二次函数y=a_x2+c的图像与性质学案

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6.2二次函数的图象和性质(2)教案

§6.2二次函数的图象和性质（2）---( 教案)备课时间: 主备人:教学目标:1．经历探索二次函数y=ax 2和y=ax 2＋c 的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验．2．会作出y=ax 2和y=ax 2＋c 的图象，并能比较它们与y=x 2的异同，理解a 与c 对二次函数图象的影响．3．能说出y=ax 2＋c 与y=ax 2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．4．体会二次函数是某些实际问题的数学模型．教学重点:二次函数y=ax 2、y=ax 2＋c 的图象和性质，因为它们的图象和性质是研究二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象和性质的基础．我们在教学时结合图象分别从开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小值）、函数的增减性几个方面记忆分析．教学难点:由函数图象概括出y=ax 2、y=ax 2＋c 的性质．根据函数图象联想函数性质，由性质来分析函数图象的形状和位置．教学方法:类比教学法。

教学过程: 一、复习：二次函数y=x 2 与y=-x 2的性质：二、问题引入：你知道两辆汽车在行驶时为什么要保持一定距离吗？刹车距离与什么因素有关？有研究表明:汽车在某段公路上行驶时，速度为v(km/h)汽车的刹车距离s(m)可以由公式：晴天时：21001v s =；雨天时：2501v s =，请分别画出这两个函数的图像：三、动手操作、探究：1.在同一平面内画出函数y=2x 2与y=2x 2+1的图象。

2.在同一平面内画出函数y=3x 2与y=3x 2-1的图象。

比较它们的性质，你可以得到什么结论？四、例题：【例1】已知抛物线y=（m ＋1）x mm +2开口向下，求m 的值．【例2】k 为何值时，y=（k ＋2）x622--k k 是关于x 的二次函数？【例3】在同一坐标系中，作出函数①y=－3x 2，②y=3x 2，③y=21x 2，④y=－21x 2的图象，并根据图象回答问题：（1）当x=2时，y=21x 2比y=3x 2大（或小）多少？（2）当x=－2时，y=－21x 2比y=－3x 2大（或小）多少？【例4】已知直线y=－2x ＋3与抛物线y=ax 2相交于A 、B 两点，且A 点坐标为（－3，m ）．（1）求a 、m 的值；（2）求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标；（3）x 取何值时，二次函数y=ax 2中的y 随x 的增大而减小；（4）求A 、B 两点及二次函数y=ax 2的顶点构成的三角形的面积．【例5】有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m ，拱顶距离水面4m ．（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的表达式；（2）在正常水位的基础上，当水位上升h （m ）时，桥下水面的宽度为d （m ），求出将d 表示为k 的函数表达式；（3）设正常水位时桥下的水深为2m ，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18m ，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．五、小结你有哪些收获？六、作业。

二次函数y=a x2+c的图像与性质学案

九年级数学（上）学案二次函数y ＝a x 2＋c 的图像与性质教师寄语：好学、乐学、会学，方能学好！学习目标：（目标明确，行动才更有效哦！）1 1、能利用描点法正确作出函数y ＝a x 2＋c 的图象.2、经历二次函数y ＝a x 2＋c 性质探究的过程，理解二次函数y ＝a x 2＋c 的性质及它与函数y ＝a x 2的关系.学习重点：会用描点法画出二次函数y ＝ax 2＋c 的图象，理解二次函数y ＝ax 2＋c 的性质，理解函数y ＝ax 2＋c 与函数y ＝ax 2的相互关系学习难点：正确理解二次函数y ＝ax 2＋c 的性质，理解抛物线y ＝ax 2＋c 与抛物线y ＝ax 2的关系是.温馨提示：（方法得当，事半功倍！）课前热身：知识回顾 1、二次函数221xy =的图象开口，顶点坐标是，对称轴是 .2、二次函数241xy =的图象开口，当x ＞ 0时，y 随x 的增大而；当x＜ 0时，y 随x 的增大而；当x ＝ 0时，函数y 有最值是 . 3、二次函数23x y -=的图象开口，当x ＞ 0时，y 随x 的增大而；当x ＜ 0时，y 随x 的增大而；当x ＝ 0时，函数y 有最值是 . 4、已知点A （2，1y ），B （4，2y ）在二次函数23x y -=的图象上，则1y 2y . 课堂探究：（激活思维挖知识内涵！）一、自主学习我是小学者：（行家看“门道” !）二次函数y=a x 2与y=a x 2+c 的图象有什么关系？活动1 在同一平面直角坐标系画出函数y ＝x 2、y ＝x 2＋1与 y ＝x 2-1的图象. 解：(1)列表：x… -3 -2 -1 0 1 2 3 …y ＝x 2 … … y ＝x 2＋1 … … y ＝x 2-1 ……(2)描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点.(3)连线：用光滑曲线顺次连接各点，得到函数y ＝x 2、y ＝x 2＋1与 y ＝x 2-1的图象. 观察图象回答下列问题：（1）函数开口方向对称轴顶点坐标y ＝x 2y ＝x 2＋1 y ＝x 2-1（2）抛物线 y ＝x 2＋1是由抛物线y ＝x 2沿y 轴向平移个单位长度得到的；抛物线y ＝x 2-1是由抛物线y ＝x 2沿y 轴向平移个单位长度得到的；（3）你认为是什么决定了会这样平移？活动2在同一直角坐标系内画出下列二次函数的图象：已知函数：221xy -=， 3212+-=x y 和1212--=x y .（1）分别画出它们的图象；（2）说出各个图象的开口方向，对称轴和顶点坐标；（3）说出函数6212+-=x y 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；观察三条抛物线的相互关系,并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点坐标.你能说出抛物线c a y x 2+=的开口方向及对称轴、顶点坐标吗？解：(1)列表：(2)描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点. (3)连线：用光滑曲线顺次连接各点，得到函数x221y =、221y x2+=、2-21y x2=的图象.观察图象回答下列问题（1）函数开口方向对称轴顶点坐标x 221y =221y x 2+=2-21y x2=（2）抛物线221y x 2+=是由抛物线x 221y =沿y 轴向平移个单位长度得到的；抛物线2-21y x2=是由抛物线x 221y =沿y 轴向平移个知识归纳：二次函数y ＝ax 2＋c 的图象可以由y ＝ax 2 的图象上下平移得到：当c > 0 时，向上平移｜c ｜个单位得到. 当c < 0 时，向下平移｜c ｜个单位得到.函数开口方向对称轴顶点坐标 y ＝ax 2 y ＝ax 2＋c二、合作研讨（组长组织组员针对自主学习解决不了的问题展开讨论.）三、展示讲解（组内解决不了的，由已经掌握的学生或老师讲解.）四、知识归纳1.把抛物线x 221y =向下平移2个单位，可以得到抛物线，再向上平移5个单位，可以得到抛物线；2．抛物线322--=x y 的开口，对称轴是，顶点坐标是，当x 时， y 随x 的增大而增大，当x 时， y 随x 的增大而减小.3.函数y ＝3x 2+5与y ＝3x 2的图象的不同之处是( )A.对称轴B.开口方向C.顶点D.形状4.对于函数y ＝-x 2+1的图象，顶点是，当x 时，函数值y 随x 的增大而增大；当x 时，函数值y 随x 的增大而减小；当x 时，函数取得最值,为 .5．将抛物线231xy =向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为，再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式为，并分别写出这两个函数的顶点坐标、 .6.已知抛物线y=2 x 2–1上有两点(x 1，y 1) ,(x 2，y 2 )且x 1＜x 2＜0，则y 1 y 2 (填“＜”或“＞”) 五、小结：六、巩固提升：（趁热打铁储知识能量！）1．二次函数c ax y +=2()0≠a 中，若当x 取x 1、x 2（x 1≠x 2）时，函数值相等，则当x 取x 1＋x 2时，函数值等于 .2．任给一些不同的实数k ，得到不同的抛物线k x y +=2，当k 取0，1±时，关于这些抛物线有以下判断：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状相同；④都有最低点.其中判断正确的是 .3．将抛物线122-=x y 向上平移4个单位后，所得的抛物线是，当x ＝时，该抛物线有最（填大或小）值，是 .4．函数y=-23x 2+3的图象，当x ＜0时，经过了第____象限；若图象上有两点(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，且满足x 1＞x 2＞0，则y 1 ____ y 2 (填＞，＜或=)；若只满足条件x 1＞x 2，则能否判断y1、y2的大小关系?学后记：（谈谈你学习本节课之后的收获）。

