，P A ＝AC ＝2，AB ＝1.(1)求二面角A －PB －C 的余弦值.(2)在线段CP 上是否存在一点E ，使得DE ⊥PB ，若存在，求线段CE 的长度，不存在，说明理由.解 (1)如图，以AB→，AC →，AP →分别为x ，y ，z 轴的正半轴方向，建立空间直角坐标系，则P (0，0，2)，A (0，0，0)，B (1，0，0)，C (0，2，0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，0. 易知AC→＝(0，2，0)是平面P AB 的法向量， ∵PC→＝(0，2，－2)，PB →＝(1，0，－2)，设平面PBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·PB →＝0，∴⎩⎨⎧2y －2z ＝0，x －2z ＝0，取z ＝1，得n ＝(2，1，1). ∴cos 〈n ，AC →〉＝n ·AC →|n |·|AC→|＝66，则二面角A －PB －C 的余弦值为66.(2)假设在CP 上存在E 点，使DE ⊥PB ，则过E 作EF ⊥AC 于F ，由已知得EF ∥P A ，设EF ＝h ，则E (0，2－h ，h ).∴DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32－h ，h ，PB →＝(1，0，－2). ∵DE ⊥PB ，∴DE →·PB →＝32－2h ＝0，h ＝34， ∴CE ＝2h ＝64.4.(本小题满分15分)椭圆C 1：x 22＋y 2＝1，椭圆C 2：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点坐标为(5，0)，斜率为1的直线l与椭圆C 2相交于A 、B 两点，线段AB 的中点H 的坐标为(2，－1).(1)求椭圆C 2的方程；(2)设P 为椭圆C 2上一点，点M ，N 在椭圆C 1上，且OP →＝OM →＋2ON →，则直线OM 与直线ON 的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.解 (1)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，H (x H ，y H )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2A a 2＋y 2A b 2＝1，x 2B a 2＋y 2B b 2＝1，∴y A －y B x A －x B ＝－b 2a 2·x A ＋x B y A ＋y B ＝－b 2a 2·x H y H，又l 的斜率为1，H 的坐标为(2，－1)，∴1＝－b 2a 2·2－1，即a 2＝2b 2，又a 2－b 2＝5，∴b 2＝5，a 2＝10，∴C 2的方程为：x 210＋y 25＝1.(2)设P (x 0，y 0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则∵OP →＝OM →＋2ON →，∴⎩⎨⎧x 0＝x 1＋2x 2，y 0＝y 1＋2y 2. 又x 20＋2y 20＝10，∴(x 1＋2x 2)2＋2(y 1＋2y 2)2＝10，即x 21＋2y 21＋4(x 22＋2y 22)＋4x 1x 2＋8y 1y 2＝10，又x 21＋2y 21＝2，x 22＋2y 22＝2，∴10＋4x 1x 2＋8y 1y 2＝10，即x 1x 2＋2y 1y 2＝0，∴k OM k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝－12. 即直线OM 与直线ON 的斜率之积为定值，且定值为－12. 5.(本小题满分15分)已知函数f (x )＝ln （x ＋1）x. (1)判断f (x )在(0，＋∞)的单调性；(2)若x ＞0，证明：(e x －1)ln(x ＋1)＞x 2.解 (1)函数f (x )的定义域是(－1，0)∪(0，＋∞)，对f (x )求导得f ′(x )＝x x ＋1－ln （x ＋1）x 2，令g (x )＝x x ＋1－ln(x ＋1)，又g ′(x )＝1（x ＋1）2－1x ＋1＝－x （x ＋1）2＜0(x ＞0). 故g (x )是(0，＋∞)上的减函数，所以g (x )＜g (0)＝－ln 1＝0.所以f ′(x )＜0，函数f (x )是(0，＋∞)上的减函数.(2)将不等式(e x －1)ln(x ＋1)＞x 2等价为ln （x ＋1）x ＞x e x －1，因为x e x －1＝ln e xe x －1＝ln （e x －1＋1）e x －1，故原不等式等价于ln （x ＋1）x ＞ln （e x －1＋1）e x －1，由(1)知，f (x )＝ln （x ＋1）x是(0，＋∞)上的减函数，故要证原不等式成立，只需证明：当x ＞0时，x ＜e x －1，令h(x)＝e x－x－1，则h′(x)＝e x－1＞0，h(x)是(0，＋∞)上的增函数，所以h(x)＞h(0)＝0，即x＜e x－1，故f(x)＞f(e x－1).即ln（x＋1）x＞ln（e x－1＋1）e x－1＝xe x－1，故(e x－1)ln(x＋1)＞x2.。

高考数学二轮复习(浙江专用)大题规范天天练星期四第一周Word版含解析

礼拜四(函数与导数 )2017 年____月____日函数与导数 (命题企图：考察曲线的切线、最值及数列不等式的证明等.)2(1)当实数 a 为什么值时，函数g(x)在 x＝0 处的切线与函数f(x)的图象相切；(2)当 x∈[0，＋∞ )时，不等式 f(x)＋ g(x)≤x＋ 1 恒建立，求 a 的取值范围；(3)已知 n∈N*，试判断 g(n)与 g′(0)＋g′(1)＋＋ g′ (n－1)的大小，并证明之 .解 (1)∵ g(x)＝ln(x＋1)，1∴g′ (x)＝x＋1，g′(0)＝1，故 g(x)在 x＝ 0 处的切线方程为 y＝x.y＝x，由y＝ax2＋1，得ax2－x＋1＝0，∴Δ＝1－4a＝0，1∴ a＝4.(2)当 x∈[0，＋∞ )时，不等式 f(x)＋ g(x)≤x＋ 1 恒建立，即 ax2＋ln(x＋1)－ x≤ 0 恒建立 .设 h(x)＝ax2＋ln(x＋ 1)－x(x≥0)，只要 h(x)max≤0 即可 .1x[2ax＋（ 2a－1）]h′(x)＝2ax＋x＋1－1＝x＋1.①当 a＝0 时， h′(x)＝－x，当 x＞0 时， h′(x)＜0，x＋1函数 h(x)在 [0，＋∞ )上单一递减，故 h(x)≤h(0)＝0 建立 .②当 a＞0 时，由 h′(x)＝0，得 x＝1－1 或 x＝ 0.2a111°2a－1＜0，即 a＞2时，在区间 (0，＋∞ )上， h′ (x)＞0，则函数 h(x)在(0，＋∞ )上单一递加， h(x)在(0，＋∞ )上无最大值，此时不知足条件 .2°若1－ 1≥0，即0＜ a≤1时，函数h(x) 在 0，1－1 上单一递减，在区间2a22a12a －1，＋∞ 上单一递加，相同 h(x)在 [0，＋∞ )上无最大值，不知足条件 . ③当 a ＜0 时，h ′ (x)＜0，函数 h(x)在 [0，＋∞ )上单一递减，故 h(x)≤h(0)＝0 成立，综上所述，实数 a 的取值范围是 (－∞， 0].(3)结论： g(n)＜g ′ (0)＋g ′ (1)＋ g ′ (2)＋＋ g ′(n － 1).1 证明：当 a ＝0 时， ln(x ＋1)≤x(当且仅当 x ＝ 0 时取等号 )，令x ＝n ， 1 1∴ ln n ＋1 ＜ n ，1∴ ln(n ＋1)－ln n ＜ n .故有 ln(n ＋ 1)－lnn ＜1，n1ln n － ln(n －1)＜n －1，1ln(n － 1)－ln(n － 2)＜ n －2，1ln 3－ ln 2＜2，ln 2－ln 1 ＜ 1，因此 ln(n ＋ 1)＜1＋1＋1＋＋ 1，2 3 n即 g(n)＜g ′(0)＋g ′(1)＋g ′(2)＋＋ g ′(n － 1).。

创新设计高考数学二轮复习浙江专用习题大题规范天天练星期一第四周含答案

星期一 (三角与数列) 2017年____月____日1.三角(命题意图：考查三角恒等变换、余弦定理及面积公式的综合运用) (本小题满分14分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2cos A cos C (tan A tan C －1)＝1.(1)求B 的大小；(2)若a ＋c ＝332，b ＝3，求△ABC 的面积.解 (1)由2cos A cos C (tan A tan C －1)＝1，得2cos A cos C ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A sin C cos A cos C －1＝1， ∴2(sin A sin C －cos A cos C )＝1，∴cos(A ＋C )＝－12， ∴cos B ＝12，又0<B <π，∴B ＝π3. (2)由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，∴（a ＋c ）2－2ac －b 22ac＝12，又a ＋c ＝332，b ＝3，∴274－2ac －3＝ac ，ac ＝54，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×54×32＝5316.2.数列(命题意图：考查等比数列的基本运算及错位相减法求和) (本小题满分15分)已知递增的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 6＝64，且a 4，a 5的等差中项为3a3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na 2n －1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，由题意得⎩⎨⎧a 1q 5＝64，a 1q 3＋a 1q 4＝6a 1q 2，解得⎩⎨⎧a 1＝2，q ＝2. 所以a n ＝2n .(2)因为b n ＝n a 2n －1＝n 22n －1，所以T n ＝12＋223＋325＋427＋…＋n 22n －1， 14T n ＝123＋225＋327＋…＋n －122n －1＋n 22n ＋1，所以34T n ＝12＋123＋125＋127＋…＋122n －1－n 22n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14－n 22n ＋1＝23－4＋3n 3·22n ＋1，故T n ＝89－16＋12n 9·22n ＋1＝89－4＋3n 9·22n －1.。

2018年浙江高考数学二轮复习练习：仿真卷2(含答案)

