常考问题15 与圆锥曲线有关的定点、定值、最值、范围问题
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常考问题15 与圆锥曲线有关的定点、定值、最
值、范围问题
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1．(2013·济南模拟)若双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)与直线y ＝3x 无交点，则离心率e 的取值范围是
( )．
A ．(1，2)
B ．(1，2]
C ．(1，5)
D ．(1，5]
解析 因为双曲线的渐近线为y ＝±
b a x ，要使直线y ＝3x 与双曲线无交点，则直线y ＝3x 应在两渐近线之间，所以有b
a ≤3，即
b ≤3a ，所以b 2≤3a 2，
c 2－a 2≤3a 2，即c 2≤4a 2，e 2≤4，所以1 2．直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点，若|AB |＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋1 2＝0的距离等于 ( )． A.74 B ．2 C.9 4 D ．4 解析 直线4kx －4y －k ＝0，即y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫ x －14，即直线4kx －4y －k ＝0过抛物线 y 2＝x 的焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫ 14，0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋12＝4，故x 1＋x 2 ＝72，则弦AB 的中点横坐标是74，弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离是74＋1 2＝94. 答案 C 3．已知抛物线y 2＝4x ，圆F ：(x －1)2＋y 2＝1，过点F 作直线l ，自上而下顺次与上述两曲线交于点A ，B ，C ，D (如图所示)，则|AB |·|CD |的值正确的是 ( )． A ．等于1 B ．最小值是1 C ．等于4 D ．最大值是4 解析 设直线l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线方程， 得y 2－4ty －4＝0. 设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， 根据抛物线定义|AF |＝x 1＋1，|DF |＝x 2＋1， 故|AB |＝x 1，|CD |＝x 2， 所以|AB |·|CD |＝x 1x 2＝y 21 4·y 22 4＝()y 1y 22 16， 而y 1y 2＝－4，代入上式， 得|AB |·|CD |＝1.故选A. 答案 A 4．已知椭圆x 24＋y 2 b 2＝1(0 ( )． A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 解析 不妨设点F 的坐标为(4－b 2，0)，而|AB |＝2b ，∴S △ABF ＝1 2×2b ×4－b 2＝b 4－b 2 ＝b 2 （4－b 2 ）≤b 2＋4－b 22 ＝2(当且仅当b 2＝4－b 2，即b 2＝2时 取等号)，故△ABF 面积的最大值为2. 答案 B 5．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线分别交于A ，B 两点，则|AF | |BF |的值等于 ( )． A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1>x 2，易知直线AB 的方程为y ＝3x － 32p ，代入抛物线方程y 2＝2px ，可得x 1＋x 2＝53p ，x 1x 2＝p 2 4，可得x 1＝32 p ， x 2＝p 6，可得|AF | |BF |＝ x 1＋p 2 x 2＋p 2＝3p 2＋p 2p 6＋p 2＝3. 答案 C 6．抛物线x 2 ＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 2 3＝1相交于A ，B 两点， 若△ABF 为等边三角形，则p ＝________． 解析 由题意知B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 3，－p 2，代入方程x 23－y 23＝1得p ＝6. 答案 6 7．(2013·镇江模拟)已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是________． 解析 由题意知，△ABE 为等腰三角形．若△ABE 是锐角三角形，则只需要∠AEB 为锐角．根据对称性，只要∠AEF <π 4即可．直线AB 的方程为x ＝－c ，代入双曲线方程得y 2 ＝b 4a 2，取点A ⎝ ⎛ ⎭ ⎪⎫－c ，b 2a ，则|AF |＝b 2a ，|EF |＝a ＋c ，只要 |AF |<|EF |就能使∠AEF <π4，即b 2