二次函数y=ax2+ c的图象及性质教学设计

1 《二次函数y=ax 2+c 的图像及性质（2）》教学设计授课班级：初三（13）班授课时间：11月12日授课教师：郑宏周【教学目标】1．会用描点法画出二次函数()02≠+=a c ax y 的图象，进一步了解抛物线的概念．2．了解抛物线()02≠+=a c ax y 的顶点、开口方向、对称轴的关概念．3．会求二次函数()02≠+=a c ax y 的最大值或最小值．4．理解二次函数()02≠+=a c ax y ，函数值y 随自变量x 的变化规律.5．会用二次函数()02≠+=a c ax y 的性质解决有关简单的实际问题.【重点难点】重点：会画二次函数()02≠+=a c ax y 的图象，及理解二次函数()02≠+=a c ax y 的关性质. 难点：会用二次函数()02≠+=a c ax y 的有关性质解决一些简单的实际问题.【知识要点】1．二次函数()02≠+=a c ax y 的图象画法．方法一，用“列表、描点、连线”方法来画；方法二，将二次函数()02≠+=a c ax y 的图象向上或向下平移c 个单位.当0>c 时，向上平移c 个单位；当0<c 时，向下平移-c 个单位.2．二次函数()02≠+=a c ax y 的性质二次函数()02≠+=a c ax y 的性质，见下表：引入：．在同一坐标系中画出函数y=2x ，y=2x +1，y=2x -1的图象，并说出它们的位置关系。

指出它们相同和不同的性质。

通过作图我们可以得出如下的结论：性质1： y=ax 2+c 的图象与y=ax 2的图象形状---------①其对称轴为----轴②顶点坐标为（-------,--------）③当a>0时，开口-----，图象y=ax 2+c 有最---点；当x=0时，y 有最---值为----；当a<0时，开2 口---，图象有最----点，当x=0时，y 有最大值为c④当c>0时，是由y=ax 2向-----平移c 个单位，当c<0时，是由y=ax 2向----平移|c|个单位。