2018年浙江高考仿真卷(二)(对应学生用书第167页)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知i是虚数单位，则2i1－i＝( )A．1＋i B．－1＋i C．1－i D．－1－iB[2i1－i ＝＋2＝－1＋i，故选B.]2．已知集合M＝{x|x2＋x－12≤0}，N＝{y|y＝3x，x≤1}，则集合{x|x∈M且x∉N}为( ) A．(0,3] B．[－4,3]C．[－4,0) D．[－4,0]D[易得M＝[－4,3]，N＝(0,3]，则{x|x∈M且x∉N}＝[－4,0]，故选D.]3．已知x∈R，则“|x－3|－|x－1|<2”是“x≠1”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[因为|x－3|－|x－1|≤|(x－3)－(x－1)|＝2，当且仅当x≤1时，等号成立，所以|x－3|－|x－1|＜2等价于x>1，所以“|x－3|－|x－1|<2”是“x≠1”的充分不必要条件．故选A.]4．如图1，某多面体的正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三角形，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为 ( )图1A．2 2 B.10C ．2 3 D.13C [三视图对应的直观图为四棱锥，补形成正方体如图所示，由图可知最长棱的长度为2 3.]5．若(1＋2x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，则a 0＋a 1＋a 3＋a 5＝( ) A ．122 B ．123 C ．243D ．244B [记f (x )＝(1＋2x )5，则a 0＝f (0)＝1, 又f (1)＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝35，f (－1)＝a 0－a 1＋a 2－…－a 5＝(－1)5＝－1，两式相减得a 1＋a 3＋a 5＝122，所以a 0＋a 1＋a 3＋a 5＝123，故选B.]6．设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误．．的是 ( )A ．若d <0，则数列{S n }有最大项B ．若数列{S n }有最大项，则d <0C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *，均有S n >0 D ．若对任意n ∈N *，均有S n >0，则数列{S n }是递增数列 C [由于S n ＝na 1＋n n －2d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n 是关于n 的二次函数，定义域为N *，所以当d <0时，S n 有最大值，反之也成立，故A ，B 正确；由于S n ＋1>S n ⇔a n ＋1>0，即若数列{S n }是递增数列，则a n >0(n ≥2)，并不能说明a 1>0也成立，如数列－1，1,3,4，…，所以C 不正确；对于D ，显然a 1＝S 1>0，若公差d <0，由S n ＝d2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n 可知，存在n ∈N *，有S n <0，与对任意n ∈N *，均有S n >0矛盾，所以d ≥0，从而a n >0(n ∈N *)，所以数列{S n }是递增数列，故D 正确．] 7．已知O 为三角形ABC 内一点，且满足OA →＋λOB →＋(λ－1)OC →＝0，若△OAB 的面积与△OAC 的面积的比值为13，则λ的值为( )A.32B ．2 C.13D.12A [如图，设BC 的中点为E ，连接OE ，直线AO 与BC 相交于点F ，由OA →＋λOB →＋(λ－1)OC →＝0，可知(OA →－OC →)＋λ(OB →＋OC →)＝0，CA →＝－2λOE →，则CA →∥OE →，因为△OAB 的面积与△OAC 的面积的比值为13，所以BC ＝4BF ，又BC ＝2BE ，所以BE ＝2BF ，从而CF ＝3EF ，AC →＝3OE →，所以2λ＝3，λ＝32.]8．给定R 上函数f (x )，( )A ．存在R 上函数g (x )，使得f (g (x ))＝xB ．存在R 上函数g (x )，使得g (f (x ))＝xC ．存在R 上函数g (x )，使得f (g (x ))＝g (x )D ．存在R 上函数g (x )，使得f (g (x ))＝g (f (x ))D [对于A ，B ：若f (x )＝1，则f (g (x ))＝x ，g (f (x ))＝x 均不成立，排除A ，B ；对于C ：f (x )＝x ＋1，则f (g (x ))＝g (x )＋1≠g (x )，排除C ；当g (x )＝x 时，f (g (x ))＝f (x )，同时g (f (x ))＝f (x )，即f (g (x ))＝g (f (x ))，所以给定R 上的函数f (x )，一定存在R 上的函数g (x )＝x ，使得f (g (x ))＝g (f (x ))，故选D.]9．如图，有一个底面是正方形的直棱柱型容器(无盖)，底面棱长为1 dm(dm 为分米)，高为5 dm ，两个小孔在其相对的两条侧棱上，且到下底面距离分别为3 dm 和4 dm ，则(水不外漏情况下)此容器可装的水最多为( )图2A.92 dm 3B ．4 dm 3C.72dm 3D ．3 dm 3C [由题意得当容器内的水的上表面过两孔连线所在的平面时，容器内装的水最多，又因为容器的底面为正方形，则由长方体的对称性易得当容器内的水的上表面平分以两孔连线所得的线段为体对角线的长方体时，容器内装的水最多，此时容器内装的水的体积为3×1×1＋12×1×1×1＝72，故选C.]10．已知0<x <y,2<x 2＋y <52，则下列不正确的是( )A ．sin x 2<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－yB ．sin x 2>sin(2－y ) C ．sin(2－x 2)<sin yD ．sin x 2<cos(y －1)C [易得x 2＋x <x 2＋y <52，所以0<x <11－12<1.2，又可得2<x 2＋y <y 2＋y ，所以y >1，又y <52，所以1<y <52.由x 2＋y <52得0<x 2<52－y <32<π2，所以sin x 2<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－y ，故A 正确；由2<x 2＋y 得π2>1.44>x 2>2－y >－12>－π2，所以sin x 2>sin(2－y )，故B 正确；对于C ，取2－x 2＝π2，则π2<y <1＋π2，sin(2－x 2)<sin y ，显然不成立，所以C 不正确；由x 2＋y <52得0<x 2<52－y <π2＋1－y <π2，所以sin x 2<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋1－y ＝cos(y －1)，故D 正确．]第Ⅱ卷二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上)11．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋23y －5＝0，则圆心C 的坐标为________；此圆中过原点的弦最短时，该弦所在的直线方程为________． (－1，－3) y ＝－33x [x 2＋y 2＋2x ＋23y －5＝0⇒(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝9，所以圆心为C (－1，－3)，半径r ＝3，圆中过原点最短的弦所在的直线即为过原点且与CO (O 为原点)垂直的直线，易求得该直线方程为y ＝－33x .] 12．已知单调递减的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项，则公比q ＝________，通项公式为a n ＝________.12 26－n[由题设可知2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，又a 2＋a 3＋a 4＝28，所以a 3＝8，a 3q ＋a 3＋a 3q ＝28，所以8q ＋8＋8q ＝28，解得q ＝2或q ＝12.因为{a n }单调递减，且a 3>0，所以q ＝12，从而a n ＝a 3qn －3＝8·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＝26－n.]13．已知函数f (x )＝3sin x cos x －cos 2x －12，x ∈R ，则函数f (x )的最小值为________，函数f (x )的递增区间为________．－2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z [f (x )＝3sin x cos x －cos 2x －12＝32sin 2x －1＋cos 2x 2－12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1，易知f (x )min ＝－2，递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z .] 14．将9个相同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子中至少有1个小球，共有________种不同的方法．若要求每个盒子中至少有1个小球，且每个盒子中的小球个数都不相同，则共有________种不同的方法．28 18 [(1)每个盒子非空，则共有C 28＝28种方法； (2)三个盒子中球的个数有以下三类：1,3,5；1,2,6；2,3,4.每一类都有A 33种不同的方法，所以根据分类计数原理，共有3A 33＝18种不同的方法．]15．设max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧aa ≥b ，b a <b ，已知x ，y ∈R ，m ＋n ＝6，则F ＝max{|x 2－4y ＋m |，|y 2－2x＋n |}的最小值为________．12[F ＝max{|x 2－4y ＋m |，|y 2－2x ＋n |} ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＋n 2＋ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－y 2＋2x －4y ＋m －n 2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －2＋y －2＋12 ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋2－y ＋2＋m －n ＋32 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋x －2＋y －22＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋2－y ＋2＋m －n ＋32≥12，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x －2＋y －2＝0，x ＋2－y ＋2＋m －n ＋3＝0，m ＋n ＝6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，且⎩⎪⎨⎪⎧m ＝152，n ＝－32时，取“＝”，所以F 的最小值为12.]16．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 2的直线交双曲线的右支于P ，Q 两点，若|PF 1|＝|F 1F 2|，且3|PF 2|＝2|QF 2|，则该双曲线的离心率为________．75[如图，由双曲线的定义可知，|PF 2|＝2(c －a )，则|QF 2|＝32|PF 2|＝3(c －a )，设F 2P 的中点为M ，连接F 1M ，则F 1M ⊥MQ ，|PM |＝|MF 2|＝12|PF 2|＝c －a .在直角三角形F 1MQ 中，|F 1Q |＝|QF 2|＋2a ＝3c －a ，|F 1M |2＝4c 2－(c －a )2，|QM |＝4(c －a )，由勾股定理可得[4(c －a )]2＋4c 2－(c －a )2＝(3c －a )2，即5c 2－12ac ＋7a 2＝0,5e 2－12e ＋7＝0，解得e ＝75(e ＝1舍去)．]17．已知实数x ，y ，z 满足⎩⎪⎨⎪⎧xy ＋2z ＝1，x 2＋y 2＋z 2＝5，则xyz 的最小值为________．－77－20 [由xy ＋2z ＝1得xy ＝1－2z ，则5＝x 2＋y 2＋z 2≥2xy ＋z 2＝2－4z ＋z 2，解得2－7≤z ≤2＋7，则xyz ＝(1－2z )z ＝－2z 2＋z 的最小值为－2(2＋7)2＋2＋7＝－77－20.] 三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 18．(本小题满分14分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边的边长分别为a ，b ，c ，已知a tan A －a cos B ＝b cos C . (1)求角A 的大小；(2)设AD 是BC 边上的高，若AD ＝12a ，求bc的值．[解] (1)由正弦定理知sin A tan A ＝sin C cos B ＋sin B cos C ＝sin A ， 3分又sin A ≠0，故tan A ＝1，A ＝π4.7分(2)△ABC 的面积S ＝12a ·12a ＝12bc sin A ，故a 2＝2bc ，10分又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2－22bc ＝0，13分求得b c＝2±1.14分19．(本小题满分15分)如图2，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，∠ADC ＝∠BCD ＝90°，BC ＝2，CD ＝3，PD ＝4，∠PDA ＝60°，且平面PAD ⊥平面ABCD .图2(1)求证：AD ⊥PB ；(2)在线段PA 上是否存在一点M ，使二面角M BC D 的大小为π6？若存在，求PMPA 的值；若不存在，请说明理由．[解] (1)证明：过点B 作BO ∥CD ，交AD 于点O ，连接PO ，则AD ⊥BO ，2分在△PDO 中，PD ＝4，DO ＝2，∠PDA ＝60°，则PO ⊥AD ，4分因为PO ∩BO ＝O ，则AD ⊥平面POB ，因为PB ⊂平面POB ，所以AD ⊥PB .6分(2)法一：由(1)可建立如图所示的空间直角坐标系，则O (0,0,0)，B (0，3，0)，C (－2，3，0)．若存在满足条件的点M (m,0，n )，7分MB →＝(－m ，3，－n )，BC →＝(－2,0,0)，平面MBC 的一个法向量为μ＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，3n ，10分又平面ABCD 的一个法向量为ν＝(0,0,1)，12分cos 〈μ，ν〉＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3n 1＋3n 2＝32，∴n ＝1， 14分∴PM PA ＝PO －1PO ＝23－123＝6－36.15分法二：假设存在点M ，过点M 作AD 的平行线交PO 于点N ，连接BN ，则∠NBO 即为二面角M BC D 的平面角， 9分cos ∠NBO ＝32⇒tan ∠NBO ＝33＝NOOB⇒ON ＝1， 12分PN ＝PO －NO ＝23－1，∴PM PA ＝PN PO ＝23－123＝1－36. 15分20．(本小题满分15分)已知函数f (x )＝x 3＋|ax －3|－2，a >0. (Ⅰ)求函数y ＝f (x )的单调区间；(Ⅱ)当a ∈(0,5)时，对于任意x 1∈[0,1]，总存在x 2∈[0,1]，使得f (x 1)＋f (x 2)＝0，求实数a 的值．[解] (Ⅰ)f (x )＝x 3＋|ax －3|－2＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋ax －5，x ≥3a ，x 3－ax ＋1，x <3a.当a 3≥3a时，即a ≥3，函数y ＝f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，3a ，单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－a 3，⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ，＋∞；4分当a 3<3a时，即0<a <3，函数y ＝f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫－a3，a 3，单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－a 3，⎝⎛⎭⎪⎫a3，＋∞.7分(2)由题意知，对于任意x 1∈[0,1]，总存在x 2∈[0,1]，使得f (x 1)＋f (x 2)＝0，等价于f (x )min＋f (x )max ＝0，由(Ⅰ)得，当3≤a <5时，y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，3a 上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤3a ，1上单调递增，所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＝27a3－2，f (x )max ＝max{f (0)，f (1)}＝max{1，a －4}＝1，所以27a3－2＋1＝0，所以a ＝3；11分当0<a <3时，y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，a 3上单调递减，在⎝⎛⎦⎥⎤a3，1上单调递增，所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a 3＝1－2a3a3， f (x )max ＝max{f (0)，f (1)}＝max{1,2－a }，当1<a <3时，f (x )max ＝1，则1－2a3a3＋1＝0，得a ＝3(舍去)；当0<a ≤1时，f (x )max ＝2－a ，则1－2a3a3＋2－a ＝0，即3－a ＝2a3a3，其中3－a ≥2，而2a3a3<2，所以无解，舍去.14分综上所述，a ＝3.15分21．(本小题满分15分)抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，以A (x 1，y 1)(x 1≥0)为直角顶点的等腰直角△ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线C 上．图3(1)过Q (0，－3)作抛物线C 的切线l ，切点为R ，点F 到切线l 的距离为2，求抛物线C 的方程；(2)求△ABC 面积的最小值．[解] (1)过点Q (0，－3)的抛物线C 的切线l ：y ＝kx －3，联立抛物线C ：x 2＝2py (p >0)得x 2－2pkx ＋6p ＝0，Δ＝4p 2k 2－4×6p ＝0，即pk 2＝6.2分∵点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，点F 到切线l 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪p 2＋3k 2＋1＝2，化简得(p ＋6)2＝16(k 2＋1)，4分∴(p ＋6)2＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫6p＋1＝p ＋p，∵p >0，∴p ＋6>0，得p 2＋6p －16＝(p ＋8)(p －2)＝0， ∴p ＝2，因此抛物线方程为C ：x 2＝4y .6分(2)已知直线AB 不会与坐标轴平行，设直线AB ：y －y 1＝k (x －x 1)(k >0)，联立抛物线方程得x 2－2pkx ＋2p (kx 1－y 1)＝0，则x 1＋x B ＝2pk ，则x B ＝2pk －x 1，同理可得x C ＝－2pk－x 1. 8分∵|AB |＝|AC |⇔1＋k 2|x B －x 1|＝1＋1k 2|x C －x 1|⇒k (x B －x 1)＝x 1－x C ⇒x 1＝p ⎝⎛⎭⎪⎫k 2－1k k ＋1. ∴|AB |＝1＋k 2|x B －x 1|＝1＋k 2(2pk －2x 1) ＝2p1＋k2k 2＋k k ＋. 12分∵k 2＋1k ≥2，k 2＋1k ＋1＝k 2＋1k 2＋2k ＋1≥k 2＋1k 2＋1＋k 2＋＝22(当且仅当k ＝1时等号成立)，故|AB |≥22p ，△ABC 面积的最小值为4p 2.15分22．(本小题满分15分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝1n(n ∈N *)．(1)证明：a n ＋2n ＝a nn ＋1； (2)证明：2(n ＋1－1)≤12a 3＋13a 4＋…＋1n ＋a n ＋2≤n .[证明] (Ⅰ)∵a n ＋1·a n ＝1n， ①∴a n ＋2·a n ＋1＝1n ＋1， ② 2分而a 1＝1，易得a n >0，由②÷①得a n ＋2·a n ＋1a n ＋1·a n ＝a n ＋2a n ＝n n ＋1， ∴a n ＋2n ＝a n n ＋1. 5分 (2)由(1)得(n ＋1)a n ＋2＝na n ，∴12a 3＋13a 4＋…＋1n ＋a n ＋2＝1a 1＋12a 2＋…＋1na n . (7分) 令b n ＝na n ，则b n ·b n ＋1＝na n ·(n ＋1)a n ＋1＝n n ＋n ＝n ＋1， ③∴当n ≥2时，b n －1·b n ＝n ， ④由b 1＝a 1＝1，b 2＝2，易得b n >0，由③－④得1b n＝b n ＋1－b n －1(n ≥2)． ∴b 1<b 3<…<b 2n －1，b 2<b 4<…<b 2n ，得b n ≥1. 10分根据b n ·b n ＋1＝n ＋1得b n ＋1≤n ＋1，∴1≤b n ≤n ，∴1a 1＋12a 2＋…＋1na n ＝1b 1＋1b 2＋…＋1b n＝1b 1＋(b 3－b 1)＋(b 4－b 2)＋…＋(b n －b n －2)＋(b n ＋1－b n －1) ＝1b 1＋b n ＋b n ＋1－b 1－b 2＝b n ＋b n ＋1－2. 12分一方面，b n ＋b n ＋1－2≥2b n b n ＋1－2＝2(n ＋1－1)，另一方面，由1≤b n ≤n 可知b n ＋b n ＋1－2＝b n ＋n ＋1b n －2≤max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1＋n ＋1－2，n ＋n ＋1n －2＝n .。