第4课时二次函数y=a(xh)2的图象与性质导学案

西泽北中学数学学案九年级主备人：李超张英库授课时间：2010-11- 上午节第4课时二次函数y ＝a(x-h)2的图象与性质一、学习目标：1．会画二次函数y ＝a （x -h ）2的图象；2．掌握二次函数y ＝a （x -h ）2的性质，并要会灵活应用；二、探索新知：画出二次函数y ＝－12 (x ＋1)2，y －12 (x －1)2的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴、顶点以及最值、增减性．描点并画图．12． ①抛物线y ＝－12 (x ＋1)2 ，y ＝－12 x 2，y ＝－12 (x －1)2的形状大小____________．②把抛物线y ＝－12 x 2向左平移_______个单位，就得到抛物线y ＝－12 (x ＋1)2 ；把抛物线y ＝－12 x 2向右平移_______个单位，就得到抛物线y ＝－12 (x ＋1)2 ．四、整理知识点2．对于二次函数的图象，只要｜a ｜相等，则它们的形状_________，只是_________不同．五、课堂训练2．抛物线y＝4 (x－2)2与y轴的交点坐标是___________，与x轴的交点坐标为________．3．把抛物线y＝3x2向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为______________．把抛物线y＝3x2向左平移6个单位后，得到的抛物线的表达式为_______________．4．将抛物线y＝－13(x－1)2向右平移2个单位后，得到的抛物线解析式为____________．5．写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与抛物线y＝－2x2都相同的二次函数解析式___________________________．六、目标检测1．抛物线y＝2 (x＋3)2的开口______________；顶点坐标为__________________；对称轴是_________；当x＞－3时，y______________；当x＝－3时，y有_______值是_________．2．抛物线y＝m (x＋n)2向左平移2个单位后，得到的函数关系式是y＝－4 (x－4)2，则m＝__________，n＝___________．3．若将抛物线y＝2x2＋1向下平移2个单位后，得到的抛物线解析式为______________．4．若抛物线y＝m (x＋1)2过点（1，－4），则m＝_______________．。

二次函数y=ax2的图像和性质教案

二次函数y=ax2的图像和性质教案篇一：22.1.2二次函数y=ax2图像与性质教案2123篇二：《二次函数y=ax 的图象和性质》参考教案22.1.2二次函数y?ax2的图象和性质教学目标1．知识与技能能够用描点法作出函数y=ax2的图象，并根据图象认识和理解其性质2．过程与方法经历探索二次函数y=ax2的图象和性质的过程，体会数形结合的思想和方法.3．情感、态度与价值观在初步建立二次函数表达式与图象之间的联系中，体会数形结合与转化，体会数学内在的美感．教学重点难点1．重点函数y=ax2的图象的画法，了解抛物线的含义，理解函数y=ax2的图象与性质．2．难点用描点的方法准确地画出函数y=ax2的图象，掌握其性质特征．教与学互动设计（一）创设情境导入新课导语一回忆一次函数和反比例函数的定义，图象特征，思考二次函数的图象又有何特征呢？导语二展示（用课件或幻灯片）具有抛物线的实例让大家欣赏，议一议这与二次函数有何联系呢？导语三用红色的乒乓球作投篮动作，观察乒乓球的运动路线，思考运动路线有何规律？怎样用数学规律来描述呢？（二）合作交流解读探究1．函数y=ax2的图象画法及相关名称【探究l】画y=x2的图象学生动手实践、尝试画y=x2的图象教师分析，画图像的一般步骤：列表→描点→连线教师在学生完成图象后，在黑板上示范性画出y=x2的图象，如图22-1-1.【共同探究】次函数图像有何特征？特征如下：①形状是开口向上的抛物线②图象关于y轴对称③由最低点，没有最高点.结合图象介绍下列名称：①顶点；②对称轴；③开口及开口方向.图22-1-1图22-1-22．函数y=ax2的图象特征及其性质【探究2】在同一坐标系中，画出y=12x，y=2x2的图象.2学生自己完成此题.教师做个别指导，在学生（大部分）完成后，教师可示范性地画出两函数的图象.如图22-1-2比较图中三个抛物线的异同.相同点：①顶点相同，其坐标都为（0，0）.②对称轴相同，都为y 轴③开口方向相同，它们的开口方向都向上.不同点：开口大小不同.【练一练】画函数y=-x2，y=-施过程）比较函数y=-x2，y=-12x，y=-2x2的图象.找出它们的异同点.212x，y=-2x2的图象.（分析：仿照探究1的实2相同点：①形状都是抛物线.②顶点相同，其坐标都为（0，0）.③对称轴相同，都为y轴④开口方向相同，它们的开口方向都向下.不同点：开口大小不同.【归纳】y=ax2的图象特征：(1)二次函数y=ax2的图象是一条抛物线(2)抛物线y=ax2的对称轴是y轴.顶点时原点.a>0时，抛物线开口向上，顶点时抛物形的最低点.a(3)|a|越大，抛物线y==ax2的开口越小（三）应用迁移巩固提高类型之一如何画好二次函数的图象【点拨】画二次函数图象一般是按以下三个步骤进行.①列表、取值；②描点；③连线但初学者对三个步骤，易犯下列错误，注意避免. 【易错点1】表格中，取值过多或过少.画函数y=ax2图象,取对应值时，一般5组或7组有代表性的对应值即可.．．．【易错点2】连线不是光滑曲线，有的用折线，有的画的过渡不自然，不象抛物线.例1下图是甲、乙、丙三人画得二次函数y=2x2的图象.请你帮助修改.解：图甲中有两个错误的地方.①连线不能用直尺作线段，图象中相邻两点时用光滑曲线连接.②抛物线开口应向上无限延伸，不能到两端点为止.修改见图甲中虚线.图乙中有一个错误，其中有一个点（1，-2）的位置画错.（或表格中对应值算错）修改见图乙中虚线.图丙种错误是x的值都是非负数，没有负数，导致出现其图象只是抛物线的一半，没有对称性.修改见图丙中虚线.【点评】此三类错误是初学者应注意的三个方面，以后的练习中，应提醒大家注意.类型之二函数y=ax2的图象特征的应用例2（1）填空：函数y?()2的图象是，顶点坐标是，对称轴是，开口方向是. 1（2）函数y=x2，y=x2，y=-2x2图象如图所示，请指出三条抛物线的名称.2解：（1）y?()2可化为y=2x2.它的图象是抛物线，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴，开口方向向上.【点评】解析式需化为一般式，再根据图象特征解答，避免发生错误.(2)根据抛物线y=ax2中，a的值的作用来判断，最上面的抛物线为y=x2，中间的为y=12x，x轴下方的为y=-2x22【点评】抛物线y=ax2中a>0时，开口向上.a（四）总结反思拓展升华【总结】1.本节所学知识：①二次函数y=ax2的图象的画法.②二次函数y=ax2的图象特征及其性质.2.本节所用的方法：实践比较法【反思】函数y=ax2与y=-ax2的图象之间有何关系？（它们关于x 轴对称）【拓展】已知函数y=ax2经过(1,2).（1）求a的值.（2）当x(2)根据函数y=2x2知x【点评】①通常用待定系数法函数y=ax2中只有一个待定系数a,故知道其图象上一点坐标或x，y的一组对应值就可求出解析式.②结合图象知：x（五）当堂检测反馈1.抛物线y=4x2中的开口方向是向上，顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴.抛物线y=-对称轴是y轴.2.二次函数y=ax2与y=2x2，开口大小，形状一样，开口方向相反，则a=2.【分析】a与-2互为相反数13.在同一坐标系中：①y=x2，②y=-x2，③y=2x2这三个函数图象开口最大212x的开口方向是向下，顶点坐标是（0，0），4的是①y?12x2，开口向下的是②y=-x21解：∵||2∵函数y=-x2中，二次项系数为-114.二次函数y=2x2，y=-2x2，y=x22点（0，0）；②对称轴相同，都是y轴.5．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，且经过(-3,2).求此抛物线的解析式，并指出x>0时，y随x的变化情况.解：设此抛物线的解析式为y=ax2,∵此抛物线过点（-3，2），∴2=a·(-3)2,。

我的《二次函数y=ax2的图象和性质》教案

我的《二次函数y=ax2的图象和性质》教案我的《二次函数y=ax2的图象和性质》教案我的《二次函数y=ax2的图象和性质》教案二次函数的图像和性质是初中函数知识中非常重要的知识点，是一种经常用到的数学模型，因此是各地中考题中的热点，同时对学生来说又是一个学习难点。

不少学生即使毕业了谈起初中数学学习还是觉得二次函数最难学。

每次教到这部分我也是总想探究不同的教学方法，希望能帮助学生走出“二次函数最难学”的怪圈。

良好的开端是成功的一半，因此二次函数y=ax2的图象和性质做为研究二次函数的图像和性质的第一课时是很重要的。

因此在导入新课时我首先来了个温顾而知新，复习以前学过的一次函数与反比例函数的图像与性质。

一温顾而知新：（1）正比例函数一次函数y=kx+b（k ≠ 0）其图象是什么?具有什么样的性质？请结合图像说明。

（2）反比例函数y= k/x（k ≠ 0）的图象是什么？具有什么样的性质？请结合图像说明。

（3）我们以前是怎么画出函数的图象的？用（）法：分（），（），（）三个步骤。

二．新课探究（一）：二次函数的图象又是什么呢？下面我们将同样用描点法在同一个坐标系中画出二次函数y=x2与y=-x2的图象。

（必须让学生自己动手画图，这是非常重要的教学环节，学生只有通过自己的动手操作，才能更好的认识和体会二次函数的图像和性质。

）给学生足够的规范画图的时间，对于画图有困难的学生要给与指导。

在学生画完图后，组织学生观察所画图形，从形状、对称性与坐标轴的关系方面。

小组内可以讨论交流各自的发现。

然后让各小组谈自己的发现和结论。

教师点拨探究:认真观察我们所画的图象，我们可以发现二次函数的图象像我们生活中抛物体时形成的曲线。

（教师可即时演示抛掷一个物体，让学生从感性认识抛出的物体所形成的轨迹）因此我们把它叫做抛物线,它有（）条对称轴，是（），抛物线与它的对称轴的交点叫抛物线的顶点。

交点在（）。

（让学生结合图形认识有关的概念。

二次函数yax2c的图象和性质课件PPT

把抛物线y=２x2向上平移5个单位,会得到那条抛物线? 向下平移3.4个单位呢? (1)得到抛物线y=２x2+5
(2)得到抛物线y=２x2－３.4
思考:抛物线y=2x2+5
的开口方向、对称轴、顶点各是什么?
抛物线y=－
1 2
x2向下平移５个单位后，所得
抛物线为
y=－
1 2
x2－５，再向上平移７个单位
（2）抛物线y=ax2＋k对称轴是y轴，顶点（0，-3），且经过（1，2），求抛物线的解析式.
抛物线y=ax2与y=ax2±k之间的关系是：
形状大小相同，开口方向相同，对称轴相同，而顶点位置和抛物线的位置不同．抛物线之间的平移规律：
向上平移
抛物线y=ax2 c个单位抛物线 y=ax2+k
后，所得抛物线为
y=－
1 2
x2＋２
.
抛物线y=ax2＋k与y=－５x2 的形状大小，开口方向都相同，且其顶点坐标是（０，３），则其表达式为y=－５x2＋３，它是由抛物线y=－５x2上向平移３个单位得到的．
抛物线y=ax2＋k与y=３x2的形状相同，且其顶点坐标是
（０，１），则其表达式为 y=３x2＋１或y=－３x2＋１，
１、在直角坐标系中，二次函数y=3x2+2 的图象x A
y 0x
B
y 0x
C
y 0x
D
2、函数y=3x2+5与y=3x2的图象
的不同之处是( C )
A.对称轴
B.开口方向
C.顶点和抛物线的位置D.形状
3、按下列要求求出抛物线的解析式：
（1）抛物线y=ax2＋k形状与y=-2x2+3 的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（0，1）,求抛物线的解析式。

2.2第2课时二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象与性质(教案)