2018年浙江高考数学二轮复习练习仿真卷2 Word版含答案

年浙江高考仿真卷(二)(对应学生用书第页)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共分，考试时间分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．已知是虚数单位，则＝( )．－＋．＋．－．－－[＝＝－＋，故选.]．已知集合＝{＋－≤}，＝{＝，≤}，则集合{∈且∉}为( )．(]．[－]．[－]．[－)[易得＝[－]，＝(]，则{∈且∉}＝[－]，故选.]．已知∈，则“－－－<”是“≠”的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件．既不充分也不必要条件[因为－－－≤(－)－(－)＝，当且仅当≤时，等号成立，所以－－－＜等价于>，所以“－－－<”是“≠”的充分不必要条件．故选.]．如图，某多面体的正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三角形，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为 ( )图．．[三视图对应的直观图为四棱锥，补形成正方体如图所示，由图可知最长棱的长度为.]．若(＋)＝＋＋＋…＋，则＋＋＋＝( )．．．．[记()＝(＋)，则＝()＝, 又()＝＋＋＋…＋＝，(－)＝－＋－…－＝(－)＝－，两式相减得＋＋＝，所以＋＋＋＝，故选.]．设是公差为(≠)的无穷等差数列{}的前项和，则下列命题错误．．的是( ) ．若<，则数列{}有最大项．若数列{}有最大项，则<．若数列{}是递增数列，则对任意∈*，均有>．若对任意∈*，均有>，则数列{}是递增数列[由于＝＋＝＋是关于的二次函数，定义域为*，所以当<时，有最大值，反之也成立，故，正确；由于＋>⇔＋>，即若数列{}是递增数列，则>(≥)，并不能说明>也成立，如数列－，，…，所以不正确；对于，显然＝>，若公差<，由＝＋可知，存在∈*，有<，与对任意∈*，均有>矛盾，所以≥，从而>(∈*)，所以数列{}是递增数列，故正确．]．已知为三角形内一点，且满足＋λ＋(λ－)＝，若△的面积与△的面积的比值为，则λ的值为( )．[如图，设的中点为，连接，直线与相交于点，由＋λ＋(λ－)＝，可知(－)＋λ(＋)＝，＝－λ，则∥，因为△的面积与△的面积的比值为，所以＝，又＝，所以＝，从而＝，＝，所以λ＝，λ＝.]．给定上函数()，( )．存在上函数()，使得(())＝．存在上函数()，使得(())＝．存在上函数()，使得(())＝()．存在上函数()，使得(())＝(())[对于，：若()＝，则(())＝，(())＝均不成立，排除，；对于：()＝＋，则(())＝()＋≠()，。