2.分析能力：培养学生观察、分析图象，提炼关键信息，发现函数性质的能力，从而提高解决问题的策略选择和运用能力。
3.数学思维能力：激发学生运用数学思维，通过对比、归纳、推理等方法，探索二次函数图象与性质的一般规律，提升数学素养。
4.实践应用能力：将所学知识应用于解决实际问题，培养学生的数学应用意识和解决实际问题的能力，增强数学与现实生活的联系。
-二次函数y=ax2+c的图象与性质：掌握图象与y=ax2的图象之间的关系，理解c对图象的影响，即上下平移的规律。
-举例：通过图象比较，让学生直观感受c值对图象的影响，明确平移的规律；引导学生发现平移前后顶点坐标的关系。
2.教学难点
-对称轴、顶点概念的理解：对称轴是二次函数图象的关键特征，而顶点是图象的最值点，学生对这些概念的理解可能存在困难。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象与性质的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对二次函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。

二次函数yax2c的图像和性质教案

二次函数yax2c的图像和性质教案二次函数y=ax^2+c的图像和性质。

一、引言。

二次函数是高中数学中的重要内容，也是数学中的经典函数之一。

二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。

本文将重点讨论二次函数y=ax^2+c的图像和性质，希望能够帮助学生更好地理解和掌握这一内容。

二、二次函数y=ax^2+c的图像。

1. 当a>0时。

当a>0时，二次函数y=ax^2+c的图像是一个开口向上的抛物线。

其顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)，对称轴为x=-b/2a，开口向上。

2. 当a<0时。

当a<0时，二次函数y=ax^2+c的图像是一个开口向下的抛物线。

其顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)，对称轴为x=-b/2a，开口向下。

3. 特殊情况。

当a=0时，二次函数y=ax^2+c化为一次函数y=c，其图像是一条水平直线，与x轴平行，且位于y=c处。

三、二次函数y=ax^2+c的性质。

1. 函数的奇偶性。

二次函数y=ax^2+c的奇偶性与系数a有关。

当a为偶数时，函数为偶函数；当a为奇数时，函数为奇函数。

2. 函数的对称轴。

二次函数y=ax^2+c的对称轴为直线x=-b/2a，对称轴与顶点重合。

3. 函数的最值。

当a>0时，二次函数y=ax^2+c的最小值为c-b^2/4a，最小值点为顶点；当a<0时，二次函数y=ax^2+c的最大值为c-b^2/4a，最大值点为顶点。

4. 函数的零点。

二次函数y=ax^2+c的零点可以通过求解方程ax^2+c=0来得到。

当Δ=b^2-4ac>0时，函数有两个不相等的实根；当Δ=0时，函数有两个相等的实根；当Δ<0时，函数无实根。

5. 函数的图像特点。

二次函数y=ax^2+c的图像特点取决于系数a的正负。

当a>0时，函数的图像开口向上，顶点为最小值点；当a<0时，函数的图像开口向下，顶点为最大值点。

人教版数学九年级上册22.1.2二次函数y=ax2图像与性质教案

22.1.2《二次函数的图象和性质》教学设计本节内容属于教科书中的“数与代数”的领域，是在学生已经学习了二次函数定义的基础上，画出二次函数y=ax2的图象，并通过对图象的研究和分析，掌握二次函数的y=ax2图象特征。

学生在此之前已经学习了一次函数，这是对函数及其应用知识学习的深化和提高，这是二次函数中最简单的一条抛物线，学生只有掌握了它的画法和图象特征，才能通过平移图象继续学习二次函数的其他函数图象和性质。

学生对函数的研究方法已经有了一定的了解，观察能力和归纳能力也有所提高，且他们乐于动手操作。

但是他们学习完了一次函数已有一段时间，有些知识应该有了遗忘，因此在教学时应该注意复习已学函数，要通过引导学生画图，观察图象来归纳图象特征。

根据学生已有的知识经验和年龄特点，我拟定教学目标如下：1.知识与技能：会用描点法画形如y=ax2的图象，了解抛物线的有关概念。

会观察图象说出二次函数y=ax2的图象特征和性质。

2.过程与方法：在类比一次函数探究二次函数y=ax2的图象特征的过程中，进一步体会研究函数图象的基本方法和数形结合的思想。

3.情感态度与价值观：通过对二次函数y=ax2图象的探究，让学生真正成为学习的主人并感受发现的乐趣。

根据教学目标确定教学重难点：重点是观察y=ax2图象，数形结合地得出它的图象特征。

难点是画二次函数y=ax2的图象，分段讨论它的增减性。

由于本节课的知识点与前后衔接比较紧密，因此在教学中主要采用的教学方法有：观察比较，类比迁移以及多媒体辅助教学等方法，教学时要注意对一次函数学习方法的复习进行迁移。

教学中注重对学生的学法指导，让学生类比一次函数的学习方法，通过画图、比较、观察，进而归纳图象特征和掌握学习函数方法。

主要使用的教学用具有：多媒体课件，学案。

为了突出重点、突破难点、达成教学目标，确定了以下几个教学环节：一、知识回顾，导入新知设计了两个个问题：1、什么叫做二次函数？2、我们是如何研究一次函数的？设计意图：引起对旧知的思考，为知识点迁移埋下伏笔。

九年级数学下册 26.2 二次函数yax2c的图象及性质教案 (新版)华东师大版-(新版)华东师大版

26.2二次函数y=ax 2+c 的图象及性质教学内容：课本P7~10教学目标：1、会用描点法画出二次函数y=ax 2+c 的图象，并利用图象说出其性质；2、理解二次函数y=ax 2+c 的图象与y=ax 2的图象的关系；教学重点和难点：重点：会用描点法画出二次函数y=ax 2+c 的图象，并利用图象说出其性质；难点：理解二次函数y=ax 2+c 的图象与y=ax 2的图象的关系；教学准备：课件教学方法：操作体验法教学过程一、复习与练习1、画出y=3x 2与y=－2x 2的简图，利用简图说出图象的性质的。