高考数学二轮复习习题大题规范天天练星期四第一周 Word版含答案

星期四(函数与导数) 年月日
函数与导数(命题意图：考查曲线的切线、最值及数列不等式的证明等.)
(本小题满分分)已知函数()＝＋，()＝(＋).
()当实数为何值时，函数()在＝处的切线与函数()的图象相切；
()当∈[，＋∞)时，不等式()＋()≤＋恒成立，求的取值范围；
()已知∈*，试判断()与′()＋′()＋…＋′(－)的大小，并证明之.
解()∵()＝(＋)，
∴′()＝，′()＝，
故()在＝处的切线方程为＝.
由得－＋＝，
∴Δ＝－＝，
∴＝.
()当∈[，＋∞)时，不等式()＋()≤＋恒成立，
即＋(＋)－≤恒成立.
设()＝＋(＋)－(≥)，
只需()≤即可.
′()＝＋－＝.
①当＝时，′()＝，当＞时，′()＜，
函数()在[，＋∞)上单调递减，
故()≤()＝成立.
②当＞时，由′()＝，得＝－或＝.
°－＜，即＞
时，在区间(，＋∞)上，′()＞，则函数()在(，＋∞)上单调递增，()在(，＋∞)上无最大值，此时不满足条件.
°若－≥，即＜≤时，函数()在上单调递减，在区间
上单调递增，同样()在[，＋∞)上无最大值，不满足条件.
③当＜时，′()＜，函数()在[，＋∞)上单调递减，故()≤()＝成立，
综上所述，实数的取值范围是(－∞，].
()结论：()＜′()＋′()＋′()＋…＋′(－).
证明：当＝时，(＋)≤(当且仅当＝时取等号)，令＝，∴＜，
∴(＋)－＜.
故有(＋)－＜，
－(－)＜，
(－)－(－)＜，
……
－＜，－＜，
所以(＋)＜＋＋＋…＋，
即()＜′()＋′()＋′()＋…＋′(－).。