2、一次函数y=2x －3向上移动5个单位长度，得到的一次函数的表达式为；二、学习（一）学习例2 例2、在同一平面直角坐标系中，画出函数212y x =与2112y x =+的图象。

解：1、写出自变量的取值X 围：；2、列表。

请完善表格。

4、写出图象的性质：（1）二次函数2112y x =+的图象是一条；它开口，关于对称，顶点坐标是。

（2）函数2112y x =+的图象是函数212y x =的图象向上平移单位。

（3）当x<0时，图象从左到右，y 随x 的增大而。

当x>0时，图象从左到右，y 随x 的增大而。

(４)顶点是图象的最点，因此，当x ＝0时，函数2112y x =+取得最小值，最小值y ＝. 练习：在同一平面直角坐标系中，画出函数212y x =与2122y x =-的图象，并说出函数2122y x =-的图象的性质。

（二）概括：二次函数y=ax ２+c 的图象与性质（1）二次函数y=ax ２+c 的图象是一条，它关于对称，顶点坐标是；（2）二次函数y=ax ２+c 的图象是函数y=ax ２的图象沿y 轴平移单位。

（3）当a>0时，抛物线的开口向，图象在第象限，顶点是最点；当x<0时，图象自左向右，y 随x 的增大而；当x>0时，图象自左向右，y 随x 的增大而；当x ＝0时，函数取得最值，最值y ＝；当a<0时，抛物线的开口向，图象在第象限，顶点是最点；当x<0时，图象自左向右，y随x的增大而；当x >0时，图象自左向右，y随x的增大而；当x＝0时，函数取得最值，最值y＝；（三）应用补充例题1：如图，两条抛物线y1=﹣x2+1，y2=与分别经过点（﹣2，0），（2，0）且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为（）A．8 B．6 C．10 D．4解：∵两解析式的二次项系数相同，∴两抛物线的形状完全相同，∴y1﹣y2=﹣x2+1﹣（﹣x2﹣1）=2；∴S阴影=（y1﹣y2）×|2﹣（﹣2）|=2×4=8，故选A．练习：下列图形中，阴影部分的面积为2的有（）个．A．4个B．3个C．2个D．1个补充例题2：如图，正方形ABCD边AB在x轴上，且坐标分别为A（1，0），B（﹣1，0），若抛物线经过A，B两点，将正方形绕A点顺时针旋转30°后D点转到D′位置，且D′在抛物线上，则抛物线的解析式为．分析：如图，过点D′作D′E⊥x轴于点E．根据旋转的性质推知直角△AED′中的AD′=2，∠D′AE=60°，通过解该直角三角形即可求得AE、D′E的长度，从而求得点D′的坐标，然后将其代入二次函数解析式y=a（x+1）（x﹣1）（a≠0），从而求得a的值．解：根据题意，可设该二次函数解析式为y=a（x+1）（x﹣1）（a≠0），如图，过点D′作D′E⊥x轴于点E．∵A（1，0），B（﹣1，0），∴AB=2．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=2，∠DAB=90°．又∵由旋转的性质知，∠DAD′=30°，AD=AD′=2，∴在直角△AED′中，AE=AD′cos60°=2×=1，D′E=AD′sin60°=2×=，∴D′（2，）．∵点D′在抛物线上，∴=a（2+1）（2﹣1），解得，a=，∴该二次函数解析式是：y=（x+1）（x﹣1）（或y=x2﹣）．故答案是：y=（x+1）（x﹣1）（或y=x2﹣）．三、小结：1、学生小结；2、教师小结：本节课学习了二次函数y=ax2+c的图象及性质。

二次函数y=ax2 和y=ax2 c的图象与性质 (教学设计) 九年级数学下册(北师大版)

2.2.2二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象与性质教学设计二次函数是否只有y＝x2与y＝－x2这两种呢?有没有其他形式的二次函数？1.在画有y=x2直角坐标系中，画出y=1x2，y=2x22的图象.①列表；②描点，连线x2，y=2x2的图象与函数y=x2的图象相比2.函数y=12，有什么共同点和不同点？开口都向上，对称轴都是y轴.y=2x2抛物线的开口最小．当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大.顶点都是原点(0，0)，顶点是抛物线的最低点.总结填表：3.做一做：在同一直角坐标系中，画出二函数y=2x2+1与y=2x2-1的图象．解：先列表：再描点，连线然后描点画图：思考：抛物线y = 2x2+1 , y = 2x2-1 的开口方向、对称轴和顶点各是什么？4.二次函数y=2x2+1、与二次函数y=2x2的图象有什么相同与不同？画出图象并观察得出结论：1、因为a值相同，所以开口方向，大小都相同；2、二次函数y=2x2+1的图象，可以看作是由y=2x2的图象向上平移1个单位得到；3、二次函数y=2x2-1的图象，可以看作是由y=2x2的图象向下平移1个单位得到；3.想一想，函数y=2x2+1是由函数y=2x2怎样平移得到的呢？y=ax2+c的图象是由y=ax2的图象上下平移得到的(1)当c>0 时，向上平移c个单位;(2)当c<0 时，向下平移︱c︱个单位.规律：平方项不变，常数项上加下减.4.在同一坐标系中，画出二次函数y=−12x2,y=−12x2+2，y=−12x2−2的图象，并分别指出它们的开口方向，对称轴和顶点坐标，指明抛物线y=−12x2+2通过怎样的平移可得到抛物线y=−12x2−2.归纳二次函数y = ax2 +c的图象和性质:。