2018年高考数学浙江专版三维二轮专题复习讲义：第二部分+专题二巧做高考题型+Word版含答案

专题二巧做高考题型第一讲六招秒杀选择题——快得分选择题具有概括性强，知识覆盖面广，小巧灵活等特点．注重多个知识点的小型综合，侧重于考查学生是否能迅速选出正确答案，解题手段不拘常规，有利于考查学生的选择、判断能力．常用方法分直接法和间接法两大类．直接法是解答选择题最基本、最常用的方法，但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，时间可能不允许，因此，我们还要研究解答选择题的一些间接法的应用技巧．其基本解答策略是：充分利用题干和选项所提供的信息作出判断．先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解．总的来说，选择题属于小题，尽量避免“小题大做”．在考场上，提高了解题速度，也是一种制胜的法宝．直接法推理和准确地运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择．涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法．[例1] (2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝24，2a 1＋5d ＝16，解得d ＝4.[答案] C直接法是解答选择题最常用的基本方法．直接法适用的范围很广，只要运算正确必能得出正确的答案．平时练习中应不断提高用直接法解选择题的能力，准确把握题目的特点．用简便的方法巧解选择题，是建立在扎实掌握“三基”的基础上的，否则一味求快则会快中出错．1．两个正数a ，b 的等差中项是92，一个等比中项是25，且a >b ，则抛物线y 2＝－b a x的焦点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－516，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫15，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，0 解析：选B 由两个正数a ，b 的等差中项是92，得a ＋b ＝9；a ，b 的一个等比中项是25，得ab ＝20，且a >b ，故a ＝5，b ＝4.又由b a ＝45＝2p ，得p 2＝15，故抛物线y 2＝－b a x 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，0.特例法从题干(或选项)特殊函数或图形位置，进行判断．特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等．[例2] 已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减．则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D. (0,2][解析] 根据三角函数的性质利用特殊值法代入逐项判断： ∵ω＝2时，2x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，9π4，不合题意，∴排除D.∵ω＝1时，x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，5π4，合题意，∴排除B 、C ，故选A.[答案] A特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，但用特例法解选择题时，要注意以下两点：第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解．2．函数y ＝a x－1a(a >0，a ≠1)的图象可能是( )解析：选D 函数y ＝a x－1a(a >0，a ≠1)恒过(－1,0)，选项只有D 符合，故选D.排除法通过分析、推理、计算、判断，排除不符合要求的选项，从而得出正确结论的一种方法．[例3] 设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y 有( ) A ．[－x ]＝－[x ] B ．[2x ]＝2[x ] C ．[x ＋y ]≤[x ]＋[y ]D ．[x －y ]≤[x ]－[y ][解析] 选项A ，取x ＝1.5，则[－x ]＝[－1.5]＝－2，－[x ]＝－[1.5]＝－1，显然[－x ]≠－[x ]；选项B ，取x ＝1.5，则[2x ]＝[3]＝3,2[x ]＝2[1.5]＝2，显然[2x ]≠2[x ]；选项C ，取x ＝y ＝1.6，则[x ＋y ]＝[3.2]＝3，[x ]＋[y ]＝[1.6]＋[1.6]＝2，显然[x ＋y ]>[x ]＋[y ]．排除A ，B ，C ，故选D.[答案] D排除法适应于定性型或不易直接求解的选择题．当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的答案．3．函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )解析：选D 由题意知，函数是奇函数，图象关于坐标原点对称，当0<x <π2时，显然y >0，而当x ＝π时，y ＝－π<0，据此排除选项A ，B ，C.数形结合法根据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确的判断，习惯上也叫数形结合法．有些选择题可通过命题条件中的函数关系或几何意义，作出函数的图象或几何图形，借助于图象或图形的作法、形状、位置、性质等，综合图象的特征，得出结论．图形化策略就是以数形结合的数学思想为指导的一种解题策略．[例4] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －[x ]，x ≥0，f x ＋1，x <0，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.1]＝－2，[π]＝3等．若直线y ＝kx ＋k (k >0)与函数y ＝f (x )的图象恰有三个不同的交点，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1 [解析] 直线y ＝kx ＋k (k >0)恒过定点(－1,0)，在同一直角坐标系中作出函数y ＝f (x )的图象和直线y ＝kx ＋k (k >0)的图象，如图所示，因为两个函数图象恰好有三个不同的交点，所以14≤k <13.[答案] B涉及函数零点问题，一般有两种题型，且都可以利用数形结合法求解．(1)求解方程根的个数．画出相关的两个函数的图象，则两函数图象的交点个数即是函数零点的个数；(2)讨论图象交点问题的参数范围，如本例就是利用图象中直线y ＝kx ＋k (k >0)与函数y ＝f (x )图象恰有三个不同的交点，得到实数k 的取值范围．4．(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．2 2 C. 5D ．2解析：选A 以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,2)，D (0,2)，可得直线BD 的方程为2x ＋y －2＝0，点C 到直线BD 的距离为212＋22＝25，所以圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝45. 因为P 在圆C 上，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋255cos θ，2＋255sin θ.又AB ―→＝(1,0)，AD ―→＝(0,2)，AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→＝(λ，2μ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋255cos θ＝λ，2＋255sin θ＝2μ，λ＋μ＝2＋255cos θ＋55sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3(其中tan φ＝2)，当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.概念辨析法概念辨析法是从题设条件出发，通过对数学概念的辨析，进行少量运算或推理，直接选择出正确结论的方法．这类题目一般是给出一个创新定义，或涉及一些似是而非、容易混淆的概念或性质，需要考生在平时注意辨析有关概念，准确区分相应概念的内涵与外延，同时在审题时多加小心．[例5] 对于函数f (x )和g (x )，设α∈{x |f (x )＝0}，β＝{x |g (x )＝0}，若存在α，β，使得|α－β|≤1，则称f (x )与g (x )互为“零点相邻函数”．若函数f (x )＝e x －1＋x －2与g (x )＝x 2－ax －a ＋3互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围是( )A ．[2,4]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，73 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤73，3 D ．[2,3][解析] 函数f (x )＝e x －1＋x －2的零点为x ＝1，设g (x )＝x 2－ax －a ＋3的零点为b ，若函数f (x )＝ex －1＋x －2与g (x )＝x 2－ax －a ＋3互为“零点相邻函数”，则|1－b |≤1，∴0≤b ≤2.由于g (x )＝x 2－ax －a ＋3＝x 2＋3－a (x ＋1)必经过点(－1,4)，∴要使其零点在区间[0,2]上，则⎩⎪⎨⎪⎧g 0≥0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋3≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－a ·a2－a ＋3≤0，解得2≤a ≤3.[答案] D函数的创新命题是高考的一个亮点，此类题型是用数学符号、文字叙述给出一个教材之外的新定义，要求考生在短时间内通过阅读、理解后，解决题目给出的问题．解决这类问题的关键是准确把握新定义的含义，把从定义和题目中获取的信息进行有效整合，并转化为熟悉的知识加以解决．5．若对于定义在R 上的函数f (x )，其图象是连续不断的，且存在常数λ(λ∈R)使得f (x ＋λ)＋λf (x )＝0对任意实数都成立，则称f (x )是一个“λ伴随函数”．下列是关于“λ伴随函数”的结论：①f (x )＝0不是常数函数中唯一一个“λ伴随函数”；②f (x )＝x 是“λ伴随函数”；③f (x )＝x 2是“λ伴随函数”；④“12伴随函数”至少有一个零点．其中正确的结论个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 由题意得，①正确，如f (x )＝c ≠0，取λ＝－1，则f (x －1)－f (x )＝c －c ＝0，即f (x )＝c ≠0是一个“λ伴随函数”；②不正确，若f (x )＝x 是一个“λ伴随函数”，则x ＋λ＋λx ＝0，求得λ＝0且λ＝－1，矛盾；③不正确，若f (x )＝x 2是一个“λ伴随函数”，则(x ＋λ)2＋λx 2＝0，求得λ＝0且λ＝－1，矛盾；④正确，若f (x )是“12伴随函数”，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋12f (x )＝0，取x ＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12f (0)＝0，若f (0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12任意一个为0，则函数f (x )有零点；若f (0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12均不为0，则f (0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12异号，由零点存在性定理知，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12区间内存在零点，所以有两个结论正确.估算法的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法的关键是确定结果所在的大致范围，否则“估算”就没有意义．估算法往往可以减少运算量，快速找到答案．[例6] 如图，在多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF ＝32，EF 与平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为( )A.92 B ．5 C ．6D.152[解析] 连接BE ，CE ，四棱锥E ABCD 的体积为V E ABCD ＝13×3×3×2＝6，又多面体ABCDEF的体积大于四棱锥E ABCD 的体积，即所求几何体的体积V >V E ABCD ＝6，而四个选项里面大于6的只有152，故选D.[答案] D本题既用了估算法又用了排除法，解题的关键是利用θ的范围求sin θ的范围一定要准确，否则将达不到解题的目的或解答错误．6.(2017·宁波效实中学模拟)图中阴影部分的面积S 是h 的函数(0≤h ≤H )，则该函数的大致图象是( )解析：选B 由图知，随着h 的增大，阴影部分的面积S 逐渐减小，且减小得越来越慢，结合选项可知选B.第二讲分类智取填空题——稳得分填空题具有小巧灵活、结构简单、运算量不大等特点．(1)根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型：①定量型：要求考生填写数值、数集或数量关系；②定性型：要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定数学对象的某种性质．(2)根据填空题出题设问的多少，又可以将填空题分成两类形式：①单空题：与全国卷出题方式相同，一题一空，根据一般填空题的特点，四招速解；②多空题：是浙江高考填空题的一大特色，一题多空，出题的目的是提高知识覆盖面的考查，降低难度，让学生能分步得分；本质上来说和单空题区别无非就是多填一空，其解题方法和单空题相同，但多空题有它自身的特色，搞清多空之间设问的关系能使我们的解题事半功倍．解答填空题时，由于不反映过程，只要求结果，故对正确性的要求比解答题更高、更严格．在解填空题时要做到：一、单空题——四招速解直接法直接得到结果的方法．要善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的解法解决问题．[例1] (2016·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________. [解析] 因为A ，C 为△ABC 的内角，且cos A ＝45，cos C ＝513，所以sin A ＝35，sin C＝1213，所以sin B ＝sin(π－A －C )＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝35×513＋45×1213＝6365.又a ＝1，所以由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝6365×53＝2113. [答案]2113直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键．1．(2017·北京高考)若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2＝________.解析：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，则a 4＝－1＋3d ＝8，解得d ＝3；b 4＝－1·q 3＝8，解得q ＝－2.所以a 2＝－1＋3＝2，b 2＝－1×(－2)＝2，所以a 2b 2＝1.答案：1特殊值法定值时，可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当特殊值(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论．为保证答案的正确性，在利用此方法时，一般应多取几个特例．[例2] 如图所示，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP ―→·AC ―→＝________.[解析] 法一：AP ―→·AC ―→＝AP ―→·(AB ―→＋BC ―→)＝AP ―→·AB ―→＋AP ―→·BC ―→＝AP ―→·AB ―→＋AP ―→·(BD ―→＋DC ―→) ＝AP ―→·BD ―→＋2AP ―→·AB ―→， ∵AP ⊥BD ，∴AP ―→·BD ―→＝0.又∵AP ―→·AB ―→＝|AP ―→||AB ―→|cos ∠BAP ＝|AP ―→|2， ∴AP ―→·AC ―→＝2|AP ―→|2＝2×9＝18. 法二：把平行四边形ABCD 看成正方形，则P 点为对角线的交点，AC ＝6，则AP ―→·AC ―→＝18. [答案] 18求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解．本题中的法二把平行四边形看作正方形，从而减少了计算量．2．若函数f (x )满足：f (1)＝14，4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )，则f (2 018)＝________.解析：取x ＝1，y ＝0时，有f (0)＝f (1)＋f (1)＝12，取x ＝1，y ＝1时，有14＝f (2)＋f (0)，f (2)＝－14.取x ＝n ，y ＝1，有f (n )＝f (n ＋1)＋f (n －1)，同理f (n ＋1)＝f (n ＋2)＋f (n )，联立得f (n ＋2)＝－f (n －1)，可得f (n ＋6)＝f (n )，所以f (x )是以6为周期的函数，故f (2 018)＝f (2)＝－14.答案：－14图象分析法对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，并通过对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果．这类问题的几何意义一般较为明显，如一次函数的斜率和截距、向量的夹角、解析几何中两点间距离等，求解的关键是明确几何含义，准确规范地作出相应的图形．[例3] 已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是________．[解析] 如图，OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，∵(a －c )·(b －c )＝0，∴点C 在以AB 为直径，AB 的中点为圆心的圆上，故|OC |的最大值为圆的直径，即|AB |的长为 2.[答案]2图象分析法实质上就是数形结合的思想方法在解决填空题中的应用，利用图形的直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论，这也是高考命题的热点．准确运用此类方法的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系，利用几何图形中的相关结论求出结果．3．不等式⎝⎛⎭⎪⎫|x |－π2·sin x <0，x ∈[－π，2π]的解集为________．解析：在同一坐标系中分别作出y ＝|x |－π2与y ＝sin x 的图象：根据图象可得不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2∪(π，2π)．答案：⎝⎛⎭⎪⎫－π，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2∪(π，2π)构造法用构造法解填空题的关键是由条件和结论的特殊性构造出数学模型，从而简化推导与运算过程．构造法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的，首先应观察题目，观察已知(例如代数式)形式上的特点，然后积极调动思维，联想、类比已学过的知识及各种数学结构、数学模型，深刻地了解问题及问题的背景(几何背景、代数背景)，从而构造几何、函数、向量等具体的数学模型，达到快速解题的目的．[例4] 如图，已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB ＝BC＝2，则球O的体积等于________．[解析] 如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以|CD|＝22＋22＋22＝2R，所以R＝62，故球O的体积V＝4πR33＝6π.[答案] 6π构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题．本题巧妙地构造出正方体，而球的直径恰好为正方体的体对角线，问题很容易得到解决.4．在数列{a n}中，若a1＝1，a n＋1＝2a n＋3(n≥1)，则该数列的通项a n＝________.解析：由a n＋1＝2a n＋3，则有a n＋1＋3＝2(a n＋3)，即a n＋1＋3a n＋3＝2.所以数列{a n＋3}是以a1＋3＝4为首项，公比为2的等比数列，即a n＋3＝4·2n－1＝2n＋1，所以a n＝2n＋1－3.答案：2n＋1－3二、多空题——辨式解答并列式——两空并答此种类型多空题的特点是：根据题设条件，利用同一解题思路和过程，可以一次性得出两个空的答案，两空并答，题目比较简单，会便全会，这类题目在高考中一般涉及较少，常考查一些基本量的求解，一般是多空题的第一个题目．[例1] (2016·浙江高考)已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，则A ＝________，b ＝________.[解析] ∵2cos 2x ＋sin 2x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，∴1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝A sin(ωx ＋φ)＋b ， ∴A ＝2，b ＝1. [答案]2 1[点评] 例1中根据题设条件把2cos 2x ＋sin 2x 化成1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4后，对比原条件恒等式两边可直接得出两空的结果，A ＝2，b ＝1.1．(2015·浙江高考)双曲线x 22－y 2＝1的焦距是______，渐近线方程是________________．解析：由双曲线标准方程，知双曲线焦点在x 轴上，且a 2＝2，b 2＝1，∴c 2＝a 2＋b 2＝3，即c ＝3，∴焦距2c ＝23，渐近线方程为y ＝±b a x ，即y ＝±22x . 答案：2 3 y ＝±22x 分列式——一空一答之间没什么具体联系，各自成题，是对于多个知识点或某知识点的多个角度的考查；两问之间互不干扰，不会其中一问，照样可以答出另一问．[例2] (1)(2016·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm 2，体积是________cm 3.(2)(2015·浙江高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg x 2＋1，x <1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________．[解析] (1)由三视图知该几何体是一个组合体，左边是一个长方体，交于一点的三条棱的长分别为2 cm,4 cm,2 cm ，右边也是一个长方体，交于一点的三条棱的长分别为2 cm,2 cm ，4 cm.几何体的表面积为(2×2＋2×4＋2×4)×2×2－2×2×2＝72(cm 2)，体积为2×2×4×2＝32(cm 3)．(2)∵f (－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1， ∴f (f (－3))＝f (1)＝1＋2－3＝0. 当x ≥1时，x ＋2x－3≥2x ·2x －3＝22－3，当且仅当x ＝2x，即x ＝2时等号成立，此时f (x )min ＝22－3＜0；当x ＜1时，lg(x 2＋1)≥lg(02＋1)＝0，此时f (x )min ＝0.所以f (x )的最小值为22－3. [答案] (1)72 32 (2)0 22－3[点评] 例2(1)中根据题设条件三视图得出其几何体的直观图后，由面积的相关公式求出几何体的面积，由体积的相关公式求出其体积；例2(2)中，两空都是在已知一分段函数的解析式，考查两方面的知识，分别求出函数的值和函数的最值．2．(2015·浙江高考)函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，单调递减区间是____________．解析：∵f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋1＝12sin 2x －12cos 2x ＋32＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32，∴函数f (x )的最小正周期T ＝π.令π2＋2kπ≤2x－π4≤3π2＋2kπ，k∈Z，解之可得函数f(x)的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ＋3π8，kπ＋7π8(k∈Z)．答案：π⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ＋3π8，kπ＋7π8(k∈Z)递进式——逐空解答结果再进行作答，第一空是解题的关键也是难点，只要第一空会做做对，第二空便可顺势解答．[例3] (2016·浙江高考)设数列{a n}的前n项和为S n.若S2＝4，a n＋1＝2S n＋1，n∈N*，则a1＝________，S5＝________.[解析] ∵a n＋1＝2S n＋1，∴S n＋1－S n＝2S n＋1，∴S n＋1＝3S n＋1，∴S n＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎪⎫S n＋12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n＋12是公比为3的等比数列，∴S2＋12S1＋12＝3.又S2＝4，∴S1＝1，∴a1＝1，∴S5＋12＝⎝⎛⎭⎪⎫S1＋12×34＝32×34＝2432，∴S5＝121.[答案] 1 121[点评] 例3中根据题设条件求出a1＝1后，再根据等比数列的求和公式求出S5.第二空的解答是建立在第一空解答的基础上的，只有求出第一空才能求得第二空.3．(2017·台州模拟)以坐标原点O为圆心，且与直线x＋y＋2＝0相切的圆方程是________，圆O与圆x2＋y2－2y－3＝0的位置关系是________．解析：由题意所求圆的半径等于原点O到直线x＋y＋2＝0的距离，即r＝21＋1＝2，则所求圆的方程为x 2＋y 2＝2；因为圆O 与圆x 2＋y 2－2y －3＝0的圆心和半径分别为O (0,0)，r 1＝2，C 2＝(0,1)，r 2＝2，且r 2－r 1<|OC 2|＝1<r 1＋r 2＝2＋2，所以两圆相交．答案：x 2＋y 2＝2 相交选择填空提速专练(一)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知A ＝{x |y 2＝x }，B ＝{y |y 2＝x }，则( ) A ．A ∪B ＝A B ．A ∩B ＝A C ．A ＝BD ．(∁R A )∩B ＝∅解析：选B 因为A ＝{x |x ≥0}，B ＝{y |y ∈R}，所以A ∩B ＝A ，故选B.2．设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四个命题错误的是( ) A ．若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊄α，则b ∥α B ．若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊥β，则α⊥β C ．若a ⊥β，α⊥β，则a ∥α或a ⊂α D ．若a ∥α，α⊥β，则a ⊥β解析：选D 易知A ，B ，C 均正确；D 中a 和β的位置关系有三种可能，a ∥β，a ⊂β或a 与β相交，故D 错误，故选D.3．已知函数f (2x)＝x ·log 32，则f (39)的值为( ) A.16B.19C ．6D ．9解析：选D 令t ＝2x(t >0)，则x ＝log 2t ，于是f (t )＝log 2t ·log 32＝log 3t (t >0)，故函数f (x )＝log 3x (x >0)，所以f (39)＝log 339＝9，故选D.4．在复平面内，已知复数z ＝|1－i|＋2i1－i，则z 在复平面上对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 因为z ＝|1－i|＋2i 1－i ＝2＋2i1－i ＝2＋2i 1＋i 1－i1＋i＝2－22＋2＋22i ，所以复数z 在复平面上对应的点为2－22，2＋22，显然此点在第二象限，故选B. 5．将函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象向右平移π3个单位，得到的函数为奇函数，则|φ|的最小值为( )A.π12B.π6C.π3D.5π6解析：选B 设y ＝cos(2x ＋φ)向右平移π3个单位长度得到的函数为g (x )，则g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3＋φ，因为g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3＋φ为奇函数，且在原点有定义，所以－2π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，解得φ＝k π＋7π6(k ∈Z)，故当k ＝－1时，|φ|min ＝π6，故选B.6．已知实数a ，b ，则“|a ＋b |＋|a －b |≤1”是“a 2＋b 2≤1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选A由绝对值三角不等式|a ±b |≤|a |＋|b |可得⎩⎪⎨⎪⎧|2a |≤|a ＋b |＋|a －b |≤1，|2b |≤|a ＋b |＋|a －b |≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧－12≤a ≤12，－12≤b ≤12，此不等式组表示边长为1的正方形区域(含边界)，而a 2＋b 2≤1表示单位圆域(含边界)，故由⎩⎪⎨⎪⎧－12≤a ≤12，－12≤b ≤12，可以推出a 2＋b 2≤1，但是反之不成立，故选A.7．已知双曲线M ：x 2a 2－y 2b 2＝1和双曲线N ：y 2a 2－x 2b2＝1，其中b >a >0，双曲线M 和双曲线N交于A ，B ，C ，D 四个点，且四边形ABCD 的面积为4c 2，则双曲线M 的离心率为( )A.5＋32 B.5＋3C.5＋12D.5＋1解析：选C 设A 为双曲线M ，N 在第一象限的交点，由对称性易知四边形ABCD 是正方形，因为正方形ABCD 的面积为4c 2，所以边长为2c ，即A (c ，c )，代入双曲线M 中，得c 2a2－c 2b 2＝1，即c 2a 2－c 2c 2－a 2＝1，变形为e 2－e 2e 2－1＝1，整理得e 4－3e 2＋1＝0，所以e 2＝3＋52e 2＝3－52<1，舍去，故e ＝3＋52＝6＋254＝52＋25＋14＝5＋12，故选C.8．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2≤1,3x ＋4y≤0，则x －3x －y －2的取值范围是( )A ．[1,4]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1917，4C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，113D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1917，113 解析：选B 因为x －3x －y －2＝1x －y －2x －3＝11－y －1x －3，故需要先求出y －1x －3的取值范围，而y －1x －3表示动点(x ，y )与定点A (3,1)连线所成直线的斜率，约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2≤1，3x ＋4y ≤0表示的平面区域如图中阴影部分所示，是直线3x ＋4y ＝0与圆x 2＋y 2＝1围成的下半圆区域(含边界)．易得B －45，35，由图可知直线AB 的斜率最小，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫y －1x －3min＝1－353＋45＝219.