【导学案】4.第1课时二次函数y=ax2+c的图象与性质导学案及答案

第1课时二次函数y=ax2+c的图象与性质导学案学习目标1、探索经历二次函数y=ax2+c的图象的作法和性质的过程，学会利用图象研究和理解二次函数y=ax2+c的性质。

2、能比较二次函数y=ax2+c与二次函数y=ax2的异同与联系，并能解决简单的问题。

学习策略1、结合上节课所学的二次函数y=ax2的图像与性质，理解二次函数y=ax2+c的图象和性质；2、比较二次函数y=ax2+c与二次函数y=ax2的异同与联系.学习过程一.复习回顾：1、若抛物线y=a1x2，y=a2x2的形状相同，那么（）A．a1=a2B．a1=-a2C．|a1|=|a2| D．a1与a2的关系无法确定2、填空：（1）已知函数y=ax2 （a≠0）的图像过点（a，27），则a= 。

（2）下列各点：（-1,2）（-1，-2）（-2，-4）（-2,4）其中在二次函数y= -2x2 的图像上的是。

二.新课学习：1.自学教材P78-79，回答以下问题（1）二次函数y=2x2，y=2x2+1，y=2x2-1的图像都是，并且形状，只是位置。

（2）将二次函数y=2x2的图像向上平移单位，就得到函数的图像；将二次函数y=2x2的图像平移单位，就得到函数y=2x2-1的图像。

.2、自学课本P78-79思考下列问题：（1）你能总结出二次函数y=ax2+c的性质吗？（2）二次函数y=ax2+c与二次函数y=ax2有什么联系呢？三.尝试应用：1、抛物线y＝4x2–3的顶点坐标是（）A、（0，-3）B、（-3，0）C、（0，3）D、（3，0）2、将抛物线y＝﹣2x2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位后，所得的抛物线的函数表达式为．3、已知二次函数y=ax2+c ，当x取x1,x2(x1≠x2, x1,x2分别是A,B两点的横坐标)时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值是多少？四.自主总结：（1）二次函数y=ax2+c (a≠0)的图像和性质：当a>0时，抛物线y=ax2+c的开口，对称轴是，顶点坐标是，在对称轴的左侧，y 随x的增大而，在对称轴的右侧,y随x的增大而，当x= 0 时，取得最小值，这个值等于；当a<0时,抛物线y=ax2+c的开口，对称轴是，顶点坐标是，在对称轴的，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧,y随x的增大而，当x= 0时，取得最值，这个值等于c。

九年级数学《二次函数y=ax2+c的图象与性质》导学案

数学九年级上册《二次函数y＝ax2＋c的图象与性质》导学案设计人：审核人：【学习目标】知识与技能:掌握用描点法作二次函数y＝ax2＋c的图象，能从图象中理解二次函数y＝ax2＋c的性质及它与函数y＝ax2的关系。

过程与方法：经历二次函数y＝ax2＋c的图象和性质的过程，体会数形结合思想。

情感态度价值观：在初步建立二次函数解析式与图象之间的联系中，体会数学的内在美。

【学习重点】会画二次函数y＝ax2＋c的图象，理解二次函数y＝ax2＋c的性质。

【学习难点】探索二次函数y＝ax2＋c与y＝ax2的关系。

【学习方法】自主学习，合作探究。

自学阅读课本6—7页，完成下列问题。

1、在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝x2＋1，y＝x2－1的图象。

解：先列表：x …－3 －2 －1 0 1 2 3 …y＝x2y＝x2＋1 ……y＝x2－1 ……描点并画图：观察图象得：开口方向顶点对称轴有最高（低）点最值①把抛物线y＝x2向____平移____个单位，就得到抛物线y＝x2＋1；把抛物线y＝x2向_______平移______个单位，就得到抛物线y＝x2－1．②抛物线y＝x2，y＝x2－1与y＝x2＋1的形状_____________。

我的疑惑研学2、抛物线y＝2x2向上平移3个单位，就得到抛物线_______________；抛物线y＝2x2向下平移4个单位，就得到抛物线______________。