又过A (3,1)且在x 轴下方与圆x 2＋y 2＝1相切的直线斜率最大，可设切线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y －3k ＋1＝0，由圆心到切线的距离等于半径可得d ＝|1－3k |k 2＋1＝1，解得k ＝34，即⎝ ⎛⎭⎪⎫y －1x －3max＝34，故y －1x －3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤219，34.于是x －3x －y －2＝11－y －1x －3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1917，4，故选B.9．设等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 2＝－d ，若a k 是a 6与a k ＋6的等比中项，则k ＝( ) A ．5B ．6C ．9D ．11解析：选C 因为a k 是a 6与a k ＋6的等比中项，所以a 2k ＝a 6a k ＋6.又等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 2＝－d ，所以[a 2＋(k －2)d ]2＝(a 2＋4d )[a 2＋(k ＋4)d ]，所以(k －3)2＝3(k ＋3)，解得k ＝9或k ＝0(舍去)，故选C.10.在直角梯形 ABCD 中，AB ⊥AD ，DC ∥AB ，AD ＝DC ＝1，AB ＝2，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 的中点为P (如图所示)．若AP―→＝λED ―→＋μAF ―→，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ的值是( )A.22 B.324C. 2D.34解析：选B 以A 为原点，建立如图所示直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (1,1)，D (0,1)，E (1,0)，F ⎝⎛⎭⎪⎫32，12，所以ED ―→＝(－1,1)，AF―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则AP ―→＝λED ―→＋μAF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－λ＋32μ，λ＋12μ.又因为以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 的中点为P ，所以点P 的坐标为P ⎝⎛⎭⎪⎫22，22，AP ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，所以⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋32μ＝22，λ＋12μ＝22，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝24，μ＝22，从而λ＋μ＝324.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分，把答案填在题中横线上)11．已知函数f (x )＝2exe x ＋1，在F (x )＝f (x )＋1和G (x )＝f (x )－1中，________为奇函数；若f (b )＝32，则f (－b )＝________.解析：由G (x )＝f (x )－1＝e x －1e x ＋1，G (－x )＝e －x －1e －x ＋1＝1e x －11ex ＋1＝1－ex1＋ex ＝－G (x )，故G (x )＝f (x )－1为奇函数．由f (b )＝32得，G (b )＝f (b )－1＝12，所以G (－b )＝f (－b )－1＝－12，f (－b )＝12.答案：G (x )1212．已知等比数列{a n }的前n 项和满足S n ＝1－A ·3n，数列{b n }是递增数列，且b n ＝An 2＋Bn ，则A ＝________，B 的取值范围为________．解析：因为任意一个公比不为1的等比数列前n 项和为S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 11－q －a 11－qq n，而等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝1－A ·3n ，所以A ＝1，b n ＝n 2＋Bn .又因为数列{b n }是递增数列，所以b n ＋1－b n ＝(n ＋1)2＋B (n ＋1)－n 2－Bn ＝2n ＋1＋B >0恒成立，所以B >－(2n ＋1)恒成立，所以B >－3.答案：1 (－3，＋∞)13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________，表面积为________．解析：由三视图可知该几何体是由半个圆柱和一个倒立的直四棱锥组合而成的，如图，故该几何体的体积V ＝13×4×4×4＋4π×42＝643＋8π，表面积为S ＝π×22＋2π×2×42＋4×4×22＋4×42×22＝16＋162＋12π.答案：643＋8π 16＋162＋12π 14．已知在一次考试中甲、乙、丙三人及格的概率均为23，那么三人中至少有2人及格的概率为________，记考试及格的人数为X ，则随机变量X 的期望为________．解析：因为甲、乙、丙三人及格的概率均为23，所以X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23，所以P ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫133－C 13×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝1－127－627＝2027，E (X )＝3×23＝2.答案：2027215．已知实数x >0，y >0，且满足x ＋y ＝1，则2x ＋xy 的最小值为________．解析：因为x ＋y ＝1，所以2x ＋x y ＝2x ＋2y x ＋x y＝2＋2y x ＋xy≥2＋22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2y x ＝x y ，x ＋y ＝1，即x ＝2－2，y ＝2－1时等号成立．答案：2＋2 216．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，对任意的x 1，x 2，x 3，且0≤x 1<x 2<x 3≤π，都有|f (x 1)－f (x 2)|＋|f (x 2)－f (x 3)|≤m 成立，则实数m 的最小值为________．解析：原不等式恒成立，只需要m 大于或等于|f (x 1)－f (x 2)|＋|f (x 2)－f (x 3)|的最大值即可，则只需|f (x 1)－f (x 2)|，|f (x 2)－f (x 3)|都取得最大值，结合f (x )＝sin2x ＋π3，x∈[0，π]的图象易知，当x 1＝π12，x 2＝7π12，x 3＝π时，|f (x 1)－f (x 2)|max ＝|1－(－1)|＝2，|f (x 2)－f (x 3)|max ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1－32＝1＋32，所以|f (x 1)－f (x 2)|＋|f (x 2)－f (x 3)|的最大值为3＋32，即m 的最小值为3＋32. 答案：3＋3217.已知扇环如图所示，∠AOB ＝120°，OA ＝2，OA ′＝12，P 是扇环边界上一动点，且满足OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→，则2x ＋y 的取值范围为________．解析：以O 为坐标原点，以OA 为x 轴建立平面直角坐标系(图略)，易知A (2,0)，B (－1，3)，设P (2cos α，2sin α)，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3， (1)当点P 在AA ′上运动时，向量OP ―→与OA ―→共线，显然y ＝0，此时OP ―→＝x OA ―→＝(2x,0)，12≤2x ≤2，所以12≤2x ＋y ≤2； (2)当点P 在BB ′上运动时，向量OP ―→与OB ―→共线，显然x ＝0，此时OP ―→＝y OB ―→＝(－y ，3y )，－2cos 60°≤－y ≤－12cos 60°，即14≤y ≤1，所以14≤2x ＋y ≤1；(3)当点P 在»AB 上运动时，由OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→，得(2cos α，2sin α)＝x (2,0)＋y (－1，3)，即2cos α＝2x －y ，2sin α＝3y ，所以2x ＋y ＝43sin α＋2cos α，变形可得2x ＋y ＝2213sin(α＋φ)，其中tan φ＝32，因为P 是扇环边界上一动点，且满足OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→，所以x ，y 均为非负实数，又33<32<1，所以可取π6<φ<π4，因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，所以当α＋φ＝π2时，2x ＋y 取得最大值，最大值为2213，当α＝2π3时，2x ＋y 取得最小值，最小值为1；(4)当点P 在¼A B ′′上运动时，因为|OA ′||OA |＝|OB ′||OB |＝14，故2x ＋y 的最大值为14×2213＝216，最小值为14×1＝14.综上所述，2x ＋y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，2213.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，2213选择填空提速专练(二)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知i 为虚数单位，则|3＋2i|＝( ) A. 5 B.7 C.13D ．3解析：选C 由题意得|3＋2i|＝32＋22＝13，故选C. 2．已知A ＝{x |－2<x <1}，B ＝{x |2x>1}，则A ∩(∁R B )为( ) A ．(－2,1) B ．(－∞，1) C ．(0,1)D ．(－2,0]解析：选 D 由题意得集合B ＝{x |x >0}，所以∁R B ＝{x |x ≤0}，则A ∩(∁R B )＝{x |－2<x ≤0}，故选D.3．若(x －1)8＝1＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，则a 5＝( ) A ．56 B ．－56 C ．35D ．－35解析：选B 二项式(x －1)8的展开式中x 5的系数为a 5＝C 38(－1)3＝－56，故选B. 4．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)，则f (x )的奇偶性( ) A ．与ω有关，且与φ有关 B ．与ω有关，但与φ无关 C ．与ω无关，且与φ无关D ．与ω无关，但与φ有关解析：选D 因为ω决定函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期，φ决定函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象沿x 轴平移的距离，所以函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的奇偶性与ω无关，与φ有关，故选D.5．已知x ∈R ，则“|x －3|－|x －1|<2”是“x ≠1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 因为|x －3|－|x －1|≤|(x －3)－(x －1)|＝2，当且仅当x ≤1时，等号成立，所以|x －3|－|x －1|<2等价于x >1，所以“|x －3|－|x －1|<2”是“x ≠1”的充分不必要条件，故选A.6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知∠B ＝30°，△ABC 的面积为32.且sin A ＋sin C ＝2sin B ，则b 的值为( )A ．4＋2 3B ．4－2 3 C.3－1D.3＋1解析：选D 在△ABC 中，由sin A ＋sin C ＝2sin B 结合正弦定理得a ＋c ＝2b ，△ABC 的面积为12ac sin B ＝12ac ×12＝32，解得ac ＝6，在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cosB ＝(a ＋c )2－2ac －3ac ＝(2b )2－(2＋3)×6.解得b ＝3＋1，故选D.7．将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组每组至少一人，则不同的分配方案的种数为( )A ．50B ．80C ．120D ．140解析：选B 当甲组有两人时，有C 25A 23种不同的分配方案；当甲组有三人时，有C 35A 22种不同的分配方案．综上所述，不同的分配方案共有C 25A 23＋C 35A 22＝80种不同的分配方案，故选B.8．已知a ，b 为实常数，{c i }(i ∈N *)是公比不为1的等比数列，直线ax ＋by ＋c i ＝0与抛物线y 2＝2px (p >0)均相交，所成弦的中点为M i (x i ，y i )，则下列说法错误的是( )A ．数列{x i }可能是等比数列B ．数列{y i }是常数列C ．数列{x i }可能是等差数列D ．数列{x i ＋y i }可能是等比数列解析：选C 设等比数列{c i }的公比为q .当a ＝0，b ≠0时，直线by ＋c i ＝0与抛物线y 2＝2px 最多有一个交点，不符合题意；当a ≠0，b ＝0时，直线ax ＋c i ＝0与抛物线y 2＝2px的交点为－c ia，±－2pc ia，则x i ＝－c i a ，y i ＝0，x i ＋y i ＝－c i a，此时数列{x i }是公比为q的等比数列，数列{y i }为常数列，数列{x i ＋y i }是以q 为公比的等比数列；当a ≠0，b ≠0时，直线ax ＋by ＋c i ＝0与抛物线y 2＝2px 的方程联立，结合根与系数的关系易得x i ＝pb 2a2－c i a ，y i ＝－pba，此时数列{y i }为常数列．综上所述，A ，B ，D 正确，故选C. 9．若定义在(0,1)上的函数f (x )满足：f (x )>0且对任意的x ∈(0,1)，有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋x 2＝2f (x )，则( )A ．对任意的正数M ，存在x ∈(0,1)，使f (x )≥MB ．存在正数M ，对任意的x ∈(0,1)，使f (x )≤MC ．对任意的x 1，x 2∈(0,1)且x 1<x 2，有f (x 1)<f (x 2)D.对任意的x 1，x 2∈(0,1)且x 1<x 2，有f (x 1)>f (x 2)解析：选A 令x 1∈(0,1)，x 2＝2x 11＋x 21，则易得x 2∈(0,1)，f (x 2)＝2f (x 1)，令x 3＝2x 21＋x 22，则易得x 3∈(0,1)，f (x 3)＝2f (x 2)＝22f (x 1)，…，依次类推得f (x n )＝2n －1f (x 1)，所以数列{f (x n )}构成以f (x 1)为首项，2为公比的等比数列，又因为f (x 1)>0，所以对任意的正数M ，存在n ∈N *，使得2nf (x 1)≥M ，即存在x ＝x n ∈(0,1)，使得f (x )≥M ，故选A.10.在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点M ，N 分别是线段CD ，AB 上的动点，点P 是△A 1C 1D 内的动点(不包括边界)，记直线D 1P 与MN 所成角为θ，若θ的最小值为π3，则点P 的轨迹是( )A ．圆的一部分B ．椭圆的一部分C ．抛物线的一部分D ．双曲线的一部分解析：选B 延长D 1P 交平面ABCD 于点Q ，则直线D 1Q 与直线MN 所成的角即为直线D 1P 与直线MN 所成的角，则由最小角定理易得当点M 与点D 重合，且直线MN 过点Q 时，直线D 1Q 与直线MN 所成的角取得最小值，此时∠D 1QD 即为直线D 1Q 与直线MN 所成的角，所以∠D 1QD ＝π3，则∠DD 1Q ＝π6，所以点P 在以DD 1为轴，顶角为π3的圆锥面上运动，又因为点P 在平面A 1C 1D 上，所以点P 的轨迹是椭圆的一部分，故选B.二、填空题11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________，表面积为________．。

高考数学二轮复习(浙江专用)习题大题规范天天练星期五第三周 Word版含答案

星期五 (综合限时练)2017年____月____日解答题综合练(设计意图：训练考生在规定时间内得高分，限时：80分钟) 1.(本小题满分14分)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋33c sin B . (1)若a ＝2，b ＝7，求c ；(2)若3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫C －π12＝0，求A .解 (1)∵a ＝b cos C ＋33c sin B ， ∴sin A ＝sin B cos C ＋33sin C sin B ， ∴cos B sin C ＝33sin C sin B ，又sin C ≠0， ∴tan B ＝3，∵B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴B ＝π3.∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴c 2－2c －3＝0， ∴c ＝3，c ＝－1(舍去).(2)∵3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫C －π12＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6－1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3－2A －π6－1＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6－1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π3－1.∴由2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π3－1＝0，及π6＜A ＜π2，可得A ＝π4.2.(本小题满分15分)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求： (1)“星队”至少猜对3个成语的概率；(2)“星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望E (X ).解 (1)记事件A ：“甲第一轮猜对”，记事件B ：“乙第一轮猜对”，记事件C ：“甲第二轮猜对”，记事件D ：“乙第二轮猜对”，记事件E ：“‘星队’至少猜对3个成语”. 由题意，E ＝ABCD ＋ABCD ＋ABCD ＋ABCD ＋ABCD . 由事件的独立性与互斥性，P (E )＝P (ABCD )＋P (ABCD )＋P (ABCD )＋ P (ABCD )＋P (ABCD )＝P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＋ P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＋ P (A )P (B )P (C )P (D )＝34×23×34×23＋2×⎝ ⎛14×23×34×23＋34×13⎭⎪⎫×34×23＝23.所以“星队”至少猜对3个成语的概率为23.(2)由题意，随机变量X 可能的取值为0，1，2，3，4，6.由事件的独立性与互斥性，得P (X ＝0)＝14×13×14×13＝1144，P (X ＝1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫34×13×14×13＋14×23×14×13＝10144＝572，P (X ＝2)＝34×13×34×13＋34×13×14×23＋14×23×34×13＋14×23×14×23＝25144， P (X ＝3)＝34×23×14×13＋14×13×34×23＝12144＝112， P (X ＝4)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫34×23×34×13＋34×23×14×23＝60144＝512.P (X ＝6)＝34×23×34×23＝36144＝14.可得随机变量X 的分布列为所以数学期望E (X )＝0×1144＋1×572＋2×25144＋3×112＋4×512＋6×14＝236. 3.(本小题满分15分)在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，∠DAB ＝90°，AD ∥BC ，AD ⊥侧面P AB ，△P AB 是等边三角形，DA ＝AB ＝2，BC ＝12AD ，E 是线段AB的中点.(1)求四棱锥P －ABCD 的体积；(2)试问线段PB 上是否存在点F ，使二面角C －DE －F 的余弦值为14？若存在，确定点F 的位置；若不存在，说明理由. 解 (1)因为AD ⊥侧面P AB ，PE ⊂平面P AB ，所以AD ⊥PE .又因为△P AB 是等边三角形，E 是线段AB 的中点，所以PE ⊥AB .因为AD ∩AB ＝A ，所以PE ⊥平面ABCD . 由DA ＝AB ＝2，BC ＝12AD ，可得BC ＝1. 因为△P AB 是等边三角形，可求得PE ＝ 3.所以V P －ABCD ＝13S ABCD ·PE ＝13×12(1＋2)×2×3＝ 3. (2)以E 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系E －xyz .则有A (0，1，0)，E (0，0，0)，B (0，－1，0)，C (1，－1，0)，D (2，1，0)，P (0，0，3). 设F (x 0，y 0，z 0)，PF→＝λPB →(0＜λ＜1)，则(x 0，y 0，z 0－3)＝λ(0，－1，－3). 所以F (0，－λ，3－3λ).设n ＝(x ，y ，z )为平面DEF 的法向量，ED →＝(2，1，0)， EF →＝(0，－λ，3－3λ)，⎩⎪⎨⎪⎧ED →·n ＝0，EF →·n ＝0，即⎩⎨⎧2x ＋y ＝0，－λy ＋（3－3λ）z ＝0. 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，z ＝2λ3（λ－1）.∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－2，2λ3（λ－1）.又平面CDE 的法向量为m ＝(0，0，1).∴|cos 〈m ，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2λ3（λ－1）1＋4＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤2λ3（λ－1）2＝14，化简得3λ2＋2λ－1＝0，解得λ＝13或λ＝－1(舍去).所以存在点F ，且PF ＝13PB .则点F 在靠近P 的三等分点上.4.(本小题满分15分)设A 1(－22，0)，A 2(22，0)，P 是动点，且直线A 1P 与A 2P 的斜率之积等于－12.5.(本小题满分15分)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2－2x .(1)设h (x )＝f (x ＋1)－g ′(x )(其中g ′(x )是g (x )的导函数)，求h (x )的单调区间； (2)设k ∈Z ，当x ＞1时，不等式k (x －1)＜xf (x )＋3g ′(x )＋4恒成立，求k 的最大值.解 (1)h (x )＝f (x ＋1)－g ′(x )＝ln(x ＋1)－x ＋2，x ＞－1，所以h ′(x )＝1x ＋1－1＝－x x ＋1.当－1＜x ＜0时，h ′(x )＞0；当x ＞0时，h ′(x )＜0.因此，h (x )在(－1，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减.(2)当x >1时，不等式k (x －1)＜xf (x )＋3g ′(x )＋4化为k ＜x ln x ＋xx －1＋2，所以k ＜x ＋x ln xx －1＋2对任意x ＞1恒成立.令g (x )＝x ＋x ln x x －1＋2，则g ′(x )＝x －ln x －2（x －1）2. 令h (x )＝x －ln x －2(x ＞1)，则h ′(x )＝1－1x ＝x －1x ＞0，所以函数h (x )在(1，＋∞)上单调递增. 因为h (3)＝1－ln 3＜0，h (4)＝2－2ln 2＞0，所以方程h (x )＝0在(1，＋∞)上存在唯一实根x 0，且满足h (x 0)＝x 0－ln x 0－2＝0，x 0∈(3，4).当1＜x ＜x 0时，h (x )＜0，即g ′(x )＜0，当x ＞x 0时，h (x )＞0，即g ′(x )＞0，所以函数g (x )＝x ＋x ln xx －1＋2在(1，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增. 所以[]g （x ）min＝g (x 0)＝x 0（1＋ln x 0）x 0－1＋2＝x 0（1＋x 0－2）x 0－1＋2＝x 0＋2∈(5，6).所以k ＜[g (x )]min ＝x 0＋2∈(5，6). 故整数k 的最大值是5.。

2018高考浙江数学带答案

绝密★启用前2018 年一般高等学校招生全国一致考试（浙江卷）数学本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷满分150 分。

考试用时120 分钟。

考生注意：1．答题前，请务势必自己的姓名、准考据号用黑色笔迹的署名笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的地点上。

2．答题时，请依据答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的地点上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。

参照公式：若事件 A，B 互斥，则柱体的体积公式若事件 A，B 互相独立，则此中表示柱体的底面积，表示柱体的高若事件 A 在一次试验中发生的概率是p，锥体的体积公式则 n 次独立重复试验中事件A恰巧发生 k此中表示锥体的底面积，表示锥体的高次的概率球的表面积公式台体的体积公式此中分别表示台体的上、下底面积，表示球的体积公式台体的高此中表示球的半径选择题部分（共40 分）一、选择题：本大题共10 小题，每题 4 分，共 40 分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的。

1．已知全集U={1 ，2， 3， 4， 5} ，A={1 ， 3} ，则A．B． {1，3}C． {2 ， 4，5}D． {1 ，2， 3， 4， 5} 2．双曲线的焦点坐标是A． (- ，0) ，( ，0)B．( - 2， 0) ，(2，0)C． (0，- ) ，(0，)D．(0，- 2) ，(0，2)33．某几何体的三视图以下图（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm）是A． 2B．4C．6D．8 4．复数 (i为虚数单位)的共轭复数是A． 1+i B． 1- i C． - 1+i D．- 1- i 5．函数y=sin2 x的图象可能是A．B．C．D．6．已知平面α，直线m，n知足mα ，nα ，则“m∥n”是“m∥α”的A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件7．设 0< <1，随机变量ξ的散布列是pξ012P则当 p 在（0，1）内增大时，A．D（ξ）减小B．D（ξ）增大C．D（ξ）先减小后增大D．D（ξ）先增大后减小8．已知四棱锥S- ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段 AB上的点（不含端点），设 SE与 BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S-AB-C的平面角为θ3，则A．θ1≤θ2≤θ3B．θ3≤θ2≤θ1C．θ1≤θ3≤θ2D．θ2≤θ3≤θ19．已知，，e 是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b知足a b2b - 4e· b+3=0，则| a- b|的最小值是A．- 1B． +1C．2D．2-10．已知成等比数列，且．若，则A．B．C．D．非选择题部分（共110 分）二、填空题：本大题共7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。