因此，把抛物线y＝ax2向上平移k（k＞0）个单位，就得到抛物线；把抛物线y＝ax2向下平移m（m＞0）个单位，就得到抛物线___________。

3、抛物线y＝-3x2与y＝-3x2＋1是通过平移得到的，从而它们的形状_____。

由此可得二次函数y＝ax2与y＝ax2＋k的形状_______。

示学1、自学部分独立完成，小组内讨论，总结结论。

2、研学部分先独立完成，再逐题讨论，一一口头展示。

检学1、将二次函数y＝5x2－3向上平移7个单位后所得到的抛物线解析式为_____________。

二次函数的图象与性质(y=ax2和y=ax2+c) 北师大版九年级下册数学教案

2 二次函数的图象与性质第2课时二次函数y ＝ax 2和y ＝ax 2＋c 的图象与性质一、教学目标1．能画出二次函数y ＝ax 2和y ＝ax 2＋c 的图象，并能够比较它们与二次函数y ＝x 2的图象的异同，理解a 与c 对二次函数图象的影响．2．能说出二次函数y ＝ax 2和y ＝ax 2＋c 图象的开口方向、对称轴及顶点坐标． 3．理解并掌握二次函数y ＝ax 2和y ＝ax 2＋c 的图象之间的关系．二、教学重难点重点：掌握二次函数y ＝ax 2和y ＝ax 2＋c 的图象的画法和性质．难点：能够比较二次函数y ＝ax 2和y ＝ax 2＋c 的图象的异同，理解a 与c 对二次函数图象的影响．三、教学过程（一）复习导入1．什么是二次函数？二次函数y ＝x 2与y ＝－x 2的图象一样吗？它们有什么相同点和不同点？2．二次函数是否只有y ＝x 2与y ＝－x 2这两种呢？有没有其他形式的二次函数呢？（二）探究新知1．二次函数y ＝ax 2的图象与性质活动内容一：在平面直角坐标系中画二次函数y ＝x 2和y ＝2x 2的图象． (1)完成下表：(2)分别画二次函数y ＝x 2和y ＝2x 2的图象．(3)二次函数y ＝2x 2的图象是什么形状？它与二次函数y ＝x 2的图象有什么相同点和不同点？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？活动内容二：在刚才的平面直角坐标系内画出函数y ＝12x 2的图象，观察它与y ＝x 2，y＝2x 2的图象有什么相同点和不同点？2．二次函数y＝ax2＋c的图象与性质活动内容三：在同一直角坐标系内画函数y＝2x2和y＝2x2＋1的图象．处理方式：同桌之间，一个列表，一个描点，然后用彩笔连线．教师巡视，指导画法．展示好的作品(以作探讨，研究性质之用)．(1)二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝2x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？(2)比较函数y＝2x2＋1的图象与函数y＝2x2的图象的异同．(从轴对称图形、开口方向、对称轴和顶点坐标方面比较)(3)在同一直角坐标系内画函数y＝2x2－1的图象，比较这3个图象的异同．(从轴对称图形、开口方向、对称轴和顶点坐标方面比较)归纳：①一般地，由y＝ax2(a≠0)的图象便可得到二次函数y＝ax2＋c(a≠0)的图象：y＝ax2＋c(a≠0)的图象可以看成y＝ax2(a≠0)的图象沿y轴整体上(下)平移|c|个单位(当c>0时，向上平移；当c<0时，向下平移)得到的．因此，二次函数y＝ax2＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a，c的值有关．①二次函数y＝ax2＋c(a≠0)的性质：（三）练习巩固1．已知二次函数y＝ax2＋c，当x取x 1和x2( x 1≠x2)时，函数值相等，则当x取(x 1＋x2)时，函数值为()A．a＋c B．a－c C．－c D．c2．抛物线y＝x2－5的顶点坐标是________，对称轴是________，在对称轴的左侧，y 随着x的____________；在对称轴的右侧，y随着x的____________，当＝____时，函数y 的值最____，最____值是____________．3．如图，小明的父亲在相距2 m的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5 m，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1 m的小明距较近的那棵树0.5 m时，头部刚好接触到绳子，求绳子的最低点距地面的距离．（四）课堂小结1．说说二次函数y＝ax2的图象的开口方向、对称轴、及顶点坐标．2．说说二次函数y＝ax2＋c的图象的开口方向、对称轴及顶点坐标．3．比较y＝ax2和y＝ax2＋c的图象的异同．（五）布置作业1．教材第36页“随堂练习”第1、2题．2．教材第36页习题2.3第1～4题．四、教学反思在这节课的教学中除了以前用过的教学方法外，还应注入现代教学方法．例如用多媒体展示函数图象的画法，扩大了受教育面，减小了教学难度，提高了教学效率，扩大了知识量，便于及时巩固．使用现代化教学工具，可以使学生不受时间、空间的限制，及时得到事物的信息．有些现象，学生很难感知或无法感知，可以借助于现代化教学设备．本节课要始终贯彻让学生动手画图、观察、讨论而发现新知这一主线，这一做法符合学生的心理特点和认知规律，大大增加了学生的学习气氛，加深了学生对知识的认识与理解．从而培养了学生的画图能力、观测能力、分析问题、解决问题的能力以及团结合作的意识，同时也渗透了类比归纳、数形结合等数学思想方法.。

二次函数y=ax2c的图像性质的教学设计

二次函数y＝ax2＋c的图像性质的教学设计一、教学目标设计知识与技能目标1、使学生能利用描点法正确作出函数y＝ax2＋c的图象。

2、理解并掌握二次函数y＝ax2＋c的图像性质及它与函数y＝ax2的关系。

过程与方法目标经历操作、研究、归纳和总结二次函数y＝ax2＋c的图像性质及它与函数y＝ax2的关系，让学生进一步体尝试去发现二次函数的图象特征；体会其性质；渗透由特殊到一般的辩证唯物主义观点和数形结合的数学思想，培养观察能力和分析问题、解决问题的能力。

情感、态度与价值观1、培养学生探索、观察、发现的良好品质以及克服困难的毅力，并学会归纳总结自己的结论，体会成功的喜悦，加强继续学习的兴趣。

2、通过细心画图，培养学生严谨细致的学习态度。

三、教学重点、难点：1.教学重点。

会用描点法画出二次函数y＝ax2＋b的图象，理解二次函数y＝ax2＋b的性质，理解函数y＝ax2＋b与函数y＝ax2的相互关系是教学重点。

2. 教学难点。

正确理解二次函数y＝ax2＋c的性质，理解抛物线y＝ax2＋c与抛物线y＝ax2的关系是教学的难点。

五、课堂教学过程设计（一）温故知新、导入新课填一填：二次函数y＝x2的图象是____，它的开口向_____，顶点坐标是_____；对称轴是______，在对称轴的左侧，y随x的增大而______，在对称轴的右侧，y随x的增大而______，函数y＝x2当x＝______时，取最______值，其最______值是______。

二次函数y＝-x2呢？二次函数y＝x2＋1的图象与二次函数y＝x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同?你将采取什么方法加以研究?(学生画出函数y＝x2+1和函数y＝x2的图象，并加以比较)（二）合作交流，探究新知探究二次函数y＝ax2＋c的图像性质及它与函数y＝ax2的关系活动1画二次函数y=x2与y＝x2＋1的图象教学要点1.先让学生回顾二次函数画图的三个步骤，按照画图步骤画出函数y＝x2的图象同学们能在同一直角坐标系中，画出函数y＝x2与y＝x2＋1的图象吗?画一画。